trabajo de graduación en formulario de uso para los estudiantes de 11° grado, necesariamente contiene tareas para calcular límites, intervalos decrecientes y crecientes de la derivada de una función, encontrar puntos extremos y trazar gráficos. Un buen conocimiento de este tema le permite responder correctamente varias preguntas del examen y no experimentar dificultades en la formación profesional posterior.
Fundamentos del cálculo diferencial - uno de los temas principales de las matemáticas Escuela moderna. Ella estudia el uso de la derivada para estudiar las dependencias de las variables: es a través de la derivada que puedes analizar el aumento y la disminución de una función sin consultar el dibujo.
Preparación integral de egresados para pasando el examen en portal educativo"Shkolkovo" ayudará a comprender profundamente los principios de diferenciación: comprender la teoría en detalle, estudiar ejemplos de resolución de problemas típicos y probar suerte en el trabajo independiente. Lo ayudaremos a eliminar lagunas en el conocimiento: aclarar su comprensión de los conceptos léxicos del tema y las dependencias de las cantidades. Los estudiantes podrán repetir cómo encontrar intervalos de monotonicidad, lo que significa la subida o bajada de la derivada de una función en un cierto intervalo, cuando los puntos límite están incluidos y no incluidos en los intervalos encontrados.
Antes de comenzar con la solución directa de problemas temáticos, le recomendamos que primero vaya a la sección "Referencia teórica" y repita las definiciones de conceptos, reglas y fórmulas tabulares. Aquí también puede leer cómo encontrar y registrar cada intervalo de funciones crecientes y decrecientes en el gráfico de derivadas.
Toda la información que se ofrece se presenta de la forma más accesible para su comprensión prácticamente desde cero. El sitio proporciona materiales para la percepción y la asimilación en varios diversas formas– lectura, visualización de videos y capacitación directa bajo la guía de maestros experimentados. educadores profesionales decir en detalle cómo encontrar los intervalos de aumento y disminución de la derivada de una función por métodos analíticos y formas gráficas. Durante los webinars, se podrá plantear cualquier cuestión de interés tanto en teoría como en la resolución de problemas concretos.
Recordando los puntos principales del tema, observe los ejemplos de aumentar la derivada de una función, similares a las tareas de las opciones del examen. Para consolidar lo que ha aprendido, mire el "Catálogo" - aquí encontrará ejercicios prácticos para Trabajo independiente. Las tareas de la sección se seleccionan en diferentes niveles de complejidad, teniendo en cuenta el desarrollo de habilidades. Para cada uno de ellos, por ejemplo, se adjuntan algoritmos de solución y respuestas correctas.
Al elegir la sección "Constructor", los estudiantes podrán practicar estudiando el aumento y la disminución de la derivada de una función en real USAR opciones actualizado constantemente con los últimos cambios e innovaciones.
Muy información importante sobre el comportamiento de la función proporcionan lapsos de ascendente y descendente. Encontrarlos es parte del proceso de exploración y trazado de funciones. Además, se dan los puntos extremos, en los que hay un cambio de aumento a disminución o de disminución a aumento. Atención especial al encontrar el valor más grande y más pequeño de una función en un cierto intervalo.
En este artículo, daremos las definiciones necesarias, formularemos una prueba suficiente para el aumento y la disminución de una función en un intervalo y condiciones suficientes para la existencia de un extremo, y aplicaremos toda esta teoría para resolver ejemplos y problemas.
Navegación de página.
Función creciente y decreciente en un intervalo.
Definición de una función creciente.
La función y=f(x) crece en el intervalo X si para cualquier y 
la desigualdad se satisface. En otras palabras - mayor valor argumento corresponde al mayor valor de la función.
Definición de función decreciente.
La función y=f(x) decrece en el intervalo X si para cualquier y la desigualdad 
. En otras palabras, un valor mayor del argumento corresponde a un valor menor de la función.
OBSERVACIÓN: si la función es definida y continua en los extremos del intervalo de aumento o disminución (a;b), es decir, en x=a y x=b, entonces estos puntos están incluidos en el intervalo de aumento o disminución. Esto no contradice las definiciones de una función creciente y decreciente en el intervalo X .
Por ejemplo, a partir de las propiedades de las funciones elementales básicas, sabemos que y=sinx está definido y es continuo para todos los valores reales del argumento. Por tanto, a partir del incremento de la función seno en el intervalo, podemos afirmar el incremento en el intervalo .
Puntos extremos, función extrema.
El punto se llama punto máximo función y=f(x) si la desigualdad es verdadera para todo x de su vecindad. El valor de la función en el punto máximo se llama función máxima y denota.
El punto se llama punto mínimo función y=f(x) si la desigualdad es verdadera para todo x de su vecindad. El valor de la función en el punto mínimo se llama función mínima y denota.
La vecindad de un punto se entiende como el intervalo 
, donde es un número positivo suficientemente pequeño.
Los puntos mínimo y máximo se llaman puntos extremos, y los valores de la función correspondientes a los puntos extremos se denominan función extrema.
No confundas los extremos de una función con los mayores y el valor más pequeño funciones
en la primera foto valor más alto la función sobre el segmento se alcanza en el punto máximo y es igual al máximo de la función, y en la segunda figura, el valor máximo de la función se alcanza en el punto x=b, que no es el punto máximo.
Condiciones suficientes para funciones crecientes y decrecientes.
Sobre la base de condiciones suficientes (signos) para el aumento y la disminución de la función, se encuentran los intervalos de aumento y disminución de la función.
Aquí están las formulaciones de los signos de funciones crecientes y decrecientes en el intervalo:
- si la derivada de la función y=f(x) es positiva para cualquier x del intervalo X, entonces la función aumenta en X;
- si la derivada de la función y=f(x) es negativa para cualquier x del intervalo X , entonces la función es decreciente en X .
Así, para determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de una función, es necesario:
Considere un ejemplo de encontrar los intervalos de funciones crecientes y decrecientes para aclarar el algoritmo.
Ejemplo.
Encuentre los intervalos de aumento y disminución de la función.
Solución.
El primer paso es encontrar el alcance de la función. En nuestro ejemplo, la expresión en el denominador no debe desaparecer, por lo tanto, .
Pasemos a encontrar la derivada de la función: 
Para determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de una función por un criterio suficiente, resolvemos las desigualdades y en el dominio de definición. Usemos una generalización del método del intervalo. La única raíz real del numerador es x = 2 y el denominador se anula en x=0. Estos puntos dividen el dominio de definición en intervalos en los que la derivada de la función conserva su signo. Marquemos estos puntos en la recta numérica. Por más y menos, denotamos condicionalmente los intervalos en los que la derivada es positiva o negativa. Las flechas a continuación muestran esquemáticamente el aumento o disminución de la función en el intervalo correspondiente. 
De este modo, 
Y 
.
En el punto x=2 la función es definida y continua, por lo que debe sumarse tanto a los intervalos ascendentes como descendentes. En el punto x=0, la función no está definida, por lo que este punto no está incluido en los intervalos requeridos.
Presentamos la gráfica de la función para comparar con ella los resultados obtenidos.
Respuesta:
La función aumenta en 
, disminuye en el intervalo (0;2] .
Condiciones suficientes para el extremo de una función.
Para encontrar los máximos y mínimos de una función, puedes usar cualquiera de los tres signos extremos, por supuesto, si la función cumple sus condiciones. El más común y conveniente es el primero de ellos.
La primera condición suficiente para un extremum.
Sea la función y=f(x) diferenciable en una vecindad del punto y continua en el punto mismo.
En otras palabras:
Algoritmo para encontrar puntos extremos por el primer signo de una función extrema.
- Encontrar el alcance de la función.
- Encontramos la derivada de la función en el dominio de definición.
- Determinamos los ceros del numerador, los ceros del denominador de la derivada y los puntos del dominio donde la derivada no existe (todos los puntos enumerados se llaman puntos de posible extremo, pasando por estos puntos, la derivada solo puede cambiar de signo).
- Estos puntos dividen el dominio de la función en intervalos en los que la derivada conserva su signo. Determinamos los signos de la derivada en cada uno de los intervalos (por ejemplo, calculando el valor de la derivada de la función en cualquier punto de un solo intervalo).
- Seleccionamos puntos en los que la función es continua y, pasando por los cuales, la derivada cambia de signo: son los puntos extremos.
Demasiadas palabras, consideremos algunos ejemplos de encontrar puntos extremos y extremos de una función usando la primera condición suficiente para el extremo de una función.
Ejemplo.
Encuentra los extremos de la función.
Solución.
El alcance de la función es todo el conjunto de números reales, excepto x=2.
Hallamos la derivada: 
Los ceros del numerador son los puntos x=-1 y x=5, el denominador va a cero en x=2. Marca estos puntos en la recta numérica 
Determinamos los signos de la derivada en cada intervalo, para ello calculamos el valor de la derivada en cualquiera de los puntos de cada intervalo, por ejemplo, en los puntos x=-2, x=0, x=3 y x= 6
Por tanto, la derivada es positiva en el intervalo (en la figura ponemos un signo más sobre este intervalo). Similarmente 
Por lo tanto, ponemos un menos sobre el segundo intervalo, un menos sobre el tercero y un más sobre el cuarto.
Queda por elegir los puntos en los que la función es continua y su derivada cambia de signo. Estos son los puntos extremos.
En el punto x=-1 la función es continua y la derivada cambia de signo de más a menos, por lo tanto, según el primer signo del extremo, x=-1 es el punto máximo, corresponde al máximo de la función 
.
En el punto x=5 la función es continua y la derivada cambia de signo de menos a más, por lo tanto, x=-1 es el punto mínimo, corresponde al mínimo de la función 
.
Ilustración gráfica.
Respuesta:
TENGA EN CUENTA: el primer signo suficiente de un extremo no requiere que la función sea diferenciable en el punto en sí.
Ejemplo.
Encontrar puntos extremos y extremos de una función 
.
Solución.
El dominio de la función es el conjunto completo de números reales. La función en sí se puede escribir como: 
Encontremos la derivada de la función: 
En el punto x=0 la derivada no existe, ya que los valores de los límites unilaterales no coinciden cuando el argumento tiende a cero: 
Al mismo tiempo, la función original es continua en el punto x=0 (vea la sección sobre cómo investigar la continuidad de una función): 
Encuentre los valores del argumento en el que la derivada se anula: 
Marcamos todos los puntos obtenidos en la recta real y determinamos el signo de la derivada en cada uno de los intervalos. Para ello, calculamos los valores de la derivada en puntos arbitrarios de cada intervalo, por ejemplo, cuando x=-6, x=-4, x=-1, x=1, x=4, x=6.
Eso es, 
Así, según el primer signo de un extremo, los puntos mínimos son 
, los puntos máximos son 
.
Calculamos los mínimos correspondientes de la función 
Calculamos los máximos correspondientes de la función 
Ilustración gráfica.
Respuesta:
.
El segundo signo del extremo de la función.
Como puedes ver, este signo del extremo de la función requiere la existencia de una derivada al menos hasta el segundo orden en el punto .
Extremos de función
Definición 2
Un punto $x_0$ se llama punto de máximo de la función $f(x)$ si existe una vecindad de este punto tal que para todo $x$ de esta vecindad la desigualdad $f(x)\le f(x_0 )$ está satisfecho.
Definición 3
Un punto $x_0$ se llama punto máximo de la función $f(x)$ si existe una vecindad de este punto tal que para todas las $x$ de esta vecindad la desigualdad $f(x)\ge f(x_0) $ está satisfecho.
El concepto de extremo de una función está estrechamente relacionado con el concepto de punto crítico de una función. Introduzcamos su definición.
Definición 4
$x_0$ se llama punto crítico de la función $f(x)$ si:
1) $x_0$ - punto interno del dominio de definición;
2) $f"\left(x_0\right)=0$ o no existe.
Para el concepto de extremum, uno puede formular teoremas sobre suficiente y condiciones necesarias su existencia.
Teorema 2
Condición extrema suficiente
Sea el punto $x_0$ crítico para la función $y=f(x)$ y se encuentre en el intervalo $(a,b)$. Sea en cada intervalo $\left(a,x_0\right)\ y\ (x_0,b)$ la derivada $f"(x)$ exista y mantenga un signo constante. Entonces:
1) Si en el intervalo $(a,x_0)$ la derivada $f"\left(x\right)>0$, y en el intervalo $(x_0,b)$ la derivada $f"\left(x\ bien)
2) Si la derivada $f"\left(x\right)0$ está en el intervalo $(a,x_0)$, entonces el punto $x_0$ es el punto mínimo para esta función.
3) Si tanto en el intervalo $(a,x_0)$ como en el intervalo $(x_0,b)$ la derivada $f"\left(x\right) >0$ o la derivada $f"\left(x \bien)
Este teorema se ilustra en la Figura 1.
Figura 1. Condición suficiente para la existencia de extremos
Ejemplos de extremos (Fig. 2).
Figura 2. Ejemplos de puntos extremos
La regla para examinar una función para un extremo
2) Hallar la derivada $f"(x)$;
7) Sacar conclusiones sobre la presencia de máximos y mínimos en cada intervalo, usando el Teorema 2.
Función Ascendente y Decreciente
Primero introduzcamos las definiciones de funciones crecientes y decrecientes.
Definición 5
Una función $y=f(x)$ definida en un intervalo $X$ se llama creciente si para cualquier punto $x_1,x_2\in X$ para $x_1
Definición 6
Una función $y=f(x)$ definida en un intervalo $X$ se llama decreciente si para cualquier punto $x_1,x_2\in X$ para $x_1f(x_2)$.
Examinando una función para aumentar y disminuir
Puedes investigar funciones para aumentar y disminuir usando la derivada.
Para examinar una función para intervalos de aumento y disminución, debe hacer lo siguiente:
1) Encuentra el dominio de la función $f(x)$;
2) Hallar la derivada $f"(x)$;
3) Encuentra los puntos donde la igualdad $f"\left(x\right)=0$;
4) Encuentra puntos donde $f"(x)$ no existe;
5) Marque en la línea de coordenadas todos los puntos encontrados y el dominio de la función dada;
6) Determinar el signo de la derivada $f"(x)$ en cada intervalo resultante;
7) Concluye: en los intervalos donde $f"\left(x\right)0$ la función crece.
Ejemplos de problemas para el estudio de funciones crecientes, decrecientes y presencia de puntos extremos
Ejemplo 1
Investiga la función de crecimiento y decrecimiento, y la presencia de puntos de máximos y mínimos: $f(x)=(2x)^3-15x^2+36x+1$
Como los primeros 6 puntos son iguales, los dibujaremos primero.
1) Dominio de definición - todos los números reales;
2) $f"\izquierda(x\derecha)=6x^2-30x+36$;
3) $f"\izquierda(x\derecha)=0$;
\ \ \
4) $f"(x)$ existe en todos los puntos del dominio de definición;
5) Línea de coordenadas:
figura 3
6) Determinar el signo de la derivada $f"(x)$ en cada intervalo:
\ \; .
Determinemos el signo de los valores de la función en los extremos del segmento.
F(0) = 3, F(0) > 0
F(10) = , F(10) < 0.
Dado que la función decrece en el segmento y cambia el signo de los valores de la función, entonces hay un cero de la función en este segmento.
Respuesta: la función f(x) crece en los intervalos: (-∞; 0]; ;
en el intervalo, la función tiene un cero de la función.
2. Puntos extremos de la función: puntos máximos y puntos mínimos. Condiciones necesarias y suficientes para la existencia de un extremo de una función. La regla para examinar una función para un extremo .
Definición 1:Los puntos en los que la derivada es igual a cero se llaman críticos o estacionarios.
Definición 2. Un punto se llama punto mínimo (máximo) de la función si el valor de la función en este punto es menor (mayor) que los valores más cercanos de la función.
Cabe señalar que el máximo y el mínimo en este caso son locales.
En la fig. 1. representa máximos y mínimos locales.
Funciones máximas y mínimas combinadas nombre común: extremo de la función.Teorema 1.(criterio necesario para la existencia de un extremo de la función). Si una función derivable en un punto tiene un máximo o un mínimo en ese punto, entonces su derivada se anula en , .
Teorema 2.(un criterio suficiente para la existencia de un extremo de la función). Si función continua tiene una derivada en todos los puntos de algún intervalo que contiene punto crítico(con la posible excepción de este punto en sí), y si la derivada, cuando el argumento pasa de izquierda a derecha por el punto crítico, cambia de signo de más a menos, entonces la función en este punto tiene un máximo, y cuando el signo cambia de menos a más, tiene un mínimo.
