რას ნიშნავს ექსპონენციალური? ექსპონენციალური ზრდა და მტაცებელი-მტაცებლის ურთიერთობა

გამოთქმა „ექსპონენციალური ზრდა“ შემოვიდა ჩვენს ლექსიკონში და ნიშნავს სწრაფ, ჩვეულებრივ უკონტროლო ზრდას. ის ხშირად გამოიყენება, მაგალითად, ქალაქების სწრაფი ზრდის ან მოსახლეობის ზრდის აღსაწერად. თუმცა მათემატიკაში ამ ტერმინს აქვს ზუსტი მნიშვნელობა და მნიშვნელობა გარკვეული ტიპისზრდა.

ექსპონენციური ზრდა ხდება იმ პოპულაციებში, რომლებშიც მოსახლეობის ზრდა (დაბადებულთა რაოდენობა გამოკლებული დაღუპულთა რაოდენობა) პროპორციულია პოპულაციაში ინდივიდების რაოდენობასთან. მაგალითად, ადამიანის პოპულაციისთვის, შობადობის კოეფიციენტი დაახლოებით პროპორციულია რეპროდუქციული წყვილების რაოდენობასთან, ხოლო სიკვდილიანობის მაჩვენებელი დაახლოებით პროპორციულია მოსახლეობის რაოდენობასთან (ჩვენ აღვნიშნავთ მას ნ). შემდეგ, გონივრული მიახლოებით,

მოსახლეობის ზრდა = დაბადებულთა რაოდენობა - დაღუპულთა რაოდენობა

(Აქ რ- ე. წ პროპორციულობის ფაქტორი, რომელიც საშუალებას გვაძლევს დავწეროთ პროპორციულობის გამოხატულება განტოლების სახით.)

დაე დ ნ— დ დროის განმავლობაში მოსახლეობას დამატებული ინდივიდების რაოდენობა ტ, მაშინ თუ მთლიანობაში პოპულაციაში ნინდივიდებს, მაშინ ექსპონენციური ზრდის პირობები დაკმაყოფილდება თუ

დ N = rNდ ტ

მას შემდეგ, რაც ისააკ ნიუტონმა გამოიგონა დიფერენციალური გამოთვლები მე-17 საუკუნეში, ჩვენ ვიცით როგორ ამოხსნათ ეს განტოლება ნ- მოსახლეობის რაოდენობა ნებისმიერ დროს. (ცნობისთვის: ეს განტოლება ე.წ დიფერენციალური.) აქ არის მისი გამოსავალი:

N=N0 ე რტ

სად ნ 0 არის ინდივიდების რაოდენობა პოპულაციაში ათვლის დასაწყისში და ტ- დრო, რომელიც ამ მომენტიდან გავიდა. სიმბოლო e აღნიშნავს ისეთ სპეციალურ რიცხვს, მას ე.წ ბაზა ბუნებრივი ლოგარითმი (და დაახლოებით უდრის 2.7-ს) და განტოლების მთელი მარჯვენა მხარე ეწოდება ექსპონენციალური ფუნქცია.

უკეთ რომ გავიგოთ რა არის ექსპონენციალური ზრდა, წარმოიდგინეთ მოსახლეობა, რომელიც თავდაპირველად შედგება ერთი ბაქტერიისგან. გარკვეული დროის შემდეგ (რამდენიმე საათის ან წუთის შემდეგ) ბაქტერია ორად იყოფა, რითაც გაორმაგდა პოპულაციის რაოდენობა. მომდევნო პერიოდის შემდეგ, ამ ორი ბაქტერიიდან თითოეული კვლავ ორად გაიყოფა და მოსახლეობის რაოდენობა კვლავ გაორმაგდება - ახლა ოთხი ბაქტერია იქნება. ათი ასეთი გაორმაგების შემდეგ იქნება ათასზე მეტი ბაქტერია, ოცის შემდეგ - მილიონზე მეტი და ა.შ. თუ მოსახლეობა ყოველი გაყოფით გაორმაგდება, მისი ზრდა გაგრძელდება განუსაზღვრელი ვადით.

არსებობს ლეგენდა (სავარაუდოდ არ შეესაბამება სიმართლეს), რომ ჭადრაკის გამომგონებელმა თავის სულთანს ისეთი სიამოვნება მისცა, რომ დაჰპირდა მისი ნებისმიერი თხოვნის შესრულებას. კაცმა სულთანს სთხოვა, ჭადრაკის დაფის პირველ მოედანზე ხორბლის ერთი მარცვალი დაედო, მეორეზე ორი, მესამეზე ოთხი და ა.შ. სულთანმა ეს მოთხოვნა უმნიშვნელოდ მიიჩნია მის მიერ გაწეულ სამსახურთან შედარებით, სთხოვა თავის ქვეშევრდომს სხვა თხოვნით გამოსულიყო, მაგრამ მან უარი თქვა. ბუნებრივია, 64-ე გაორმაგებისთვის მარცვლეულის რაოდენობა ისეთი გახდა, რომ მთელ მსოფლიოში არ იქნებოდა საკმარისი ხორბალი ამ მოთხოვნის დასაკმაყოფილებლად. ჩემთვის ცნობილი ლეგენდის ვერსიაში სულთანმა იმ მომენტში ბრძანა გამომგონებლის თავის მოჭრა. მორალი, როგორც ჩემს სტუდენტებს ვეუბნები, არის: ხანდახან ძალიან ჭკვიანი არ უნდა იყოთ!

ჭადრაკის დაფის მაგალითი (ისევე როგორც წარმოსახვითი ბაქტერიები) გვიჩვენებს, რომ ვერც ერთი პოპულაცია სამუდამოდ ვერ გაიზრდება. ადრე თუ გვიან, მას უბრალოდ ამოეწურება რესურსები - სივრცე, ენერგია, წყალი, რაც არ უნდა იყოს. აქედან გამომდინარე, პოპულაციები შეიძლება მხოლოდ გარკვეული ხნით ექსპონენციურად გაიზარდოს და ადრე თუ გვიან მათი ზრდა უნდა შენელდეს. ამისათვის თქვენ უნდა შეცვალოთ განტოლება ისე, რომ როდესაც პოპულაციის ზომა მაქსიმუმს მიახლოვდება (რაც შეიძლება მხარი დაუჭიროს გარე გარემოს), ზრდის ტემპი შენელდება. მოდით ვუწოდოთ ამას მოსახლეობის მაქსიმალური ზომა კ. შემდეგ შეცვლილი განტოლება ასე გამოიყურება:

დ ნ = rN(1 — (ნ/კ)) დ ტ

Როდესაც ნგაცილებით ნაკლებია კ, წევრი ნ/კშეიძლება უგულებელვყოთ და ჩვენ ვუბრუნდებით ჩვეულებრივი ექსპონენციალური ზრდის თავდაპირველ განტოლებას. თუმცა, როცა ნმისკენ მიახლოება მაქსიმალური ღირებულება კ, მნიშვნელობა 1 - ( ნ/კ) მიდრეკილია ნულისკენ და შესაბამისად მოსახლეობის ზრდა ნულისკენ მიისწრაფვის. მოსახლეობის საერთო რაოდენობა ამ შემთხვევაში სტაბილიზდება და რჩება დონეზე კ. ამ განტოლებით აღწერილ მრუდს, ისევე როგორც თავად განტოლებას, აქვს რამდენიმე სახელი - S-მრუდი, ლოგისტიკური განტოლება, ვოლტერას განტოლება, ლოტკა–ვოლტერას განტოლება. (ვიტო ვოლტი ე RRA, 1860-1940 - გამოჩენილი იტალიელი მათემატიკოსი და მასწავლებელი; ალფრედ ლოტკა, 1880-1949 - ამერიკელი მათემატიკოსი და სადაზღვევო ანალიტიკოსი.) რაც არ უნდა ეწოდოს მას, ეს არის საკმაოდ მარტივი გამოხატულება მოსახლეობის რაოდენობისა, რომელიც მკვეთრად იზრდება ექსპონენტურად, შემდეგ კი ნელდება, როდესაც ის გარკვეულ ზღვარს უახლოვდება. და ის ასახავს რეალური პოპულაციების ზრდას ბევრად უკეთ, ვიდრე ჩვეულებრივი ექსპონენციალური ფუნქცია.

მაჩვენებელი არის რიცხვი, რომელიც გვიჩვენებს, რამდენჯერ უნდა გამრავლდეს სიდიდე თავის თავზე. მაგალითად, თუ მაჩვენებელი არის 3 და სიდიდე 4, მაშინ გამოხატულება 4 3 ნიშნავს 4 x 4x4, რაც არის 64. მათემატიკური გამოხატულება 2-ზენიშნავს ზე X ზე, და ნომერი 2 არის მაჩვენებელი.

რით განსხვავდება ექსპონენციალური ზრდა წრფივი ზრდისგან? წრფივი ზრდით, მნიშვნელობა იზრდება თითოეულ ეტაპზე იგივე კარგიდა არა მრავალჯერადინომერი. თუ ჩემი საწყისი კაპიტალი არის $1000 და ყოველწლიურად 100$-ით იზრდება, მაშინ 10 წელიწადში გავაორმაგებ და მექნება $2000. ეს არის წრფივი ზრდა, ყოველწლიურად ერთნაირი რაოდენობით. მაგრამ თუ ჩემი საწყისი კაპიტალი $1,000 ყოველწლიურად იზრდება 10 პროცენტით, მაშინ ათი წლის შემდეგ მექნება $2,594. ეს არის ექსპონენციალური ზრდის მაგალითი მუდმივი წლიური ზრდით 1.1-ის ჯერადობით. თუ კიდევ 10 წელი გავაგრძელებ ჩემს ბიზნესს, მაშინ წრფივი ზრდა მომცემს ჯამში $3000-ს, ექსპონენციალური ზრდა კი $6727-ს.

ნებისმიერი ბაზარი ან ბიზნესი, რომელიც ინარჩუნებს ზრდის ტემპს 10 პროცენტით ან მეტი დროის გახანგრძლივებულ პერიოდში, განიცდის ბევრად უფრო დიდ ღირებულების შექმნას, ვიდრე ჩვენ ინტუიციურად ვაფასებთ. ზოგიერთი კომპანია - როგორიცაა IBM ან McDonald's 1950 წლიდან

1985 ან მაიკროსოფტი 1990-იან წლებში - მოახერხეს წლიურად 15 პროცენტზე მეტი ზრდის ტემპის მიღწევა და მათი კაპიტალი მრავალჯერ გაზარდეს. თუ დაიწყებთ $100-ით და გაზრდით თქვენს კაპიტალს წელიწადში 15 პროცენტით 15 წლის განმავლობაში, თქვენ მიიღებთ $3,292-ს, რაც თითქმის 33-ჯერ მეტია ვიდრე დაიწყეთ. ზრდის პროცენტის მცირე ზრდა იწვევს შედეგებში დიდ განსხვავებას.

მაგალითად, ამერიკელმა საფონდო ბროკერმა უილიამ ო'ნილმა შექმნა ფონდი თავისი თანაკლასელებისთვის და მართავდა მას 1961 წლიდან 1986 წლამდე. ამ დროის განმავლობაში, საწყისი 850 დოლარი გადაიზარდა 51,653 დოლარად 25 წლის განმავლობაში, საშუალო ზრდა იყო 17. 85 პროცენტი წელიწადში, რაც ითარგმნება როგორც თავდაპირველი ოდენობის 61-ჯერ ზრდა. ამრიგად, ჩვენ ვხედავთ, რომ თუ 25 წლის განმავლობაში 15 პროცენტიანი ზრდა ზრდის კაპიტალს 33-ჯერ, მაშინ წლიური ზრდის ტემპს 3 პროცენტზე ნაკლების დამატება ზრდის. შედეგი 33-ჯერ.

ექსპონენციალური ზრდა ცვლის ყველაფერს არა მხოლოდ რაოდენობრივად, არამედ ხარისხობრივად. მაგალითად, ინდუსტრიის სწრაფი ზრდასთან ერთად - პიტერ დრაკერი ასახელებს მაჩვენებელს 40 პროცენტს 10 წელიწადში - მისი სტრუქტურა იცვლება და ბაზრის ახალი ლიდერები გამოდიან წინა პლანზე. სწრაფი ზრდაბაზრებს ამოძრავებს ინოვაციები, კანონზომიერების ნაკლებობა, ახალი პროდუქტები, ტექნოლოგიები ან მომხმარებლები. ინოვატორები, განსაზღვრებით, ყველაფერს სხვანაირად აკეთებენ, ვიდრე სხვები. ახალი გზები იშვიათად თანაარსებობს არსებული ფირმების ჩვევებთან, იდეებთან, პროცედურებთან და სტრუქტურებთან. ინოვატორებს ხშირად აქვთ შესაძლებლობა რამდენიმე წლით შორს წავიდნენ, სანამ ტრადიციული ლიდერები არ გადაწყვეტენ კონტრშეტევის დაწყებას, მაგრამ მაშინ შეიძლება ძალიან გვიან იყოს.

თუ მოსახლეობის ზრდა პროპორციულია ინდივიდების რაოდენობასთან, მოსახლეობის ზომა ექსპონენტურად გაიზრდება.

გამოთქმა „ექსპონენციალური ზრდა“ შემოვიდა ჩვენს ლექსიკონში და ნიშნავს სწრაფ, ჩვეულებრივ უკონტროლო ზრდას. ის ხშირად გამოიყენება, მაგალითად, ქალაქების სწრაფი ზრდის ან მოსახლეობის ზრდის აღსაწერად. თუმცა, მათემატიკაში ამ ტერმინს აქვს ზუსტი მნიშვნელობა და აღნიშნავს გარკვეული ტიპის ზრდას.

ექსპონენციური ზრდა ხდება იმ პოპულაციებში, რომლებშიც მოსახლეობის ზრდა (დაბადებულთა რაოდენობა გამოკლებული დაღუპულთა რაოდენობა) პროპორციულია პოპულაციაში ინდივიდების რაოდენობასთან. მაგალითად, ადამიანის პოპულაციისთვის, შობადობის კოეფიციენტი უხეშად პროპორციულია რეპროდუქციული წყვილების რაოდენობისა და სიკვდილიანობის კოეფიციენტი უხეშად პროპორციულია მოსახლეობის რაოდენობისა (მოდით დავარქვათ N). შემდეგ, გონივრული მიახლოებით,

მოსახლეობის ზრდა = დაბადებულთა რაოდენობა - დაღუპულთა რაოდენობა

(აქ r არის ეგრეთ წოდებული პროპორციულობის კოეფიციენტი, რომელიც საშუალებას გვაძლევს დავწეროთ პროპორციულობის გამოხატულება განტოლების სახით.)

ვთქვათ dN არის dt დროის განმავლობაში პოპულაციაში დამატებული ინდივიდების რაოდენობა, მაშინ თუ პოპულაციაში სულ N ინდივიდია, მაშინ ექსპონენციალური ზრდის პირობები დაკმაყოფილდება, თუ

მას შემდეგ, რაც ისააკ ნიუტონმა გამოიგონა დიფერენციალური გამოთვლები მე-17 საუკუნეში, ჩვენ ვიცით, როგორ გადავწყვიტოთ ეს განტოლება N-სთვის, პოპულაციის ზომა ნებისმიერ დროს. (ცნობისთვის: ასეთ განტოლებას დიფერენციალური ჰქვია.) აი მისი ამონახსნი:

სადაც N 0 არის ინდივიდების რაოდენობა პოპულაციაში ათვლის დასაწყისში, და t არის დრო, რომელიც გავიდა ამ მომენტიდან. სიმბოლო e დგას ამ სპეციალურ რიცხვზე, მას უწოდებენ ბუნებრივი ლოგარითმის საფუძველს (და უდრის დაახლოებით 2.7-ს), ხოლო განტოლების მთელ მარჯვენა მხარეს ეწოდება ექსპონენციალური ფუნქცია.

უკეთ რომ გავიგოთ რა არის ექსპონენციალური ზრდა, წარმოიდგინეთ პოპულაცია, რომელიც თავდაპირველად შედგება ერთი ბაქტერიისგან. გარკვეული დროის შემდეგ (რამდენიმე საათის ან წუთის შემდეგ) ბაქტერია ორად იყოფა, რითაც გაორმაგდა პოპულაციის რაოდენობა. მომდევნო პერიოდის შემდეგ, ამ ორი ბაქტერიიდან თითოეული კვლავ ორად გაიყოფა და მოსახლეობის რაოდენობა კვლავ გაორმაგდება - ახლა ოთხი ბაქტერია იქნება. ათი ასეთი გაორმაგების შემდეგ ათასზე მეტი ბაქტერია იქნება, ოცის შემდეგ - მილიონზე მეტი და ა.შ. თუ მოსახლეობა გაორმაგდება თითოეულ გაყოფაზე, მისი ზრდა გაგრძელდება განუსაზღვრელი ვადით.

ჭადრაკის დაფის მაგალითი (ისევე როგორც წარმოსახვითი ბაქტერიები) გვიჩვენებს, რომ ვერც ერთი პოპულაცია ვერ გაიზრდება სამუდამოდ. ადრე თუ გვიან მას უბრალოდ ამოეწურება რესურსები - სივრცე, ენერგია, წყალი, რაც არ უნდა იყოს. აქედან გამომდინარე, პოპულაციები შეიძლება მხოლოდ გარკვეული ხნით ექსპონენციურად გაიზარდოს და ადრე თუ გვიან მათი ზრდა უნდა შენელდეს. ამისათვის თქვენ უნდა შეცვალოთ განტოლება ისე, რომ როდესაც პოპულაციის ზომა მაქსიმუმს მიახლოვდება (რაც შეიძლება მხარი დაუჭიროს გარე გარემოს), ზრდის ტემპი შენელდება. მოდით ვუწოდოთ ამ პოპულაციის მაქსიმალური ზომა K. მაშინ შეცვლილი განტოლება ასე გამოიყურება:

dN = rN(1 - (N/K)) dt

როდესაც N გაცილებით ნაკლებია ვიდრე K, N/K ტერმინი შეიძლება უგულებელვყოთ და ჩვენ ვუბრუნდებით ჩვეულებრივი ექსპონენციალური ზრდის თავდაპირველ განტოლებას. თუმცა, როდესაც N უახლოვდება თავის მაქსიმალურ მნიშვნელობას K, მნიშვნელობა 1 - (N/K) მიისწრაფვის ნულისკენ და შესაბამისად მოსახლეობის ზრდა ნულისკენ მიისწრაფვის. პოპულაციის მთლიანი ზომა ამ შემთხვევაში სტაბილიზდება და რჩება K დონეზე. ამ განტოლებით აღწერილ მრუდს, ისევე როგორც თავად განტოლებას, აქვს რამდენიმე სახელი - S-მრუდი, ლოგისტიკური განტოლება, ვოლტერას განტოლება, ლოტკა-ვოლტერას განტოლება. (ვიტო ვოლტერა (1860–1940) იყო გამოჩენილი იტალიელი მათემატიკოსი და მასწავლებელი; ალფრედ ლოტკა (1880–1949) იყო ამერიკელი მათემატიკოსი და სადაზღვევო ანალიტიკოსი.) რაც არ უნდა ეწოდოს მას, ეს არის მზარდი მოსახლეობის რაოდენობის საკმაოდ მარტივი გამოხატულება. მკვეთრად ექსპონენციურად და შემდეგ ნელდება, როდესაც ის უახლოვდება გარკვეულ ზღვარს. და ის ასახავს რეალური პოპულაციების ზრდას ბევრად უკეთ, ვიდრე ჩვეულებრივი ექსპონენციალური ფუნქცია.

ექსპონენციალური ზრდა

თუ მოსახლეობის ზრდა პროპორციულია ინდივიდების რაოდენობასთან, მოსახლეობის რაოდენობა ექსპონენტურად გაიზრდება.

გამოთქმა „ექსპონენციალური ზრდა“ შემოვიდა ჩვენს ლექსიკონში და ნიშნავს სწრაფ, ჩვეულებრივ უკონტროლო ზრდას. ის ხშირად გამოიყენება, მაგალითად, ქალაქების სწრაფი ზრდის ან მოსახლეობის ზრდის აღსაწერად. თუმცა, მათემატიკაში ამ ტერმინს აქვს ზუსტი მნიშვნელობა და აღნიშნავს გარკვეული ტიპის ზრდას.

ექსპონენციური ზრდა ხდება იმ პოპულაციებში, რომლებშიც მოსახლეობის ზრდა (დაბადებულთა რაოდენობა გამოკლებული დაღუპულთა რაოდენობა) პროპორციულია პოპულაციაში ინდივიდების რაოდენობასთან. მაგალითად, ადამიანის პოპულაციისთვის, შობადობის კოეფიციენტი დაახლოებით პროპორციულია რეპროდუქციული წყვილების რაოდენობასთან, ხოლო სიკვდილიანობის მაჩვენებელი დაახლოებით პროპორციულია მოსახლეობის რაოდენობასთან (ჩვენ აღვნიშნავთ მას ) . შემდეგ, გონივრული მიახლოებით,

მოსახლეობის ზრდა = დაბადებულთა რაოდენობა - დაღუპულთა რაოდენობა

ან
(აქ არის ეგრეთ წოდებული პროპორციულობის კოეფიციენტი, რომელიც საშუალებას გვაძლევს დავწეროთ პროპორციულობის გამოხატულება განტოლების სახით).

ვთქვათ დროთა განმავლობაში დამატებული ინდივიდების რაოდენობა პოპულაციაში, მაშინ თუ პოპულაციაში სულ არის ინდივიდები, მაშინ ექსპონენციური ზრდის პირობები დაკმაყოფილდება, თუ

მას შემდეგ, რაც ისააკ ნიუტონმა გამოიგონა დიფერენციალური გამოთვლები მე-17 საუკუნეში, ჩვენ ვიცით, როგორ ამოვიცნოთ ეს განტოლება მოსახლეობის ზომისთვის ნებისმიერ მოცემულ დროს. (ცნობისთვის: ასეთ განტოლებას დიფერენციალური ჰქვია.) აი მისი ამონახსნი:
სად არის ინდივიდების რაოდენობა პოპულაციაში ათვლის დასაწყისში და არის დრო, რომელიც გავიდა ამ მომენტიდან. სიმბოლო დგას ამ სპეციალურ რიცხვზე, მას ეწოდება ბუნებრივი ლოგარითმის საფუძველი (და დაახლოებით 2.7-ის ტოლია), ხოლო განტოლების მთელ მარჯვენა მხარეს ეწოდება ექსპონენციალური ფუნქცია.

ჭადრაკის დაფის მაგალითი (ისევე როგორც წარმოსახვითი ბაქტერიები) გვიჩვენებს, რომ ვერც ერთი პოპულაცია სამუდამოდ ვერ გაიზრდება. ადრე თუ გვიან მას უბრალოდ ამოეწურება რესურსები - სივრცე, ენერგია, წყალი, რაც არ უნდა იყოს. აქედან გამომდინარე, პოპულაციები შეიძლება მხოლოდ გარკვეული ხნით ექსპონენციურად გაიზარდოს და ადრე თუ გვიან მათი ზრდა უნდა შენელდეს. ამისათვის თქვენ უნდა შეცვალოთ განტოლება ისე, რომ როდესაც მოსახლეობის რაოდენობა მაქსიმალურ მაქსიმუმს მიახლოვდება (რაც შეიძლება მხარი დაუჭიროს გარე გარემოს), ზრდის ტემპი შენელდება. მოდით ვუწოდოთ ამას მოსახლეობის მაქსიმალური ზომა. შემდეგ შეცვლილი განტოლება ასე გამოიყურება:

როდესაც გაცილებით ნაკლებია, ტერმინი შეიძლება უგულებელვყოთ და ვუბრუნდებით ჩვეულებრივი ექსპონენციალური ზრდის თავდაპირველ განტოლებას. თუმცა, როდესაც ის უახლოვდება თავის მაქსიმალურ მნიშვნელობას, მნიშვნელობა მიისწრაფვის ნულისკენ და შესაბამისად მოსახლეობის ზრდა ნულისკენ მიისწრაფვის. მოსახლეობის საერთო რაოდენობა ამ შემთხვევაში სტაბილიზდება და რჩება დონეზე. ამ განტოლებით აღწერილ მრუდს, ისევე როგორც თავად განტოლებას, რამდენიმე სახელი აქვს - S-მრუდი, ლოგისტიკური განტოლება, ვოლტერას განტოლება, ლოტკა-ვოლტერას განტოლება. (ვიტო ვოლტერა, 1860–1940 - გამოჩენილი იტალიელი მათემატიკოსი და მასწავლებელი; ალფრედ ლოტკა, 1880–1949 - ამერიკელი მათემატიკოსი და სადაზღვევო ანალიტიკოსი.) რაც არ უნდა ეწოდოს მას, ეს არის საკმაოდ მარტივი გამოხატულება მკვეთრად ექსპონენტურად მზარდი მოსახლეობის რაოდენობისა და შემდეგ. შენელება გარკვეულ ლიმიტთან მიახლოებისას. და ის ასახავს რეალური პოპულაციების ზრდას ბევრად უკეთ, ვიდრე ჩვეულებრივი ექსპონენციალური ფუნქცია.

მტაცებლისა და მტაცებლის ურთიერთობა

მტაცებლებსა და მათ მსხვერპლს შორის ურთიერთობა ციკლურად ვითარდება, რაც ასახავს ნეიტრალურ წონასწორობას.

ზოგჯერ მარტივი მათემატიკური მოდელი კარგად აღწერს რთულს ბიოლოგიური სისტემა. ამის მაგალითია ეკოსისტემაში მტაცებლისა და მტაცებელი სახეობების გრძელვადიანი ურთიერთობა. ერთი სახეობის პოპულაციის ზრდის მათემატიკური გამოთვლები (იხ. ზემოთ) აჩვენებს, რომ მოსახლეობის სიმჭიდროვის საზღვრები შეიძლება აღწერილი იყოს მარტივი განტოლებებით, რომლებიც წარმოქმნიან დამახასიათებელ S-ფორმის მრუდს. ეს არის პოპულაციის მრუდი, რომელიც იზრდება ექსპონენტურად, სანამ ის პატარაა და შემდეგ იკლებს, როდესაც აღწევს ეკოსისტემის შესაძლებლობების საზღვრებს, რომ მხარი დაუჭიროს მას. ამ კონცეფციის მარტივი გაფართოება საშუალებას გვაძლევს გავიგოთ ეკოსისტემა, რომელშიც ორი სახეობა - მტაცებელი და მტაცებელი - ურთიერთქმედებენ.

ასე რომ, თუ ბალახისმჭამელი მტაცებლების რაოდენობა არის , ხოლო ხორცისმჭამელი მტაცებლების რაოდენობა არის , მაშინ ალბათობა იმისა, რომ მტაცებელი შეხვდება ბალახოვან ცხოველს, პროდუქტის პროპორციულია. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, რაც უფრო მაღალია ერთ-ერთი სახეობის სიმრავლე, მით უფრო მაღალია ასეთი შეტაკებების ალბათობა. მტაცებლების არარსებობის შემთხვევაში, მტაცებლის პოპულაცია ექსპონენციალურად გაიზრდება (მინიმუმ თავდაპირველად), ხოლო მტაცებლის არარსებობის შემთხვევაში, მტაცებლების პოპულაცია ნულამდე შემცირდება - ან შიმშილის ან მიგრაციის გამო. ახლა, თუ არის დროთა განმავლობაში ბალახისმჭამელთა პოპულაციის ცვლილება და მტაცებლების პოპულაციის ცვლილება იმავე დროის ინტერვალში, მაშინ ეს ორი პოპულაცია აღწერილია განტოლებით:

აქ არის ბალახისმჭამელთა რაოდენობის ზრდის ტემპი მტაცებლების არარსებობის შემთხვევაში და არის მტაცებლების რაოდენობის შემცირების ტემპი ბალახისმჭამელების არარსებობის შემთხვევაში. მუდმივები და არის ის ტემპი, რომლითაც მტაცებლებსა და ნადირს შორის შეტაკებები აშორებს ბალახისმჭამელებს პოპულაციიდან, და სიჩქარე, რომლითაც ეს შეტაკებები საშუალებას აძლევს მტაცებლებს დაემატოს პოპულაციას. პირველ განტოლებაში მინუს ნიშანი მიუთითებს, რომ შეტაკებები ამცირებს მტაცებლის პოპულაციას, ხოლო პლუს ნიშანი მეორეში მიუთითებს, რომ შეტაკებები ზრდის მტაცებლების პოპულაციას. როგორც ხედავთ, ბალახისმჭამელთა რაოდენობის ნებისმიერი ცვლილება გავლენას ახდენს ხორცისმჭამელთა რაოდენობაზე და პირიქით. ორი პოპულაცია ერთად უნდა განიხილებოდეს.

ამ განტოლებების ამოხსნა აჩვენებს, რომ ორივე პოპულაცია ციკლურად ვითარდება. თუ ბალახისმჭამელი პოპულაცია იზრდება, იზრდება მტაცებელ-მტაცებლის შეტაკების ალბათობა და, შესაბამისად (გარკვეული დროის დაყოვნების შემდეგ), იზრდება მტაცებლების პოპულაცია. მაგრამ მტაცებლების პოპულაციის მატება იწვევს ბალახისმჭამელების პოპულაციის შემცირებას (ასევე გარკვეული შეფერხების შემდეგ), რაც იწვევს მტაცებლების შთამომავლების რაოდენობის შემცირებას და ეს ზრდის ბალახისმჭამელების რაოდენობას და ა.შ. როგორც ჩანს, ეს ორი პოპულაცია დროულად ცეკვავს ვალსს - როცა ერთი იცვლება, მეორე კი მის შემდეგ იცვლება.

ჯეიმს ტრეფილის ენციკლოპედია „მეცნიერების ბუნება. სამყაროს 200 კანონი."
ჯეიმს ტრეფილი არის ჯორჯ მეისონის უნივერსიტეტის (აშშ) ფიზიკის პროფესორი, პოპულარული სამეცნიერო წიგნების ერთ-ერთი ყველაზე ცნობილი დასავლელი ავტორი.

როდესაც თოვლის ბურთი მთიდან ჩამოვარდება, ის სულ უფრო დიდდება. რაც უფრო დიდი ხდება, მით უფრო სწრაფად გორავს, რაც უფრო სწრაფად ტრიალებს, მით უფრო სწრაფად იზრდება.

მათემატიკოსებს და ფიზიკოსებს უყვართ სამყაროს აღწერა რიცხვების გამოყენებით. და კიდევ უფრო მეტი - ფუნქციების დახმარებით. ფუნქცია არის წესი, რომლის მიხედვითაც ერთი რიცხვი (მაგ. x) შედის მიმოწერაში სხვასთან (მაგ წ). ფუნქციები შეიძლება იყოს მარტივი, მაგალითად y=10xან y=x2, მაგრამ არის უფრო რთული, როგორიცაა y=10*sin(7x2+3x-9). თუ სამაგიეროდ xდა წშეცვალეთ გარკვეული ფიზიკური პარამეტრები და იპოვნეთ ფუნქცია, რომელიც აკავშირებს მათ, მიიღებთ ბუნების კანონს.

ფუნქციებს ასევე აქვთ წარმოებულები. ეს არის ფუნქციის ცვლილების სიჩქარე. ანუ რამდენად შეიცვლება წზე პატარა ცვლილება x. მაგალითად, ფუნქციის შემთხვევაში y=10xწარმოებული ყოველთვის მუდმივია: წყოველთვის გაიზრდება 10-ჯერ უფრო სწრაფად, ვიდრე x. ხოლო ფუნქციის შემთხვევაში y=x2წარმოებული შეიცვლება. თუ გავზრდით x 0-დან 1-მდე, მაშინ წასევე გაიზრდება 0-დან 1-მდე. ხოლო თუ გავზრდით xშემდეგ 1-დან 2-მდე წგაიზრდება 1-დან 4-მდე. ანუ წარმოებული ზრდასთან ერთად xგაიზარდა.

ფუნქციას ეწოდება ექსპონენტი y=e x, სად ე- რთული მათემატიკური რიცხვი, რომელიც დაახლოებით უდრის 2,72-ს. მას აქვს შესანიშნავი თვისება: მისი წარმოებული უდრის თავის თავს. ანუ, თუ მანძილი, რომელსაც თოვლის ბურთი გადის, დამოკიდებულია დროზე, როგორც ექსპონენციალური, მაშინ მისი სიჩქარე გამოიხატება იგივე ექსპონენციალით. ეს თვისება დიდად ეხმარება მათემატიკოსებს სხვადასხვა გადაწყვეტაში დიფერენციალური განტოლებები. მათ ძალიან უყვართ მასთან მუშაობა და ცდილობენ გადააქციონ სხვადასხვა ფუნქციები ექსპონენციალურ ფუნქციად გრაფის გადანაცვლებით, გაჭიმვით ან ატრიალებით. ყველა ასეთ ფუნქციას შეიძლება ეწოდოს ექსპონენციალური. ექსპონენციურად მიმდინარე პროცესებს აქვთ ერთი საერთო თვისება: ერთი და იგივე დროის ინტერვალით, მათი პარამეტრები იცვლებიან იმავე რაოდენობის ჯერ. საბანკო დეპოზიტები ყოველწლიურად 7%-ით იზრდება, თოვლის ბურთები წუთში სამჯერ იზრდება, ხოლო ატომურ ელექტროსადგურებში ურანი-235-ის რაოდენობა ყოველ 700 მილიონ წელიწადში ორჯერ მცირდება. ექსპონენციალური ფუნქციები ჩვენს გარშემოა. ყველა ფენომენი, რომელშიც არის უკუკავშირი, როდესაც შედეგი გავლენას ახდენს პროცესის სიჩქარეზე, ვითარდება ექსპონენტურად. თოვლის ბურთის შემთხვევაში გამოხმაურება დადებითია: რაც უფრო დიდია შედეგი, მით უფრო სწრაფია პროცესი. და თოვლის ბურთის მასა და სიჩქარე წდროთა განმავლობაში ექსპონენტურად იზრდება x. ფული ბანკში ანალოგიურად იქცევა ფიქსირებული საპროცენტო განაკვეთით. Როგორ მეტი ფული, რაც უფრო დიდია წლიური ზრდა - და მით უფრო ფულზე სწრაფადსაკმარისია მალდივებზე სახლისთვის. ცხოველების რაოდენობა ასევე იზრდება გარე საფრთხის არარსებობის შემთხვევაში: რაც უფრო დიდია პოპულაცია, რაც უფრო მეტია მეცხოველეობა, მით უფრო სწრაფად იზრდება იგი. ასევე, როდესაც მიკროფონს დინამიკთან მიიყვანთ, ყველაზე მშვიდი შრიალი წამში გადაიქცევა ზარის გუგუნად.

ეს ხდება, რომ გამოხმაურება უარყოფითია: რაც უფრო დიდია შედეგი, მით უფრო ნელია პროცესი. მაგალითად, როცა გვშია, ვიწყებთ საკვების სწრაფად შეწოვას, მაგრამ როგორც კი შიმშილის გრძნობა შემცირდება, ვიწყებთ მშვიდად ჭამას, შემდეგ ზარმაცად ვასრულებთ დესერტს. ჩაი ასევე გრილდება ექსპონენტურად: რაც უფრო დიდია ტემპერატურული სხვაობა ჩაის და ჰაერს შორის, მით უფრო სწრაფად გაცივდება. ასე რომ, თუ სასწრაფოდ გჭირდებათ ყურადღების გაფანტვა 15 წუთის განმავლობაში, მაგრამ გსურთ დალიოთ ცხელი ჩაი, ჩაასხით მასში ცივი რძე ან წყალი. შემდეგ ტემპერატურის სხვაობა შემცირდება და ჩაი არ გაცივდება ისე სწრაფად, როგორც ცხელი.

რაც უფრო სწრაფად მოძრაობს გიტარის სიმი, მით უფრო სწრაფად იკლებს ის ჰაერთან მიმართებაში, ამიტომ სიმის ამოღების შემდეგ ხმის მოცულობა ექსპონენტურად მცირდება. კიდევ ერთი მაგალითია ბირთვული დაშლა. თითოეულ ბირთვს შეუძლია დროში შემთხვევით დაშლა, მაგრამ რაც უფრო მეტია ბირთვი, მით მეტი დაშლა მოხდება ერთ წუთში. რაც უფრო სწრაფად იშლება ბირთვები, მით უფრო მცირდება ისინი, რაც ნიშნავს, რომ გამოსხივების ინტენსივობა დროთა განმავლობაში მცირდება.