ალბათობის თეორიის შესწავლა იწყება პრობლემების გადაჭრით, რომელიც მოიცავს ალბათობათა შეკრებას და გამრავლებას. დაუყოვნებლივ უნდა აღინიშნოს, რომ სტუდენტს შეიძლება შეექმნას პრობლემა ცოდნის ამ სფეროს დაუფლებისას: თუ ფიზიკური ან ქიმიური პროცესები შეიძლება ვიზუალურად იყოს წარმოდგენილი და გავიგოთ ემპირიულად, მაშინ მათემატიკური აბსტრაქციის დონე ძალიან მაღალია და აქ გაგება მხოლოდ. გამოცდილებით.

თუმცა, თამაში სანთლად ღირს, რადგან ფორმულები - როგორც ამ სტატიაში განხილული, ასევე უფრო რთული - დღეს ყველგან გამოიყენება და შეიძლება სასარგებლო იყოს სამუშაოში.

წარმოშობა

უცნაურია, მაგრამ მათემატიკის ამ დარგის განვითარების სტიმული იყო... აზარტული თამაშები. მართლაც, კამათელი, მონეტის სროლა, პოკერი, რულეტი ტიპიური მაგალითებია, რომლებიც იყენებენ ალბათობათა შეკრებას და გამრავლებას. ეს აშკარად ჩანს ნებისმიერ სახელმძღვანელოში არსებული პრობლემების მაგალითების გამოყენებით. ხალხს აინტერესებდა, როგორ გაეზარდათ გამარჯვების შანსები და უნდა ითქვას, რომ ზოგიერთმა ამაში წარმატებას მიაღწია.

მაგალითად, უკვე 21-ე საუკუნეში, ერთმა ადამიანმა, რომლის სახელს არ გავამჟღავნებთ, გამოიყენა საუკუნეების განმავლობაში დაგროვილი ეს ცოდნა კაზინოს ფაქტიურად „გასასუფთავებლად“, რულეტზე რამდენიმე ათეული მილიონი დოლარის მოგებით.

თუმცა, მიუხედავად ამ თემისადმი გაზრდილი ინტერესისა, მხოლოდ მე-20 საუკუნისთვის შეიქმნა თეორიული ჩარჩო, რომელმაც „თეორემა“ დაასრულა დღეს, თითქმის ნებისმიერ მეცნიერებაში შესაძლებელია გამოთვლების პოვნა ალბათური მეთოდების გამოყენებით.

გამოყენებადობა

მნიშვნელოვანი პუნქტი ალბათობებისა და პირობითი ალბათობის დამატებისა და გამრავლების ფორმულების გამოყენებისას არის ცენტრალური ლიმიტის თეორემის დაკმაყოფილება. წინააღმდეგ შემთხვევაში, მიუხედავად იმისა, რომ მოსწავლემ შეიძლება ვერ გააცნობიეროს ეს, ყველა გამოთვლა, რაც არ უნდა დამაჯერებლად ჩანდეს, არასწორი იქნება.

დიახ, ძალიან მოტივირებულ სტუდენტს ეძლევა ცდუნება გამოიყენოს ახალი ცოდნა ყველა შესაძლებლობის შემთხვევაში. მაგრამ შიგნით ამ შემთხვევაშიჩვენ ცოტა უნდა შევანელოთ და მკაცრად განვსაზღვროთ გამოყენების ფარგლები.

ალბათობის თეორია ეხება შემთხვევით მოვლენებს, რომლებიც ემპირიული თვალსაზრისით წარმოადგენენ ექსპერიმენტების შედეგებს: ჩვენ შეგვიძლია გავაბრტყელოთ ექვსმხრივი საყრდენი, დავხატოთ კარტი გემბანიდან, ვიწინასწარმეტყველოთ დეფექტური ნაწილების რაოდენობა პარტიაში. თუმცა, ზოგიერთ კითხვაში კატეგორიულად აკრძალულია მათემატიკის ამ განყოფილების ფორმულების გამოყენება. მოვლენის ალბათობების გათვალისწინების თავისებურებებს, მოვლენათა შეკრებისა და გამრავლების თეორემებს განვიხილავთ სტატიის ბოლოს, მაგრამ ახლა მოდით მივმართოთ მაგალითებს.

Ძირითადი ცნებები

შემთხვევითი მოვლენა ეხება გარკვეულ პროცესს ან შედეგს, რომელიც შეიძლება გამოჩნდეს ან არ გამოჩნდეს ექსპერიმენტის შედეგად. მაგალითად, ჩვენ ვაყრით სენდვიჩს - მას შეუძლია კარაქის გვერდით ან კარაქის გვერდით ქვევით. ორიდან რომელიმე შედეგი იქნება შემთხვევითი და წინასწარ არ ვიცით რომელი იქნება.

ალბათობათა შეკრებისა და გამრავლების შესწავლისას დაგვჭირდება კიდევ ორი ​​ცნება.

ასეთ მოვლენებს ერთობლივად უწოდებენ, რომელთაგან ერთის გაჩენა არ გამორიცხავს მეორის გაჩენას. ვთქვათ, ორი ადამიანი ერთდროულად ესვრიან მიზანს. თუ ერთ-ერთი მათგანი წარმატებულს გამოიმუშავებს, ეს არანაირად არ იმოქმედებს მეორის უნარზე, ხარის თვალში მოხვდეს ან გამოტოვოს.

შეუთავსებელი მოვლენები იქნება ის მოვლენები, რომელთა წარმოშობა ამავე დროს შეუძლებელია. მაგალითად, თუ ყუთიდან ამოიღებთ მხოლოდ ერთ ბურთს, ერთდროულად ვერ მიიღებთ ლურჯს და წითელს.

Დანიშნულება

ალბათობის ცნება აღინიშნება ლათინური დიდი ასოთი P. შემდეგ ფრჩხილებში არის გარკვეული მოვლენების აღმნიშვნელი არგუმენტები.

შეკრების თეორემის, პირობითი ალბათობის და გამრავლების თეორემის ფორმულებში ნახავთ გამონათქვამებს ფრჩხილებში, მაგალითად: A+B, AB ან A|B. ისინი გამოითვლება სხვადასხვა გზები, ახლა ჩვენ მივმართავთ მათ.

დამატება

განვიხილოთ შემთხვევები, როდესაც გამოიყენება ალბათობების დამატებისა და გამრავლების ფორმულები.

შეუთავსებელი მოვლენებისთვის, უმარტივესი მიმატების ფორმულა აქტუალურია: ნებისმიერი შემთხვევითი შედეგის ალბათობა ტოლი იქნება თითოეული ამ შედეგის ალბათობების ჯამის.

დავუშვათ, არის ყუთი 2 ლურჯი, 3 წითელი და 5 ყვითელი მარმარილოთი. ყუთში სულ 10 ნივთია. რა არის სიმართლე იმ განცხადებაში, რომ ჩვენ დავხატავთ ლურჯ ან წითელ ბურთს? ტოლი იქნება 2/10 + 3/10, ანუ ორმოცდაათი პროცენტი.

შეუთავსებელი მოვლენების შემთხვევაში, ფორმულა უფრო რთული ხდება, რადგან ემატება დამატებითი ტერმინი. დავუბრუნდეთ მას ერთ აბზაცში, სხვა ფორმულის განხილვის შემდეგ.

გამრავლება

ალბათობათა შეკრება და გამრავლება არ არის დამოკიდებული მოვლენებიგამოიყენება სხვადასხვა შემთხვევები. თუ, ექსპერიმენტის პირობების მიხედვით, დავკმაყოფილდებით ორი შესაძლო შედეგიდან რომელიმე, გამოვთვლით ჯამს; თუ გვსურს ერთმანეთის მიყოლებით მივიღოთ ორი გარკვეული შედეგი, მივმართავთ განსხვავებულ ფორმულას.

დავუბრუნდეთ წინა განყოფილების მაგალითს, გვინდა დავხატოთ ჯერ ლურჯი ბურთი და შემდეგ წითელი. ჩვენ ვიცით პირველი რიცხვი - ეს არის 2/10. Შემდეგ რა მოხდება? დარჩენილია 9 ბურთი, იგივე რაოდენობის წითელი ბურთი დარჩა - სამი. გათვლებით, ეს იქნება 3/9 ან 1/3. მაგრამ რა უნდა გავაკეთოთ ახლა ორ რიცხვთან? სწორი პასუხია გამრავლება 2/30-ის მისაღებად.

ერთობლივი ღონისძიებები

ახლა ჩვენ კვლავ შეგვიძლია მივმართოთ ერთობლივი ღონისძიებების ჯამის ფორმულას. რატომ დავშორდით თემას? იმის გასარკვევად, თუ როგორ მრავლდება ალბათობა. ახლა ჩვენ დაგვჭირდება ეს ცოდნა.

ჩვენ უკვე ვიცით, როგორი იქნება პირველი ორი წევრი (იგივე, რაც ადრე განხილულ მიმატების ფორმულაში), მაგრამ ახლა უნდა გამოვაკლოთ ალბათობების ნამრავლი, რომლის გამოთვლაც ახლახან ვისწავლეთ. სიცხადისთვის დავწეროთ ფორმულა: P(A+B) = P(A) + P(B) - P(AB). გამოდის, რომ ალბათობათა შეკრებაც და გამრავლებაც გამოიყენება ერთ გამოსახულებაში.

ვთქვათ, რომ კრედიტის მისაღებად ორი პრობლემისგან რომელიმე უნდა გადავჭრათ. პირველის ამოხსნა შეგვიძლია 0,3, ხოლო მეორე 0,6 ალბათობით. გამოსავალი: 0,3 + 0,6 - 0,18 = 0,72. გაითვალისწინეთ, რომ აქ რიცხვების უბრალოდ შეკრება საკმარისი არ იქნება.

პირობითი ალბათობა

და ბოლოს, არსებობს პირობითი ალბათობის ცნება, რომლის არგუმენტები მითითებულია ფრჩხილებში და გამოყოფილია ვერტიკალური ზოლით. ჩანაწერი P(A|B) იკითხება შემდეგნაირად: „A მოვლენის ალბათობა მოცემული მოვლენის B“.

მოდით შევხედოთ მაგალითს: მეგობარი გაძლევს მოწყობილობას, დაე ეს იყოს ტელეფონი. ის შეიძლება იყოს გატეხილი (20%) ან ხელუხლებელი (80%). თქვენ შეგიძლიათ შეაკეთოთ ნებისმიერი მოწყობილობა, რომელიც თქვენს ხელშია 0.4 ალბათობით, ან თქვენ არ შეგიძლიათ ამის გაკეთება (0.6). საბოლოოდ, თუ მოწყობილობა მუშა მდგომარეობაშია, შეგიძლიათ მიაღწიოთ სწორი ადამიანიალბათობით 0,7.

მარტივია იმის დანახვა, თუ როგორ მოქმედებს ამ შემთხვევაში პირობითი ალბათობა: ტელეფონი გაფუჭების შემთხვევაში ადამიანთან დაკავშირებას ვერ შეძლებთ, მაგრამ თუ ის მუშაობს, არ გჭირდებათ მისი შეკეთება. ამრიგად, იმისათვის, რომ მიიღოთ რაიმე შედეგი "მეორე დონეზე", თქვენ უნდა გაარკვიოთ, რა ღონისძიება განხორციელდა პირველ რიგში.

გამოთვლები

მოდით შევხედოთ პრობლემების გადაჭრის მაგალითებს, რომლებიც მოიცავს ალბათობათა შეკრებას და გამრავლებას წინა აბზაცის მონაცემების გამოყენებით.

პირველ რიგში, მოდით ვიპოვოთ იმის ალბათობა, რომ თქვენ შეაკეთეთ თქვენთვის მოცემული მოწყობილობა. ამისათვის, ჯერ ერთი, ის უნდა იყოს გაუმართავი და მეორეც, თქვენ უნდა შეძლოთ მისი გამოსწორება. ეს არის ტიპიური პრობლემა გამრავლების გამოყენებით: ვიღებთ 0.2 * 0.4 = 0.08.

რა არის იმის ალბათობა, რომ დაუყოვნებლივ მიაღწევთ სწორ ადამიანს? ეს ასე მარტივია: 0.8*0.7 = 0.56. ამ შემთხვევაში, თქვენ აღმოაჩინეთ, რომ ტელეფონი მუშაობს და წარმატებით განახორციელეთ ზარი.

დაბოლოს, განიხილეთ ეს სცენარი: იღებთ გაფუჭებულ ტელეფონს, გაასწორებთ მას, შემდეგ აკრიფეთ ნომერი და მეორე ბოლოზე მყოფი აიღებს. აქ უკვე უნდა გავამრავლოთ სამი კომპონენტი: 0.2*0.4*0.7 = 0.056.

რა უნდა გააკეთოთ, თუ ერთდროულად გაქვთ ორი არამუშა ტელეფონი? რამდენად სავარაუდოა, რომ გამოასწოროთ მინიმუმ ერთი მათგანი? ალბათობათა შეკრებაზე და გამრავლებაზე, ვინაიდან გამოიყენება ერთობლივი მოვლენები. ამოხსნა: 0.4 + 0.4 - 0.4*0.4 = 0.8 - 0.16 = 0.64. ამრიგად, თუ თქვენ მიიღებთ ორ გაფუჭებულ მოწყობილობას, თქვენ შეძლებთ მის გამოსწორებას შემთხვევების 64% -ში.

ფრთხილად გამოყენება

როგორც სტატიის დასაწყისში ითქვა, ალბათობის თეორიის გამოყენება უნდა იყოს მიზანმიმართული და შეგნებული.

რაც უფრო დიდია ექსპერიმენტების სერია, მით უფრო უახლოვდება თეორიულად პროგნოზირებული მნიშვნელობა პრაქტიკაში მიღებულს. მაგალითად, ჩვენ ვყრით მონეტას. თეორიულად, თუ ვიცით ალბათობათა შეკრებისა და გამრავლების ფორმულების არსებობის შესახებ, შეგვიძლია ვიწინასწარმეტყველოთ, რამდენჯერ გამოჩნდება „თავი“ და „კუდები“, თუ ექსპერიმენტს 10-ჯერ ჩავატარებთ. ჩვენ ჩავატარეთ ექსპერიმენტი და შემთხვევით დახატული მხარეების თანაფარდობა იყო 3-დან 7-მდე. მაგრამ თუ ჩავატარებთ 100, 1000 ან მეტი მცდელობის სერიას, გამოდის, რომ განაწილების გრაფიკი უფრო და უფრო უახლოვდება თეორიულს: 44-დან 56-მდე, 482-დან 518-მდე და ა.შ.

ახლა წარმოიდგინეთ, რომ ეს ექსპერიმენტი ტარდება არა მონეტით, არამედ ახლის წარმოებით ქიმიური ნივთიერება, რომლის ალბათობაც არ ვიცით. ჩვენ ჩავატარებდით 10 ექსპერიმენტს და წარმატებული შედეგის გარეშე განვაზოგადებდით: „შეუძლებელია ნივთიერების მიღება“. მაგრამ ვინ იცის, მეთერთმეტე მცდელობა რომ გაგვეკეთებინა, მივაღწევდით თუ არა მიზანს?

ასე რომ, თუ თქვენ მიდიხართ უცნობში, შეუსწავლელ მხარეში, ალბათობის თეორია შეიძლება არ იყოს გამოყენებული. ყოველი შემდგომი მცდელობა ამ შემთხვევაში შეიძლება იყოს წარმატებული და განზოგადებები, როგორიცაა "X არ არსებობს" ან "X შეუძლებელია" ნაადრევი იქნება.

დასკვნითი სიტყვა

ასე რომ, ჩვენ განვიხილეთ შეკრების ორი ტიპი, გამრავლება და პირობითი ალბათობა. ამ სფეროს შემდგომი შესწავლით, აუცილებელია ვისწავლოთ სიტუაციების გარჩევა, როდესაც გამოიყენება თითოეული კონკრეტული ფორმულა. გარდა ამისა, თქვენ უნდა წარმოიდგინოთ, არის თუ არა ალბათური მეთოდები ზოგადად გამოყენებული თქვენი პრობლემის გადასაჭრელად.

თუ ივარჯიშებთ, გარკვეული პერიოდის შემდეგ დაიწყებთ ყველა საჭირო ოპერაციის განხორციელებას ექსკლუზიურად გონებაში. ვისაც აინტერესებს კარტის თამაშები, ეს უნარი შეიძლება ჩაითვალოს უაღრესად ღირებულად - თქვენ მნიშვნელოვნად გაზრდით მოგების შანსებს მხოლოდ კონკრეტული ბარათის ან კოსტუმის ამოვარდნის ალბათობის გამოთვლით. თუმცა, თქვენ შეგიძლიათ მარტივად იპოვოთ მიღებული ცოდნის გამოყენება საქმიანობის სხვა სფეროებში.

ალბათობის შეკრებისა და გამრავლების თეორემები.
დამოკიდებული და დამოუკიდებელი მოვლენები

სათაური საშინლად გამოიყურება, მაგრამ სინამდვილეში ყველაფერი ძალიან მარტივია. ჩართულია ეს გაკვეთილიჩვენ გავეცნობით მოვლენათა ალბათობების შეკრების და გამრავლების თეორემებს, ასევე გავაანალიზებთ ტიპურ ამოცანებს, რომლებიც ალბათობის კლასიკური განსაზღვრის პრობლემააუცილებლად შეხვდებით ან, უფრო სავარაუდოა, უკვე შეგხვედრიათ გზაში. ამისთვის ეფექტური სწავლაამ სტატიის მასალები თქვენ უნდა იცოდეთ და გაიგოთ ძირითადი ტერმინები ალბათობის თეორიადა შეძლოს უმარტივესი არითმეტიკული მოქმედებები. როგორც ხედავთ, ძალიან ცოტაა საჭირო და, შესაბამისად, აქტივში მსუქანი პლუსი თითქმის გარანტირებულია. მაგრამ მეორეს მხრივ, მე კვლავ ვაფრთხილებ პრაქტიკული მაგალითებისადმი ზედაპირული დამოკიდებულების წინააღმდეგ - ასევე არსებობს უამრავი დახვეწილობა. Წარმატებები:

შეუთავსებელი მოვლენების ალბათობების დამატების თეორემა: ორიდან ერთის გაჩენის ალბათობა შეუთავსებელიმოვლენები ან (არ აქვს მნიშვნელობა რა), უდრის ამ მოვლენების ალბათობების ჯამს:

მსგავსი ფაქტი ეხება შეუთავსებელი მოვლენების უფრო დიდ რაოდენობას, მაგალითად, სამი შეუთავსებელი მოვლენისთვის და:

თეორემა სიზმარია =) თუმცა, ასეთი სიზმარი ექვემდებარება მტკიცებას, რომელიც შეიძლება მოიძებნოს, მაგალითად, სახელმძღვანელოვ.ე. გმურმანი.

მოდით გავეცნოთ ახალ, აქამდე უცნობ ცნებებს:

დამოკიდებული და დამოუკიდებელი მოვლენები

დავიწყოთ დამოუკიდებელი ღონისძიებებით. მოვლენები არის დამოუკიდებელი თუ დადგომის ალბათობაა ნებისმიერი მათგანი არ არის დამოკიდებულიგანსახილველი ნაკრების სხვა მოვლენების გამოჩენა/გამოუჩენლობაზე (ყველა შესაძლო კომბინაციაში). ...მაგრამ რატომ იწუხებთ ზოგადი ფრაზების მოსინჯვას:

დამოუკიდებელი მოვლენების ალბათობების გამრავლების თეორემა: დამოუკიდებელი მოვლენების ერთობლივი წარმოშობის ალბათობა და უდრის ამ მოვლენების ალბათობების ნამრავლს:

დავუბრუნდეთ 1-ლი გაკვეთილის უმარტივეს მაგალითს, რომელშიც ორი მონეტა ყრიან და შემდეგ მოვლენებს:

– თავები გამოჩნდება პირველ მონეტაზე;
- მე-2 მონეტაზე თავები გამოჩნდება.

მოდი ვიპოვოთ მოვლენის ალბათობა (თავები გამოჩნდება პირველ მონეტაზე დამე-2 მონეტაზე არწივი გამოჩნდება - დაიმახსოვრე როგორ უნდა წაიკითხო მოვლენების პროდუქტი!) . ერთ მონეტაზე თავების ალბათობა არანაირად არ არის დამოკიდებული მეორე მონეტის გადაყრის შედეგზე, შესაბამისად, მოვლენები დამოუკიდებელია.

ანალოგიურად:
– ალბათობა იმისა, რომ 1-ლი მონეტა მოხვდება თავებს დამე-2 კუდებზე;
– ალბათობა იმისა, რომ თავები გამოჩნდება პირველ მონეტაზე დამე-2 კუდებზე;
– ალბათობა იმისა, რომ პირველ მონეტაზე თავები გამოჩნდება დამე-2 არწივზე.

გაითვალისწინეთ, რომ მოვლენები ყალიბდება სრული ჯგუფიხოლო მათი ალბათობათა ჯამი ერთის ტოლია: .

გამრავლების თეორემა აშკარად ვრცელდება დამოუკიდებელი მოვლენების უფრო დიდ რაოდენობაზე, მაგალითად, თუ მოვლენები დამოუკიდებელია, მაშინ მათი ერთობლივი წარმოშობის ალბათობა უდრის: . მოდით ვივარჯიშოთ კონკრეტული მაგალითები:

პრობლემა 3

სამი ყუთიდან თითოეული შეიცავს 10 ნაწილს. პირველი ყუთი შეიცავს 8 სტანდარტულ ნაწილს, მეორე – 7, მესამე – 9. თითოეული ყუთიდან შემთხვევით ამოღებულია ერთი ნაწილი. იპოვეთ ალბათობა, რომ ყველა ნაწილი სტანდარტული იქნება.

გამოსავალი: ნებისმიერი ყუთიდან სტანდარტული ან არასტანდარტული ნაწილის გამოტანის ალბათობა არ არის დამოკიდებული იმაზე, თუ რა ნაწილებია აღებული სხვა ყუთებიდან, ამიტომ პრობლემა ეხება დამოუკიდებელ მოვლენებს. განვიხილოთ შემდეგი დამოუკიდებელი მოვლენები:

– 1-ლი ყუთიდან ამოღებულია სტანდარტული ნაწილი;
– მე-2 ყუთიდან ამოღებულია სტანდარტული ნაწილი;
– მე-3 ყუთიდან ამოღებულია სტანდარტული ნაწილი.

კლასიკური განმარტების მიხედვით:
არის შესაბამისი ალბათობები.

ჩვენთვის საინტერესო ღონისძიება (სტანდარტული ნაწილი ამოღებულია 1-ლი ყუთიდან დამე-2 სტანდარტიდან დამე-3 სტანდარტიდან)გამოიხატება პროდუქტით.

დამოუკიდებელი მოვლენების ალბათობების გამრავლების თეორემის მიხედვით:

– ალბათობა იმისა, რომ ერთი სტანდარტული ნაწილი ამოღებულია სამი ყუთიდან.

უპასუხე: 0,504

ყუთებით გამამხნევებელი ვარჯიშების შემდეგ, არანაკლებ საინტერესო ურნები გველოდებიან:

პრობლემა 4

სამი ურნა შეიცავს 6 თეთრ და 4 შავ ბურთს. თითოეული ურნიდან შემთხვევით იშლება ერთი ბურთი. იპოვეთ ალბათობა, რომ: ა) სამივე ბურთი იყოს თეთრი; ბ) სამივე ბურთი ერთნაირი ფერის იქნება.

მიღებული ინფორმაციის საფუძველზე გამოიცანით როგორ მოიქცეთ „იყოს“ პუნქტთან ;-) სავარაუდო ნიმუშიგადაწყვეტილებები შექმნილია აკადემიურ სტილში ყველა მოვლენის დეტალური ჩამონათვალით.

დამოკიდებული მოვლენები. ღონისძიება ე.წ დამოკიდებული თუ მისი ალბათობაა დამოკიდებულიაერთი ან მეტი მოვლენიდან, რომელიც უკვე მოხდა. თქვენ არ გჭირდებათ შორს წასვლა მაგალითებისთვის - უბრალოდ გადადით უახლოეს მაღაზიაში:

– გაყიდვაში იქნება ხვალ 19:00 საათზე ახალი პური.

ამ ღონისძიების ალბათობა ბევრ სხვა მოვლენაზეა დამოკიდებული: ხვალ მიეწოდება თუ არა ახალი პური, გაიყიდება თუ არა საღამოს 7 საათამდე და ა.შ. დამოკიდებულია იმაზე სხვადასხვა გარემოებებიეს მოვლენა შეიძლება იყოს სანდო ან შეუძლებელი. ასე რომ, ღონისძიება დამოკიდებული.

პური... და, როგორც რომაელები მოითხოვდნენ, ცირკები:

– გამოცდაზე სტუდენტი მიიღებს მარტივ ბილეთს.

თუ პირველი არ ხართ, მაშინ ღონისძიება იქნება დამოკიდებული, რადგან მისი ალბათობა დამოკიდებული იქნება იმაზე, თუ რა ბილეთები უკვე გათამაშებულია თანაკლასელების მიერ.

როგორ განვსაზღვროთ მოვლენების დამოკიდებულება/დამოუკიდებლობა?

ზოგჯერ ეს პირდაპირ არის მითითებული პრობლემის განცხადებაში, მაგრამ ყველაზე ხშირად თქვენ უნდა ჩაატაროთ დამოუკიდებელი ანალიზი. აქ არ არსებობს ცალსახა მიმართულება და მოვლენათა დამოკიდებულების ან დამოუკიდებლობის ფაქტი ბუნებრივი ლოგიკური მსჯელობიდან გამომდინარეობს.

იმისათვის, რომ ყველაფერი ერთ გროვად არ გადაიტანოთ, ამოცანები დამოკიდებული მოვლენებისთვისმე გამოვყოფ შემდეგ გაკვეთილს, მაგრამ ახლა განვიხილავთ თეორემების ყველაზე გავრცელებულ კომპლექტს პრაქტიკაში:

ამოცანები შეკრების თეორემებზე შეუთავსებელი ალბათობებისთვის
და დამოუკიდებელი მოვლენების ალბათობების გამრავლება

ეს ტანდემი, ჩემი სუბიექტური შეფასებით, მუშაობს განსახილველ თემაზე ამოცანების დაახლოებით 80%-ში. ჰიტების დარტყმა და ალბათობის თეორიის ნამდვილი კლასიკა:

პრობლემა 5

ორმა მსროლელმა თითო გასროლა მიზანში ესროლა. პირველი მსროლელისთვის დარტყმის ალბათობა არის 0,8, მეორის - 0,6. იპოვეთ ალბათობა, რომ:

ა) მხოლოდ ერთი მსროლელი მოხვდება მიზანში;
ბ) ერთ-ერთი მსროლელი მაინც მოხვდება მიზანში.

გამოსავალი: ერთი მსროლელის დარტყმის/გაშვების სიხშირე აშკარად დამოუკიდებელია მეორე მსროლელის შესრულებისგან.

განვიხილოთ მოვლენები:
– პირველი მსროლელი მოხვდება მიზანში;
- მე-2 მსროლელი მოხვდება მიზანში.

პირობით: .

მოდი ვიპოვოთ საპირისპირო მოვლენების ალბათობა - რომ შესაბამისი ისრები გამოტოვებენ:

ა) განიხილეთ მოვლენა: – მხოლოდ ერთი მსროლელი მოხვდება მიზანს. ეს მოვლენა შედგება ორი შეუთავსებელი შედეგისგან:

1-ლი მსროლელი მოხვდება დამე-2 გამოტოვებს
ან
1-ლი გამოტოვებს დამე-2 მოხვდება.

ენაზე მოვლენის ალგებრებიეს ფაქტი შემდეგი ფორმულით დაიწერება:

ჯერ ვიყენებთ თეორემას შეუთავსებელი მოვლენების ალბათობის დასამატებლად, შემდეგ თეორემას დამოუკიდებელი მოვლენების ალბათობის გასამრავლებლად:

– ალბათობა იმისა, რომ იქნება მხოლოდ ერთი დარტყმა.

ბ) განიხილეთ მოვლენა: – ერთი მსროლელი მაინც ხვდება მიზანს.

უპირველეს ყოვლისა, მოდი ვიფიქროთ - რას ნიშნავს პირობა „ერთი მაინც“? ამ შემთხვევაში, ეს ნიშნავს, რომ ან 1-ლი მსროლელი მოხვდება (მე-2 გამოტოვებს) ანმე-2 (1-ს გამოტოვებს) ანორივე მსროლელი ერთდროულად - სულ 3 შეუთავსებელი შედეგი.

მეთოდი პირველი: წინა წერტილის მზა ალბათობის გათვალისწინებით, მოსახერხებელია მოვლენის წარმოდგენა, როგორც შემდეგი შეუთავსებელი მოვლენების ჯამი:

ვიღაც მოხვდება იქ (მოვლენა, რომელიც თავის მხრივ შედგება 2 შეუთავსებელი შედეგისგან) ან
თუ ორივე ისარი მოხვდა, ჩვენ აღვნიშნავთ ამ მოვლენას ასოთი.

ამრიგად:

დამოუკიდებელი მოვლენების ალბათობების გამრავლების თეორემის მიხედვით:
– ალბათობა იმისა, რომ პირველი მსროლელი მოხვდება დამე-2 მსროლელი მოხვდება.

შეუთავსებელი მოვლენების ალბათობების დამატების თეორემის მიხედვით:
- სამიზნეზე მინიმუმ ერთი დარტყმის ალბათობა.

მეთოდი მეორე: განვიხილოთ საპირისპირო მოვლენა: – ორივე მსროლელი გამოტოვებს.

დამოუკიდებელი მოვლენების ალბათობების გამრავლების თეორემის მიხედვით:

Როგორც შედეგი:

Განსაკუთრებული ყურადღებაყურადღება მიაქციეთ მეორე მეთოდს – ზოგადად, ის უფრო რაციონალურია.

გარდა ამისა, არსებობს მისი გადაჭრის ალტერნატიული, მესამე გზა, ერთობლივი მოვლენების დამატების თეორემაზე დაყრდნობით, რომელიც ზემოთ არ იყო ნახსენები.

! თუ მასალას პირველად ეცნობით, მაშინ დაბნეულობის თავიდან ასაცილებლად, უმჯობესია გამოტოვოთ შემდეგი აბზაცი.

მეთოდი სამი : მოვლენები თავსებადია, რაც ნიშნავს, რომ მათი ჯამი გამოხატავს მოვლენას „მინიმუმ ერთი მსროლელი მოხვდება მიზანში“ (იხ. მოვლენათა ალგებრა). ავტორი ერთობლივი მოვლენების ალბათობების დამატების თეორემადა დამოუკიდებელი მოვლენების ალბათობების გამრავლების თეორემა:

შევამოწმოთ: მოვლენები და (0, 1 და 2 დარტყმა შესაბამისად)შექმენით სრული ჯგუფი, ამიტომ მათი ალბათობების ჯამი უნდა იყოს ერთი:
, რაც შესამოწმებელი იყო.

უპასუხე:

ალბათობის თეორიის საფუძვლიანი შესწავლით, თქვენ წააწყდებით ათეულობით პრობლემას მილიტარისტული შინაარსით და, დამახასიათებელია, რომ ამის შემდეგ არ მოგინდებათ ვინმეს სროლა - პრობლემები თითქმის საჩუქარია. რატომ არ უნდა გაამარტივოთ შაბლონიც? შევამოკლოთ ჩანაწერი:

გამოსავალი: პირობით: , – შესაბამის მსროლელებზე დარტყმის ალბათობა. შემდეგ მათი გამოტოვების ალბათობა:

ა) შეუთავსებლობის ალბათობების შეკრების და დამოუკიდებელი მოვლენების ალბათობების გამრავლების თეორემების მიხედვით:
– ალბათობა იმისა, რომ მხოლოდ ერთი მსროლელი მოხვდება მიზანში.

ბ) დამოუკიდებელი მოვლენების ალბათობათა გამრავლების თეორემის მიხედვით:
– ალბათობა იმისა, რომ ორივე მსროლელი გამოტოვებს.

შემდეგ: – ალბათობა იმისა, რომ ერთ-ერთი მსროლელი მაინც მოხვდება მიზანში.

უპასუხე:

პრაქტიკაში, შეგიძლიათ გამოიყენოთ ნებისმიერი დიზაინის ვარიანტი. რა თქმა უნდა, ბევრად უფრო ხშირად მიდიან მოკლე მარშრუტზე, მაგრამ არ უნდა დაგვავიწყდეს პირველი მეთოდი - თუმცა უფრო გრძელია, მაგრამ უფრო აზრიანი - უფრო გასაგებია, რა, რატომ და რატომემატება და მრავლდება. ზოგიერთ შემთხვევაში, ჰიბრიდული სტილი მიზანშეწონილია, როდესაც მოსახერხებელია დიდი ასოების გამოყენება მხოლოდ ზოგიერთი მოვლენის აღსანიშნავად.

მსგავსი დავალებები დამოუკიდებელი გადაწყვეტილება:

პრობლემა 6

ხანძრის სიგნალიზაციისთვის დამონტაჟებულია ორი დამოუკიდებლად მოქმედი სენსორი. ალბათობა იმისა, რომ სენსორი იმუშავებს ხანძრის შემთხვევაში არის 0,5 და 0,7, შესაბამისად, პირველი და მეორე სენსორებისთვის. იპოვეთ ალბათობა, რომ ცეცხლში:

ა) ორივე სენსორი გაუმართავს;
ბ) ორივე სენსორი იმუშავებს.
გ) გამოყენება სრული ჯგუფის შემქმნელი მოვლენების ალბათობების დამატების თეორემაიპოვეთ ალბათობა, რომ ხანძრის დროს მხოლოდ ერთი სენსორი იმუშავებს. შეამოწმეთ შედეგი უშუალოდ ამ ალბათობის გამოთვლით (შეკრებისა და გამრავლების თეორემების გამოყენებით).

აქ, მოწყობილობების მუშაობის დამოუკიდებლობა პირდაპირ არის მითითებული მდგომარეობაში, რაც, სხვათა შორის, მნიშვნელოვანი განმარტებაა. ნიმუშის გადაწყვეტა შექმნილია აკადემიურ სტილში.

რა მოხდება, თუ მსგავს პრობლემაში მოცემულია იგივე ალბათობები, მაგალითად, 0.9 და 0.9? ზუსტად იგივე უნდა გადაწყვიტო! (რაც, ფაქტობრივად, უკვე ნაჩვენებია მაგალითში ორი მონეტით)

პრობლემა 7

პირველი მსროლელის მიერ მიზანში ერთი გასროლით დარტყმის ალბათობა არის 0,8. ალბათობა იმისა, რომ სამიზნე არ მოხვდება პირველი და მეორე მსროლელის თითო გასროლის შემდეგ არის 0,08. რა არის ალბათობა იმისა, რომ მეორე მსროლელი მიზანს ერთი გასროლით მოხვდეს?

და ეს არის პატარა თავსატეხი, რომელიც შექმნილია მოკლედ. პირობის გადაფორმება შეიძლება უფრო ლაკონურად, მაგრამ მე არ გავიმეორებ ორიგინალს - პრაქტიკაში, მე უნდა ჩავუღრმავდე უფრო მორთულ ფაბრიკაციას.

გაიცანით - ის არის ის, ვინც დაგეგმა თქვენთვის უზარმაზარი დეტალები =):

პრობლემა 8

მუშა მუშაობს სამ მანქანაზე. ალბათობა იმისა, რომ ცვლის დროს პირველ მანქანას კორექტირება დასჭირდება არის 0.3, მეორე - 0.75, მესამე - 0.4. იპოვეთ ალბათობა, რომ ცვლაში:

ა) ყველა მანქანა საჭიროებს კორექტირებას;
ბ) მხოლოდ ერთი მანქანა საჭიროებს კორექტირებას;
გ) მინიმუმ ერთი მანქანა საჭიროებს კორექტირებას.

გამოსავალი: ვინაიდან პირობა არაფერს ამბობს ერთ ტექნოლოგიურ პროცესზე, მაშინ თითოეული მანქანის მუშაობა უნდა ჩაითვალოს დამოუკიდებლად სხვა მანქანების მუშაობისგან.

მე-5 ამოცანის ანალოგიით, აქ შეგიძლიათ გაითვალისწინოთ ის მოვლენები, რომლებშიც შესაბამის მანქანებს დასჭირდებათ კორექტირება ცვლის დროს, ჩაწერეთ ალბათობები, იპოვოთ საპირისპირო მოვლენების ალბათობა და ა.შ. მაგრამ სამი ობიექტით, ნამდვილად აღარ მინდა დავალების ასე ფორმატირება - ეს გრძელი და დამღლელი აღმოჩნდება. აქედან გამომდინარე, აქ შესამჩნევად უფრო მომგებიანია "სწრაფი" სტილის გამოყენება:

პირობის მიხედვით: – ალბათობა იმისა, რომ მორიგეობის დროს შესაბამის მანქანებს დასჭირდებათ დარეგულირება. მაშინ ალბათობა იმისა, რომ ისინი ყურადღებას არ მოითხოვენ არის:

ერთ-ერთმა მკითხველმა აქ იპოვა მაგარი შეცდომა, არც გავასწორებ =)

ა) დამოუკიდებელი მოვლენების ალბათობათა გამრავლების თეორემის მიხედვით:
– ალბათობა იმისა, რომ ცვლის დროს სამივე მანქანა საჭიროებს კორექტირებას.

ბ) მოვლენა „ცვლის დროს მხოლოდ ერთი მანქანა საჭიროებს კორექტირებას“ შედგება სამი შეუთავსებელი შედეგისგან:

1) 1 მანქანა დასჭირდებაყურადღება დამე-2 მანქანა არ დასჭირდება დამე-3 მანქანა არ დასჭირდება
ან:
2) 1 მანქანა არ დასჭირდებაყურადღება დამე-2 მანქანა დასჭირდება დამე-3 მანქანა არ დასჭირდება
ან:
3) 1 მანქანა არ დასჭირდებაყურადღება დამე-2 მანქანა არ დასჭირდება დამე-3 მანქანა დასჭირდება.

შეუთავსებლობის ალბათობების შეკრების და დამოუკიდებელი მოვლენების ალბათობების გამრავლების თეორემების მიხედვით:

- ალბათობა იმისა, რომ ცვლის დროს მხოლოდ ერთი მანქანა მოითხოვს კორექტირებას.

ვფიქრობ, ახლა თქვენ უნდა გესმოდეთ, საიდან მოდის ეს გამოთქმა

გ) გამოვთვალოთ ალბათობა იმისა, რომ მანქანებს კორექტირება არ დასჭირდებათ, შემდეგ კი საპირისპირო მოვლენის ალბათობა:
- რომ მინიმუმ ერთი მანქანა საჭიროებს კორექტირებას.

უპასუხე:

წერტილი "ve" ასევე შეიძლება ამოიხსნას ჯამით, სადაც არის ალბათობა, რომ ცვლაში მხოლოდ ორ მანქანას დასჭირდება კორექტირება. ეს მოვლენა, თავის მხრივ, მოიცავს 3 შეუთავსებელ შედეგს, რომლებიც აღწერილია „be“ წერტილის ანალოგიით. შეეცადეთ იპოვოთ ალბათობა, რომ შეამოწმოთ მთელი პრობლემა თანასწორობის გამოყენებით.

პრობლემა 9

მიზანში სამი იარაღიდან ზალპური ესროლეს. მხოლოდ პირველი იარაღიდან ერთი გასროლით დარტყმის ალბათობა არის 0,7, მეორიდან – 0,6, მესამედან – 0,8. იპოვეთ ალბათობა იმისა, რომ: 1) ერთი ჭურვი მაინც მოხვდება მიზანში; 2) მხოლოდ ორი ჭურვი მოხვდება მიზანში; 3) მიზანს ორჯერ მაინც მოხვდება.

გამოსავალი და პასუხი მოცემულია გაკვეთილის ბოლოს.

და ისევ დამთხვევებზე: თუ პირობის მიხედვით, საწყისი ალბათობების ორი ან თუნდაც ყველა მნიშვნელობა ემთხვევა (მაგალითად, 0.7, 0.7 და 0.7), მაშინ ზუსტად იგივე ამოხსნის ალგორითმი უნდა დაიცვას.

სტატიის დასასრულებლად, გადავხედოთ კიდევ ერთ ჩვეულებრივ თავსატეხს:

პრობლემა 10

მსროლელი ყოველ გასროლაზე ერთნაირი ალბათობით ურტყამს მიზანს. რა არის ეს ალბათობა, თუ მინიმუმ ერთი დარტყმის ალბათობა სამი გასროლით არის 0,973.

გამოსავალი: აღვნიშნოთ – ყოველი გასროლით მიზანში მოხვედრის ალბათობა.
და მეშვეობით - ყოველი გასროლით გაშვების ალბათობა.

და დავწეროთ მოვლენები:
– 3 გასროლით მსროლელი ერთხელ მაინც მოხვდება მიზანში;
– მსროლელი გამოტოვებს 3-ჯერ.

პირობით, მაშინ საპირისპირო მოვლენის ალბათობა:

მეორე მხრივ, დამოუკიდებელი მოვლენების ალბათობათა გამრავლების თეორემის მიხედვით:

ამრიგად:

- ყოველი გასროლით გაშვების ალბათობა.

Როგორც შედეგი:
– ყოველი გასროლით დარტყმის ალბათობა.

უპასუხე: 0,7

მარტივი და ელეგანტური.

განხილულ პრობლემაში შეიძლება დაისვას დამატებითი კითხვები მხოლოდ ერთი დარტყმის, მხოლოდ ორი დარტყმის და მიზანზე სამი დარტყმის ალბათობის შესახებ. გადაწყვეტის სქემა ზუსტად იგივე იქნება, რაც ორ წინა მაგალითში:

თუმცა, ფუნდამენტური არსებითი განსხვავება ისაა, რომ აქ არის განმეორებითი დამოუკიდებელი ტესტები, რომლებიც სრულდება თანმიმდევრობით, ერთმანეთისგან დამოუკიდებლად და შედეგების ერთნაირი ალბათობით.

მოცემული მოვლენის სასარგებლოდ პირდაპირი შემთხვევების დათვლა შეიძლება რთული იყოს. ამიტომ, მოვლენის ალბათობის დასადგენად, შეიძლება იყოს მომგებიანი წარმოვიდგინოთ ეს მოვლენა, როგორც სხვა, უფრო მეტის კომბინაცია. მარტივი მოვლენები. თუმცა, ამ შემთხვევაში, თქვენ უნდა იცოდეთ წესები, რომლებიც არეგულირებენ ალბათობებს მოვლენების კომბინაციებში. სწორედ ამ წესებს ეხება აბზაცის სათაურში აღნიშნული თეორემები.

პირველი მათგანი ეხება იმ ალბათობის გამოთვლას, რომ რამდენიმე მოვლენიდან ერთი მაინც მოხდება.

მიმატების თეორემა.

მოდით A და B იყოს ორი შეუთავსებელი მოვლენა. მაშინ ალბათობა იმისა, რომ ამ ორი მოვლენიდან ერთი მაინც მოხდება, უდრის მათი ალბათობების ჯამს:

მტკიცებულება. მოდით იყოს წყვილთა შორის შეუთავსებელი მოვლენების სრული ჯგუფი. თუ ამ ელემენტარულ მოვლენებს შორის არის ზუსტად A-სთვის ხელსაყრელი მოვლენები და ზუსტად B-სთვის ხელსაყრელი მოვლენები. ვინაიდან A და B მოვლენები შეუთავსებელია, მაშინ ვერც ერთი მოვლენა ვერ შეძლებს ორივე მოვლენის სასარგებლოდ. მოვლენას (A ან B), რომელიც შედგება ამ ორი მოვლენიდან მინიმუმ ერთის დადგომაში, აშკარად ხელს უწყობს როგორც A-ს სასარგებლო მოვლენას, ასევე თითოეულ მოვლენას.

ხელსაყრელი V. ამიტომ საერთო რაოდენობამოვლენის სასარგებლო მოვლენა (A ან B) უდრის შემდეგ ჯამს:

ქ.ე.დ.

ადვილი მისახვედრია, რომ ზემოთ ჩამოყალიბებული მიმატების თეორემა ორი მოვლენის შემთხვევისთვის ადვილად შეიძლება გადავიდეს ნებისმიერი სასრული რაოდენობის შემთხვევაში. ზუსტად თუ არის წყვილი შეუთავსებელი მოვლენები, მაშინ

სამი მოვლენის შემთხვევაში, მაგალითად, შეიძლება დაწეროს

მიმატების თეორემის მნიშვნელოვანი შედეგია დებულება: თუ მოვლენები წყვილში შეუთავსებელია და ცალსახად შესაძლებელია, მაშინ

მართლაც, მოვლენა ან ან არის ვარაუდით გარკვეული და მისი ალბათობა, როგორც მითითებულია § 1-ში, უდრის ერთს. კერძოდ, თუ ისინი გულისხმობენ ორ ურთიერთსაპირისპირო მოვლენას, მაშინ

მაგალითებით ავხსნათ მიმატების თეორემა.

მაგალითი 1. სამიზნეზე სროლისას შესანიშნავი გასროლის ალბათობაა 0,3, ხოლო „კარგი“ გასროლის ალბათობა 0,4. რა არის ალბათობა იმისა, რომ დარტყმისთვის მაინც "კარგი" ქულის მიღებას?

გამოსავალი. თუ მოვლენა A ნიშნავს „შესანიშნავი“ რეიტინგის მიღებას, ხოლო მოვლენა B ნიშნავს „კარგი“ შეფასების მიღებას, მაშინ

მაგალითი 2. ურნაში, რომელიც შეიცავს თეთრ, წითელ და შავ ბურთებს, არის თეთრი ბურთები და მე წითელი ბურთები. რა არის ბურთის დახატვის ალბათობა, რომელიც არ არის შავი?

გამოსავალი. თუ მოვლენა A შედგება თეთრი ბურთის გარეგნობისგან და მოვლენა B წითელი ბურთისგან, მაშინ ბურთის გარეგნობა შავი არ არის.

ნიშნავს თეთრი ან წითელი ბურთის გამოჩენას. ვინაიდან ალბათობის განმარტებით

მაშინ მიმატების თეორემით არაშავი ბურთის გამოჩენის ალბათობა ტოლია;

ამ პრობლემის მოგვარება შესაძლებელია ამ გზით. დაე, მოვლენა C შედგებოდეს შავი ბურთის გამოჩენაში. შავი ბურთების რაოდენობა ტოლია ისე, რომ P (C) არაშავი ბურთის გამოჩენა C-ის საპირისპირო მოვლენაა, შესაბამისად, შეკრების თეორემიდან ზემოაღნიშნული დასკვნის საფუძველზე გვაქვს:

როგორც ადრე.

მაგალითი 3. ნაღდი მატერიალური ლატარიაში 1000 ბილეთის სერიისთვის არის 120 ნაღდი ფული და 80 მატერიალური მოგება. რა არის ლატარიის ერთ ბილეთზე რაიმეს მოგების ალბათობა?

გამოსავალი. თუ A-ით აღვნიშნავთ მოვლენას, რომელიც შედგება ფულადი მოგებისგან და B-ით მატერიალური მოგება, მაშინ ალბათობის განსაზღვრებიდან გამომდინარეობს

ჩვენთვის საინტერესო მოვლენა წარმოდგენილია (A ან B) მიერ, ამიტომ ის გამომდინარეობს შეკრების თეორემიდან

ამრიგად, ნებისმიერი მოგების ალბათობა არის 0.2.

სანამ შემდეგ თეორემაზე გადავიდოდეთ, აუცილებელია გაეცნოთ ახალ მნიშვნელოვან კონცეფციას - პირობითი ალბათობის ცნებას. ამ მიზნით დავიწყებთ შემდეგი მაგალითის განხილვით.

დავუშვათ, რომ საწყობში არის 400 ნათურა, რომელიც დამზადებულია ორ სხვადასხვა ქარხანაში და პირველი აწარმოებს ყველა ნათურის 75%-ს, ხოლო მეორე - 25%. დავუშვათ, რომ პირველი ქარხნის მიერ წარმოებულ ნათურებს შორის 83% აკმაყოფილებს გარკვეული სტანდარტის პირობებს, ხოლო მეორე ქარხნის პროდუქტებისთვის ეს პროცენტია 63. მოდით განვსაზღვროთ ალბათობა იმისა, რომ ნათურა შემთხვევით აღებულია საწყობი დააკმაყოფილებს სტანდარტის პირობებს.

გაითვალისწინეთ, რომ ხელმისაწვდომი სტანდარტული ნათურების საერთო რაოდენობა შედგება პირველის მიერ წარმოებული ნათურებისგან.

ქარხნული და მეორე ქარხნის მიერ წარმოებული 63 ნათურა, ანუ უდრის 312-ს. ვინაიდან ნებისმიერი ნათურის არჩევანი თანაბრად შესაძლებლად უნდა ჩაითვალოს, 400-დან გვაქვს 312 ხელსაყრელი შემთხვევა.

სადაც B მოვლენა არის ის, რომ ჩვენ მიერ არჩეული ნათურა სტანდარტულია.

ამ გაანგარიშებისას არ გაკეთებულა ვარაუდი იმის შესახებ, თუ რომელ მცენარეს ეკუთვნოდა ჩვენ მიერ შერჩეული ნათურა. თუ ჩვენ რაიმე სახის ვარაუდს გავაკეთებთ, მაშინ აშკარაა, რომ ალბათობა, რომელიც ჩვენ გვაინტერესებს, შეიძლება შეიცვალოს. მაგალითად, თუ ცნობილია, რომ შერჩეული ნათურა დამზადდა პირველ ქარხანაში (მოვლენა A), მაშინ ალბათობა იმისა, რომ ის სტანდარტულია აღარ იქნება 0,78, არამედ 0,83.

ამ სახის ალბათობას, ანუ B მოვლენის ალბათობას იმის გათვალისწინებით, რომ A მოვლენა მოხდა, ეწოდება B მოვლენის პირობითი ალბათობა A მოვლენის დადგომის გათვალისწინებით და აღინიშნება.

თუ წინა მაგალითში A-ით აღვნიშნავთ მოვლენას, რომ შერჩეული ნათურა დამზადებულია პირველ ქარხანაში, მაშინ შეგვიძლია დავწეროთ

ახლა ჩვენ შეგვიძლია ჩამოვაყალიბოთ მნიშვნელოვანი თეორემა, რომელიც დაკავშირებულია მოვლენების გაერთიანების ალბათობის გამოთვლასთან.

გამრავლების თეორემა.

A და B მოვლენების გაერთიანების ალბათობა უდრის ერთ-ერთი მოვლენის ალბათობის ნამრავლს და მეორის პირობითი ალბათობის ნამრავლს, თუ ვივარაუდებთ, რომ პირველი მოხდა:

ამ შემთხვევაში A და B მოვლენების ერთობლიობა ნიშნავს თითოეული მათგანის, ანუ როგორც A, ასევე B მოვლენის დადგომას.

მტკიცებულება. მოდით განვიხილოთ თანაბრად შესაძლო წყვილად შეუთავსებელი მოვლენების სრული ჯგუფი, რომელთაგან თითოეული შეიძლება იყოს ხელსაყრელი ან არახელსაყრელი როგორც A, ასევე B მოვლენისთვის.

მოდით დავყოთ ყველა ეს მოვლენა ოთხ სხვადასხვა ჯგუფად შემდეგნაირად. პირველ ჯგუფში შედის ის მოვლენები, რომლებიც ხელს უწყობს როგორც A-ს, ასევე B მოვლენას; მეორე და მესამე ჯგუფი მოიცავს იმ მოვლენებს, რომლებიც ხელს უწყობს ჩვენთვის საინტერესო ორი მოვლენიდან ერთს და არ ემხრობა მეორეს, მაგალითად, მეორე ჯგუფში შედის ისეთები, რომლებიც მხარს უჭერენ A-ს, მაგრამ არ ემხრობა B-ს, ხოლო მესამე ჯგუფი მოიცავს მათ, ემხრობა B-ს, მაგრამ არ ემხრობა A-ს; ბოლოს და ბოლოს

მეოთხე ჯგუფი მოიცავს იმ მოვლენებს, რომლებიც არ ემხრობა არც A და არც B.

ვინაიდან მოვლენების ნუმერაციას მნიშვნელობა არ აქვს, შეგვიძლია ვივარაუდოთ, რომ ეს დაყოფა ოთხ ჯგუფად ასე გამოიყურება:

ჯგუფი I:

II ჯგუფი:

III ჯგუფი:

IV ჯგუფი:

ამგვარად, თანაბრად შესაძლო და წყვილად შეუთავსებელ მოვლენებს შორის არის მოვლენები, რომლებიც ხელს უწყობს A მოვლენას და მოვლენას B, მოვლენები, რომლებიც ხელს უწყობს A მოვლენას, მაგრამ არ ემხრობა A მოვლენას, მოვლენები, რომლებიც ხელს უწყობს B, მაგრამ არ ემხრობა A, და ბოლოს, მოვლენები, რომლებიც არ ემხრობა არც A და არც B.

სხვათა შორის, აღვნიშნოთ, რომ ჩვენ მიერ განხილული ოთხი ჯგუფიდან რომელიმე (და თუნდაც ერთზე მეტი) შეიძლება არ შეიცავდეს ერთ მოვლენას. Ამ შემთხვევაში შესაბამისი ნომერი, რაც ნიშნავს მოვლენების რაოდენობას ასეთ ჯგუფში, იქნება ნულის ტოლი.

ჩვენი ჯგუფებად დაყოფა საშუალებას გაძლევთ დაუყოვნებლივ დაწეროთ

რადგან A და B მოვლენების ერთობლიობას ხელს უწყობს პირველი ჯგუფის მოვლენები და მხოლოდ ისინი. მოვლენების ჯამური რაოდენობა, რომლებიც ხელს უწყობენ A-ს, უდრის პირველ და მეორე ჯგუფში მოვლენის საერთო რაოდენობას, ხოლო B-ის მომხრეები უდრის პირველ და მესამე ჯგუფში მოვლენის საერთო რაოდენობას.

ახლა გამოვთვალოთ ალბათობა, ანუ B მოვლენის ალბათობა, იმ პირობით, რომ A მოვლენა მოხდა. ახლა მესამე და მეოთხე ჯგუფში შემავალი მოვლენები ქრება, რადგან მათი წარმოშობა ეწინააღმდეგება A მოვლენის დადგომას და შესაძლო შემთხვევების რაოდენობა აღარ არის . მათგან B მოვლენას უპირატესობას ანიჭებენ მხოლოდ პირველი ჯგუფის მოვლენები, ამიტომ ვიღებთ:

თეორემის დასამტკიცებლად საკმარისია ახლავე დავწეროთ აშკარა იდენტურობა:

და შეცვალეთ სამივე წილადი ზემოთ გამოთვლილი ალბათობით. ჩვენ მივდივართ თეორემაში გამოთქმულ ტოლობამდე:

ცხადია, რომ ჩვენს მიერ ზემოთ დაწერილი იდენტობა აზრი აქვს მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ის ყოველთვის ჭეშმარიტია, თუ A არ არის შეუძლებელი მოვლენა.

ვინაიდან მოვლენები A და B ტოლია, მაშინ მათი გაცვლით მივიღებთ გამრავლების თეორემის სხვა ფორმას:

თუმცა, ეს თანასწორობა შეიძლება მიღებულ იქნას ისევე, როგორც წინა, თუ შეამჩნევთ, რომ იდენტურობის გამოყენებით

P(A და B) ალბათობისთვის ორი გამონათქვამის მარჯვენა მხარის შედარებისას მივიღებთ სასარგებლო ტოლობას:

ახლა განვიხილოთ გამრავლების თეორემის საილუსტრაციო მაგალითები.

მაგალითი 4. გარკვეული საწარმოს პროდუქტებში შესაფერისად ითვლება პროდუქციის 96% (მოვლენა A). ყოველი ასი შესაფერისიდან 75 პროდუქტი პირველ კლასს მიეკუთვნება (ღონისძიება B). დაადგინეთ ალბათობა იმისა, რომ შემთხვევით შერჩეული პროდუქტი იქნება შესაფერისი და მიეკუთვნება პირველ კლასს.

გამოსავალი. სასურველი ალბათობა არის A და B მოვლენების გაერთიანების ალბათობა. პირობით გვაქვს: . ამიტომ გამრავლების თეორემა იძლევა

მაგალითი 5. მიზანში ერთი გასროლით (მოვლენა A) დარტყმის ალბათობა არის 0,2. რა არის სამიზნის დარტყმის ალბათობა, თუ 2% დაუკრავენ (ანუ 2% შემთხვევაში გასროლა არ ხდება).

გამოსავალი. მოვლენა B იყოს ის, რომ გასროლა მოხდება, ხოლო B ნიშნავს საპირისპირო მოვლენას. შემდეგ პირობით და მიმატების თეორემის დასკვნის მიხედვით. გარდა ამისა, მდგომარეობის მიხედვით.

სამიზნეზე დარტყმა ნიშნავს A და B მოვლენების გაერთიანებას (გასროლა გაისროლა და მოხვდება), შესაბამისად, გამრავლების თეორემის მიხედვით

გამრავლების თეორემის მნიშვნელოვანი განსაკუთრებული შემთხვევა შეიძლება მივიღოთ მოვლენათა დამოუკიდებლობის ცნების გამოყენებით.

ორ მოვლენას უწოდებენ დამოუკიდებელ მოვლენას, თუ ერთი მათგანის ალბათობა არ იცვლება იმის გამო, მოხდა თუ არა მეორე.

დამოუკიდებელი მოვლენების მაგალითებია ქულების განსხვავებული რაოდენობა კამათლის ხელახლა სროლისას ან მონეტის ამა თუ იმ მხარეს მონეტის ხელახლა სროლისას, რადგან აშკარაა, რომ მეორე სროლაზე გერბის მიღების ალბათობა ტოლია. იმისდა მიუხედავად, გერბი პირველზე ამოვიდა თუ არა.

ანალოგიურად, თეთრი და შავი ბურთების შემცველი ურნიდან მეორედ თეთრი ბურთის გამოტანის ალბათობა, თუ პირველი გათამაშებული ბურთი ადრე დაბრუნდა, არ არის დამოკიდებული იმაზე, პირველად გათამაშდა ბურთი, თეთრი თუ შავი. ამიტომ, პირველი და მეორე მოხსნის შედეგები ერთმანეთისგან დამოუკიდებელია. პირიქით, თუ პირველი ამოღებული ბურთი ურნაში არ ბრუნდება, მაშინ მეორე ამოღების შედეგი პირველზეა დამოკიდებული, რადგან პირველი ამოღების შემდეგ ურნაში ბურთების შემადგენლობა იცვლება მისი შედეგიდან გამომდინარე. აქ გვაქვს დამოკიდებული მოვლენების მაგალითი.

პირობითი ალბათობებისთვის მიღებული აღნიშვნის გამოყენებით, შეგვიძლია დავწეროთ A და B მოვლენების დამოუკიდებლობის პირობა სახით

ამ ტოლობების გამოყენებით შეგვიძლია დამოუკიდებელი მოვლენების გამრავლების თეორემა შემდეგ ფორმამდე შევიყვანოთ.

თუ მოვლენები A და B დამოუკიდებელია, მაშინ მათი კომბინაციის ალბათობა უდრის ამ მოვლენების ალბათობების ნამრავლს:

მართლაც, საკმარისია ჩავდოთ გამრავლების თეორემის საწყის გამოხატულებაში, რომელიც გამომდინარეობს მოვლენათა დამოუკიდებლობისგან და მივიღებთ საჭირო ტოლობას.

ახლა განვიხილოთ რამდენიმე მოვლენა: ჩვენ მათ კოლექტიურად დამოუკიდებელ დავარქმევთ, თუ რომელიმე მათგანის დადგომის ალბათობა არ არის დამოკიდებული იმაზე, მოხდა თუ არა სხვა განსახილველი მოვლენა.

ერთობლივად დამოუკიდებელი მოვლენების შემთხვევაში, გამრავლების თეორემა შეიძლება გავრცელდეს მათ ნებისმიერ სასრულ რიცხვზე, ასე რომ, ის შეიძლება ჩამოყალიბდეს შემდეგნაირად:

დამოუკიდებელი მოვლენების გაერთიანების ალბათობა ტოლია ამ მოვლენების ალბათობების ნამრავლის:

მაგალითი 6. მუშა ემსახურება სამ ავტომატურ მანქანას, რომელთაგან თითოეულს უნდა მივუდგეთ გაუმართაობის გამოსასწორებლად, თუ მანქანა გაჩერდება. იმის ალბათობა, რომ პირველი მანქანა არ გაჩერდეს ერთ საათში, არის 0,9. იგივე ალბათობა მეორე აპარატისთვის არის 0.8, ხოლო მესამესთვის - 0.7. დაადგინეთ ალბათობა, რომ ერთი საათის განმავლობაში მუშაკს არ დასჭირდება მიახლოება რომელიმე მანქანასთან, რომელსაც ემსახურება.

მაგალითი 7. თოფის გასროლით თვითმფრინავის ჩამოგდების ალბათობა რა არის მტრის თვითმფრინავის განადგურების ალბათობა, თუ ერთდროულად ისვრიან 250 თოფი?

გამოსავალი. იმის ალბათობა, რომ თვითმფრინავი ერთი გასროლით არ ჩამოაგდეს, ტოლია შეკრების თეორემის გამოყენებით, ალბათობა იმისა, რომ თვითმფრინავი არ ჩამოაგდეს 250 გასროლით, როგორც ალბათობა გაერთიანების. ივენთი. უდრის ამის შემდეგ, ჩვენ შეგვიძლია კვლავ გამოვიყენოთ მიმატების თეორემა და საპირისპირო მოვლენის ალბათობად ვიპოვოთ თვითმფრინავის ჩამოგდების ალბათობა.

აქედან ჩანს, რომ მიუხედავად იმისა, რომ თვითმფრინავის ერთი გასროლით ჩამოგდების ალბათობა უმნიშვნელოა, მიუხედავად ამისა, 250 შაშხანიდან სროლისას, თვითმფრინავის ჩამოგდების ალბათობა უკვე ძალიან შესამჩნევია. თოფების რაოდენობის გაზრდის შემთხვევაში მნიშვნელოვნად იზრდება. ასე რომ, 500 თოფიდან სროლისას, თვითმფრინავის ჩამოგდების ალბათობა, როგორც ადვილი გამოსათვლელია, უდრის 1000 თოფიდან სროლისას - თანაბარი.

ზემოთ დადასტურებული გამრავლების თეორემა საშუალებას გვაძლევს გარკვეულწილად გავაფართოვოთ შეკრების თეორემა, გავაფართოვოთ იგი თავსებადი მოვლენების შემთხვევაში. ნათელია, რომ თუ A და B მოვლენები თავსებადია, მაშინ ერთი მათგანის დადგომის ალბათობა არ არის მათი ალბათობების ჯამის ტოლი. მაგალითად, თუ მოვლენა A ნიშნავს ლუწი რიცხვს

ქულების რაოდენობა ჯაგრისის სროლისას, და მოვლენა B არის ქულების რაოდენობის დაკარგვა, რომელიც არის სამის ჯერადი, შემდეგ მოვლენას (A ან B) ხელს უწყობს 2, 3, 4 და 6 ქულების დაკარგვა, ანუ

მეორე მხრივ, ეს არის. ასე რომ ამ შემთხვევაში

აქედან ირკვევა, რომ თავსებადი მოვლენების შემთხვევაში ალბათობათა შეკრების თეორემა უნდა შეიცვალოს. როგორც ახლა დავინახავთ, ის შეიძლება ჩამოყალიბდეს ისე, რომ მართებული იყოს როგორც თავსებადი, ისე შეუთავსებელი მოვლენებისთვის, ისე რომ ადრე განხილული მიმატების თეორემა აღმოჩნდეს ახლის განსაკუთრებული შემთხვევა.

მოვლენები, რომლებიც არ არის ხელსაყრელი ა.

ყველა ელემენტარული მოვლენა, რომელიც ხელს უწყობს მოვლენას (A ან B) უნდა ემხრობოდეს მხოლოდ A, ან მხოლოდ B, ან ორივე A და B. ამრიგად, ასეთი მოვლენების საერთო რაოდენობა უდრის

და ალბათობა

ქ.ე.დ.

ფორმულის (9) გამოყენებით ზემოაღნიშნულ მაგალითზე ქულების რაოდენობა, რომელიც ჩნდება ჯაგრისის სროლისას, მივიღებთ:

რომელიც ემთხვევა პირდაპირი გაანგარიშების შედეგს.

ცხადია, ფორმულა (1) არის (9) განსაკუთრებული შემთხვევა. მართლაც, თუ მოვლენები A და B შეუთავსებელია, მაშინ კომბინაციის ალბათობა

Მაგალითად. IN ელექტრული წრეორი დაუკრავენ სერიულად არის დაკავშირებული. პირველი დაუკრავენის გაუმართაობის ალბათობაა 0,6, ხოლო მეორის 0,2. მოდით განვსაზღვროთ ელექტროენერგიის გათიშვის ალბათობა ამ საკრავებიდან მინიმუმ ერთის გაუმართაობის შედეგად.

გამოსავალი. იმის გამო, რომ მოვლენები A და B, რომლებიც შედგება პირველი და მეორე საკრავის გაუმართაობისგან, თავსებადია, საჭირო ალბათობა განისაზღვრება ფორმულით (9):

Სავარჯიშოები

ლექცია 7. ალბათობის თეორია

მიმატებისა და გამრავლების თეორემების შედეგები

ერთობლივი მოვლენების ალბათობების დამატების თეორემა

დამატების თეორემა ამისთვის შეუთავსებელიივენთი. აქ წარმოგიდგენთ მიმატების თეორემას ერთობლივიივენთი.

ორ მოვლენას უწოდებენ ერთობლივი, თუ ერთი მათგანის გამოჩენა არ გამორიცხავს მეორის გამოჩენას იმავე სასამართლო პროცესზე.

მაგალითი 1 . A – ოთხი ქულის გაჩენა ჯაგრისის სროლისას; B - ლუწი რაოდენობის ქულების გამოჩენა. მოვლენები A და B ერთობლივია.

დაე, მოვლენები A და B იყოს საერთო და მოცემულია ამ მოვლენების ალბათობა და მათი ერთობლივი წარმოშობის ალბათობა. როგორ მოვძებნოთ A + B მოვლენის ალბათობა, რომ მოხდეს A და B მოვლენებიდან ერთი მაინც? ამ კითხვაზე პასუხი მოცემულია ერთობლივი მოვლენების ალბათობების დამატების თეორემით.

თეორემა. ორი ერთობლივი მოვლენის დადგომის ალბათობა უდრის ამ მოვლენების ალბათობების ჯამს მათი ერთობლივი მოვლენის გარეშე: P(A + B) = P(A) + P(B) – P. (AB).

მტკიცებულება . ვინაიდან მოვლენები A და B, პირობების მიხედვით, თავსებადია, მაშინ მოვლენა A + B მოხდება, თუ მოხდება შემდეგი სამი შეუთავსებელი მოვლენადან ერთ-ერთი: . შეუთავსებელი მოვლენების ალბათობების დამატების თეორემის მიხედვით გვაქვს:

P(A + B) = P(A) + P(B) + P(AB).(*)

მოვლენა A მოხდება, თუ მოხდება ორი შეუთავსებელი მოვლენადან ერთი: ა
ან AB. შეუთავსებელი მოვლენების ალბათობების დამატების თეორემით გვაქვს

P(A) = P(A) + P(AB).

P(A)=P(A) – P(AB).(**)

ანალოგიურად გვაქვს ჩვენც

P(B) = P(ĀB) + P(AB).

P(ĀB) = P(B) – P(AB).(***)

(**) და (***) ჩანაცვლებით (*), ჩვენ საბოლოოდ მივიღებთ

P(A + B) = P(A) + P(B) – P(AB).(****)

ქ.ე.დ.

შენიშვნა 1. მიღებული ფორმულის გამოყენებისას უნდა გავითვალისწინოთ, რომ მოვლენები A და B შეიძლება იყოს ან დამოუკიდებელი, ისე დამოკიდებული.

დამოუკიდებელი ღონისძიებებისთვის

P(A + B) = P(A) + P(B) – P(A)*P(B);

დამოკიდებული მოვლენებისთვის

P(A + B) = P(A) + P(B) – P(A)*P A (B).

შენიშვნა 2. თუ მოვლენები A და B შეუთავსებელი, მაშინ მათი კომბინაცია შეუძლებელი მოვლენაა და, შესაბამისად, P(AB) = 0.

ფორმულა (****) შეუთავსებელი მოვლენებისთვის იღებს ფორმას

P(A + B) = P(A) + P(B).

ჩვენ კვლავ მივიღეთ შეკრების თეორემა შეუთავსებელი მოვლენებისთვის. ამრიგად, ფორმულა (****) მოქმედებს როგორც ერთობლივ, ასევე შეუთავსებელ მოვლენებზე.

მაგალითი 2. პირველი და მეორე თოფების სროლისას მიზანზე დარტყმის ალბათობა შესაბამისად ტოლია: p 1 = 0,7; p 2 = 0.8. იპოვეთ დარტყმის ალბათობა ერთი სალვოთი
(ორივე იარაღიდან) მინიმუმ ერთი იარაღით.

გამოსავალი . თითოეული იარაღის მიზანში მოხვედრის ალბათობა არ არის დამოკიდებული მეორე იარაღიდან სროლის შედეგზე, ამიტომ მოვლენები A (პირველი იარაღით დარტყმა) და B (მეორე თოფით დარტყმა) დამოუკიდებელია.

AB მოვლენის ალბათობა (ორივე იარაღმა გაიტანა დარტყმა)

P(AB) = P(A) * P(B) = 0.7 * 0.8 = 0.56.

სასურველი ალბათობა P(A + B) = P(A) + P(B) – P(AB) = 0.7 + 0.8 – 0.56 = 0.94.

შენიშვნა 3. ვინაიდან ამ მაგალითში მოვლენები A და B დამოუკიდებელია, ჩვენ შეგვიძლია გამოვიყენოთ ფორმულა P = 1 – q 1 q 2

სინამდვილეში, მოვლენების ალბათობა საპირისპირო მოვლენები A და B, ე.ი. გამოტოვების ალბათობაა:

q 1 = 1 – p 1 = 1 – 0.7 = 0.3;

q 2 = 1 – p 2 = 1 – 0.8 = 0.2;

საჭირო ალბათობა იმისა, რომ ერთ სალვოში ერთი იარაღი მაინც მოხვდება, უდრის

P = 1 – q 1 q 2 = 1 – 0.3 * 0.2 = 1 – 0.06 = 0.94.

როგორც თქვენ მოელოდით, იგივე შედეგი იყო მიღებული.

ნება მოვლენებს ადა IN- არათანმიმდევრული და ცნობილია ამ მოვლენების ალბათობა. კითხვა: როგორ გამოვავლინოთ ალბათობა, რომ მოხდეს ერთ-ერთი ამ შეუთავსებელი მოვლენა? ამ კითხვაზე პასუხი მოცემულია მიმატების თეორემით.

თეორემა.ორი შეუთავსებელი მოვლენიდან ერთის დადგომის ალბათობა უდრის ამ მოვლენების ალბათობების ჯამს:

გვ(ა + IN) = გვ(ა) + გვ(IN) (1.6)

მტკიცებულება. მართლაც, დაე ნ- ყველა თანაბრად შესაძლო და შეუთავსებელი (ანუ ელემენტარული) შედეგის საერთო რაოდენობა. დაე, ღონისძიება აკეთილგანწყობა მ 1 შედეგები და მოვლენა IN – მ 2 შედეგი. მაშინ, კლასიკური განმარტების მიხედვით, ამ მოვლენების ალბათობა ტოლია: გვ(ა) = მ 1 / ნ, გვ(ბ) = მ 2 / ნ .

მოვლენებიდან მოყოლებული ადა INშეუთავსებელია, მაშინ არცერთი შედეგი არ არის ხელსაყრელი მოვლენისთვის ა, არ არის ხელსაყრელი მოვლენისთვის IN(იხ. დიაგრამა ქვემოთ).

ამიტომ მოვლენა ა+INხელსაყრელი იქნება მ 1 + მ 2 შედეგი. ამიტომ, ალბათობისთვის გვ(A + B) ვიღებთ:

დასკვნა 1. სრული ჯგუფის შემქმნელი მოვლენების ალბათობების ჯამი უდრის ერთს:

გვ(ა) + გვ(IN) + გვ(თან) + … + გვ(დ) = 1.

მართლაც, ნება მოვლენებს ა,IN,თან, … , დშექმენით სრული ჯგუფი. ამის გამო ისინი შეუთავსებელია და ერთადერთი შესაძლო. ამიტომ მოვლენა A + B + C + …+დ, რომელიც შედგება ამ მოვლენის ერთ-ერთის დადგომაში (ტესტირების შედეგად), სანდოა, ე.ი. A+B+C+…+დ = და გვ(A+B+C+ …+დ) = 1.

მოვლენების შეუთავსებლობის გამო ა,IN,თან, … , დფორმულა სწორია:

გვ(A+B+C+ …+დ) = გვ(ა) + გვ(IN) + გვ(თან) + … + გვ(დ) = 1.

მაგალითი.ურნაში არის 30 ბურთი, აქედან 10 წითელი, 5 ლურჯი და 15 თეთრი. იპოვეთ წითელი ან ლურჯი ბურთის დახატვის ალბათობა, იმ პირობით, რომ ურნადან მხოლოდ ერთი ბურთია ამოღებული.

გამოსავალი. დაე, ღონისძიება ა 1 – წითელი ბურთის დახატვა და მოვლენა ა 2 - ლურჯი ბურთის ამოღება. ეს მოვლენები შეუთავსებელია და გვ(ა 1) = 10 / 30 = 1 / 3; გვ(ა 2) = 5/30 = 1/6. დამატების თეორემით ვიღებთ:

გვ(ა 1 + ა 2) = გვ(ა 1) + გვ(ა 2) = 1 / 3 + 1 / 6 = 1 / 2.

შენიშვნა 1.ხაზს ვუსვამთ, რომ პრობლემის მნიშვნელობიდან გამომდინარე, პირველ რიგში აუცილებელია განსახილველი მოვლენების ხასიათის დადგენა - შეუთავსებელია თუ არა ისინი. თუ ზემოთ მოყვანილი თეორემა გამოიყენება ერთობლივ მოვლენებზე, შედეგი არასწორი იქნება.