Нахождение наибольшего общего делителя трех и большего количества чисел может быть сведено к последовательному нахождению НОД двух чисел. Мы об этом упоминали, при изучении свойств НОД. Там мы сформулировали и доказали теорему: наибольший общий делитель нескольких чисел a 1 , a 2 , …, a k равен числу d k , которое находится при последовательном вычислении НОД(a 1 , a 2)=d 2 , НОД(d 2 , a 3)=d 3 , НОД(d 3 , a 4)=d 4 , …,НОД(d k-1 , a k)=d k .
Давайте разберемся, как выглядит процесс нахождения НОД нескольких чисел, рассмотрев решение примера.
Пример.
Найдите наибольший общий делитель четырех чисел 78 , 294 , 570 и 36 .
Решение.
В этом примере a 1 =78 , a 2 =294 , a 3 =570 , a 4 =36 .
Сначала по алгоритму Евклида определим наибольший общий делитель d 2 двух первых чисел 78 и 294 . При делении получаем равенства 294=78·3+60 ; 78=60·1+18 ;60=18·3+6 и 18=6·3 . Таким образом, d 2 =НОД(78, 294)=6 .
Теперь вычислим d 3 =НОД(d 2 , a 3)=НОД(6, 570) . Опять применим алгоритм Евклида:570=6·95 , следовательно, d 3 =НОД(6, 570)=6 .
Осталось вычислить d 4 =НОД(d 3 , a 4)=НОД(6, 36) . Так как 36 делится на 6 , тоd 4 =НОД(6, 36)=6 .
Таким образом, наибольший общий делитель четырех данных чисел равен d 4 =6 , то есть,НОД(78, 294, 570, 36)=6 .
Ответ:
НОД(78, 294, 570, 36)=6 .
Разложение чисел на простые множители также позволяет вычислять НОД трех и большего количества чисел. В этом случае наибольший общий делитель находится как произведение всех общих простых множителей данных чисел.
Пример.
Вычислите НОД чисел из предыдущего примера, используя их разложения на простые множители.
Решение.
Разложим числа 78 , 294 , 570 и 36 на простые множители, получаем 78=2·3·13 ,294=2·3·7·7 , 570=2·3·5·19 , 36=2·2·3·3 . Общими простыми множителями всех данных четырех чисел являются числа 2 и 3 . Следовательно, НОД(78, 294, 570, 36)=2·3=6 .
Ответ:
НОД(78, 294, 570, 36)=6 .
К началу страницы
Нахождение НОД отрицательных чисел
Если одно, несколько или все числа, наибольший делитель которых нужно найти, являются отрицательными числами, то их НОД равен наибольшему общему делителю модулей этих чисел. Это связано с тем, что противоположные числа a и −a имеют одинаковые делители, о чем мы говорили при изучении свойств делимости.
Пример.
Найдите НОД отрицательных целых чисел −231 и −140 .
Решение.
Модуль числа −231 равен 231 , а модуль числа −140 равен 140 , иНОД(−231, −140)=НОД(231, 140) . Алгоритм Евклида дает нам следующие равенства:231=140·1+91 ; 140=91·1+49 ; 91=49·1+42 ; 49=42·1+7 и 42=7·6 . Следовательно,НОД(231, 140)=7 . Тогда искомый наибольший общий делитель отрицательных чисел−231 и −140 равен 7 .
Ответ:
НОД(−231, −140)=7 .
Пример.
Определите НОД трех чисел −585 , 81 и −189 .
Решение.
При нахождении наибольшего общего делителя отрицательные числа можно заменить их абсолютными величинами, то есть, НОД(−585, 81, −189)=НОД(585, 81, 189) . Разложения чисел 585 , 81 и 189 на простые множители имеют соответственно вид585=3·3·5·13 , 81=3·3·3·3 и 189=3·3·3·7 . Общими простыми множителями этих трех чисел являются 3 и 3 . Тогда НОД(585, 81, 189)=3·3=9 , следовательно,НОД(−585, 81, −189)=9 .
Ответ:
НОД(−585, 81, −189)=9 .
35. Корені многочлена. Теорема Безу. (33 и выше)
36. Кратні корені, критерій кратності кореня.
Признаки делимости натуральных чисел.
Числа, делящиеся без остатка на 2, называются четными .
Числа, которые не делятся без остатка на 2, называются нечетными .
Признак делимости на 2
Если запись натурального числа оканчивается четной цифрой, то это число делится без остатка на 2, а если запись числа оканчивается нечетной цифрой, то это число не делится без остатка на 2.
Например, числа 6 0 , 30 8 , 8 4 делятся без остатка на 2, а числа 5 1 , 8 5 , 16 7 не делятся без остатка на 2.
Признак делимости на 3
Если сумма цифр числа делится на 3, то и число делится на 3; если сумма цифр числа не делится на 3, то и число не делится на 3.
Например, выясним, делится ли на 3 число 2772825. Для этого подсчитаем сумму цифр этого числа: 2+7+7+2+8+2+5 = 33 - делится на 3. Значит, число 2772825 делится на 3.
Признак делимости на 5
Если запись натурального числа оканчивается цифрой 0 или 5, то это число делится без остатка на 5. Если же запись числа оканчивается иной цифрой, то число без остатка на 5 не делится.
Например, числа 1 5 , 3 0 , 176 5 , 47530 0 делятся без остатка на 5, а числа 1 7 , 37 8 , 9 1 не делятся.
Признак делимости на 9
Если сумма цифр числа делится на 9, то и число делится на 9; если сумма цифр числа не делится на 9, то и число не делится на 9.
Например, выясним, делится ли на 9 число 5402070. Для этого подсчитаем сумму цифр этого числа: 5+4+0+2+0+7+0 = 16 - не делится на 9. Значит, число 5402070 не делится на 9.
Признак делимости на 10
Если запись натурального числа оканчивается цифрой 0, то это число делится без остатка на 10. Если запись натурального числа оканчивается другой цифрой, то оно не делится без остатка на 10.
Например, числа 4 0 , 17 0 , 1409 0 делятся без остатка на 10, а числа 1 7 , 9 3 , 1430 7 - не делятся.
Правило нахождения наибольшего общего делителя (НОД).
Чтобы найти наибольший общий делитель нескольких натуральных чисел, надо:
2) из множителей, входящих в разложение одного из этих чисел, вычеркнуть те, которые не входят в разложение других чисел;
3) найти произведение оставшихся множителей.
Пример. Найдем НОД (48;36). Воспользуемся правилом.
1. Разложим числа 48 и 36 на простые множители.
48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3
36 = 2 · 2 · 3 · 3
2. Из множителей, входящих в разложение числа 48 вычеркнем те, которые не входят в разложение числа 36.
48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3
Остаются множители 2, 2 и 3.
3. Перемножим оставшиеся множители и получим 12. Это число и является наибольшим общим делителем чисел 48 и 36.
НОД (48;36) = 2 · 2 · 3 = 12.
Правило нахождения наименьшего общего кратного (НОК).
Чтобы найти наименьшее общее кратное нескольких натуральных чисел, надо:
1) разложить их на простые множители;
2) выписать множители, входящие в разложение одного из чисел;
3) добавить к ним недостающие множители из разложений остальных чисел;
4) найти произведение получившихся множителей.
Пример. Найдем НОК (75;60). Воспользуемся правилом.
1. Разложим числа 75 и 60 на простые множители.
75 = 3 · 5 · 5
60 = 2 · 2 · 3 · 3
2. Выпишем множители, входящие в разложение числа 75: 3, 5, 5.
НОК (75;60) = 3 · 5 · 5 · …
3. Добавим к ним недостающие множители из разложения числа 60, т.е. 2, 2.
НОК (75;60) = 3 · 5 · 5 · 2 · 2
4. Найдем произведение получившихся множителей
НОК (75;60) = 3 · 5 · 5 · 2 · 2 = 300.
Назад
Вперёд
Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.
С понятиями наибольшего общего делителя(НОД) и наименьшего общего кратного(НОК) учащиеся средней школы, встречаются в шестом классе. Данная тема всегда трудна для усвоения. Дети часто путают эти понятия, не понимают, зачем их нужно изучать. В последнее время и в научно-популярной литературе встречаются отдельные высказывания о том, что данный материал нужно исключить из школьной программы. Думаю, что это не совсем верно, и изучать его нужно если не на уроках, то во внеурочное время на занятиях школьного компонента обязательно, так как это способствует развитию логического мышления школьников, повышению скорости вычислительных операций, умению решать задачи красивыми методами.
При изучении темы "Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями" мы учим детей находить общий знаменатель двух или более чисел. Например, нужно сложить дроби 1/3 и 1/5. Учащиеся без труда находят число, делящееся без остатка на 3 и 5 . Это число 15. Действительно, если числа небольшие, то их общий знаменатель найти легко, зная хорошо таблицу умножения. Кто-то из ребят замечает, что это число является произведением чисел 3 и 5. У детей складывается мнение, что всегда таким образом можно найти общий знаменатель для чисел. К примеру вычитаем дроби 7/18 и 5/24. Найдем произведение чисел 18 и 24 . Оно равно 432. Получили уже большое число, а если дальше нужно производить какие-то вычисления(особенно это касается примеров на все действия), то вероятность ошибки возрастает. А вот найденное наименьшее общее кратное чисел (НОК), что в этом случае равнозначно наименьшему общему знаменателю (НОЗ)-число 72 -значительно облегчит вычисления и приведет к более быстрому решению примера, а тем самым сэкономит время, отведенное на выполнение данного задания, что играет немаловажную роль при выполнении итоговых тестовых, контрольных работ, особенно во время итоговой аттестации.
При изучении темы "Сокращение дробей" можно двигаться последовательно деля числитель и знаменатель дроби на одно и то же натуральное число, используя при этом признаки делимости чисел, получив в конечном итоге несократимую дробь. Например, нужно сократить дробь 128/344. Разделим сначала числитель и знаменатель дроби на число 2, получим дробь 64/172. Ещё раз поделим числитель и знаменатель полученной дроби на 2, получим дробь 32/86. Поделить ещё раз числитель и знаменатель дроби на 2 , получим несократимую дробь 16/43. Но сокращение дроби можно выполнить гораздо проще, если мы найдем наибольший общий делитель чисел 128 и 344. НОД(128, 344) = 8. Разделив числитель и знаменатель дроби на это число, получим сразу несократимую дробь.
Нужно показать детям разные способы нахождения наибольшего общего делителя (НОД) и наименьшего общего кратного (НОК)чисел. В простых случаях удобно находить наибольший общий делитель (НОД) и наименьшее общее кратное (НОК)чисел путем простого перебора. Когда числа становятся больше, можно использовать разложение чисел на простые множители. В учебнике шестого класса (автор Н.Я.Виленкин)показан следующий способ нахождения наибольшего общего делителя (НОД)чисел. Разложим числа на простые множители:
- 16 = 2*2*2*2
- 120 = 2*2*2*3*5
Затем из множителей, входящих в разложение одного из этих чисел, вычеркиваем те, которые не входят в разложение другого числа. Произведение оставшихся множителей и будет являться наибольшим общим делителем этих чисел. В данном случае это число 8. На своем опыте убедилась в том, что детям более понятно, если мы подчеркиваем одинаковые множители в разложениях чисел, а затем в одном из разложений находим произведение подчеркнутых множителей. Это и есть наибольший общий делитель данных чисел. В шестом классе дети активны и любознательны. Можно поставить перед ними следующую задачу: попробуйте описанным способом найти наибольший общий делитель чисел 343 и 287. Сразу не видно, как разложить их на простые множители. И вот здесь можно рассказать им про замечательный способ, придуманный древними греками, позволяющий искать наибольший общий делитель(НОД)без разложения на простые множители. Этот метод отыскания наибольшего общего делителя впервые описан в книге Евклида "Начала". Его называют алгоритмом Евклида. Заключается он в следующем: Вначале делят большее число на меньшее. Если получается остаток, то делят меньшее число на остаток. Если снова получается остаток, то делят первый остаток на второй. Так продолжают делить до тех пор, пока в остатке не получится нуль. Последний делитель и есть наибольший общий делитель (НОД)данных чисел.
Вернемся к нашему примеру и для наглядности запишем решение в виде таблицы.
| Делимое | Делитель | Частное | Остаток |
| 343 | 287 | 1 | 56 |
| 287 | 56 | 5 | 7 |
| 56 | 7 | 8 | 0 |
Итак, НОД(344,287) = 7
А как найти наименьшее общее кратное (НОК) тех же чисел? Нет ли и для этого какого-нибудь способа, не требующего предварительного разложения этих чисел на простые множители? Оказывается, есть, и притом очень простой. Нужно перемножить эти числа и разделить произведение на найденный нами наибольший общий делитель(НОД). В данном примере произведение чисел равно 98441. Делим его на 7 и получаем число 14063. НОК(343,287) = 14063.
Одной из трудных тем в математике является решение текстовых задач. Нужно показать учащимся, как с помощью понятий "Наибольший общий делитель (НОД)" и "Наименьшее общее кратное (НОК)" можно решать задачи, которые порой трудно решить обычным способом. Здесь уместно рассмотреть с учащимися наряду с задачами, предложенными авторами школьного учебника, старинные и занимательные задачи, развивающие любознательность детей и повышающие интерес к изучению данной темы. Умелое владение этими понятиями позволяет учащимся увидеть красивое решение нестандартной задачи. А если у ребенка после решения хорошей задачи поднимается настроение-это признак успешной работы.
Таким образом, изучение в школе таких понятий, как "Наибольший общий делитель(НОД)" и "Наименьшее общее кратное (НОК)"чисел
Позволяет экономить время, отводимое на выполнение работы, что приводит к значительному увеличению объема выполненных заданий;
Повышает скорость и точность выполнения арифметических операций, что ведет к значительному уменьшению количества допускаемых вычислительных ошибок;
Позволяет находить красивые способы решения нестандартных текстовых задач;
Развивает любознательность учащихся, расширяет их кругозор;
Создает предпосылки для воспитания разносторонней творческой личности.
Множество делителей
Рассмотрим такую задачу: найти делитель числа 140. Очевидно, что у числа 140 не один делитель, а несколько. В таких случаях говорят, что задача имеет множество решений. Найдем их все. Прежде всего разложим данное число на простые множители:
140 = 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7.
Теперь мы без труда можем выписать все делители. Начнем с простых делителей, то есть тех, которые присутствуют в разложении, приведенном выше:
Затем выпишем те, которые получаются попарным умножением простых делителей:
2∙2 = 4, 2∙5 = 10, 2∙7 = 14, 5∙7 = 35.
Затем - те, которые содержат в себе три простых делителя:
2∙2∙5 = 20, 2∙2∙7 = 28, 2∙5∙7 = 70.
Наконец, не забудем единицу и само разлагаемое число:
Все найденные нами делители образуют множество делителей числа 140, которое записывается с помощью фигурных скобок:
Множество делителей числа 140 =
{1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70, 140}.
Для удобства восприятия мы выписали здесь делители (элементы множества ) в порядке возрастания, но, вообще говоря, это делать необязательно. Кроме того, введем сокращение записи. Вместо «Множество делителей числа 140» будем писать «Д(140)». Таким образом,
Точно так же можно найти множество делителей для любого другого натурального числа. Например, из разложения
105 = 3 ∙ 5 ∙ 7
мы получаем:
Д(105) = {1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105}.
От множества всех делителей следует отличать множество простых делителей, которые для чисел 140 и 105 равны соответственно:
ПД(140) = {2, 5, 7}.
ПД(105) = {3, 5, 7}.
Следует особо подчеркнуть, что в разложении числа 140 на простые множители двойка присутствует два раза, в то время как во множестве ПД(140) - только один. Множество ПД(140) - это, по своей сути, все ответы на задачу: «Найти простой множитель числа 140». Ясно, что один и тот же ответ не следует повторять больше одного раза.
Сокращение дробей. Наибольший общий делитель
Рассмотрим дробь
Мы знаем, что эту дробь можно сократить на такое число, которое одновременно является и делителем числителя (105) и делителем знаменателя (140). Взглянем на множества Д(105) и Д(140) и выпишем их общие элементы.
Д(105) = {1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105};
Д(140) = {1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70, 140}.
Общие элементы множеств Д(105) и Д(140) =
Последнее равенство можно записать короче, а именно:
Д(105) ∩ Д(140) = {1, 5, 7, 35}.
Здесь специальный значок «∩» («мешок отверстием вниз») как раз и указывает на то, что из двух множеств, записанных по разные стороны от него, надо выбрать только общие элементы. Запись «Д(105) ∩ Д(140)» читается «пересечение множеств Дэ от 105 и Дэ от 140».
[Заметим по ходу дела, что с множествами можно производить разные бинарные операции, почти как с числами. Другой распространенной бинарной операцией является объединение , которое обозначается значком «∪» («мешок отверстием вверх»). В объединение двух множеств входят все элементы как того, так и другого множества:
ПД(105) = {3, 5, 7};
ПД(140) = {2, 5, 7};
ПД(105) ∪ ПД(140) = {2, 3, 5, 7}. ]
Итак, мы выяснили, что дробь
можно сократить на любое из чисел, принадлежащих множеству
Д(105) ∩ Д(140) = {1, 5, 7, 35}
и нельзя сократить ни на какое другое натуральное число. Вот все возможные способы сокращения (за исключением неинтересного сокращения на единицу):
Очевидно, что практичнее всего сокращать дробь на число, по возможности большее. В данном случае это число 35, про которое говорят, что оно является наибольшим общим делителем (НОД ) чисел 105 и 140. Это записывается как
НОД(105, 140) = 35.
Впрочем, на практике, если нам даны два числа и требуется найти их наибольший общий делитель, мы вовсе не должны строить какие-либо множества. Достаточно просто разложить оба числа на простые множители и подчеркнуть те из этих множителей, которые являются общими для обоих разложений, например:
105 = 3 ∙ 5 ∙ 7 ;
140 = 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7 .
Перемножая подчеркнутые числа (в любом из разложений), получаем:
НОД(105, 140) = 5 ∙ 7 = 35.
Разумеется, возможен случай, когда подчеркнутых множителей окажется больше двух:
168 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 7;
396 = 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 11.
Отсюда видно, что
НОД(168, 396) = 2 ∙ 2 ∙ 3 = 12.
Особого упоминания заслуживает ситуация, когда общих множителей совсем нет и подчеркивать нечего, например:
42 = 2 ∙ 3 ∙ 7;
В этом случае,
НОД(42, 55) = 1.
Два натуральных числа, для которых НОД равен единице, называются взаимно простыми . Если из таких чисел составить дробь, например,
то такая дробь является несократимой .
Вообще говоря, правило сокращения дробей можно записать в таком виде:
|
a / НОД(a , b ) |
|||
|
b / НОД(a , b ) |
Здесь предполагается, что a и b - натуральные числа, а вся дробь положительна. Если мы теперь припишем знак «минус» к обоим частям этого равенства, то получим соответствующее правило для отрицательных дробей.
Сложение и вычитание дробей. Наименьшее общее кратное
Пусть требуется вычислить сумму двух дробей:
Мы уже знаем, как раскладываются на простые множители знаменатели:
105 = 3 ∙ 5 ∙ 7 ;
140 = 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7 .
Из этого разложения сразу следует, что, для того чтобы привести дроби к общему знаменателю, достаточно числитель и знаменатель первой дроби умножить на 2 ∙ 2 (произведение неподчеркнутых простых множителей второго знаменателя), а числитель и знаменатель второй дроби - на 3 («произведение» неподчеркнутых простых множителей первого знаменателя). В результате знаменатели обеих дробей станут равны числу, которое можно представить так:
2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7 = 105 ∙ 2 ∙ 2 = 140 ∙ 3 = 420.
Нетрудно видеть, что оба исходных знаменателя (как 105, так и 140) являются делителями числа 420, а число 420, в свою очередь, кратно обоим знаменателям, - и не просто кратно, оно является наименьшим общим кратным (НОК ) чисел 105 и 140. Это записывается так:
НОК(105, 140) = 420.
Приглядевшись повнимательнее к разложению чисел 105 и 140, мы видим, что
105 ∙ 140 = НОК(105, 140) ∙ НОД(105, 140).
Точно так же, для произвольных натуральных чисел b и d :
b ∙ d = НОК(b , d ) ∙ НОД(b , d ).
Теперь давайте доведем до конца суммирование наших дробей:
|
3 ∙ 5 ∙ 7 |
2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7 |
|
2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7 |
2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7 |
|
2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7 |
|
2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7 |
|
2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 |
|
Примечание. Для решения некоторых задач требуется знать, что такое квадрат числа. Квадратом числа a называется число a , помноженное само на себя, то есть a ∙a . (Как нетрудно видеть, оно равно площади квадрата со стороной a ). |
