() i zostało to powszechnie przyjęte po pracach Eulera. Oznaczenie to pochodzi od pierwszej litery greckich słów περιφέρεια – okrąg, obwód i περίμετρος – obwód.
Oceny
- 510 miejsc po przecinku: π ≈ 3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 884 197 169 399 375 105 820 974 944 592 307 816 406 286 20 8 998 628 034 825 342 117 067 982 148 086 513 282 306 647 093 844 609 550 582 231 725 359 408 128 481 117 450 284 102 701 938 521 105 559 644 622 948 954 930 381 964 428 810 975 665 933 446 1 28 475 648 233 786 783 165 271 201 909 145 648 566 923 460 348 610 454 326 648 213 393 607 260 249 141 273 724 587 006 606 315 588 174 881 520 920 962 829 254 091 715 364 367 892 590 360 011 330 5 30 5 48 820 466 521 384 146 951 941 511 609 433 057 270 365 759 591 953 092 186 117 381 932 611 793 105 118 548 074 462 379 962 749 567 351 885 752 724 891 227 938 183 011 949 129 833 673 362…
Nieruchomości
Stosunki
Istnieje wiele znanych wzorów z liczbą π:
- Wzór Wallisa:
- Tożsamość Eulera:
- T.n. „Całka Poissona” lub „Całka Gaussa”
Transcendencja i irracjonalność
Nierozwiązane problemy
- Nie wiadomo, czy liczby π i mi algebraicznie niezależne.
- Nie wiadomo, czy liczby π + mi , π − mi , π mi , π / mi , π mi , π π , mi mi nadzmysłowy.
- Do tej pory nic nie wiadomo o normalności liczby π; nie wiadomo nawet, która z cyfr 0-9 pojawia się w dziesiętnym zapisie liczby π nieskończoną ilość razy.
Historia obliczeń
i Chudnowski
Reguły mnemoniczne
Abyśmy się nie mylili, Musimy poprawnie przeczytać: Trzy, czternaście, piętnaście, dziewięćdziesiąt dwa i sześć. Musisz po prostu spróbować zapamiętać wszystko takim, jakie jest: trzy, czternaście, piętnaście, dziewięćdziesiąt dwa i sześć. Trzy, czternaście, piętnaście, dziewięć, dwa, sześć, pięć, trzy, pięć. Aby zajmować się nauką, każdy powinien to wiedzieć. Możesz po prostu spróbować częściej powtarzać: „Trzy, czternaście, piętnaście, dziewięć, dwadzieścia sześć i pięć”.
2. Policz liczbę liter w każdym słowie w poniższych wyrażeniach ( z wyłączeniem znaków interpunkcyjnych) i zapisz te liczby po kolei - nie zapominając oczywiście o przecinku po pierwszej cyfrze „3”. Wynik będzie przybliżoną liczbą Pi.
To wiem i doskonale pamiętam: Ale wiele znaków jest mi zbędnych.
Kto żartobliwie i szybko życzy sobie, żeby Pi poznał numer – już wie!
Więc Misha i Anyuta przybiegły i chciały znaleźć numer.
(Drugi mnemonik jest poprawny (z zaokrągleniem ostatniej cyfry) tylko przy stosowaniu pisowni sprzed reformy: licząc liczbę liter w słowach, należy wziąć pod uwagę twarde znaki!)
Inna wersja tego zapisu mnemonicznego:
To wiem i pamiętam doskonale:
I wiele znaków jest mi niepotrzebnych, na próżno.
Zaufajmy naszej ogromnej wiedzy
Ci, którzy policzyli liczebność armady.
Jeśli podążasz za miernikiem poetyckim, możesz szybko zapamiętać:
Trzy, czternaście, piętnaście, dziewięć dwa, sześć pięć, trzy pięć
Osiem dziewięć, siedem i dziewięć, trzy dwa, trzy osiem, czterdzieści sześć
Dwa sześć cztery, trzy trzy osiem, trzy dwa siedem dziewięć, pięć zero dwa
Osiem osiem i cztery, dziewiętnaście, siedem, jeden
Zabawne fakty
Notatki
Zobacz, co oznacza „Pi” w innych słownikach:
numer- Źródło odbioru: GOST 111 90: Szkło arkuszowe. Dokument oryginalny specyfikacji technicznych Zobacz także terminy pokrewne: 109. Liczba oscylacji betatronu ... Słownik-podręcznik terminów dokumentacji normatywnej i technicznej
Rzeczownik, s., używany. bardzo często Morfologia: (nie) co? liczby, co? numer, (widzisz) co? numer, co? numer, o czym? o numerze; pl. Co? liczby, (nie) co? liczby, dlaczego? liczby, (widzisz) co? liczby, co? liczby, o czym? o matematyce liczb 1. Według liczb... ... Słownik Dmitrijewa
LICZBA, liczby, liczba mnoga. liczby, liczby, liczby, zob. 1. Pojęcie służące jako wyraz ilości, coś, za pomocą czego liczy się przedmioty i zjawiska (mat.). Liczba całkowita. Liczba ułamkowa. Nazwany numer. Liczba pierwsza. (patrz prosta wartość 1 w 1).… … Słownik wyjaśniający Uszakowa
Abstrakcyjne oznaczenie pozbawione specjalnej treści dla któregokolwiek elementu określonej serii, w którym element ten poprzedza lub następuje jakiś inny konkretny element; abstrakcyjna cecha indywidualna, która odróżnia jeden zbiór od... ... Encyklopedia filozoficzna
Numer- Numer kategoria gramatyczna, wyrażając cechy ilościowe obiekty myśli. Liczba gramatyczna jest jednym z przejawów bardziej ogólnej językowej kategorii ilości (patrz Kategoria językowa) wraz z przejawem leksykalnym („leksykalny... ... Językowy słownik encyklopedyczny
Liczba w przybliżeniu równa 2,718, często spotykana w matematyce i nauki przyrodnicze. Na przykład, gdy substancja radioaktywna rozpada się po czasie t, z początkowej ilości substancji pozostaje ułamek równy ek kt, gdzie k jest liczbą,... ... Encyklopedia Colliera
A; pl. liczby, usiadły, trzasnęły; Poślubić 1. Jednostka rozliczeniowa wyrażająca określoną wielkość. Ułamkowe, całkowite, godziny pierwsze, parzyste, nieparzyste, licz w liczbach okrągłych (w przybliżeniu, w pełnych jednostkach lub dziesiątkach). Naturalne h. (dodatnia liczba całkowita... słownik encyklopedyczny
Poślubić. ilość, przeliczeniowo, na pytanie: ile? i sam znak wyrażający ilość, liczbę. Bez numeru; nie ma liczby, bez liczenia, wiele, wiele. Ustaw sztućce odpowiednio do liczby gości. Numery rzymskie, arabskie lub kościelne. Liczba całkowita, odwrotnie. frakcja... ... Słownik wyjaśniający Dahla
Stosunek obwodu koła do jego średnicy jest taki sam dla wszystkich okręgów. Stosunek ten jest zwykle oznaczany grecką literą („pi” - pierwsza litera greckiego słowa 
, co oznaczało „okrąg”).
Archimedes w swojej pracy „Pomiar koła” obliczył stosunek obwodu do średnicy (liczby) i stwierdził, że wynosi on od 3 10/71 do 3 1/7.
Przez długi czas jako wartość przybliżoną używano liczby 22/7, choć już w V wieku w Chinach znaleziono przybliżenie 355/113 = 3,1415929..., które w Europie odkryto na nowo dopiero w XVI wieku.
W Starożytne Indie uznawany za równy = 3,1622….
Francuski matematyk F. Viète obliczył w 1579 r. za pomocą 9 cyfr.
Holenderski matematyk Ludolf Van Zeijlen w 1596 roku opublikował wynik swojej dziesięcioletniej pracy – liczbę obliczoną za pomocą 32 cyfr.
Ale wszystkie te wyjaśnienia wartości liczby przeprowadzono metodami wskazanymi przez Archimedesa: okrąg zastąpiono wielokątem ze wszystkimi duża liczba boki Obwód wielokąta wpisanego był mniejszy niż obwód koła, a obwód wielokąta opisanego był większy. Ale jednocześnie nie było jasne, czy liczba ta jest wymierna, to znaczy stosunek dwóch liczb całkowitych, czy irracjonalna.
Dopiero w 1767 roku niemiecki matematyk I.G. Lambert udowodnił, że liczba jest niewymierna.
A ponad sto lat później, w 1882 r., inny niemiecki matematyk, F. Lindemann, udowodnił jego transcendencję, co oznaczało niemożność zbudowania kwadratu równego danemu okręgowi za pomocą kompasu i linijki.
Najprostszy pomiar
Na grubym kartonie narysuj okrąg o średnicy D(=15cm), wytnij powstały okrąg i owiń go cienką nitką. Pomiar długości l(=46,5cm) jeden pełny obrót nici, podziel l na długość średnicy D koła. Wynikowy iloraz będzie przybliżoną wartością liczby, tj. = l/ D= 46,5 cm / 15 cm = 3,1. Ta dość prymitywna metoda daje w normalnych warunkach przybliżoną wartość liczby z dokładnością do 1.
Mierzenie poprzez ważenie
Narysuj kwadrat na kartce tektury. Napiszmy w nim okrąg. Wytnijmy kwadrat. Określmy masę kartonowego kwadratu za pomocą wagi szkolnej. Wytnijmy okrąg z kwadratu. Zważmy go też. Znając masy kwadratu m kw. (=10 g) i okrąg w nim wpisany m kr (=7,8 g) skorzystajmy ze wzorów
gdzie p i H– odpowiednio gęstość i grubość tektury, S– obszar figury. Rozważmy równości:
Naturalnie, w w tym przypadku przybliżona wartość zależy od dokładności ważenia. Jeśli ważone figurki kartonowe są dość duże, to nawet na zwykłych wagach można uzyskać takie wartości mas, które zapewnią przybliżenie liczby z dokładnością do 0,1.
Sumowanie pól prostokątów wpisanych w półkole
Obrazek 1
Niech A (a; 0), B (b; 0). Opiszmy półkole na AB jako średnicę. Podziel odcinek AB na n równych części przez punkty x 1, x 2, ..., x n-1 i przywróć z nich prostopadłe do przecięcia z półokręgiem. Długość każdej takiej prostopadłej jest wartością funkcji f(x)=. Z rysunku 1 jasno wynika, że pole S półkola można obliczyć za pomocą wzoru
S = (b – a) ((f(x 0) + f(x 1) + … + f(x n-1)) / n.
W naszym przypadku b=1, a=-1. Następnie = 2 S.
Im więcej punktów podziału będzie na odcinku AB, tym dokładniejsze będą wartości. W monotonnej pracy obliczeniowej pomoże komputer, dla którego poniżej podano program 1, skompilowany w języku BASIC.
Program 1REM „Obliczanie Pi”
REM „Metoda prostokątna”
WEJŚCIE „Wprowadź liczbę prostokątów”, n
dx = 1/n
DLA i = 0 DO n - 1
f = SQR(1 - x^2)
x = x + dx
a = za + f
NASTĘPNY
p = 4 * dx * a
DRUKUJ „Wartość pi wynosi”, s
KONIEC
Program został wpisany i uruchomiony z różnymi wartościami parametrów N. Wynikowe wartości liczbowe są zapisane w tabeli:
Metoda Monte Carlo
W rzeczywistości jest to metoda testów statystycznych. Swoją egzotyczną nazwę wzięła od miasta Monte Carlo w Księstwie Monako, słynącego z domów gier. Faktem jest, że metoda wymaga użycia liczb losowych, a jednym z najprostszych urządzeń generujących liczby losowe jest ruletka. Możesz jednak uzyskać liczby losowe za pomocą... deszczu.
Do doświadczenia przygotujmy kawałek tektury, narysujmy na nim kwadrat i wpiszmy w niego ćwierć koła. Jeśli taki rysunek będzie przechowywany przez jakiś czas w deszczu, na jego powierzchni pozostaną ślady kropel. Policzmy liczbę torów wewnątrz kwadratu i wewnątrz ćwiartki koła. Oczywiście ich stosunek będzie w przybliżeniu równy stosunkowi pól tych figur, ponieważ krople spadną w różne miejsca na rysunku z równym prawdopodobieństwem. Pozwalać N kr– liczba kropli w okręgu, N kw. jest zatem liczbą kropli do kwadratu
4 N cr / N sq.
Rysunek 2
Deszcz można zastąpić tabelą liczb losowych, która jest kompilowana za pomocą komputera za pomocą specjalnego programu. Każdemu śladowi kropli przypiszmy dwie liczby losowe, charakteryzujące jej położenie wzdłuż osi Oh I Jednostka organizacyjna. Liczby losowe można wybierać z tabeli w dowolnej kolejności, na przykład w rzędzie. Niech pierwsza czterocyfrowa liczba w tabeli 3265 . Z niego możesz przygotować parę liczb, z których każda jest większa od zera i mniejsza niż jeden: x=0,32, y=0,65. Liczby te uznamy za współrzędne kropli, tzn. kropla wydaje się trafić w punkt (0,32; 0,65). To samo robimy ze wszystkimi wybranymi liczbami losowymi. Jeśli okaże się, że o to chodzi (x;y) Jeśli nierówność jest spełniona, to leży ona poza okręgiem. Jeśli x + y = 1, wówczas punkt leży wewnątrz okręgu.
Aby obliczyć wartość, ponownie korzystamy ze wzoru (1). Błąd obliczeniowy przy zastosowaniu tej metody jest zwykle proporcjonalny do , gdzie D jest stałą, a N jest liczbą testów. W naszym przypadku N = N kwadrat. Z tego wzoru jasno wynika: aby zmniejszyć błąd 10 razy (innymi słowy, aby uzyskać kolejne prawidłowe miejsce po przecinku w odpowiedzi), należy zwiększyć N, czyli ilość pracy, 100 razy. Oczywiste jest, że zastosowanie metody Monte Carlo było możliwe tylko dzięki komputerom. Program 2 implementuje opisaną metodę na komputerze.
Program 2REM „Obliczanie Pi”
REM „Metoda Monte Carlo”
WEJŚCIE „Wprowadź liczbę kropli”, n
m = 0
DLA i = 1 DO n
t = INT(RND(1) * 10000)
x = INT(t\100)
y = t - x * 100
JEŚLI x^2 + y^2< 10000 THEN m = m + 1
NASTĘPNY
p=4*m/n
KONIEC
Program został wpisany i uruchomiony z różnymi wartościami parametru n. Wynikowe wartości liczbowe są zapisane w tabeli:
| N | ||||||
| N | ||||||
Metoda opadającej igły
Weźmy zwykłą igłę do szycia i kartkę papieru. Narysujemy na arkuszu kilka równoległych linii, tak aby odległości między nimi były równe i przekraczały długość igły. Rysunek musi być na tyle duży, aby przypadkowo rzucona igła nie wypadła poza jego granice. Wprowadźmy następującą notację: A- odległość między liniami, l– długość igły.
Rysunek 3
Położenie igły losowo rzuconej na rysunek (patrz ryc. 3) wyznacza odległość X od jej środka do najbliższej prostej oraz kąt j, jaki tworzy igła z prostopadłą opuszczoną ze środka igły do najbliższa linia prosta (patrz rys. 4). Jest oczywiste, że
Rysunek 4
Na ryc. 5 Przedstawmy graficznie tę funkcję y=0,5cos. Wszystkie możliwe lokalizacje igieł scharakteryzowane są punktami ze współrzędnymi (; y ), znajdujący się na odcinku ABCD. Zacieniony obszar AED to punkty odpowiadające przypadkowi, w którym igła przecina linię prostą. Prawdopodobieństwo zdarzenia A– „igła przekroczyła linię prostą” – oblicza się ze wzoru:
Rysunek 5
Prawdopodobieństwo rocznie) można w przybliżeniu określić poprzez wielokrotne rzucanie igłą. Niech igła zostanie rzucona na rysunek C raz i P gdyż spadł podczas przekraczania jednej z prostych, to z odpowiednio dużym C mamy p(a) = p/c. Stąd = 2 l s / a k.
Komentarz. Prezentowana metoda jest odmianą statystycznej metody badawczej. Jest to interesujące z dydaktycznego punktu widzenia, ponieważ pozwala połączyć proste doświadczenie z tworzeniem dość złożonego modelu matematycznego.
Obliczenia z wykorzystaniem szeregu Taylora
Przejdźmy do rozważenia dowolnej funkcji f(x). Załóżmy, że to dla niej w tym momencie x 0 istnieją pochodne wszystkich zleceń aż do N włącznie. Następnie dla funkcji k(x) możemy napisać szereg Taylora:
Obliczenia z wykorzystaniem tego szeregu będą dokładniejsze, im więcej członków szeregu będzie zaangażowanych. Najlepiej oczywiście zaimplementować tę metodę na komputerze, do którego można wykorzystać program 3.
Program 3REM „Obliczanie Pi”
REM „Rozszerzenie serii Taylora”
WEJŚCIE nr
a = 1
DLA i = 1 DO n
d = 1 / (i + 2)
f = (-1)^i * re
a = za + f
NASTĘPNY
p = 4 * a
PRINT "wartość pi równa się"; P
KONIEC
Program został wpisany i uruchomiony z różnymi wartościami parametru n. Wynikowe wartości liczbowe są zapisane w tabeli:
Istnieją bardzo proste zasady mnemoniczne dotyczące zapamiętywania znaczenia liczby: |
Ile wynosi Pi? znamy i pamiętamy ze szkoły. Jest równy 3,1415926 i tak dalej... Do zwykłego człowieka wystarczy wiedzieć, że liczbę tę oblicza się dzieląc obwód koła przez jego średnicę. Ale wiele osób wie, że liczba Pi pojawia się w nieoczekiwanych obszarach nie tylko matematyki i geometrii, ale także fizyki. Cóż, jeśli zagłębisz się w szczegóły natury tej liczby, zauważysz wiele zaskakujących rzeczy wśród nieskończonej serii liczb. Czy to możliwe, że Pi skrywa najgłębsze tajemnice wszechświata?
Nieskończona liczba
Sama liczba Pi pojawia się w naszym świecie jako długość koła, którego średnica jest równa jeden. Ale pomimo tego, że odcinek równy Pi jest dość skończony, liczba Pi zaczyna się od 3,1415926 i zmierza do nieskończoności w rzędach liczb, które nigdy się nie powtarzają. Pierwszy niesamowity fakt jest to, że tej liczby, używanej w geometrii, nie można wyrazić jako ułamka liczb całkowitych. Innymi słowy, nie można tego zapisać jako stosunku dwóch liczb a/b. Ponadto liczba Pi jest przestępna. Oznacza to, że nie ma równania (wielomianu) o współczynnikach całkowitych, którego rozwiązaniem byłaby liczba Pi.
Fakt, że liczba Pi jest przestępna, udowodnił w 1882 roku niemiecki matematyk von Lindemann. To właśnie ten dowód stał się odpowiedzią na pytanie, czy można za pomocą kompasu i linijki narysować kwadrat, którego pole jest równe polu danego koła. Problem ten, znany jako poszukiwanie kwadratury koła, nurtuje ludzkość od czasów starożytnych. Wydawało się, że ten problem ma proste rozwiązanie i wkrótce zostanie rozwiązany. Ale to właśnie niezrozumiała właściwość liczby Pi pokazała, że nie ma rozwiązania problemu kwadratury koła.
Od co najmniej czterech i pół tysiącleci ludzkość próbuje uzyskać coraz dokładniejszą wartość Pi. Na przykład w Biblii, w Trzeciej Księdze Królewskiej (7:23), za liczbę Pi przyjmuje się 3.
Wartość Pi z niezwykłą dokładnością można znaleźć w piramidach w Gizie: stosunek obwodu i wysokości piramid wynosi 22/7. Ułamek ten daje przybliżoną wartość Pi równą 3,142... O ile oczywiście Egipcjanie nie ustalili tego stosunku przez przypadek. Tę samą wartość uzyskał już w odniesieniu do obliczenia liczby Pi w III wieku p.n.e. przez wielkiego Archimedesa.
W Papirusie Ahmesa, starożytnym egipskim podręczniku matematyki datowanym na 1650 rok p.n.e., liczbę Pi oblicza się jako 3,160493827.
W starożytnych tekstach indyjskich około IX wieku p.n.e. najdokładniejszą wartość wyrażała liczba 339/108, która była równa 3,1388...
Przez prawie dwa tysiące lat po Archimedesie ludzie próbowali znaleźć sposoby obliczenia liczby Pi. Byli wśród nich zarówno znani, jak i nieznani matematycy. Na przykład rzymski architekt Marek Witruwiusz Pollio, egipski astronom Klaudiusz Ptolemeusz, chiński matematyk Liu Hui, indyjski mędrzec Aryabhata, średniowieczny matematyk Leonardo z Pizy, znany jako Fibonacci, arabski naukowiec Al-Khwarizmi, od którego imienia pochodzi słowo pojawił się „algorytm”. Wszyscy oni i wiele innych osób poszukiwało najdokładniejszych metod obliczania Pi, ale aż do XV wieku nie udało im się uzyskać więcej niż 10 miejsc po przecinku ze względu na złożoność obliczeń.
Wreszcie w 1400 roku indyjski matematyk Madhava z Sangamagramu obliczył Pi z dokładnością do 13 cyfr (choć w dwóch ostatnich nadal się mylił).
Liczba znaków
W XVII wieku Leibniz i Newton odkryli analizę wielkości nieskończenie małych, która umożliwiła obliczanie liczby Pi w sposób bardziej progresywny – poprzez szeregi potęgowe i całki. Sam Newton obliczył 16 miejsc po przecinku, ale nie wspomniał o tym w swoich książkach - stało się to znane po jego śmierci. Newton twierdził, że obliczył Pi wyłącznie z nudów.
Mniej więcej w tym samym czasie wystąpili także inni, mniej znani matematycy, którzy zaproponowali nowe wzory na obliczanie liczby Pi za pomocą funkcji trygonometrycznych.
Na przykład jest to wzór zastosowany do obliczenia Pi przez nauczyciela astronomii Johna Machina w 1706 roku: PI / 4 = 4arctg(1/5) – arctg(1/239). Korzystając z metod analitycznych, Machin wyprowadził z tego wzoru liczbę Pi z dokładnością do stu miejsc po przecinku.
Nawiasem mówiąc, w tym samym 1706 roku liczba Pi otrzymała oficjalne oznaczenie w postaci greckiej litery: William Jones użył jej w swojej pracy nad matematyką, przyjmując pierwszą literę greckiego słowa „peryferie”, co oznacza „okrąg” .” Wielki Leonhard Euler, urodzony w 1707 r., spopularyzował to oznaczenie, znane dziś każdemu uczniowi.
Przed erą komputerów matematycy skupiali się na obliczaniu jak największej liczby znaków. W związku z tym czasami pojawiały się zabawne rzeczy. Matematyk-amator W. Shanks obliczył w 1875 roku 707 cyfr liczby Pi. Te siedemset znaków zostało uwiecznionych na ścianie Palais des Discoverys w Paryżu w 1937 roku. Jednak dziewięć lat później uważni matematycy odkryli, że tylko pierwszych 527 znaków zostało poprawnie obliczonych. Aby naprawić błąd, muzeum musiało ponieść znaczne wydatki – teraz wszystkie dane są prawidłowe.
Kiedy pojawiły się komputery, liczbę cyfr Pi zaczęto obliczać w zupełnie niewyobrażalnej kolejności.
Jeden z pierwszych komputery elektroniczne ENIAC, stworzony w 1946 roku, był ogromnych rozmiarów i generował tyle ciepła, że w pomieszczeniu nagrzało się do 50 stopni Celsjusza, jak obliczono pierwsze 2037 cyfr Pi. Obliczenia te zajęły maszynie 70 godzin.
W miarę udoskonalania komputerów nasza wiedza na temat liczby Pi przesuwała się coraz dalej w nieskończoność. W 1958 r. obliczono 10 tysięcy cyfr tej liczby. W 1987 roku Japończycy obliczyli 10 013 395 znaków. W 2011 roku japoński badacz Shigeru Hondo przekroczył granicę 10 bilionów znaków.
Gdzie jeszcze można spotkać Pi?
Często więc nasza wiedza o liczbie Pi pozostaje na poziomie szkolnym i wiemy na pewno, że liczba ta jest niezastąpiona przede wszystkim w geometrii.
Oprócz wzorów na długość i pole koła liczbę Pi stosuje się we wzorach na elipsy, kule, stożki, cylindry, elipsoidy i tak dalej: w niektórych miejscach wzory są proste i łatwe do zapamiętania, ale w innych zawierają bardzo złożone całki.
Wtedy liczbę Pi możemy spotkać we wzorach matematycznych, gdzie na pierwszy rzut oka geometria nie jest widoczna. Na przykład, Całka nieoznaczona od 1/(1-x^2) równa się Pi.
Liczba Pi jest często używana w analizie szeregowej. Oto na przykład prosty szereg zbieżny do Pi:
1/1 – 1/3 + 1/5 – 1/7 + 1/9 – …. = PI/4
Spośród szeregów Pi pojawia się najbardziej nieoczekiwanie w słynnej funkcji zeta Riemanna. Nie da się o tym w skrócie porozmawiać, powiedzmy, że kiedyś liczba Pi pomoże znaleźć wzór na obliczanie liczb pierwszych.
I absolutnie zaskakujące: Pi pojawia się w dwóch najpiękniejszych „królewskich” wzorach matematyki – wzorze Stirlinga (pomagającym znaleźć przybliżoną wartość silni i funkcji gamma) oraz wzorze Eulera (który łączy aż pięć stałych matematycznych).
Jednak najbardziej nieoczekiwane odkrycie czekało matematyków zajmujących się teorią prawdopodobieństwa. Liczba Pi również tam jest.
Na przykład prawdopodobieństwo, że dwie liczby będą względnie pierwsze, wynosi 6/PI^2.
Pi pojawia się w sformułowanym w XVIII wieku przez Buffona problemie rzucania igłą: jakie jest prawdopodobieństwo, że igła rzucona na kartkę papieru w linie przekroczy jedną z linii. Jeśli długość igły wynosi L, a odległość między liniami wynosi L, a r > L, to możemy w przybliżeniu obliczyć wartość Pi, korzystając ze wzoru na prawdopodobieństwo 2L/rPI. Wyobraź sobie - możemy uzyskać Pi z zdarzenia losowe. A tak przy okazji, Pi jest obecny w normalna dystrybucja prawdopodobieństwa pojawia się w równaniu słynnej krzywej Gaussa. Czy to oznacza, że liczba Pi jest jeszcze bardziej fundamentalna niż tylko stosunek obwodu do średnicy?
Pi możemy spotkać także w fizyce. Pi pojawia się w prawie Coulomba, które opisuje siłę oddziaływania dwóch ładunków, w trzecim prawie Keplera, które pokazuje okres obrotu planety wokół Słońca, a nawet pojawia się w układzie orbitali elektronowych atomu wodoru. I znowu najbardziej niewiarygodne jest to, że liczba Pi ukryta jest we wzorze zasady nieoznaczoności Heisenberga – podstawowego prawa fizyki kwantowej.
Sekrety Pi
W powieści Carla Sagana Kontakt, na której powstał film o tym samym tytule, kosmici mówią bohaterce, że wśród znaków Pi kryje się tajemne przesłanie od Boga. Od pewnego miejsca cyfry w liczbie przestają być przypadkowe i stanowią kod, w którym zapisane są wszystkie tajemnice Wszechświata.
W tej powieści odzwierciedlono tajemnicę, która zaprząta umysły matematyków na całym świecie: czy Pi jest normalną liczbą, w której cyfry są rozproszone z równą częstotliwością, czy też jest coś nie tak z tą liczbą? I chociaż naukowcy skłaniają się ku pierwszej opcji (ale nie mogą jej udowodnić), liczba Pi wygląda bardzo tajemniczo. Pewien Japończyk obliczył kiedyś, ile razy liczby od 0 do 9 występują w pierwszym bilionie cyfr Pi. I zobaczyłem, że liczby 2, 4 i 8 były częstsze niż pozostałe. Może to być jedna z wskazówek, że liczba Pi nie jest całkowicie normalna, a zawarte w niej liczby rzeczywiście nie są przypadkowe.
Zapamiętajmy wszystko, co przeczytaliśmy powyżej i zadajmy sobie pytanie, jaką inną liczbę irracjonalną i transcendentalną tak często można spotkać w prawdziwym świecie?
A w sklepie jest więcej dziwactw. Na przykład suma pierwszych dwudziestu cyfr Pi wynosi 20, a suma pierwszych 144 cyfr jest równa „liczbie bestii” 666.
Główny bohater amerykańskiego serialu „Podejrzany”, profesor Finch, powiedział uczniom, że ze względu na nieskończoność liczby Pi można w niej znaleźć dowolną kombinację liczb, począwszy od liczb z datą urodzenia po liczby bardziej zespolone . Na przykład na pozycji 762 znajduje się ciąg sześciu dziewiątek. Pozycję tę nazwano punktem Feynmana na cześć słynnego fizyka, który zauważył tę interesującą kombinację.
Wiemy również, że liczba Pi zawiera ciąg 0123456789, ale znajduje się na 17 387 594 880 cyfrze.
Wszystko to sprawia, że w nieskończoności liczby Pi można znaleźć nie tylko ciekawe kombinacje liczb, ale także zakodowany tekst „Wojny i pokoju”, Biblię, a nawet Główną Tajemnicę Wszechświata, jeśli taka istnieje.
Przy okazji, o Biblii. Słynny popularyzator matematyki Martin Gardner stwierdził w 1966 roku, że milionową cyfrą Pi (wówczas jeszcze nieznaną) będzie liczba 5. Swoje obliczenia tłumaczył tym, że w angielskiej wersji Biblii, w 3. księga, rozdział 14, 16 wersetów (3-14-16) siódme słowo zawiera pięć liter. Liczba milionowa została osiągnięta osiem lat później. To był numer pięć.
Czy warto po tym twierdzić, że liczba Pi jest losowa?
Historia liczby Pi rozpoczyna się w starożytnym Egipcie i przebiega równolegle z rozwojem całej matematyki. Z taką ilością spotykamy się po raz pierwszy w murach szkoły.
Liczba Pi jest prawdopodobnie najbardziej tajemniczą z nieskończonej liczby innych. Poświęcają mu wiersze, przedstawiają go artyści, a nawet nakręcono o nim film. W naszym artykule przyjrzymy się historii rozwoju i obliczeń, a także obszarom zastosowania stałej Pi w naszym życiu.
Pi jest stałą matematyczną równą stosunkowi obwodu koła do długości jego średnicy. Pierwotnie nazywano ją liczbą Ludolpha, a w 1706 roku brytyjski matematyk Jones zaproponował oznaczenie jej literą Pi. Po pracach Leonharda Eulera w 1737 roku określenie to zostało powszechnie przyjęte.
Pi jest liczbą niewymierną, co oznacza, że jej wartości nie można dokładnie wyrazić jako ułamka m/n, gdzie m i n są liczbami całkowitymi. Po raz pierwszy udowodnił to Johann Lambert w 1761 roku.
Historia rozwoju liczby Pi sięga około 4000 lat. Nawet starożytni matematycy egipscy i babilońscy wiedzieli, że stosunek obwodu do średnicy jest taki sam dla każdego koła, a jego wartość wynosi nieco więcej niż trzy.
Archimedes zaproponował matematyczną metodę obliczania Pi, w której wpisał wielokąty foremne w okrąg i opisał go wokół niego. Według jego obliczeń liczba Pi była w przybliżeniu równa 22/7 ≈ 3,142857142857143.
W II wieku Zhang Heng zaproponował dwie wartości Pi: ≈ 3,1724 i ≈ 3,1622.
Indyjscy matematycy Aryabhata i Bhaskara ustalili przybliżoną wartość 3,1416.
Najdokładniejszym przybliżeniem liczby Pi od 900 lat były obliczenia dokonane przez chińskiego matematyka Zu Chongzhi w latach osiemdziesiątych XIX wieku. Wydedukował, że Pi ≈ 355/113 i pokazał, że 3,1415926< Пи < 3,1415927.
Przed drugim tysiącleciem obliczano nie więcej niż 10 cyfr Pi. Tylko z rozwojem Analiza matematyczna, a zwłaszcza wraz z odkryciem szeregu, poczyniono kolejne duże postępy w obliczaniu stałej.
W XIV wieku Madhava był w stanie obliczyć Pi=3,14159265359. Jego rekord został pobity przez perskiego matematyka Al-Kashi w 1424 roku. W swojej pracy „Traktat o kole” przytoczył 17 cyfr liczby Pi, z czego 16 okazało się poprawnych.
Holenderski matematyk Ludolf van Zeijlen osiągnął w swoich obliczeniach 20 liczb, poświęcając temu 10 lat swojego życia. Po jego śmierci w jego notatkach odkryto jeszcze 15 cyfr Pi. Zapisał, że liczby te zostaną wyryte na jego nagrobku.
Wraz z pojawieniem się komputerów liczba Pi ma dziś kilka bilionów cyfr i nie jest to limit. Jednak, jak wskazuje Fractals for the Classroom, niezależnie od tego, jak ważna jest liczba Pi, „trudno jest znaleźć obszary w obliczeniach naukowych, które wymagają więcej niż dwudziestu miejsc po przecinku”.
W naszym życiu liczba Pi jest używana w wielu dziedzinach nauki. Fizyka, elektronika, teoria prawdopodobieństwa, chemia, budownictwo, nawigacja, farmakologia – to tylko kilka z nich, których po prostu nie da się sobie wyobrazić bez tej tajemniczej liczby.
Chcesz wiedzieć i móc zrobić więcej sam?
Oferujemy Państwu szkolenia z następujących obszarów: komputery, programy, administracja, serwery, sieci, budowa stron internetowych, SEO i nie tylko. Poznaj szczegóły już teraz!
Na podstawie materiałów ze strony Calculator888.ru - Liczba Pi - znaczenie, historia, kto ją wymyślił.
Miłośnicy matematyki na całym świecie co roku czternastego marca zjadają kawałek ciasta – w końcu jest to dzień Pi, najsłynniejszej liczby niewymiernej. Data ta jest bezpośrednio związana z liczbą, której pierwsze cyfry to 3,14. Pi to stosunek obwodu koła do jego średnicy. Ponieważ jest to irracjonalne, nie można zapisać go w postaci ułamka zwykłego. Jest to nieskończenie długa liczba. Została odkryta tysiące lat temu i od tego czasu jest nieustannie badana, ale czy Pi ma jeszcze jakieś tajemnice? Z starożytne pochodzenie aż do niepewnej przyszłości, oto niektóre z najciekawszych faktów na temat Pi.
Zapamiętywanie Pi
Rekord w zapamiętywaniu liczb dziesiętnych należy do Rajvira Meeny z Indii, któremu udało się zapamiętać 70 000 cyfr – ustanowił go 21 marca 2015 roku. Wcześniej rekordzistą był Chao Lu z Chin, któremu udało się zapamiętać 67 890 cyfr – rekord ten został ustanowiony w 2005 roku. Nieoficjalnym rekordzistą jest Akira Haraguchi, który w 2005 roku nagrał siebie na wideo, powtarzając 100 000 cyfr, a niedawno opublikował wideo, na którym udaje mu się zapamiętać 117 000 cyfr. Rekord stałby się oficjalny dopiero wtedy, gdyby ten film został nagrany w obecności przedstawiciela Księgi Rekordów Guinnessa, a bez potwierdzenia pozostaje jedynie faktem imponującym, ale nie jest uważany za osiągnięcie. Miłośnicy matematyki uwielbiają zapamiętywać liczbę Pi. Wiele osób stosuje różne techniki mnemoniczne, na przykład poezję, gdzie liczba liter w każdym słowie odpowiada cyfrom Pi. Każdy język ma swoje własne wersje podobnych zwrotów, które pomagają zapamiętać zarówno kilka pierwszych liczb, jak i całą setkę.
Istnieje język Pi
Matematycy, pasjonaci literatury, wymyślili dialekt, w którym liczba liter we wszystkich słowach odpowiada cyfrom Pi w dokładnej kolejności. Pisarz Mike Keith napisał nawet książkę Not a Wake, która jest w całości napisana w języku Pi. Entuzjaści takiej twórczości piszą swoje dzieła w pełnej zgodzie z liczbą liter i znaczeniem cyfr. Nie ma to praktycznego zastosowania, ale jest dość powszechne i znane zjawisko w kręgach entuzjastycznych naukowców.
Wzrost wykładniczy
Pi to liczba nieskończona, więc z definicji ludzie nigdy nie będą w stanie ustalić dokładnych cyfr tej liczby. Jednakże liczba miejsc po przecinku znacznie wzrosła od czasu pierwszego użycia liczby Pi. Używali go także Babilończycy, ale wystarczył im ułamek trzech całych i jedna ósma. Chińczycy i twórcy Starego Testamentu byli całkowicie ograniczeni do trzech. Do 1665 roku Sir Izaak Newton obliczył 16 cyfr liczby Pi. Do 1719 roku francuski matematyk Tom Fante de Lagny obliczył 127 cyfr. Pojawienie się komputerów radykalnie poprawiło ludzką wiedzę na temat liczby Pi. Od 1949 do 1967 numer znane człowiekowi liczba cyfr gwałtownie wzrosła z 2037 r. do 500 000. Nie tak dawno temu Peter Trueb, naukowiec ze Szwajcarii, był w stanie obliczyć 2,24 biliona cyfr Pi! Zajęło to 105 dni. Oczywiście nie jest to limit. Jest prawdopodobne, że wraz z rozwojem technologii możliwe będzie ustalenie jeszcze dokładniejszej liczby - ponieważ Pi jest nieskończone, po prostu nie ma ograniczeń co do dokładności i mogą ją ograniczyć tylko cechy techniczne technologii komputerowej.
Ręczne obliczanie Pi
Jeśli chcesz sam znaleźć liczbę, możesz skorzystać ze starej techniki - będziesz potrzebować linijki, słoika i sznurka lub możesz skorzystać z kątomierza i ołówka. Wadą używania puszki jest to, że musi być ona okrągła, a dokładność zależy od tego, jak dobrze dana osoba jest w stanie owinąć wokół niej linę. Możesz narysować okrąg za pomocą kątomierza, ale wymaga to również umiejętności i precyzji, ponieważ nierówny okrąg może poważnie zniekształcić pomiary. Więcej dokładna metoda polega na wykorzystaniu geometrii. Podziel okrąg na wiele segmentów, niczym pizzę na plasterki, a następnie oblicz długość linii prostej, która zamieniłaby każdy segment w trójkąt równoramienny. Suma boków da przybliżoną liczbę Pi. Im więcej segmentów użyjesz, tym dokładniejsza będzie liczba. Oczywiście w swoich obliczeniach nie będziesz w stanie zbliżyć się do wyników komputera, jednak te proste eksperymenty pozwalają bardziej szczegółowo zrozumieć, czym jest liczba Pi i jak jest ona wykorzystywana w matematyce. 
Odkrycie Pi
Starożytni Babilończycy wiedzieli o istnieniu liczby Pi już cztery tysiące lat temu. Babilońskie tabliczki obliczają liczbę Pi na 3,125, a egipski papirus matematyczny podaje liczbę 3,1605. W Biblii Pi jest podawane w przestarzałej długości łokci, a grecki matematyk Archimedes użył twierdzenia Pitagorasa, geometrycznej zależności między długością boków trójkąta a polem figur wewnątrz i na zewnątrz okręgów, opisać Pi. Zatem możemy śmiało powiedzieć, że Pi jest jednym z najstarszych pojęć matematycznych, chociaż ma dokładną nazwę podany numer i pojawił się stosunkowo niedawno.
Nowe spojrzenie na Pi
Jeszcze zanim liczbę Pi zaczęto wiązać z okręgami, matematycy znali już wiele sposobów na nazwanie tej liczby. Na przykład w starożytnych podręcznikach matematyki można znaleźć wyrażenie po łacinie, które można z grubsza przetłumaczyć jako „wielkość, która pokazuje długość po pomnożeniu przez nią średnicy”. Liczba niewymierna stała się sławna, gdy szwajcarski naukowiec Leonhard Euler użył jej w swojej pracy z trygonometrii w 1737 roku. Jednak grecki symbol Pi nadal nie był używany – stało się to dopiero w książce mniej znanego matematyka Williama Jonesa. Używał go już w 1706 roku, jednak przez długi czas pozostawał niezauważony. Z biegiem czasu naukowcy przyjęli tę nazwę i obecnie jest to najsłynniejsza wersja nazwy, chociaż wcześniej nazywano ją także liczbą Ludolfa.
Czy Pi jest normalną liczbą?
Pi to zdecydowanie dziwna liczba, ale w jakim stopniu podlega normalnym prawom matematycznym? Naukowcy rozwiązali już wiele pytań związanych z tą niewymierną liczbą, ale pewne tajemnice pozostają. Nie wiadomo np. jak często używane są wszystkie liczby – cyfry od 0 do 9 należy stosować w równych proporcjach. Statystyki można jednak prześledzić już od pierwszych bilionów cyfr, jednak ze względu na to, że liczba jest nieskończona, nie da się niczego udowodnić z całą pewnością. Istnieją inne problemy, które wciąż umykają naukowcom. Jest to całkiem możliwe dalszy rozwój nauka pomoże rzucić na nie światło, ale ten moment pozostaje poza ludzkim intelektem.
Pi brzmi bosko
Naukowcy nie potrafią odpowiedzieć na niektóre pytania dotyczące liczby Pi, jednak z roku na rok coraz lepiej rozumieją jej istotę. Już w XVIII wieku udowodniono irracjonalność tej liczby. Ponadto udowodniono, że liczba ta jest transcendentalna. To oznacza nie pewna formuła, co pozwoliłoby nam obliczyć Pi za pomocą liczb wymiernych. 
Niezadowolenie z liczby Pi
Wielu matematyków jest po prostu zakochanych w Pi, ale są też tacy, którzy uważają, że liczby te nie są szczególnie znaczące. Ponadto twierdzą, że Tau, które jest dwukrotnie większe od Pi, wygodniej jest używać jako liczby niewymiernej. Tau pokazuje związek między obwodem a promieniem, co według niektórych stanowi bardziej logiczną metodę obliczeń. Nie da się jednak niczego jednoznacznie ustalić w tej kwestii, a jedna i druga zawsze znajdą zwolenników, obie metody mają prawo do życia, więc po prostu interesujący fakt i nie jest to powód, aby sądzić, że nie powinieneś używać Pi.
