Eng kichik umumiy karrali yechish usullari. Umumiy bo'luvchi va ko'plik

Onlayn kalkulyator ikkita va boshqa har qanday sonning eng katta umumiy boʻluvchisini va eng kichik umumiy karralini tezda topish imkonini beradi.

GCD va LCM ni topish uchun kalkulyator

GCD va LOC-ni toping

GCD va LOC topildi: 5806

Kalkulyatordan qanday foydalanish kerak

• Kirish maydoniga raqamlarni kiriting
• Agar siz noto'g'ri belgilar kiritsangiz, kiritish maydoni qizil rang bilan ta'kidlanadi
• "GCD va LOCni topish" tugmasini bosing

Raqamlarni qanday kiritish kerak

• Raqamlar bo'sh joy, nuqta yoki vergul bilan ajratilgan holda kiritiladi
• Kiritilgan raqamlarning uzunligi cheklanmagan, shuning uchun uzun raqamlarning GCD va LCM larini topish qiyin emas

GCD va NOC nima?

Eng katta umumiy bo'luvchi bir nechta sonlar - barcha asl sonlar qoldiqsiz bo'linadigan eng katta natural son. Eng katta umumiy bo'luvchi qisqartma sifatida ifodalanadi GCD.
Eng kichik umumiy ko'plik bir necha sonlar - asl sonlarning har biriga qoldiqsiz bo'linadigan eng kichik son. Eng kichik umumiy ko'paytma sifatida qisqartiriladi MOQ.

Raqam boshqa songa qoldiqsiz bo'linishini qanday tekshirish mumkin?

Bir son ikkinchisiga qoldiqsiz boʻlinish yoki boʻlinmasligini bilish uchun sonlarning boʻlinuvchanligining baʼzi xossalaridan foydalanish mumkin. Keyin, ularni birlashtirib, siz ulardan ba'zilarining bo'linuvchanligini va ularning kombinatsiyalarini tekshirishingiz mumkin.

Raqamlarning bo'linuvchanligining ba'zi belgilari

1. Sonning 2 ga bo‘linish qobiliyatini tekshirish
Raqam ikkiga bo'linishini (juft bo'ladimi) aniqlash uchun ushbu raqamning oxirgi raqamiga qarash kifoya: agar u 0, 2, 4, 6 yoki 8 ga teng bo'lsa, u holda son juft, bu 2 ga bo'linishini bildiradi.
Misol: 34938 soni 2 ga bo'linishini aniqlang.
Yechim: Biz oxirgi raqamga qaraymiz: 8 - bu raqam ikkiga bo'linishini anglatadi.

2. Sonning 3 ga bo‘linish qobiliyatini tekshirish
Raqamlarining yig'indisi uchga bo'linsa, raqam 3 ga bo'linadi. Shunday qilib, raqam 3 ga bo'linishini aniqlash uchun raqamlar yig'indisini hisoblash va uning 3 ga bo'linishini tekshirish kerak. Raqamlar yig'indisi juda katta bo'lsa ham, xuddi shu jarayonni yana takrorlash mumkin.
Misol: 34938 soni 3 ga bo'linishini aniqlang.
Yechim: Biz sonlar yig'indisini hisoblaymiz: 3+4+9+3+8 = 27. 27 3 ga bo'linadi, ya'ni son uchga bo'linadi.

3. Sonning 5 ga bo‘linish qobiliyatini tekshirish
Agar oxirgi raqami nol yoki besh bo'lsa, raqam 5 ga bo'linadi.
Misol: 34938 soni 5 ga bo'linishini aniqlang.
Yechim: oxirgi raqamga qarang: 8 bu raqam beshga bo'linmasligini bildiradi.

4. Sonning 9 ga bo‘linishini tekshirish
Bu belgi uchga boʻlinish belgisiga juda oʻxshaydi: raqamlar yigʻindisi 9 ga boʻlinadigan son 9 ga boʻlinadi.
Misol: 34938 soni 9 ga bo'linishini aniqlang.
Yechim: Biz raqamlarning yig'indisini hisoblaymiz: 3+4+9+3+8 = 27. 27 9 ga bo'linadi, ya'ni son to'qqizga bo'linadi.

Ikki raqamning GCD va LCM ni qanday topish mumkin

Ikki raqamning gcd ni qanday topish mumkin

Ko'pchilik oddiy tarzda Ikki sonning eng katta umumiy boʻluvchisini hisoblash bu sonlarning barcha mumkin boʻlgan boʻluvchilarini topish va ulardan eng kattasini tanlashdir.

Keling, GCD (28, 36) ni topish misolida ushbu usulni ko'rib chiqaylik:

1. Ikkala raqamni ham koeffitsientga olamiz: 28 = 1·2·2·7, 36 = 1·2·2·3·3
2. Biz umumiy omillarni topamiz, ya'ni ikkala raqamda ham bor: 1, 2 va 2.
3. Ushbu omillarning mahsulotini hisoblaymiz: 1 2 2 = 4 - bu 28 va 36 raqamlarining eng katta umumiy bo'luvchisidir.

Ikki raqamning LCM ni qanday topish mumkin

Ikki sonning eng kichik karralini topishning ikkita eng keng tarqalgan usuli mavjud. Birinchi usul shundan iboratki, siz ikkita raqamning birinchi karralarini yozishingiz va keyin ular orasidan ikkala raqam uchun umumiy bo'lgan va bir vaqtning o'zida eng kichik bo'lgan raqamni tanlashingiz mumkin. Ikkinchisi esa bu raqamlarning gcd ni topishdir. Keling, faqat uni ko'rib chiqaylik.

LCMni hisoblash uchun siz asl raqamlarning mahsulotini hisoblashingiz va keyin uni ilgari topilgan GCD ga bo'lishingiz kerak. Xuddi shu 28 va 36 raqamlari uchun LCM ni topamiz:

1. 28 va 36 sonlarning ko‘paytmasini toping: 28·36 = 1008
2. GCD (28, 36), allaqachon ma'lum bo'lganidek, 4 ga teng
3. LCM (28, 36) = 1008 / 4 = 252.

Bir nechta raqamlar uchun GCD va LCM topilmoqda

Eng katta umumiy bo'luvchini faqat ikkita emas, balki bir nechta raqamlar uchun topish mumkin. Shu maqsadda eng katta umumiy bo'luvchi uchun topiladigan raqamlar ajratiladi asosiy omillar, keyin bu sonlarning umumiy tub ko‘paytmalari ko‘paytmasini toping. Bir nechta raqamlarning gcd ni topish uchun quyidagi munosabatdan ham foydalanishingiz mumkin: GCD(a, b, c) = GCD(GCD(a, b), c).

Shunga o'xshash munosabat eng kichik umumiy ko'paytmaga nisbatan qo'llaniladi: LCM(a, b, c) = LCM(LCM(a, b), c)

Misol: 12, 32 va 36 raqamlari uchun GCD va LCM ni toping.

1. Birinchidan, raqamlarni koeffitsientlarga ajratamiz: 12 = 1·2·2·3, 32 = 1·2·2·2·2·2, 36 = 1·2·2·3·3.
2. Umumiy omillarni topamiz: 1, 2 va 2.
3. Ularning mahsuloti GCD ni beradi: 1·2·2 = 4
4. Endi LCM ni topamiz: buning uchun avval LCM(12, 32) ni topamiz: 12·32 / 4 = 96 .
5. Barcha uchta raqamning LCM ni topish uchun siz GCD(96, 36) ni topishingiz kerak: 96 = 1·2·2·2·2·2·3 , 36 = 1·2·2·3·3 , GCD = 1·2· 2 3 = 12.
6. LCM (12, 32, 36) = 96·36 / 12 = 288.

Matematik ifodalar va masalalar ko'p qo'shimcha bilimlarni talab qiladi. MOK asosiylardan biri bo'lib, ayniqsa o'rta maktabda o'rganiladigan mavzuda qo'llaniladi va kuchlar va ko'paytirish jadvali bilan tanish bo'lgan odam uchun kerakli raqamlarni aniqlash va ochish qiyin emas; natija.

Ta'rif

Bir vaqtning o'zida ikkita songa (a va b) to'liq bo'linadigan son umumiy ko'paytiriladi. Ko'pincha, bu raqam asl a va b raqamlarini ko'paytirish orqali olinadi. Raqam bir vaqtning o'zida ikkala raqamga ham, og'ishsiz bo'linishi kerak.

NOC qabul qilingan belgidir qisqa ism, birinchi harflardan yig'ilgan.

Raqamni olish usullari

Raqamlarni ko'paytirish usuli LCM ni topish uchun har doim ham mos kelmaydi, u oddiy bir xonali yoki ikki xonali raqamlar uchun juda mos keladi. Faktorlarga bo'linish odatiy holdir, bu raqam qancha ko'p bo'lsa, shuncha ko'p omillar bo'ladi.

№1 misol

Eng oddiy misol uchun maktablar odatda asosiy, bir yoki ikki xonali raqamlardan foydalanadilar. Masalan, siz quyidagi vazifani echishingiz kerak, 7 va 3 raqamlarining eng kichik umumiy karrasini toping, yechim juda oddiy, ularni ko'paytirish kifoya. Natijada, 21 raqami bor, undan kichikroq raqam yo'q.

Misol № 2

Vazifaning ikkinchi versiyasi ancha qiyin. 300 va 1260 raqamlari berilgan, LOCni topish majburiydir. Muammoni hal qilish uchun quyidagi harakatlar qabul qilinadi:

Birinchi va ikkinchi sonlarni oddiy ko'paytmalarga ajratish. 300 = 2 2 * 3 * 5 2; 1260 = 2 2 * 3 2 * 5 * 7. Birinchi bosqich tugallandi.

Ikkinchi bosqich allaqachon olingan ma'lumotlar bilan ishlashni o'z ichiga oladi. Qabul qilingan raqamlarning har biri yakuniy natijani hisoblashda ishtirok etishi kerak. Har bir multiplikator uchun eng ko'p katta raqam hodisalar. NOC bu umumiy soni, shuning uchun raqamlarning omillari unda takrorlanishi kerak, har bir, hatto bitta nusxada mavjud bo'lganlar ham. Ikkala boshlang'ich raqamda 2, 3 va 5 raqamlari mavjud turli darajalar, 7 faqat bitta holatda mavjud.

Yakuniy natijani hisoblash uchun siz har bir raqamni tenglamada ko'rsatilgan kuchlarning eng kattasida olishingiz kerak. Faqat ko'paytirish va javobni olish qoladi, agar to'g'ri to'ldirilgan bo'lsa, vazifa tushuntirishsiz ikki bosqichga to'g'ri keladi:

1) 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7.

2) NOC = 6300.

Bu butun muammo, agar siz kerakli sonni ko'paytirish orqali hisoblashga harakat qilsangiz, javob aniq bo'lmaydi, chunki 300 * 1260 = 378 000.

Imtihon:

6300 / 300 = 21 - to'g'ri;

6300 / 1260 = 5 - to'g'ri.

Olingan natijaning to'g'riligi tekshirish orqali aniqlanadi - agar raqam ikkala holatda ham butun son bo'lsa, LCMni ikkala asl raqamga bo'lish;

MOQ matematikada nimani anglatadi?

Ma'lumki, matematikada hech qanday foydasiz funktsiya yo'q, bu istisno emas. Bu raqamning eng keng tarqalgan maqsadi kasrlarni umumiy maxrajga qisqartirishdir. Odatda 5-6-sinflarda nima o'rganiladi o'rta maktab. Bundan tashqari, agar masalada bunday shartlar mavjud bo'lsa, u barcha ko'paytmalar uchun umumiy bo'luvchidir. Bunday ifoda nafaqat ikkita sonning, balki undan ham kattaroq sonning ko'paytmasini topishi mumkin - uch, besh va hokazo. Raqamlar qancha ko'p bo'lsa, vazifadagi harakatlar shunchalik ko'p, ammo murakkablik oshmaydi.

Masalan, 250, 600 va 1500 raqamlarini hisobga olgan holda, siz ularning umumiy LCM ni topishingiz kerak:

1) 250 = 25 * 10 = 5 2 *5 * 2 = 5 3 * 2 - bu misolda faktorizatsiya qisqartmasdan, batafsil tavsiflangan.

2) 600 = 60 * 10 = 3 * 2 3 *5 2 ;

3) 1500 = 15 * 100 = 33 * 5 3 *2 2 ;

Ifodani tuzish uchun barcha omillarni eslatib o'tish kerak, bu holda 2, 5, 3 berilgan - bu barcha raqamlar uchun maksimal darajani aniqlash kerak.

Diqqat: barcha omillarni to'liq soddalashtirish nuqtasiga etkazish kerak, agar iloji bo'lsa, bitta raqam darajasiga qadar parchalanadi.

Imtihon:

1) 3000 / 250 = 12 - to'g'ri;

2) 3000 / 600 = 5 - to'g'ri;

3) 3000 / 1500 = 2 - to'g'ri.

Bu usul hech qanday hiyla-nayrang yoki daho darajadagi qobiliyatlarni talab qilmaydi, hamma narsa oddiy va tushunarli.

Boshqa yo'l

Matematikada ko'p narsalar bir-biriga bog'langan, ko'p narsalarni ikki yoki undan ko'p usulda echish mumkin, xuddi shu narsa eng kichik umumiy ko'paytmani, LCMni topishga ham tegishli. Oddiy ikki xonali va bir xonali sonlar uchun quyidagi usuldan foydalanish mumkin. Jadval tuziladi, unga ko'paytiruvchi vertikal, ko'paytiruvchi gorizontal kiritiladi va mahsulot ustunning kesishgan kataklarida ko'rsatiladi. Jadvalni chiziq yordamida ko'rsatishingiz, raqam olishingiz va bu sonni butun sonlarga ko'paytirish natijalarini yozishingiz mumkin, 1 dan cheksizgacha, ba'zan 3-5 ball kifoya qiladi, ikkinchi va keyingi raqamlar bir xil hisoblash jarayonidan o'tadi. Hamma narsa umumiy ko'paytma topilmaguncha sodir bo'ladi.

30, 35, 42 raqamlarini hisobga olgan holda, siz barcha raqamlarni bog'laydigan LCMni topishingiz kerak:

1) 30 ning karralari: 60, 90, 120, 150, 180, 210, 250 va boshqalar.

2) 35 ning karralari: 70, 105, 140, 175, 210, 245 va boshqalar.

3) 42 ning karralari: 84, 126, 168, 210, 252 va boshqalar.

Shunisi e'tiborga loyiqki, barcha raqamlar bir-biridan mutlaqo farq qiladi, ular orasida yagona umumiy raqam 210, shuning uchun u MOQ bo'ladi. Ushbu hisob-kitobda ishtirok etadigan jarayonlar orasida eng katta umumiy bo'luvchi ham mavjud bo'lib, u shunga o'xshash printsiplar bo'yicha hisoblanadi va ko'pincha qo'shni muammolarda uchraydi. Farqi kichik, ammo juda muhim, LCM barcha berilgan dastlabki qiymatlarga bo'lingan sonni hisoblashni o'z ichiga oladi va GCD hisoblashni o'z ichiga oladi. eng yuqori qiymat asl raqamlar bo'linadi.

Ko'p songa bo'linadigan sondir berilgan raqam izsiz. Raqamlar guruhining eng kichik umumiy karrali (LCM) guruhdagi har bir songa qoldiq qoldirmasdan bo'linadigan eng kichik sondir. Eng kichik umumiy karralini topish uchun berilgan sonlarning tub omillarini topish kerak. LCM, shuningdek, ikki yoki undan ortiq raqamlar guruhlariga tegishli bo'lgan bir qator boshqa usullar yordamida ham hisoblanishi mumkin.

Qadamlar

Ko'paytmalar seriyasi

Bu raqamlarga qarang. Bu erda tasvirlangan usul har biri 10 dan kam bo'lgan ikkita raqam berilganda yaxshi qo'llaniladi. Berilgan bo'lsa katta raqamlar, boshqa usuldan foydalaning.

• Masalan, 5 va 8 ning eng kichik umumiy karralini toping. Bular kichik sonlar, shuning uchun siz ushbu usuldan foydalanishingiz mumkin.

1. Ko'paytma - berilgan songa qoldiqsiz bo'linadigan son. Ko'paytmalarni ko'paytirish jadvalida topish mumkin.

   • Masalan, 5 ga karrali sonlar: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40.

2. Birinchi raqamga karrali sonlar qatorini yozing. Ikki raqamlar to'plamini solishtirish uchun buni birinchi raqamning ko'paytmalari ostida bajaring.

   • Masalan, 8 ga karrali sonlar: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56 va 64.

3. Ko'paytmalar to'plamida mavjud bo'lgan eng kichik sonni toping. Umumiy sonni topish uchun ko'paytmalarning uzun qatorini yozishingiz kerak bo'lishi mumkin. Ko'paytmalar to'plamida mavjud bo'lgan eng kichik son eng kichik umumiy ko'paytmadir.

   • Masalan, eng kichik raqam, 5 va 8 ning karrali qatorida mavjud bo'lgan 40 raqamidir. Shuning uchun 40 5 va 8 ning eng kichik umumiy karrali hisoblanadi.

   Asosiy faktorizatsiya

   1. Bu raqamlarga qarang. Bu erda tasvirlangan usul har biri 10 dan katta bo'lgan ikkita raqam berilganda yaxshi qo'llaniladi. Agar kichikroq raqamlar berilsa, boshqa usuldan foydalaning.

      • Masalan, 20 va 84 sonlarining eng kichik umumiy karralini toping. Raqamlarning har biri 10 dan katta, shuning uchun siz ushbu usuldan foydalanishingiz mumkin.

   2. Birinchi sonni tub ko‘rsatkichlarga ko‘paytiring. Ya'ni, shunday tub sonlarni topishingiz kerakki, ular ko'paytirilganda ma'lum bir son hosil bo'ladi. Asosiy omillarni topganingizdan so'ng, ularni tenglik sifatida yozing.

      • Masalan, 2 × 10 = 20 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times 10=20) Va 2 × 5 = 10 (\ Displaystyle (\ mathbf (2) ) \ marta (\ mathbf (5) ) = 10). Shunday qilib, 20 sonining tub omillari 2, 2 va 5 raqamlari. Ularni ifoda sifatida yozing: .

   3. Ikkinchi sonni tub ko‘rsatkichlarga ko‘paytiring. Buni birinchi sonni faktorlarga ajratganingizdek bajaring, ya'ni ko'paytirilganda berilgan sonni beradigan tub sonlarni toping.

      • Masalan, 2 × 42 = 84 (\ Displaystyle (\ mathbf (2) ) \ marta 42 = 84), 7 × 6 = 42 (\ Displaystyle (\ mathbf (7) ) \ marta 6 = 42) Va 3 × 2 = 6 (\ Displaystyle (\ mathbf (3) ) \ marta (\ mathbf (2) ) = 6). Shunday qilib, 84 sonining tub omillari 2, 7, 3 va 2 raqamlari. Ularni ifoda sifatida yozing: .

   4. Ikkala raqam uchun umumiy omillarni yozing. Ko'paytirish amali kabi omillarni yozing. Har bir omilni yozayotganda, uni ikkala iborada (sonlarni tub omillarga ajratishni tavsiflovchi iboralar) kesib tashlang.

      • Misol uchun, ikkala raqamning umumiy koeffitsienti 2 ga teng, shuning uchun yozing 2 × (\displaystyle 2\marta ) va ikkala ifodadagi 2 ni kesib tashlang.
      • Ikkala raqamning umumiy tomoni 2 ning yana bir koeffitsientidir, shuning uchun yozing 2 × 2 (\displaystyle 2\marta 2) va ikkala iborada ikkinchi 2 ni kesib tashlang.

   5. Ko'paytirish amaliga qolgan omillarni qo'shing. Bular ikkala iborada ham chizilmagan omillar, ya'ni ikkala raqam uchun umumiy bo'lmagan omillar.

      • Masalan, ifodada 20 = 2 × 2 × 5 (\ Displaystyle 20 = 2 \ 2 \ marta 5) Ikkalasi ham (2) chizilgan, chunki ular umumiy omillardir. 5 omili chizilmagan, shuning uchun ko'paytirish amalini quyidagicha yozing: 2 × 2 × 5 (\displaystyle 2\qat 2\qat 5)
      • Ifodada 84 = 2 × 7 × 3 × 2 (\ Displaystyle 84 = 2 \ marta 7 \ 3 \ marta 2) ikkala ikkita (2) ham chizilgan. 7 va 3 omillari chizilmagan, shuning uchun ko'paytirish amalini quyidagicha yozing: 2 × 2 × 5 × 7 × 3 (\ Displaystyle 2 \ marta 2 \ 5 \ 7 \ marta 3).

   6. Eng kichik umumiy ko'paytmani hisoblang. Buning uchun yozma ko'paytirish amalidagi sonlarni ko'paytiring.

      • Masalan, 2 × 2 × 5 × 7 × 3 = 420 (\ Displaystyle 2 \ marta 2 \ marta 5 \ 7 \ marta 3 = 420). Demak, 20 va 84 ning eng kichik umumiy karrali 420 ga teng.

   Umumiy omillarni topish

   1. To'rni tic-tac-toe o'yini kabi chizing. Bunday panjara boshqa ikkita parallel chiziq bilan kesishgan (to'g'ri burchak ostida) ikkita parallel chiziqdan iborat. Bu sizga uchta qator va uchta ustunni beradi (tarmoq # belgisiga juda o'xshaydi). Birinchi qatorga va ikkinchi ustunga birinchi raqamni yozing. Birinchi qatorga va uchinchi ustunga ikkinchi raqamni yozing.

      • Masalan, 18 va 30 sonlarining eng kichik umumiy karralini toping. Birinchi qator va ikkinchi ustunga 18 raqamini, birinchi qator va uchinchi ustunga 30 raqamini yozing.

   2. Ikkala son uchun umumiy boʻluvchini toping. Uni birinchi qatorga va birinchi ustunga yozing. Asosiy omillarni izlash yaxshiroqdir, lekin bu shart emas.

      • Masalan, 18 va 30 juft raqamlar, shuning uchun ularning umumiy koeffitsienti 2 bo'ladi. Shunday qilib, birinchi qator va birinchi ustunga 2 yozing.

   3. Har bir raqamni birinchi bo'luvchiga bo'ling. Har bir qismni tegishli raqam ostiga yozing. Bo'lim ikki sonni bo'lish natijasidir.

      • Masalan, 18 ÷ 2 = 9 (\displaystyle 18\div 2=9), shuning uchun 18 ostida 9 yozing.
      • 30 ÷ 2 = 15 (\displaystyle 30\div 2=15), shuning uchun 30 ostida 15 ni yozing.

   4. Ikkala qism uchun umumiy bo'luvchini toping. Agar bunday bo'luvchi bo'lmasa, keyingi ikki qadamni o'tkazib yuboring. Aks holda, ikkinchi qatorga va birinchi ustunga bo'linuvchini yozing.

      • Misol uchun, 9 va 15 3 ga bo'linadi, shuning uchun ikkinchi qatorga va birinchi ustunga 3 ni yozing.

   5. Har bir qismni ikkinchi bo'linuvchiga bo'ling. Har bir bo'linish natijasini mos keladigan qism ostiga yozing.

      • Masalan, 9 ÷ 3 = 3 (\displaystyle 9\div 3=3), shuning uchun 9 ostida 3 yozing.
      • 15 ÷ 3 = 5 (\displaystyle 15\div 3=5), shuning uchun 15 ostida 5 yozing.

   6. Agar kerak bo'lsa, panjaraga qo'shimcha hujayralar qo'shing. Bo'limlar umumiy bo'luvchiga ega bo'lguncha tavsiflangan amallarni takrorlang.

   7. To'rning birinchi ustuni va oxirgi qatoridagi raqamlarni aylantiring. Keyin tanlangan raqamlarni ko'paytirish amali sifatida yozing.

      • Masalan, birinchi ustunda 2 va 3 raqamlari, oxirgi qatorda 3 va 5 raqamlari joylashgan, shuning uchun ko'paytirish amalini quyidagicha yozing: 2 × 3 × 3 × 5 (\ Displaystyle 2 \ marta 3 \ 3 \ marta 5).

   8. Sonlarni ko‘paytirish natijasini toping. Bu berilgan ikkita sonning eng kichik umumiy karralini hisoblab chiqadi.

      • Masalan, 2 × 3 × 3 × 5 = 90 (\ Displaystyle 2 \ marta 3 \ 3 \ marta 5 = 90). Demak, 18 va 30 ning eng kichik umumiy karrali 90 ga teng.

   Evklid algoritmi

   1. Bo'linish operatsiyasi bilan bog'liq terminologiyani eslang. Dividend - bu bo'linadigan raqam. Bo'luvchi - bu bo'linadigan son. Bo'lim ikki sonni bo'lish natijasidir. Qoldiq - bu ikki raqam bo'linganda qolgan son.

      • Masalan, ifodada 15 ÷ 6 = 2 (\displaystyle 15\div 6=2) ost. 3:
        15 - dividendlar
        6 - bo'luvchi
        2 - ko'rsatkich
        3 - qolgan.

Ta'rif. a va b sonlari qoldiqsiz bo'linadigan eng katta natural son deyiladi eng katta umumiy bo'luvchi (GCD) bu raqamlar.

24 va 35 sonlarining eng katta umumiy bo‘luvchisini topamiz.
24 ning bo‘luvchilari 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 sonlari, 35 ning bo‘luvchilari esa 1, 5, 7, 35 sonlaridir.
Biz 24 va 35 raqamlarining faqat bitta umumiy bo'luvchiga ega ekanligini ko'ramiz - 1 raqami. Bunday raqamlar deyiladi. o'zaro asosiy.

Ta'rif. Natural sonlar deyiladi o'zaro asosiy, agar ularning eng katta umumiy boʻluvchisi (GCD) 1 boʻlsa.

Eng katta umumiy bo'luvchi (GCD) berilgan sonlarning barcha bo‘luvchilarini yozmasdan ham topish mumkin.

48 va 36 raqamlarini koeffitsientga olib, biz quyidagilarni olamiz:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
Ushbu raqamlarning birinchisini kengaytirishga kiritilgan omillardan biz ikkinchi raqamni kengaytirishga kirmaganlarni (ya'ni, ikkita ikkita) kesib tashlaymiz.
Qolgan omillar 2 * 2 * 3. Ularning ko'paytmasi 12 ga teng. Bu raqam 48 va 36 sonlarining eng katta umumiy bo'luvchisidir. Uch yoki undan ortiq sonlarning eng katta umumiy bo'luvchisi ham topiladi.

Topmoq eng katta umumiy bo'luvchi

2) ushbu raqamlardan birining kengayishi tarkibiga kiruvchi omillardan boshqa raqamlarning kengayishiga kirmaydiganlarini kesib tashlang;
3) qolgan omillarning mahsulotini toping.

Agar berilgan barcha raqamlar ulardan biriga bo'linadigan bo'lsa, bu raqam bo'ladi eng katta umumiy bo'luvchi berilgan raqamlar.
Masalan, 15, 45, 75 va 180 sonlarining eng katta umumiy boʻluvchisi 15 raqamidir, chunki qolgan barcha raqamlar unga boʻlinadi: 45, 75 va 180.

Eng kichik umumiy ko'p (LCM)

Ta'rif. Eng kichik umumiy ko'p (LCM) natural sonlar a va b - a va b ning karrali eng kichik natural son. 75 va 60 sonlarining eng kichik umumiy karrali (LCM) bu sonlarning karralarini ketma-ket yozmasdan topiladi. Buning uchun 75 va 60 sonlarni tub ko‘paytuvchilarga ajratamiz: 75 = 3 * 5 * 5 va 60 = 2 * 2 * 3 * 5.
Keling, bu raqamlarning birinchisining kengayishi tarkibiga kiruvchi omillarni yozamiz va ularga ikkinchi raqamning kengayishidan etishmayotgan 2 va 2 omillarni qo'shamiz (ya'ni, biz omillarni birlashtiramiz).
Biz beshta omilni olamiz 2 * 2 * 3 * 5 * 5, mahsuloti 300. Bu raqam 75 va 60 raqamlarining eng kichik umumiy ko'paytmasidir.

Shuningdek, ular uch yoki undan ortiq sonning eng kichik umumiy karralini topadilar.

Kimga eng kichik umumiy karrali toping bir nechta natural sonlar kerak bo'ladi:
1) ularni asosiy omillarga aylantiring;
2) raqamlardan birining kengayishiga kiruvchi omillarni yozing;
3) ularga qolgan raqamlarning kengayishlaridan etishmayotgan omillarni qo'shing;
4) hosil bo'lgan omillarning mahsulotini toping.

E'tibor bering, agar bu raqamlardan biri boshqa barcha raqamlarga bo'linadigan bo'lsa, bu raqam ushbu raqamlarning eng kichik umumiy karrali hisoblanadi.
Masalan, 12, 15, 20 va 60 sonlarining eng kichik umumiy karrali 60 ga teng, chunki u barcha bu raqamlarga boʻlinadi.

Pifagor (miloddan avvalgi VI asr) va uning shogirdlari sonlarning bo‘linuvchanligi masalasini o‘rgandilar. Raqam, summasiga teng Ular uning barcha bo'luvchilarini (raqamsiz) mukammal son deb atashgan. Masalan, 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) raqamlari mukammaldir. Keyingi mukammal raqamlar - 496, 8128, 33,550,336 Pifagorchilar faqat birinchi uchta mukammal raqamni bilishgan. To'rtinchi - 8128 - 1-asrda ma'lum bo'ldi. n. e. Beshinchisi - 33 550 336 - XV asrda topilgan. 1983 yilga kelib, 27 ta mukammal raqam allaqachon ma'lum edi. Ammo olimlar hali ham toq mukammal sonlar bormi yoki eng katta mukammal sonlar bor-yo'qligini bilishmaydi.
Qadimgi matematiklarning tub sonlarga bo‘lgan qiziqishi har qanday sonning tub son bo‘lishi yoki tub sonlar ko‘paytmasi sifatida ifodalanishi mumkinligi bilan bog‘liq, ya’ni tub sonlar qolgan natural sonlar qurilgan g‘ishtlarga o‘xshaydi.
Siz natural sonlar qatoridagi tub sonlar notekis bo'lishini payqadingiz - qatorning ba'zi qismlarida ular ko'proq, boshqalarida - kamroq. Ammo biz raqamlar qatori bo'ylab qanchalik uzoqqa borsak, oddiy sonlar kamroq bo'ladi. Savol tug'iladi: oxirgi (eng katta) tub son bormi? Qadimgi yunon matematigi Evklid (miloddan avvalgi 3-asr) ikki ming yil davomida matematikaning asosiy darsligi boʻlgan “Elementlar” kitobida cheksiz koʻp tub sonlar borligini, yaʼni har bir tub son ortida undan ham kattaroq tub son borligini isbotlagan. raqam.
Bosh sonlarni topish uchun xuddi shu davrdagi boshqa yunon matematigi Eratosfen shu usulni o‘ylab topdi. U 1 dan qandaydir songacha bo‘lgan barcha raqamlarni yozib oldi, so‘ngra tub son ham, qo‘shma son ham bo‘lmagan birini chizib qo‘ydi, so‘ngra 2 dan keyin keladigan barcha raqamlarni (2 ga karrali sonlar, ya’ni 4, 6, 8 va boshqalar). 2 dan keyin qolgan birinchi raqam 3 edi. Keyin, ikkitadan keyin 3 dan keyin keladigan barcha raqamlar (3 ga karrali sonlar, ya'ni 6, 9, 12 va hokazo) kesib tashlandi. oxirida faqat tub sonlar kesishmagan holda qoldi.

Quyida keltirilgan material LCM deb nomlangan maqoladan nazariyaning mantiqiy davomi - eng kam umumiy ko'plik, ta'rif, misollar, LCM va GCD o'rtasidagi bog'liqlik. Bu erda biz gaplashamiz eng kichik umumiy ko'paytmani topish (LCM), Va Maxsus e'tibor Keling, misollarni echishga e'tibor qarataylik. Birinchidan, biz ushbu raqamlarning GCD yordamida ikkita raqamning LCM qanday hisoblanganligini ko'rsatamiz. Keyinchalik, raqamlarni tub omillarga ajratish orqali eng kichik umumiy ko'paytmani topishni ko'rib chiqamiz. Shundan so'ng, biz uch yoki undan ortiq raqamlarning LCM ni topishga, shuningdek, salbiy sonlarning LCM ni hisoblashga e'tibor qaratamiz.

Sahifani navigatsiya qilish.

GCD orqali eng kam umumiy ko'plikni (LCM) hisoblash

Eng kichik umumiy ko'paytmani topishning bir usuli LCM va GCD o'rtasidagi munosabatlarga asoslanadi. LCM va GCD o'rtasidagi mavjud bog'liqlik bizga ma'lum bo'lgan eng katta umumiy bo'luvchi orqali ikkita musbat butun sonning eng kichik umumiy ko'paytmasini hisoblash imkonini beradi. Tegishli formula LCM(a, b)=a b:GCD(a, b) . Keling, berilgan formuladan foydalanib LCMni topish misollarini ko'rib chiqaylik.

Misol.

126 va 70 ikkita sonning eng kichik umumiy karralini toping.

Yechim.

Bu misolda a=126 , b=70 . Keling, formula bilan ifodalangan LCM va GCD o'rtasidagi aloqadan foydalanaylik LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). Ya'ni, avval 70 va 126 sonlarining eng katta umumiy bo'luvchisini topishimiz kerak, shundan so'ng biz yozma formuladan foydalanib, bu raqamlarning LCM ni hisoblashimiz mumkin.

GCD(126, 70) ni Evklid algoritmi yordamida topamiz: 126=70·1+56, 70=56·1+14, 56=14·4, demak, GCD(126, 70)=14.

Endi biz kerakli eng kichik umumiy ko'paytmani topamiz: GCD(126, 70)=126·70:GCD(126, 70)= 126·70:14=630.

Javob:

LCM(126, 70)=630 .

Misol.

LCM(68, 34) nimaga teng?

Yechim.

Chunki 68 34 ga bo'linadi, keyin GCD(68, 34)=34. Endi biz eng kichik umumiy ko'paytmani hisoblaymiz: GCD(68, 34)=68·34:GCD(68, 34)= 68·34:34=68.

Javob:

LCM(68, 34)=68.

E'tibor bering, oldingi misol a va b musbat butun sonlar uchun LCMni topish uchun quyidagi qoidaga mos keladi: agar a soni b ga bo'linadigan bo'lsa, u holda bu sonlarning eng kichik umumiy karrali a bo'ladi.

Raqamlarni tub omillarga ajratish orqali LCMni topish

Eng kichik umumiy ko'paytmani topishning yana bir usuli raqamlarni tub omillarga ajratishga asoslangan. Agar siz berilgan sonlarning barcha tub omillaridan mahsulot tuzsangiz va keyin ushbu ko'paytmadan berilgan raqamlarning parchalanishida mavjud bo'lgan barcha umumiy tub omillarni chiqarib tashlasangiz, natijada olingan mahsulot berilgan sonlarning eng kichik umumiy ko'paytmasiga teng bo'ladi. .

LCMni topish uchun belgilangan qoida tenglikdan kelib chiqadi LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). Darhaqiqat, a va b sonlarining ko'paytmasi a va b sonlarining kengayishiga jalb qilingan barcha omillarning mahsulotiga tengdir. O'z navbatida, GCD(a, b) a va b sonlarining kengayishlarida bir vaqtning o'zida mavjud bo'lgan barcha tub omillarning mahsulotiga teng (sonlarni tub omillarga kengaytirish yordamida GCDni topish bo'limida tavsiflanganidek).

Keling, misol keltiraylik. 75=3·5·5 va 210=2·3·5·7 ekanligini bilib olaylik. Ushbu kengayishlarning barcha omillaridan hosilani tuzamiz: 2·3·3·5·5·5·7 . Endi bu mahsulotdan biz 75 sonining kengayishida ham, 210 sonining kengayishida ham mavjud bo'lgan barcha omillarni istisno qilamiz (bu omillar 3 va 5), ​​keyin mahsulot 2·3·5·5·7 ko'rinishini oladi. . Ushbu mahsulotning qiymati 75 va 210 ning eng kichik umumiy ko'paytmasiga teng, ya'ni NOC(75, 210)= 2·3·5·5·7=1,050.

Misol.

441 va 700 sonlarini tub ko‘paytmalarga ajrating va shu sonlarning eng kichik umumiy karralini toping.

Yechim.

441 va 700 sonlarini tub ko‘paytuvchilarga ko‘paytiramiz:

Biz 441=3·3·7·7 va 700=2·2·5·5·7 ni olamiz.

Endi bu sonlarni kengaytirishda ishtirok etuvchi barcha omillardan hosila hosil qilaylik: 2·2·3·3·5·7·7·7. Keling, ushbu mahsulotdan ikkala kengayishda bir vaqtning o'zida mavjud bo'lgan barcha omillarni chiqarib tashlaylik (bunday omil faqat bitta - bu 7 raqami): 2·2·3·3·5·5·7·7. Shunday qilib, LCM(441, 700)=2·2·3·3·5·5·7·7=44 100.

Javob:

NOC(441, 700)= 44 100 .

Raqamlarni tub omillarga ajratish yordamida LCMni topish qoidasi biroz boshqacha shakllantirilishi mumkin. Agar b sonining kengayishidagi etishmayotgan omillar a sonining kengayishidagi omillarga qo'shilsa, hosil bo'lgan mahsulotning qiymati a va b sonlarining eng kichik umumiy ko'paytmasiga teng bo'ladi..

Masalan, bir xil 75 va 210 sonlarni olaylik, ularning tub ko'paytuvchilarga bo'linishi quyidagicha: 75=3·5·5 va 210=2·3·5·7. 75 sonining kengayishidan 3, 5 va 5 koeffitsientlariga 210 sonining kengayishidan etishmayotgan 2 va 7 ko'paytmalarni qo'shamiz, biz 2·3·5·5·7 ko'paytmani olamiz, uning qiymati LCM (75, 210) ga teng.

Misol.

84 va 648 ning eng kichik umumiy karralini toping.

Yechim.

Biz birinchi navbatda 84 va 648 sonlarining tub omillarga bo'linishlarini olamiz. Ular 84=2·2·3·7 va 648=2·2·2·3·3·3·3 ga o‘xshaydi. 84 sonining kengayishidan 2, 2, 3 va 7 omillarga biz 648 raqamining kengayishidan etishmayotgan 2, 3, 3 va 3 omillarni qo'shamiz, biz 2 2 2 3 3 3 3 3 7 ko'paytmani olamiz, Bu 4 536 ga teng. Shunday qilib, 84 va 648 ning eng kichik umumiy karrali 4536 ga teng.

Javob:

LCM(84,648)=4536.

Uch yoki undan ortiq raqamlarning LCM ni topish

Uch yoki undan ortiq sonning eng kichik umumiy karralini ketma-ket ikki raqamning LCM ni topish orqali topish mumkin. Keling, uchta yoki undan ko'p sonlarning LCM ni topishga imkon beradigan tegishli teoremani eslaylik.

Teorema.

a 1 , a 2 , …, a k musbat butun sonlar berilsin, bu sonlarning eng kichik umumiy karrali m k m 2 = LCM(a 1, a 2) , m 3 = LCM(m 2, a) ni ketma-ket hisoblash yo‘li bilan topiladi. 3) , … , m k = LCM(m k−1 , a k) .

Bu teoremaning qo‘llanilishini to‘rtta sonning eng kichik umumiy karralini topish misolida ko‘rib chiqamiz.

Misol.

140, 9, 54 va 250 to'rtta raqamning LCM ni toping.

Yechim.

Bu misolda a 1 =140, a 2 =9, a 3 =54, a 4 =250.

Avval topamiz m 2 = LOC(a 1 , a 2) = LOC(140, 9). Buning uchun Evklid algoritmidan foydalanib, GCD(140, 9) ni aniqlaymiz, bizda 140=9·15+5, 9=5·1+4, 5=4·1+1, 4=1·4, shuning uchun GCD(140, 9)=1 , qayerdan GCD(140, 9)=140 9:GCD(140, 9)= 140·9:1=1260. Ya'ni, m 2 =1 260.

Endi topamiz m 3 = LOC (m 2, a 3) = LOC (1 260, 54). Uni GCD(1 260, 54) orqali hisoblaymiz, uni ham Evklid algoritmi yordamida aniqlaymiz: 1 260=54·23+18, 54=18·3. U holda gcd(1,260, 54)=18, undan gcd(1,260, 54)= 1,260·54:gcd(1,260, 54)= 1,260·54:18=3,780. Ya'ni, m 3 =3 780.

Faqat topish qoladi m 4 = LOC(m 3, a 4) = LOC(3 780, 250). Buning uchun Evklid algoritmi yordamida GCD(3,780, 250) ni topamiz: 3,780=250·15+30, 250=30·8+10, 30=10·3. Demak, GCM(3,780, 250)=10, shundan GCM(3,780, 250)= 3 780 250: GCD (3 780, 250)= 3,780·250:10=94,500. Ya'ni, m 4 =94,500.

Shunday qilib, asl to'rtta sonning eng kichik umumiy karrali 94 500 ga teng.

Javob:

LCM(140, 9, 54, 250)=94,500.

Ko'p hollarda berilgan sonlarning tub koeffitsientlari yordamida uch yoki undan ortiq sonning eng kichik umumiy karralini topish qulay. Bunday holda, siz unga rioya qilishingiz kerak keyingi qoida. Bir necha sonning eng kichik umumiy karrali koʻpaytmaga teng boʻlib, u quyidagicha tuziladi: ikkinchi sonning kengayishidagi etishmayotgan omillar birinchi sonning kengayishidan barcha omillarga, kengayishidan yetishmayotgan omillarga qoʻshiladi. uchinchi raqam natijaviy omillarga qo'shiladi va hokazo.

Keling, eng kichik umumiy ko'paytmani tub koeffitsientlarga ajratish yordamida topish misolini ko'rib chiqaylik.

Misol.

84, 6, 48, 7, 143 beshta sonning eng kichik umumiy karralini toping.

Yechim.

Birinchidan, bu sonlarning tub ko‘paytmalarga bo‘linishini olamiz: 84=2·2·3·7, 6=2·3, 48=2·2·2·2·3, 7 (7 - tub son, u mos keladi) tub omillarga parchalanishi bilan) va 143=11·13.

Ushbu raqamlarning LCM ni topish uchun birinchi raqam 84 ning koeffitsientlariga (ular 2, 2, 3 va 7) ikkinchi raqamni kengaytirishdan etishmayotgan omillarni qo'shish kerak. 6 raqamining parchalanishi etishmayotgan omillarni o'z ichiga olmaydi, chunki 2 va 3 ham birinchi raqam 84ning parchalanishida allaqachon mavjud. Keyinchalik, 2, 2, 3 va 7 omillarga uchinchi raqam 48 kengayishidan etishmayotgan 2 va 2 omillarni qo'shamiz, biz 2, 2, 2, 2, 3 va 7 omillar to'plamini olamiz. Keyingi bosqichda ushbu to'plamga ko'paytiruvchilarni qo'shishning hojati yo'q, chunki unda 7 allaqachon mavjud. Nihoyat, 2, 2, 2, 2, 3 va 7 omillarga 143 raqamining kengayishidan etishmayotgan 11 va 13 omillarni qo'shamiz. 2·2·2·2·3·7·11·13 ko‘paytmani olamiz, bu 48,048 ga teng.