W tym artykule opowiem o jak znaleźć średnią odchylenie standardowe . Materiał ten jest niezwykle ważny dla pełnego zrozumienia matematyki, dlatego korepetytor matematyki powinien poświęcić mu osobną lekcję lub nawet kilka. W tym artykule znajdziesz link do szczegółowego i zrozumiałego samouczka wideo, który wyjaśnia, czym jest odchylenie standardowe i jak je znaleźć.
Odchylenie standardowe umożliwia ocenę rozrzutu wartości uzyskanych w wyniku pomiaru określonego parametru. Oznaczone symbolem (grecka litera „sigma”).
Wzór na obliczenia jest dość prosty. Aby znaleźć odchylenie standardowe, należy wziąć pierwiastek kwadratowy z wariancji. Zatem teraz musisz zadać sobie pytanie: „Co to jest wariancja?”
Co to jest wariancja
Definicja wariancji wygląda następująco. Dyspersja to średnia arytmetyczna kwadratów odchyleń wartości od średniej.
Aby znaleźć wariancję, wykonaj kolejno następujące obliczenia:
- Określ średnią (prostą średnią arytmetyczną szeregu wartości).
- Następnie odejmij średnią od każdej wartości i podnieś uzyskaną różnicę do kwadratu (otrzymasz kwadratowa różnica).
- Następnym krokiem jest obliczenie średniej arytmetycznej uzyskanych kwadratów różnic (dlaczego dokładnie dowiesz się z kwadratów poniżej).
Spójrzmy na przykład. Załóżmy, że ty i twoi przyjaciele decydujecie się zmierzyć wzrost swoich psów (w milimetrach). W wyniku pomiarów otrzymałeś następujące wymiary wysokości (w kłębie): 600 mm, 470 mm, 170 mm, 430 mm i 300 mm.
Obliczmy średnią, wariancję i odchylenie standardowe.
Najpierw znajdźmy średnią wartość. Jak już wiesz, aby to zrobić, musisz dodać wszystkie zmierzone wartości i podzielić przez liczbę pomiarów. Postęp obliczeń:
Średnia mm.
Zatem średnia (średnia arytmetyczna) wynosi 394 mm.
Teraz musimy ustalić odchylenie wzrostu każdego psa od średniej:
Wreszcie, do obliczenia wariancji, kwadratujemy każdą z powstałych różnic, a następnie znajdujemy średnią arytmetyczną uzyskanych wyników:
Dyspersja mm 2 .
Zatem dyspersja wynosi 21704 mm2.
Jak znaleźć odchylenie standardowe
Jak więc możemy teraz obliczyć odchylenie standardowe, znając wariancję? Jak pamiętamy, weź pierwiastek kwadratowy z tego. Oznacza to, że odchylenie standardowe jest równe:
Mm (w zaokrągleniu do najbliższej liczby całkowitej w mm).
Korzystając z tej metody, odkryliśmy, że niektóre psy (na przykład rottweilery) są bardzo duże psy. Ale są też bardzo małe psy (na przykład jamniki, ale nie należy im tego mówić).
Najciekawsze jest to, że odchylenie standardowe niesie ze sobą przydatna informacja. Teraz możemy pokazać, które z uzyskanych wyników pomiarów wzrostu mieszczą się w przedziale, który otrzymamy, jeśli wykreślimy odchylenie standardowe od średniej (po obu jej stronach).
Oznacza to, że korzystając z odchylenia standardowego, otrzymujemy metodę „standardową”, która pozwala nam dowiedzieć się, która z wartości jest normalna (statystycznie średnia), a która wyjątkowo duża lub odwrotnie mała.
Co to jest odchylenie standardowe
Ale... wszystko będzie trochę inne, jeśli to przeanalizujemy próbka dane. W naszym przykładzie rozważaliśmy ogólna populacja. Oznacza to, że nasze 5 psów było jedynymi psami na świecie, które nas zainteresowały.
Ale jeśli dane są próbą (wartości wybrane z dużej populacji), wówczas obliczenia należy wykonać inaczej.
Jeśli istnieją wartości, to:
Wszystkie pozostałe obliczenia przeprowadza się podobnie, łącznie z określeniem średniej.
Na przykład, jeśli pięć naszych psów to tylko próbka populacji psów (wszystkich psów na planecie), musimy dokonać podziału przez 4, nie 5, mianowicie:
Wariancja próbki = 
mm2.
W tym przypadku odchylenie standardowe dla próbki jest równe 
mm (w zaokrągleniu do najbliższej liczby całkowitej).
Można powiedzieć, że dokonaliśmy pewnej „korekty” w przypadku, gdy nasze wartości są tylko małą próbką.
Notatka. Dlaczego dokładnie kwadratowe różnice?
Ale dlaczego przy obliczaniu wariancji bierzemy dokładnie kwadraty różnic? Załóżmy, że mierząc jakiś parametr, otrzymałeś następujący zestaw wartości: 4; 4; -4; -4. Jeśli po prostu zsumujemy między sobą bezwzględne odchylenia od średniej (różnice)... wartości ujemne znoszą się wzajemnie z dodatnimi:
.
Okazuje się, że ta opcja jest bezużyteczna. Może więc warto spróbować wartości bezwzględnych odchyleń (czyli modułów tych wartości)?
Na pierwszy rzut oka okazuje się to dobre (nawiasem mówiąc, wynikową wartość nazywa się średnim odchyleniem bezwzględnym), ale nie we wszystkich przypadkach. Spróbujmy innego przykładu. Niech wynik pomiaru przyjmie następujący zestaw wartości: 7; 1; -6; -2. Następnie średnie odchylenie bezwzględne wynosi:
Wow! Ponownie otrzymaliśmy wynik 4, choć różnice mają znacznie większy rozrzut.
Zobaczmy teraz, co się stanie, jeśli podniesiemy różnice do kwadratu (a następnie wyciągniemy pierwiastek kwadratowy z ich sumy).
Dla pierwszego przykładu będzie to:
.
Dla drugiego przykładu będzie to:
Teraz to zupełnie inna sprawa! Im większy rozrzut różnic, tym większe jest odchylenie standardowe… do czego właśnie dążyliśmy.
Faktycznie, w Ta metoda Stosuje się tę samą zasadę, co przy obliczaniu odległości między punktami, tylko w inny sposób.
Z matematycznego punktu widzenia użycie kwadratów i pierwiastki kwadratowe zapewnia więcej korzyści, niż moglibyśmy uzyskać z wartości bezwzględnych odchyleń, dzięki czemu odchylenie standardowe ma zastosowanie do innych problemów matematycznych.
Siergiej Waleriewicz powiedział ci, jak znaleźć odchylenie standardowe
Odchylenie standardowe(synonimy: odchylenie standardowe, odchylenie standardowe, odchylenie kwadratowe; terminy pokrewne: odchylenie standardowe, standardowy spread) - w teorii prawdopodobieństwa i statystyce najczęstszy wskaźnik rozproszenia wartości zmiennej losowej w stosunku do jej oczekiwań matematycznych. W przypadku ograniczonych tablic próbek wartości zamiast oczekiwanie matematyczne stosuje się średnią arytmetyczną populacji próbnej.
Encyklopedyczny YouTube
-
1 / 5
Odchylenie standardowe mierzy się w samych jednostkach miary zmienna losowa i jest stosowany przy obliczaniu błędu standardowego średniej arytmetycznej, przy konstruowaniu przedziałów ufności, przy statystycznym testowaniu hipotez, przy pomiarze liniowej zależności między zmiennymi losowymi. Zdefiniowany jako pierwiastek kwadratowy wariancji zmiennej losowej.
Odchylenie standardowe:
s = n n - 1 σ 2 = 1 n - 1 ∑ ja = 1 n (x ja - x ¯) 2 ; (\ Displaystyle s = (\ sqrt ({\ Frac (n) (n-1)) \ sigma ^ (2)}) = (\ sqrt ({\ Frac (1) (n-1)) \ suma _ ( i=1)^(n)\lewo(x_(i)-(\bar (x))\prawo)^(2)));)- Uwaga: Bardzo często występują rozbieżności w nazwach MSD (odchylenie średniokwadratowe) i STD (odchylenie standardowe) z ich wzorami. Na przykład w module numPy języka programowania Python funkcja std() jest opisana jako „odchylenie standardowe”, podczas gdy formuła odzwierciedla odchylenie standardowe (podzielenie przez pierwiastek próbki). W programie Excel funkcja STANDARDEVAL() jest inna (dzielenie przez pierwiastek z n-1).
Odchylenie standardowe(oszacowanie odchylenia standardowego zmiennej losowej X w stosunku do oczekiwań matematycznych opartych na bezstronnym oszacowaniu wariancji) s (\ displaystyle s):
σ = 1 n ∑ ja = 1 n (x ja - x ¯) 2 . (\ Displaystyle \ sigma = (\ sqrt ({\ Frac (1) (n)) \ suma _ (i = 1) ^ (n) \ lewo (x_ (i) - (\ bar (x)) \ prawo) ^(2))).)Gdzie σ 2 (\ Displaystyle \ sigma ^ (2))- dyspersja; x ja (\ displaystyle x_ (i)) - I element selekcji; n (\ displaystyle n)- wielkość próbki;
- średnia arytmetyczna próbki:x ¯ = 1 n ∑ ja = 1 n x ja = 1 n (x 1 + … + x n) . (\ Displaystyle (\ bar (x)) = (\ Frac (1) (n)) \ suma _ (i = 1) ^ (n) x_ (i) = (\ Frac (1) (n)) (x_ (1)+\ldots +x_(n)).)
Należy zauważyć, że oba szacunki są stronnicze. W ogólnym przypadku niemożliwe jest skonstruowanie obiektywnego oszacowania. Jednakże oszacowanie oparte na bezstronnym oszacowaniu wariancji jest spójne.
Zgodnie z GOST R 8.736-2011 odchylenie standardowe oblicza się za pomocą drugiego wzoru z tej sekcji. Proszę sprawdzić wyniki.
Zgodnie z GOST R 8.736-2011 odchylenie standardowe oblicza się za pomocą drugiego wzoru z tej sekcji. Proszę sprawdzić wyniki. (Reguła trzech sigm 3 σ (\ Displaystyle 3 \ sigma) ) - prawie wszystkie wartości zmiennej losowej o rozkładzie normalnym leżą w przedziale(x ¯ - 3 σ ; x ¯ + 3 σ) (\ Displaystyle \ lewo ({\ bar (x)) -3 \ sigma; (\ bar (x)) + 3 \ sigma \ prawo)} . Ściślej – z prawdopodobieństwem w przybliżeniu 0,9973 wartość zmiennej losowej o rozkładzie normalnym mieści się w określonym przedziale (pod warunkiem, że wartość x ¯ (\ Displaystyle (\ bar (x)))
prawdziwe, a nie uzyskane w wyniku przetwarzania próbki). . Ściślej – z prawdopodobieństwem w przybliżeniu 0,9973 wartość zmiennej losowej o rozkładzie normalnym mieści się w określonym przedziale (pod warunkiem, że wartość Jeśli prawdziwa wartość jest nieznany, to nie powinieneś go używaćσ (\ displaystyle \ sigma) , A S . Zatem, zasada trzech , A .
sigma zostaje zamieniona na regułę trzech
Interpretacja wartości odchylenia standardowego
Większa wartość odchylenia standardowego oznacza większy rozrzut wartości w prezentowanym zbiorze przy średniej wartości zbioru; odpowiednio mniejsza wartość pokazuje, że wartości w zestawie są zgrupowane wokół wartości średniej. Na przykład mamy trzy: (0, 0, 14, 14), (0, 6, 8, 14) i (6, 6, 8, 8). Wszystkie trzy zestawy mają średnie wartości równe 7 i odchylenia standardowe odpowiednio równe 7, 5 i 1. Ostatni zestaw ma małe odchylenie standardowe, ponieważ wartości w zestawie są zgrupowane wokół wartości średniej; pierwszy zestaw ma ich najwięcej bardzo ważne odchylenie standardowe - wartości w zestawie znacznie odbiegają od wartości średniej.
W sensie ogólnym odchylenie standardowe można uznać za miarę niepewności. Na przykład w fizyce odchylenie standardowe służy do określenia błędu serii kolejnych pomiarów pewnej wielkości. Wartość ta jest bardzo istotna dla określenia prawdopodobieństwa badanego zjawiska w porównaniu z wartością przewidywaną przez teorię: jeżeli średnia wartość pomiarów znacznie różni się od wartości przewidywanych przez teorię (duże odchylenie standardowe), wówczas należy ponownie sprawdzić uzyskane wartości lub sposób ich uzyskania. utożsamiane z ryzykiem portfelowym.
Klimat
Załóżmy, że istnieją dwa miasta o tej samej średniej maksymalnej temperaturze dziennej, ale jedno położone jest na wybrzeżu, a drugie na równinie. Wiadomo, że w miastach położonych na wybrzeżu występuje wiele różnych maksymalnych temperatur w ciągu dnia, które są niższe niż w miastach położonych w głębi lądu. Zatem odchylenie standardowe maksymalnych dobowych temperatur dla miasta nadmorskiego będzie mniejsze niż dla drugiego miasta, mimo że średnia wartość tej wartości jest taka sama, co w praktyce oznacza, że prawdopodobieństwo, że maksymalna temperatura powietrza w dowolny dzień w roku będzie wyższy od wartości średniej, wyższy dla miasta położonego w głębi lądu.
Sport
Załóżmy, że istnieje kilka drużyn piłkarskich, które oceniane są na podstawie pewnego zestawu parametrów, np. liczby strzelonych i straconych bramek, szans na zdobycie gola itp. Najprawdopodobniej najlepszy zespół w tej grupie będzie miał lepsze wartości na więcej parametrów. Im mniejsze odchylenie standardowe zespołu dla każdego z prezentowanych parametrów, tym bardziej przewidywalny jest wynik takiego zespołu; Z drugiej strony zespół z Świetna cena odchylenie standardowe jest trudne do przewidzenia wyniku, co z kolei tłumaczy się brakiem równowagi, np. silna obrona, ale ze słabym atakiem.
Stosowanie odchylenia standardowego parametrów drużyn pozwala w mniejszym lub większym stopniu przewidzieć wynik meczu pomiędzy dwoma zespołami, ocenić mocne strony i słabe strony rozkazy, a co za tym idzie wybrane metody walki.
Do obliczenia prostej średniej geometrycznej stosuje się wzór:
Ważone geometrycznie
Do wyznaczenia ważonej średniej geometrycznej stosuje się wzór:
Średnie średnice kół, rur i średnie boki kwadratów określa się za pomocą średniego kwadratu.
Wartości średnie kwadratowe służą do obliczenia niektórych wskaźników, na przykład współczynnika zmienności, który charakteryzuje rytm produkcji. Tutaj odchylenie standardowe od planowanej wielkości produkcji na dany okres wyznacza się za pomocą następującego wzoru:
Wartości te trafnie charakteryzują zmianę wskaźników ekonomicznych w stosunku do ich wartości bazowej, przyjętej w jej wartości średniej.
Kwadratowe proste
Średnią kwadratową oblicza się ze wzoru:
Ważone kwadratowo
Średni ważony kwadrat jest równy:
22. Bezwzględne wskaźniki zmienności obejmują:
zakres zmienności
średnie odchylenie liniowe
dyspersja
odchylenie standardowe
Zakres zmienności (r)
Zakres zmienności- jest różnicą między maksymalną i minimalną wartością atrybutu
Pokazuje granice, w jakich zmienia się wartość cechy w badanej populacji.
Doświadczenie zawodowe pięciu wnioskodawców w poprzedniej pracy wynosi: 2,3,4,7 i 9 lat. Rozwiązanie: zakres zmienności = 9 - 2 = 7 lat.
Dla uogólnionego opisu różnic wartości atrybutów średnie wskaźniki zmienności oblicza się w oparciu o uwzględnienie odchyleń od średniej arytmetycznej. Różnicę przyjmuje się jako odchylenie od średniej.
Jednocześnie, aby uniknąć skręcania się sumy odchyleń wariantów atrybutu od średniej do zera ( właściwość zerowaśrednia) albo musisz zignorować znaki odchylenia, to znaczy przyjąć tę sumę modulo, albo podnieść wartości odchylenia do kwadratu
Średnie odchylenie liniowe i kwadratowe
Przeciętny odchylenie liniowe jest średnią arytmetyczną bezwzględnych odchyleń poszczególnych wartości cechy od średniej.
Średnie odchylenie liniowe jest proste:
Doświadczenie zawodowe pięciu wnioskodawców w poprzedniej pracy wynosi: 2,3,4,7 i 9 lat.
W naszym przykładzie: lata;
Odpowiedź: 2,4 roku.
Średnie ważone odchylenie liniowe dotyczy danych zgrupowanych:
Średnie odchylenie liniowe, ze względu na swoją konwencję, jest stosowane w praktyce stosunkowo rzadko (w szczególności do charakteryzowania realizacji zobowiązań umownych w zakresie jednorodności dostaw; w analizie jakości produktu z uwzględnieniem cech technologicznych produkcji).
Odchylenie standardowe
Najdoskonalszą cechą zmienności jest odchylenie średniokwadratowe, które nazywa się standardem (lub odchyleniem standardowym). Odchylenie standardowe() jest równy pierwiastkowi kwadratowemu średniego odchylenia kwadratowego poszczególnych wartości atrybutu średniej arytmetycznej:
Odchylenie standardowe jest proste:
Do danych grupowanych stosuje się ważone odchylenie standardowe:
Pomiędzy pierwiastkiem średniokwadratowym a średnimi odchyleniami liniowymi w warunkach rozkładu normalnego występuje następujący stosunek: ~ 1,25.
Odchylenie standardowe, będące główną bezwzględną miarą zmienności, wykorzystywane jest do wyznaczania wartości rzędnych krzywej rozkładu normalnego, do obliczeń związanych z organizacją obserwacji próbek i ustalaniem dokładności charakterystyki próbki, a także do oceny granice zmienności cechy w populacji jednorodnej.
Mądrzy matematycy i statystycy wymyślili bardziej wiarygodny wskaźnik, choć w nieco innym celu - średnie odchylenie liniowe. Wskaźnik ten charakteryzuje miarę rozproszenia wartości zbioru danych wokół ich wartości średniej.
Aby pokazać miarę rozproszenia danych, należy najpierw zdecydować, na podstawie czego ten rozrzut będzie liczony – zwykle jest to wartość średnia. Następnie należy obliczyć, jak daleko wartości analizowanego zbioru danych różnią się od średniej. Wiadomo, że każdej wartości odpowiada pewna wartość odchylenia, nas jednak interesuje ocena całościowa, obejmująca całą populację. Dlatego średnie odchylenie oblicza się przy użyciu zwykłego wzoru na średnią arytmetyczną. Ale! Aby jednak obliczyć średnią odchyleń, należy je najpierw dodać. A jeśli dodamy liczby dodatnie i ujemne, zniosą się one nawzajem, a ich suma będzie dążyć do zera. Aby tego uniknąć, wszystkie odchylenia są brane modulo, to znaczy wszystkie liczby ujemne stają się dodatnie. Teraz średnie odchylenie pokaże uogólnioną miarę rozrzutu wartości. W rezultacie średnie odchylenie liniowe zostanie obliczone ze wzoru:
A– średnie odchylenie liniowe,
X– analizowany wskaźnik, z kreską powyżej – średnia wartość wskaźnika,
N– liczba wartości w analizowanym zbiorze danych,
Mam nadzieję, że operator sumowania nikogo nie przestraszy.
Średnie odchylenie liniowe obliczone przy użyciu określonego wzoru odzwierciedla średnie odchylenie bezwzględne od średni rozmiar dla tego agregatu.
Na zdjęciu czerwona linia to wartość średnia. Odchylenia każdej obserwacji od średniej są oznaczone małymi strzałkami. Są one brane modulo i sumowane. Następnie wszystko jest dzielone przez liczbę wartości.
Aby dokończyć obraz, musimy podać przykład. Załóżmy, że jest firma produkująca sadzonki do łopat. Każde sadzonki powinny mieć długość 1,5 metra, ale co ważniejsze, wszystkie powinny być takie same lub mieć jednak przynajmniej plus minus 5 cm nieostrożni pracownicy czasami odcinają 1,2 m, czasem 1,8 m Mieszkańcy lata są niezadowoleni. Dyrektor firmy zdecydował się przeprowadzić analizę statystyczną długości sadzonek. Wybrałem 10 sztuk, zmierzyłem ich długość, obliczyłem średnią i obliczyłem średnie odchylenie liniowe. Średnia okazała się dokładnie tyle, ile potrzeba - 1,5 m, ale średnie odchylenie liniowe wyniosło 0,16 m. Okazuje się więc, że każde cięcie jest dłuższe lub krótsze od potrzebnych średnio o 16 cm pracownicy . Tak naprawdę nie widziałem żadnego realnego zastosowania tego wskaźnika, więc sam wymyśliłem przykład. Istnieje jednak taki wskaźnik w statystykach.
Dyspersja
Podobnie jak średnie odchylenie liniowe, wariancja odzwierciedla również stopień rozproszenia danych wokół wartości średniej.
Wzór na obliczenie wariancji wygląda następująco:
(dla serii zmian (wariancja ważona))
(dla danych niezgrupowanych (prosta wariancja))Gdzie: σ 2 – dyspersja, Xi– analizujemy wskaźnik sq (wartość cechy), – średnią wartość wskaźnika, f i – liczbę wartości w analizowanym zbiorze danych.
Dyspersja to średni kwadrat odchyleń.
Najpierw obliczana jest wartość średnia, następnie różnica między każdą wartością pierwotną a wartością średnią jest podnoszona do kwadratu, mnożona przez częstotliwość odpowiedniej wartości atrybutu, dodawana, a następnie dzielona przez liczbę wartości w populacji.
Jednak w czysta forma, takie jak średnia arytmetyczna lub wskaźnik wariancji, nie jest używany. Jest to raczej wskaźnik pomocniczy i pośredni, stosowany w przypadku innych typów Analiza statystyczna.
Uproszczony sposób obliczania wariancji
Odchylenie standardowe
Aby wykorzystać wariancję do analizy danych, należy wziąć pierwiastek kwadratowy z wariancji. Okazuje się, że tzw odchylenie standardowe.
Nawiasem mówiąc, odchylenie standardowe nazywane jest również sigma - od greckiej litery, która je oznacza.
Odchylenie standardowe oczywiście charakteryzuje także miarę rozproszenia danych, jednak obecnie (w odróżnieniu od wariancji) można je porównać z danymi pierwotnymi. Z reguły średnie kwadratowe stosowane w statystykach dają dokładniejsze wyniki niż pomiary liniowe. Dlatego odchylenie standardowe jest dokładniejszą miarą rozproszenia danych niż średnie odchylenie liniowe.
Jednym z głównych narzędzi analizy statystycznej jest obliczanie odchylenia standardowego. Wskaźnik ten pozwala oszacować odchylenie standardowe dla próby lub populacji. Nauczmy się korzystać ze wzoru na odchylenie standardowe w programie Excel.
Od razu zdefiniujmy co to jest odchylenie standardowe i jak wygląda jego formuła. Wartość ta jest pierwiastkiem kwadratowym średniej liczba arytmetyczna kwadraty różnicy między wszystkimi wartościami szeregu i ich średnią arytmetyczną. Ten wskaźnik ma identyczną nazwę - odchylenie standardowe. Obie nazwy są całkowicie równoważne.
Ale oczywiście w Excelu użytkownik nie musi tego obliczać, ponieważ program robi wszystko za niego. Nauczmy się, jak obliczyć odchylenie standardowe w Excelu.
Obliczenia w Excelu
Możesz obliczyć określoną wartość w Excelu, używając dwóch funkcje specjalne STDEV.V(Przez próbna populacja) I STDEV.G(na podstawie populacji ogólnej). Zasada ich działania jest absolutnie taka sama, ale można je nazwać na trzy sposoby, które omówimy poniżej.
Metoda 1: Kreator funkcji
Metoda 2: Zakładka Formuły
Metoda 3: Ręczne wprowadzenie formuły
Istnieje również sposób na uniknięcie wywoływania okna argumentów. Aby to zrobić, musisz ręcznie wprowadzić formułę.
Jak widać mechanizm obliczania odchylenia standardowego w Excelu jest bardzo prosty. Użytkownik musi jedynie wprowadzić liczby z populacji lub odniesienia do komórek, które je zawierają. Wszystkie obliczenia wykonuje sam program. Znacznie trudniej jest zrozumieć, czym jest obliczony wskaźnik i jak wyniki obliczeń można zastosować w praktyce. Jednak zrozumienie tego już odnosi się bardziej do dziedziny statystyki niż do nauki pracy z oprogramowaniem.
