La siguiente fórmula se llama fórmula de integración por partes en la integral indefinida:
Para aplicar la fórmula de integración por partes, el integrando debe dividirse en dos factores. Uno de ellos se denota por tu, y el resto se refiere al segundo factor y se denota por dv. Luego por diferenciación encontramos du e integración - función v. Al mismo tiempo, para tu dv- una parte del integrando que pueda integrarse fácilmente.
¿Cuándo es beneficioso utilizar el método de integración por partes? Entonces cuando el integrando contiene :
1) - funciones logarítmicas, así como inversas funciones trigonométricas(con el prefijo "arco"), entonces, basándose en la experiencia a largo plazo de integración por partes, estas funciones se denotan por tu;
2) , , - seno, coseno y exponente multiplicado por PAG(X) es un polinomio arbitrario en x, entonces estas funciones se denotan por dv, y el polinomio es a través de tu;
3) , , , , en este caso la integración por partes se aplica dos veces.
Expliquemos el valor del método de integración por partes usando el ejemplo del primer caso. Deje que la expresión bajo el signo integral contenga una función logarítmica (este será el ejemplo 1). Al utilizar la integración por partes, dicha integral se reduce a calcular la integral solo de funciones algebraicas (la mayoría de las veces un polinomio), es decir, que no contienen una función logarítmica o trigonométrica inversa. Usando la fórmula de integración por partes dada al comienzo de la lección
obtenemos en el primer término (sin integral) una función logarítmica, y en el segundo término (bajo el signo de integral) una función que no contiene logaritmo. La integral de una función algebraica es mucho más simple que la integral bajo cuyo signo se encuentran por separado o junto con factor algebraico Función logarítmica o trigonométrica inversa.
Así, utilizando fórmulas de integración por partes la integración no se realiza de inmediato: encontrar una integral dada se reduce a encontrar otra. El significado de la fórmula de integración por partes es que como resultado de su aplicación, la nueva integral resulta tabular o al menos se vuelve más simple que la original.
El método de integración por partes se basa en el uso de la fórmula para derivar el producto de dos funciones:
entonces se puede escribir en la forma
que se dio al comienzo de la lección.
Al encontrar integrando la función v para ello existe un conjunto infinito funciones antiderivadas. Para aplicar la fórmula de integración por partes se puede tomar cualquiera de ellas, y por tanto la que corresponda a una constante arbitraria CON, igual a cero. Por lo tanto, al encontrar la función v Constante arbitraria CON no se debe ingresar.
El método de integración por partes tiene una aplicación muy especial: se puede utilizar para derivar fórmulas recurrentes para encontrar funciones antiderivadas cuando es necesario reducir el grado de funciones bajo el signo integral. Es necesario reducir el grado cuando no hay integrales tabulares para, por ejemplo, funciones como senos y cosenos a potencias mayores que el segundo y sus productos. Una fórmula recurrente es una fórmula para encontrar el siguiente miembro de una secuencia a través del miembro anterior. Para los casos indicados, el objetivo se consigue bajando sucesivamente el grado. Entonces, si el integrando es un seno elevado a la cuarta potencia de x, entonces integrando por partes puedes encontrar una fórmula para la integral del seno elevado a la tercera potencia, y así sucesivamente. El último párrafo de esta lección está dedicado a la tarea descrita.
Aplicando la integración por partes juntas
Ejemplo 1. Encuentra la integral indefinida usando el método de integración por partes.:
Solución. En la expresión integrando, el logaritmo, que, como ya sabemos, puede denotarse razonablemente por tu. Creemos que , .
Encontramos (como ya se mencionó en la explicación de la referencia teórica, inmediatamente obtenemos una función logarítmica en el primer término (sin integral), y una función que no contiene un logaritmo en el segundo término (bajo el signo de integral):
Y de nuevo el logaritmo...
Ejemplo 2. Encuentra la integral indefinida:
Solución. Dejar , .
El logaritmo está presente en el cuadrado. Esto significa que debe diferenciarse como una función compleja. Encontramos
,
.
Volvemos a encontrar la segunda integral por partes y obtenemos la ventaja ya mencionada (en el primer término (sin la integral) hay una función logarítmica, y en el segundo término (bajo el signo de integral) hay una función que no contiene una logaritmo).
Encontramos la integral original:
Ejemplo 3.
Solución. El arcotangente, al igual que el logaritmo, se denota mejor por tu. Entonces deja , .
Entonces ,
.
Aplicando la fórmula de integración por partes obtenemos:
Encontramos la segunda integral cambiando una variable.
Volviendo a la variable X, obtenemos
.
Encontramos la integral original:
.
Ejemplo 4. Encuentra la integral indefinida usando el método de integración por partes.:
Solución. Es mejor denotar el exponente como dv. Dividimos el integrando en dos factores. Creyendo que
Ejemplo 5. Encuentra la integral indefinida usando el método de integración por partes.:
.
Solución. Dejar , . Entonces , .
Usando la fórmula de integración por partes (1), encontramos:
Ejemplo 6. Encuentra la integral indefinida por integración por partes:
Solución. El seno, al igual que el exponencial, puede denotarse convenientemente por dv. Dejar , .
Usando la fórmula de integración por partes encontramos:
Volvemos a aplicar la integración por partes juntas
Ejemplo 10. Encuentra la integral indefinida por integración por partes:
.
Solución. Como en todos los casos similares, conviene denotar el coseno como dv. Denotamos , .
Entonces 
,
.
Usando la fórmula de integración por partes obtenemos:
También aplicamos la integración por partes al segundo término. Denotamos , .
Usando estas notaciones integramos el término mencionado:
Ahora encontramos la integral requerida:
Entre las integrales que se pueden resolver mediante el método de integración por partes, también se encuentran aquellas que no están incluidas en ninguno de los tres grupos mencionados en la parte teórica, para las cuales se sabe por la práctica que es mejor denotar por tu, y a través de qué dv. Por lo tanto, en estos casos es necesario utilizar la consideración de conveniencia, también dada en el párrafo “La esencia del método de integración por partes”: para tu se debe tomar una parte del integrando que no se vuelva mucho más complicada durante la diferenciación, pero dv- una parte del integrando que pueda integrarse fácilmente. El último ejemplo de esta lección es la solución de tal integral.
Integración por partes. Ejemplos de soluciones
Hola de nuevo. Hoy en la lección aprenderemos a integrar por partes. El método de integración por partes es uno de los pilares del cálculo integral. Durante las pruebas o exámenes, casi siempre se pide a los estudiantes que resuelvan los siguientes tipos de integrales: la integral más simple (ver artículo) o una integral reemplazando una variable (ver artículo) o la integral está justo en método de integración por partes.
Como siempre, deberás tener a mano: Tabla de integrales Y tabla de derivados. Si aún no los tienes, visita el trastero de mi web: Fórmulas y tablas matemáticas.. No me cansaré de repetirlo: es mejor imprimirlo todo. Intentaré presentar todo el material de forma coherente, sencilla y clara, no hay dificultades especiales para integrar las partes.
¿Qué problema resuelve el método de integración por partes? El método de integración por partes resuelve un problema muy importante, permite integrar algunas funciones que no están en la tabla, trabajar funciones y, en algunos casos, incluso cocientes. Como recordamos, no existe una fórmula conveniente: 
. Pero existe este: 
– Fórmula de integración por partes presencial. Lo sé, lo sé, eres la única; trabajaremos con ella durante toda la lección (ahora es más fácil).
E inmediatamente la lista al estudio. Las integrales de los siguientes tipos se toman por partes:
1) , 
, – logaritmo, logaritmo multiplicado por algún polinomio.
2) ,
es una función exponencial multiplicada por algún polinomio. Esto también incluye integrales como: funcion exponencial, multiplicado por un polinomio, pero en la práctica el porcentaje es 97, hay una bonita letra "e" debajo de la integral. ... el artículo resulta algo lírico, oh sí ... ha llegado la primavera.
3) , 
, son funciones trigonométricas multiplicadas por algún polinomio.
4), – funciones trigonométricas inversas (“arcos”), “arcos” multiplicados por algún polinomio.
Algunas fracciones también se toman en partes, también consideraremos los ejemplos correspondientes en detalle.
Integrales de logaritmos
Ejemplo 1
Clásico. De vez en cuando, esta integral se puede encontrar en tablas, pero no es aconsejable utilizar una respuesta ya preparada, ya que el profesor tiene deficiencia de vitaminas primaverales y maldecirá mucho. Porque la integral considerada no es en modo alguno tabular: se toma en partes. Nosotros decidimos:
Interrumpimos la solución para explicaciones intermedias.
Usamos la fórmula de integración por partes: 
La fórmula se aplica de izquierda a derecha.
Nos fijamos en el lado izquierdo: . Obviamente, en nuestro ejemplo (y en todos los demás que consideraremos), algo debe designarse como y algo como .
En integrales del tipo considerado, siempre se denota el logaritmo.
Técnicamente, el diseño de la solución se implementa de la siguiente manera, escribimos en la columna:
Es decir, denotamos el logaritmo por y por - la parte restante expresión integrando.
Siguiente etapa: encontrar el diferencial:
Un diferencial es casi lo mismo que una derivada; ya hemos discutido cómo encontrarlo en lecciones anteriores.
Ahora encontramos la función. Para encontrar la función que necesita integrar lado derecho menor igualdad:
Ahora abrimos nuestra solución y construimos el lado derecho de la fórmula: .
Por cierto, aquí tenéis una muestra de la solución final con algunas notas:
El único punto del trabajo es que inmediatamente cambié y , ya que es costumbre escribir el factor antes del logaritmo.
Como puede ver, la aplicación de la fórmula de integración por partes esencialmente redujo nuestra solución a dos integrales simples.
Tenga en cuenta que en algunos casos justo después de Al aplicar la fórmula, necesariamente se realiza una simplificación en la integral restante; en el ejemplo considerado, reducimos el integrando a "x".
Vamos a revisar. Para hacer esto, debes tomar la derivada de la respuesta:
Se ha obtenido la función integrando original, lo que significa que la integral se ha resuelto correctamente.
Durante la prueba utilizamos la regla de diferenciación de productos: 
. Y esto no es una coincidencia.
Fórmula de integración por partes. 
y fórmula 
– estas son dos reglas mutuamente inversas.
Ejemplo 2
Encuentra la integral indefinida.
El integrando es el producto de un logaritmo y un polinomio.
Vamos a decidir.
Una vez más describiré en detalle el procedimiento para aplicar la regla, en el futuro los ejemplos se presentarán más brevemente y, si tiene dificultades para resolverlo usted mismo, debe volver a los dos primeros ejemplos de la lección. .
Como ya se mencionó, es necesario denotar el logaritmo (no importa el hecho de que sea una potencia). denotamos por la parte restante expresión integrando.
Escribimos en la columna:
Primero encontramos el diferencial:
Aquí usamos la regla de diferenciación. función compleja 
. No es casualidad que en la primera lección del tema Integral indefinida. Ejemplos de soluciones Me centré en el hecho de que para dominar las integrales, es necesario "tener en sus manos" las derivadas. Tendrás que lidiar con derivados más de una vez.
Ahora encontramos la función, para ello integramos lado derecho menor igualdad:
Para la integración utilizamos la fórmula tabular más simple. 
Ahora todo está listo para aplicar la fórmula. 
. Abra con un asterisco y “construya” la solución de acuerdo con el lado derecho:
¡Bajo la integral tenemos nuevamente un polinomio para el logaritmo! Por tanto, se vuelve a interrumpir la solución y se aplica por segunda vez la regla de integración por partes. No olvide que en situaciones similares siempre se denota el logaritmo.
Sería bueno si en este momento Pudiste encontrar las integrales y derivadas más simples de forma oral.
(1) ¡No te confundas con las señales! Muy a menudo el menos se pierde aquí, tenga en cuenta también que el menos se refiere a a todos soporte 
, y estos corchetes deben expandirse correctamente.
(2) Abra los soportes. Simplificamos la última integral.
(3) Tomamos la última integral.
(4) “Combinar” la respuesta.
La necesidad de aplicar la regla de integración por partes dos veces (o incluso tres veces) no surge muy raramente.
Y ahora un par de ejemplos para decisión independiente:
Ejemplo 3
Encuentra la integral indefinida.
¡Este ejemplo se resuelve cambiando la variable (o sustituyéndola bajo el signo diferencial)! ¿Por qué no? Puedes intentar hacerlo en partes, resultará algo divertido.
Ejemplo 4
Encuentra la integral indefinida.
Pero esta integral está integrada por partes (la fracción prometida).
Estos son ejemplos para que los resuelvas por tu cuenta, soluciones y respuestas al final de la lección.
Parece que en los ejemplos 3 y 4 los integrandos son similares, ¡pero los métodos de solución son diferentes! Ésta es la principal dificultad para dominar las integrales: si eliges el método incorrecto para resolver una integral, podrás jugar con ella durante horas, como con un rompecabezas real. Por lo tanto, cuanto más resuelvas varias integrales, mejor y más fácil será la prueba y el examen. Además, en el segundo año habrá ecuaciones diferenciales, y sin experiencia en la resolución de integrales y derivadas no hay nada que hacer allí.
En términos de logaritmos, esto probablemente sea más que suficiente. Para empezar, también recuerdo que los estudiantes de ingeniería llaman a los logaritmos pecho femenino=). Por cierto, es útil conocer de memoria las gráficas de las principales funciones elementales: seno, coseno, arcotangente, exponente, polinomios de tercer, cuarto grado, etc. No, por supuesto, un condón en el mundo.
No lo estiraré, pero ahora recordarás mucho de la sección. Gráficos y funciones =).
Integrales de una exponencial multiplicada por un polinomio
Ejemplo 5
Encuentra la integral indefinida.
Usando un algoritmo familiar, integramos por partes:
Si tienes dificultades con la integral, deberías volver al artículo. Método de cambio de variable en integral indefinida..
Lo único que puedes hacer es modificar la respuesta:
Pero si tu técnica de cálculo no es muy buena, entonces la opción más rentable es dejarla como respuesta. 
o incluso 
Es decir, el ejemplo se considera resuelto cuando se toma la última integral. No será un error, otra cosa es que el profesor te pida que simplifiques la respuesta.
Ejemplo 6
Encuentra la integral indefinida.
Este es un ejemplo para que lo resuelvas por tu cuenta. Esta integral se integra dos veces por partes. Atención especial debe prestar atención a las señales: es fácil confundirse con ellas, también recordamos que se trata de una función compleja.
No hay nada más que decir sobre el expositor. Sólo puedo añadir que el expositor y logaritmo natural funciones recíprocas, este soy yo sobre el tema de los gráficos entretenidos Matemáticas avanzadas=) Para, para, no te preocupes, el profesor está sobrio.
Integrales de funciones trigonométricas multiplicadas por un polinomio
Regla general: porque siempre denota un polinomio
Ejemplo 7
Encuentra la integral indefinida.
Integramos por partes:
Mmmm...y no hay nada que comentar.
Ejemplo 8
Encuentra la integral indefinida 
Este es un ejemplo para que lo resuelvas tú mismo.
Ejemplo 9
Encuentra la integral indefinida
Otro ejemplo con una fracción. Como en los dos ejemplos anteriores, for denota un polinomio.
Integramos por partes: 
Si tiene alguna dificultad o malentendido para encontrar la integral, le recomiendo asistir a la lección. Integrales de funciones trigonométricas..
Ejemplo 10
Encuentra la integral indefinida 
Este es un ejemplo para que lo resuelvas por tu cuenta.
Sugerencia: antes de usar el método de integración por partes, debes aplicar alguna fórmula trigonométrica que convierta el producto de dos funciones trigonométricas en una sola función. La fórmula también se puede utilizar al aplicar el método de integración por partes, el que te resulte más conveniente.
Probablemente eso esté todo en este párrafo. Por alguna razón recordé una línea del himno de física y matemáticas “Y el gráfico sinusoidal corre onda tras onda a lo largo del eje de abscisas”….
Integrales de funciones trigonométricas inversas.
Integrales de funciones trigonométricas inversas multiplicadas por un polinomio
Regla general: siempre denota la función trigonométrica inversa.
Permítanme recordarles que las funciones trigonométricas inversas incluyen arcoseno, arcocoseno, arcotangente y arcocotangente. En aras de la brevedad del registro los llamaré "arcos".
Se consideran en detalle ejemplos de soluciones de integrales por partes, cuyo integrando contiene el logaritmo, el arcoseno, el arcotangente, así como el logaritmo elevado a la potencia entera y el logaritmo del polinomio.
Fórmula de integración por partes.
A continuación, al resolver ejemplos se utiliza la fórmula de integración por partes:
;
.
Ejemplos de integrales que contienen logaritmos y funciones trigonométricas inversas
A continuación se muestran ejemplos de integrales que se integran por partes:
, , , , , , .
Al integrar, esa parte del integrando que contiene el logaritmo o funciones trigonométricas inversas se denota por u, el resto por dv.
A continuación se muestran ejemplos con soluciones detalladas de estas integrales.
Ejemplo sencillo con logaritmo
Calculemos la integral que contiene el producto de un polinomio y un logaritmo:
Solución
Aquí el integrando contiene un logaritmo. Hacer sustituciones
tu = en x, dv = x 2 dx . Entonces
,
.
Integramos por partes.
.
.
Entonces
.
Al final de los cálculos, agregue la constante C.
Respuesta
Ejemplo de logaritmo elevado a 2
Consideremos un ejemplo en el que el integrando incluye un logaritmo elevado a una potencia entera. Estas integrales también pueden integrarse por partes.
Solución
Hacer sustituciones
tu = (ln x) 2, dv = x dx . Entonces
,
.
Calculamos también la integral restante por partes:
.
sustituyamos
.
Respuesta
Un ejemplo en el que el argumento del logaritmo es un polinomio
Las integrales se pueden calcular por partes, cuyo integrando incluye un logaritmo cuyo argumento es una función polinómica, racional o irracional. Como ejemplo, calculemos una integral con un logaritmo cuyo argumento es un polinomio.
.
Solución
Hacer sustituciones
tu = En( x 2 - 1), dv = x dx .
Entonces
,
.
Calculamos la integral restante:
.
No escribimos aquí el signo del módulo. en | x2-1|, ya que el integrando se define en x 2 - 1 > 0
. sustituyamos
.
Respuesta
Ejemplo de arcoseno
Consideremos un ejemplo de integral cuyo integrando incluye el arcoseno.
.
Solución
Hacer sustituciones
tu = arcosen x,
.
Entonces
,
.
A continuación, observamos que el integrando está definido para |x|< 1 . Expandamos el signo del módulo bajo el logaritmo, teniendo en cuenta que 1-x > 0 Y 1 + x > 0.
Respuesta
Ejemplo de arco tangente
Resolvamos el ejemplo con arcotangente:
.
Solución
Integramos por partes.
.
Seleccionemos la parte entera de la fracción:
X 8 = x 8 + x 6 - x 6 - x 4 + x 4 + X 2 - x 2 - 1 + 1 = (x 2 + 1)(x 6 - x 4 + x 2 - 1) + 1;
.
Integramos:
.
Finalmente tenemos:
.
Respuesta
Otro ejemplo con arcoseno
Resuelve la integral:
.
Solución
Integramos por partes.
.
Calculamos la integral restante. en x > 0
tenemos:
.
.
.
en x < 0
hagamos una sustitución x = - t, t > 0
:
.
Finalmente lo tenemos.
Integración por partes. Ejemplos de soluciones
Solución.
P.ej.
Calcula la integral:
Usando las propiedades de la integral (linealidad), ᴛ.ᴇ. , lo reducimos a una integral tabular, obtenemos que
Hola de nuevo. Hoy en la lección aprenderemos a integrar por partes. El método de integración por partes es uno de los pilares del cálculo integral. Durante las pruebas o exámenes, casi siempre se pide a los estudiantes que resuelvan los siguientes tipos de integrales: la integral más simple (ver artículoIntegral indefinida. Ejemplos de soluciones ) o una integral reemplazando una variable (ver artículoMétodo de cambio de variable en una integral indefinida. ) o la integral está justo en método de integración por partes.
Como siempre, deberás tener a mano: Tabla de integrales Y tabla de derivados. Si aún no los tienes, visita el almacén de mi sitio web: Fórmulas y tablas matemáticas.. No me cansaré de repetirlo: es mejor imprimirlo todo. Intentaré presentar todo el material de forma coherente, sencilla y clara, no hay dificultades especiales para integrar las partes.
¿Qué problema resuelve el método de integración por partes? El método de integración por partes resuelve un problema muy importante, permite integrar algunas funciones que no están en la tabla, trabajar funciones y, en algunos casos, incluso cocientes. Como recordamos, no existe una fórmula conveniente: . Pero ahí está esta: - la fórmula de la integración por partes presencialmente. Lo sé, lo sé, eres la única; trabajaremos con ella durante toda la lección (ahora es más fácil).
E inmediatamente la lista al estudio. Las integrales de los siguientes tipos se toman por partes:
1) , – logaritmo, logaritmo multiplicado por algún polinomio.
2), es una función exponencial multiplicada por algún polinomio. Esto también incluye integrales como: una función exponencial multiplicada por un polinomio, pero en la práctica es 97 por ciento, debajo de la integral hay una bonita letra ʼʼеʼʼ. ... el artículo resulta algo lírico, oh sí ... ha llegado la primavera.
3) , – funciones trigonométricas multiplicadas por algún polinomio.
4) - funciones trigonométricas inversas ("arcos"), "arcos", multiplicadas por algún polinomio.
Algunas fracciones también se toman en partes, también consideraremos los ejemplos correspondientes en detalle.
Ejemplo 1
Encuentra la integral indefinida.
Clásico. De vez en cuando, esta integral se puede encontrar en tablas, pero no es aconsejable utilizar una respuesta ya preparada, ya que el profesor tiene deficiencia de vitaminas primaverales y maldecirá mucho. Porque la integral considerada no es en modo alguno tabular: se toma en partes. Nosotros decidimos:
Interrumpimos la solución para explicaciones intermedias.
Usamos la fórmula de integración por partes:
Integrales de logaritmos: concepto y tipos. Clasificación y características de la categoría "Integrales de logaritmos" 2017, 2018.
