Zadatak 1. (Na izračunu područja curvilinear trapezija).
U dekrenularnom pravokutnom koordinatnom sustavu Xoy, daje se brojka (vidi sliku), omeđen pomoću osi X, ravnog X \u003d A, X \u003d B (curvilinear trapezium. Potrebno je izračunati područje curvilinear Trapezium.
Odluka. Geometrija nam daje recepte za izračunavanje područja poligona i nekih dijelova kruga (sektor, segment). Koristeći geometrijske razmatranja, moći ćemo pronaći samo približnu vrijednost željenog područja, tvrdeći kako slijedi.
Prekidamo segment [a; b] (baza curvilinear trapeza) na n jednakim dijelovima; Ova se particija provodi uz pomoć bodova x 1, x 2, ... x k, ... x n-1. Provest ćemo izravno izravne, paralelne osi. Zatim navedeni curvilinear trapezij se razbija na n dijelovima, na n uskim stupcima. Područje cijelog trapeza jednak je zbroj površine stupaca.
Razmotrite zasebnu K-B boju, tj. Curvilinear trapezij, čiji se podnožje služi segmentu. Zamijenite ga pravokutnikom s istom bazom i visinom f (x K) (vidi sliku). Područje pravokutnika je jednaka (f (x_k) cDot delta x_k), gdje je delta x_k) duljina segmenta; Prirodno razmotriti sastavljeno od rada s približnom vrijednošću područja K-TH. 
Ako sada učinite isto sa svim ostalim stupcima, doći ćemo do sljedećeg rezultata: Područje s određenog zakrivljenog trapeziona približno je jednak na području s n Stepped lik sastavljen od N pravokutnika (vidi sliku):
(S_N \u003d f (x_0) delta x_0 + točki + f (x_k) delta x_k + točka + f (x_ (n - 1)) delta x_ (n-1))
Ovdje, radi ujednačenosti određivanja, vjerujemo da je \u003d X 0, b \u003d X N; (Delta x_0) - duljina segmenta, (Delta x_1) - duljina duljina, itd.; U isto vrijeme, kao što smo se složili gore, (delta x_0 \u003d dots \u003d delta x_ (n-1) \\ t
Tako, (s cca s_n), a to je približna jednakost, točnije, više n.
Po definiciji se vjeruje da je željeno područje curvilinear trapeza jednaka sekvenci granica (s n):
$$ s \u003d lime_ (n \\ t
Zadatak 2. (o pokretnoj točki)
Materijalna točka se kreće ravno. Ovisnost brzine na vrijeme izražava se formulom v \u003d v (t). Pronaći kretanje točke tijekom vremenskog intervala [a; b].
Odluka. Ako je pokret bio ujednačen, onda bi zadatak bio vrlo jednostavan: s \u003d vt, tj. S \u003d v (b - a). Za neravni promet morate koristiti iste ideje o kojima se temelji odluka o prethodnom zadatku.
1) Podijelimo vremenski interval [a; b] na n jednakim dijelovima.
2) Razmotrite vremenski interval i pretpostavljamo da je tijekom tog vremenskog razdoblja brzina bila konstantna, kao što je u vrijeme t k. Dakle, vjerujemo da je v \u003d v (t k).
3) Pronađite približnu vrijednost kretanja točke tijekom vremenskog intervala, to je približna vrijednost označava s k
(S_k \u003d v (t_k) delta t_k
4) Pronađite približno kretanje S:
(s cca s_n) gdje
\\ (S_N \u003d S_0 + DOTS + S_ (N-1) \u003d v (T_0) Delta T_0 + DOTS + V (T_ (n_ 1)) \\ t
5) Željeni pokret je jednak ograničenju sekvenci:
$$ s \u003d lime_ (n \\ t
Sažetimo. Rješenja različitih zadataka odvezala su se na isti matematički model. Mnogi izazovi iz različitih područja znanosti i tehnologije vode u procesu rješavanja istog modela. Dakle, ovaj matematički model mora biti posebno naučen.
Koncept određenog integralnog
Dajemo matematički opis modela koji je konstruiran u tri razmatrane zadatke za funkciju Y \u003d F (X), kontinuirana (ali ne nužno nenegantna, kao što je pretpostavljeno u razmatranim zadacima) na segmentu [a; b]:
1) podijelite segment [a; b] na n jednakim dijelovima;
2) Mi činimo iznos $$ s_n \u003d f (x_0) delta x_0 + f (x_1) delta x_1 + točki + f (x_ (n-1)) delta x_ (n-1) $$
3) izračunati $$ \\ TAM_ (n \\ t
Tijekom matematičke analize dokazano je da postoji ova granica u slučaju kontinuirane (ili dijelovi kontinuirane) funkcije. Zove se specifičan sastavni dio funkcije Y \u003d F (x) po segmentu [a; b] I označava:
(Int limits_a ^ b f (x) dx)
Brojevi A i B nazivaju se granice integracije (odnosno donje i gornje).
Vratimo se na gore navedene zadatke. Definicija područja navedenog u zadatku 1 sada može prepisati kako slijedi:
(S \u003d int limits_a ^ b f (x) dx
Ovdje je područje curvilinear trapezoida prikazanog na slici iznad. To se sastoji geometrijsko značenje određenog integrala.
Određivanje pokreta s točke kretanja u ravnoj liniji s brzinom v \u003d v (t) u vremenskom razdoblju od t \u003d a do t \u003d b, dane u zadatku 2, možete ga prepisati:
Newtonova formula - Leibinia
Za početak, oni će odgovoriti na pitanje: Kakav je odnos između određenog integralnog i primitivnog?
Odgovor se može naći u problemu 2. S jedne strane, točka pokreta se kreće u ravnoj liniji s brzinom v \u003d v (t) tijekom vremenskog perioda od t \u003d a do t \u003d b i izračunava se pomoću formula
(S \u003d int \\ tImits_a ^ b v (t) dt \\ t
S druge strane, koordinata pokretne točke je primitivna za brzinu - označava svoje s (t); To znači da je pokret s izraženom formulom S \u003d S (b) (a). Kao rezultat toga, dobivamo:
(S \u003d int \\ t ^ b v (t) dt \u003d s (b) -S (a) \\ t
gdje je s (t) primitivni za v (t).
Sljedeći teorem se pokazao tijekom matematičke analize.
Teorema. Ako je funkcija y \u003d f (x) kontinuirana na segmentu [a; b], zatim formula vrijedi
(S \u003d int limits_a ^ b f (x) dx \u003d f (b) -f (a) \\ t
gdje je f (x) primitivan za F (x).
Rezultirajuća formula se obično naziva newton Formula - Leibnia U čast engleske fizike Isaaca Newtona (1643-1727) i njemačkog filozofa Gottfried Leibnitsa (1646-1716), koji ga je samostalno primio jedan od drugoga i gotovo istovremeno.
U praksi, umjesto snimanja f (b) - f (a), oni koriste zapis (lijevo). F (x) desno | _A ^ b) (to se ponekad naziva dvostruka supstitucija) I, prema tome, prepisati Newtonovu formulu - Leibnitsa u ovom obliku:
(S \u003d int \\ t ^ b f (x) dx \u003d lijevo. F (x) desno | _a ^ b)
Izračunavanje određenog integrala, najprije pronađite primitivni, a zatim provodite dvostruku zamjenu.
Oslanjajući se na Newtonovu formulu - Leibnitsa, možete dobiti dva svojstva određenog integrala.
Imovina 1. Integral iz količine funkcija je jednak zbroju integrala:
(Int limits_a ^ b (f (x) + g (x)) dx \u003d int \\ t ^ b f (x) dx + int \\ tImits_a ^ b g (x) dx)
Imovina 2. Može doći do trajnog multiplikatora sa integralnim znakom:
(in int \\ ^ b kf (x) dx \u003d k intnteits_a ^ b f (x) dx)
Izračun ravnih značajki pomoću određenog integralnog
Uz pomoć integrala, moguće je izračunati područje ne samo curvilinear trapeza, već i ravnih figura složenije vrste, na primjer, to je prikazano na slici. Slika P je ograničen na ravnu X \u003d A, X \u003d B i grafikone kontinuiranih funkcija Y \u003d F \u003d F (X), Y \u003d G (X), i na segmentu [A; b] se izvodi nejednakost (g (x) leq f (x)). Da bismo izračunali kvadrat s takve figure, djelovat ćemo kako slijedi:
(S \u003d S_ (ABCD) \u003d S_ (ADCB) - S_ (AABB) \u003d Int \\ ^ b F (x) DX - INT \\ t
(\u003d int \\ tImits_a ^ b (f (x) -G (x)) dx)
Dakle, područje s je lik ograničen ravnim X \u003d A, X \u003d B i grafikonima funkcija Y \u003d F (X), Y \u003d G (X), kontinuirano na segmentu i kao za bilo koji X iz segmenta [ A; b] se izvodi nejednakost (g (x) leq f (X)), izračunato formulom
(S \u003d int limits_a ^ b (f (x) -G (x)) dx)
Tablica neodređenih integrala (primitivna) neke funkcije
$$ in int 0 \\ t DX \u003d C $$$$ INT 1 CDot DX \u003d X + C $$$$ INT X ^ n DX \u003d Frac (X ^ (n + 1)) (n + 1 ) + C; (N neq -1) $$$$ int \\ incrac (1) (x) dx \u003d ln | x | + C $$$$ int e ^ x dx \u003d e ^ x + c $$$$ int a ^ x dx \u003d frac (^ x) (ln a) + c; (A\u003e 0, \\ ne; 1) $$$$ Int cos x dx \u003d grijeh x + c $$$$ com x dx \u003d - cos x + c $ $ $ $ int \\ incrac (dx) (cos ^ 2 x) \u003d Tekst (TG) X + C $$$$ Int \\ tPrac (DX) (DX) (SIN ^ 2 x) \u003d - \\ t + C $$$$ int \\ int \\ int \\ int \\ int \\ int \\ int \\ int \\ int \\ t ) \u003d Tekst (ARCTG) X + C $$$$ Int \\ t Tekst (CH) X DX \u003d Tekst (SH) X + C $$$$ Int \\ t ) X + C $$Broj zadatka 3. Napravite crtež i izračunajte područje slici ograničenih linija
Aplikacija integrala za rješavanje primijenjenih zadataka
Izračun kvadrata
Određeni sastavni dio kontinuirane ne-negativne funkcije F (x) je numerički jednakpodručje curvilinear trapeze omećene krivuljom y \u003d f (x), osi o X i ravnom X \u003d A i X \u003d b. U skladu s tim, područje područja je napisano na sljedeći način:
Razmotrite neke primjere o izračunavanju kvadrata ravnih figura.
Zadatak # 1. Izračunajte područje ograničene redoslijedom y \u003d x 2 +1, y \u003d 0, x \u003d 0, x \u003d 2.
Odluka. Konstruiramo lik, a područje moramo izračunati.
Y \u003d X 2 + 1 je parabola čije se grane usmjerene prema gore, a parabolla se pomaknula u odnosu na Osovinu Ox do jedne jedinice (slika 1).
Slika 1. Funkcija graf y \u003d x 2 + 1
Zadatak # 2. Izračunajte područje ograničene redoslijedom Y \u003d X 2 - 1, Y \u003d 0 u rasponu od 0 do 1.
 |
Odluka. Grafikon ove funkcije je ogranak parabole, koji je usmjeren prema gore, a parabol se pomaknut u odnosu na Ox os dolje jednu jedinicu (slika 2).
Slika 2. Funkcija Graf y \u003d x 2 - 1
Broj zadatka 3. Napravite crtež i izračunajte područje slici ograničenih linija
y \u003d 8 + 2x - X2 i Y \u003d 2x - 4.
Odluka. Prve od dva reda linije - parabola, usmjerene granama, budući da je koeficijent na X2 negativan, a druga linija je ravna linija, prelazeći obje osi koordinata.
Za izgradnju parabole, naći ćemo koordinate svojih vrhova: y '\u003d 2 - 2x; 2 - 2x \u003d 0, X \u003d 1 - apscissa vrhova; Y (1) \u003d 8 + 2 ∙ 1 - 1 \u003d 9 - njegova ordinata, N (1; 9) - vrh.
Sada ćemo pronaći točke raskrižja Parabole i izravno, rješavanje sustava jednadžbi:
Izjednačavanje pravih dijelova jednadžbe, lijevi dijelovi su jednaki.
Dobivamo 8 + 2x - x 2 \u003d 2x - 4 ili x 2 - 12 \u003d 0, odakle 
.
Dakle, točke su točke raskrižja parabole i ravno (slika 1).
Slika 3 Funkcija Grafovi Y \u003d 8 + 2X - x 2 i Y \u003d 2x - 4
Konstruiramo ravnu liniju y \u003d 2x - 4. prolazi kroz točke (0; -4), (2; 0) na osi koordinata.
Da biste izgradili parabolu, još uvijek možete imati njegove bodove raskrižja s osi 0x, tj je lako pronaći svoje korijene: x 1 \u003d 2, x 2 \u003d četiri.
Slika 3 prikazuje sliku (parabolični segment M 1 N m2), ograničen ovim linijama.
Drugi dio zadatka je pronaći područje ove brojke. Njegovo područje se može naći pomoću određenog integrala formule 
.
S obzirom na ovo stanje, dobivamo integral: 
2 Izračun volumena volumena tijela
Volumen tijela dobivene od rotacije krivulje Y \u003d F \u003d F (X) oko osi X se izračunava formulom:
Kada rotirate oko osi na y, formula ima oblik:
Zadatak broj 4. Identificirajte volumen tijela dobivene od rotacije curvilinear trapeziona ograničene ravnim x \u003d 0 x \u003d 3 i krivuljom y \u003d oko osi o X.
Odluka. Konstruiramo crtanje (slika 4).
Slika 4. Funkcija graf y \u003d
Željeni volumen je jednak 
Zadatak broj 5. Izračunajte volumen tijela dobivene od rotacije curvilinear trapeziona ograničene krivuljom y \u003d x 2 i ravnom linijom y \u003d 0 i y \u003d 4 oko osi o y.
Odluka. Imamo:
Pitanja za ponavljanje
Zapravo, kako bi se pronašlo područje lik, ne postoji takvo znanje o neizvjesnom i definiranom integralu. Zadatak "Izračunaj to područje uz pomoć određenog integralnog" uvijek podrazumijeva izgradnju crtežaStoga će mnogo više relevantnije pitanje biti vaše znanje i vještine izgradnje crteža. U tom smislu, korisno je osvježiti u sjećanje na grafiku osnovnih elementarnih funkcija, a barem biti u stanju izgraditi ravno i hiperbolu.
Curvilinear Trapezion naziva se ravna figura, ograničena na os, ravno i kontinuirani raspored na segmentu funkcije koja ne mijenja znak na ovom intervalu. Neka se ova slika nalazi ne manje Abscisa os:
Zatim područje curvilinear trapeza je numerički jednako određenom cjelokupnom, Bilo koji određeni integralni (koji postoji) ima vrlo dobro geometrijsko značenje.
Sa stajališta geometrije, određeni integralni je područje.
I.e, Specifičan integralni (ako postoji) geometrijski odgovara području nekog oblika. Na primjer, razmotrite određeni integralni. Funkcija integrakta postavlja krivulju na ravninu, koja se nalazi iznad osi (koja želi izvući crtež), a specifični integral je numerički jednak na području odgovarajućeg curvilinear trapeza.
Primjer 1.
Ovo je tipična formulacija zadatka. Prva i najvažnija točka odluke - izgradnja crteža, I crtež mora biti izgrađen PRAVO.
Prilikom izgradnje crteža preporučujem sljedeće narudžbe: prvi Bolje je izgraditi sve ravno (ako jesu) i samo kasnije - parabole, hiperbolas, rasporedi drugih funkcija. Funkcijski grafikoni su profitabilniji za izgradnju napitak.
U tom zadatku, odluka može izgledati ovako.
Izvedite crtež (imajte na umu da jednadžba postavlja os):
Na rasporedu segmenta nalazi se funkcija preko osi, tako:
Odgovor:
Nakon završetka zadatka, uvijek je korisno pogledati crtež i procjenu, ispostavilo se da je pravi jedan. U ovom slučaju, "na očima" brojimo broj stanica na crtež - dobro, otprilike 9 će se letjeti, čini se istinom. Sasvim je jasno da ako smo imali, reći, odgovoriti: 20 kvadratnih jedinica, očito je da je pogreška napravljena negdje - na slici 20 stanica, očito nije opremljena, od snage desetak. Ako se odgovor pokazao negativnim, zadatak se također nepravilno odlučuje.
Primjer 3.
Izračunajte područje oblika, ograničenih linija i koordinatne osi.
Odluka: Izvršite crtanje:
Ako se nalazi curvilinear trapezium ispod osi(ili barem ne viši Ova os), tada se njegovo područje može naći u formuli:
U ovom slučaju:
Pažnja! Nemojte brkati dvije vrste zadataka:
1) Ako ste pozvani riješiti jednostavan integral bez ikakvog geometrijskog značenja, onda to može biti negativno.
2) Ako ste pozvani da pronađete brojku lik koristeći određeni integral, onda je područje uvijek pozitivno! Zato u samo razmatranoj formuli pojavljuje minus.
U praksi se brojka najčešće nalazi u gornjoj i donjoj polovici ravnine, i stoga, od najjednostavnijih školskih ljestvica, idite na više smisleni primjera.
Primjer 4.
Pronađite područje ravnog figura, ograničene linije.
Odluka: Prvo morate nacrtati crtež. Općenito govoreći, prilikom izgradnje crteža u zadacima na to područje, mi smo najviše zainteresirani za sjecište mjesta linija. Pronađite točke raskrižja parabole i izravne. To se može učiniti na dva načina. Prva metoda je analitička. Mi rješavamo jednadžbu:
Dakle, niža granica integracije, gornja granica integracije.
Na taj način je bolje, ako je moguće, ne koristite.
Mnogo je profitabilnije i brže za izgradnju linija linije, dok se granice integracije razjašnjavaju kao da "po sebi". Međutim, analitički način pronalaženja ograničenja nakon svega, ponekad je potrebno primijeniti ako, na primjer, raspored je dovoljno velik, ili obučena konstrukcija nije otkrila granice integracije (mogu biti djelomične ili iracionalne). I takav primjer, također smatramo.
Vraćamo se na naš zadatak: više racionalni prvi izgraditi ravnu liniju i tek tada Parabola. Izvršite crtanje:
I sada radna formula: Ako se na segmentu neke kontinuirane funkcije više ili jednako Neka kontinuirana funkcija, područje slike, ograničeno grafikonima ovih funkcija i izravno, može se naći u formuli: 
Ovdje više nije potrebno razmisliti gdje se nalazi lik - preko osi ili ispod osi, i, grubo govoreći, važno što je grafikon iznad(u odnosu na drugi raspored) i što - ispod.
U ovom primjeru, očito je da se na segmentu Parabole nalazi iznad ravno, i stoga je potrebno oduzeti
Dovršetak rješenja može izgledati ovako:
Željena brojka je ograničena na parabolu odozgo i izravno dno.
Na segmentu, prema odgovarajućoj formuli:
Odgovor:
Primjer 4.
Izračunajte područje oblika, ograničene linije ,,,.
Odluka: Prvo napravite crtež:
Slika čije područje moramo pronaći je zasjenjeno plavom bojom (Pažljivo pogledajte stanje - nego lik je ograničen!). Ali u praksi, "glitch" često se javlja u uvjetima, koje trebate pronaći područje lik, što je zasjenjeno zelenim!
Ovaj primjer je još uvijek koristan i činjenica da se u njemu područje slike smatra pomoću dva specifična integrala.
Stvarno:
1) ravan raspored nalazi se na segmentu iznad osi;
2) Na segmentu iznad osi nalazi se graf hiperbola.
Jasno je da kvadrat može (i treba) razgraditi, pa:
Iz ovog članka naučit ćete kako pronaći područje brojki ograničenih linijama pomoću izračuna korištenjem integrala. Po prvi put susrećemo takav zadatak u srednjoj školi, kada smo upravo prošli proučavanje određenih integrala i vrijeme je da započnemo geometrijsko tumačenje znanja stečeno u praksi.
Dakle, ono što će biti potrebno uspješno riješiti problem traženja područja na slici uz pomoć integrala:
- Vještina kompetentno graditi crteže;
- Sposobnost rješavanja određenog integrala uz pomoć poznate Newton-Leibnić formule;
- Sposobnost da "vidi" profitabilnije rješenje rješenja - tj. Razumjeti kako će u takvom slučaju biti prikladniji za obavljanje integracije? Uz X osi (OX) ili osi igre (OY)?
- Pa, gdje bez ispravnog računanja?) To uključuje razumijevanje kako riješiti tu drugu vrstu integrala i ispravne numeričke izračune.
Algoritam za rješavanje zadatka izračunavanja područja slike, ograničenih linija:
1. Izgraditi crtež. Preporučljivo je to učiniti na komadu u kavezu, s velikom opsegom. Preporučujemo olovku preko svakog grafikona ime ove funkcije. Potpis grafikona je izrađen isključivo za praktičnost daljnjeg računanja. Nakon primitka grafikona željene figure, u većini slučajeva odmah će se vidjeti što će se koristiti granice integracije. Dakle, rješavamo zadatak s grafičkom metodom. Međutim, to se događa da su vrijednosti granica djelomični ili iracionalni. Stoga možete napraviti dodatne izračune, idite na dva.
2. Ako granice integracije očito nisu navedene, nalazimo sjecišta grafikona jedni s drugima, i gledamo hoće li se naše grafičko rješenje s analitičkim podudaranim.
3. Zatim je potrebno analizirati crtež. Ovisno o tome kako se nalaze grafika funkcija, postoje različiti pristupi pronalaženju područja lik. Razmotrite različite primjere kako biste pronašli područje lik uz pomoć integrala.
3.1. Najtamniji i jednostavniji zadatak opciju je kada trebate pronaći područje curvilinear trapeza. Što je curvilinear trapez? Ovo je ravna slika ograničena na x os (y \u003d 0)ravno x \u003d a, x \u003d b i bilo koju kontinuiranu krivulju od intervala od a. prije b., U isto vrijeme, ova brojka je ne-negativna i nije niža od Assissa osi. U tom slučaju, područje curvilinear trapezija je numerički jednako određenom integralju izračunate formulom newton oznaka:
Primjer 1. y \u003d X2 - 3x + 3, X \u003d 1, X \u003d 3, Y \u003d 0.
Koje linije je lik ograničen? Imamo parabolu y \u003d X2 - 3x + 3koji se nalazi iznad osi OH, to je ne-negativno, jer Sve točke ove parabole su pozitivne. Zatim, izravno x \u003d 1. i x \u003d 3.koji trče paralelno s osi Ousu restriktivne linije slike na lijevoj i desnoj strani. Dobro y \u003d 0.Ona je x os koja ograničava donju sliku. Rezultirajuća figura je zasjenjena, kao što se može vidjeti iz crteža s lijeve strane. U ovom slučaju, možete odmah početi rješavati problem. Imamo jednostavan primjer curvilinear trapeza, koji se dodatno rješava uz pomoć Newton-Leibnić formule.
3.2. U prethodnom stavku 3.1, slučaj se rastavlja kada se curvilinear trapez nalazi iznad X osi. Sada razmotrite slučaj kada su uvjeti zadatka isti, osim što funkcija radi pod x osi. Standardna formula s newton-oznakom dodaje se minus. Kako riješiti takav zadatak razmotriti dalje.
Primjer 2. , Izračunajte područje oblika, ograničene linije y \u003d X2 + 6X + 2, X \u003d -4, X \u003d -1, Y \u003d 0.
U ovom primjeru imamo parabolu y \u003d X2 + 6x + 2koji potječe od osi OHravan x \u003d -4, x \u003d -1, y \u003d 0, Ovdje y \u003d 0. Ograničava željenu sliku odozgo. Ravno x \u003d -4. i x \u003d -1. To su granice unutar koje se izračunava određeni integralni. Načelo rješavanja problema pronalaženja područja slici gotovo se u potpunosti podudara s primjerom broj 1. Jedina razlika je u tome što navedena funkcija nije pozitivna, a sve je također kontinuirano u intervalu [-4; -1] , Što ne znači pozitivno? Kao što se može vidjeti s figure, brojka, koja se nalazi unutar navedenih IC-a, ima isključivo "negativne" koordinate, koje trebamo vidjeti i zapamtiti pri rješavanju problema. Područje slike traži Newton Labitsa formulu, samo s minus znakom u početku.
Članak nije dovršen.
U prethodnom odjeljku posvećenom analizi geometrijskog značenja određenog integrala, primili smo brojne formule za izračunavanje područja curvilinear trapeza:
Yandex.rtB r-a-339285-1
S (g) \u003d ∫ a b f (X) D X za kontinuirane i ne-negativne funkcije Y \u003d F (X) na segmentu [A; b]
S (g) \u003d - ∫ a b f (X) D X za kontinuiranu i ne pozitivnu funkciju Y \u003d F (X) na segmentu [a; b].
Ove formule se primjenjuju na rješavanje relativno jednostavnih zadataka. Zapravo, najčešće ćemo morati raditi s složenijim brojkama. U tom smislu, ovaj odjeljak mi posvećujemo analizi algoritama za izračunavanje područja brojki, koje su izričito ograničene funkcijama, tj. Kao y \u003d f (x) ili x \u003d g (y).
TeoremaNeka funkcije Y \u003d F 1 (X) i Y \u003d F 2 (X) se određuju i kontinuirani na sučelju [A; b], s F1 (X) ≤ F 2 (X) za bilo koju vrijednost X iz [A; b]. Zatim se formula za izračunavanje površine slike G, ograničena linijama X \u003d A, X \u003d B, Y \u003d F 1 (X) i Y \u003d F (X) će se pregledati S (g) \u003d ∫ ABF 2 (x) - F 1 (x) DX.
Slična formula primjenjivat će se na područje slike, ograničena linijama Y \u003d C, Y \u003d D, X \u003d G1 (y) i X \u003d G2 (Y): S (g) \u003d CD (G2 (y) - g 1 (y) dy.
Dokaz
Analizirat ćemo tri slučaja za koje će formula biti poštena.
U prvom slučaju, s obzirom na imovinu aditivnosti tog područja, zbroj područja izvorne slike G i curvilinear trapez g 1 je jednak površinu slike G2. To znači da
Stoga, S (g) \u003d S (g 2) - S (G1) \u003d ∫ ABF 2 (X) DX-X - ∫ ABF 1 (X) DX \u003d ∫ ab (F2 (X) - F 1 (X)) Dx.
Izvršite posljednji tranziciju možemo koristiti treće svojstvo određenog integrala.
U drugom slučaju, jednakost je istinita: s (g) \u003d S (G2) + s (G1) \u003d ∫ abf 2 (x) DX + ∫ abf 1 (x) dx \u003d ∫ ab (f2 (x) ) - F 1 (x)) DX
Grafička ilustracija će izgledati:
Ako obje funkcije su ne pozitivne, dobivamo: s (g) \u003d S (g 2) - s (G1) \u003d - ∫ abf 2 (x) dx - ∫ abf 1 (x) dx \u003d ∫ ab (f 2 (x) - F 1 (x)) DX. Grafička ilustracija će izgledati:
Okrenimo se razmatranju općeg slučaja kada Y \u003d F 1 (X) i Y \u003d F 2 (X) prelazi Ox Ox.
Mjesto raskrižje koje označavamo kao X I, i \u003d 1, 2 ,. , , , N - 1. Ove točke razbijaju segment [a; b] na n dijelovima X i - 1; x i, i \u003d 1, 2 ,. , , , n, gdje je α \u003d x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Фигуру G можно представить объединением фигур G i , i = 1 , 2 , . . . , n . Очевидно, что на своем интервале G i попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S (G i) = ∫ x i - 1 x i (f 2 (x) - f 1 (x)) d x , i = 1 , 2 , . . . , n
Stoga,
S (g) \u003d σ i \u003d 1 N S (g i) \u003d σ i \u003d 1 n ∫ Xixif 2 (X) - F 1 (X)) DX \u003d \u003d ∫ X 0 XN (F 2 (X) - F (x ) dx \u003d ∫ abf 2 (x) - f 1 (x) dx
Možemo implementirati posljednji prijelaz pomoću pete svojstva određenog integrala.
Mi ilustriramo na grafikonu općenito.
Formula S (g) \u003d ∫ A B F2 (X) - F 1 (X) D X može se smatrati dokazanim.
A sada prelazimo na analizu primjera izračunavanja površine brojki, koji su ograničeni na linije Y \u003d F (X) i X \u003d G (Y).
Razmatranje bilo kojeg od primjera ćemo početi s izgradnjom rasporeda. Slika će nam omogućiti da predstavljamo složene brojke kao kombiniranje jednostavnijih figura. Ako je izgradnja grafikona i brojki otežano za njih, možete istražiti odjeljak o osnovnim elementarnim funkcijama, geometrijskom konverziji grafova funkcija, kao i građevinske grafove tijekom istraživanja funkcija.
Primjer 1.
Potrebno je odrediti područje lik, koji je ograničen na parabolu y \u003d - x 2 + 6 x - 5 i ravne linije Y \u003d - 1 3 X - 1, X \u003d 1, X \u003d 4 ,
Odluka
Prikaži linije na grafikonu u kartusijanskom koordinatnom sustavu.
Na segmentu [1; 4] Grafikon parabole Y \u003d - X 2 + 6 x - 5 se nalazi iznad ravnog y \u003d - 1 3 x - 1 2. U tom smislu, da biste dobili odgovor, koristimo formulu ranije, kao i metodu za izračunavanje određenog integrala prema Newton-Leibantsi formuli:
S (g) \u003d 1 4 + 6 x - 5 - 1 3 X - 1 2 DX \u003d \u003d 1 4 x 2 + 19 3 X - 9 2 DX \u003d - 1 3 x 3 + 19 6 X 2 - 9 2 x 1 \u003d \u003d - 1 3 · 4 3 + 19 6 · 4 2 - 9 2 · 4 - - 1 3 3 + 19 6 · 1 2 - 9 2 · 1 \u003d - 64 3 + 152 3 - 18 + 1 3 - 19 6 + 9 2 \u003d 13
Odgovor: s (g) \u003d 13
Razmotrite složeniji primjer.
Primjer 2.
Potrebno je izračunati područje slike, koje je ograničeno na linije Y \u003d X + 2, Y \u003d X, X \u003d 7.
Odluka
U tom slučaju imamo samo jednu ravnomjernu liniju koja se nalazi paralelna s Abscisa osi. Ovo je x \u003d 7. Zahtijevamo da pronađemo drugu granicu integracije sami.
Konstruiramo raspored i donosimo linije, podatke o stanju zadataka.
Imati grafikon ispred očiju, lako možemo utvrditi da će donja granica integracije biti apscisa na mjestu raskrižja rasporeda Y \u003d X i pod parabole y \u003d X + 2. Da biste pronašli apscissu, koristite jednakost:
y \u003d X + 2 O D Z: X ≥ - 2 x 2 \u003d X + 2 2 X 2 - X - 2 \u003d 0 D \u003d (- 1) 2 - 4 · 1 · (- 2) \u003d 9 x 1 \u003d 1 + 9 2 \u003d 2 ∈ o dzx 2 \u003d 1 - 9 2 \u003d - 1 ∉ ODZ
Ispada da je apscisa točke raskrižje X \u003d 2.
Skrećemo vašu pozornost na činjenicu da je u općem primjeru u crtežu linije Y \u003d X + 2, Y \u003d X presijecanja u točki (2; 2), tako da se takvi detaljni izračuni mogu činiti nepotrebnim. Doveli smo takve detaljne odluke ovdje samo zato što u složenijim slučajevima odluka možda neće biti tako očita. To znači da su koordinate raskrižja linija bolje uvijek izračunati analitički.
Na intervalu [2; 7] Grafikon funkcije Y \u003d X nalazi se iznad grafikona funkcije Y \u003d X + 2. Nanesite formulu za izračunavanje kvadrata:
S (g) \u003d 27 (X-X + 2) DX \u003d X 2 2 - 2 3 · (X + 2) 3 2 2 7 \u003d 7 2 2 2 - 2 3 · (7 + 2) 3 2 - 2 2 2 - 2 3 · 2 + 2 3 2 \u003d 49 2 - 18 - 2 + 16 3 \u003d 59 6
Odgovor: s (g) \u003d 59 6
Primjer 3.
Potrebno je izračunati područje slike, koje je ograničeno grafikonima funkcija Y \u003d 1 X i Y \u003d - x 2 + 4 x - 2.
Odluka
Primijenite linije na raspored.
Odrediti s granicama integracije. Da bismo to učinili, definiramo koordinate raskrižja točaka linija, izjednačenih izraza 1 x i - x 2 + 4 x - 2. Pod uvjetom da X nije nula, jednakost 1 x \u003d x 2 + 4 x - 2 postaje ekvivalentna jednadžba trećeg stupnja - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 \u003d 0 s cijelim koeficijentima. Da biste osvježili algoritam u sjećanju rješavanjem takvih jednadžbi, možemo kontaktirati odjeljak "otopinu kubičnih jednadžbi".
Korijen ove jednadžbe je X \u003d 1: - 1 3 + 4 · 1 2 - 2 · 1 - 1 \u003d 0.
Dijeljenje ekspresije - X 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 po odskočju X - 1, dobivamo: - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ⇔ - (X - 1) (x 2 - 3 x - 1) \u003d 0.
Preostali korijeni možemo pronaći iz jednadžbe x 2 - 3 x - 1 \u003d 0:
x 2 - 3 X - 1 \u003d 0 D \u003d (- 3) 2 - 4 · 1 · (- 1) \u003d 13 x 1 \u003d 3 + 13 2 ≈ 3. 3; x 2 \u003d 3 - 13 2 ≈ - 0. 3.
Pronašli smo interval X ∈ 1; 3 + 13 2, na kojem se nalazi slika G iznad plave i ispod crvene linije. Pomaže nam da odredimo područje slike:
S (g) \u003d 1 3 + 13 2 - x 2 + 4 x - 2 - 1 XDX \u003d - X 3 3 + 2 x 2 x 2 x - ln X 1 3 + 13 2 \u003d - 3 + 13 2 3 3 + 2 · 3 + 13 2 2 - 2 · 3 + 13 2 - lN 3 + 13 2 - - 1 3 3 + 2 · l 2 - 2 · ln 1 \u003d 7 + 13 3 - lN 3 + 13 2 ,
Odgovor: S (g) \u003d 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2
Primjer 4.
Potrebno je izračunati područje slike, koje je ograničeno na krivulje y \u003d x 3, y \u003d - log 2 x + 1 i os apscisa.
Odluka
Primijenit ćemo sve linije na raspored. Možemo dobiti funkciju funkcije y \u003d - log 2 x + 1 iz grafikona y \u003d log 2 x, ako ga stavimo simetrično u odnosu na Abscissu os i podignite jednu jedinicu prema gore. Jednadžba Abscisa osi y \u003d 0.
Označavaju presječne točke linija.
Kao što se može vidjeti s figure, grafikoni funkcija Y \u003d X 3 i Y \u003d 0 se sijeku u točki (0; 0). To se dobiva jer je X \u003d 0 jedini valjani korijen jednadžbe x 3 \u003d 0.
x \u003d 2 je jedini korijen jednadžbe - log 2 x + 1 \u003d 0, tako da grafikoni funkcija y \u003d - log 2 x + 1 i y \u003d 0 presijecaju u točki (2; 0).
x \u003d 1 je jedini korijen jednadžbe x 3 \u003d - log 2 x + 1. S tim u vezi, grafikoni funkcija y \u003d x 3 i y \u003d - log 2 x + 1 sijeku se na točki (1; 1). Posljednja izjava može biti nejasna, ali jednadžba x 3 \u003d - log 2 x + 1 ne mogu imati više od jednog korijena, jer je funkcija y \u003d x 3 strogo raste, a funkcija y \u003d - dnevnik 2 x + 1 strogo se smanjuje ,
Daljnje rješenje uključuje nekoliko opcija.
Broj opcije 1
Slika g Možemo zamisliti kao zbroj dva curvilinear trapeza nalazi iznad Abscisa osi, od kojih se prvi nalazi ispod središnje linije na segmentu X ∈ 0; 1, a drugi ispod crvene linije na segmentu X ∈ 1; 2. To znači da će područje biti jednak S (g) \u003d 0 1 x 3 d x + 1 2 (- dnevnik 2 x + 1) d x.
Opcija broj 2.
Slika G može biti predstavljen kao razlika od dvije figure, od kojih se prvi nalazi iznad Assissa osi i ispod plave linije na segmentu X ∈ 0; 2, a druga između crvenih i plavih linija na segmentu X ∈ 1; 2. To nam omogućuje da pronađemo područje na sljedeći način:
S (g) \u003d \u003d 0 2 x 3 d x - ∫ 1 2 x 3 - (- log 2 x + 1) d x
U tom slučaju, da biste pronašli područje će morati koristiti formulu obrasca S (g) \u003d ∫C d (g 2 (Y) - g 1 (y)) d y. U stvari, linije koje ograničavaju brojku mogu biti predstavljene kao funkcije argumenta.
Dopustili su jednadžbe y \u003d x 3 i - log 2 x + 1 u odnosu na X:
y \u003d x 3 ⇒ x \u003d y 3 y \u003d - log 2 x + 1 ⇒ log 2 x \u003d 1 - y ⇒ x \u003d 2 1 - y
Dobivamo željeno područje:
S (g) \u003d \u003d 0 1 (2 l - y - y3) d \u003d - 2 l - y ln 2 - y 4 4 \u003d - 2 1 - 1 lNN 2 - 1 4 4 - - 2 1 - 0 ln 2 - 0 4 4 \u003d 1 lNN 2 - 1 4 + 2 ln 2 \u003d 1 ln 2 - 1 4
Odgovor: s (g) \u003d 1 ln 2 - 1 4
Primjer 5.
Potrebno je izračunati područje slike, koje je ograničeno na linije Y \u003d X, Y \u003d 2 3 x - 3, Y \u003d - 1 2 x + 4.
Odluka
S crvenom linijom, primijenit ćemo liniju na grafu koji je odredio funkcija y \u003d x. Plava s linijom Y \u003d - 1 2 x + 4, u crnom, označavamo liniju Y \u003d 2 3 x - 3.
Zabilježite točke raskrižja.
Pronađite točke raskrižja grafova funkcija Y \u003d X i Y \u003d - 1 2 x + 4:
x \u003d - 1 2 X + 4 O D Z: X ≥ 0 X \u003d - 1 2 x + 4 2 ⇒ X \u003d 1 4 x 2 - 4 x + 16 ⇔ x 2 - 20 x + 64 \u003d 0 d \u003d (- 20) 2 - 4 · 1 · 64 \u003d 144 x 1 \u003d 20 + 144 2 \u003d 16; X 2 \u003d 20 - 144 2 \u003d 4 P O u E P: X 1 \u003d 16 \u003d 4, - 1 2 x 1 + 4 \u003d - 1 2 · 16 + 4 \u003d - 4 ⇒ X 1 \u003d 16 N Ja sam u Li Jeo XP i u N i IX 2 \u003d 4 \u003d 2, - 1 2 x 2 + 4 \u003d - 1 2 · 4 + 4 \u003d 2 ⇒ x 2 \u003d 4 Ja sam u LieSirenemura u n i ni ⇒ (4; 2) tohkaperesen i i y \u003d x i y \u003d - 1 2 x + 4
Točka sjecišta grafova funkcija Y \u003d X i Y \u003d 2 3 X - 3:
x \u003d 2 3 X - 3 O D Z: X ≥ 0 X \u003d 2 3 X - 3 2 ⇔ X \u003d 4 9 X 2 - 4 x + 9 ⇔ 4 x 2 - 45 x + 81 \u003d 0 d \u003d (- 45) 2 - 4 · 4 · 81 \u003d 729 x 1 \u003d 45 + 729 8 \u003d 9, X 2 45 - 729 8 \u003d 9 4 P r O e: X 1 \u003d 9 \u003d 3, 2 3 x 1 - 3 \u003d 2 3 · 9 - 3 \u003d 3 ⇒ X 1 \u003d 9 Ja sam u LieMiraneni ⇒ (9; 3) toh do apereciy \u003d X i Y \u003d 2 3 X - 3 X 2 \u003d 9 4 \u003d 3 2, 2 3 x 1 - 3 \u003d 2 3 · 9 4 - 3 \u003d - 3 2 ⇒ x 2 \u003d 9 4 n e i l i e t s i r e m u r a u n e n i
Naći ćemo mjesto raskrižja linije y \u003d - 1 2 x + 4 i y \u003d 2 3 x - 3:
1 2 x + 4 \u003d 2 3 x - 3 ⇔ - 3 x + 24 \u003d 4 x - 18 x 7 x \u003d 42 42 \u003d 6 - 1 2 · 6 + 4 \u003d 2 3 · 6 - 3 \u003d 1 ⇒ (6 ; 1) t o hkanereceniy \u003d - 1 2 x + 4 i y \u003d 2 3 x - 3
Broj metode 1.
Zamislite područje željene figure kao zbroj područja pojedinih figura.
Tada je lik slike jednak:
S (g) \u003d 4 X + 4 DX + 6 9 X - 2 3 X - 3 DX \u003d 2 3 x 3 2 + X 2 4 - 4 x 4 6 + 2 3 x 3 2 - x 2 3 + 3 x 6 9 \u003d 2 3 2 + 6 2 4 - 4 - 6 - 2 3 · 4 3 2 + 4 2 4 4 4 - 4 · 4 + + 2 3 · 9 3 2 - 9 2 3 + 3 · 9 - 2 3 · 6 3 2 - 6 2 3 + 3 · 6 \u003d - 25 3 + 4 6 + 4 6 + 12 \u003d 11 3
Metoda br. 2.
Područje izvorne figure može biti predstavljeno kao zbroj dviju drugih figura.
Tada ćemo riješiti jednadžbu linije u odnosu na X, a tek nakon toga primjenjujemo formulu za izračunavanje lik slike.
y \u003d x ⇒ x \u003d y 2 do r i s n i i l i i y \u003d 2 3 x - 3 ⇒ X \u003d 3 2 y + 9 2 h e r n i l i i y \u003d - l x + 4 ⇒ x \u003d - 2 y + 8 s i nil i ni
Dakle, područje je jednako:
S (g) \u003d 1 2 3 2 Y + 9 2 - 2 - 2 Y + 8 DY + 2 3 2 Y + 9 2 - Y 2 DY \u003d 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 DY + 2 3 3 2 Y + 9 2 - 2 DY \u003d 7 4 Y 2 - 7 4 Y 1 2 + - Y 3 3 + 3 Y 2 4 + 9 2 Y 2 3 \u003d 7 4 · 2 2 - 7 4 · 2 - 7 4 · 1 2 - 7 4 · 1 + + - 3 3 3 + 3 · 3 2 4 + 9 2 · 3 - 2 3 3 + 3 · 2 2 4 + 9 2 · 2 \u003d 7 4 + 23 12 \u003d 11 3
Kao što možete vidjeti, vrijednosti se podudaraju.
Odgovor: s (g) \u003d 11 3
Rezultati
Da biste pronašli područje lik, koji je ograničen na navedene linije, moramo izgraditi linije u ravnini, pronaći točke njihovog raskrižja, primijeniti formulu za pronalaženje područja. U ovom odjeljku razmotrili smo najčešće opcije zadataka.
Ako primijetite pogrešku u tekstu, odaberite ga i pritisnite Ctrl + Enter
