Aritmetička i geometrijska progresija

Teorijske informacije

Teorijske informacije

	Aritmetička progresija	Geometrijska progresija
Definicija	Aritmetička progresija a n je niz u kojem je svaki član, počevši od drugog, jednak prethodnom članu dodanom istom broju d (d- razlika u progresiji)	Geometrijska progresija b n je niz brojeva različitih od nule, čiji je svaki član, počevši od drugog, jednak prethodnom članu pomnoženom istim brojem q (q- nazivnik progresije)
Formula ponavljanja	Za svaki prirodni n a n + 1 = a n + d	Za svaki prirodni n b n + 1 = b n ∙ q, b n ≠ 0
Formula n-ti član	a n = a 1 + d (n – 1)	b n = b 1 ∙ q n - 1 , b n ≠ 0
Karakteristično svojstvo
Zbroj prvih n članova

Primjeri zadataka s komentarima

Vježba 1

U aritmetičkoj progresiji ( a n) a 1 = -6, a 2

Prema formuli n-tog člana:

a 22 = a 1+ d (22 - 1) = a 1+ 21 d

Po stanju:

a 1= -6, dakle a 22= -6 + 21 d .

Potrebno je pronaći razliku progresije:

d = a 2 – a 1 = -8 – (-6) = -2

a 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.

odgovor: a 22 = -48.

Zadatak 2

Nađi peti član geometrijske progresije: -3; 6;....

1. metoda (upotrebom formule n-člana)

Prema formuli za n-ti član geometrijske progresije:

b 5 = b 1 ∙ q 5 - 1 = b 1 ∙ q 4.

Jer b 1 = -3,

2. metoda (koristeći rekurentnu formulu)

Budući da je nazivnik progresije -2 (q = -2), tada je:

b 3 = 6 ∙ (-2) = -12;

b 4 = -12 ∙ (-2) = 24;

b 5 = 24 ∙ (-2) = -48.

odgovor: b 5 = -48.

Zadatak 3

U aritmetičkoj progresiji ( a n ) a 74 = 34; a 76= 156. Pronađite sedamdeset peti član ove progresije.

Za aritmetičku progresiju karakteristično svojstvo ima oblik .

Stoga:

Zamijenimo podatke u formulu:

Odgovor: 95.

Zadatak 4

U aritmetičkoj progresiji ( a n ) a n= 3n - 4. Nađite zbroj prvih sedamnaest članova.

Za pronalaženje zbroja prvih n članova aritmetičke progresije koriste se dvije formule:

Koji je unutra u ovom slučaju praktičniji za korištenje?

Po uvjetu je poznata formula za n-ti član izvorne progresije ( a n) a n= 3n - 4. Možete pronaći odmah i a 1, I a 16 bez pronalaska d. Stoga ćemo koristiti prvu formulu.

Odgovor: 368.

Zadatak 5

U aritmetičkoj progresiji ( a n) a 1 = -6; a 2= -8. Pronađite dvadeset i drugi član progresije.

Prema formuli n-tog člana:

a 22 = a 1 + d (22 – 1) = a 1+ 21d.

Pod uvjetom, ako a 1= -6, dakle a 22= -6 + 21d. Potrebno je pronaći razliku progresije:

d = a 2 – a 1 = -8 – (-6) = -2

a 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.

odgovor: a 22 = -48.

Zadatak 6

Zapisano je nekoliko uzastopnih članova geometrijske progresije:

Pronađite član progresije označen s x.

Pri rješavanju ćemo koristiti formulu za n-ti član b n = b 1 ∙ q n - 1 za geometrijske progresije. Prvi član progresije. Da biste pronašli nazivnik progresije q, trebate uzeti bilo koji od zadanih članova progresije i podijeliti ga s prethodnim. U našem primjeru, možemo uzeti i podijeliti sa. Dobijamo da je q = 3. Umjesto n, u formulu stavljamo 3, jer je potrebno pronaći treći član zadane geometrijske progresije.

Zamjenom pronađenih vrijednosti u formulu, dobivamo:

Odgovor: .

Zadatak 7

Od aritmetičkih progresija danih formulom n-tog člana odaberite onu za koju je zadovoljen uvjet a 27 > 9:

Budući da zadani uvjet mora biti zadovoljen za 27. član progresije, zamijenit ćemo 27 umjesto n u svakoj od četiri progresije. U 4. progresiji dobivamo:

Odgovor: 4.

Zadatak 8

U aritmetičkoj progresiji a 1= 3, d = -1,5. Navedite najveća vrijednost n za koje vrijedi nejednakost a n > -6.

Prije nego počnemo odlučivati problemi aritmetičke progresije, razmotrimo što je niz brojeva, budući da je to aritmetička progresija poseban slučaj niz brojeva.

Brojevni niz je set brojeva, od kojih svaki element ima svoje serijski broj . Elementi tog skupa nazivaju se članovima niza. Serijski broj elementa niza označen je indeksom:

Prvi element niza;

Peti element niza;

- “n-ti” element niza, tj. element "stoji u redu" na broju n.

Postoji odnos između vrijednosti elementa niza i njegovog rednog broja. Stoga niz možemo promatrati kao funkciju čiji je argument redni broj elementa niza. Drugim riječima, možemo to reći niz je funkcija prirodnog argumenta:

Redoslijed se može postaviti na tri načina:

1 . Redoslijed se može odrediti pomoću tablice. U ovom slučaju jednostavno postavljamo vrijednost svakog člana niza.

Na primjer, Netko se odlučio baviti upravljanjem osobnim vremenom i za početak izračunati koliko vremena provodi na VKontakteu tijekom tjedna. Upisivanjem vremena u tablicu dobit će niz koji se sastoji od sedam elemenata:

Prvi redak tablice označava broj dana u tjednu, drugi - vrijeme u minutama. Vidimo da je u ponedjeljak netko proveo 125 minuta na VKontakteu, to jest u četvrtak - 248 minuta, a to jest u petak samo 15.

2 . Niz se može specificirati pomoću formule n-tog člana.

U ovom slučaju, ovisnost vrijednosti elementa niza o njegovom broju izražava se izravno u obliku formule.

Na primjer, ako , tada

Da bismo pronašli vrijednost elementa niza sa zadanim brojem, zamijenimo broj elementa u formulu n-tog člana.

Istu stvar činimo ako trebamo pronaći vrijednost funkcije ako je vrijednost argumenta poznata. Zamjenjujemo vrijednost argumenta u jednadžbu funkcije:

Ako npr. , To

Još jednom napominjem da u nizu, za razliku od proizvoljne numeričke funkcije, argument može biti samo prirodan broj.

3 . Niz se može odrediti pomoću formule koja izražava ovisnost vrijednosti člana niza broj n o vrijednostima prethodnih članova. U ovom slučaju nije nam dovoljno znati samo broj člana niza da bismo pronašli njegovu vrijednost. Moramo navesti prvi član ili prvih nekoliko članova niza.

Na primjer, razmotrite slijed ,

Možemo pronaći vrijednosti članova niza u nizu, počevši od trećeg:

To jest, svaki put, da bismo pronašli vrijednost n-tog člana niza, vraćamo se na prethodna dva. Ova metoda specificiranja niza se zove ponavljajući, od latinska riječ ponavljanje- vrati se.

Sada možemo definirati aritmetičku progresiju. Aritmetička progresija je jednostavan poseban slučaj niza brojeva.

Aritmetička progresija je numerički niz čiji je svaki član, počevši od drugog, jednak prethodnom pribrojenom istom broju.

Broj je pozvan razlika aritmetičke progresije. Razlika aritmetičke progresije može biti pozitivna, negativna ili jednaka nuli.

Ako je naslov="d>0">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} povećavajući se.

Na primjer, 2; 5; 8; jedanaest;...

Ako je , tada je svaki član aritmetičke progresije manji od prethodnog, a progresija je smanjujući se.

Na primjer, 2; -1; -4; -7;...

Ako , tada su svi članovi progresije jednaki istom broju, a progresija je stacionarni.

Na primjer, 2;2;2;2;...

Glavno svojstvo aritmetičke progresije:

Pogledajmo sliku.

Vidimo to

, a u isto vrijeme

Zbrajanjem ove dvije jednakosti dobivamo:

Podijelite obje strane jednakosti s 2:

Dakle, svaki član aritmetičke progresije, počevši od drugog, jednak je aritmetičkoj sredini dva susjedna:

Štoviše, budući da

, a u isto vrijeme

, To

, i stoga

Svaki član aritmetičke progresije, počevši s title="k>l">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих. !}

Formula th člana.

Vidimo da članovi aritmetičke progresije zadovoljavaju sljedeće relacije:

i konačno

Dobili smo formula n-tog člana.

VAŽNO! Bilo koji član aritmetičke progresije može se izraziti kroz i. Poznavajući prvi član i razliku aritmetičke progresije, možete pronaći bilo koji od njegovih članova.

Zbroj n članova aritmetičke progresije.

U proizvoljnoj aritmetičkoj progresiji zbrojevi članova koji su jednako udaljeni od krajnjih međusobno su jednaki:

Razmotrimo aritmetičku progresiju s n članova. Neka zbroj n članova ove progresije bude jednak .

Posložimo uvjete progresije prvo uzlaznim redoslijedom brojeva, a zatim silaznim redoslijedom:

Dodajmo u paru:

Zbroj u svakoj zagradi je , broj parova je n.

Dobivamo:

Tako, zbroj n članova aritmetičke progresije može se pronaći pomoću formula:

Razmotrimo rješavanje problema aritmetičke progresije.

1 . Niz je dan formulom n-tog člana: . Dokažite da je ovaj niz aritmetička progresija.

Dokažimo da je razlika između dva susjedna člana niza jednaka istom broju.

Utvrdili smo da razlika između dva susjedna člana niza ne ovisi o njihovom broju i da je konstanta. Prema tome, po definiciji, ovaj niz je aritmetička progresija.

2 . S obzirom na aritmetičku progresiju -31; -27;...

a) Pronađite 31 član progresije.

b) Utvrdite je li broj 41 uključen u ovu progresiju.

A) Vidimo da;

Zapišimo formulu za n-ti član naše progresije.

Općenito

U našem slučaju , Zato

Dobivamo:

b) Pretpostavimo da je broj 41 član niza. Pronađimo njegov broj. Da bismo to učinili, riješimo jednadžbu:

Dobili smo prirodnu vrijednost n, dakle, da, broj 41 je član progresije. Da pronađena vrijednost n nije prirodan broj, tada bismo odgovorili da broj 41 NIJE član progresije.

3 . a) Između brojeva 2 i 8 ubacite 4 broja tako da zajedno s tim brojevima čine aritmetičku progresiju.

b) Nađite zbroj članova rezultirajuće progresije.

A) Umetnimo četiri broja između brojeva 2 i 8:

Dobili smo aritmetičku progresiju sa 6 članova.

Pronađimo razliku ove progresije. Da bismo to učinili, koristimo se formulom za n-ti član:

Sada je lako pronaći značenja brojeva:

3,2; 4,4; 5,6; 6,8

Odgovor: a) da; b) 30

4. Kamion prevozi teret drobljenog kamena težak 240 tona, povećavajući svaki dan stopu prijevoza za isti broj tona. Poznato je da je prvi dan prevezeno 2 tone drobljenog kamena. Odredite koliko je tona lomljenog kamena prevezeno dvanaestog dana ako su svi radovi završeni za 15 dana.

Sukladno stanju problema, količina drobljenog kamena koju kamion prevozi povećava se svaki dan za isti broj. Dakle, imamo posla s aritmetičkom progresijom.

Formulirajmo ovaj problem u terminima aritmetičke progresije.

Prvog dana prevezeno je 2 tone drobljenog kamena: a_1=2.

Svi radovi su završeni za 15 dana: .

Kamion prevozi šaržu drobljenog kamena težine 240 tona:

Moramo pronaći.

Prvo, pronađimo razliku progresije. Upotrijebimo formulu za zbroj n članova progresije.

U našem slučaju:

Na primjer, niz \(2\); \(5\); \(8\); \(jedanaest\); \(14\)... je aritmetička progresija, jer se svaki sljedeći element razlikuje od prethodnog za tri (može se dobiti od prethodnog zbrajanjem tri):

U ovoj progresiji razlika \(d\) je pozitivna (jednaka \(3\)), pa je stoga svaki sljedeći član veći od prethodnog. Takve progresije nazivaju se povećavajući se.

Međutim, \(d\) može biti i negativan broj. Na primjer, u aritmetičkoj progresiji \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)... progresijska razlika \(d\) je jednaka minus šest.

I u ovom slučaju, svaki sljedeći element bit će manji od prethodnog. Ove progresije se nazivaju smanjujući se.

Zapis aritmetičke progresije

Progresija je označena malim latiničnim slovom.

Brojevi koji tvore progresiju nazivaju se članova(ili elementi).

Označavaju se istim slovom kao aritmetička progresija, ali s numeričkim indeksom jednakim broju elementa u redu.

Na primjer, aritmetička progresija \(a_n = \lijevo\( 2; 5; 8; 11; 14…\desno\)\) sastoji se od elemenata \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) i tako dalje.

Drugim riječima, za progresiju \(a_n = \lijevo\(2; 5; 8; 11; 14…\desno\)\)

Rješavanje problema aritmetičke progresije

U načelu, gore predstavljene informacije već su dovoljne za rješavanje gotovo svih problema aritmetičke progresije (uključujući one ponuđene na OGE).

Primjer (OGE). Aritmetička progresija određena je uvjetima \(b_1=7; d=4\). Pronađite \(b_5\).
Riješenje:

Odgovor: \(b_5=23\)

Primjer (OGE). Dana su prva tri člana aritmetičke progresije: \(62; 49; 36…\) Pronađite vrijednost prvog negativnog člana ove progresije..
Riješenje:

	Dobili smo prve elemente niza i znamo da je to aritmetička progresija. Odnosno, svaki se element razlikuje od susjeda istim brojem. Saznajmo koji oduzimajući prethodni od sljedećeg elementa: \(d=49-62=-13\).
	Sada možemo vratiti našu progresiju na (prvi negativni) element koji nam je potreban.
	Spreman. Možete napisati odgovor.

Odgovor: \(-3\)

Primjer (OGE). Zadano je nekoliko uzastopnih elemenata aritmetičke progresije: \(…5; x; 10; 12,5...\) Pronađite vrijednost elementa označenog slovom \(x\).
Riješenje:

	Da bismo pronašli \(x\), moramo znati koliko se sljedeći element razlikuje od prethodnog, drugim riječima, razliku progresije. Nađimo ga iz dva poznata susjedna elementa: \(d=12,5-10=2,5\).
	I sada možemo lako pronaći ono što tražimo: \(x=5+2.5=7.5\).
	Spreman. Možete napisati odgovor.

Odgovor: \(7,5\).

Primjer (OGE). Aritmetička progresija definirana je sljedećim uvjetima: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Pronađite zbroj prvih šest članova ove progresije.
Riješenje:

Moramo pronaći zbroj prvih šest članova progresije. Ali mi ne znamo njihova značenja; dan nam je samo prvi element. Stoga prvo izračunavamo vrijednosti jednu po jednu, koristeći ono što nam je dano:

\(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\)
\(n=2\); \(a_(2+1)=a_2+5=-6+5=-1\)
\(n=3\); \(a_(3+1)=a_3+5=-1+5=4\)
I nakon što smo izračunali šest potrebnih elemenata, nalazimo njihov zbroj.

\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\)
\(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)

Traženi iznos je pronađen.

Odgovor: \(S_6=9\).

Primjer (OGE). U aritmetičkoj progresiji \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Pronađite razliku ove progresije.
Riješenje:

Odgovor: \(d=7\).

Važne formule za aritmetičku progresiju

Kao što vidite, mnogi problemi u aritmetičkoj progresiji mogu se riješiti jednostavno razumijevanjem glavne stvari - da je aritmetička progresija lanac brojeva, a svaki sljedeći element u tom lancu dobiva se dodavanjem istog broja prethodnom ( razlika u progresiji).

Međutim, ponekad postoje situacije kada je odlučivanje "direktno" vrlo nezgodno. Na primjer, zamislite da u prvom primjeru ne trebamo pronaći peti element \(b_5\), već tristo osamdeset šesti \(b_(386)\). Trebamo li dodati četiri \(385\) puta? Ili zamislite da u pretposljednjem primjeru trebate pronaći zbroj prva sedamdeset i tri elementa. Bit ćeš umoran od brojanja...

Stoga se u takvim slučajevima stvari ne rješavaju “direktno”, već se koriste posebnim formulama izvedenim za aritmetičku progresiju. A glavne su formula za n-ti član progresije i formula za zbroj \(n\) prvih članova.

Formula \(n\)-tog člana: \(a_n=a_1+(n-1)d\), gdje je \(a_1\) prvi član progresije;
\(n\) – broj traženog elementa;
\(a_n\) – član progresije s brojem \(n\).

Ova formula nam omogućuje da brzo pronađemo čak i tristoti ili milijunti element, znajući samo prvi i razliku progresije.

Primjer. Aritmetička progresija određena je uvjetima: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). Pronađite \(b_(246)\).
Riješenje:

Odgovor: \(b_(246)=1850\).

Formula za zbroj prvih n članova: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), gdje

\(a_n\) – posljednji zbrojeni član;

Primjer (OGE). Aritmetička progresija određena je uvjetima \(a_n=3,4n-0,6\). Pronađite zbroj prvih \(25\) članova ove progresije.
Riješenje:

\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2 )\) \(\cdot 25\)		Da bismo izračunali zbroj prvih dvadeset i pet članova, moramo znati vrijednost prvog i dvadeset petog člana. Naša progresija je dana formulom n-tog člana ovisno o njegovom broju (za više detalja, vidi). Izračunajmo prvi element zamjenom \(n\) s jednim.
\(n=1;\) \(a_1=3,4·1-0,6=2,8\)		Pronađimo sada dvadeset peti član zamjenom dvadeset pet umjesto \(n\).
\(n=25;\) \(a_(25)=3,4·25-0,6=84,4\)		Pa, sada možemo lako izračunati potrebnu količinu.
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) \(=\) \(\frac(2,8+84,4)(2)\) \(\cdot 25 =\)\(1090\)		Odgovor je spreman.

Odgovor: \(S_(25)=1090\).

Za zbroj \(n\) prvih članova, možete dobiti drugu formulu: samo trebate \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) umjesto \(a_n\) zamijenite ga formulom \(a_n=a_1+(n-1)d\). Dobivamo:

Formula za zbroj prvih n članova: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), gdje

\(S_n\) – traženi zbroj \(n\) prvih elemenata;
\(a_1\) – prvi zbrojeni član;
\(d\) – razlika progresije;
\(n\) – ukupan broj elemenata.

Primjer. Nađite zbroj prvih \(33\)-ex članova aritmetičke progresije: \(17\); \(15,5\); \(14\)…
Riješenje:

Odgovor: \(S_(33)=-231\).

Složeniji problemi aritmetičke progresije

Sada imate sve potrebne informacije za rješavanje gotovo svih problema aritmetičke progresije. Završimo temu razmatranjem zadataka u kojima ne samo da trebate primijeniti formule, već i malo razmisliti (u matematici to može biti korisno ☺)

Primjer (OGE). Nađite zbroj svih negativnih članova progresije: \(-19,3\); \(-19\); \(-18,7\)…
Riješenje:

\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\)		Zadatak je vrlo sličan prethodnom. Počinjemo rješavati istu stvar: prvo nalazimo \(d\).
\(d=a_2-a_1=-19-(-19,3)=0,3\)		Sada bih želio zamijeniti \(d\) u formulu za zbroj... i evo ga mala nijansa– ne znamo \(n\). Drugim riječima, ne znamo koliko će pojmova trebati dodati. Kako saznati? Razmislimo. Prestat ćemo dodavati elemente kada dođemo do prvog pozitivnog elementa. To jest, morate saznati broj ovog elementa. Kako? Zapišimo formulu za izračun bilo kojeg elementa aritmetičke progresije: \(a_n=a_1+(n-1)d\) za naš slučaj.
\(a_n=a_1+(n-1)d\)
\(a_n=-19,3+(n-1)·0,3\)		Treba nam da \(a_n\) postane veći od nule. Saznajmo na kojem \(n\) će se to dogoditi.
\(-19,3+(n-1)·0,3>0\)
\((n-1)·0,3>19,3\) \(\|:0,3\)		Podijelimo obje strane nejednakosti s \(0,3\).
\(n-1>\)\(\frac(19,3)(0,3)\)		Prebacujemo minus jedan, ne zaboravljajući promijeniti znakove
\(n>\)\(\frac(19,3)(0,3)\) \(+1\)		Izračunajmo...
\(n>65,333…\)		...i ispada da je prvi pozitivan element imat će broj \(66\). Sukladno tome, zadnji negativni ima \(n=65\). Za svaki slučaj, provjerimo ovo.
\(n=65;\) \(a_(65)=-19,3+(65-1)·0,3=-0,1\) \(n=66;\) \(a_(66)=-19,3+(66-1)·0,3=0,2\)		Dakle, moramo dodati prvih \(65\) elemenata.
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19,3)+(65-1)0,3)(2)\)\(\cdot 65\) \(S_(65)=\)\((-38,6+19,2)(2)\)\(\cdot 65=-630,5\)		Odgovor je spreman.

Odgovor: \(S_(65)=-630,5\).

Primjer (OGE). Aritmetička progresija određena je uvjetima: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). Nađite zbroj od \(26\)-og do \(42\) elementa uključivo.
Riješenje:

\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\)	U ovom zadatku također trebate pronaći zbroj elemenata, ali ne počevši od prvog, već od \(26\)-og. Za takav slučaj nemamo formulu. Kako odlučiti? Lako je - da biste dobili zbroj od \(26\)-tog do \(42\)-og, prvo morate pronaći zbroj od \(1\)-og do \(42\)-og, a zatim oduzeti iz njega zbroj od prvog do \(25\)-og (vidi sliku).
	Za našu progresiju \(a_1=-33\) i razliku \(d=4\) (uostalom, dodajemo četvorku prethodnom elementu da bismo pronašli sljedeći). Znajući to, nalazimo zbroj prvih \(42\)-y elemenata.
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) \(=\)\(\frac(-66+164)(2)\) \(\cdot 42=2058\)	Sada zbroj prvih \(25\) elemenata.
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) \(=\)\(\frac(-66+96)(2)\) \(\cdot 25=375\)	I na kraju izračunavamo odgovor.
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\)

Odgovor: \(S=1683\).

Za aritmetičku progresiju postoji još nekoliko formula koje nismo razmatrali u ovom članku zbog njihove male praktične korisnosti. Međutim, lako ih možete pronaći.

Ako za svaki prirodni broj n odgovara realnom broju a n , onda kažu da se daje niz brojeva :

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n , . . . .

Dakle, niz brojeva je funkcija prirodnog argumenta.

Broj a 1 nazvao prvi član niza , broj a 2 — drugi član niza , broj a 3 — treći i tako dalje. Broj a n nazvao n-ti pojam sekvence , i prirodan broj n — njegov broj .

Od dva susjedna člana a n I a n +1 član niza a n +1 nazvao naknadni (prema a n ), A a n — prethodni (prema a n +1 ).

Da biste definirali niz, trebate navesti metodu koja vam omogućuje pronalazak člana niza s bilo kojim brojem.

Redoslijed se često određuje pomoću n-ti član formule , odnosno formula koja omogućuje određivanje člana niza po njegovom broju.

Na primjer,

niz pozitivnih neparnih brojeva može se dati formulom

a n= 2n- 1,

i slijed izmjeničnog 1 I -1 - formula

b n = (-1)n +1 . ◄

Redoslijed se može odrediti rekurentna formula, odnosno formula koja izražava bilo koji član niza, počevši od nekih, preko prethodnih (jednog ili više) članova.

Na primjer,

Ako a 1 = 1 , A a n +1 = a n + 5

a 1 = 1,

a 2 = a 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

a 3 = a 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

a 4 = a 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

a 5 = a 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Ako a 1= 1, a 2 = 1, a n +2 = a n + a n +1 , tada se prvih sedam članova numeričkog niza uspostavlja na sljedeći način:

a 1 = 1,

a 2 = 1,

a 3 = a 1 + a 2 = 1 + 1 = 2,

a 4 = a 2 + a 3 = 1 + 2 = 3,

a 5 = a 3 + a 4 = 2 + 3 = 5,

a 6 = a 4 + a 5 = 3 + 5 = 8,

a 7 = a 5 + a 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Nizovi se mogu konačni I beskrajan .

Niz se zove ultimativno , ako ima konačan broj članova. Niz se zove beskrajan , ako ima beskonačno mnogo članova.

Na primjer,

niz dvoznamenkastih prirodnih brojeva:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

konačni.

Niz prostih brojeva:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

beskrajan. ◄

Niz se zove povećavajući se , ako je svaki njegov član, počevši od drugog, veći od prethodnog.

Niz se zove smanjujući se , ako je svaki njegov član, počevši od drugog, manji od prethodnog.

Na primjer,

2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . — rastući niz;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . — silazni niz. ◄

Naziva se niz čiji se elementi ne smanjuju s povećanjem broja ili, obrnuto, ne povećavaju monoton niz .

Konkretno, monotoni nizovi su rastući i opadajući nizovi.

Aritmetička progresija

Aritmetička progresija je niz u kojem je svaki član, počevši od drugog, jednak prethodnom, kojemu se dodaje isti broj.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n, . . .

je aritmetička progresija ako postoji prirodni broj n uvjet je ispunjen:

a n +1 = a n + d,

Gdje d - određeni broj.

Stoga je razlika između sljedećeg i prethodnog člana dane aritmetičke progresije uvijek konstantna:

a 2 - a 1 = a 3 - a 2 = . . . = a n +1 - a n = d.

Broj d nazvao razlika aritmetičke progresije.

Za definiranje aritmetičke progresije dovoljno je navesti njen prvi član i razliku.

Na primjer,

Ako a 1 = 3, d = 4 , tada nalazimo prvih pet članova niza kako slijedi:

a 1 =3,

a 2 = a 1 + d = 3 + 4 = 7,

a 3 = a 2 + d= 7 + 4 = 11,

a 4 = a 3 + d= 11 + 4 = 15,

a 5 = a 4 + d= 15 + 4 = 19. ◄

Za aritmetičku progresiju s prvim članom a 1 i razlika d nju n

a n = a 1 + (n- 1)d.

Na primjer,

pronaći trideseti član aritmetičke progresije

1, 4, 7, 10, . . .

a 1 =1, d = 3,

a 30 = a 1 + (30 - 1)d = 1 + 29· 3 = 88. ◄

n-1 = a 1 + (n- 2)d,

a n= a 1 + (n- 1)d,

a n +1 = a 1 + nd,

onda očito

a n=	a n-1 + a n+1
	2

Svaki član aritmetičke progresije, počevši od drugog, jednak je aritmetičkoj sredini prethodnog i sljedećih članova.

brojevi a, b i c su uzastopni članovi neke aritmetičke progresije ako i samo ako je jedan od njih jednak aritmetičkoj sredini druga dva.

Na primjer,

a n = 2n- 7 , je aritmetička progresija.

Iskoristimo gornju izjavu. Imamo:

a n = 2n- 7,

n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2n- 9,

a n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2n- 5.

Stoga,

a n+1 + a n-1	=	2n- 5 + 2n- 9	= 2n- 7 = a n,
2		2

◄

Imajte na umu da n th član aritmetičke progresije može se pronaći ne samo kroz a 1 , ali i svaki prethodni a k

a n = a k + (n- k)d.

Na primjer,

Za a 5 može se zapisati

a 5 = a 1 + 4d,

a 5 = a 2 + 3d,

a 5 = a 3 + 2d,

a 5 = a 4 + d. ◄

a n = a n-k + kd,

a n = a n+k - kd,

onda očito

a n=	a n-k +a n+k
	2

bilo koji član aritmetičke progresije, počevši od drugog, jednak je polovici zbroja jednako razmaknutih članova te aritmetičke progresije.

Osim toga, za bilo koju aritmetičku progresiju vrijedi sljedeća jednakost:

a m + a n = a k + a l,

m + n = k + l.

Na primjer,

u aritmetičkoj progresiji

1) a 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (a 9 + a 11 )/2;

2) 28 = a 10 = a 3 + 7d= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) a 10= 28 = (19 + 37)/2 = (a 7 + a 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, jer

a 2 + a 12= 4 + 34 = 38,

a 5 + a 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= a 1 + a 2 + a 3 + . . .+ a n,

prvi n članova aritmetičke progresije jednak je umnošku polovine zbroja ekstremnih članova i broja članova:

Odavde, posebice, slijedi da ako trebate zbrojiti pojmove

a k, a k +1 , . . . , a n,

tada prethodna formula zadržava svoju strukturu:

Na primjer,

u aritmetičkoj progresiji 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Ako je dana aritmetička progresija, onda količine a 1 , a n, d, n IS n povezan s dvije formule:

Stoga, ako značenja tri navedenih veličina, tada se odgovarajuće vrijednosti druge dvije veličine određuju iz tih formula, kombiniranih u sustav dviju jednadžbi s dvije nepoznanice.

Aritmetička progresija je monoton niz. pri čemu:

Ako d > 0 , tada se povećava;
Ako d < 0 , tada se smanjuje;
Ako d = 0 , tada će niz biti stacionaran.

Geometrijska progresija

Geometrijska progresija je niz u kojem je svaki član, počevši od drugog, jednak prethodnom pomnoženom s istim brojem.

b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n, . . .

je geometrijska progresija ako za bilo koji prirodni broj n uvjet je ispunjen:

b n +1 = b n · q,

Gdje q ≠ 0 - određeni broj.

Dakle, omjer sljedećeg člana dane geometrijske progresije prema prethodnom je konstantan broj:

b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = q.

Broj q nazvao nazivnik geometrijske progresije.

Za definiranje geometrijske progresije dovoljno je navesti njen prvi član i nazivnik.

Na primjer,

Ako b 1 = 1, q = -3 , tada nalazimo prvih pet članova niza kako slijedi:

b 1 = 1,

b 2 = b 1 · q = 1 · (-3) = -3,

b 3 = b 2 · q= -3 · (-3) = 9,

b 4 = b 3 · q= 9 · (-3) = -27,

b 5 = b 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄

b 1 i nazivnik q nju n Taj se član može pronaći pomoću formule:

b n = b 1 · qn -1 .

Na primjer,

pronaći sedmi član geometrijske progresije 1, 2, 4, . . .

b 1 = 1, q = 2,

b 7 = b 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

b n-1 = b 1 · qn -2 ,

b n = b 1 · qn -1 ,

b n +1 = b 1 · qn,

onda očito

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

svaki član geometrijske progresije, počevši od drugog, jednak je geometrijskoj sredini (proporcionalnoj) prethodnog i sljedećih članova.

Budući da vrijedi i obrnuto, vrijedi sljedeća izjava:

brojevi a, b i c su uzastopni članovi neke geometrijske progresije ako i samo ako je kvadrat jednog od njih jednak umnošku druga dva, odnosno, jedan od brojeva je geometrijska sredina druga dva.

Na primjer,

Dokažimo da niz zadan formulom b n= -3 · 2 n , je geometrijska progresija. Iskoristimo gornju izjavu. Imamo:

b n= -3 · 2 n,

b n -1 = -3 · 2 n -1 ,

b n +1 = -3 · 2 n +1 .

Stoga,

b n 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 ) · (-3 · 2 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

što dokazuje željenu tvrdnju. ◄

Imajte na umu da n Član geometrijske progresije može se pronaći ne samo kroz b 1 , ali i svaki prethodni član b k , za što je dovoljno koristiti formulu

b n = b k · qn - k.

Na primjer,

Za b 5 može se zapisati

b 5 = b 1 · q 4 ,

b 5 = b 2 · q 3,

b 5 = b 3 · q 2,

b 5 = b 4 · q. ◄

b n = b k · qn - k,

b n = b n - k · q k,

onda očito

b n 2 = b n - k· b n + k

kvadrat bilo kojeg člana geometrijske progresije, počevši od drugog, jednak je umnošku članova te progresije jednako udaljenih od njega.

Osim toga, za svaku geometrijsku progresiju vrijedi jednakost:

b m· b n= b k· b l,

m+ n= k+ l.

Na primjer,

u geometrijskoj progresiji

1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;

2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;

4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , jer

b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,

b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n

prvi n članovi geometrijske progresije s nazivnikom q ≠ 0 izračunava se po formuli:

I kada q = 1 - prema formuli

S n= nb 1

Imajte na umu da ako trebate zbrojiti pojmove

b k, b k +1 , . . . , b n,

tada se koristi formula:

S n- S k -1 = b k + b k +1 + . . . + b n = b k ·	1 - qn - k +1	.
	1 - q

Na primjer,

u geometrijskoj progresiji 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Ako je dano geometrijska progresija, zatim količine b 1 , b n, q, n I S n povezan s dvije formule:

Stoga, ako su dane vrijednosti bilo koje tri od ovih veličina, tada se odgovarajuće vrijednosti druge dvije veličine određuju iz ovih formula, kombiniranih u sustav dviju jednadžbi s dvije nepoznanice.

Za geometrijsku progresiju s prvim članom b 1 i nazivnik q dogodi sljedeće svojstva monotonosti :

progresija se povećava ako je ispunjen jedan od sljedećih uvjeta:

b 1 > 0 I q> 1;

b 1 < 0 I 0 < q< 1;

Progresija se smanjuje ako je ispunjen jedan od sljedećih uvjeta:

b 1 > 0 I 0 < q< 1;

b 1 < 0 I q> 1.

Ako q< 0 , tada je geometrijska progresija izmjenična: njezini članovi s neparnim brojevima imaju isti predznak kao prvi član, a članovi s parnim brojevima imaju suprotan predznak. Jasno je da izmjenična geometrijska progresija nije monotona.

Proizvod prvog n članovi geometrijske progresije mogu se izračunati pomoću formule:

Pn= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) n / 2 .

Na primjer,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Beskonačno padajuća geometrijska progresija

Beskonačno padajuća geometrijska progresija zove se beskonačna geometrijska progresija čiji je modul nazivnika manji 1 , to je

|q| < 1 .

Imajte na umu da beskonačno padajuća geometrijska progresija ne mora biti padajući niz. Odgovara prilici

1 < q< 0 .

S takvim nazivnikom niz je izmjeničan. Na primjer,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Zbroj beskonačno opadajuće geometrijske progresije imenovati broj kojem se neograničeno približava zbroj prvih n članovi progresije s neograničenim povećanjem broja n . Taj je broj uvijek konačan i izražava se formulom

S= b 1 + b 2 + b 3 + . . . =	b 1	.
	1 - q

Na primjer,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

Odnos aritmetičke i geometrijske progresije

Aritmetička i geometrijska progresija su usko povezane. Pogledajmo samo dva primjera.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . d , To

b a 1 , b a 2 , b a 3 , . . . b d .

Na primjer,

1, 3, 5, . . . - aritmetička progresija s razlikom 2 I

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - geometrijska progresija s nazivnikom 7 2 . ◄

b 1 , b 2 , b 3 , . . . - geometrijska progresija s nazivnikom q , To

log a b 1, log a b 2, log a b 3, . . . - aritmetička progresija s razlikom log aq .

Na primjer,

2, 12, 72, . . . - geometrijska progresija s nazivnikom 6 I

lg 2, lg 12, lg 72, . . . - aritmetička progresija s razlikom lg 6 . ◄

Aritmetička progresija imenovati niz brojeva (uvjeti progresije)

U kojem se svaki sljedeći pojam razlikuje od prethodnog novim pojmom koji se također naziva razlika u koraku ili progresiji.

Dakle, određivanjem koraka progresije i njegovog prvog člana, možete pronaći bilo koji od njegovih elemenata pomoću formule

Svojstva aritmetičke progresije

1) Svaki član aritmetičke progresije, počevši od drugog broja, je aritmetička sredina prethodnog i sljedećeg člana progresije.

Vrijedi i obrnuto. Ako je aritmetička sredina susjednih neparnih (parnih) članova progresije jednaka članu koji stoji između njih, tada je ovaj niz brojeva aritmetička progresija. Pomoću ove izjave vrlo je lako provjeriti bilo koji niz.

Također, pomoću svojstva aritmetičke progresije, gornja formula se može generalizirati na sljedeću

To je lako provjeriti ako izraze napišete desno od znaka jednakosti

Često se koristi u praksi za pojednostavljenje proračuna u problemima.

2) Zbroj prvih n članova aritmetičke progresije izračunava se pomoću formule

Zapamtite dobro formulu za zbroj aritmetičke progresije; ona je nezamjenjiva u izračunima i često se nalazi u jednostavnim životnim situacijama.

3) Ako trebate pronaći ne cijeli zbroj, već dio niza počevši od njegovog k-tog člana, tada će vam sljedeća formula zbroja biti korisna

4) Od praktičnog je interesa pronalaženje zbroja n članova aritmetičke progresije počevši od k-tog broja. Da biste to učinili, upotrijebite formulu

Time je teorijski materijal završen i prelazi se na rješavanje uobičajenih problema u praksi.

Primjer 1. Nađi četrdeseti član aritmetičke progresije 4;7;...

Riješenje:

Prema stanju koje imamo

Odredimo korak napredovanja

Koristeći dobro poznatu formulu, nalazimo četrdeseti član progresije

Primjer 2. Aritmetička progresija dana je njegovim trećim i sedmim članom. Nađi prvi član progresije i zbroj desetica.

Riješenje:

Zapišimo zadane elemente progresije pomoću formula

Oduzimamo prvu od druge jednadžbe, kao rezultat nalazimo korak progresije

Pronađenu vrijednost zamjenjujemo u bilo koju od jednadžbi kako bismo pronašli prvi član aritmetičke progresije

Izračunavamo zbroj prvih deset članova progresije

Bez primjene složene kalkulacije Pronašli smo sve potrebne količine.

Primjer 3. Aritmetička progresija dana je nazivnikom i jednim od njegovih članova. Pronađite prvi član progresije, zbroj njegovih 50 članova počevši od 50 i zbroj prvih 100.

Riješenje:

Zapišimo formulu za stoti element progresije