Ecuaciones en matemáticas superiores Raíces racionales de polinomios. Esquema de Horner

Si un polinomio

Prueba

Sean todos los coeficientes del polinomio números enteros y el número entero a sea la raíz de este polinomio. Dado que en este caso se deduce que el coeficiente se divide por a.

Comentario. En realidad, este teorema permite encontrar las raíces de polinomios de grados superiores en el caso de que los coeficientes de estos polinomios sean números enteros y la raíz sea un número racional. El teorema se puede reformular de la siguiente manera: si sabemos que los coeficientes de un polinomio son números enteros y sus raíces son racionales, entonces estas raíces racionales solo pueden tener la forma donde p es un divisor del número (el término libre), y el número q es el divisor del número (el coeficiente principal).

Teorema de raíces enteras, que contiene

Si el número entero α es la raíz de un polinomio con coeficientes enteros, entonces α es el divisor de su término libre.

Prueba. Permitir:

P (x)=a 0 xⁿ +a 1 xⁿ -1 +…+a n-1 x +a n

un polinomio con coeficientes enteros y un número entero α es su raíz.

Entonces, por definición de raíz, la igualdad P (α)=0;

a 0 αⁿ+a 1 αⁿ -1 +…+a n-1 α +a n =0.

Sacando el factor común α de paréntesis, obtenemos la igualdad:

α(a 0 αⁿ -1 +a 1 αⁿ -2 +…+a n-1)+a n =0 , dónde

un norte = -α(un 0 αⁿ -1 +un 1 αⁿ -2 +…+un n-1)

Dado que los números a 0 , a 1 ,…a n-1 , an y α son números enteros, hay un número entero entre paréntesis y, por lo tanto, an es divisible por α, que es lo que había que demostrar.

El teorema demostrado también se puede formular de la siguiente manera: toda raíz entera de un polinomio con coeficientes enteros es divisor de su término libre.
El teorema se basa en un algoritmo para buscar raíces enteras de un polinomio con coeficientes enteros: anota todos los divisores del término libre y anota uno a uno los valores de los polinomios de estos números.

2.Teorema adicional sobre raíces enteras

Si un número entero α es la raíz de un polinomio P(x) con coeficientes enteros, entonces α-1 es un divisor del número P(1), α+1 es un divisor del número P(-1)

Prueba. De la identidad

xⁿ-yⁿ=(x-y)(xⁿ -1 +xⁿ -2 y+…+ xyⁿ -2 +yⁿ -1)

de ello se deduce que para los números enteros b y c, el número bⁿ-cⁿ es divisible por b∙c. Pero para cualquier polinomio P la diferencia

P (b)-P(c)= (a 0 bⁿ+a 1 bⁿ -1 +…+a n-1 b+a n)-(a 0 cⁿ+a 1 cⁿ -1 +…+a n-1 c +un)=

=a 0 (bⁿ- cⁿ)+a 1 (bⁿ -1 -cⁿ -1)+…+a n-1 (b-c)

y por lo tanto, para un polinomio P con coeficientes enteros y números enteros byc, la diferencia P(b)-P(c) se divide por b-c.

Entonces: para b = α, c = 1, P (α)-P (1) = -P(1), lo que significa que P(1) se divide por α-1. El segundo caso se trata de manera similar.

Esquema de Horner

Teorema: Sea la fracción irreducible p/q la raíz de la ecuación un 0 x norte + un 1 x norte - 1 + + un norte - 1 x + un norte =0 con coeficientes enteros, entonces el número q es un divisor del coeficiente principal a0, y el número R es un divisor del término libre a n.

Nota 1. Cualquier raíz entera de una ecuación con coeficientes enteros es divisor de su término libre.

Nota 2.Si el coeficiente principal de una ecuación con coeficientes enteros es igual a 1, entonces todas las raíces racionales, si existen, son enteras.

Raíz de un polinomio. Raíz de un polinomio f(x)= a 0 x n +a 1 x n − 1 + +a n − 1 x+a n es x = c , tal que F (c)=0 .

Nota 3. Si x = c raíz de un polinomio , entonces el polinomio se puede escribir como: f(x)=(x−c)q(x) , Dónde es el cociente de un polinomio f(x) por monomio x-c

La división de un polinomio por un monomio se puede realizar mediante el esquema de Horner:

Si f(x)=a 0 x n +a 1 x n − 1 + +a n − 1 x+a n , un 0 ≠0 , g(x)=x−c , entonces al dividir F (X) en gramo (X) privado q(x) parece q(x)=b 0 x n − 1 +b 1 x n − 2 + +b n−2 x+b n−1 , Dónde b 0 =a 0 ,

b k =c b k − 1 +a k , k=1, 2, ,n−1. Resto r se encuentra mediante la fórmula r=c segundo norte − 1 +a norte

Solución: El coeficiente de mayor grado es 1, por lo que las raíces enteras de la ecuación deben buscarse entre los divisores del término libre: 1; 2; 3; 4; 6; 12. Usando el esquema de Horner, encontramos las raíces enteras de la ecuación:

Si se selecciona una raíz según el esquema de Horner. entonces puedes decidir más así x 3 −x 2 −8x+12=(x−2)(x 2 +x−6)=0 (x−2) 2 (x−3)=0 x=2;x=3

pregunta sobre encontrar raíces racionales polinomio F(X)q[X] (con coeficientes racionales) se reduce a la cuestión de encontrar raíces racionales de polinomios k ∙ F(X)z[X] (con coeficientes enteros). Aquí está el número k es el mínimo común múltiplo de los denominadores de los coeficientes de un polinomio dado.

Las condiciones necesarias, pero no suficientes, para la existencia de raíces racionales de un polinomio con coeficientes enteros vienen dadas por el siguiente teorema.

Teorema 6.1 (sobre raíces racionales polinomio con coeficientes enteros). Si – raíz racional de un polinomioF(X) = a norte  X norte + + …+ a 1  X + a 0 Con entero coeficientes, y(pag, q) = 1, entonces el numerador de la fracciónpages un divisor del término libre a 0 , y el denominadorqes un divisor del coeficiente principal a 0 .

Teorema 6.2.Si q ( Dónde (pag, q) = 1) es la raíz racional del polinomio F(X) con coeficientes enteros, entonces
–números enteros.

Ejemplo. Encuentra todas las raíces racionales del polinomio.

F(X) = 6 X 4 + X 3 + 2 X 2 – 4 x+ 1.

1. Por el teorema 6.1: si – raíz racional de un polinomio F(X), ( Dónde( pag, q) = 1), Eso a 0 = 1 pag, a norte = 6 q. Es por eso pag { 1}, q (1, 2, 3, 6), lo que significa

.

2. Se sabe que (Corolario 5.3) el número A es la raíz del polinomio F(X) si y solo si F(X) dividido por ( x – un).

Por lo tanto, para comprobar si los números 1 y –1 son raíces de un polinomio F(X) puedes utilizar el esquema de Horner:

F(1) = 60,F(–1) = 120, entonces 1 y –1 no son raíces del polinomio F(X).

3. Para eliminar algunos de los números restantes
, usemos el teorema 6.2. Si expresiones o
acepta valores enteros para los valores del numerador correspondientes pag y denominador q, luego en las celdas correspondientes de la tabla (ver más abajo) escribiremos la letra "ts", de lo contrario - "dr".

=
=

4. Utilizando el esquema de Horner, comprobamos si los números que quedan después de la selección serán
raíces F(X). Primero dividamos F(X) en ( X – ).

Como resultado tenemos: F(X) = (X – )(6 X 3 + 4 X 2 + 4 X - 2) y – raíz F(X). Privado q(X) = 6 X 3 + 4 X 2 + 4 X - dividir 2 por ( X + ).

Porque q (–) = 30, entonces (–) no es una raíz del polinomio q(X), y de ahí el polinomio F(X).

Finalmente dividimos el polinomio. q(X) = 6 X 3 + 4 X 2 + + 4 X - 2 en ( X – ).

Consiguió: q () = 0, es decir – raíz q(X), y por tanto es la raíz F (X). Entonces el polinomio F (X) tiene dos raíces racionales: y.

Liberación de la irracionalidad algebraica en el denominador de una fracción.

En el curso escolar, a la hora de resolver cierto tipo de problemas para deshacerse de la irracionalidad en el denominador de una fracción, basta con multiplicar el numerador y el denominador de la fracción por el número conjugado al denominador.

Ejemplos. 1.t =
.

Aquí la fórmula de multiplicación abreviada (diferencia de cuadrados) funciona en el denominador, lo que te permite liberarte de la irracionalidad en el denominador.

2. Libérate de la irracionalidad en el denominador de la fracción

t =
. Expresión – cuadrado incompleto de la diferencia de números A=
Y b= 1. Usando la fórmula de multiplicación abreviada A 3 – b 3 = (un +b) · ( a 2 – ab + b 2 ), podemos determinar el multiplicador metro = (un +b) =
+ 1, por el cual se debe multiplicar el numerador y denominador de la fracción t deshacerse de la irracionalidad en el denominador de la fracción t. De este modo,

En situaciones en las que las fórmulas de multiplicación abreviadas no funcionan, se pueden utilizar otras técnicas. A continuación formularemos un teorema, cuya demostración, en particular, nos permite encontrar un algoritmo para eliminar la irracionalidad en el denominador de una fracción en situaciones más complejas.

Definición 6.1. Número z llamado algebraico sobre el campo F, si hay un polinomio F(X) F[X], cuya raíz es z, de lo contrario el número z llamado trascendental sobre el campoF.

Definición 6.2.Grado de algebraico sobre campo. F números z se llama grado de un irreducible sobre un campo F polinomio pag(X)F[X], cuya raíz es el número z.

Ejemplo. Demostremos que el número z =
es algebraico sobre el campo q y hallar su grado.

Encontremos un irreductible sobre el campo. q polinomio pag(X), cuya raíz es X =
. Levantemos ambos lados de la igualdad. X =
elevado a la cuarta potencia tenemos X 4 = 2 o X 4 – 2 = 0. Entonces, pag(X) = X 4 – 2, y la potencia del número z igual a grados pag(X) = 4.

Teorema 6.3 (sobre la liberación de la irracionalidad algebraica en el denominador de una fracción).Dejarz– número algebraico sobre un campoFgradosnorte. Expresión de la format = ,Dónde F(X), (X)F[X], (z) 0

sólo se puede representar en la forma:

t = Con norte -1 z norte -1 + C norte -2 z norte -2 + … + C 1 z + C 0 , C i F.

Demostraremos el algoritmo para eliminar la irracionalidad en el denominador de una fracción en ejemplo específico.

Ejemplo. Libérate de la irracionalidad en el denominador de una fracción:

t =

1. El denominador de la fracción es el valor del polinomio. (X) = X 2 – X+1 cuando X =
. El ejemplo anterior muestra que
– número algebraico sobre un campo q grado 4, ya que es la raíz de un irreducible sobre q polinomio pag(X) = X 4 – 2.

2. Encontremos la expansión lineal de MCD ( (X), pag(X)) utilizando el algoritmo euclidiano.

_X 4 – 2 | X 2 - X + 1

X 4 - X 3 +x 2 X 2 + x = q 1 (X)

_ X 3 - X 2 – 2

X 3 - X 2 +x

X 2 - X + 1 | – X –2 = r 1 (X )

X 2 + 2 X -x+ 3 = q 2 (X)

_–3X+ 1

–3 X – 6

_ – X –2 |7 = r 2

– X –2 -X - =q 3 (X)

Entonces, MCD ( (X), pag(X)) = r 2 = 7. Encontremos su expansión lineal.

Escribamos la secuencia euclidiana usando notación polinomial.

pag(X) = (X) · q 1 (X) + r 1 (X)
r 1 (X) =pag(X) – (X) · q 1 (X)

Al resolver ecuaciones y desigualdades, a menudo es necesario factorizar un polinomio cuyo grado es tres o más. En este artículo veremos la forma más sencilla de hacerlo.

Como de costumbre, recurramos a la teoría en busca de ayuda.

teorema de bezout afirma que el resto al dividir un polinomio por un binomio es.

Pero lo importante para nosotros no es el teorema en sí, sino corolario de ello:

Si el número es raíz de un polinomio, entonces el polinomio es divisible por el binomio sin resto.

Nos enfrentamos a la tarea de encontrar de alguna manera al menos una raíz del polinomio y luego dividir el polinomio entre , donde está la raíz del polinomio. Como resultado, obtenemos un polinomio cuyo grado es uno menor que el grado del original. Y luego, si es necesario, puedes repetir el proceso.

Esta tarea se divide en dos: cómo encontrar la raíz de un polinomio y cómo dividir un polinomio por un binomio.

Echemos un vistazo más de cerca a estos puntos.

1. Cómo encontrar la raíz de un polinomio.

Primero, comprobamos si los números 1 y -1 son raíces del polinomio.

Los siguientes hechos nos ayudarán aquí:

Si la suma de todos los coeficientes de un polinomio es cero, entonces el número es la raíz del polinomio.

Por ejemplo, en un polinomio la suma de los coeficientes es cero: . Es fácil comprobar cuál es la raíz de un polinomio.

Si la suma de los coeficientes de un polinomio a potencias pares es igual a la suma de los coeficientes a potencias impares, entonces el número es la raíz del polinomio. El término libre se considera un coeficiente para un grado par, ya que , a es un número par.

Por ejemplo, en un polinomio la suma de los coeficientes de las potencias pares es: , y la suma de los coeficientes de las potencias impares es: . Es fácil comprobar cuál es la raíz de un polinomio.

Si ni 1 ni -1 son raíces del polinomio, seguimos adelante.

Para un polinomio de grado reducido (es decir, un polinomio en el que el coeficiente principal, el coeficiente en, es igual a la unidad), la fórmula de Vieta es válida:

¿Dónde están las raíces del polinomio?

También existen fórmulas de Vieta relativas a los coeficientes restantes del polinomio, pero ésta nos interesa.

De esta fórmula de Vieta se deduce que Si las raíces de un polinomio son números enteros, entonces son divisores de su término libre, que también es un número entero.

Basado en esto, Necesitamos factorizar el término libre del polinomio en factores y, secuencialmente, de menor a mayor, verificar cuál de los factores es la raíz del polinomio.

Consideremos, por ejemplo, el polinomio

Divisores del término libre: ; ; ;

La suma de todos los coeficientes de un polinomio es igual a , por lo tanto, el número 1 no es la raíz del polinomio.

Suma de coeficientes para potencias pares:

Suma de coeficientes para potencias impares:

Por lo tanto, el número -1 tampoco es raíz del polinomio.

Comprobemos si el número 2 es la raíz del polinomio: por tanto, el número 2 es la raíz del polinomio. Esto significa que, según el teorema de Bezout, el polinomio es divisible por un binomio sin resto.

2. Cómo dividir un polinomio en un binomio.

Un polinomio se puede dividir en un binomio mediante una columna.

Divida el polinomio por un binomio usando una columna:

Hay otra forma de dividir un polinomio por un binomio: el esquema de Horner.

Mira este vídeo para entender cómo dividir un polinomio por un binomio con una columna y usando el esquema de Horner.

Observo que si, al dividir por una columna, falta algún grado de la incógnita en el polinomio original, escribimos 0 en su lugar, de la misma manera que cuando compilamos una tabla según el esquema de Horner.

Entonces, si necesitamos dividir un polinomio por un binomio y como resultado de la división obtenemos un polinomio, entonces podemos encontrar los coeficientes del polinomio usando el esquema de Horner:

También podemos usar Esquema de Horner para comprobar si es numero dado raíz de un polinomio: si un número es raíz de un polinomio, entonces el resto al dividir el polinomio por es igual a cero, es decir, en la última columna de la segunda fila del esquema de Horner obtenemos 0.

Utilizando el esquema de Horner, "matamos dos pájaros de un tiro": comprobamos simultáneamente si el número es raíz de un polinomio y dividimos este polinomio por un binomio.

Ejemplo. Resuelve la ecuación:

1. Anotemos los divisores del término libre y busquemos las raíces del polinomio entre los divisores del término libre.

Divisores de 24:

2. Comprobemos si el número 1 es la raíz del polinomio.

La suma de los coeficientes de un polinomio, por tanto, el número 1 es la raíz del polinomio.

3. Divide el polinomio original en un binomio usando el esquema de Horner.

A) Anotamos los coeficientes del polinomio original en la primera fila de la tabla.

Como falta el término que lo contiene, en la columna de la tabla en la que se debe escribir el coeficiente escribimos 0. A la izquierda escribimos la raíz encontrada: el número 1.

B) Completa la primera fila de la tabla.

En la última columna, como era de esperar, obtuvimos cero; dividimos el polinomio original por un binomio sin resto. Los coeficientes del polinomio resultante de la división se muestran en azul en la segunda fila de la tabla:

Es fácil comprobar que los números 1 y -1 no son raíces del polinomio.

B) Sigamos la mesa. Comprobemos si el número 2 es la raíz del polinomio:

Entonces, el grado del polinomio, que se obtiene como resultado de la división por uno, es menor que el grado del polinomio original, por lo tanto, el número de coeficientes y el número de columnas son uno menos.

En la última columna obtuvimos -40, un número que no es igual a cero, por lo tanto, el polinomio es divisible por un binomio con resto y el número 2 no es la raíz del polinomio.

C) Comprobemos si el número -2 es la raíz del polinomio. Como el intento anterior falló, para evitar confusiones con los coeficientes borraré la línea correspondiente a este intento:

¡Excelente! Obtuvimos cero como resto, por lo tanto, el polinomio se dividió en un binomio sin resto, por lo tanto, el número -2 es la raíz del polinomio. Los coeficientes del polinomio que se obtienen al dividir un polinomio entre un binomio se muestran en verde en la tabla.

Como resultado de la división obtuvimos trinomio cuadrático , cuyas raíces se pueden encontrar fácilmente utilizando el teorema de Vieta:

Entonces las raíces de la ecuación original son:

{}

Respuesta: ( }

Como ya hemos señalado, uno de los problemas más importantes en la teoría de polinomios es el problema de encontrar sus raíces. Para resolver este problema, puede utilizar el método de selección, es decir Tome un número al azar y compruebe si es la raíz de un polinomio dado.

En este caso, puede "toparse" rápidamente con la raíz o es posible que nunca la encuentre. Después de todo, es imposible comprobar todos los números, ya que hay una infinidad de ellos.

Otra cosa sería si pudiéramos acotar el área de búsqueda, por ejemplo, para saber que las raíces que buscamos están, digamos, entre los treinta números especificados. Y para treinta números puedes hacer una verificación. En relación con todo lo dicho anteriormente, esta afirmación parece importante e interesante.

Si la fracción irreducible l/m (l,m son números enteros) es la raíz de un polinomio f (x) con coeficientes enteros, entonces el coeficiente principal de este polinomio se divide por m y el término libre se divide por 1.

De hecho, si f (x) =anxn+an-1xn-1+... +a1x+a0, an?0, donde an, an-1,...,a1, a0 son números enteros, entonces f (l/ m) =0, es decir, аn (l/m) n+an-1 (l/m) n-1+... +a1l/m+a0=0.

Multipliquemos ambos lados de esta igualdad por mn. Obtenemos anln+an-1ln-1m+... +a1lmn-1+a0mn=0.

Esto implica:

anln=m (-an-1ln-1-... - a1lmn-2-a0mn-1).

Vemos que el número entero anln es divisible por m. Pero l/m es una fracción irreducible, es decir los números l y m son coprimos y luego, como se sabe por la teoría de la divisibilidad de los números enteros, los números ln y m también son coprimos. Entonces, anln es divisible por m y m es coprimo de ln, lo que significa que an es divisible por m.

El tema probado nos permite reducir significativamente el área de búsqueda de raíces racionales de un polinomio con coeficientes enteros. Demostremos esto con un ejemplo específico. Encontremos las raíces racionales del polinomio f (x) =6x4+13x2-24x2-8x+8. Según el teorema, las raíces racionales de este polinomio se encuentran entre las fracciones irreducibles de la forma l/m, donde l es el divisor del término libre a0=8 y m es el divisor del coeficiente principal a4=6. Además, si la fracción l/m es negativa, se asignará el signo “-” al numerador. Por ejemplo, - (1/3) = (-1) /3. Entonces podemos decir que l es un divisor del número 8 y m es un divisor positivo del número 6.

Dado que los divisores del número 8 son ±1, ±2, ±4, ±8, y los divisores positivos del número 6 son 1, 2, 3, 6, entonces las raíces racionales del polinomio en cuestión se encuentran entre los números ±1, ±1/2, ±1/3, ±1/6, ±2, ±2/3, ±4, ±4/3, ±8, ±8/3. Recordemos que escribimos sólo fracciones irreducibles.

Por tanto, tenemos veinte números: "candidatos" a raíces. Sólo queda comprobar cada uno de ellos y seleccionar aquellos que realmente sean raíces. Pero nuevamente, tendrás que hacer muchas comprobaciones. Pero el siguiente teorema simplifica este trabajo.

Si la fracción irreducible l/m es la raíz de un polinomio f (x) con coeficientes enteros, entonces f (k) es divisible por l-km para cualquier número entero k, siempre que l-km?0.

Para probar este teorema, divida f (x) por x-k con un resto. Obtenemos f (X) = (xk) s (X) +f (k). Dado que f (x) es un polinomio con coeficientes enteros, también lo es el polinomio s (x), y f (k) es un número entero. Sea s (x) =bn-1+bn-2+…+b1x+b0. Entonces f (x) - f (k) = (x-k) (bn-1xn-1+bn-2xn-2+ …+b1x+b0). Pongamos x=l/m en esta igualdad. Considerando que f (l/m) =0, obtenemos

f (k) = ((l/m) - k) (bn-1 (l/m) n-1+bn-2 (l/m) n-2+…+b1 (l/m) +b0) .

Multipliquemos ambos lados de la última igualdad por mn:

mnf (k) = (l-km) (bn-1ln-1+bn-2ln-2m+…+b1lmn-2+b0mn-1).

De ello se deduce que el número entero mnf (k) es divisible por l-km. Pero como l y m son coprimos, entonces mn y l-km también son coprimos, lo que significa que f (k) es divisible por l-km. El teorema ha sido demostrado.

Volvamos ahora a nuestro ejemplo y, utilizando el teorema probado, estrecharemos aún más el círculo de búsqueda de raíces racionales. Apliquemos este teorema para k=1 y k=-1, es decir si la fracción irreducible l/m es la raíz del polinomio f (x), entonces f (1) / (l-m) y f (-1) / (l+m). Encontramos fácilmente que en nuestro caso f (1) = -5 y f (-1) = -15. Tenga en cuenta que al mismo tiempo excluimos ±1 de la consideración.

Entonces, las raíces racionales de nuestro polinomio deben buscarse entre los números ±1/2, ±1/3, ±1/6, ±2, ±2/3, ±4, ±4/3, ±8, ±8. /3.

Considere l/m=1/2. Entonces l-m=-1 y f (1) =-5 se divide por este número. Además, l+m=3 y f (1) =-15 también es divisible por 3. Esto significa que la fracción 1/2 permanece entre los “candidatos” a raíces.

Sea ahora lm=- (1/2) = (-1) /2. En este caso, l-m=-3 y f (1) =-5 no es divisible por - 3. Esto significa que la fracción - 1/2 no puede ser la raíz de este polinomio y la excluimos de mayor consideración. Revisemos cada una de las fracciones escritas arriba y encontremos que las raíces requeridas están entre los números 1/2, ±2/3, 2, - 4.

Así, bastante truco sencillo Hemos reducido significativamente el área de búsqueda de raíces racionales del polinomio considerado. Bueno, para comprobar los números restantes, usaremos el esquema de Horner:

Tabla 10

Encontramos que el resto al dividir g (x) entre x-2/3 es igual a - 80/9, es decir, 2/3 no es raíz del polinomio g (x), y por tanto tampoco lo es f (x).

A continuación, encontramos fácilmente que - 2/3 es la raíz del polinomio g (x) y g (x) = (3x+2) (x2+2x-4). Entonces f (x) = (2x-1) (3x+2) (x2+2x-4). Se puede realizar una verificación adicional para el polinomio x2+2x-4, que, por supuesto, es más simple que para g (x) o, aún más, para f (x). Como resultado, encontramos que los números 2 y - 4 no son raíces.

Entonces, el polinomio f (x) =6x4+13x3-24x2-8x+8 tiene dos raíces racionales: 1/2 y - 2/3.

Recuerde que el método descrito anteriormente permite encontrar solo raíces racionales de un polinomio con coeficientes enteros. Mientras tanto, un polinomio también puede tener raíces irracionales. Entonces, por ejemplo, el polinomio considerado en el ejemplo tiene dos raíces más: - 1±v5 (estas son las raíces del polinomio x2+2x-4). Y, en términos generales, es posible que un polinomio no tenga raíces racionales en absoluto.

Ahora demos algunos consejos.

Cuando se prueban "candidatos" para las raíces del polinomio f (x) usando el segundo de los teoremas demostrados anteriormente, este último generalmente se usa para los casos k=±1. En otras palabras, si l/m es una raíz "candidata", entonces verifique si f (1) y f (-1) son divisibles por l-m y l+m, respectivamente. Pero puede suceder que, por ejemplo, f (1) = 0, es decir, 1 sea una raíz, y luego f (1) sea divisible por cualquier número, y nuestra comprobación pierda sentido. En este caso, debes dividir f (x) entre x-1, es decir obtenga f(x) = (x-1)s(x) y pruebe el polinomio s(x). Al mismo tiempo, no debemos olvidar que ya hemos encontrado una raíz del polinomio f (x) - x1=1. Si, al comprobar las raíces "candidatas" que quedan después de aplicar el segundo teorema sobre raíces racionales, utilizando el esquema de Horner encontramos que, por ejemplo, l/m es una raíz, entonces se debe encontrar su multiplicidad. Si es igual a, digamos, k, entonces f (x) = (x-l/m) ks (x), y se pueden realizar más pruebas para s (x), lo que reduce los cálculos.

Así, hemos aprendido a encontrar raíces racionales de un polinomio con coeficientes enteros. Resulta que al hacer esto hemos aprendido a encontrar las raíces irracionales de un polinomio con coeficientes racionales. De hecho, si tenemos, por ejemplo, un polinomio f (x) =x4+2/3x3+5/6x2+3/8x+2, entonces, llevando los coeficientes a un denominador común y sacándolo de paréntesis, obtenemos obtenga f (x) = 1/24 (24x4+16x3-20x2+9x+48). Está claro que las raíces del polinomio f (x) coinciden con las raíces del polinomio entre paréntesis y sus coeficientes son números enteros. Demostremos, por ejemplo, que sen100 es un número irracional. Utilicemos la conocida fórmula sin3?=3sin?-4sin3?. Por lo tanto sin300=3sin100-4sin3100. Considerando que sen300=0,5 y realizando transformaciones simples, obtenemos 8sin3100-6sin100+1=0. Por tanto, sen100 es la raíz del polinomio f (x) =8x3-6x+1. Si buscamos raíces racionales de este polinomio, nos convenceremos de que no las hay. Esto significa que la raíz sen100 no es un número racional, es decir sin100 es un número irracional.

Un polinomio en la variable x es una expresión de la forma: anxn+an-1 xn-1+. . . +a 1 x+a 0, donde n - número natural; an, an-1, . . . , un 1, un 0: cualquier número llamado coeficientes de este polinomio. Expresiones anxn, an-1 xn-1, . . . , a 1 x, a 0 se denominan términos del polinomio y 0 es el término libre. an es el coeficiente de xn, an-1 es el coeficiente de xn-1, etc. Un polinomio en el que todos los coeficientes son iguales a cero se llama cero. por ejemplo, el polinomio 0 x2+0 x+0 es cero. De la notación de un polinomio queda claro que consta de varios miembros. De aquí proviene el término ‹‹polinomio›› (muchos términos). A veces un polinomio se llama polinomio. Este término proviene de las palabras griegas πολι - muchos y νομχ - miembro.

Un polinomio en una variable x se denota: . f (x), g (x), h (x), etc. por ejemplo, si el primero de los polinomios anteriores se denota por f (x), entonces podemos escribir: f (x) =x 4+2 x 3 + (- 3) x 2+3/7 x+√ 2. 1. El polinomio h(x) se llama máximo común divisor de los polinomios f(x) y g(x) si divide a f(x), g (x) y cada uno de ellos común divisor. 2. Un polinomio f(x) con coeficientes del cuerpo P de grado n se dice que es reducible sobre el cuerpo P si existen polinomios h(x), g(x) О P[x] de grado menor que n tales que f(x) = h(x)g(x).

Si existe un polinomio f(x) =anxn+an-1 xn-1+. . . +a 1 x+a 0 y an≠ 0, entonces el número n se llama grado del polinomio f (x) (o dicen: f (x) - enésimo grado) y escribir art. f(x)=n. En este caso, an se denomina coeficiente principal y anxn es el término principal de este polinomio. Por ejemplo, si f (x) =5 x 4 -2 x+3, entonces el art. f (x) =4, coeficiente principal - 5, término principal - 5 x4. El grado de un polinomio es el mayor número distinto de cero de sus coeficientes. Los polinomios de grado cero son números distintos de cero. , el polinomio cero no tiene grado; el polinomio f(x) =a, donde a es un número distinto de cero y tiene grado 0; el grado de cualquier otro polinomio es igual a la tasa más alta potencia de la variable x, cuyo coeficiente es igual a cero.

Igualdad de polinomios. Dos polinomios f (x) y g (x) se consideran iguales si sus coeficientes para las mismas potencias de la variable x y los términos libres son iguales (sus coeficientes correspondientes son iguales). f(x) =g(x). Por ejemplo, los polinomios f (x) =x 3+2 x 2 -3 x+1 y g(x) =2 x 23 x+1 no son iguales, el primero de ellos tiene un coeficiente de x3 igual a 1, y el segundo tiene cero (según las convenciones aceptadas, podemos escribir: g (x) =0 x 3+2 x 2 -3 x+1. En este caso: f (x) ≠g (x). Los polinomios no son iguales: h (x) =2 x 2 -3 x+5, s (x) =2 x 2+3 x+5, ya que sus coeficientes para x son diferentes.

Pero los polinomios f 1 (x) =2 x 5+3 x 3+bx+3 y g 1 (x) =2 x 5+ax 3 -2 x+3 son iguales si y sólo si a = 3, a b = -2. Sea dado el polinomio f (x) =anxn+an-1 xn-1+. . . +a 1 x+a 0 y algún número c. Número f (c) =ancn+an-1 cn-1+. . . +a 1 c+a 0 se llama valor del polinomio f (x) en x=c. Por lo tanto, para encontrar f (c), es necesario sustituir c en el polinomio en lugar de x y realizar los cálculos necesarios. Por ejemplo, si f (x) =2 x 3+3 x 2 -x+5, entonces f (-2) =2 (-2) 3+ (-2) 2 - (-2) +5=3. El polinomio para diferentes valores de la variable x puede tomar diferentes significados. El número c se llama raíz del polinomio f (x) si f (c) =0.

Prestemos atención a la diferencia entre dos afirmaciones: “el polinomio f (x) es igual a cero (o, lo que es lo mismo, el polinomio f (x) es cero)” y “el valor del polinomio f (x) ) en x = c es igual a cero.” Por ejemplo, el polinomio f (x) =x 2 -1 no es igual a cero, tiene coeficientes distintos de cero y su valor en x=1 es igual a cero. f (x) ≠ 0, y f (1) =0. Existe una estrecha relación entre los conceptos de igualdad de polinomios y el valor de un polinomio. Si se dan dos polinomios iguales f (x) y g (x), entonces sus coeficientes correspondientes son iguales, lo que significa f (c) = g (c) para cada número c.

Operaciones con polinomios Los polinomios se pueden sumar, restar y multiplicar usando las reglas habituales para abrir paréntesis y traer términos similares. El resultado es nuevamente un polinomio. Estas operaciones tienen propiedades conocidas: f (x) +g (x) =g (x) +f (x), f (x) + (g (x) +h (x)) = (f (x) +g (x)) +h (x), f (x) g (x) =g (x) f (x), f (x) (g (x) h (x)) = (f (x) g ( x)) h (x), f (x) (g (x) +h (x)) =f (x) g (x) +f (x) h (x).

Sean dados dos polinomios f(x) =anxn+an-1 xn-1+. . . +a 1 x+a 0, an≠ 0 y g(x)=bmxm+bm-1 xm-1+. . . +b 1 x+bm≠ 0. Es claro que el art. f(x)=n, y el art. g(x)=metro. Si multiplicamos estos dos polinomios, obtenemos un polinomio de la forma f(x) g(x)=anbmxm+n+. . . +a 0 b 0. Dado que an≠ 0 y bn≠ 0, entonces anbm≠ 0, lo que significa st. (f(x)g(x))=m+n. De esto se desprende una afirmación importante.

El grado del producto de dos polinomios distintos de cero es igual a la suma de los grados de los factores, art. (f(x)g(x)) =st. f (x) + st. g(x). El término principal (coeficiente) del producto de dos polinomios distintos de cero es igual al producto de los términos principales (coeficientes) de los factores. El término libre del producto de dos polinomios es igual al producto de los términos libres de los factores. Las potencias de los polinomios f (x), g (x) y f (x) ±g (x) están relacionadas por la siguiente relación: art. (f (x) ±g (x)) ≤ máx (st. f (x), st. g (x)).

La superposición de polinomios f (x) y g (x) se llama. un polinomio denotado f (g (x)), que se obtiene si en el polinomio f (x) sustituimos el polinomio g (x) en lugar de x. Por ejemplo, si f(x)=x 2+2 x-1 y g(x) =2 x+3, entonces f(g(x))=f(2 x+3)=(2 x+3) 2 +2(2 x+3)-1=4 x 2+16 x+14, g(f(x))=g(x 2+2 x-1)=2(x 2+2 x-1) + 3=2x2+4x+1. Se puede observar que f (g (x)) ≠g (f (x)), es decir, la superposición de los polinomios f (x), g (x) y la superposición de los polinomios g (x), f ( x) son diferentes. Por tanto, la operación de superposición no tiene la propiedad de conmutabilidad.

, Algoritmo de división con resto Para cualquier f(x), g(x), existen q(x) (cociente) y r(x) (resto) tales que f(x)=g(x)q(x)+ r(x), y el grado r(x)

Divisores de un polinomio El divisor de un polinomio f(x) es un polinomio g(x), tal que f(x)=g(x)q(x). El máximo común divisor de dos polinomios El máximo común divisor de los polinomios f(x) y g(x) es su divisor común d(x) que es divisible por cualquiera de sus otros divisores comunes.

Algoritmo euclidiano (algoritmo de división secuencial) para encontrar el máximo común divisor de los polinomios f(x) y g(x) Entonces es el máximo común divisor de f(x) y g(x).

Reducir la fracción Solución: Encuentra el mcd de estos polinomios usando el algoritmo euclidiano 1) x3 + 6 x2 + 11 x + 6 x3 + 7 x2 + 14 x + 8 1 – x2 – 3 x – 2 2) x3 + 7 x2 + 14 x + 8 x3 + 3 x2 + 2 x – x2 – 3 x – 2 –x– 4 4 x2 + 12 x + 8 0 Por lo tanto, el polinomio (– x2 – 3 x – 2) es el mcd del numerador y denominador de una fracción dada. Se conoce el resultado de dividir el denominador por este polinomio.

Encontremos el resultado de dividir el numerador. x 3 + 6 x2 + 11 x + 6 – x2 – 3 x – 2 x3 + 3 x2 + 2 x –x– 3 3 x2 + 9 x + 6 0 Por lo tanto, respuesta:

Esquema de Horner Dividir un polinomio f(x) con resto por un polinomio distinto de cero g(x) significa representar f(x) en la forma f(x)=g(x) s(x)+r(x), donde s (x) y r(x) son polinomios y r(x)=0 o st. r(x)

Los polinomios en los lados izquierdo y derecho de esta relación son iguales, lo que significa que sus coeficientes correspondientes son iguales. Igualémoslos abriendo primero los corchetes y colocando términos similares en el lado derecho de esta igualdad. Obtenemos: a= bn-1, a-1 = bn-2 - cbn-1, a-2 = bn-3 - cbn-2, a 2 = b 1 - cb 2, a 1 = b 0 - cb 1 , a 0 = r - cb 0. Recuerde que necesitamos encontrar el cociente incompleto, es decir, sus coeficientes, y el resto. Expresémoslos a partir de las igualdades obtenidas: bn-1 = an, b n-2 = cbn-1 + an-1, b n-3 = cbn-2 + a n-2, b 1 = cb 2 + a 2 , b 0 = cb 1 +a 1, r = cb 0 + a 0. Hemos encontrado fórmulas que se pueden utilizar para calcular los coeficientes del cociente parcial s (x) y el resto r. En este caso, los cálculos se presentan en forma de la siguiente tabla; se llama esquema de Horner.

Tabla 1. Coeficientes f (x) c an bn-1 an-1 bn-2=cbn-1+ an-1 an-2 bn-3 = cbn-2+an-2 … … a 0 r = cb 0 + a 0 Coeficientes s (x) resto En la primera fila de esta tabla, escribe todos los coeficientes del polinomio f (x) seguidos, dejando la primera celda libre. En la segunda línea, en la primera celda, escribe el número c. El resto de celdas de esta línea se rellenan calculando uno a uno los coeficientes del cociente incompleto s (x) y el resto r. En la segunda celda escribe el coeficiente bn-1, que, como hemos establecido, es igual a an.

Los coeficientes en cada celda posterior se calculan de acuerdo con la siguiente regla: el número c se multiplica por el número de la celda anterior y el número que se encuentra encima de la celda que se está completando se suma al resultado. Para recordar, digamos, la quinta celda, es decir, para encontrar el coeficiente que contiene, debe multiplicar c por el número de la cuarta celda y sumar el número que se encuentra encima de la quinta celda al resultado. Dividamos, por ejemplo, el polinomio f (x) =3 x 4 -5 x 2+3 x-1 entre x-2 con resto, usando el esquema de Horner. Al completar la primera línea de este diagrama, no debemos olvidarnos de los coeficientes cero del polinomio. Entonces, los coeficientes f (x) son los números 3, 0, - 5, 3, - 1. Y también debes recordar que el grado de un cociente incompleto es uno menos que el grado del polinomio f (x).

Así, realizamos la división según el esquema de Horner: Tabla 2. 2 3 3 0 6 -5 7 3 17 -1 33 Obtenemos el cociente parcial s (x) =3 x 3+6 x 2+7 x+17 y el resto r=33. Tenga en cuenta que al mismo tiempo calculamos el valor del polinomio f (2) =33. Dividamos ahora el mismo polinomio f (x) por x+2 con resto. En este caso c=-2. obtenemos: Tabla 3. -2 3 3 0 -6 -5 7 3 -11 -1 21 Como resultado, tenemos f (x) = (x+2) (3 x 3 -6 x 2+7 x- 11) +21.

Raíces de polinomios Sean c1, c2,…, cm raíces diferentes del polinomio f (x). Entonces f (x) se divide por x-c1, es decir f (x) = (x-c 1) s 1 (x). Pongamos x=c2 en esta igualdad. Obtenemos f (c 2) = (c 2 -c 1) s 1 (c 2) y, entonces f (c 2) =0, entonces (c2 -c1) s 1 (c 2) =0. Pero с2≠с1, es decir с2 -с1≠ 0, lo que significa s 1 (c 2) =0. Por tanto, c2 es la raíz del polinomio s 1 (x). De ello se deduce que s 1 (x) es divisible por x-c2, es decir, s 1 (x) = (x-c 2) s 2 (x). Sustituyamos la expresión resultante por s 1 (x) en la igualdad f (x) = (x-c 1) s 1 (x). Tenemos f (x) = (x-c 1) (x-c 2) s 2 (x). Poniendo x=c3 en la última igualdad, teniendo en cuenta que f (c 3) =0, c3≠c1, c3≠c2, obtenemos que c3 es la raíz del polinomio s 2 (x). Esto significa s 2 (x) = (x-c 3) s 3 (x), y luego f (x) = (x-c 1) (x-c 2) (x-c 3) s 3 (x), etc. Continuando con este razonamiento para el raíces restantes c4, c5, ..., cm, finalmente obtenemos f (x) = (x-c 1) (x-c 2) ... (x-cm) sm (x), es decir, se prueba la afirmación formulada a continuación.

Si с1, с2, …, сm son raíces diferentes del polinomio f (x), entonces f (x) se puede representar como f(x)=(x-c 1) (x-c 2)…(x-cm) sm(x ). De esto se desprende consecuencia importante. Si c1, c2, ..., cm son raíces diferentes del polinomio f(x), entonces f(x) se divide por el polinomio (x-c1) (x-c2) ... (x-cm). El número de raíces diferentes de un polinomio f (x) distinto de cero no es mayor que su grado. De hecho, si f(x) no tiene raíces, entonces está claro que el teorema es verdadero, porque el art. f(x) ≥ 0. Ahora sea f(x) tener m raíces с1, с2,…, сm, y todas ellas son diferentes. Entonces, por lo que se acaba de demostrar, f(x) se divide en (x-c1) (x -c2)…(x-cm). En este caso, el art. f(x)≥st. ((x-c1) (x-c2)…(x-cm))= pt. (x-c1)+st. (x-s2)+…+st. (x-cm)=m, es decir, art. f(x)≥m, y m es el número de raíces del polinomio en cuestión. Pero el polinomio cero tiene infinitas raíces, porque su valor para cualquier x es igual a 0. En particular, por esta razón no se le prescribe ningún grado específico. La siguiente afirmación se deriva del teorema recién demostrado.

Si un polinomio f(x) no es un polinomio de grado mayor que n y tiene más de n raíces, entonces f(x) es un polinomio cero. De hecho, de las condiciones de esta afirmación se deduce que f (x) es un polinomio cero o art. f(x)≤n. Si asumimos que el polinomio f (x) no es cero, entonces el art. f (x) ≤n, y entonces f (x) tiene como máximo n raíces. Llegamos a una contradicción. Esto significa que f(x) es un polinomio distinto de cero. Sean f (x) y g (x) polinomios distintos de cero de grado como máximo n. Si estos polinomios toman los mismos valores para n+1 valores de la variable x, entonces f (x) =g (x).

Para probar esto, considere el polinomio h (x) =f (x) - g (x). Está claro que h (x) =0 o st. h (x) ≤n, es decir, h (x) no es un polinomio de grado mayor que n. Ahora sea el número c tal que f (c) = g (c). Entonces h (c) = f (c) - g (c) = 0, es decir c es la raíz del polinomio h (x). Por lo tanto, el polinomio h (x) tiene n+1 raíces, y cuando, como se acaba de demostrar, h (x) =0, es decir, f (x) =g (x). Si f (x) y g (x) toman los mismos valores para todos los valores de la variable x, entonces estos polinomios son iguales

Múltiples raíces de un polinomio Si un número c es raíz de un polinomio f (x), se sabe que este polinomio es divisible por x-c. Puede suceder que f(x) sea divisible por alguna potencia polinomio xc, es decir, en (x-c) k, k>1. En este caso, c se llama raíz múltiple. Formulemos la definición más claramente. Un número c se llama raíz de multiplicidad k (k-raíz multiplicada) de un polinomio f (x) si el polinomio es divisible por (x - c) k, k>1 (k es un número natural), pero no divisible por (x - c) k+ 1. Si k=1, entonces c se llama raíz simple, y si k>1, entonces se llama raíz múltiple del polinomio f (x).

Si el polinomio f(x) se representa como f(x)=(x-c)mg(x), m es un número natural, entonces es divisible por (x-c) m+1 si y sólo si g(x) es divisible en x-s. De hecho, si g(x) es divisible por x-c, es decir, g(x)=(x-c)s(x), entonces f(x)=(x-c) m+1 s(x), y esto significa f(x ) es divisible por (x-c) m+1. Por el contrario, si f(x) es divisible por (x-c) m+1, entonces f(x)=(x-c) m+1 s(x). Entonces (x-c)mg(x)=(x-c)m+1 s (x) y después de la reducción por (x-c)m obtenemos g(x)=(x-c)s(x). De ello se deduce que g(x) es divisible por x-c.

Averigüemos, por ejemplo, si el número 2 es la raíz del polinomio f (x) =x 5 -5 x 4+3 x 3+22 x 2 -44 x+24, y si es así, encontremos su multiplicidad. Para responder a la primera pregunta, comprobemos utilizando el circuito de Horner si f (x) es divisible por x-2. tenemos: Tabla 4. 2 1 1 -5 -3 3 -3 22 16 -44 -12 24 0 Como puedes ver, el resto al dividir f(x) entre x-2 es igual a 0, es decir, es dividido por x-2. Esto significa que 2 es la raíz de este polinomio. Además, tenemos que f(x)=(x-2)(x 4 -3 x 3 -3 x 2+16 x-12). Ahora averigüemos si f(x) está en (x-2) 2. Esto depende, como acabamos de demostrar, de la divisibilidad del polinomio g (x) =x 4 -3 x 3 -3 x 2+16 x -12 por x-2.

Usemos nuevamente el esquema de Horner: Tabla 5. 1 -3 -3 16 -12 2 1 -1 -5 6 0 Encontramos que g(x) es divisible por x-2 y g(x)=(x-2)( x3-x2-5x+6). Entonces f(x)=(x-2)2(x 3 -x 2 -5 x+6). Entonces f(x) es divisible por (x-2)2, ahora necesitamos averiguar si f(x) es divisible por (x-2)3. Para hacer esto, comprobemos si h (x) =x 3 -x 2 -5 x+6 es divisible por x-2: Tabla 6. 1 -1 -5 6 2 1 1 -3 0 Encontramos que h(x ) es divisible por x-2, lo que significa que f(x) se divide por (x-2) 3, y f(x)=(x-2)3(x 2+x-3).

A continuación, comprobamos de manera similar si f(x) es divisible por (x-2)4, es decir, si s(x)=x 2+x-3 es divisible por x-2: Tabla 7. 2 1 1 1 3 -3 3 Encontramos que el resto al dividir s(x) entre x-2 es igual a 3, es decir, s(x) no es divisible por x-2. Esto significa que f(x) no es divisible por (x-2)4. Por lo tanto, f(x) es divisible por (x-2)3 pero no divisible por (x-2)4. Por tanto, el número 2 es raíz de multiplicidad 3 del polinomio f(x).

Normalmente, la verificación de la multiplicidad de la raíz se realiza en una tabla. Para este ejemplo, esta tabla se ve así: Tabla 8. 1 -5 3 22 -44 -24 2 2 1 1 -3 -1 1 3 -3 -5 -3 3 16 6 0 -12 0 0 En otras palabras, según el esquema de división de Horner del polinomio f (x) por x-2, en la segunda línea obtenemos los coeficientes del polinomio g (x). Entonces consideramos que esta segunda línea es la primera línea. nuevo sistema Horner y dividimos g (x) entre x-2, etc. Continuamos los cálculos hasta obtener un resto distinto de cero. En este caso, la multiplicidad de la raíz es igual al número de residuos cero obtenidos. La línea que contiene el último resto distinto de cero también contiene los coeficientes del cociente al dividir f (x) por (x-2) 3.

Ahora, utilizando el esquema recién propuesto para verificar la multiplicidad de la raíz, resolveremos el siguiente problema. ¿Para qué a y b el polinomio f(x) =x 4+2 x 3+ax 2+ (a+b)x+2 tiene el número - 2 como raíz de múltiplo de 2? Dado que la multiplicidad de la raíz - 2 debe ser igual a 2, entonces, al dividir por x+2 según el esquema propuesto, debemos obtener un resto de 0 dos veces, y la tercera vez, un resto diferente de cero. Tenemos: Tabla 9. -2 -2 -2 1 1 2 0 -2 -4 a a a+4 a+12 a+b -3 a+b-8 2 2 a-2 b+2

Por tanto, el número - 2 es raíz de la multiplicidad 2 del polinomio original si y sólo si

Raíces racionales de un polinomio Si la fracción irreducible l/m (l, m son números enteros) es la raíz de un polinomio f (x) con coeficientes enteros, entonces el coeficiente principal de este polinomio se divide por m, y el término libre es dividido por 1. De hecho, si f (x)=anxn+an-1 xn-1+…+a 1 x+a 0, an≠ 0, donde an, an-1, . . . , a 1, a 0 son números enteros, entonces f(l/m) =0, es decir, аn (l/m) n+an-1 (l/m) n-1+. . . +a 1 l/m+a 0=0. Multipliquemos ambos lados de esta igualdad por mn. Obtenemos anln+an-1 ln-1 m+. . . +a 1 lmn-1+a 0 mn=0. Esto implica anln=m (-an-1 ln-1 -…- a 1 lmn-2 -a 0 mn-1).

Vemos que el número entero anln es divisible por m. Pero l/m es una fracción irreducible, es decir, los números l y m son coprimos, y luego, como se sabe por la teoría de la divisibilidad de los números enteros, los números ln y m también son coprimos. Entonces, anln es divisible por m y m es coprimo de ln, lo que significa que an es divisible por m. Encontremos las raíces racionales del polinomio f (x) =6 x 4+13 x 2 -24 x 2 -8 x+8. Según el teorema, las raíces racionales de este polinomio se encuentran entre las fracciones irreducibles de la forma l/m, donde l es el divisor del término libre a 0=8, y m es el divisor del coeficiente principal a 4=6 . Además, si la fracción l/m es negativa, se asignará el signo “-” al numerador. Por ejemplo, - (1/3) = (-1) /3. Entonces podemos decir que l es un divisor del número 8 y m es un divisor positivo del número 6.

Dado que los divisores del número 8 son ± 1, ± 2, ± 4, ± 8, y los divisores positivos del número 6 son 1, 2, 3, 6, entonces las raíces racionales del polinomio en cuestión se encuentran entre los números. ± 1, ± 1/2, ± 1/3, ± 1/6, ± 2/3, ± 4, ± 4/3, ± 8/3. Recordemos que escribimos sólo fracciones irreducibles. Por tanto, tenemos veinte números: "candidatos" a raíces. Sólo queda comprobar cada uno de ellos y seleccionar aquellos que realmente sean raíces. El siguiente teorema simplifica este trabajo. Si la fracción irreducible l/m es la raíz de un polinomio f (x) con coeficientes enteros, entonces f (k) es divisible por l-km para cualquier número entero k, siempre que l-km≠ 0.

Para probar este teorema, divida f(x) por xk con un resto. Obtenemos f(x)=(x-k)s(x)+f(k). Dado que f(x) es un polinomio con coeficientes enteros, también lo es el polinomio s(x), y f(k) es un número entero. Sea s(x)=bn-1+bn-2+…+b 1 x+b 0. Entonces f(x)-f(k)=(x-k) (bnxn-1+bn-2 xn-2+ … +b 1x+b 0). Pongamos 1 x=l/m en esta igualdad. Considerando que f(l/m)=0, obtenemos f(k)=((l/m)-k)(bn-1(l/m)n-1+bn-2(l/m)n- 2+…+b 1(l/m)+b 0). Multipliquemos ambos lados de la última igualdad por mn: mnf(k)=(l-km)(bn-1 ln-1+bn-2 ln-2 m+…+b 1 lmn-2+b 0 mn-1) . De ello se deduce que el número entero mnf (k) es divisible por l-km. Pero como l y m son coprimos, entonces mn y l-km también son coprimos, lo que significa que f(k) es divisible por l-km. El teorema ha sido demostrado.

Volvamos a nuestro ejemplo y, utilizando el teorema probado, reduciremos aún más el círculo de búsqueda de raíces racionales. Apliquemos este teorema para k=1 y k=-1, es decir, si la fracción irreducible l/m es la raíz del polinomio f(x), entonces f(1)/(l-m), y f(-1) /(l+m). Encontramos fácilmente que en nuestro caso f(1)=-5 y f(-1)= -15. Tenga en cuenta que al mismo tiempo excluimos de la consideración ± 1. Por lo tanto, las raíces racionales de nuestro polinomio deben buscarse entre los números ± 1/2, ± 1/3, ± 1/6, ± 2, ± 2/3, ±4/3, ±8/3. Considere l/m=1/2. Entonces l-m=-1 y f (1) =-5 se divide por este número. Además, l+m=3 y f (1) =-15 también es divisible por 3. Esto significa que la fracción 1/2 permanece entre los “candidatos” a raíces.

Vamos ahora lm=-(1/2)=(-1)/2. En este caso, l-m=-3 y f (1) =-5 no es divisible por - 3. Esto significa que la fracción -1/2 no puede ser la raíz de este polinomio y la excluimos de mayor consideración. Comprobemos cada una de las fracciones escritas arriba y encontremos que las raíces requeridas se encuentran entre los números 1/2, ± 2/3, 2, - 4. Por lo tanto, utilizando una técnica bastante simple, hemos reducido significativamente el área de búsqueda de fracciones racionales. raíces del polinomio en cuestión. Bueno, para comprobar los números restantes, usaremos el esquema de Horner: Tabla 10. 6 13 -24 -8 8 1/2 6 16 -16 0

Vemos que 1/2 es la raíz del polinomio f(x) y f(x)= (x-1/2) (6 x 3+16 x 2 -16 x-16) = (2 x-1) (3x3+8x2-8x-8). Está claro que todas las demás raíces del polinomio f (x) coinciden con las raíces del polinomio g (x) =3 x 3+8 x 2 -8 x-8, lo que significa que una mayor verificación de los "candidatos" a las raíces se puede realizar para este polinomio. Encontramos: Tabla 11. 3 8 -8 -8 2/3 3 10 -4/3 -80/9 Encontramos que el resto al dividir g(x) entre x-2/3 es igual a - 80/9, es decir, 2/3 no es una raíz del polinomio g(x) y, por tanto, tampoco lo es f(x). A continuación encontramos que - 2/3 es la raíz del polinomio g(x) y g (x) = (3 x+2) (x 2+2 x-4).

Entonces f(x) = (2 x-1) (3 x+2) (x 2+2 x-4). Se puede realizar una verificación adicional para el polinomio x 2+2 x-4, que, por supuesto, es más simple que para g (x) o, aún más, para f (x). Como resultado, encontramos que los números 2 y - 4 no son raíces. Entonces, el polinomio f (x) =6 x 4+13 x 3 -24 x 2 -8 x+8 tiene dos raíces racionales: 1/2 y - 2/3. Este método permite encontrar sólo raíces racionales de un polinomio con coeficientes enteros. Mientras tanto, un polinomio también puede tener raíces irracionales. Entonces, por ejemplo, el polinomio considerado en el ejemplo tiene dos raíces más: - 1±√ 5 (estas son las raíces del polinomio x2+2 x-4). un polinomio puede no tener raíces racionales en absoluto.

Cuando se prueban raíces “candidatas” del polinomio f(x) usando el segundo de los teoremas demostrados anteriormente, este último generalmente se usa para los casos k = ± 1. En otras palabras, si l/m es una raíz “candidata”, entonces compruebe si f( 1) y f (-1) por l-m y l+m, respectivamente. Pero puede suceder que, por ejemplo, f(1) =0, es decir, 1 sea una raíz, y entonces f(1) sea divisible por cualquier número, y nuestra comprobación pierda sentido. En este caso, debes dividir f(x) por x-1, es decir, obtener f(x)=(x-1)s(x), y probar el polinomio s(x). Al mismo tiempo, no debemos olvidar que ya hemos encontrado una raíz del polinomio f(x)-x 1=1. Si verificamos los “candidatos” para las raíces que quedan después de usar el segundo teorema sobre raíces racionales, usando el esquema de Horner, encontramos que, por ejemplo, l/m es una raíz, entonces se debe encontrar su multiplicidad. Si es igual a, digamos, k, entonces f(x)=(x-l/m) ks (x), y se pueden realizar más pruebas en s(x), lo que reduce el cálculo.

Solución. Habiendo reemplazado la variable y=2 x, pasamos a un polinomio con un coeficiente igual a uno en el grado más alto. Para hacer esto, primero multiplica la expresión por 4. Si la función resultante tiene raíces enteras, entonces se encuentran entre los divisores del término libre. Anotémoslos: ± 1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 5, ± 6, ± 10, ± 12, ± 15 ±, ± 20, ± 30, ± 60.

Calculemos secuencialmente los valores de la función g(y) en estos puntos hasta llegar a cero. Es decir, y=-5 es una raíz y por tanto es la raíz de la función original. Dividamos el polinomio por un binomio usando una columna (esquina)

No es recomendable seguir comprobando los divisores restantes, ya que es más fácil factorizar el trinomio cuadrático resultante, por lo que,

Usar fórmulas de multiplicación abreviadas y el binomio de Newton para factorizar polinomios A veces apariencia de un polinomio sugiere una forma de factorizarlo. Por ejemplo, después de transformaciones simples, los coeficientes se alinean en una línea del triángulo de Pascal para los coeficientes del binomio de Newton. Ejemplo. Factoriza el polinomio.

Solución. Transformemos la expresión a la forma: La secuencia de coeficientes de la suma entre paréntesis indica claramente que esto es Por lo tanto, ahora aplicamos la fórmula de diferencia de cuadrados: La expresión en el segundo paréntesis no tiene raíces reales, y para el polinomio del primer paréntesis volvemos a aplicar la fórmula de diferencia de cuadrados

Fórmulas de Vieta que expresan los coeficientes de un polinomio a través de sus raíces. Estas fórmulas son convenientes para verificar la exactitud de la búsqueda de las raíces de un polinomio, así como para componer un polinomio basándose en sus raíces dadas. Formulación Si son las raíces de un polinomio, entonces los coeficientes se expresan en forma de polinomios simétricos de las raíces, a saber

En otras palabras, ak es igual a la suma de todos los productos posibles de k raíces. Si el coeficiente principal es un polinomio, entonces para aplicar la fórmula de Vieta es necesario dividir primero todos los coeficientes por 0. En este caso, las fórmulas de Vieta dan una expresión para la relación entre todos los coeficientes y el principal. De la última fórmula de Vieta se deduce que si las raíces de un polinomio son enteras, entonces son divisores de su término libre, que también es entero. La prueba se realiza considerando la igualdad obtenida al expandir el polinomio por raíces, teniendo en cuenta que a 0 = 1 Igualando los coeficientes a las mismas potencias de x, obtenemos las fórmulas de Vieta.

Resuelve la ecuación x 6 – 5 x 3 + 4 = 0 Solución. Denotemos y = x 3, entonces la ecuación original toma la forma y 2 – 5 y + 4 = 0, resolviendo lo cual obtenemos Y 1 = 1; Y 2 = 4. Por tanto, la ecuación original es equivalente a un conjunto de ecuaciones: x 3 = 1 o x 3 = 4, es decir, X 1 = 1 o X 2 = Respuesta: 1;

Definición del teorema de Bezout 1. Un elemento se llama raíz de un polinomio si f(c)=0. Teorema de Bezout. El resto de dividir el polinomio Pn(x) por el binomio (x-a) es igual al valor de este polinomio en x = a. Prueba. En virtud del algoritmo de división, f(x)=(xc)q(x)+r(x), donde r(x)=0, o, y por lo tanto. Entonces f(x)=(x-c)q(x)+r, por lo tanto f(c)=(c-c)q(c)+r=r, y por lo tanto f(x)=(xc)q(x) +f (C).

Corolario 1: El resto de dividir el polinomio Pn (x) por el binomio ax+b es igual al valor de este polinomio en x = -b/a, es decir, R=Pn (-b/a). Corolario 2: Si el número a es la raíz del polinomio P (x), entonces este polinomio es divisible por (x-a) sin resto. Corolario 3: Si el polinomio P(x) tiene raíces distintas por pares a 1 , a 2 , ... , an, entonces se divide por el producto (x-a 1) ... (x-an) sin resto. Corolario 4: Un polinomio de grado n tiene como máximo n raíces diferentes. Corolario 5: Para cualquier polinomio P(x) y número a, la diferencia (P(x)-P(a)) es divisible por el binomio (x-a) sin resto. Corolario 6: Un número a es raíz de un polinomio P(x) de grado al menos primero si y sólo si P(x) es divisible por (xa) sin resto.

Descomposición de una fracción racional en fracciones simples Demostremos que cualquier fracción racional propia se puede descomponer en una suma de fracciones simples. Sea dada una fracción racional propia (1).

Teorema 1. Sea x=a la raíz del denominador de brevedad k, es decir, donde f(a)≠ 0, entonces esta fracción propia se puede representar como la suma de otras dos. fracciones adecuadas como sigue: (2) donde A es una constante distinta de cero, y F 1(x) es un polinomio cuyo grado es menor que el grado del denominador

donde es un polinomio cuyo grado es menor que el grado del denominador. Y de manera similar a la fórmula anterior, puedes obtener: (5)