Secciones: Matemáticas
Objetivos de la lección: generalización y mejora del conocimiento sobre este tema.
Tareas:
- Educativo:
- organización de la comunicación en la lección (profesor - alumno, alumno - profesor);
- implementación de un enfoque diferenciado del aprendizaje;
- Asegurar la repetición de conceptos básicos.
- Educativo:
- desarrollar la capacidad de resaltar lo principal;
- Expresar pensamientos de forma lógica.
- Educativo:
- formación de cultura actividades educacionales y cultura de la información;
- Desarrollar la capacidad de superar las dificultades.
Esquema de la lección.
Mientras miran la presentación, los estudiantes responden las siguientes preguntas:
- ¿Qué es un trapecio curvo?
- ¿Cuál es el área de un trapecio curvo?
- Dé la definición de integral.
La clase se divide en 2 subgrupos. El primer subgrupo es más fuerte que el segundo, por lo que el subgrupo 2 primero trabaja con el maestro (repite las reglas para calcular integrales; la prueba se realiza en la pizarra) y luego trabaja en la computadora, realizando un trabajo independiente. El segundo subgrupo con capacidades medias trabaja de forma independiente. EN juego didáctico"Integral" necesita descifrar la afirmación: "Una conciencia tranquila es la almohada más suave". La tarea dada es creativa: elija 5 ejemplos originales de búsqueda de áreas. figuras planas con dibujos.
Opción 1.
Instrucciones
2. Trazar gráficos:
A) Gráficos – Agregar gráfico… - en el campo Fórmula ingrese la fórmula de la función - seleccione el grosor de la línea - Aceptar.
.
Editar - Agregar etiqueta...
Ver – Listas de gráficos.
Ejercicio
A) _______________
b) _______________
4. Calcula el área de la figura limitada por las gráficas de estas funciones:
A) ________________________
________________________
________________________b)_________________________________
________________________
________________________
Trabajo independiente “Cálculo del área de figuras planas mediante una integral definida”
Estudiantes____11º grado, grupos ____________________________
opcion 2
Instrucciones
1. Abra el trazador gráfico avanzado desde su escritorio.
2. Trazar gráficos:
A) Gráficos: agregar gráfico…
b) Para indicar grados, utilice el signo ^ (por ejemplo, )
c) Para establecer funciones trigonométricas, use el diagrama: Gráficos – Conjunto de propiedades – Conjunto trigonométrico. Además, según el esquema habitual, pero es necesario aumentar la escala.
3. Firme el nombre de la función: Editar - Agregar etiqueta...
4. Deshabilite la visualización de todos los gráficos en el panel: Ver – Listas de gráficos
Ejercicio
1. Usando las instrucciones adjuntas, construya gráficas de las funciones:
2. Encuentra los puntos de intersección de estas gráficas.
A) ______________________________
b) ______________________________
3. Determinar el intervalo de integración.
A) _______________
b) _______________
A) ________________________
________________________
________________________
b) _________________________________
________________________
________________________
Trabajo independiente “Cálculo del área de figuras planas mediante una integral definida”
Estudiantes____11º grado, grupos ____________________________
Opción 3.
Instrucciones
1. Abra el trazador gráfico avanzado desde su escritorio.
2. Trazar gráficos:
A) Gráficos: agregar gráfico…– en el campo Fórmula, ingrese la fórmula de la función – seleccione el grosor de la línea – Aceptar.
b) Para indicar grados, utilice el signo ^ (por ejemplo, )
c) Para establecer funciones trigonométricas, use el diagrama: Gráficas – Conjunto de propiedades – Conjunto trigonométrico. Además, según el esquema habitual, pero es necesario aumentar la escala.
3. Firme el nombre de la función: Editar - Agregar etiqueta...
4. Deshabilite la visualización de todos los gráficos en el panel: Ver – Listas de gráficos
Ejercicio
1. Usando las instrucciones adjuntas, construya gráficas de las funciones:
A)
2. Encuentra los puntos de intersección de estas gráficas.
A) ______________________________
b) ______________________________
3. Determinar el intervalo de integración.
A) __________________
b) __________________
4. Calcula el área de la figura delimitada por las gráficas de estas funciones.
A) ________________________
________________________
________________________
b) _________________________________
________________________
________________________
trabajo oral 1. Usando la integral, expresa las áreas de las figuras que se muestran en las figuras:
2. Calcula las integrales:
Encuentra el área de la figura:
5)1/3; ln2 ;√2
Una pequeña historia
"Integral" inventado Jacob Bernoulli(1690)
"restaurar" del latín integro
"entero" del latín entero
"Función primitiva"
del latín
primitivo- inicial,
José Luis Lagrange
Integral en la antigüedad
El primer método conocido para calcular integrales es Método de agotamiento de Eudoxo (aproximadamente 370 aC BC), quien intentó encontrar áreas y volúmenes dividiéndolos en un número infinito de partes cuyo área o volumen ya era conocido.
Este método fue recogido y desarrollado. Arquímedes , y se utilizó para calcular las áreas de parábolas y aproximar el área de un círculo.
Eudoxo de Cnido
isaac newton (1643-1727)
La presentación más completa del cálculo diferencial e integral está contenida en
Variables - fluidas (antiderivada o integral indefinida)
Tasa de cambio de fluido - fluxión (derivada)
Leibniz Gottfried Wilhelm (1646-1716)
- utilizado por primera vez por Leibniz al final
El símbolo se formó a partir de la letra.
S - abreviaturas de palabras
suma(suma)
Fórmulas para calcular las áreas de figuras sombreadas en dibujos.
Algoritmo para calcular el área de una figura plana. :
- Según las condiciones de la tarea, haz un dibujo esquemático.
- Presente la función requerida como la suma o diferencia de las áreas de curvas curvilíneas. trapezoide, seleccione la fórmula adecuada.
- Encuentre los límites de integración (a y b) de las condiciones del problema o del dibujo, si no están especificadas.
- Calcula el área de cada trapecio curvo y el área de la figura deseada.
TAREA
Se decidió plantar un parterre de flores frente al edificio de la escuela. Pero la forma del macizo de flores no debe ser redonda, cuadrada o rectangular. Debe contener líneas rectas y curvas. Que sea una figura plana delimitada por líneas.
Y = 4/X + 2; X = 4; Y = 6.
Calculemos el área de la figura resultante usando la fórmula:
Dónde f(x)= 6 , A gramo(x)=4/x +2
ya que para cada metro cuadrado Se pagan 50 rublos, entonces las ganancias serán:
6,4 * 50 = 320 (rublos).
Tarea:
Tema de la lección: “Cálculo de áreas usando integrales”
El propósito de la lección. :
cultivar la voluntad y la perseverancia para lograr resultados finales al encontrar el área de un trapecio curvilíneo usando la fórmula de Newton-Leibniz, enseñar a encontrar el área de figuras usando una teoría previamente estudiada. Desarrollar habilidades de autocontrol, construir dibujos de manera competente y utilizarlos para ilustrar una solución. Resumir y sistematizar material teórico sobre el tema. Practique las habilidades de calcular antiderivadas de funciones. Practica habilidades de cálculo. integral definida según la fórmula de Newton-Leibniz.
Equipo: pizarra interactiva, folletos.
Estructura de la lección:
1. Org. Momento
2. comprobar tarea. Actualización de conocimientos y habilidades básicos.
3. Nuevo material
4. Consolidación (trabajo en grupo) control diferenciado
5. Hogar. culo (diferenciado)
Métodos : explicativo-ilustrativo, parcialmente buscador, práctico.
Tipo de sesión de entrenamiento: lección integrada
formas de trabajo : frontal, grupo.
durante las clases:
IOrg. Momento
IIRevisando la casa. culo:. Repita el concepto de fórmulas básicas antiderivadas. (material teórico)
Recuerda el algoritmo de construcción. función cuadrática(conversación frontal)
control programado
Ejercicio | Respuesta |
||||
Opción 1 | opcion 2 | ||||
Encuentra la forma general de la antiderivada de la función. |
|||||
Calcular: |
|||||
Encuentra el área de la figura delimitada por las líneas: |
|||||
y = x2, y = 0, x = 2 | y = x3, y = 0, x = 2 |
Cada cadete tiene este trabajo independiente en sus escritorios, lo que permite comprobar la realización de la tarea. esclavo. La respuesta correcta se marca con un círculo y se envía para su verificación.
IIIMaterial teórico
Problema 1: Encuentra el área de un trapecio curvo delimitado por el eje OX, las rectas x=a, x=b y la gráfica de la función y=f(x)
y(x)=9-x2, x=-1, x=2
Se llama a un cadete al tablero y, utilizando el programa Advanced Grapher, construye un trapezoide curvo y muestra el resultado en el tablero interactivo. El resto trabaja en cuadernos y luego consulta con la pizarra.
Se sombrea un trapecio curvo en el tablero y se elabora la solución.
https://pandia.ru/text/78/387/images/image015_18.jpg" width="476" height="359">
Durante la conversación frontal, sombrearemos la figura cuyo área necesitamos encontrar.
A los cadetes se les pregunta: “¿La figura resultante es un trapezoide curvo? ¿Cómo se puede calcular el área de una figura determinada basándose en los conocimientos adquiridos previamente?
¿Cómo encontrar los límites de integración para cada trapezoide curvo?
Encontremos los puntos de intersección de estas dos funciones:
X2 =2 X- X2 ( respuesta del estudiante)
Conclusión: Sф=∫x2dx + ∫(2x-x2)dx=1 (solo se muestra la respuesta en el tablero). Los consultores trabajan para los débiles.
· Construimos gráficas de funciones.
Sф=∫ f(x)dx + ∫ g(x)dx
https://pandia.ru/text/78/387/images/image017_20.jpg" width="512" height="260 src=">Usando el mismo dibujo, calcula el área de la figura sombreada:
El cadete en el tablero hace zoom en el dibujo para mayor claridad.
¿Cómo encontrar el área de una figura dada?
Los estudiantes concluyen que esta figura consta de dos trapecios curvos.
Escribamos el resultado en vista general(los cadetes sacan sus propias conclusiones, el profesor sólo desempeña un papel de guía)
· Construimos gráficas de funciones.
· Encuentra la abscisa de los puntos de intersección de las gráficas de las funciones f(x)=g(x), x1, x2
Sф=∫(g(x)-f(x))dx
https://pandia.ru/text/78/387/images/image019_16.jpg" width="396" height="297 src=">Los cadetes concluyen:
 |
IV Consolidación (trabajo diferencial en grupos)
Grupo 1: Encuentra el área de la figura delimitada por las líneas.
y(x)=x2+2, g(x)=4-x
Grupo 2: Encuentra el área de la figura delimitada por las líneas.
y(x)=-x2-4x, g(x)=x+4
Grupo 3: Encuentra el área de la figura delimitada por las líneas.
y(x)=4/x2, g(x)=-3x+7
La clave de autocomprobación se muestra en el tablero:
III grupo |
||
Resumiendo:
· ¿Cómo se calcula el área de un trapecio curvo?
· ¿Cuáles de las figuras sombreadas (ver dibujos en el cuaderno) son trapecios curvos?
· ¿Por qué a otras figuras no se les puede llamar trapecios curvilíneos? ¿Cuál es su área?
V Dif. casa. Trabajo
Grupo 1: N° 000, N° 000(2), N° 000(1)
Grupo 2: N° 000(2), N° 1, N° 000(4)
Trabajo práctico sobre el tema: “Cálculo de áreas de figuras planas utilizando una integral definida”
Objetivo del trabajo: Dominar la capacidad de resolver problemas que impliquen el cálculo del área de una figura plana curvilínea utilizando una integral definida.
Equipo: tarjeta de instrucciones, tabla de integrales, material didáctico sobre el tema: “Integral definida. Significado geométrico integral definida".
Pautas:
1) Estudiar los materiales de la conferencia: “Integral definida. Significado geométrico de una integral definida."
Breve información teórica
Integral definida de una función en el segmento - este es el límite, a
a la que tiende la suma integral cuando la longitud del segmento parcial más grande tiende a cero.
El límite inferior de integración es el límite superior de integración.
Para calcular una integral definida, use La fórmula de Newton-
Leibniz:
Significado geométrico de la integral definida.. Si es integrable en
segmento, la función no es negativa, entonces es numéricamente igual al área del trapecio curvilíneo:
trapezoide curvilíneo - figura delimitada por la gráfica de una función
Eje de abscisas y rectas, .
Varios casos de disposición de figuras planas en Plano coordinado:
Si un trapezoide curvo con base está acotado por debajo de la curva , luego, por consideraciones de simetría, queda claro que el área de la figura es igual a o.
Si una figura está delimitada por una curva que toma valores tanto positivos como negativos . En este caso, para calcular el área de la figura deseada, es necesario dividirla en partes, luego
Si una figura plana está limitada por dos curvas y , entonces su área se puede encontrar usando las áreas de dos trapecios curvilíneos: i.B en este caso El área de la figura deseada se puede calcular mediante la fórmula:
Ejemplo. Calcula el área de la figura delimitada por las rectas:
Solución. 1) Construye una parábola y una línea recta en el plano coordenado. (dibujo del problema).
2) Seleccione (sombree) la figura delimitada por estas líneas.
Dibujo para el problema.
3) Encuentra la abscisa de los puntos de intersección de la parábola y la recta. Para esto decidiremos
sistema en comparación:
Encontramos el área de la figura como la diferencia entre las áreas de trapecios curvilíneos,
delimitada por una parábola y una recta.
5) Respuesta.
Algoritmo para resolver el problema de calcular el área de una figura delimitada por líneas dadas:
Construya líneas dadas en un plano coordenado.
Sombrea la figura delimitada por estas líneas.
Determine los límites de integración (encuentre la abscisa de los puntos de intersección de las curvas).
Calcula el área de la figura eligiendo la fórmula requerida.
Escribe la respuesta.
2) Haz lo siguiente tarea según una de las opciones:
Ejercicio. Calcule el área de figuras delimitadas por líneas (use el algoritmo para resolver el problema de calcular el área de una figura):
1125 Cálculo de las áreas de figuras planas utilizando la integral Directrices para su implementación Trabajo independiente en matemáticas para alumnos de 1º de la Facultad de Educación Secundaria Abierta Elaborado por S.L. Rybina, N.V. Fedotova 0 Ministerio de Educación y Ciencia de la Federación de Rusia Institución educativa presupuestaria de educación superior del estado federal "Universidad Estatal de Arquitectura e Ingeniería Civil de Voronezh" Cálculo de las áreas de figuras planas utilizando la integral Directrices para realizar trabajos independientes en matemáticas para Alumnos de 1º de la facultad SPO Elaborado por S.L. Rybina, N.V. Fedotova Voronezh 2015 1 UDC 51:373(07) BBK 22.1ya721 Compilado por: Rybina S.L., Fedotova N.V. Cálculo de áreas de figuras planas utilizando una integral: pautas para realizar trabajos independientes en matemáticas para estudiantes de primer año de educación secundaria vocacional/Universidad Estatal de Ingeniería Civil de Voronezh; comp.: S.L. Rybina, N.V. Fedótova. – Vorónezh, 2015. – pág. Se brinda información teórica sobre el cálculo de áreas de figuras planas utilizando la integral, se brindan ejemplos de resolución de problemas y se brindan tareas para trabajo independiente. Se puede utilizar para preparar proyectos individuales. Destinado a estudiantes de 1er año de la Facultad de Educación Secundaria Abierta. Illinois. 18. Bibliografía: 5 títulos. UDC 51:373(07) BBK 22.1я721 Publicado por decisión del consejo educativo y metodológico de la Universidad Agraria Estatal de Vorónezh. Revisora – Glazkova Maria Yurievna, Ph.D. fisica y matematicas ciencias, profesor asociado, profesor del departamento Matemáticas avanzadas Universidad Agraria Estatal de Voronezh 2 Introducción Estas pautas están destinadas a estudiantes de primer año de la Facultad de Educación Secundaria Profesional de todas las especialidades. El párrafo 1 proporciona información teórica sobre el cálculo de las áreas de figuras planas utilizando una integral, el párrafo 2 proporciona ejemplos de resolución de problemas y el párrafo 3 ofrece problemas para el trabajo independiente. Disposiciones generales El trabajo independiente de los estudiantes es el trabajo que realizan siguiendo las instrucciones del docente, sin su participación directa (pero bajo su dirección) en un horario especialmente previsto para ello. Metas y objetivos del trabajo independiente: sistematización y consolidación de los conocimientos adquiridos y habilidades prácticas de los estudiantes; profundizar y ampliar los conocimientos teóricos y prácticos; desarrollar la capacidad de utilizar literatura de referencia especial e Internet; desarrollo de las capacidades y actividades cognitivas de los estudiantes, iniciativa creativa, independencia, responsabilidad y organización; formación de pensamiento independiente, habilidades de autodesarrollo, superación personal y autorrealización; desarrollo del conocimiento investigativo. proporcionar una base de conocimientos para la formación profesional de los egresados de acuerdo con el Estándar Educativo del Estado Federal para la Educación Secundaria Profesional; formación y desarrollo de competencias generales definidas en el Estándar Educativo del Estado Federal para la Educación Secundaria Profesional; preparación para la formación y desarrollo de competencias profesionales correspondientes a los principales tipos de actividad profesional. sistematización, consolidación, profundización y ampliación de los conocimientos teóricos adquiridos y habilidades prácticas de los estudiantes; desarrollo de las capacidades cognitivas y la actividad de los estudiantes: iniciativa creativa, independencia, responsabilidad y organización; formación del pensamiento independiente: la capacidad de autodesarrollo, superación personal y autorrealización; dominar habilidades prácticas en el uso de tecnologías de la información y la comunicación en actividades profesionales; desarrollo de habilidades de investigación. Los criterios para evaluar los resultados del trabajo extracurricular independiente de un estudiante son: el nivel de dominio del material educativo por parte del estudiante; 3 la capacidad del estudiante para utilizar conocimientos teóricos al resolver problemas; validez y claridad de la respuesta; diseño del material de acuerdo con los requisitos del Estándar Educativo del Estado Federal. 4 1. Cálculo de las áreas de figuras planas utilizando la integral 1. Material de referencia. 1.1. Un trapecio curvo es una figura delimitada desde arriba por la gráfica de una función continua y no negativa y=f(x), desde abajo por un segmento del eje Ox y desde los lados por segmentos de recta x=a, x= b (Fig. 1) figura. 1 El área de un trapecio curvo se puede calcular usando una integral definida: b S f x dx F x b a F b (1) F a a 1.2. Sea la función y=f(x) continua en un intervalo y tome este intervalo valores positivos(Figura 2). Luego debe dividir el segmento en partes, luego calcular usando la fórmula (1) las áreas correspondientes a estas partes y sumar las áreas resultantes. S = S1 + S2 c S b f x dx f x dx a (2) c Fig. 2 1.3. En el caso cuando función continua f(x)< 0 на отрезке [а,b], для вычисления площади криволинейной трапеции следует использовать формулу: 5 b S f (x) dx (3) a Рис. 3 1.4. Рассмотрим случай, когда фигура ограничена графиками произвольных функций у =f(x) и у = g(x), графики которых пересекаются в точках с абсциссами а и b (а < b). Пусть эти функции непрерывны на и f(x)>g(x) durante todo el intervalo (a; b). En este caso, el área de la figura se calcula mediante la fórmula y b S= (f (x) g (x))dx y=f(x) (4) a 1 a -1 O -1 b 1 y =g(x) x Figura. 4 1.5. Los problemas de cálculo de áreas de figuras planas se pueden resolver de la siguiente manera: 1) según las condiciones del problema, hacer un dibujo esquemático; 2) representar la figura deseada como la suma o diferencia de las áreas de trapecios curvilíneos. A partir de las condiciones del problema y del dibujo, se determinan los límites de integración para cada componente del trapecio curvilíneo; 3) escribe cada función en la forma f x ; 4) calcular el área de cada trapezoide curvilíneo y la figura deseada. 6 2. Ejemplos de resolución de problemas 1. Calcula el área de un trapecio curvo delimitado por las rectas y = x + 3, y = 0, x = 1 y x = 3. Solución: Dibujemos las rectas dadas por las ecuaciones y sombrea el trapezoide curvo, cuyo área encontraremos. SАВД= Respuesta: 10. 2. La figura delimitada por las rectas y = -2x + 8, x = -1, y = 0 se divide por la recta y = x2 – 4x + 5 en dos partes. Encuentra el área de cada parte. Solución: Considere la función y = x2 – 4x +5. y = x2 – 4x +5 = (x2 – 4x + 4) – 4 + 5 = (x – 2)2 + 1, es decir La gráfica de esta función es una parábola con vértice K(2; 1). SABC= . 7 SABCME = S1 = SABCME + SEMC, S1 = S2 = SABC – S1, S2 = Respuesta: y = . . 3. Tareas para trabajo independiente Prueba oral 1. ¿Qué figura se llama trapecio curvo? 2. ¿Cuáles de las figuras son trapecios curvos? 3. ¿Cómo encontrar el área de un trapecio curvo? 4. Encuentra el área de la figura sombreada: 8 5. Nombra la fórmula para calcular el área de las figuras representadas: Prueba escrita 1. ¿Qué figura muestra una figura que no es un trapecio curvo? 2. Usando la fórmula de Newton-Leibniz, calcule: A. Antiderivada de función ; B. Área de un trapecio curvo; V. Integrales; D. Derivado. 3. Calcula el área de la figura sombreada: 9 A. 0; B. –2; EN 1; D. 2. 4. Encuentra el área de la figura limitada por el eje Ox y la parábola y = 9 – x2 A. 18; B. 36; V. 72; D. No se puede calcular. 5. Encuentra el área de la figura acotada por la gráfica de la función y = sen x, las rectas x = 0, x = 2 y el eje de abscisas. R. 0; B.2; A LAS 4; D. No se puede calcular. Opción 1 Calcula el área de la figura acotada por las rectas: a) y x2, b) y x2 c) y cos x, d) y 1, x3 y 0, x y 0; x, y 0, 0, 4; x x 1, x 0, x 6; 2. 10 Opción 2 Calcula el área de la figura acotada por las rectas: b) y 1 2 x, y 2 x2 2 x, c) y sen x, d) y 1, x2 a) y y 0, x y 0 ; 0, x 0, x 3; 3 2, ; x 1. Opción 3 Calcula el área de la figura delimitada por las líneas: a) y = 2 – x3, y = 1, x = -1, x = 1; b) y = 5 – x2, y = 2x2 + 1, x = 0, x = 1; c) y = 2sen x, x = 0, x = p, y = 0; d) y = 2x – 2, y = 0, x = 3, x = 4. Opción 4 Calcula el área de la figura acotada por las rectas: a) y = x2+1, y = 0, x = - 1, x = 2; b) y = 4 – x2 y y = x + 2; c) y = x2 + 2, y = 0, x = - 1, x = 2; d) y = 4 – x2 y y = 2 – x. Opción 5 Calcula el área de la figura acotada por las rectas: a) y 7 x, x=3, x=5, y=0; b) y c) y d) y 8, x= - 8, x= - 4, y=0; x 0,5 x 2 4 x 10, y x 2; x 2, y x 6, x=-6 y ejes de coordenadas. 11 Opción 6 Calcula el área de la figura delimitada por las rectas a) y 4 x 2, y = 0; b) y cos x, x, x c) y x 2 8 x 18, y d) y x, y 2, y=0; 2x18; 1,x=4. x Opción 7 Calcula el área de la figura delimitada por las rectas a) y x 2 6 x, x = -1, x = 3, y = 0; b) y=-3x, x=1, x=2, y=0; c) y x 2 10 x 16, y=x+2; d) y 3 x, y = -x +4 y ejes de coordenadas. Opción 8 Calcula el área de la figura delimitada por las rectas a) y sin x, x 3, x, y = 0; b) y x 2 4, x=-1, x=2, y=0; c) y x 2 2 x 3, y 3x 1; d) y x 2, y x 4 2, y = 0, Opción 1 1. Calcula el área de la figura delimitada por las rectas: a) y = x2, x = 1, x = 3, y = 0; b) y = 2cos x, y = 0, x = - Ï Ï , x= ; 2 2 c) y = 2x2, y = 2x. 2. (opcional) Encuentra el área de la figura acotada por la gráfica de la función y = x2 – 2x + 3, tangente a la gráfica en su punto con abscisa 2 y recta x = -1. 12 Opción 2 1. Calcula el área de la figura delimitada por las líneas: a) y = x3, x = 1, x = 3, y = 0; b) y = 2cos x, y = 0, x = 0, x = Ï; 2 c) y = 0,5x2, y = x. 2. (opcional) Encuentra el área de la figura acotada por la gráfica de la función y = 3 + 2x - x2, tangente a la gráfica en su punto con abscisa 3 y recta x = 0. Opción 3 1. Calcular el área de la figura delimitada por las líneas: a) y = x, x = 1, x = 2, y = 0; b) y = 2cos x, y = 0, x = Ï 3Ï , x= ; 2 2 c) y = x2, y = -x2 + 2. 2. (opcional) Encuentra el área de la figura acotada por la gráfica de la función y = 2x - x2, tangente a la gráfica en su punto con abscisa 2 y eje de ordenadas. Opción 4 1. Calcula el área de la figura delimitada por las rectas: a) y = 0,5 x, x = 1, x = 2, y = 0; b) y = 2cos x, y = 0, x = Ï Ï , x= ; 4 2 c) y = 9 - x2, y = 2x + 6. 2. (opcional) Encuentra el área de la figura acotada por la gráfica de la función y = x2+ 2x, tangente a la gráfica en su punto con abscisas -2 y eje de ordenadas. Tareas para trabajar en parejas: 1. Calcular el área de la figura sombreada 2. Calcular el área de la figura sombreada 13 3. Calcular el área de la figura sombreada 4. Calcular el área de la figura sombreada figura 14 5. Calcula el área de la figura sombreada 6. Presenta el área de la figura sombreada como la suma o diferencia de las áreas de trapecios curvilíneos acotados por las gráficas de rectas que conoces. 7. Imagina el área de la figura sombreada como la suma o diferencia de las áreas de trapecios curvilíneos delimitados por las gráficas de las rectas que conoces. 15 Bibliografía 1. Sharygin, I. F. Matemáticas: álgebra y principios del análisis matemático, geometría. Geometría. Un nivel básico de. Grados 10 - 11: libro de texto / I.F. Sharygin. - 2ª ed., borrada. – Moscú: Avutarda, 2015. – 238 p. 2. Muravin G.K. Matemáticas: álgebra y principios de análisis matemático, geometría. Un nivel básico de. 11.º grado: libro de texto / G.K. Muravin, O.V. Muravin - 2ª ed., borrado. - Moscú: Avutarda, 2015. - 189 p. 3. Muravin G.K. Matemáticas: álgebra y principios de análisis matemático, geometría. Un nivel básico de. Décimo grado: libro de texto / G.K. Muravin, O.V. Muravina. - 2ª ed., borrada. - Moscú: Avutarda, 2013 – 285 p. 4. Estudiar geometría en los grados 10-11: Método. recomendaciones para estudios: Libro. para profesor/S. M. Sahakyan, V. F. Butuzov. – 2ª ed. – M.: Educación, 2014. – 222 p.: ill. 5. Estudio de álgebra e inicios del análisis en los grados 10-11: Libro. para el maestro / N. E. Fedorova, M. V. Tkacheva. – 2ª ed. – M.: Educación, 2014. – 205 p.: ill. 6. Álgebra y los inicios del análisis. 10-11 grados: En dos partes. Parte 1: Libro de texto para educación general. instituciones / Mordkovich A.G. – 5ª ed. – M.: Mnemosyne, 2014. – 375 p.: enfermo. Recursos de Internet: 1. http://www.exponenta.ru/educat/links/l_educ.asp#0 – Enlaces útiles a sitios matemáticos y educativos: Materiales educativos, pruebas 2. http://www.fxyz.ru/ - Libro de referencia interactivo de fórmulas e información sobre álgebra, trigonometría, geometría y física. 3. http://maths.yfa1.ru: el libro de referencia contiene material sobre matemáticas (aritmética, álgebra, geometría, trigonometría). 4. allmatematika.ru - Fórmulas básicas en álgebra y geometría: transformaciones de identidad, progresiones, derivadas, estereometría, etc. 5. http://mathsun.ru/ – Historia de las matemáticas. Biografías de grandes matemáticos. 16 Contenido Introducción. ................................................. ............................................................ ............ ................................. 3 Cálculo de la áreas de figuras planas usando la integral.......... .................................. .. 5 1. Material de referencia..... ................................... ................................. ................................. .................... 5 2. Ejemplos de resolución de problemas....................... .......................................... ........ ................................................ .. ....... 7 3. Tareas para el trabajo independiente.................................. ................................................. ......... 8 Bibliografía ................................................. ................. ................................ ................. 16 Cálculo de las áreas de figuras planas utilizando la integral Instrucción metodológica para la realización del trabajo autónomo en matemáticas para estudiantes de 1er año de la Facultad de Educación Secundaria Abierta Elaborado por: Rybina Svetlana Leonidovna Fedotova Natalya Viktorovna Firmado para impresión __.__. 2015. Formato 60x84 1/16. Educación académica. l. 1.1.Horno condicional. l. 1.2. 394006, Vorónezh, calle. 20 aniversario de octubre de 84 17
