Сечение тетраэдра плоскостью параллельной основанию. Тетраэдр и его сечение

Слайд 2

Информация для учителя. Цель создания этой презентации состоит в том, чтобы наглядно продемонстрировать алгоритмы построения точки пересечения прямой и плоскости, прямой пересечения плоскостей и сечений тетраэдра. Учитель может использовать презентацию при проведении уроков по этой теме, или рекомендовать её для самостоятельного изучения учащимся, пропустившим по какой-то причине её изучение, или для повторения ими отдельных вопросов. Ученики сопровождают изучение презентации заполнением краткого конспекта.

Слайд 3

Информация для ученика. Цель создания этой презентации состоит в том, чтобы наглядно продемонстрировать алгоритмы решения задач на построение в пространстве. Постарайтесь внимательно и, не спеша, изучать комментарии на выносках и сопоставлять их с рисунком. Заполняйте в кратком конспекте все пропуски. При самостоятельном решении задач необходимо вначале самому продумать решение, а затем просмотреть предложенное автором. Запишите вопросы к учителю и задайте их на уроке.

Слайд 4

I.Прямая а пересекает плоскость α. Построить точку пересечения.

α β P m а Ответ: I.Чтобы построить точку пересечения прямой а и плоскости αнужно: 1)провести(найти)плоскость β, проходящую через прямую а и пересекающую плоскость α по прямой т 2) построить точку Р пересечения прямых а и m. Через прямую а проведём плоскость β, пересекающую плоскость αпо прямой т Пересечём прямую а с линией пересечения плоскостей α и β: прямой т. Точка Р общая точка прямой а и плоскости α, т.к. прямая т лежит в плоскости α. Запишите алгоритм в краткий конспект.

Слайд 5

1)Построить точку пересечения прямой МN и плоскости BDC.

D B A C M N P {М, N} (АВС) Ответ: Через прямую МN проходит плоскость АВС, пересекающая плоскость BDC по прямой ВС. Прямая МN пересекается с прямой ВС в точке Р. Прямая ВС лежит в плоскости BDC, значит прямая МN пересекает плоскость BDC в точке Р.

Слайд 6

2)Построить точку пересечения прямой МN и плоскостиАBD.

D B A C M N P Ответ: Просмотреть решение Прямая MN принадлежит плоскостиВDC, которая пересекает плоскость AВD по прямой DB Пересечём прямые MN и DB. Далее

Слайд 7

II. Пусть прямая АВ не параллельна плоскости α. Построить линию пересечения плоскостей αи АВС, если точка С принадлежит плоскости α

B C A α β P m Построим точку пересечения прямой АВ с плоскостьюα. По условию и построению точки С и Р общие для плоскостей АВС и α. По условию и построению точки С и Р общие для плоскостей АВС и α. Значит прямая СР искомая прямая пересечения плоскостей АВС и α. II.Чтобы построить линию пересечения плоскости αи плоскости АВС (С α, {А, В} α, АВ || α),нужно: построить точку пересечения прямой АВ и плоскости α - точку Р; 2) точка Р и С общие точки плоскостей (АВС) и α, значит (АВС) α = СР Запишите алгоритм в краткий конспект.

Слайд 8

3).Построить прямую пересечения плоскостей МNP и АDB.

Построить отрезок пересечения плоскости МNP и грани АDB. M D B A C N P X Q R Ответ: Построим точку пересечения прямой МР с плоскостью ADB (точку Х). Прямая МР лежит в плоскости ADС, пересекающей плоскость ADВ по прямой AD. Прямая МР лежит в плоскости ADС, пересекающей плоскость ADВ по прямой AD. Точки Х и N общие точки плоскостей ADВ и MNP. Значит они пересекаются по прямой ХN. Запишите ход построения в краткий конспект.

Слайд 9

Сечение тетраэдра.

C D B A M N P α Многоугольник, составленный из отрезков, по которым секущая плоскость пересекает грани многогранника, называется сечением многогранника. Отрезки, из которых состоит сечение, называются следами секущей плоскости на гранях. ∆ MNP – сечение. Пусть плоскость пересекает тетраэдр, тогда она называется секущей плоскостью Плоскость пересекает рёбра тетраэдра в точках М,N,P, а грани - по отрезкам MN, MP, NP… Треугольник МNP называется сечением тетраэдра этой плоскостью… Запишите в краткий конспект.

Слайд 10

Сечение тетраэдра может быть так же четырёхугольником.

A C D B M N P Q α MNPQ – сечение.

Слайд 11

Алгоритм построения сечения тетраэдра плоскостью, проходящей через три данные точки M,N,P.

MNPQ – искомое сечение. D B A C M N P Q X Построить следы секущей плоскости в тех гранях, в которых есть 2 общие точки с ней. 3)Через построенные точки провести прямую, по которой секущая плоскость пересекает плоскость выбранной грани АВС. 4) Отметить и обозначить точки, в которых эта прямая пересекает рёбра грани АВС и достроить остальные следы. 2) Выбрать грань, в которой ещё нет следа. Построить точки пересечения прямых, содержащих уже построенные следы, с плоскостью выбранной грани: АВС.

Слайд 12

Построить сечение тетраэдраплоскостью MNP.2 способ.

D B A C M N P Q X MNPQ – искомое сечение.

Слайд 13

№1. (Решите самостоятельно задачу). Построить сечение тетраэдра плоскостью MNP.

Q D A C M N P X B X Просмотреть решение Второй способ: Далее

Слайд 14

№2. (Решите самостоятельно). Построить сечение тетраэдра плоскостью MNP, еслиР принадлежит грани АDC.

Слайд 15

№3. Построить сечение тетраэдраплоскостью α, параллельной ребру CD и проходящей через т. F, лежащую на плоскости DBC, и точку М.

3)α (ADB)= MN, α (ABC)=QP. Q D B A M N P F C Дано: α||DC, {M;F} α, F (BDC), M AD. Построить сечение тетраэдра DABC Т.к. α||DC, то (DBC) α=FP и FP||DC, FP BC=P, FP BD=N. 2) Т. к. α||DC, то (DAC) α=MQ и MQ||DC, MQ AC=Q. DC || NP и NP α, значит DC||α, следовательно MNPQ – искомое сечение. Продолжите фразу: Если данная прямая а параллельна некоторой плоскости α, то любая плоскость, проходящая через эту прямую а и непараллельная плоскости α, пересекает плоскость α по прямой b,……………………………………… параллельной прямой а. Продолжите… α||DC, значит плоскость BDC пересекает α по прямой, параллельной DC и проходящей через точку F α||DC, значит плоскость ADC пересекает α по прямой, параллельной DC и проходящей через точку M

Слайд 16

2)α||DВC, (ADC) (DBC)=CD, (ADC)α=MN MP||CD. P №4. Построить сечение тетраэдраплоскостью α, параллельной грани BDC и проходящей через точку М. B A C M N D Дано: α||DBC, M α, M AD. Построить сечение тетраэдра DABC плоскостью α α||DВC, (ADB) (DBC)=BD, MN||BD. (ADB)α=MN 3)α (ABC)=NP. ∆ MNP – искомое сечение, т.к………. Продолжите фразу: Если две параллельные плоскости пересечены третьей плоскостью, то линии их пересечения……………………… параллельны. две пересекающиеся прямые MN и MP плоскости α соответственно параллельны двум пересекающимся прямым DB и DC плоскости (DBC), значит α||(DBC). α||DВC, значит плоскости ADВ и ADC пересекают плоскости α и (ВDС) по прямым MN и МР, параллельным DB и DС соответственно и проходящим через точку M.

Слайд 17

Далее М R B A C N №5.Решите самостоятельно и запишите ход решения. Построить сечение тетраэдра плоскостью α, проходящей через точку М и отрезок PN, если PN||AB и М принадлежит плоскости (АВС). Р Q D 1)NP||АВ NP||(ABC) NP α, α (ABC)=MQ MQ||NP. 2)MQ AC=R. α (ADC)=NR, α (BDC)=PQ. RNPQ-искомое сечение. Просмотреть решение NP||(AВC), значит плоскость MNP пересекает плоскость AВС по прямой MQ, параллельной NP и проходящей через точку M.

Слайд 18

Не забудьте сформулировать вопросы учителю, если было что-то не понятно, а также свои рекомендации по совершенствованию этой презентации.

Слайд 19

При создании презентации были использованы учебники и пособия: 1. Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов и др. Геометрия 10-11. М. «Просвещение» 2008. 2.Б.Г. Зив, В.М. Мейлер, А.Г. Баханский Задачи по геометрии 7-11.М. «Просвещение» 2000

Посмотреть все слайды

Сегодня еще раз разберем, как построить сечение тетраэдра плоскостью .
Рассмотрим самый простой случай (обязательный уровень), когда 2 точки плоскости сечения принадлежат одной грани, а третья точка - другой грани.

Напомним алгоритм построения сечений такого вида (случай: 2 точки принадлежат одной грани).

1. Ищем грань, которая содержит 2 точки плоскости сечения. Проводим прямую через две точки, лежащие в одной грани. Находим точки ее пересечения с ребрами тетраэдра. Часть прямой, оказавшаяся в грани, есть сторона сечения.

2. Если многоугольник можно замкнуть - сечение построено. Если нельзя замкнуть, то находим точку пересечения построенной прямой и плоскости, содержащей третью точку.

1. Видим, что точки E и F лежат в одной грани (BCD), проведем прямую EF в плоскости (BCD).
2. Найдем точку пересечения прямой EF c ребром тетраэдра BD, это точка Н.
3. Теперь следует найти точку пересечения прямой EF и плоскости, содержащей третью точку G, т.е. плоскости (ADC).
Прямая CD лежит в плоскостях (ADC) и (BDC), значит она пересекается с прямой EF, и точка К является точкой пересечения прямой EF и плоскости (ADC).
4. Далее находим еще две точки, лежащие в одной плоскости. Это точки G и K, обе лежат в плоскости левой боковой грани. Проводим прямую GK, отмечаем точки, в которых эта прямая пересекает ребра тетраэдра. Это точки M и L.
4. Осталось "замкнуть" сечение, т.е.соединить точки, лежащие в одной грани. Это точки M и H, и также L и F. Оба этих отрезка - невидимы, проводим их пунктиром.

В сечении получился четырехугольник MHFL. Все его вершины лежат на ребрах тетраэдра. Выделим получившееся сечение.

Теперь сформулируем "свойства" правильно построенного сечения:

1. Все вершины многоугольника, которое является сечением, лежат на ребрах тетраэдра (параллелепипеда, многоугольника).

2. Все стороны сечения лежат в гранях многогранника.
3. В каждой грани многоранника может находиться не более одной (одна или ни одной!) стороны сечения

, слайды 1-2)

научиться применять аксиомы стереометрии при решении задач;
научиться находить положение точек пересечения секущей плоскости с рёбрами тетраэдра;
освоить методы построения этих сечений
формировать познавательную активность, умения логически мыслить;
создать условия самоконтроля усвоения знаний и умений.

Тип урока: Формирование новых знаний.

Ход урока

I. Организационный момент

II. Актуализация знаний учащихся

Фронтальный опрос. (Аксиомы стереометрии, свойства параллельных плоскостей)

Слово учителя

Для решения многих геометрических задач, связанных с тетраэдром, полезно уметь строить на рисунке их сечения различными плоскостями. (слайд 3) . Назовём секущей плоскостью тетраэдра любую плоскость, по обе стороны от которой имеются точки данного тетраэдра. Секущая плоскость пересекает грани тетраэдра по отрезкам. Многоугольник, сторонами которого являются эти отрезки, называется сечением тетраэдра . Так как тетраэдр имеет четыре грани, то его сечениями могут быть только треугольники и четырёхугольники. Отметим также, что для построения сечения достаточно построить точки пересечения секущей плоскости с рёбрами тетраэдра, после чего остаётся провести отрезки, соединяющие каждые две построенные точки, лежащие в одной и той же грани.

На этом уроке вы сможете подробно изучить сечения тетраэдра, освоить методы построения этих сечений. Вы узнаете пять правил построения сечений многогранников, научитесь находить положение точек пересечения секущей плоскости с рёбрами тетраэдра.

Актуализация опорных понятий

Первое правило. Если две точки принадлежат как секущей плоскости, так и плоскости некоторой грани многогранника, то прямая, проходящая через эти две точки, является линией пересечения секущей плоскости с плоскостью этой грани (следствие аксиомы о пересечении плоскостей).
Второе правило . Если секущая плоскость параллельна некоторой плоскости, то эти две плоскости пересекаются с любой гранью по параллельным прямым (свойство двух параллельных плоскостей, пересечённых третьей).
Третье правило. Если секущая плоскость параллельна прямой, лежащей в некоторой плоскости (например, плоскости какой-то грани), то линия пересечения секущей плоскости с этой плоскостью (гранью) параллельна этой прямой (свойство прямой, параллельной плоскости).
Четвёртое правило. Секущая плоскость пересекает параллельные грани по параллельным прямым (свойство параллельных плоскостей, пересечённых третьей).
Пятое правило . Пусть две точки А и В принадлежат секущей плоскости, а точки A 1 и B 1 являются параллельными проекциями этих точек на некоторую грань. Если прямые АВ и A 1 B 1 параллельны, то секущая плоскость пересекает эту грань по прямой, параллельной A 1 B 1 . Если же прямые АВ и A 1 B 1 пересекаются в некоторой точке, то эта точка принадлежит как секущей плоскости, так и плоскости этой грани (первая часть этой теоремы следует из свойства прямой, параллельной плоскости, а вторая вытекает из дополнительных свойств параллельной проекции).

III. Изучение нового материала (формирование знаний, умений)

Коллективное решение задач с объяснением (слайд 4)

Задача 1. Постройте сечение тетраэдра ДАВС плоскостью, проходящей через точки К є АД, М є ДС, Е є ВС.

Внимательно посмотрим на чертёж. Так как точки К и М принадлежат одной плоскости, то мы находим пересечение секущей плоскости с гранью АДС – это отрезок КМ. Точки М и Е также лежат в одной плоскости, значит пересечением секущей плоскости, и грани ВДС является отрезок МЕ. Находим точку пересечения прямых КМ и АС, которые лежат в одной плоскости АДС. Теперь точка Х лежит в грани АВС, то её можно соединить с точкой Е. Проводим прямую ХЕ, которая пересекается с АВ в точке Р. Отрезок РЕ есть пересечение секущей плоскости с гранью АВС, а отрезок КР есть пересечение секущей плоскости с гранью АВС. Следовательно, четырёхугольник КМЕР наше искомое сечение. Запись решения в тетради:

Решение.

КМ = α ∩ АДС
МЕ = α ∩ ВДС
Х = КМ ∩ АС
Р = ХЕ ∩ АВ
РЕ = α ∩ АВС
КР = α ∩ АДВ
КМЕР – искомое сечение

Задача 2. (слайд 5)

Постройте сечение тетраэдра ДАВС плоскостью, проходящей через точки К є АВС, М є ВДС, N є АД

Проанализируем этот рисунок. Здесь нет точек, лежащих в одной грани. В это случае воспользуемся правилом 5. Рассмотрим проекции каких-нибудь двух точек. В тетраэдре проекции точек находят из вершины на плоскость основания, т.е. М→М 1 , N→А. Находим пересечение прямых NM и AM 1 точку Х.Данная точка принадлежит секущей плоскости, так как лежит на прямой NM, принадлежит плоскости АВС, так как лежит на прямой АМ 1 . Значит, теперь в плоскости АВС у нас есть две точки, которые можно соединить, получаем прямую КХ. Прямая пересекает сторону ВС в точке L, а сторону АВ в точке Н. В грани АВC находим линию пересечения, она проходит через точки Н и К – это НL. В грани АВД линия пересечения – НN, в грани ВДС проводим линию пересечения через точки L и М – это LQ и в грани АДС получаем отрезок NQ. Четырёхугольник HNQL – искомое сечение.

Решение

М → М 1 N → А
Х = NМ ∩ АМ 1
L = КХ ∩ ВС
H = КХ ∩ АВ
НL = α ∩ АВC, К є НL
НN = α ∩ АВД,
LQ = α ∩ ВДС, М є LQ
NQ = α ∩ АДС
HNQL – искомое сечение

IV. Закрепление знаний

Работа с анимационным объектом «Построение сечения тетраэдра с плоскостью» (диск «Уроки геометрии в 10 классе» урок №16)

Решение задачи с последующей проверкой

Задача 3. (слайд 6)

Постройте сечение тетраэдра ДАВС плоскостью, проходящей через точки К є ВС, М є АДВ, N є ВДС.

Решение

1. М → М 1 , N → N 1
Х = NМ ∩ N 1 М 1
R = КХ ∩ АВ
RL = α ∩ АВД, М є RL
КР = α ∩ ВДС, N є КР
LP = α ∩ АДС
RLPK – искомое сечение

V. Самостоятельная работа (по вариантам)

(слайд 7)

Задача 4. N є АС, К є АД.

Решение

КМ = α ∩ АВД,
МN = α ∩ АВС,
КN = α ∩ АДС
KMN – искомое сечение

Задача 5. Постройте сечение тетраэдра ДАВС плоскостью, проходящей через точки М є АВ, К є ДС, N є ДВ.

Решение

MN = α ∩ АВД
NK = α ∩ ВДС
Х = NК ∩ ВС
Р = АС ∩ МХ
РК = α ∩ АДС
MNKP – искомое сечение

Задача 6. Постройте сечение тетраэдра ДАВС плоскостью, проходящей через точки М є АВС, К є ВД, N є ДС

Решение

KN = α ∩ ДВС
Х = КN ∩ ВС
Т = МХ ∩ АВР = ТХ ∩ АС
РТ = α ∩ АВС, М є РТ
PN = α ∩ АДС
ТР N K – искомое сечение

VI. Итог урока.

(слайд 8)

Итак, мы сегодня научились строить простейшие задачи на сечения тетраэдра. Напоминаю, что сечением многогранника называется многоугольник, полученный в результате пересечения многогранника с некоторой плоскостью. Сама плоскость при этом называется секущей плоскостью. Построить сечение значит определить, какие рёбра пересекает секущая плоскость, вид полученного сечения и точное положение точек пересечения секущей плоскости с этими рёбрами. То есть, те цели, которые были поставлены на уроке, решены.

VII. Домашнее задание.

(слайд 9)

Практическая работа «Построить сечения тетраэдра» в электронном виде или бумажном варианте. (Каждому было дано индивидуальное задание).

Урок по теме:

«Построение сечений тетраэдра и параллелепипеда»

Цели урока

1. Ознакомиться с основами решения задач на построение сечений тетраэдра и параллелепипеда плоскостью.

2. Выделить виды задач на построение сечений.

3. Выработать навыки решения задач на построение сечений тетраэдра и параллелепипеда.

4. Формирование пространственного воображения.

Ход урока.

I Организационный момент.

II Проверка домашнего задания.

Ребята, какие геометрические тела мы изучали на последних уроках? (тетраэдр, параллелепипед).

Что называется тетраэдром?

Что называется параллелепипедом?

А теперь проверим устное домашнее задание.

В учебнике на стр. 31 читаем и отвечаем на вопросы 14,15.

14. Существует ли тетраэдр у которого пять углов граней прямые?

(Нет, так как в четырёх треугольниках, образующих, может быть только четыре прямых угла, по одному в каждом не более).

15. Существует ли параллелепипед, у которого:

а ) Только одна грань прямоугольник. (Нет, так как противоположные грани параллелепипеда равны).

б ) Только две смежные грани ромбы. (Нет, ромбами могут быть только противоположные грани).

в ) Все углы грани острые. (Нет, у параллелограмма есть как острые, так и тупые углы, а каждая грань параллелограмм).

г ) Все углы грани прямые. (Да, в прямоугольном параллелепипеде).

д ) Число всех острых углов грани не равно числу всех тупых углов грани. (Нет, острых и тупых углов поровну в каждой грани).

III Объяснение новой темы.

Теперь переходим к новой теме. Запишите тему урока. Цель сегодняшнего урока:

1. Ознакомиться с основами решения задач на построение сечений тетраэдра и параллелепипеда плоскостью.

2. Выделить виды задач на построение сечений.

3. Выработать навыки решения задач на построение сечений тетраэдра и параллелепипеда.

4. Формирование пространственного воображения.

Итак, для решения многих геометрических задач, связанных с тетраэдром и параллелепипедом, полезно уметь строить на рисунке их сечения различными плоскостями.

Что же мы будем понимать под секущей плоскостью ? В учебнике на стр. 27 найдём ответ на этот вопрос.

Секущей плоскостью называют любую плоскость, по обе стороны от которой имеются точки данного многогранника.

Следующее понятие – это сечение. И снова за помощью обращаемся к учебнику. А теперь посмотрите, как выглядит точное определение сечения.

v Где располагаются стороны многоугольника, который является сечением?

v Где располагаются вершины многоугольника, который является сечением?

А теперь ответим на вопрос. Что значит построить сечение многогранника плоскостью. Таким образом, мы в каждой грани будем строить отрезки, по которым секущая плоскость пересекает грани.

Чтобы грамотно построить сечение надо уметь применять различные теоремы и свойства. Ответим на вопрос.

Какие из данных утверждений могут пригодиться при построении сечений?

1. Если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, содержащей эту точку.

2. Если прямая, лежащая, в одной из пересекающихся плоскостей, пересекает другую плоскость, то она пересекает линию пересечения плоскостей.

3. Если две параллельные плоскости, пересечены третьей, то линии пересечения плоскостей параллельны.

4. Секущая, плоскость пересекает грань многогранника по ломаной линии.

5. В сечении параллелепипеда плоскостью, может получиться:

v отрезок

v треугольник

v четырёхугольник

v пятиугольник

v шестиугольник

v Семиугольник

А теперь вспомним способы задания плоскости:

При построении сечений важно знать:

https://pandia.ru/text/78/131/images/image003_53.jpg" width="559" height="288 src=">

https://pandia.ru/text/78/131/images/image005_39.jpg" width="564" height="355 src=">

Теперь в учебнике рассмотрим основные задачи на построение сечений. И так, задача первая, где необходимо построить сечение тетраэдра по трём точкам, принадлежащим секущей, плоскости, причём две из них лежат в одной плоскости, а третья лежит в другой плоскости.
.jpg" width="588" height="359 src=">

Решение задач. Проверка правильности решения с помощью слайдов.

V Итог урока.

Представьте ситуацию:

Ваш одноклассник заболел и пропустил уроки, на которых проходили тему «Построение сечений многогранников». Вам нужно по телефону объяснить эту тему. Сформулируйте пошаговый алгоритм.

https://pandia.ru/text/78/131/images/image015_14.jpg" width="600" height="284 src=">

А сейчас я проведу тестирование. Вам необходимо выполнить три задания в течение трёх минут. Выберите и выпишите номер рисунков, на которых изображено верные сечения тетраэдра и параллелепипеда, а так же верный рисунок.

VI Домашнее задание . n.14, вопрос 16, № 000,106. Придумать и решить одну задачу на построение сечения тетраэдра или параллелепипеда.

На этом уроке мы рассмотрим тетраэдр и его элементы (ребро тетраэдра, поверхность, грани, вершины). И решим несколько задач на построение сечений в тетраэдре, используя общий метод для построения сечений.

Тема: Параллельность прямых и плоскостей

Урок: Тетраэдр. Задачи на построение сечений в тетраэдре

Как построить тетраэдр? Возьмем произвольный треугольник АВС . Произвольную точку D , не лежащую в плоскости этого треугольника. Получим 4 треугольника. Поверхность, образованная этими 4 треугольниками, и называется тетраэдром (Рис. 1.). Внутренние точки, ограниченные этой поверхностью, также входят в состав тетраэдра.

Рис. 1. Тетраэдр АВСD

Элементы тетраэдра
А, B , C , D - вершины тетраэдра .
AB , AC , AD , BC , BD , CD - ребра тетраэдра .
ABC , ABD , BDC , ADC - грани тетраэдра .

Замечание: можно принять плоскость АВС за основание тетраэдра , и тогда точка D является вершиной тетраэдра . Каждое ребро тетраэдра является пересечением двух плоскостей. Например, ребро АВ - это пересечение плоскостей АВ D и АВС . Каждая вершина тетраэдра - это пересечение трех плоскостей. Вершина А лежит в плоскостях АВС , АВ D , А D С . Точка А - это пересечение трех означенных плоскостей. Этот факт записывается следующим образом: А = АВС ∩ АВ D ∩ АС D .

Тетраэдр определение

Итак, тетраэдр - это поверхность, образованная четырмя треугольниками.

Ребро тетраэдра - линия перечесения двух плоскостей тетраэдра.

Составьте из 6 спичек 4 равных треугольника. На плоскости решить задачу не получается. А в пространстве это сделать легко. Возьмем тетраэдр. 6 спичек - это его ребра, четыре грани тетраэдра и будут четырьмя равными треугольниками. Задача решена.

Дан тетраэдр АВС D . Точка M принадлежит ребру тетраэдра АВ , точка N принадлежит ребру тетраэдра В D и точка Р принадлежит ребру D С (Рис. 2.). Постройте сечение тетраэдра плоскостью MNP .

Рис. 2. Рисунок к задаче 2 - Построить сечение тетраэдра плоскостью

Решение :
Рассмотрим грань тетраэдра D ВС . В этой грани точки N и P принадлежат грани D ВС , а значит, и тетраэдру. Но по условию точки N, P принадлежат секущей плоскости. Значит, NP - это линия пересечения двух плоскостей: плоскости грани D ВС и секущей плоскости. Предположим, что прямые NP и ВС не параллельны. Они лежат в одной плоскости D ВС. Найдем точку пересечения прямых NP и ВС . Обозначим ее Е (Рис. 3.).

Рис. 3. Рисунок к задаче 2. Нахождение точки Е

Точка Е принадлежит плоскости сечения MNP , так как она лежит на прямой NР , а прямая NР целиком лежит в плоскости сечения MNP .

Также точка Е лежит в плоскости АВС , потому что она лежит на прямой ВС из плоскости АВС .

Получаем, что ЕМ - линия пересечения плоскостей АВС и MNP, так как точки Е и М лежат одновременно в двух плоскостях - АВС и MNP. Соединим точки М и Е , и продолжим прямую ЕМ до пересечения с прямой АС . Точку пересечения прямых ЕМ и АС обозначим Q .

Итак, в этом случае NPQМ - искомое сечение.

Рис. 4. Рисунок к задаче 2.Решение задачи 2

Рассмотрим теперь случай, когда NP параллельна BC . Если прямая NP параллельна какой-нибудь прямой, например, прямой ВС из плоскости АВС , то прямая NP параллельна всей плоскости АВС .

Искомая плоскость сечения проходит через прямую NP , параллельную плоскости АВС , и пересекает плоскость по прямой МQ . Значит, линия пересечения МQ параллельна прямой NP . Получаем, NPQМ - искомое сечение.

Точка М лежит на боковой грани А D В тетраэдра АВС D . Постройте сечение тетраэдра плоскостью, которое проходит через точку М параллельно основанию АВС .

Рис. 5. Рисунок к задаче 3 Построить сечение тетраэдра плоскостью

Решение:
Секущая плоскость φ параллельна плоскости АВС по условию, значит, эта плоскость φ параллельна прямым АВ , АС , ВС .
В плоскости АВ D через точку М проведем прямую PQ параллельно АВ (рис. 5). Прямая PQ лежит в плоскости АВ D . Аналогично в плоскости АС D через точку Р проведем прямую РR параллельно АС . Получили точку R . Две пересекающиеся прямые PQ и РR плоскости РQR соответственно параллельны двум пересекающимся прямым АВ и АС плоскости АВС , значит, плоскости АВС и РQR параллельны. РQR - искомое сечение. Задача решена.

Дан тетраэдр АВС D . Точка М - точка внутренняя, точка грани тетраэдра АВ D . N - внутренняя точка отрезка D С (Рис. 6.). Построить точку пересечения прямой NM и плоскости АВС .

Рис. 6. Рисунок к задаче 4

Решение:
Для решения построим вспомогательную плоскость D МN . Пусть прямая D М пересекает прямую АВ в точке К (Рис. 7.). Тогда, СК D - это сечение плоскости D МN и тетраэдра. В плоскости D МN лежит и прямая NM , и полученная прямая СК . Значит, если NM не параллельна СК , то они пересекутся в некоторой точке Р . Точка Р и будет искомая точка пересечения прямой NM и плоскости АВС .

Рис. 7. Рисунок к задаче 4. Решение задачи 4

Дан тетраэдр АВС D . М - внутренняя точка грани АВ D . Р - внутренняя точка грани АВС . N - внутренняя точка ребра D С (Рис. 8.). Построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки М , N и Р .

Рис. 8. Рисунок к задаче 5 Построить сечение тетраэдра плоскостью

Решение:
Рассмотрим первый случай, когда прямая MN не параллельна плоскости АВС . В прошлой задаче мы нашли точку пересечения прямой MN и плоскости АВС . Это точка К , она получена с помощью вспомогательной плоскости D МN , т.е. мы проводим D М и получаем точку F . Проводим СF и на пересечении MN получаем точку К .

Рис. 9. Рисунок к задаче 5. Нахождение точки К

Проведем прямую КР . Прямая КР лежит и в плоскости сечения, и в плоскости АВС . Получаем точки Р 1 и Р 2 . Соединяем Р 1 и М и на продолжении получаем точку М 1 . Соединяем точку Р 2 и N . В результате получаем искомое сечение Р 1 Р 2 NМ 1 . Задача в первом случае решена.
Рассмотрим второй случай, когда прямая MN параллельна плоскости АВС . Плоскость МNР проходит через прямую МN параллельную плоскости АВС и пересекает плоскость АВС по некоторой прямой Р 1 Р 2 , тогда прямая Р 1 Р 2 параллельна данной прямой MN (Рис. 10.).

Рис. 10. Рисунок к задаче 5. Искомое сечение

Теперь проведем прямую Р 1 М и получим точку М 1 . Р 1 Р 2 NМ 1 - искомое сечение.

Итак, мы рассмотрели тетраэдр, решили некоторые типовые задачи на тетраэдр. На следующем уроке мы рассмотрим параллелепипед.

1. И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. - 5-е издание, исправленное и дополненное - М. : Мнемозина, 2008. - 288 с. : ил. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни)

2. Шарыгин И. Ф. - М.: Дрофа, 1999. - 208 с.: ил. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений

3. Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. - 6-е издание, стереотип. - М. : Дрофа, 008. - 233 с. :ил. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики

Дополнительные веб-ресурсы

2. Как построить сечение тетраэдра. Математика ().

3. Фестиваль педагогических идей ().

Сделай дома задачи по теме "Тетраэдр", как находить ребро тетраэдра, грани тетраэдра, вершины и поверхность тетраэдра

1. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. - 5-е издание, исправленное и дополненное - М.: Мнемозина, 2008. - 288 с.: ил. Задания 18, 19, 20 стр. 50

2. Точка Е середина ребра МА тетраэдра МАВС . Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки В, С и Е .

3. В тетраэдре МАВС точка М принадлежит грани АМВ, точка Р - грани ВМС, точка К - ребру АС. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки М, Р, К.

4. Какие фигуры могут получиться в результате пересечения плоскостью тетраэдра?