Ushbu maqola ildizlarning xususiyatlari mavzusiga tegishli batafsil ma'lumotlar to'plamidir. Mavzuni ko'rib chiqsak, biz xususiyatlardan boshlaymiz, barcha formulalarni o'rganamiz va dalillarni keltiramiz. Mavzuni mustahkamlash uchun n-darajali xossalarni ko'rib chiqamiz.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Ildizlarning xossalari
Biz xususiyatlar haqida gaplashamiz.
- Mulk ko'paytirilgan raqamlar a Va b, a · b = a · b tengligi sifatida ifodalanadi. U ijobiy yoki nolga teng omillar ko'rinishida ifodalanishi mumkin a 1 , a 2 , … , a k a 1 · a 2 · … · a k = a 1 · a 2 · … · a k sifatida;
- a bo'limidan: b = a: b, a ≥ 0, b > 0, bu ko'rinishda ham yozilishi mumkin a b = a b;
- Raqamning kuchidan xossa a har qanday son uchun juft darajali a 2 m = a m a, masalan, a 2 = a sonining kvadratidan xossa.
Taqdim etilgan tenglamalarning har qandayida siz chiziqcha belgisidan oldin va keyin qismlarni almashtirishingiz mumkin, masalan, a · b = a · b tengligi a · b = a · b shaklida o'zgartiriladi. Tenglik xususiyatlari ko'pincha murakkab tenglamalarni soddalashtirish uchun ishlatiladi.
Birinchi xossalarning isboti kvadrat ildizning ta'rifiga va bilan darajalarning xossalariga asoslanadi tabiiy ko'rsatkich. Uchinchi xususiyatni asoslash uchun son modulining ta'rifiga murojaat qilish kerak.
Avvalo, kvadrat ildizning a · b = a · b xossalarini isbotlash kerak. Ta'rifga ko'ra, a b musbat yoki nolga teng bo'lgan son ekanligini hisobga olish kerak. a b qurilish vaqtida kvadratga. a · b ifodaning qiymati manfiy bo'lmagan sonlar ko'paytmasi sifatida musbat yoki nolga teng. Ko'paytirilgan sonlarning vakolatlari xususiyati bizga tenglikni (a · b) 2 = a 2 · b 2 ko'rinishida ifodalash imkonini beradi. Kvadrat ildizning ta'rifiga ko'ra, a 2 = a va b 2 = b, keyin a · b = a 2 · b 2 = a · b.
Xuddi shunga o'xshash tarzda buni mahsulotdan isbotlash mumkin k multiplikatorlar a 1 , a 2 , … , a k mahsulotga teng bo'ladi kvadrat ildizlar bu omillardan. Haqiqatan ham, a 1 · a 2 · … · a k 2 = a 1 2 · a 2 2 · … · a k 2 = a 1 · a 2 · … · a k.
Bu tenglikdan kelib chiqadiki, a 1 · a 2 · … · a k = a 1 · a 2 · … · a k.
Mavzuni mustahkamlash uchun bir nechta misollarni ko'rib chiqamiz.
1-misol
3 5 2 5 = 3 5 2 5, 4, 2 13 1 2 = 4, 2 13 1 2 va 2, 7 4 12 17 0, 2 (1) = 2, 7 4 12 17 · 0 , 2 (1) .
Bo'limning arifmetik kvadrat ildizining xossasini isbotlash kerak: a: b = a: b, a ≥ 0, b > 0. Xususiyat a: b 2 = a 2: b 2 va a 2: b 2 = a: b tengligini yozishga imkon beradi, a: b esa musbat son yoki nolga teng. Bu ifoda dalil bo'ladi.
Masalan, 0:16 = 0:16, 80:5 = 80:5 va 30,121 = 30,121.
Son kvadratining kvadrat ildizining xossasini ko'rib chiqamiz. Uni tenglik sifatida 2 = a shaklida yozish mumkin Bu xususiyatni isbotlash uchun bir nechta tengliklarni batafsil ko'rib chiqish kerak. a ≥ 0 va da a< 0 .
Shubhasiz, a ≥ 0 uchun a 2 = a tengligi haqiqatdir. Da a< 0 a 2 = - a tengligi to'g'ri bo'ladi. Aslida, bu holatda − a > 0 va (- a) 2 = a 2 . Xulosa qilishimiz mumkin, a 2 = a, a ≥ 0 - a, a< 0 = a . Именно это и требовалось доказать.
Keling, bir nechta misollarni ko'rib chiqaylik.
2-misol
5 2 = 5 = 5 va - 0,36 2 = - 0,36 = 0,36.
Tasdiqlangan mulk 2 m = a m ni oqlashga yordam beradi, bu erda a- haqiqiy va m- natural son. Haqiqatan ham, kuchni ko'tarish xususiyati bizga kuchni almashtirishga imkon beradi a 2 m ifoda (m) 2, keyin a 2 m = (a m) 2 = a m.
3-misol
3 8 = 3 4 = 3 4 va (- 8 , 3) 14 = - 8 , 3 7 = (8 , 3) 7 .
n- ildizning xossalari
Birinchidan, biz n-chi ildizlarning asosiy xususiyatlarini ko'rib chiqishimiz kerak:
- Raqamlar hosilasidan xossa a Va b, musbat yoki nolga teng, tenglik sifatida ifodalanishi mumkin a · b n = a n · b n, bu xususiyat mahsulot uchun amal qiladi. k raqamlar a 1 , a 2 , … , a k a 1 · a 2 · … · a k n = a 1 n · a 2 n · … · a k n sifatida;
- kasr sondan a b n = a n b n xossaga ega, bu yerda a musbat yoki nolga teng har qanday haqiqiy son va b- ijobiy haqiqiy son;
- Har qanday uchun a va hatto ko'rsatkichlar n = 2 m a 2 · m 2 · m = a to'g'ri va toq uchun n = 2 m − 1 a 2 · m - 1 2 · m - 1 = a tengligi bajariladi.
- a m n = a n m dan ajratib olish xususiyati, bu erda a- musbat yoki nolga teng har qanday raqam; n Va m – butun sonlar, bu xususiyat shaklda ham ifodalanishi mumkin. . . a n k n 2 n 1 = a n 1 · n 2. . . · n k;
- Har qanday salbiy bo'lmagan a va ixtiyoriy uchun n Va m, bu tabiiydir, biz ham adolatli tenglikni belgilashimiz mumkin a m n · m = a n ;
- Darajaning mulki n raqamning kuchidan a, musbat yoki nolga teng, tabiiy kuchga m, a m n = a n m tengligi bilan aniqlanadi;
- Bir xil ko'rsatkichlarga ega bo'lgan taqqoslash xususiyati: har qanday musbat sonlar uchun a Va b shu kabi a< b , tengsizlik a n< b n ;
- Ildiz ostida bir xil raqamlarga ega bo'lgan taqqoslash xususiyati: agar m Va n - natural sonlar m > n, keyin da 0 < a < 1 a m > a n tengsizlik rost va qachon a > 1 m qatl etilgan< a n .
Yuqorida keltirilgan tengliklar, tenglik belgisidan oldingi va keyingi qismlar almashtirilsa, haqiqiy hisoblanadi. Ular ushbu shaklda ham qo'llanilishi mumkin. Bu ko'pincha iboralarni soddalashtirish yoki o'zgartirish paytida qo'llaniladi.
Ildizning yuqoridagi xossalarini isbotlash darajaning ta’rifi, xossalari va sonning modulini aniqlashga asoslanadi. Bu xususiyatlar isbotlanishi kerak. Lekin hammasi joyida.
- Avvalo, a · b n = a n · b n ko'paytmaning n-chi ildizining xossalarini isbotlaymiz. Uchun a Va b, qaysi bor ijobiy yoki nolga teng , a n · b n qiymati ham musbat yoki nolga teng, chunki bu manfiy bo'lmagan sonlarni ko'paytirish natijasidir. Mahsulotning tabiiy kuchga xosligi a n · b n n = a n n · b n n tengligini yozishga imkon beradi. Ildizning ta'rifi bo'yicha n-chi daraja a n n = a va b n n = b, shuning uchun a n · b n n = a · b . Olingan tenglik aynan isbotlanishi kerak bo'lgan narsadir.
Bu xususiyat mahsulot uchun xuddi shunday isbotlanishi mumkin k ko'paytiruvchilar: manfiy bo'lmagan sonlar uchun a 1, a 2, …, a n, a 1 n · a 2 n · … · a k n ≥ 0.
Bu erda ildiz xususiyatidan foydalanishga misollar keltirilgan n-hosildan quvvat: 5 2 1 2 7 = 5 7 2 1 2 7 va 8, 3 4 17, (21) 4 3 4 5 7 4 = 8, 3 17, (21) 3 · 5 7 4 .
- a b n = a n b n bo'lak ildizining xossasini isbotlaymiz. Da a ≥ 0 Va b > 0 a n b n ≥ 0 sharti bajariladi va a n b n n = a n n b n n = a b.
Keling, misollarni ko'rsatamiz:
4-misol
8 27 3 = 8 3 27 3 va 2, 3 10: 2 3 10 = 2, 3: 2 3 10.
- Keyingi bosqich uchun sondan darajagacha bo'lgan n-darajaning xossalarini isbotlash kerak n. Buni har qanday real uchun a 2 m 2 m = a va 2 m - 1 2 m - 1 = a tengligi sifatida tasavvur qilaylik. a va tabiiy m. Da a ≥ 0 a = a va a 2 m = a 2 m ni olamiz, bu a 2 m 2 m = a tengligini isbotlaydi va a 2 m - 1 2 m - 1 = a tengligi aniq. Da a< 0 biz mos ravishda a = - a va 2 m = (- a) 2 m = a 2 m ni olamiz. Raqamning oxirgi o'zgarishi quvvat xususiyatiga ko'ra amal qiladi. Aynan shu narsa a 2 m 2 m = a tengligini isbotlaydi va 2 m - 1 2 m - 1 = a to'g'ri bo'ladi, chunki toq daraja - c 2 m - 1 = - c 2 m - 1 hisoblanadi. har qanday raqam uchun c, ijobiy yoki nolga teng.
Qabul qilingan ma'lumotlarni birlashtirish uchun mulkdan foydalangan holda bir nechta misollarni ko'rib chiqaylik:
5-misol
7 4 4 = 7 = 7, (- 5) 12 12 = - 5 = 5, 0 8 8 = 0 = 0, 6 3 3 = 6 va (- 3, 39) 5 5 = - 3, 39.
- Quyidagi a m n = a n m tenglikni isbotlaymiz. Buning uchun a n · m = a m n tenglik belgisidan oldin va keyin raqamlarni almashtirishingiz kerak. Bu kirish to'g'ri ekanligini anglatadi. Uchun a, bu ijobiy yoki nolga teng , a m n ko'rinishdagi son musbat yoki nolga teng. Keling, kuchni kuchga ko'tarish xususiyatiga va uning ta'rifiga murojaat qilaylik. Ularning yordami bilan tengliklarni a m n n · m = a m n n m = a m m = a ko'rinishida o'zgartirishingiz mumkin. Bu ko'rib chiqilayotgan ildiz ildizining xususiyatini isbotlaydi.
Boshqa xususiyatlar ham xuddi shunday isbotlangan. Haqiqatan ham, . . . a n k n 2 n 1 n 1 · n 2 ·. . . · n k =. . . a n k n 3 n 2 n 2 · n 3 ·. . . · n k =. . . a n k n 4 n 3 n 3 · n 4 · . . . · n k =. . . = a n k n k = a.
Masalan, 7 3 5 = 7 5 3 va 0,0009 6 = 0,0009 2 2 6 = 0,0009 24.
- Quyidagi a m n · m = a n xossasini isbotlaymiz. Buning uchun n ning musbat yoki nolga teng son ekanligini ko'rsatish kerak. Quvvatga ko'tarilganda n m ga teng a m. Agar raqam a musbat yoki nolga teng bo'lsa n orasidan --chi daraja a musbat son yoki nolga teng bu holda a n · m n = a n n m , bu isbotlanishi kerak.
Olingan bilimlarni mustahkamlash uchun bir nechta misollarni ko'rib chiqaylik.
- Quyidagi xossani – a m n = a n m ko‘rinishdagi kuchning ildiz xossasini isbotlaylik. Qachon ekanligi aniq a ≥ 0 a n m darajasi manfiy bo'lmagan sondir. Bundan tashqari, uning n th ga teng a m, haqiqatdan ham, a n m n = a n m · n = a n n m = a m. Bu ko'rib chiqilayotgan darajaning xususiyatini isbotlaydi.
Masalan, 2 3 5 3 = 2 3 3 5.
- Har qanday ijobiy raqamlar uchun buni isbotlash kerak a va b shart bajariladi a< b . a n tengsizlikni ko'rib chiqaylik< b n . Воспользуемся методом от противного a n ≥ b n . Тогда, согласно свойству, о котором говорилось выше, неравенство считается верным a n n ≥ b n n , то есть, a ≥ b . Но это не соответствует условию a< b . Shuning uchun, a n< b n при a< b .
Masalan, 12 4 ni beraylik< 15 2 3 4 .
- Ildizning xususiyatini ko'rib chiqing n- daraja. Avval tengsizlikning birinchi qismini ko'rib chiqish kerak. Da m > n Va 0 < a < 1 rost a m > a n. Faraz qilaylik, a m ≤ a n. Xususiyatlar ifodani a n m · n ≤ a m m · n ga soddalashtirishga imkon beradi. U holda natural ko‘rsatkichli daraja xossalariga ko‘ra, a n m · n m · n ≤ a m m · n m · n tengsizlik o‘rinli bo‘ladi, ya’ni. a n ≤ a m. Olingan qiymat m > n Va 0 < a < 1 yuqorida keltirilgan xususiyatlarga mos kelmaydi.
Xuddi shu tarzda, qachon ekanligini isbotlash mumkin m > n Va a > 1 a m sharti rost< a n .
Yuqoridagi xususiyatlarni birlashtirish uchun bir nechtasini ko'rib chiqamiz aniq misollar. Keling, aniq raqamlar yordamida tengsizliklarni ko'rib chiqaylik.
6-misol
0 , 7 3 < 0 , 7 5 и 12 > 12 7 .
Agar siz matnda xatolikni sezsangiz, uni belgilang va Ctrl+Enter tugmalarini bosing
Maxfiyligingizni saqlash biz uchun muhim. Shu sababli, biz sizning ma'lumotlaringizdan qanday foydalanishimiz va saqlashimizni tavsiflovchi Maxfiylik siyosatini ishlab chiqdik. Iltimos, maxfiylik amaliyotlarimizni ko'rib chiqing va savollaringiz bo'lsa, bizga xabar bering.
Shaxsiy ma'lumotlarni to'plash va ulardan foydalanish
Shaxsiy ma'lumotlar ma'lum bir shaxsni aniqlash yoki unga murojaat qilish uchun ishlatilishi mumkin bo'lgan ma'lumotlarni anglatadi.
Biz bilan bog'langaningizda istalgan vaqtda shaxsiy ma'lumotlaringizni taqdim etishingiz so'ralishi mumkin.
Quyida biz to'plashimiz mumkin bo'lgan shaxsiy ma'lumotlar turlari va bunday ma'lumotlardan qanday foydalanishimiz mumkinligiga ba'zi misollar keltirilgan.
Biz qanday shaxsiy ma'lumotlarni yig'amiz:
- Saytda so'rov yuborganingizda, biz sizning ismingiz, telefon raqamingiz, manzilingiz kabi turli xil ma'lumotlarni to'plashimiz mumkin Elektron pochta va hokazo.
Shaxsiy ma'lumotlaringizdan qanday foydalanamiz:
- Biz to'playdigan shaxsiy ma'lumotlar noyob takliflar, aktsiyalar va boshqa tadbirlar va kelgusi tadbirlar haqida siz bilan bog'lanishimizga imkon beradi.
- Vaqti-vaqti bilan biz sizning shaxsiy ma'lumotlaringizdan muhim xabarlar va xabarlarni yuborish uchun foydalanishimiz mumkin.
- Shuningdek, biz shaxsiy ma'lumotlardan biz taqdim etayotgan xizmatlarni yaxshilash va sizga xizmatlarimiz bo'yicha tavsiyalar berish uchun auditlar, ma'lumotlarni tahlil qilish va turli tadqiqotlar o'tkazish kabi ichki maqsadlarda foydalanishimiz mumkin.
- Agar siz sovrinlar o'yinida, tanlovda yoki shunga o'xshash aksiyada ishtirok etsangiz, biz siz taqdim etgan ma'lumotlardan bunday dasturlarni boshqarish uchun foydalanishimiz mumkin.
Ma'lumotni uchinchi shaxslarga oshkor qilish
Biz sizdan olingan ma'lumotlarni uchinchi shaxslarga oshkor etmaymiz.
Istisnolar:
- Zarur bo'lganda - qonun hujjatlariga muvofiq, sud tartibida, sud muhokamasida va (yoki) jamoatchilikning so'rovlari yoki so'rovlari asosida. davlat organlari Rossiya Federatsiyasi hududida - shaxsiy ma'lumotlaringizni oshkor qiling. Shuningdek, biz siz haqingizdagi ma'lumotlarni oshkor qilishimiz mumkin, agar bunday oshkor qilish xavfsizlik, huquqni muhofaza qilish yoki boshqa jamoat ahamiyatiga ega bo'lgan maqsadlar uchun zarur yoki mos ekanligini aniqlasak.
- Qayta tashkil etish, qo'shilish yoki sotilgan taqdirda, biz to'plagan shaxsiy ma'lumotlarni tegishli vorisi uchinchi shaxsga o'tkazishimiz mumkin.
Shaxsiy ma'lumotlarni himoya qilish
Shaxsiy ma'lumotlaringizni yo'qotish, o'g'irlash va noto'g'ri foydalanish, shuningdek ruxsatsiz kirish, oshkor qilish, o'zgartirish va yo'q qilishdan himoya qilish uchun ma'muriy, texnik va jismoniy ehtiyot choralarini ko'ramiz.
Shaxsiy hayotingizni kompaniya darajasida hurmat qilish
Shaxsiy ma'lumotlaringiz xavfsizligini ta'minlash uchun biz maxfiylik va xavfsizlik standartlarini xodimlarimizga yetkazamiz va maxfiylik amaliyotlarini qat'iy tatbiq qilamiz.
Muhim eslatmalar!
1. Agar formulalar o'rniga gobbledygook ni ko'rsangiz, keshingizni tozalang. Buni brauzeringizda qanday qilish kerakligi bu erda yozilgan:
2. Maqolani o'qishni boshlashdan oldin, eng ko'p bizning navigatorimizga e'tibor bering foydali resurs Uchun
Keling, ushbu "ildiz" tushunchasi nima ekanligini va "u nima bilan iste'mol qilinishini" aniqlashga harakat qilaylik. Buni amalga oshirish uchun keling, sinfda allaqachon duch kelgan misollarni ko'rib chiqaylik (yaxshi, yoki siz bunga duch kelmoqchisiz).
Masalan, bizda tenglama bor. Bu tenglamaning yechimi qanday? Qanday raqamlarni kvadratga aylantirish va olish mumkin? Ko'paytirish jadvalini eslab, siz osongina javob berishingiz mumkin: va (oxir-oqibat, ikkita manfiy raqam ko'paytirilganda, ijobiy raqam olinadi)! Soddalashtirish uchun matematiklar kvadrat ildizning maxsus tushunchasini kiritdilar va unga maxsus belgi qo'ydilar.
Keling, arifmetik kvadrat ildizni aniqlaylik.
Nima uchun raqam manfiy bo'lmasligi kerak? Masalan, u nimaga teng? Xo'sh, keling, birini tanlashga harakat qilaylik. Balki uchta? Keling, tekshiramiz: , yo'q. Balki, ? Yana tekshiramiz: . Xo'sh, mos emasmi? Buni kutish kerak - chunki kvadratga aylantirilganda manfiy raqam beradigan raqamlar yo'q!
Buni eslab qolishingiz kerak: ildiz belgisi ostidagi raqam yoki ifoda manfiy bo'lmasligi kerak!
Biroq, eng diqqatli odamlar, ehtimol, ta'rifda aytilishicha, "sonning kvadrat ildizining echimi bu deyiladi" salbiy bo'lmagan kvadrati "ga teng bo'lgan raqam. Ba'zilaringiz aytadilarki, biz boshida misolni tahlil qildik, kvadratga aylantirilishi va olinishi mumkin bo'lgan tanlangan raqamlar, javob va edi, lekin bu erda biz qandaydir "salbiy bo'lmagan son" haqida gapiramiz! Bu izoh juda o'rinli. Bu erda siz faqat kvadrat tenglamalar va sonning arifmetik kvadrat ildizi tushunchalarini farqlashingiz kerak. Masalan, ifodaga ekvivalent emas.
Bundan kelib chiqadiki, ya'ni, yoki. ("" mavzusini o'qing)
Va bundan kelib chiqadi.
Albatta, bu juda chalkash, lekin shuni yodda tutish kerakki, belgilar tenglamani yechish natijasidir, chunki tenglamani yechishda biz barcha X ni yozishimiz kerak, ular dastlabki tenglamaga almashtirilganda, to'g'ri natija. Bizning kvadrat tenglama ikkalasiga ham mos keladi.
Biroq, agar faqat kvadrat ildizni oling biror narsadan, keyin har doim biz bitta salbiy bo'lmagan natijaga erishamiz.
Endi bu tenglamani yechishga harakat qiling. Endi hamma narsa oddiy va silliq emas, shunday emasmi? Raqamlar bilan tanishib ko'ring, ehtimol biror narsa chiqadi? Eng boshidan boshlaylik - noldan: - mos kelmaydi, davom eting - uchtadan kam, shuningdek, bir chetga supurib qo'ying, agar bo'lsa. Keling, tekshiramiz: - ham mos emas, chunki... bu uchdan ortiq. Bu salbiy raqamlar bilan bir xil hikoya. Xo'sh, endi nima qilishimiz kerak? Qidiruv haqiqatan ham bizga hech narsa bermadimi? Hechqisi yo'q, endi biz aniq bilamizki, javob va orasida, shuningdek va orasida qandaydir son bo'ladi. Bundan tashqari, yechimlar butun son bo'lmasligi aniq. Bundan tashqari, ular mantiqiy emas. Va undan keyin nima? Funksiyaning grafigini tuzamiz va undagi yechimlarni belgilaymiz.
Keling, tizimni aldashga va kalkulyator yordamida javob olishga harakat qilaylik! Keling, uning ildizini chiqaraylik! Oh-oh-oh, ma'lum bo'ldi. Bu raqam hech qachon tugamaydi. Buni qanday eslay olasiz, chunki imtihonda kalkulyator bo'lmaydi!? Hammasi juda oddiy, uni eslab qolishning hojati yo'q, faqat taxminiy qiymatni eslab qolish (yoki tezda baholay olish) kerak. va javoblarning o'zi. Bunday raqamlarni irratsional deb atashadi, bunday raqamlarni yozishni soddalashtirish uchun kvadrat ildiz tushunchasi kiritilgan.
Buni mustahkamlash uchun yana bir misolni ko'rib chiqaylik. Keling, quyidagi masalani ko'rib chiqamiz: tomoni diagonal bo'yicha km bo'lgan kvadrat maydonni kesib o'tish kerak, necha km yurish kerak?
Bu erda eng aniq narsa uchburchakni alohida ko'rib chiqish va Pifagor teoremasidan foydalanishdir: . Shunday qilib, . Xo'sh, bu erda kerakli masofa qancha? Shubhasiz, masofa salbiy bo'lishi mumkin emas, biz buni tushunamiz. Ikkining ildizi taxminan teng, lekin biz yuqorida aytib o'tganimizdek, - allaqachon to'liq javob.
Ildizli misollarni muammo tug'dirmasdan hal qilish uchun siz ularni ko'rishingiz va tanib olishingiz kerak. Buning uchun siz hech bo'lmaganda dan gacha bo'lgan raqamlarning kvadratlarini bilishingiz va ularni taniy olishingiz kerak. Masalan, kvadratga nima teng ekanligini va aksincha, kvadratga nima teng ekanligini bilishingiz kerak.
Kvadrat ildiz nima ekanligini tushundingizmi? Keyin bir nechta misollarni hal qiling.
Misollar.
Xo'sh, bu qanday amalga oshdi? Endi ushbu misollarni ko'rib chiqamiz:
Javoblar:
Kub ildizi
Xo'sh, biz kvadrat ildiz tushunchasini saralab oldik, endi kub ildiz nima ekanligini va ularning farqi nimada ekanligini aniqlashga harakat qilaylik.
Raqamning kub ildizi kubi teng bo'lgan sondir. Bu erda hamma narsa ancha sodda ekanligini payqadingizmi? Hech qanday cheklovlar yo'q mumkin bo'lgan qiymatlar kub ildiz belgisi ostidagi qiymatlar ham, chiqarilayotgan raqam ham. Ya'ni kub ildizi istalgan sondan olinishi mumkin: .
Kub ildizi nima ekanligini va uni qanday ajratib olishni tushunasizmi? Keyin davom eting va misollarni hal qiling.
Misollar.
Javoblar:
Ildiz - oh daraja
Xo'sh, biz kvadrat va kub ildizlari tushunchalarini tushundik. Endi tushuncha bilan olingan bilimlarni umumlashtiramiz 1-ildiz.
1-ildiz sonning kuchi teng bo'lgan son, ya'ni.
ekvivalent.
Agar - hatto, Bu:
- salbiy bilan, ifoda ma'noga ega emas (salbiy sonlarning juft ildizlari olib tashlash mumkin emas!);
- salbiy bo'lmaganlar uchun() ifodasi bitta manfiy bo'lmagan ildizga ega.
Agar - g'alati bo'lsa, u holda ifoda har qanday uchun yagona ildizga ega.
Xavotir olmang, bu erda kvadrat va kub ildizlari bilan bir xil printsiplar qo'llaniladi. Ya'ni, kvadrat ildizlarni ko'rib chiqishda biz qo'llagan tamoyillar barcha juft darajadagi ildizlarga kengaytiriladi.
Va kubik ildiz uchun ishlatilgan xususiyatlar g'alati darajadagi ildizlarga tegishli.
Xo'sh, bu aniqroq bo'ldimi? Keling, misollarni ko'rib chiqaylik:
Bu erda hamma narsa ko'proq yoki kamroq aniq: biz birinchi navbatda qaraymiz - ha, daraja juft, ildiz ostidagi raqam ijobiydir, demak bizning vazifamiz to'rtinchi daraja bizga beradigan raqamni topishdir. Xo'sh, taxminlar bormi? Balki, ? Aynan!
Demak, daraja teng - toq, ildiz ostidagi raqam manfiy. Bizning vazifamiz kuchga ko'tarilganda hosil bo'ladigan raqamni topishdir. Ildizni darhol payqash juda qiyin. Biroq, siz darhol qidiruvingizni qisqartirishingiz mumkin, to'g'rimi? Birinchidan, kerakli raqam aniq manfiy, ikkinchidan, u toq ekanligini va shuning uchun kerakli raqam toq ekanligini sezish mumkin. Ildizni topishga harakat qiling. Albatta, siz uni xavfsiz tarzda rad qilishingiz mumkin. Balki, ?
Ha, bu biz qidirgan narsa edi! E'tibor bering, hisobni soddalashtirish uchun biz darajalarning xususiyatlaridan foydalanganmiz: .
Ildizlarning asosiy xossalari
Tushunarli? Agar yo'q bo'lsa, unda misollarni ko'rib chiqqandan so'ng, hamma narsa joyiga tushishi kerak.
Ildizlarni ko'paytirish
Qanday qilib ildizlarni ko'paytirish kerak? Eng oddiy va eng asosiy xususiyat bu savolga javob berishga yordam beradi:
Keling, oddiy narsadan boshlaylik:
Olingan raqamlarning ildizlari aniq olinmaganmi? Muammo yo'q - bu erda bir nechta misollar:
Agar ikkita emas, balki ko'paytiruvchilar ko'p bo'lsa-chi? Xuddi shu! Ildizlarni ko'paytirish formulasi har qanday omillar bilan ishlaydi:
U bilan nima qilishimiz mumkin? Albatta, uchtasini ildiz ostida yashiring, uchtasi kvadrat ildiz ekanligini unutmang!
Nega bizga bu kerak? Ha, misollarni yechishda imkoniyatlarimizni kengaytirish uchun:
Ildizlarning bu xususiyati sizga qanday yoqadi? Bu hayotni ancha osonlashtiradimi? Men uchun bu to'g'ri! Faqat buni eslab qolishingiz kerak Biz faqat musbat sonlarni juft darajaning ildiz belgisi ostida kiritishimiz mumkin.
Keling, bu yana qayerda foydali bo'lishi mumkinligini ko'rib chiqaylik. Masalan, muammo ikkita raqamni solishtirishni talab qiladi:
Bu ko'proq:
Siz darhol ayta olmaysiz. Xo'sh, ildiz belgisi ostidagi raqamni kiritishning qismlarga ajratilgan xususiyatidan foydalanamiz? Keyin davom eting:
Xo'sh, nimani bilish kattaroq raqam ildiz belgisi ostida, ildizning o'zi qanchalik katta bo'lsa! Bular. agar, keyin, . Bundan qat'iy xulosa chiqaramiz. Va hech kim bizni boshqacha ishontira olmaydi!
Bundan oldin, biz ildiz belgisi ostida multiplikatorni kiritdik, lekin uni qanday olib tashlash mumkin? Siz shunchaki uni omillarga ko'chirishingiz va nima ajratib olishingiz kerak!
Boshqa yo'lni bosib, boshqa omillarni kengaytirish mumkin edi:
Yomon emas, to'g'rimi? Ushbu yondashuvlarning har biri to'g'ri, xohlaganingizcha qaror qiling.
Bu erda, masalan, quyidagi ifoda:
Bu misolda daraja juft, lekin agar u toq bo'lsa-chi? Shunga qaramay, kuchlarning xususiyatlarini qo'llang va hamma narsani hisoblang:
Bu bilan hamma narsa aniq ko'rinadi, lekin raqamning ildizini qanday qilib darajaga chiqarish mumkin? Mana, masalan, bu:
Juda oddiy, to'g'rimi? Agar daraja ikkidan ortiq bo'lsa-chi? Biz darajalarning xususiyatlaridan foydalangan holda xuddi shu mantiqqa amal qilamiz:
Xo'sh, hamma narsa aniqmi? Keyin bir misol:
Bu tuzoqlar, ular haqida har doim eslab qolishga arziydi. Bu aslida mulk misollarida aks ettirilgan:
| g'alati uchun: teng va uchun: |
Tushunarli? Misollar bilan mustahkamlang:
Ha, ko'ramizki, ildiz juft darajaga, ildiz ostidagi manfiy son ham juft darajaga. Xo'sh, xuddi shunday ishlaydimi? Mana nima:
Ana xolos! Endi bir nechta misollar:
Tushundim? Keyin davom eting va misollarni hal qiling.
Misollar.
Javoblar.
Agar siz javob olgan bo'lsangiz, unda mumkin xotirjamlik davom etish. Agar yo'q bo'lsa, keling, ushbu misollarni tushunamiz:
Keling, ildizlarning yana ikkita xususiyatini ko'rib chiqaylik:
Bu xususiyatlar misollarda tahlil qilinishi kerak. Xo'sh, buni qilaylikmi?
Tushundim? Keling, uni himoya qilaylik.
Misollar.
Javoblar.
ILDIZLAR VA ULARNING XUSUSIYATLARI. O'RTACHA DARAJASI
Arifmetik kvadrat ildiz
Tenglama ikkita yechimga ega: va. Bular kvadrati teng bo'lgan raqamlardir.
Tenglamani ko'rib chiqing. Keling, buni grafik tarzda hal qilaylik. Funksiya grafigini va sathida chiziq chizamiz. Ushbu chiziqlarning kesishish nuqtalari echimlar bo'ladi. Ko'ramiz, bu tenglamaning ham ikkita yechimi bor - biri ijobiy, ikkinchisi salbiy:
Lekin ichida Ushbu holatda yechimlar butun son emas. Bundan tashqari, ular mantiqiy emas. Ushbu mantiqsiz qarorlarni yozish uchun biz maxsus kvadrat ildiz belgisini kiritamiz.
Arifmetik kvadrat ildiz kvadrati ga teng bo'lgan manfiy bo'lmagan sondir. Ifoda aniqlanmaganda, chunki Kvadrati manfiy songa teng bo'lgan son yo'q.
Kvadrat ildiz: .
Masalan, . Va bundan keyin yoki.
Yana bir bor e'tiboringizni qarataman, bu juda muhim: Kvadrat ildiz har doim manfiy bo'lmagan sondir: !
Kub ildizi son - kubi teng bo'lgan son. Kub ildizi hamma uchun belgilangan. Uni istalgan raqamdan chiqarish mumkin: . Ko'rib turganingizdek, u salbiy qiymatlarni ham qabul qilishi mumkin.
Raqamning th ildizi - th darajasi teng bo'lgan son, ya'ni.
Agar u teng bo'lsa, unda:
- agar, a ning th ildizi aniqlanmagan.
- bo'lsa, u holda tenglamaning manfiy bo'lmagan ildizi ning th darajasining arifmetik ildizi deb ataladi va belgilanadi.
Agar - g'alati bo'lsa, u holda tenglama har qanday uchun yagona ildizga ega.
Ildiz belgisining chap tomonida biz uning darajasini yozganimizni payqadingizmi? Lekin kvadrat ildiz uchun emas! Agar siz darajasiz ildizni ko'rsangiz, bu kvadrat (daraja) ekanligini anglatadi.
Misollar.
Ildizlarning asosiy xossalari
ILDIZLAR VA ULARNING XUSUSIYATLARI. ASOSIY NARSALAR HAQIDA QISQA
Kvadrat ildiz (arifmetik kvadrat ildiz) manfiy bo'lmagan sondan bu deyiladi kvadrati bo'lgan manfiy bo'lmagan son
Ildizlarning xususiyatlari:
Xo'sh, mavzu tugadi. Agar siz ushbu satrlarni o'qiyotgan bo'lsangiz, demak siz juda zo'rsiz.
Chunki odamlarning atigi 5 foizi o‘z kuchi bilan biror narsani o‘zlashtira oladi. Va agar siz oxirigacha o'qisangiz, unda siz ushbu 5% ga kirasiz!
Endi eng muhimi.
Siz ushbu mavzu bo'yicha nazariyani tushundingiz. Va takror aytaman, bu... bu shunchaki ajoyib! Siz allaqachon tengdoshlaringizning aksariyatidan yaxshiroqsiz.
Muammo shundaki, bu etarli bo'lmasligi mumkin ...
Sabab?
Uchun muvaffaqiyatli yakunlash Yagona davlat imtihoni, kollejga byudjetga kirish uchun va eng muhimi, umrbod.
Men sizni hech narsaga ishontirmayman, faqat bitta narsani aytaman ...
Qabul qilgan odamlar yaxshi ta'lim, uni olmaganlarga qaraganda ko'proq pul ishlang. Bu statistika.
Lekin bu asosiy narsa emas.
Asosiysi, ular BAXTLI (Bunday tadqiqotlar bor). Ehtimol, ularning oldida yana ko'p imkoniyatlar ochilib, hayot yanada yorqinroq bo'ladi? Bilmayman...
Lekin o'zingiz o'ylab ko'ring...
Yagona davlat imtihonida boshqalardan yaxshiroq bo'lish va oxir-oqibat ... baxtli bo'lish uchun nima qilish kerak?
SHU MAVZU BO'YICHA MUAMMOLARNI YECHIB QO'L OLING.
Imtihon paytida sizdan nazariya so'ralmaydi.
Sizga kerak bo'ladi vaqtga qarshi muammolarni hal qilish.
Va agar siz ularni hal qilmagan bo'lsangiz (KO'P!), Bir joyda ahmoqona xatoga yo'l qo'yasiz yoki shunchaki vaqtingiz bo'lmaydi.
Bu xuddi sportdagidek - aniq g'alaba qozonish uchun buni ko'p marta takrorlash kerak.
To'plamni xohlagan joyingizda toping, albatta yechimlar bilan, batafsil tahlil va qaror qiling, qaror qiling, qaror qiling!
Siz bizning vazifalarimizdan foydalanishingiz mumkin (ixtiyoriy) va biz, albatta, ularni tavsiya qilamiz.
Vazifalarimizdan yaxshiroq foydalanish uchun siz hozir o'qiyotgan YouClever darsligining ishlash muddatini uzaytirishga yordam berishingiz kerak.
Qanaqasiga? Ikkita variant mavjud:
- Ushbu maqoladagi barcha yashirin vazifalarni oching -
- Darslikning barcha 99 ta maqolasidagi barcha yashirin vazifalarga kirishni oching - Darslik sotib oling - 499 rubl
Ha, bizning darsligimizda 99 ta shunday maqola bor va ulardagi barcha vazifalar va yashirin matnlarga kirish darhol ochilishi mumkin.
Barcha yashirin vazifalarga kirish saytning BUTUN muddati davomida taqdim etiladi.
Yakunida...
Bizning vazifalarimiz sizga yoqmasa, boshqalarni toping. Faqat nazariya bilan to'xtamang.
"Tushundim" va "Men hal qila olaman" - bu mutlaqo boshqa ko'nikmalar. Sizga ikkalasi ham kerak.
Muammolarni toping va ularni hal qiling!
Kvadrat er uchastkasining maydoni 81 dm². Uning tomonini toping. Faraz qilaylik, kvadratning yon uzunligi X dekimetrlar. Keyin uchastkaning maydoni X² kvadrat dekimetr. Chunki, shartga ko'ra, bu maydon 81 dm² ga teng X² = 81. Kvadrat tomonining uzunligi musbat sondir. Kvadrati 81 bo'lgan musbat son 9 raqamidir. Masalani yechishda kvadrati 81 bo'lgan x sonini topish, ya'ni tenglamani yechish kerak edi. X² = 81. Bu tenglamaning ikkita ildizi bor: x 1 = 9 va x 2 = - 9, chunki 9² = 81 va (- 9)² = 81. 9 va - 9 raqamlarining ikkalasi ham 81 ning kvadrat ildizlari deyiladi.
Kvadrat ildizlardan biri ekanligini unutmang X= 9 - ijobiy son. U 81 ning arifmetik kvadrat ildizi deb ataladi va √81 bilan belgilanadi, shuning uchun √81 = 9.
Sonning arifmetik kvadrat ildizi A kvadrati ga teng bo'lgan manfiy bo'lmagan sondir A.
Misol uchun, 6 va - 6 raqamlari 36 sonining kvadrat ildizlaridir. Biroq, 6 soni 36 ning arifmetik kvadrat ildizidir, chunki 6 manfiy bo'lmagan son va 6² = 36. - 6 soni bir emas. arifmetik ildiz.
Sonning arifmetik kvadrat ildizi A quyidagicha ifodalanadi: √ A.
Belgisi arifmetik kvadrat ildiz belgisi deb ataladi; A- radikal ifoda deyiladi. Ifoda √ A o'qing shunday: sonning arifmetik kvadrat ildizi A. Masalan, √36 = 6, √0 = 0, √0,49 = 0,7. Arifmetik ildiz haqida gapirayotganimiz aniq bo'lsa, ular qisqacha aytadilar: "kvadrat ildiz A«.
Sonning kvadrat ildizini topish harakati kvadrat ildiz deb ataladi. Bu harakat kvadratlashtirishning teskarisidir.
Siz har qanday raqamni kvadratga olishingiz mumkin, lekin hech qanday raqamdan kvadrat ildiz chiqara olmaysiz. Masalan, raqamning kvadrat ildizini chiqarib bo'lmaydi - 4. Agar bunday ildiz mavjud bo'lsa, uni harf bilan belgilab X, biz noto'g'ri tenglikni olamiz x² = - 4, chunki chap tomonda manfiy bo'lmagan son va o'ng tomonda manfiy son mavjud.
Ifoda √ A faqat qachon mantiqiy a ≥ 0. Kvadrat ildizning ta'rifini qisqacha quyidagicha yozish mumkin: √ a ≥ 0, (√A)² = A. Tenglik (√ A)² = A uchun amal qiladi a ≥ 0. Shunday qilib, manfiy bo'lmagan sonning kvadrat ildizini ta'minlash A teng b, ya'ni aslida √ A =b, quyidagi ikkita shart bajarilganligini tekshirishingiz kerak: b ≥ 0, b² = A.
Kasrning kvadrat ildizi
Keling, hisoblaylik. E'tibor bering, √25 = 5, √36 = 6 va keling, tenglik bajariladimi yoki yo'qligini tekshiramiz.
Chunki 
va , u holda tenglik to'g'ri bo'ladi. Shunday qilib, 
.
Teorema: Agar A≥ 0 va b> 0, ya'ni kasrning ildizi payning ildiziga bo'lingan qismning ildiziga teng. Buni isbotlash talab qilinadi: va 
.
√ dan beri A≥0 va √ b> 0, keyin .
Kasrni darajaga ko'tarish xususiyati va kvadrat ildizning ta'rifi haqida 
teorema isbotlangan. Keling, bir nechta misollarni ko'rib chiqaylik.
Tasdiqlangan teoremadan foydalanib hisoblang 
.
Ikkinchi misol: buni isbotlang 
, Agar A ≤ 0, b < 0. 
.
Yana bir misol: Hisoblang.
.
Kvadrat ildiz konvertatsiyasi
Ildiz belgisi ostidan multiplikatorni olib tashlash. Ifodasi berilsin. Agar A≥ 0 va b≥ 0 bo'lsa, mahsulot ildiz teoremasidan foydalanib, biz quyidagilarni yozishimiz mumkin:
Bu transformatsiya omilni ildiz belgisidan olib tashlash deb ataladi. Keling, bir misolni ko'rib chiqaylik;
Hisoblang X= 2. To'g'ridan-to'g'ri almashtirish X= 2 radikal ifodada olib keladi murakkab hisob-kitoblar. Agar siz birinchi navbatda ildiz belgisi ostidagi omillarni olib tashlasangiz, bu hisoblar soddalashtirilishi mumkin: . Endi x = 2 ni almashtirsak, biz:.
Shunday qilib, omilni ildiz belgisi ostidan olib tashlashda, radikal ifoda bir yoki bir nechta omillar manfiy bo'lmagan sonlarning kvadratlari bo'lgan mahsulot ko'rinishida ifodalanadi. Keyin mahsulot ildiz teoremasini qo'llang va har bir omilning ildizini oling. Bir misolni ko'rib chiqamiz: A = √8 + √18 - 4√2 ifodasini ildiz belgisi ostidan dastlabki ikki haddagi omillarni chiqarib, soddalashtirsak:. Biz tenglikni ta'kidlaymiz 
faqat qachon amal qiladi A≥ 0 va b≥ 0. agar A < 0, то .
Tabriklaymiz: bugun biz ildizlarni ko'rib chiqamiz - 8-sinfdagi eng hayratlanarli mavzulardan biri :)
Ko'pchilik ildizlar haqida ular murakkab bo'lganligi uchun emas (bu juda murakkab narsa - bir nechta ta'riflar va yana bir nechta xususiyatlar), chunki ko'pchilik maktab darsliklarida ildizlar shunday o'rmon orqali aniqlanadiki, faqat darslik mualliflari. bu yozuvni o'zlari tushunishlari mumkin. Va shunga qaramay, faqat bir shisha yaxshi viski bilan :)
Shuning uchun, endi men ildizning eng to'g'ri va eng malakali ta'rifini beraman - siz haqiqatan ham eslashingiz kerak bo'lgan yagona ta'rif. Va keyin men tushuntiraman: bularning barchasi nima uchun kerak va uni amalda qanday qo'llash kerak.
Lekin birinchi navbatda birini eslang muhim nuqta, bu haqda ko'plab darslik tuzuvchilari negadir "unutishadi":
Ildizlar juft darajali (bizning sevimli $\sqrt(a)$, shuningdek, barcha turdagi $\sqrt(a)$ va hatto $\sqrt(a)$) va toq darajali (barcha $\sqrt) bo'lishi mumkin. (a)$, $\ sqrt(a)$ va boshqalar). Va toq darajadagi ildizning ta'rifi juftdan biroz farq qiladi.
Ehtimol, ildizlar bilan bog'liq bo'lgan barcha xatolar va tushunmovchiliklarning 95% bu "biroz boshqacha" da yashiringan. Shunday qilib, keling, terminologiyani bir marta va butunlay tozalaymiz:
Ta'rif. Hatto ildiz n$a$ raqamidan istalgan salbiy bo'lmagan$b$ soni shundayki, $((b)^(n))=a$. Xuddi shu $a$ sonining toq ildizi odatda bir xil tenglikka ega boʻlgan har qanday $b$ raqamidir: $((b)^(n))=a$.
Har holda, ildiz quyidagicha belgilanadi:
\(a)\]
Bunday yozuvdagi $n$ soni ildiz ko‘rsatkichi, $a$ soni esa radikal ifoda deyiladi. Xususan, $n=2$ uchun biz “sevimli” kvadrat ildizimizni olamiz (darvoqe, bu juft darajali ildiz), $n=3$ uchun esa kub ildizni (toq daraja) olamiz. masalalar va tenglamalarda ham tez-tez uchraydi.
Misollar. Kvadrat ildizlarning klassik misollari:
\[\begin(align) & \sqrt(4)=2; \\ & \sqrt(81)=9; \\ & \sqrt(256)=16. \\ \end (tekislash)\]
Aytgancha, $\sqrt(0)=0$ va $\sqrt(1)=1$. Bu juda mantiqiy, chunki $((0)^(2))=0$ va $((1)^(2))=1$.
Kub ildizlari ham keng tarqalgan - ulardan qo'rqishning hojati yo'q:
\[\begin(align) & \sqrt(27)=3; \\ & \sqrt(-64)=-4; \\ & \sqrt(343)=7. \\ \end (tekislash)\]
Xo'sh, bir nechta "ekzotik misollar":
\[\begin(align) & \sqrt(81)=3; \\ & \sqrt(-32)=-2. \\ \end (tekislash)\]
Agar siz juft va toq daraja o'rtasidagi farq nima ekanligini tushunmasangiz, ta'rifni qayta o'qing. Bu juda muhim!
Shu bilan birga, biz ildizlarning bir noxush xususiyatini ko'rib chiqamiz, shuning uchun biz juft va toq ko'rsatkichlar uchun alohida ta'rifni kiritishimiz kerak edi.
Nima uchun ildizlar umuman kerak?
Ta'rifni o'qib chiqqandan so'ng, ko'plab talabalar: "Matematiklar buni o'ylab topganlarida nima chekishgan?" Va haqiqatan ham: nima uchun bu ildizlar umuman kerak?
Bu savolga javob berish uchun keling, bir zum orqaga qaytaylik boshlang'ich sinflar. Yodingizda bo'lsin: o'sha uzoq vaqtlarda, daraxtlar yashil va chuchvara mazali bo'lganida, bizning asosiy tashvishimiz raqamlarni to'g'ri ko'paytirish edi. Xo'sh, "beshga besh - yigirma besh" kabi bir narsa, bu hammasi. Ammo siz raqamlarni juftlikda emas, balki uchlik, to'rtlik va umuman butun to'plamlarda ko'paytirishingiz mumkin:
\[\begin(align) & 5\cdot 5=25; \\ & 5\cdot 5\cdot 5=125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=625; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=3125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=15\ 625. \end(align)\]
Biroq, bu masala emas. Ayyorlik boshqacha: matematiklar dangasa odamlar, shuning uchun ular o‘n beshning ko‘paytirilishini shunday yozishda qiynalgan:
Shuning uchun ular ilmiy darajalar bilan kelishdi. Nega omillar sonini uzun satr o'rniga ustun belgisi sifatida yozmaslik kerak? Shunga o'xshash narsa:
Bu juda qulay! Barcha hisob-kitoblar sezilarli darajada kamayadi va siz 5183 ni yozish uchun bir nechta pergament varaqlari va daftarlarni behuda sarflashingiz shart emas. Bu rekord raqamning kuchi deb ataldi, unda bir nechta xususiyatlar topildi, ammo baxt qisqa muddatli bo'lib chiqdi.
Darajalar “kashfiyoti” uchun uyushtirilgan dabdabali ziyofatdan so‘ng, ayniqsa qaysar matematik birdan: “Agar biz raqamning darajasini bilsak-u, lekin raqamning o‘zi noma’lum bo‘lsa-chi?” deb so‘radi. Haqiqatan ham, agar biz ma'lum bir $b $ soni, aytaylik, 5-darajaga 243 ni berishini bilsak, $b $ sonining o'zi nimaga teng ekanligini qanday taxmin qilishimiz mumkin?
Bu muammo birinchi qarashda ko'rinadiganidan ancha global bo'lib chiqdi. Chunki ko'pchilik "tayyor" kuchlar uchun bunday "dastlabki" raqamlar yo'qligi ma'lum bo'ldi. O'zingiz uchun hukm qiling:
\[\begin(align) & ((b)^(3))=27\Rightarrow b=3\cdot 3\cdot 3\Rightarrow b=3; \\ & ((b)^(3))=64\O'ng strelka b=4\cdot 4\cdot 4\O'ng strelka b=4. \\ \end (tekislash)\]
$((b)^(3))=$50 bo'lsa-chi? Ma'lum bo'lishicha, biz ma'lum bir raqamni topishimiz kerak, uni uch marta ko'paytirganda bizga 50 ni beradi. Lekin bu raqam nima? Bu aniq 3 dan katta, chunki 3 3 = 27< 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 >50. Ya'ni bu raqam uchdan to'rtgacha bo'lgan joyda yotadi, lekin siz nimaga teng ekanligini tushunmaysiz.
Aynan shuning uchun matematiklar $n$th ildizlarini o'ylab topishgan. Aynan shuning uchun $\sqrt(*)$ radikal belgisi kiritildi. $b $ raqamini belgilash uchun, bu ko'rsatilgan darajada bizga oldindan ma'lum bo'lgan qiymatni beradi
\[\sqrt[n](a)=b\O'ng strelka ((b)^(n))=a\]
Men bahslashmayman: ko'pincha bu ildizlar osongina hisoblab chiqiladi - biz yuqorida bir nechta bunday misollarni ko'rdik. Ammo shunga qaramay, ko'p hollarda, agar siz o'zboshimchalik bilan raqamni o'ylab ko'rsangiz va undan ixtiyoriy darajaning ildizini olishga harakat qilsangiz, siz dahshatli baxtsizlikka duch kelasiz.
Nima bor! Hatto eng oddiy va eng tanish $\sqrt(2)$ ni ham odatiy shaklda - butun son yoki kasr sifatida ifodalab bo'lmaydi. Va agar siz ushbu raqamni kalkulyatorga kiritsangiz, buni ko'rasiz:
\[\sqrt(2)=1,414213562...\]
Ko'rib turganingizdek, kasrdan keyin hech qanday mantiqqa bo'ysunmaydigan raqamlarning cheksiz ketma-ketligi mavjud. Siz, albatta, boshqa raqamlar bilan tezda solishtirish uchun bu raqamni yaxlitlashingiz mumkin. Masalan:
\[\sqrt(2)=1,4142...\taxminan 1,4 \lt 1,5\]
Yoki yana bir misol:
\[\sqrt(3)=1,73205...\taxminan 1,7 \gt 1,5\]
Ammo bu yaxlitlashlarning barchasi, birinchi navbatda, juda qo'pol; va ikkinchidan, siz taxminiy qiymatlar bilan ham ishlashingiz kerak, aks holda siz bir qator noaniq xatolarga duch kelishingiz mumkin (Aytgancha, taqqoslash va yaxlitlash mahorati Yagona davlat imtihonining profilida sinovdan o'tishi kerak).
Shuning uchun jiddiy matematikada siz ildizlarsiz qilolmaysiz - ular bizga uzoq vaqtdan beri tanish bo'lgan kasrlar va butun sonlar kabi $\mathbb(R)$ barcha haqiqiy sonlar to'plamining bir xil teng vakillaridir.
Ildizni $\frac(p)(q)$ ko’rinishdagi kasr sifatida ifodalay olmaslik bu ildizning ratsional son emasligini bildiradi. Bunday raqamlar irratsional deb nomlanadi va ularni aniq ifodalash mumkin emas, faqat buning uchun maxsus mo'ljallangan radikal yoki boshqa konstruktsiyalar (logarifmlar, kuchlar, chegaralar va boshqalar). Ammo bu haqda boshqa safar.
Keling, barcha hisob-kitoblardan so'ng, irratsional sonlar hali ham javobda qoladigan bir nechta misollarni ko'rib chiqaylik.
\[\begin(align) & \sqrt(2+\sqrt(27))=\sqrt(2+3)=\sqrt(5)\taxminan 2,236... \\ & \sqrt(\sqrt(-32) ))=\sqrt(-2)\taxminan -1,2599... \\ \end(align)\]
Tabiiyki, ko'ra ko'rinish ildiz kasrdan keyin qaysi raqamlar kelishini taxmin qilish deyarli mumkin emas. Biroq, siz kalkulyatorga ishonishingiz mumkin, lekin hatto eng ilg'or sana kalkulyatori bizga faqat irratsional sonning birinchi bir necha raqamlarini beradi. Shuning uchun javoblarni $\sqrt(5)$ va $\sqrt(-2)$ ko`rinishlarida yozish ancha to`g`riroq.
Aynan shuning uchun ular ixtiro qilingan. Javoblarni qulay tarzda yozib olish uchun.
Nima uchun ikkita ta'rif kerak?
Diqqatli o'quvchi, ehtimol, misollarda keltirilgan barcha kvadrat ildizlar ijobiy raqamlardan olinganligini payqagandir. Xo'sh, hech bo'lmaganda noldan. Ammo kub ildizlarini har qanday raqamdan xotirjamlik bilan olish mumkin - bu ijobiy yoki salbiy.
Nima uchun bu sodir bo'lmoqda? $y=((x)^(2))$ funksiya grafigiga qarang:
Jadval kvadratik funktsiya ikki ildiz beradi: ijobiy va salbiy Keling, ushbu grafik yordamida $\sqrt(4)$ ni hisoblashga harakat qilaylik. Buning uchun grafikda (qizil rang bilan belgilangan) gorizontal $y=4$ chiziladi, u parabola bilan ikkita nuqtada kesishadi: $((x)_(1))=2$ va $((x) )_(2)) =-2$. Bu juda mantiqiy, chunki
Birinchi raqam bilan hamma narsa aniq - bu ijobiy, shuning uchun ildiz:
Ammo ikkinchi nuqta bilan nima qilish kerak? To'rtta bir vaqtning o'zida ikkita ildizga egami? Axir, agar −2 sonini kvadratga aylantirsak, biz ham 4 ni olamiz. Nima uchun u holda $\sqrt(4)=-2$ deb yozmaslik kerak? Va nega o'qituvchilar bunday postlarga sizni yemoqchi bo'lgandek qarashadi? :)
Muammo shundaki, agar siz qo'shimcha shartlar qo'ymasangiz, unda to'rtta ikkita kvadrat ildizga ega bo'ladi - ijobiy va salbiy. Va har qanday ijobiy raqam ham ulardan ikkitasiga ega bo'ladi. Ammo manfiy sonlar umuman ildizga ega bo'lmaydi - buni bir xil grafikdan ko'rish mumkin, chunki parabola hech qachon o'qdan pastga tushmaydi. y, ya'ni. salbiy qiymatlarni qabul qilmaydi.
Xuddi shunday muammo teng ko'rsatkichli barcha ildizlar uchun yuzaga keladi:
- To'g'ri aytganda, har bir musbat sonning $n$ ko'rsatkichli ikkita ildizi bo'ladi;
- Salbiy raqamlardan hatto $n$ bo'lgan ildiz umuman chiqarilmaydi.
Shuning uchun ham $n$ juft darajali ildizni aniqlashda javob manfiy bo'lmagan son bo'lishi kerakligi alohida ko'rsatilgan. Shunday qilib, biz noaniqlikdan xalos bo'lamiz.
Lekin g'alati $n$ uchun bunday muammo yo'q. Buni ko‘rish uchun $y=((x)^(3))$ funksiya grafigini ko‘rib chiqamiz:
Kub parabola har qanday qiymatni qabul qilishi mumkin, shuning uchun kub ildizi istalgan raqamdan olinishi mumkin Ushbu grafikdan ikkita xulosa chiqarish mumkin:
- Kub parabolaning shoxlari oddiy shoxlardan farqli o'laroq, har ikki yo'nalishda ham - yuqoriga ham, pastga ham cheksizlikka boradi. Shuning uchun, biz gorizontal chiziqni qanday balandlikda chizmasak ham, bu chiziq bizning grafigimiz bilan kesishadi. Binobarin, kub ildizi har doim mutlaqo istalgan raqamdan olinishi mumkin;
- Bundan tashqari, bunday kesishma har doim o'ziga xos bo'ladi, shuning uchun qaysi raqam "to'g'ri" ildiz deb hisoblanishi va qaysi birini e'tiborsiz qoldirish haqida o'ylashingiz shart emas. Shuning uchun toq daraja uchun ildizlarni aniqlash juft darajaga qaraganda oddiyroqdir (salbiy bo'lmasligi shart emas).
Afsuski, bular oddiy narsalar aksariyat darsliklarda tushuntirilmagan. Buning o'rniga, bizning miyamiz har xil arifmetik ildizlar va ularning xususiyatlari bilan ko'tarila boshlaydi.
Ha, men bahslashmayman: arifmetik ildiz nima ekanligini ham bilishingiz kerak. Va men bu haqda alohida darsda batafsil gaplashaman. Bugun biz bu haqda ham gaplashamiz, chunki usiz $n$-inchi ko'plikning ildizlari haqidagi barcha fikrlar to'liq bo'lmaydi.
Lekin birinchi navbatda siz yuqorida bergan ta'rifni aniq tushunishingiz kerak. Aks holda, atamalarning ko'pligi tufayli sizning boshingizda shunday tartibsizlik boshlanadiki, oxirida siz hech narsani tushunmaysiz.
Sizga kerak bo'lgan yagona narsa - juft va toq ko'rsatkichlar o'rtasidagi farqni tushunish. Shuning uchun, keling, yana bir bor ildizlar haqida bilishingiz kerak bo'lgan hamma narsani to'playmiz:
- Juft darajali ildiz faqat manfiy bo'lmagan sondan mavjud bo'lib, o'zi hamisha manfiy bo'lmagan sondir. Salbiy sonlar uchun bunday ildiz aniqlanmagan.
- Ammo g'alati darajaning ildizi har qanday sondan mavjud bo'lib, o'zi ham har qanday raqam bo'lishi mumkin: musbat sonlar uchun u musbat, manfiy sonlar uchun esa, shapka ko'rsatganidek, manfiy.
Bu qiyinmi? Yo'q, qiyin emas. Tushunarli? Ha, bu mutlaqo aniq! Endi biz hisob-kitoblar bilan biroz mashq qilamiz.
Asosiy xususiyatlar va cheklovlar
Ildizlar juda ko'p g'alati xususiyatlar va cheklovlarga ega - bu alohida darsda muhokama qilinadi. Shuning uchun, endi biz faqat teng indeksli ildizlarga tegishli bo'lgan eng muhim "hiyla" ni ko'rib chiqamiz. Bu xususiyatni formula sifatida yozamiz:
\[\sqrt(((x)^(2n)))=\chap| x\right|\]
Boshqacha qilib aytadigan bo'lsak, agar biz raqamni juft darajaga ko'tarsak va keyin bir xil darajaning ildizini chiqarsak, biz asl sonni emas, balki uning modulini olamiz. Bu osonlik bilan isbotlanishi mumkin bo'lgan oddiy teorema (salbiy bo'lmagan $x$ ni alohida, keyin esa manfiylarni alohida ko'rib chiqish kifoya). O'qituvchilar bu haqda doimo gapiradilar, bu har bir maktab darsligida berilgan. Ammo irratsional tenglamalarni (ya'ni, radikal belgisi bo'lgan tenglamalarni) yechish haqida gap ketganda, talabalar bir ovozdan bu formulani unutishadi.
Muammoni batafsil tushunish uchun keling, barcha formulalarni bir daqiqaga unutib, ikkita raqamni to'g'ridan-to'g'ri hisoblashga harakat qilaylik:
\[\sqrt(((3)^(4)))=?\quad \sqrt(((\left(-3 \o'ng))^(4)))=?\]
Bu juda oddiy misollar. Ko'pchilik birinchi misolni hal qiladi, lekin ko'p odamlar ikkinchisiga yopishib olishadi. Bunday axlatni muammosiz hal qilish uchun har doim protsedurani ko'rib chiqing:
- Birinchidan, raqam to'rtinchi darajaga ko'tariladi. Xo'sh, bu qandaydir oson. Siz hatto ko'paytirish jadvalida ham topilishi mumkin bo'lgan yangi raqamni olasiz;
- Va endi bu yangi raqamdan to'rtinchi ildizni olish kerak. Bular. ildizlar va kuchlarning "kamayishi" sodir bo'lmaydi - bu ketma-ket harakatlar.
Birinchi ifodani ko'rib chiqamiz: $\sqrt(((3)^(4)))$. Shubhasiz, siz avval ildiz ostidagi ifodani hisoblashingiz kerak:
\[((3)^(4))=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=81\]
Keyin 81 raqamining to'rtinchi ildizini chiqaramiz:
Endi ikkinchi ifoda bilan ham xuddi shunday qilamiz. Birinchidan, biz −3 sonini to'rtinchi darajaga ko'taramiz, bu esa uni o'z-o'zidan 4 marta ko'paytirishni talab qiladi:
\[((\left(-3 \o'ng))^(4))=\left(-3 \o'ng)\cdot \left(-3 \o'ng)\cdot \left(-3 \o'ng)\cdot \ chap (-3 \o'ng)=81\]
Biz ijobiy raqamni oldik, chunki mahsulotdagi minuslarning umumiy soni 4 tani tashkil etadi va ularning barchasi bir-birini bekor qiladi (oxir-oqibat, minus uchun minus plyus beradi). Keyin yana ildizni chiqaramiz:
Aslida, bu qatorni yozish mumkin emas edi, chunki javob bir xil bo'lishi aqlga sig'maydi. Bular. Xuddi shu teng quvvatning teng ildizi minuslarni "yoqadi" va bu ma'noda natija oddiy moduldan farq qilmaydi:
\[\begin(align) & \sqrt(((3)^(4)))=\left| 3 \right|=3; \\ & \sqrt(((\left(-3 \o'ng))^(4)))=\chap| -3 \o'ng|=3. \\ \end (tekislash)\]
Bu hisob-kitoblar juft darajali ildizning ta'rifi bilan yaxshi mos keladi: natija har doim manfiy bo'lmaydi va radikal belgi ham har doim manfiy bo'lmagan sonni o'z ichiga oladi. Aks holda, ildiz aniqlanmagan.
Jarayon haqida eslatma
- $\sqrt(((a)^(2)))$ belgisi birinchi navbatda $a$ raqamini kvadratga aylantirib, keyin olingan qiymatning kvadrat ildizini olishimizni bildiradi. Shuning uchun, ildiz belgisi ostida har doim manfiy bo'lmagan son mavjudligiga ishonch hosil qilishimiz mumkin, chunki har qanday holatda $((a)^(2))\ge 0$;
- Lekin $((\left(\sqrt(a) \right))^(2))$ yozuvi, aksincha, biz avval ma'lum $a$ sonning ildizini olamiz va shundan keyingina natijani kvadratga olamiz. Shuning uchun $a$ soni hech qanday holatda salbiy bo'lishi mumkin emas - bu ta'rifga kiritilgan majburiy talab.
Shunday qilib, hech qanday holatda ildizlar va darajalarni o'ylamasdan qisqartirmaslik kerak va shu bilan asl iborani "soddalashtirish" mumkin. Chunki agar ildiz manfiy songa ega bo'lsa va uning ko'rsatkichi juft bo'lsa, biz bir qator muammolarni olamiz.
Biroq, bu muammolarning barchasi faqat hatto ko'rsatkichlar uchun ham tegishli.
Ildiz belgisi ostidagi minus belgisini olib tashlash
Tabiiyki, ko'rsatkichlari toq bo'lgan ildizlar ham o'ziga xos xususiyatga ega, ular printsipial jihatdan juftlarda mavjud emas. Aynan:
\[\sqrt(-a)=-\sqrt(a)\]
Qisqacha aytganda, g'alati darajadagi ildizlar belgisi ostidan minusni olib tashlashingiz mumkin. Bu juda foydali mulk, bu sizga barcha salbiy tomonlarni "tashlab yuborish" imkonini beradi:
\[\begin(align) & \sqrt(-8)=-\sqrt(8)=-2; \\ & \sqrt(-27)\cdot \sqrt(-32)=-\sqrt(27)\cdot \left(-\sqrt(32) \o'ng)= \\ & =\sqrt(27)\cdot \sqrt(32)= \\ & =3\cdot 2=6. \end(tuzalash)\]
Ushbu oddiy xususiyat ko'plab hisob-kitoblarni sezilarli darajada osonlashtiradi. Endi tashvishlanishingizga hojat yo'q: agar salbiy ibora ildiz ostida yashiringan bo'lsa-chi, lekin ildizdagi daraja teng bo'lib chiqdi? Ildizlardan tashqaridagi barcha minuslarni "tashlab qo'yish" kifoya qiladi, shundan so'ng ular bir-biriga ko'paytirilishi, bo'linishi va umuman olganda, "klassik" ildizlar holatida bizni olib kelishi kafolatlangan ko'plab shubhali narsalarni qilishlari mumkin. xato.
Va bu erda yana bir ta'rif paydo bo'ladi - xuddi shu ta'rif bilan ko'pchilik maktablar irratsional iboralarni o'rganishni boshlaydilar. Va busiz bizning fikrimiz to'liq bo'lmaydi. Tanishing!
Arifmetik ildiz
Bir lahzaga faraz qilaylik, ildiz belgisi ostida faqat musbat raqamlar yoki o'ta og'ir holatlarda nol bo'lishi mumkin. Keling, juft/toq ko'rsatkichlarni unutaylik, yuqorida keltirilgan barcha ta'riflarni unutamiz - biz faqat manfiy bo'lmagan raqamlar bilan ishlaymiz. Keyin nima?
Va keyin biz arifmetik ildizga ega bo'lamiz - bu bizning "standart" ta'riflarimiz bilan qisman mos keladi, lekin baribir ulardan farq qiladi.
Ta'rif. $a$ manfiy boʻlmagan sonning $n$-chi darajali arifmetik ildizi manfiy boʻlmagan $b$ son boʻlib, $((b)^(n))=a$ boʻladi.
Ko'rib turganimizdek, endi bizni paritet qiziqtirmaydi. Buning o'rniga yangi cheklov paydo bo'ldi: radikal ifoda endi har doim salbiy emas va ildizning o'zi ham salbiy emas.
Arifmetik ildiz odatdagidan qanday farq qilishini yaxshiroq tushunish uchun biz allaqachon tanish bo'lgan kvadrat va kub parabola grafiklarini ko'rib chiqing:
Arifmetik ildiz qidirish maydoni - manfiy bo'lmagan raqamlar Ko'rib turganingizdek, bundan buyon bizni faqat birinchi koordinata choragida joylashgan grafik qismlari qiziqtiradi - bu erda $x$ va $y$ koordinatalari ijobiy (yoki hech bo'lmaganda nolga teng). Manfiy raqamni ildiz ostiga qo'yish huquqiga egamiz yoki yo'qligini tushunish uchun endi indikatorga qarash kerak emas. Chunki manfiy raqamlar endi printsipial jihatdan hisobga olinmaydi.
Siz shunday deb so'rashingiz mumkin: "Xo'sh, nega bizga bunday ta'rif kerak?" Yoki: "Nega biz yuqorida keltirilgan standart ta'rifga erisha olmaymiz?"
Xo'sh, men faqat bitta xususiyatni beraman, shuning uchun yangi ta'rif mos keladi. Masalan, eksponentsiya qoidasi:
\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]
Iltimos, diqqat qiling: biz radikal ifodani istalgan kuchga ko'tarishimiz va shu bilan birga ildiz ko'rsatkichini bir xil kuchga ko'paytirishimiz mumkin - natijada bir xil raqam bo'ladi! Mana misollar:
\[\begin(align) & \sqrt(5)=\sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(25) \\ & \sqrt(2)=\sqrt(((2)^ (4)))=\sqrt(16)\\ \end(align)\]
Xo'sh, nima katta ish? Nega biz buni oldinroq qila olmadik? Mana nima uchun. Oddiy ifodani ko'rib chiqaylik: $\sqrt(-2)$ - bu raqam bizning klassik tushunchamizda juda normal, ammo arifmetik ildiz nuqtai nazaridan mutlaqo qabul qilinishi mumkin emas. Keling, uni aylantirishga harakat qilaylik:
$\begin(align) & \sqrt(-2)=-\sqrt(2)=-\sqrt(((2)^(2))))=-\sqrt(4) \lt 0; \\ & \sqrt(-2)=\sqrt(((\left(-2 \o'ng))^(2)))=\sqrt(4) \gt 0. \\ \end(align)$
Ko'rib turganingizdek, birinchi holatda biz minusni radikal ostidan olib tashladik (bizda barcha huquqlar bor, chunki ko'rsatkich g'alati), ikkinchi holatda biz yuqoridagi formuladan foydalandik. Bular. Matematik nuqtai nazardan, hamma narsa qoidalarga muvofiq amalga oshiriladi.
WTF?! Qanday qilib bir xil raqam ham ijobiy, ham salbiy bo'lishi mumkin? Bo'lishi mumkin emas. Shunchaki, musbat sonlar va nol uchun ajoyib ishlaydigan eksponentatsiya formulasi salbiy sonlar holatida to'liq bid'atni keltirib chiqara boshlaydi.
Bunday noaniqlikdan xalos bo'lish uchun ular o'ylab topdilar arifmetik ildizlar. Ularga alohida katta dars bag'ishlangan bo'lib, unda biz ularning barcha xususiyatlarini batafsil ko'rib chiqamiz. Shuning uchun biz hozir ular haqida to'xtalmaymiz - dars juda uzoq bo'lib chiqdi.
Algebraik ildiz: ko'proq bilishni istaganlar uchun
Bu mavzuni alohida paragrafga qo'yamanmi yoki yo'qmi, uzoq o'yladim. Oxir-oqibat, men uni shu erda qoldirishga qaror qildim. Ushbu material ildizlarni yaxshiroq tushunishni istaganlar uchun mo'ljallangan - endi o'rtacha "maktab" darajasida emas, balki Olimpiada darajasiga yaqin.
Demak: sonning $n$-inchi ildizining “klassik” ta’rifi va unga bog‘liq bo‘lgan juft va toq ko‘rsatkichlarga bo‘linishidan tashqari, paritet va boshqa nozikliklarga umuman bog‘liq bo‘lmagan ko‘proq “kattalar” ta’rifi mavjud. Bu algebraik ildiz deyiladi.
Ta'rif. Har qanday $a$ ning $n$-inchi algebraik ildizi $((b)^(n))=a$ boʻladigan barcha $b$ sonlar toʻplamidir. Bunday ildizlar uchun aniq belgi yo'q, shuning uchun biz tepaga chiziqcha qo'yamiz:
\[\overline(\sqrt[n](a))=\left\( b\left| b\in \mathbb(R);((b)^(n))=a \o'ng. \o'ng\) \]
Dars boshida berilgan standart ta’rifdan tub farqi shundaki algebraik ildiz- bu aniq raqam emas, balki to'plam. Va biz haqiqiy raqamlar bilan ishlaganimiz sababli, bu to'plam faqat uchta turdagi bo'ladi:
- Bo'sh to'plam. Manfiy sondan juft darajali algebraik ildizni topish kerak bo'lganda paydo bo'ladi;
- Bitta elementdan iborat to'plam. Toq darajalarning barcha ildizlari, shuningdek, nolning juft darajalarining ildizlari shu toifaga kiradi;
- Nihoyat, to'plam ikkita raqamni o'z ichiga olishi mumkin - biz ko'rgan $((x)_(1))$ va $((x)_(2))=-((x)_(1))$ kvadratik funksiya grafigi. Shunga ko'ra, bunday tartibga solish faqat musbat sondan juft darajaning ildizini chiqarganda mumkin.
Oxirgi holat batafsilroq ko'rib chiqishga loyiqdir. Farqni tushunish uchun bir nechta misollarni sanab o'tamiz.
Misol. Ifodalarni baholang:
\[\overline(\sqrt(4));\quad \overline(\sqrt(-27));\quad \overline(\sqrt(-16)).\]
Yechim. Birinchi ifoda oddiy:
\[\overline(\sqrt(4))=\left\( 2;-2 \o'ng\)\]
Bu to'plamning bir qismi bo'lgan ikkita raqam. Chunki ularning har bir kvadrati to'rtlikni beradi.
\[\overline(\sqrt(-27))=\chap\( -3 \o'ng\)\]
Bu erda biz faqat bitta raqamdan iborat to'plamni ko'ramiz. Bu juda mantiqiy, chunki ildiz ko'rsatkichi g'alati.
Nihoyat, oxirgi ifoda:
\[\overline(\sqrt(-16))=\varnothing \]
Biz bo'sh to'plam oldik. Chunki to'rtinchi (ya'ni, hatto!) darajaga ko'tarilganda bizga -16 manfiy sonini beradigan bitta haqiqiy son yo'q.
Yakuniy eslatma. E'tibor bering: biz haqiqiy raqamlar bilan ishlayotganimizni hamma joyda ta'kidlaganim yo'q. Chunki murakkab raqamlar ham bor - u erda $\sqrt(-16)$ va boshqa ko'plab g'alati narsalarni hisoblash juda mumkin.
Biroq, zamonaviy maktab matematika kurslarida murakkab raqamlar deyarli hech qachon paydo bo'lmaydi. Ular aksariyat darsliklardan olib tashlangan, chunki bizning rasmiylar mavzuni "tushunish juda qiyin" deb hisoblashadi.
