Rozważmy temat przekształcania wyrażeń za pomocą potęg, ale najpierw zatrzymajmy się na szeregu przekształceń, które można przeprowadzić za pomocą dowolnych wyrażeń, w tym potęg. Dowiemy się, jak otwierać nawiasy, dodawać podobne wyrazy, pracować z podstawami i wykładnikami oraz wykorzystywać właściwości potęg.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Co to są wyrażenia mocy?
Na kursach szkolnych niewiele osób używa wyrażenia „potężne wyrażenia”, ale termin ten stale znajduje się w zbiorach przygotowujących do egzaminu Unified State Exam. W większości przypadków fraza oznacza wyrażenia, które w swoich wpisach zawierają stopnie naukowe. To właśnie odzwierciedlimy w naszej definicji.
Definicja 1
Wyrażenie mocy to wyrażenie zawierające stopnie.
Podajmy kilka przykładów wyrażeń potęgowych, zaczynając od potęgi z naturalny wskaźnik i kończąc na stopniu z prawdziwym wykładnikiem.
Najprostsze wyrażenia potęgowe można uznać za potęgi liczby z wykładnikiem naturalnym: 3 2, 7 5 + 1, (2 + 1) 5, (− 0, 1) 4, 2 2 3 3, 3 a 2 − a + za 2, x 3 - 1 , (za 2) 3 . A także potęgi o wykładniku zerowym: 5 0, (a + 1) 0, 3 + 5 2 − 3, 2 0. Oraz potęgi o ujemnych potęgach całkowitych: (0, 5) 2 + (0, 5) - 2 2.
Nieco trudniej jest pracować ze stopniem, który ma wykładniki racjonalne i irracjonalne: 264 1 4 - 3 3 3 1 2, 2 3, 5 2 - 2 2 - 1, 5, 1 a 1 4 a 1 2 - 2 a - 1 6 · b 1 2 , x π · x 1 - π , 2 3 3 + 5 .
Wskaźnikiem może być zmienna 3 x - 54 - 7 3 x - 58 lub logarytm x 2 · l sol x - 5 · x l sol x.
Zajmowaliśmy się już kwestią tego, czym są wyrażenia mocy. Teraz zacznijmy je konwertować.
Główne typy transformacji wyrażeń potęgowych
Na początek przyjrzymy się podstawowym przekształceniom tożsamościowym wyrażeń, które można wykonać za pomocą wyrażeń potęgowych.
Przykład 1
Oblicz wartość wyrażenia potęgowego 2 3 (4 2 - 12).
Rozwiązanie
Wszelkie przekształcenia przeprowadzimy zgodnie z kolejnością działań. W w tym przypadku Zaczniemy od wykonania czynności w nawiasach: zastąpimy stopień wartością cyfrową i obliczymy różnicę dwóch liczb. Mamy 2 3 (4 2 - 12) = 2 3 (16 - 12) = 2 3 4.
Jedyne, co musimy zrobić, to wymienić dyplom 2 3 znaczenie tego 8 i oblicz produkt 8 4 = 32. Oto nasza odpowiedź.
Odpowiedź: 2 3 · (4 2 - 12) = 32 .
Przykład 2
Uprość wyrażenie za pomocą potęg 3 za 4 b - 7 - 1 + 2 za 4 b - 7.
Rozwiązanie
Wyrażenie podane nam w opisie problemu zawiera podobne terminy, które możemy podać: 3 za 4 b - 7 - 1 + 2 za 4 b - 7 = 5 za 4 b - 7 - 1.
Odpowiedź: 3 · za 4 · b - 7 - 1 + 2 · za 4 · b - 7 = 5 · za 4 · b - 7 - 1 .
Przykład 3
Wyraź wyrażenie za pomocą potęg 9 - b 3 · π - 1 2 jako iloczyn.
Rozwiązanie
Wyobraźmy sobie liczbę 9 jako potęgę 3 2 i zastosuj skróconą formułę mnożenia:
9 - b 3 π - 1 2 = 3 2 - b 3 π - 1 2 = = 3 - b 3 π - 1 3 + b 3 π - 1
Odpowiedź: 9 - b 3 · π - 1 2 = 3 - b 3 · π - 1 3 + b 3 · π - 1 .
Przejdźmy teraz do analizy przekształceń tożsamości, które można zastosować konkretnie do wyrażeń potęgowych.
Praca z bazą i wykładnikiem
Stopień w podstawie lub wykładniku może mieć liczby, zmienne i niektóre wyrażenia. Na przykład, (2 + 0, 3 7) 5 - 3, 7 I . Praca z takimi zapisami jest trudna. O wiele łatwiej jest zastąpić wyrażenie w podstawie stopnia lub wyrażenie w wykładniku identycznym wyrażeniem.
Transformacje stopnia i wykładnika przeprowadzamy według znanych nam zasad oddzielnie. Najważniejsze jest to, że transformacja daje wyrażenie identyczne z pierwotnym.
Celem przekształceń jest uproszczenie pierwotnego wyrażenia lub uzyskanie rozwiązania problemu. Na przykład w przykładzie, który podaliśmy powyżej (2 + 0, 3 7) 5 − 3, 7, możesz wykonać kolejne kroki, aby przejść do stopnia 4 , 1 1 , 3 . Otwierając nawiasy, możemy przedstawić wyrazy podobne do podstawy potęgi (a · (a + 1) - za 2) 2 · (x + 1) i uzyskaj moc wyrażającą więcej prosty typ za 2 (x + 1).
Korzystanie z właściwości stopnia
Własności potęg zapisane w postaci równości są jednym z głównych narzędzi przekształcania wyrażeń z potęgami. Przedstawiamy tutaj najważniejsze z nich, biorąc pod uwagę to A I B są dowolnymi liczbami dodatnimi, oraz R I S- dowolne liczby rzeczywiste:
Definicja 2
- za r · za s = za r + s;
- za r: za s = za r - s ;
- (a · b) r = za r · b r ;
- (a: b) r = za r: b r ;
- (za r) s = za r · s .
W przypadkach, gdy mamy do czynienia z wykładnikami naturalnymi, całkowitymi, dodatnimi, ograniczenia dotyczące liczb a i b mogą być znacznie mniej rygorystyczne. Na przykład, jeśli weźmiemy pod uwagę równość za m · za n = za m + n, Gdzie M I N są liczbami naturalnymi, to będzie to prawdą dla dowolnych wartości a, zarówno dodatnich, jak i ujemnych, a także dla a = 0.
Właściwości potęg można stosować bez ograniczeń w przypadkach, gdy podstawy potęg są dodatnie lub zawierają zmienne, pole dopuszczalne wartości który jest taki, że podstawa na nim akceptuje tylko wartości dodatnie. Właściwie w środku program nauczania w matematyce zadaniem ucznia jest wybrać odpowiednią właściwość i poprawnie ją zastosować.
Przygotowując się do wstąpienia na uniwersytet, możesz napotkać problemy, w których niedokładne zastosowanie właściwości doprowadzi do zawężenia DL i innych trudności w rozwiązaniu. W tej części przeanalizujemy tylko dwa takie przypadki. Więcej informacji na ten temat można znaleźć w temacie „Przekształcanie wyrażeń z wykorzystaniem własności potęg”.
Przykład 4
Wyobraź sobie to wyrażenie za 2 , 5 (za 2) - 3: za - 5 , 5 w postaci potęgi z podstawą A.
Rozwiązanie
Najpierw korzystamy z własności potęgowania i przekształcamy za jej pomocą drugi czynnik (a 2) - 3. Następnie korzystamy z własności mnożenia i dzielenia potęg o tej samej podstawie:
za 2 , 5 · za - 6: za - 5 , 5 = za 2 , 5 - 6: za - 5 , 5 = za - 3 , 5: za - 5 , 5 = za - 3 , 5 - (- 5 , 5) = za 2 .
Odpowiedź: za 2, 5 · (za 2) - 3: za - 5, 5 = za 2.
Transformację wyrażeń potęgowych zgodnie z właściwościami potęg można przeprowadzić zarówno od lewej do prawej, jak i w kierunku przeciwnym.
Przykład 5
Znajdź wartość wyrażenia potęgowego 3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 .
Rozwiązanie
Jeśli zastosujemy równość (a · b) r = za r · b r, od prawej do lewej, otrzymujemy iloczyn postaci 3 · 7 1 3 · 21 2 3 i następnie 21 1 3 · 21 2 3 . Dodajmy wykładniki przy mnożeniu potęg o tej samej podstawie: 21 1 3 · 21 2 3 = 21 1 3 + 2 3 = 21 1 = 21.
Istnieje inny sposób przeprowadzenia transformacji:
3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 = 3 1 3 · 7 1 3 · (3 · 7) 2 3 = 3 1 3 · 7 1 3 · 3 2 3 · 7 2 3 = = 3 1 3 · 3 2 3 7 1 3 7 2 3 = 3 1 3 + 2 3 7 1 3 + 2 3 = 3 1 7 1 = 21
Odpowiedź: 3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 7 1 = 21
Przykład 6
Biorąc pod uwagę wyrażenie mocy za 1, 5 - za 0, 5 - 6, wprowadź nową zmienną t = a 0,5.
Rozwiązanie
Wyobraźmy sobie stopień 1, 5 Jak 0,5 3. Korzystanie z własności stopni na stopnie (a r) s = za r · s od prawej do lewej i otrzymujemy (a 0, 5) 3: a 1, 5 - a 0, 5 - 6 = (a 0, 5) 3 - a 0, 5 - 6. Do wynikowego wyrażenia można łatwo wprowadzić nową zmienną t = a 0,5: dostajemy t 3 - t - 6.
Odpowiedź: t 3 - t - 6 .
Zamiana ułamków zawierających potęgi
Zwykle mamy do czynienia z dwiema wersjami wyrażeń potęgowych z ułamkami: wyrażenie przedstawia ułamek z potęgą lub zawiera taki ułamek. Wszystkie podstawowe przekształcenia ułamków można zastosować do takich wyrażeń bez ograniczeń. Można je zmniejszyć, sprowadzić do nowego mianownika lub osobno pracować z licznikiem i mianownikiem. Zilustrujmy to przykładami.
Przykład 7
Uprość wyrażenie potęgowe 3 · 5 2 3 · 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 · x 2 - 3 - 3 · x 2 .
Rozwiązanie
Mamy do czynienia z ułamkiem zwykłym, więc przekształcenia dokonamy zarówno w liczniku, jak i w mianowniku:
3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = 3 5 2 3 5 1 3 - 3 5 2 3 5 - 2 3 - 2 - x 2 = = 3 5 2 3 + 1 3 - 3 5 2 3 + - 2 3 - 2 - x 2 = 3 5 1 - 3 5 0 - 2 - x 2
Aby zmienić znak mianownika, umieść znak minus przed ułamkiem zwykłym: 12 - 2 - x 2 = - 12 2 + x 2
Odpowiedź: 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = - 12 2 + x 2
Ułamki zawierające potęgi są redukowane do nowego mianownika w taki sam sposób, jak ułamki wymierne. Aby to zrobić, musisz znaleźć dodatkowy czynnik i pomnożyć przez niego licznik i mianownik ułamka. Należy tak dobrać dodatkowy współczynnik, aby dla żadnej wartości zmiennych ze zmiennych ODZ dla pierwotnego wyrażenia nie osiągnął zera.
Przykład 8
Skróć ułamki do nowego mianownika: a) a + 1 a 0, 7 do mianownika A, b) 1 x 2 3 - 2 · x 1 3 · y 1 6 + 4 · y 1 3 do mianownika x + 8 · y 1 2 .
Rozwiązanie
a) Wybierzmy czynnik, który pozwoli nam sprowadzić do nowego mianownika. za 0, 7 za 0, 3 = za 0, 7 + 0, 3 = za, dlatego jako dodatkowy czynnik weźmiemy 0, 3. Zakres dopuszczalnych wartości zmiennej a obejmuje zbiór wszystkich dodatnich liczb rzeczywistych. Stopień w tej dziedzinie 0, 3 nie dochodzi do zera.
Pomnóżmy licznik i mianownik ułamka przez 0, 3:
za + 1 za 0, 7 = za + 1 za 0, 3 za 0, 7 za 0, 3 = za + 1 za 0, 3 za
b) Zwróćmy uwagę na mianownik:
x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 2 - x 1 3 2 y 1 6 + 2 y 1 6 2
Pomnóżmy to wyrażenie przez x 1 3 + 2 · y 1 6, otrzymamy sumę kostek x 1 3 i 2 · y 1 6, tj. x + 8 · y 1 2 . To jest nasz nowy mianownik, do którego musimy sprowadzić ułamek pierwotny.
W ten sposób znaleźliśmy dodatkowy czynnik x 1 3 + 2 · y 1 6 . O zakresie dopuszczalnych wartości zmiennych X I y wyrażenie x 1 3 + 2 y 1 6 nie znika, dlatego możemy pomnożyć przez niego licznik i mianownik ułamka:
1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 + 2 y 1 6 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 r. 1 6 x 1 3 3 + 2 r. 1 6 3 = x 1 3 + 2 r. 1 6 x + 8 r. 1 2
Odpowiedź: a) za + 1 za 0, 7 = za + 1 za 0, 3 a, b) 1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 · y 1 2 .
Przykład 9
Skróć ułamek: a) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3, b) a 1 4 - b 1 4 za 1 2 - b 1 2.
Rozwiązanie
a) Używamy największego wspólnego mianownika (NWD), przez który możemy skrócić licznik i mianownik. Dla liczb 30 i 45 jest to 15. Możemy również dokonać redukcji o x0,5+1 i na x + 2 · x 1 1 3 - 5 3 .
Otrzymujemy:
30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 x 3 3 (x 0, 5 + 1)
b) Tutaj obecność identycznych czynników nie jest oczywista. Będziesz musiał wykonać pewne przekształcenia, aby uzyskać te same czynniki w liczniku i mianowniku. W tym celu rozszerzamy mianownik korzystając ze wzoru na różnicę kwadratów:
za 1 4 - b 1 4 za 1 2 - b 1 2 = za 1 4 - b 1 4 za 1 4 2 - b 1 2 2 = = za 1 4 - b 1 4 za 1 4 + b 1 4 za 1 4 - b 1 4 = 1 za 1 4 + b 1 4
Odpowiedź: a) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 · x 3 3 · (x 0 , 5 + 1) , b) za 1 4 - b 1 4 za 1 2 - b 1 2 = 1 za 1 4 + b 1 4 .
Podstawowe operacje na ułamkach obejmują zamianę ułamków na nowy mianownik i redukcję ułamków. Obie czynności wykonywane są zgodnie z szeregiem zasad. Podczas dodawania i odejmowania ułamków najpierw sprowadza się je do wspólnego mianownika, po czym przeprowadza się operacje (dodawanie lub odejmowanie) za pomocą liczników. Mianownik pozostaje ten sam. Rezultatem naszych działań jest nowy ułamek, którego licznik jest iloczynem liczników, a mianownik jest iloczynem mianowników.
Przykład 10
Wykonaj kroki x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 .
Rozwiązanie
Zacznijmy od odjęcia ułamków w nawiasach. Sprowadźmy je do wspólnego mianownika:
x 1 2 - 1 x 1 2 + 1
Odejmijmy liczniki:
x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 2 - x 1 2 - 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 2 + 2 x 1 2 + 1 - x 1 2 2 - 2 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2
Teraz mnożymy ułamki:
4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2
Zmniejszmy o potęgę x 1 2, otrzymujemy 4 x 1 2 - 1 · x 1 2 + 1 .
Dodatkowo możesz uprościć wyrażenie na potęgę w mianowniku, korzystając ze wzoru na różnicę kwadratów: kwadraty: 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 = 4 x 1 2 2 - 1 2 = 4 x - 1 .
Odpowiedź: x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = 4 x - 1
Przykład 11
Uprość wyrażenie potęgowe x 3 4 x 2, 7 + 1 2 x - 5 8 x 2, 7 + 1 3.
Rozwiązanie
Możemy skrócić ułamek przez (x 2 , 7 + 1) 2. Otrzymujemy ułamek x 3 4 x - 5 8 x 2, 7 + 1.
Kontynuujmy przekształcanie potęg x x 3 4 x - 5 8 · 1 x 2, 7 + 1. Teraz możesz skorzystać z własności dzielenia potęg o tej samej podstawie: x 3 4 x - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 3 4 - - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 1 1 8 1 x 2 , 7 + 1 .
Przechodzimy od ostatniego iloczynu do ułamka x 1 3 8 x 2, 7 + 1.
Odpowiedź: x 3 4 x 2, 7 + 1 2 x - 5 8 x 2, 7 + 1 3 = x 1 3 8 x 2, 7 + 1.
W większości przypadków wygodniej jest przenieść czynniki z wykładnikami ujemnymi z licznika do mianownika i odwrotnie, zmieniając znak wykładnika. Działanie to pozwala uprościć dalszą decyzję. Podajmy przykład: wyrażenie potęgowe (x + 1) - 0, 2 3 · x - 1 można zastąpić x 3 · (x + 1) 0, 2.
Konwersja wyrażeń z pierwiastkami i potęgami
W zadaniach występują wyrażenia potęgowe, które zawierają nie tylko potęgi z wykładnikami ułamkowymi, ale także pierwiastki. Wskazane jest redukowanie takich wyrażeń tylko do pierwiastków lub tylko do potęg. Preferowane jest zdobywanie stopni naukowych, ponieważ łatwiej się z nimi pracuje. To przejście jest szczególnie korzystne, gdy ODZ zmiennych oryginalnego wyrażenia pozwala na zastąpienie pierwiastków potęgami bez konieczności uzyskiwania dostępu do modułu lub dzielenia ODZ na kilka przedziałów.
Przykład 12
Wyraź wyrażenie x 1 9 · x · x 3 6 jako potęgę.
Rozwiązanie
Zakres dopuszczalnych wartości zmiennych X jest definiowana przez dwie nierówności x ≥ 0 i x x 3 ≥ 0, które definiują zbiór [ 0 , + ∞) .
Na tym zbiorze mamy prawo przejść od pierwiastków do potęg:
x 1 9 · x · x 3 6 = x 1 9 · x · x 1 3 1 6
Korzystając z właściwości potęg, upraszczamy powstałe wyrażenie potęgowe.
x 1 9 · x · x 1 3 1 6 = x 1 9 · x 1 6 · x 1 3 1 6 = x 1 9 · x 1 6 · x 1 · 1 3 · 6 = = x 1 9 · x 1 6 x 1 18 = x 1 9 + 1 6 + 1 18 = x 1 3
Odpowiedź: x 1 9 · x · x 3 6 = x 1 3 .
Zamiana potęg ze zmiennymi w wykładniku
Przekształcenia te są dość łatwe do wykonania, jeśli prawidłowo użyjesz właściwości stopnia. Na przykład, 5 2 x + 1 - 3 5 x 7 x - 14 7 2 x - 1 = 0.
Możemy zastąpić przez iloczyn potęg, których wykładniki są sumą jakiejś zmiennej i liczby. Po lewej stronie można to zrobić za pomocą pierwszego i ostatniego wyrazu lewej strony wyrażenia:
5 2 x 5 1 - 3 5 x 7 x - 14 7 2 x 7 - 1 = 0, 5 5 2 x - 3 5 x 7 x - 2 7 2 x = 0 .
Podzielmy teraz obie strony równości przez 7 2x. To wyrażenie dla zmiennej x przyjmuje tylko wartości dodatnie:
5 5 - 3 5 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 7 2 x , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 2 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0
Skracamy ułamki przez potęgi, otrzymamy: 5 · 5 2 · x 7 2 · x - 3 · 5 x 7 x - 2 = 0.
Na koniec stosunek potęg o tych samych wykładnikach zastępuje się potęgami stosunków, otrzymując równanie 5 5 7 2 x - 3 5 7 x - 2 = 0, które jest równoważne 5 5 7 x 2 - 3 5 7 x - 2 = 0 .
Wprowadźmy nową zmienną t = 5 7 x, która sprowadza rozwiązanie pierwotnego równania wykładniczego do rozwiązania równanie kwadratowe 5 · t 2 - 3 · t - 2 = 0 .
Zamiana wyrażeń na potęgi i logarytmy
W zadaniach występują także wyrażenia zawierające potęgi i logarytmy. Przykładem takich wyrażeń jest: 1 4 1 - 5 · log 2 3 lub log 3 27 9 + 5 (1 - log 3 5) · log 5 3. Transformację takich wyrażeń przeprowadza się z wykorzystaniem omówionych powyżej podejść i właściwości logarytmów, które szczegółowo omówiliśmy w temacie „Transformacja wyrażeń logarytmicznych”.
Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter
Każdy język może wyrazić tę samą informację innymi słowami i rewolucje. Język matematyczny nie jest wyjątkiem. Ale to samo wyrażenie można równoważnie zapisać na różne sposoby. A w niektórych sytuacjach jeden z wpisów jest prostszy. W tej lekcji omówimy upraszczanie wyrażeń.
Ludzie komunikują się dalej inne języki. Dla nas ważnym porównaniem jest para „język rosyjski - język matematyczny”. Te same informacje mogą być przekazywane w różnych językach. Ale poza tym można go wymawiać na różne sposoby w jednym języku.
Na przykład: „Petya przyjaźni się z Vasyą”, „Vasya przyjaźni się z Petyą”, „Petya i Vasya są przyjaciółmi”. Mówiono inaczej, ale to samo. Na podstawie każdego z tych wyrażeń zrozumielibyśmy, o czym mówimy.
Spójrzmy na to zdanie: „Chłopiec Petya i chłopiec Vasya są przyjaciółmi”. Rozumiemy, o czym mówimy. Nie podoba nam się jednak brzmienie tego wyrażenia. Czy nie możemy tego uprościć, powiedzieć to samo, ale prościej? „Chłopiec i chłopiec” - możesz raz powiedzieć: „Chłopcy Petya i Vasya są przyjaciółmi”.
„Chłopcy”... Czy z ich imion nie wynika jasno, że nie są to dziewczynki? Usuwamy „chłopców”: „Petya i Vasya są przyjaciółmi”. A słowo „przyjaciele” można zastąpić słowem „przyjaciele”: „Petya i Vasya są przyjaciółmi”. W rezultacie pierwsze, długie i brzydkie zdanie zostało zastąpione równoważnym stwierdzeniem, które jest łatwiejsze do powiedzenia i łatwiejsze do zrozumienia. Uprościliśmy to sformułowanie. Uprościć oznacza powiedzieć to prościej, ale nie stracić ani nie zniekształcić znaczenia.
W języku matematycznym dzieje się mniej więcej to samo. To samo można powiedzieć, a napisać inaczej. Co to znaczy upraszczać wyrażenie? Oznacza to, że dla wyrażenia pierwotnego istnieje wiele wyrażeń równoważnych, czyli takich, które znaczą to samo. I z całej tej różnorodności musimy wybrać najprostszą, naszym zdaniem, lub najbardziej odpowiednią do naszych dalszych celów.
Rozważmy na przykład wyrażenie numeryczne. Będzie to równoznaczne z .
Będzie to również równoważne dwóm pierwszym: 
.
Okazuje się, że uprościliśmy nasze wyrażenia i znaleźliśmy najkrótsze równoważne wyrażenie.
W przypadku wyrażeń numerycznych zawsze musisz zrobić wszystko i uzyskać równoważne wyrażenie w postaci pojedynczej liczby.
Spójrzmy na przykład wyrażenia dosłownego . Jasne, że będzie prościej.
Upraszczając wyrażenia dosłowne, należy wykonać wszystkie możliwe czynności.
Czy zawsze konieczne jest uproszczenie wyrażenia? Nie, czasami wygodniej będzie nam mieć wpis równoważny, ale dłuższy.
Przykład: musisz odjąć liczbę od liczby.
Obliczenia są możliwe, ale gdyby pierwszą liczbę przedstawić za pomocą jej odpowiednika: , to obliczenia byłyby natychmiastowe: .
Oznacza to, że uproszczone wyrażenie nie zawsze jest dla nas korzystne dla dalszych obliczeń.
Niemniej jednak bardzo często stajemy przed zadaniem, które brzmi po prostu jak „uproszczenie wyrażenia”.
Uprość wyrażenie: .
Rozwiązanie
1) Wykonaj czynności z pierwszego i drugiego nawiasu: .
2) Obliczmy produkty: .
Oczywiście ostatnie wyrażenie ma prostszą formę niż początkowe. Uprościliśmy to.
Aby uprościć wyrażenie, należy je zastąpić odpowiednikiem (równym).
Aby określić równoważne wyrażenie, potrzebujesz:
1) wykonać wszelkie możliwe czynności,
2) wykorzystywać właściwości dodawania, odejmowania, mnożenia i dzielenia w celu uproszczenia obliczeń.
Właściwości dodawania i odejmowania:
1. Właściwość przemienności dodawania: przestawianie wyrazów nie powoduje zmiany sumy.
2. Kombinatywna właściwość dodawania: aby dodać trzecią liczbę do sumy dwóch liczb, możesz dodać sumę drugiej i trzeciej liczby do pierwszej liczby.
3. Właściwość odejmowania sumy od liczby: aby odjąć sumę od liczby, można odjąć każdy wyraz osobno.
Własności mnożenia i dzielenia
1. Przemienność mnożenia: przestawianie czynników nie powoduje zmiany iloczynu.
2. Własność kombinacyjna: aby pomnożyć liczbę przez iloczyn dwóch liczb, można najpierw pomnożyć ją przez pierwszy współczynnik, a następnie uzyskany iloczyn przez drugi współczynnik.
3. Rozdzielność mnożenia: aby pomnożyć liczbę przez sumę, należy ją pomnożyć przez każdy wyraz z osobna.
Zobaczmy, jak faktycznie przeprowadzamy obliczenia mentalne.
Oblicz:
Rozwiązanie
1) Wyobraźmy sobie jak
2) Wyobraźmy sobie pierwszy czynnik jako sumę terminy bitowe i wykonaj mnożenie:
3) możesz sobie wyobrazić, jak i wykonać mnożenie:
4) Zamień pierwszy czynnik na równoważną sumę:
Prawo rozdzielności można również zastosować w Odwrotna strona: .
Wykonaj następujące kroki:
1) 
2) 
Rozwiązanie
1) Dla wygody możesz użyć prawa rozdzielności, ale użyj go w przeciwnym kierunku - usuń wspólny czynnik z nawiasów.
2) Wyjmijmy wspólny czynnik z nawiasów
Konieczne jest zakupienie linoleum do kuchni i przedpokoju. Aneks kuchenny - , przedpokój - . Istnieją trzy rodzaje linoleum: za i ruble za. Ile będzie kosztować każdy? trzy typy linoleum? (ryc. 1)
Ryż. 1. Ilustracja do opisu problemu
Rozwiązanie
Metoda 1. Możesz osobno dowiedzieć się, ile pieniędzy zajmie zakup linoleum do kuchni, a następnie umieścić je na korytarzu i zsumować powstałe produkty.
Wśród różnych wyrażeń rozważanych w algebrze ważne miejsce zajmują sumy jednomianów. Oto przykłady takich wyrażeń:
\(5a^4 - 2a^3 + 0,3a^2 - 4,6a + 8\)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2\)
Suma jednomianów nazywana jest wielomianem. Wyrazy wielomianu nazywane są wyrazami wielomianu. Jednomiany są również klasyfikowane jako wielomiany, uznając jednomian za wielomian składający się z jednego elementu.
Na przykład wielomian
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 \)
można uprościć.
Przedstawmy wszystkie terminy w postaci jednomianów postaci standardowej:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16\)
Przedstawmy podobne wyrazy w otrzymanym wielomianie:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Rezultatem jest wielomian, którego wszystkie terminy są jednomianami postaci standardowej, a wśród nich nie ma podobnych. Takie wielomiany nazywane są wielomiany postaci standardowej.
Za stopień wielomianu w standardowej formie przejmują najwyższe uprawnienia swoich członków. Zatem dwumian \(12a^2b - 7b\) ma trzeci stopień, a trójmian \(2b^2 -7b + 6\) ma drugi stopień.
Zazwyczaj wyrazy wielomianów w postaci standardowej zawierające jedną zmienną są ułożone w malejącej kolejności wykładników. Na przykład:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1\)
Sumę kilku wielomianów można przekształcić (uprościć) do wielomianu w postaci standardowej.
Czasami wyrazy wielomianu należy podzielić na grupy, umieszczając każdą grupę w nawiasach. Ponieważ nawiasy zamykające są odwrotną transformacją nawiasów otwierających, łatwo je sformułować zasady otwierania nawiasów:
Jeżeli przed nawiasem zostanie umieszczony znak „+”, wówczas określenia ujęte w nawiasy są pisane tymi samymi znakami.
Jeżeli przed nawiasem zostanie umieszczony znak „-”, wówczas określenia zawarte w nawiasie zapisuje się znakami przeciwnymi.
Transformacja (uproszczenie) iloczynu jednomianu i wielomianu
Używając właściwości dystrybucyjne mnożenia można przekształcić (uprościć) na wielomian, iloczyn jednomianu i wielomianu. Na przykład:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)
Iloczyn jednomianu i wielomianu jest identycznie równy sumie iloczynów tego jednomianu i każdego składnika wielomianu.
Wynik ten jest zwykle formułowany jako reguła.
Aby pomnożyć jednomian przez wielomian, należy pomnożyć ten jednomian przez każdy wyraz wielomianu.
Korzystaliśmy już z tej reguły kilka razy, aby pomnożyć przez sumę.
Iloczyn wielomianów. Transformacja (uproszczenie) iloczynu dwóch wielomianów
Ogólnie rzecz biorąc, iloczyn dwóch wielomianów jest identycznie równy sumie iloczynu każdego wyrazu jednego wielomianu i każdego wyrazu drugiego.
Zwykle stosowana jest następująca reguła.
Aby pomnożyć wielomian przez wielomian, należy pomnożyć każdy wyraz jednego wielomianu przez każdy wyraz drugiego i dodać otrzymane iloczyny.
Skrócone wzory na mnożenie. Suma kwadratów, różnice i różnica kwadratów
Z pewnymi wyrażeniami w przekształcenia algebraiczne muszą mieć do czynienia częściej niż inni. Być może najczęstszymi wyrażeniami są \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) i \(a^2 - b^2 \), czyli kwadrat sumy, kwadrat różnica i różnica kwadratów. Zauważyłeś, że nazwy tych wyrażeń wydają się niekompletne, np. \((a + b)^2 \) to oczywiście nie tylko kwadrat sumy, ale kwadrat sumy aib . Jednak kwadrat sumy aib nie występuje zbyt często, z reguły zamiast liter aib zawiera różne, czasem dość skomplikowane, wyrażenia.
Wyrażenia \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) można łatwo przekształcić (uprościć) na wielomiany postaci standardowej; w rzeczywistości napotkałeś już to zadanie przy mnożeniu wielomianów:
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)
Warto zapamiętać otrzymane tożsamości i zastosować je bez pośrednich obliczeń. Pomagają w tym krótkie sformułowania słowne.
\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - kwadrat sumy równa sumie kwadratów i podwoić iloczyn.
\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - kwadrat różnicy jest równy sumie kwadratów bez iloczynu podwójnego.
\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - różnica kwadratów jest równa iloczynowi różnicy i sumy.
Te trzy tożsamości pozwalają na zamianę jego części lewych na prawe w przekształceniach i odwrotnie - części prawych na lewe. Najtrudniej jest zobaczyć odpowiednie wyrażenia i zrozumieć, w jaki sposób zmienne a i b są w nich zastępowane. Spójrzmy na kilka przykładów użycia skróconych wzorów mnożenia.
Wyrażenia, konwersja wyrażeń
Wyrażenia potęgowe (wyrażenia z potęgami) i ich transformacja
W tym artykule porozmawiamy o konwersji wyrażeń na potęgi. Najpierw skupimy się na przekształceniach, które są wykonywane przy użyciu dowolnego rodzaju wyrażeń, w tym wyrażeń potęgowych, takich jak nawiasy otwierające i wprowadzające podobne terminy. Następnie przeanalizujemy przekształcenia właściwe wyrażeniom ze stopniami: praca z podstawą i wykładnikiem, wykorzystanie właściwości stopni itp.
Nawigacja strony.
Co to są wyrażenia mocy?
Termin „wyrażenia potęgowe” praktycznie nie pojawia się w szkolnych podręcznikach do matematyki, natomiast dość często pojawia się w zbiorach zadań, zwłaszcza tych przeznaczonych na przykład do przygotowania do egzaminu Unified State Exam i Unified State Exam. Po przeanalizowaniu zadań, w których konieczne jest wykonanie jakichkolwiek czynności z wyrażeniami potęgowymi, staje się jasne, że przez wyrażenia potęgowe rozumie się wyrażenia zawierające w swoich zapisach potęgi. Dlatego możesz przyjąć dla siebie następującą definicję:
Definicja.
Wyrażenia mocy są wyrażeniami zawierającymi potęgi.
Dajmy przykłady wyrażeń mocy. Ponadto przedstawimy je według tego, jak następuje rozwój poglądów na temat stopnia z wykładnikiem naturalnym do stopnia z wykładnikiem rzeczywistym.
Jak wiadomo, najpierw zapoznajemy się z potęgą liczby z wykładnikiem naturalnym, na tym etapie pierwsze najprostsze wyrażenia potęgowe typu 3 2, 7 5 +1, (2+1) 5, (−0,1) 4, 3 a 2 pojawia się −a+a 2 , x 3−1 , (a 2) 3 itd.
Nieco później badana jest potęga liczby o wykładniku całkowitym, co prowadzi do pojawienia się wyrażeń potęgowych o ujemnych potęgach całkowitych, takich jak: 3 −2, 
, za -2 +2 b -3 + do 2 .
W szkole średniej wracają do stopni. Wprowadza się stopień z wykładnikiem wymiernym, co pociąga za sobą pojawienie się odpowiednich wyrażeń potęgowych: 
, , 
i tak dalej. Na koniec rozważane są stopnie z niewymiernymi wykładnikami i wyrażeniami je zawierającymi: , .
Sprawa nie ogranicza się do wymienionych wyrażeń potęgowych: dalej zmienna wnika w wykładnik i powstają np. wyrażenia: 2 x 2 +1 lub 
. A po zapoznaniu się z , zaczynają pojawiać się wyrażenia z potęgami i logarytmami, np. x 2·lgx −5·x lgx.
Zajęliśmy się więc pytaniem, co reprezentują wyrażenia potęgowe. Następnie nauczymy się je przekształcać.
Główne typy transformacji wyrażeń potęgowych
Za pomocą wyrażeń potęgowych można wykonać dowolne podstawowe przekształcenie tożsamości wyrażeń. Możesz na przykład otwierać nawiasy, zastępować wyrażenia liczbowe ich wartościami, dodawać podobne terminy itp. Oczywiście w tym przypadku konieczne jest przestrzeganie przyjętej procedury wykonywania działań. Podajmy przykłady.
Przykład.
Oblicz wartość wyrażenia na potęgę 2 3 ·(4 2 −12) .
Rozwiązanie.
Zgodnie z kolejnością wykonywania czynności, najpierw wykonaj czynności podane w nawiasach. Tam po pierwsze zastępujemy potęgę 4 2 jej wartością 16 (jeśli to konieczne, patrz), a po drugie obliczamy różnicę 16−12=4. Mamy 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4.
W otrzymanym wyrażeniu zastępujemy potęgę 2 3 jej wartością 8, po czym obliczamy iloczyn 8,4=32. To jest pożądana wartość.
Więc, 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4=8·4=32.
Odpowiedź:
2 3 ·(4 2 −12)=32.
Przykład.
Uprość wyrażenia za pomocą potęg 3 za 4 b -7 -1+2 za 4 b -7.
Rozwiązanie.
Oczywiście w wyrażeniu tym występują podobne terminy 3·a 4 ·b −7 i 2·a 4 ·b −7 i możemy je przedstawić: .
Odpowiedź:
3 za 4 b −7 −1+2 za 4 b −7 =5 za 4 b −7 −1.
Przykład.
Wyraź wyrażenie, używając mocy jako iloczynu.
Rozwiązanie.
Można sobie poradzić z zadaniem przedstawiając liczbę 9 jako potęgę 3 2, a następnie korzystając ze wzoru na skrócone mnożenie – różnicę kwadratów: 
Odpowiedź:
Istnieje również wiele identycznych transformacji właściwych dla wyrażeń mocy. Przeanalizujemy je dalej.
Praca z bazą i wykładnikiem
Istnieją stopnie, których podstawa i/lub wykładnik to nie tylko liczby lub zmienne, ale niektóre wyrażenia. Jako przykład podajemy wpisy (2+0,3·7) 5−3,7 i (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) .
Pracując z takimi wyrażeniami, można zastąpić zarówno wyrażenie w podstawie stopnia, jak i wyrażenie w wykładniku, identycznym wyrażeniem w ODZ jego zmiennych. Innymi słowy, zgodnie ze znanymi nam zasadami, możemy osobno przekształcić podstawę stopnia i osobno wykładnik. Oczywiste jest, że w wyniku tej transformacji otrzymane zostanie wyrażenie identycznie równe pierwotnemu.
Takie przekształcenia pozwalają nam uprościć wyrażenia za pomocą potęg lub osiągnąć inne potrzebne nam cele. Na przykład we wspomnianym powyżej wyrażeniu potęgowym (2+0,3 7) 5−3,7 można wykonać operacje na liczbach w podstawie i wykładniku, co pozwoli przejść do potęgi 4,1 1,3. A po otwarciu nawiasów i sprowadzeniu podobnych wyrazów do podstawy stopnia (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) otrzymujemy wyrażenie potęgowe prostszej formy a 2·(x+ 1) .
Korzystanie z właściwości stopnia
Jednym z głównych narzędzi przekształcania wyrażeń za pomocą potęg są równości odzwierciedlające . Przypomnijmy te główne. Dla dowolnych liczb dodatnich aib oraz dowolnych liczb rzeczywistych r i s prawdziwe są następujące właściwości potęg:
- za r ·a s =a r+s ;
- a r:a s =a r−s ;
- (a·b) r =a r ·b r ;
- (a:b) r =a r:b r ;
- (a r) s =a r·s .
Należy zauważyć, że w przypadku wykładników naturalnych, całkowitych i dodatnich ograniczenia dotyczące liczb aib mogą nie być tak rygorystyczne. Na przykład dla liczby naturalne m i n równość a m ·a n =a m+n jest prawdziwa nie tylko dla dodatniego a, ale także dla ujemnego a i dla a=0.
W szkole przy przekształcaniu sposobów wyrażania władzy główny nacisk kładzie się na umiejętność wyboru odpowiednią nieruchomość i zastosuj go poprawnie. W tym przypadku podstawy stopni są zwykle dodatnie, co pozwala na nieograniczone korzystanie z właściwości stopni. To samo dotyczy transformacji wyrażeń zawierających zmienne w podstawach potęg - zakres dopuszczalnych wartości zmiennych jest zwykle taki, że podstawy przyjmują na nim tylko wartości dodatnie, co pozwala na swobodne korzystanie z właściwości potęg . Ogólnie rzecz biorąc, należy stale zadawać sobie pytanie, czy w tym przypadku można wykorzystać jakąkolwiek właściwość stopni, ponieważ nieprawidłowe wykorzystanie właściwości może prowadzić do zawężenia wartości edukacyjnej i innych problemów. Punkty te zostały szczegółowo omówione wraz z przykładami w artykule Transformacja wyrażeń z wykorzystaniem właściwości stopni. Tutaj ograniczymy się do rozważenia kilku prostych przykładów.
Przykład.
Wyraź wyrażenie a 2,5 ·(a 2) −3:a −5,5 jako potęgę o podstawie a.
Rozwiązanie.
Najpierw przekształcamy drugi czynnik (a 2) −3, korzystając z właściwości podnoszenia potęgi do potęgi: (a 2) −3 =a 2·(−3) =a −6. Oryginalne wyrażenie potęgi będzie miało postać a 2,5 ·a −6:a −5,5. Oczywiście pozostaje skorzystać z właściwości mnożenia i dzielenia potęg o tej samej podstawie, które mamy
a 2,5 ·a –6:a –5,5 =
a 2,5−6:a −5,5 =a −3,5:a −5,5 =
a −3,5−(−5,5) =a 2 .
Odpowiedź:
a 2,5 ·(a 2) −3:a −5,5 =a 2.
Właściwości potęg przy przekształcaniu wyrażeń potęgowych stosuje się zarówno od lewej do prawej, jak i od prawej do lewej.
Przykład.
Znajdź wartość wyrażenia potęgowego.
Rozwiązanie.
Równość (a·b) r =a r ·br r, zastosowana od prawej do lewej, pozwala nam przejść od pierwotnego wyrażenia do iloczynu formy i dalej. A przy mnożeniu potęg o tej samej podstawie wykładniki sumują się: 
.
Pierwotne wyrażenie można było przekształcić w inny sposób: 
Odpowiedź:
.
Przykład.
Mając wyrażenie na potęgę a 1,5 −a 0,5 −6, wprowadź nową zmienną t=a 0,5.
Rozwiązanie.
Stopień a 1,5 można przedstawić jako a 0,5 3, a następnie, bazując na własności stopnia do stopnia (a r) s = a r s, zastosowanego od prawej do lewej, przekształcić go do postaci (a 0,5) 3. Zatem, za 1,5 −a 0,5 −6=(a 0,5) 3 −a 0,5 −6. Teraz łatwo jest wprowadzić nową zmienną t=a 0,5, otrzymujemy t 3 −t−6.
Odpowiedź:
t 3 −t−6 .
Zamiana ułamków zawierających potęgi
Wyrażenia potęgowe mogą zawierać lub reprezentować ułamki z potęgami. Do takich ułamków w na całego zastosowanie mają dowolne z podstawowych przekształceń ułamków właściwych dla ułamków dowolnego rodzaju. Oznacza to, że ułamki zawierające potęgi można zredukować, zredukować do nowego mianownika, oddzielnie pracować z ich licznikiem i osobno z mianownikiem itp. Aby zilustrować te słowa, rozważ rozwiązania kilku przykładów.
Przykład.
Uprość wyrażanie mocy 
.
Rozwiązanie.
To wyrażenie potęgi jest ułamkiem. Popracujmy z jego licznikiem i mianownikiem. W liczniku otwieramy nawiasy i upraszczamy otrzymane wyrażenie wykorzystując właściwości potęg, a w mianowniku przedstawiamy podobne wyrazy: 
Zmieńmy także znak mianownika, umieszczając minus przed ułamkiem: 
.
Odpowiedź:
.
Redukcja ułamków zawierających potęgi do nowego mianownika odbywa się analogicznie do redukcji ułamków wymiernych do nowego mianownika. W tym przypadku znajduje się również dodatkowy współczynnik i mnoży się przez niego licznik i mianownik ułamka. Wykonując tę czynność warto pamiętać, że redukcja do nowego mianownika może prowadzić do zawężenia VA. Aby temu zapobiec, konieczne jest, aby dodatkowy współczynnik nie osiągnął zera dla żadnej wartości zmiennych ze zmiennych ODZ dla pierwotnego wyrażenia.
Przykład.
Skróć ułamki do nowego mianownika: a) do mianownika a, b) 
do mianownika.
Rozwiązanie.
a) W tym przypadku dość łatwo jest ustalić, który dodatkowy mnożnik pomaga osiągnąć pożądany rezultat. Jest to mnożnik 0,3, ponieważ a 0,7 ·a 0,3 =a 0,7+0,3 =a. Zauważmy, że w zakresie dopuszczalnych wartości zmiennej a (jest to zbiór wszystkich dodatnich liczb rzeczywistych) potęga 0,3 nie zanika, zatem mamy prawo pomnożyć licznik i mianownik danej ułamek przez ten dodatkowy współczynnik: 
b) Przyglądając się bliżej mianownikowi, przekonasz się, że 
i pomnożenie tego wyrażenia przez da sumę kostek i , to znaczy . I to jest nowy mianownik, do którego musimy sprowadzić ułamek pierwotny.
W ten sposób znaleźliśmy dodatkowy czynnik. W zakresie dopuszczalnych wartości zmiennych x i y wyrażenie nie zanika, dlatego możemy pomnożyć przez niego licznik i mianownik ułamka: 
Odpowiedź:
A) 
, B) 
.
Nie ma też nic nowego w redukcji ułamków zawierających potęgi: licznik i mianownik są reprezentowane jako liczba czynników, a te same współczynniki licznika i mianownika są redukowane.
Przykład.
Skróć ułamek: a) 
, B) .
Rozwiązanie.
a) Po pierwsze, licznik i mianownik można zmniejszyć o liczby 30 i 45, co równa się 15. Oczywiście możliwe jest również wykonanie redukcji o x 0,5 +1 i o 
. Oto co mamy: 
b) W tym przypadku identyczne współczynniki w liczniku i mianowniku nie są od razu widoczne. Aby je uzyskać, będziesz musiał wykonać wstępne przekształcenia. W tym przypadku polegają one na rozłożeniu mianownika na czynniki ze wzoru na różnicę kwadratów: 
Odpowiedź:
A) 
B) 
.
Zamiana ułamków na nowy mianownik i ułamki redukujące są używane głównie do wykonywania czynności z ułamkami zwykłymi. Działania wykonywane są wg znane zasady. Podczas dodawania (odejmowania) ułamków są one redukowane do wspólnego mianownika, po czym liczniki są dodawane (odejmowane), ale mianownik pozostaje taki sam. Wynikiem jest ułamek, którego licznik jest iloczynem liczników, a mianownik jest iloczynem mianowników. Dzielenie przez ułamek to mnożenie przez jego odwrotność.
Przykład.
Wykonaj kroki 
.
Rozwiązanie.
Najpierw odejmujemy ułamki w nawiasach. Aby to zrobić, sprowadzamy je do wspólnego mianownika, czyli 
, po czym odejmujemy liczniki: 
Teraz mnożymy ułamki: 
Oczywiście możliwe jest zmniejszenie o potęgę x 1/2, po czym mamy 
.
Możesz także uprościć wyrażenie potęgi w mianowniku, korzystając ze wzoru na różnicę kwadratów: 
.
Odpowiedź:
Przykład.
Uprość wyrażenie mocy 
.
Rozwiązanie.
Oczywiście ułamek ten można zmniejszyć o (x 2,7 +1) 2, co daje ułamek 
. Jest oczywiste, że trzeba zrobić coś innego z potęgami X. Aby to zrobić, przekształcamy powstałą frakcję w produkt. Daje nam to możliwość skorzystania z własności dzielenia potęg o tych samych podstawach: 
. A na koniec procesu przechodzimy od ostatniego produktu do frakcji.
Odpowiedź:
.
Dodajmy jeszcze, że jest możliwe, a w wielu przypadkach pożądane, przeniesienie czynników o wykładnikach ujemnych z licznika do mianownika lub z mianownika do licznika, zmieniając znak wykładnika. Takie przekształcenia często ułatwiają dalsze działania. Na przykład wyrażenie potęgi można zastąpić przez .
Konwersja wyrażeń z pierwiastkami i potęgami
Często w wyrażeniach, w których wymagane są pewne przekształcenia, wraz z potęgami występują także pierwiastki z wykładnikami ułamkowymi. Aby przekonwertować takie wyrażenie na właściwy typ, w większości przypadków wystarczy sięgnąć tylko do korzeni lub tylko do potęg. Ponieważ jednak wygodniej jest pracować z mocami, zwykle przechodzą od korzeni do mocy. Wskazane jest jednak wykonanie takiego przejścia w sytuacji, gdy ODZ zmiennych dla pierwotnego wyrażenia pozwala na zastąpienie pierwiastków potęgami bez konieczności odwoływania się do modułu lub dzielenia ODZ na kilka przedziałów (omawialiśmy to szczegółowo w przejście artykułu od pierwiastków do potęg i z powrotem Po zapoznaniu się ze stopniem o wykładniku wymiernym wprowadza się stopień z wykładnikiem niewymiernym, co pozwala nam mówić o stopniu z dowolnym wykładnikiem rzeczywistym.Na tym etapie szkoła zaczyna badanie funkcja wykładnicza , który analitycznie jest podawany przez potęgę, której podstawą jest liczba, a wykładnikiem jest zmienna. Mamy więc do czynienia z wyrażeniami potęgowymi zawierającymi liczby w podstawie potęgi, a w wykładniku – wyrażeniami ze zmiennymi i naturalnie pojawia się potrzeba przeprowadzenia przekształceń takich wyrażeń.
Należy powiedzieć, że przy rozwiązywaniu zwykle trzeba przeprowadzić transformację wyrażeń wskazanego typu równania wykładnicze I nierówności wykładnicze , a te konwersje są dość proste. W zdecydowanej większości przypadków opierają się one na właściwościach stopnia i w większości mają na celu wprowadzenie w przyszłości nowej zmiennej. Równanie pozwoli nam je wykazać 5 2 x+1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x−1 =0.
Po pierwsze, potęgi, których wykładnikami jest suma określonej zmiennej (lub wyrażenia ze zmiennymi) i liczby, są zastępowane iloczynami. Dotyczy to pierwszego i ostatniego wyrazu wyrażenia po lewej stronie:
5 2 x 5 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x 7 −1 =0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x −2 7 2 x =0.
Następnie obie strony równości dzieli się przez wyrażenie 7 2 x, które na ODZ zmiennej x dla pierwotnego równania przyjmuje tylko wartości dodatnie (jest to standardowa technika rozwiązywania równań tego typu, nie jesteśmy teraz o tym mowa, więc skupmy się na kolejnych przekształceniach wyrażeń z potęgami): 
Teraz możemy anulować ułamki z potęgami, co daje 
.
Na koniec stosunek potęg o tych samych wykładnikach zastępuje się potęgami relacji, w wyniku czego powstaje równanie 
, co jest równoważne 
. Dokonane przekształcenia pozwalają na wprowadzenie nowej zmiennej, która sprowadza rozwiązanie pierwotnego równania wykładniczego do rozwiązania równania kwadratowego
Wyrażenie dosłowne (lub wyrażenie zmienne) to wyrażenie matematyczne składające się z cyfr, liter i symboli matematycznych. Na przykład następujące wyrażenie ma charakter dosłowny:
a+b+4
Za pomocą wyrażeń alfabetycznych możesz pisać prawa, wzory, równania i funkcje. Umiejętność manipulowania wyrażeniami literowymi jest kluczem do dobrej znajomości algebry i matematyki wyższej.
Każdy poważny problem matematyczny sprowadza się do rozwiązywania równań. Aby móc rozwiązywać równania, musisz umieć pracować z wyrażeniami dosłownymi.
Aby pracować z wyrażeniami dosłownymi, trzeba dobrze znać podstawy arytmetyki: dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, podstawowe prawa matematyki, ułamki zwykłe, operacje na ułamkach, proporcje. I nie tylko uczyć się, ale dokładnie rozumieć.
Treść lekcjiZmienne
Nazywa się litery zawarte w wyrażeniach dosłownych zmienne. Na przykład w wyrażeniu a+b+ 4 zmienne to litery A I B. Jeśli zamiast tych zmiennych podstawimy dowolne liczby, wówczas wyrażenie dosłowne a+b+ 4 zamieni się w wyrażenie liczbowe, którego wartość można znaleźć.
Nazywa się liczby, które zastępują zmienne wartości zmiennych. Zmieńmy na przykład wartości zmiennych A I B. Znak równości służy do zmiany wartości
a = 2, b = 3
Zmieniliśmy wartości zmiennych A I B. Zmienny A przypisano wartość 2 , zmienny B przypisano wartość 3 . W rezultacie dosłowne wyrażenie a+b+4 zamienia się w regularne wyrażenie liczbowe 2+3+4 którego wartość można znaleźć:
Kiedy zmienne są mnożone, są one zapisywane razem. Na przykład nagrywaj ok oznacza to samo, co wpis a×b. Jeśli podstawimy zmienne A I B liczby 2 I 3 , wtedy otrzymamy 6
Można także zapisać mnożenie liczby przez wyrażenie w nawiasach. Na przykład zamiast a×(b + c) można zapisać a(b + c). Stosując prawo podziału mnożenia, otrzymujemy a(b + c)=ab+ac.
Szanse
W wyrażeniach dosłownych często można spotkać zapis, w którym na przykład liczba i zmienna są zapisywane razem 3a. W rzeczywistości jest to skrót oznaczający mnożenie liczby 3 przez zmienną. A i ten wpis wygląda 3×a .
Inaczej mówiąc, wyrażenie 3a jest iloczynem liczby 3 i zmiennej A. Numer 3 w tej pracy dzwonią współczynnik. Współczynnik ten pokazuje, ile razy zmienna zostanie zwiększona A. Wyrażenie to można odczytać jako „ A trzy razy” lub „trzy razy A" lub "zwiększ wartość zmiennej A trzy razy”, ale najczęściej czytane jako „trzy”. A«
Na przykład, jeśli zmienna A równy 5 , a następnie wartość wyrażenia 3a będzie równa 15.
3 × 5 = 15
Mówienie w prostym języku, współczynnik to liczba występująca przed literą (przed zmienną).
Może być na przykład kilka liter 5abc. Tutaj współczynnik jest liczbą 5 . Współczynnik ten pokazuje, że iloczyn zmiennych ABC wzrasta pięciokrotnie. Wyrażenie to można odczytać jako „ ABC pięć razy” lub „zwiększ wartość wyrażenia ABC pięć razy” lub „pięć ABC«.
Jeśli zamiast zmiennych ABC zamień liczby 2, 3 i 4, a następnie wartość wyrażenia 5abc będzie równe 120
5 × 2 × 3 × 4 = 120
Możesz sobie wyobrazić, jak najpierw pomnożono liczby 2, 3 i 4, a wynikowa wartość wzrosła pięciokrotnie:
Znak współczynnika odnosi się tylko do współczynnika i nie dotyczy zmiennych.
Rozważ wyrażenie −6b. Minus przed współczynnikiem 6 , dotyczy tylko współczynnika 6 i nie należy do zmiennej B. Zrozumienie tego faktu pozwoli ci nie popełniać błędów w przyszłości ze znakami.
Znajdźmy wartość wyrażenia −6b Na b = 3.
−6b −6×b. Dla jasności napiszmy wyrażenie −6b w formie rozwiniętej i podstawić wartość zmiennej B
−6b = −6 × b = −6 × 3 = −18
Przykład 2. Znajdź wartość wyrażenia −6b Na b = −5
Zapiszmy wyrażenie −6b w rozszerzonej formie
−6b = −6 × b = −6 × (−5) = 30
Przykład 3. Znajdź wartość wyrażenia −5a+b Na a = 3 I b = 2
−5a+b to jest krótka forma dla −5 × a + b, więc dla jasności zapisujemy wyrażenie −5×a+b w rozwiniętej formie i zamień wartości zmiennych A I B
−5a + b = −5 × a + b = −5 × 3 + 2 = −15 + 2 = −13
Czasami litery są pisane na przykład bez współczynnika A Lub ok. W tym przypadku współczynnik wynosi jedność:
ale tradycyjnie jednostka nie jest zapisywana, więc po prostu piszą A Lub ok
Jeśli przed literą znajduje się minus, wówczas współczynnik jest liczbą −1 . Na przykład wyrażenie -a faktycznie wygląda −1a. To jest iloczyn minus jeden i zmiennej A. Okazało się tak:
−1 × a = −1a
Jest tu mały haczyk. W wyrazie -a znak minus przed zmienną A w rzeczywistości odnosi się do „niewidzialnej jednostki”, a nie zmiennej A. Dlatego przy rozwiązywaniu problemów należy zachować ostrożność.
Na przykład, jeśli podano wyrażenie -a i jesteśmy proszeni o znalezienie jego wartości przy a = 2, następnie w szkole podstawiliśmy dwójkę zamiast zmiennej A i otrzymał odpowiedź −2 , nie skupiając się zbytnio na tym, jak to się skończyło. W rzeczywistości minus jeden został pomnożony przez liczbę dodatnią 2
−a = −1 × a
−1 × a = −1 × 2 = −2
Jeśli podano wyrażenie -a i musisz znaleźć jego wartość przy a = −2, następnie zastępujemy −2 zamiast zmiennej A
−a = −1 × a
−1 × a = −1 × (−2) = 2
Aby uniknąć błędów, na początku można wyraźnie zapisać niewidoczne jednostki.
Przykład 4. Znajdź wartość wyrażenia ABC Na a=2 , b=3 I c=4
Wyrażenie ABC 1×a×b×c. Dla jasności napiszmy wyrażenie ABC a, b I C
1 × a × b × do = 1 × 2 × 3 × 4 = 24
Przykład 5. Znajdź wartość wyrażenia ABC Na a=−2 , b=−3 I c=−4
Zapiszmy wyrażenie ABC w rozwiniętej formie i zamień wartości zmiennych a, b I C
1 × a × b × do = 1 × (−2) × (−3) × (−4) = −24
Przykład 6. Znajdź wartość wyrażenia − ABC Na a=3, b=5 i c=7
Wyrażenie − ABC to jest krótka forma dla −1×a×b×c. Dla jasności napiszmy wyrażenie − ABC w rozwiniętej formie i zamień wartości zmiennych a, b I C
−abc = −1 × a × b × do = −1 × 3 × 5 × 7 = −105
Przykład 7. Znajdź wartość wyrażenia − ABC Na a=−2 , b=−4 i c=−3
Zapiszmy wyrażenie − ABC w rozszerzonej formie:
−abc = −1 × a × b × do
Zastąpmy wartości zmiennych A , B I C
−abc = −1 × a × b × do = −1 × (−2) × (−4) × (−3) = 24
Jak określić współczynnik
Czasami trzeba rozwiązać problem, w którym trzeba określić współczynnik wyrażenia. W zasadzie to zadanie jest bardzo proste. Wystarczy umieć poprawnie pomnożyć liczby.
Aby określić współczynnik w wyrażeniu, należy osobno pomnożyć liczby zawarte w tym wyrażeniu i osobno pomnożyć litery. Wynikowy współczynnik liczbowy będzie współczynnikiem.
Przykład 1. 7m×5a×(−3)×n
Wyrażenie składa się z kilku czynników. Można to wyraźnie zobaczyć, jeśli napiszesz wyrażenie w formie rozwiniętej. Czyli dzieła 7 m I 5a napisz to w formularzu 7×m I 5×a
7 × m × 5 × a × (-3) × n
Zastosujmy łączne prawo mnożenia, które pozwala mnożyć czynniki w dowolnej kolejności. Mianowicie osobno pomnożymy liczby i osobno pomnożymy litery (zmienne):
−3 × 7 × 5 × m × a × n = −105man
Współczynnik jest −105 . Po zakończeniu wskazane jest ułożenie części literowej w kolejności alfabetycznej:
−105 rano
Przykład 2. Określ współczynnik w wyrażeniu: −a×(−3)×2
−a × (−3) × 2 = −3 × 2 × (−a) = −6 × (−a) = 6a
Współczynnik wynosi 6.
Przykład 3. Określ współczynnik w wyrażeniu: 
Pomnóżmy cyfry i litery osobno:
Współczynnik wynosi -1. Należy pamiętać, że jednostka nie jest zapisywana, ponieważ zwyczajowo nie zapisuje się współczynnika 1.
Te pozornie najprostsze czynności potrafią zrobić nam bardzo okrutny żart. Często okazuje się, że znak współczynnika jest ustawiony niepoprawnie: albo brakuje minusa, albo wręcz przeciwnie, został on ustawiony na próżno. Aby uniknąć tych irytujących błędów, należy go studiować na dobrym poziomie.
Dodaje wyrażenia dosłowne
Dodając kilka liczb, uzyskuje się sumę tych liczb. Liczby, które dodają, nazywane są dodatkami. Terminów może być kilka, np.:
1 + 2 + 3 + 4 + 5
Kiedy wyrażenie składa się z terminów, znacznie łatwiej jest je ocenić, ponieważ dodawanie jest łatwiejsze niż odejmowanie. Ale wyrażenie może zawierać nie tylko dodawanie, ale także odejmowanie, na przykład:
1 + 2 − 3 + 4 − 5
W tym wyrażeniu liczby 3 i 5 są odejmowaniami, a nie dodawaniami. Ale nic nie stoi na przeszkodzie, abyśmy zastąpili odejmowanie dodawaniem. Następnie ponownie otrzymujemy wyrażenie składające się z terminów:
1 + 2 + (−3) + 4 + (−5)
Nie ma znaczenia, że liczby –3 i –5 mają teraz znak minus. Najważniejsze jest to, że wszystkie liczby w tym wyrażeniu są połączone znakiem dodawania, to znaczy wyrażenie jest sumą.
Obydwa wyrażenia 1 + 2 − 3 + 4 − 5 I 1 + 2 + (−3) + 4 + (−5) równa tej samej wartości - minus jeden
1 + 2 − 3 + 4 − 5 = −1
1 + 2 + (−3) + 4 + (−5) = −1
Zatem znaczenie wyrażenia nie ucierpi, jeśli gdzieś zastąpimy odejmowanie dodawaniem.
W wyrażeniach dosłownych można także zastąpić odejmowanie dodawaniem. Rozważmy na przykład następujące wyrażenie:
7a + 6b – 3c + 2d – 4s
7a + 6b + (-3c) + 2d + (-4s)
Dla dowolnych wartości zmiennych a, b, c, d I S wyrażenia 7a + 6b – 3c + 2d – 4s I 7a + 6b + (-3c) + 2d + (-4s) będzie równa tej samej wartości.
Trzeba być przygotowanym na to, że nauczyciel w szkole lub nauczyciel w instytucie może wywołać liczby parzyste (lub zmienne), które nie są dodawane.
Na przykład, jeśli różnica jest zapisana na tablicy a-b, wtedy nauczyciel tak nie powie A jest minusendą i B- odejmowalne. Obie zmienne nazwie jednym W ogólnych warunkach — warunki. A wszystko ze względu na ekspresję formy a-b matematyk widzi sumę a+(−b). W tym przypadku wyrażenie staje się sumą, a zmiennymi A I (-b) stać się terminami.
Podobne terminy
Podobne terminy- są to terminy posiadające tę samą część literową. Rozważmy na przykład wyrażenie 7a + 6b + 2a. składniki 7a I 2a mają tę samą część literową - zmienną A. Zatem warunki 7a I 2a są podobne.
Zazwyczaj podobne terminy dodaje się w celu uproszczenia wyrażenia lub rozwiązania równania. Ta operacja nazywa się przynosząc podobne warunki.
Aby wprowadzić podobne terminy, należy dodać współczynniki tych terminów i pomnożyć wynikowy wynik przez wspólną część literową.
Przedstawmy na przykład podobne terminy w wyrażeniu 3a + 4a + 5a. W tym przypadku wszystkie terminy są podobne. Dodajmy ich współczynniki i pomnóżmy wynik przez część wspólną literową – przez zmienną A
3a + 4a + 5a = (3 + 4 + 5)×a = 12a
Zwykle przywołuje się na myśl podobne terminy i natychmiast zapisuje wynik:
3a + 4a + 5a = 12a
Można też rozumować następująco:
Dodano do nich 3 zmienne a, 4 kolejne zmienne a i 5 kolejnych zmiennych a. W rezultacie otrzymaliśmy 12 zmiennych a
Przyjrzyjmy się kilku przykładom wprowadzenia podobnych terminów. Biorąc pod uwagę, że ten temat jest bardzo ważny, na początku szczegółowo opiszemy każdy najdrobniejszy szczegół. Choć tutaj wszystko jest bardzo proste, większość ludzi popełnia wiele błędów. Głównie z powodu nieuwagi, a nie niewiedzy.
Przykład 1. 3a + 2a + 6a + 8 A
Dodajmy współczynniki w tym wyrażeniu i pomnóżmy uzyskany wynik przez część wspólną literową:
3a + 2a + 6a + 8a = (3 + 2 + 6 + 8) × za = 19a
projekt (3 + 2 + 6 + 8)×a Nie musisz tego zapisywać, więc odpowiedź zapiszemy od razu
3a + 2a + 6a + 8a = 19a
Przykład 2. Podaj podobne terminy w wyrażeniu 2a+a
Drugi termin A zapisane bez współczynnika, ale w rzeczywistości przed nim znajduje się współczynnik 1 , którego nie widzimy, ponieważ nie jest zarejestrowany. Zatem wyrażenie wygląda następująco:
2a + 1a
Teraz przedstawmy podobne terminy. Oznacza to, że dodajemy współczynniki i mnożymy wynik przez wspólną część literową:
2a + 1a = (2 + 1) × a = 3a
Zapiszmy krótko rozwiązanie:
2a + a = 3a
2a+a możesz myśleć inaczej:
Przykład 3. Podaj podobne terminy w wyrażeniu 2a-a
Zamieńmy odejmowanie na dodawanie:
2a + (-a)
Drugi termin (-a) napisane bez współczynnika, ale w rzeczywistości tak to wygląda (-1a). Współczynnik −1 znów niewidoczny ze względu na to, że nie jest rejestrowany. Zatem wyrażenie wygląda następująco:
2a + (-1a)
Teraz przedstawmy podobne terminy. Dodajmy współczynniki i pomnóżmy wynik przez część wspólną:
2a + (−1a) = (2 + (−1)) × a = 1a = a
Zwykle pisane krócej:
2a - a = a
Podanie podobnych terminów w wyrażeniu 2a-a Możesz myśleć inaczej:
Były 2 zmienne a, odejmij jedną zmienną a i w rezultacie została tylko jedna zmienna
Przykład 4. Podaj podobne terminy w wyrażeniu 6a – 3a + 4a – 8a
6a - 3a + 4a - 8a = 6a + (-3a) + 4a + (-8a)
Teraz przedstawmy podobne terminy. Dodajmy współczynniki i pomnóżmy wynik przez całkowitą część literową
(6 + (−3) + 4 + (−8)) × a = −1a = −a
Zapiszmy krótko rozwiązanie:
6a – 3a + 4a – 8a = –a
Istnieją wyrażenia zawierające kilka różnych grup podobnych terminów. Na przykład, 3a + 3b + 7a + 2b. W przypadku takich wyrażeń obowiązują te same zasady, co w przypadku pozostałych, a mianowicie dodawanie współczynników i mnożenie otrzymanego wyniku przez część wspólną literową. Ale aby uniknąć błędów, jest to wygodne różne grupy Terminy są wyróżnione różnymi liniami.
Na przykład w wyrażeniu 3a + 3b + 7a + 2b te terminy, które zawierają zmienną A, można podkreślić jedną linią, a terminy zawierające zmienną B, można podkreślić dwoma linijkami:
Teraz możemy przedstawić podobne terminy. Oznacza to, że dodaj współczynniki i pomnóż wynikowy wynik przez całkowitą część literową. Należy to zrobić dla obu grup terminów: dla terminów zawierających zmienną A oraz dla terminów zawierających zmienną B.
3a + 3b + 7a + 2b = (3+7)×a + (3 + 2)×b = 10a + 5b
Jeszcze raz powtarzamy, wyrażenie jest proste i można mieć na uwadze podobne terminy:
3a + 3b + 7a + 2b = 10a + 5b
Przykład 5. Podaj podobne terminy w wyrażeniu 5a – 6a –7b + b
Jeśli to możliwe, zastąpmy odejmowanie dodawaniem:
5a − 6a −7b + b = 5a + (−6a) + (−7b) + b
Podkreślmy podobne terminy różnymi liniami. Terminy zawierające zmienne A podkreślamy jedną linią, a terminy są zawartością zmiennych B, podkreśl dwiema liniami:
Teraz możemy przedstawić podobne terminy. Oznacza to, że dodaj współczynniki i pomnóż wynikowy wynik przez wspólną część literową:
5a + (−6a) + (−7b) + b = (5 + (−6))×a + ((−7) + 1)×b = −a + (−6b)
Jeśli wyrażenie zawiera zwykłe liczby bez czynników literowych, są one dodawane osobno.
Przykład 6. Podaj podobne terminy w wyrażeniu 4a + 3a - 5 + 2b + 7
Jeśli to możliwe, zastąpmy odejmowanie dodawaniem:
4a + 3a - 5 + 2b + 7 = 4a + 3a + (-5) + 2b + 7
Przedstawmy podobne określenia. Liczby −5 I 7 nie mają współczynników literowych, ale są to terminy podobne - wystarczy je dodać. I termin 2b pozostanie niezmieniony, ponieważ jako jedyny w tym wyrażeniu ma współczynnik literowy B, i nie ma co tego dodawać:
4a + 3a + (−5) + 2b + 7 = (4 + 3)×a + 2b + (−5) + 7 = 7a + 2b + 2
Zapiszmy krótko rozwiązanie:
4a + 3a - 5 + 2b + 7 = 7a + 2b + 2
Terminy można uporządkować w taki sposób, aby te terminy, które mają tę samą część literową, znajdowały się w tej samej części wyrażenia.
Przykład 7. Podaj podobne terminy w wyrażeniu 5t+2x+3x+5t+x
Ponieważ wyrażenie jest sumą kilku terminów, pozwala to ocenić je w dowolnej kolejności. Dlatego terminy zawierające zmienną T, można zapisać na początku wyrażenia, a terminy zawierające zmienną X na końcu wyrażenia:
5t + 5t + 2x + 3x + x
Teraz możemy przedstawić podobne terminy:
5t + 5t + 2x + 3x + x = (5+5)×t + (2+3+1)×x = 10t + 6x
Zapiszmy krótko rozwiązanie:
5t + 2x + 3x + 5t + x = 10t + 6x
Suma liczb przeciwnych wynosi zero. Ta zasada działa również w przypadku wyrażeń dosłownych. Jeśli wyrażenie zawiera terminy identyczne, ale z przeciwnymi znakami, możesz się ich pozbyć na etapie redukcji terminów podobnych. Innymi słowy, po prostu usuń je z wyrażenia, ponieważ ich suma wynosi zero.
Przykład 8. Podaj podobne terminy w wyrażeniu 3t – 4t – 3t + 2t
Jeśli to możliwe, zastąpmy odejmowanie dodawaniem:
3t − 4t − 3t + 2t = 3t + (−4t) + (−3t) + 2t
składniki 3t I (-3t) są przeciwne. Suma przeciwnych wyrazów wynosi zero. Jeśli usuniemy to zero z wyrażenia, wartość wyrażenia nie ulegnie zmianie, więc je usuniemy. I usuniemy to, po prostu skreślając warunki 3t I (-3t)
W rezultacie pozostanie nam wyrażenie (−4t) + 2t. W tym wyrażeniu możesz dodać podobne terminy i uzyskać ostateczną odpowiedź:
(−4t) + 2t = ((−4) + 2)×t = −2t
Zapiszmy krótko rozwiązanie:
Upraszczanie wyrażeń
„uprość wyrażenie” a poniżej znajduje się wyrażenie, które należy uprościć. Uprość wyrażenie oznacza uczynienie go prostszym i krótszym.
W rzeczywistości upraszczaliśmy już wyrażenia, gdy redukowaliśmy ułamki zwykłe. Po redukcji ułamek stał się krótszy i łatwiejszy do zrozumienia.
Rozważ następujący przykład. Uprość wyrażenie.
Zadanie to można dosłownie rozumieć w następujący sposób: „Zastosuj dowolne prawidłowe działania do tego wyrażenia, ale uprość je”. .
W takim przypadku możesz zmniejszyć ułamek, a mianowicie podzielić licznik i mianownik ułamka przez 2:
Co jeszcze możesz zrobić? Możesz obliczyć powstały ułamek. Następnie otrzymujemy ułamek dziesiętny 0,5
W rezultacie ułamek został uproszczony do 0,5.
Pierwszym pytaniem, które musisz sobie zadać przy rozwiązywaniu takich problemów, powinno być "Co można zrobić?" . Ponieważ są działania, które możesz wykonać i są działania, których nie możesz wykonać.
Inny ważny punkt Należy pamiętać, że wartość wyrażenia nie powinna zmieniać się po uproszczeniu wyrażenia. Wróćmy do wyrażenia. To wyrażenie reprezentuje podział, który można wykonać. Po dokonaniu tego podziału otrzymujemy wartość tego wyrażenia, która jest równa 0,5
Ale uprościliśmy wyrażenie i otrzymaliśmy nowe uproszczone wyrażenie. Wartość nowego uproszczonego wyrażenia nadal wynosi 0,5
Ale próbowaliśmy także uprościć wyrażenie, obliczając je. W rezultacie otrzymaliśmy ostateczną odpowiedź na poziomie 0,5.
Zatem niezależnie od tego, jak uprościmy wyrażenie, wartość otrzymanych wyrażeń będzie nadal równa 0,5. Oznacza to, że uproszczenie zostało przeprowadzone prawidłowo na każdym etapie. Właśnie do tego powinniśmy dążyć przy upraszczaniu wyrażeń – znaczenie wyrażenia nie powinno ucierpieć na skutek naszych działań.
Często konieczne jest uproszczenie wyrażeń dosłownych. Obowiązują wobec nich te same zasady uproszczenia, co w przypadku wyrażeń liczbowych. Możesz wykonać dowolne prawidłowe działania, o ile wartość wyrażenia nie ulegnie zmianie.
Spójrzmy na kilka przykładów.
Przykład 1. Uprość wyrażenie 5,21 s × t × 2,5
Aby uprościć to wyrażenie, możesz pomnożyć liczby osobno i osobno pomnożyć litery. To zadanie jest bardzo podobne do tego, któremu się przyjrzeliśmy, gdy uczyliśmy się wyznaczać współczynnik:
5,21 s × t × 2,5 = 5,21 × 2,5 × s × t = 13,025 × st = 13,025st
Zatem wyrażenie 5,21 s × t × 2,5 uproszczone do 13025.
Przykład 2. Uprość wyrażenie −0,4 × (−6,3b) × 2
Drugi kawałek (-6.3b) można przełożyć na zrozumiałą dla nas formę, czyli zapisać w postaci ( −6,3)×b , następnie pomnóż osobno liczby i osobno pomnóż litery:
− 0,4 × (−6,3b) × 2 = − 0,4 × (−6,3) × b × 2 = 5,04b
Zatem wyrażenie −0,4 × (−6,3b) × 2 uproszczone do 5.04b
Przykład 3. Uprość wyrażenie 
Zapiszmy to wyrażenie bardziej szczegółowo, aby wyraźnie zobaczyć, gdzie są liczby i gdzie są litery:
Teraz pomnóżmy osobno liczby i osobno pomnóżmy litery:
Zatem wyrażenie uproszczone do −abc. Rozwiązanie to można krótko zapisać:
Upraszczając wyrażenia, ułamki można redukować w trakcie procesu rozwiązywania, a nie na samym końcu, jak to zrobiliśmy zwykłe ułamki. Na przykład, jeśli w trakcie rozwiązywania natkniemy się na wyrażenie postaci , to wcale nie jest konieczne obliczanie licznika i mianownika i robienie czegoś takiego:
Ułamek można skrócić, wybierając współczynnik w liczniku i mianowniku i redukując te czynniki do największego wspólny dzielnik. Innymi słowy użycie, w którym nie opisujemy szczegółowo, na co podzielono licznik i mianownik.
Np. w liczniku współczynnik wynosi 12, a w mianowniku współczynnik 4 można zmniejszyć o 4. Zapamiętujemy tę czwórkę i dzieląc 12 i 4 przez tę czwórkę, zapisujemy odpowiedzi obok tych liczb, najpierw je przekreśliwszy
Teraz możesz pomnożyć powstałe małe czynniki. W tym przypadku jest ich niewiele i można je mnożyć w myślach:
Z biegiem czasu może się okazać, że przy rozwiązywaniu konkretnego problemu wyrażenia zaczynają „przybierać na wadze”, dlatego wskazane jest przyzwyczajenie się do szybkich obliczeń. To, co można obliczyć w umyśle, należy obliczyć w umyśle. To, co można szybko zredukować, należy szybko zredukować.
Przykład 4. Uprość wyrażenie 
Zatem wyrażenie uproszczone do
Przykład 5. Uprość wyrażenie 
Pomnóżmy osobno cyfry i osobno litery:
Zatem wyrażenie uproszczone do mn.
Przykład 6. Uprość wyrażenie 
Zapiszmy to wyrażenie bardziej szczegółowo, aby wyraźnie zobaczyć, gdzie są liczby i gdzie są litery:
Teraz pomnóżmy osobno cyfry i osobno litery. Dla ułatwienia obliczeń ułamek dziesiętny -6,4 i liczbę mieszaną można zamienić na ułamki zwykłe:
Zatem wyrażenie uproszczone do
Rozwiązanie tego przykładu można zapisać znacznie krócej. Będzie to wyglądać tak:
Przykład 7. Uprość wyrażenie 
Pomnóżmy cyfry osobno i litery osobno. Dla ułatwienia obliczeń liczba mieszana i dziesiętne 0,1 i 0,6 można zamienić na ułamki zwykłe:
Zatem wyrażenie uproszczone do abcd. Jeśli pominiesz szczegóły, rozwiązanie to można zapisać znacznie krócej:
Zwróć uwagę, jak został zmniejszony ułamek. Redukcji podlegają także nowe współczynniki, które powstają w wyniku redukcji czynników poprzednich.
Porozmawiajmy teraz o tym, czego nie robić. Przy upraszczaniu wyrażeń surowo zabrania się mnożenia cyfr i liter, jeśli wyrażenie jest sumą, a nie iloczynem.
Na przykład, jeśli chcesz uprościć wyrażenie 5a+4b, to nie możesz napisać tego w ten sposób:
To tak, jakby poproszono nas o dodanie dwóch liczb i pomnożyliśmy je zamiast dodawać.
Podczas zastępowania dowolnych wartości zmiennych A I B wyrażenie 5a +4b zamienia się w zwykłe wyrażenie numeryczne. Załóżmy, że zmienne A I B mają następujące znaczenia:
a = 2, b = 3
Wtedy wartość wyrażenia będzie równa 22
5a + 4b = 5 × 2 + 4 × 3 = 10 + 12 = 22
Najpierw wykonywane jest mnożenie, a następnie wyniki są dodawane. A gdybyśmy próbowali uprościć to wyrażenie, mnożąc cyfry i litery, otrzymalibyśmy:
5a + 4b = 5 × 4 × a × b = 20ab
20ab = 20 × 2 × 3 = 120
Okazuje się zupełnie inne znaczenie tego wyrażenia. W pierwszym przypadku zadziałało 22 , w drugim przypadku 120 . Oznacza to uproszczenie wyrażenia 5a+4b zostało wykonane nieprawidłowo.
Po uproszczeniu wyrażenia jego wartość nie powinna się zmieniać przy tych samych wartościach zmiennych. Jeżeli podstawiając do pierwotnego wyrażenia dowolne wartości zmiennych otrzyma się jedną wartość, to po uproszczeniu wyrażenia należy otrzymać taką samą wartość jak przed uproszczeniem.
Z ekspresją 5a+4b naprawdę nic nie możesz zrobić. To nie upraszcza.
Jeśli wyrażenie zawiera podobne terminy, można je dodać, jeśli naszym celem jest uproszczenie wyrażenia.
Przykład 8. Uprość wyrażenie 0,3a-0,4a+a
0,3a − 0,4a + a = 0,3a + (−0,4a) + a = (0,3 + (−0,4) + 1)×a = 0,9a
lub krócej: 0,3a - 0,4a + a = 0,9a
Zatem wyrażenie 0,3a-0,4a+a uproszczone do 0,9a
Przykład 9. Uprość wyrażenie −7,5a − 2,5b + 4a
Aby uprościć to wyrażenie, możemy dodać podobne terminy:
−7,5a − 2,5b + 4a = −7,5a + (−2,5b) + 4a = ((−7,5) + 4)×a + (−2,5b) = −3,5a + (−2,5b)
lub krócej −7,5a − 2,5b + 4a = −3,5a + (−2,5b)
Termin (-2,5b) pozostał niezmieniony, bo nie było do czego go przyczepić.
Przykład 10. Uprość wyrażenie 
Aby uprościć to wyrażenie, możemy dodać podobne terminy:
Współczynnik podano dla ułatwienia obliczeń.
Zatem wyrażenie uproszczone do
Przykład 11. Uprość wyrażenie 
Aby uprościć to wyrażenie, możemy dodać podobne terminy:
Zatem wyrażenie uproszczone do.
W tym przykładzie bardziej właściwe byłoby dodanie najpierw pierwszego i ostatniego współczynnika. W tym przypadku mielibyśmy krótkie rozwiązanie. Wyglądałoby to tak:
Przykład 12. Uprość wyrażenie 
Aby uprościć to wyrażenie, możemy dodać podobne terminy:
Zatem wyrażenie uproszczone do 
.
Termin pozostał niezmieniony, bo nie było do czego go dodać.
Rozwiązanie to można zapisać znacznie krócej. Będzie to wyglądać tak:
W krótkim rozwiązaniu pominięto etapy zastąpienia odejmowania dodawaniem i szczegółowego opisywania sposobu sprowadzania ułamków do wspólnego mianownika.
Kolejna różnica polega na tym, że w szczegółowym rozwiązaniu odpowiedź wygląda , ale w skrócie jako . W rzeczywistości są to te same wyrażenia. Różnica jest taka, że w pierwszym przypadku odejmowanie zastępuje się dodawaniem, bo na początku pisaliśmy rozwiązanie szczegółowo, tam, gdzie było to możliwe, zastąpiliśmy odejmowanie dodawaniem i to zastąpienie zostało zachowane w odpowiedzi.
Tożsamości. Identycznie równe wyrażenia
Kiedy uprościmy dowolne wyrażenie, stanie się ono prostsze i krótsze. Aby sprawdzić, czy uproszczone wyrażenie jest poprawne, wystarczy podstawić dowolne wartości zmiennych najpierw do poprzedniego wyrażenia, które wymagało uproszczenia, a następnie do nowego, które zostało uproszczone. Jeśli wartość w obu wyrażeniach jest taka sama, wówczas uproszczone wyrażenie jest prawdziwe.
Rozważmy najprostszy przykład. Niech będzie konieczne uproszczenie wyrażenia 2a×7b. Aby uprościć to wyrażenie, możesz pomnożyć cyfry i litery osobno:
2a × 7b = 2 × 7 × a × b = 14ab
Sprawdźmy, czy poprawnie uprościliśmy wyrażenie. W tym celu podstawimy dowolne wartości zmiennych A I B najpierw do pierwszego wyrażenia, które wymagało uproszczenia, a następnie do drugiego, które zostało uproszczone.
Niech wartości zmiennych A , B będzie następująco:
a = 4, b = 5
Zastąpmy je pierwszym wyrażeniem 2a×7b
Podstawmy teraz te same wartości zmiennych do wyrażenia powstałego w wyniku uproszczenia 2a×7b, czyli w wyrażeniu 14ab
14ab = 14 × 4 × 5 = 280
Widzimy to, kiedy a=4 I b=5 wartość pierwszego wyrażenia 2a×7b i znaczenie drugiego wyrażenia 14ab równy
2a × 7b = 2 × 4 × 7 × 5 = 280
14ab = 14 × 4 × 5 = 280
To samo stanie się z każdą inną wartością. Na przykład niech a=1 I b=2
2a × 7b = 2 × 1 × 7 × 2 =28
14ab = 14 × 1 × 2 =28
Zatem dla dowolnych wartości zmiennych wyrażeń 2a×7b I 14ab są równe tej samej wartości. Takie wyrażenia nazywane są identycznie równe.
Dochodzimy do wniosku, że pomiędzy wyrażeniami 2a×7b I 14ab możesz postawić znak równości, ponieważ są one równe tej samej wartości.
2a × 7b = 14ab
Równość to dowolne wyrażenie połączone znakiem równości (=).
I równość formy 2a×7b = 14ab zwany tożsamość.
Tożsamość to równość, która jest prawdziwa dla dowolnych wartości zmiennych.
Inne przykłady tożsamości:
za + b = b + a
a(b+c) = ab + ac
a(bc) = (ab)c
Tak, prawa matematyki, które badaliśmy, są tożsamościami.
Prawdziwe równości liczbowe są także tożsamościami. Na przykład:
2 + 2 = 4
3 + 3 = 5 + 1
10 = 7 + 2 + 1
Decydowanie trudne zadanie Aby ułatwić obliczenia, złożone wyrażenie zostaje zastąpione prostszym wyrażeniem, które jest identycznie równe poprzedniemu. To zastąpienie nazywa się identyczna transformacja wyrażenia lub po prostu przekształcanie wyrażenia.
Na przykład uprościliśmy wyrażenie 2a×7b i uzyskał prostsze wyrażenie 14ab. Uproszczenie to można nazwać transformacją tożsamości.
Często można znaleźć zadanie, które mówi „udowodnić, że równość jest tożsamością” a następnie podana jest równość, którą należy udowodnić. Zwykle ta równość składa się z dwóch części: lewej i prawej części równości. Naszym zadaniem jest dokonanie przekształceń tożsamościowych jedną z części równości i uzyskanie drugiej części. Lub wykonaj identyczne przekształcenia po obu stronach równości i upewnij się, że obie strony równości zawierają te same wyrażenia.
Udowodnijmy na przykład, że równość 0,5a × 5b = 2,5ab jest tożsamością.
Uprośćmy lewą stronę tej równości. Aby to zrobić, pomnóż cyfry i litery osobno:
0,5 × 5 × a × b = 2,5ab
2,5ab = 2,5ab
W wyniku małej transformacji tożsamości lewa strona równości zrównała się z prawą stroną równości. Udowodniliśmy więc, że równość 0,5a × 5b = 2,5ab jest tożsamością.
Z identycznych przekształceń nauczyliśmy się dodawać, odejmować, mnożyć i dzielić liczby, zmniejszać ułamki zwykłe, dodawać podobne wyrazy, a także upraszczać niektóre wyrażenia.
Ale to nie wszystkie identyczne transformacje, które istnieją w matematyce. Transformacje tożsamości dużo więcej. Zobaczymy to jeszcze nie raz w przyszłości.
Zadania do samodzielnego rozwiązania:
Czy podobała Ci się lekcja?
Dołączć do naszego Nowa grupa VKontakte i zacznij otrzymywać powiadomienia o nowych lekcjach
