Tabriklaymiz: bugun biz ildizlarni ko'rib chiqamiz - 8-sinfdagi eng hayratlanarli mavzulardan biri :)
Ko'pchilik ildizlar haqida ular murakkab bo'lganligi uchun emas (bu juda murakkab narsa - bir nechta ta'riflar va yana bir nechta xususiyatlar), chunki ko'pchilik maktab darsliklarida ildizlar shunday o'rmon orqali aniqlanadiki, faqat darslik mualliflari. bu yozuvni o'zlari tushunishlari mumkin. Va shunga qaramay, faqat bir shisha yaxshi viski bilan :)
Shuning uchun, endi men ildizning eng to'g'ri va eng malakali ta'rifini beraman - siz haqiqatan ham eslashingiz kerak bo'lgan yagona ta'rif. Va keyin men tushuntiraman: bularning barchasi nima uchun kerak va uni amalda qanday qo'llash kerak.
Lekin birinchi navbatda birini eslang muhim nuqta, bu haqda ko'plab darslik tuzuvchilari negadir "unutishadi":
Ildizlar juft darajali (bizning sevimli $\sqrt(a)$, shuningdek, barcha turdagi $\sqrt(a)$ va hatto $\sqrt(a)$) va toq darajali (barcha $\sqrt) bo'lishi mumkin. (a)$, $\ sqrt(a)$ va boshqalar). Va toq darajadagi ildizning ta'rifi juftdan biroz farq qiladi.
Ehtimol, ildizlar bilan bog'liq bo'lgan barcha xatolar va tushunmovchiliklarning 95% bu "biroz boshqacha" da yashiringan. Shunday qilib, keling, terminologiyani bir marta va butunlay tozalaymiz:
Ta'rif. Hatto ildiz n$a$ raqamidan istalgan salbiy bo'lmagan$b$ soni shundayki, $((b)^(n))=a$. Xuddi shu $a$ sonining toq ildizi odatda bir xil tenglikka ega boʻlgan har qanday $b$ raqamidir: $((b)^(n))=a$.
Har holda, ildiz quyidagicha belgilanadi:
\(a)\]
Bunday yozuvdagi $n$ soni ildiz ko‘rsatkichi, $a$ soni esa radikal ifoda deyiladi. Xususan, $n=2$ uchun biz “sevimli” kvadrat ildizimizni olamiz (darvoqe, bu juft darajali ildiz), $n=3$ uchun esa kub ildizni (toq daraja) olamiz. masalalar va tenglamalarda ham tez-tez uchraydi.
Misollar. Kvadrat ildizlarning klassik misollari:
\[\begin(align) & \sqrt(4)=2; \\ & \sqrt(81)=9; \\ & \sqrt(256)=16. \\ \end (tekislash)\]
Aytgancha, $\sqrt(0)=0$ va $\sqrt(1)=1$. Bu juda mantiqiy, chunki $((0)^(2))=0$ va $((1)^(2))=1$.
Kub ildizlari ham keng tarqalgan - ulardan qo'rqishning hojati yo'q:
\[\begin(align) & \sqrt(27)=3; \\ & \sqrt(-64)=-4; \\ & \sqrt(343)=7. \\ \end (tekislash)\]
Xo'sh, bir nechta "ekzotik misollar":
\[\begin(align) & \sqrt(81)=3; \\ & \sqrt(-32)=-2. \\ \end (tekislash)\]
Agar siz juft va toq daraja o'rtasidagi farq nima ekanligini tushunmasangiz, ta'rifni qayta o'qing. Bu juda muhim!
Shu bilan birga, biz ildizlarning bir noxush xususiyatini ko'rib chiqamiz, shuning uchun biz juft va toq ko'rsatkichlar uchun alohida ta'rifni kiritishimiz kerak edi.
Nima uchun ildizlar umuman kerak?
Ta'rifni o'qib chiqqandan so'ng, ko'plab talabalar: "Matematiklar buni o'ylab topganlarida nima chekishgan?" Va haqiqatan ham: nima uchun bu ildizlar umuman kerak?
Bu savolga javob berish uchun keling, bir zum orqaga qaytaylik boshlang'ich sinflar. Yodingizda bo'lsin: o'sha uzoq vaqtlarda, daraxtlar yashil va chuchvara mazali bo'lganida, bizning asosiy tashvishimiz raqamlarni to'g'ri ko'paytirish edi. Xo'sh, "beshga besh - yigirma besh" kabi bir narsa, bu hammasi. Ammo siz raqamlarni juftlikda emas, balki uchlik, to'rtlik va umuman butun to'plamlarda ko'paytirishingiz mumkin:
\[\begin(align) & 5\cdot 5=25; \\ & 5\cdot 5\cdot 5=125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=625; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=3125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=15\ 625. \end(align)\]
Biroq, bu masala emas. Ayyorlik boshqacha: matematiklar dangasa odamlardir, shuning uchun ular o‘n beshning ko‘payishini shunday yozishda qiynalgan:
Shuning uchun ular ilmiy darajalar bilan kelishdi. Nega omillar sonini uzun satr o'rniga yuqori chiziq sifatida yozmaslik kerak? Shunga o'xshash narsa:
Bu juda qulay! Barcha hisob-kitoblar sezilarli darajada kamayadi va siz 5183 ni yozish uchun bir nechta pergament varaqlari va daftarlarni behuda sarflashingiz shart emas. Bu rekord raqamning kuchi deb ataldi, unda bir nechta xususiyatlar topildi, ammo baxt qisqa muddatli bo'lib chiqdi.
Darajalar “kashfiyoti” uchun uyushtirilgan dabdabali ziyofatdan so‘ng, ayniqsa qaysar matematik birdan: “Agar biz raqamning darajasini bilsak-u, lekin raqamning o‘zi noma’lum bo‘lsa-chi?” deb so‘radi. Haqiqatan ham, agar biz ma'lum bir $b $ soni, aytaylik, 5-darajaga 243 ni berishini bilsak, $b $ sonining o'zi nimaga teng ekanligini qanday taxmin qilishimiz mumkin?
Bu muammo birinchi qarashda ko'rinadiganidan ancha global bo'lib chiqdi. Chunki ko'pchilik "tayyor" kuchlar uchun bunday "dastlabki" raqamlar yo'qligi ma'lum bo'ldi. O'zingiz uchun hukm qiling:
\[\begin(align) & ((b)^(3))=27\Rightarrow b=3\cdot 3\cdot 3\Rightarrow b=3; \\ & ((b)^(3))=64\O'ng strelka b=4\cdot 4\cdot 4\O'ng strelka b=4. \\ \end (tekislash)\]
$((b)^(3))=50$ bo'lsa-chi? Ma'lum bo'lishicha, biz ma'lum bir raqamni topishimiz kerak, uni uch marta ko'paytirganda bizga 50 ni beradi. Lekin bu raqam nima? Bu aniq 3 dan katta, chunki 3 3 = 27< 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 >50. Ya'ni bu raqam uchdan to'rtgacha bo'lgan joyda yotadi, lekin siz nimaga teng ekanligini tushunmaysiz.
Aynan shuning uchun matematiklar $n$th ildizlarini o'ylab topishgan. Aynan shuning uchun $\sqrt(*)$ radikal belgisi kiritildi. $b $ raqamini belgilash uchun, bu ko'rsatilgan darajada bizga oldindan ma'lum bo'lgan qiymatni beradi
\[\sqrt[n](a)=b\O'ng strelka ((b)^(n))=a\]
Men bahslashmayman: ko'pincha bu ildizlar osongina hisoblab chiqiladi - biz yuqorida bir nechta bunday misollarni ko'rdik. Ammo shunga qaramay, ko'p hollarda, agar siz o'zboshimchalik bilan raqamni o'ylab ko'rsangiz va undan ixtiyoriy darajaning ildizini olishga harakat qilsangiz, siz dahshatli baxtsizlikka duch kelasiz.
Nima bor! Hatto eng oddiy va eng tanish $\sqrt(2)$ ni ham odatiy shaklda - butun son yoki kasr shaklida ifodalab bo'lmaydi. Va agar siz ushbu raqamni kalkulyatorga kiritsangiz, buni ko'rasiz:
\[\sqrt(2)=1,414213562...\]
Ko'rib turganingizdek, kasrdan keyin hech qanday mantiqqa bo'ysunmaydigan raqamlarning cheksiz ketma-ketligi mavjud. Siz, albatta, boshqa raqamlar bilan tezda solishtirish uchun bu raqamni yaxlitlashingiz mumkin. Masalan:
\[\sqrt(2)=1,4142...\taxminan 1,4 \lt 1,5\]
Yoki yana bir misol:
\[\sqrt(3)=1,73205...\taxminan 1,7 \gt 1,5\]
Ammo bularning barchasi, birinchi navbatda, juda qo'pol; va ikkinchidan, siz taxminiy qiymatlar bilan ham ishlashingiz kerak, aks holda siz bir qator noaniq xatolarga duch kelishingiz mumkin (Aytgancha, taqqoslash va yaxlitlash mahorati Yagona davlat imtihonining profilida sinovdan o'tishi kerak).
Shuning uchun jiddiy matematikada siz ildizlarsiz qilolmaysiz - ular bizga uzoq vaqtdan beri tanish bo'lgan kasrlar va butun sonlar kabi $\mathbb(R)$ barcha haqiqiy sonlar to'plamining bir xil teng vakillaridir.
Ildizni $\frac(p)(q)$ ko’rinishdagi kasr sifatida ifodalay olmaslik bu ildizning ratsional son emasligini bildiradi. Bunday raqamlar irratsional deb ataladi va ularni aniq ifodalash mumkin emas, faqat radikal yoki buning uchun maxsus mo'ljallangan boshqa konstruktsiyalar (logarifmlar, kuchlar, chegaralar va boshqalar). Ammo bu haqda boshqa safar.
Keling, barcha hisob-kitoblardan keyin irratsional sonlar javobda qoladigan bir nechta misollarni ko'rib chiqaylik.
\[\begin(align) & \sqrt(2+\sqrt(27))=\sqrt(2+3)=\sqrt(5)\taxminan 2,236... \\ & \sqrt(\sqrt(-32) ))=\sqrt(-2)\taxminan -1,2599... \\ \end(align)\]
Tabiiyki, ko'ra ko'rinish ildiz kasrdan keyin qaysi raqamlar kelishini taxmin qilish deyarli mumkin emas. Biroq, siz kalkulyatorga ishonishingiz mumkin, lekin hatto eng ilg'or sana kalkulyatori bizga faqat irratsional sonning birinchi bir necha raqamlarini beradi. Shuning uchun javoblarni $\sqrt(5)$ va $\sqrt(-2)$ ko`rinishlarida yozish ancha to`g`riroq.
Aynan shuning uchun ular ixtiro qilingan. Javoblarni qulay tarzda yozib olish uchun.
Nima uchun ikkita ta'rif kerak?
Diqqatli o'quvchi, ehtimol, misollarda keltirilgan barcha kvadrat ildizlar ijobiy raqamlardan olinganligini payqagandir. Xo'sh, hech bo'lmaganda noldan. Ammo kub ildizlarini har qanday raqamdan xotirjamlik bilan olish mumkin - bu ijobiy yoki salbiy.
Nima uchun bu sodir bo'lmoqda? $y=((x)^(2))$ funksiya grafigiga qarang:
Jadval kvadratik funktsiya ikki ildiz beradi: ijobiy va salbiy Keling, ushbu grafik yordamida $\sqrt(4)$ ni hisoblashga harakat qilaylik. Buning uchun grafikda (qizil rang bilan belgilangan) gorizontal $y=4$ chiziladi, u parabola bilan ikkita nuqtada kesishadi: $((x)_(1))=2$ va $((x) )_(2)) =-2$. Bu juda mantiqiy, chunki
Birinchi raqam bilan hamma narsa aniq - bu ijobiy, shuning uchun ildiz:
Ammo ikkinchi nuqta bilan nima qilish kerak? To'rttaning bir vaqtning o'zida ikkita ildizi bormi? Axir, agar −2 sonini kvadratga aylantirsak, biz ham 4 ni olamiz. Nima uchun u holda $\sqrt(4)=-2$ yozmaslik kerak? Va nega o'qituvchilar bunday postlarga sizni yemoqchi bo'lgandek qarashadi? :)
Muammo shundaki, agar siz qo'shimcha shartlar qo'ymasangiz, unda to'rtta ikkita kvadrat ildizga ega bo'ladi - ijobiy va salbiy. Va har qanday ijobiy raqam ham ulardan ikkitasiga ega bo'ladi. Ammo manfiy sonlar umuman ildizga ega bo'lmaydi - buni bir xil grafikdan ko'rish mumkin, chunki parabola hech qachon o'qdan pastga tushmaydi. y, ya'ni. salbiy qiymatlarni qabul qilmaydi.
Xuddi shunday muammo teng ko'rsatkichli barcha ildizlar uchun yuzaga keladi:
- To'g'rirog'i, har bir musbat sonning $n$ ko'rsatkichli ikkita ildizi bo'ladi;
- Salbiy raqamlardan hatto $n$ bo'lgan ildiz umuman chiqarilmaydi.
Shuning uchun ham $n$ juft darajali ildizni ta'riflashda javob manfiy bo'lmagan son bo'lishi kerakligi alohida ko'rsatilgan. Shunday qilib, biz noaniqlikdan xalos bo'lamiz.
Lekin g'alati $n$ uchun bunday muammo yo'q. Buni ko‘rish uchun $y=((x)^(3))$ funksiya grafigini ko‘rib chiqamiz:
Kub parabolasi har qanday qiymatni qabul qilishi mumkin, shuning uchun kub ildizi istalgan raqamdan olinishi mumkin Ushbu grafikdan ikkita xulosa chiqarish mumkin:
- Kub parabolaning shoxlari oddiydan farqli o'laroq, ikkala yo'nalishda ham - yuqoriga ham, pastga ham cheksizlikka boradi. Shuning uchun, biz gorizontal chiziqni qanday balandlikda chizmasak ham, bu chiziq bizning grafigimiz bilan kesishadi. Binobarin, kub ildizi har doim mutlaqo istalgan raqamdan olinishi mumkin;
- Bundan tashqari, bunday kesishma har doim o'ziga xos bo'ladi, shuning uchun qaysi raqam "to'g'ri" ildiz deb hisoblanishi va qaysi birini e'tiborsiz qoldirish haqida o'ylashingiz shart emas. Shuning uchun toq daraja uchun ildizlarni aniqlash juft darajaga qaraganda oddiyroqdir (salbiy bo'lmasligi shart emas).
Afsuski, bular oddiy narsalar aksariyat darsliklarda tushuntirilmagan. Buning o'rniga, bizning miyamiz har xil arifmetik ildizlar va ularning xususiyatlari bilan ko'tarila boshlaydi.
Ha, men bahslashmayman: arifmetik ildiz nima ekanligini ham bilishingiz kerak. Va men bu haqda alohida darsda batafsil gaplashaman. Bugun biz bu haqda ham gaplashamiz, chunki usiz $n$-inchi ko'plikning ildizlari haqidagi barcha fikrlar to'liq bo'lmaydi.
Lekin birinchi navbatda siz yuqorida bergan ta'rifni aniq tushunishingiz kerak. Aks holda, atamalarning ko'pligi tufayli sizning boshingizda shunday tartibsizlik boshlanadiki, oxirida siz hech narsani tushunmaysiz.
Siz qilishingiz kerak bo'lgan yagona narsa - juft va toq ko'rsatkichlar o'rtasidagi farqni tushunish. Shuning uchun, keling, yana bir bor ildizlar haqida bilishingiz kerak bo'lgan hamma narsani to'playmiz:
- Juft darajali ildiz faqat manfiy bo'lmagan sondan mavjud bo'lib, o'zi hamisha manfiy bo'lmagan sondir. Salbiy sonlar uchun bunday ildiz aniqlanmagan.
- Ammo g'alati darajaning ildizi har qanday sondan mavjud bo'lib, o'zi ham har qanday raqam bo'lishi mumkin: musbat sonlar uchun u musbat, manfiy sonlar uchun esa, shapka ko'rsatganidek, manfiy.
Bu qiyinmi? Yo'q, qiyin emas. Tushunarli? Ha, bu mutlaqo aniq! Shunday qilib, endi biz hisob-kitoblar bilan bir oz mashq qilamiz.
Asosiy xususiyatlar va cheklovlar
Ildizlar juda ko'p g'alati xususiyatlar va cheklovlarga ega - bu alohida darsda muhokama qilinadi. Shuning uchun, endi biz faqat teng indeksli ildizlarga tegishli bo'lgan eng muhim "hiyla" ni ko'rib chiqamiz. Keling, ushbu xususiyatni formula sifatida yozamiz:
\[\sqrt(((x)^(2n)))=\chap| x\right|\]
Boshqacha qilib aytadigan bo'lsak, agar biz raqamni teng darajaga ko'tarsak va keyin bir xil darajaning ildizini chiqarsak, biz asl sonni emas, balki uning modulini olamiz. Bu oson isbotlanishi mumkin bo'lgan oddiy teorema (salbiy bo'lmagan $x$ ni alohida, keyin esa manfiylarni alohida ko'rib chiqish kifoya). O'qituvchilar bu haqda doimo gapiradilar, bu har bir maktab darsligida berilgan. Ammo irratsional tenglamalarni (ya'ni, radikal belgisi bo'lgan tenglamalarni) yechish haqida gap ketganda, talabalar bir ovozdan bu formulani unutishadi.
Muammoni batafsil tushunish uchun, keling, barcha formulalarni bir daqiqaga unutib, ikkita raqamni hisoblashga harakat qilaylik:
\[\sqrt(((3)^(4)))=?\quad \sqrt(((\left(-3 \o'ng))^(4)))=?\]
Bu juda oddiy misollar. Ko'pchilik birinchi misolni hal qiladi, lekin ko'p odamlar ikkinchisiga yopishib olishadi. Bunday axlatni muammosiz hal qilish uchun har doim protsedurani ko'rib chiqing:
- Birinchidan, raqam to'rtinchi darajaga ko'tariladi. Xo'sh, bu qandaydir oson. Siz hatto ko'paytirish jadvalida ham topilishi mumkin bo'lgan yangi raqamni olasiz;
- Va endi bu yangi raqamdan to'rtinchi ildizni olish kerak. Bular. ildizlar va kuchlarning "kamayishi" sodir bo'lmaydi - bu ketma-ket harakatlar.
Birinchi ifodani ko'rib chiqamiz: $\sqrt(((3)^(4)))$. Shubhasiz, siz avval ildiz ostidagi ifodani hisoblashingiz kerak:
\[((3)^(4))=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=81\]
Keyin 81 raqamining to'rtinchi ildizini chiqaramiz:
Endi ikkinchi ifoda bilan ham xuddi shunday qilamiz. Birinchidan, biz −3 sonini to'rtinchi darajaga ko'taramiz, bu esa uni o'z-o'zidan 4 marta ko'paytirishni talab qiladi:
\[((\left(-3 \o'ng))^(4))=\left(-3 \o'ng)\cdot \left(-3 \o'ng)\cdot \left(-3 \o'ng)\cdot \ chap (-3 \o'ng)=81\]
Biz ijobiy raqamni oldik, chunki mahsulotdagi minuslarning umumiy soni 4 tani tashkil etadi va ularning barchasi bir-birini bekor qiladi (oxir-oqibat, minus uchun minus plyus beradi). Keyin yana ildizni chiqaramiz:
Aslida, bu qatorni yozish mumkin emas edi, chunki javob bir xil bo'lishi aqlga sig'maydi. Bular. Xuddi shu teng quvvatning teng ildizi minuslarni "yoqadi" va bu ma'noda natija oddiy moduldan farq qilmaydi:
\[\begin(align) & \sqrt(((3)^(4)))=\left| 3 \right|=3; \\ & \sqrt(((\left(-3 \o'ng))^(4)))=\chap| -3 \o'ng|=3. \\ \end (tekislash)\]
Bu hisob-kitoblar juft darajali ildizning ta'rifi bilan yaxshi mos keladi: natija har doim manfiy bo'lmaydi va radikal belgi ham har doim manfiy bo'lmagan sonni o'z ichiga oladi. Aks holda, ildiz aniqlanmagan.
Jarayon haqida eslatma
- $\sqrt(((a)^(2)))$ belgisi birinchi navbatda $a$ raqamini kvadratga aylantirib, keyin olingan qiymatning kvadrat ildizini olishimizni bildiradi. Shuning uchun, ildiz belgisi ostida har doim manfiy bo'lmagan son mavjudligiga ishonch hosil qilishimiz mumkin, chunki har qanday holatda $((a)^(2))\ge 0$;
- Lekin $((\left(\sqrt(a) \right))^(2))$ yozuvi, aksincha, biz avval ma'lum $a$ sonning ildizini olamiz va shundan keyingina natijani kvadratga olamiz. Shuning uchun $a$ soni hech qanday holatda salbiy bo'lishi mumkin emas - bu ta'rifga kiritilgan majburiy talab.
Shunday qilib, hech qanday holatda ildizlar va darajalarni o'ylamasdan qisqartirmaslik kerak va shu bilan asl iborani "soddalashtirish" mumkin. Chunki agar ildiz manfiy songa ega bo'lsa va uning ko'rsatkichi juft bo'lsa, biz bir qator muammolarni olamiz.
Biroq, bu muammolarning barchasi faqat hatto ko'rsatkichlar uchun ham tegishli.
Ildiz belgisi ostidagi minus belgisini olib tashlash
Tabiiyki, ko'rsatkichlari toq bo'lgan ildizlar ham o'ziga xos xususiyatga ega, ular printsipial jihatdan juftlarda mavjud emas. Aynan:
\[\sqrt(-a)=-\sqrt(a)\]
Qisqacha aytganda, g'alati darajadagi ildizlar belgisi ostidan minusni olib tashlashingiz mumkin. Bu juda foydali mulk, bu sizga barcha salbiy tomonlarni "tashlab yuborish" imkonini beradi:
\[\begin(align) & \sqrt(-8)=-\sqrt(8)=-2; \\ & \sqrt(-27)\cdot \sqrt(-32)=-\sqrt(27)\cdot \left(-\sqrt(32) \o'ng)= \\ & =\sqrt(27)\cdot \sqrt(32)= \\ & =3\cdot 2=6. \end(tuzalash)\]
Ushbu oddiy xususiyat ko'plab hisob-kitoblarni sezilarli darajada osonlashtiradi. Endi tashvishlanishingizga hojat yo'q: agar salbiy ibora ildiz ostida yashiringan bo'lsa-chi, lekin ildizdagi daraja teng bo'lib chiqdi? Ildizlardan tashqaridagi barcha minuslarni "tashlab qo'yish" kifoya qiladi, shundan so'ng ular bir-biriga ko'paytirilishi, bo'linishi va umuman olganda, "klassik" ildizlar holatida bizni olib kelishi kafolatlangan ko'plab shubhali narsalarni qilishlari mumkin. xato.
Va bu erda yana bir ta'rif paydo bo'ladi - xuddi shu ta'rif ko'pchilik maktablarda irratsional iboralarni o'rganishni boshlaydi. Va busiz bizning fikrimiz to'liq bo'lmaydi. Tanishing!
Arifmetik ildiz
Keling, bir lahzaga taxmin qilaylik, ildiz belgisi ostida faqat ijobiy raqamlar yoki o'ta og'ir holatlarda nol bo'lishi mumkin. Keling, juft sonlarni unutaylik/ g'alati ko'rsatkichlar, keling, yuqorida keltirilgan barcha ta'riflarni unutaylik - biz faqat manfiy bo'lmagan raqamlar bilan ishlaymiz. Keyin nima?
Va keyin biz arifmetik ildizga ega bo'lamiz - bu bizning "standart" ta'riflarimiz bilan qisman mos keladi, lekin baribir ulardan farq qiladi.
Ta'rif. $a$ manfiy boʻlmagan sonning $n$-chi darajali arifmetik ildizi manfiy boʻlmagan $b$ son boʻlib, $((b)^(n))=a$ boʻladi.
Ko'rib turganimizdek, endi bizni paritet qiziqtirmaydi. Buning o'rniga yangi cheklov paydo bo'ldi: radikal ifoda endi har doim salbiy emas va ildizning o'zi ham salbiy emas.
Arifmetik ildiz odatdagidan qanday farq qilishini yaxshiroq tushunish uchun biz allaqachon tanish bo'lgan kvadrat va kub parabola grafiklarini ko'rib chiqing:
Arifmetik ildiz qidirish maydoni - manfiy bo'lmagan raqamlar Ko'rib turganingizdek, bundan buyon bizni faqat birinchi koordinata choragida joylashgan grafik qismlari qiziqtiradi - bu erda $x$ va $y$ koordinatalari ijobiy (yoki hech bo'lmaganda nolga teng). Manfiy raqamni ildiz ostiga qo'yish huquqiga egamiz yoki yo'qligini tushunish uchun endi indikatorga qarash kerak emas. Chunki manfiy raqamlar endi printsipial jihatdan hisobga olinmaydi.
Siz shunday deb so'rashingiz mumkin: "Xo'sh, nega bizga bunday ta'rif kerak?" Yoki: "Nega biz yuqorida keltirilgan standart ta'rifga erisha olmaymiz?"
Xo'sh, men faqat bitta xususiyatni beraman, shuning uchun yangi ta'rif mos keladi. Masalan, eksponentsiya qoidasi:
\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]
Iltimos, diqqat qiling: biz radikal ifodani istalgan kuchga ko'tarishimiz va shu bilan birga ildiz ko'rsatkichini bir xil kuchga ko'paytirishimiz mumkin - natijada bir xil raqam bo'ladi! Mana misollar:
\[\begin(align) & \sqrt(5)=\sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(25) \\ & \sqrt(2)=\sqrt(((2)^ (4)))=\sqrt(16)\\ \end(align)\]
Xo'sh, nima katta ish? Nega biz buni oldin qila olmadik? Mana nima uchun. Oddiy ifodani ko'rib chiqaylik: $\sqrt(-2)$ - bu raqam bizning klassik tushunchamizda juda normal, ammo arifmetik ildiz nuqtai nazaridan mutlaqo qabul qilinishi mumkin emas. Keling, uni aylantirishga harakat qilaylik:
$\begin(align) & \sqrt(-2)=-\sqrt(2)=-\sqrt(((2)^(2))))=-\sqrt(4) \lt 0; \\ & \sqrt(-2)=\sqrt(((\left(-2 \o'ng))^(2)))=\sqrt(4) \gt 0. \\ \end(align)$
Ko'rib turganingizdek, birinchi holatda biz minusni radikal ostidan olib tashladik (bizda barcha huquqlar bor, chunki ko'rsatkich g'alati), ikkinchi holatda biz yuqoridagi formuladan foydalandik. Bular. Matematik nuqtai nazardan, hamma narsa qoidalarga muvofiq amalga oshiriladi.
WTF?! Qanday qilib bir xil raqam ham ijobiy, ham salbiy bo'lishi mumkin? Bo'lishi mumkin emas. Shunchaki, musbat sonlar va nol uchun ajoyib ishlaydigan eksponentatsiya formulasi salbiy sonlar holatida to'liq bid'atni keltirib chiqara boshlaydi.
Bunday noaniqlikdan xalos bo'lish uchun ular o'ylab topdilar arifmetik ildizlar. Ularga alohida katta dars bag'ishlangan bo'lib, unda biz ularning barcha xususiyatlarini batafsil ko'rib chiqamiz. Shuning uchun biz hozir ular haqida to'xtalmaymiz - dars juda uzoq bo'lib chiqdi.
Algebraik ildiz: ko'proq bilishni istaganlar uchun
Bu mavzuni alohida paragrafga qo'yamanmi yoki yo'qmi, uzoq o'yladim. Oxir-oqibat, men uni shu erda qoldirishga qaror qildim. Ushbu material ildizlarni yaxshiroq tushunishni istaganlar uchun mo'ljallangan - endi o'rtacha "maktab" darajasida emas, balki Olimpiada darajasiga yaqin.
Demak: sonning $n$-inchi ildizining “klassik” ta’rifi va unga bog‘liq bo‘lgan juft va toq ko‘rsatkichlarga bo‘linishidan tashqari, paritet va boshqa nozikliklarga umuman bog‘liq bo‘lmagan ko‘proq “kattalar” ta’rifi mavjud. Bu algebraik ildiz deyiladi.
Ta'rif. Har qanday $a$ ning $n$-inchi algebraik ildizi $((b)^(n))=a$ boʻladigan barcha $b$ sonlar toʻplamidir. Bunday ildizlar uchun aniq belgi yo'q, shuning uchun biz tepaga chiziqcha qo'yamiz:
\[\overline(\sqrt[n](a))=\left\( b\left| b\in \mathbb(R);((b)^(n))=a \o'ng. \o'ng\) \]
Dars boshida berilgan standart ta’rifdan tub farqi shundaki, algebraik ildiz aniq son emas, balki to‘plamdir. Va biz haqiqiy raqamlar bilan ishlaganimiz sababli, bu to'plam faqat uchta turda bo'ladi:
- Bo'sh to'plam. Manfiy sondan juft darajali algebraik ildizni topish kerak bo'lganda paydo bo'ladi;
- Bitta elementdan iborat to'plam. Toq darajalarning barcha ildizlari, shuningdek, nolning juft darajalarining ildizlari shu toifaga kiradi;
- Nihoyat, to'plam ikkita raqamni o'z ichiga olishi mumkin - biz ko'rgan $((x)_(1))$ va $((x)_(2))=-((x)_(1))$ kvadratik funksiya grafigi. Shunga ko'ra, bunday tartibga solish faqat musbat sondan juft darajaning ildizini chiqarganda mumkin.
Oxirgi holat batafsilroq ko'rib chiqishga loyiqdir. Farqni tushunish uchun bir nechta misollarni sanab o'tamiz.
Misol. Ifodalarni baholang:
\[\overline(\sqrt(4));\quad \overline(\sqrt(-27));\quad \overline(\sqrt(-16)).\]
Yechim. Birinchi ifoda oddiy:
\[\overline(\sqrt(4))=\left\( 2;-2 \o'ng\)\]
Bu to'plamning bir qismi bo'lgan ikkita raqam. Chunki ularning har birining kvadrati to'rtlikni beradi.
\[\overline(\sqrt(-27))=\chap\( -3 \o'ng\)\]
Bu erda biz faqat bitta raqamdan iborat to'plamni ko'ramiz. Bu juda mantiqiy, chunki ildiz ko'rsatkichi g'alati.
Nihoyat, oxirgi ifoda:
\[\overline(\sqrt(-16))=\varnothing \]
Biz bo'sh to'plam oldik. Chunki to'rtinchi (ya'ni, hatto!) darajaga ko'tarilganda bizga -16 manfiy sonini beradigan bitta haqiqiy son yo'q.
Yakuniy eslatma. E'tibor bering: biz haqiqiy raqamlar bilan ishlayotganimizni hamma joyda ta'kidlaganim yo'q. Chunki murakkab raqamlar ham bor - u erda $\sqrt(-16)$ va boshqa ko'plab g'alati narsalarni hisoblash juda mumkin.
Biroq, zamonaviy maktab matematika kurslarida murakkab raqamlar deyarli hech qachon paydo bo'lmaydi. Ular aksariyat darsliklardan olib tashlangan, chunki bizning rasmiylar mavzuni "tushunish juda qiyin" deb hisoblashadi.
Ana xolos. Keyingi darsda biz hamma narsani ko'rib chiqamiz asosiy xususiyatlar roots va nihoyat irratsional ifodalarni qanday soddalashtirishni o'rganing :)
Amalda ildiz chiqarish operatsiyasidan muvaffaqiyatli foydalanish uchun siz ushbu operatsiyaning xususiyatlari bilan tanishishingiz kerak.
Barcha xususiyatlar faqat ildiz belgilari ostida joylashgan o'zgaruvchilarning salbiy bo'lmagan qiymatlari uchun tuzilgan va tasdiqlangan.
Teorema 1. Ildiz n-daraja(n=2, 3, 4,...) ikkita manfiy bo'lmagan chiplarning ko'paytmasi ko'paytmaga teng. n-chi ildizlar bu raqamlarning vakolatlari:
Izoh:
1.
1-teorema radikal ifoda ikkidan ortiq manfiy bo'lmagan sonlarning ko'paytmasi bo'lgan holatda o'z kuchini saqlab qoladi.
Teorema 2.Agar,
n esa 1 dan katta natural son bo‘lsa, tenglik to‘g‘ri bo‘ladi
Qisqacha(noto'g'ri bo'lsa ham) amalda qo'llash qulayroq bo'lgan formula: kasrning ildizi ildizlarning ulushiga teng.
1-teorema t ni ko'paytirishga imkon beradi faqat bir xil darajadagi ildizlar
, ya'ni. faqat bir xil indeksli ildizlar.
Teorema 3.Agar ,k natural son va n natural son 1 dan katta bo'lsa, tenglik to'g'ri bo'ladi
Boshqacha qilib aytganda, ildiz otish uchun tabiiy daraja, bu kuchga radikal ifodani ko'tarish kifoya.
Bu 1-teoremaning natijasidir. Aslida, masalan, k = 3 uchun biz quyidagilarni olamiz: k ko'rsatkichining boshqa har qanday natural qiymatida ham xuddi shunday fikr yurita olamiz.
Teorema 4.Agar ,k, n- butun sonlar, 1 dan katta bo'lsa, tenglik to'g'ri bo'ladi
Boshqacha qilib aytganda, ildizdan ildiz olish uchun ildizlarning ko'rsatkichlarini ko'paytirish kifoya.
Masalan,
Diqqatli bo'ling! Biz ildizlarda to'rtta amalni bajarish mumkinligini bilib oldik: ko'paytirish, bo'lish, darajaga ko'tarish va ildiz chiqarish (ildizdan). Ammo ildizlarni qo'shish va ayirish haqida nima deyish mumkin? Bo'lishi mumkin emas.
Masalan, Really yozish o'rniga, lekin bu aniq
Teorema 5.Agar ildiz va radikal ifodaning ko'rsatkichlari bir xil natural songa ko'paytiriladi yoki bo'linadi, keyin ildizning qiymati o'zgarmaydi, ya'ni.
Muammoni hal qilishga misollar
1-misol. Hisoblash
Yechim. Ildizlarning birinchi xossasidan (1-teorema) foydalanib, biz quyidagilarni olamiz:
2-misol. Hisoblash
Yechim. Aralash sonni noto'g'ri kasrga aylantiring.
Bizda ildizlarning ikkinchi xususiyatidan foydalanish ( Teorema 2
), biz olamiz:
3-misol. Hisoblash: 
Yechim. Algebradagi har qanday formula, siz yaxshi bilganingizdek, nafaqat "chapdan o'ngga", balki "o'ngdan chapga" ham qo'llaniladi. Demak, ildizlarning birinchi xossasi ularning shaklda ifodalanishi va aksincha, ifoda bilan almashtirilishini bildiradi. Xuddi shu narsa ildizlarning ikkinchi xususiyatiga ham tegishli. Buni hisobga olib, hisob-kitoblarni amalga oshiramiz.
Umumiy vazirligi va kasb-hunar ta'limi RO
davlat byudjeti ta'lim muassasasi
Rostov viloyatidagi boshlang'ich kasb-hunar ta'limi
5-sonli kasb-hunar maktabi
Amaliy ish
EDP intizomi bo'yicha. 01.“Matematika: algebra va tamoyillar
matematik tahlil; geometriya"
ushbu mavzu bo'yicha: “Ildiz, daraja va logarifmlarni o'z ichiga olgan iboralarni o'zgartirish».
Uchun talabalar I kurs
G. Rostov-na-Donu
2017 yil
1-bo'lim. Algebra.
1.2-mavzu. Ildizlar, kuchlar va logarifmlar.
Amaliy dars № 1.
Mavzu: "Ildiz, daraja va logarifmlarni o'z ichiga olgan iboralarni o'zgartirish."
Maqsad: bilish radikallar, darajalar va logarifmlarning xossalari; qachon ularni qo'llash imkoniyatiga ega bo'lish ildizlar, darajalar va logarifmlarni o'z ichiga olgan iboralarni o'zgartirishni amalga oshirish.
Soatlar soni : 1 soat.
Nazariy material.
Ildizlar.
Ildiz topilgan harakatn-chi daraja, ildiz chiqarish deb ataladin- daraja.
Ta'rif. Tabiiy darajaning arifmetik ildizin≥ 2 manfiy bo'lmagan a soni manfiy bo'lmagan son deb ataladi,nuning th darajasi a ga teng.
Ikkinchi darajali arifmetik ildiz kvadrat ildiz, uchinchi darajali ildiz esa kub ildiz deyiladi.
Masalan.
Hisoblash:
Arifmetik ildizn- daraja quyidagi xususiyatlarga ega:
a ≥ 0 bo'lsa, b > 0 va n, m- natural sonlar, van ≥ 2, m≥ 2, keyin
1. 3.
2. 4.
Arifmetik ildiz xossalaridan foydalanishga misollar.
Ratsional darajali daraja xossalari.
Har qanday p va k ratsional sonlar va har qanday a > 0 va b > 0 uchun tengliklar to‘g‘ri bo‘ladi:
1. ; 2. ;
3. ; 4. ;
5. .
Darajaning xususiyatlaridan foydalanishga misollar:
1). 7*
4). .
Raqamning logarifmi
Ta'rif. Musbat sonning logarifmiba asosiga, qaerdaa > 0, a≠ 1, sonni ko'tarish kerak bo'lgan ko'rsatkich deyiladia, olish uchun b.
a = b asosiy logarifmik identifikatsiya hisoblanadi.
Logarifmlarning xossalari
Mayli a > 0, a ≠ 1, b>0, c >0, k – har qanday haqiqiy son. Keyin formulalar amal qiladi:
1 . jurnal ( miloddan avvalgi ) = logb + logc , 4. logb = ,
2. log = logb - log c, 5.jurnal a = 1 ,
3. jurnal b = ga * logb , 6. jurnal 0 = 1 .
Formulalardan foydalanishga misollar:
log2 + log 18 = jurnal ( 2 * 18 ) = jurnal 36 = 2;
jurnal 48 -log 4 =log= jurnal 12 = 1;
jurnal 9 = * jurnal 9 = .
O'zingiz uchun qaror qiling .
Vazifalar.
1 variant
1. Hisoblang:
1) ; 4) jurnal ;
2) ; 5) 0,5;
3) ; 6) 3 jurnal 2 - jurnal 64.
2, agar x = 7 bo'lsa.
3. Raqamlarni solishtiring:jurnal 11 va jurnal 19.
4. Soddalashtiring: 1) ; 2) .
5. Hisoblang: jurnaljurnaljurnal 3.
_________________________________________________________________
Variant 2
1. Hisoblang:
1) ; 4) jurnal 64;
2) ; 5) ;
3) ; 6) 2 jurnal 3 - jurnal 81.
2. Ifodaning ma'nosini toping: 3, agar y = 2 bo'lsa.
3. Raqamlarni solishtiring:jurnal Va jurnal.
4. Soddalashtiring: 1) ; 2) .
5. Hisoblang: jurnaljurnaljurnal 2.
__________________________________________________________________
Baholash mezonlari:
11 ta to'g'ri topshiriq - "5";
9 - 10 ta to'g'ri topshiriq - "4";
7 - 8 ta to'g'ri topshiriq - "3".
Bashmakov. M.I. Matematika: NPO va SPO uchun darslik. - M.:
"Akademiya" nashriyot markazi, 2013 yil.
Alimov Sh.A. va boshqalar Algebra va tahlilning boshlanishi. 10 (11) hujayra – M.: 2012 yil.
Algebra. 9-sinf: Umumta’lim uchun darslik, muammoli kitob. muassasalar/
A.G. Mordkovich va boshqalar - M.: Mnemosyna, 2009.
Algebra. 8-sinf: Umumta’lim uchun darslik, muammoli kitob. muassasalar/
A.G. Mordkovich va boshqalar - M.: Mnemosyne, 2008.
Algebra. 7-sinf: Umumta’lim uchun darslik, muammoli kitob. muassasalar/
A.G. Mordkovich va boshqalar - M.: Mnemosyne, 2007.
Hisobot shakli: o'qituvchi tomonidan topshiriqlarning bajarilishini tekshirish
Ko‘rib chiqish:
2-son AMALIY ISH
OD.10 Matematika
Mavzu: Algebraik, ratsional, irratsional, kuch ifodalarini o`zgartirish.
Dars turi: Amaliy dars
Maqsad sinflar | tarbiyaviy | Talabalarning algebraik, ratsional, irratsional, kuch ifodalarini o‘zgartirish bo‘yicha bilim va amaliy ko‘nikmalarini tekshirish. |
tarbiyaviy va rivojlanmoqda | Kerakli mustaqil ko'nikmalarni egallashga yordam bering ta'lim faoliyati; olingan bilimlarni standart sharoitlarda qo'llash ko'nikmalarini rivojlantirishga ko'maklashish |
|
Fanlararo kommunikatsiyalar | ta'minlash | Matematika (maktab kursi) |
taqdim etilgan | Fizika, kimyo, texnik mexanika, iqtisodiyot, kurs ishi va diplom loyihalash |
Darsni ta'minlash:
AKTdan foydalanish (axborot-kommunikatsiya texnologiyalari)
(multimedia taqdimotlari, proyeksiya uskunalari, interfaol doska, shaxsiy kompyuter, kompyuter testlari)
Ko‘rgazmali qurollar va tarqatma materiallar:uchun ko'rsatmalar amaliy ish 2-son, plakatlar: “Kuchlarning xossalari”, “N- ildizning xossalari”, “Qisqartirilgan ko‘paytirish formulasi”
Adabiyot: Kolmogorov A.N. va boshqalar Algebra va tahlilning boshlanishi. 10 (11) hujayra - M.: Ta'lim, 2012.
Ishning maqsadi:
Algebraik, ratsional, irratsional, kuch ifodalarini o'zgartirish bo'yicha amallarni bajaring.
SONDAN TABIY DARAJA ILKLARI, ULARNING XUSUSIYATLARI.
Ildiz n - daraja: , n - ildiz darajasi, A - radikal ifoda
Agar n - toq raqam, keyin ifoda qachon a
Agar n - juft son, keyin ifoda qachon mantiqiy bo'ladi
Arifmetik ildiz:
Salbiy sonning toq ildizi:
ILDIZNING ASOSIY XUSUSIYATLARI
- Mahsulotdan ildiz olish qoidasi:
- Ildizdan ildiz olish qoidasi:
- Ildiz belgisi ostidan multiplikatorni olib tashlash qoidasi:
- Ildiz belgisi ostida ko'paytirgichni kiritish:
- Ildiz indeksi va radikal ifoda indeksini bir xil raqamga ko'paytirish mumkin.
- Ildizni kuchga ko'tarish qoidasi.
TABIY KO'RSATKOR BILAN DARAJA
A - daraja asosi; n - ko'rsatkich
Xususiyatlari:
- Bir xil asoslar bilan kuchlarni ko'paytirishda ko'rsatkichlar qo'shiladi, ammo asos o'zgarishsiz qoladi.
- Bir xil asoslar bilan darajalarni bo'lishda ko'rsatkichlar ayiriladi, ammo asos o'zgarishsiz qoladi.
- Quvvatni bir darajaga ko'tarishda ko'rsatkichlar ko'paytiriladi.
- Ikki sonning ko'paytmasini bir darajaga ko'tarishda har bir raqam shu darajaga ko'tariladi va natijalar ko'paytiriladi.
- Agar ikkita sonning qismi bir darajaga ko'tarilsa, hisob va maxraj bu darajaga ko'tariladi va natija bir-biriga bo'linadi.
BUTUN SON INDIKATORI BILAN DARAJA
- A-prioritet:
Xususiyatlari:
- r ratsional son bo‘lsin, Keyin
r>0 uchun > r uchun
7 . Har qanday ratsional sonlar uchun r va s tengsizlikdan> kerak
> a>1 uchun
Qisqartirilgan ko'paytirish formulalari.
1-misol. Ifodani soddalashtiring.
Yechim
Kuchlarning xossalarini qo‘llaylik (bir xil asosli darajalarni ko‘paytirish va bir xil asosga ega bo‘lish darajalarini):
.
Javob: 9m 7.
2-misol. Kasrni kamaytirish:
Yechim. Demak, kasrni aniqlash sohasix ≠ 1 va x ≠ -2 dan tashqari barcha raqamlar.
.Kasrni kamaytirish orqali biz olamiz.Olingan kasrning aniqlanish sohasi: x ≠ -2, ya'ni. asl kasrni aniqlash diapazonidan kengroq. Shuning uchun kasrlar Va x ≠ 1 va x ≠ -2 uchun teng.
3-misol. Kasrni kamaytirish:
4-misol: Soddalashtiring: 
5-misol. Soddalashtiring: 
Misol 6. Soddalashtiring: 
7-misol. Soddalashtiring: 
8-misol. Soddalashtiring: 
9-misol. Hisoblang: 
.
Yechim.
10-misol. Ifodani soddalashtiring:
Yechim. 
11-misol .Kasrni kamaytiring, Agar
Yechim. 
.
12-misol. Kasrning maxrajidagi mantiqsizlikdan ozod bo'ling
Yechish maxrajda bizda 2-darajali irratsionallik bor, shuning uchun biz kasrning ayirmasini ham, maxrajini ham konjugat ifodaga, ya'ni sonlar yig'indisiga ko'paytiramiz. Va , keyin denominatorda biz irratsionallikni bartaraf etadigan kvadratlar farqiga ega bo'lamiz.
VARIANT - I 1. Ifodani soddalashtiring: 5. Soddalashtiring: 10. Ushbu amalni bajaring: 8. Kasrni kamaytiring 9. Harakat qiling | VARIANT - II 1. Ifodani soddalashtiring: 2. Ifodaning ma'nosini toping: 3. Kasr darajali darajani ildiz sifatida ifodalang 4. Belgilangan ifodani shaklga qisqartiring 5. Soddalashtiring: 6. Arifmetik ildizlarni kasr darajali darajalar bilan almashtiring 7. Ifodani maxrajida ildiz belgisi bo‘lmagan kasr shaklida ko‘rsating 10. Ushbu amalni bajaring: 8. Kasrni kamaytiring 9. Harakat qiling |
VARIANT - III 1. Ushbu amalni bajaring: 2. Ifodaning ma'nosini toping: 3. Kasr darajali darajani ildiz sifatida ifodalang 4. Belgilangan ifodani shaklga qisqartiring, bu yerda a ratsional son, b natural son 5. Soddalashtiring: 6. Arifmetik ildizlarni kasr darajali darajalar bilan almashtiring 7. Ifodani maxrajida ildiz belgisi bo‘lmagan kasr shaklida ko‘rsating 10. Ushbu amalni bajaring: 8. Kasrni kamaytiring 9. Harakat qiling | VARIANT - IV 1. Ushbu amalni bajaring: 2. Ifodaning ma'nosini toping: 3. Kasr darajali darajani ildiz sifatida ifodalang 4. Belgilangan ifodani shaklga qisqartiring, bu yerda a ratsional son, b natural son 5. Soddalashtiring: 6. Arifmetik ildizlarni kasr darajali darajalar bilan almashtiring 7. Ifodani maxrajida ildiz belgisi bo‘lmagan kasr shaklida ko‘rsating 10. Ushbu amalni bajaring: 8. Kasrni kamaytiring 9. Harakat qiling 3. Kasr darajali darajani ildiz sifatida ifodalang 4. Belgilangan ifodani shaklga qisqartiring, bu yerda a ratsional son, b natural son 5. Soddalashtiring: 6. Arifmetik ildizlarni kasr darajali darajalar bilan almashtiring 7. Ifodani maxrajida ildiz belgisi bo‘lmagan kasr shaklida ko‘rsating 10. Ushbu amalni bajaring: 8. Kasrni kamaytiring 9. Harakat qiling | VARIANT - VI 1. Ifodani soddalashtiring: 2. Ifodaning ma'nosini toping: 3. Kasr darajali darajani ildiz sifatida ifodalang 4. Belgilangan ifodani shaklga qisqartiring, bu yerda -a ratsional son, b natural son 5. Soddalashtiring: 6. Arifmetik ildizlarni kasr darajali darajalar bilan almashtiring 7. Ifodani maxrajida ildiz belgisi bo‘lmagan kasr shaklida ko‘rsating 10. Harakat qiling 8. Kasrni kamaytiring 9. Harakat qiling |
