ზოგიერთი პრობლემის გადასაჭრელად, სასარგებლო იქნება ტრიგონომეტრიული იდენტობების ცხრილი, რაც ბევრად გააადვილებს ფუნქციის გარდაქმნების შესრულებას:

უმარტივესი ტრიგონომეტრიული იდენტობები

ალფა კუთხის სინუსის გაყოფის კოეფიციენტი იმავე კუთხის კოსინუსზე უდრის ამ კუთხის ტანგენტს (ფორმულა 1). აგრეთვე უმარტივესი ტრიგონომეტრიული იდენტობების გარდაქმნის სისწორის მტკიცებულება.
ალფას კუთხის კოსინუსის გაყოფის კოეფიციენტი იმავე კუთხის სინუსზე უდრის იმავე კუთხის კოტანგენტს (ფორმულა 2)
კუთხის სეკანტი ტოლია ერთის გაყოფილი იმავე კუთხის კოსინუსზე (ფორმულა 3)
ერთი და იგივე კუთხის სინუსის და კოსინუსის კვადრატების ჯამი უდრის ერთს (ფორმულა 4). აგრეთვე კოსინუსისა და სინუსების კვადრატების ჯამის დადასტურება.
ერთეულის ჯამი და კუთხის ტანგენსი უდრის ერთეულის შეფარდებას ამ კუთხის კოსინუსის კვადრატთან (ფორმულა 5)
ერთეული პლუს კუთხის კოტანგენსი უდრის ერთეულის ამ კუთხის სინუს კვადრატზე გაყოფის კოეფიციენტს (ფორმულა 6)
ერთი და იგივე კუთხის ტანგენსის და კოტანგენსის ნამრავლი უდრის ერთს (ფორმულა 7).

ტრიგონომეტრიული ფუნქციების უარყოფითი კუთხის გადაქცევა (ლუწი და კენტი)

იმისათვის, რომ თავი დააღწიოთ კუთხის ხარისხის საზომის უარყოფით მნიშვნელობას სინუსის, კოსინუსის ან ტანგენტის გაანგარიშებისას, შეგიძლიათ გამოიყენოთ შემდეგი ტრიგონომეტრიული გარდაქმნები (იდენტობები) ლუწი ან კენტი ტრიგონომეტრიული ფუნქციების პრინციპებზე დაყრდნობით.

Როგორც ვნახეთ, კოსინუსიდა სეკანტი არის ფუნქციაც კი, სინუსი, ტანგენსი და კოტანგენსი უცნაური ფუნქციებია.

უარყოფითი კუთხის სინუსი უდრის იმავე დადებითი კუთხის სინუსის უარყოფით მნიშვნელობას (ალფას სინუსს გამოკლებული).
კოსინუსი "მინუს ალფა" მისცემს იგივე მნიშვნელობას, რასაც ალფას კუთხის კოსინუსი.
ტანგენტი მინუს ალფა უდრის მინუს ტანგენტს ალფას.

ორმაგი კუთხის შემცირების ფორმულები (სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი და ორმაგი კუთხის კოტანგენსი)

თუ თქვენ გჭირდებათ კუთხის გაყოფა შუაზე, ან პირიქით, გადადით ორმაგი კუთხიდან ერთზე, შეგიძლიათ გამოიყენოთ შემდეგი ტრიგონომეტრიული იდენტობები:

ორმაგი კუთხის კონვერტაცია (ორმაგი კუთხის სინუსი, ორკუთხა კოსინუსი და ორმაგი კუთხის ტანგენსი) ერთში ხდება შემდეგი წესების მიხედვით:

ორმაგი კუთხის სინუსიუდრის ერთი კუთხის სინუსისა და კოსინუსის ნამრავლის ორჯერ

ორმაგი კუთხის კოსინუსიუდრის განსხვავებას ერთი კუთხის კოსინუსის კვადრატსა და ამ კუთხის სინუსის კვადრატს შორის

ორმაგი კუთხის კოსინუსიუდრის ერთი კუთხის კოსინუსის კვადრატის ორჯერ მინუს ერთი

ორმაგი კუთხის კოსინუსიუდრის ერთს გამოკლებული ერთი კუთხის ორმაგი სინუს კვადრატი

ორმაგი კუთხის ტანგენსიტოლია წილადისა, რომლის მრიცხველი ორჯერ აღემატება ერთი კუთხის ტანგენტს, ხოლო მნიშვნელი უდრის ერთს გამოკლებული ერთი კუთხის კვადრატის ტანგენსი.

ორკუთხა კოტანგენსიტოლია წილადისა, რომლის მრიცხველი არის ერთი კუთხის კოტანგენსის კვადრატი მინუს ერთი, ხოლო მნიშვნელი ტოლია ერთი კუთხის კოტანგენსის ორჯერ.

უნივერსალური ტრიგონომეტრიული ჩანაცვლების ფორმულები

ქვემოთ მოყვანილი კონვერტაციის ფორმულები შეიძლება გამოგადგეთ, როცა გჭირდებათ ტრიგონომეტრიული ფუნქციის არგუმენტი (sin α, cos α, tg α) გაყოთ ორზე და მიიყვანოთ გამოხატულება კუთხის ნახევარზე. α-ს მნიშვნელობიდან ვიღებთ α/2 .

ამ ფორმულებს ე.წ უნივერსალური ტრიგონომეტრიული ჩანაცვლების ფორმულები. მათი ღირებულება მდგომარეობს იმაში, რომ ტრიგონომეტრიული გამოხატულება მათი დახმარებით მცირდება ნახევარი კუთხის ტანგენტის გამოხატვამდე, მიუხედავად იმისა, თუ რა ტრიგონომეტრიული ფუნქციები (sin cos tg ctg) იყო თავდაპირველად გამოხატულებაში. ამის შემდეგ, განტოლება ნახევარი კუთხის ტანგენტით გაცილებით ადვილი ამოსახსნელია.

ტრიგონომეტრიული ნახევარკუთხის ტრანსფორმაციის იდენტობები

ქვემოთ მოცემულია ფორმულები კუთხის ნახევრის მნიშვნელობის მთელ რიცხვში ტრიგონომეტრიული გარდაქმნისთვის.
α/2 ტრიგონომეტრიული ფუნქციის არგუმენტის მნიშვნელობა მცირდება α ტრიგონომეტრიული ფუნქციის არგუმენტის მნიშვნელობამდე.

კუთხეების დამატების ტრიგონომეტრიული ფორმულები

cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

sin (α + β) = sin α cos β + sin β cos α

sin (α - β) = sin α cos β - sin β cos α
cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β

კუთხეების ჯამის ტანგენსი და კოტანგენსიალფა და ბეტა შეიძლება გარდაიქმნას ტრიგონომეტრიული ფუნქციების კონვერტაციის შემდეგი წესების მიხედვით:

კუთხეების ჯამის ტანგენსიტოლია წილადისა, რომლის მრიცხველი არის პირველი კუთხის ტანგენსის და მეორე კუთხის ტანგენსის ჯამი, ხოლო მნიშვნელი არის ერთი გამოკლებული პირველი კუთხის ტანგენსის და მეორე კუთხის ტანგენსის ნამრავლი.

კუთხის სხვაობის ტანგენტიტოლია წილადისა, რომლის მრიცხველი უდრის შემცირებული კუთხის ტანგენტსა და გამოკლებული კუთხის ტანგენტს შორის სხვაობას, ხოლო მნიშვნელი არის ერთი პლუს ამ კუთხეების ტანგენტების ნამრავლი.

კუთხეების ჯამის კოტანგენსიტოლია წილადისა, რომლის მრიცხველი უდრის ამ კუთხეების კოტანგენსების ნამრავლს პლუს ერთი, ხოლო მნიშვნელი უდრის სხვაობას მეორე კუთხის კოტანგენსსა და პირველი კუთხის კოტანგენსს შორის.

კუთხის სხვაობის კოტანგენსიტოლია წილადისა, რომლის მრიცხველი არის ამ კუთხეების კოტანგენსების ნამრავლი მინუს ერთი, ხოლო მნიშვნელი უდრის ამ კუთხეების კოტანგენსების ჯამს.

ეს ტრიგონომეტრიული იდენტობები მოსახერხებელია გამოსაყენებლად, როდესაც საჭიროა გამოთვალოთ, მაგალითად, 105 გრადუსიანი ტანგენსი (tg 105). თუ იგი წარმოდგენილია როგორც tg (45 + 60), მაშინ შეგიძლიათ გამოიყენოთ კუთხეების ჯამის ტანგენსის მოცემული იდენტური გარდაქმნები, რის შემდეგაც თქვენ უბრალოდ ჩაანაცვლებთ 45-ის ტანგენსის და ტანგენსის ცხრილის მნიშვნელობებს. 60 გრადუსიდან.

ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ჯამის ან სხვაობის გარდაქმნის ფორმულები

გამონათქვამები, რომლებიც წარმოადგენენ sin α + sin β ფორმის ჯამს, შეიძლება გარდაიქმნას შემდეგი ფორმულების გამოყენებით:

სამმაგი კუთხის ფორმულები - გადააკეთეთ sin3α cos3α tg3α sinα cosα tgα

ზოგჯერ საჭიროა კუთხის სამმაგი მნიშვნელობის გადაქცევა ისე, რომ კუთხე α გახდეს ტრიგონომეტრიული ფუნქციის არგუმენტი 3α-ის ნაცვლად.
ამ შემთხვევაში, შეგიძლიათ გამოიყენოთ ფორმულები (იდენტობები) სამმაგი კუთხის ტრანსფორმაციისთვის:

ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ნამრავლის გარდაქმნის ფორმულები

თუ საჭირო გახდება სხვადასხვა კუთხის კოსინუსების სხვადასხვა კუთხის სინუსების ნამრავლის კონვერტაცია, ან თუნდაც სინუსისა და კოსინუსის ნამრავლი, მაშინ შეგიძლიათ გამოიყენოთ შემდეგი ტრიგონომეტრიული იდენტობები:

ამ შემთხვევაში, სხვადასხვა კუთხის სინუსის, კოსინუსის ან ტანგენტის ფუნქციების ნამრავლი გარდაიქმნება ჯამად ან სხვაობად.

ტრიგონომეტრიული ფუნქციების შემცირების ფორმულები

თქვენ უნდა გამოიყენოთ ჩამოსხმის ცხრილი შემდეგნაირად. ხაზში აირჩიეთ ფუნქცია, რომელიც გვაინტერესებს. სვეტი არის კუთხე. მაგალითად, კუთხის (α+90) სინუსი პირველი მწკრივისა და პირველი სვეტის გადაკვეთაზე, აღმოვაჩენთ, რომ sin (α+90) = cos α .

როგორ მოვძებნოთ სინუსი?

გეომეტრიის შესწავლა ხელს უწყობს აზროვნების განვითარებას. ეს საგანი შეტანილია სასწავლო გეგმაში. ცხოვრებაში, ამ საგნის ცოდნა შეიძლება სასარგებლო იყოს - მაგალითად, ბინის დაგეგმვისას.

ისტორიიდან

გეომეტრიის კურსის ფარგლებში ასევე შეისწავლება ტრიგონომეტრია, რომელიც იკვლევს ტრიგონომეტრიულ ფუნქციებს. ტრიგონომეტრიაში ჩვენ ვსწავლობთ კუთხის სინუსებს, კოსინუსებს, ტანგენტებს და კოტანგენტებს.

მაგრამ ახლა, დავიწყოთ უმარტივესი - სინუსით. მოდით უფრო დეტალურად განვიხილოთ პირველივე კონცეფცია - კუთხის სინუსი გეომეტრიაში. რა არის სინუსი და როგორ მოვძებნოთ იგი?

ცნება "კუთხის სინუსი" და სინუსოიდები

კუთხის სინუსი არის მოპირდაპირე ფეხისა და მართკუთხა სამკუთხედის ჰიპოტენუზას მნიშვნელობების თანაფარდობა. ეს არის პირდაპირი ტრიგონომეტრიული ფუნქცია, რომელიც წერილობით იწერება როგორც "sin (x)", სადაც (x) არის სამკუთხედის კუთხე.

გრაფიკზე კუთხის სინუსი მითითებულია სინუსოიდით თავისი მახასიათებლებით. სინუსოიდი ჰგავს უწყვეტ ტალღოვან ხაზს, რომელიც დევს გარკვეულ საზღვრებში კოორდინატულ სიბრტყეზე. ფუნქცია კენტია, ამიტომ ის სიმეტრიულია კოორდინატულ სიბრტყეზე 0-ის მიმართ (ის ტოვებს კოორდინატების საწყისს).

ამ ფუნქციის დომენი დევს -1-დან +1-მდე დიაპაზონში დეკარტის კოორდინატულ სისტემაზე. სინუსური კუთხის ფუნქციის პერიოდი არის 2 Pi. ეს ნიშნავს, რომ ყოველი 2 Pi ნიმუში მეორდება და სინუსური ტალღა გადის სრულ ციკლს.

სინუსოიდური განტოლება

sin x = a / c
სადაც a არის სამკუთხედის კუთხის საპირისპირო ფეხი
გ - მართკუთხა სამკუთხედის ჰიპოტენუზა

კუთხის სინუსის თვისებები

sin(x) = - sin(x). ეს მახასიათებელი აჩვენებს, რომ ფუნქცია სიმეტრიულია და თუ მნიშვნელობები x და (-x) განზე იქნება კოორდინატთა სისტემაზე ორივე მიმართულებით, მაშინ ამ წერტილების ორდინატები საპირისპირო იქნება. ისინი ერთმანეთისგან თანაბარ მანძილზე იქნებიან.
ამ ფუნქციის კიდევ ერთი თვისებაა ის, რომ ფუნქციის გრაფიკი იზრდება სეგმენტზე [- P / 2 + 2 Pn]; [P/2 + 2Pn], სადაც n არის ნებისმიერი მთელი რიცხვი. სეგმენტზე შეინიშნება კუთხის სინუსის გრაფიკის შემცირება: [P / 2 + 2 Pn]; [3P/2 + 2Pn].
sin (x) > 0, როდესაც x არის დიაპაზონში (2Pn, P + 2Pn)
(x)< 0, когда х находится в диапазоне (-П+2Пn, 2Пn)

კუთხის სინუსების მნიშვნელობები განისაზღვრება სპეციალური ცხრილებით. ასეთი ცხრილები შეიქმნა რთული ფორმულებისა და განტოლებების გამოთვლის პროცესის გასაადვილებლად. მისი გამოყენება მარტივია და შეიცავს არა მხოლოდ sin(x) ფუნქციის, არამედ სხვა ფუნქციების მნიშვნელობებსაც.

უფრო მეტიც, ამ ფუნქციების სტანდარტული მნიშვნელობების ცხრილი შედის სავალდებულო მეხსიერების შესწავლაში, გამრავლების ცხრილის მსგავსად. ეს განსაკუთრებით ეხება ფიზიკური და მათემატიკური მიკერძოების მქონე კლასებს. ცხრილში შეგიძლიათ იხილოთ ტრიგონომეტრიაში გამოყენებული ძირითადი კუთხეების მნიშვნელობები: 0, 15, 30, 45, 60, 75, 90, 120, 135, 150, 180, 270 და 360 გრადუსი.

ასევე არსებობს ცხრილი, რომელიც განსაზღვრავს არასტანდარტული კუთხეების ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მნიშვნელობებს. სხვადასხვა ცხრილის გამოყენებით შეგიძლიათ მარტივად გამოთვალოთ ზოგიერთი კუთხის სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი და კოტანგენსი.

განტოლებები მზადდება ტრიგონომეტრიული ფუნქციებით. ამ განტოლებების ამოხსნა მარტივია, თუ იცით მარტივი ტრიგონომეტრიული იდენტობები და ფუნქციების შემცირება, მაგალითად, როგორიცაა sin (P / 2 + x) \u003d cos (x) და სხვა. ცალკე ცხრილიც შედგენილია ასეთი მსახიობებისთვის.

როგორ მოვძებნოთ კუთხის სინუსი

როდესაც ამოცანაა ვიპოვოთ კუთხის სინუსი, და პირობით ჩვენ გვაქვს მხოლოდ კუთხის კოსინუსი, ტანგენსი ან კოტანგენსი, ჩვენ შეგვიძლია მარტივად გამოვთვალოთ რა გვჭირდება ტრიგონომეტრიული იდენტობების გამოყენებით.

sin 2 x + cos 2 x = 1

ამ განტოლებიდან შეგვიძლია ვიპოვოთ სინუსიც და კოსინუსიც, იმისდა მიხედვით თუ რომელი მნიშვნელობა უცნობია. ჩვენ ვიღებთ ტრიგონომეტრიულ განტოლებას ერთი უცნობით:

sin 2 x = 1 - cos 2 x
sin x = ± √ 1 - cos 2 x
ctg 2 x + 1 = 1 / sin 2 x

ამ განტოლებიდან შეგიძლიათ იპოვოთ სინუსის მნიშვნელობა კუთხის კოტანგენსის მნიშვნელობის ცოდნით. გამარტივების მიზნით, შეცვალეთ sin 2 x = y და შემდეგ გექნებათ მარტივი განტოლება. მაგალითად, კოტანგენტის მნიშვნელობა არის 1, შემდეგ:

1 + 1 = 1/წ
2 = 1 / წ
2y = 1
y = 1/2

ახლა ჩვენ ვასრულებთ მოთამაშის საპირისპირო შეცვლას:

ცოდვა 2 x = ½
sin x = 1 / √2

ვინაიდან ჩვენ ავიღეთ კოტანგენტის მნიშვნელობა სტანდარტული კუთხისთვის (45 0), მიღებული მნიშვნელობები შეიძლება შემოწმდეს ცხრილის მიხედვით.

თუ თქვენ გაქვთ ტანგენტური მნიშვნელობა, მაგრამ უნდა იპოვოთ სინუსი, სხვა ტრიგონომეტრიული იდენტურობა დაგეხმარებათ:

tg x * ctg x = 1

Აქედან გამომდინარეობს, რომ:

ctg x = 1 / tg x

იმისათვის, რომ იპოვოთ არასტანდარტული კუთხის სინუსი, მაგალითად, 240 0, თქვენ უნდა გამოიყენოთ კუთხის შემცირების ფორმულები. ჩვენ ვიცით, რომ π შეესაბამება ჩვენთვის 180 0-ს. ამრიგად, ჩვენ გამოვხატავთ ჩვენს თანასწორობას სტანდარტული კუთხეების გამოყენებით გაფართოებით.

240 0 = 180 0 + 60 0

ჩვენ უნდა ვიპოვოთ შემდეგი: ცოდვა (180 0 + 60 0). ტრიგონომეტრიაში არსებობს შემცირების ფორმულები, რომლებიც სასარგებლოა ამ შემთხვევაში. ეს არის ფორმულა:

sin (π + x) = - ცოდვა (x)

ამრიგად, 240 გრადუსიანი კუთხის სინუსი არის:

ცოდვა (180 0 + 60 0) = - ცოდვა (60 0) = - √3/2

ჩვენს შემთხვევაში, x = 60 და P, შესაბამისად, 180 გრადუსი. ჩვენ ვიპოვეთ მნიშვნელობა (-√3/2) სტანდარტული კუთხეების ფუნქციების მნიშვნელობების ცხრილიდან.

ამ გზით შესაძლებელია არასტანდარტული კუთხეების დაშლა, მაგალითად: 210 = 180 + 30.

ტრიგონომეტრიის ძირითადი ფორმულები არის ფორმულები, რომლებიც ამყარებენ კავშირებს ძირითად ტრიგონომეტრიულ ფუნქციებს შორის. სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი და კოტანგენსი ურთიერთდაკავშირებულია მრავალი ურთიერთობით. ქვემოთ მოცემულია ძირითადი ტრიგონომეტრიული ფორმულები და მოხერხებულობისთვის ვაჯგუფებთ მათ დანიშნულების მიხედვით. ამ ფორმულების გამოყენებით თქვენ შეგიძლიათ გადაჭრათ თითქმის ნებისმიერი პრობლემა სტანდარტული ტრიგონომეტრიის კურსიდან. ჩვენ დაუყოვნებლივ აღვნიშნავთ, რომ ქვემოთ მოცემულია მხოლოდ თავად ფორმულები და არა მათი წარმოშობა, რომელსაც ცალკეული სტატიები დაეთმობა.

ტრიგონომეტრიის ძირითადი იდენტობები

ტრიგონომეტრიული იდენტობები იძლევა ურთიერთობას ერთი კუთხის სინუსს, კოსინუსს, ტანგენტსა და კოტანგენტს შორის, რაც საშუალებას აძლევს ერთი ფუნქციის გამოხატვას მეორე კუთხით.

ტრიგონომეტრიული იდენტობები

sin 2 a + cos 2 a = 1 t g α = sin α cos α , c t g α = cos α sin α t g α c t g α = 1 t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α , c t g 2 α + 1 = 1 sin 2α

ეს იდენტობები პირდაპირ გამომდინარეობს ერთეული წრის, სინუსის (sin), კოსინუსის (cos), ტანგენტის (tg) და კოტანგენტის (ctg) განმარტებებიდან.

ჩამოსხმის ფორმულები

ჩამოსხმის ფორმულები საშუალებას გაძლევთ გადახვიდეთ თვითნებური და თვითნებურად დიდი კუთხით სამუშაოდან 0-დან 90 გრადუსამდე კუთხით მუშაობაზე.

ჩამოსხმის ფორმულები

sin α + 2 π z = sin α , cos α + 2 π z = cos α t g α + 2 π z = t g α , c t g α + 2 π z = c t g α sin - α + 2 π z = - sin α , cos - α + 2 π z = cos α t g - α + 2 π z = - t g α , c t g - α + 2 π z = - c t g α sin π 2 + α + 2 π z = cos α , cos π 2 + α + 2 π z = - sin α t g π 2 + α + 2 π z = - c t g α , c t g π 2 + α + 2 π z = - t g α sin π 2 - α + 2 π z = cos α , cos π 2 - α + 2 π z = sin α t g π 2 - α + 2 π z = c t g α , c t g π 2 - α + 2 π z = t g α sin π + α + 2 π z = - sin α , cos π + α + 2 π z = - cos α t g π + α + 2 π z = t g α , c t g π + α + 2 π z = c t g α sin π - α + 2 π z = sin α , cos π - α + 2 π z = - cos α t g π - α + 2 π z = - t g α , c t g π - α + 2 π z = - c t g α sin 3 π 2 + α + 2 π z = - cos α , cos 3 π 2 + α + 2 π z = sin α t g 3 π 2 + α + 2 π z = - c t g α , c t g 3 π 2 + α + 2 π z = - t g α sin 3 π 2 - α + 2 π z = - cos α , cos 3 π 2 - α + 2 π z = - sin α t g 3 π 2 - α + 2 π z = c t g α , c t g 3 π 2 - α + 2 π z = t g α

შემცირების ფორმულები ტრიგონომეტრიული ფუნქციების პერიოდულობის შედეგია.

ტრიგონომეტრიული დამატების ფორმულები

ტრიგონომეტრიაში დამატების ფორმულები საშუალებას გაძლევთ გამოხატოთ კუთხეების ჯამის ან სხვაობის ტრიგონომეტრიული ფუნქცია ამ კუთხეების ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მიხედვით.

ტრიგონომეტრიული დამატების ფორმულები

sin α ± β = ცოდვა α cos β ± cos α sin β cos α + β = cos α cos β - ცოდვა α sin β cos α - β = cos α cos β + sin α sin β t g α ± β = t g α ± t g β 1 ± t g α t g β c t g α ± β = - 1 ± c t g α c t g β c t g α ± c t g β

დამატების ფორმულებზე დაყრდნობით, მიღებულია ტრიგონომეტრიული ფორმულები მრავალმხრივი კუთხისთვის.

მრავალი კუთხის ფორმულა: ორმაგი, სამმაგი და ა.შ.

ორმაგი და სამმაგი კუთხის ფორმულები

sin 2 α \u003d 2 sin α cos α cos 2 α \u003d cos 2 α - sin 2 α, cos 2 α \u003d 1 - 2 sin 2 α, cos 2 α \u003d 2 cos 2 α - 1 t g 2 α \ u003d 2 t g α 1 - t g 2 α t g 2 α \u003d ერთად t g 2 α - 1 2 t g α sin 3 α \u003d 3 sin α cos 2 α - sin 3 α, sin 3 α \u003d 3 sin α - 4 sin 3 α cos 3 α = cos 3 α - 3 sin 2 α cos α , cos 3 α = - 3 cos α + 4 cos 3 α t g 3 α = 3 t g α - t g 3 α 1 - 3 t g 2 α c t g 3 α = c t g 3 α - 3 c t g α 3 c t g 2 α - 1

ნახევარი კუთხის ფორმულები

ნახევარკუთხის ფორმულები ტრიგონომეტრიაში არის ორმაგი კუთხის ფორმულების შედეგი და გამოხატავს ურთიერთობას ნახევარკუთხის ძირითად ფუნქციებსა და მთელი კუთხის კოსინუსს შორის.

ნახევარი კუთხის ფორმულები

sin 2 α 2 = 1 - cos α 2 cos 2 α 2 = 1 + cos α 2 t g 2 α 2 = 1 - cos α 1 + cos α c t g 2 α 2 = 1 + cos α 1 - cos α

შემცირების ფორმულები

sin 2 α = 1 - cos 2 α 2 cos 2 α = 1 + cos 2 α 2 sin 3 α = 3 sin α - sin 3 α 4 cos 3 α = 3 cos α + cos 3 α 4 sin 4 α = 3 - 4 cos 2 α + cos 4 α 8 cos 4 α = 3 + 4 cos 2 α + cos 4 α 8

ხშირად, გამოთვლებში, მოუხერხებელია მუშაობა რთული ძალებით. ხარისხის შემცირების ფორმულები საშუალებას გაძლევთ შეამციროთ ტრიგონომეტრიული ფუნქციის ხარისხი თვითნებურად დიდიდან პირველამდე. აქ არის მათი ზოგადი შეხედულება:

შემცირების ზოგადი ფორმების ფორმულები

თუნდაც ნ

sin n α = C n 2 n 2 n + 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n 2 - 1 (- 1) n 2 - k C k n cos ((n - 2 k) α) cos n α = C n 2 n 2 n + 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n 2 - 1 C k n cos ((n - 2 k) α)

კენტი n-სთვის

sin n α = 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n - 1 2 (- 1) n - 1 2 - k C k n sin ((n - 2 k) α) cos n α = 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n - 1 2 C k n cos ((n - 2 k) α)

ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ჯამი და განსხვავება

ტრიგონომეტრიული ფუნქციების სხვაობა და ჯამი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ნამრავლის სახით. სინუსებისა და კოსინუსების განსხვავებების ფაქტორირება ძალიან მოსახერხებელია ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნისა და გამოსახულებების გამარტივებისას.

ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ჯამი და განსხვავება

sin α + sin β = 2 sin α + β 2 cos α - β 2 sin α - sin β = 2 sin α - β 2 cos α + β 2 cos α + cos β = 2 cos α + β 2 cos α - β 2 cos α - cos β \u003d - 2 sin α + β 2 sin α - β 2, cos α - cos β \u003d 2 sin α + β 2 sin β - α 2

ტრიგონომეტრიული ფუნქციების პროდუქტი

თუ ფუნქციების ჯამისა და განსხვავების ფორმულები საშუალებას გაძლევთ გადახვიდეთ მათ ნამრავლზე, მაშინ ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ნამრავლის ფორმულები ახორციელებენ საპირისპირო გადასვლას - ნამრავლიდან ჯამზე. განიხილება სინუსების, კოსინუსების და კოსინუსების ნამრავლის ფორმულები.

ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ნამრავლის ფორმულები

sin α sin β = 1 2 (cos (α - β) - cos (α + β)) cos α cos β = 1 2 (cos (α - β) + cos (α + β)) sin α cos β = 1 2 (sin (α - β) + ცოდვა (α + β))

უნივერსალური ტრიგონომეტრიული ჩანაცვლება

ყველა ძირითადი ტრიგონომეტრიული ფუნქცია - სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი და კოტანგენსი - შეიძლება გამოისახოს ნახევარი კუთხის ტანგენტის მიხედვით.

უნივერსალური ტრიგონომეტრიული ჩანაცვლება

sin α = 2 t g α 2 1 + t g 2 α 2 cos α = 1 - t g 2 α 2 1 + t g 2 α 2 t g α = 2 t g α 2 1 - t g 2 α 2 c t g α = 1 - t g 2 α 2 2 ტ გ α 2

თუ შეამჩნევთ შეცდომას ტექსტში, მონიშნეთ იგი და დააჭირეთ Ctrl+Enter

ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მნიშვნელობების ცხრილი

შენიშვნა. ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მნიშვნელობების ეს ცხრილი იყენებს √ ნიშანს კვადრატული ფესვის აღსანიშნავად. წილადის აღსანიშნავად - სიმბოლო "/".

იხილეთ ასევესასარგებლო მასალები:

ამისთვის ტრიგონომეტრიული ფუნქციის მნიშვნელობის განსაზღვრაიპოვეთ ის ტრიგონომეტრიული ფუნქციის მითითების წრფის გადაკვეთაზე. მაგალითად, 30 გრადუსიანი სინუსი - ჩვენ ვეძებთ სვეტს სათაურით sin (sine) და ვპოულობთ ცხრილის ამ სვეტის კვეთას ხაზთან "30 გრადუსი", მათ გადაკვეთაზე ვკითხულობთ შედეგს - ერთი. მეორე. ანალოგიურად, ჩვენ ვპოულობთ კოსინუსი 60გრადუსი, სინუსი 60გრადუსი (კიდევ ერთხელ, სინუს (სინუს) სვეტისა და 60 გრადუსიანი მწკრივის გადაკვეთაზე, ვპოულობთ მნიშვნელობას sin 60 = √3/2) და ა.შ. ანალოგიურად, გვხვდება სხვა "პოპულარული" კუთხეების სინუსების, კოსინუსების და ტანგენტების მნიშვნელობები.

პი-ს სინუსი, პი-ს კოსინუსი, პი-ს ტანგენსი და სხვა კუთხეები რადიანებში

ქვემოთ მოყვანილი კოსინუსების, სინუსების და ტანგენტების ცხრილი ასევე შესაფერისია ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მნიშვნელობის საპოვნელად, რომელთა არგუმენტიც არის მოცემულია რადიანებში. ამისათვის გამოიყენეთ კუთხის მნიშვნელობების მეორე სვეტი. ამის წყალობით, თქვენ შეგიძლიათ გადაიყვანოთ პოპულარული კუთხეების მნიშვნელობა გრადუსიდან რადიანამდე. მაგალითად, ვიპოვოთ 60 გრადუსიანი კუთხე პირველ სტრიქონში და წავიკითხოთ მისი მნიშვნელობა რადიანებში მის ქვეშ. 60 გრადუსი უდრის π/3 რადიანს.

რიცხვი pi ცალსახად გამოხატავს წრის გარშემოწერილობის დამოკიდებულებას კუთხის ხარისხის ზომაზე. ასე რომ, პი რადიანები უდრის 180 გრადუსს.

ნებისმიერი რიცხვი, რომელიც გამოხატულია pi-ში (რადიანი) ადვილად შეიძლება გარდაიქმნას ხარისხებად პი (π) რიცხვის 180-ით ჩანაცვლებით..

მაგალითები:
1. sine pi.
sin π = sin 180 = 0
ამრიგად, pi-ს სინუსი იგივეა, რაც 180 გრადუსის სინუსი და უდრის ნულს.

2. კოსინუსი პი.
cos π = cos 180 = -1
ამრიგად, pi-ს კოსინუსი იგივეა, რაც 180 გრადუსიანი კოსინუსი და უდრის მინუს ერთი.

3. ტანგენტი პი
tg π = tg 180 = 0
ამრიგად, pi-ს ტანგენსი იგივეა, რაც 180 გრადუსიანი ტანგენსი და უდრის ნულს.

სინუსის, კოსინუსის, ტანგენტის მნიშვნელობების ცხრილი 0 - 360 გრადუსი კუთხეებისთვის (ხშირი მნიშვნელობები)

კუთხე α (გრადუსები)	კუთხე α რადიანებში (pi-ს მეშვეობით)	ცოდვა (სინუსი)	cos (კოსინუსი)	ტგ (ტანგენტი)	ctg (კოტანგენსი)	წმ (სეკანტი)	მიზეზი (თანამედროვე)
0	0	0	1	0	-	1	-
15	π/12			2 - √3	2 + √3
30	π/6	1/2	√3/2	1/√3	√3	2/√3	2
45	π/4	√2/2	√2/2	1	1	√2	√2
60	π/3	√3/2	1/2	√3	1/√3	2	2/√3
75	5π/12			2 + √3	2 - √3
90	π/2	1	0	-	0	-	1
105	7π/12		-	- 2 - √3	√3 - 2
120	2π/3	√3/2	-1/2	-√3	-√3/3
135	3π/4	√2/2	-√2/2	-1	-1	-√2	√2
150	5π/6	1/2	-√3/2	-√3/3	-√3
180	π	0	-1	0	-	-1	-
210	7π/6	-1/2	-√3/2	√3/3	√3
240	4π/3	-√3/2	-1/2	√3	√3/3
270	3π/2	-1	0	-	0	-	-1
360	2π	0	1	0	-	1	-

თუ ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მნიშვნელობების ცხრილში, ფუნქციის მნიშვნელობის ნაცვლად, მითითებულია ტირე (ტანგენსი (tg) 90 გრადუსი, კოტანგენსი (ctg) 180 გრადუსი), მაშინ ხარისხის გაზომვის მოცემული მნიშვნელობისთვის. კუთხეს, ფუნქციას არ აქვს გარკვეული მნიშვნელობა. თუ ტირე არ არის, უჯრედი ცარიელია, ამიტომ ჯერ არ შეგვიყვანია სასურველი მნიშვნელობა. ჩვენ გვაინტერესებს რა მოთხოვნით მოდიან მომხმარებლები ჩვენთან და ავსებენ ცხრილს ახალი მნიშვნელობებით, მიუხედავად იმისა, რომ ყველაზე გავრცელებული კუთხის მნიშვნელობების კოსინუსების, სინუსების და ტანგენტების მნიშვნელობების შესახებ არსებული მონაცემები საკმარისია უმეტესობის გადასაჭრელად. პრობლემები.

ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მნიშვნელობების ცხრილი sin, cos, tg ყველაზე პოპულარული კუთხისთვის
0, 15, 30, 45, 60, 90 ... 360 გრადუსი
(რიცხობრივი მნიშვნელობები "ბრედისის ცხრილების მიხედვით")

კუთხის მნიშვნელობა α (გრადუსები)	α კუთხის მნიშვნელობა რადიანებში	ცოდვა (სინუსი)	cos (კოსინუსი)	tg (ტანგენსი)
0	0
15		0,2588	0,9659	0,2679
30		0,5000		0,5774
45		0,7071
		0,7660
60		0,8660	0,5000	1,7321

	7π/18

სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი და კოტანგენსი ცნებები ტრიგონომეტრიის ძირითადი კატეგორიებია - მათემატიკის ფილიალი და განუყოფლად არის დაკავშირებული კუთხის განსაზღვრასთან. ამ მათემატიკური მეცნიერების ფლობა მოითხოვს ფორმულებისა და თეორემების დამახსოვრებასა და გააზრებას, ასევე განვითარებულ სივრცით აზროვნებას. ამიტომ ტრიგონომეტრიული გამოთვლები ხშირად უქმნის სირთულეებს სკოლის მოსწავლეებსა და სტუდენტებს. მათ დასაძლევად უფრო მეტად უნდა გაეცნოთ ტრიგონომეტრიულ ფუნქციებს და ფორმულებს.

ცნებები ტრიგონომეტრიაში

ტრიგონომეტრიის ძირითადი ცნებების გასაგებად, ჯერ უნდა გადაწყვიტოთ რა არის მართკუთხა სამკუთხედი და კუთხე წრეში და რატომ არის დაკავშირებული ყველა ძირითადი ტრიგონომეტრიული გამოთვლა მათთან. სამკუთხედი, რომელშიც ერთ-ერთი კუთხე 90 გრადუსია, არის მართკუთხა სამკუთხედი. ისტორიულად, ამ ფიგურას ხშირად იყენებდნენ ადამიანები არქიტექტურაში, ნავიგაციაში, ხელოვნებაში, ასტრონომიაში. შესაბამისად, ამ ფიგურის თვისებების შესწავლისა და ანალიზის შედეგად, ადამიანები მივიდნენ მისი პარამეტრების შესაბამისი კოეფიციენტების გაანგარიშებამდე.

მართკუთხა სამკუთხედებთან დაკავშირებული ძირითადი კატეგორიებია ჰიპოტენუზა და ფეხები. ჰიპოტენუზა არის სამკუთხედის გვერდი, რომელიც მართი კუთხის საპირისპიროა. ფეხები, შესაბამისად, არის დანარჩენი ორი მხარე. ნებისმიერი სამკუთხედის კუთხეების ჯამი ყოველთვის 180 გრადუსია.

სფერული ტრიგონომეტრია არის ტრიგონომეტრიის ის განყოფილება, რომელიც არ არის შესწავლილი სკოლაში, მაგრამ გამოყენებით მეცნიერებებში, როგორიცაა ასტრონომია და გეოდეზია, მეცნიერები მას იყენებენ. სფერულ ტრიგონომეტრიაში სამკუთხედის თვისება ის არის, რომ მას ყოველთვის აქვს 180 გრადუსზე მეტი კუთხეების ჯამი.

სამკუთხედის კუთხეები

მართკუთხა სამკუთხედში კუთხის სინუსი არის სასურველი კუთხის მოპირდაპირე ფეხის თანაფარდობა სამკუთხედის ჰიპოტენუზასთან. შესაბამისად, კოსინუსი არის მიმდებარე ფეხისა და ჰიპოტენუზის თანაფარდობა. ორივე ამ მნიშვნელობას ყოველთვის აქვს ერთზე ნაკლები მნიშვნელობა, რადგან ჰიპოტენუზა ყოველთვის გრძელია ვიდრე ფეხი.

კუთხის ტანგენსი არის მნიშვნელობა, რომელიც უდრის მოპირდაპირე ფეხის შეფარდებას სასურველი კუთხის მეზობელ წვერთან, ან სინუსსა და კოსინუსს. კოტანგენსი, თავის მხრივ, არის სასურველი კუთხის მიმდებარე ფეხის თანაფარდობა მოპირდაპირე კაქტესთან. კუთხის კოტანგენსი ასევე შეიძლება მივიღოთ ერთეულის ტანგენსის მნიშვნელობაზე გაყოფით.

ერთეული წრე

ერთეული წრე გეომეტრიაში არის წრე, რომლის რადიუსი უდრის ერთს. ასეთი წრე აგებულია დეკარტის კოორდინატთა სისტემაში, წრის ცენტრი ემთხვევა წარმოშობის წერტილს, ხოლო რადიუსის ვექტორის საწყისი პოზიცია განისაზღვრება X ღერძის დადებითი მიმართულებით (აბსცისის ღერძი). წრის თითოეულ წერტილს აქვს ორი კოორდინატი: XX და YY, ანუ აბსცისა და ორდინატის კოორდინატები. XX სიბრტყეზე წრეზე ნებისმიერი წერტილის არჩევით და მისგან პერპენდიკულარულის აბსცისის ღერძზე ჩამოშვებით, მივიღებთ მართკუთხა სამკუთხედს, რომელიც წარმოიქმნება არჩეული წერტილის რადიუსით (მოდით ავღნიშნოთ იგი ასო C-ით), პერპენდიკულარული X ღერძი (გადაკვეთის წერტილი აღინიშნება ასო G) და სეგმენტი აბსცისის ღერძი საწყისს (წერტილი აღინიშნება ასო A) და გადაკვეთის წერტილი G შორის. შედეგად მიღებული სამკუთხედი ACG არის მართკუთხა სამკუთხედი, რომელიც ჩაწერილია წრე, სადაც AG არის ჰიპოტენუზა, ხოლო AC და GC არის ფეხები. კუთხე AC წრის რადიუსსა და აბსცისის ღერძის სეგმენტს შორის AG აღნიშვნით, ჩვენ განვსაზღვრავთ, როგორც α (ალფა). ასე რომ, cos α = AG/AC. იმის გათვალისწინებით, რომ AC არის ერთეული წრის რადიუსი და ის უდრის ერთს, გამოდის, რომ cos α=AG. ანალოგიურად, sin α=CG.

გარდა ამისა, ამ მონაცემების ცოდნით, შესაძლებელია წრეზე C წერტილის კოორდინატის დადგენა, ვინაიდან cos α=AG და sin α=CG, რაც ნიშნავს, რომ C წერტილს აქვს მოცემული კოორდინატები (cos α; sin α). იმის ცოდნა, რომ ტანგენსი უდრის სინუსის თანაფარდობას კოსინუსთან, შეგვიძლია განვსაზღვროთ, რომ tg α \u003d y / x და ctg α \u003d x / y. ნეგატიურ კოორდინატთა სისტემაში კუთხეების გათვალისწინებით, შეიძლება გამოვთვალოთ, რომ ზოგიერთი კუთხის სინუსის და კოსინუსის მნიშვნელობები შეიძლება იყოს უარყოფითი.

გამოთვლები და ძირითადი ფორმულები

ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მნიშვნელობები

ერთეული წრის მეშვეობით ტრიგონომეტრიული ფუნქციების არსის გათვალისწინებით, ჩვენ შეგვიძლია გამოვიტანოთ ამ ფუნქციების მნიშვნელობები ზოგიერთი კუთხისთვის. მნიშვნელობები ჩამოთვლილია ქვემოთ მოცემულ ცხრილში.

უმარტივესი ტრიგონომეტრიული იდენტობები

განტოლებებს, რომლებშიც არის უცნობი მნიშვნელობა ტრიგონომეტრიული ფუნქციის ნიშნის ქვეშ, ეწოდება ტრიგონომეტრიული. იდენტობები მნიშვნელობით sin x = α, k არის ნებისმიერი მთელი რიცხვი:

sin x = 0, x = πk.
2. sin x \u003d 1, x \u003d π / 2 + 2πk.
sin x \u003d -1, x \u003d -π / 2 + 2πk.
sin x = a, |a| > 1, გამოსავალი არ არის.
sin x = a, |a| ≦ 1, x = (-1)^k * arcsin α + πk.

იდენტობები cos x = a მნიშვნელობით, სადაც k არის ნებისმიერი მთელი რიცხვი:

cos x = 0, x = π/2 + πk.
cos x = 1, x = 2πk.
cos x \u003d -1, x \u003d π + 2πk.
cos x = a, |a| > 1, გამოსავალი არ არის.
cos x = a, |a| ≦ 1, х = ±arccos α + 2πk.

იდენტობები tg x = a მნიშვნელობით, სადაც k არის ნებისმიერი მთელი რიცხვი:

tg x = 0, x = π/2 + πk.
tg x \u003d a, x \u003d arctg α + πk.

იდენტობები მნიშვნელობით ctg x = a, სადაც k არის ნებისმიერი მთელი რიცხვი:

ctg x = 0, x = π/2 + πk.
ctg x \u003d a, x \u003d arcctg α + πk.

ჩამოსხმის ფორმულები

მუდმივი ფორმულების ეს კატეგორია აღნიშნავს მეთოდებს, რომლითაც შეგიძლიათ გადახვიდეთ ფორმის ტრიგონომეტრიული ფუნქციებიდან არგუმენტის ფუნქციებზე, ანუ გადაიყვანოთ ნებისმიერი მნიშვნელობის კუთხის სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი და კოტანგენსი კუთხის შესაბამის ინდიკატორებზე. ინტერვალი 0-დან 90 გრადუსამდე გამოთვლების მეტი მოხერხებულობისთვის.

კუთხის სინუსისთვის ფუნქციების შემცირების ფორმულები ასე გამოიყურება:

sin(900 - α) = α;
sin(900 + α) = cos α;
sin(1800 - α) = sin α;
sin(1800 + α) = -sin α;
sin(2700 - α) = -cos α;
sin(2700 + α) = -cos α;
sin(3600 - α) = -sin α;
sin(3600 + α) = sin α.

კუთხის კოსინუსისთვის:

cos(900 - α) = sin α;
cos(900 + α) = -sin α;
cos(1800 - α) = -cos α;
cos(1800 + α) = -cos α;
cos(2700 - α) = -sin α;
cos(2700 + α) = sin α;
cos(3600 - α) = cos α;
cos(3600 + α) = cos α.

ზემოაღნიშნული ფორმულების გამოყენება შესაძლებელია ორი წესის დაცვით. პირველი, თუ კუთხე შეიძლება იყოს წარმოდგენილი როგორც მნიშვნელობა (π/2 ± a) ან (3π/2 ± a), ფუნქციის მნიშვნელობა იცვლება:

ცოდვიდან კოსამდე;
კოსიდან ცოდვამდე;
tg-დან ctg-მდე;
ctg-დან tg-მდე.

ფუნქციის მნიშვნელობა უცვლელი რჩება, თუ კუთხე შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც (π ± a) ან (2π ± a).

მეორეც, შემცირებული ფუნქციის ნიშანი არ იცვლება: თუ თავდაპირველად დადებითი იყო, ასე რჩება. იგივე ეხება უარყოფით ფუნქციებს.

დამატების ფორმულები

ეს ფორმულები გამოხატავს ორი ბრუნვის კუთხის ჯამისა და სხვაობის სინუსის, კოსინუსის, ტანგენსის და კოტანგენსის მნიშვნელობებს მათი ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მიხედვით. კუთხეები ჩვეულებრივ აღინიშნება α და β.

ფორმულები ასე გამოიყურება:

sin(α ± β) = sin α * cos β ± cos α * sin.
cos(α ± β) = cos α * cos β ∓ sin α * sin.
tan(α ± β) = (tan α ± tan β) / (1 ∓ tan α * tan β).
ctg(α ± β) = (-1 ± ctg α * ctg β) / (ctg α ± ctg β).

ეს ფორმულები მოქმედებს ნებისმიერი α და β კუთხისთვის.

ორმაგი და სამმაგი კუთხის ფორმულები

ორმაგი და სამმაგი კუთხის ტრიგონომეტრიული ფორმულები არის ფორმულები, რომლებიც აკავშირებენ შესაბამისად 2α და 3α კუთხების ფუნქციებს α კუთხის ტრიგონომეტრიულ ფუნქციებთან. მიღებული დამატების ფორმულებიდან:

sin2α = 2sinα*cosα.
cos2α = 1 - 2sin^2α.
tg2α = 2tgα / (1 - tg^2 α).
sin3α = 3sinα - 4sin^3α.
cos3α = 4cos^3α - 3cosα.
tg3α = (3tgα - tg^3 α) / (1-tg^2 α).

ჯამიდან პროდუქტზე გადასვლა

იმის გათვალისწინებით, რომ 2sinx*cosy = sin(x+y) + sin(x-y), ამ ფორმულის გამარტივებით მივიღებთ იდენტურობას sinα + sinβ = 2sin(α + β)/2 * cos(α − β)/2. ანალოგიურად, sinα - sinβ = 2sin(α - β)/2 * cos(α + β)/2; cosα + cosβ = 2cos(α + β)/2 * cos(α − β)/2; cosα - cosβ = 2sin(α + β)/2 * sin(α − β)/2; tgα + tgβ = sin(α + β) / cosα * cosβ; tgα - tgβ = sin(α - β) / cosα * cosβ; cosα + sinα = √2sin(π/4 ∓ α) = √2cos(π/4 ± α).

პროდუქტიდან ჯამზე გადასვლა

ეს ფორმულები თანხის პროდუქტზე გადასვლის იდენტობიდან გამომდინარეობს:

sinα * sinβ = 1/2*;
cosα * cosβ = 1/2*;
sinα * cosβ = 1/2*.

შემცირების ფორმულები

ამ იდენტობებში, სინუსისა და კოსინუსის კვადრატული და კუბური სიმძლავრეები შეიძლება გამოიხატოს მრავალი კუთხის პირველი სიმძლავრის სინუსის და კოსინუსის მიხედვით:

sin^2 α = (1 - cos2α)/2;
cos^2α = (1 + cos2α)/2;
sin^3 α = (3 * sinα - sin3α)/4;
cos^3 α = (3 * cosα + cos3α)/4;
sin^4 α = (3 - 4cos2α + cos4α)/8;
cos^4 α = (3 + 4cos2α + cos4α)/8.

უნივერსალური ჩანაცვლება

უნივერსალური ტრიგონომეტრიული ჩანაცვლების ფორმულები გამოხატავს ტრიგონომეტრიულ ფუნქციებს ნახევარი კუთხის ტანგენტის მიხედვით.

sin x \u003d (2tgx / 2) * (1 + tg ^ 2 x / 2), ხოლო x \u003d π + 2πn;
cos x = (1 - tg^2 x/2) / (1 + tg^2 x/2), სადაც x = π + 2πn;
tg x \u003d (2tgx / 2) / (1 - tg ^ 2 x / 2), სადაც x \u003d π + 2πn;
ctg x \u003d (1 - tg ^ 2 x / 2) / (2tgx / 2), ხოლო x \u003d π + 2πn.

განსაკუთრებული შემთხვევები

უმარტივესი ტრიგონომეტრიული განტოლებების ცალკეული შემთხვევები მოცემულია ქვემოთ (k არის ნებისმიერი მთელი რიცხვი).

პირადი სინუსისთვის:

sin x მნიშვნელობა	x მნიშვნელობა
0	პკ
1	π/2 + 2πk
-1	-π/2 + 2πk
1/2	π/6 + 2πk ან 5π/6 + 2πk
-1/2	-π/6 + 2πk ან -5π/6 + 2πk
√2/2	π/4 + 2πk ან 3π/4 + 2πk
-√2/2	-π/4 + 2πk ან -3π/4 + 2πk
√3/2	π/3 + 2πk ან 2π/3 + 2πk
-√3/2	-π/3 + 2πk ან -2π/3 + 2πk

კოსინუსების კოეფიციენტები:

cos x მნიშვნელობა	x მნიშვნელობა
0	π/2 + 2πk
1	2 πკ
-1	2 + 2 πკ
1/2	±π/3 + 2πk
-1/2	±2π/3 + 2πk
√2/2	±π/4 + 2πk
-√2/2	±3π/4 + 2πk
√3/2	±π/6 + 2πk
-√3/2	±5π/6 + 2πk

პირადი ტანგენტისთვის:

tg x მნიშვნელობა	x მნიშვნელობა
0	პკ
1	π/4 + πk
-1	-π/4 + πk
√3/3	π/6 + πk
-√3/3	-π/6 + πk
√3	π/3 + πk
-√3	-π/3 + πk

კოტანგენტების კოეფიციენტები:

ctg x მნიშვნელობა	x მნიშვნელობა
0	π/2 + πk
1	π/4 + πk
-1	-π/4 + πk
√3	π/6 + πk
-√3	-π/3 + πk
√3/3	π/3 + πk
-√3/3	-π/3 + πk

თეორემები

სინუსების თეორემა

თეორემის ორი ვერსია არსებობს - მარტივი და გაფართოებული. მარტივი სინუსების თეორემა: a/sin α = b/sin β = c/sin γ. ამ შემთხვევაში, a, b, c არის სამკუთხედის გვერდები, ხოლო α, β, γ არის მოპირდაპირე კუთხეები, შესაბამისად.

გაფართოებული სინუსების თეორემა თვითნებური სამკუთხედისთვის: a/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2R. ამ იდენტურობაში R აღნიშნავს წრის რადიუსს, რომელშიც ჩაწერილია მოცემული სამკუთხედი.

კოსინუსების თეორემა

იდენტურობა აისახება ამ გზით: a^2 = b^2 + c^2 - 2*b*c*cos α. ფორმულაში a, b, c არის სამკუთხედის გვერდები, ხოლო α არის კუთხე a მოპირდაპირე მხარეს.

ტანგენტის თეორემა

ფორმულა გამოხატავს ურთიერთობას ორი კუთხის ტანგენტებსა და მათ მოპირდაპირე გვერდების სიგრძეს შორის. გვერდებს ეწერება a, b, c და შესაბამისი საპირისპირო კუთხეებია α, β, γ. ტანგენტის თეორემის ფორმულა: (a - b) / (a+b) = tg((α - β)/2) / tg((α + β)/2).

კოტანგენტის თეორემა

აკავშირებს სამკუთხედში ჩაწერილი წრის რადიუსს მისი გვერდების სიგრძესთან. თუ a, b, c არის სამკუთხედის გვერდები და A, B, C, შესაბამისად, მათი საპირისპირო კუთხეები, r არის ჩაწერილი წრის რადიუსი და p არის სამკუთხედის ნახევარპერიმეტრი, შემდეგი იდენტობები. გამართავს:

ctg A/2 = (p-a)/r;
ctg B/2 = (p-b)/r;
ctg C/2 = (p-c)/r.

აპლიკაციები

ტრიგონომეტრია არ არის მხოლოდ თეორიული მეცნიერება, რომელიც დაკავშირებულია მათემატიკურ ფორმულებთან. მისი თვისებები, თეორემები და წესები პრაქტიკაში გამოიყენება ადამიანის საქმიანობის სხვადასხვა დარგში - ასტრონომია, საჰაერო და საზღვაო ნავიგაცია, მუსიკის თეორია, გეოდეზია, ქიმია, აკუსტიკა, ოპტიკა, ელექტრონიკა, არქიტექტურა, ეკონომიკა, მანქანათმშენებლობა, საზომი სამუშაოები, კომპიუტერული გრაფიკა, კარტოგრაფია, ოკეანოგრაფია და მრავალი სხვა.

სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი და კოტანგენსი არის ტრიგონომეტრიის ძირითადი ცნებები, რომლითაც შეგიძლიათ მათემატიკურად გამოხატოთ კავშირი სამკუთხედის კუთხეებსა და გვერდების სიგრძეებს შორის და იპოვოთ სასურველი სიდიდეები იდენტობების, თეორემებისა და წესების საშუალებით.