აბსოლუტური და შედარებითი შეცდომები

რაიმე ფუნქციის მნიშვნელობების გამოთვლისას, ან გაზომვისა და დამუშავების დროს გვიწევს საქმე მიახლოებით ციფრებთან. ფიზიკური რაოდენობითმიღებული ექსპერიმენტების შედეგად. ორივე შემთხვევაში, თქვენ უნდა შეძლოთ სწორად ჩაწეროთ სავარაუდო რიცხვების მნიშვნელობები და მათი შეცდომა.

სავარაუდო რიცხვი აარის რიცხვი, რომელიც ოდნავ განსხვავდება ზუსტი რიცხვისგან ადა ანაცვლებს ამ უკანასკნელს გამოთვლებში. თუ ცნობილია, რომ ა< А , ეს აე.წ. რიცხვის სავარაუდო მნიშვნელობა ადეფიციტით; თუ ა > ა, – მერე ჭარბად. თუ აარის რიცხვის სავარაუდო მნიშვნელობა ა, მერე წერენ a ≈ A.

შეცდომის ან შეცდომის ქვეშ ასავარაუდო რიცხვი აჩვეულებრივ ეხება განსხვავებას შესაბამის ზუსტ რიცხვს შორის ადა შენს ახლობლებს, ე.ი.

ზუსტი ნომრის მისაღებად ა, თქვენ უნდა დაამატოთ მისი შეცდომა რიცხვის სავარაუდო მნიშვნელობას, ე.ი.

ხშირ შემთხვევაში შეცდომის ნიშანი უცნობია. მაშინ მიზანშეწონილია გამოიყენოთ სავარაუდო რიცხვის აბსოლუტური შეცდომა

ზემოაღნიშნული ჩანაწერიდან გამომდინარეობს, რომ სავარაუდო რიცხვის აბსოლუტური შეცდომაა აეწოდება შესაბამის ზუსტ რიცხვს შორის სხვაობის მოდული ადა მისი სავარაუდო ღირებულება ა, ე.ი.

ზუსტი ნომერი აყველაზე ხშირად ის უცნობია, ამიტომ შეცდომის ან აბსოლუტური შეცდომის პოვნა შეუძლებელია. ამ შემთხვევაში, სასარგებლოა ზემოდან შეფასების შემოღება, ეგრეთ წოდებული მაქსიმალური აბსოლუტური ცდომილება, უცნობი თეორიული შეცდომის ნაცვლად.

სავარაუდო რიცხვის მაქსიმალური აბსოლუტური ცდომილების ქვეშ ანებისმიერი რიცხვი გასაგებია, რომელიც არ არის ნაკლები ამ რიცხვის აბსოლუტური ცდომილებაზე, ე.ი.

თუ ბოლო ჩანაწერში ვიყენებთ ფორმულას (1.1), მაშინ შეგვიძლია დავწეროთ

(1.2)

აქედან გამომდინარეობს, რომ ზუსტი რიცხვი აშედის საზღვრებში

შესაბამისად, განსხვავება არის A რიცხვის მიახლოება მისი დეფიციტის გამო და - რიცხვების მიახლოება აგადაჭარბებით. ამ შემთხვევაში, მოკლედ, გამოიყენეთ აღნიშვნა

ნათელია, რომ მაქსიმალური აბსოლუტური ცდომილება ორაზროვნად არის განსაზღვრული: თუ გარკვეული რიცხვი არის მაქსიმალური აბსოლუტური ცდომილება, მაშინ დადებითზე დიდი რიცხვი ასევე არის მაქსიმალური აბსოლუტური შეცდომა. პრაქტიკაში ისინი ცდილობენ აირჩიონ ყველაზე პატარა და უმარტივესი რიცხვი, რომელიც აკმაყოფილებს უტოლობას (1.2).

მაგალითად, თუ გაზომვის შედეგად მივიღეთ სეგმენტის სიგრძე ლ= 210 სმ ± 0,5 სმ, მაშინ აქ არის მაქსიმალური აბსოლუტური შეცდომა = 0.5 სმ და ზუსტი მნიშვნელობა ლსეგმენტი მოთავსებულია 209,5 სმ საზღვრებში ≤l≤ 210,5 სმ.

აბსოლუტური შეცდომა არ არის საკმარისი გაზომვის ან გაანგარიშების სიზუსტის დასახასიათებლად. ასე, მაგალითად, თუ ორი ღეროს სიგრძის გაზომვისას შედეგი მიიღება ლ 1= 95,6 სმ ± 0,1 სმ და ლ 2=8,3 ± 0,1 სმ, მაშინ, მიუხედავად მაქსიმალური აბსოლუტური შეცდომების დამთხვევისა, პირველი გაზომვის სიზუსტე მეორეზე მაღალია. ეს აჩვენებს, რომ გაზომვის სიზუსტისთვის უფრო მნიშვნელოვანია არა აბსოლუტური, არამედ ფარდობითი შეცდომა, რომელიც დამოკიდებულია გაზომილი სიდიდეების მნიშვნელობებზე.

შედარებითი შეცდომა δ სავარაუდო რიცხვი აარის ამ რიცხვის აბსოლუტური ცდომილების შეფარდება შესაბამისი ზუსტი რიცხვის მოდულთან A,იმათ.

მაქსიმალური აბსოლუტური შეცდომის მსგავსად, ასევე გამოიყენება მაქსიმალური ფარდობითი შეცდომის განმარტება. ამ სავარაუდო რიცხვის მაქსიმალური ფარდობითი შეცდომა ანებისმიერ რიცხვს უწოდებენ, რომელიც არ არის ნაკლები ამ რიცხვის ფარდობითი ცდომილებაზე

იმათ. საიდანაც მოჰყვება

ამრიგად, რიცხვის მაქსიმალური აბსოლუტური ცდომილების მიღმა ამიღება შეიძლება

მას შემდეგ, რაც პრაქტიკაში A≈a, შემდეგ ფორმულის ნაცვლად (1.3) ხშირად იყენებენ ფორმულას

1.2 სავარაუდო რიცხვების ათწილადი აღნიშვნა

ნებისმიერი დადებითი ათობითი რიცხვი a შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც სასრული ან უსასრულო წილადი

სად არის რიცხვის ათობითი ციფრები ა( = 0,1,2,...,9), უმაღლესი ციფრით a მ– რიცხვის მთელი ნაწილის ჩანაწერში ციფრების რაოდენობა ა, ა ნ– რიცხვის წილადი ნაწილის ჩანაწერში ციფრების რაოდენობა ა. Მაგალითად:

5214.73... = 5 10 3 + 2 10 2 + 1 10 1 + 4 10 0 +7 10 -1 + 3 10 -2 ... (1.5)

თითოეული ციფრი, რომელიც დგას კონკრეტულ ადგილას რიცხვში ა, დაწერილი ფორმით (1.4), აქვს თავისი წონა. ასე რომ, რიცხვი, რომელიც პირველი მოდის (ანუ) იწონის 10-ს მ, მეორეზე – 10 მ-1 და ა.შ.

პრაქტიკაში, ჩვენ ჩვეულებრივ არ ვიყენებთ აღნიშვნას ფორმაში (1.4), მაგრამ ვიყენებთ რიცხვების შემოკლებულ აღნიშვნას კოეფიციენტების თანმიმდევრობის სახით 10-ის შესაბამისი ხარისხებით. ასე, მაგალითად, აღნიშვნაში (1.5) ვიყენებთ ფორმა ტოლობის ნიშნის მარცხნივ და არა მარჯვნივ, რომელიც წარმოადგენს ამ რიცხვის გაფართოებას 10-ის ხარისხში.

პრაქტიკაში, უპირველეს ყოვლისა, უნდა გაუმკლავდეთ სავარაუდო რიცხვებს სასრული ათობითი წილადების სახით. სხვადასხვა გამოთვლითი და ექსპერიმენტული შედეგების სწორად შესადარებლად, კონცეფცია მნიშვნელოვანი ფიგურაშედეგის ჩანაწერში. ყველა გადაარჩინაათობითი მნიშვნელობები ( მე = მ,მ- 1,…, m-n+ 1), ნულის გარდა, და ნულს, თუ ის ჩნდება მნიშვნელოვან ციფრებს შორის ან არის რიცხვის ბოლოს შენახული ათობითი ადგილის წარმომადგენელი, სავარაუდო რიცხვის მნიშვნელოვან ციფრებს უწოდებენ. ა. ამ შემთხვევაში, ნულები, რომლებიც დაკავშირებულია 10 ფაქტორთან ნარ განიხილება მნიშვნელოვანი.

რიცხვის აღნიშვნისას აათობითი რიცხვების სისტემაში, ზოგჯერ თქვენ უნდა შეიყვანოთ დამატებითი ნულები რიცხვის დასაწყისში ან ბოლოს. Მაგალითად,

ა= 7·10 -3 + 0·10 -4 + 1·10 -5 + 0·10 -6 = 0,00 7010

ბ= 2·10 9 + 0·10 8 + 0·10 7 + 3·10 6 + 0·10 5 = 2003000000.

ასეთი ნულები (ისინი ხაზგასმულია მოყვანილ მაგალითებში) არ ითვლება მნიშვნელოვან ფიგურებად.

სავარაუდო რიცხვის მნიშვნელოვანი ციფრი არის ნებისმიერი ციფრი მის ათწილადში, რომელიც განსხვავდება ნულიდან,და ასევე ნულოვანი, თუ ის შეიცავს მნიშვნელოვან ციფრებს შორის ან არის შენახული ათობითი ადგილის წარმომადგენელი.ყველა სხვა ნული, რომელიც არის მიახლოებითი რიცხვის ნაწილი და ემსახურება მხოლოდ მისი ათობითი ადგილების აღნიშვნას, არ ითვლება მნიშვნელოვან რიცხვებად.

მაგალითად, რიცხვში 0.002080, პირველი სამი ნული არ არის მნიშვნელოვანი ციფრი, რადგან ისინი ემსახურებიან მხოლოდ სხვა ციფრების ათობითი ადგილების დადგენას. დარჩენილი ორი ნული მნიშვნელოვანი ციფრია, რადგან პირველი მათგანი არის მნიშვნელოვან ციფრებს შორის 2 და 8, ხოლო მეორე მიუთითებს, რომ ათწილადი ადგილი 10 -6 შენარჩუნებულია სავარაუდო რიცხვში. იმ შემთხვევაში, თუ in მოცემული ნომერი 0.002080 ბოლო ციფრი არ არის მნიშვნელოვანი, მაშინ ეს რიცხვი უნდა დაიწეროს როგორც 0.00208. ამ თვალსაზრისით, რიცხვები 0.002080 და 0.00208 არ არის ეკვივალენტური, რადგან მათგან პირველი შეიცავს ოთხ მნიშვნელოვან ციფრს, ხოლო მეორე მხოლოდ სამს.

მნიშვნელოვანი ფიგურის ცნების გარდა, მნიშვნელოვანი ცნებაა სწორი ნომერი.უნდა აღინიშნოს, რომ ეს კონცეფცია არსებობს ორ განმარტებაში - in ვიწროდა ფართო გაგებით.

განმარტება(ფართო გაგებით) . ამას ამბობენ ნრიცხვის პირველი მნიშვნელოვანი ციფრები (დათვლა მარცხნიდან მარჯვნივ) არის ერთგული ფართოაზრი, თუ ამ რიცხვის აბსოლუტური შეცდომა არ აღემატება ერთს (წონა) ნ- მაღალი გამონადენი. (ახსნა: 1 10 1 - აქ 1-ის წონა არის 10; 1 10 0 - აქ 1-ის წონა არის 1; 1 10 -1 - აქ 1-ის წონა არის 0.1; 1 10 -2 - აქ წონა 1-ის არის 0.01 და ა.შ.).

განმარტება(V ვიწრო გაგებით). ამას ამბობენ ნსავარაუდო რიცხვის პირველი მნიშვნელოვანი ციფრები სწორია, თუ ამ რიცხვის აბსოლუტური შეცდომა არ აღემატება ნახევარიერთეული (წონა) ნ- მაღალი გამონადენი. (ახსნა: 1 10 1 – აქ 1-ის ნახევარის წონა არის 5; 1 10 0 – აქ 1-ის ნახევარის წონა არის 0,5; 1 10 -1 – არის 0,05 და ა.შ.).

მაგალითად, სავარაუდო რიცხვში პირველი განმარტებიდან გამომდინარე, მნიშვნელოვანი ფიგურები 3,4 და 5 სწორია ფართო გაგებით, მაგრამ რიცხვი 6 საეჭვოა. მეორე განმარტებიდან გამომდინარე, მნიშვნელოვანი ფიგურები 3 და 4 სწორია ვიწრო გაგებით, ხოლო მნიშვნელოვანი ფიგურები 5 და 6 საეჭვოა. მნიშვნელოვანია ხაზგასმით აღინიშნოს, რომ სავარაუდო რიცხვის სიზუსტე არ არის დამოკიდებული მნიშვნელოვანი ციფრების რაოდენობაზე, არამედ რაოდენობაზე შეასწორეთ მნიშვნელოვანი ფიგურები.

როგორც თეორიულ მსჯელობაში, ასევე პრაქტიკული აპლიკაციებიუფრო ფართოდ გამოიყენება სწორი ფიგურის განმარტება ვიწრო გაგებით.

ამრიგად, თუ მიახლოებითი რიცხვი ანაცვლებს რიცხვს ა, ცნობილია რომ

(1.6)

შემდეგ, განსაზღვრებით, პირველი ნნომრები ეს რიცხვები სწორია.

მაგალითად, ზუსტი რიცხვისთვის ა= 35,97 ნომერი ა= 36.00 არის მიახლოება სამი სწორი ნიშნით. შემდეგი მსჯელობა იწვევს ამ შედეგს. ვინაიდან ჩვენი მიახლოებითი რიცხვის აბსოლუტური ცდომილება არის 0.03, მაშინ განსაზღვრებით ის უნდა აკმაყოფილებდეს პირობას

(1.7)

ჩვენი მიახლოებით 36.00, ციფრი 3 არის პირველი მნიშვნელოვანი ციფრი (ე.ი.), ასე რომ მ= 1. აქედან აშკარაა, რომ პირობა (1.7) დაკმაყოფილდება ნ = 3.

ჩვეულებრივ მიიღება ათწილადში სავარაუდო რიცხვის დაწერისას დაწერე მხოლოდ სწორი რიცხვები.თუ ცნობილია, რომ მოცემული მიახლოებითი რიცხვი სწორად არის დაწერილი, მაშინ მაქსიმალური აბსოლუტური ცდომილება შეიძლება განისაზღვროს ჩანაწერიდან. სწორი ჩაწერით, აბსოლუტური შეცდომა არ აღემატება ბოლო სწორ ციფრს მოსდევს ყველაზე ნაკლებად მნიშვნელოვანი ციფრის ნახევარს (ან ბოლო სწორი ციფრის ნახევარს, რაც იგივეა)

მაგალითად, მოცემულია სწორად დაწერილი მიახლოებითი რიცხვები: a = 3.8; ბ= 0.0283; c = 4260. განმარტების მიხედვით, ამ რიცხვების მაქსიმალური აბსოლუტური შეცდომები იქნება: = 0,05; = 0,00005; = 0.5.

აბსოლუტური და შედარებითი შეცდომები

აბსოლუტური მიახლოების შეცდომა

როდესაც გამოთვლებში უსასრულო ათობითი წილადებთან გვაქვს საქმე, მოხერხებულობისთვის უნდა დააახლოოთ ეს რიცხვები, ანუ დამრგვალოთ ისინი. მიახლოებითი რიცხვები ასევე მიღებულია სხვადასხვა გაზომვებიდან.

შეიძლება სასარგებლო იყოს იმის ცოდნა, თუ რამდენად განსხვავდება რიცხვის სავარაუდო მნიშვნელობა მისი ზუსტი მნიშვნელობისაგან. ნათელია, რომ რაც უფრო მცირეა ეს განსხვავება, მით უკეთესი, მით უფრო ზუსტად შესრულდება გაზომვა ან გამოთვლა.

გაზომვების (გამოთვლების) სიზუსტის დასადგენად, შემოღებულია ისეთი კონცეფცია, როგორიცაა მიახლოების შეცდომა. სხვაგვარად მას აბსოლუტურ შეცდომას უწოდებენ.

აბსოლუტური შეცდომა ახლოვდება რიცხვის ზუსტ მნიშვნელობასა და მის სავარაუდო მნიშვნელობას შორის სხვაობის მოდული ეწოდება.

სად X - ეს არის ნომრის ზუსტი მნიშვნელობა, ა - მისი სავარაუდო ღირებულება.

მაგალითად, გაზომვების შედეგად მიღებული იქნა რიცხვი. თუმცა, ფორმულის გამოყენებით გაანგარიშების შედეგად, ამ რიცხვის ზუსტი მნიშვნელობა არის. მაშინ მიახლოების აბსოლუტური შეცდომა

უსასრულო წილადების შემთხვევაში მიახლოების შეცდომა იგივე ფორმულით განისაზღვრება. ზუსტი რიცხვის ადგილას იწერება თავად უსასრულო წილადი. Მაგალითად, . აქ გამოდის, რომ მიახლოების აბსოლუტური შეცდომა გამოიხატება ირაციონალური რიცხვით.

დაახლოება შეიძლება გაკეთდეს როგორც ნაკლებობით , ისე გადაჭარბებით .

იგივე რიცხვი π 0,01 სიზუსტით ნაკლოვანებით მიახლოებისას უდრის 3,14-ს, ხოლო 0,01 სიზუსტით ჭარბით დაახლოებისას უდრის 3,15-ს.

დამრგვალების წესი: თუ გადაყრილი პირველი ციფრი არის ხუთზე ან ხუთზე მეტი, მაშინ შესრულებულია ჭარბი მიახლოება; თუ ხუთზე ნაკლებია, მაშინ დეფიციტის გამო.

მაგალითად, იმიტომ მესამე ციფრი π რიცხვის ათობითი წერტილის შემდეგ არის 1, შემდეგ 0,01 სიზუსტით მიახლოებისას იგი ხორციელდება დეფიციტით.

გამოვთვალოთ π რიცხვის 0,01-მდე მიახლოების აბსოლუტური შეცდომები დეფიციტით და ჭარბით:

როგორც ვხედავთ, დეფიციტისთვის მიახლოების აბსოლუტური შეცდომა ნაკლებია, ვიდრე ჭარბი. ეს ნიშნავს, რომ ამ შემთხვევაში ნაკლოვანებით მიახლოებას უფრო მაღალი სიზუსტე აქვს.

შედარებითი მიახლოების შეცდომა

აბსოლუტურ შეცდომას აქვს ერთი მნიშვნელოვანი მინუსი- არ იძლევა შეცდომის სიმძიმის შეფასების საშუალებას.

მაგალითად, ჩვენ ბაზარში ვყიდულობთ 5 კგ კარტოფილს და არაკეთილსინდისიერმა გამყიდველმა წონის გაზომვისას დაუშვა 50 გ შეცდომა მის სასარგებლოდ. იმათ. აბსოლუტური ცდომილება იყო 50 გრამი ჩვენთვის ასეთი უგულებელყოფა უბრალო წვრილმანი იქნება და ყურადღებასაც არ მივაქცევთ. რა მოხდება, თუ მსგავსი შეცდომა მოხდება წამლის მომზადებისას? აქ ყველაფერი ბევრად უფრო სერიოზული იქნება. და სატვირთო ვაგონის ჩატვირთვისას, გადახრები, სავარაუდოდ, ბევრად აღემატება ამ მნიშვნელობას.

ამიტომ, თავად აბსოლუტური შეცდომა არ არის ძალიან ინფორმატიული. გარდა ამისა, ფარდობითი გადახრა ხშირად დამატებით გამოითვლება.

შედარებითი მიახლოების შეცდომა ეწოდება აბსოლუტური შეცდომის შეფარდება რიცხვის ზუსტ მნიშვნელობასთან.

ფარდობითი შეცდომა არის განზომილებიანი სიდიდე ან იზომება პროცენტულად.

მოვიყვანოთ რამდენიმე მაგალითი.

მაგალითი 1. კომპანიას ჰყავს 1284 თანამშრომელი და თანამშრომელი. დამრგვალეთ თანამშრომელთა რაოდენობა ჭარბი და ნაკლოვანებით უახლოეს მთელ რიცხვამდე. იპოვეთ მათი აბსოლუტური და ფარდობითი შეცდომები (პროცენტებში). გამოიტანე დასკვნა.

Ისე, .

აბსოლუტური შეცდომა:

შედარებითი შეცდომა:

ეს ნიშნავს, რომ ხარვეზთან მიახლოების სიზუსტე უფრო მაღალია, ვიდრე ჭარბი მიახლოების სიზუსტე.

მაგალითი 2. სკოლაში 197 მოსწავლე სწავლობს. დამრგვალეთ მოსწავლეთა რიცხვი ჭარბი და ნაკლოვანებით უახლოეს მთელ რიცხვამდე. იპოვეთ მათი აბსოლუტური და ფარდობითი შეცდომები (პროცენტებში). გამოიტანე დასკვნა.

Ისე, .

აბსოლუტური შეცდომა:

შედარებითი შეცდომა:

ეს ნიშნავს, რომ ჭარბთან მიახლოების სიზუსტე უფრო მაღალია, ვიდრე დეფიციტთან მიახლოების სიზუსტე.

იპოვეთ მიახლოების აბსოლუტური შეცდომა:

ნომრის სავარაუდო ღირებულებაX უდრისა . იპოვეთ მიახლოების აბსოლუტური შეცდომა, თუ:

დაწერეთ ორმაგი უტოლობის სახით:

იპოვეთ რიცხვის სავარაუდო მნიშვნელობაX უდრის დეფიციტისა და ჭარბი მიახლოებების საშუალო არითმეტიკულს, თუ:

დაამტკიცეთ, რომ რიცხვების საშუალო არითმეტიკულია დაბ არის თითოეული ამ რიცხვის მიახლოებითი მნიშვნელობა, ზუსტი.

დამრგვალეთ რიცხვები:

ერთეულებამდე

მეათედამდე

მეათასედამდე

ათასამდე

ას მეათასედამდე

ერთეულებამდე

ათამდე

მეათედამდე

მეათასედამდე

ასამდე

ათ მეათასედამდე

წარმოიდგინე საერთო წილადიათწილადის სახით და დამრგვალეთ მეათასედამდე და იპოვეთ აბსოლუტური შეცდომა:

დაამტკიცეთ, რომ თითოეული რიცხვი 0,368 და 0,369 არის რიცხვის მიახლოება 0,001-ის ფარგლებში. რომელი მათგანია რიცხვის მიახლოებითი მნიშვნელობა 0,0005-მდე?

დაამტკიცეთ, რომ თითოეული რიცხვი 0,38 და 0,39 არის რიცხვის სავარაუდო მნიშვნელობა 0,01-ის ფარგლებში. რომელია რიცხვის მიახლოებითი მნიშვნელობა 0,005-ის ფარგლებში?

დამრგვალეთ რიცხვი ერთეულებამდე და იპოვეთ შედარებითი დამრგვალების შეცდომა:

5,12

9,736

49,54

1,7

9,85

5,314

99,83

წარმოადგინეთ თითოეული რიცხვი ფორმაში ათობითი. მიღებული წილადების მეათედებად დამრგვალებით, იპოვეთ მიახლოებების აბსოლუტური და ფარდობითი შეცდომები.

დედამიწის რადიუსი არის 6380 კმ, სიზუსტით 10 კმ. შეაფასეთ სავარაუდო მნიშვნელობის ფარდობითი შეცდომა.

დედამიწიდან მთვარემდე უმოკლესი მანძილი 356400 კმ-ია 100 კმ სიზუსტით. შეაფასეთ მიახლოების ფარდობითი შეცდომა.

შეადარეთ მასის გაზომვის თვისებებიმ ელექტრო ლოკომოტივი და მასათ მედიცინის ტაბლეტები, თუ t (უახლოესი 0,5 ტ) და გ (უახლოესი 0,01 გ).

შეადარეთ მდინარე ვოლგის სიგრძისა და მაგიდის ჩოგბურთის ბურთის დიამეტრის გაზომვის ხარისხი, თუ კმ (5 კმ სიზუსტით) და მმ (1 მმ სიზუსტით).

პირდაპირი გაზომვისთვის

1. ვოლტმეტრზე ერთხელ გავზომოთ ორი ძაბვა უ 1 = 10 ვ, უ 2 = 200 ვ. ვოლტმეტრს აქვს შემდეგი მახასიათებლები: სიზუსტის კლასი d კლასი t = 0.2, უმაქსიმუმი = 300 ვ.

მოდით განვსაზღვროთ ამ გაზომვების აბსოლუტური და ფარდობითი შეცდომები.

ვინაიდან ორივე გაზომვა განხორციელდა ერთსა და იმავე მოწყობილობაზე, მაშინ დ უ 1 = D უ 2 და გამოითვლება ფორმულით (B.4)

განმარტების მიხედვით, შედარებითი შეცდომები უ 1 და უ 2 შესაბამისად ტოლია

ε 1 = 0,6 ∙ V / 10 V = 0,06 = 6%,

ε 2 = 0,6 ∙ V / 200 V = 0,003 = 0,3%.

ε 1 და ε 2 გამოთვლების მოცემული შედეგებიდან ირკვევა, რომ ε 1 მნიშვნელოვნად აღემატება ε 2-ს.

ეს იწვევს წესს: თქვენ უნდა აირჩიოთ მოწყობილობა ისეთი გაზომვის ლიმიტით, რომ ჩვენებები იყოს სკალის ბოლო მესამედში.

2. ზოგიერთი სიდიდე ბევრჯერ გაიზომოს, ანუ წარმოებული ნამ რაოდენობის ინდივიდუალური გაზომვები Ნაჯახი 1 , Ნაჯახი 2 ,...,Ნაჯახი 3 .

შემდეგ აბსოლუტური შეცდომის გამოსათვლელად ტარდება შემდეგი ოპერაციები:

1) ფორმულის გამოყენებით (B.5) განსაზღვრეთ საშუალო არითმეტიკული მნიშვნელობა ა 0 გაზომილი მნიშვნელობა;

2) გამოთვალეთ ცალკეული გაზომვების კვადრატული გადახრების ჯამი ნაპოვნი არითმეტიკული საშუალოდან და ფორმულის გამოყენებით (B.6) დაადგინეთ ძირის საშუალო კვადრატული შეცდომა, რომელიც ახასიათებს ერთი გაზომვის აბსოლუტურ შეცდომას გარკვეული მნიშვნელობის მრავალი პირდაპირი გაზომვისთვის. ;

3) ფარდობითი შეცდომა ε გამოითვლება ფორმულით (B.2).

აბსოლუტური და ფარდობითი ცდომილების გამოთვლა

არაპირდაპირი გაზომვით

შეცდომების გამოთვლა არაპირდაპირ გაზომვებში – მეტი რთული ამოცანა, ვინაიდან ამ შემთხვევაში სასურველი რაოდენობა არის სხვა დამხმარე სიდიდეების ფუნქცია, რომელთა გაზომვას თან ახლავს შეცდომების გამოჩენა. ჩვეულებრივ გაზომვებში, შეცდომების გარდა, შემთხვევითი შეცდომები ძალიან მცირეა გაზომილ მნიშვნელობასთან შედარებით. ისინი იმდენად მცირეა, რომ შეცდომების მეორე და მაღალი ხარისხი სცილდება გაზომვის სიზუსტეს და შეიძლება უგულებელყო. შეცდომების სიმცირის გამო შეცდომის ფორმულის მიღება
დიფერენციალური გამოთვლების მეთოდები გამოიყენება ირიბად გაზომილი სიდიდის გასაზომად. სიდიდის არაპირდაპირი გაზომვისას, როცა სასურველ მათემატიკურ ურთიერთობასთან დაკავშირებული სიდიდეები პირდაპირ იზომება, უფრო მოსახერხებელია ჯერ ფარდობითი ცდომილების დადგენა და შემდეგ.
ნაპოვნი ფარდობითი შეცდომის გამოყენებით გამოთვალეთ გაზომვის აბსოლუტური შეცდომა.

დიფერენციალური გამოთვლა იძლევა უმარტივეს გზას არაპირდაპირი გაზომვის ფარდობითი შეცდომის დასადგენად.

მოდით საჭირო რაოდენობა ადაკავშირებულია ფუნქციური დამოკიდებულებით რამდენიმე დამოუკიდებელი პირდაპირ გაზომვადი სიდიდით x 1 ,
x 2 , ..., x k, ე.ი.

ა= ვ(x 1 , x 2 , ..., x k).

მნიშვნელობის ფარდობითი შეცდომის დასადგენად ააიღეთ თანასწორობის ორივე მხარის ბუნებრივი ლოგარითმი

ლნ ა= ჟურნალი ვ(x 1 , x 2 , ..., x k).

შემდეგ გამოითვლება დიფერენციალი ბუნებრივი ლოგარითმიფუნქციები
ა= ვ(x 1 ,x 2 , ..., x k),

dln ა=dln ვ(x 1 , x 2 , ..., x k)

შედეგად გამოსახულებაში, ყველაფერი შესაძლებელია ალგებრული გარდაქმნებიდა გამარტივება. ამის შემდეგ, ყველა დიფერენციალური სიმბოლო d იცვლება შეცდომის სიმბოლოებით D და უარყოფითი ნიშნებისანამ დამოუკიდებელი ცვლადების დიფერენციალი შეიცვლება დადებითით, ანუ მიიღება ყველაზე არახელსაყრელი შემთხვევა, როდესაც ყველა შეცდომა ერთდება. ამ შემთხვევაში გამოითვლება შედეგის მაქსიმალური ცდომილება.

ამით ნათქვამი

მაგრამ ε = D ა / ა

ეს გამოხატულება არის მნიშვნელობის ფარდობითი შეცდომის ფორმულა აარაპირდაპირი გაზომვებისას ის განსაზღვრავს სასურველი მნიშვნელობის ფარდობით შეცდომას გაზომილი მნიშვნელობების ფარდობითი შეცდომების მეშვეობით. ფარდობითი ცდომილების გამოთვლის შემდეგ ფორმულით (B.11),
განსაზღვრეთ მნიშვნელობის აბსოლუტური შეცდომა აროგორც ფარდობითი ცდომილების ნამრავლი და გამოთვლილი მნიშვნელობა აე.ი.

დ ა = ε ა, (12 საათზე)

სადაც ε გამოიხატება განზომილებიანი რიცხვით.

ასე რომ, ირიბად გაზომილი სიდიდის ფარდობითი და აბსოლუტური შეცდომები უნდა გამოითვალოს შემდეგი თანმიმდევრობით:

1) აიღეთ ფორმულა, რომლითაც გამოითვლება სასურველი მნიშვნელობა (გაანგარიშების ფორმულა);

2) აიღეთ გამოთვლის ფორმულის ორივე მხარის ბუნებრივი ლოგარითმი;

3) გამოითვლება სასურველი სიდიდის ბუნებრივი ლოგარითმის ჯამური დიფერენციალი;

4) მიღებულ გამოსახულებაში შესრულებულია ყველა შესაძლო ალგებრული გარდაქმნა და გამარტივება;

5) d დიფერენციალური სიმბოლო იცვლება შეცდომის D სიმბოლოთი, ხოლო ყველა უარყოფითი ნიშანი დამოუკიდებელი ცვლადების დიფერენციალების წინ იცვლება დადებითით (ფარდობითი შეცდომის მნიშვნელობა იქნება მაქსიმალური) და ფარდობითი ცდომილების ფორმულა არის მიღებული;

6) გამოითვლება გაზომილი მნიშვნელობის ფარდობითი ცდომილება;

7) გამოთვლილი ფარდობითი ცდომილების საფუძველზე ირიბი გაზომვის აბსოლუტური ცდომილება გამოითვლება ფორმულით (B.12).

მოდით შევხედოთ არაპირდაპირ გაზომვებში ფარდობითი და აბსოლუტური შეცდომების გამოთვლის რამდენიმე მაგალითს.

1. საჭირო რაოდენობა აპირდაპირ გაზომვადი სიდიდეებთან დაკავშირებული X, ზე, ზთანაფარდობა

სად ადა ბ- მუდმივი მნიშვნელობები.

2. აიღეთ გამოხატვის ბუნებრივი ლოგარითმი (B.13)

3. გამოთვალეთ სასურველი სიდიდის ბუნებრივი ლოგარითმის ჯამური დიფერენციალი ა, ანუ განვასხვავებთ (B.13)

4. ვაკეთებთ გარდაქმნებს. იმის გათვალისწინებით, რომ დ ა= 0, ვინაიდან ა= const,cos ზე/ცოდვა წ=ctg წ, ვიღებთ:

5. შეცვალეთ დიფერენციალური სიმბოლოები შეცდომის სიმბოლოებით და მინუს ნიშანი დიფერენციალის წინ პლუს ნიშნით.

6. ვიანგარიშებთ გაზომილი მნიშვნელობის ფარდობით ცდომილებას.

7. გამოთვლილი ფარდობითი ცდომილების საფუძველზე ირიბი გაზომვის აბსოლუტური ცდომილება გამოითვლება ფორმულის მიხედვით (B.12), ე.ი.

ტალღის სიგრძე განისაზღვრება ყვითელი ფერივერცხლისწყლის სპექტრული ხაზი დიფრაქციული ბადეის გამოყენებით (მიღებული თანმიმდევრობის გამოყენებით ყვითელი ტალღის სიგრძის ფარდობითი და აბსოლუტური შეცდომების გამოსათვლელად).

1. ყვითელი ფერის ტალღის სიგრძე ამ შემთხვევაში განისაზღვრება ფორმულით:

სად თან- დიფრაქციული ბადეების მუდმივი (ირიბად გაზომილი მნიშვნელობა); φ f – ყვითელი ხაზის დიფრაქციის კუთხე მოცემული სპექტრული რიგით (პირდაპირ გაზომილი მნიშვნელობა); კ g – სპექტრის რიგი, რომელშიც განხორციელდა დაკვირვება.

დიფრაქციის ბადე მუდმივი გამოითვლება ფორმულით

სად კ h – მწვანე ხაზის სპექტრის რიგი; λ ζ – მწვანე ფერის ცნობილი ტალღის სიგრძე (λ ζ – მუდმივი); φз – მწვანე ხაზის დიფრაქციის კუთხე მოცემულ სპექტრულ მიმდევრობაში (პირდაპირ გაზომილი მნიშვნელობა).

შემდეგ, გამოხატვის გათვალისწინებით (B.15)

(B.16)

სად კსთ, კზ – დაკვირვებები, რომლებიც მუდმივად ითვლება; φ h, φ w – არიან
პირდაპირ გაზომვადი რაოდენობები.

გამოხატულება (B.16) არის ყვითელი ტალღის სიგრძის გაანგარიშების ფორმულა, რომელიც განისაზღვრება დიფრაქციული ბადეებით.

4. დ კ z = 0; დ კ w = 0; dλ з = 0, ვინაიდან კსთ, კ g და λ h – მუდმივი მნიშვნელობები;

მაშინ

5. (B.17)

სადაც Dφ w, Dφ h – აბსოლუტური შეცდომები ყვითელის დიფრაქციის კუთხის გაზომვისას
და სპექტრის მწვანე ხაზები.

6. გამოთვალეთ ყვითელი ტალღის სიგრძის ფარდობითი ცდომილება.

7. გამოთვალეთ ყვითელი ტალღის სიგრძის აბსოლუტური შეცდომა:

Dλ f = ελ f.

გაზომვის პროცესის პრაქტიკული განხორციელებისას, მიუხედავად საზომი ხელსაწყოების სიზუსტისა, მეთოდოლოგიის სისწორისა და საფუძვლიანობისა.
გაზომვების ჩატარებისას გაზომვის შედეგები განსხვავდება გაზომილი მნიშვნელობის ნამდვილი მნიშვნელობისაგან, ე.ი. გაზომვის შეცდომები გარდაუვალია. შეცდომის შეფასებისას ჭეშმარიტი მნიშვნელობის ნაცვლად აღებულია რეალური მნიშვნელობა; ამიტომ, გაზომვის შეცდომის მხოლოდ სავარაუდო შეფასება შეიძლება იყოს მოცემული. გაზომვის შედეგის სანდოობის შეფასება, ე.ი. გაზომვის შეცდომის დადგენა მეტროლოგიის ერთ-ერთი მთავარი ამოცანაა.
შეცდომა არის გაზომვის შედეგის გადახრა გაზომილი მნიშვნელობის ნამდვილი მნიშვნელობიდან. შეცდომები უხეშად შეიძლება დაიყოს საზომი ხელსაწყოების შეცდომებად და გაზომვის შედეგების შეცდომებად.
საზომი ხელსაწყოების შეცდომებიგანხილული იყო მე-3 თავში.
გაზომვის შედეგის შეცდომაარის რიცხვი, რომელიც მიუთითებს გაზომილი სიდიდის მნიშვნელობის გაურკვევლობის შესაძლო ზღვრებზე.
ქვემოთ მივცემთ კლასიფიკაციას და განვიხილავთ გაზომვის შედეგების შეცდომებს.
მეთოდით რიცხვითი გამოხატულება განასხვავებენ აბსოლუტური და ფარდობითი შეცდომები.
შემთხვევის წყაროდან გამომდინარეარის შეცდომები ინსტრუმენტული, მეთოდოლოგიური, დათვლა და ინსტალაცია.
გამოვლინების ნიმუშების მიხედვითგაზომვის შეცდომები იყოფა სისტემატური, პროგრესული, შემთხვევითი და უხეში.
მოდით განვიხილოთ ეს გაზომვის შეცდომები უფრო დეტალურად.

4.1. აბსოლუტური და შედარებითი შეცდომები

აბსოლუტური შეცდომა D არის განსხვავება გაზომილ X-სა და ნამდვილ X-სა და გაზომილი სიდიდის მნიშვნელობებს შორის. აბსოლუტური შეცდომა გამოიხატება გაზომილი მნიშვნელობის ერთეულებში: D = X - Chi.
ვინაიდან გაზომილი სიდიდის ნამდვილი მნიშვნელობის დადგენა შეუძლებელია, პრაქტიკაში მის ნაცვლად გამოიყენება გაზომილი სიდიდის ფაქტობრივი მნიშვნელობა Xd. რეალური მნიშვნელობა ნაპოვნია ექსპერიმენტულად საკმარისად გამოყენებით ზუსტი მეთოდებიდა საზომი ხელსაწყოები. ის ოდნავ განსხვავდება ჭეშმარიტი მნიშვნელობიდან და შეიძლება გამოყენებულ იქნას პრობლემის გადასაჭრელად. გადამოწმების დროს, სტანდარტული საზომი ხელსაწყოების ჩვენებები ჩვეულებრივ აღიქმება როგორც ფაქტობრივი მნიშვნელობა. ამრიგად, პრაქტიკაში, აბსოლუტური შეცდომა გვხვდება ფორმულის გამოყენებით D »X - Xd. შედარებითი შეცდომა d არის გაზომვის აბსოლუტური შეცდომის თანაფარდობა გაზომილი სიდიდის ნამდვილ (ფაქტობრივ) მნიშვნელობასთან (ის ჩვეულებრივ გამოხატულია პროცენტულად): .

4.2. ინსტრუმენტული და მეთოდოლოგიური შეცდომები,
დათვლა და დაყენება

ინსტრუმენტული(ინსტრუმენტული ან ინსტრუმენტული) შეცდომები არის ის, რაც ეკუთვნის მოცემულ საზომ ხელსაწყოს, შეიძლება დადგინდეს მისი ტესტირებისას და შეტანილია მის პასპორტში.
ეს შეცდომები განპირობებულია საზომი ხელსაწყოების კონსტრუქციული და ტექნოლოგიური ხარვეზებით, ასევე მათი ცვეთით, დაბერებით ან გაუმართაობით. ინსტრუმენტული შეცდომებიგამოყენებული საზომი ხელსაწყოების შეცდომებით გამოწვეული, განხილული იყო მე-3 თავში.
თუმცა, ინსტრუმენტული შეცდომების გარდა, გაზომვების დროს არის ასევე შეცდომები, რომლებიც არ შეიძლება მიეკუთვნებოდეს მოცემულ მოწყობილობას, არ არის მითითებული მის პასპორტში და ე.წ. მეთოდური,იმათ. დაკავშირებულია არა თავად მოწყობილობასთან, არამედ მისი გამოყენების მეთოდთან.
მეთოდოლოგიური შეცდომებიშეიძლება წარმოიშვას გაზომვის მეთოდის საფუძვლად მყოფი ფენომენების თეორიის არასრულყოფილი განვითარების გამო, გაზომილი მნიშვნელობის შესაფასებლად გამოყენებული მიმართებების უზუსტობის გამო, აგრეთვე გაზომვის მნიშვნელობასა და მის მოდელს შორის შეუსაბამობის გამო.
განვიხილოთ მეთოდოლოგიური გაზომვის შეცდომის ამსახველი მაგალითები.
კვლევის ობიექტია ალტერნატიული ძაბვის წყარო, რომლის ამპლიტუდის მნიშვნელობა ჰმსაჭიროა გაზომვა. კვლევის ობიექტის წინასწარი შესწავლის საფუძველზე მის მოდელად იქნა მიღებული სინუსოიდური ძაბვის გენერატორი. ვოლტმეტრის გამოყენებით, რომელიც შექმნილია ალტერნატიული ძაბვის ეფექტური მნიშვნელობების გასაზომად და სინუსოიდური ძაბვის ეფექტურ და ამპლიტუდის მნიშვნელობებს შორის ურთიერთობის ცოდნა, ჩვენ ვიღებთ გაზომვის შედეგს სახით. ჰმ = × UV,სად UV-ვოლტმეტრის კითხვა. ობიექტის უფრო საფუძვლიანმა შესწავლამ შეიძლება გამოავლინოს, რომ გაზომილი ძაბვის ფორმა განსხვავდება სინუსოიდურისგან და უფრო სწორი ურთიერთობაა გაზომილი სიდიდის მნიშვნელობასა და ვოლტმეტრის მაჩვენებელს შორის. ჰმ =კ× UV,სად კ¹ . ამრიგად, საკვლევი ობიექტის მიღებული მოდელის არასრულყოფილება იწვევს გაზომვის მეთოდოლოგიურ შეცდომას დU = × UV-კ× Uv.
ეს შეცდომა შეიძლება შემცირდეს ან მნიშვნელობის გაანგარიშებით კგაზომილი ძაბვის მრუდის ფორმის ანალიზის საფუძველზე, ან საზომი ხელსაწყოს შეცვლით ვოლტმეტრის აღებით, რომელიც შექმნილია ალტერნატიული ძაბვის ამპლიტუდის მნიშვნელობების გასაზომად.
მეთოდოლოგიური შეცდომების გამოვლენის ძალიან გავრცელებული მიზეზია ის ფაქტი, რომ გაზომვების ორგანიზებისას ჩვენ იძულებულნი ვართ გავზომოთ (ან შეგნებულად გავზომოთ) არა ის მნიშვნელობა, რომელიც უნდა გავზომოთ, არამედ სხვა მნიშვნელობა, რომელიც ახლოსაა, მაგრამ არა ტოლი. .

ასეთი მეთოდოლოგიური შეცდომის მაგალითია სასრული წინაღობის მქონე ვოლტმეტრით ძაბვის გაზომვის შეცდომა (ნახ. 4.1).
იმის გამო, რომ ვოლტმეტრი შუნტირებს მიკროსქემის განყოფილებას, რომელზედაც ძაბვა იზომება, ის ნაკლებია ვიდრე იყო ვოლტმეტრის შეერთებამდე. მართლაც, ძაბვა, რომელსაც ვოლტმეტრი აჩვენებს, განისაზღვრება გამოხატულებით U = მე×Rვ. იმის გათვალისწინებით, რომ დენი წრეში მე =E/(რი +Rv),რომ
< .
მაშასადამე, ერთი და იგივე ვოლტმეტრისთვის, რომელიც მონაცვლეობით არის დაკავშირებული შესწავლილი მიკროსქემის სხვადასხვა მონაკვეთებთან, ეს შეცდომა განსხვავებულია: დაბალი წინააღმდეგობის მონაკვეთებში ის უმნიშვნელოა, მაგრამ მაღალი წინააღმდეგობის სექციებში ის შეიძლება იყოს ძალიან დიდი. ეს შეცდომა შეიძლება აღმოიფხვრას, თუ ვოლტმეტრი მუდმივად იყო დაკავშირებული მიკროსქემის ამ მონაკვეთთან მოწყობილობის მუშაობის მთელი პერიოდის განმავლობაში (როგორც ელექტროსადგურის გადამრთველზე), მაგრამ ეს წამგებიანია მრავალი მიზეზის გამო.
ხშირია შემთხვევები, როდესაც ზოგადად რთულია გაზომვის მეთოდის მითითება, რომელიც გამორიცხავს მეთოდოლოგიურ შეცდომას. მოდით, მაგალითად, გავზომოთ ღუმელიდან მოძრავი წისქვილზე შემომავალი ცხელი ღეროების ტემპერატურა. საკითხავია, სად განვათავსოთ ტემპერატურის სენსორი (მაგალითად, თერმოწყვილი): ბლანკის ქვეშ, გვერდით თუ ზემოთ? სადაც არ უნდა მოვათავსოთ, არ გავზომოთ ბლანკის სხეულის შიდა ტემპერატურა, ე.ი. გვექნება მნიშვნელოვანი მეთოდოლოგიური შეცდომა, რადგან ჩვენ ვზომავთ არა იმას, რაც საჭიროა, არამედ რაც უფრო მარტივია (თერმოწყვილის ცენტრში მოთავსება თითოეულ ბლანკში შეუძლებელია არხის გაბურღვა).
ასე რომ მთავარი გამორჩეული თვისებამეთოდოლოგიური შეცდომები არის ის ფაქტი, რომ ისინი არ შეიძლება იყოს მითითებული ინსტრუმენტის პასპორტში, მაგრამ უნდა შეფასდეს თავად ექსპერიმენტატორის მიერ არჩეული გაზომვის ტექნიკის ორგანიზებისას, ამიტომ მან მკაფიოდ უნდა განასხვავოს რეალური გაზომვადიისინი ზომის არიან ექვემდებარება გაზომვას.
წაკითხვის შეცდომახდება არასაკმარისი ზუსტი წაკითხვის გამო. ეს განპირობებულია დამკვირვებლის სუბიექტური მახასიათებლებით (მაგალითად, ინტერპოლაციის შეცდომა, ე.ი. გამყოფი წილადების არასწორი კითხვა ინსტრუმენტის სკალაზე) და საკითხავი მოწყობილობის ტიპით (მაგალითად, პარალაქსის შეცდომა). ციფრული საზომი ხელსაწყოების გამოყენებისას კითხვის შეცდომები არ არის, რაც ამ უკანასკნელის პერსპექტივის ერთ-ერთი მიზეზია.
ინსტალაციის შეცდომაგამოწვეულია გაზომვის პირობების ნორმალურიდან გადახრით, ე.ი. პირობები, რომლებშიც განხორციელდა საზომი ხელსაწყოების დაკალიბრება და გადამოწმება. ეს მოიცავს, მაგალითად, შეცდომებს მოწყობილობის არასწორი ინსტალაციის დროს სივრცეში ან მის მაჩვენებელზე ნულოვან ნიშნულზე, ტემპერატურის ცვლილებების, მიწოდების ძაბვის და სხვა გავლენიანი რაოდენობების გამო.
განხილული შეცდომების ტიპები თანაბრად შესაფერისია როგორც ინდივიდუალური გაზომვის შედეგების, ასევე საზომი ხელსაწყოების სიზუსტის დასახასიათებლად.

4.3. სისტემატური, პროგრესული, შემთხვევითი და უხეში შეცდომები

სისტემური გაზომვის შეცდომა Dc არის გაზომვის შეცდომის კომპონენტი, რომელიც რჩება მუდმივი ან ბუნებრივად იცვლება იმავე რაოდენობის განმეორებითი გაზომვით.
სისტემური შეცდომების მიზეზები ჩვეულებრივ შეიძლება დადგინდეს გაზომვების მომზადებისა და ჩატარების დროს. ეს მიზეზები ძალიან მრავალფეროვანია: გამოყენებული საზომი ხელსაწყოების და მეთოდების არასრულყოფილება, საზომი ხელსაწყოს არასწორი ინსტალაცია, გავლენა. გარეგანი ფაქტორები(რაოდენობებზე ზემოქმედება) საზომი ხელსაწყოების პარამეტრებზე და თავად საზომ ობიექტზე, გაზომვის მეთოდის ნაკლოვანებები (მეთოდური შეცდომები), ინდივიდუალური მახასიათებლებიოპერატორი (სუბიექტური შეცდომები) და ა.შ. მათი გამოვლენის ხასიათის მიხედვით, სისტემატური შეცდომები იყოფა მუდმივ და ცვლადებად. მუდმივები მოიცავს, მაგალითად, შეცდომებს, რომლებიც გამოწვეულია გაზომვის მნიშვნელობის არაზუსტი კორექტირებით, ინსტრუმენტის სკალის არასწორი დაკალიბრებით, ხელსაწყოს არასწორი ინსტალაციის შედეგად მაგნიტური ველების მიმართულებასთან მიმართებაში და ა.შ. ცვლადი სისტემური შეცდომები გამოწვეულია გაზომვის პროცესზე ზემოქმედების სიდიდეების გავლენით და შეიძლება წარმოიშვას, მაგალითად, მოწყობილობის კვების ძაბვის შეცვლისას, გარე მაგნიტური ველების, გაზომილი ალტერნატიული ძაბვის სიხშირის და ა.შ. სისტემატური შეცდომები არის ის, რომ მათი დამოკიდებულება გავლენიან რაოდენობებზე ექვემდებარება გარკვეულ კანონს. ამ კანონის შესწავლა შესაძლებელია და გაზომვის შედეგი შეიძლება დაზუსტდეს ცვლილებების შეტანით, თუ დადგინდება ამ შეცდომების რიცხვითი მნიშვნელობები. სისტემური შეცდომების გავლენის შემცირების კიდევ ერთი გზაა გაზომვის მეთოდების გამოყენება, რომლებიც შესაძლებელს გახდის სისტემური შეცდომების გავლენის აღმოფხვრას მათი მნიშვნელობების დადგენის გარეშე (მაგალითად, ჩანაცვლების მეთოდი).
გაზომვების შედეგი არის რაც უფრო ახლოს არის გაზომილი მნიშვნელობის ნამდვილ მნიშვნელობასთან, მით უფრო მცირეა დარჩენილი გამორიცხული სისტემური შეცდომები. გამორიცხული სისტემური შეცდომების არსებობა განსაზღვრავს გაზომვების სიზუსტეს, ხარისხს, რომელიც ასახავს სისტემური შეცდომების ნულთან სიახლოვეს. გაზომვის შედეგი იქნება ისეთივე სწორი, რამდენადაც არ არის დამახინჯებული სისტემატური შეცდომებით და რაც უფრო მცირეა ეს შეცდომები, მით უფრო სწორია.
პროგრესული(ან დრიფტი) არის არაპროგნოზირებადი შეცდომები, რომლებიც დროთა განმავლობაში ნელა იცვლება. ეს შეცდომები, როგორც წესი, გამოწვეულია აღჭურვილობის გარკვეული ნაწილების დაბერების პროცესებით (ელექტრო წყაროების გამონადენი, რეზისტორების დაძველება, კონდენსატორები, მექანიკური ნაწილების დეფორმაცია, ჩამწერებში ქაღალდის ლენტის შეკუმშვა და ა.შ.). პროგრესული შეცდომების თავისებურება ის არის, რომ მათი გამოსწორება შესაძლებელია მხოლოდ დროის მოცემულ მომენტში შესწორების შეტანით და შემდეგ კვლავ არაპროგნოზირებად გაზრდით. ამიტომ, სისტემური შეცდომებისგან განსხვავებით, რომელთა გამოსწორება შესაძლებელია მოწყობილობის მთელი მომსახურების ვადის განმავლობაში ერთხელ აღმოჩენილი შესწორებით, პროგრესირებადი შეცდომები მოითხოვს კორექტირების უწყვეტ გამეორებას და რაც უფრო ხშირად, მით უფრო მცირე უნდა იყოს მათი ნარჩენი მნიშვნელობა. პროგრესული შეცდომების კიდევ ერთი თავისებურება ის არის, რომ დროთა განმავლობაში მათი ცვლილება არასტაციონარული შემთხვევითი პროცესია და, შესაბამისად, სტაციონარული შემთხვევითი პროცესების კარგად განვითარებული თეორიის ფარგლებში, მათი აღწერა შესაძლებელია მხოლოდ დათქმებით.
შემთხვევითი გაზომვის შეცდომა- გაზომვის შეცდომის კომპონენტი, რომელიც შემთხვევით იცვლება იმავე რაოდენობის განმეორებითი გაზომვების დროს. შემთხვევითი შეცდომების მნიშვნელობისა და ნიშნის დადგენა შეუძლებელია მათი უშუალოდ გათვალისწინება გაზომვის შედეგზე სხვადასხვა ფაქტორების ერთდროული გავლენით გამოწვეული მათი ქაოტური ცვლილებების გამო. შემთხვევითი შეცდომები გამოვლინდება ერთი და იგივე რაოდენობის განმეორებითი გაზომვების დროს (ინდივიდუალურ გაზომვებს ამ შემთხვევაში დაკვირვება ეწოდება) ერთი და იგივე საზომი ხელსაწყოების გამოყენებით ერთი და იგივე დამკვირვებლის მიერ, ე.ი. თანაბარი სიზუსტის (ექვიდისპერსული) გაზომვებისთვის. შემთხვევითი შეცდომების გავლენა გაზომვის შედეგზე გათვალისწინებულია მათემატიკური სტატისტიკისა და ალბათობის თეორიის მეთოდებით.
გაზომვის უხეში შეცდომები -შემთხვევითი გაზომვის შეცდომები, რომლებიც მნიშვნელოვნად აღემატება მოცემულ პირობებში მოსალოდნელ შეცდომებს.
უხეში შეცდომები (გამოცდომა) ჩვეულებრივ გამოწვეულია ინსტრუმენტის არასწორი წაკითხვით, დაკვირვების ჩაწერის შეცდომით, ძლიერად მოქმედი რაოდენობის არსებობით, საზომი ხელსაწყოების გაუმართაობით და სხვა მიზეზებით. როგორც წესი, უხეში შეცდომების შემცველი გაზომვის შედეგები არ არის გათვალისწინებული, ამიტომ უხეში შეცდომები მცირე გავლენას ახდენს გაზომვის სიზუსტეზე. შეცდომის გამოვლენა ყოველთვის ადვილი არ არის, განსაკუთრებით ერთი გაზომვით; ხშირად ძნელია უხეში შეცდომის გარჩევა დიდი შემთხვევითი შეცდომისგან. თუ უხეში შეცდომები ხშირად ხდება, ჩვენ კითხვის ნიშნის ქვეშ დავაყენებთ ყველა გაზომვის შედეგებს. ამიტომ, უხეში შეცდომები გავლენას ახდენს გაზომვების ვალიდობაზე.
ინსტრუმენტების შეცდომებისა და გაზომვის შედეგების შემთხვევით, პროგრესულ და სისტემატიურ კომპონენტებად აღწერილი დაყოფის დასასრულს, აუცილებელია ყურადღება მიაქციოთ იმ ფაქტს, რომ ასეთი დაყოფა არის მათი ანალიზის ძალიან გამარტივებული მეთოდი. ამიტომ, ყოველთვის უნდა გვახსოვდეს, რომ სინამდვილეში, შეცდომის ეს კომპონენტები ერთად ჩნდება და ქმნიან ერთ არასტაციონალურ შემთხვევით პროცესს. გაზომვის შედეგის შეცდომა შეიძლება წარმოდგენილი იყოს შემთხვევითი და სისტემატური შეცდომების ჯამის სახით Dс: D = Dс +. გაზომვის შეცდომები მოიცავს შემთხვევით კომპონენტს, ამიტომ გასათვალისწინებელია შემთხვევითი ცვლადი.
გაზომვის შეცდომების გამოვლინების ბუნების გათვალისწინება გვიჩვენებს, რომ შეცდომების შეფასების ერთადერთ სწორ გზას გვაძლევს ალბათობის თეორია და მათემატიკური სტატისტიკა.

4.4. შეცდომების აღწერის ალბათური მიდგომა

შემთხვევითი შეცდომების განაწილების კანონები.შემთხვევითი შეცდომები გამოვლენილია იმავე რაოდენობის რამდენიმე გაზომვისას. გაზომვების შედეგები, როგორც წესი, არ ემთხვევა ერთმანეთს, რადგან მრავალი განსხვავებული ფაქტორის მთლიანი გავლენის გამო, რომელთა გათვალისწინება შეუძლებელია, ყოველი ახალი გაზომვა ასევე იძლევა გაზომილი რაოდენობის ახალ შემთხვევით მნიშვნელობას. თუ გაზომვები ჩატარდა სწორად, არის მათი საკმარისი რაოდენობა და გამოირიცხება სისტემატური შეცდომები და შეცდომები, შეიძლება ითქვას, რომ გაზომილი რაოდენობის ნამდვილი მნიშვნელობა არ სცილდება ამ გაზომვებით მიღებულ მნიშვნელობებს. ის უცნობი რჩება მანამ, სანამ შემთხვევითი შეცდომის თეორიულად სავარაუდო მნიშვნელობა არ დადგინდება.
მოდით გავზომოთ რაოდენობა A პჯერ და დააკვირდა მნიშვნელობებს a1, a2, a3,...,a მე,...,ან. ერთი გაზომვის შემთხვევითი აბსოლუტური შეცდომა განისაზღვრება სხვაობით
დი = აი - ა. (4.1)
გრაფიკულად, ინდივიდუალური გაზომვების შედეგები წარმოდგენილია ნახ. 4.2.
როცა საკმარისია დიდი რიცხვი პიგივე შეცდომები, თუ მათ აქვთ რიგი დისკრეტული მნიშვნელობები, მეორდება და ამიტომ შესაძლებელია მათი წარმოშობის ფარდობითი სიხშირის (სიხშირის) დადგენა, ე.ი. მიღებული იდენტური მონაცემების რაოდენობის თანაფარდობა miრომ საერთო რაოდენობამიღებული გაზომვები პ.ღირებულების გაზომვის გაგრძელებისას აეს სიხშირე არ შეიცვლება, ამიტომ შეიძლება ჩაითვალოს ამ გაზომვებში შეცდომის დაშვების ალბათობა: გვ(აი) = mi / ნ.

შემთხვევითი შეცდომების დადგომის ალბათობის სტატისტიკურ დამოკიდებულებას მათ მნიშვნელობაზე ე.წ. შეცდომის განაწილების კანონი ან ალბათობის განაწილების კანონი. ეს კანონი განსაზღვრავს გარეგნობის ბუნებას სხვადასხვა შედეგებიინდივიდუალური გაზომვები. განაწილების კანონების აღწერის ორი ტიპი არსებობს: განუყოფელიდა დიფერენციალური.
ინტეგრალური კანონი, ან ალბათობის განაწილების ფუნქციაF(დ ) შემთხვევითი შეცდომა დი ვმე-ეგამოცდილება, მოვუწოდებთ ფუნქციას, რომლის მნიშვნელობა თითოეული D-სთვის არის მოვლენის ალბათობა R(დ), რომელიც მდგომარეობს იმაში, რომ შემთხვევითი შეცდომა Di იღებს მნიშვნელობებს ნაკლებს, ვიდრე გარკვეული მნიშვნელობა D, ე.ი. ფუნქცია F(დ ) = P[დი < დ ]. როდესაც D იცვლება -¥-დან +¥-მდე, ეს ფუნქცია იღებს მნიშვნელობებს 0-დან 1-მდე და არ მცირდება. ის არსებობს ყველა შემთხვევითი ცვლადისთვის, როგორც დისკრეტული, ასევე უწყვეტი (სურათი 4.3 ა).
თუ F(დ)სიმეტრიული წერტილის მიმართ A,შესაბამისი ალბათობა არის 0,5, მაშინ დაკვირვების შედეგების განაწილება სიმეტრიული იქნება ნამდვილ მნიშვნელობასთან შედარებით ა.ამ შემთხვევაში მიზანშეწონილია F(დ) x ღერძის გასწვრივ გადანაცვლება DA მნიშვნელობით, ე.ი. სისტემური შეცდომის აღმოფხვრა (DA =დს)და მიიღეთ შეცდომის შემთხვევითი კომპონენტის განაწილების ფუნქცია D=(ნახ. 4.3 ბ). შეცდომის ალბათობის განაწილების ფუნქცია დგანსხვავდება შეცდომის შემთხვევითი კომპონენტის ალბათობის განაწილების ფუნქციისგან მხოლოდ x ღერძის გასწვრივ შეცდომის სისტემური კომპონენტის მნიშვნელობით. დს.
დიფერენციალური კანონი ალბათობის განაწილებაშემთხვევითი შეცდომისთვის უწყვეტი და დიფერენცირებადი განაწილების ფუნქციით F(დ)დარეკეთ ფუნქციას . ეს დამოკიდებულება არსებობს ალბათობის განაწილების სიმკვრივე.ალბათობის სიმკვრივის ნაკვეთი შეიძლება ჰქონდეს განსხვავებული ფორმაშეცდომების განაწილების კანონიდან გამომდინარე. ამისთვის F(დ), ნაჩვენებია ნახ. 4.3 ბ, განაწილების მრუდი f(დ)აქვს ზარის ფორმასთან მიახლოებული ფორმა (სურ. 4.3 გ).
შემთხვევითი შეცდომების ალბათობა განისაზღვრება მრუდით შემოსაზღვრული ფართობით f(დ)ან მისი ნაწილი და აბსცისის ღერძი (სურ. 4.3 გ). განხილული შეცდომის ინტერვალიდან გამომდინარე .

მნიშვნელობა f(დ)დდარსებობს ალბათობის ელემენტი, რომელიც უდრის მართკუთხედის ფართობს ფუძესთან დდ დააბსცისი D1,D2,კვანტილებს უწოდებენ. იმიტომ რომ F(+¥)= 1, მაშინ თანასწორობა მართალია ,
იმათ. ფართობი მრუდის ქვეშ f(დ)ნორმალიზაციის წესის მიხედვით, ის უდრის ერთს და ასახავს ყველა შესაძლო მოვლენის ალბათობას.
პრაქტიკაში ელექტრო გაზომვებიშემთხვევითი შეცდომების განაწილების ერთ-ერთი ყველაზე გავრცელებული კანონია ნორმალური კანონი(გაუსი).
ნორმალური კანონის მათემატიკურ გამოხატულებას აქვს ფორმა
,
სად f(დ)- შემთხვევითი შეცდომის ალბათობის სიმკვრივე D = aმე-ა; s - სტანდარტული გადახრა. სტანდარტული გადახრა შეიძლება გამოისახოს დაკვირვების შედეგების შემთხვევითი გადახრების თვალსაზრისით Di (იხ. ფორმულა (4.1)):
.
ამ განტოლებით აღწერილი მრუდების ბუნება s-ის ორი მნიშვნელობისთვის ნაჩვენებია ნახ. 4.4. ამ მრუდებიდან ირკვევა, რომ რაც უფრო მცირეა s, მით უფრო ხშირად ხდება მცირე შემთხვევითი შეცდომები, ე.ი. რაც უფრო ზუსტია გაზომვები. გაზომვის პრაქტიკაში არსებობს სხვა განაწილების კანონები, რომლებიც შეიძლება შეიქმნას სტატისტიკური დამუშავების საფუძველზე

ექსპერიმენტული მონაცემები. ზოგიერთი ყველაზე გავრცელებული განაწილების კანონი მოცემულია GOST 8.011-84 "გაზომვის სიზუსტის ინდიკატორები და გაზომვის შედეგების წარმოდგენის ფორმები".
განაწილების კანონების ძირითადი მახასიათებლებია მოსალოდნელი ღირებულებადა დისპერსიას.
შემთხვევითი ცვლადის მოლოდინი- ეს არის მისი ღირებულება, რომლის ირგვლივ ჯგუფდება ინდივიდუალური დაკვირვების შედეგები. დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინი M[X]განისაზღვრება, როგორც ყველა პროდუქტის ჯამი შესაძლო ღირებულებებიშემთხვევითი ცვლადი ამ მნიშვნელობების ალბათობაზე .
უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადებისთვის უნდა მივმართოთ ინტეგრაციას, რისთვისაც საჭიროა ვიცოდეთ ალბათობის სიმკვრივის დამოკიდებულება X,ე.ი. f(x),სად x=დ.მაშინ .
ეს გამოხატულება ნიშნავს, რომ მათემატიკური მოლოდინი უდრის შემთხვევითი ცვლადის ყველა შესაძლო მნიშვნელობის უსასრულოდ დიდი რაოდენობის პროდუქტის ჯამს. Xუსასრულოდ მცირე ფართობებამდე f(x)dx,სად f(x) -ორდინატები თითოეულისთვის X,ა dx -აბსცისის ღერძის ელემენტარული სეგმენტები.
თუ დაფიქსირდა შემთხვევითი შეცდომების ნორმალური განაწილება, მაშინ შემთხვევითი შეცდომის მათემატიკური მოლოდინი ნულის ტოლია (ნახ. 4.4). თუ გავითვალისწინებთ შედეგების ნორმალურ განაწილებას, მაშინ მათემატიკური მოლოდინი შეესაბამება გაზომილი მნიშვნელობის ნამდვილ მნიშვნელობას, რომელსაც აღვნიშნავთ ა.
სისტემატური შეცდომა არის გადახრა მათემატიკური მოლოდინიდაკვირვება ჭეშმარიტი მნიშვნელობიდან გამომდინარეობს აგაზომილი რაოდენობა: Dc = M[X]-ადა შემთხვევითი შეცდომა არის განსხვავება ერთი დაკვირვების შედეგსა და მათემატიკურ მოლოდინს შორის: .
რიგი დაკვირვებების დისპერსია ახასიათებს ინდივიდუალური დაკვირვების შედეგების დისპერსიის (გაფანტვის) ხარისხს მათემატიკური მოლოდინის გარშემო:
D[X] =Dx=მ[(აი-mx)2].
რაც უფრო მცირეა დისპერსია, რაც უფრო მცირეა ინდივიდუალური შედეგების გაფანტვა, მით უფრო ზუსტია გაზომვები. თუმცა, დისპერსია გამოიხატება გაზომილი მნიშვნელობის კვადრატში. ამიტომ, სტანდარტული გადახრა (MSD), რომელიც უდრის დისპერსიის კვადრატულ ფესვს, ყველაზე ხშირად გამოიყენება რიგი დაკვირვების სიზუსტის დასახასიათებლად: .
შემთხვევითი ცვლადების ნორმალურად განაწილება, შემთხვევითი შეცდომების ჩათვლით, თეორიულია, ამიტომ აღწერილი ნორმალური განაწილება უნდა ჩაითვალოს „იდეალურად“, ე.ი. თეორიული საფუძველიშემთხვევითი შეცდომების შესწავლა და მათი გავლენა გაზომვის შედეგზე.
ქვემოთ აღწერილია, თუ როგორ უნდა გამოვიყენოთ ეს განაწილება პრაქტიკაში დაახლოების სხვადასხვა ხარისხით. ასევე განიხილება სხვა განაწილება (Student distribution), რომელიც გამოიყენება მცირე რაოდენობის დაკვირვებისთვის.
შეცდომების შეფასება პირდაპირი გაზომვების შედეგებში.დაე, განხორციელდეს პიგივე რაოდენობის პირდაპირი გაზომვები. ზოგადად, თითოეულ გაზომვის აქტში შეცდომა განსხვავებული იქნება:
დმე =აი-A,
სადაც Di არის i-ის გაზომვის შეცდომა; აი- i-ის გაზომვის შედეგი.
ვინაიდან გაზომილი სიდიდის ნამდვილი მნიშვნელობა აუცნობია, შემთხვევითი აბსოლუტური შეცდომის პირდაპირ გამოთვლა შეუძლებელია. პრაქტიკულ გათვლებში, ნაცვლად აგამოიყენე მისი შეფასება. ჩვეულებრივ ვარაუდობენ, რომ ნამდვილი მნიშვნელობა არის რიგი გაზომვების არითმეტიკული საშუალო:
. (4.2)
სად ამე-ინდივიდუალური გაზომვების შედეგები; P -გაზომვების რაოდენობა.
ახლა, გამოხატვის მსგავსად (4.1), ჩვენ შეგვიძლია განვსაზღვროთ თითოეული გაზომვის შედეგის გადახრა საშუალო მნიშვნელობიდან :
(4.3)
სად ვ მე- ერთი გაზომვის შედეგის გადახრა საშუალო მნიშვნელობიდან. უნდა გვახსოვდეს, რომ გაზომვის შედეგის გადახრების ჯამი საშუალო მნიშვნელობიდან არის ნული, ხოლო მათი კვადრატების ჯამი მინიმალურია, ე.ი.
და მინ.
ეს თვისებები გამოიყენება გაზომვის შედეგების დამუშავებისას გამოთვლების სისწორის გასაკონტროლებლად.
შემდეგ გამოთვალეთ ღირებულების შეფასება საშუალო კვადრატული შეცდომაგაზომვების მოცემული სერიისთვის

. (4.4)
ალბათობის თეორიის მიხედვით, საკმარისად დიდი რაოდენობის გაზომვებით, რომლებსაც აქვთ დამოუკიდებელი შემთხვევითი შეცდომები, შეფასება სემთხვევა ალბათობით ს.ამრიგად,

. (4.5)
იმის გამო, რომ საშუალო არითმეტიკული ასევე შემთხვევითი ცვლადია, საშუალო ცნება აზრი აქვს კვადრატული გადახრასაშუალო არითმეტიკული. ჩვენ აღვნიშნავთ ამ მნიშვნელობას sav სიმბოლოთი. შეიძლება აჩვენოს, რომ დამოუკიდებელი შეცდომებისთვის
. (4.6)
sр მნიშვნელობა ახასიათებს გაფანტვის ხარისხს . როგორც ზემოთ აღინიშნა, მოქმედებს როგორც გაზომილი სიდიდის ნამდვილი მნიშვნელობის შეფასება, ე.ი. არის ჩატარებული გაზომვების საბოლოო შედეგი. ამიტომ, s-ს ასევე უწოდებენ გაზომვის შედეგის საშუალო კვადრატულ შეცდომას.
პრაქტიკაში, s-ის მნიშვნელობა, გამოთვლილი ფორმულით (4.5) გამოიყენება, თუ საჭიროა გამოყენებული გაზომვის მეთოდის სიზუსტის დახასიათება: თუ მეთოდი ზუსტია, მაშინ ინდივიდუალური გაზომვების შედეგების გაფანტვა მცირეა, ე.ი. მცირე მნიშვნელობა s . s-ის ღირებულება , გამოითვლება (4.6-ით), გამოიყენება გარკვეული სიდიდის გაზომვის შედეგის სიზუსტის დასახასიათებლად, ე.ი. რიგი ინდივიდუალური პირდაპირი გაზომვების შედეგების მათემატიკური დამუშავების შედეგად მიღებული შედეგი.
გაზომვის შედეგების შეფასებისას, კონცეფცია ზოგჯერ გამოიყენება მაქსიმუმან მაქსიმალური დასაშვები შეცდომა,რომლის მნიშვნელობა განისაზღვრება s ან S წილადებში. ამჟამად, არსებობს სხვადასხვა კრიტერიუმები მაქსიმალური შეცდომის დასადგენად, ანუ ტოლერანტობის ველის საზღვრები ±D, რომლის ფარგლებშიც შემთხვევითი შეცდომები უნდა შეესაბამებოდეს. მაქსიმალური შეცდომის ზოგადად მიღებული განმარტება არის D = 3s (ან 3 ს). IN Ბოლო დროსგაზომვების საინფორმაციო თეორიაზე დაყრდნობით, პროფესორი პ.
ახლა შემოვიღოთ მნიშვნელოვანი ცნებები ნდობის ალბათობადა ნდობის ინტერვალი.როგორც ზემოთ აღინიშნა, არითმეტიკული საშუალო , მიღებული გაზომვების გარკვეული სერიის შედეგად არის ჭეშმარიტი მნიშვნელობის შეფასება ადა, როგორც წესი, არ ემთხვევა მას, მაგრამ განსხვავდება შეცდომის მნიშვნელობით. დაე რდარის იმის შესაძლებლობა, რომ განსხვავდება აარაუმეტეს D-ით, ე.ი. R(-დ< ა< + დ)=Рд. ალბათობა რდდაურეკა ნდობის ალბათობა,და გაზომილი რაოდენობის მნიშვნელობების დიაპაზონი არის - D-მდე + D- ნდობის ინტერვალი.
ზემოაღნიშნული უტოლობა ნიშნავს იმას, რომ ალბათობით რდნდობის ინტერვალი საწყისიდან - D-მდე + D შეიცავს ნამდვილ მნიშვნელობას ა. ამგვარად, შემთხვევითი შეცდომის საკმაოდ სრულად დასახასიათებლად, საჭიროა ორი რიცხვი - ნდობის ალბათობა და შესაბამისი ნდობის ინტერვალი. თუ შეცდომის ალბათობის განაწილების კანონი ცნობილია, მაშინ ნდობის ინტერვალი შეიძლება განისაზღვროს მოცემული ნდობის ალბათობიდან. კერძოდ, საკმარისად დიდი რაოდენობის გაზომვებით ხშირად გამართლებულია ნორმალური კანონის გამოყენება, ხოლო მცირე რაოდენობის გაზომვებით. (პ< 20), რომლის შედეგებიც ნორმალურ განაწილებას მიეკუთვნება, გამოყენებული უნდა იყოს სტუდენტური განაწილება. ამ განაწილებას აქვს ალბათობის სიმკვრივე, რომელიც პრაქტიკულად ემთხვევა ზოგადად ნორმალურს P,მაგრამ მნიშვნელოვნად განსხვავდება ნორმალურიდან მცირე პ.
მაგიდაზე 4.1 აჩვენებს სტუდენტური განაწილების ½ ე.წ t(ო)½ რდგაზომვების რაოდენობისთვის პ= 2 - 20 და ნდობის ალბათობა რ = 0,5 - 0,999.
თუმცა, ჩვენ აღვნიშნავთ, რომ სტუდენტების განაწილების ცხრილები ჩვეულებრივ არ არის მოცემული მნიშვნელობებისთვის პდა Rd,და ღირებულებებისთვის მ =n-1და a =1 - Рд,რა უნდა იყოს გათვალისწინებული მათი გამოყენებისას. ნდობის ინტერვალის დასადგენად აუცილებელია მონაცემები პდა რდიპოვეთ ½ კვანტილი t(ო)½Рд და გამოთვალეთ მნიშვნელობები ან = - სр× ½ t(ო)½ Rdi ავ = + სр× ½ t(ო)½Рд, რომელიც იქნება ქვედა და ზედა საზღვრებინდობის ინტერვალი.

ზემოაღნიშნული მეთოდის მიხედვით მოცემული ნდობის ალბათობის ნდობის ინტერვალების პოვნის შემდეგ, ჩაწერეთ გაზომვის შედეგი ფორმაში ; D=დნ¸ Dv; რდ,
სად - გაზომვის შედეგის ჭეშმარიტი მნიშვნელობის შეფასება გაზომილი მნიშვნელობის ერთეულებში; D - გაზომვის შეცდომა; Dv = + სр× ½ t(ო)½Рд და Dn = - სр× ½ t(ო)½Рд - გაზომვის შეცდომის ზედა და ქვედა ზღვარი; Рд - ნდობის ალბათობა.

ცხრილი 4.1

	სტუდენტის განაწილების კვანტილების მნიშვნელობები t(n) დამაჯერებლად ალბათობები რდ

არაპირდაპირი გაზომვების შედეგებში შეცდომების შეფასება.არაპირდაპირი გაზომვებისას სასურველი რაოდენობა აფუნქციურად დაკავშირებული ერთ ან მეტ პირდაპირ გაზომილ სიდიდეებთან: X,წ,..., ტ. განვიხილოთ ერთი ცვლადით შეცდომის დადგენის უმარტივესი შემთხვევა, როდესაც ა= ფ(x). სიდიდის აბსოლუტური გაზომვის ცდომილების მითითებით X±Dx-ის მეშვეობით მივიღებთ A+დ ა= F(x±დ x).
ამ ტოლობის მარჯვენა მხარის გაფართოებით ტეილორის სერიებად და Dx-ის შემცველი გაფართოების პირობების უგულებელყოფით პირველზე მაღალ ხარისხზე, მივიღებთ
A+DA » F(x) ± Dx ან DA » ± Dx.
ფუნქციის შედარებითი გაზომვის შეცდომა განისაზღვრება გამოხატულებიდან
.
თუ გაზომილი რაოდენობა აარის რამდენიმე ცვლადის ფუნქცია: A=F(x,შ,...,უ),მაშინ არაპირდაპირი გაზომვების შედეგის აბსოლუტური შეცდომა
.
არაპირდაპირი გაზომვის ნაწილობრივი ფარდობითი შეცდომები განისაზღვრება ფორმულებით ; და ა.შ. გაზომვის შედეგის შედარებითი შეცდომა
.
ასევე, ვისაუბროთ შემთხვევითი შეცდომის არსებობისას არაპირდაპირი გაზომვის შედეგის შეფასების მახასიათებლებზე.
რაოდენობის არაპირდაპირი გაზომვის შედეგების შემთხვევითი შეცდომის შეფასება აჩვენ ვივარაუდებთ, რომ სისტემური შეცდომები სიდიდის გაზომვისას x, y,…, tგამორიცხულია და შემთხვევითი შეცდომები ერთი და იგივე რაოდენობების გაზომვისას ერთმანეთზე არ არის დამოკიდებული.
არაპირდაპირი გაზომვებში, გაზომილი სიდიდის მნიშვნელობა გვხვდება ფორმულის გამოყენებით ,
სადაც არის რაოდენობების საშუალო ან შეწონილი საშუალო მნიშვნელობები x, y,…, t.
გაზომილი მნიშვნელობის სტანდარტული გადახრის გამოსათვლელად ამიზანშეწონილია გამოიყენოთ გაზომვებით მიღებული სტანდარტული გადახრები x, y,…, t.
IN ზოგადი ხედიირიბი გაზომვის სტანდარტული გადახრის დასადგენად გამოიყენეთ შემდეგი ფორმულა:
, (4.7)
სად Dx ;Dy ;…;Dt-არაპირდაპირი გაზომვის ნაწილობრივი შეცდომების ე.წ ; ; …; ; ; ; … ; — ნაწილობრივი წარმოებულები აავტორი x, y,…, t;სქ; სy,…,ქ,…-გაზომვის შედეგების სტანდარტული გადახრები x, y,…, t.
განვიხილოთ განტოლების (4.7) გამოყენების რამდენიმე განსაკუთრებული შემთხვევა, როდესაც არაპირდაპირ და პირდაპირ გაზომილ სიდიდეებს შორის ფუნქციური კავშირი გამოიხატება ფორმულით. A=კ× xა× წბ× ზგ,სად კ-რიცხვითი კოეფიციენტი (უგანზომილებიანი).
ამ შემთხვევაში, ფორმულა (4.7) მიიღებს შემდეგ ფორმას:
.
თუ a =ბ =გ = 1და A=კ× x× წ× z,მაშინ შედარებითი შეცდომის ფორმულა ამარტივებს ფორმას .
ეს ფორმულა გამოიყენება, მაგალითად, მართკუთხა პარალელეპიპედის ფორმის ავზის სიმაღლის, სიგანისა და სიღრმის გაზომვის შედეგების მოცულობის გაზომვის შედეგის სტანდარტული გადახრის გამოსათვლელად.

4.5. შემთხვევითი და სისტემატური შეცდომების შეჯამების წესები
რთული საზომი ხელსაწყოების შეცდომა დამოკიდებულია მისი ცალკეული კომპონენტების (ბლოკების) შეცდომებზე. შეცდომები შეჯამებულია გარკვეული წესების მიხედვით.
მოდით, მაგალითად, საზომი მოწყობილობა შედგებოდეს მბლოკები, რომელთაგან თითოეულს აქვს ერთმანეთისგან დამოუკიდებელი შემთხვევითი შეცდომები. ამ შემთხვევაში, საშუალო კვადრატის სკ ან მაქსიმუმის აბსოლუტური მნიშვნელობები მკთითოეული ბლოკის შეცდომები.
არითმეტიკული შეჯამება ან იძლევა მოწყობილობის მაქსიმალურ შეცდომას, რომელსაც აქვს უმნიშვნელო ალბათობა და ამიტომ იშვიათად გამოიყენება მთლიანობაში მოწყობილობის სიზუსტის შესაფასებლად. შეცდომის თეორიის მიხედვით, შედეგად მიღებული შეცდომა sres და მრეზკვადრატული კანონის მიხედვით მიმატებით განისაზღვრება ან .
შედეგად მიღებული ფარდობითი გაზომვის შეცდომა განისაზღვრება ანალოგიურად: . (4.8)
განტოლება (4.8) შეიძლება გამოყენებულ იქნას მოწყობილობების ცალკეული ერთეულების დასაშვები შეცდომების დასადგენად, რომლებიც შემუშავებულია მოცემული გაზომვის შეცდომით. მოწყობილობის დიზაინის შექმნისას, ჩვეულებრივ, მასში შემავალი ცალკეული ბლოკებისთვის არის მითითებული თანაბარი შეცდომები. თუ არსებობს შეცდომის მრავალი წყარო საბოლოო შედეგიგაზომვები განსხვავებულად მოქმედებს (ან მოწყობილობა შედგება რამდენიმე ბლოკისგან სხვადასხვა შეცდომით), შეწონვის კოეფიციენტები უნდა იყოს შეყვანილი ფორმულაში (4.8) კი :
, (4.9)
სადაც d1, d2, …, dm არის საზომი მოწყობილობის ცალკეული ერთეულების (ბლოკების) შედარებითი შეცდომები; k1,k2,…,კმ- კოეფიციენტები, რომლებიც ითვალისწინებენ მოცემული ბლოკის შემთხვევითი შეცდომის გავლენის ხარისხს გაზომვის შედეგზე.
თუ საზომ მოწყობილობას (ან მის ერთეულებს) ასევე აქვს სისტემატური შეცდომები, მთლიანი შეცდომა განისაზღვრება მათი ჯამით: იგივე მიდგომა მოქმედებს მეტიკომპონენტები.
კონკრეტული შეცდომების გავლენის შეფასებისას გასათვალისწინებელია, რომ გაზომვების სიზუსტე ძირითადად დამოკიდებულია შეცდომებზე, რომლებიც დიდია აბსოლუტური მნიშვნელობით და ზოგიერთი უმცირესი შეცდომის გათვალისწინება საერთოდ არ შეიძლება. ნაწილობრივი ცდომილება ფასდება ე.წ უმნიშვნელო შეცდომის კრიტერიუმი,რომელიც არის შემდეგი. დავუშვათ, რომ მთლიანი ცდომილება განისაზღვრება ფორმულით (4.8) ყველაფრის გათვალისწინებით მპირად შეცდომებს, რომელთა შორის მცირე მნიშვნელობა აქვს ზოგიერთ შეცდომას. თუ ჯამური ცდომილება d¢res, გამოთვლილი შეცდომის გათვალისწინების გარეშე, განსხვავდება dre-სგან არაუმეტეს 5%-ით, ე.ი. დრეზ-დ¢რეზ< 0,05×dрез или 0,95×dрезტექნიკური გამოთვლების პრაქტიკაში ხშირად გამოიყენება ნაკლებად მკაცრი კრიტერიუმი - ამ ფორმულებში შედის კოეფიციენტი 0,4.

4.6. გაზომვის შედეგების წარმოდგენის ფორმები

გაზომვის შედეგს აქვს მნიშვნელობა მხოლოდ მაშინ, როდესაც მისი გაურკვევლობის ინტერვალი შეიძლება შეფასდეს, ე.ი. ნდობის ხარისხი. ამიტომ, გაზომვის შედეგი უნდა შეიცავდეს გაზომილი სიდიდის მნიშვნელობას და ამ მნიშვნელობის სიზუსტის მახასიათებლებს, რომლებიც წარმოადგენს სისტემატურ და შემთხვევით შეცდომებს. შეცდომების რაოდენობრივი მაჩვენებლები, მათი გამოხატვის მეთოდები, აგრეთვე გაზომვის შედეგების წარმოდგენის ფორმები რეგულირდება GOST 8.011-72 „გაზომვის სიზუსტის ინდიკატორები და გაზომვის შედეგების წარმოდგენის ფორმები“. განვიხილოთ გაზომვის შედეგების წარმოდგენის ძირითადი ფორმები.
პირდაპირი ერთი გაზომვის შედეგის შეცდომა მრავალ ფაქტორზეა დამოკიდებული, მაგრამ პირველ რიგში განისაზღვრება გამოყენებული საზომი ხელსაწყოების შეცდომით. აქედან გამომდინარე, პირველი მიახლოებით, გაზომვის შედეგის შეცდომა შეიძლება მივიღოთ ტოლი
შეცდომა, რომელიც ახასიათებს გაზომვის დიაპაზონის მოცემულ წერტილში გამოყენებულ საზომ ხელსაწყოს.
საზომი ხელსაწყოების შეცდომები განსხვავდება გაზომვის დიაპაზონში. ამიტომ, თითოეულ შემთხვევაში, თითოეული გაზომვისთვის, აუცილებელია გაზომვის შედეგის ცდომილების გამოთვლა ფორმულების გამოყენებით (3.19) - (3.21) შესაბამისი საზომი ხელსაწყოს შეცდომის ნორმალიზებისთვის. გაზომვის შედეგის როგორც აბსოლუტური, ასევე ფარდობითი შეცდომები უნდა გამოითვალოს, რადგან პირველი მათგანი საჭიროა შედეგის დასამრგვალებლად და სწორად ჩასაწერად, ხოლო მეორე - მისი სიზუსტის ცალსახა შედარებითი აღწერისთვის.
SI შეცდომების სხვადასხვა ნორმალიზაციის მახასიათებლებისთვის, ეს გამოთვლები განსხვავებულად ხორციელდება, ამიტომ განვიხილავთ სამ ტიპურ შემთხვევას.
1. მოწყობილობის კლასი მითითებულია როგორც ერთი ნომერი q,წრეში ჩასმული. მაშინ შედეგის ფარდობითი შეცდომა (პროცენტებში) g = q,და მისი აბსოლუტური შეცდომა D x =ქ× x/ 100.
2. მოწყობილობის კლასი მითითებულია ერთი ნომრით გვ(წრის გარეშე). შემდეგ გაზომვის შედეგის აბსოლუტური შეცდომა D x =გვ× xk/ 100, სადაც xკარის გაზომვის ლიმიტი, რომლითაც იგი განხორციელდა და ფარდობითი გაზომვის შეცდომა (პროცენტებში) ნაპოვნია ფორმულით ,
ანუ ამ შემთხვევაში გაზომვისას გაზომილი მნიშვნელობის წაკითხვის გარდა Xასევე უნდა დაფიქსირდეს გაზომვის ლიმიტი xკ,წინააღმდეგ შემთხვევაში შეუძლებელი იქნება შედეგის შეცდომის შემდგომი გამოთვლა.
3. აპარატის კლასი მითითებულია ფორმაში ორი ნომრით გ/დ. ამ შემთხვევაში უფრო მოსახერხებელია ფარდობითი შეცდომის გამოთვლა დშედეგი (3.21) ფორმულის გამოყენებით და მხოლოდ ამის შემდეგ იპოვნეთ აბსოლუტური შეცდომა როგორც დx =დ× x/100.
შეცდომის გამოთვლის შემდეგ გამოიყენეთ გაზომვის შედეგის წარმოდგენის ერთ-ერთი ფორმა შემდეგი ფორმით: X;± დდა დ, სად X- გაზომილი მნიშვნელობა; დ- აბსოლუტური გაზომვის შეცდომა; დ- შედარებითი გაზომვის შეცდომა. მაგალითად, კეთდება შემდეგი ჩანაწერი: „გაზომვა გაკეთდა შედარებითი შეცდომით დ= …%. გაზომილი ღირებულება x = (ა± დ), სად ა- გაზომვების შედეგი.
ამასთან, უფრო ნათელია გაზომილი მნიშვნელობის გაურკვევლობის ინტერვალის საზღვრების მითითება ფორმით: x = (A-დ)¸(A+დ)ან (A-დ)< х < (A+დ)საზომი ერთეულების მითითებით.
გაზომვის შედეგის წარმოდგენის კიდევ ერთი ფორმა მითითებულია შემდეგნაირად: X; დდან დნადრე Dv; R,სად X- გაზომვის შედეგი გაზომილი რაოდენობის ერთეულებში; დDn,Dv- შესაბამისად, გაზომვის შეცდომა მისი ქვედა და ზედა საზღვრებით იმავე ერთეულებში; რ- ალბათობა, რომლითაც გაზომვის შეცდომა ამ საზღვრებშია.
GOST 8.011-72 იძლევა გაზომვის შედეგების წარმოდგენის სხვა ფორმებს, რომლებიც განსხვავდება მოცემული ფორმებისგან იმით, რომ ისინი ცალკე მიუთითებენ გაზომვის შეცდომის სისტემატური და შემთხვევითი კომპონენტების მახასიათებლებზე. ამავდროულად, სისტემატური შეცდომისთვის მითითებულია მისი სავარაუდო მახასიათებლები. ამ შემთხვევაში, სისტემატური შეცდომის ძირითადი მახასიათებლებია მათემატიკური მოლოდინი M [ Dxc], სტანდარტული გადახრა s[ Dxc] და მისი ნდობის ინტერვალი. შეცდომის სისტემური და შემთხვევითი კომპონენტების იზოლირება მიზანშეწონილია, თუ გაზომვის შედეგი გამოყენებული იქნება მონაცემთა შემდგომი დამუშავებისას, მაგალითად, არაპირდაპირი გაზომვების შედეგის დადგენისა და მისი სიზუსტის შეფასებისას, შეცდომების შეჯამებისას და ა.შ.

GOST 8.011-72-ით გათვალისწინებული გაზომვის შედეგის წარმოდგენის ნებისმიერი ფორმა უნდა შეიცავდეს აუცილებელ მონაცემებს, რომელთა საფუძველზეც შეიძლება განისაზღვროს ნდობის ინტერვალი გაზომვის შედეგის შეცდომისთვის. ზოგადად, ნდობის ინტერვალი შეიძლება დადგინდეს, თუ ცნობილია შეცდომების განაწილების კანონის ტიპი და ამ კანონის ძირითადი რიცხვითი მახასიათებლები.

ჩვენს ეპოქაში ადამიანმა გამოიგონა და იყენებს ყველა სახის საზომი ხელსაწყოების მრავალფეროვნებას. მაგრამ რაც არ უნდა სრულყოფილი იყოს მათი წარმოების ტექნოლოგია, ყველა მათგანს აქვს დიდი თუ ნაკლები შეცდომა. ეს პარამეტრი, როგორც წესი, მითითებულია თავად ინსტრუმენტზე და განსაზღვრული მნიშვნელობის სიზუსტის შესაფასებლად, თქვენ უნდა გესმოდეთ, რას ნიშნავს მარკირებაზე მითითებული რიცხვები. გარდა ამისა, ფარდობითი და აბსოლუტური შეცდომები აუცილებლად წარმოიქმნება რთული მათემატიკური გამოთვლების დროს. იგი ფართოდ გამოიყენება სტატისტიკაში, ინდუსტრიაში (ხარისხის კონტროლი) და რიგ სხვა სფეროებში. როგორ გამოითვლება ეს მნიშვნელობა და როგორ განვსაზღვროთ მისი მნიშვნელობა - ეს არის ზუსტად ის, რაც განიხილება ამ სტატიაში.

აბსოლუტური შეცდომა

x-ით ავღნიშნოთ სიდიდის მიახლოებითი მნიშვნელობა, რომელიც მიიღება, მაგალითად, ერთი გაზომვით, ხოლო x 0-ით მისი ზუსტი მნიშვნელობა. ახლა მოდით გამოვთვალოთ ამ ორ რიცხვს შორის სხვაობის სიდიდე. აბსოლუტური შეცდომა არის ზუსტად ის მნიშვნელობა, რომელიც მივიღეთ ამ მარტივი ოპერაციის შედეგად. ფორმულების ენაზე გამოხატული ეს განმარტება შეიძლება დაიწეროს შემდეგი სახით: Δ x = | x - x 0 |.

შედარებითი შეცდომა

აბსოლუტურ გადახრას აქვს ერთი მნიშვნელოვანი ნაკლი - ის არ იძლევა შეცდომის მნიშვნელოვნების ხარისხის შეფასებას. მაგალითად, ბაზარში ვყიდულობთ 5 კგ კარტოფილს და არაკეთილსინდისიერმა გამყიდველმა წონის გაზომვისას 50 გრამიანი შეცდომა დაუშვა მის სასარგებლოდ. ანუ აბსოლუტური ცდომილება იყო 50 გრამი. ჩვენთვის ასეთი უგულებელყოფა უბრალო წვრილმანი იქნება და ყურადღებასაც არ მივაქცევთ. წარმოიდგინეთ, რა მოხდება, თუ მსგავსი შეცდომა წამლის მომზადებისას მოხდება? აქ ყველაფერი ბევრად უფრო სერიოზული იქნება. და სატვირთო ვაგონის ჩატვირთვისას, გადახრები, სავარაუდოდ, ბევრად აღემატება ამ მნიშვნელობას. ამიტომ, თავად აბსოლუტური შეცდომა არ არის ძალიან ინფორმატიული. გარდა ამისა, ძალიან ხშირად ისინი დამატებით გამოთვლიან ფარდობით გადახრას, რაც უდრის აბსოლუტური შეცდომის თანაფარდობას რიცხვის ზუსტ მნიშვნელობასთან. ეს იწერება შემდეგი ფორმულით: δ = Δ x / x 0 .

შეცდომის თვისებები

დავუშვათ, გვაქვს ორი დამოუკიდებელი სიდიდე: x და y. უნდა გამოვთვალოთ მათი ჯამის სავარაუდო მნიშვნელობის გადახრა. ამ შემთხვევაში, ჩვენ შეგვიძლია გამოვთვალოთ აბსოლუტური ცდომილება, როგორც თითოეული მათგანის წინასწარ გამოთვლილი აბსოლუტური გადახრების ჯამი. ზოგიერთ გაზომვაში შეიძლება მოხდეს, რომ შეცდომები x და y მნიშვნელობების განსაზღვრისას გააუქმოს ერთმანეთი. ან შეიძლება მოხდეს, რომ დამატების შედეგად, გადახრები მაქსიმალურად გაძლიერდეს. ამიტომ, როდესაც მთლიანი აბსოლუტური ცდომილება გამოითვლება, ყველაზე უარესი სცენარი უნდა იყოს გათვალისწინებული. იგივე ეხება რამდენიმე რაოდენობის შეცდომებს შორის განსხვავებას. ეს თვისება დამახასიათებელია მხოლოდ აბსოლუტური შეცდომისთვის და ის არ შეიძლება გამოყენებულ იქნას ფარდობით გადახრაზე, რადგან ეს აუცილებლად გამოიწვევს არასწორ შედეგს. მოდით შევხედოთ ამ სიტუაციას შემდეგი მაგალითის გამოყენებით.

დავუშვათ, ცილინდრის შიგნით გაზომვებმა აჩვენა, რომ შიდა რადიუსი (R 1) არის 97 მმ, ხოლო გარე რადიუსი (R 2) არის 100 მმ. აუცილებელია მისი კედლის სისქის დადგენა. პირველი, მოდით ვიპოვოთ განსხვავება: h = R 2 - R 1 = 3 მმ. თუ პრობლემა არ მიუთითებს რა არის აბსოლუტური შეცდომა, მაშინ იგი აღებულია, როგორც საზომი მოწყობილობის მასშტაბის ნახევარი. ამრიგად, Δ(R 2) = Δ(R 1) = 0.5 მმ. მთლიანი აბსოლუტური შეცდომაა: Δ(h) = Δ(R 2) + Δ(R 1) = 1 მმ. ახლა გამოვთვალოთ ყველა მნიშვნელობის ფარდობითი გადახრა:

δ(R 1) = 0.5/100 = 0.005,

δ(R 1) = 0.5/97 ≈ 0.0052,

δ(h) = Δ(სთ)/სთ = 1/3 ≈ 0.3333>> δ(R 1).

როგორც ხედავთ, ორივე რადიუსის გაზომვის ცდომილება არ აღემატება 5,2%-ს, ხოლო მათი სხვაობის გამოთვლის შეცდომა - ცილინდრის კედლის სისქე - 33,(3)%-ს შეადგენდა!

შემდეგი თვისება ამბობს: რამდენიმე რიცხვის ნამრავლის ფარდობითი გადახრა დაახლოებით უდრის ცალკეული ფაქტორების ფარდობითი გადახრების ჯამს:

δ(xy) ≈ δ(x) + δ(y).

უფრო მეტიც, ეს წესი მოქმედებს შეფასებული მნიშვნელობების რაოდენობის მიუხედავად. ფარდობითი შეცდომის მესამე და საბოლოო თვისება არის ფარდობითი შეფასება kth ნომრებიხარისხი დაახლოებით | k | თავდაპირველი რიცხვის შედარებითი ცდომილების გამრავლება.