Badanie teorii prawdopodobieństwa rozpoczyna się od rozwiązywania problemów polegających na dodawaniu i mnożeniu prawdopodobieństw. Warto od razu wspomnieć, że student może napotkać problem przy opanowaniu tego obszaru wiedzy: jeśli procesy fizyczne lub chemiczne da się przedstawić wizualnie i zrozumieć empirycznie, to poziom abstrakcji matematycznej jest bardzo wysoki, a zrozumienie tutaj przychodzi dopiero z doświadczeniem.

Gra jednak warta świeczki, gdyż formuły – zarówno te omówione w tym artykule, jak i te bardziej złożone – są dziś stosowane wszędzie i mogą przydać się w pracy.

Pochodzenie

Co ciekawe, impulsem do rozwoju tej gałęzi matematyki był… hazard. Rzeczywiście, kości, rzut monetą, poker, ruletka to typowe przykłady, w których wykorzystuje się dodawanie i mnożenie prawdopodobieństw. Można to wyraźnie zobaczyć na przykładach problemów w dowolnym podręczniku. Ludzie byli zainteresowani nauką zwiększania swoich szans na wygraną i trzeba przyznać, że niektórym się to udało.

Przykładowo już w XXI wieku pewna osoba, której nazwiska nie ujawnimy, wykorzystała zdobytą przez stulecia wiedzę, aby dosłownie „oczyścić” kasyno, wygrywając w ruletce kilkadziesiąt milionów dolarów.

Jednak pomimo wzmożonego zainteresowania tematem dopiero w XX w. opracowano ramy teoretyczne, które uzupełniły „twierdzenie”. Dziś niemal w każdej nauce można znaleźć obliczenia wykorzystujące metody probabilistyczne.

Możliwość zastosowania

Ważnym punktem przy stosowaniu wzorów dodawania i mnożenia prawdopodobieństw oraz prawdopodobieństwa warunkowego jest spełnialność centralnego twierdzenia granicznego. W przeciwnym razie, choć uczeń może nie zdawać sobie z tego sprawy, wszystkie obliczenia, niezależnie od tego, jak prawdopodobne mogą się wydawać, będą błędne.

Tak, wysoce zmotywowanego ucznia kusi, aby przy każdej okazji wykorzystywać nową wiedzę. Ale w w tym przypadku warto nieco zwolnić tempo i ściśle określić zakres stosowania.

Teoria prawdopodobieństwa zajmuje się zdarzeniami losowymi, które w ujęciu empirycznym reprezentują wyniki eksperymentów: możemy rzucić sześciościenną kostką, wylosować kartę z talii, przewidzieć liczbę wadliwych części w partii. Jednakże w niektórych pytaniach surowo zabrania się stosowania wzorów z tej części matematyki. Cechy uwzględniania prawdopodobieństw zdarzenia, twierdzenia o dodawaniu i mnożeniu zdarzeń omówimy na końcu artykułu, ale na razie przejdźmy do przykładów.

Podstawowe koncepcje

Zdarzenie losowe odnosi się do jakiegoś procesu lub wyniku, który może, ale nie musi, pojawić się w wyniku eksperymentu. Na przykład rzucamy kanapkę – może wylądować masłem do góry lub masłem do dołu. Każdy z tych dwóch wyników będzie losowy i nie wiemy z góry, który z nich nastąpi.

Badając dodawanie i mnożenie prawdopodobieństw, będziemy potrzebować jeszcze dwóch pojęć.

Takie zdarzenia nazywane są łącznymi, z których wystąpienie jednego nie wyklucza wystąpienia drugiego. Załóżmy, że dwie osoby strzelają do celu w tym samym czasie. Jeśli jeden z nich zakończy się sukcesem, nie będzie to miało żadnego wpływu na zdolność drugiego do trafienia w dziesiątkę lub spudłowania.

Zdarzeniami niezgodnymi będą te zdarzenia, których jednoczesne wystąpienie jest niemożliwe. Na przykład, jeśli wyjmiesz tylko jedną kulę z pudełka, nie możesz uzyskać jednocześnie niebieskiej i czerwonej.

Przeznaczenie

Pojęcie prawdopodobieństwa oznaczamy wielką literą łacińską P. Następnie w nawiasach podano argumenty oznaczające określone zdarzenia.

We wzorach twierdzenia o dodawaniu, prawdopodobieństwa warunkowego i twierdzenia o mnożeniu zobaczysz wyrażenia w nawiasach, na przykład: A+B, AB lub A|B. Zostaną wyliczone różne sposoby, teraz się do nich zwrócimy.

Dodatek

Rozważmy przypadki, w których stosuje się wzory na dodawanie i mnożenie prawdopodobieństw.

W przypadku zdarzeń niezgodnych obowiązuje najprostsza formuła dodawania: prawdopodobieństwo któregokolwiek z losowych wyników będzie równe sumie prawdopodobieństw każdego z tych wyników.

Załóżmy, że w pudełku znajdują się 2 niebieskie, 3 czerwone i 5 żółtych kulek. W sumie w pudełku znajduje się 10 elementów. Jaka jest prawda w stwierdzeniu, że wylosujemy kulę niebieską lub czerwoną? Będzie równa 2/10 + 3/10, czyli pięćdziesiąt procent.

W przypadku zdarzeń niezgodnych formuła staje się bardziej skomplikowana, ponieważ dodawany jest dodatkowy termin. Wróćmy do tego w jednym akapicie, po rozważeniu innej formuły.

Mnożenie

Dodawanie i mnożenie prawdopodobieństw nie jest takie proste zdarzenia zależne stosuje się w różne przypadki. Jeśli zgodnie z warunkami eksperymentu zadowala nas którykolwiek z dwóch możliwych wyników, obliczymy sumę; jeśli chcemy uzyskać dwa określone wyniki jeden po drugim, skorzystamy z innego wzoru.

Wracając do przykładu z poprzedniej sekcji, chcemy najpierw narysować kulę niebieską, a potem czerwoną. Znamy pierwszą liczbę - jest to 2/10. Co się potem dzieje? Zostało 9 piłek, a czerwonych jest jeszcze tyle samo – trzy. Według obliczeń będzie to 3/9 lub 1/3. Ale co teraz zrobić z dwiema liczbami? Prawidłowa odpowiedź to pomnożyć, aby otrzymać 2/30.

Wspólne wydarzenia

Teraz możemy ponownie przejść do wzoru na sumę wspólnych wydarzeń. Dlaczego oderwaliśmy się od tematu? Aby dowiedzieć się, jak mnoży się prawdopodobieństwa. Teraz będziemy potrzebować tej wiedzy.

Wiemy już, jakie będą pierwsze dwa wyrazy (tak samo jak we wzorze na dodawanie omówionym wcześniej), ale teraz musimy odjąć iloczyn prawdopodobieństw, które właśnie nauczyliśmy się obliczać. Dla jasności napiszmy wzór: P(A+B) = P(A) + P(B) - P(AB). Okazuje się, że w jednym wyrażeniu stosuje się zarówno dodawanie, jak i mnożenie prawdopodobieństw.

Załóżmy, że musimy rozwiązać dowolny z dwóch problemów, aby uzyskać kredyt. Pierwsze możemy rozwiązać z prawdopodobieństwem 0,3, a drugie z prawdopodobieństwem 0,6. Rozwiązanie: 0,3 + 0,6 - 0,18 = 0,72. Pamiętaj, że samo dodanie liczb tutaj nie wystarczy.

Warunkowe prawdopodobieństwo

Wreszcie istnieje koncepcja prawdopodobieństwa warunkowego, którego argumenty podano w nawiasach i oddzielono pionową kreską. Wpis P(A|B) brzmi następująco: „prawdopodobieństwo zdarzenia A przy danym zdarzeniu B.”

Spójrzmy na przykład: znajomy daje ci jakieś urządzenie, niech to będzie telefon. Może być uszkodzony (20%) lub nienaruszony (80%). Każde urządzenie, które wpadnie Ci w ręce, jesteś w stanie naprawić z prawdopodobieństwem 0,4 lub nie jesteś w stanie tego zrobić (0,6). Wreszcie, jeśli urządzenie jest sprawne, możesz do niego dotrzeć odpowiednia osoba z prawdopodobieństwem 0,7.

Łatwo zobaczyć, jak sprawdza się prawdopodobieństwo warunkowe w tym przypadku: nie będziesz w stanie skontaktować się z osobą, jeśli telefon jest zepsuty, ale jeśli działa, nie musisz go naprawiać. Aby więc uzyskać jakiekolwiek wyniki na „drugim poziomie”, należy dowiedzieć się, jakie zdarzenie zostało wykonane na pierwszym.

Obliczenia

Przyjrzyjmy się przykładom rozwiązywania problemów polegających na dodawaniu i mnożeniu prawdopodobieństw, korzystając z danych z poprzedniego akapitu.

Najpierw znajdźmy prawdopodobieństwo, że naprawisz otrzymane urządzenie. Aby to zrobić, po pierwsze, musi być uszkodzony, a po drugie, musisz umieć go naprawić. Jest to typowy problem z mnożeniem: otrzymujemy 0,2 * 0,4 = 0,08.

Jakie jest prawdopodobieństwo, że od razu dotrzesz do właściwej osoby? To takie proste: 0,8*0,7 = 0,56. W tym przypadku okazało się, że telefon działa i pomyślnie nawiązano połączenie.

Na koniec rozważ taki scenariusz: dostajesz zepsuty telefon, naprawiasz go, następnie wybierasz numer, a osoba po drugiej stronie odbiera. Tutaj musimy już pomnożyć trzy składowe: 0,2*0,4*0,7 = 0,056.

Co zrobić, jeśli masz dwa niedziałające telefony jednocześnie? Jakie jest prawdopodobieństwo, że naprawisz przynajmniej jeden z nich? na dodawaniu i mnożeniu prawdopodobieństw, ponieważ stosuje się zdarzenia łączone. Rozwiązanie: 0,4 + 0,4 - 0,4*0,4 = 0,8 - 0,16 = 0,64. Tak więc, jeśli otrzymasz dwa zepsute urządzenia, będziesz w stanie to naprawić w 64% przypadków.

Ostrożne użytkowanie

Jak stwierdzono na początku artykułu, stosowanie teorii prawdopodobieństwa powinno być przemyślane i świadome.

Im większa jest seria eksperymentów, tym wartość przewidywana teoretycznie jest bliższa tej uzyskanej w praktyce. Na przykład rzucamy monetą. Teoretycznie, znając wzory na dodawanie i mnożenie prawdopodobieństw, możemy przewidzieć, ile razy pojawią się „reszki” i „reszki”, jeśli przeprowadzimy eksperyment 10 razy. Przeprowadziliśmy eksperyment i przez przypadek stosunek narysowanych boków wyniósł 3 do 7. Ale jeśli przeprowadzimy serię 100, 1000 lub więcej prób, okaże się, że wykres rozkładu jest coraz bliższy teoretycznemu: 44 do 56, 482 do 518 i tak dalej.

Teraz wyobraź sobie, że ten eksperyment nie jest przeprowadzany z monetą, ale z produkcją jakiejś nowej substancja chemiczna, którego prawdopodobieństwa nie znamy. Przeprowadzilibyśmy 10 eksperymentów i nie uzyskując pomyślnego wyniku, moglibyśmy uogólnić: „substancji nie da się uzyskać”. Ale kto wie, czy gdybyśmy podjęli jedenastą próbę, osiągnęlibyśmy cel, czy nie?

Jeśli więc wybierasz się w nieznane, w niezbadany obszar, teoria prawdopodobieństwa może nie mieć zastosowania. Każda kolejna próba w tym przypadku może zakończyć się sukcesem, a uogólnienia w stylu „X nie istnieje” lub „X jest niemożliwe” będą przedwczesne.

Ostatnie słowo

Przyjrzeliśmy się zatem dwóm rodzajom dodawania, mnożenia i prawdopodobieństwu warunkowemu. Dalsze badania tego obszaru wymagają nauczenia się rozróżniania sytuacji, w których stosowana jest każda konkretna formuła. Ponadto musisz sobie wyobrazić, czy metody probabilistyczne mają ogólne zastosowanie do rozwiązania Twojego problemu.

Jeśli będziesz ćwiczyć, po chwili zaczniesz wykonywać wszystkie wymagane operacje wyłącznie w swoim umyśle. Dla zainteresowanych gry karciane, umiejętność tę można uznać za niezwykle cenną - znacznie zwiększysz swoje szanse na wygraną, po prostu obliczając prawdopodobieństwo wypadnięcia danej karty lub koloru. Zdobytą wiedzę można jednak łatwo znaleźć w innych obszarach działalności.

Twierdzenia o dodawaniu i mnożeniu o prawdopodobieństwie.
Zdarzenia zależne i niezależne

Tytuł wygląda strasznie, ale w rzeczywistości wszystko jest bardzo proste. NA ta lekcja zapoznamy się z twierdzeniami o dodawaniu i mnożeniu prawdopodobieństw zdarzeń, a także przeanalizujemy typowe problemy, które wraz z problem klasycznego wyznaczania prawdopodobieństwa na pewno spotkasz lub, co bardziej prawdopodobne, już spotkałeś na swojej drodze. Dla efektywna nauka materiałów tego artykułu musisz znać i rozumieć podstawowe terminy teoria prawdopodobieństwa i móc zrobić najprostsze rzeczy działania arytmetyczne. Jak widać, potrzeba bardzo niewiele, dlatego prawie gwarantowany jest duży plus aktywów. Ale z drugiej strony ponownie przestrzegam przed powierzchownym podejściem do praktycznych przykładów – nie brakuje też niuansów. Powodzenia:

Twierdzenie o dodawaniu prawdopodobieństw zdarzeń niezgodnych: prawdopodobieństwo wystąpienia jednego z dwóch niekompatybilny wydarzenia lub (nieważne co), jest równa sumie prawdopodobieństw tych zdarzeń:

Podobny fakt dotyczy większej liczby zdarzeń niezgodnych, np. trzech zdarzeń niezgodnych oraz:

Twierdzenie jest snem =) Jednak taki sen podlega dowodowi, który można znaleźć np. podręcznik VE Gmurmana.

Zapoznajmy się z nowymi, nieznanymi dotąd koncepcjami:

Zdarzenia zależne i niezależne

Zacznijmy od wydarzeń niezależnych. Wydarzenia są niezależny , jeżeli prawdopodobieństwo wystąpienia ktokolwiek z nich nie zależy od pojawienia się/niepojawienia się innych zdarzeń rozpatrywanego zbioru (we wszystkich możliwych kombinacjach). ...Ale po co zawracać sobie głowę ogólnymi zwrotami:

Twierdzenie o mnożeniu prawdopodobieństw zdarzeń niezależnych: prawdopodobieństwo wspólnego wystąpienia niezależnych zdarzeń i jest równe iloczynowi prawdopodobieństw tych zdarzeń:

Wróćmy do najprostszego przykładu pierwszej lekcji, w której rzucane są dwie monety i następujące zdarzenia:

– na pierwszej monecie pojawią się reszki;
– reszki pojawią się na 2. monecie.

Znajdźmy prawdopodobieństwo zdarzenia (na pierwszej monecie pojawi się orzeł). I na drugiej monecie pojawi się orzeł - pamiętaj, jak czytać produkt wydarzeń!) . Prawdopodobieństwo wyrzucenia orła na jednej monecie nie zależy w żaden sposób od wyniku rzucenia inną monetą, dlatego zdarzenia są niezależne.

Podobnie:
– prawdopodobieństwo, że pierwsza moneta wyrzuci reszkę I na drugim ogonie;
– prawdopodobieństwo, że na pierwszej monecie pojawi się orzeł I na drugim ogonie;
– prawdopodobieństwo, że pierwsza moneta wyrzuci reszkę I na drugim orle.

Zauważ, że zdarzenia tworzą się pełna grupa a suma ich prawdopodobieństw jest równa jeden: .

Twierdzenie o mnożeniu rozciąga się oczywiście na większą liczbę niezależnych zdarzeń, np. jeśli zdarzenia są niezależne, to prawdopodobieństwo ich łącznego wystąpienia jest równe: . Poćwiczmy dalej konkretne przykłady:

Problem 3

Każde z trzech pudełek zawiera 10 części. W pierwszym pudełku znajduje się 8 standardowych części, w drugim – 7, w trzecim – 9. Z każdego pudełka losowo usuwana jest jedna część. Znajdź prawdopodobieństwo, że wszystkie części będą standardowe.

Rozwiązanie: Prawdopodobieństwo wydobycia standardowej lub niestandardowej części z dowolnego pudełka nie zależy od tego, jakie części zostaną pobrane z innych pudełek, więc problem dotyczy niezależnych zdarzeń. Rozważ następujące niezależne zdarzenia:

– z pierwszego pudełka usunięto część standardową;
– z drugiego pudełka usunięto część standardową;
– z trzeciego pudełka usunięto część standardową.

Według klasycznej definicji:
są odpowiednimi prawdopodobieństwami.

Wydarzenie, które nas interesuje (część standardowa zostanie usunięta z pierwszego pudełka I od 2. normy I od 3. normy) wyraża się przez produkt.

Zgodnie z twierdzeniem o mnożeniu prawdopodobieństw zdarzeń niezależnych:

– prawdopodobieństwo, że z trzech pudełek zostanie usunięta jedna część wzorcowa.

Odpowiedź: 0,504

Po orzeźwiających ćwiczeniach z pudełkami czekają na nas nie mniej ciekawe urny:

Problem 4

W trzech urnach znajduje się 6 kul białych i 4 czarne. Z każdej urny losujemy jedną kulę. Znajdź prawdopodobieństwo, że: a) wszystkie trzy kule będą białe; b) wszystkie trzy kule będą tego samego koloru.

Na podstawie otrzymanych informacji zgadnij, jak sobie poradzić z punktem „być” ;-) Przybliżona próbka rozwiązania zostały zaprojektowane w stylu akademickim ze szczegółową listą wszystkich wydarzeń.

Zdarzenia zależne. Wydarzenie nazywa się zależny , jeśli jest to prawdopodobieństwo zależy z jednego lub większej liczby zdarzeń, które już miały miejsce. Po przykłady nie trzeba daleko szukać – wystarczy udać się do najbliższego sklepu:

– pojawi się w sprzedaży jutro o godzinie 19.00 świeży chleb.

Prawdopodobieństwo tego zdarzenia zależy od wielu innych zdarzeń: tego, czy jutro zostanie dostarczony świeży chleb, czy zostanie wyprzedany przed godziną 19:00, czy nie itp. W zależności od różne okoliczności zdarzenie to może być wiarygodne lub niemożliwe. Więc wydarzenie jest zależny.

Chleb... i, jak żądali Rzymianie, cyrki:

– na egzaminie student otrzyma bilet prosty.

Jeśli nie jesteś pierwszy, wydarzenie będzie zależne, ponieważ jego prawdopodobieństwo będzie zależeć od tego, jakie bilety zostały już wylosowane przez kolegów z klasy.

Jak określić zależność/niezależność zdarzeń?

Czasami jest to bezpośrednio określone w opisie problemu, ale najczęściej trzeba przeprowadzić niezależną analizę. Nie ma tu jednoznacznej wskazówki, a fakt zależności lub niezależności zdarzeń wynika z naturalnego rozumowania logicznego.

Żeby nie wrzucić wszystkiego do jednego worka, zadania dla zdarzeń zależnych Podkreślę następującą lekcję, ale na razie rozważymy najczęstszy zestaw twierdzeń w praktyce:

Zagadnienia twierdzeń o dodawaniu dla niezgodnych prawdopodobieństw
i mnożenie prawdopodobieństw niezależnych zdarzeń

Tandem ten, według mojej subiektywnej oceny, sprawdza się w około 80% zadań z rozpatrywanego tematu. Hit hitów i prawdziwy klasyk teorii prawdopodobieństwa:

Problem 5

Każdy z dwóch strzelców oddał po jednym strzale do celu. Prawdopodobieństwo trafienia pierwszego strzelca wynosi 0,8, dla drugiego 0,6. Znajdź prawdopodobieństwo, że:

a) tylko jeden strzelec trafi w tarczę;
b) co najmniej jeden ze strzelców trafi w tarczę.

Rozwiązanie: Wskaźnik trafień/chybień jednego strzelca jest oczywiście niezależny od wyników drugiego strzelca.

Rozważmy wydarzenia:
– pierwszy strzelec trafi w cel;
– Drugi strzelec trafi w cel.

Według warunku: .

Znajdźmy prawdopodobieństwa przeciwnych zdarzeń - że odpowiednie strzałki pominą:

a) Rozważ zdarzenie: – tylko jeden strzelec trafi w tarczę. Na to zdarzenie składają się dwa niezgodne wyniki:

Pierwszy strzelec trafi I Drugi będzie tęsknił
Lub
Pierwszy będzie tęsknił I Drugi trafi.

Na języku algebry zdarzeń fakt ten zostanie zapisany za pomocą następującego wzoru:

Najpierw używamy twierdzenia o dodawaniu prawdopodobieństw zdarzeń niezgodnych, a następnie twierdzenia o mnożeniu prawdopodobieństw niezależnych zdarzeń:

– prawdopodobieństwo, że będzie tylko jedno trafienie.

b) Rozważ zdarzenie: – co najmniej jeden ze strzelców trafia w tarczę.

Po pierwsze POMYŚLMY – co oznacza warunek „CO NAJMNIEJ JEDEN”? W tym przypadku oznacza to, że albo pierwszy strzelec trafi (drugi strzeli) Lub 2. (pierwszy będzie tęsknił) Lub obaj strzelcy na raz - w sumie 3 niezgodne wyniki.

Metoda pierwsza: biorąc pod uwagę prawdopodobieństwo poprzedniego punktu, wygodnie jest przedstawić zdarzenie jako sumę następujących niezgodnych zdarzeń:

ktoś tam dotrze (zdarzenie składające się z kolei z 2 niezgodnych wyników) Lub
Jeśli trafią obie strzałki, oznaczamy to zdarzenie literą .

Zatem:

Zgodnie z twierdzeniem o mnożeniu prawdopodobieństw zdarzeń niezależnych:
– prawdopodobieństwo, że pierwszy strzelec trafi I Drugi strzelec trafi.

Zgodnie z twierdzeniem o dodawaniu prawdopodobieństw zdarzeń niezgodnych:
– prawdopodobieństwo co najmniej jednego trafienia w cel.

Metoda druga: Rozważmy zdarzenie odwrotne: – obaj strzelcy spudłują.

Zgodnie z twierdzeniem o mnożeniu prawdopodobieństw zdarzeń niezależnych:

W rezultacie:

Specjalna uwaga Zwróć uwagę na drugą metodę - ogólnie jest bardziej racjonalna.

Ponadto istnieje alternatywny, trzeci sposób rozwiązania tego problemu, oparty na twierdzeniu o dodawaniu wspólnych zdarzeń, o którym nie wspomniano powyżej.

! Jeśli zapoznajesz się z materiałem po raz pierwszy, to aby uniknąć nieporozumień, lepiej pominąć następny akapit.

Metoda trzecia : zdarzenia są zgodne, co oznacza, że ​​ich suma wyraża zdarzenie „przynajmniej jeden strzelec trafi w tarczę” (patrz. algebra zdarzeń). Przez twierdzenie o dodawaniu prawdopodobieństw wspólnych zdarzeń oraz twierdzenie o mnożeniu prawdopodobieństw zdarzeń niezależnych:

Sprawdźmy: wydarzenia i (odpowiednio 0, 1 i 2 trafienia) tworzą kompletną grupę, zatem suma ich prawdopodobieństw musi być równa jedności:
, co należało sprawdzić.

Odpowiedź:

Po dokładnym przestudiowaniu teorii prawdopodobieństwa natkniesz się na dziesiątki problemów o treści militarnej i, co charakterystyczne, po tym nie będziesz chciał nikogo zastrzelić - problemy są prawie prezentem. Dlaczego nie uprościć również szablonu? Skróćmy wpis:

Rozwiązanie: według warunku: , – prawdopodobieństwo trafienia odpowiednich strzelców. Następnie prawdopodobieństwo ich chybienia:

a) Zgodnie z twierdzeniami o dodawaniu prawdopodobieństw niezgodnych i mnożeniu prawdopodobieństw zdarzeń niezależnych:
– prawdopodobieństwo, że tylko jeden strzelec trafi w cel.

b) Zgodnie z twierdzeniem o mnożeniu prawdopodobieństw zdarzeń niezależnych:
– prawdopodobieństwo, że obaj strzelcy spudłują.

Następnie: – prawdopodobieństwo, że przynajmniej jeden ze strzelców trafi w cel.

Odpowiedź:

W praktyce możesz zastosować dowolną opcję projektu. Oczywiście znacznie częściej wybierają krótszą trasę, ale nie można zapominać o pierwszej metodzie – choć jest dłuższa, to jednak ma większy sens – jest wyraźniejsza, co, dlaczego i dlaczego dodaje i mnoży. W niektórych przypadkach właściwy jest styl hybrydowy, gdy wygodnie jest używać wielkich liter do wskazania tylko niektórych wydarzeń.

Podobne zadania dla niezależna decyzja:

Problem 6

Do sygnalizacji pożaru instaluje się dwa niezależnie działające czujniki. Prawdopodobieństwo, że czujnik zadziała w przypadku pożaru, wynosi odpowiednio 0,5 i 0,7 dla pierwszego i drugiego czujnika. Znajdź prawdopodobieństwo, że w pożarze:

a) oba czujniki ulegną awarii;
b) oba czujniki będą działać.
c) Używanie twierdzenie o dodawaniu prawdopodobieństw zdarzeń tworzących kompletną grupę, znajdź prawdopodobieństwo, że w przypadku pożaru zadziała tylko jeden czujnik. Sprawdź wynik, bezpośrednio obliczając to prawdopodobieństwo (przy użyciu twierdzeń o dodawaniu i mnożeniu).

Tutaj niezależność działania urządzeń jest bezpośrednio określona w stanie, co, nawiasem mówiąc, jest ważnym wyjaśnieniem. Przykładowe rozwiązanie zostało zaprojektowane w stylu akademickim.

A co jeśli w podobnym problemie podane zostaną te same prawdopodobieństwa, na przykład 0,9 i 0,9? Musisz zdecydować dokładnie to samo! (co właściwie zostało już zademonstrowane na przykładzie dwóch monet)

Problem 7

Prawdopodobieństwo trafienia celu przez pierwszego strzelca jednym strzałem wynosi 0,8. Prawdopodobieństwo, że cel nie zostanie trafiony po oddaniu po jednym strzale przez pierwszego i drugiego strzelca, wynosi 0,08. Jakie jest prawdopodobieństwo, że drugi strzelec trafi w cel jednym strzałem?

A to mała łamigłówka, która została zaprojektowana w skrócie. Warunek można przeformułować bardziej zwięźle, ale nie będę przerabiał oryginału - w praktyce muszę zagłębić się w bardziej ozdobne wytwory.

Poznaj go - to on zaplanował dla Ciebie ogromną ilość szczegółów =):

Problem 8

Pracownik obsługuje trzy maszyny. Prawdopodobieństwo, że podczas zmiany pierwsza maszyna będzie wymagała regulacji, wynosi 0,3, druga - 0,75, trzecia - 0,4. Znajdź prawdopodobieństwo, że podczas zmiany:

a) wszystkie maszyny będą wymagały regulacji;
b) tylko jedna maszyna będzie wymagała regulacji;
c) co najmniej jedna maszyna będzie wymagała regulacji.

Rozwiązanie: skoro warunek nie mówi nic o pojedynczym procesie technologicznym, to działanie każdej maszyny należy rozpatrywać niezależnie od działania pozostałych maszyn.

Analogicznie do zadania nr 5, tutaj można uwzględnić zdarzenia, które odpowiednie maszyny będą wymagały regulacji podczas zmiany, zapisać prawdopodobieństwa, znaleźć prawdopodobieństwa zdarzeń przeciwnych itp. Ale przy trzech obiektach nie chcę już tak formatować zadania – okaże się długie i żmudne. Dlatego zauważalnie bardziej opłaca się tutaj zastosować styl „szybki”:

Zgodnie z warunkiem: – prawdopodobieństwo, że podczas zmiany odpowiednie maszyny będą wymagały strojenia. Wtedy prawdopodobieństwo, że nie będą wymagały uwagi, wynosi:

Jeden z czytelników znalazł tutaj fajną literówkę, nawet jej nie poprawiam =)

a) Zgodnie z twierdzeniem o mnożeniu prawdopodobieństw zdarzeń niezależnych:
– prawdopodobieństwo, że podczas zmiany wszystkie trzy maszyny będą wymagały regulacji.

b) Na zdarzenie „W trakcie zmiany tylko jedna maszyna będzie wymagała regulacji” składają się z trzech niezgodnych wyników:

1) Pierwsza maszyna wymagać będzie uwaga I Druga maszyna nie będzie wymagać I Trzecia maszyna nie będzie wymagać
Lub:
2) Pierwsza maszyna nie będzie wymagać uwaga I Druga maszyna wymagać będzie I Trzecia maszyna nie będzie wymagać
Lub:
3) Pierwsza maszyna nie będzie wymagać uwaga I Druga maszyna nie będzie wymagać I Trzecia maszyna wymagać będzie.

Zgodnie z twierdzeniami o dodawaniu prawdopodobieństw niezgodnych i mnożeniu prawdopodobieństw zdarzeń niezależnych:

– prawdopodobieństwo, że podczas zmiany tylko jedna maszyna będzie wymagała regulacji.

Myślę, że już powinieneś zrozumieć, skąd pochodzi to wyrażenie

c) Obliczmy prawdopodobieństwo, że maszyny nie będą wymagały regulacji, a następnie prawdopodobieństwo zdarzenia odwrotnego:
– że przynajmniej jedna maszyna będzie wymagała regulacji.

Odpowiedź:

Punkt „ve” można również rozwiązać poprzez sumę, gdzie jest prawdopodobieństwo, że podczas zmiany tylko dwie maszyny będą wymagały regulacji. Zdarzenie to z kolei obejmuje 3 niezgodne ze sobą wyniki, które opisano analogicznie do punktu „być”. Spróbuj sam znaleźć prawdopodobieństwo sprawdzenia całego problemu za pomocą równości.

Problem 9

W stronę celu wystrzelono salwę z trzech dział. Prawdopodobieństwo trafienia jednym strzałem tylko z pierwszego działa wynosi 0,7, z drugiego – 0,6, z trzeciego – 0,8. Znajdź prawdopodobieństwo, że: 1) co najmniej jeden pocisk trafi w cel; 2) tylko dwa pociski trafią w cel; 3) cel zostanie trafiony co najmniej dwukrotnie.

Rozwiązanie i odpowiedź znajdują się na końcu lekcji.

I znowu o zbieżnościach: jeśli zgodnie z warunkiem dwie lub nawet wszystkie wartości prawdopodobieństw początkowych pokrywają się (na przykład 0,7, 0,7 i 0,7), należy zastosować dokładnie ten sam algorytm rozwiązania.

Na zakończenie artykułu spójrzmy na inną popularną zagadkę:

Problem 10

Strzelec trafia w cel z takim samym prawdopodobieństwem przy każdym strzale. Jakie jest to prawdopodobieństwo, jeśli prawdopodobieństwo co najmniej jednego trafienia trzema strzałami wynosi 0,973.

Rozwiązanie: oznaczmy przez – prawdopodobieństwo trafienia w cel przy każdym strzale.
i przez - prawdopodobieństwo chybienia przy każdym strzale.

I zapiszmy wydarzenia:
– przy 3 strzałach strzelec przynajmniej raz trafi w cel;
– strzelec spudłuje 3 razy.

Według warunku prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego:

Natomiast zgodnie z twierdzeniem o mnożeniu prawdopodobieństw zdarzeń niezależnych:

Zatem:

- prawdopodobieństwo chybienia przy każdym strzale.

W rezultacie:
– prawdopodobieństwo trafienia przy każdym strzale.

Odpowiedź: 0,7

Prosty i elegancki.

W rozpatrywanym problemie można zadać dodatkowe pytania o prawdopodobieństwo tylko jednego trafienia, tylko dwóch trafień i prawdopodobieństwa trzech trafień w cel. Schemat rozwiązania będzie dokładnie taki sam jak w dwóch poprzednich przykładach:

Zasadnicza różnica merytoryczna polega jednak na tym, że tutaj są powtarzane niezależne testy, które są wykonywane sekwencyjnie, niezależnie od siebie i z takim samym prawdopodobieństwem wyników.

Bezpośrednie liczenie przypadków faworyzujących dane wydarzenie może być trudne. Dlatego też, aby określić prawdopodobieństwo zdarzenia, korzystne może być wyobrażenie sobie tego zdarzenia jako kombinacji innego, czegoś więcej proste zdarzenia. W tym przypadku jednak trzeba znać zasady rządzące prawdopodobieństwem kombinacji zdarzeń. Do tych zasad odnoszą się twierdzenia wymienione w tytule akapitu.

Pierwsza z nich dotyczy obliczenia prawdopodobieństwa wystąpienia co najmniej jednego z kilku zdarzeń.

Twierdzenie o dodawaniu.

Niech A i B będą dwoma zdarzeniami niezgodnymi. Wówczas prawdopodobieństwo zajścia przynajmniej jednego z tych dwóch zdarzeń jest równe sumie ich prawdopodobieństw:

Dowód. Niech będzie kompletną grupą zdarzeń niezgodnych parami. Jeżeli więc wśród tych elementarnych zdarzeń są dokładnie zdarzenia sprzyjające A i dokładnie zdarzenia sprzyjające B. Ponieważ zdarzenia A i B są niezgodne, to żadne zdarzenie nie może faworyzować obu tych zdarzeń. Zdarzeniu (A lub B), polegającemu na zaistnieniu co najmniej jednego z tych dwóch zdarzeń, faworyzuje w sposób oczywisty zarówno każde ze zdarzeń faworyzujących A, jak i każde ze zdarzeń

Korzystne V. Dlatego Łączna zdarzenia sprzyjające zdarzeniu (A lub B) jest równa sumie, która następuje:

co było do okazania

Łatwo zauważyć, że sformułowane powyżej twierdzenie o dodawaniu dla przypadku dwóch zdarzeń można łatwo przenieść na przypadek dowolnej ich skończonej liczby. Dokładnie, jeśli istnieją zdarzenia niezgodne parami

Można na przykład pisać w przypadku trzech zdarzeń

Ważną konsekwencją twierdzenia o dodawaniu jest stwierdzenie: jeśli zdarzenia są niezgodne parami i jednoznacznie możliwe, to

Rzeczywiście zdarzenie albo albo albo jest z założenia pewne, a jego prawdopodobieństwo, jak wskazano w § 1, jest równe jeden. W szczególności, jeśli mają na myśli dwa wzajemnie przeciwne zdarzenia

Zilustrujmy twierdzenie o dodawaniu przykładami.

Przykład 1. Podczas strzelania do celu prawdopodobieństwo oddania doskonałego strzału wynosi 0,3, a prawdopodobieństwo oddania „dobrego” strzału wynosi 0,4. Jakie jest prawdopodobieństwo uzyskania wyniku co najmniej „dobrego” za strzał?

Rozwiązanie. Jeżeli zdarzenie A oznacza otrzymanie oceny „doskonały”, a zdarzenie B oznacza otrzymanie oceny „dobry”, to

Przykład 2. W urnie zawierającej kule białą, czerwoną i czarną są kule białe i I kule czerwone. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wylosujemy kulę, która nie jest czarna?

Rozwiązanie. Jeśli zdarzenie A polega na pojawieniu się bili białej, a zdarzenie B na bili czerwonej, to pojawienie się bili nie jest czarne

oznacza pojawienie się białej lub czerwonej bili. Ponieważ z definicji prawdopodobieństwa

wówczas, zgodnie z twierdzeniem o dodawaniu, prawdopodobieństwo pojawienia się kuli innej niż czarna jest równe;

Problem ten można rozwiązać w ten sposób. Niech wydarzeniem C będzie pojawienie się czarnej kuli. Liczba czarnych kul jest równa, więc P (C) Pojawienie się nieczarnej kuli jest zdarzeniem odwrotnym do C, zatem w oparciu o powyższy wniosek z twierdzenia o dodawaniu mamy:

jak wcześniej.

Przykład 3. W loterii pieniężnej na serię 1000 losów przypada 120 wygranych pieniężnych i 80 rzeczowych. Jakie jest prawdopodobieństwo wygrania czegokolwiek na jednym losie na loterię?

Rozwiązanie. Jeżeli przez A oznaczymy zdarzenie polegające na zysku pieniężnym, a przez B zysk materialny, to z definicji prawdopodobieństwa wynika, że

Interesujące nas zdarzenie jest reprezentowane przez (A lub B), dlatego wynika z twierdzenia o dodawaniu

Zatem prawdopodobieństwo wygranej wynosi 0,2.

Zanim przejdziemy do kolejnego twierdzenia, należy zapoznać się z nowym ważnym pojęciem - pojęciem prawdopodobieństwa warunkowego. W tym celu zaczniemy od rozważenia następującego przykładu.

Załóżmy, że w magazynie znajduje się 400 żarówek wyprodukowanych w dwóch różnych fabrykach i pierwsza produkuje 75% wszystkich żarówek, a druga 25%. Załóżmy, że wśród żarówek wyprodukowanych w zakładzie pierwszym 83% spełnia warunki określonej normy, a dla wyrobów drugiego zakładu odsetek ten wynosi 63. Wyznaczmy prawdopodobieństwo, że żarówka pobrana losowo z zakładu magazyn będzie spełniał warunki normy.

Należy pamiętać, że całkowita liczba dostępnych żarówek standardowych obejmuje żarówki wyprodukowane przez pierwszą firmę

fabryki, a 63 żarówki wyprodukowane przez drugi zakład, czyli równo 312. Ponieważ wybór dowolnej żarówki należy uznać za równie możliwy, to mamy 312 korzystnych przypadków na 400, więc

gdzie zdarzenie B oznacza, że ​​wybrana przez nas żarówka jest standardowa.

Podczas tych obliczeń nie przyjęto żadnych założeń dotyczących produktu, do którego rośliny należy wybrana przez nas żarówka. Jeżeli przyjmiemy tego typu założenia, to oczywistym jest, że interesujące nas prawdopodobieństwo może się zmienić. Jeśli więc np. wiadomo, że wybrana żarówka została wyprodukowana w pierwszym zakładzie (zdarzenie A), to prawdopodobieństwo, że jest ona standardowa, nie będzie już wynosić 0,78, ale 0,83.

Ten rodzaj prawdopodobieństwa, to znaczy prawdopodobieństwo zdarzenia B przy zaistnieniu zdarzenia A, nazywa się prawdopodobieństwem warunkowym zdarzenia B przy zaistnieniu zdarzenia A i oznacza się

Jeśli w poprzednim przykładzie oznaczymy przez A zdarzenie, że wybrana żarówka została wyprodukowana w pierwszym zakładzie, to możemy napisać

Teraz możemy sformułować ważne twierdzenie związane z obliczaniem prawdopodobieństwa splotu zdarzeń.

Twierdzenie o mnożeniu.

Prawdopodobieństwo połączenia zdarzeń A i B jest równe iloczynowi prawdopodobieństwa jednego ze zdarzeń i prawdopodobieństwa warunkowego drugiego, przy założeniu, że nastąpiło pierwsze:

W tym przypadku kombinacja zdarzeń A i B oznacza wystąpienie każdego z nich, czyli wystąpienie zarówno zdarzenia A, jak i zdarzenia B.

Dowód. Rozważmy pełną grupę równie możliwych parami niezgodnych zdarzeń, z których każde może być korzystne lub niekorzystne zarówno dla zdarzenia A, jak i zdarzenia B.

Podzielmy wszystkie te zdarzenia na cztery różne grupy w następujący sposób. Do pierwszej grupy zaliczają się te zdarzenia, które faworyzują zarówno zdarzenie A, jak i zdarzenie B; Do drugiej i trzeciej grupy zaliczają się te zdarzenia, które faworyzują jedno z dwóch interesujących nas zdarzeń, a nie faworyzują drugiego, np. do drugiej grupy zaliczają się te, które faworyzują A, ale nie faworyzują B, a do trzeciej grupy zaliczają się te, które faworyzuje B, ale nie faworyzuje A; w końcu

Czwarta grupa obejmuje te zdarzenia, które nie faworyzują ani A, ani B.

Ponieważ numeracja zdarzeń nie ma znaczenia, możemy przyjąć, że podział na cztery grupy wygląda następująco:

Grupa I:

Grupa II:

III grupa:

grupa IV:

Zatem wśród zdarzeń równie możliwych i parzyście niezgodnych znajdują się zdarzenia, które faworyzują zarówno zdarzenie A, jak i zdarzenie B, zdarzenia, które faworyzują zdarzenie A, ale nie faworyzują zdarzenia A, zdarzenia, które faworyzują B, ale nie faworyzują A, i wreszcie zdarzenia, które nie faworyzują ani A, ani B.

Przy okazji zauważmy, że w żadnej z czterech rozważanych przez nas grup (a nawet w większej liczbie) może nie znaleźć się ani jedno wydarzenie. W tym przypadku odpowiedni numer, czyli liczba zdarzeń w takiej grupie będzie równa zeru.

Nasz podział na grupy pozwala na natychmiastowe pisanie

albowiem kombinacja zdarzeń A i B faworyzuje zdarzenia z pierwszej grupy i tylko przez nie. Całkowita liczba zdarzeń faworyzujących A jest równa sumie zdarzeń z pierwszej i drugiej grupy, a liczba zdarzeń faworyzujących B jest równa łącznej liczbie zdarzeń z pierwszej i trzeciej grupy.

Obliczmy teraz prawdopodobieństwo, czyli prawdopodobieństwo zdarzenia B, pod warunkiem, że zdarzenie A miało miejsce. Teraz znikają zdarzenia z trzeciej i czwartej grupy, gdyż ich wystąpienie byłoby sprzeczne z zajściem zdarzenia A, a liczba możliwych przypadków nie jest już równa . Spośród nich zdarzenie B jest preferowane tylko przez zdarzenia z pierwszej grupy, więc otrzymujemy:

Aby udowodnić twierdzenie wystarczy teraz napisać oczywistą tożsamość:

i zastąp wszystkie trzy ułamki prawdopodobieństwami obliczonymi powyżej. Dochodzimy do równości wyrażonej w twierdzeniu:

Jasne jest, że tożsamość, którą napisaliśmy powyżej, ma sens tylko wtedy, gdy jest zawsze prawdziwa, chyba że A jest zdarzeniem niemożliwym.

Ponieważ zdarzenia A i B są równe, zamieniając je, otrzymujemy inną postać twierdzenia o mnożeniu:

Jednak tę równość można uzyskać w taki sam sposób, jak poprzednią, jeśli zauważysz, że używając tożsamości

Porównując prawe strony dwóch wyrażeń na prawdopodobieństwo P(A i B), otrzymujemy użyteczną równość:

Rozważmy teraz przykłady ilustrujące twierdzenie o mnożeniu.

Przykład 4. W produktach pewnego przedsiębiorstwa 96% produktów uważa się za odpowiednie (zdarzenie A). Na każde sto odpowiednich okazuje się, że 75 produktów należy do pierwszej klasy (zdarzenie B). Określ prawdopodobieństwo, że losowo wybrany produkt będzie odpowiedni i będzie należeć do pierwszego gatunku.

Rozwiązanie. Pożądane prawdopodobieństwo to prawdopodobieństwo połączenia zdarzeń A i B. Według warunku mamy: . Dlatego twierdzenie o mnożeniu daje

Przykład 5. Prawdopodobieństwo trafienia w cel pojedynczym strzałem (zdarzenie A) wynosi 0,2. Jakie jest prawdopodobieństwo trafienia w cel, jeśli przepali się 2% zapalników (tj. w 2% przypadków strzał nie zadziała)

Rozwiązanie. Niech zdarzeniem B będzie to, że nastąpi strzał, a B oznacza zdarzenie odwrotne. Następnie według warunku i zgodnie z wnioskiem z twierdzenia o dodawaniu. Dalej, zgodnie z warunkiem.

Trafienie w cel oznacza połączenie zdarzeń A i B (strzał wystrzeli i trafi), zatem zgodnie z twierdzeniem o mnożeniu

Ważny szczególny przypadek twierdzenia o mnożeniu można uzyskać, korzystając z koncepcji niezależności zdarzeń.

Dwa zdarzenia nazywamy niezależnymi, jeżeli prawdopodobieństwo jednego z nich nie zmienia się w wyniku zaistnienia drugiego.

Przykładami niezależnych zdarzeń jest wystąpienie różnej liczby punktów przy ponownym rzucie kostką lub tej czy innej strony monety przy ponownym rzucie monetą, gdyż jest oczywiste, że prawdopodobieństwo zdobycia herbu w drugim rzucie jest równe niezależnie od tego, czy herb pojawił się na pierwszym, czy nie.

Podobnie prawdopodobieństwo wylosowania po raz drugi kuli białej z urny zawierającej kule białe i czarne, jeśli pierwsza wylosowana kula została wcześniej zwrócona, nie zależy od tego, czy kula została wylosowana po raz pierwszy, biała czy czarna. Zatem wyniki pierwszego i drugiego usuwania są od siebie niezależne. I odwrotnie, jeżeli wyjęta jako pierwsza kula nie wróci do urny, to wynik drugiego wydobycia zależy od pierwszego, ponieważ skład kul w urnie po pierwszym wyrzuceniu zmienia się w zależności od jego wyniku. Tutaj mamy przykład zdarzeń zależnych.

Korzystając z zapisu przyjętego dla prawdopodobieństw warunkowych, warunek niezależności zdarzeń A i B możemy zapisać w postaci

Korzystając z tych równości, możemy sprowadzić twierdzenie o mnożeniu dla zdarzeń niezależnych do następującej postaci.

Jeżeli zdarzenia A i B są niezależne, to prawdopodobieństwo ich kombinacji jest równe iloczynowi prawdopodobieństw tych zdarzeń:

Rzeczywiście wystarczy wstawić początkowe wyrażenie twierdzenia o mnożeniu, które wynika z niezależności zdarzeń i otrzymamy wymaganą równość.

Rozważmy teraz kilka zdarzeń: Nazwiemy je łącznie niezależnymi, jeśli prawdopodobieństwo wystąpienia któregokolwiek z nich nie zależy od tego, czy wystąpiły inne rozważane zdarzenia

W przypadku zdarzeń, które są łącznie niezależne, twierdzenie o mnożeniu można rozszerzyć na dowolną skończoną ich liczbę, a zatem można je sformułować w następujący sposób:

Prawdopodobieństwo połączenia niezależnych zdarzeń w sumie jest równe iloczynowi prawdopodobieństw tych zdarzeń:

Przykład 6. Pracownik serwisuje trzy automaty, do których należy podejść, aby usunąć awarię, jeśli maszyna się zatrzyma. Prawdopodobieństwo, że pierwsza maszyna nie zatrzyma się w ciągu godziny, wynosi 0,9. To samo prawdopodobieństwo dla drugiej maszyny wynosi 0,8, a dla trzeciej - 0,7. Określ prawdopodobieństwo, że w ciągu godziny pracownik nie będzie musiał zbliżać się do żadnej obsługiwanej przez siebie maszyny.

Przykład 7. Prawdopodobieństwo zestrzelenia samolotu strzałem z karabinu Jakie jest prawdopodobieństwo zniszczenia samolotu wroga, jeśli jednocześnie zostanie oddanych strzałów z 250 karabinów?

Rozwiązanie. Prawdopodobieństwo, że samolot nie zostanie zestrzelony jednym strzałem, jest równe twierdzeniu o dodawaniu.Następnie możemy obliczyć, korzystając z twierdzenia o mnożeniu, prawdopodobieństwo, że samolot nie zostanie zestrzelony 250 strzałami, jako prawdopodobieństwo zsumowania wydarzenia. Jest równe. Następnie możemy ponownie skorzystać z twierdzenia o dodawaniu i znaleźć prawdopodobieństwo, że samolot zostanie zestrzelony, jako prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego

Z tego widać, że chociaż prawdopodobieństwo zestrzelenia samolotu jednym strzałem z karabinu jest znikome, to jednak przy strzelaniu z 250 karabinów prawdopodobieństwo zestrzelenia samolotu jest już bardzo zauważalne. Zwiększa się znacznie, jeśli zwiększa się liczbę karabinów. Zatem przy strzelaniu z 500 karabinów prawdopodobieństwo zestrzelenia samolotu, jak łatwo obliczyć, jest równe przy strzelaniu z 1000 karabinów - nawet.

Twierdzenie o mnożeniu udowodnione powyżej pozwala nam nieco rozszerzyć twierdzenie o dodawaniu, rozszerzając je na przypadek zdarzeń zgodnych. Oczywiste jest, że jeśli zdarzenia A i B są zgodne, to prawdopodobieństwo wystąpienia przynajmniej jednego z nich nie jest równe sumie ich prawdopodobieństw. Na przykład, jeśli zdarzenie A oznacza liczbę parzystą

liczba punktów przy rzucie kostką, a zdarzeniem B jest utrata liczby punktów będącej wielokrotnością trzech, wówczas zdarzeniu (A lub B) sprzyja utrata 2, 3, 4 i 6 punktów, to jest

Z drugiej strony tzn. Więc w tym przypadku

Z tego jasno wynika, że ​​w przypadku zdarzeń zgodnych należy zmienić twierdzenie o dodawaniu prawdopodobieństw. Jak się teraz przekonamy, można je tak sformułować, aby było ważne zarówno dla zdarzeń zgodnych, jak i niezgodnych, tak że rozważane wcześniej twierdzenie o dodawaniu okaże się przypadkiem szczególnym nowego.

Wydarzenia niekorzystne dla A.

Wszystkie zdarzenia elementarne faworyzujące zdarzenie (A lub B) muszą faworyzować tylko A, albo tylko B, albo A i B. Zatem całkowita liczba takich zdarzeń jest równa

i prawdopodobieństwo

co było do okazania

Stosując wzór (9) do powyższego przykładu liczby punktów pojawiających się przy rzucie kostką, otrzymujemy:

co pokrywa się z wynikiem bezpośrednich obliczeń.

Oczywiście wzór (1) jest szczególnym przypadkiem (9). Rzeczywiście, jeśli zdarzenia A i B są niezgodne, to prawdopodobieństwo kombinacji

Na przykład. W obwód elektryczny Dwa bezpieczniki są połączone szeregowo. Prawdopodobieństwo awarii pierwszego bezpiecznika wynosi 0,6, a drugiego 0,2. Określmy prawdopodobieństwo zaniku zasilania w wyniku awarii przynajmniej jednego z tych bezpieczników.

Rozwiązanie. Ponieważ zdarzenia A i B, polegające na uszkodzeniu pierwszego i drugiego z bezpieczników, są zgodne, wymagane prawdopodobieństwo zostanie określone wzorem (9):

Ćwiczenia

Wykład 7. Teoria prawdopodobieństwa

KONSEKWENCJE TWIERDZENIA DODANIA I MNOŻENIA

Twierdzenie o dodawaniu prawdopodobieństw wspólnych zdarzeń

Twierdzenie o dodawaniu dla niekompatybilny wydarzenia. Tutaj przedstawimy twierdzenie o dodawaniu dla wspólny wydarzenia.

Nazywa się dwa zdarzenia wspólny, jeżeli pojawienie się jednego z nich nie wyklucza pojawienia się drugiego w tej samej rozprawie.

Przykład 1 . A – pojawienie się czterech punktów przy rzucie kostką; B – pojawienie się parzystej liczby punktów. Zdarzenia A i B są wspólne.

Niech zdarzenia A i B będą wspólne i podane zostaną prawdopodobieństwa tych zdarzeń oraz prawdopodobieństwo ich wspólnego wystąpienia. Jak znaleźć prawdopodobieństwo zdarzenia A + B, że zajdzie co najmniej jedno ze zdarzeń A i B? Odpowiedź na to pytanie daje twierdzenie o dodawaniu prawdopodobieństw wspólnych zdarzeń.

Twierdzenie. Prawdopodobieństwo wystąpienia co najmniej jednego z dwóch łącznych zdarzeń jest równe sumie prawdopodobieństw tych zdarzeń bez prawdopodobieństwa ich łącznego wystąpienia: P(A + B) = P(A) + P(B) – P (AB).

Dowód . Ponieważ zdarzenia A i B są zgodne pod warunkiem, zdarzenie A + B nastąpi, jeśli wystąpi jedno z następujących trzech niezgodnych zdarzeń: . Zgodnie z twierdzeniem o dodawaniu prawdopodobieństw zdarzeń niezgodnych mamy:

P(A + B) = P(A) + P(B) + P(AB).(*)

Zdarzenie A nastąpi, jeśli wystąpi jedno z dwóch niezgodnych zdarzeń: A
lub AB. Z twierdzenia o dodawaniu prawdopodobieństw zdarzeń niezgodnych mamy

P(A) = P(A) + P(AB).

P(A)=P(A) – P(AB).(**)

Podobnie mamy

P(B) = P(ĀB) + P(AB).

P(ĀB) = P(B) – P(AB).(***)

Podstawiając (**) i (***) do (*), w końcu otrzymujemy

P(A + B) = P(A) + P(B) – P(AB).(****)

co było do okazania

Notatka 1. Korzystając z otrzymanego wzoru, należy pamiętać, że zdarzenia A i B mogą być jednym i drugim niezależny, Więc zależny.

Na niezależne wydarzenia

P(A + B) = P(A) + P(B) – P(A)*P(B);

Dla zdarzeń zależnych

P(A + B) = P(A) + P(B) – P(A)*P A (B).

Uwaga 2. Jeśli zdarzenia A i B niekompatybilny, to ich kombinacja jest zdarzeniem niemożliwym i dlatego P(AB) = 0.

Wzór (****) na zdarzenia niezgodne ma postać

P(A + B) = P(A) + P(B).

Ponownie otrzymaliśmy twierdzenie o dodawaniu dla zdarzeń niezgodnych. Zatem wzór (****) obowiązuje zarówno w przypadku zdarzeń łącznych, jak i niezgodnych.

Przykład 2. Prawdopodobieństwo trafienia w cel podczas strzelania z pierwszego i drugiego działa jest odpowiednio równe: p 1 = 0,7; p2 = 0,8. Znajdź prawdopodobieństwo trafienia jedną salwą
(z obu dział) z co najmniej jednym z dział.

Rozwiązanie . Prawdopodobieństwo trafienia celu przez każde działo nie zależy od wyniku wystrzału z drugiego działa, zatem zdarzenia A (trafienie z pierwszego działa) i B (trafienie z drugiego działa) są niezależne.

Prawdopodobieństwo zdarzenia AB (oba pistolety trafiły)

P(AB) = P(A) * P(B) = 0,7 * 0,8 = 0,56.

Pożądane prawdopodobieństwo P(A + B) = P(A) + P(B) – P(AB) = 0,7 + 0,8 – 0,56 = 0,94.

Uwaga 3. Ponieważ w tym przykładzie zdarzenia A i B są niezależne, możemy zastosować wzór P = 1 – q 1 q 2

W rzeczywistości prawdopodobieństwa zdarzeń przeciwne wydarzenia A i B, tj. prawdopodobieństwo chybienia wynosi:

q 1 = 1 – p 1 = 1 – 0,7 = 0,3;

q 2 = 1 – p 2 = 1 – 0,8 = 0,2;

Wymagane prawdopodobieństwo, że w jednej salwie trafi co najmniej jedno działo, jest równe

P = 1 – q 1 q 2 = 1 – 0,3 * 0,2 = 1 – 0,06 = 0,94.

Jak można było się spodziewać, uzyskano ten sam wynik.

Niech wydarzenia A I W- niespójne, a prawdopodobieństwa tych zdarzeń są znane. Pytanie: jak znaleźć prawdopodobieństwo wystąpienia jednego z tych niezgodnych zdarzeń? Odpowiedź na to pytanie daje twierdzenie o dodawaniu.

Twierdzenie.Prawdopodobieństwo zajścia jednego z dwóch niezgodnych zdarzeń jest równe sumie prawdopodobieństw tych zdarzeń:

P(A + W) = P(A) + P(W) (1.6)

Dowód. Rzeczywiście, niech N– całkowita liczba wszystkich równie możliwych i niezgodnych (tj. elementarnych) wyników. Niech wydarzenie A sprzyja M 1 wyniki i wydarzenie W – M 2 wyniki. Wtedy, zgodnie z klasyczną definicją, prawdopodobieństwa tych zdarzeń są równe: P(A) = M 1 / N, P(B) = M 2 / N .

Od wydarzeń A I W niezgodne, wówczas żaden z wyników nie będzie korzystny dla zdarzenia A, nie sprzyjające wydarzeniu W(patrz diagram poniżej).

Dlatego wydarzenie A+W będzie korzystne M 1 + M 2 wyniki. Dlatego dla prawdopodobieństwa P(A + B) otrzymujemy:

Wniosek 1. Suma prawdopodobieństw zdarzeń tworzących pełną grupę jest równa jeden:

P(A) + P(W) + P(Z) + … + P(D) = 1.

Rzeczywiście, niech wydarzenia A,W,Z, … , D stworzyć kompletną grupę. Z tego powodu są one niezgodne i jedyne możliwe. Dlatego wydarzenie A + B + C + …+D, polegający na wystąpieniu (w wyniku badania) co najmniej jednego z tych zdarzeń, jest wiarygodny, tj. A+B+C+…+D = I P(A+B+C+ …+D) = 1.

Ze względu na niezgodność wydarzeń A,W,Z, … , D formuła jest poprawna:

P(A+B+C+ …+D) = P(A) + P(W) + P(Z) + … + P(D) = 1.

Przykład. W urnie znajduje się 30 kul, z czego 10 jest czerwonych, 5 niebieskich i 15 białych. Znajdź prawdopodobieństwo wylosowania kuli czerwonej lub niebieskiej, pod warunkiem, że z urny zostanie wylosowana tylko jedna kula.

Rozwiązanie. Niech wydarzenie A 1 – losowanie czerwonej bili i wydarzenie A 2 – wydobycie niebieskiej kuli. Zdarzenia te są niezgodne i P(A 1) = 10 / 30 = 1 / 3; P(A 2) = 5/30 = 1/6. Z twierdzenia o dodawaniu otrzymujemy:

P(A 1 + A 2) = P(A 1) + P(A 2) = 1 / 3 + 1 / 6 = 1 / 2.

Notatka 1. Podkreślamy, że zgodnie ze znaczeniem problemu należy przede wszystkim ustalić charakter rozpatrywanych zdarzeń - czy są one niezgodne. Jeśli powyższe twierdzenie zastosuje się do zdarzeń wspólnych, wynik będzie błędny.