Kaip ištraukti šaknį iš po šaknies. Kvadratinės šaknies ištraukimas

Matematikoje klausimas, kaip išgauti šaknį, laikomas gana paprastu. Jei skaičius iš natūraliosios eilutės kvadratu: 1, 2, 3, 4, 5...n, tai gausime tokią kvadratų seriją: 1, 4, 9, 16...n 2. Kvadratų eilutė yra begalinė, įdėmiai pažvelgę ​​pamatysite, kad sveikųjų skaičių joje nėra labai daug. Kodėl taip yra, bus paaiškinta šiek tiek vėliau.

Skaičiaus šaknis: skaičiavimo taisyklės ir pavyzdžiai

Taigi, skaičių 2 pakėlėme kvadratu, tai yra, padauginome jį iš savęs ir gavome 4. Kaip išgauti skaičiaus 4 šaknį? Iš karto pasakykime, kad šaknys gali būti kvadratinės, kubinės ir bet kokio laipsnio iki begalybės.

Šaknies laipsnis – visada natūralusis skaičius, tai yra, neįmanoma išspręsti tokios lygties: šaknis į n laipsnio 3,6 laipsnį.

Kvadratinė šaknis

Grįžkime prie klausimo, kaip išgauti kvadratinę šaknį iš 4. Kadangi skaičių 2 pakėlėme kvadratu, išskirsime ir kvadratinę šaknį. Norint teisingai išgauti šaknį iš 4, tereikia pasirinkti tinkamą skaičių, kurį patraukus kvadratu, būtų gautas skaičius 4. Ir tai, žinoma, yra 2. Pažvelkite į pavyzdį:

• 2 2 =4
• 4 šaknis = 2

Šis pavyzdys yra gana paprastas. Pabandykime išgauti kvadratinę šaknį iš 64. Kokį skaičių padauginus iš savęs gaunama 64? Akivaizdu, kad 8.

• 8 2 =64
• Šaknis 64 = 8

Kubo šaknis

Kaip minėta aukščiau, šaknys yra ne tik kvadratinės, naudodamiesi pavyzdžiu, pabandysime aiškiau paaiškinti, kaip išgauti kubinę ar trečiojo laipsnio šaknį. Kubinės šaknies ištraukimo principas yra toks pat kaip ir kvadratinės šaknies, skirtumas tik tas, kad reikiamas skaičius iš pradžių buvo padaugintas iš savęs ne vieną, o du kartus. Tai yra, tarkime, kad paėmėme tokį pavyzdį:

• 3x3x3=27
• Natūralu, kad 27 kubo šaknis yra trys:
• 3 šaknis iš 27 = 3

Tarkime, reikia rasti 64 kubo šaknį. Norėdami išspręsti šią lygtį, pakanka rasti skaičių, kurį pakėlus į trečią laipsnį, gautų 64.

• 4 3 =64
• 3 šaknis iš 64 = 4

Ištraukite skaičiaus šaknį skaičiuotuvu

Žinoma, kvadratines, kubas ir kitas šaknis geriausia išmokti praktikuojant, sprendžiant daugybę pavyzdžių ir įsimenant mažų skaičių kvadratų ir kubelių lenteles. Ateityje tai labai palengvins ir sumažins laiką, reikalingą lygtims išspręsti. Nors reikia pažymėti, kad kartais reikia išgauti tokio šaknį didelis skaičius kad rasti teisingą skaičių kvadratu būtų labai sunku, jei iš viso įmanoma. Kad padėtų išgauti kvadratinė šaknis ateis įprastas skaičiuotuvas. Kaip išgauti šaknį skaičiuotuvu? Labai paprastai įveskite numerį, iš kurio norite rasti rezultatą. Dabar atidžiai pažvelkite į skaičiuoklės mygtukus. Netgi paprasčiausias iš jų turi raktą su šaknies piktograma. Paspaudę ant jo iš karto gausite galutinį rezultatą.

Ne kiekvienas skaičius gali būti išgautas visa šaknis, apsvarstykite šį pavyzdį:

1859 šaknis = 43,116122…

Vienu metu galite pabandyti išspręsti šį pavyzdį skaičiuotuvu. Kaip matote, gautas skaičius nėra sveikasis skaičius, be to, skaitmenų rinkinys po kablelio nėra baigtinis. Specialūs inžineriniai skaičiuotuvai gali duoti tikslesnį rezultatą, tačiau įprastų ekrane visas rezultatas tiesiog netelpa. Ir jei tęsite anksčiau pradėtą ​​kvadratų seriją, joje nerasite skaičiaus 1859 būtent todėl, kad skaičius, kuris buvo pakeltas į kvadratą, nėra sveikasis skaičius.

Jei jums reikia išgauti trečiąją šaknį paprastu skaičiuotuvu, tuomet reikia du kartus spustelėti mygtuką su šaknies ženklu. Pavyzdžiui, paimkite aukščiau naudotą skaičių 1859 ir paimkite iš jo kubo šaknį:

3 šaknis iš 1859 = 6,5662867…

Tai yra, jei skaičius 6.5662867... pakeltas į trečią laipsnį, tai apytiksliai gauname 1859. Taigi iš skaičių išgauti šaknis nėra sunku, tereikia prisiminti aukščiau pateiktus algoritmus.

O ar turi priklausomybė nuo skaičiuoklės? O gal manote, kad labai sunku apskaičiuoti, pavyzdžiui, nebent su skaičiuotuvu ar naudojant kvadratų lentelę.

Pasitaiko, kad moksleivius pririša prie skaičiuoklės ir net 0,7 padaugina iš 0,5 spausdami brangius mygtukus. Sako, gerai, aš dar moku skaičiuoti, bet dabar sutaupysiu laiko... Kai ateis egzaminas... tada pasitempsiu...

Taigi faktas, kad „stresinių akimirkų“ per egzaminą jau bus daug... Kaip sakoma, vanduo akmenis nuvalo. Taigi egzamine smulkmenos, jei jų daug, gali tave sužlugdyti...

Sumažinkime galimų nesklandumų skaičių.

Paimant kvadratinę šaknį iš didelio skaičiaus

Dabar kalbėsime tik apie atvejį, kai kvadratinės šaknies ištraukimo rezultatas yra sveikasis skaičius.

1 atvejis.

Taigi, leiskite mums bet kokia kaina (pavyzdžiui, skaičiuodami diskriminantą) apskaičiuoti kvadratinę šaknį iš 86436.

Į pirminius koeficientus įtrauksime skaičių 86436. Padalinkite iš 2, gausime 43218; vėl padalijus iš 2, gauname 21609. Skaičius negali dalytis iš 2. Bet kadangi skaitmenų suma dalijasi iš 3, tai pats skaičius dalijasi iš 3 (paprastai kalbant, aišku, kad jis taip pat dalijasi iš 9). . Dar kartą padalykite iš 3 ir gausime 2401. 2401 nėra visiškai dalijamas iš 3. Nedalijama iš penkių (nesibaigia 0 ar 5).

Įtariame dalijimąsi iš 7. Iš tiesų ir ,

Taigi, pilnas užsakymas!

2 atvejis.

Teks paskaičiuoti. Nepatogu elgtis taip, kaip aprašyta aukščiau. Bandome faktorizuoti...

Skaičius 1849 nesidalija iš 2 (jis nėra lyginis)…

Jis nevisiškai dalijasi iš 3 (skaitmenų suma nėra 3 kartotinis)...

Jis nevisiškai dalijasi iš 5 (paskutinis skaitmuo nėra nei 5, nei 0)…

Jis nevisiškai dalijasi iš 7, nesidalija iš 11, nesidalija iš 13... Na, kiek laiko užtruksime surūšiuoti visus pirminius skaičius?

Pagalvokime šiek tiek kitaip.

Mes tai suprantame

Mes susiaurinome savo paiešką. Dabar einame per skaičius nuo 41 iki 49. Be to, aišku, kad kadangi paskutinis skaičiaus skaitmuo yra 9, tai turėtume sustoti ties 43 arba 47 variantais – tik šie skaičiai, suskirstyti į kvadratą, duos paskutinį skaitmenį 9 .

Na, čia, žinoma, sustojame ties 43. Iš tiesų,

P.S. Kaip po velnių 0,7 padauginsime iš 0,5?

Turėtumėte padauginti 5 iš 7, nekreipdami dėmesio į nulius ir ženklus, o tada atskirkite, eidami iš dešinės į kairę, du skaitmenis po kablelio. Gauname 0,35.

Atėjo laikas tai sutvarkyti šaknų ištraukimo metodai. Jie pagrįsti šaknų savybėmis, visų pirma lygybe, kuri galioja bet kuriam neneigiamam skaičiui b.

Žemiau apžvelgsime pagrindinius šaknų išgavimo būdus po vieną.

Pradėkime nuo paprasčiausio atvejo – šaknų ištraukimas iš natūraliųjų skaičių naudojant kvadratų lentelę, kubelių lentelę ir kt.

Jei lentelės iš kvadratų, kubelių ir kt. Jei jo neturite po ranka, logiška naudoti šaknies ištraukimo metodą, kuris apima radikalaus skaičiaus skaidymą į pirminius veiksnius.

Atskirai verta paminėti, kas įmanoma šaknims su nelyginiais rodikliais.

Galiausiai apsvarstykime metodą, leidžiantį nuosekliai rasti šaknies reikšmės skaitmenis.

Pradėkime.

Naudojant kvadratų lentelę, kubelių lentelę ir kt.

Paprasčiausiais atvejais šaknis leidžia išgauti kvadratų, kubelių ir pan. Kas yra šios lentelės?

Sveikųjų skaičių nuo 0 iki 99 imtinai kvadratų lentelė (parodyta toliau) susideda iš dviejų zonų. Pirmoji lentelės zona yra pilkame fone, pasirinkus konkrečią eilutę ir stulpelį, galima sudaryti skaičių nuo 0 iki 99. Pavyzdžiui, pasirinkime 8 dešimčių eilutę ir 3 vienetų stulpelį, taip pataisydami skaičių 83. Antroji zona užima likusią stalo dalį. Kiekvienas langelis yra tam tikros eilutės ir tam tikro stulpelio sankirtoje ir yra atitinkamo skaičiaus kvadratas nuo 0 iki 99. Mūsų pasirinktos 8 dešimčių eilutės ir 3 vienetų stulpelio sankirtoje yra langelis su skaičiumi 6889, kuris yra skaičiaus 83 kvadratas.

Kubų lentelės, skaičių nuo 0 iki 99 ketvirtųjų laipsnių lentelės ir pan., panašios į kvadratų lentelę, tik jose antroje zonoje yra kubelių, ketvirtųjų laipsnių ir pan. atitinkamus skaičius.

Kvadratų, kubelių, ketvirtųjų laipsnių lentelės ir kt. leidžia išgauti kvadratines šaknis, kubines šaknis, ketvirtąsias šaknis ir kt. atitinkamai iš šiose lentelėse pateiktų skaičių. Paaiškinkime jų naudojimo principą išgaunant šaknis.

Tarkime, kad reikia išgauti n-ąją skaičiaus a šaknį, o skaičius a yra n-ųjų laipsnių lentelėje. Naudodami šią lentelę randame skaičių b, kad a=b n. Tada , todėl skaičius b bus norima n-ojo laipsnio šaknis.

Kaip pavyzdį parodykime, kaip naudoti kubo lentelę, norint išgauti 19 683 kubo šaknį. Kubų lentelėje randame skaičių 19 683, iš jo randame, kad šis skaičius yra skaičiaus 27 kubas, todėl .

Aišku, kad n-ųjų laipsnių lentelės labai patogios šaknims išgauti. Tačiau jų dažnai nėra po ranka, o jų sudarymas reikalauja šiek tiek laiko. Be to, dažnai reikia išgauti šaknis iš skaičių, kurių nėra atitinkamose lentelėse. Tokiais atvejais turite naudoti kitus šaknų ištraukimo būdus.

Radikalaus skaičiaus faktorinavimas į pirminius veiksnius

Gana patogus būdas išgauti natūraliojo skaičiaus šaknį (jei, žinoma, šaknis išskirta) yra radikalųjį skaičių išskaidyti į pirminius veiksnius. Jo esmė tokia: po to gana lengva jį reprezentuoti kaip galią su būtinas rodiklis, kuri leidžia gauti šaknies vertę. Paaiškinkime šį dalyką.

Tegu paimama n-oji natūraliojo skaičiaus a šaknis ir jos reikšmė lygi b. Šiuo atveju lygybė a=b n yra teisinga. Skaičius b, kaip ir bet kuris natūralusis skaičius, gali būti pavaizduotas kaip visų jo pirminių faktorių p 1 , p 2 , …, p m sandauga forma p 1 ·p 2 ·…·p m , o radikalinis skaičius a šiuo atveju vaizduojamas kaip (p 1 · p 2 ·… · p m) n . Kadangi skaičiaus išskaidymas į pirminius veiksnius yra unikalus, radikalinio skaičiaus a išskaidymas į pirminius veiksnius turės formą (p 1 ·p 2 ·…·p m) n, todėl bus galima apskaičiuoti šaknies reikšmę. kaip.

Atkreipkite dėmesį, kad jei radikalinio skaičiaus a išskaidymas į pirminius veiksnius negali būti pavaizduotas forma (p 1 ·p 2 ·…·p m) n, tada tokio skaičiaus a n-oji šaknis nėra visiškai išskirta.

Išsiaiškinkime tai spręsdami pavyzdžius.

Pavyzdys.

Paimkite kvadratinę šaknį iš 144.

Sprendimas.

Jei pažvelgsite į ankstesnėje pastraipoje pateiktą kvadratų lentelę, aiškiai pamatysite, kad 144 = 12 2, iš kurios aišku, kad 144 kvadratinė šaknis yra lygi 12.

Tačiau atsižvelgiant į tai, mus domina, kaip šaknis išgaunama išskaidžius radikalųjį skaičių 144 į pirminius veiksnius. Pažvelkime į šį sprendimą.

Išskaidykime 144 prie pagrindinių veiksnių:

Tai yra, 144=2·2·2·2·3·3. Remiantis gautu skaidymu, gali būti atliekamos šios transformacijos: 144 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 = (2 · 2) 2 · 3 2 = (2 · 2 · 3) 2 = 12 2. Vadinasi, .

Naudojant laipsnio savybes ir šaknų savybes, tirpalą būtų galima suformuluoti kiek kitaip: .

Atsakymas:

Norėdami konsoliduoti medžiagą, apsvarstykite dar dviejų pavyzdžių sprendimus.

Pavyzdys.

Apskaičiuokite šaknies vertę.

Sprendimas.

Radikalio skaičiaus 243 pirminis faktorius turi formą 243=3 5 . Taigi, .

Atsakymas:

Pavyzdys.

Ar šaknies reikšmė yra sveikasis skaičius?

Sprendimas.

Norėdami atsakyti į šį klausimą, suskirstykime radikalųjį skaičių į pirminius veiksnius ir pažiūrėkime, ar jį galima pavaizduoti kaip sveikojo skaičiaus kubą.

Turime 285 768 = 2 3 · 3 6 · 7 2. Gautas išplėtimas nevaizduojamas kaip sveikojo skaičiaus kubas, nes laipsnis pagrindinis veiksnys 7 nėra trijų kartotinis. Todėl negalima visiškai išgauti 285 768 kubo šaknies.

Atsakymas:

Nr.

Šaknų ištraukimas iš trupmeninių skaičių

Atėjo laikas išsiaiškinti, kaip išgauti trupmeninio skaičiaus šaknį. Tegul trupmeninis radikalinis skaičius užrašomas kaip p/q. Pagal koeficiento šaknies savybę teisinga tokia lygybė. Iš šios lygybės išplaukia trupmenos šaknies ištraukimo taisyklė: trupmenos šaknis yra lygi skaitiklio šaknies daliniui, padalytam iš vardiklio šaknies.

Pažvelkime į šaknies ištraukimo iš trupmenos pavyzdį.

Pavyzdys.

Kas yra kvadratinė šaknis bendroji trupmena 25/169 .

Sprendimas.

Naudodamiesi kvadratų lentele, nustatome, kad pradinės trupmenos skaitiklio kvadratinė šaknis yra lygi 5, o vardiklio kvadratinė šaknis lygi 13. Tada . Tai užbaigia paprastosios frakcijos 25/169 šaknies išgavimą.

Atsakymas:

Dešimtainės trupmenos arba mišraus skaičiaus šaknis išgaunama radikalius skaičius pakeitus paprastosiomis trupmenomis.

Pavyzdys.

Paimkite dešimtainės trupmenos 474.552 kubinę šaknį.

Sprendimas.

Įsivaizduokime originalą dešimtainis kaip bendroji trupmena: 474,552=474552/1000. Tada . Belieka išskirti kubo šaknis, kurios yra gautos trupmenos skaitiklyje ir vardiklyje. Nes 474 552=2·2·2·3·3·3·13·13·13=(2 3 13) 3 = 78 3 ir 1 000 = 10 3, tada Ir . Belieka tik užbaigti skaičiavimus .

Atsakymas:

.

Neigiamojo skaičiaus šaknies paėmimas

Verta pasilikti ties šaknų ištraukimu iš neigiamų skaičių. Tirdami šaknis sakėme, kad kai šaknies rodiklis yra nelyginis skaičius, tada po šaknies ženklu gali būti neigiamas skaičius. Šiems įrašams suteikėme tokią reikšmę: neigiamam skaičiui −a ir nelyginiam šaknies 2 n−1 rodikliui, . Ši lygybė suteikia nelyginių šaknų ištraukimo iš neigiamų skaičių taisyklė: norėdami išgauti neigiamo skaičiaus šaknį, turite paimti priešingo teigiamo skaičiaus šaknį ir prieš rezultatą įdėti minuso ženklą.

Pažvelkime į sprendimo pavyzdį.

Pavyzdys.

Raskite šaknies vertę.

Sprendimas.

Transformuokime pradinę išraišką taip, kad po šaknies ženklu būtų teigiamas skaičius: . Dabar pakeiskite mišrų skaičių paprastąja trupmena: . Taikome paprastosios trupmenos šaknies ištraukimo taisyklę: . Belieka apskaičiuoti gautos trupmenos skaitiklio ir vardiklio šaknis: .

Štai trumpa sprendimo santrauka: .

Atsakymas:

.

Šakninės vertės nustatymas bitais

Paprastai po šaknimi yra skaičius, kuris, naudojant aukščiau aptartus metodus, negali būti vaizduojamas kaip bet kurio skaičiaus n-asis laipsnis. Tačiau tuo pat metu reikia žinoti prasmę duota šaknis, bent jau iki tam tikro ženklo. Tokiu atveju, norėdami išgauti šaknį, galite naudoti algoritmą, leidžiantį nuosekliai gauti pakankamą norimo skaičiaus skaitmenų skaičių.

Pirmasis šio algoritmo žingsnis yra išsiaiškinti, koks yra svarbiausias šakninės reikšmės bitas. Tam skaičiai 0, 10, 100, ... paeiliui keliami iki laipsnio n, kol gaunamas momentas, kai skaičius viršija radikalųjį skaičių. Tada skaičius, kurį ankstesniame etape padidinome iki laipsnio n, parodys atitinkamą reikšmingiausią skaitmenį.

Pavyzdžiui, apsvarstykite šį algoritmo veiksmą, kai ištraukite kvadratinę šaknį iš penkių. Paimkite skaičius 0, 10, 100, ... ir padėkite juos kvadratu, kol gausime skaičių, didesnį už 5. Turime 0 2 = 0<5 , 10 2 =100>5, o tai reiškia, kad svarbiausias skaitmuo bus vienas. Šio bito, kaip ir žemesniųjų, reikšmė bus rasta kituose šaknies ištraukimo algoritmo žingsniuose.

Visi tolesni algoritmo veiksmai yra skirti nuosekliai išsiaiškinti šaknies reikšmę, ieškant norimos šaknies reikšmės kitų bitų reikšmes, pradedant nuo aukščiausios ir pereinant prie mažiausių. Pavyzdžiui, šaknies reikšmė pirmame žingsnyje pasirodo esanti 2, antrajame – 2,2, trečiame – 2,23 ir tt 2,236067977…. Apibūdinkime, kaip randamos skaitmenų reikšmės.

Skaičiai randami juos ieškant galimas vertes 0, 1, 2, …, 9. Tokiu atveju lygiagrečiai apskaičiuojamos atitinkamų skaičių n-osios laipsniai ir lyginami su radikaliuoju skaičiumi. Jei tam tikru etapu laipsnio reikšmė viršija radikalų skaičių, laikoma, kad skaitmens, atitinkančio ankstesnę reikšmę, reikšmė yra rasta ir pereinama prie kito šaknies išskyrimo algoritmo žingsnio; jei tai neįvyksta, tada šio skaitmens reikšmė yra 9.

Paaiškinkime šiuos taškus naudodami tą patį penkių kvadratinės šaknies ištraukimo pavyzdį.

Pirmiausia randame vienetų skaitmens reikšmę. Mes eisime per reikšmes 0, 1, 2, ..., 9, atitinkamai apskaičiuodami 0 2, 1 2, ..., 9 2, kol gausime reikšmę, didesnę už radikalų skaičių 5. Visus šiuos skaičiavimus patogu pateikti lentelės pavidalu:

Taigi vienetų skaitmens reikšmė yra 2 (nuo 2 2<5 , а 2 3 >5). Pereikime prie dešimtosios vietos vertės nustatymo. Tokiu atveju skaičius 2.0, 2.1, 2.2, ..., 2.9 padalinsime kvadratu, gautas reikšmes lygindami su radikaliu skaičiumi 5:

Nuo 2.2 2<5 , а 2,3 2 >5, tada dešimtosios vietos reikšmė yra 2. Galite pradėti ieškoti šimtosios vietos vertės:

Taip buvo rasta kita penkių šaknies reikšmė, ji lygi 2,23. Taigi galite ir toliau ieškoti vertybių: 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .

Norėdami konsoliduoti medžiagą, mes analizuosime šaknies ištraukimą šimtųjų dalių tikslumu, naudodami nagrinėjamą algoritmą.

Pirmiausia nustatome reikšmingiausią skaitmenį. Norėdami tai padaryti, supjaustome skaičius 0, 10, 100 ir kt. kol gausime skaičių, didesnį už 2 151 186. Turime 0 3 = 0<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151 186 , todėl reikšmingiausias skaitmuo yra dešimties skaitmuo.

Nustatykime jo vertę.

Nuo 103<2 151,186 , а 20 3 >2 151,186, tada dešimties vietos reikšmė yra 1. Pereikime prie vienetų.

Taigi vienetų skaitmenų reikšmė yra 2. Pereikime prie dešimtųjų.

Kadangi net 12,9 3 yra mažesnis už radikalųjį skaičių 2 151,186, tai dešimtosios vietos reikšmė yra 9. Belieka atlikti paskutinį algoritmo žingsnį, kuris mums duos šaknies reikšmę reikiamu tikslumu.

Šiame etape šaknies reikšmė nustatoma šimtųjų dalių tikslumu: .

Baigdamas šį straipsnį norėčiau pasakyti, kad yra daug kitų būdų išgauti šaknis. Tačiau daugeliui užduočių pakanka aukščiau išnagrinėtų užduočių.

Bibliografija.

• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: vadovėlis 8 klasei. švietimo įstaigų.
• Kolmogorovas A.N., Abramovas A.M., Dudnicinas Yu.P. ir kt.. Algebra ir analizės pradžia: Vadovėlis bendrojo ugdymo įstaigų 10 - 11 klasėms.
• Gusevas V.A., Mordkovičius A.G. Matematika (vadovas stojantiems į technikos mokyklas).

Prieš skaičiuotuvus mokiniai ir mokytojai kvadratines šaknis skaičiavo rankomis. Yra keletas būdų, kaip rankiniu būdu apskaičiuoti skaičiaus kvadratinę šaknį. Kai kurie iš jų siūlo tik apytikslį sprendimą, kiti pateikia tikslų atsakymą.

Žingsniai

Pirminis faktorizavimas

Padalinkite radikalųjį skaičių į koeficientus, kurie yra kvadratiniai skaičiai. Priklausomai nuo radikalaus skaičiaus, gausite apytikslį arba tikslų atsakymą. Kvadratiniai skaičiai yra skaičiai, iš kurių galima paimti visą kvadratinę šaknį. Veiksniai yra skaičiai, kuriuos padauginus gaunamas pradinis skaičius. Pavyzdžiui, skaičiaus 8 koeficientai yra 2 ir 4, nes 2 x 4 = 8, skaičiai 25, 36, 49 yra kvadratiniai skaičiai, nes √25 = 5, √36 = 6, √49 = 7. Kvadratiniai koeficientai yra faktoriai, kurie yra kvadratiniai skaičiai. Pirmiausia pabandykite išskaidyti radikalųjį skaičių į kvadratinius koeficientus.

• Pavyzdžiui, apskaičiuokite kvadratinę šaknį iš 400 (ranka). Pirmiausia pabandykite įskaičiuoti 400 į kvadratinius koeficientus. 400 yra 100 kartotinis, tai yra, dalijasi iš 25 - tai yra kvadratinis skaičius. Padalijus 400 iš 25, gauname 16. Skaičius 16 taip pat yra kvadratinis skaičius. Taigi 400 galima įskaičiuoti į kvadratinius koeficientus 25 ir 16, tai yra, 25 x 16 = 400.
• Tai galima parašyti taip: √400 = √(25 x 16).

1. Kai kurių narių sandaugos kvadratinė šaknis yra lygi kiekvieno nario kvadratinių šaknų sandaugai, tai yra √(a x b) = √a x √b. Naudokite šią taisyklę, norėdami paimti kvadratinę šaknį iš kiekvieno kvadratinio koeficiento ir padauginti rezultatus, kad rastumėte atsakymą.

   • Mūsų pavyzdyje paimkite 25 ir 16 šaknį.
     • √ (25 x 16)
     • √25 x √16
     • 5 x 4 = 20

2. Jei radikalusis skaičius nesiskiria į du kvadratinius veiksnius (ir taip nutinka daugeliu atvejų), negalėsite rasti tikslaus atsakymo sveikojo skaičiaus pavidalu. Bet jūs galite supaprastinti problemą, išskaidydami radikalųjį skaičių į kvadratinį koeficientą ir įprastą koeficientą (skaičius, iš kurio negalima paimti visos kvadratinės šaknies). Tada imsite kvadratinę šaknį iš kvadratinio koeficiento ir imsite bendro koeficiento šaknį.

   • Pavyzdžiui, apskaičiuokite skaičiaus 147 kvadratinę šaknį. Skaičius 147 negali būti padalytas į du kvadratinius veiksnius, tačiau jį galima padalyti į šiuos veiksnius: 49 ir ​​3. Išspręskite užduotį taip:
     • = √ (49 x 3)
     • = √49 x √3
     • = 7√3

3. Jei reikia, įvertinkite šaknies vertę. Dabar galite įvertinti šaknies reikšmę (rasti apytikslę reikšmę), palygindami ją su kvadratinių skaičių šaknų reikšmėmis, kurios yra arčiausiai radikaliojo skaičiaus (abiejose skaičių linijos pusėse). Šakninę reikšmę gausite kaip dešimtainę trupmeną, kuri turi būti padauginta iš skaičiaus, esančio už šaknies ženklo.

   • Grįžkime prie mūsų pavyzdžio. Radikalusis skaičius yra 3. Arčiausiai jo esantys kvadratiniai skaičiai bus skaičiai 1 (√1 = 1) ir 4 (√4 = 2). Taigi √3 reikšmė yra tarp 1 ir 2. Kadangi √3 reikšmė tikriausiai yra arčiau 2 nei 1, mūsų įvertis yra toks: √3 = 1,7. Šią reikšmę padauginame iš skaičiaus prie šaknies ženklo: 7 x 1,7 = 11,9. Jei atliksite skaičiavimus skaičiuotuvu, gausite 12,13, o tai yra gana artima mūsų atsakymui.
     • Šis metodas taip pat veikia su dideliais skaičiais. Pavyzdžiui, apsvarstykite √35. Radikalusis skaičius yra 35. Jam artimiausi kvadratiniai skaičiai bus 25 (√25 = 5) ir 36 (√36 = 6). Taigi √35 reikšmė yra tarp 5 ir 6. Kadangi √35 reikšmė yra daug arčiau 6 nei 5 (nes 35 yra tik 1 mažesnis už 36), galime teigti, kad √35 yra šiek tiek mažiau nei 6 Patikrinus skaičiuotuvą, atsakymas yra 5,92 – buvome teisūs.

4. Kitas būdas yra sudėti radikalųjį skaičių į pirminius veiksnius. Pirminiai veiksniai yra skaičiai, kurie dalijasi tik iš 1 ir savęs. Surašykite pirminius veiksnius į eilę ir suraskite identiškų veiksnių poras. Tokius veiksnius galima išimti iš šaknies ženklo.

   • Pavyzdžiui, apskaičiuokite kvadratinę šaknį iš 45. Radikalųjį skaičių suskaičiuojame į pirminius koeficientus: 45 = 9 x 5 ir 9 = 3 x 3. Taigi √45 = √(3 x 3 x 5). 3 galima išimti kaip šaknies ženklą: √45 = 3√5. Dabar galime įvertinti √5.
   • Pažvelkime į kitą pavyzdį: √88.
     • = √ (2 x 44)
     • = √ (2 x 4 x 11)
     • = √ (2 x 2 x 2 x 11). Gavote tris daugiklius iš 2; paimkite porą jų ir perkelkite už šaknies ženklo.
     • = 2√(2 x 11) = 2√2 x √11. Dabar galite įvertinti √2 ir √11 ir rasti apytikslį atsakymą.

   Kvadratinės šaknies apskaičiavimas rankiniu būdu

   Naudojant ilgą padalijimą

   1. Šis metodas apima procesą, panašų į ilgą padalijimą, ir pateikia tikslų atsakymą. Pirmiausia nubrėžkite vertikalią liniją, dalijančią lapą į dvi dalis, o tada į dešinę ir šiek tiek žemiau viršutinio lapo krašto nubrėžkite horizontalią liniją iki vertikalios linijos. Dabar padalykite radikalųjį skaičių į skaičių poras, pradedant trupmena po kablelio. Taigi, numeris 79520789182.47897 rašomas kaip „7 95 20 78 91 82, 47 89 70“.

      • Pavyzdžiui, apskaičiuokime kvadratinę šaknį iš skaičiaus 780.14. Nubrėžkite dvi linijas (kaip parodyta paveikslėlyje) ir viršuje kairėje formoje „7 80, 14“ užrašykite nurodytą skaičių. Normalu, kad pirmasis skaitmuo iš kairės yra nesusietas skaitmuo. Viršuje dešinėje parašysite atsakymą (šio skaičiaus šaknį).

   2. Pirmosios skaičių poros (arba vieno skaičiaus) iš kairės raskite didžiausią sveikąjį skaičių n, kurio kvadratas yra mažesnis arba lygus nagrinėjamai skaičių porai (arba vienam skaičiui). Kitaip tariant, suraskite kvadratinį skaičių, kuris yra arčiausiai pirmosios skaičių poros (arba vieno skaičiaus) iš kairės, bet mažesnis už ją, ir paimkite to kvadratinio skaičiaus kvadratinę šaknį; gausite numerį n. Viršutiniame dešiniajame kampe parašykite n, o apačioje dešinėje - kvadratą.

      • Mūsų atveju pirmasis skaičius kairėje bus 7. Kitas – 4< 7, то есть 2 2 < 7 и n = 2. Напишите 2 сверху справа - это первая цифра в искомом квадратном корне. Напишите 2×2=4 справа снизу; вам понадобится это число для последующих вычислений.

   3. Iš pirmosios skaičių poros (arba vieno skaičiaus) kairėje atimkite ką tik rasto skaičiaus n kvadratą. Skaičiavimo rezultatą parašykite po dalimi (skaičiaus n kvadratu).

      • Mūsų pavyzdyje iš 7 atimkite 4 ir gaukite 3.

   4. Nuimkite antrą skaičių porą ir užrašykite ją šalia vertės, gautos atliekant ankstesnį veiksmą. Tada padvigubinkite skaičių viršuje dešinėje ir parašykite rezultatą apačioje dešinėje, pridėdami „_×_=".

      • Mūsų pavyzdyje antroji skaičių pora yra „80“. Parašykite "80" po 3. Tada padvigubinkite skaičių viršutiniame dešiniajame kampe, kad gautumėte 4. Apatiniame dešiniajame kampe parašykite "4_×_=".

   5. Dešinėje užpildykite tuščias vietas.

      • Mūsų atveju, jei vietoj brūkšnelių dėtume skaičių 8, tai 48 x 8 = 384, tai yra daugiau nei 380. Todėl 8 yra per didelis skaičius, bet tiks ir 7. Vietoj brūkšnelių parašykite 7 ir gaukite: 47 x 7 = 329. Viršuje dešinėje parašykite 7 – tai antrasis skaitmuo norimoje kvadratinėje šaknyje iš skaičiaus 780,14.

   6. Atimkite gautą skaičių iš esamo skaičiaus kairėje. Užrašykite ankstesnio veiksmo rezultatą po dabartiniu skaičiumi kairėje, suraskite skirtumą ir parašykite jį po dalimi.

      • Mūsų pavyzdyje iš 380 atimkite 329, kuris yra lygus 51.

   7. Pakartokite 4 veiksmą. Jei perkeliama skaičių pora yra pradinio skaičiaus trupmeninė dalis, tada reikiamoje kvadratinėje šaknyje viršuje dešinėje įdėkite skirtuką (kablelį) tarp sveikųjų ir trupmeninių dalių. Kairėje pusėje sumažinkite kitą skaičių porą. Padvigubinkite skaičių viršuje dešinėje ir parašykite rezultatą apačioje dešinėje, pridėdami „_×_=".

      • Mūsų pavyzdyje kita skaičių pora, kurią reikia pašalinti, bus trupmeninė skaičiaus 780.14 dalis, todėl įdėkite sveikojo skaičiaus ir trupmeninių dalių skyriklį į norimą kvadratinę šaknį viršutiniame dešiniajame kampe. Nuimkite 14 ir parašykite jį apatiniame kairiajame kampe. Dvigubas skaičius viršuje dešinėje (27) yra 54, todėl apačioje dešinėje parašykite „54_×_=".

   8. Pakartokite 5 ir 6 veiksmus. Raskite didžiausią skaičių vietoje brūkšnelių dešinėje (vietoj brūkšnelių reikia pakeisti tą patį skaičių), kad daugybos rezultatas būtų mažesnis arba lygus esamam skaičiui kairėje.

      • Mūsų pavyzdyje 549 x 9 = 4941, tai yra mažiau nei dabartinis skaičius kairėje (5114). Viršuje dešinėje parašykite 9 ir atimkite daugybos rezultatą iš esamo skaičiaus kairėje: 5114 - 4941 = 173.

   9. Jei reikia rasti daugiau kvadratinės šaknies skaičių po kablelio, dabartinio skaičiaus kairėje parašykite porą nulių ir kartokite 4, 5 ir 6 veiksmus. Kartokite veiksmus, kol gausite atsakymo tikslumą (skaitmenų po kablelio skaičių). reikia.

   Proceso supratimas

   Norėdami įvaldyti šį metodą, įsivaizduokite skaičių, kurio kvadratinę šaknį jums reikia rasti kaip kvadrato S plotą. Tokiu atveju ieškosite tokio kvadrato kraštinės L ilgio. Apskaičiuojame L reikšmę taip, kad L² = S.

   Kiekvienam atsakyme esančiam skaičiui pateikite po raidę. Pirmąjį L reikšmės skaitmenį pažymėkime A (norima kvadratinė šaknis). B bus antrasis skaitmuo, C – trečias ir pan.

   Kiekvienai pirmųjų skaitmenų porai nurodykite raidę. Pažymime S a pirmąją skaitmenų porą S reikšmėje, S b – antrąją skaitmenų porą ir pan.

   Supraskite ryšį tarp šio metodo ir ilgojo padalijimo. Lygiai taip pat, kaip dalijant, kai mus domina tik kitas kaskart dalijamo skaičiaus skaitmuo, skaičiuodami kvadratinę šaknį, nuosekliai apdorojame skaitmenų porą (kad gautume kitą kvadratinės šaknies skaitmenį) .

   1. Apsvarstykite pirmąją skaičiaus S skaitmenų Sa porą (mūsų pavyzdyje Sa = 7) ir raskite jos kvadratinę šaknį.Šiuo atveju pirmasis norimos kvadratinės šaknies reikšmės skaitmuo A bus skaitmuo, kurio kvadratas yra mažesnis arba lygus S a (tai yra, mes ieškome tokio A, kad nelygybė A² ≤ Sa< (A+1)²). В нашем примере, S1 = 7, и 2² ≤ 7 < 3²; таким образом A = 2.

      • Tarkime, kad reikia padalyti 88962 iš 7; čia pirmas žingsnis bus panašus: atsižvelgiame į pirmąjį dalijamojo skaičiaus skaitmenį 88962 (8) ir pasirenkame didžiausią skaičių, kurį padauginus iš 7 gauname reikšmę, mažesnę arba lygią 8. Tai yra, mes ieškome skaičius d, kurio nelygybė yra teisinga: 7 × d ≤ 8< 7×(d+1). В этом случае d будет равно 1.

   2. Psichiškai įsivaizduokite kvadratą, kurio plotą reikia apskaičiuoti. Jūs ieškote L, tai yra kvadrato, kurio plotas lygus S, kraštinės ilgio. A, B, C yra skaičiai L. Galite rašyti kitaip: 10A + B = L (jei dviženklis skaičius) arba 100A + 10B + C = L (triženkliam skaičiui) ir pan.

      • Leisti (10A+B)² = L² = S = 100A² + 2 × 10A × B + B². Atminkite, kad 10A+B yra skaičius, kuriame skaitmuo B reiškia vienetus, o skaitmuo A reiškia dešimtis. Pavyzdžiui, jei A=1 ir B=2, tai 10A+B yra lygus skaičiui 12. (10A+B)² yra visos aikštės plotas, 100A²- didelės vidinės aikštės plotas, B²- mažos vidinės aikštės plotas, 10A × B- kiekvieno iš dviejų stačiakampių plotas. Sudėjus aprašytų figūrų plotus, rasite pradinio kvadrato plotą.

Instrukcijos

Pasirinkite radikalaus skaičiaus daugiklį, kurio pašalinimas iš apačios šaknis iš tikrųjų yra išraiška – kitaip operacija praras . Pavyzdžiui, jei po ženklu šaknis kai rodiklis lygus trims (kubo šaknis), tai kainuoja numerį 128, tada iš po ženklo galite išimti, pvz. numerį 5. Kartu ir radikalus numerį 128 turės būti padalintas iš 5 kubelių: ³√128 = 5∗³√(128/5³) = 5∗³√(128/125) = 5∗³√1,024. Jei trupmeninio skaičiaus buvimas po ženklu šaknis neprieštarauja problemos sąlygoms, tuomet tai įmanoma tokia forma. Jei jums reikia paprastesnio varianto, pirmiausia suskaidykite radikaliąją išraišką į tokius sveikojo skaičiaus veiksnius, kurių vieno kubo šaknis bus sveikasis skaičius numerį m. Pavyzdžiui: ³√128 = ³√(64∗2) = ³√(4³∗2) = 4∗³√2.

Naudokite norėdami pasirinkti radikalaus skaičiaus veiksnius, jei neįmanoma apskaičiuoti skaičiaus galių jūsų galvoje. Tai ypač pasakytina apie šaknis m, kurio rodiklis didesnis nei du. Jei turite prieigą prie interneto, galite atlikti skaičiavimus naudodami Google ir Nigma paieškos sistemose įmontuotus skaičiuotuvus. Pavyzdžiui, jei reikia rasti didžiausią sveikojo skaičiaus koeficientą, kurį galima paimti iš po kubinio ženklo šaknis skaičiui 250, tada eikite į „Google“ svetainę ir įveskite užklausą „6^3“, kad patikrintumėte, ar galima jį pašalinti iš po ženklo šaknisšeši. Paieškos sistema parodys rezultatą, lygų 216. Deja, 250 negalima padalyti be likučio iš šio numerį. Tada įveskite užklausą 5^3. Rezultatas bus 125, o tai leidžia padalyti 250 į koeficientus 125 ir 2, o tai reiškia, kad jis bus pašalintas iš ženklo šaknis numerį 5, paliekant ten numerį 2.

Šaltiniai:

• kaip jį ištraukti iš po šaknų
• Kvadratinė produkto šaknis

Išimkite jį iš apačios šaknis vienas iš veiksnių yra būtinas situacijose, kai reikia supaprastinti matematinę išraišką. Yra atvejų, kai neįmanoma atlikti reikiamų skaičiavimų naudojant skaičiuotuvą. Pavyzdžiui, jei vietoj skaičių naudojami raidžių žymėjimai kintamiesiems.

Instrukcijos

Suskaidykite radikalią išraišką į paprastus veiksnius. Pažiūrėkite, kuris iš veiksnių kartojasi tiek pat kartų, nurodytas rodikliuose šaknis, arba daugiau. Pavyzdžiui, reikia paimti ketvirtąją a šaknį. Šiuo atveju skaičius gali būti pavaizduotas kaip a*a*a*a = a*(a*a*a)=a*a3. Rodiklis šaknisšiuo atveju jis atitiks veiksnys a3. Jį reikia išimti iš ženklo.

Jei įmanoma, gautų radikalų šaknis ištraukite atskirai. Ištraukimas šaknis yra algebrinė operacija, atvirkštinė eksponencijai. Ištraukimas šaknis savavališkos laipsnio, raskite skaičių iš skaičiaus, kurį pakėlus iki šios savavališkos laipsnio, bus gautas nurodytas skaičius. Jei ištraukimas šaknis negali būti gaminamas, po ženklu palikite radikalią išraišką šaknis kaip tik yra. Dėl aukščiau nurodytų veiksmų būsite pašalinti iš apačios ženklas šaknis.

Video tema

pastaba

Būkite atsargūs rašydami radikalias išraiškas faktorių forma - klaida šiame etape sukels neteisingus rezultatus.

Naudingas patarimas

Išgaunant šaknis patogu naudoti specialias lenteles arba logaritminių šaknų lenteles – taip gerokai sutrumpės laikas, per kurį reikia rasti teisingą sprendimą.

Šaltiniai:

• šaknų ištraukimo ženklas 2019 m

Supaprastinti algebrines išraiškas reikia daugelyje matematikos sričių, įskaitant aukštesnės eilės lygčių sprendimą, diferencijavimą ir integravimą. Naudojami keli metodai, įskaitant faktorizaciją. Norėdami pritaikyti šį metodą, turite rasti ir padaryti bendrą veiksnys už nugaros skliausteliuose.

Instrukcijos

Atliekant bendrą daugiklį skliausteliuose- vienas iš labiausiai paplitusių skaidymo būdų. Ši technika naudojama ilgų algebrinių išraiškų struktūrai supaprastinti, t.y. daugianario. Bendrasis skaičius gali būti skaičius, vienanaris arba dvinaris, o norint jį rasti, naudojama daugybos skirstomoji savybė.

Skaičius. Atidžiai pažiūrėkite į kiekvieno daugianario koeficientus, kad pamatytumėte, ar juos galima padalyti iš to paties skaičiaus. Pavyzdžiui, išraiškoje 12 z³ + 16 z² – 4 tai akivaizdu veiksnys 4. Po transformacijos gausite 4 (3 z³ + 4 z² - 1). Kitaip tariant, šis skaičius yra rečiausias visų koeficientų sveikųjų skaičių daliklis.

Nustatyti, ar tas pats kintamasis yra kiekviename daugianario naryje. Darant prielaidą, kad taip yra, dabar pažiūrėkite į koeficientus, kaip ir ankstesniu atveju. Pavyzdys: 9 z^4 – 6 z³ + 15 z² – 3 z.

Kiekvienas šio daugianario elementas turi kintamąjį z. Be to, visi koeficientai yra skaičiai, kurie yra 3 kartotiniai. Todėl bendras koeficientas bus monomialas 3 z:3 z (3 z³ – 2 z² + 5 z – 1).

Dvejetainė.Dėl skliausteliuose bendras veiksnys iš dviejų, kintamasis ir skaičius, kuris yra bendras daugianario. Todėl, jei veiksnys-Benomialas nėra akivaizdus, ​​tada reikia rasti bent vieną šaknį. Pasirinkite laisvąjį daugianario terminą, tai yra koeficientas be kintamojo. Dabar taikykite pakeitimo metodą į bendrą visų laisvojo termino sveikųjų skaičių daliklių išraišką.

Apsvarstykite: z^4 – 2 z³ + z² - 4 z + 4. Patikrinkite, ar kuris nors iš sveikųjų skaičių koeficientų 4 yra z^4 – 2 z³ + z² - 4 z + 4 = 0. Paprastu pakeitimu raskite z1 = 1 ir z2 = 2, o tai reiškia, kad skliausteliuose galime pašalinti dvejetainius (z - 1) ir (z - 2). Norėdami rasti likusią išraišką, naudokite nuoseklų ilgąjį padalijimą.