Tiesiškai priklausomi ir tiesiškai nepriklausomi vektoriai. Tiesiškai priklausomi ir tiesiškai nepriklausomi vektoriai

Pristatome mūsų tiesinės operacijos vektoriais leidžia sukurti įvairias išraiškas vektoriniai dydžiai ir transformuoti juos naudodami šioms operacijoms nustatytas savybes.

Remdamiesi duotu vektorių a 1, ..., a n rinkiniu, galite sukurti formos išraišką

kur a 1, ... ir n yra savavališki realieji skaičiai. Ši išraiška vadinama linijinis vektorių derinys a 1, ..., a n. Skaičiai α i, i = 1, n reiškia tiesinės kombinacijos koeficientai. Taip pat vadinamas vektorių rinkinys vektorių sistema.

Ryšium su įvestu vektorių linijinės kombinacijos samprata, iškyla vektorių rinkinio, kurį galima parašyti kaip tam tikros vektorių sistemos a 1, ..., a n linijinį derinį, apibūdinimo problema. Be to, kyla natūralūs klausimai apie sąlygas, kuriomis yra vektoriaus atvaizdavimas linijinio derinio pavidalu, ir apie tokio vaizdavimo unikalumą.

Apibrėžimas 2.1. Vektoriai a 1, ... ir n vadinami tiesiškai priklausomas, jei yra aibė koeficientų α 1 , ... , α n, kad

α 1 a 1 + ... + α n а n = 0 (2.2)

ir bent vienas iš šių koeficientų yra lygus nuliui. Jei nurodytos koeficientų aibės nėra, tada iškviečiami vektoriai tiesiškai nepriklausomas.

Jei α 1 = ... = α n = 0, tada, akivaizdu, α 1 a 1 + ... + α n a n = 0. Turėdami tai omenyje, galime pasakyti taip: vektoriai a 1, ... ir n yra tiesiškai nepriklausomi, jei iš lygybės (2.2) išplaukia, kad visi koeficientai α 1 , ... , α n yra lygūs nuliui.

Toliau pateikta teorema paaiškina, kodėl nauja sąvoka vadinama terminu „priklausomybė“ (arba „nepriklausomybė“), ir pateikia paprastą tiesinės priklausomybės kriterijų.

2.1 teorema. Tam, kad vektoriai a 1, ... ir n, n > 1 būtų tiesiškai priklausomi, būtina ir pakanka, kad vienas iš jų būtų tiesinis kitų derinys.

◄ Būtinybė. Tarkime, kad vektoriai a 1, ... ir n yra tiesiškai priklausomi. Pagal 2.1 tiesinės priklausomybės apibrėžimą, lygybėje (2.2) kairėje yra bent vienas nenulinis koeficientas, pavyzdžiui, α 1. Pirmąjį terminą palikę kairėje lygybės pusėje, likusius perkeliame į dešinę, keisdami jų ženklus, kaip įprasta. Padalinę gautą lygybę iš α 1, gauname

a 1 =-α 2 /α 1 ⋅ a 2 - ... - α n / α 1 ⋅ a n

tie. vektoriaus a 1 vaizdavimas kaip tiesinis likusių vektorių a 2, ..., a n derinys.

Tinkamumas. Tegu, pavyzdžiui, pirmasis vektorius a 1 gali būti pavaizduotas kaip tiesinė likusių vektorių kombinacija: a 1 = β 2 a 2 + ... + β n a n. Perkeldami visus terminus iš dešinės pusės į kairę, gauname a 1 - β 2 a 2 - ... - β n a n = 0, t.y. vektorių a 1, ..., a n linijinis derinys su koeficientais α 1 = 1, α 2 = - β 2, ..., α n = - β n, lygus nulinis vektorius.Šiame tiesiniame derinyje ne visi koeficientai yra lygūs nuliui. Pagal 2.1 apibrėžimą vektoriai a 1, ... ir n yra tiesiškai priklausomi.

Tiesinės priklausomybės apibrėžimas ir kriterijus suformuluoti taip, kad reikštų dviejų ar daugiau vektorių buvimą. Tačiau galime kalbėti ir apie tiesinę vieno vektoriaus priklausomybę. Norėdami realizuoti šią galimybę, vietoj „vektoriai yra tiesiškai priklausomi“, turite pasakyti „vektorių sistema yra tiesiškai priklausoma“. Nesunku suprasti, kad posakis „vieno vektoriaus sistema yra tiesiškai priklausoma“ reiškia, kad šis vienas vektorius yra lygus nuliui (tiesinėje kombinacijoje yra tik vienas koeficientas ir jis neturėtų būti lygus nuliui).

Tiesinės priklausomybės sąvoka turi paprastą geometrinį aiškinimą. Šie trys teiginiai paaiškina šį aiškinimą.

2.2 teorema. Du vektoriai yra tiesiškai priklausomi tada ir tik tada, kai jie kolinearinis.

◄ Jei vektoriai a ir b yra tiesiškai priklausomi, tai vienas iš jų, pavyzdžiui, a, išreiškiamas per kitą, t.y. a = λb tam tikram realiajam skaičiui λ. Pagal apibrėžimą 1.7 darbai vektoriai vienam skaičiui, vektoriai a ir b yra kolinearūs.

Tegu dabar vektoriai a ir b yra kolinearūs. Jei jie abu yra lygūs nuliui, tai akivaizdu, kad jie yra tiesiškai priklausomi, nes bet koks tiesinis jų derinys yra lygus nuliniam vektoriui. Tegul vienas iš šių vektorių nėra lygus 0, pavyzdžiui, vektorius b. λ pažymėkime vektorių ilgių santykį: λ = |a|/|b|. Kolineariniai vektoriai gali būti vienakryptis arba nukreipta priešingai. Pastaruoju atveju keičiame λ ženklą. Tada, patikrinę 1.7 apibrėžimą, esame įsitikinę, kad a = λb. Pagal 2.1 teoremą vektoriai a ir b yra tiesiškai priklausomi.

Pastaba 2.1. Dviejų vektorių atveju, atsižvelgiant į tiesinės priklausomybės kriterijų, įrodyta teorema gali būti performuluojama taip: du vektoriai yra kolineariniai tada ir tik tada, kai vienas iš jų vaizduojamas kaip kito sandauga skaičiumi. Tai patogus dviejų vektorių kolineariškumo kriterijus.

2.3 teorema. Trys vektoriai yra tiesiškai priklausomi tada ir tik tada, kai jie koplanarinis.

◄ Jeigu trys vektoriai a, b, c yra tiesiškai priklausomi, tai pagal 2.1 teoremą vienas iš jų, pavyzdžiui, a, yra tiesinė kitų kombinacija: a = βb + γc. Sujungkime vektorių b ir c pradžią taške A. Tada vektoriai βb, γс turės bendrą pradžią taške A ir išilgai pagal lygiagretainio taisyklę jų suma yra tie. vektorius a bus vektorius, kurio kilmė A ir pabaiga, kuri yra lygiagretainio, sudaryto iš komponentų vektorių, viršūnė. Taigi visi vektoriai yra toje pačioje plokštumoje, ty lygiagrečiai.

Tegul vektoriai a, b, c yra lygiagrečiai. Jei vienas iš šių vektorių yra lygus nuliui, tai akivaizdu, kad tai bus tiesinis kitų vektorių derinys. Pakanka paimti visus tiesinės kombinacijos koeficientus, lygius nuliui. Todėl galime manyti, kad visi trys vektoriai nėra lygūs nuliui. Suderinamas prasidėjošių vektorių bendrame taške O. Tegul jų galai yra atitinkamai taškai A, B, C (2.1 pav.). Per tašką C brėžiame tieses, lygiagrečias tiesėms, einančioms per taškų poras O, A ir O, B. Susikirtimo taškus pažymėdami kaip A" ir B", gauname lygiagretainį OA"CB", todėl OC" = OA" + OB". Vektorius OA" ir nulinis vektorius a = OA yra kolinearūs, todėl pirmąjį iš jų galima gauti antrąjį padauginus iš tikrojo skaičiaus α:OA" = αOA. Panašiai, OB" = βOB, β ∈ R. Dėl to gauname, kad OC" = α OA. + βOB, ty vektorius c yra vektorių a ir b tiesinė kombinacija. Pagal 2.1 teoremą vektoriai a, b, c yra tiesiškai priklausomi.

2.4 teorema. Bet kurie keturi vektoriai yra tiesiškai priklausomi.

◄ Įrodymą atliekame pagal tą pačią schemą, kaip ir 2.3 teoremoje. Apsvarstykite atsitiktinius keturis vektorius a, b, c ir d. Jei vienas iš keturių vektorių yra lygus nuliui arba tarp jų yra du kolineariniai vektoriai arba trys iš keturių vektorių yra vienodi, tai šie keturi vektoriai yra tiesiškai priklausomi. Pavyzdžiui, jei vektoriai a ir b yra kolinearūs, galime sudaryti jų tiesinę kombinaciją αa + βb = 0 su ne nuliniais koeficientais, o tada prie šio derinio pridėti likusius du vektorius, koeficientais laikant nulius. Gauname tiesinę keturių vektorių kombinaciją, lygią 0, kurioje yra nulinių koeficientų.

Taigi galime daryti prielaidą, kad tarp pasirinktų keturių vektorių nė vienas vektorius nėra lygus nuliui, nėra dviejų kolinearių ir nėra trijų lygiagrečių. Pasirinkime tašką O kaip jų bendrą pradžią. Tada vektorių a, b, c, d galai bus kai kurie taškai A, B, C, D (2.2 pav.). Per tašką D nubrėžiame tris plokštumas, lygiagrečiai plokštumoms OBC, OCA, OAB ir tegul A", B", C" yra šių plokštumų susikirtimo taškai su tiesėmis atitinkamai OA, OB, OS. Gauname gretasienį OA"C"B"C"B"DA ", o vektoriai a, b, c yra ant jo kraštinių, kylančių iš viršūnės O. Kadangi keturkampis OC"DC" yra lygiagretainis, tai OD = OC" + OC" . Savo ruožtu atkarpa OC" yra įstrižainė lygiagretainis OA"C"B", kad OC" = OA" + OB" ir OD = OA" + OB" + OC" .

Belieka pastebėti, kad vektorių poros OA ≠ 0 ir OA" , OB ≠ 0 ir OB" , OC ≠ 0 ir OC" yra kolinijinės, todėl galima parinkti koeficientus α, β, γ taip, kad OA" = αOA, OB" = βOB ir OC" = γOC. Galiausiai gauname OD = αOA + βOB + γOC. Vadinasi, OD vektorius išreiškiamas per kitus tris vektorius, o visi keturi vektoriai pagal 2.1 teoremą yra tiesiškai priklausomi.

Šiame straipsnyje aptarsime:

kas yra kolineariniai vektoriai;
kokios yra vektorių kolineariškumo sąlygos;
kokios yra kolinearinių vektorių savybės;
kokia yra kolinearinių vektorių tiesinė priklausomybė.

Yandex.RTB R-A-339285-1 1 apibrėžimas

Kolineariniai vektoriai yra vektoriai, kurie yra lygiagrečiai vienai linijai arba yra vienoje tiesėje.

1 pavyzdys

Vektorių kolineariškumo sąlygos

Du vektoriai yra kolineariniai, jei yra viena iš šių sąlygų:

1 sąlyga . Vektoriai a ir b yra kolinearūs, jei yra toks skaičius λ, kad a = λ b;
2 sąlyga . Vektoriai a ir b yra kolinearūs su vienodais koordinačių santykiais:

a = (a 1 ; a 2) , b = (b 1 ; b 2) ⇒ a ∥ b ⇔ a 1 b 1 = a 2 b 2

3 sąlyga . Vektoriai a ir b yra kolinearūs, jei kryžminė sandauga ir nulinis vektorius yra lygūs:

a ∥ b ⇔ a, b = 0

1 pastaba

2 sąlyga netaikoma, jei viena iš vektoriaus koordinačių yra lygi nuliui.

Užrašas 2

3 sąlyga taikoma tik tiems vektoriams, kurie nurodyti erdvėje.

Vektorių kolineariškumo tyrimo uždavinių pavyzdžiai

1 pavyzdys

Tiriame vektorių a = (1; 3) ir b = (2; 1) kolineariškumą.

Kaip išspręsti?

IN tokiu atveju būtina naudoti 2-ąją kolinearumo sąlygą. Pateiktiems vektoriams tai atrodo taip:

Lygybė yra klaidinga. Iš to galime daryti išvadą, kad vektoriai a ir b yra nekolineariniai.

Atsakymas : a | | b

2 pavyzdys

Kokia vektoriaus a = (1; 2) ir b = (- 1; m) reikšmė yra būtina, kad vektoriai būtų kolinearūs?

Kaip išspręsti?

Naudojant antrąją kolineariškumo sąlygą, vektoriai bus kolineariniai, jei jų koordinatės yra proporcingos:

Tai rodo, kad m = -2.

Atsakymas: m = -2.

Vektorių sistemų tiesinės priklausomybės ir tiesinės nepriklausomybės kriterijai

Teorema

Vektorių sistema vektorių erdvėje yra tiesiškai priklausoma tik tada, jei vieną iš sistemos vektorių galima išreikšti likusiais šios sistemos vektoriais.

Įrodymas

Tegu sistema e 1 , e 2 , . . . , e n yra tiesiškai priklausomas. Parašykime šios sistemos tiesinę kombinaciją, lygią nuliniam vektoriui:

a 1 e 1 + a 2 e 2 + . . . + a n e n = 0

kurioje bent vienas iš derinių koeficientų nėra lygus nuliui.

Tegu a k ≠ 0 k ∈ 1 , 2 , . . . , n.

Abi lygybės puses padalijame iš nulinio koeficiento:

a k - 1 (a k - 1 a 1) e 1 + (a k - 1 a k) e k + . . . + (a k - 1 a n) e n = 0

Pažymime:

A k - 1 a m , kur m ∈ 1 , 2 , . . . , k - 1 , k + 1 , n

Tokiu atveju:

β 1 e 1 + . . . + β k - 1 e k - 1 + β k + 1 e k + 1 + . . . + β n e n = 0

arba e k = (- β 1) e 1 + . . . + (- β k - 1) e k - 1 + (- β k + 1) e k + 1 + . . . + (- β n) e n

Iš to seka, kad vienas iš sistemos vektorių išreiškiamas per visus kitus sistemos vektorius. Ką ir reikėjo įrodyti (t.t.).

Tinkamumas

Tegul vienas iš vektorių yra tiesiškai išreikštas visais kitais sistemos vektoriais:

e k = γ 1 e 1 + . . . + γ k - 1 e k - 1 + γ k + 1 e k + 1 + . . . + γ n e n

Perkeliame vektorių e k į dešinę šios lygybės pusę:

0 = γ 1 e 1 + . . . + γ k - 1 e k - 1 - e k + γ k + 1 e k + 1 + . . . + γ n e n

Kadangi vektoriaus e k koeficientas lygus - 1 ≠ 0, gauname netrivialų nulio atvaizdavimą vektorių e 1, e 2, sistema. . . , e n , o tai savo ruožtu reiškia, kad ši vektorių sistema yra tiesiškai priklausoma. Ką ir reikėjo įrodyti (t.t.).

Pasekmė:

Vektorių sistema yra tiesiškai nepriklausoma, kai nė vienas jos vektorius negali būti išreikštas visais kitais sistemos vektoriais.
Vektorių sistema, kurioje yra nulinis vektorius arba du vienodi vektoriai, yra tiesiškai priklausoma.

Tiesiškai priklausomų vektorių savybės

2 ir 3 dimensijų vektoriams tenkinama tokia sąlyga: du tiesiškai priklausomi vektoriai yra kolineariniai. Du kolineariniai vektoriai yra tiesiškai priklausomi.
3 dimensijų vektorių sąlyga įvykdyta: trys tiesiškai priklausomi vektoriai- lygiagrečiai. (3 koplanariniai vektoriai yra tiesiškai priklausomi).
n matmenų vektoriams tenkinama tokia sąlyga: n + 1 vektoriai visada yra tiesiškai priklausomi.

Problemų, susijusių su vektorių tiesine priklausomybe arba tiesine nepriklausomybe, sprendimo pavyzdžiai

3 pavyzdys

Patikrinkime vektorių a = 3, 4, 5, b = - 3, 0, 5, c = 4, 4, 4, d = 3, 4, 0 tiesinį nepriklausomumą.

Sprendimas. Vektoriai yra tiesiškai priklausomi, nes vektorių matmuo yra mažesnis už vektorių skaičių.

4 pavyzdys

Patikrinkime vektorių a = 1, 1, 1, b = 1, 2, 0, c = 0, - 1, 1 tiesinę nepriklausomybę.

Sprendimas. Mes randame koeficientų reikšmes, kai tiesinis derinys bus lygus nuliniam vektoriui:

x 1 a + x 2 b + x 3 c 1 = 0

Vektorinę lygtį rašome tiesine forma:

x 1 + x 2 = 0 x 1 + 2 x 2 - x 3 = 0 x 1 + x 3 = 0

Šią sistemą išsprendžiame Gauso metodu:

1 1 0 | 0 1 2 - 1 | 0 1 0 1 | 0 ~

Iš 2-osios eilutės atimame 1-ąją, iš 3-osios - 1-ąją:

~ 1 1 0 | 0 1 - 1 2 - 1 - 1 - 0 | 0 - 0 1 - 1 0 - 1 1 - 0 | 0 - 0 ~ 1 1 0 | 0 0 1 - 1 | 0 0 - 1 1 | 0 ~

Iš 1-osios eilutės atimame 2-ąją, prie 3-osios pridedame 2-ąją:

~ 1 - 0 1 - 1 0 - (- 1) | 0 - 0 0 1 - 1 | 0 0 + 0 - 1 + 1 1 + (- 1) | 0 + 0 ~ 0 1 0 | 1 0 1 - 1 | 0 0 0 0 | 0

Iš sprendimo matyti, kad sistemoje yra daug sprendimų. Tai reiškia, kad yra nenulinis tokių skaičių x 1, x 2, x 3 reikšmių derinys, kurio tiesinis a, b, c derinys yra lygus nuliniam vektoriui. Todėl vektoriai a, b, c yra tiesiškai priklausomas.

Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter

Apibrėžimas. Linijinis vektorių derinys a 1 , ..., a n su koeficientais x 1 , ..., x n vadinamas vektoriumi

x 1 a 1 + ... + x n a n .

trivialus, jei visi koeficientai x 1 , ..., x n lygūs nuliui.

Apibrėžimas. Vadinamas tiesinis derinys x 1 a 1 + ... + x n a n ne trivialus, jei bent vienas iš koeficientų x 1, ..., x n nėra lygus nuliui.

tiesiškai nepriklausomas, jei nėra netrivialaus šių vektorių derinio, lygaus nuliniam vektoriui.

Tai reiškia, kad vektoriai a 1, ..., a n yra tiesiškai nepriklausomi, jei x 1 a 1 + ... + x n a n = 0 tada ir tik tada, jei x 1 = 0, ..., x n = 0.

Apibrėžimas. Vadinami vektoriai a 1, ..., a n tiesiškai priklausomas, jei yra netrivialus šių vektorių derinys, lygus nuliniam vektoriui.

Tiesiškai priklausomų vektorių savybės:

2 ir 3 dimensijų vektoriams.

Du tiesiškai priklausomi vektoriai yra kolineariniai. (Kolineariniai vektoriai yra tiesiškai priklausomi.)

3 dimensijų vektoriams.

Trys tiesiškai priklausomi vektoriai yra vienodi. (Trys lygiagrečiai vektoriai yra tiesiškai priklausomi.)

N matmenų vektoriams.
n + 1 vektoriai visada yra tiesiškai priklausomi.

Vektorių tiesinės priklausomybės ir tiesinės nepriklausomybės problemų pavyzdžiai:

1 pavyzdys. Patikrinkite, ar vektoriai a = (3; 4; 5), b = (-3; 0; 5), c = (4; 4; 4), d = (3; 4; 0) yra tiesiškai nepriklausomi .

Sprendimas:

Vektoriai bus tiesiškai priklausomi, nes vektorių matmenys yra mažesni už vektorių skaičių.

2 pavyzdys. Patikrinkite, ar vektoriai a = (1; 1; 1), b = (1; 2; 0), c = (0; -1; 1) yra tiesiškai nepriklausomi.

Sprendimas:

	x 1 + x 2 = 0
	x 1 + 2x 2 - x 3 = 0
	x 1 + x 3 = 0

1	1	0	~
1	2	-1
1	0	1

~	1	1	0	0	~	1	1	0	~
	1 - 1	2 - 1	-1 - 0	0 - 0		0	1	-1
	1 - 1	0 - 1	1 - 0	0 - 0		0	-1	1

atimti antrą iš pirmos eilutės; pridėti antrą eilutę prie trečios eilutės:

~	1 - 0	1 - 1	0 - (-1)	0 - 0	~	1	0	1
	0	1	-1	0		0	1	-1
	0 + 0	-1 + 1	1 + (-1)	0 + 0		0	0	0

Šis sprendimas rodo, kad sistemoje yra daug sprendinių, tai yra, yra skaičių x 1, x 2, x 3 reikšmių derinys, kuris nėra nulinis, kad linijinis vektorių a, b, c derinys būtų lygus nulinis vektorius, pavyzdžiui:

A + b + c = 0

o tai reiškia, kad vektoriai a, b, c yra tiesiškai priklausomi.

Atsakymas: vektoriai a, b, c yra tiesiškai priklausomi.

3 pavyzdys. Patikrinkite, ar vektoriai a = (1; 1; 1), b = (1; 2; 0), c = (0; -1; 2) yra tiesiškai nepriklausomi.

Sprendimas: Raskime koeficientų reikšmes, kurioms esant šių vektorių tiesinis derinys bus lygus nuliniam vektoriui.

x 1 a + x 2 b + x 3 c 1 = 0

Šią vektorinę lygtį galima parašyti kaip sistemą tiesines lygtis

	x 1 + x 2 = 0
	x 1 + 2x 2 - x 3 = 0
	x 1 + 2x 3 = 0

Išspręskime šią sistemą Gauso metodu

1	1	0	~
1	2	-1
1	0	2

atimti pirmąją iš antrosios eilutės; atimkite pirmą iš trečios eilutės:

~	1	1	0	0	~	1	1	0	~
	1 - 1	2 - 1	-1 - 0	0 - 0		0	1	-1
	1 - 1	0 - 1	2 - 0	0 - 0		0	-1	2

atimti antrą iš pirmos eilutės; pridėti antrą prie trečios eilutės.

1 užduotis. Išsiaiškinkite, ar vektorių sistema yra tiesiškai nepriklausoma. Vektorių sistemą nurodys sistemos matrica, kurios stulpeliai susideda iš vektorių koordinačių.

Sprendimas. Tegul linijinis derinys lygus nuliui. Užrašę šią lygybę koordinatėmis, gauname tokią lygčių sistemą:

Tokia lygčių sistema vadinama trikampe. Ji turi tik vieną sprendimą . Todėl vektoriai tiesiškai nepriklausomas.

2 užduotis. Sužinokite, ar jis linijinis nepriklausoma sistema vektoriai.

Sprendimas. Vektoriai yra tiesiškai nepriklausomi (žr. 1 uždavinį). Įrodykime, kad vektorius yra tiesinis vektorių derinys . Vektorių plėtimosi koeficientai yra nustatomi iš lygčių sistemos

Ši sistema, kaip ir trikampė, turi unikalų sprendimą.

Todėl vektorių sistema tiesiškai priklausomas.

komentuoti. Vadinamos to paties tipo matricos kaip 1 uždavinyje trikampis o 2 uždavinyje – laiptuotas trikampis . Vektorių sistemos tiesinės priklausomybės klausimas lengvai išsprendžiamas, jei iš šių vektorių koordinačių sudaryta matrica yra žingsninė trikampė. Jei matrica neturi specialus tipas, tada naudokite elementarios eilutės konversijos , išsaugant tiesinius ryšius tarp stulpelių, jį galima redukuoti į pakopinę trikampę formą.

Elementarios eilučių konversijos vadinamos matricos (EPS). sekančių operacijų virš matricos:

1) linijų pertvarkymas;

2) eilutę padauginus iš ne nulio skaičiaus;

3) kitos eilutės įtraukimas į eilutę, padaugintas iš savavališko skaičiaus.

3 užduotis. Raskite maksimalų tiesiškai nepriklausomą posistemį ir apskaičiuokite vektorių sistemos rangą

Sprendimas. Sumažinkime EPS sistemos matricą į žingsninę trikampę formą. Norėdami paaiškinti procedūrą, eilutę su transformuojamos matricos numeriu pažymime simboliu . Stulpelis po rodyklės nurodo veiksmus su konvertuojamos matricos eilutėmis, kuriuos reikia atlikti norint gauti naujos matricos eilutes.

Akivaizdu, kad pirmosios dvi gautos matricos stulpeliai yra tiesiškai nepriklausomi, trečiasis yra jų linijinis derinys, o ketvirtasis nepriklauso nuo pirmųjų dviejų. Vektoriai vadinami pagrindiniais. Jie sudaro maksimalų tiesiškai nepriklausomą sistemos posistemį , o sistemos rangas yra trys.

Pagrindas, koordinatės

4 užduotis. Raskite šio pagrindo vektorių pagrindą ir koordinates geometrinių vektorių aibėje, kurių koordinatės tenkina sąlygą .

Sprendimas. Aibė yra plokštuma, einanti per pradžią. Savavališkas pagrindas plokštumoje susideda iš dviejų nekolinearinių vektorių. Pasirinkto pagrindo vektorių koordinatės nustatomos sprendžiant atitinkamą tiesinių lygčių sistemą.

Yra ir kitas būdas išspręsti šią problemą, kai galite rasti pagrindą naudodami koordinates.

Koordinatės erdvės nėra koordinatės plokštumoje, nes jos yra susijusios ryšiu ty jie nėra nepriklausomi. Nepriklausomi kintamieji ir (jie vadinami laisvaisiais) vienareikšmiškai apibrėžia vektorių plokštumoje, todėl juos galima pasirinkti kaip koordinates . Tada pagrindas susideda iš vektorių, esančių ir atitinkančių laisvųjų kintamųjų aibes Ir , tai yra .

5 užduotis. Raskite šio pagrindo vektorių pagrindą ir koordinates visų erdvėje esančių vektorių, kurių nelyginės koordinatės yra lygios viena kitai, aibėje.

Sprendimas. Parinkime, kaip ir ankstesniame uždavinyje, koordinates erdvėje.

Nes , tada laisvieji kintamieji vienareikšmiškai nustato vektorių iš ir todėl yra koordinatės. Atitinkamas pagrindas susideda iš vektorių.

6 užduotis. Raskite šio pagrindo vektorių pagrindą ir koordinates visų formos matricų aibėje , Kur – savavališki skaičiai.

Sprendimas. Kiekviena matrica iš unikaliai vaizduojama tokia forma:

Šis ryšys yra vektoriaus išplėtimas pagrindo atžvilgiu
su koordinatėmis .

7 užduotis. Raskite vektorių sistemos tiesinio korpuso matmenis ir pagrindą

Sprendimas. Naudodami EPS, transformuojame matricą iš sistemos vektorių koordinačių į žingsninę trikampę formą.

Stulpeliai paskutinės matricos yra tiesiškai nepriklausomos, o stulpeliai tiesiškai išreikštas per juos. Todėl vektoriai sudaryti pagrindą , Ir .

komentuoti. Pagrindas į pasirenkamas dviprasmiškai. Pavyzdžiui, vektoriai taip pat sudaro pagrindą .