© Kugusheva Natalya Lvovna, 2009 Geometria, klasa 8 TRÓJKĄT CZTERY NIEZWYKŁE PUNKTY
Punkt przecięcia środkowych trójkąta Punkt przecięcia dwusiecznych trójkąta Punkt przecięcia wysokości trójkąta Punkt przecięcia dwusiecznych prostopadłych trójkąta
Mediana (BD) trójkąta to odcinek łączący wierzchołek trójkąta ze środkiem przeciwległego boku. Mediana A B C D
Środkowe trójkąta przecinają się w jednym punkcie (środek ciężkości trójkąta) i są przez ten punkt dzielone w stosunku 2:1, licząc od wierzchołka. AM: MA 1 = VM: MV 1 = SM:MS 1 = 2:1. A A 1 B B 1 M C C 1
Dwusieczna (AD) trójkąta to dwusieczna część kąta wewnętrznego trójkąta.
Każdy punkt dwusiecznej kąta nierozwiniętego jest w równej odległości od jego boków. I odwrotnie: każdy punkt leżący wewnątrz kąta i w równej odległości od boków kąta leży na jego dwusiecznej. A M B C
Wszystkie dwusieczne trójkąta przecinają się w jednym punkcie - środku okręgu wpisanego w trójkąt. C B 1 M A V A 1 C 1 O Promień okręgu (OM) jest prostopadłą rzuconą ze środka (TO) na bok trójkąta
WYSOKOŚĆ Wysokość (C D) trójkąta to odcinek prostopadły poprowadzony od wierzchołka trójkąta do prostej zawierającej przeciwny bok. A B C D
Wysokości trójkąta (lub ich przedłużenia) przecinają się w jednym punkcie. A A 1 B B 1 C C 1
ŚRODKOPROSTOPADŁA Dwusieczna prostopadłości (DF) to linia prostopadła do boku trójkąta i dzieląca go na pół. A D F B C
A M B m O Każdy punkt dwusiecznej prostopadłej (m) do odcinka jest w jednakowej odległości od końców tego odcinka. I odwrotnie: każdy punkt w równej odległości od końców odcinka leży na jego dwusiecznej prostopadłej.
Wszystkie prostopadłe dwusieczne boków trójkąta przecinają się w jednym punkcie - środku okręgu opisanego na trójkącie. A B C O Promień opisanego okręgu to odległość od środka okręgu do dowolnego wierzchołka trójkąta (OA). m n.p
Zadania dla uczniów Zbuduj okrąg wpisany w trójkąt rozwarty za pomocą kompasu i linijki. Aby to zrobić: Skonstruuj dwusieczne w trójkącie rozwartym, używając kompasu i linijki. Punkt przecięcia dwusiecznych jest środkiem okręgu. Konstruuj promień okręgu: prostą prostopadłą od środka okręgu do boku trójkąta. Skonstruuj okrąg wpisany w trójkąt.
2. Za pomocą kompasu i linijki skonstruuj okrąg opisujący trójkąt rozwarty. Aby to zrobić: Skonstruuj dwusieczne prostopadłe do boków trójkąta rozwartego. Punkt przecięcia tych prostopadłych jest środkiem opisanego okręgu. Promień okręgu to odległość od środka do dowolnego wierzchołka trójkąta. Skonstruuj okrąg wokół trójkąta.
Ministerstwo Edukacji Ogólnej i Zawodowej Obwodu Swierdłowska.
Miejska Instytucja Edukacyjna w Jekaterynburgu.
Instytucja edukacyjna – MOUSOSH nr 212 „Liceum Kulturalne w Jekaterynburgu”
Kierunek nauczania – matematyka.
Temat - geometria.
Niezwykłe punkty trójkąta
Referent: Uczeń klasy 8
Selitsky Dmitrij Konstantinowicz.
Doradca naukowy:
Rabkanow Siergiej Pietrowicz.
Jekaterynburg, 2001
Wstęp 3
Część opisowa:
Ortocentrum 4
Centrum Lodowe 5
Środek ciężkości 7
Obwód środkowy 8
Linia Eulera 9
Część praktyczna:
Trójkąt ortocentryczny 10
Wniosek 11
Referencje 11
Wstęp.
Geometria zaczyna się od trójkąta. Od dwóch i pół tysiącleci trójkąt jest symbolem geometrii. Ciągle odkrywane są jego nowe właściwości. Omówienie wszystkich znanych właściwości trójkąta zajmie dużo czasu. Zainteresowało mnie tzw. Cudowne punkty trójkąt." Przykładem takich punktów jest punkt przecięcia dwusiecznych. Niezwykłą rzeczą jest to, że jeśli weźmiesz trzy dowolne punkty w przestrzeni, zbudujesz z nich trójkąt i narysujesz dwusieczne, to one (dwusieczne) przetną się w jednym punkcie! Wydawałoby się, że nie jest to możliwe, bo przyjęliśmy punkty arbitralnie, ale ta zasada zawsze obowiązuje. Inne „niezwykłe punkty” mają podobne właściwości.
Po przeczytaniu literatury na ten temat ustaliłem dla siebie definicje i właściwości pięciu cudownych punktów i trójkąta. Ale moja praca na tym się nie skończyła; chciałem sam zbadać te punkty.
Dlatego cel Praca ta jest badaniem pewnych niezwykłych właściwości trójkąta i badaniem trójkąta ortocentrycznego. W procesie osiągania tego celu można wyróżnić następujące etapy:
Dobór literatury pod okiem nauczyciela
Badanie podstawowych właściwości niezwykłych punktów i linii trójkąta
Uogólnienie tych właściwości
Ułożenie i rozwiązanie zadania dotyczącego trójkąta ortocentrycznego
Wyniki uzyskane w niniejszej pracy badawczej przedstawiłem. Wszystkie rysunki wykonałem przy użyciu grafiki komputerowej (edytor grafiki wektorowej CorelDRAW).
Ortocentrum. (Punkt przecięcia wysokości)
Udowodnijmy, że wysokości przecinają się w jednym punkcie. Poprowadzimy Cię przez szczyty A, W I Z trójkąt ABC linie proste równoległe do przeciwległych boków. Linie te tworzą trójkąt A 1 W 1 Z 1 . wysokość trójkąta ABC są dwusiecznymi prostopadłymi do boków trójkąta A 1 W 1 Z 1 . dlatego przecinają się w jednym punkcie - w środku okręgu opisanego na trójkącie A 1 W 1 Z 1 . Punkt przecięcia wysokości trójkąta nazywa się ortocentrum ( H).
Icentrum to środek okręgu wpisanego.
(Punkt przecięcia dwusiecznych)
Udowodnijmy, że dwusieczne kątów trójkąta ABC przecinają się w jednym punkcie. Rozważ tę kwestię O przecięcia dwusiecznych kątów A I W. dowolne punkty dwusiecznej kąta A są w jednakowej odległości od prostych AB I AC i dowolny punkt dwusiecznej kąta W w równej odległości od linii prostych AB I Słońce, więc punkt O w równej odległości od linii prostych AC I Słońce, tj. leży na dwusiecznej kąta Z. kropka O w równej odległości od linii prostych AB, Słońce I SA, co oznacza, że istnieje okrąg ze środkiem O, styczna do tych linii, a punkty styczności leżą na samych bokach, a nie na ich przedłużeniach. W rzeczywistości kąty w wierzchołkach A I W trójkąt AOB ostry, a zatem punkt projekcyjny O bezpośrednio AB leży wewnątrz segmentu AB.
Na imprezy Słońce I SA dowód jest podobny.
Lodowiec ma trzy właściwości:
Jeśli kontynuacja dwusiecznej kąta Z przecina okrąg opisany na trójkącie ABC w tym punkcie M, To MAMA=SN=MO.
Jeśli AB- podstawa trójkąta równoramiennego ABC, następnie okrąg styczny do boków kąta ŚREDNICA w punktach A I W, przechodzi przez punkt O.
Jeżeli linia przechodzi przez punkt O równolegle do boku AB, przecina boki Słońce I SA w punktach A 1 I W 1 , To A 1 W 1 =A 1 W+AB 1 .
Środek ciężkości. (Punkt przecięcia środkowych)
Udowodnijmy, że środkowe trójkąta przecinają się w jednym punkcie. W tym celu rozważ tę kwestię M, w którym przecinają się środkowe AA 1 I nocleg ze śniadaniem 1 . narysujmy trójkąt nocleg ze śniadaniem 1 Z linia środkowa A 1 A 2 , równoległy nocleg ze śniadaniem 1 . Następnie A 1 M:AM=W 1 A 2 :AB 1 =W 1 A 2 :W 1 Z=VA 1 :SŁOŃCE=1:2, tj. środkowy punkt przecięcia nocleg ze śniadaniem 1 I AA 1 dzieli medianę AA 1 w proporcji 1:2. Podobnie punkt przecięcia środkowych SS 1 I AA 1 dzieli medianę AA 1 w proporcji 1:2. Dlatego punkt przecięcia środkowych AA 1 I nocleg ze śniadaniem 1 pokrywa się z punktem przecięcia środkowych AA 1 I SS 1 .
Jeśli punkt przecięcia środkowych trójkąta połączymy z wierzchołkami, wówczas trójkąty zostaną podzielone na trzy trójkąty o równych polach. Rzeczywiście wystarczy udowodnić, że jeśli R– dowolny punkt środkowej AA 1 w trójkącie ABC, a następnie pola trójkątów AVR I AKP są równe. W końcu mediany AA 1 I RA 1 w trójkątach ABC I RVS potnij je na trójkąty o równych polach.
Odwrotne stwierdzenie jest również prawdziwe: jeśli w pewnym momencie R, leżący wewnątrz trójkąta ABC, obszar trójkątów AVR, W ŚRODĘ I SAR są więc równe R– punkt przecięcia środkowych.
Punkt przecięcia ma jeszcze jedną właściwość: jeśli wytniesz z dowolnego materiału trójkąt, narysujesz na nim środkowe, w miejscu przecięcia środkowych zamocujesz pręt i zabezpieczysz zawieszenie na statywie, to model (trójkąt) będzie w stan równowagi, dlatego punkt przecięcia jest niczym innym jak środkiem ciężkości trójkąta.
Środek okręgu opisanego.
Udowodnijmy, że istnieje punkt w jednakowej odległości od wierzchołków trójkąta, czyli innymi słowy, że istnieje okrąg przechodzący przez trzy wierzchołki trójkąta. Miejsce punktów w równej odległości od punktów A I W, jest prostopadła do odcinka AB, przechodząc przez jego środek (symetralna prostopadła do odcinka AB). Rozważ tę kwestię O, w którym dwusieczne prostopadłych odcinków przecinają się AB I Słońce. Kropka O w równej odległości od punktów A I W, a także z punktów W I Z. dlatego jest w równej odległości od punktów A I Z, tj. leży również na dwusiecznej prostopadłej do odcinka AC.
Centrum O okrąg opisany leży wewnątrz trójkąta tylko wtedy, gdy trójkąt jest ostry. Jeśli trójkąt jest prostokątny, to punkt O pokrywa się ze środkiem przeciwprostokątnej, a jeśli kąt w wierzchołku Z tępe, a potem proste AB oddziela punkty O I Z.
W matematyce często zdarza się, że obiekty zdefiniowane na zupełnie różne sposoby okazują się takie same. Pokażmy to na przykładzie.
Pozwalać A 1 , W 1 ,Z 1 – środki boków Słońce,SA i AB. Można udowodnić, że opisane koła trójkątów AB 1 Z, A 1 Słońce 1 I A 1 W 1 Z 1 przecinają się w jednym punkcie i ten punkt jest środkiem opisanym na trójkącie ABC. Mamy więc dwa pozornie zupełnie różne punkty: punkt przecięcia dwusiecznych prostopadłych z bokami trójkąta ABC i punkt przecięcia okręgów opisanych na trójkątach AB 1 Z 1 , A 1 Słońce I A 1 W 1 Z 1 . ale okazuje się, że te dwa punkty pokrywają się.
Linia prosta Eulera.
Najbardziej niesamowita nieruchomość Niezwykłe punkty trójkąta polegają na tym, że niektóre z nich są ze sobą połączone pewnymi relacjami. Na przykład środek ciężkości M, ortocentrum N i środek okręgu opisanego O leżą na tej samej prostej, a punkt M dzieli odcinek OH tak, że zachodzi zależność OM:MN=1:2. Twierdzenie to zostało udowodnione w 1765 roku przez szwajcarskiego naukowca Leonardo Eulera.
Trójkąt ortocentryczny.
Trójkąt ortocentryczny(ortotrójkąt) jest trójkątem ( MNDO), którego wierzchołki są podstawą wysokości tego trójkąta ( ABC). Trójkąt ten ma wiele interesujących właściwości. Podajmy jeden z nich.
Nieruchomość.
Udowodnić:
Trójkąty AKM, CMN I BKN podobny do trójkąta ABC;
Kąty ortotrójkąta MNK Czy: L KNM = π - 2 L A,LKMN = π – 2 L B, L MNK = π - - 2 L C.
Dowód:
Mamy AB sałata A, AK sałata A. Stąd, JESTEM./AB = AK/AC.
Ponieważ przy trójkątach ABC I AKM narożnik A– wspólne, to są podobne, z czego wnioskujemy, że kąt L AKM = L C. Dlatego L BKM = L C. Następny mamy L MKC= π/2 – L C, L NKC= π/2 – – – L C, tj. SK– dwusieczna kąta MNK. Więc, L MNK= π – 2 L C. Pozostałe równości dowodzi się w podobny sposób.
Wniosek.
Na zakończenie tej pracy badawczej można wyciągnąć następujące wnioski:
Godne uwagi punkty i linie trójkąta to:
ortocentrum trójkąta jest punktem przecięcia jego wysokości;
icentrum trójkąt jest punktem przecięcia dwusiecznych;
Środek ciężkości trójkąta jest punktem przecięcia jego środkowych;
obwód-środek– jest punktem przecięcia dwusiecznych prostopadłych;
Linia prosta Eulera- jest to linia prosta, na której leży środek ciężkości, ortocentrum i środek opisanego okręgu.
Trójkąt ortocentryczny dzieli się dany trójkąt trzy podobne do tego.
Po wykonaniu tej pracy dowiedziałem się wiele o właściwościach trójkąta. Praca ta była dla mnie istotna z punktu widzenia rozwijania mojej wiedzy z zakresu matematyki. W przyszłości mam zamiar rozwinąć ten ciekawy temat.
Bibliografia.
Kiselyov A.P. Geometria elementarna. – M.: Edukacja, 1980.
Coxeter G.S., Greitzer S.L. Nowe spotkania z geometrią. – M.: Nauka, 1978.
Prasolov V.V. Zagadnienia planimetrii. – M.: Nauka, 1986. – Część 1.
Sharygin I.F. Zadania z geometrii: Planimetria. – M.: Nauka, 1986.
Scanavi MI Matematyka. Problemy z rozwiązaniami. – Rostów nad Donem: Phoenix, 1998.
Berger M. Geometria w dwóch tomach - M: Mir, 1984.
Treść
Wprowadzenie……………………………………………………………………………3
Rozdział 1.
1.1 Trójkąt……………………………………………………………………………..4
1.2. Mediany trójkąta
1.4. Wysokości w trójkącie
Wniosek
Wykaz używanej literatury
Broszura
Wstęp
Geometria to dziedzina matematyki zajmująca się różnymi figurami i ich właściwościami. Geometria zaczyna się od trójkąta. Od dwóch i pół tysiącleci trójkąt jest symbolem geometrii; ale to nie tylko symbol, trójkąt to atom geometrii.
W mojej pracy rozważę właściwości punktów przecięcia dwusiecznych, środkowych i wysokości trójkąta oraz opowiem o ich niezwykłych właściwościach i liniach trójkąta.
Do takich punktów studiowanych na szkolnym kursie geometrii należą:
a) punkt przecięcia dwusiecznych (środek okręgu wpisanego);
b) punkt przecięcia dwusiecznych prostopadłych (środek opisanego okręgu);
c) punkt przecięcia wysokości (ortocentrum);
d) punkt przecięcia środkowych (środek ciężkości).
Znaczenie: poszerzyć swoją wiedzę na temat trójkąta,jego właściwościwspaniałe punkty.
Cel: eksploracja trójkąta do jego niezwykłych punktów,studiując jeklasyfikacje i właściwości.
Zadania:
1. Eksploruj niezbędną literaturę
2. Przestudiuj klasyfikację niezwykłych punktów trójkąta
3. Umieć konstruować niezwykłe punkty trójkąta.
4. Podsumuj przestudiowany materiał do projektu broszury.
Hipoteza projektu:
umiejętność znajdowania niezwykłych punktów w dowolnym trójkącie pozwala rozwiązywać problemy konstrukcji geometrycznych.
Rozdział 1. Informacje historyczne o niezwykłych punktach trójkąta
W czwartej księdze Elementów Euklides rozwiązuje problem: „Wpisać okrąg w dany trójkąt”. Z rozwiązania wynika, że trzy dwusieczne kątów wewnętrznych trójkąta przecinają się w jednym punkcie – środku okręgu wpisanego. Z rozwiązania innego problemu euklidesowego wynika, że prostopadłe przywrócone bokom trójkąta w ich środkach również przecinają się w jednym punkcie - w środku opisanego koła. W Elementach nie jest powiedziane, że trzy wysokości trójkąta przecinają się w jednym punkcie, zwanym ortocentrum (greckie słowo „orthos” oznacza „prosty”, „właściwy”). Propozycję tę znali jednak Archimedes, Pappus i Proklos.
Czwarty punkt osobliwy trójkąta jest punktem przecięcia środkowych. Archimedes udowodnił, że jest to środek ciężkości (środek ciężkości) trójkąta. Powyższe cztery punkty zostały uwzględnione Specjalna uwaga, a od XVIII wieku nazywano je „niezwykłymi” lub „szczególnymi” punktami trójkąta.
Badanie właściwości trójkąta związanych z tymi i innymi punktami stało się początkiem stworzenia nowej gałęzi matematyki elementarnej - „geometrii trójkąta” lub „nowej geometrii trójkąta”, której jednym z założycieli był Leonhard Euler. W 1765 roku Euler udowodnił, że w każdym trójkącie ortocentrum, środek ciężkości i środek okręgu opisanego leżą na tej samej linii prostej, zwanej później „prostą Eulera”.
Trójkąt
Trójkąt - figura geometryczna, składający się z trzech punktów, które nie leżą na tej samej linii i trzech odcinków łączących te punkty parami. Punkty -szczyty trójkąt, segmenty -boki trójkąt.
W A, B, C - wierzchołki
AB, BC, SA - boki
C
Z każdym trójkątem powiązane są cztery punkty:
Punkt przecięcia środkowych;
Punkt przecięcia dwusiecznych;
Punkt przecięcia wysokości.
Punkt przecięcia dwusiecznych prostopadłych;
1.2. Mediany trójkąta
Medina trójkąta - , łącząc wierzchołek od środka przeciwnej strony (ryc. 1). Punkt, w którym środkowa przecina bok trójkąta, nazywa się podstawą środkowej.
Rysunek 1. Mediany trójkąta
Skonstruujmy środki boków trójkąta i narysujmy odcinki łączące każdy z wierzchołków ze środkiem przeciwległego boku. Takie segmenty nazywane są medianami.
I znowu obserwujemy, że odcinki te przecinają się w jednym punkcie. Jeśli zmierzymy długości powstałych odcinków środkowych, możemy sprawdzić jeszcze jedną właściwość: punkt przecięcia środkowych dzieli wszystkie środkowe w stosunku 2:1, licząc od wierzchołków. A jednak trójkąt, który spoczywa na czubku igły w miejscu przecięcia środkowych, jest w równowadze! Punkt posiadający tę właściwość nazywany jest środkiem ciężkości (barycenter). Środek równej masy jest czasami nazywany środkiem ciężkości. Zatem własności środkowych trójkąta można sformułować następująco: środkowe trójkąta przecinają się w środku ciężkości i dzielą się przez punkt przecięcia w stosunku 2:1, licząc od wierzchołka.
1.3. Dwusieczne trójkąta
Dwusieczna zwany dwusieczna kąta poprowadzonego od wierzchołka kąta do jego przecięcia z przeciwną stroną. Trójkąt ma trzy dwusieczne odpowiadające jego trzem wierzchołkom (rysunek 2).
Rysunek 2. Dwusieczna trójkąta
W dowolnym trójkącie ABC rysujemy dwusieczne jego kątów. I znowu, przy dokładnej konstrukcji, wszystkie trzy dwusieczne przetną się w jednym punkcie D. Punkt D jest również niezwykły: jest w równej odległości od wszystkich trzech boków trójkąta. Można to sprawdzić, obniżając prostopadłe DA 1, DB 1 i DC1 do boków trójkąta. Wszystkie są sobie równe: DA1=DB1=DC1.
Jeśli narysujesz okrąg o środku w punkcie D i promieniu DA 1, to dotknie on wszystkich trzech boków trójkąta (to znaczy będzie miał z każdym z nich tylko jeden punkt wspólny). Okrąg taki nazywamy wpisanym w trójkąt. Zatem dwusieczne kątów trójkąta przecinają się w środku okręgu wpisanego.
1.4. Wysokości w trójkącie
Wysokość trójkąta - , spadł z góry na przeciwną stronę lub linię prostą pokrywającą się z przeciwną stroną. W zależności od rodzaju trójkąta wysokość może mieścić się w obrębie trójkąta (np trójkąt), pokrywają się z jego bokiem (być trójkąt) lub przejść poza trójkąt przy trójkącie rozwartym (Rysunek 3).
Rysunek 3. Wysokości w trójkątach
Jeśli skonstruujesz trzy wysokości w trójkącie, to wszystkie przetną się w jednym punkcie H. Punkt ten nazywany jest ortocentrum. (Rysunek 4).
Korzystając z konstrukcji, można sprawdzić, że w zależności od rodzaju trójkąta ortocentrum jest położone inaczej:
dla ostrego trójkąta - wewnątrz;
dla prostokątnego - na przeciwprostokątnej;
w przypadku kąta rozwartego znajduje się on na zewnątrz.
Rysunek 4. Ortocentrum trójkąta
W ten sposób poznaliśmy kolejny niezwykły punkt trójkąta i możemy powiedzieć, że: wysokości trójkąta przecinają się w ortocentrum.
1,5. Dwusieczne prostopadłe do boków trójkąta
Dwusieczna prostopadła odcinka to prosta prostopadła do danego odcinka i przechodząca przez jego środek.
Narysujmy dowolny trójkąt ABC i narysujmy dwusieczne prostopadłe do jego boków. Jeśli konstrukcja zostanie wykonana dokładnie, wszystkie prostopadłe przetną się w jednym punkcie - punkcie O. Punkt ten jest w jednakowej odległości od wszystkich wierzchołków trójkąta. Innymi słowy, jeśli narysujesz okrąg o środku w punkcie O i przechodzący przez jeden z wierzchołków trójkąta, to przejdzie on również przez dwa pozostałe wierzchołki.
Okrąg przechodzący przez wszystkie wierzchołki trójkąta nazywa się opisanym na nim. Dlatego ustaloną właściwość trójkąta można sformułować w następujący sposób: dwusieczne prostopadłe do boków trójkąta przecinają się w środku opisanego koła (ryc. 5).
Rysunek 5. Trójkąt wpisany w okrąg
Rozdział 2. Badanie niezwykłych punktów trójkąta.
Badanie wysokości w trójkątach
Wszystkie trzy wysokości trójkąta przecinają się w jednym punkcie. Punkt ten nazywany jest ortocentrum trójkąta.
Wysokości ostrego trójkąta znajdują się ściśle wewnątrz trójkąta.
Odpowiednio punkt przecięcia wysokości znajduje się również wewnątrz trójkąta.
W trójkącie prostokątnym dwie wysokości pokrywają się z bokami. (Są to wysokości narysowane od wierzchołków kątów ostrych do nóg).
Wysokość poprowadzona do przeciwprostokątnej leży wewnątrz trójkąta.
AC to wysokość narysowana od wierzchołka C do boku AB.
AB to wysokość narysowana od wierzchołka B do boku AC.
AK - wysokość rysowana od wierzchołka prosty kąt I do przeciwprostokątnej BC.
Wysokości trójkąta prostokątnego przecinają się w wierzchołku kąta prostego (A jest ortocentrum).
W trójkącie rozwartym wewnątrz trójkąta znajduje się tylko jedna wysokość - ta wyprowadzona z wierzchołka kąta rozwartego.
Pozostałe dwie wysokości leżą na zewnątrz trójkąta i są obniżone do kontynuacji boków trójkąta.
AK jest wysokością narysowaną na boku BC.
BF - wysokość dociągnięta do kontynuacji boku AC.
CD to wysokość poprowadzona do kontynuacji boku AB.
Punkt przecięcia wysokości trójkąta rozwartego również znajduje się na zewnątrz trójkąta:
H jest ortocentrum trójkąta ABC.
Badanie dwusiecznych w trójkącie
Dwusieczna trójkąta to część dwusiecznej kąta trójkąta (prostej), która znajduje się wewnątrz trójkąta.
Wszystkie trzy dwusieczne trójkąta przecinają się w jednym punkcie.
Punkt przecięcia dwusiecznych w trójkącie ostrym, rozwartym i prostokątnym jest środkiem okręgu wpisanego w trójkąt i znajduje się wewnątrz.
Badanie środkowych w trójkącie
Ponieważ trójkąt ma trzy wierzchołki i trzy boki, istnieją również trzy odcinki łączące wierzchołek i środek przeciwległego boku.
Po zbadaniu tych trójkątów zdałem sobie sprawę, że w każdym trójkącie środkowe przecinają się w jednym punkcie. Ten punkt nazywa się środek ciężkości trójkąta.
Badanie dwusiecznych prostopadłych do boku trójkąta
Dwusieczna prostopadła trójkąta to prostopadła poprowadzona do środka boku trójkąta.
Trzy prostopadłe dwusieczne trójkąta przecinają się w jednym punkcie i stanowią środek okręgu opisanego.
Punkt przecięcia dwusiecznych prostopadłych w ostrym trójkącie leży wewnątrz trójkąta; pod kątem rozwartym - na zewnątrz trójkąta; w prostokątnym - pośrodku przeciwprostokątnej.
Wniosek
W trakcie wykonanej pracy dochodzimy do następujących wniosków:
Cel osiągnięty:zbadał trójkąt i znalazł jego niezwykłe punkty.
Postawione zadania zostały rozwiązane:
1). Przestudiowaliśmy niezbędną literaturę;
2). Badaliśmy klasyfikację niezwykłych punktów trójkąta;
3). Nauczyliśmy się budować wspaniałe punkty trójkąta;
4). Podsumowaliśmy przestudiowany materiał do projektu broszury.
Potwierdzono hipotezę, że umiejętność znajdowania niezwykłych punktów trójkąta pomaga w rozwiązywaniu problemów konstrukcyjnych.
Praca konsekwentnie przedstawia techniki konstruowania niezwykłych punktów trójkąta informacje historyczne o konstrukcjach geometrycznych.
Informacje zawarte w tej pracy mogą przydać się na lekcjach geometrii w klasie 7. Broszura może stać się podręcznikiem z geometrii na prezentowany temat.
Bibliografia
Podręcznik. L.S. Atanasyan „Geometria klasy 7-9Mnemosyne, 2015.
Wikipediahttps://ru.wikipedia.org/wiki/Geometry#/media/File:Euclid%27s_postulates.png
Portal Szkarłatnych Żagli
Prowadzący portalu edukacyjnego Rosja http://cendomzn.ucoz.ru/index/0-15157
W tej lekcji przyjrzymy się czterem cudownym punktom trójkąta. Rozważmy szczegółowo dwa z nich, przypomnijmy dowody ważnych twierdzeń i rozwiążmy problem. Przypomnijmy i scharakteryzujmy pozostałe dwa.
Temat:Powtórka zajęć z geometrii w klasie 8
Lekcja: Cztery cudowne punkty trójkąta
Trójkąt to przede wszystkim trzy odcinki i trzy kąty, dlatego właściwości odcinków i kątów są fundamentalne.
Dany jest odcinek AB. Każdy odcinek ma środek i można przez niego poprowadzić prostopadłą - oznaczmy to jako p. Zatem p jest dwusieczną prostopadłą.
Twierdzenie (główna właściwość dwusiecznej prostopadłej)
Dowolny punkt leżący na dwusiecznej prostopadłej jest w jednakowej odległości od końców odcinka.
Udowodnij to
Dowód:
Rozważ trójkąty i (patrz ryc. 1). Są prostokątne i równe, ponieważ. mają wspólną nogę OM oraz nogi AO i OB są równe pod względem warunku, zatem mamy dwa trójkąty prostokątne, równe w dwóch nogach. Wynika z tego, że przeciwprostokątne trójkątów są również równe, to znaczy to, co należało udowodnić.
Ryż. 1
Twierdzenie odwrotne jest prawdziwe.
Twierdzenie
Każdy punkt w równej odległości od końców odcinka leży na dwusiecznej prostopadłej do tego odcinka.
Biorąc pod uwagę odcinek AB, prostopadłą do niego dwusieczną p i punkt M w równej odległości od końców odcinka (patrz rys. 2).
Udowodnić, że punkt M leży na dwusiecznej odcinka.
Ryż. 2
Dowód:
Rozważmy trójkąt. Jest to równoramienny, zgodnie z warunkiem. Rozważmy środkową trójkąta: punkt O jest środkiem podstawy AB, OM jest środkową. Zgodnie z właściwością trójkąta równoramiennego, środkowa narysowana do jego podstawy jest zarówno wysokością, jak i dwusieczną. Wynika, że . Ale prosta p jest również prostopadła do AB. Wiemy, że w punkcie O można poprowadzić jedną prostopadłą do odcinka AB, co oznacza, że proste OM i p pokrywają się, wynika z tego, że punkt M należy do prostej p, co musieliśmy udowodnić.
Jeśli zajdzie potrzeba opisania okręgu wokół jednego odcinka, można to zrobić i takich okręgów jest nieskończenie wiele, ale środek każdego z nich będzie leżał na dwusiecznej prostopadłej do odcinka.
Mówią, że dwusieczna prostopadła to zbiór punktów w jednakowej odległości od końców odcinka.
Trójkąt składa się z trzech odcinków. Narysujmy dwusieczne prostopadłe do dwóch z nich i wyznaczmy punkt O ich przecięcia (patrz rys. 3).
Punkt O należy do dwusiecznej boku BC trójkąta, co oznacza, że jest w równej odległości od jego wierzchołków B i C, oznaczmy tę odległość jako R: .
Dodatkowo punkt O leży na dwusiecznej prostopadłej do odcinka AB, tj. jednocześnie stąd.
Zatem punkt O przecięcia dwóch punktów środkowych
Ryż. 3
prostopadłe trójkąta są w równej odległości od jego wierzchołków, co oznacza, że leży on również na trzeciej dwusiecznej prostopadłej.
Powtórzyliśmy dowód ważnego twierdzenia.
Trzy prostopadłe dwusieczne trójkąta przecinają się w jednym punkcie – środku okręgu opisanego.
Przyjrzeliśmy się więc pierwszemu niezwykłemu punktowi trójkąta - punktowi przecięcia jego dwusiecznych prostopadłych.
Przejdźmy do właściwości dowolnego kąta (patrz ryc. 4).
Kąt jest podany, jego dwusieczna to AL, punkt M leży na dwusiecznej.
Ryż. 4
Jeżeli punkt M leży na dwusiecznej kąta, to jest w jednakowej odległości od boków tego kąta, czyli odległości od punktu M do AC i do BC boków kąta są równe.
Dowód:
Rozważmy trójkąty i . To są trójkąty prostokątne i są równe, ponieważ... mają wspólną przeciwprostokątną AM, a kąty są równe, ponieważ AL jest dwusieczną kąta. Zatem trójkąty prostokątne mają taką samą przeciwprostokątną i kąt ostry, wynika z tego , co należało udowodnić. Zatem punkt na dwusiecznej kąta jest w równej odległości od boków tego kąta.
Twierdzenie odwrotne jest prawdziwe.
Twierdzenie
Jeżeli punkt jest w równej odległości od boków nierozwiniętego kąta, to leży na jego dwusiecznej (patrz ryc. 5).
Dany jest kąt nierozwinięty, punkt M, taki, że odległość od niego do boków kąta jest taka sama.
Udowodnić, że punkt M leży na dwusiecznej kąta.
Ryż. 5
Dowód:
Odległość punktu od prostej to długość prostopadłej. Z punktu M rysujemy prostopadłe MK na bok AB i MR na bok AC.
Rozważmy trójkąty i . To są trójkąty prostokątne i są równe, ponieważ... mają wspólną przeciwprostokątną AM, nogi MK i MR są równe pod względem warunku. Zatem trójkąty prostokątne mają równą przeciwprostokątną i nogę. Z równości trójkątów wynika równość odpowiednich elementów; przeciwne są równe boki równe kąty, Zatem, 
Zatem punkt M leży na dwusiecznej danego kąta.
Jeśli trzeba wpisać okrąg w kąt, można to zrobić, a takich okręgów jest nieskończenie wiele, ale ich środki leżą na dwusiecznej danego kąta.
Mówią, że dwusieczna to zbiór punktów w jednakowej odległości od boków kąta.
Trójkąt składa się z trzech kątów. Skonstruujmy dwusieczne dwóch z nich i znajdźmy punkt O ich przecięcia (patrz ryc. 6).
Punkt O leży na dwusiecznej kąta, czyli jest w równej odległości od jego boków AB i BC, odległość oznaczmy jako r: . Ponadto punkt O leży na dwusiecznej kąta, co oznacza, że jest w równej odległości od jego boków AC i BC: , , stąd.
Łatwo zauważyć, że punkt przecięcia dwusiecznych jest w jednakowej odległości od boków trzeciego kąta, czyli leży na
Ryż. 6
dwusieczna kąta. Zatem wszystkie trzy dwusieczne trójkąta przecinają się w jednym punkcie.
Przypomnieliśmy sobie więc dowód innego ważnego twierdzenia.
Dwusieczne kątów trójkąta przecinają się w jednym punkcie - środku okręgu wpisanego.
Przyjrzeliśmy się więc drugiemu niezwykłemu punktowi trójkąta - punktowi przecięcia dwusiecznych.
Zbadaliśmy dwusieczną kąta i zauważyliśmy jego ważne właściwości: punkty dwusiecznej są w równej odległości od boków kąta, ponadto odcinki styczne narysowane do okręgu z jednego punktu są równe.
Wprowadźmy pewną notację (patrz rys. 7).
Oznaczmy równe odcinki styczne przez x, y i z. Strona BC leżąca naprzeciw wierzchołka A jest oznaczona jako a, podobnie AC jako b, AB jako c.
Ryż. 7
Zadanie 1: w trójkącie znany jest półobwód i długość boku a. Znajdź długość stycznej poprowadzonej z wierzchołka A - AK, oznaczonej przez x.
Oczywiście trójkąt nie jest do końca zdefiniowany, a takich trójkątów jest wiele, ale okazuje się, że mają pewne elementy wspólne.
Dla problemów obejmujących okrąg wpisany można zaproponować następującą metodę rozwiązania:
1. Narysuj dwusieczne i znajdź środek okręgu wpisanego.
2. Ze środka O narysuj prostopadłe do boków i wyznacz punkty styczności.
3. Zaznacz równe styczne.
4. Zapisz związek między bokami trójkąta a stycznymi.
CZTERY WAŻNE PUNKTY
TRÓJKĄT
Geometria
8 klasa
Sacharowa Natalia Iwanowna
Szkoła Średnia MBOU nr 28 w Symferopolu
- Punkt przecięcia środkowych trójkąta
- Punkt przecięcia dwusiecznych trójkąta
- Punkt przecięcia wysokości trójkąta
- Punkt przecięcia prostopadłych środkowych trójkąta
Mediana
Mediana (BD) trójkąta to odcinek łączący wierzchołek trójkąta ze środkiem przeciwległego boku.
Mediany trójkąty przecinają się w jednym punkcie (Środek ciężkości trójkąt) i są podzielone przez ten punkt w stosunku 2:1, licząc od wierzchołka.
DWUSIECZNA
Dwusieczna (AD) trójkąta jest dwusieczną częścią kąta wewnętrznego trójkąta. ∟ ZŁY = ∟CAD.
Każdy punkt dwusieczne kąta niezabudowanego jest w równej odległości od jego boków.
Z powrotem: każdy punkt leżący wewnątrz kąta i w równej odległości od boków kąta leży na jego dwusieczna.
Wszystkie dwusieczne trójkąty przecinają się w jednym punkcie - środek wpisanego w trójkąt koła.
Promień okręgu (OM) jest prostopadłą schodzącą ze środka (TO) na bok trójkąta
WYSOKOŚĆ
Wysokość (CD) trójkąta to odcinek prostopadły poprowadzony z wierzchołka trójkąta na linię zawierającą przeciwny bok.
Wysokości trójkąty (lub ich przedłużenia) przecinają się jeden punkt.
ŚRODKOWY PROSTOPADŁY
Dwusieczna prostopadła (DF) nazywaną linią prostą prostopadłą do boku trójkąta i dzielącą go na pół.
Każdy punkt dwusieczna prostopadła(m) do odcinka jest w jednakowej odległości od końców tego odcinka.
Z powrotem: każdy punkt w równej odległości od końców odcinka leży w środku prostopadły do niego.
Wszystkie prostopadłe dwusieczne boków trójkąta przecinają się w jednym punkcie - centrum opisywanego w pobliżu trójkąta koło .
Promień okręgu opisanego to odległość od środka okręgu do dowolnego wierzchołka trójkąta (OA).
Strona 177 nr 675 (rysunek)
Praca domowa
Str. 173 § 3 definicje i twierdzenia s. 177 nr 675 (koniec)
