როგორ მუშაობს ვიეტას თეორემა? კვადრატული განტოლებების ზეპირი ამოხსნა და ვიეტას თეორემა. ვიეტას საპირისპირო თეორემის დადასტურება

სანამ ვიეტას თეორემაზე გადავიდოდეთ, შემოგთავაზებთ განმარტებას. ფორმის კვადრატული განტოლება x² + px + ქ= 0 ეწოდება შემცირებული. ამ განტოლებაში წამყვანი კოეფიციენტი ერთის ტოლია. მაგალითად, განტოლება x² - 3 x- 4 = 0 მცირდება. ფორმის ნებისმიერი კვადრატული განტოლება ნაჯახი² + ბ x + გ= 0 შეიძლება შემცირდეს განტოლების ორივე მხარის გაყოფით ა≠ 0. მაგალითად, განტოლება 4 x² + 4 x— 3 = 0 4-ზე გაყოფით მცირდება ფორმამდე: x² + x— 3/4 = 0. გამოვიყვანოთ მოცემულის ფესვების ფორმულა კვადრატული განტოლება, ამისთვის ვიყენებთ ზოგადი კვადრატული განტოლების ფესვების ფორმულას: ნაჯახი² + bx + გ = 0

შემცირებული განტოლება x² + px + ქ= 0 ემთხვევა ზოგად განტოლებას, რომელშიც ა = 1, ბ = გვ, გ = ქ.ამრიგად, მოცემული კვადრატული განტოლებისთვის ფორმულა იღებს ფორმას:

ბოლო გამოსახულებას ეწოდება შემცირებული კვადრატული განტოლების ფესვების ფორმულა, განსაკუთრებით მოსახერხებელია ამ ფორმულის გამოყენება, როდესაც რ — ლუწი რიცხვი. მაგალითად, გადავწყვიტოთ განტოლება x² - 14 x — 15 = 0

საპასუხოდ, ჩვენ ვწერთ, რომ განტოლებას აქვს ორი ფესვი.

შემცირებული კვადრატული განტოლებისთვის დადებითით, მოქმედებს შემდეგი თეორემა.

ვიეტას თეორემა

თუ x 1 და x 2 - განტოლების ფესვები x² + px + ქ= 0, მაშინ ფორმულები მოქმედებს:

x 1 + x 2 = — რ

x 1 * x 2 = q,ანუ შემცირებული კვადრატული განტოლების ფესვების ჯამი უდრის საპირისპირო ნიშნით აღებულ მეორე კოეფიციენტს, ხოლო ფესვების ნამრავლი უდრის თავისუფალ წევრს.

ზემოაღნიშნული კვადრატული განტოლების ფესვების ფორმულის საფუძველზე გვაქვს:

ამ თანასწორობების დამატებით მივიღებთ: x 1 + x 2 = —რ.

ამ ტოლობების გამრავლებით, კვადრატების სხვაობის ფორმულის გამოყენებით მივიღებთ:

გაითვალისწინეთ, რომ ვიეტას თეორემა ასევე მოქმედებს, როდესაც დისკრიმინანტი ნულის ტოლია, თუ დავუშვებთ, რომ ამ შემთხვევაში კვადრატულ განტოლებას ორი იდენტური ფესვი აქვს: x 1 = x 2 = — რ/2.

განტოლებების ამოხსნის გარეშე x² - 13 x+ 30 = 0 იპოვეთ მისი ფესვების ჯამი და ნამრავლი x 1 და x 2. ეს განტოლება დ= 169 - 120 = 49 > 0, ასე რომ ვიეტას თეორემა შეიძლება გამოყენებულ იქნას: x 1 + x 2 = 13, x 1 * x 2 = 30. განვიხილოთ კიდევ რამდენიმე მაგალითი. განტოლების ერთ-ერთი ფესვი x² — px- 12 = 0 უდრის x 1 = 4. იპოვეთ კოეფიციენტი რდა მეორე ფესვი xამ განტოლების 2. ვიეტას თეორემით x 1 * x 2 =— 12, x 1 + x 2 = — რ.იმიტომ რომ x 1 = 4, შემდეგ 4 x 2 = - 12, საიდანაც x 2 = — 3, რ = — (x 1 + x 2) = - (4 - 3) = - 1. პასუხად ვწერთ მეორე ფესვს x 2 = - 3, კოეფიციენტი p = - 1.

განტოლებების ამოხსნის გარეშე x² + 2 x- 4 = 0 ვიპოვოთ მისი ფესვების კვადრატების ჯამი. დაე x 1 და x 2 - განტოლების ფესვები. ვიეტას თეორემით x 1 + x 2 = — 2, x 1 * x 2 = — 4. იმიტომ რომ x 1²+ x 2² = ( x 1 + x 2)² - 2 x 1 x 2 მაშინ x 1²+ x 2² =(- 2)² -2 (- 4) = 12.

ვიპოვოთ მე-3 განტოლების ფესვების ჯამი და ნამრავლი x² + 4 x- 5 = 0. ამ განტოლებას ორი განსხვავებული ფესვი აქვს, რადგან დისკრიმინანტია დ= 16 + 4*3*5 > 0. განტოლების ამოსახსნელად ვიყენებთ ვიეტას თეორემას. ეს თეორემა დადასტურდა მოცემული კვადრატული განტოლებისთვის. მოდით გავყოთ ეს განტოლება 3-ზე.

მაშასადამე, ფესვების ჯამი უდრის -4/3, ხოლო მათი ნამრავლი -5/3.

ზოგადად, განტოლების ფესვები ნაჯახი² + ბ x + გ= 0 დაკავშირებულია შემდეგი ტოლობებით: x 1 + x 2 = — ბ/ა, x 1 * x 2 = გ/ა,ამ ფორმულების მისაღებად საკმარისია ამ კვადრატული განტოლების ორივე მხარე გავყოთ ა ≠ 0 და გამოიყენე ვიეტას თეორემა მიღებულ შემცირებულ კვადრატულ განტოლებაზე. განვიხილოთ მაგალითი: თქვენ უნდა შექმნათ შემცირებული კვადრატული განტოლება, რომლის ფესვები x 1 = 3, x 2 = 4. იმიტომ რომ x 1 = 3, x 2 = 4 - კვადრატული განტოლების ფესვები x² + px + ქ= 0, შემდეგ ვიეტას თეორემით რ = — (x 1 + x 2) = — 7, ქ = x 1 x 2 = 12. პასუხს ვწერთ როგორც x² - 7 x+ 12 = 0. ზოგიერთი ამოცანის ამოხსნისას გამოიყენება შემდეგი თეორემა.

თეორემა ეწინააღმდეგება ვიეტას თეორემას

თუ ნომრები რ, ქ, x 1 , x 2 ისეთია რომ x 1 + x 2 = — p, x 1 * x 2 = q, ეს x 1და x 2- განტოლების ფესვები x² + px + ქ= 0. ჩაანაცვლეთ მარცხენა მხარეს x² + px + ქიმის მაგივრად რგამოთქმა - ( x 1 + x 2), და ამის ნაცვლად ქ- სამუშაო x 1 * x 2 .ჩვენ ვიღებთ: x² + px + ქ = x² — ( x 1 + x 2) x + x 1 x 2 = x² - x 1 x - x 2 x + x 1 x 2 = (x - x 1) (x - x 2).ამრიგად, თუ რიცხვები რ, ქ, x 1 და x 2 დაკავშირებულია ამ ურთიერთობებით, შემდეგ ყველასთვის Xთანასწორობა მოქმედებს x² + px + ქ = (x - x 1) (x - x 2),საიდანაც გამომდინარეობს, რომ x 1 და x 2 - განტოლების ფესვები x² + px + ქ= 0. ვიეტას თეორემის შებრუნებული თეორემის გამოყენებით, ზოგჯერ შერჩევით შეგიძლიათ იპოვოთ კვადრატული განტოლების ფესვები. მოდით შევხედოთ მაგალითს, x² - 5 x+ 6 = 0. აქ რ = — 5, ქ= 6. ავირჩიოთ ორი რიცხვი x 1 და x 2 ასე რომ x 1 + x 2 = 5, x 1 * x 2 = 6. შევამჩნიეთ, რომ 6 = 2 * 3, და 2 + 3 = 5, ვიეტას თეორემის შებრუნებული თეორემით, მივიღებთ, რომ x 1 = 2, x 2 = 3 - განტოლების ფესვები x² - 5 x + 6 = 0.

ვიეტას თეორემის ფორმულირება და დამტკიცება კვადრატული განტოლებისთვის. ვიეტას საპირისპირო თეორემა. ვიეტას თეორემა კუბური განტოლებისთვის და თვითნებური რიგის განტოლებისთვის.

შინაარსი

Იხილეთ ასევე: კვადრატული განტოლების ფესვები

კვადრატული განტოლებები

ვიეტას თეორემა

მოდით და აღვნიშნოთ შემცირებული კვადრატული განტოლების ფესვები
(1) .
მაშინ ფესვების ჯამი საპირისპირო ნიშნით აღებული კოეფიციენტის ტოლია. ფესვების ნამრავლი უდრის თავისუფალ ტერმინს:
;
.

შენიშვნა მრავალი ფესვის შესახებ

თუ (1) განტოლების დისკრიმინანტი არის ნული, მაშინ ამ განტოლებას აქვს ერთი ფესვი. მაგრამ, რთული ფორმულირებების თავიდან ასაცილებლად, ზოგადად მიღებულია, რომ ამ შემთხვევაში განტოლებას (1) აქვს ორი მრავალჯერადი ან ტოლი ფესვი:
.

მტკიცებულება ერთი

ვიპოვოთ (1) განტოლების ფესვები. ამისათვის გამოიყენეთ კვადრატული განტოლების ფესვების ფორმულა:
;
;
.

იპოვეთ ფესვების ჯამი:
.

პროდუქტის მოსაძებნად გამოიყენეთ ფორმულა:
.
მაშინ

.

თეორემა დადასტურდა.

მტკიცებულება მეორე

თუ რიცხვები არის კვადრატული განტოლების ფესვები (1), მაშინ
.
ფრჩხილების გახსნა.

.
ამრიგად, განტოლება (1) მიიღებს ფორმას:
.
(1)-თან შედარება ვხვდებით:
;
.

თეორემა დადასტურდა.

ვიეტას საპირისპირო თეორემა

დაე იყოს თვითნებური რიცხვები. მაშინ და არის კვადრატული განტოლების ფესვები
,
სად
(2) ;
(3) .

ვიეტას საპირისპირო თეორემის დადასტურება

განვიხილოთ კვადრატული განტოლება
(1) .
ჩვენ უნდა დავამტკიცოთ, რომ თუ და , მაშინ და არის (1) განტოლების ფესვები.

ჩავანაცვლოთ (2) და (3) (1)-ში:
.
ჩვენ ვაჯგუფებთ ტერმინებს განტოლების მარცხენა მხარეს:
;
;
(4) .

ჩავანაცვლოთ (4):
;
.

ჩავანაცვლოთ (4):
;
.
განტოლება მოქმედებს. ანუ რიცხვი არის (1) განტოლების ფესვი.

თეორემა დადასტურდა.

ვიეტას თეორემა სრული კვადრატული განტოლებისთვის

ახლა განიხილეთ სრული კვადრატული განტოლება
(5) ,
სად , და არის რამდენიმე რიცხვი. მეტიც.

მოდით გავყოთ განტოლება (5) შემდეგზე:
.
ანუ მივიღეთ მოცემული განტოლება
,
სად ;

.

შემდეგ ვიეტას თეორემა სრული კვადრატული განტოლებისთვის აქვს შემდეგი ფორმა.
.
მოდით და აღვნიშნოთ სრული კვადრატული განტოლების ფესვები
;
.

შემდეგ ფესვების ჯამი და პროდუქტი განისაზღვრება ფორმულებით:

ვიეტას თეორემა კუბური განტოლებისთვის
(6) ,
ანალოგიურად, ჩვენ შეგვიძლია დავამყაროთ კავშირი კუბური განტოლების ფესვებს შორის. განვიხილოთ კუბური განტოლება
სადაც , , , არის რამდენიმე რიცხვი. მეტიც.
(7) ,
მოდით გავყოთ ეს განტოლება:
სად , , .

.

მოდით , , იყოს (7) განტოლების (და განტოლების (6)) ფესვები. მაშინ
;
;
.

(7) განტოლებასთან შედარება ვხვდებით:

ვიეტას თეორემა n-ე ხარისხის განტოლებისთვის ანალოგიურად შეგიძლიათ იპოვოთ კავშირები ფესვებს შორის , , ... , , for n-ე განტოლებები
.

გრადუსი ვიეტას თეორემა განტოლებისთვის n-ე ხარისხი
;
;
;

.

აქვს შემდეგი ფორმა:
.
ამ ფორმულების მისაღებად ჩვენ ვწერთ განტოლებას შემდეგნაირად:

შემდეგ ვაიგივებთ კოეფიციენტებს , , , ... სთვის და ვადარებთ თავისუფალ წევრს.
ცნობები:
ი.ნ. ბრონშტეინი, კ.ა. სემენდიაევი, მათემატიკის სახელმძღვანელო ინჟინრებისა და კოლეჯის სტუდენტებისთვის, „ლან“, 2009 წ. ᲡᲛ. ნიკოლსკი, მ.კ. პოტაპოვი და სხვ., ალგებრა: სახელმძღვანელო მე-8 კლასისთვისსაგანმანათლებო ინსტიტუტები

მოსკოვი, განათლება, 2006 წ.

Იხილეთ ასევე:

სასკოლო ალგებრის კურსში მეორე რიგის განტოლებების ამოხსნის მეთოდების შესწავლისას გათვალისწინებულია მიღებული ფესვების თვისებები. ისინი ამჟამად ცნობილია როგორც ვიეტას თეორემა. მისი გამოყენების მაგალითები მოცემულია ამ სტატიაში.

Კვადრატული განტოლება

მეორე რიგის განტოლება არის ტოლობა, რომელიც ნაჩვენებია ქვემოთ მოცემულ ფოტოში.

აქ სიმბოლოები a, b, c არის რამდენიმე რიცხვი, რომელსაც ეწოდება განსახილველი განტოლების კოეფიციენტები. თანასწორობის გადასაჭრელად, თქვენ უნდა იპოვოთ x-ის მნიშვნელობები, რომლებიც მას ჭეშმარიტს ხდის. გაითვალისწინეთ, რომ მას შემდეგსიმძლავრე, რომელზედაც x ამაღლებულია, უდრის ორს, მაშინ ფესვების რაოდენობა ზოგად შემთხვევაშიც უდრის ორს.

ამ ტიპის თანასწორობის გადაჭრის რამდენიმე გზა არსებობს. ამ სტატიაში განვიხილავთ ერთ-ერთ მათგანს, რომელიც გულისხმობს ე.წ. ვიეტას თეორემის გამოყენებას.

ვიეტას თეორემის ფორმულირება

მე -16 საუკუნის ბოლოს, ცნობილმა მათემატიკოსმა ფრანსუა ვიეტმა (ფრანგმა) შენიშნა, როდესაც აანალიზებდა სხვადასხვა კვადრატული განტოლების ფესვების თვისებებს, რომ მათი გარკვეული კომბინაციები აკმაყოფილებს კონკრეტულ ურთიერთობებს. კერძოდ, ეს კომბინაციები მათი პროდუქტი და ჯამია.

ვიეტას თეორემა ადგენს შემდეგს: კვადრატული განტოლების ფესვები შეჯამებისას იძლევა საპირისპირო ნიშნით აღებული წრფივი და კვადრატული კოეფიციენტების შეფარდებას და მათი გამრავლებისას მივყავართ თავისუფალი წევრის კვადრატულ კოეფიციენტთან შეფარდებამდე. .

თუ ზოგადი ფორმაგანტოლება იწერება ისე, როგორც ნაჩვენებია სტატიის წინა ნაწილში ფოტოზე, შემდეგ მათემატიკურად ეს თეორემა შეიძლება დაიწეროს ორი ტოლობის სახით:

• r 2 + r 1 = -b / a;
• r 1 x r 2 = c / a.

სადაც r 1, r 2 არის მოცემული განტოლების ფესვების მნიშვნელობა.

ზემოაღნიშნული ორი თანასწორობა შეიძლება გამოყენებულ იქნას მრავალი განსხვავებული მათემატიკური ამოცანის გადასაჭრელად. ვიეტას თეორემის გამოყენება ამონახსნებთან მაგალითებში მოცემულია სტატიის შემდეგ ნაწილებში.

კვადრატული განტოლების ფესვებსა და კოეფიციენტებს შორის, ძირეული ფორმულების გარდა, არის სხვა სასარგებლო მიმართებები, რომლებიც მოცემულია ვიეტას თეორემა. ამ სტატიაში ჩვენ მივცემთ ვიეტას თეორემის ფორმულირებას და მტკიცებულებას კვადრატული განტოლებისთვის. შემდეგ განვიხილავთ თეორემას ვიეტას თეორემის საპირისპიროდ. ამის შემდეგ ჩვენ გავაანალიზებთ ყველაზე ტიპური მაგალითების გადაწყვეტილებებს. და ბოლოს, ჩვენ ვწერთ Vieta ფორმულებს, რომლებიც განსაზღვრავენ ურთიერთობას რეალურ ფესვებს შორის ალგებრული განტოლება ხარისხი n და მისი კოეფიციენტები.

გვერდის ნავიგაცია.

ვიეტას თეორემა, ფორმულირება, დადასტურება

ფორმის a·x 2 +b·x+c=0 კვადრატული განტოლების ფესვების ფორმულებიდან, სადაც D=b 2 −4·a·c, გამოდის შემდეგი მიმართებები: x 1 +x 2 =−. b/a, x 1 ·x 2 = c/a . ეს შედეგები დადასტურებულია ვიეტას თეორემა:

თეორემა.

თუ x 1 და x 2 არის კვადრატული განტოლების ფესვები a x 2 +b x+c=0, მაშინ ფესვების ჯამი უდრის b და a კოეფიციენტების შეფარდებას, აღებული საპირისპირო ნიშნით და ნამრავლი ფესვები უდრის c და a კოეფიციენტების შეფარდებას, ანუ .

მტკიცებულება.

ვიეტას თეორემის მტკიცებულებას განვახორციელებთ შემდეგი სქემის მიხედვით: კვადრატული განტოლების ფესვების ჯამს და ნამრავლს ვადგენთ ფესვების ცნობილი ფორმულების გამოყენებით, შემდეგ მიღებული გამონათქვამების გარდაქმნას და დარწმუნდებით, რომ ისინი −b/-ის ტოლია. a და c/a, შესაბამისად.

დავიწყოთ ფესვების ჯამით და შევადგინოთ. ახლა ჩვენ მივყავართ წილადებს საერთო მნიშვნელთან, გვაქვს . მიღებული წილადის მრიცხველში, რის შემდეგაც:. საბოლოოდ, 2-ის შემდეგ მივიღებთ. ეს ადასტურებს ვიეტას თეორემის პირველ მიმართებას კვადრატული განტოლების ფესვების ჯამისთვის. გადავიდეთ მეორეზე.

ვადგენთ კვადრატული განტოლების ფესვების ნამრავლს: . წილადების გამრავლების წესის მიხედვით, ბოლო ნამრავლი შეიძლება დაიწეროს როგორც . ახლა ჩვენ ვამრავლებთ ფრჩხილს ფრჩხილზე მრიცხველში, მაგრამ უფრო სწრაფია ამ პროდუქტის დაშლა კვადრატული სხვაობის ფორმულა, Ისე . შემდეგ, დამახსოვრებისას, ჩვენ ვასრულებთ შემდეგ გადასვლას. და რადგან კვადრატული განტოლების დისკრიმინანტი შეესაბამება D=b 2 −4·a·c ფორმულას, მაშინ ბოლო წილადში D-ის ნაცვლად შეგვიძლია ჩავანაცვლოთ b 2 −4·a·c, მივიღებთ. ფრჩხილების გახსნის და მსგავსი ტერმინების მოყვანის შემდეგ მივდივართ წილადზე და მისი შემცირება 4·a-ით იძლევა . ეს ადასტურებს ვიეტას თეორემის მეორე მიმართებას ფესვების ნამრავლისთვის.

თუ ახსნა-განმარტებებს გამოვტოვებთ, ვიეტას თეორემის დადასტურება ლაკონურ ფორმას მიიღებს:
,
.

რჩება მხოლოდ აღნიშვნა, რომ თუ დისკრიმინანტი ნულის ტოლია, კვადრატულ განტოლებას აქვს ერთი ფესვი. თუმცა, თუ დავუშვებთ, რომ ამ შემთხვევაში განტოლებას ორი იდენტური ფესვი აქვს, მაშინ ვიეტას თეორემიდან მიღებული ტოლობებიც მოქმედებს. მართლაც, როდესაც D=0 კვადრატული განტოლების ფესვი უდრის , მაშინ და , და რადგან D=0, ანუ b 2 −4·a·c=0, საიდანაც b 2 =4·a·c, მაშინ .

პრაქტიკაში ვიეტას თეორემა ყველაზე ხშირად გამოიყენება x 2 +p·x+q=0 ფორმის შემცირებულ კვადრატულ განტოლებასთან (პირველი კოეფიციენტით 1-ის ტოლი) მიმართ. ზოგჯერ იგი ჩამოყალიბებულია მხოლოდ ამ ტიპის კვადრატული განტოლებისთვის, რაც არ ზღუდავს ზოგადობას, რადგან ნებისმიერი კვადრატული განტოლება შეიძლება შეიცვალოს ეკვივალენტური განტოლებით ორივე მხარის გაყოფით არანულოვანი რიცხვით a. მოდით მივცეთ ვიეტას თეორემის შესაბამისი ფორმულირება:

თეორემა.

შემცირებული კვადრატული განტოლების ფესვების ჯამი x 2 +p x+q=0 უდრის საპირისპირო ნიშნით აღებულ x-ის კოეფიციენტს, ხოლო ფესვების ნამრავლი უდრის თავისუფალ წევრს, ანუ x 1. +x 2 =−p, x 1 x 2 = q.

თეორემა ეწინააღმდეგება ვიეტას თეორემას

ვიეტას თეორემის მეორე ფორმულირება, რომელიც მოცემულია წინა აბზაცში, მიუთითებს, რომ თუ x 1 და x 2 არის შემცირებული კვადრატული განტოლების ფესვები x 2 +p x+q=0, მაშინ მიმართებები x 1 +x 2 =−p. , x 1 x 2 =q. მეორე მხრივ, x 1 +x 2 =−p, x 1 x 2 =q დაწერილი მიმართებებიდან გამომდინარეობს, რომ x 1 და x 2 არის კვადრატული განტოლების ფესვები x 2 +p x+q=0. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ვიეტას თეორემის საპირისპირო ჭეშმარიტებაა. ჩამოვაყალიბოთ თეორემის სახით და დავამტკიცოთ.

თეორემა.

თუ რიცხვები x 1 და x 2 ისეთია, რომ x 1 +x 2 =−p და x 1 · x 2 =q, მაშინ x 1 და x 2 არის შემცირებული კვადრატული განტოლების ფესვები x 2 +p · x+q. =0.

მტკიცებულება.

x 2 +p·x+q=0 განტოლებაში p და q კოეფიციენტების x 1 და x 2-ის მეშვეობით მათი გამოსახულებებით ჩანაცვლების შემდეგ, იგი გარდაიქმნება ეკვივალენტურ განტოლებად.

მოდით ჩავანაცვლოთ რიცხვი x 1 ნაცვლად x-ის მიღებულ განტოლებაში, გვაქვს ტოლობა x 1 2 −(x 1 +x 2) x 1 +x 1 x 2 =0, რომელიც ნებისმიერი x 1 და x 2 წარმოადგენს სწორ რიცხვობრივ ტოლობას 0=0, ვინაიდან x 1 2 −(x 1 +x 2) x 1 +x 1 x 2 = x 1 2 -x 1 2 -x 2 ·x 1 +x 1 ·x 2 =0. მაშასადამე, x 1 არის განტოლების ფესვი x 2 −(x 1 +x 2) x+x 1 x 2 =0, რაც ნიშნავს x 1 არის ეკვივალენტური განტოლების ფესვი x 2 +p·x+q=0.

თუ განტოლებაში x 2 −(x 1 +x 2) x+x 1 x 2 =0ჩაანაცვლეთ რიცხვი x 2 x-ის ნაცვლად, მივიღებთ ტოლობას x 2 2 −(x 1 +x 2) x 2 +x 1 x 2 =0. ეს არის ნამდვილი თანასწორობა, ვინაიდან x 2 2 −(x 1 +x 2) x 2 +x 1 x 2 = x 2 2 −x 1 ·x 2 −x 2 2 +x 1 ·x 2 =0. მაშასადამე, x 2 ასევე არის განტოლების ფესვი x 2 −(x 1 +x 2) x+x 1 x 2 =0, და შესაბამისად განტოლებები x 2 +p·x+q=0.

ეს ავსებს ვიეტას თეორემის საპირისპირო თეორემის დადასტურებას.

ვიეტას თეორემის გამოყენების მაგალითები

დროა ვისაუბროთ ვიეტას თეორემისა და მისი საპირისპირო თეორემის პრაქტიკულ გამოყენებაზე. ამ ნაწილში ჩვენ გავაანალიზებთ გადაწყვეტილებებს რამდენიმე ყველაზე ტიპიური მაგალითისთვის.

დავიწყოთ ვიეტას თეორემასთან საპირისპირო თეორემის გამოყენებით. მისი გამოყენება მოსახერხებელია იმის შესამოწმებლად, არის თუ არა მოცემული ორი რიცხვი მოცემული კვადრატული განტოლების ფესვები. ამ შემთხვევაში გამოითვლება მათი ჯამი და სხვაობა, რის შემდეგაც მოწმდება ურთიერთობების მართებულობა. თუ ორივე ეს მიმართება დაკმაყოფილებულია, მაშინ ვიეტას თეორემასთან საპირისპირო თეორემის ძალით დასკვნა გამოდის, რომ ეს რიცხვები განტოლების ფესვებია. თუ ერთ-ერთი მიმართება მაინც არ არის დაკმაყოფილებული, მაშინ ეს რიცხვები არ არის კვადრატული განტოლების ფესვები. ეს მიდგომა შეიძლება გამოყენებულ იქნას კვადრატული განტოლებების ამოხსნისას აღმოჩენილი ფესვების შესამოწმებლად.

მაგალითი.

1) x 1 =−5, x 2 =3, ან 2) ან 3) რიცხვებიდან რომელია 4 x 2 −16 x+9=0 კვადრატული განტოლების ფესვების წყვილი?

გამოსავალი.

მოცემული კვადრატული განტოლების 4 x 2 −16 x+9=0 კოეფიციენტებია a=4, b=−16, c=9. ვიეტას თეორემის მიხედვით, კვადრატული განტოლების ფესვების ჯამი უნდა იყოს −b/a, ანუ 16/4=4, ხოლო ფესვების ნამრავლი უნდა იყოს c/a-ის ტოლი, ანუ 9. /4.

ახლა გამოვთვალოთ რიცხვების ჯამი და ნამრავლი სამი მოცემული წყვილებიდან თითოეულში და შევადაროთ ისინი ახლახან მიღებულ მნიშვნელობებს.

პირველ შემთხვევაში გვაქვს x 1 +x 2 =−5+3=−2. მიღებული მნიშვნელობა განსხვავდება 4-ისგან, ამიტომ შემდგომი შემოწმება არ შეიძლება, მაგრამ ვიეტას თეორემის შებრუნებული თეორემის გამოყენებით, დაუყოვნებლივ შეიძლება დავასკვნათ, რომ რიცხვების პირველი წყვილი არ არის მოცემული კვადრატული განტოლების ფესვების წყვილი.

გადავიდეთ მეორე შემთხვევაზე. აქ, ანუ პირველი პირობა დაკმაყოფილებულია. ჩვენ ვამოწმებთ მეორე პირობას: მიღებული მნიშვნელობა განსხვავდება 9/4-ისგან. შესაბამისად, რიცხვების მეორე წყვილი არ არის კვადრატული განტოლების ფესვების წყვილი.

დარჩა ერთი ბოლო შემთხვევა. აქ და. ორივე პირობა დაკმაყოფილებულია, ამიტომ ეს რიცხვები x 1 და x 2 არის მოცემული კვადრატული განტოლების ფესვები.

პასუხი:

ვიეტას თეორემის საპირისპირო მხარე შეიძლება გამოყენებულ იქნას პრაქტიკაში კვადრატული განტოლების ფესვების მოსაძებნად. ჩვეულებრივ, ირჩევენ მოცემული კვადრატული განტოლებების მთელი რიცხვის ფესვებს მთელი რიცხვითი კოეფიციენტებით, რადგან სხვა შემთხვევებში ამის გაკეთება საკმაოდ რთულია. ამ შემთხვევაში ისინი იყენებენ იმ ფაქტს, რომ თუ ორი რიცხვის ჯამი უდრის კვადრატული განტოლების მეორე კოეფიციენტს, აღებული მინუს ნიშნით და ამ რიცხვების ნამრავლი უდრის თავისუფალ წევრს, მაშინ ეს რიცხვები არის ამ კვადრატული განტოლების ფესვები. მოდით გავიგოთ ეს მაგალითით.

ავიღოთ კვადრატული განტოლება x 2 −5 x+6=0. იმისათვის, რომ რიცხვები x 1 და x 2 იყოს ამ განტოლების ფესვები, უნდა დაკმაყოფილდეს ორი ტოლობა: x 1 + x 2 =5 და x 1 ·x 2 =6. რჩება მხოლოდ ასეთი ნომრების შერჩევა. IN ამ შემთხვევაშიამის გაკეთება საკმაოდ მარტივია: ასეთი რიცხვებია 2 და 3, ვინაიდან 2+3=5 და 2·3=6. ამრიგად, 2 და 3 არის ამ კვადრატული განტოლების ფესვები.

ვიეტას თეორემის შებრუნებული თეორემა განსაკუთრებით მოსახერხებელია შემცირებული კვადრატული განტოლების მეორე ფესვის მოსაძებნად, როდესაც ერთ-ერთი ფესვი უკვე ცნობილია ან აშკარაა. ამ შემთხვევაში, მეორე ფესვი შეიძლება მოიძებნოს რომელიმე ურთიერთობიდან.

მაგალითად, ავიღოთ კვადრატული განტოლება 512 x 2 −509 x −3=0. აქ ადვილი მისახვედრია, რომ ერთიანობა არის განტოლების ფესვი, ვინაიდან ამ კვადრატული განტოლების კოეფიციენტების ჯამი ნულის ტოლია. ასე რომ, x 1 = 1. მეორე ფესვი x 2 გვხვდება, მაგალითად, x 1 ·x 2 =c/a მიმართებიდან. გვაქვს 1 x 2 =−3/512, საიდანაც x 2 =−3/512. ასე განვსაზღვრეთ კვადრატული განტოლების ორივე ფესვი: 1 და −3/512.

გასაგებია, რომ ფესვების შერჩევა მიზანშეწონილია მხოლოდ უმარტივეს შემთხვევებში. სხვა შემთხვევებში, ფესვების მოსაძებნად, შეგიძლიათ გამოიყენოთ ფორმულები კვადრატული განტოლების ფესვებისთვის დისკრიმინანტის საშუალებით.

სხვა პრაქტიკული გამოყენებათეორემა, ვიეტას თეორემის საპირისპიროდ, შედგება კვადრატული განტოლებების შედგენაში, მოცემული ფესვების x 1 და x 2. ამისათვის საკმარისია გამოვთვალოთ ფესვების ჯამი, რომელიც იძლევა x-ის კოეფიციენტს მოცემული კვადრატული განტოლების საპირისპირო ნიშნით და ფესვების ნამრავლს, რომელიც იძლევა თავისუფალ წევრს.

მაგალითი.

დაწერეთ კვადრატული განტოლება, რომლის ფესვებია −11 და 23 რიცხვები.

გამოსავალი.

ავღნიშნოთ x 1 =−11 და x 2 =23. ვიანგარიშებთ ამ რიცხვების ჯამს და ნამრავლს: x 1 +x 2 =12 და x 1 ·x 2 =−253. მაშასადამე, მითითებული რიცხვები არის შემცირებული კვადრატული განტოლების ფესვები მეორე კოეფიციენტით −12 და თავისუფალი წევრით −253. ანუ x 2 −12·x−253=0 არის საჭირო განტოლება.

პასუხი:

x 2 −12·x−253=0 .

ვიეტას თეორემა ძალიან ხშირად გამოიყენება კვადრატული განტოლებების ფესვების ნიშნებთან დაკავშირებული ამოცანების ამოხსნისას. როგორ უკავშირდება ვიეტას თეორემა შემცირებული კვადრატული განტოლების ფესვების ნიშნებს x 2 +p·x+q=0? აქ არის ორი შესაბამისი განცხადება:

• თუ თავისუფალი წევრი q დადებითი რიცხვია და თუ კვადრატულ განტოლებას რეალური ფესვები აქვს, მაშინ ორივე დადებითია ან ორივე უარყოფითი.
• თუ თავისუფალი წევრი q არის უარყოფითი რიცხვი და თუ კვადრატულ განტოლებას რეალური ფესვები აქვს, მაშინ მათი ნიშნები განსხვავებულია, სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ერთი ფესვი დადებითია, მეორე კი უარყოფითი.

ეს განცხადებები გამომდინარეობს x 1 · x 2 =q ფორმულიდან, ასევე დადებითი, უარყოფითი რიცხვების და სხვადასხვა ნიშნით რიცხვების გამრავლების წესებიდან. მოდით შევხედოთ მათი გამოყენების მაგალითებს.

მაგალითი.

R ეს დადებითია. დისკრიმინაციული ფორმულის გამოყენებით ვპოულობთ D=(r+2) 2 −4 1 (r−1)= r 2 +4 r+4−4 r+4=r 2 +8, გამოხატვის მნიშვნელობა r 2 +8. დადებითია ნებისმიერი რეალური r, შესაბამისად D>0 ნებისმიერი რეალური r. შესაბამისად, თავდაპირველ კვადრატულ განტოლებას აქვს ორი ფესვი r პარამეტრის ნებისმიერი რეალური მნიშვნელობისთვის.

ახლა მოდით გავარკვიოთ, როდის აქვს ფესვები სხვადასხვა ნიშნები. თუ ფესვების ნიშნები განსხვავებულია, მაშინ მათი ნამრავლი უარყოფითია, ხოლო ვიეტას თეორემის მიხედვით, შემცირებული კვადრატული განტოლების ფესვების ნამრავლი უდრის თავისუფალ წევრს. ამიტომ, ჩვენ გვაინტერესებს r-ის ის მნიშვნელობები, რომლებისთვისაც თავისუფალი ვადა r−1 უარყოფითია. ამრიგად, ჩვენთვის დაინტერესებული r-ის მნიშვნელობების პოვნა გვჭირდება გადაწყვიტოს წრფივი უტოლობა r−1<0 , откуда находим r<1 .

პასუხი:

რ<1 .

ვიეტას ფორმულები

ზემოთ ვისაუბრეთ ვიეტას თეორემაზე კვადრატული განტოლებისთვის და გავაანალიზეთ ის მიმართებები, რომლებიც მას ამტკიცებს. მაგრამ არსებობს ფორმულები, რომლებიც აკავშირებს არა მხოლოდ კვადრატული განტოლებების რეალურ ფესვებს და კოეფიციენტებს, არამედ კუბურ განტოლებებს, მეოთხე ხარისხის განტოლებებს და ზოგადად, ალგებრული განტოლებებიხარისხი n. მათ ეძახიან ვიეტას ფორმულები.

მოდით დავწეროთ Vieta-ს ფორმულა n ხარისხის ალგებრული განტოლებისთვის და დავუშვათ, რომ მას აქვს n ნამდვილი ფესვი x 1, x 2, ..., x n (მათ შორის შეიძლება იყოს დამთხვევები):

ვიეტას ფორმულების მიღება შესაძლებელია თეორემა მრავალწევრის წრფივ ფაქტორებად დაშლის შესახებ, ასევე ტოლი მრავალწევრების განსაზღვრა მათი ყველა შესაბამისი კოეფიციენტის ტოლობის მეშვეობით. ასე რომ, მრავალწევრი და მისი გაფართოება ფორმის წრფივ ფაქტორებად ტოლია. ბოლო ნამრავლში ფრჩხილების გახსნით და შესაბამისი კოეფიციენტების გათანაბრებით ვიღებთ ვიეტას ფორმულებს.

კერძოდ, n=2-ისთვის გვაქვს უკვე ნაცნობი Vieta ფორმულები კვადრატული განტოლებისთვის.

კუბური განტოლებისთვის ვიეტას ფორმულებს აქვთ ფორმა

რჩება მხოლოდ აღნიშვნა, რომ ვიეტას ფორმულების მარცხენა მხარეს არის ე.წ. სიმეტრიული მრავალწევრები.

ბიბლიოგრაფია.

• Ალგებრა:სახელმძღვანელო მე-8 კლასისთვის. ზოგადი განათლება ინსტიტუტები / [იუ. ნ. მაკარიჩევი, ნ.გ.მინდიუკი, კ.ი.ნეშკოვი, ს.ბ.სუვოროვა]; რედ. S.A. თელიაკოვსკი. - მე-16 გამოცემა. - მ.: განათლება, 2008. - 271გვ. : ავად. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• მორდკოვიჩი ა.გ.Ალგებრა. მე-8 კლასი. 2 საათში ნაწილი 1. სახელმძღვანელო ზოგადსაგანმანათლებლო დაწესებულებების სტუდენტებისთვის / A.G. Mordkovich. - მე-11 გამოცემა, წაშლილია. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215გვ.: ილ. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Ალგებრადა მათემატიკური ანალიზის დასაწყისი. მე-10 კლასი: სახელმძღვანელო. ზოგადი განათლებისთვის ინსტიტუტები: ძირითადი და პროფილი. დონეები / [იუ. მ.კოლიაგინი, მ.ვ.ტკაჩევა, ნ.ე.ფედოროვა, მ.ი.შაბუნინი]; რედ. A.B. ჟიჟჩენკო. - მე-3 გამოცემა. - მ.: განათლება, 2010.- 368გვ. : ავად. - ISBN 978-5-09-022771-1.