Różnica logarytmów naturalnych. Wzory logarytmiczne. Logarytmy

W związku z

można ustawić zadanie znalezienia dowolnej z trzech liczb spośród pozostałych dwóch podanych. Jeśli podano a i N, można je znaleźć przez potęgowanie. Jeśli N i następnie a są dane poprzez pierwiastek stopnia x (lub podniesienie go do potęgi). Rozważmy teraz przypadek, gdy mając dane a i N, musimy znaleźć x.

Niech liczba N będzie dodatnia: liczba a będzie dodatnia i różna od jedności: .

Definicja. Logarytm liczby N o podstawie a jest wykładnikiem, do którego należy podnieść a, aby otrzymać liczbę N; logarytm jest oznaczony przez

Zatem w równości (26.1) wykładnik jest logarytmem N o podstawie a. Posty

mają to samo znaczenie. Równość (26.1) jest czasami nazywana główną tożsamością teorii logarytmów; w rzeczywistości wyraża definicję pojęcia logarytmu. Przez tę definicję Podstawa logarytmu a jest zawsze dodatnia i różna od jedności; liczba logarytmiczna N jest dodatnia. Liczby ujemne i zero nie mają logarytmów. Można udowodnić, że każda liczba o danej podstawie ma dobrze zdefiniowany logarytm. Zatem równość pociąga za sobą . Należy zauważyć, że warunek jest tutaj niezbędny, w przeciwnym razie wniosek nie byłby uzasadniony, ponieważ równość jest prawdziwa dla dowolnych wartości x i y.

Przykład 1. Znajdź

Rozwiązanie. Aby uzyskać liczbę, należy podnieść podstawę 2 do potęgi Zatem.

Podczas rozwiązywania takich przykładów możesz robić notatki w następującej formie:

Przykład 2. Znajdź .

Rozwiązanie. Mamy

W przykładach 1 i 2 z łatwością znaleźliśmy pożądany logarytm, przedstawiając liczbę logarytmiczną jako potęgę podstawy z wykładnikiem wymiernym. W ogólnym przypadku, na przykład, nie można tego zrobić, ponieważ logarytm ma wartość niewymierną. Zwróćmy uwagę na jedną kwestię związaną z tym stwierdzeniem. W paragrafie 12 podaliśmy koncepcję możliwości wyznaczenia dowolnej potęgi rzeczywistej danej liczby dodatniej. Było to konieczne do wprowadzenia logarytmów, które, ogólnie rzecz biorąc, mogą być liczbami niewymiernymi.

Przyjrzyjmy się niektórym właściwościom logarytmów.

Właściwość 1. Jeśli liczba i podstawa są równe, wówczas logarytm jest równy jeden i odwrotnie, jeśli logarytm jest równy jeden, wówczas liczba i podstawa są równe.

Dowód. Niech Z definicji logarytmu mamy i skąd

I odwrotnie, niech Wtedy z definicji

Właściwość 2. Logarytm jednego do dowolnej podstawy jest równy zero.

Dowód. Z definicji logarytmu (potęga zerowa dowolnej podstawy dodatniej jest równa jeden, patrz (10.1)). Stąd

co było do okazania

Prawdziwe jest również stwierdzenie odwrotne: jeśli , to N = 1. Rzeczywiście mamy .

Zanim sformułowamy kolejną własność logarytmów, zgódźmy się powiedzieć, że dwie liczby a i b leżą po tej samej stronie trzeciej liczby c, jeśli obie są większe niż c lub mniejsze niż c. Jeśli jedna z tych liczb jest większa niż c, a druga mniejsza niż c, to powiemy, że się zgadzają różne strony ze wsi

Właściwość 3. Jeśli liczba i podstawa leżą po tej samej stronie jedności, to logarytm jest dodatni; Jeśli liczba i podstawa leżą po przeciwnych stronach jedności, logarytm jest ujemny.

Dowód własności 3 opiera się na fakcie, że potęga a jest większa niż jeden, jeśli podstawa jest większa niż jeden, a wykładnik jest dodatni lub podstawa jest mniejsza niż jeden, a wykładnik jest ujemny. Potęga jest mniejsza niż jeden, jeśli podstawa jest większa niż jeden, a wykładnik jest ujemny lub podstawa jest mniejsza niż jeden, a wykładnik jest dodatni.

Należy rozważyć cztery przypadki:

Ograniczymy się do analizy pierwszego z nich, resztę czytelnik rozważy samodzielnie.

Niech więc w równości wykładnik nie może być ani ujemny, ani równy zeru, zatem jest dodatni, tj. taki, jakiego wymaga udowodnienie.

Przykład 3. Dowiedz się, które z poniższych logarytmów są dodatnie, a które ujemne:

Rozwiązanie, a) ponieważ liczba 15 i podstawa 12 znajdują się po tej samej stronie jedynki;

b) ponieważ 1000 i 2 znajdują się po jednej stronie jednostki; w tym przypadku nie jest ważne, aby podstawa była większa niż liczba logarytmiczna;

c) ponieważ 3,1 i 0,8 leżą po przeciwnych stronach jedności;

G) ; Dlaczego?

D) ; Dlaczego?

Następujące właściwości 4-6 nazywane są często regułami logarytmu: pozwalają, znając logarytmy niektórych liczb, znaleźć logarytmy ich iloczynu, ilorazu i stopnia każdej z nich.

Właściwość 4 (reguła logarytmu iloczynu). Logarytm iloczynu kilku liczb dodatnich o danej podstawie równa sumie logarytmy tych liczb do tej samej podstawy.

Dowód. Niech podane liczby będą dodatnie.

Dla logarytmu ich iloczynu piszemy równość (26.1), która definiuje logarytm:

Stąd znajdziemy

Porównując wykładniki pierwszego i ostatniego wyrażenia, otrzymujemy wymaganą równość:

Pamiętaj, że warunek jest niezbędny; logarytm iloczynu dwóch liczb ujemnych ma sens, ale w tym przypadku otrzymujemy

Ogólnie rzecz biorąc, jeśli iloczyn kilku czynników jest dodatni, wówczas jego logarytm jest równy sumie logarytmów wartości bezwzględnych tych czynników.

Właściwość 5 (reguła przyjmowania logarytmów ilorazów). Logarytm ilorazu liczb dodatnich jest równy różnicy między logarytmami dzielnej i dzielnika, przyjętymi do tej samej podstawy. Dowód. Konsekwentnie znajdujemy

co było do okazania

Właściwość 6 (reguła logarytmu potęgowego). Logarytm potęgi dowolnej liczby dodatniej jest równy logarytmowi tej liczby pomnożonej przez wykładnik.

Dowód. Napiszmy jeszcze raz główną tożsamość (26.1) dla liczby:

co było do okazania

Konsekwencja. Logarytm pierwiastka liczby dodatniej jest równy logarytmowi pierwiastka podzielonemu przez wykładnik pierwiastka:

Ważność tego wniosku można udowodnić, wyobrażając sobie, jak i wykorzystując właściwość 6.

Przykład 4. Weź logarytm o podstawie:

a) (zakłada się, że wszystkie wartości b, c, d, e są dodatnie);

b) (przyjmuje się, że ).

Rozwiązanie, a) W tym wyrażeniu wygodnie jest przejść do potęg ułamkowych:

Na podstawie równości (26,5)-(26,7) możemy teraz napisać:

Zauważamy, że na logarytmach liczb wykonuje się prostsze operacje niż na samych liczbach: przy mnożeniu liczb dodaje się ich logarytmy, przy dzieleniu odejmuje itd.

Dlatego w praktyce obliczeniowej stosuje się logarytmy (patrz akapit 29).

Odwrotne działanie logarytmu nazywa się wzmocnieniem, a mianowicie: wzmocnieniem jest działanie, dzięki któremu sama liczba zostaje znaleziona na podstawie danego logarytmu liczby. Zasadniczo wzmocnienie nie jest jakimś specjalnym działaniem: sprowadza się do podniesienia podstawy do potęgi (równej logarytmowi liczby). Termin „wzmocnienie” można uznać za synonim terminu „potęgowanie”.

Podczas wzmacniania należy stosować zasady odwrotne do reguł logarytmu: zamień sumę logarytmów na logarytm iloczynu, różnicę logarytmów na logarytm ilorazu itp. W szczególności, jeśli przed nami znajduje się czynnik znaku logarytmu, to podczas wzmacniania należy go przenieść na stopnie wykładnicze pod znakiem logarytmu.

Przykład 5. Znajdź N, jeśli to wiadomo

Rozwiązanie. W związku z podaną właśnie zasadą potęgowania, czynniki 2/3 i 1/3 stojące przed znakami logarytmów po prawej stronie tej równości przeniesiemy na wykładniki pod znakami tych logarytmów; dostajemy

Teraz zastępujemy różnicę logarytmów logarytmem ilorazu:

aby otrzymać ostatni ułamek w tym łańcuchu równości, uwolniliśmy poprzedni ułamek od irracjonalności w mianowniku (klauzula 25).

Właściwość 7. Jeśli podstawa jest większa niż jeden, to większa liczba ma większy logarytm (a mniejsza liczba ma mniejszą), jeśli podstawa jest mniejsza niż jeden, to większa liczba ma mniejszy logarytm (a mniejsza liczba ma większy logarytm).

Właściwość tę formułuje się również jako regułę przyjmowania logarytmów nierówności, których obie strony są dodatnie:

Przy logarytmowaniu nierówności do podstawy większej niż jeden znak nierówności zostaje zachowany, a przy logarytmowaniu do podstawy mniejszej niż jeden znak nierówności zmienia się na przeciwny (patrz także paragraf 80).

Dowód opiera się na własnościach 5 i 3. Rozważmy przypadek, gdy Jeśli , to i, biorąc logarytmy, otrzymujemy

(a i N/M leżą po tej samej stronie jedności). Stąd

Sprawa jest następująca, czytelnik sam to rozwiąże.

główne właściwości.

logax + logay = loga(x y);
logax − logay = loga (x: y).

identyczne podstawy

Log6 4 + log6 9.

Teraz skomplikujmy trochę zadanie.

Przykłady rozwiązywania logarytmów

A co jeśli podstawą lub argumentem logarytmu jest potęga? Następnie wykładnik tego stopnia można odjąć od znaku logarytmu według następujących zasad:

Oczywiście wszystkie te reguły mają sens, jeśli przestrzega się ODZ logarytmu: a > 0, a ≠ 1, x >

Zadanie. Znajdź znaczenie wyrażenia:

Przejście na nowy fundament

Niech zostanie podany logarytm logax. Wtedy dla dowolnej liczby c takiej, że c > 0 i c ≠ 1, prawdziwa jest równość:

Zadanie. Znajdź znaczenie wyrażenia:

Zobacz też:

Podstawowe własności logarytmu

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Wykładnik wynosi 2,718281828…. Aby zapamiętać wykładnik, możesz przestudiować regułę: wykładnik jest równy 2,7 i dwukrotności roku urodzenia Lwa Nikołajewicza Tołstoja.

Podstawowe własności logarytmów

Znając tę zasadę, poznasz zarówno dokładną wartość wykładnika, jak i datę urodzenia Lwa Tołstoja.

Przykłady logarytmów

Wyrażenia logarytmiczne

Przykład 1.
A). x=10ac^2 (a>0,c>0).

Korzystając z właściwości 3.5, obliczamy

4. Gdzie .

Przykład 2. Znajdź x jeśli

Przykład 3. Niech zostanie podana wartość logarytmów

Oblicz log(x), jeśli

Podstawowe własności logarytmów

Logarytmy, jak każdą liczbę, można dodawać, odejmować i przekształcać na różne sposoby. Ale ponieważ logarytmy nie są dokładnie regularne numery, istnieją tu zasady, które są tzw główne właściwości.

Zdecydowanie musisz znać te zasady - bez nich nie można rozwiązać ani jednego poważnego problemu logarytmicznego. W dodatku jest ich bardzo mało – wszystkiego można się nauczyć w jeden dzień. Więc zacznijmy.

Dodawanie i odejmowanie logarytmów

Rozważmy dwa logarytmy o tych samych podstawach: logax i logay. Następnie można je dodawać i odejmować oraz:

logax + logay = loga(x y);
logax − logay = loga (x: y).

Zatem suma logarytmów jest równa logarytmowi iloczynu, a różnica jest równa logarytmowi ilorazu. Uwaga: kluczową kwestią jest tutaj identyczne podstawy. Jeśli przyczyny są inne, zasady te nie działają!

Formuły te pomogą Ci obliczyć wyrażenie logarytmiczne, nawet jeśli nie zostaną uwzględnione jego poszczególne części (zobacz lekcję „Co to jest logarytm”). Spójrz na przykłady i zobacz:

Ponieważ logarytmy mają tę samą podstawę, stosujemy wzór na sumę:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Zadanie. Znajdź wartość wyrażenia: log2 48 − log2 3.

Podstawy są takie same, używamy wzoru na różnicę:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Zadanie. Znajdź wartość wyrażenia: log3 135 − log3 5.

Ponownie podstawy są takie same, więc mamy:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Jak widać, oryginalne wyrażenia składają się ze „złych” logarytmów, których nie oblicza się osobno. Ale po przekształceniach otrzymuje się liczby całkowicie normalne. Wiele z nich opiera się na tym fakcie papiery testowe. Tak, wyrażenia przypominające test są oferowane z całą powagą (czasami praktycznie bez zmian) w ramach ujednoliconego egzaminu państwowego.

Wyodrębnianie wykładnika z logarytmu

Łatwo zauważyć, że ostatnia reguła wynika z dwóch pierwszych. Ale i tak lepiej o tym pamiętać - w niektórych przypadkach znacznie zmniejszy to ilość obliczeń.

Oczywiście wszystkie te zasady mają sens, jeśli zachowa się ODZ logarytmu: a > 0, a ≠ 1, x > 0. I jeszcze jedno: naucz się stosować wszystkie wzory nie tylko od lewej do prawej, ale także odwrotnie , tj. Liczby przed znakiem logarytmu można wprowadzić do samego logarytmu. To jest to, czego najczęściej potrzeba.

Zadanie. Znajdź wartość wyrażenia: log7 496.

Pozbądźmy się stopnia w argumencie, korzystając z pierwszej formuły:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Zadanie. Znajdź znaczenie wyrażenia:

Zauważ, że w mianowniku znajduje się logarytm, którego podstawą i argumentem są dokładne potęgi: 16 = 24; 49 = 72. Mamy:

Myślę, że ostatni przykład wymaga pewnego wyjaśnienia. Gdzie się podziały logarytmy? Do ostatniej chwili pracujemy tylko z mianownikiem.

Wzory logarytmiczne. Logarytmy – przykłady rozwiązań.

Przedstawiliśmy podstawę i argument stojącego tam logarytmu w postaci potęg i wyciągnęliśmy wykładniki - otrzymaliśmy ułamek „trzypiętrowy”.

Teraz spójrzmy na ułamek główny. Licznik i mianownik zawierają tę samą liczbę: log2 7. Ponieważ log2 7 ≠ 0, możemy ułamek skrócić - w mianowniku pozostanie 2/4. Zgodnie z zasadami arytmetyki czwórkę można przenieść do licznika, co też uczyniono. W rezultacie otrzymaliśmy odpowiedź: 2.

Przejście na nowy fundament

Mówiąc o zasadach dodawania i odejmowania logarytmów, szczególnie podkreśliłem, że działają one tylko na tych samych podstawach. A co jeśli przyczyny są inne? A co jeśli nie są to dokładne potęgi tej samej liczby?

Na ratunek przychodzą formuły przejścia na nowy fundament. Sformułujmy je w formie twierdzenia:

Niech zostanie podany logarytm logax. Wtedy dla dowolnej liczby c takiej, że c > 0 i c ≠ 1, prawdziwa jest równość:

W szczególności, jeśli ustawimy c = x, otrzymamy:

Z drugiego wzoru wynika, że podstawę i argument logarytmu można zamienić, ale w tym przypadku całe wyrażenie jest „odwrócone”, tj. logarytm pojawia się w mianowniku.

Formuły te rzadko można znaleźć w konwencjonalnych wyrażenia numeryczne. Można ocenić, jak wygodne są one tylko przy rozwiązywaniu równań logarytmicznych i nierówności.

Istnieją jednak problemy, których w ogóle nie da się rozwiązać, chyba że przeprowadzka na nowy fundament. Przyjrzyjmy się kilku z nich:

Zadanie. Znajdź wartość wyrażenia: log5 16 log2 25.

Należy zauważyć, że argumenty obu logarytmów zawierają dokładne potęgi. Wyjmijmy wskaźniki: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Teraz „odwróćmy” drugi logarytm:

Ponieważ iloczyn nie zmienia się przy przestawianiu czynników, spokojnie pomnożyliśmy cztery przez dwa, a potem zajęliśmy się logarytmami.

Zadanie. Znajdź wartość wyrażenia: log9 100 lg 3.

Podstawą i argumentem pierwszego logarytmu są potęgi dokładne. Zapiszmy to i pozbądźmy się wskaźników:

Teraz pozbądźmy się logarytmu dziesiętnego, przechodząc do nowej podstawy:

Podstawowa tożsamość logarytmiczna

Często w procesie rozwiązywania konieczne jest przedstawienie liczby jako logarytm o danej podstawie. W takim przypadku pomocne będą nam następujące formuły:

W pierwszym przypadku liczba n staje się wykładnikiem argumentu. Liczba n może być absolutnie dowolna, ponieważ jest to tylko wartość logarytmiczna.

Druga formuła jest właściwie sparafrazowaną definicją. Tak to się nazywa: .

W rzeczywistości, co się stanie, jeśli liczbę b podniesie się do takiej potęgi, że liczba b do tej potęgi da liczbę a? Zgadza się: wynikiem jest ta sama liczba a. Przeczytaj uważnie ten akapit jeszcze raz – wiele osób utknie na nim.

Podobnie jak wzory na przejście do nowej bazy, podstawowa tożsamość logarytmiczna jest czasami jedynym możliwym rozwiązaniem.

Zadanie. Znajdź znaczenie wyrażenia:

Zauważ, że log25 64 = log5 8 - po prostu wzięto kwadrat z podstawy i argumentu logarytmu. Uwzględniając zasady mnożenia potęg o tej samej podstawie otrzymujemy:

Jeśli ktoś nie wie, to było to prawdziwe zadanie z Unified State Exam :)

Jednostka logarytmiczna i zero logarytmiczne

Podsumowując, podam dwie tożsamości, które trudno nazwać właściwościami - są one raczej konsekwencjami definicji logarytmu. Ciągle pojawiają się w problemach i, co zaskakujące, stwarzają problemy nawet dla „zaawansowanych” uczniów.

logaa = 1 jest. Zapamiętaj raz na zawsze: logarytm dowolnej podstawy a tej podstawy jest równy jeden.
loga 1 = 0 jest. Podstawą a może być dowolna, ale jeśli argument zawiera jedynkę, logarytm jest równy zeru! Ponieważ a0 = 1 jest bezpośrednią konsekwencją definicji.

To wszystkie właściwości. Pamiętaj, aby przećwiczyć ich wdrażanie! Pobierz ściągawkę znajdującą się na początku lekcji, wydrukuj ją i rozwiąż zadania.

Zobacz też:

Logarytm b oparty na a oznacza wyrażenie. Obliczenie logarytmu oznacza znalezienie potęgi x (), przy której spełniona jest równość

Podstawowe własności logarytmu

Znajomość powyższych właściwości jest konieczna, ponieważ na ich podstawie rozwiązuje się prawie wszystkie problemy i przykłady związane z logarytmami. Pozostałe egzotyczne właściwości można wyprowadzić poprzez manipulacje matematyczne tymi wzorami

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Obliczając wzór na sumę i różnicę logarytmów (3.4), można spotkać się dość często. Pozostałe są nieco skomplikowane, ale w wielu zadaniach są niezbędne do uproszczenia złożonych wyrażeń i obliczenia ich wartości.

Typowe przypadki logarytmów

Niektóre z typowych logarytmów to te, których podstawa wynosi dziesięć, wykładnicza lub dwie.
Logarytm o podstawie dziesiątej jest zwykle nazywany logarytmem dziesiętnym i jest po prostu oznaczany przez lg(x).

Z nagrania jasno wynika, że w nagraniu nie są zapisane podstawy. Na przykład

Logarytm naturalny to logarytm, którego podstawa jest wykładnikiem (oznaczonym przez ln(x)).

Wykładnik wynosi 2,718281828…. Aby zapamiętać wykładnik, możesz przestudiować regułę: wykładnik jest równy 2,7 i dwukrotności roku urodzenia Lwa Nikołajewicza Tołstoja. Znając tę zasadę, poznasz zarówno dokładną wartość wykładnika, jak i datę urodzenia Lwa Tołstoja.

I inny ważny logarytm o podstawie dwa jest oznaczony przez

Pochodna logarytmu funkcji jest równa jedności podzielonej przez zmienną

Logarytm całkowy lub pierwotny jest określony przez relację

Podany materiał wystarczy do rozwiązania szerokiej klasy problemów związanych z logarytmami i logarytmami. Aby pomóc Ci zrozumieć materiał, podam tylko kilka typowych przykładów program nauczania i uniwersytety.

Przykłady logarytmów

Wyrażenia logarytmiczne

Przykład 1.
A). x=10ac^2 (a>0,c>0).

Korzystając z właściwości 3.5, obliczamy

2.
Z własności różnicy logarytmów mamy

3.
Korzystając z właściwości 3.5 znajdujemy

4. Gdzie .

Pozornie złożone wyrażenie można uprościć, stosując szereg reguł

Znajdowanie wartości logarytmicznych

Przykład 2. Znajdź x jeśli

Rozwiązanie. Do obliczeń stosujemy się do właściwości ostatniego członu 5 i 13

Nagrywamy to i opłakujemy

Ponieważ podstawy są równe, przyrównujemy wyrażenia

Logarytmy. Pierwszy poziom.

Niech zostanie podana wartość logarytmów

Oblicz log(x), jeśli

Rozwiązanie: Weźmy logarytm zmiennej i zapiszmy logarytm poprzez sumę jej wyrazów

To dopiero początek naszej znajomości logarytmów i ich własności. Ćwicz obliczenia, wzbogacaj swoje umiejętności praktyczne - zdobyta wiedza wkrótce będzie Ci potrzebna do rozwiązywania równań logarytmicznych. Po przestudiowaniu podstawowych metod rozwiązywania takich równań nie mniej poszerzymy Twoją wiedzę o kolejną ważny temat- nierówności logarytmiczne...

Podstawowe własności logarytmów

Logarytmy, jak każdą liczbę, można dodawać, odejmować i przekształcać na różne sposoby. Ale ponieważ logarytmy nie są dokładnie zwykłymi liczbami, istnieją tutaj zasady, które są nazywane główne właściwości.

Dodawanie i odejmowanie logarytmów

Rozważmy dwa logarytmy o tych samych podstawach: logax i logay. Następnie można je dodawać i odejmować oraz:

logax + logay = loga(x y);
logax − logay = loga (x: y).

Zadanie. Znajdź wartość wyrażenia: log6 4 + log6 9.

Ponieważ logarytmy mają tę samą podstawę, stosujemy wzór na sumę:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Zadanie. Znajdź wartość wyrażenia: log2 48 − log2 3.

Podstawy są takie same, używamy wzoru na różnicę:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Zadanie. Znajdź wartość wyrażenia: log3 135 − log3 5.

Ponownie podstawy są takie same, więc mamy:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Jak widać, oryginalne wyrażenia składają się ze „złych” logarytmów, których nie oblicza się osobno. Ale po przekształceniach otrzymuje się liczby całkowicie normalne. Wiele testów opiera się na tym fakcie. Tak, wyrażenia przypominające test są oferowane z całą powagą (czasami praktycznie bez zmian) w ramach ujednoliconego egzaminu państwowego.

Wyodrębnianie wykładnika z logarytmu

Teraz skomplikujmy trochę zadanie. A co jeśli podstawą lub argumentem logarytmu jest potęga? Następnie wykładnik tego stopnia można odjąć od znaku logarytmu według następujących zasad:

Łatwo zauważyć, że ostatnia reguła wynika z dwóch pierwszych. Ale i tak lepiej o tym pamiętać - w niektórych przypadkach znacznie zmniejszy to ilość obliczeń.

Jak rozwiązywać logarytmy

To jest to, czego najczęściej potrzeba.

Zadanie. Znajdź wartość wyrażenia: log7 496.

Pozbądźmy się stopnia w argumencie, korzystając z pierwszej formuły:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Zadanie. Znajdź znaczenie wyrażenia:

Zauważ, że w mianowniku znajduje się logarytm, którego podstawą i argumentem są dokładne potęgi: 16 = 24; 49 = 72. Mamy:

Myślę, że ostatni przykład wymaga pewnego wyjaśnienia. Gdzie się podziały logarytmy? Do ostatniej chwili pracujemy tylko z mianownikiem. Przedstawiliśmy podstawę i argument stojącego tam logarytmu w postaci potęg i wyciągnęliśmy wykładniki - otrzymaliśmy ułamek „trzypiętrowy”.

Przejście na nowy fundament

Na ratunek przychodzą formuły przejścia na nowy fundament. Sformułujmy je w formie twierdzenia:

Niech zostanie podany logarytm logax. Wtedy dla dowolnej liczby c takiej, że c > 0 i c ≠ 1, prawdziwa jest równość:

W szczególności, jeśli ustawimy c = x, otrzymamy:

Z drugiego wzoru wynika, że podstawę i argument logarytmu można zamienić, ale w tym przypadku całe wyrażenie jest „odwrócone”, tj. logarytm pojawia się w mianowniku.

Formuły te rzadko występują w zwykłych wyrażeniach liczbowych. Można ocenić, jak wygodne są one tylko przy rozwiązywaniu równań logarytmicznych i nierówności.

Istnieją jednak problemy, których w ogóle nie da się rozwiązać, chyba że przeprowadzka na nowy fundament. Przyjrzyjmy się kilku z nich:

Zadanie. Znajdź wartość wyrażenia: log5 16 log2 25.

Należy zauważyć, że argumenty obu logarytmów zawierają dokładne potęgi. Wyjmijmy wskaźniki: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Teraz „odwróćmy” drugi logarytm:

Ponieważ iloczyn nie zmienia się przy przestawianiu czynników, spokojnie pomnożyliśmy cztery przez dwa, a potem zajęliśmy się logarytmami.

Zadanie. Znajdź wartość wyrażenia: log9 100 lg 3.

Podstawą i argumentem pierwszego logarytmu są potęgi dokładne. Zapiszmy to i pozbądźmy się wskaźników:

Teraz pozbądźmy się logarytmu dziesiętnego, przechodząc do nowej podstawy:

Podstawowa tożsamość logarytmiczna

Często w procesie rozwiązywania konieczne jest przedstawienie liczby jako logarytm o danej podstawie. W takim przypadku pomocne będą nam następujące formuły:

W pierwszym przypadku liczba n staje się wykładnikiem argumentu. Liczba n może być absolutnie dowolna, ponieważ jest to tylko wartość logarytmiczna.

Druga formuła jest właściwie sparafrazowaną definicją. Tak to się nazywa: .

Podobnie jak wzory na przejście do nowej bazy, podstawowa tożsamość logarytmiczna jest czasami jedynym możliwym rozwiązaniem.

Zadanie. Znajdź znaczenie wyrażenia:

Zauważ, że log25 64 = log5 8 - po prostu wzięto kwadrat z podstawy i argumentu logarytmu. Uwzględniając zasady mnożenia potęg o tej samej podstawie otrzymujemy:

Jeśli ktoś nie wie, to było to prawdziwe zadanie z Unified State Exam :)

Jednostka logarytmiczna i zero logarytmiczne

logaa = 1 jest. Zapamiętaj raz na zawsze: logarytm dowolnej podstawy a tej podstawy jest równy jeden.
loga 1 = 0 jest. Podstawą a może być dowolna, ale jeśli argument zawiera jedynkę, logarytm jest równy zeru! Ponieważ a0 = 1 jest bezpośrednią konsekwencją definicji.

To wszystkie właściwości. Pamiętaj, aby przećwiczyć ich wdrażanie! Pobierz ściągawkę znajdującą się na początku lekcji, wydrukuj ją i rozwiąż zadania.

W miarę rozwoju społeczeństwa i coraz bardziej złożonej produkcji rozwijała się także matematyka. Przejście od prostego do złożonego. Ze zwykłej księgowości metodą dodawania i odejmowania, z ich wielokrotnym powtarzaniem, doszliśmy do pojęcia mnożenia i dzielenia. Ograniczenie powtarzającej się operacji mnożenia stało się koncepcją potęgowania. Pierwsze tablice zależności liczb od podstawy i liczby potęgowań zostały opracowane już w VIII wieku przez indyjskiego matematyka Varasenę. Z nich można policzyć czas wystąpienia logarytmów.

Szkic historyczny

Odrodzenie Europy w XVI wieku pobudziło także rozwój mechaniki. T wymagało dużej ilości obliczeń związane z mnożeniem i dzieleniem liczby wielocyfrowe. Starożytne stoły były bardzo przydatne. Pozwolili na wymianę złożone operacje do prostszych - dodawanie i odejmowanie. Dużym krokiem naprzód była praca matematyka Michaela Stiefela, opublikowana w 1544 roku, w której zrealizował ideę wielu matematyków. Umożliwiło to wykorzystanie tablic nie tylko dla potęg w postaci liczb pierwszych, ale także dla dowolnych liczb wymiernych.

W 1614 r. Szkot John Napier, rozwijając te idee, po raz pierwszy wprowadził nowy termin „logarytm liczby”. Opracowano nowe złożone tabele do obliczania logarytmów sinusów i cosinusów, a także stycznych. To znacznie ograniczyło pracę astronomów.

Zaczęły pojawiać się nowe tablice, z których naukowcy z powodzeniem korzystali przez trzy stulecia. Dużo czasu minęło wcześniej nowa operacja w algebrze uzyskał on pełną formę. Podano definicję logarytmu i zbadano jego właściwości.

Dopiero w XX wieku, wraz z pojawieniem się kalkulatora i komputera, ludzkość porzuciła starożytne tablice, które z powodzeniem działały przez cały XIII wiek.

Dzisiaj nazywamy logarytm b opierając a na liczbie x, która jest potęgą a dającą b. Zapisuje się to jako wzór: x = log a(b).

Na przykład log 3(9) będzie równy 2. Jest to oczywiste, jeśli postępujesz zgodnie z definicją. Jeśli podniesiemy 3 do potęgi 2, otrzymamy 9.

Tak więc sformułowana definicja stawia tylko jedno ograniczenie: liczby a i b muszą być rzeczywiste.

Rodzaje logarytmów

Klasyczna definicja nazywa się logarytmem rzeczywistym i jest w rzeczywistości rozwiązaniem równania a x = b. Opcja a = 1 jest na granicy i nie jest interesująca. Uwaga: 1 do dowolnej potęgi równa się 1.

Rzeczywista wartość logarytmu zdefiniowane tylko wtedy, gdy podstawa i argument są większe niż 0, a podstawa nie może być równa 1.

Szczególne miejsce w dziedzinie matematyki zagraj w logarytmy, które będą nazywane w zależności od wielkości ich podstawy:

Zasady i ograniczenia

Podstawową właściwością logarytmów jest zasada: logarytm iloczynu jest równy sumie logarytmicznej. log abp = log a(b) + log a(p).

Wariantem tego stwierdzenia będzie: log c(b/p) = log c(b) - log c(p), iloraz funkcji jest równy różnicy funkcji.

Z dwóch poprzednich reguł łatwo zauważyć, że: log a(b p) = p * log a(b).

Inne właściwości obejmują:

Komentarz. Nie ma potrzeby popełniać typowego błędu - logarytm sumy nie jest równy sumie logarytmów.

Przez wiele stuleci operacja znajdowania logarytmu była zadaniem dość czasochłonnym. Matematycy posługiwali się dobrze znanym wzorem logarytmicznej teorii rozwinięcia wielomianu:

ln (1 + x) = x — (x^2)/2 + (x^3)/3 — (x^4)/4 + … + ((-1)^(n + 1))*(( x^n)/n), gdzie n - Liczba naturalna większa niż 1, co określa dokładność obliczeń.

Logarytmy o innych podstawach obliczono, korzystając z twierdzenia o przejściu z jednej podstawy do drugiej i własności logarytmu iloczynu.

Ponieważ metoda ta jest bardzo pracochłonna i przy rozwiązywaniu problemów praktycznych trudne do wdrożenia, wykorzystaliśmy gotowe tablice logarytmów, co znacznie przyspieszyło całą pracę.

W niektórych przypadkach stosowano specjalnie opracowane wykresy logarytmów, co dawało mniejszą dokładność, ale znacznie przyspieszało poszukiwanie pożądanej wartości. Krzywa funkcji y = log a(x), zbudowana w kilku punktach, pozwala za pomocą zwykłej linijki znaleźć wartość funkcji w dowolnym innym punkcie. Inżynierowie długi czas Do tych celów używano tzw. papieru milimetrowego.

W XVII wieku pojawiły się pierwsze pomocnicze warunki obliczeniowe analogowe, które 19 wiek uzyskał wykończony wygląd. Najbardziej udane urządzenie nazwano suwakiem logarytmicznym. Pomimo prostoty urządzenia, jego wygląd znacznie przyspieszył cały proces obliczenia inżynierskie i trudno to przecenić. Obecnie niewiele osób zna to urządzenie.

Pojawienie się kalkulatorów i komputerów sprawiło, że korzystanie z jakichkolwiek innych urządzeń stało się bezcelowe.

Równania i nierówności

Aby rozwiązać różne równania i nierówności za pomocą logarytmów, stosuje się następujące wzory:

Przechodzenie z jednej bazy do drugiej: log a(b) = log c(b) / log c(a);
Konsekwencją poprzedniej opcji: log a(b) = 1 / log b(a).

Aby rozwiązać nierówności, warto wiedzieć:

Wartość logarytmu będzie dodatnia tylko wtedy, gdy podstawa i argument będą większe lub mniejsze od jedności; jeżeli zostanie naruszony przynajmniej jeden warunek, wartość logarytmu będzie ujemna.
Jeżeli funkcję logarytmu zastosujemy do prawej i lewej strony nierówności, a podstawa logarytmu jest większa niż jeden, to znak nierówności zostaje zachowany; inaczej to się zmienia.

Przykładowe problemy

Rozważmy kilka opcji użycia logarytmów i ich właściwości. Przykłady rozwiązywania równań:

Rozważ możliwość umieszczenia logarytmu w potędze:

Zadanie 3. Oblicz 25^log 5(3). Rozwiązanie: w warunkach problemu wpis jest podobny do następującego (5^2)^log5(3) lub 5^(2 * log 5(3)). Zapiszmy to inaczej: 5^log 5(3*2), czyli kwadrat liczby jako argument funkcji, można zapisać jako kwadrat samej funkcji (5^log 5(3))^2. Korzystając z właściwości logarytmów, to wyrażenie jest równe 3^2. Odpowiedź: w wyniku obliczeń otrzymujemy 9.

Praktyczne użycie

Będąc narzędziem czysto matematycznym, wydaje się to dalekie od ideału prawdziwe życieże logarytm nagle zyskał bardzo ważne do opisywania obiektów świata rzeczywistego. Trudno znaleźć naukę, w której nie jest ona wykorzystywana. To jest w na całego dotyczy nie tylko przyrodniczych, ale także humanitarnych dziedzin wiedzy.

Zależności logarytmiczne

Oto kilka przykładów zależności numerycznych:

Mechanika i fizyka

Historycznie rzecz biorąc, mechanika i fizyka zawsze rozwijały się przy użyciu matematycznych metod badawczych i jednocześnie stanowiły zachętę do rozwoju matematyki, w tym logarytmów. Teoria większości praw fizyki jest napisana w języku matematyki. Podajmy tylko dwa przykłady opisu praw fizycznych za pomocą logarytmu.

Problem obliczenia tak złożonej wielkości, jak prędkość rakiety, można rozwiązać za pomocą wzoru Ciołkowskiego, który położył podwaliny pod teorię eksploracji kosmosu:

V = I * ln (M1/M2), gdzie

V to prędkość końcowa samolotu.
I – impuls właściwy silnika.
M 1 – masa początkowa rakiety.
M 2 – masa końcowa.

Kolejny ważny przykład- jest to stosowane we wzorze innego wielkiego naukowca Maxa Plancka, który służy do oceny stanu równowagi w termodynamice.

S = k * ln (Ω), gdzie

S – właściwość termodynamiczna.
k – stała Boltzmanna.
Ω jest wagą statystyczną różnych stanów.

Chemia

Mniej oczywiste jest stosowanie w chemii wzorów zawierających iloraz logarytmów. Podajmy tylko dwa przykłady:

Równanie Nernsta, stan potencjału redoks ośrodka w zależności od aktywności substancji i stałej równowagi.
Obliczenia takich stałych jak wskaźnik autolizy i kwasowość roztworu również nie da się wykonać bez naszej funkcji.

Psychologia i biologia

I wcale nie jest jasne, co ma z tym wspólnego psychologia. Okazuje się, że siłę czucia dobrze opisuje ta funkcja jako odwrotny stosunek wartości natężenia bodźca do wartości natężenia niższego.

Po powyższych przykładach nie jest już zaskakujące, że temat logarytmów jest szeroko stosowany w biologii. O formach biologicznych odpowiadających spiralom logarytmicznym można napisać całe tomy.

Inne obszary

Wydaje się, że istnienie świata nie jest możliwe bez związku z tą funkcją i rządzi ona wszelkimi prawami. Zwłaszcza, gdy prawa natury są powiązane postęp geometryczny. Warto zajrzeć na stronę MatProfi, a takich przykładów jest wiele w następujących obszarach działalności:

Lista może nie mieć końca. Po opanowaniu podstawowych zasad tej funkcji możesz zanurzyć się w świat nieskończonej mądrości.