Adición y resta de grados.
Obviamente, los números con grados pueden ser precisos como otros valores , agregándolos uno tras otro con sus signos..
Por lo tanto, la suma A 3 y B 2 es un 3 + B 2.
La suma A 3 - B N y H 5 -D 4 es un 3-B N + H 5 - D 4.
Factores grados idénticos de las mismas variables. Puede ser diseñado o deducido.
Por lo tanto, la cantidad 2a 2 y 3a 2 es 5a 2.
También es obvio que si toma dos cuadrados a, o tres cuadrados a, o cinco cuadrados a.
Pero grados diferentes variables y varios grados variables idénticasDebe hacerse mediante su adición con sus signos.
Por lo tanto, la suma A 2 y A 3 es la suma A 2 + A 3.
Esto es obvio que el cuadrado del número A, y el cubo del número A, no igual a un doble cuadrado A, sino una doble Cuba a.
Cantidad A 3 B N y 3A 5 B 6 es un 3 B N + 3A 5 B 6.
Sustracción Los grados se llevan a cabo de la misma manera que la adición, excepto que los signos de sustráctil deben ser cambiados en consecuencia.
O:
2A 4 - (-6A 4) \u003d 8A 4
3H 2 B 6 - 4H 2 B 6 \u003d -H 2 B 6
5 (A - H) 6 - 2 (A - H) 6 \u003d 3 (A - H) 6
Grados multiplicando
Los números con grados pueden multiplicarse por otros valores escribiéndolos uno tras otro, con un signo de multiplicación o sin ella entre ellos.
Por lo tanto, el resultado de la multiplicación A 3 en B 2 es un 3 B 2 o AAABB.
O:
x -3 ⋅ a m \u003d a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) \u003d -6a 6 xy 2
a 2 B 3 Y 2 ⋅ A 3 B 2 Y \u003d A 2 B 3 Y 2 A 3 B 2 Y
El resultado en este último ejemplo se puede ordenar mediante la adición de las mismas variables.
La expresión tomará la forma: 5 y 5 y 3.
Comparando varios números (variables) con grados, podemos ver que si alguno de ellos se multiplica, el resultado es el número (variable) con un grado igual a suma Grados de los términos.
Entonces, un 2 .A 3 \u003d AA.AAAA \u003d AAAAA \u003d A 5.
Aquí 5 es el grado de resultado de la multiplicación, igual a 2 + 3, la suma de los grados de los componentes.
Entonces, a n .a m \u003d a m + n.
Para A N, A se toma como el multiplicador tantas veces como el grado N;
Y una m, toma como multiplicador tantas veces como el grado M;
Por lo tanto, los grados con las mismas bases se pueden multiplicar por la adición de grados.
Entonces, un 2 .a 6 \u003d A 2 + 6 \u003d A 8. Y x 3 .x 2 .x \u003d x 3 + 2 + 1 \u003d x 6.
O:
4a n ⋅ 2a n \u003d 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ B 4 y \u003d B 6 Y 4
(B + H - Y) N ⋅ (B + H - Y) \u003d (B + H - Y) N + 1
Multiplica (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Respuesta: X 4 - Y 4.
Multiplica (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).
Esta regla es válida para los números, cuyo grado - negativo.
1. Entonces, A -2 .A -3 \u003d A -5. Esto se puede escribir en el formulario (1 / aa). (1 / aaa) \u003d 1 / AAAAA.
2. y -n .y -m \u003d y -n-m.
3. A -N .A M \u003d A M-N.
Si A + B se multiplica por A - B, el resultado será igual a un 2 - B 2: Es decir,
El resultado de la multiplicación de la cantidad o la diferencia de dos números es igual a la suma o la diferencia de sus cuadrados.
Si la suma se multiplica y la diferencia de dos números erigidos en cuadrado, el resultado será igual a la cantidad o la diferencia de estos números en cuatro la licenciatura.
Entonces, (A - Y). (A + Y) \u003d A 2 - Y 2.
(A 2 - Y 2) ⋅ (A 2 + Y 2) \u003d A 4 \u200b\u200b- Y 4.
(A 4 - Y 4) ⋅ (A 4 + Y 4) \u003d A 8 - Y 8.
Grados de decisión
Los números con grados se pueden dividir, como otros números, tomando un divisor dividido, o la colocación de ellos en forma de una fracción.
Por lo tanto, un 3 B 2 dividido por B 2, igual a un 3.
Grabar un 5 dividido por un 3 parece $ \\ frac PS Pero esto es igual a un 2. En una serie de números
a +4, A +3, A +2, A +1, A 0, A -1, A -2, A -3, A -4.
cualquier número se puede dividir en otro, y el grado será igual a diferencia Indicadores de números divisibles.
Al dividir los grados con la misma base, se deducen sus indicadores..
Entonces, Y 3: y 2 \u003d y 3-2 \u003d y 1. Es decir, $ \\ frac \u003d y $.
Y A N + 1: A \u003d A N + 1-1 \u003d A N. Es decir, $ \\ frac \u003d a ^ n $.
O:
y 2m: y m \u003d y m
8A N + M: 4A M \u003d 2A N
12 (B + Y) N: 3 (B + Y) 3 \u003d 4 (B + Y) N-3
La regla también es justa y para números con negativo Valores de grados.
El resultado de la División A -5 en A -3 es igual a A -2.
Además, $ \\ frac: \\ frac \u003d \\ frac. \\ Frac \u003d \\ frac \u003d \\ frac $.
h 2: H -1 \u003d H 2 + 1 \u003d H 3 o $ H ^ 2: \\ frac \u003d h ^ 2. \\ frac \u003d h ^ $ 3
Es necesario para asimilar muy bien la multiplicación y la división de grados, ya que tales operaciones se usan muy ampliamente en álgebra.
Ejemplos de resolución de ejemplos con fracciones que contienen números con grados
1. Reducir los grados en $ \\ FRAC $ Respuesta: $ \\ FRAC $.
2. Reducir los grados en $ \\ FRAC $. Respuesta: $ \\ frac $ o 2x.
3. Reduzca los grados de un 2 / a 3 y A -3 / A -4 y traiga a un denominador común.
a 2 .A -4 es un primer numerador -2.
a 3 .A -3 es un 0 \u003d 1, el segundo numerador.
a 3 .A -4 es A -1, un numerador común.
Después de la simplificación: A -2 / A -1 y 1 / A-A -1.
4. Reduzca los indicadores de los grados 2a 4 / 5a 3 y 2 / a 4 y brinde al denominador común.
Respuesta: 2a 3 / 5a 7 y 5a 5 / 5a 7 o 2a 3 / 5a 2 y 5 / 5a 2.
5. Multiplica (A 3 + B) / B 4 en (A - B) / 3.
6. Multiplica (A 5 + 1) / x 2 en (B 2 - 1) / (x + a).
7. Multiplica B 4 / A -2 en H -3 / X y A N / Y -3.
8. Divida un 4 / y 3 en un 3 / y 2. Respuesta: A / Y.
Propiedades del título
Te recordamos que en esta lección entiendes. propiedades de los grados Con indicadores naturales y cero. Los grados con indicadores racionales y sus propiedades se considerarán en lecciones para 8 clases.
La proporción con un indicador natural tiene varias propiedades importantes que le permiten simplificar los cálculos en los ejemplos con grados.
Número de propiedad 1.
El trabajo de títulos
Al multiplicar grados con las mismas bases, la base permanece sin cambios, y los indicadores de grados están plegados.
a M · A n \u003d A M + N, donde "A" es cualquier número, y "M", "N" - Cualquier número natural.
Esta propiedad de títulos también actúa sobre el trabajo de tres y más grados.
- Simplifica la expresión.
b · B 2 · B 3 · B 4 · B 5 \u003d B 1 + 2 + 3 + 4 + 5 \u003d B 15 - Representar en forma de grado.
6 15 · 36 \u003d 6 15 · 6 2 \u003d 6 15 · 6 2 \u003d 6 17 - Representar en forma de grado.
(0.8) 3 · (0.8) 12 \u003d (0.8) 3 + 12 \u003d (0.8) 15 - Escribe privado en forma de grado.
(2b) 5: (2b) 3 \u003d (2b) 5 - 3 \u003d (2b) 2 - Calcular.
Tenga en cuenta que en la propiedad especificada fue solo sobre los grados de multiplicación con las mismas bases. . No se aplica a su adición.
Es imposible reemplazar la cantidad (3 3 + 3 2) por 3 5. Esto es comprensible si
calcule (3 3 + 3 2) \u003d (27 + 9) \u003d 36, A 3 5 \u003d 243
Número de propiedad 2.
Título privado
Al dividir los grados con las mismas bases, la base permanece sin cambios, y del indicador de la división deducible el grado de divisor.
11 3 - 2 · 4 2 - 1 \u003d 11 · 4 \u003d 44
Ejemplo. Resolver la ecuación. Utilizamos la propiedad de los títulos privados.
3 8: t \u003d 3 4
Respuesta: T \u003d 3 4 \u003d 81
Usando las propiedades Nº 1 y No. 2, puede simplificar fácilmente las expresiones y hacer cálculos.
Ejemplo. Simplifica la expresión.
4 5m + 6 · 4 m + 2: 4 4m + 3 \u003d 4 5m + 6 + m + 2: 4 4m + 3 \u003d 4 6m + 8 - 4m - 3 \u003d 4 2m + 5
Ejemplo. Encuentre el valor de la expresión utilizando las propiedades de grado.
2 11 − 5 = 2 6 = 64
Tenga en cuenta que en la propiedad 2 se trataba solo de dividir los grados con las mismas bases.
Es imposible reemplazar la diferencia (4 3 -4 2) por 4 1. Esto es comprensible si se calcula (4 3 -4 2) \u003d (64 - 16) \u003d 48, A 4 1 \u003d 4
Número de propiedad 3.
Erguido
Al erigir el grado en el grado, la Fundación permanece sin cambios, y los indicadores de los grados son variables.
(A N) M \u003d A N · M, donde "A" es cualquier número, y "M", "N" - Cualquier número natural.
Le recordamos que el privado puede ser representado como una fracción. Por lo tanto, sobre el tema, nos centraremos más con más detalle en la página siguiente.
Cómo multiplicar los grados
¿Cómo multiplicar el grado? ¿Qué grados pueden multiplicarse, y cuál no es? ¿Cómo multiplicar el grado?
En el álgebra para encontrar un producto de grados en dos casos:
1) Si los grados tienen las mismas bases;
2) Si los grados tienen los mismos indicadores.
Al multiplicar grados con las mismas bases, es necesario dejar la base para el mismo, y los indicadores están plegados:
Al multiplicar grados con los mismos indicadores, se puede alcanzar el indicador general por los tirantes:
Considere cómo multiplicar los grados en ejemplos específicos.
La unidad no está escrita en un indicador, pero al multiplicar los grados, tenga en cuenta:
Al multiplicarse, el número de grados puede ser cualquiera. Debe recordarse que delante del signo de letras de la multiplicación no puede escribir:
En expresiones, primero se realiza la construcción de la extensión.
Si se necesita el número para multiplicarse en el grado, primero debe elevarse en el grado, y solo más tarde - Multiplicación:
Multiplicación de grados con las mismas bases.
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En esta lección, estudiaremos la multiplicación de grados con las mismas bases. Primero, recordemos el grado de grado y formulemos el teorema de la equidad de capital. . Luego damos ejemplos de su uso en números específicos y demostrarlo. También aplicamos el teorema para resolver diversas tareas.
Tema: Grado con un indicador natural y sus propiedades.
LECCIÓN: Multiplicación de grados con las mismas bases (fórmula)
1. Definiciones básicas
Definiciones principales:
nORTE. - Indicador,
— nORTE.El grado de fecha.
2. La redacción del teorema 1.
Teorema 1. Para cualquier número pero y cualquier natural nORTE. y k. La igualdad es cierta:
DIFERENTE: Si pero - cualquier número; nORTE. y k. Números naturales, entonces:
Por lo tanto, regla 1:
3. Tareas explicativas
Producción: Los casos privados confirmaron la corrección del teorema No. 1. Lo probamos en el caso general, es decir, para cualquier pero y cualquier natural nORTE. y k.
4. Prueba de teorema 1
Número de dano pero - alguien; números nORTE. y k - Natural. Probar
La prueba se basa en la determinación del grado.
5. Solución de ejemplos con el teorema 1.
Ejemplo 1: Imagina en forma de grado.
Para resolver los siguientes ejemplos, usamos el teorema 1.
gramo) 
6. Generalización del teorema 1
La generalización se usa aquí:
7. Solución de ejemplos con la ayuda de la generalización del teorema 1.
8. Solución de varias tareas utilizando el teorema 1.
Ejemplo 2: Calcular (puedes usar la canasta de los principales grados).
pero) 
(en la mesa)
b) 
Ejemplo 3: Escriba en forma de grado con una base 2.
pero) 
Ejemplo 4: Determine el signo del número:
, pero - Negativo, ya que el indicador a -13 es impar.
Ejemplo 5: Reemplazar (·) el grado de número con la base. r:
Tenemos, eso es.
9. Sumando
1. Dorofeyev G.V., Suvorova S.B., Baynovich E.A. Y otros. Algebra 7. 6 Edición. M.: Iluminación. 2010
1. Ayudante de la escuela (fuente).
1. Imagina en forma de grado:
a B C D e) 
3. Escriba en forma de grado con una base 2:
4. Determine el número de:
pero) 
5. Reemplace (·) el grado de número con la base. r:
a) R 4 · (·) \u003d R 15; b) (·) · R 5 \u003d R 6
Multiplicación y división de títulos con los mismos indicadores.
En esta lección, estudiaremos la multiplicación de grados con los mismos indicadores. Primero, recordemos las definiciones básicas y los teoremas de la multiplicación y los grados divisorios con las mismas bases y enen el grado en el grado. Luego formulamos y pruebamos el teorema sobre multiplicación y división de grados con los mismos indicadores. Y luego con su ayuda, decidimos una serie de tareas típicas.
Recordatorio de definiciones básicas y teoremas
Aquí uNA. - La Fundación del Grado.
— nORTE.El grado de fecha.
Teorema 1. Para cualquier número pero y cualquier natural nORTE. y k. La igualdad es cierta:
Al multiplicar grados con las mismas bases, los indicadores están plegados, la base permanece sin cambios.
Teorema 2. Para cualquier número pero y cualquier natural nORTE. y k tal que nORTE. > k. La igualdad es cierta:
Al dividir los grados con las mismas bases, los indicadores están desgarrados, y la base permanece sin cambios.
Teorema 3. Para cualquier número pero y cualquier natural nORTE. y k. La igualdad es cierta:
Todos los teoremas listados eran aproximadamente títulos con la misma cuenca, en esta lección se considerarán grados con el mismo. indicadores.
Ejemplos para la multiplicación de grados con los mismos indicadores.
Considere los siguientes ejemplos:
Cortar expresiones para determinar el grado.
Producción: De los ejemplos puedes ver que 
Pero todavía tiene que demostrar. Formulamos el teorema y lo demuestremos en el caso general, es decir, para cualquier pero y b. y cualquier natural norte.
La redacción y prueba del teorema 4
Para cualquier número pero y b. y cualquier natural nORTE. La igualdad es cierta:
Evidencia Teorems 4. .
Por definición de grado:
Entonces, probamos que .
Para multiplicar los grados con los mismos indicadores, es suficiente para multiplicar las bases, y el indicador de grado no se modifica.
La redacción y prueba del teorema 5
Formulamos el teorema para dividir los grados con los mismos indicadores.
Para cualquier número pero y b () y cualquier natural nORTE. La igualdad es cierta:
Evidencia Teorems 5. .
Enfermo y por definición del grado:
La redacción por teorema de las palabras.
Entonces, hemos demostrado que.
Para dividirse entre sí con los mismos indicadores, es suficiente dividir una base a otra, y el indicador de grado no se modifica.
Solución de tareas típicas utilizando el teorema 4.
Ejemplo 1: Presente en forma de un trozo de grados.
Para resolver los siguientes ejemplos, usamos el Teorema 4.
Para resolver el siguiente ejemplo, recordemos la fórmula:
Generalización del teorema 4.
Generalización del teorema 4:
Solución de ejemplos con la ayuda del teorema generalizado 4.
Solución continua de tareas típicas.
Ejemplo 2: Escribe en forma de un grado de trabajo.
Ejemplo 3: Escriba en forma de grado con un indicador 2.
Ejemplos de cálculo
Ejemplo 4: Calcule lo más racional.
2. Merzlyak a.g., Polonsky v.B., Yakir M.S. Algebra 7. M.: Gráfico de Ventana
3. Kolyagin yu.m., Tkachev M.V., Fedorova N.E. y otros. Algebra 7 .m.: Ilustración. 2006
2. Ayudante escolar (fuente).
1. Presente en forma de un trabajo de títulos:
pero) ; B); a) ; D);
2. Registre el trabajo como un grado:
3. Anote en forma de grado con un indicador 2:
4. Calcule lo más racional.
Lección de matemáticas sobre el tema "Multiplicación y división de grados"
Secciones: Matemáticas
Objetivo pedagógico:
Tareas:
Unidades de actividad de ejercicio: determinación de un indicador natural; componentes de grado; definición de privado; La ley combinada de la multiplicación.
I. Organización de la demostración que domina el conocimiento de los estudiantes. (paso 1)
a) Actualización del conocimiento:
2) Formular la determinación del grado con el indicador natural.
a n \u003d a a a a a ... a (n veces)
b k \u003d b b b b b a ... b (k veces) justifique la respuesta.
II. Organización del autoexamen del grado capacitado de propiedad de la experiencia actual. (paso 2)
Prueba de autoprueba: (trabajo individual en dos versiones).
A1) Prepare una pieza de 7 7 7 7 x x x en forma de grado:
A2) presente en forma de producto (-3) 3 x 2
A3) Calcular: -2 3 2 + 4 5 3
El número de tareas en la prueba I Seleccione de acuerdo con la preparación del nivel de clase.
A la prueba, le doy una clave para la autoprueba. Criterios: comienzo, no de pie.
III. Tarea educativa y práctica (Paso 3) + Paso 4. (Formule las propiedades de los propios estudiantes)
Durante la solución del problema 1) y 2), los estudiantes ofrecen una decisión, y yo, como maestro, organizando una clase para encontrar un método para simplificar los grados al multiplicarse con las mismas bases.
Maestro: inventar una forma de simplificar los grados al multiplicarse con las mismas bases.
Aparece una entrada en el clúster:
El tema de la lección está formulado. Multiplicación de grados.
Maestro: inventar la regla de la división de grado con las mismas bases.
Razonamiento: ¿Qué acción está revisada la división? A 5: y 3 \u003d? que un 2 A 3 \u003d A 5
Volviendo al esquema: el clúster y complemento la grabación - ... deducción por restar y agregar el tema de la lección. ... y dividiendo los grados.
IV. Mensaje a los estudiantes de los límites del conocimiento (al menos y como máximo).
Maestro: La tarea de un mínimo para la lección de hoy es aprender a aplicar las propiedades de la multiplicación y los grados divididos con las mismas bases, y el máximo: aplicar la multiplicación y la división.
En la pizarra están escritos : A M y N \u003d A M + N; A M: A N \u003d A M-N
V. Organización del estudio de un nuevo material. (paso 5)
a) En el libro de texto: №403 (a, b, d) tareas con diferente redacción
№404 (A, D, E) Trabajo independiente, luego organiza una prueba mutua, le doy las llaves.
b) ¿Con qué valor m es la igualdad? un 16 a m \u003d a 32; x H x 14 \u003d x 28; x 8 (*) \u003d x 14
Tarea: Sube con ejemplos similares para la división.
c) № 417 (a), №418 (a) Trampas para estudiantes: x 3 x n \u003d x 3n; 3 4 3 2 \u003d 9 6; A 16: A 8 \u003d A 2.
Vi. La generalización de los trabajos de diagnóstico estudiados, que alientan a los estudiantes, y no los maestros estudian este tema) (Paso 6)
Trabajo diagnóstico.
Prueba (Ponga las llaves en la parte posterior de la prueba).
Opciones de objeto: Presente en forma de un grado de privado x 15: x 3; Preparar el producto (-4) 2 (-4) 5 (-4) 7; Con el que m es la igualdad un 16 a m \u003d a 32; Encuentre el valor de la expresión H 0: H 2 en H \u003d 0.2; Calcule el valor de expresión (5 2 5 0): 5 2.
El resultado de la lección. Reflexión. Comparto una clase en dos grupos.
Encuentre los argumentos del grupo I: a favor del conocimiento de las propiedades del grado, y el grupo II son argumentos que dirán que puede hacer sin propiedades. Todas las respuestas están escuchando, dibujamos conclusiones. En las lecciones posteriores, es posible ofrecer datos estadísticos y llamar a la rúbrica "¡No encaja en la cabeza!"
Vii. Tarea.
Referencia histórica. ¿Qué números se llaman números de granja?
P.19. №403, №408, №417
Libros usados:
Propiedades de los grados, redacción, evidencia, ejemplos.
Después de determinar el número del número, es lógico hablar propiedades del título. En este artículo, daremos las propiedades básicas del grado del número, al mismo tiempo que apliquen todas las tasas de grado posibles. Aquí también le damos la evidencia de todas las propiedades del grado, así como muestran cómo se aplican estas propiedades al resolver ejemplos.
Navegando.
Propiedades de los grados con indicadores naturales.
Al determinar el grado con un indicador natural, el grado de A N es un producto de los multiplicadores, cada uno de los cuales es A. Empujando esta definición, así como el uso propiedades multiplicando números válidos., puedes conseguir y justificar lo siguiente propiedades del grado con un indicador natural.:
- si A\u003e 0, entonces A N\u003e 0 para cualquier NATURAL N;
- si A \u003d 0, entonces A N \u003d 0;
- si un 2 · m\u003e 0, si un 2 · M-1 N;
- si M y N son tales números naturales que m\u003e n, entonces, a 0m n, y en A\u003e 0 es la verdadera desigualdad a M\u003e a n.
- a m · a n \u003d a m + n;
- a M: A N \u003d A M-N;
- (a · b) n \u003d a n · b n;
- (A: b) n \u003d a n: b n;
- (a m) n \u003d a m · n;
- si n es un número positivo entero, A y B - números positivos, y un n y a -n\u003e b -n;
- si M y N son enteros, y m\u003e N, luego a 0m n, y en A\u003e 1, se realiza la desigualdad a M\u003e a n.
Tenga en cuenta inmediatamente que toda la igualdad registrada es idéntico Al cumplir con estas condiciones, y sus partes derecha e izquierda se pueden cambiar en lugares. Por ejemplo, la propiedad principal de las fracciones A M · a n \u003d A M + N simplificar expresiones A menudo se usa como m + n \u003d a m · a n.
Ahora considera cada uno de ellos en detalle.
Comencemos con las propiedades del trabajo de dos grados con las mismas bases llamadas la propiedad principal de la licenciatura.: Para cualquier número real a y cualquier número natural M y N, la igualdad A M · a n \u003d A M + N es válida.
Probamos la propiedad básica del grado. Por definición de grado con un indicador natural, el producto de grados con las mismas bases del formulario A M · A N se puede escribir como un trabajo 
. En virtud de las propiedades de multiplicación, la expresión obtenida se puede escribir como 
, Y este producto es el grado de número A con un indicador natural M + N, es decir, una m + n. Esta es la prueba completada.
Damos un ejemplo confirmando la propiedad básica del grado. Tome grados con las mismas bases 2 y los grados naturales 2 y 3, de acuerdo con la propiedad principal del grado, puede registrar la igualdad 2 2 · 2 3 \u003d 2 2 + 3 \u003d 2 5. Compruebe su justicia, para lo cual calculo los valores de las expresiones 2 2 · 2 3 y 2 5. Realización de la construcción de la extensión, tenemos 2 2 · 2 3 \u003d (2 · 2) · (2 \u200b\u200b· 2 · 2) \u003d 4 · 8 \u003d 32 y 2 5 \u003d 2 · 2 · 2 · 2 · 2 \u003d 32, a medida que resulta valores iguales, entonces la igualdad 2 2 · 2 3 \u003d 2 5 - correcta, y confirma la propiedad principal del grado.
La propiedad principal del grado en función de las propiedades de la multiplicación se puede generalizar en el trabajo de tres y más grados con las mismas bases y indicadores naturales. Por lo tanto, para cualquier número K Natural Número N 1, N 2, ..., N K, la igualdad A N 1 · A N 2 · ... · A N K \u003d A N 1 + N 2 + ... + N K.
Por ejemplo, (2.1) 3 · (2.1) 3 · (2,1) 4 · (2,1) 7 \u003d (2.1) 3 + 3 + 4 + 7 \u003d (2,1) 17.
Puede moverse a la siguiente propiedad de grados con un indicador natural. propiedad de títulos privados con los mismos terrenos.: Para cualquier número diferente de número válido A y números naturales arbitrarios M y N, satisfaciendo la condición M\u003e N, la igualdad A M: A n \u003d A M-N es cierta.
Antes de llevar la prueba de esta propiedad, discutiremos el significado de condiciones adicionales en la redacción. Condición A ≠ 0 es necesaria para evitar dividirse a cero, como 0 n \u003d 0, y cuando se encuentra con la división, acordamos que es imposible dividir a cero. La condición M\u003e N se introduce para que no vayamos más allá del alcance de los indicadores naturales. De hecho, en M\u003e N, el grado de AM-N es un número natural, de lo contrario, será cero (que está sucediendo en M-N) o un número negativo (que está sucediendo en MM-N · AN \u003d A (M-N) + N \u003d am. De la igualdad obtenida AM-N · AN \u003d AM y de la conexión de la multiplicación con la división, se deduce que AM-N es de los grados privados y un. Esto es probado por la propiedad de los títulos privados con el las mismas bases.
Damos un ejemplo. Tome dos grados con las mismas bases π y indicadores naturales 5 y 2, el grado considerado del grado corresponde a la igualdad π 5: π 2 \u003d π 5-3 \u003d π 3.
Ahora considerar propiedad de un trabajo: El grado natural N del trabajo de dos números reales A y B es igual al producto de los grados A N y B N, es decir, (a · b) n \u003d a n · b n.
De hecho, al determinar el grado con un indicador natural que tenemos 
. El último trabajo sobre la base de las propiedades de multiplicación se puede reescribir como 
Como igual a un n · b n.
Damos un ejemplo: 
.
Esta propiedad se extiende hasta el grado de producto de tres y más multiplicadores. Es decir, la propiedad del grado natural n las obras de los multiplicadores se registran como (1 · a 2 · ... · a k) n \u003d A 1 N · A 2 N · ... · A K N.
Para mayor claridad, mostraremos esta propiedad en el ejemplo. Para el trabajo de tres factores en el grado 7 que tenemos.
La siguiente propiedad es propiedad privada en especie: Los números válidos privados A y B, B ≠ 0 a grado natural N es igual a los grados privados a n y b n, es decir, (a: b) n \u003d a n: b n.
La prueba se puede realizar utilizando la propiedad anterior. Así (a: b) n · bn \u003d ((a: b) · b) n \u003d an, y de igualdad (A: b) n · bn \u003d a sigue que (A: b) n es privado de dividir un Bn.
Escribimos esta propiedad en el ejemplo de números específicos: 
.
Ahora expresado título en grado: Para cualquier número real A y cualquier número natural M y N, el grado de un M al grado N es igual al grado de número A con un indicador M · N, es decir, (A M) n \u003d A M · n.
Por ejemplo, (5 2) 3 \u003d 5 2 · 3 \u003d 5 6.
La prueba de la propiedad del grado es la siguiente cadena de igualdad: 
.
La propiedad considerada se puede extender hasta un grado en grado al grado, etc. Por ejemplo, para cualquier número natural P, Q, R y S. Igualdad es justo 
. Para mayor claridad, le damos un ejemplo con números específicos: ((((((((((((((((((5,2) 3) 2) 5 \u003d (5.2) 3 + 2 + 5 \u003d (5.2) 10.
Queda por permanecer en las propiedades de la comparación de títulos con un indicador natural.
Comencemos con la prueba de las propiedades de la comparación cero y el grado con el indicador natural.
Para empezar, justificamos que un N\u003e 0 para cualquier A\u003e 0.
El producto de dos números positivos es un número positivo que sigue de la definición de multiplicación. Este hecho y las propiedades de multiplicación sugieren que el resultado de multiplicar cualquier número de números positivos también será un número positivo. Y el grado de número A con un indicador natural N por definición es un producto de N multiplicadores, cada uno de los cuales es A. Estos argumentos sugieren que para cualquier base positiva, un grado A n, hay un número positivo. En virtud de la propiedad comprobada 3 5\u003e 0, (0.00201) 2\u003e 0 y 
.
Es bastante obvio que para cualquier N natural en A \u003d 0 Grado A N es cero. De hecho, 0 n \u003d 0 · 0 · ... · 0 \u003d 0. Por ejemplo, 0 3 \u003d 0 y 0 762 \u003d 0.
Ir a los fundamentos negativos del grado.
Comencemos con el caso cuando el indicador de grado es un número par, lo denotamos como 2 · M, donde M es natural. Luego 
. De acuerdo con la regla de la multiplicación de números negativos, cada una de las obras de la forma A · A es igual al producto de los módulos de los números A y A, lo que significa que es un número positivo. En consecuencia, el trabajo será positivo. 
y grado A 2 · m. Damos ejemplos: (-6) 4\u003e 0, (-2.2) 12\u003e 0 y.
Finalmente, cuando la base de grado A es un número negativo, y el indicador del grado es un número impar 2 · M-1, entonces 
. Todos los trabajos A · A son números positivos, el producto de estos números positivos también es positivo, y su multiplicación al número negativo restante A como resultado de un número negativo. En virtud de esta propiedad (-5) 3 17 n N, es un producto de las partes de izquierda y derecha de las desigualdades fieles a las propiedades de las desigualdades son justas y demuestran la desigualdad de la forma a n n. Por ejemplo, debido a esta propiedad, las desigualdades 3 7 7 son válidas 
.
Queda por probar la última de las propiedades enumeradas de los grados con indicadores naturales. Palabra De dos grados con indicadores naturales y los mismos motivos positivos que son más pequeños que las unidades, la más grande es menor que; Y de dos grados con indicadores naturales y las mismas bases, unidades grandes, más que el grado, cuyo indicador es mayor. Ir a la prueba de esta propiedad.
Probamos que en M\u003e n y 0m n. Para hacer esto, escribimos la diferencia un M-N y lo comparamos con cero. La diferencia registrada después de hacer un N por soportes tomará el formulario A N · (A M-N -1). El producto resultante es negativo como producto del número positivo de un número y el número negativo AM-N -1 (A es positivo como el grado natural de un número positivo, y la diferencia AM-N -1 es negativa, desde MN\u003e 0 se debe a la condición original M\u003e N, donde se deduce que a 0m-N menos de uno). En consecuencia, A M -A N M N, que se requirió para probar. Por ejemplo, le damos la desigualdad fiel.
Queda por probar la segunda parte de la propiedad. Probemos que en M\u003e N y A\u003e 1, A M\u003e a n es cierto. La diferencia A M -A N después de hacer una N para paréntesis toma el formulario A N · (A M-N -1). Este producto es positivo, ya que en A\u003e 1 grado, un número positivo, y la diferencia AM-N -1 es un número positivo, desde MN\u003e 0 debido a la condición inicial, y en A\u003e 1 grado de AM -n más unidades. En consecuencia, A M -A N\u003e 0 y A M\u003e A N, que se requirió para probar. La ilustración de esta propiedad sirve la desigualdad 3 7\u003e 3 2.
Propiedades de los grados con indicadores enteros.
Dado que los números positivos completos son los números naturales, entonces todas las propiedades de los grados con indicadores de enteros positivos coinciden exactamente con las propiedades de los grados con indicadores naturales enumerados y probados en el párrafo anterior.
El grado con un indicador entero negativo, así como el grado con el indicador cero, determinamos para que todas las propiedades de los grados con indicadores naturales sean válidos, expresados \u200b\u200bpor igualdad. Por lo tanto, todas estas propiedades son válidas para el grado cero, y para los indicadores negativos, mientras que, por supuesto, las bases de los grados son diferentes de cero.
Por lo tanto, para cualquier número válido y diferente de números A y B, así como cualquier enteros M y N son los siguientes propiedades de los grados con indicadores enteros.:
A A \u003d 0 grados A M y A N, tiene sentido solo cuando m, y n enteros positivos, es decir, números naturales. Por lo tanto, las propiedades recién registradas también son válidas para los casos cuando A \u003d 0, y los números M y N son enteros positivos.
No es difícil probar cada una de estas propiedades, es suficiente utilizar las definiciones del grado con un número natural y entero, así como las propiedades de las acciones con números válidos. Por ejemplo, demostramos que la propiedad de grado se realiza tanto para números positivos completos como para números integrales. Para hacer esto, es necesario mostrar que si P es cero o un número natural y Q es cero o un número natural, entonces la igualdad (AP) Q \u003d AP · Q, (A -p) Q \u003d A (-p) · Q, (AP) -Q \u003d AP · (-Q) y (A -p) -Q \u003d A (-p) · (-Q). Vamos a hacerlo.
Para P y Q positivos, la igualdad (A P) Q \u003d A P · q se demuestra en el párrafo anterior. Si P \u003d 0, entonces tenemos (A 0) Q \u003d 1 Q \u003d 1 y A 0 · Q \u003d A 0 \u003d 1, de donde (A 0) Q \u003d A 0 · Q. De manera similar, si Q \u003d 0, entonces (A P) 0 \u003d 1 y A P · 0 \u003d A 0 \u003d 1, de donde (A P) 0 \u003d A P · 0. Si, y P \u003d 0 y Q \u003d 0, entonces (A 0) 0 \u003d 1 0 \u003d 1 y A 0 · 0 \u003d A 0 \u003d 1, de donde (A 0) 0 \u003d A 0 · 0.
Ahora probamos que (a -p) q \u003d a (-p) · q. Para determinar el grado con un indicador integral, entonces 
. Por la propiedad de privado en la medida en que tenemos 
. Dado que 1 p \u003d 1 · 1 · ... · 1 \u003d 1 y, entonces. La última expresión por definición es el grado de tipo A - (P · Q), que, en virtud de las reglas de multiplicación, se puede escribir como un (-p) · q.
similar 
.
Y 
.
En el mismo principio, puede probar todas las demás propiedades del grado con un entero registrado en forma de igualdad.
En la penúltima de las propiedades registradas, vale la pena quedarse en la prueba de una desigualdad de A -N\u003e B-N, que es válida para cualquier negativo entero, y cualquier A y B de positivo, para el cual la condición A está satisfecha. . Escribimos y transformamos la diferencia entre las partes izquierda y derecha de esta desigualdad: 
. Como bajo la condición A n n, por lo tanto, b n -A n\u003e 0. El producto A N · B N también es positivo como un producto de números positivos a N y B n. Luego, la fracción resultante es positiva como los números positivos privados B N-N y A N · B n. Por lo tanto, desde donde A -N\u003e B -N, que se requirió para probar.
La última propiedad de los títulos con indicadores enteros se prueba de la misma manera que una propiedad similar de títulos con indicadores genuinos.
Las propiedades de los grados con indicadores racionales.
Determinamos el grado con un indicador fraccional mediante la propagación de las propiedades del grado con un entero. En otras palabras, los grados con indicadores fraccionarios tienen las mismas propiedades que los grados con indicadores enteros. A saber:
- propiedad de la obra de títulos con las mismas bases.
en A\u003e 0, y si, entonces, en A≥0; - propiedad de grado privado con motivos idénticos
en A\u003e 0; - propiedad del trabajo en grado fraccionado.
en A\u003e 0 y B\u003e 0, y si, en A≥0 y (o) B≥0; - propiedad privada en grado fraccionado.
en A\u003e 0 y B\u003e 0, y si, en A≥0 y B\u003e 0; - la licenciatura
en A\u003e 0, y si, entonces, en A≥0; - la comparación de títulos con indicadores iguales racionales: para cualquier número positivo A y B, a 0 bastante desigualdad a p p, y en P p\u003e b p;
- las propiedades de la comparación de títulos con indicadores racionales y bases iguales: para números racionales P y Q, P\u003e Q a 0p Q, y en A\u003e 0 - Desigualdad A P\u003e A q.
- a p · a q \u003d a p + q;
- a P: A Q \u003d A P-Q;
- (a · b) p \u003d a p · b p;
- (A: B) P \u003d A P: B P;
- (A P) Q \u003d A P · Q;
- para cualquier número positivo A y B, a 0 bastante desigualdad a p p, y en P p\u003e b p;
- para los números irracionales P y Q, P\u003e Q a 0p Q, y en A\u003e 0 - Desigualdad A P\u003e A q.
La prueba de las propiedades de los grados con indicadores fraccionarios se basa en la determinación del grado con un indicador fraccional, en las propiedades de la raíz aritmética de N-essential y en las propiedades de grado con un entero. Damos pruebas.
Para determinar el grado con un indicador fraccionario y, entonces 
. Las propiedades de la raíz aritmética nos permiten anotar las siguientes igualdad. A continuación, utilizando la propiedad del grado con el entero, obtenemos de dónde determinar el grado con un indicador fraccionario que tenemos 
Y el indicador del grado obtenido se puede transformar de la siguiente manera :. Esta es la prueba completada.
Absolutamente, muestra de manera similar la segunda propiedad de títulos con indicadores fraccionarios: 
Para principios similares, el resto de la igualdad se pruebe: 
Ir a la prueba de la próxima propiedad. Probamos que para cualquier A y B, un 0 bastante desigualdad a p p, y en P p\u003e b p. Escribimos el número racional P como m / n, donde M es un número entero, y n es natural. Las condiciones P 0 en este caso serán equivalentes a las condiciones M 0, respectivamente. Con m\u003e 0 y soy m. De esta desigualdad a las propiedades de las raíces que tenemos, y dado que A y B son números positivos, entonces sobre la base de determinar el grado con un indicador fraccional, la desigualdad obtenida puede reescribirse como, es decir, una p p.
De manera similar, en M M\u003e B M, desde donde, es decir, y una p\u003e b p.
Queda por probar lo último de las propiedades enumeradas. Probemos que para los números racionales P y Q, P\u003e Q en 0p Q, y en A\u003e 0 - Desigualdad A P\u003e A q. Siempre podemos llevar a un denominador común. Números racionales P y Q, incluso si obtenemos fracciones ordinarias y, donde M 1 y M 2 son enteros, y n es natural. En este caso, la condición p\u003e q corresponderá a la condición M 1\u003e M 2, que se desprende de la regla de comparación de fracciones ordinarias con los mismos denominadores. Luego, de acuerdo con la propiedad de la comparación de títulos con las mismas bases y indicadores naturales a 0m 1 M 2, y en A\u003e 1 - desigualdad a m 1\u003e a m 2. Estas desigualdades en las propiedades de las raíces se pueden reescribir de acuerdo con 
y 
. Y la determinación del grado con un indicador racional le permite pasar a las desigualdades y, en consecuencia. Desde aquí realizamos la conclusión final: en P\u003e Q y 0P Q, y en A\u003e 0 - Desigualdad A P\u003e A q.
Propiedades de los grados con indicadores irracionales.
A partir de cómo se determina el grado con un indicador irracional, se puede concluir que tiene todas las propiedades de los grados con indicadores racionales. Entonces, para cualquier A\u003e 0, B\u003e 0 y los números irracionales P y Q son los siguientes propiedades de los grados con indicadores irracionales.:
Desde aquí, podemos concluir que los títulos con los parámetros válidos P y Q en A\u003e 0 tienen estas mismas propiedades.
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Primer nivel
El grado y las propiedades. Guía exhaustiva (2019)
¿Por qué eres necesario? ¿Dónde vendrán a usted? ¿Por qué necesitas dedicar tiempo a su estudio?
Para averiguar todo sobre los grados, lo que necesitan sobre cómo usar su conocimiento en la vida cotidiana, lea este artículo.
Y, por supuesto, el conocimiento de los títulos lo acercará más a la exitosa rendición de OGE o el EGE y para ingresar a la universidad de sus sueños.
Vamos a ir ... (¡condujo!)
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PRIMER NIVEL
El ejercicio es la misma operación matemática como la adición, la resta, la multiplicación o la división.
Ahora explicaré todo el idioma humano en ejemplos muy simples. Ten cuidado. Ejemplos de elementos elementales, pero explicando cosas importantes.
Vamos a empezar con adición.
No hay nada que explicar aquí. Todos ustedes lo saben todo: somos ocho personas. Todos tienen dos botellas de cola. ¿Cuánto cuesta la cola? Derecha - 16 botellas.
Ahora multiplicación.
El mismo ejemplo con una cola se puede registrar de manera diferente :. Matemáticas - personas astutas y perezosas. Primero notan algunos patrones, y luego inventan la forma en que "contar" más rápido. En nuestro caso, notaron que cada una de las ocho personas tenía el mismo número de botellas de cola y se le ocurrió una recepción llamada multiplicación. De acuerdo, se considera más fácil y más rápido que.
Entonces, para leer más rápido, más fácil y sin errores, solo necesitas recordar multiplicación de mesa. ¡Por supuesto, puedes hacer todo lo más lento, más difícil y errores! Pero…
Aquí está la tabla de multiplicación. Repetir.
Y el otro, más hermoso:
¿Y qué otros trucos se les ocurrió matemáticos perezosos? Derecha - erección.
Erección
Si necesita multiplicar el número para usted cinco veces, entonces las matemáticas dicen que necesita construir este número en el quinto grado. Por ejemplo, . Las matemáticas recuerdan que dos en el quinto grado es. Y resuelven tales tareas en la mente, más rápidas, más fáciles y sin errores.
Para esto solo necesitas recuerda lo que se resalta en color en la tabla de grados de números.. Lo creas, facilitará enormemente tu vida.
Por cierto, por qué se llama el segundo grado. cuadrado Números, y el tercero - cuba? ¿Qué significa? Muy buena pregunta. Ahora habrá para ti y a los cuadrados, y Cuba.
Ejemplo de la vida número 1
Empecemos con un cuadrado o de un segundo grado de número.
Imagine una piscina cuadrada de tamaño medidor en un metro. La piscina está en tu dacha. Calentar y realmente quiero nadar. Pero ... Piscina sin la parte inferior! Necesitas almacenar la parte inferior de las baldosas de la piscina. ¿Cuánto necesitas azulejos? Para determinar esto, debe descubrir el área de la parte inferior de la piscina.
Simplemente puede calcular, con un dedo, que la parte inferior de la piscina consiste en un medidor de cubos por metro. Si tiene un metro para el medidor, deberá hacer pedazos. Es fácil ... pero ¿dónde viste tal baldosa? Es más probable que la baldosa vea para ver y luego "dedo para contar" la tortura. Entonces tienes que multiplicar. Entonces, en un lado de la parte inferior de la piscina, nos ajustamos a los azulejos (piezas) y en el otro demasiado azulejos. Multiplicando, obtendrá azulejos ().
¿Notaste que para determinar el área de la parte inferior de la piscina, multiplicamos el mismo número por ti mismo? ¿Qué significa? Esto se multiplica por el mismo número, podemos aprovechar la "erección del exterminio". (Por supuesto, cuando solo tiene dos números, multiplíquelos o levántelos en el grado. Pero si tiene muchos de ellos, es mucho más fácil elevarlos en términos de cálculos, demasiado menos. Para el examen, es muy importante).
Así que a treinta al segundo grado (). O podemos decir que treinta en la plaza será. En otras palabras, el segundo grado de número siempre se puede representar como un cuadrado. Y por el contrario, si ves un cuadrado, siempre es el segundo grado de algún número. Cuadrado es la imagen de un número de segundo grado.
Ejemplo de la vida número 2
Aquí está la tarea, cuenta con cuántos cuadrados en un tablero de ajedrez con un cuadrado del número ... en un lado de las células y, por otro lado, también. Para calcular su cantidad, debe multiplicar ocho o ... si observa que el tablero de ajedrez es un cuadrado del lado, entonces puede construir ocho por cuadrado. Resulta las celdas. () ¿Entonces?
Ejemplo de la vida número 3
Ahora un cubo o el tercer grado de número. La misma piscina. Pero ahora necesitas saber cuánta agua tendrá que completar esta piscina. Necesitas contar el volumen. (Volúmenes y líquidos, por cierto, se miden en metros cúbicos. De repente, ¿de verdad?) Dibuja una piscina: parte inferior del tamaño del medidor y una profundidad de metros y trata de contar cuánto cubos el tamaño del medidor en el medidor Ingrese su piscina.
¡Derecho muestra tu dedo y cuenta! Una vez, dos, tres, cuatro ... veintidós, veintitrés ... ¿cuánto sucedió? ¿No bajó? ¿Difícil contar tu dedo? ¡De modo que! Toma un ejemplo de los matemáticos. Son perezosos, por lo tanto, notaron que para calcular el volumen de la piscina, es necesario multiplicarse mutuamente en longitud, ancho y altura. En nuestro caso, el volumen de la piscina será igual a los cubos ... ¡es más fácil para la verdad?
Y ahora imagina, por lo que las matemáticas son perezosas y astutas, si se simplifican. Traído a todos a una acción. Se dieron cuenta de que la longitud, la anchura y la altura son iguales y que el mismo número varanimes en sí mismo ... ¿Y qué significa esto? Esto significa que puede aprovechar el grado. Entonces, ¿qué pensaste con tu dedo, lo hacen en una acción: tres en Cuba es igual? Esto está escrito así :.
Sólo permanece recuerde títulos de mesa. Si eres, por supuesto, el mismo perezoso y astuto que matemáticas. Si te gusta trabajar mucho y cometer errores, puedes continuar contando tu dedo.
Bueno, para finalmente convencerte de que los títulos se les ocurrió lodii y cunnies para resolver sus problemas de vida, y no crear problemas, aquí hay otro par de ejemplos de la vida.
Ejemplo de la vida número 4
Tienes un millón de rublos. Al comienzo de cada año, obtienes cada millón de otros millones. Es decir, cada millón se duplicará al comienzo de cada año. ¿Cuánto dinero tendrás en los años? Si estás sentado ahora y "piensas tu dedo", entonces eres una persona muy trabajadora y ... estúpida. Pero lo más probable es que respondas en un par de segundos, ¡porque eres inteligente! Entonces, en el primer año, dos multiplicó dos ... en el segundo año, lo que sucedió, otros dos, en el tercer año ... ¡Parada! Notó que el número se multiplica. Entonces, dos en el quinto grado, un millón! Y ahora imagina que tienes una competencia y estos millones recibirán el que encontrará más rápido ... vale la pena recordar el grado de número, ¿qué piensas?
Ejemplo de la vida número 5
Tienes un millón. Al comienzo de cada año, obtienes cada millón dos más. ¿Gran verdad? Cada millón de triples. ¿Cuánto dinero tendrás después de un año? Contemos. El primer año es multiplicarse, entonces el resultado todavía está encendido ... ya aburrido, porque ya lo ha entendido todo: tres se multiplican por sí mismo. Por lo tanto, el cuarto grado es igual a un millón. Solo es necesario recordar que tres en el cuarto grado son o.
Ahora, usted lo sabe con la ayuda de la erección del número, facilitará enormemente su vida. Veamos junto a lo que puede hacer con los grados y lo que necesita saber sobre ellos.
Términos y conceptos ... para no confundirse
Entonces, para empezar, definamos los conceptos. Qué opinas, ¿Cuál es el indicador del grado?? Es muy simple: este es el número que está "en la parte superior" del grado de número. No científicamente, pero es claro y fácil de recordar ...
Bueno, al mismo tiempo que tal grado de fundación? Incluso más fácil, este es el número que está a continuación, en la base.
Aquí hay un dibujo para la lealtad.
Bueno, en general, para resumir y recordar mejor ... el grado con la base "" y el indicador "" se lee como "a grado" y se escribe de la siguiente manera:
El grado de número con un indicador natural.
Ya probablemente lo adivinas: porque el indicador es un número natural. Si, pero que es número natural? ¡Elemental! Naturales Estos son los números que se utilizan en la cuenta al listar los elementos: uno, dos, tres ... nosotros, cuando consideramos artículos, no digamos: "menos cinco", "menos seis", "menos siete". Tampoco decimos: "un tercio", o "cero de todo, cinco décimas". Estos no son números naturales. ¿Y qué crees estos números?
Números como "menos cinco", "menos seis", "menos siete" pertenecen a números enteros. En general, a los números enteros incluyen todos los números naturales, los números son opuestos a los naturales (es decir, tomados con un signo menos), y el número. Cero entender fácilmente: esto es cuando nada. ¿Y qué significan números negativos ("menos")? Pero se inventaron principalmente para designar deudas: Si tiene un saldo en el número de teléfono, significa que debe operador rublos.
Todo tipo de fracciones son números racionales. ¿Cómo surgieron, qué piensas? Muy simple. Hace varios miles de años, nuestros antepasados \u200b\u200bencontraron que carecen de números naturales para medir el largo, el peso, el cuadrado, etc. Y ellos inventaron numeros racionales... Me pregunto si es verdad?
También hay números irracionales. ¿Cual es este numero? Si es corto, entonces una fracción decimal infinita. Por ejemplo, si la longitud de la circunferencia se divide en su diámetro, entonces será el número irracional.
Resumen:
Definimos el concepto de grado, cuyo indicador es un número natural (es decir, un todo y positivo).
- Cualquier número en el primer grado igualmente a sí mismo:
- Evalúe el número en el cuadrado: significa multiplicarlo por sí mismo:
- Evalúe el número en el cubo: significa multiplicarlo por sí mismo tres veces:
Definición. Evalúe el número en un grado natural: significa multiplicar el número de todos los tiempos para usted:
.
Propiedades de los grados
¿De dónde vienen estas propiedades? Te mostraré ahora.
Veamos: ¿Qué es? y ?
Por definición:
¿Cuántos multiplicadores hay aquí?
Muy simple: completamos multiplicadores a multiplicadores, resultó los factores.
Pero, por definición, este es el grado de un número con un indicador, es decir, que, que fue necesario probar.
Ejemplo: Simplifica la expresión.
Decisión:
Ejemplo: Simplifica la expresión.
Decisión: Es importante notar que en nuestra regla. antes ¡Debe ser la misma base!
Por lo tanto, combinamos títulos con la base, pero sigue siendo un multiplicador separado:
¡Solo para el trabajo de títulos!
En ningún caso no puede escribir eso.
2. Eso es El grado de número
Al igual que con la propiedad anterior, nos dirigimos a la definición del grado:
Resulta que la expresión se multiplica por sí misma una vez, es decir, de acuerdo con la definición, esta es, hay un número de número:
De hecho, esto se puede llamar "el indicador para los soportes". Pero nunca puede hacerlo en la cantidad:
Recordemos la fórmula de la multiplicación abreviada: ¿Cuántas veces queríamos escribir?
Pero es incorrecto, porque.
Negativo
Hasta este punto, solo discutimos lo que debería ser el indicador.
Pero, ¿cuál debería ser la base?
En los grados de S. indicador natural La base puede ser cualquier número. Y la verdad, podemos multiplicarnos mutuamente cualquier número, ya sea que sean positivos, negativos o incluso.
Pensemos en qué signos ("o" ") tendrán los grados de números positivos y negativos.
Por ejemplo, un número positivo o negativo? ¿PERO? ? Con el primero, todo está claro: ¿cuántos números positivos no estamos multiplicados entre sí, el resultado será positivo?
Pero con negativo un poco más interesante. Después de todo, recordamos una regla simple de grado 6: "Menos para menos, da una ventaja". Eso es, o. Pero si nos multiplicamos, funcionará.
Determine de manera independiente, qué firmes tendrán las siguientes expresiones:
| 1) | 2) | 3) |
| 4) | 5) | 6) |
¿Afrontar?
Aquí están las respuestas: en los primeros cuatro ejemplos, espero que todo sea comprensible? Simplemente mire la base e indicador, y aplique la regla correspondiente.
1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .
En el Ejemplo 5), todo tampoco es tan aterrador, como parece: No importa lo que sea igual a la base, el grado es incluso, lo que significa que el resultado siempre será positivo.
Bueno, con la excepción del caso cuando la base es cero. La razón no es igual? Obviamente no, porque (porque).
El ejemplo 6) ya no es tan simple!
6 ejemplos para la formación
Soluciones de 6 ejemplos.
Si no presta atención al octavo grado, ¿qué vemos aquí? Recuerda el programa de grado 7. Entonces, recordado? Esta es una fórmula para la multiplicación abreviada, a saber, la diferencia de cuadrados! Obtenemos:
Mira cuidadosamente el denominador. Él es muy similar a uno de los multiplicadores del numerador, pero ¿qué pasa? No es el procedimiento de los términos. Si los cambiarían en lugares, sería posible aplicar la regla.
¿Pero cómo hacer eso? Resulta muy fácil: el grado incluso de denominador nos ayuda.
Mágicamente, los componentes cambiaron en lugares. Este "fenómeno" es aplicable para cualquier expresión en un grado aún: podemos cambiar libremente los signos entre paréntesis.
Pero es importante recordar: todas las señales están cambiando al mismo tiempo.!
Volvamos por ejemplo:
Y otra vez la fórmula:
Entero Llamamos a los números naturales opuestos a ellos (es decir, tomados con el signo "") y el número.
número positivo completo, Y no difiere de lo natural, entonces todo se ve exactamente como en la sección anterior.
Y ahora consideremos nuevos casos. Vamos a empezar con un indicador igual a.
Cualquier número a cero igual a uno:
Como siempre, me preguntaremos: ¿Por qué es así?
Considere cualquier grado con la base. Tomemos, por ejemplo, y dominando:
Entonces, multiplicamos el número, y tuvimos lo mismo que era. ¿Y para qué número debe multiplicarse para que nada haya cambiado? Está bien. Entonces.
Podemos hacer lo mismo con un número arbitrario:
Repita la regla:
Cualquier número a cero igual a uno.
Pero de muchas reglas hay excepciones. Y aquí también hay un número (como base).
Por un lado, debe ser igual a cualquier medida: cuánto cero en sí no es multiplicado, aún consigue cero, está claro. Pero, por otro lado, como cualquier número en cero, debe ser igual. Entonces, ¿cuál es la verdad? Las matemáticas decidieron no unirse y se negaron a erigir cero a cero. Es decir, ahora no solo podemos dividirse en cero, sino también para construirlo a cero.
Vamos más lejos. Además de los números naturales y los números incluyen números negativos. Para entender qué grado negativo, haremos la última vez: domonadamente un número normal en el mismo a un grado negativo:
Desde aquí ya es fácil expresar lo deseado:
Ahora difundimos la regla resultante a un grado arbitrario:
Entonces, formulamos la regla:
El número es un grado negativo de nuevo al mismo número a un grado positivo. Pero al mismo tiempo la base no puede ser cero: (Porque es imposible dividir).
Vamos a resumir:
I. La expresión no se define en el caso. Si, entonces.
II. Cualquier número a cero es igual a uno :.
III. Un número que no es igual a cero, a un grado negativo de nuevo al mismo número a un grado positivo :.
Tareas para autoproducción:
Bueno, como de costumbre, ejemplos de auto soluciones:
Análisis de tareas para autoproducción:
Lo sé, lo sé, los números son terribles, ¡pero el examen debe estar listo para todo! ¡Comparta estos ejemplos o dispersa su decisión, si no pude decidir y aprenderá a hacer frente fácilmente a ellos en el examen!
Continúe ampliando el círculo de números, "adecuado" como indicador del grado.
Ahora considerar numeros racionales. ¿Qué números se llama racional?
Respuesta: Todo lo que se puede representar en forma de fracciones, donde y - enteros, y.
Para entender lo que es "Grado de carga", Considere la fracción:
Erigió ambas partes de la ecuación hasta el grado:
Ahora recuerda la regla sobre "Grado en Grado":
¿Qué número debe ser llevado al grado para obtener?
Esta formulación es la definición de grado raíz.
Permítanme recordarle: la raíz del número () se llama el número que es igual en el exterminio.
Es decir, el grado de raíz es una operación, revertir el ejercicio en el grado :.
Resulta que. Obviamente, este caso en particular se puede ampliar :.
Ahora agrega un numerador: ¿Qué es? La respuesta es fácil de obtener con la ayuda de la regla de "grado en grado":
¿Pero puede ser la razón alguna? Después de todo, la raíz no se puede extraer de todos los números.
¡Ninguno!
Recuerde la regla: cualquier número erigido en un grado uniforme es el número positivo. ¡Es decir, para extraer las raíces de un grado incluso de números negativos, es imposible!
Esto significa que es imposible construir tales números en un grado fraccional con un denominador uniforme, es decir, la expresión no tiene sentido.
¿Qué pasa con la expresión?
Pero hay un problema.
El número se puede representar en forma de DRGIH, fracciones reducidas, por ejemplo, o.
Y resulta que existe, pero no existe, pero son solo dos registros diferentes del mismo número.
U otro ejemplo: una vez, entonces puedes escribir. Pero vale la pena escribirnos de una manera diferente, y otra vez obtenemos una molestia: (es decir, ¡recibieron un resultado completamente diferente!).
Para evitar paradojas similares, consideramos. solo una base positiva de grado con indicador fraccionario..
Así que si:
- - número natural;
- - entero;
Ejemplos:
Los grados con el indicador racional son muy útiles para convertir expresiones con raíces, por ejemplo:
5 ejemplos para la formación
Análisis de 5 ejemplos para la formación.
Bueno, ahora, lo más difícil. Ahora lo entenderemos irracional.
Todas las reglas y propiedades de los grados aquí son exactamente los mismos que para un grado con un indicador racional, con la excepción.
Después de todo, por definición, los números irracionales son números que no pueden representarse en forma de una fracción, donde y - enteros (es decir, los números irracionales son todos los números válidos, excepto racional).
Al estudiar títulos con indicador natural, completo y racional, cada vez constituimos una cierta "imagen", "analogía", o una descripción en términos más familiares.
Por ejemplo, una cifra natural es un número, varias veces se multiplican por sí mismo;
...cero - Así es como se multiplicó el número por sí mismo una vez, es decir, aún no ha comenzado a multiplicarse, significa que el número en sí mismo ni siquiera ha aparecido, por lo tanto, el resultado es solo un cierto "número de palanquilla", a saber, el número;
...grado con un indicador completo. "Parecía haber ocurrido un cierto" proceso inverso ", es decir, el número no fue multiplicado por sí mismo, sino deli.
Por cierto, en la ciencia se usa a menudo con un indicador complejo, es decir, el indicador ni siquiera es un número válido.
Pero en la escuela no pensamos en tales dificultades, tendrá la oportunidad de comprender estos nuevos conceptos en el Instituto.
Donde estamos seguros de que lo harás! (Si aprendes a resolver tales ejemplos :))
Por ejemplo:
SOLIM usted mismo:
Escombros:
1. Comencemos con las reglas habituales para las Reglas de Ejercicio para nosotros:
Ahora mira el indicador. ¿No te recuerda nada? Recuerde la fórmula de la multiplicación abreviada. Diferencias cuadradas:
En este caso,
Resulta que:
Respuesta: .
2. Llevamos la fracción en los indicadores de títulos a la misma forma: tanto decimal como ambos ordinarios. Obtenemos, por ejemplo:
Respuesta: 16.
3. Nada especial, usamos las propiedades habituales de los grados:
NIVEL AVANZADO
Determinación del grado
El grado se llama la expresión de la forma: donde:
- — grado de grado;
- - Indicador.
El grado con el indicador natural (n \u003d 1, 2, 3, ...)
Construye un grado natural N: significa multiplicar el número para usted una vez:
El grado con el entero (0, ± 1, ± 2, ...)
Si un indicador del grado es software positivo número:
Construcción en cero grado:
La expresión es indefinida, porque, por un lado, en cualquier medida, es, y, en el otro, cualquier número de en grado es.
Si un indicador del grado es un todo negativo número:
(Porque es imposible dividir).
Una vez más sobre los ceros: la expresión no se define en el caso. Si, entonces.
Ejemplos:
Racional
- - número natural;
- - entero;
Ejemplos:
Propiedades de los grados
Para que sea más fácil resolver problemas, intentemos entender: ¿De dónde vienen estas propiedades? Los probamos.
Veamos: ¿Qué es qué?
Por definición:
Entonces, en la parte derecha de esta expresión, se obtiene un trabajo:
Pero por definición, este es el grado de un número con un indicador, es decir:
Q.E.D.
Ejemplo : Simplifica la expresión.
Decisión : .
Ejemplo : Simplifica la expresión.
Decisión : Es importante notar que en nuestra regla. antesdebe haber las mismas bases. Por lo tanto, combinamos títulos con la base, pero sigue siendo un multiplicador separado:
Otra nota importante: esta es una regla solo por el trabajo de títulos.!
En ningún caso al nervio para escribir eso.
Al igual que con la propiedad anterior, nos dirigimos a la definición del grado:
Regrupamos este trabajo como este:
Resulta que la expresión se multiplica por sí misma una vez, es decir, de acuerdo con la definición, esto es, por el grado de número:
De hecho, esto se puede llamar "el indicador para los soportes". Pero nunca puede hacer esto en la cantidad:!
Recordemos la fórmula de la multiplicación abreviada: ¿Cuántas veces queríamos escribir? Pero es incorrecto, porque.
Grado con una base negativa.
Hasta este punto, solo discutimos lo que debería ser índice la licenciatura. Pero, ¿cuál debería ser la base? En los grados de S. natural indicador La base puede ser cualquier número .
Y la verdad, podemos multiplicarnos mutuamente cualquier número, ya sea que sean positivos, negativos o incluso. Pensemos en qué signos ("o" ") tendrán los grados de números positivos y negativos.
Por ejemplo, un número positivo o negativo? ¿PERO? ?
Con el primero, todo está claro: ¿cuántos números positivos no estamos multiplicados entre sí, el resultado será positivo?
Pero con negativo un poco más interesante. Después de todo, recordamos una regla simple de grado 6: "Menos para menos, da una ventaja". Eso es, o. Pero si nos multiplicaremos (), resulta.
Y así, hasta el infinito: cada vez que la siguiente multiplicación cambie el signo. Las reglas simples se pueden formular:
- incluso Grado - Número positivo.
- Número negativo erigido en impar Grado - Número negativo.
- Un número positivo a cualquier grado es el número positivo.
- Cero a cualquier grado es cero.
Determine de manera independiente, qué firmes tendrán las siguientes expresiones:
| 1. | 2. | 3. |
| 4. | 5. | 6. |
¿Afrontar? Aquí están las respuestas:
1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .
En los primeros cuatro ejemplos, espero que todo esté claro. Simplemente mire la base e indicador, y aplique la regla correspondiente.
En el Ejemplo 5), todo tampoco es tan aterrador, como parece: No importa lo que sea igual a la base, el grado es incluso, lo que significa que el resultado siempre será positivo. Bueno, con la excepción del caso cuando la base es cero. La razón no es igual? Obviamente no, porque (porque).
El ejemplo 6) ya no es tan simple. Aquí necesitas saber que menos: ¿O? Si recuerda que queda claro que, por lo tanto, la base es menor que cero. Es decir, aplicamos la Regla 2: El resultado será negativo.
Y nuevamente usamos el grado de grado:
Todo como de costumbre: escriba la definición de grados y, divídalos entre sí, divida en los pares y obtenga:
Antes de desmontar la última regla, resolvemos varios ejemplos.
Expresiones calculadas:
Soluciones :
Si no presta atención al octavo grado, ¿qué vemos aquí? Recuerda el programa de grado 7. Entonces, recordado? Esta es una fórmula para la multiplicación abreviada, a saber, la diferencia de cuadrados!
Obtenemos:
Mira cuidadosamente el denominador. Él es muy similar a uno de los multiplicadores del numerador, pero ¿qué pasa? No es el procedimiento de los términos. Si fueron intercambiados en lugares, sería posible aplicar la regla 3. ¿Pero cómo hacerlo? Resulta muy fácil: el grado incluso de denominador nos ayuda.
Si lo dibuja, nada cambiará, ¿verdad? Pero ahora resulta lo siguiente:
Mágicamente, los componentes cambiaron en lugares. Este "fenómeno" es aplicable para cualquier expresión en un grado aún: podemos cambiar libremente los signos entre paréntesis. Pero es importante recordar: ¡Todas las señales están cambiando al mismo tiempo!¡No puedes reemplazar, cambiando solo un menos desagradable!
Volvamos por ejemplo:
Y otra vez la fórmula:
Así que ahora la última regla:
¿Cómo demostramos? Por supuesto, como de costumbre: revelaré el concepto de grado y simplifica:
Bueno, ahora revelaré paréntesis. ¿Cuánto obtendrán las letras? Una vez en multiplicadores, ¿qué recuerda? No es más que la definición de la operación. multiplicación: En total hubo factores. Es decir, es, por definición, el grado de número con el indicador:
Ejemplo:
Irracional
Además de la información sobre los grados para el nivel promedio, analizaremos el grado con el indicador irracional. Todas las reglas y las propiedades de los grados aquí son exactamente los mismos que para un grado con un indicador racional, con la excepción, después de todo, por definición, los números irracionales son números que no se pueden enviar en forma de una fracción, donde - los enteros (es decir, los números irracionales son todos los números válidos además de racional).
Al estudiar títulos con indicador natural, completo y racional, cada vez constituimos una cierta "imagen", "analogía", o una descripción en términos más familiares. Por ejemplo, una cifra natural es un número, varias veces se multiplican por sí mismo; El número en grado cero es de alguna manera el número multiplicado por sí mismo una vez, es decir, aún no ha comenzado a multiplicarse, significa que el número en sí, ni siquiera ha aparecido, por lo tanto, solo un cierto "palanquilla", es decir, es el resultado ; El grado con un indicador integral es como si ocurriera un cierto "proceso inverso", es decir, el número no se multiplicó por sí mismo, sino dividido.
Imagínese el grado con un indicador irracional es extremadamente difícil (tal como es difícil enviar un espacio 4-dimensional). Es más bien un objeto puramente matemático que las matemáticas creadas para ampliar el concepto de grado a todo el espacio de los números.
Por cierto, en la ciencia se usa a menudo con un indicador complejo, es decir, el indicador ni siquiera es un número válido. Pero en la escuela no pensamos en tales dificultades, tendrá la oportunidad de comprender estos nuevos conceptos en el Instituto.
Entonces, ¿qué hacemos si vemos una tasa irracional? ¡Estamos tratando de deshacerme de él con todo el poder! :)
Por ejemplo:
SOLIM usted mismo:
| 1) | 2) | 3) |
Respuestas:
- Recordamos la fórmula la diferencia de cuadrados. Respuesta:.
- Damos la fracción a la misma forma: tanto decimal, ni ambos ordinarios. Obtenemos, por ejemplo:.
- Nada especial, usamos las propiedades habituales de los grados:
Resumen de la sección y fórmulas básicas.
La licenciatura Llamada la expresión de la forma: ¿Dónde:
Entero
el grado, cuyo indicador es un número natural (es decir, un todo y positivo).
Racional
el grado, cuyo indicador es números negativos y fraccionarios.
Irracional
el grado, cuyo indicador es una fracción o raíz decimal infinita.
Propiedades de los grados
Características de los grados.
- Número negativo erigido en incluso Grado - Número positivo.
- Número negativo erigido en impar Grado - Número negativo.
- Un número positivo a cualquier grado es el número positivo.
- Cero a cualquier grado es igual.
- Cualquier número a cero igual.
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¿Cómo necesitas un artículo? Escribe en los comentarios como o no.
Háblame de su experiencia en el uso de las propiedades de los grados.
Tal vez tengas preguntas. O sugerencias.
Escribe en los comentarios.
¡Y buena suerte en los exámenes!
Lección sobre el tema: "Reglas de multiplicación y división de títulos con los mismos y diferentes indicadores. Ejemplos"
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El propósito de la lección: aprende a realizar acciones con los grados del número.
Para empezar, recuerde el concepto de "grado de número". La expresión del tipo $ \\ Subbrace (A * A * \\ LDOTS * A) _ (n) $ puede representarse como $ a ^ n $.
También es verdadero inverso: $ a ^ n \u003d \\ Subbrace (A * A * \\ LDOTS * A) _ (n) $.
Esta igualdad se llama "un registro de grado en forma de trabajo". Nos ayudará a determinar cómo multiplicar y compartir grados.
Recordar:
uNA. - La Fundación del Grado.
nORTE. - Indicador.
Si un n \u003d 1., Entonces, el número pero Tomaron una vez y, en consecuencia: $ a ^ n \u003d 1 $.
Si un n \u003d 0., entonces $ a ^ 0 \u003d 1 $.
¿Por qué esto sucede, podremos averiguar cuándo nos familiaricemos las reglas de multiplicación y división de títulos?
Reglas de multiplicación
a) Si se multiplican los grados con la misma base.A $ a ^ n * a ^ m $, anote el grado en forma de un trabajo: $ \\ Subbrace (A * A * \\ LDOTS * A) _ (N) * \\ Subbrace (A * A * \\ LDOTS * a) _ (m) $.
La figura muestra que el número pero han tomado n + M. Una vez, entonces $ a ^ n * a ^ m \u003d a ^ (n + m) $.
Ejemplo.
$2^3 * 2^2 = 2^5 = 32$.
Esta propiedad es conveniente para usar qué simplificar el trabajo al erigir un número en mayor grado.
Ejemplo.
$2^7= 2^3 * 2^4 = 8 * 16 = 128$.
b) Si se multiplican los grados multiplicados con diferentes bases, pero el mismo indicador.
A $ a ^ n * b ^ n $, anote el grado en forma de trabajo: $ \\ Subbrace (A * A * \\ LDOTS * A) _ (N) * \\ Subbrace (B * B * \\ LDOTS * b) _ (m) $.
Si cambia los lugares multiplicadores y calcula los pares resultantes, obtenemos: $ \\ Subbrace ((A * B) * (A * B) * \\ LDOTS * (A * B)) _ (N) $.
Entonces, $ a ^ n * b ^ n \u003d (a * b) ^ n $.
Ejemplo.
$3^2 * 2^2 = (3 * 2)^2 = 6^2= 36$.
Reglas de la División
a) La base del grado es los mismos indicadores diferentes.Considere dividir el grado con una figura alta para dividir el grado con un indicador más pequeño.
Por lo que es necesario $ \\ FRAC (A ^ N) (A ^ M) $dónde n\u003e m..
Escribimos un título en forma de fracción:
$ \\ FRAC (\\ Subbrace (A * A * \\ LDOTS * A) _ (N)) (\\ Subbrace (A * A * \\ LDOTS * A) _ (M)) $.
Por conveniencia, la división escribirá en forma de una fracción simple.Ahora reducirá la fracción.
Resulta: $ \\ Subbrace (A * A * \\ LDOTS * A) _ (N-M) \u003d A ^ (N-M) $.
Significa $ \\ FRAC (A ^ N) (A ^ M) \u003d A ^ (N-M) $.
Esta propiedad ayudará a explicar la situación con la erección del número al grado cero. Suponer que n \u003d M., luego $ a ^ 0 \u003d a ^ (n - n) \u003d \\ frac (A ^ N) (A ^ N) \u003d 1 $.
Ejemplos.
$ \\ FRC (3 ^ 3) (3 ^ 2) \u003d 3 ^ (3-2) \u003d 3 ^ 1 \u003d 3 $.
$ \\ Frac (2 ^ 2) (2 ^ 2) \u003d 2 ^ (2-2) \u003d 2 ^ 0 \u003d 1 $.
b) La base del grado es diferente, los indicadores son los mismos.
Supongamos que es necesario $ \\ FRAC (A ^ N) (B ^ N) $. Escribimos el grado de números en forma de fracción:
$ \\ FRAC (\\ Subbrace (A * A * \\ LDOTS * A) _ (N)) (\\ Subbrace (B * B * \\ LDOTS * B) _ (N)) $.
Por conveniencia imaginar.
Usando la propiedad de la fracción, rompemos una gran fracción en el trabajo de pequeños, obtenemos.
$ \\ Underbrace (\\ frac (a) (b) * \\ frac (a) (b) * \\ ldots * \\ frac (a) (b)) _ (n) $.
En consecuencia, $ \\ frac (A ^ N) (b ^ n) \u003d (\\ frac (a) (b)) ^ n $.
Ejemplo.
$ \\ Frac (4 ^ 3) (2 ^ 3) \u003d (\\ frac (4) (2)) ^ 3 \u003d 2 ^ 3 \u003d $ 8.
Cada operación aritmética a veces se vuelve demasiado engorrosa para registrar y tratar de simplificarla. Una vez fue así con la operación de suma. Las personas necesitaban una adición de múltiples veces, por ejemplo, para calcular el costo de cien alfombras persas, cuyo costo es 3 monedas de oro para cada una. 3 + 3 + 3 + ... + 3 \u003d 300. Debido a lo voluminoso, se inventó reducir la grabación a 3 * 100 \u003d 300. De hecho, la grabación "tres multiplicó a cien" significa que necesita Tomar cien trote y se dobla entre sí. Pasado la multiplicación, ganó popularidad general. Pero el mundo no se detiene, y en la Edad Media había la necesidad de llevar a cabo una multiplicación de múltiples veces. El antiguo misterio indio es recordado, pidiendo una recompensa por el trabajo de grano de trigo en la siguiente cantidad: para la primera celda del tablero de ajedrez, le pidió a un grano, por los segundos dos, el tercero a cuatro, quinto - ocho y pronto. Por lo tanto, apareció la primera multiplicación de grados, porque la cantidad de verde era igual al grado en el grado del número de células. Por ejemplo, en la última celda, habría 2 * 2 * 2 * ... * 2 \u003d 2 ^ 63 grano, que es igual al número de 18 caracteres de largo, en qué, de hecho, el significado de los acertijos.
La operación de ejercicio se llevó a cabo con bastante rapidez, también se necesitaba rápidamente para llevar a cabo la adición, la resta, la división y la multiplicación de grados. Último y vale la pena considerar con más detalle. Las fórmulas para agregar títulos son simples y fáciles de recordar. Además, es muy fácil de entender de dónde provienen de si el grado se reemplaza por la multiplicación. Pero primero debe ser resuelto en la terminología elemental. La expresión A ^ B (lea "a al grado B") significa que el número A debe multiplicarse por sí mismo B una vez, y "A" se llama la base del grado, y el "B" es un indicador de potencia. Si las bases de los grados son las mismas, entonces las fórmulas son completamente simples. Ejemplo específico: Encuentre el valor de la expresión 2 ^ 3 * 2 ^ 4. Para saber qué suceda, antes de comenzar la decisión de averiguar la respuesta en la computadora. Habiendo marcado esta expresión a cualquier calculadora en línea, motor de búsqueda, escribiendo "Multiplicación de grados con diferentes bases del mismo" o un paquete matemático, la salida será de 128. Ahora escribiremos esta expresión: 2 ^ 3 \u003d 2 * 2 * 2 , un 2 ^ 4 \u003d 2 * 2 * 2 * 2. Resulta que 2 ^ 3 * 2 ^ 4 \u003d 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 \u003d 2 ^ 7 \u003d 2 ^ (3 + 4). Resulta que el producto de grados con la misma base es igual al suelo erigido en un grado igual a la suma de los dos grados anteriores.
Puede pensar que este es un accidente, pero no: cualquier otro ejemplo solo puede confirmar esta regla. Por lo tanto, en la fórmula general, la fórmula es la siguiente: A ^ N * A ^ M \u003d A ^ (N + M). También hay una regla que cualquier número a cero igualmente es uno. Aquí es necesario recordar la regla de los grados negativos: A ^ (- N) \u003d 1 / A ^ n. Es decir, si 2 ^ 3 \u003d 8, luego 2 ^ (- 3) \u003d 1/8. Usando esta regla, puede probar la validez de la igualdad A ^ 0 \u003d 1: A ^ 0 \u003d A ^ (nn) \u003d a ^ n * a ^ (- n) \u003d a ^ (n) * 1 / a ^ ( n), A ^ (n) Puede reducir y la unidad permanece. También se está eliminando por la regla de que los grados privados con las mismas bases son iguales a esta base en el grado igual al indicador privado de la división y divisor: A ^ N: A ^ M \u003d A ^ (N-M). Ejemplo: Simplifique la expresión 2 ^ 3 * 2 ^ 5 * 2 ^ (- 7) * 2 ^ 0: 2 ^ (- 2). La multiplicación es una operación conmutativa, por lo tanto, primero la adición de indicadores de multiplicación: 2 ^ 3 * 2 ^ 5 * 2 ^ (- 7) * 2 ^ 0 \u003d 2 ^ (3 + 5-7 + 0) \u003d 2 ^ 1 \u003d 2 . A continuación, debe tratarse con la división en un grado negativo. Es necesario restar el indicador divisor del indicador de la división: 2 ^ 1: 2 ^ (- 2) \u003d 2 ^ (1 - (- 2)) \u003d 2 ^ (1 + 2) \u003d 2 ^ 3 \u003d 8 Resulta que el funcionamiento de la división en negativo el grado de operación de multiplicación idéntica a un indicador positivo similar. Así, la respuesta final es 8.
Hay ejemplos donde no hay la multiplicación canónica de grados. Los grados de multiplicación con diferentes bases son muy a menudo mucho más difíciles, y a veces es imposible en absoluto. Se deben dar varios ejemplos de diversas técnicas posibles. Ejemplo: Simplifique la expresión 3 ^ 7 * 9 ^ (- 2) * 81 ^ 3 * 243 ^ (- 2) * 729. Obviamente, hay una multiplicación de grados con diferentes bases. Pero se debe tener en cuenta que todos los fundamentos son diferentes grados de la troika. 9 \u003d 3 ^ 2.1 \u003d 3 ^ 4.3 \u003d 3 ^ 5.9 \u003d 3 ^ 6. Usando la regla (a ^ N) ^ m \u003d a ^ (n * m), debe reescribir la expresión en una forma más conveniente: 3 ^ 7 * (3 ^ 2) ^ (- 2) * (3 ^ 4) ^ 3 * (3 ^ 5) ^ (- 2) * 3 ^ 6 \u003d 3 ^ 7 * 3 ^ (- 4) * 3 ^ (12) * 3 ^ (- 10) * 3 ^ 6 \u003d 3 ^ (7 -4 + 12 -10 + 6) \u003d 3 ^ (11). Respuesta: 3 ^ 11. En los casos en que varias bases, la regla a ^ n * b ^ n \u003d (a * b) ^ n funciona en los indicadores iguales. Por ejemplo, 3 ^ 3 * 7 ^ 3 \u003d 21 ^ 3. De lo contrario, cuando las diferentes bases e indicadores, es imposible hacer una multiplicación completa. A veces es posible simplificar o recurrir parcialmente a la ayuda de la tecnología de computación.
El concepto de grado en matemáticas se introduce en el séptimo grado en el aula de álgebra. Y en el futuro, a lo largo del curso del estudio de las matemáticas, este concepto se usa activamente en varios tipos. El grado es un tema bastante difícil, que requiere el almacenamiento de valores y habilidades correctamente y rápidamente. Para un trabajo más rápido y de alta calidad con grados de matemáticas, se inventaron las propiedades del grado. Ayudan a reducir los cálculos grandes, convertir un gran ejemplo en un número en cualquier medida. Las propiedades no son tanto, y todas son recordadas y aplicadas fácilmente en la práctica. Por lo tanto, el artículo analiza las propiedades básicas del grado, así como donde se aplican.
Propiedades del título
Miraremos las 12 propiedades del grado, incluidas las propiedades de los grados con las mismas bases, y para cada propiedad le damos un ejemplo. Cada una de estas propiedades lo ayudará a resolver las tareas con títulos, así como le salvará de numerosos errores de computación.
1ª propiedad.
Muchos a menudo se olvidan de esta propiedad, cometen errores, representando un número en un grado cero como cero.
2ª propiedad.
3ª propiedad.
Debe recordarse que esta propiedad solo se puede aplicar cuando se realicen los números, ¡no funciona con la cantidad! Y no debemos olvidar que esto es lo siguiente, las propiedades se aplican solo a grados con las mismas bases.
4ta propiedad.
Si se erige un número en el denominador a un grado negativo, entonces, cuando la restación del grado de denominador se realiza en los soportes para reemplazar correctamente el signo en la computación adicional.
¡La propiedad funciona solo durante la división, no se aplica al restar!
5ª propiedad.
6ª propiedad.
Esta propiedad se puede aplicar en la dirección opuesta. La unidad dividida en cierta medida es el número en un grado menos.
7ª propiedad.
¡Esta propiedad no se puede aplicar a suma y diferencia! Cuando se construye la cantidad o la diferencia, se utilizan las fórmulas de la multiplicación abreviada, y no las propiedades de grado.
8ª propiedad.
9ª propiedad.
Esta propiedad funciona para cualquier grado fraccional con un numerador igual a uno, la fórmula será la misma, solo el grado de raíz variará dependiendo del denominador.
Además, esta propiedad se usa a menudo en orden inverso. La raíz de cualquier grado de entre el número se puede representar como el número a la unidad de grado dividida por el grado de raíz. Esta propiedad es muy útil en los casos si la raíz no se extrae.
10ª propiedad.
Esta propiedad funciona no solo con una raíz cuadrada y un segundo grado. Si el grado de la raíz y el grado en que toma esta raíz, coinciden, la respuesta será la expresión de alimentación.
11ª propiedad.
Esta propiedad debe poder ver a tiempo al decidir deshacerse de su enorme computación.
12ª propiedad.
Cada una de estas propiedades lo repetirá en las tareas, se puede administrar en su forma pura, y puede requerir algunas transformaciones y el uso de otras fórmulas. Por lo tanto, para la solución correcta, solo las propiedades solo saben, debe practicar y conectar otros conocimientos matemáticos.
El uso de grados y sus propiedades.
Se utilizan activamente en álgebra y geometría. Los grados en matemáticas tienen un lugar importante, importante. Con su ayuda, las ecuaciones indicativas y las desigualdades se resuelven, así como los títulos a menudo complican las ecuaciones y los ejemplos relacionados con otras secciones de las matemáticas. El grado ayuda a evitar cálculos grandes y largos, el grado es más fácil de reducir y calcular. Pero para trabajar con grandes grados, o con los grados de grandes números, debe saber no solo las propiedades de grado, sino también para trabajar correctamente y con los motivos, podrá descomponerlos para facilitar la tarea. Para mayor comodidad, debe conocerse el valor de los números erigidos en un grado. Esto reducirá su tiempo al resolver, eliminando la necesidad de computación larga.
El concepto de grado desempeña un papel especial en logaritmos. Dado que el logaritmo, en esencia, es el grado de número.
Las fórmulas de multiplicación abreviadas son otro ejemplo del uso de títulos. No pueden ser utilizados por las propiedades de los grados, se divulgan de acuerdo con las reglas especiales, pero en cada fórmula de multiplicación abreviada es invariablemente presente.
Los mismos grados se utilizan activamente en la física y la informática. Todas las transferencias al sistema SI se fabrican utilizando grados, y en el futuro, las propiedades del grado se utilizan para resolver problemas. Las informáticas se utilizan activamente títulos faltables, para la conveniencia de la cuenta y simplifican la percepción de los números. Otros cálculos para transferencias de unidades de medición o cálculos de tareas, así como en la física, se producen utilizando las propiedades de grado.
Incluso los grados son muy útiles en la astronomía, rara vez es posible aplicar el uso de las propiedades del grado, pero el grado se utiliza activamente para reducir la grabación de varias cantidades y distancias.
Se utilizan grados en la vida ordinaria, en cálculo de áreas, volúmenes, distancias.
Con la ayuda de los grados, se escribe valores muy grandes y muy pequeños en cualquier esferas de la ciencia.
Ecuaciones indicativas y desigualdades.
Un lugar especial de la propiedad del grado ocupa en las ecuaciones indicativas y las desigualdades. Estas tareas se encuentran muy a menudo, tanto en el curso de la escuela como en los exámenes. Todos ellos se resuelven a través del uso de las propiedades de grado. Lo desconocido siempre está en grado, por lo que sabe todas las propiedades, no es difícil resolver tal ecuación o desigualdad.
