Kvadrato šaknis. Kas yra aritmetinė kvadratinė šaknis

Mokiniai visada klausia: „Kodėl matematikos egzamine negaliu naudoti skaičiuoklės? Kaip be skaičiuotuvo išgauti kvadratinę šaknį iš skaičiaus? Pabandykime atsakyti į šį klausimą.

Kaip išgauti kvadratinę šaknį iš skaičiaus be skaičiuoklės pagalbos?

Veiksmas kvadratinė šaknis atvirkštinis kvadratūros veiksmui.

√81= 9 9 2 =81

Jei paimsite teigiamo skaičiaus kvadratinę šaknį ir gaukite rezultatą kvadratu, gausite tą patį skaičių.

Iš ne dideli skaičiai, kurie yra tikslūs kvadratai natūraliuosius skaičius, pavyzdžiui, žodžiu galima išgauti 1, 4, 9, 16, 25, ..., 100 kvadratinių šaknų. Paprastai mokykloje jie moko natūralių skaičių iki dvidešimties kvadratų lentelės. Žinant šią lentelę, nesunku iš skaičių 121,144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400 ištraukti kvadratines šaknis. Iš skaičių, didesnių nei 400, galite juos išgauti pasirinkdami pasirinkdami keletą patarimų. Pabandykime pažvelgti į šį metodą su pavyzdžiu.

Pavyzdys: Ištraukite skaičiaus 676 šaknį.

Pastebime, kad 20 2 = 400 ir 30 2 = 900, o tai reiškia 20< √676 < 900.

Natūraliųjų skaičių tikslūs kvadratai baigiasi 0; 1; 4; 5; 6; 9.
Skaičius 6 pateikiamas 4 2 ir 6 2.
Tai reiškia, kad jei šaknis paimta iš 676, tada ji yra arba 24, arba 26.

Belieka patikrinti: 24 2 = 576, 26 2 = 676.

Atsakymas: √676 = 26 .

Daugiau pavyzdys: √6889 .

Kadangi 80 2 = 6400 ir 90 2 = 8100, tada 80< √6889 < 90.
Skaičius 9 pateikiamas iš 3 2 ir 7 2, tada √6889 yra lygus 83 arba 87.

Patikrinkime: 83 2 = 6889.

Atsakymas: √6889 = 83 .

Jei jums sunku išspręsti taikant atrankos metodą, radikaliąją išraišką galite koeficientuoti.

Pavyzdžiui, rasti √893025.

Suskaičiuokime skaičių 893025, atminkite, kad tai padarėte šeštoje klasėje.

Gauname: √893025 = √3 6∙5 2∙7 2 = 3 3 ∙5 ∙7 = 945.

Daugiau pavyzdys: √20736. Paskaičiuokime skaičių 20736:

Gauname √20736 = √2 8 ∙3 4 = 2 4 ∙3 2 = 144.

Žinoma, faktorizacijai reikia žinių apie dalijamumo ženklus ir faktorizavimo įgūdžius.

Ir pagaliau yra kvadratinių šaknų ištraukimo taisyklė. Susipažinkime su šia taisykle pavyzdžiais.

Apskaičiuokite √279841.

Norėdami išgauti kelių skaitmenų sveikojo skaičiaus šaknį, padalijame jį iš dešinės į kairę į veidus, turinčius 2 skaitmenis (kraštinėje kairiajame krašte gali būti vienas skaitmuo). Rašome taip: 27’98’41

Norėdami gauti pirmąjį šaknies skaitmenį (5), paimame kvadratinę šaknį iš didžiausio tobulo kvadrato, esančio pirmame kairėje pusėje (27).
Tada šaknies pirmojo skaitmens kvadratas (25) atimamas iš pirmojo paviršiaus, o kitas veidas (98) pridedamas prie skirtumo (atimamas).
Į kairę nuo gauto skaičiaus 298 parašykite šaknies dviženklį skaitmenį (10), padalykite iš jo visų anksčiau gauto skaičiaus dešimčių skaičių (29/2 ≈ 2), patikrinkite koeficientą (102 ∙ 2 = 204). turėtų būti ne daugiau kaip 298) ir po pirmojo šaknies skaitmens parašykite (2).
Tada gautas koeficientas 204 atimamas iš 298 ir prie skirtumo (94) pridedama kita briauna (41).
Į kairę nuo gauto skaičiaus 9441 parašykite dvigubą šaknies skaitmenų sandaugą (52 ∙2 = 104), padalinkite visų skaičiaus 9441 dešimčių skaičių (944/104 ≈ 9) iš šio sandaugos, išbandykite koeficientas (1049 ∙9 = 9441) turi būti 9441 ir užrašykite jį (9) po antrojo šaknies skaitmens.

Gavome atsakymą √279841 = 529.

Ištraukite panašiai dešimtainių trupmenų šaknys. Tik radikalus skaičius turi būti padalintas į veidus, kad kablelis būtų tarp veidų.

Pavyzdys. Raskite reikšmę √0,00956484.

Tiesiog atminkite, kad jei dešimtainėje trupmenoje yra nelyginis skaičius po kablelio, kvadratinės šaknies iš jos negalima išskirti.

Taigi dabar matėte tris būdus, kaip išgauti šaknį. Pasirinkite sau tinkamiausią ir praktikuokite. Norint išmokti spręsti problemas, reikia jas spręsti. Ir jei turite klausimų, registruokitės į mano pamokas.

svetainėje, kopijuojant visą medžiagą ar jos dalį, būtina nuoroda į šaltinį.

Kvadratinio žemės sklypo plotas 81 dm². Surask jo pusę. Tarkime, kvadrato kraštinės ilgis yra X decimetrų. Tada sklypo plotas yra X² kvadratinių decimetrų. Kadangi pagal būklę šis plotas lygus 81 dm², tai X² = 81. Kvadrato kraštinės ilgis yra teigiamas skaičius. Teigiamas skaičius, kurio kvadratas lygus 81, yra skaičius 9. Sprendžiant uždavinį reikėjo rasti skaičių x, kurio kvadratas lygus 81, t.y išspręsti lygtį X² = 81. Ši lygtis turi dvi šaknis: x 1 = 9 ir x 2 = - 9, nes 9² = 81 ir (- 9)² = 81. Abu skaičiai 9 ir - 9 vadinami kvadratinės šaknys nuo 81 numerio.

Atkreipkite dėmesį, kad viena iš kvadratinių šaknų X= 9 yra teigiamas skaičius. Jis vadinamas aritmetine kvadratine šaknimi iš 81 ir žymima √81, taigi √81 = 9.

Aritmetinė skaičiaus kvadratinė šaknis A yra neneigiamas skaičius, kurio kvadratas lygus A.

Pavyzdžiui, skaičiai 6 ir - 6 yra skaičiaus 36 kvadratinės šaknys. Tačiau skaičius 6 yra aritmetinė kvadratinė šaknis iš 36, nes 6 yra neneigiamas skaičius, o 6² = 36. Skaičius - 6 nėra aritmetinė šaknis.

Aritmetinė skaičiaus kvadratinė šaknis Ažymimas taip: √ A.

Ženklas vadinamas aritmetiniu kvadratinės šaknies ženklu; A- vadinama radikalia išraiška. Išraiška √ A skaityti kaip šitaip: aritmetinė skaičiaus kvadratinė šaknis A. Pavyzdžiui, √36 = 6, √0 = 0, √0,49 = 0,7. Tais atvejais, kai aišku, kad kalbame apie aritmetinę šaknį, jie trumpai sako: „kvadratinė šaknis A«.

Skaičiaus kvadratinės šaknies radimo veiksmas vadinamas kvadratine šaknimi. Šis veiksmas yra atvirkštinis kvadratui.

Galite kvadratuoti bet kurį skaičių, bet negalite ištraukti kvadratinės šaknies iš bet kurio skaičiaus. Pavyzdžiui, neįmanoma išgauti kvadratinės šaknies iš skaičiaus - 4. Jei tokia šaknis egzistavo, tai pažymint ją raide X, gautume neteisingą lygybę x² = - 4, nes kairėje yra neneigiamas skaičius, o dešinėje - neigiamas skaičius.

Išraiška √ A prasminga tik tada, kai a ≥ 0. Kvadratinės šaknies apibrėžimą galima trumpai parašyti taip: √ a ≥ 0, (√A)² = A. Lygybė (√ A)² = A galioja iki a ≥ 0. Taigi, norint užtikrinti, kad neneigiamo skaičiaus kvadratinė šaknis A lygus b, ty tuo, kad √ A =b, turite patikrinti, ar tenkinamos šios dvi sąlygos: b ≥ 0, b² = A.

Kvadratinė trupmenos šaknis

Paskaičiuokime. Atkreipkite dėmesį, kad √25 = 5, √36 = 6, ir patikrinkime, ar galioja lygybė.

Nes ir , tada lygybė yra tiesa. Taigi, .

Teorema: Jeigu A≥ 0 ir b> 0, tai yra, trupmenos šaknis yra lygi skaitiklio šaknei, padalytai iš vardiklio šaknies. Būtina įrodyti, kad: ir .

Nuo √ A≥0 ir √ b> 0, tada .

Apie trupmenos pakėlimo į laipsnį savybę ir kvadratinės šaknies apibrėžimą teorema įrodyta. Pažvelkime į kelis pavyzdžius.

Apskaičiuokite naudodami įrodytą teoremą .

Antras pavyzdys: įrodykite tai , Jei A ≤ 0, b < 0. .

Kitas pavyzdys: Apskaičiuokite .

.

Kvadratinės šaknies konvertavimas

Daugiklio pašalinimas iš po šaknies ženklo. Tegul išraiška pateikiama. Jeigu A≥ 0 ir b≥ 0, tada naudodamiesi sandaugos šaknies teorema galime parašyti:

Ši transformacija vadinama faktoriaus pašalinimu iš šaknies ženklo. Pažiūrėkime į pavyzdį;

Apskaičiuokite ties X= 2. Tiesioginis pakeitimas X= 2 radikalioje išraiškoje lemia sudėtingus skaičiavimus. Šiuos skaičiavimus galima supaprastinti, jei pirmiausia pašalinsite veiksnius iš po šaknies ženklo: . Dabar pakeitę x = 2, gauname:.

Taigi, pašalinus veiksnį iš po šaknies ženklo, radikali išraiška pavaizduojama sandaugos forma, kurioje vienas ar keli veiksniai yra neneigiamų skaičių kvadratai. Tada pritaikykite sandaugos šaknies teoremą ir paimkite kiekvieno veiksnio šaknį. Panagrinėkime pavyzdį: Supaprastinkite išraišką A = √8 + √18 - 4√2, iš po šaknies ženklo išimdami veiksnius iš pirmųjų dviejų terminų, gausime:. Pabrėžkime tą lygybę galioja tik tada, kai A≥ 0 ir b≥ 0. jei A < 0, то .

Prieš skaičiuotuvus mokiniai ir mokytojai kvadratines šaknis skaičiavo rankomis. Yra keletas būdų, kaip rankiniu būdu apskaičiuoti skaičiaus kvadratinę šaknį. Kai kurie iš jų siūlo tik apytikslį sprendimą, kiti pateikia tikslų atsakymą.

Žingsniai

Pirminis faktorizavimas

Padalinkite radikalųjį skaičių į koeficientus, kurie yra kvadratiniai skaičiai. Priklausomai nuo radikalaus skaičiaus, gausite apytikslį arba tikslų atsakymą. Kvadratiniai skaičiai yra skaičiai, iš kurių galima paimti visą kvadratinę šaknį. Veiksniai yra skaičiai, kuriuos padauginus gaunamas pradinis skaičius. Pavyzdžiui, skaičiaus 8 koeficientai yra 2 ir 4, nes 2 x 4 = 8, skaičiai 25, 36, 49 yra kvadratiniai skaičiai, nes √25 = 5, √36 = 6, √49 = 7. Kvadratiniai koeficientai yra faktoriai, kurie yra kvadratiniai skaičiai. Pirmiausia pabandykite išskaidyti radikalųjį skaičių į kvadratinius koeficientus.

• Pavyzdžiui, apskaičiuokite kvadratinę šaknį iš 400 (ranka). Pirmiausia pabandykite įskaičiuoti 400 į kvadratinius koeficientus. 400 yra 100 kartotinis, tai yra, dalijasi iš 25 - tai yra kvadratinis skaičius. Padalijus 400 iš 25, gauname 16. Skaičius 16 taip pat yra kvadratinis skaičius. Taigi 400 galima įskaičiuoti į kvadratinius koeficientus 25 ir 16, tai yra, 25 x 16 = 400.
• Tai galima parašyti taip: √400 = √(25 x 16).

1. Kai kurių narių sandaugos kvadratinė šaknis yra lygi kiekvieno nario kvadratinių šaknų sandaugai, tai yra √(a x b) = √a x √b. Naudokite šią taisyklę, norėdami paimti kvadratinę šaknį iš kiekvieno kvadratinio koeficiento ir padauginti rezultatus, kad rastumėte atsakymą.

   • Mūsų pavyzdyje paimkite 25 ir 16 šaknį.
     • √ (25 x 16)
     • √25 x √16
     • 5 x 4 = 20

2. Jei radikalusis skaičius nesiskiria į du kvadratinius veiksnius (ir taip nutinka daugeliu atvejų), negalėsite rasti tikslaus atsakymo sveikojo skaičiaus pavidalu. Bet jūs galite supaprastinti problemą, išskaidydami radikalųjį skaičių į kvadratinį koeficientą ir įprastą koeficientą (skaičius, iš kurio negalima paimti visos kvadratinės šaknies). Tada imsite kvadratinę šaknį iš kvadratinio koeficiento ir imsite bendro koeficiento šaknį.

   • Pavyzdžiui, apskaičiuokite skaičiaus 147 kvadratinę šaknį. Skaičius 147 negali būti padalytas į du kvadratinius veiksnius, tačiau jį galima padalyti į šiuos veiksnius: 49 ir ​​3. Išspręskite užduotį taip:
     • = √ (49 x 3)
     • = √49 x √3
     • = 7√3

3. Jei reikia, įvertinkite šaknies vertę. Dabar galite įvertinti šaknies vertę (rasti apytikslę reikšmę), palygindami ją su kvadratinių skaičių šaknų reikšmėmis, kurios yra arčiausiai radikalinio skaičiaus (abiejose skaičių linijos pusėse). Jūs gausite šaknies vertę kaip dešimtainis, kurį reikia padauginti iš skaičiaus, esančio už šaknies ženklo.

   • Grįžkime prie mūsų pavyzdžio. Radikalusis skaičius yra 3. Arčiausiai jo esantys kvadratiniai skaičiai bus 1 (√1 = 1) ir 4 (√4 = 2). Taigi, √3 reikšmė yra tarp 1 ir 2. Kadangi √3 reikšmė tikriausiai yra arčiau 2 nei 1, mūsų įvertis yra toks: √3 = 1,7. Šią reikšmę padauginame iš skaičiaus prie šaknies ženklo: 7 x 1,7 = 11,9. Jei atliksite skaičiavimus skaičiuotuvu, gausite 12,13, o tai yra gana artima mūsų atsakymui.
     • Šis metodas taip pat veikia su dideliais skaičiais. Pavyzdžiui, apsvarstykite √35. Radikalusis skaičius yra 35. Jam artimiausi kvadratiniai skaičiai bus 25 (√25 = 5) ir 36 (√36 = 6). Taigi √35 reikšmė yra tarp 5 ir 6. Kadangi √35 reikšmė yra daug arčiau 6 nei 5 (nes 35 yra tik 1 mažesnis už 36), galime teigti, kad √35 yra šiek tiek mažiau nei 6 Patikrinimas skaičiuoklėje pateikia atsakymą 5,92 – buvome teisūs.

4. Kitas būdas yra sudėti radikalųjį skaičių į pirminius veiksnius. Pirminiai veiksniai yra skaičiai, kurie dalijasi tik iš 1 ir savęs. Užsirašyk pagrindiniai veiksniai iš eilės ir raskite identiškų veiksnių poras. Tokius veiksnius galima išimti iš šaknies ženklo.

   • Pavyzdžiui, apskaičiuokite kvadratinę šaknį iš 45. Radikalųjį skaičių suskaičiuojame į pirminius koeficientus: 45 = 9 x 5 ir 9 = 3 x 3. Taigi √45 = √(3 x 3 x 5). 3 galima išimti kaip šaknies ženklą: √45 = 3√5. Dabar galime įvertinti √5.
   • Pažvelkime į kitą pavyzdį: √88.
     • = √ (2 x 44)
     • = √ (2 x 4 x 11)
     • = √ (2 x 2 x 2 x 11). Gavote tris daugiklius iš 2; paimkite porą jų ir perkelkite už šaknies ženklo.
     • = 2√(2 x 11) = 2√2 x √11. Dabar galite įvertinti √2 ir √11 ir rasti apytikslį atsakymą.

   Kvadratinės šaknies apskaičiavimas rankiniu būdu

   Naudojant ilgą padalijimą

   1. Šis metodas apima procesą, panašų į ilgą padalijimą, ir pateikia tikslų atsakymą. Pirmiausia nubrėžkite vertikalią liniją, dalijančią lapą į dvi dalis, o tada į dešinę ir šiek tiek žemiau viršutinio lapo krašto nubrėžkite horizontalią liniją iki vertikalios linijos. Dabar padalykite radikalųjį skaičių į skaičių poras, pradedant trupmena po kablelio. Taigi, numeris 79520789182.47897 rašomas kaip „7 95 20 78 91 82, 47 89 70“.

      • Pavyzdžiui, apskaičiuokime kvadratinę šaknį iš skaičiaus 780.14. Nubrėžkite dvi linijas (kaip parodyta paveikslėlyje) ir viršuje kairėje formoje „7 80, 14“ užrašykite nurodytą skaičių. Normalu, kad pirmasis skaitmuo iš kairės yra nesusietas skaitmuo. Atsakymas (šaknis duotas numeris) užsirašysite viršuje dešinėje.

   2. Pirmosios skaičių poros (arba vieno skaičiaus) iš kairės raskite didžiausią sveikąjį skaičių n, kurio kvadratas yra mažesnis arba lygus nagrinėjamai skaičių porai (arba vienam skaičiui). Kitaip tariant, suraskite kvadratinį skaičių, kuris yra arčiausiai pirmosios skaičių poros (arba vieno skaičiaus) iš kairės, bet mažesnis už ją, ir paimkite to kvadratinio skaičiaus kvadratinę šaknį; gausite numerį n. Viršutiniame dešiniajame kampe parašykite n, o apačioje dešinėje - kvadratą.

      • Mūsų atveju pirmasis skaičius kairėje bus 7. Kitas – 4< 7, то есть 2 2 < 7 и n = 2. Напишите 2 сверху справа - это первая цифра в искомом квадратном корне. Напишите 2×2=4 справа снизу; вам понадобится это число для последующих вычислений.

   3. Iš pirmosios skaičių poros (arba vieno skaičiaus) kairėje atimkite ką tik rasto skaičiaus n kvadratą. Skaičiavimo rezultatą parašykite po dalimi (skaičiaus n kvadratu).

      • Mūsų pavyzdyje iš 7 atimkite 4 ir gaukite 3.

   4. Nuimkite antrą skaičių porą ir užrašykite ją šalia vertės, gautos atliekant ankstesnį veiksmą. Tada padvigubinkite skaičių viršuje dešinėje ir parašykite rezultatą apačioje dešinėje, pridėdami „_×_=".

      • Mūsų pavyzdyje antroji skaičių pora yra „80“. Parašykite "80" po 3. Tada padvigubinkite skaičių viršutiniame dešiniajame kampe, kad gautumėte 4. Apatiniame dešiniajame kampe parašykite "4_×_=".

   5. Dešinėje užpildykite tuščias vietas.

      • Mūsų atveju, jei vietoj brūkšnelių dėtume skaičių 8, tai 48 x 8 = 384, tai yra daugiau nei 380. Todėl 8 yra per didelis skaičius, bet tiks ir 7. Vietoj brūkšnelių parašykite 7 ir gaukite: 47 x 7 = 329. Viršuje dešinėje parašykite 7 – tai antrasis skaitmuo norimoje kvadratinėje šaknyje iš skaičiaus 780,14.

   6. Atimkite gautą skaičių iš esamo skaičiaus kairėje. Užrašykite ankstesnio veiksmo rezultatą po dabartiniu skaičiumi kairėje, suraskite skirtumą ir parašykite jį po dalimi.

      • Mūsų pavyzdyje iš 380 atimkite 329, kuris yra lygus 51.

   7. Pakartokite 4 veiksmą. Jei perkeliama skaičių pora yra pradinio skaičiaus trupmeninė dalis, tada reikiamoje kvadratinėje šaknyje viršuje dešinėje įdėkite skirtuką (kablelį) tarp sveikųjų ir trupmeninių dalių. Kairėje pusėje sumažinkite kitą skaičių porą. Padvigubinkite skaičių viršuje dešinėje ir parašykite rezultatą apačioje dešinėje, pridėdami „_×_=".

      • Mūsų pavyzdyje kita skaičių pora, kurią reikia pašalinti, bus trupmeninė skaičiaus 780.14 dalis, todėl įdėkite sveikojo skaičiaus ir trupmeninių dalių skyriklį į norimą kvadratinę šaknį viršutiniame dešiniajame kampe. Nuimkite 14 ir užrašykite jį apatiniame kairiajame kampe. Dvigubas skaičius viršuje dešinėje (27) yra 54, todėl apačioje dešinėje parašykite „54_×_=".

   8. Pakartokite 5 ir 6 veiksmus. Surask vieną didžiausias skaičius vietoj brūkšnelių dešinėje (vietoj brūkšnelių reikia pakeisti tą patį skaičių), kad daugybos rezultatas būtų mažesnis arba lygus esamam skaičiui kairėje.

      • Mūsų pavyzdyje 549 x 9 = 4941, tai yra mažiau nei dabartinis skaičius kairėje (5114). Viršuje dešinėje parašykite 9 ir atimkite daugybos rezultatą iš esamo skaičiaus kairėje: 5114 - 4941 = 173.

   9. Jei reikia rasti daugiau kvadratinės šaknies skaitmenų po kablelio, dabartinio skaičiaus kairėje parašykite porą nulių ir pakartokite 4, 5 ir 6 veiksmus. Kartokite veiksmus, kol gausite atsakymo tikslumą (skaitmenų po kablelio skaičių). reikia.

      Proceso supratimas

      1. Dėl asimiliacijos šis metodas pagalvokite apie skaičių, kurio kvadratinę šaknį norite rasti kaip kvadrato S plotą. Tokiu atveju ieškosite tokio kvadrato kraštinės L ilgio. Apskaičiuojame L reikšmę taip, kad L² = S.

         Kiekvienam atsakyme esančiam skaičiui pateikite po raidę. Pirmąjį L reikšmės skaitmenį pažymėkime A (norima kvadratinė šaknis). B bus antrasis skaitmuo, C – trečias ir pan.

         Kiekvienai pirmųjų skaitmenų porai nurodykite raidę. Pažymime S a pirmąją skaitmenų porą S reikšmėje, S b – antrąją skaitmenų porą ir pan.

         Supraskite ryšį tarp šio metodo ir ilgojo padalijimo. Lygiai taip pat, kaip dalijant, kai mus domina tik kitas kaskart dalijamo skaičiaus skaitmuo, skaičiuodami kvadratinę šaknį, nuosekliai apdorojame skaitmenų porą (kad gautume kitą kvadratinės šaknies reikšmės skaitmenį) .

      2. Apsvarstykite pirmąją skaičiaus S skaitmenų Sa porą (mūsų pavyzdyje Sa = 7) ir raskite jos kvadratinę šaknį.Šiuo atveju pirmasis norimos kvadratinės šaknies reikšmės skaitmuo A bus skaitmuo, kurio kvadratas yra mažesnis arba lygus S a (tai yra, mes ieškome tokio A, kad nelygybė A² ≤ Sa< (A+1)²). В нашем примере, S1 = 7, и 2² ≤ 7 < 3²; таким образом A = 2.

         • Tarkime, kad reikia padalyti 88962 iš 7; čia pirmas žingsnis bus panašus: atsižvelgiame į pirmąjį dalijamojo skaičiaus skaitmenį 88962 (8) ir pasirenkame didžiausią skaičių, kurį padauginus iš 7 gauname reikšmę, mažesnę arba lygią 8. Tai yra, mes ieškome skaičius d, kurio nelygybė yra teisinga: 7 × d ≤ 8< 7×(d+1). В этом случае d будет равно 1.

      3. Psichiškai įsivaizduokite kvadratą, kurio plotą reikia apskaičiuoti. Jūs ieškote L, tai yra kvadrato, kurio plotas yra S, kraštinės ilgio. A, B, C yra skaičiai L. Galite rašyti kitaip: 10A + B = L (už dviženklis skaičius) arba 100A + 10V + C = L (skirta triženklis skaičius) ir taip toliau.

         • Leisti (10A+B)² = L² = S = 100A² + 2 × 10A × B + B². Atminkite, kad 10A+B yra skaičius, kuriame skaitmuo B reiškia vienetus, o skaitmuo A reiškia dešimtis. Pavyzdžiui, jei A=1 ir B=2, tai 10A+B yra lygus skaičiui 12. (10A+B)² yra visos aikštės plotas, 100A²- didelės vidinės aikštės plotas, B²- mažos vidinės aikštės plotas, 10A × B- kiekvieno iš dviejų stačiakampių plotas. Sudėjus aprašytų figūrų plotus, rasite pradinio kvadrato plotą.

Gana dažnai spręsdami problemas susiduriame su dideliais skaičiais, iš kurių reikia išgauti Kvadratinė šaknis. Daugelis studentų nusprendžia, kad tai klaida, ir pradeda iš naujo spręsti visą pavyzdį. Jokiu būdu neturėtumėte to daryti! Tam yra dvi priežastys:

1. Problemose atsiranda didelių skaičių šaknys. Ypač tekstiniuose;
2. Yra algoritmas, pagal kurį šios šaknys apskaičiuojamos beveik žodžiu.

Šiandien mes apsvarstysime šį algoritmą. Galbūt kai kurie dalykai jums atrodys nesuprantami. Bet jei atkreipsite dėmesį į šią pamoką, gausite galingą ginklą prieš kvadratinės šaknys.

Taigi, algoritmas:

1. Apribokite reikiamą šaknį aukščiau ir žemiau iki skaičių, kurie yra 10 kartotiniai. Taigi paieškos diapazoną sumažinsime iki 10 skaičių;
2. Iš šių 10 skaičių išrinkite tuos, kurie tikrai negali būti šaknys. Dėl to išliks 1-2 skaičiai;
3. Padėkite šiuos 1–2 skaičius kvadratu. Tas, kurio kvadratas lygus pradiniam skaičiui, bus šaknis.

Prieš taikydami šį algoritmą praktiškai, pažvelkime į kiekvieną atskirą žingsnį.

Šaknies apribojimas

Visų pirma, turime išsiaiškinti, tarp kurių skaičių yra mūsų šaknis. Labai pageidautina, kad skaičiai būtų dešimties kartotiniai:

10 2 = 100;
20 2 = 400;
30 2 = 900;
40 2 = 1600;
...
90 2 = 8100;
100 2 = 10 000.

Gauname skaičių seką:

100; 400; 900; 1600; 2500; 3600; 4900; 6400; 8100; 10 000.

Ką mums sako šie skaičiai? Tai paprasta: mes nustatome ribas. Paimkime, pavyzdžiui, skaičių 1296. Jis yra tarp 900 ir 1600. Todėl jo šaknis negali būti mažesnė nei 30 ir didesnė nei 40:

[Paveikslo antraštė]

Tas pats pasakytina apie bet kurį kitą skaičių, iš kurio galite rasti kvadratinę šaknį. Pavyzdžiui, 3364:

[Paveikslo antraštė]

Taigi vietoj nesuprantamo skaičiaus gauname labai konkretų diapazoną, kuriame yra pradinė šaknis. Norėdami dar labiau susiaurinti paieškos sritį, pereikite prie antrojo veiksmo.

Akivaizdžiai nereikalingų skaičių pašalinimas

Taigi, turime 10 skaičių – kandidatų į šaknį. Mes juos gavome labai greitai, be kompleksinio mąstymo ir daugybos stulpelyje. Laikas judėti į priekį.

Tikėkite ar ne, dabar sumažinsime kandidatų skaičių iki dviejų – ir vėl be jokio sudėtingi skaičiavimai! Pakanka žinoti specialią taisyklę. Štai jis:

Paskutinis kvadrato skaitmuo priklauso tik nuo paskutinio skaitmens originalus numeris.

Kitaip tariant, tiesiog pažiūrėkite į paskutinį kvadrato skaitmenį ir mes iš karto suprasime, kur baigiasi pradinis skaičius.

Yra tik 10 skaitmenų, kurie gali būti paskutinėje vietoje. Pabandykime išsiaiškinti, kuo jie virsta kvadratu. Pažvelkite į lentelę:

1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
1	4	9	6	5	6	9	4	1	0

Ši lentelė yra dar vienas žingsnis apskaičiuojant šaknį. Kaip matote, antroje eilutėje esantys skaičiai pasirodė simetriški penkių atžvilgiu. Pavyzdžiui:

2 2 = 4;
8 2 = 64 → 4.

Kaip matote, paskutinis skaitmuo abiem atvejais yra vienodas. Tai reiškia, kad, pavyzdžiui, 3364 šaknis turi baigtis 2 arba 8. Kita vertus, prisimename ankstesnės pastraipos apribojimą. Mes gauname:

[Paveikslo antraštė]

Raudoni kvadratai rodo, kad mes dar nežinome šio skaičiaus. Tačiau šaknis yra diapazone nuo 50 iki 60, kuriame yra tik du skaičiai, kurie baigiasi 2 ir 8:

[Paveikslo antraštė]

Tai viskas! Iš visų galimų šaknų palikome tik dvi galimybes! Ir tai yra sunkiausiu atveju, nes paskutinis skaitmuo gali būti 5 arba 0. Ir tada bus tik vienas kandidatas į šaknis!

Galutiniai skaičiavimai

Taigi, mums liko 2 kandidatų numeriai. Kaip žinoti, kuris iš jų yra šaknis? Atsakymas akivaizdus: abu skaičius kvadratu. Tas, kuris kvadratu pateikia pradinį skaičių, bus šaknis.

Pavyzdžiui, skaičiui 3364 radome du kandidatų skaičius: 52 ir 58. Padėkime juos kvadratu:

52 2 = (50 +2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;
58 2 = (60 − 2) 2 = 3600 − 2 60 2 + 4 = 3364.

Tai viskas! Paaiškėjo, kad šaknis yra 58! Tuo pačiu, kad supaprastinčiau skaičiavimus, panaudojau sumos ir skirtumo kvadratų formulę. Dėl to man net nereikėjo dauginti skaičių į stulpelį! Tai dar vienas skaičiavimo optimizavimo lygis, bet, žinoma, visiškai neprivalomas :)

Šaknų skaičiavimo pavyzdžiai

Teorija, žinoma, gera. Bet patikrinkime tai praktiškai.

[Paveikslo antraštė]

Pirmiausia išsiaiškinkime, tarp kurių skaičių yra skaičius 576:

400 < 576 < 900
20 2 < 576 < 30 2

Dabar pažiūrėkime į paskutinį skaičių. Jis lygus 6. Kada tai atsitinka? Tik jei šaknis baigiasi 4 arba 6. Gauname du skaičius:

Belieka kiekvieną skaičių pakelti kvadratu ir palyginti su originalu:

24 2 = (20 + 4) 2 = 576

Puiku! Pirmasis kvadratas pasirodė lygus pradiniam skaičiui. Taigi tai yra šaknis.

Užduotis. Apskaičiuokite kvadratinę šaknį:

[Paveikslo antraštė]

900 < 1369 < 1600;
30 2 < 1369 < 40 2;

Pažiūrėkime į paskutinį skaitmenį:

1369 → 9;
33; 37.

Kvadratu:

33 2 = (30 + 3) 2 = 900 + 2 30 3 + 9 = 1089 ≠ 1369;
37 2 = (40 − 3) 2 = 1600 − 2 40 3 + 9 = 1369.

Štai atsakymas: 37.

Užduotis. Apskaičiuokite kvadratinę šaknį:

[Paveikslo antraštė]

Apribojame skaičių:

2500 < 2704 < 3600;
50 2 < 2704 < 60 2;

Pažiūrėkime į paskutinį skaitmenį:

2704 → 4;
52; 58.

Kvadratu:

52 2 = (50 + 2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;

Gavome atsakymą: 52. Antro skaičiaus kvadratuoti nebereikės.

Užduotis. Apskaičiuokite kvadratinę šaknį:

[Paveikslo antraštė]

Apribojame skaičių:

3600 < 4225 < 4900;
60 2 < 4225 < 70 2;

Pažiūrėkime į paskutinį skaitmenį:

4225 → 5;
65.

Kaip matote, po antro žingsnio lieka tik viena parinktis: 65. Tai norima šaknis. Bet vis tiek išlyginkime ir patikrinkime:

65 2 = (60 + 5) 2 = 3600 + 2 60 5 + 25 = 4225;

Viskas teisinga. Užrašome atsakymą.

Išvada

Deja, ne geriau. Pažvelkime į priežastis. Yra du iš jų:

• Per bet kokį įprastą matematikos egzaminą, nesvarbu, ar tai būtų valstybinis, ar vieningas valstybinis egzaminas, skaičiuotuvus naudoti draudžiama. O jei į pamoką atsinešite skaičiuotuvą, galite būti lengvai išmesti iš egzamino.
• Nebūk kaip kvaili amerikiečiai. Kurie nėra kaip šaknys – negali pridėti dviejų pirminių skaičių. Ir kai jie mato trupmenas, jie paprastai tampa isteriški.