Ehtimollar nazariyasini o‘rganish ehtimollarni qo‘shish va ko‘paytirish bilan bog‘liq masalalarni yechishdan boshlanadi. Darhol aytib o'tish joizki, talaba ushbu bilim sohasini o'zlashtirishda muammoga duch kelishi mumkin: agar fizik yoki kimyoviy jarayonlarni vizual tarzda tasvirlash va empirik tarzda tushunish mumkin bo'lsa, unda matematik abstraktsiya darajasi juda yuqori va tushunish bu erda keladi. tajriba bilan.

Biroq, o'yin shamga arziydi, chunki formulalar - ushbu maqolada muhokama qilinganlar ham, murakkabroqlari ham bugungi kunda hamma joyda qo'llaniladi va ishda foydali bo'lishi mumkin.

Kelib chiqishi

G'alati, matematikaning bu sohasining rivojlanishiga turtki bo'lgan ... qimor edi. Darhaqiqat, zar, tanga otish, poker, rulet ehtimollarni qo'shish va ko'paytirishdan foydalanadigan odatiy misollardir. Buni har qanday darslikdagi masala misollari yordamida yaqqol ko‘rish mumkin. Odamlar g'alaba qozonish imkoniyatlarini qanday oshirishni o'rganishga qiziqish bildirishdi va aytish kerakki, ba'zilari bunga muvaffaq bo'lishdi.

Masalan, 21-asrda, biz ismini oshkor qilmaymiz, bir kishi, asrlar davomida to'plangan ushbu bilimlardan foydalanib, ruletkada bir necha o'n million dollar yutib, kazinoni tom ma'noda "tozalash" uchun foydalangan.

Biroq, bu mavzuga bo'lgan qiziqishning ortishiga qaramay, faqat 20-asrga kelib, "teorema" ni to'liq bajargan nazariy asos ishlab chiqilgan edi.

Qo'llanilishi

Ehtimollar va shartli ehtimollarni qo'shish va ko'paytirish formulalarini qo'llashda muhim nuqta - bu markaziy chegara teoremasining qoniqarliligi. Aks holda, talaba buni anglamasa ham, barcha hisob-kitoblar, qanchalik asosli ko‘rinmasin, noto‘g‘ri bo‘ladi.

Ha, yuqori ishtiyoqli talaba har qanday imkoniyatda yangi bilimlardan foydalanishga intiladi. Lekin ichida Ushbu holatda biz biroz sekinlashtirib, qo'llash doirasini qat'iy belgilashimiz kerak.

Ehtimollar nazariyasi tasodifiy hodisalar bilan shug'ullanadi, ular empirik nuqtai nazardan tajribalar natijalarini ifodalaydi: biz olti qirrali o'limni aylantira olamiz, palubadan kartani chizishimiz, partiyadagi nuqsonli qismlar sonini taxmin qilishimiz mumkin. Biroq, ba'zi savollarda matematikaning ushbu bo'limidan formulalardan foydalanish qat'iyan man etiladi. Biz maqolaning oxirida hodisaning ehtimolliklarini ko'rib chiqish xususiyatlarini, hodisalarni qo'shish va ko'paytirish teoremalarini muhokama qilamiz, ammo hozircha misollarga murojaat qilaylik.

Asosiy tushunchalar

Tasodifiy hodisa tajriba natijasida paydo bo'lishi yoki paydo bo'lmasligi mumkin bo'lgan ba'zi jarayon yoki natijaga ishora qiladi. Misol uchun, biz sendvichni tashlaymiz - u yog'li tomoni yuqoriga yoki yog'li tomoni pastga tushishi mumkin. Ikkala natijaning har biri tasodifiy bo'ladi va biz ulardan qaysi biri sodir bo'lishini oldindan bilmaymiz.

Ehtimollarni qo'shish va ko'paytirishni o'rganishda bizga yana ikkita tushuncha kerak bo'ladi.

Bunday hodisalar qo'shma deyiladi, ulardan birining paydo bo'lishi ikkinchisining paydo bo'lishini istisno qilmaydi. Aytaylik, ikki kishi bir vaqtning o'zida nishonga o'q uzdi. Agar ulardan biri muvaffaqiyatli bo'lsa, ikkinchisining buqaning ko'ziga urish yoki o'tkazib yuborish qobiliyatiga hech qanday ta'sir ko'rsatmaydi.

Mos kelmaydigan hodisalar bir vaqtning o'zida sodir bo'lishi mumkin bo'lmagan hodisalar bo'ladi. Misol uchun, agar siz qutidan faqat bitta to'pni chiqarsangiz, siz bir vaqtning o'zida ko'k va qizil rangni ololmaysiz.

Belgilanish

Ehtimollik tushunchasi lotin bosh harfi P bilan belgilanadi. Keyingi qavslar ichida muayyan hodisalarni bildiruvchi argumentlar mavjud.

Qo'shish teoremasi, shartli ehtimollik va ko'paytirish teoremasining formulalarida siz qavs ichidagi ifodalarni ko'rasiz, masalan: A+B, AB yoki A|B. Ular hisoblab chiqiladi turli yo'llar bilan, endi biz ularga murojaat qilamiz.

Qo'shish

Keling, ehtimollarni qo'shish va ko'paytirish formulalari qo'llaniladigan holatlarni ko'rib chiqaylik.

Mos kelmaydigan hodisalar uchun eng oddiy qo'shish formulasi mos keladi: har qanday tasodifiy natijaning ehtimoli ushbu natijalarning har birining ehtimoli yig'indisiga teng bo'ladi.

Aytaylik, qutida 2 ta ko'k, 3 ta qizil va 5 ta sariq marmar bor. Qutida jami 10 ta narsa bor. Ko'k yoki qizil to'p chizamiz, degan gapning haqiqati nima? Bu 2/10 + 3/10, ya'ni ellik foizga teng bo'ladi.

Mos kelmaydigan hodisalar bo'lsa, formula yanada murakkablashadi, chunki qo'shimcha atama qo'shiladi. Keling, boshqa formulani ko'rib chiqqach, unga bir paragrafda qaytaylik.

Ko'paytirish

Ehtimollarni qo'shish va ko'paytirish emas bog'liq hodisalar da ishlatilgan turli holatlar. Agar tajriba shartlariga ko'ra, biz ikkita mumkin bo'lgan natijadan birortasi bilan qanoatlansak, yig'indini hisoblaymiz; Agar biz ikkita aniq natijani ketma-ket olishni istasak, biz boshqa formuladan foydalanamiz.

Oldingi bo'limdagi misolga qaytsak, avval ko'k to'pni, keyin esa qizilni chizishni xohlaymiz. Biz birinchi raqamni bilamiz - bu 2/10. Keyin nima bo'ladi? 9 ta to'p qoldi va hali ham bir xil miqdordagi qizil to'plar bor - uchta. Hisob-kitoblarga ko'ra, u 3/9 yoki 1/3 bo'ladi. Ammo ikkita raqam bilan nima qilish kerak? To'g'ri javob 2/30 olish uchun ko'paytiriladi.

Qo'shma tadbirlar

Endi biz yana qo'shma tadbirlar uchun yig'indi formulasiga murojaat qilishimiz mumkin. Nega biz mavzudan chalg'itdik? Ehtimollar qanday ko'paytirilishini bilish uchun. Endi bizga bu bilim kerak bo'ladi.

Biz birinchi ikkita atama nima bo'lishini allaqachon bilamiz (oldingi muhokama qilingan qo'shimcha formulada bo'lgani kabi), lekin endi biz hisoblashni o'rgangan ehtimollar mahsulotini ayirishimiz kerak. Aniqlik uchun formulani yozamiz: P(A+B) = P(A) + P(B) - P(AB). Ma’lum bo‘lishicha, bir ifodada ehtimollarni qo‘shish ham, ko‘paytirish ham qo‘llaniladi.

Aytaylik, kredit olish uchun ikkita muammodan birini hal qilishimiz kerak. Birinchisini 0,3 ehtimollik bilan, ikkinchisini esa 0,6 ehtimollik bilan hal qilishimiz mumkin. Yechish: 0,3 + 0,6 - 0,18 = 0,72. E'tibor bering, bu erda shunchaki raqamlarni qo'shish etarli bo'lmaydi.

Shartli ehtimollik

Nihoyat, shartli ehtimollik tushunchasi mavjud bo'lib, uning argumentlari qavslar ichida ko'rsatilgan va vertikal chiziq bilan ajratilgan. P(A|B) yozuvi quyidagicha o'qiladi: “A hodisasi berilgan B hodisasi ehtimoli”.

Keling, bir misolni ko'rib chiqaylik: do'stingiz sizga biron bir qurilma beradi, u telefon bo'lsin. U buzilgan (20%) yoki buzilmagan (80%) bo'lishi mumkin. Siz qo'lingizga kelgan har qanday qurilmani 0,4 ehtimollik bilan ta'mirlashingiz mumkin yoki buni qila olmaysiz (0,6). Nihoyat, agar qurilma ishlayotgan bo'lsa, siz erishishingiz mumkin to'g'ri odam 0,7 ehtimollik bilan.

Bu holatda shartli ehtimollik qanday o'ynashini ko'rish oson: telefon buzilgan bo'lsa, siz odam bilan bog'lana olmaysiz, lekin agar u ishlayotgan bo'lsa, uni tuzatishingiz shart emas. Shunday qilib, "ikkinchi darajada" har qanday natijaga erishish uchun siz birinchi navbatda qanday voqea sodir bo'lganligini bilib olishingiz kerak.

Hisob-kitoblar

Oldingi paragrafdagi ma’lumotlardan foydalanib, ehtimollarni qo‘shish va ko‘paytirishga oid masalalarni yechish misollarini ko‘rib chiqamiz.

Birinchidan, sizga berilgan qurilmani ta'mirlash ehtimolini topamiz. Buning uchun, birinchidan, u noto'g'ri bo'lishi kerak, ikkinchidan, siz uni tuzatishga qodir bo'lishingiz kerak. Bu ko'paytirish yordamida odatiy muammo: biz 0,2 * 0,4 = 0,08 ni olamiz.

To'g'ri odamga darhol erishish ehtimoli qanday? Bu juda oddiy: 0,8 * 0,7 = 0,56. Bunday holda siz telefon ishlayotganini aniqladingiz va qo'ng'iroqni muvaffaqiyatli amalga oshirdingiz.

Nihoyat, ushbu stsenariyni ko'rib chiqing: siz buzilgan telefonni olasiz, uni tuzatasiz, keyin raqamni tering va boshqa tomondagi odam uni oladi. Bu erda biz allaqachon uchta komponentni ko'paytirishimiz kerak: 0,2 * 0,4 * 0,7 = 0,056.

Agar bir vaqtning o'zida ikkita ishlamaydigan telefoningiz bo'lsa, nima qilish kerak? Ulardan kamida bittasini tuzatish ehtimoli qanchalik katta? qo'shma hodisalardan foydalanilgani uchun ehtimollarni qo'shish va ko'paytirish bo'yicha. Yechim: 0,4 + 0,4 - 0,4 * 0,4 = 0,8 - 0,16 = 0,64. Shunday qilib, agar siz ikkita buzilgan qurilmani olsangiz, uni 64% hollarda tuzatishingiz mumkin bo'ladi.

Ehtiyotkorlik bilan foydalanish

Maqolaning boshida aytib o'tilganidek, ehtimollik nazariyasidan foydalanish qasddan va ongli bo'lishi kerak.

Eksperimentlar seriyasi qanchalik katta bo'lsa, nazariy jihatdan bashorat qilingan qiymat amaliyotda olingan qiymatga shunchalik yaqin bo'ladi. Masalan, biz tanga tashlaymiz. Nazariy jihatdan, ehtimollarni qo'shish va ko'paytirish formulalari mavjudligini bilib, biz tajribani 10 marta o'tkazsak, "boshlar" va "dumlar" necha marta paydo bo'lishini taxmin qilishimiz mumkin. Biz tajriba o'tkazdik va tasodifan chizilgan tomonlarning nisbati 3 dan 7 gacha bo'ldi. Ammo agar biz 100, 1000 yoki undan ko'p urinishlar seriyasini o'tkazsak, taqsimlash grafigi nazariyaga tobora yaqinlashib borayotgani ma'lum bo'ladi: 44 dan 56 gacha, 482 dan 518 gacha va hokazo.

Endi tasavvur qiling-a, bu tajriba tanga bilan emas, balki yangisini ishlab chiqarish bilan amalga oshiriladi kimyoviy modda, ehtimoli biz bilmaymiz. Biz 10 ta tajriba o'tkazdik va muvaffaqiyatli natijaga erishmasdan, umumlashtirishimiz mumkin: "moddani olish mumkin emas". Ammo kim biladi, agar biz o'n birinchi urinishda bo'lganimizda, maqsadga erisharmidik yoki yo'qmi?

Shunday qilib, agar siz noma'lum joyga, o'rganilmagan hududga kirsangiz, ehtimollik nazariyasi qo'llanilmasligi mumkin. Bu holatda har bir keyingi urinish muvaffaqiyatli bo'lishi mumkin va "X mavjud emas" yoki "X mumkin emas" kabi umumlashtirishlar erta bo'ladi.

Yakuniy so'z

Shunday qilib, biz qo'shishning ikki turini, ko'paytirish va shartli ehtimollarni ko'rib chiqdik. Ushbu sohani qo'shimcha o'rganish bilan har bir aniq formuladan foydalanilganda vaziyatlarni ajratishni o'rganish kerak. Bundan tashqari, ehtimollik usullari sizning muammoingizni hal qilish uchun umuman qo'llanilishi mumkinligini tasavvur qilishingiz kerak.

Agar mashq qilsangiz, bir muncha vaqt o'tgach, barcha kerakli operatsiyalarni faqat o'zingizning fikringiz bilan bajarishni boshlaysiz. Qiziqqanlar uchun karta o'yinlari, bu mahoratni nihoyatda qimmatli deb hisoblash mumkin - faqat ma'lum bir karta yoki kostyumning tushib qolish ehtimolini hisoblash orqali siz g'alaba qozonish imkoniyatingizni sezilarli darajada oshirasiz. Biroq, olingan bilimlarni faoliyatning boshqa sohalarida qo'llashni osongina topishingiz mumkin.

Ehtimollarni qo‘shish va ko‘paytirish teoremalari.
Bog'liq va mustaqil hodisalar

Sarlavha qo'rqinchli ko'rinadi, lekin aslida hamma narsa juda oddiy. Yoniq bu dars hodisalar ehtimolini qo‘shish va ko‘paytirish teoremalari bilan tanishamiz, shuningdek, tipik masalalarni tahlil qilamiz. ehtimollikni klassik aniqlash masalasi albatta uchrashadi yoki, ehtimol, yo'lda uchrashgan. Uchun samarali o'rganish Ushbu maqolaning materiallari siz asosiy atamalarni bilishingiz va tushunishingiz kerak ehtimollik nazariyasi va eng oddiy narsani qila olish arifmetik amallar. Ko'rib turganingizdek, juda oz narsa talab qilinadi va shuning uchun aktivdagi yog 'plyus deyarli kafolatlanadi. Ammo boshqa tomondan, men yana amaliy misollarga yuzaki munosabatda bo'lishdan ogohlantiraman - bu erda juda ko'p nozikliklar mavjud. Omad:

Mos kelmaydigan hodisalar ehtimolini qo'shish teoremasi: ikkitadan birining paydo bo'lish ehtimoli mos kelmaydigan voqealar yoki (nima bo'lganda ham), bu hodisalarning ehtimolliklari yig'indisiga teng:

Shunga o'xshash fakt ko'proq mos kelmaydigan hodisalar uchun ham amal qiladi, masalan, uchta mos kelmaydigan hodisalar va:

Teorema tush =) Biroq, bunday tush isbotlanishi mumkin, masalan, darslik V.E. Gmurman.

Keling, yangi, hozirgacha noma'lum tushunchalar bilan tanishamiz:

Bog'liq va mustaqil hodisalar

Keling, mustaqil tadbirlardan boshlaylik. Voqealar mustaqil , agar yuzaga kelish ehtimoli bo'lsa ularning har biri bog'liq emas ko'rib chiqilayotgan to'plamning boshqa hodisalarining paydo bo'lishi / ko'rinmasligi to'g'risida (barcha mumkin bo'lgan kombinatsiyalarda). ...Ammo nima uchun umumiy iboralarni sinab ko'rish kerak:

Mustaqil hodisalarning ehtimollarini ko'paytirish teoremasi: mustaqil hodisalarning birgalikda sodir bo'lish ehtimoli va bu hodisalarning ehtimolliklari ko'paytmasiga teng:

Keling, 1-darsning eng oddiy misoliga qaytaylik, unda ikkita tanga tashlangan va quyidagi voqealar:

- 1-tangada boshlar paydo bo'ladi;
- 2-tangada boshlar paydo bo'ladi.

Keling, hodisaning ehtimolini topamiz (boshlar 1-tangada paydo bo'ladi Va 2-tangada burgut paydo bo'ladi - qanday o'qishni eslang voqealar mahsulidir!) . Bitta tangadagi boshlarning ehtimoli boshqa tanga otish natijasiga bog'liq emas, shuning uchun voqealar mustaqildir.

Xuddi shunday:
– 1-tanganing boshlarini tushirish ehtimoli Va 2-dumlarda;
- 1-tangada boshlarning paydo bo'lish ehtimoli Va 2-dumlarda;
– 1-tanganing boshlarini ko‘rsatish ehtimoli Va 2-burgutda.

Voqealarning shakllanishiga e'tibor bering to'liq guruh va ularning ehtimolliklari yig'indisi birga teng: .

Ko'paytirish teoremasi aniqki, ko'proq mustaqil hodisalarga taalluqlidir, masalan, agar hodisalar mustaqil bo'lsa, unda ularning birgalikda paydo bo'lish ehtimoli teng: . Keling, mashq qilaylik aniq misollar:

Muammo 3

Uchta qutining har biri 10 qismdan iborat. Birinchi qutida 8 ta standart qism mavjud, ikkinchisi - 7, uchinchisi - 9. Har bir qutidan bitta qism tasodifiy chiqariladi. Barcha qismlarning standart bo'lish ehtimolini toping.

Yechim: Har qanday qutidan standart yoki nostandart qismni chizish ehtimoli boshqa qutilardan qanday qismlar olinganiga bog'liq emas, shuning uchun muammo mustaqil hodisalar bilan bog'liq. Quyidagi mustaqil hodisalarni ko'rib chiqing:

– standart qism 1-qutidan chiqariladi;
– standart qism 2-qutidan chiqarildi;
– standart qism 3-qutidan chiqariladi.

Klassik ta'rifga ko'ra:
mos keladigan ehtimollardir.

Bizni qiziqtirgan voqea (standart qism 1-qutidan olib tashlanadi Va 2-standartdan Va 3-standartdan) mahsulot bilan ifodalanadi.

Mustaqil hodisalar ehtimolini ko'paytirish teoremasiga ko'ra:

- uchta qutidan bitta standart qismni olib tashlash ehtimoli.

Javob: 0,504

Qutilar bilan tetiklantiruvchi mashqlardan so'ng bizni bundan kam qiziqarli urnalar kutmoqda:

Muammo 4

Uchta urnada 6 ta oq va 4 ta qora shar bor. Har bir urnadan tasodifiy bitta to'p olinadi. Quyidagi ehtimollikni toping: a) uchta shar ham oq bo'ladi; b) uchta to'p ham bir xil rangda bo'ladi.

Qabul qilingan ma'lumotlarga asoslanib, "bo'lish" nuqtasiga qanday munosabatda bo'lishni taxmin qiling ;-) Taxminiy namuna yechimlar barcha hodisalarning batafsil ro'yxati bilan akademik uslubda ishlab chiqilgan.

Bog'liq hodisalar. Tadbir deyiladi qaram , agar uning ehtimoli bo'lsa bog'liq allaqachon sodir bo'lgan bir yoki bir nechta hodisalardan. Misollar uchun uzoqqa borish shart emas - eng yaqin do'konga boring:

- ertaga soat 19.00 da sotiladi yangi non.

Ushbu hodisaning ehtimoli boshqa ko'plab voqealarga bog'liq: ertaga yangi non yetkazib beriladimi, kechki soat 19:00 dan oldin sotiladimi yoki yo'qmi va hokazo. ga qarab turli holatlar bu hodisa ishonchli yoki imkonsiz bo'lishi mumkin. Shunday qilib, voqea qaram.

Non... va rimliklar talab qilganidek, sirklar:

- imtihonda talaba oddiy chipta oladi.

Agar siz birinchi bo'lmasangiz, unda voqea bog'liq bo'ladi, chunki uning ehtimoli sinfdoshlar tomonidan qanday chiptalar chizilganiga bog'liq bo'ladi.

Hodisalarning bog'liqligi/mustaqilligini qanday aniqlash mumkin?

Ba'zan bu to'g'ridan-to'g'ri muammo bayonotida ko'rsatilgan, lekin ko'pincha siz mustaqil tahlil qilishingiz kerak. Bu erda aniq ko'rsatma yo'q va hodisalarning bog'liqligi yoki mustaqilligi tabiiy mantiqiy fikrlashdan kelib chiqadi.

Hamma narsani bitta qoziqqa to'plamaslik uchun, bog'liq hodisalar uchun vazifalar Men quyidagi darsni ta'kidlayman, ammo hozircha biz amaliyotda eng keng tarqalgan teoremalar to'plamini ko'rib chiqamiz:

Mos kelmaydigan ehtimollar uchun qo'shish teoremalariga oid masalalar
va mustaqil hodisalar ehtimolini ko'paytirish

Ushbu tandem, mening subyektiv baholashimga ko'ra, ko'rib chiqilayotgan mavzu bo'yicha vazifalarning taxminan 80 foizida ishlaydi. Xitlar va ehtimollik nazariyasining haqiqiy klassikasi:

Muammo 5

Ikkita otuvchi nishonga bittadan o‘q uzdi. Birinchi otishma uchun zarba ehtimoli 0,8, ikkinchisi uchun - 0,6. Buning ehtimolini toping:

a) faqat bitta otuvchi nishonga tegadi;
b) otishmalardan kamida bittasi nishonga tegadi.

Yechim: Bir otishmachining urish/o'tkazib yuborish darajasi, shubhasiz, boshqa otishmachining ishlashiga bog'liq emas.

Keling, voqealarni ko'rib chiqaylik:
– 1-o‘qchi nishonga tegadi;
- Ikkinchi o'qchi nishonga tegadi.

Shart bo'yicha: .

Keling, qarama-qarshi hodisalarning ehtimolini topamiz - mos keladigan o'qlar o'tkazib yuboradi:

a) Hodisani ko'rib chiqing: - faqat bitta otishma nishonga tegadi. Ushbu hodisa ikkita mos kelmaydigan natijadan iborat:

1-to'pchi uradi Va 2-chi o'tkazib yuboradi
yoki
1-chi o'tkazib yuboriladi Va Ikkinchisi uriladi.

Tilda hodisalar algebralari bu fakt quyidagi formula bilan yoziladi:

Birinchidan, biz mos kelmaydigan hodisalarning ehtimolliklarini qo'shish uchun teoremadan, keyin mustaqil hodisalarning ehtimolliklarini ko'paytirish teoremasidan foydalanamiz:

- faqat bitta zarba bo'lish ehtimoli.

b) Hodisani ko'rib chiqing: - otishmalardan kamida bittasi nishonga tegadi.

Avvalo, O'YLAYLIK - "KAMDA BIR" sharti nimani anglatadi? Bu holda, bu birinchi otishmani urishini anglatadi (2-chi o'tkazib yuboradi) yoki 2-chi (1-chi o'tkazib yuboriladi) yoki bir vaqtning o'zida ikkala shooter - jami 3 ta mos kelmaydigan natija.

Birinchi usul: oldingi nuqtaning tayyor ehtimolini hisobga olgan holda, hodisani quyidagi mos kelmaydigan hodisalar yig'indisi sifatida ko'rsatish qulay:

kimdir u erga etib boradi (2 ta mos kelmaydigan natijadan iborat hodisa) yoki
Agar ikkala o'q ham tegsa, biz bu hodisani harf bilan belgilaymiz.

Shunday qilib:

Mustaqil hodisalar ehtimolini ko'paytirish teoremasiga ko'ra:
- birinchi otishmaning urish ehtimoli Va Ikkinchi otishmachi uradi.

Mos kelmaydigan hodisalar ehtimolini qo'shish teoremasiga ko'ra:
- nishonga kamida bitta zarba berish ehtimoli.

Ikkinchi usul: Qarama-qarshi hodisani ko'rib chiqing: - ikkala otuvchi ham o'tkazib yuboradi.

Mustaqil hodisalar ehtimolini ko'paytirish teoremasiga ko'ra:

Natijada:

Maxsus e'tibor Ikkinchi usulga e'tibor bering - umuman olganda, u yanada oqilona.

Bundan tashqari, yuqorida aytilmagan qo'shma hodisalarni qo'shish teoremasiga asoslangan uni hal qilishning muqobil, uchinchi usuli mavjud.

! Agar siz material bilan birinchi marta tanishayotgan bo'lsangiz, chalkashmaslik uchun keyingi xatboshini o'tkazib yuborgan ma'qul.

Uchinchi usul : hodisalar mos keladi, ya'ni ularning yig'indisi "hech bo'lmaganda bitta otishma nishonga tegadi" hodisasini ifodalaydi (qarang. hodisalar algebrasi). tomonidan qo'shma hodisalar ehtimolini qo'shish teoremasi va mustaqil hodisalar ehtimolini ko'paytirish teoremasi:

Keling, tekshiramiz: voqealar va (mos ravishda 0, 1 va 2 ta urish) to'liq guruhni tashkil qiladi, shuning uchun ularning ehtimolliklari yig'indisi bittaga teng bo'lishi kerak:
, bu tekshirilishi kerak bo'lgan narsa edi.

Javob:

Ehtimollar nazariyasini sinchkovlik bilan o'rganish bilan siz militaristik mazmundagi o'nlab muammolarga duch kelasiz va bundan keyin siz hech kimni otishni xohlamaysiz - muammolar deyarli sovg'adir. Nega shablonni ham soddalashtirmaslik kerak? Keling, yozuvni qisqartiraylik:

Yechim: shart bo'yicha: , mos keladigan otishmalarni urish ehtimoli. Keyin ularning sog'inish ehtimoli:

a) Mos kelmaydigan ehtimolliklarni qo'shish va mustaqil hodisalar ehtimolini ko'paytirish teoremalariga ko'ra:
- faqat bitta otishmaning nishonga tegishi ehtimoli.

b) Mustaqil hodisalar ehtimolini ko'paytirish teoremasiga ko'ra:
- ikkala otishmaning ham o'tkazib yuborish ehtimoli.

Keyin: otishmachilardan kamida bittasi nishonga tegish ehtimoli.

Javob:

Amalda siz har qanday dizayn variantidan foydalanishingiz mumkin. Albatta, ular ko'pincha qisqa yo'lni tanlaydilar, lekin biz 1-usulni unutmasligimiz kerak - u uzoqroq bo'lsa-da, u yanada mazmunli - aniqroq, nima, nima uchun va nima uchun qo'shadi va ko'paytiradi. Ba'zi hollarda, faqat ba'zi hodisalarni ko'rsatish uchun katta harflardan foydalanish qulay bo'lsa, gibrid uslub mos keladi.

Shu kabi vazifalar uchun mustaqil qaror:

Muammo 6

Yong'in haqida signal berish uchun ikkita mustaqil ishlaydigan sensorlar o'rnatilgan. Yong'in sodir bo'lganda sensorning ishlashi ehtimoli birinchi va ikkinchi sensorlar uchun mos ravishda 0,5 va 0,7 ni tashkil qiladi. Yong'in sodir bo'lish ehtimolini toping:

a) ikkala sensor ham ishlamay qoladi;
b) ikkala sensor ham ishlaydi.
c) foydalanish to'liq guruhni tashkil etuvchi hodisalarning ehtimolliklarini qo'shish teoremasi, yong'in paytida faqat bitta datchik ishlash ehtimolini toping. Ushbu ehtimollikni to'g'ridan-to'g'ri hisoblash orqali natijani tekshiring (qo‘shish va ko‘paytirish teoremalaridan foydalanish).

Bu erda qurilmalarning ishlashining mustaqilligi to'g'ridan-to'g'ri holatda ko'rsatilgan, bu, aytmoqchi, muhim tushuntirishdir. Namunaviy yechim akademik uslubda yaratilgan.

Agar shunga o'xshash masalada bir xil ehtimollar, masalan, 0,9 va 0,9 berilgan bo'lsa-chi? Siz aynan shunday qaror qabul qilishingiz kerak! (aslida bu misolda ikkita tanga bilan ko'rsatilgan)

Muammo 7

Birinchi otuvchining nishonga bir marta zarba berish ehtimoli 0,8 ga teng. Birinchi va ikkinchi otishmachilar bittadan o'q uzgandan keyin nishonga tegmaslik ehtimoli 0,08 ga teng. Ikkinchi otuvchining bir o‘q bilan nishonga tegish ehtimoli qanday?

Va bu qisqacha mo'ljallangan kichik jumboq. Shartni yanada ixchamroq tarzda qayta shakllantirish mumkin, lekin men asl nusxasini takrorlamayman - amalda men ko'proq bezakli uydirmalarni o'rganishim kerak.

U bilan tanishing - u siz uchun juda ko'p tafsilotlarni rejalashtirgan odam =):

Muammo 8

Bir ishchi uchta mashinani boshqaradi. Bir smenada birinchi mashina sozlashni talab qilish ehtimoli 0,3, ikkinchisi - 0,75, uchinchisi - 0,4. Shishish paytida yuzaga keladigan ehtimollikni toping:

a) barcha mashinalar sozlashni talab qiladi;
b) faqat bitta mashina sozlashni talab qiladi;
c) kamida bitta mashina sozlashni talab qiladi.

Yechim: shart bitta texnologik jarayon haqida hech narsa aytmaganligi sababli, har bir mashinaning ishlashi boshqa mashinalarning ishlashidan mustaqil ravishda ko'rib chiqilishi kerak.

5-masalaga o'xshatib, bu erda siz mos keladigan mashinalar smenada sozlashni talab qiladigan hodisalarni hisobga olishingiz, ehtimolliklarni yozishingiz, qarama-qarshi hodisalarning ehtimolini topishingiz va hokazo. Ammo uchta ob'ekt bilan men vazifani endi bunday formatlashni xohlamayman - bu uzoq va zerikarli bo'lib chiqadi. Shuning uchun, bu erda "tezkor" uslubdan foydalanish sezilarli darajada foydalidir:

Shartga ko'ra: - smenada mos keladigan mashinalar sozlashni talab qilish ehtimoli. Keyin e'tibor talab etmaslik ehtimoli quyidagilar:

O'quvchilardan biri bu erda ajoyib xato topdi, men uni tuzatmayman =)

a) Mustaqil hodisalar ehtimolini ko'paytirish teoremasiga ko'ra:
- smenada uchta mashinaning hammasi sozlashni talab qilish ehtimoli.

b) "Smenada faqat bitta mashina sozlashni talab qiladi" hodisasi uchta mos kelmaydigan natijadan iborat:

1) 1-mashina talab qiladi diqqat Va 2-mashina talab qilmaydi Va 3-mashina talab qilmaydi
yoki:
2) 1-mashina talab qilmaydi diqqat Va 2-mashina talab qiladi Va 3-mashina talab qilmaydi
yoki:
3) 1-mashina talab qilmaydi diqqat Va 2-mashina talab qilmaydi Va 3-mashina talab qiladi.

Mos kelmaydigan ehtimolliklarni qo'shish va mustaqil hodisalar ehtimolini ko'paytirish teoremalariga ko'ra:

- smenada faqat bitta mashina sozlashni talab qilish ehtimoli.

O'ylaymanki, hozir siz bu ibora qaerdan kelganini tushunishingiz kerak

c) Mashinalarning sozlashni talab qilmaslik ehtimolini, keyin esa teskari hodisaning ehtimolini hisoblaylik:
- kamida bitta mashina sozlashni talab qiladi.

Javob:

"Ve" nuqtasini yig'indi orqali ham hal qilish mumkin, bu erda smenada faqat ikkita mashina sozlashni talab qilish ehtimoli. Bu hodisa, o'z navbatida, "bo'lish" nuqtasi bilan o'xshashlik bilan tavsiflangan 3 ta mos kelmaydigan natijani o'z ichiga oladi. Tenglik yordamida butun muammoni tekshirish ehtimolini o'zingiz topishga harakat qiling.

Muammo 9

Nishonga uchta quroldan salvo otildi. Faqat birinchi quroldan bitta o'q bilan urish ehtimoli - 0,7, ikkinchidan - 0,6, uchinchidan - 0,8. Quyidagi ehtimolini toping: 1) kamida bitta snaryad nishonga tegishi; 2) nishonga faqat ikkita snaryad tegadi; 3) nishonga kamida ikki marta zarba beriladi.

Yechim va javob dars oxirida.

Va yana tasodiflar haqida: agar shartga ko'ra, dastlabki ehtimolliklarning ikkita yoki hatto barcha qiymatlari mos keladigan bo'lsa (masalan, 0,7, 0,7 va 0,7), unda aynan bir xil yechim algoritmiga amal qilish kerak.

Maqolani yakunlash uchun keling, yana bir keng tarqalgan jumboqni ko'rib chiqaylik:

Muammo 10

Otuvchi har bir o'q bilan nishonga bir xil ehtimollik bilan tegadi. Agar uchta o'q bilan kamida bitta zarba berish ehtimoli 0,973 bo'lsa, bu ehtimollik nima?

Yechim: bilan belgilaymiz - har bir o'q bilan nishonga tegish ehtimoli.
va orqali - har bir zarba bilan o'tkazib yuborish ehtimoli.

Va keling, voqealarni yozamiz:
- 3 ta o'q bilan otishchi nishonga kamida bir marta tegadi;
- otgan 3 marta o'tkazib yuboradi.

Shart bo'yicha, keyin qarama-qarshi hodisaning ehtimoli:

Boshqa tomondan, mustaqil hodisalarning ehtimolliklarini ko'paytirish teoremasiga ko'ra:

Shunday qilib:

- har bir zarbada o'tkazib yuborish ehtimoli.

Natijada:
- har bir zarba bilan zarba berish ehtimoli.

Javob: 0,7

Oddiy va oqlangan.

Ko'rib chiqilayotgan masalada faqat bitta zarba, faqat ikkita zarba va nishonga uchta zarba berish ehtimoli haqida qo'shimcha savollar berilishi mumkin. Yechim sxemasi avvalgi ikkita misoldagi kabi bo'ladi:

Biroq, asosiy mazmunli farq shundaki, bu erda mavjud takroriy mustaqil testlar, ular ketma-ket, bir-biridan mustaqil ravishda va bir xil natijalar ehtimoli bilan amalga oshiriladi.

Muayyan hodisaga yordam beradigan holatlarni to'g'ridan-to'g'ri hisoblash qiyin bo'lishi mumkin. Shuning uchun, voqea ehtimolini aniqlash uchun ushbu hodisani boshqa, ko'proq narsaning kombinatsiyasi sifatida tasavvur qilish foydali bo'lishi mumkin. oddiy hodisalar. Biroq, bu holatda, hodisalar kombinatsiyasida ehtimolliklarni boshqaradigan qoidalarni bilishingiz kerak. Paragraf sarlavhasida keltirilgan teoremalar aynan shu qoidalarga tegishli.

Ulardan birinchisi bir nechta hodisalardan kamida bittasi sodir bo'lish ehtimolini hisoblash bilan bog'liq.

Qo'shish teoremasi.

A va B ikkita mos kelmaydigan hodisa bo'lsin. U holda bu ikki hodisadan kamida bittasining sodir bo'lish ehtimoli ularning ehtimolliklari yig'indisiga teng bo'ladi:

Isbot. Bir-biriga mos kelmaydigan hodisalarning to'liq guruhi bo'lsin. Agar bu elementar hodisalar orasida aynan A ga ma'qul bo'lgan hodisalar va B uchun qulay hodisalar bo'lsa. A va B hodisalar bir-biriga mos kelmagani uchun, hech qanday hodisa bu ikkala hodisaga ham foyda keltira olmaydi. Bu ikki hodisadan kamida bittasining roʻy berishidan iborat boʻlgan hodisa (A yoki B) A ni qoʻllab-quvvatlovchi har bir voqea va hodisalarning har biri tomonidan maʼqullanadi.

Qulay V. Shuning uchun umumiy soni Hodisaga yordam beradigan hodisalar (A yoki B) quyidagi yig'indiga teng:

Q.E.D.

Ikki hodisa holati uchun yuqorida ifodalangan qo'shish teoremasini ularning istalgan chekli soniga osongina o'tkazish mumkinligini ko'rish oson. To'g'ri, agar juftlik mos kelmaydigan hodisalar mavjud bo'lsa, unda

Masalan, uchta hodisa uchun bitta yozish mumkin

Qo'shish teoremasining muhim natijasi shunday bayonotdir: agar hodisalar juftlik mos kelmaydigan va yagona mumkin bo'lsa, u holda

Darhaqiqat, hodisa yoki yoki yoki taxmin bo'yicha aniq va uning ehtimoli, § 1da ko'rsatilganidek, bittaga teng. Xususan, agar ular bir-biriga qarama-qarshi bo'lgan ikkita hodisani bildirsa, unda

Keling, qo'shish teoremasini misollar bilan ko'rsatamiz.

Misol 1. Nishonga o'q otishda a'lo o'q otish ehtimoli 0,3 ga, "yaxshi" otish ehtimoli esa 0,4 ga teng. Bir zarba uchun kamida "yaxshi" ball olish ehtimoli qanday?

Yechim. Agar A hodisasi “a’lo” bahoni, B hodisasi esa “yaxshi” baho olishni bildirsa, u holda

2-misol. Oq, qizil va qora sharlar bo'lgan urnada oq sharlar va I qizil sharlar bor. Qora bo'lmagan to'pni chizish ehtimoli qanday?

Yechim. Agar A hodisasi oq to'pning ko'rinishidan iborat bo'lsa va B hodisasi qizil shardan iborat bo'lsa, u holda to'pning ko'rinishi qora emas.

oq yoki qizil to'pning ko'rinishini anglatadi. Chunki ehtimollik ta'rifiga ko'ra

u holda qo'shish teoremasi bo'yicha qora bo'lmagan sharning paydo bo'lish ehtimoli teng;

Bu muammoni shu tarzda hal qilish mumkin. C hodisasi qora sharning ko'rinishidan iborat bo'lsin. Qora sharlar soni teng bo'lib, P (C) Qora bo'lmagan to'pning ko'rinishi C ning teskari hodisasidir, shuning uchun qo'shish teoremasidan yuqoridagi xulosaga asoslanib, bizda:

avvalgidek.

3-misol. Pul-moddiy lotereyada 1000 ta chiptalar seriyasiga 120 ta pul va 80 ta moddiy yutuq ajratiladi. Bitta lotereya chiptasida biror narsa yutish ehtimoli qanday?

Yechim. Agar biz A bilan pul daromadidan va B bilan moddiy foydadan iborat hodisani belgilasak, ehtimollik ta'rifidan kelib chiqadi.

Bizni qiziqtirgan hodisa (A yoki B) bilan ifodalanadi, shuning uchun u qo'shish teoremasidan kelib chiqadi

Shunday qilib, har qanday g'alaba ehtimoli 0,2 ga teng.

Keyingi teoremaga o'tishdan oldin yangi muhim tushuncha - shartli ehtimollik tushunchasi bilan tanishish kerak. Buning uchun biz quyidagi misolni ko'rib chiqishdan boshlaymiz.

Aytaylik, omborda ikkita turli zavodda ishlab chiqarilgan 400 ta lampochka bor va birinchisi barcha lampochkalarning 75 foizini, ikkinchisi esa 25 foizini ishlab chiqaradi. Faraz qilaylik, birinchi zavod tomonidan ishlab chiqarilgan lampochkalar ichida 83% ma'lum bir standart shartlarini qondiradi, ikkinchi zavod mahsulotlari uchun esa bu foiz 63 ni tashkil qiladi. Ombor standart shartlariga javob beradi.

E'tibor bering, mavjud bo'lgan standart lampochkalarning umumiy soni birinchisi tomonidan ishlab chiqarilgan lampochkalardan iborat

zavod va ikkinchi zavod tomonidan ishlab chiqarilgan 63 lampochka, ya'ni 312 ga teng. Har qanday lampochkani tanlash bir xil darajada mumkin deb hisoblanishi kerakligi sababli, bizda 400 tadan 312 ta qulay holat mavjud, shuning uchun

bu erda B hodisasi biz tanlagan lampochkaning standart ekanligi.

Ushbu hisob-kitob jarayonida biz tanlagan lampochka qaysi zavodga tegishli ekanligi haqida hech qanday taxminlar qilinmagan. Agar biz bunday taxminlar qilsak, bizni qiziqtirgan ehtimollik o'zgarishi aniq. Masalan, agar tanlangan lampochka birinchi zavodda ishlab chiqarilganligi ma'lum bo'lsa (A hodisasi), u holda uning standart bo'lish ehtimoli endi 0,78 emas, balki 0,83 bo'ladi.

Bunday ehtimollik, ya'ni A hodisasi sodir bo'lganda B hodisaning ehtimoli A hodisasi sodir bo'lganda B hodisasining shartli ehtimolligi deyiladi va belgilanadi.

Agar oldingi misolda tanlangan lampochkaning birinchi zavodda ishlab chiqarilganligi hodisasini A bilan belgilasak, u holda yozishimiz mumkin.

Endi biz hodisalarni birlashtirish ehtimolini hisoblash bilan bog'liq muhim teoremani shakllantirishimiz mumkin.

Ko'paytirish teoremasi.

A va B hodisalarini birlashtirish ehtimoli, birinchi sodir bo'lgan deb faraz qilgan holda, hodisalardan birining ehtimoli va ikkinchisining shartli ehtimoli ko'paytmasiga teng:

Bunda A va V hodisalarning birikmasi ularning har birining sodir bo‘lishini, ya’ni A hodisaning ham, B hodisaning ham sodir bo‘lishini bildiradi.

Isbot. Keling, bir xil darajada mumkin bo'lgan juftlik mos kelmaydigan hodisalarning to'liq guruhini ko'rib chiqaylik, ularning har biri ham A hodisasi, ham B hodisasi uchun qulay yoki noqulay bo'lishi mumkin.

Keling, ushbu hodisalarning barchasini quyidagi tarzda to'rt xil guruhga ajratamiz. Birinchi guruhga A hodisasi ham, B hodisasi ham yoqadigan hodisalar kiradi; Ikkinchi va uchinchi guruhlarga bizni qiziqtirgan ikki hodisadan biriga ma’qul bo‘lgan va boshqasiga ma’qul kelmaydigan voqealar kiradi, masalan, ikkinchi guruhga A ga ma’qul bo‘lgan, lekin B ni yoqtirmaydigan voqealar, uchinchi guruhga esa, bizni qiziqtirgan voqealar kiradi. B ga yoqadi, lekin A ga yoqmaydi; nihoyat

To'rtinchi guruhga A yoki B ga mos kelmaydigan hodisalar kiradi.

Hodisalarning raqamlanishi muhim emasligi sababli, ushbu to'rt guruhga bo'linish quyidagicha ko'rinadi deb taxmin qilishimiz mumkin:

I guruh:

II guruh:

III guruh:

IV guruh:

Shunday qilib, teng darajada mumkin bo'lgan va juftlik bilan mos kelmaydigan hodisalar orasida A hodisasini ham, B hodisasini ham ma'qullaydigan hodisalar, A hodisasini qo'llab-quvvatlovchi, ammo A hodisasini yoqtirmaydigan, B ni yoqtiradigan, lekin A hodisasini yoqtirmaydigan hodisalar va nihoyat, na A, na B ga yoqmaydigan hodisalar.

Aytgancha, biz ko'rib chiqqan to'rtta guruhning birortasi (va hatto bir nechta) bitta hodisani o'z ichiga olmaydi. Ushbu holatda mos keladigan raqam, ya'ni bunday guruhdagi hodisalar soni nolga teng bo'ladi.

Bizning guruhlarga bo'linishimiz sizga darhol yozish imkonini beradi

chunki A va B hodisalarning birikmasi birinchi guruh hodisalari tomonidan va faqat ular tomonidan ma'qullanadi. A ni ma'qullaydigan hodisalarning umumiy soni birinchi va ikkinchi guruhlardagi hodisalarning umumiy soniga, B ni yoqlaganlar esa birinchi va uchinchi guruhlardagi hodisalarning umumiy soniga teng.

Keling, A hodisasi sodir bo'lgan taqdirda, ehtimollikni, ya'ni B hodisaning ehtimolligini hisoblaymiz. Endi uchinchi va to'rtinchi guruhlarga kiritilgan hodisalar yo'qoladi, chunki ularning paydo bo'lishi A hodisasining paydo bo'lishiga zid keladi va mumkin bo'lgan holatlar soni endi teng emas. Ulardan B hodisasi faqat birinchi guruh hodisalari tomonidan ma'qullanadi, shuning uchun biz quyidagilarni olamiz:

Teoremani isbotlash uchun endi yaqqol o'ziga xoslikni yozish kifoya:

va barcha uchta kasrni yuqorida hisoblangan ehtimollar bilan almashtiring. Teoremada keltirilgan tenglikka erishamiz:

Ko‘rinib turibdiki, biz yuqorida yozgan o‘ziga xoslik har doim to‘g‘ri bo‘lsagina ma’noga ega bo‘ladi, agar A imkonsiz hodisa bo‘lmasa.

A va B hodisalar teng bo'lganligi sababli, ularni almashtirish orqali biz ko'paytirish teoremasining boshqa shaklini olamiz:

Ammo, agar siz identifikatordan foydalansangiz, bu tenglikni avvalgisiga o'xshash tarzda olish mumkin.

P (A va B) ehtimolligi uchun ikkita ifodaning o'ng tomonlarini taqqoslab, biz foydali tenglikni olamiz:

Keling, ko'paytirish teoremasini tasvirlaydigan misollarni ko'rib chiqaylik.

4-misol. Muayyan korxona mahsulotlarida 96% mahsulot mos deb hisoblanadi (A hodisasi). Har yuzta mos mahsulotdan 75 tasi birinchi navga tegishli (B hodisasi). Tasodifiy tanlangan mahsulotning mos kelishi va birinchi navga tegishli bo'lish ehtimolini aniqlang.

Yechim. Istalgan ehtimollik - bu A va B hodisalarini birlashtirish ehtimoli. Shart bo'yicha bizda: . Shuning uchun ko'paytirish teoremasi beradi

5-misol. Nishonga bir martalik zarba berish ehtimoli (A hodisasi) 0,2 ga teng. Sigortalarning 2% ishlamay qolsa (ya'ni, 2% hollarda o'q bo'lmasa) nishonga tegish ehtimoli qanday?

Yechim. B hodisasi otishni o'rganish sodir bo'lsin, B esa qarama-qarshi hodisani bildirsin. Keyin shart bo'yicha va qo'shish teoremasining xulosasiga ko'ra. Bundan tashqari, shartga ko'ra.

Nishonga tegish A va B hodisalarining kombinatsiyasini anglatadi (o'q otilib, zarba beradi), shuning uchun ko'paytirish teoremasiga ko'ra

Ko'paytirish teoremasining muhim maxsus holatini hodisalarning mustaqilligi tushunchasidan foydalanish orqali olish mumkin.

Ikki hodisa mustaqil deyiladi, agar ulardan birining ehtimoli ikkinchisining sodir bo'lishi yoki sodir bo'lmasligi natijasida o'zgarmasa.

Mustaqil hodisalarga misol qilib, zarni qayta uloqtirganda yoki tanganing u yoki bu tomonini qayta uloqtirganda turli xil nuqtalar paydo bo'lishi mumkin, chunki ikkinchi otishda gerb olish ehtimoli teng ekanligi aniq. gerb birinchi bo'lib chiqqanmi yoki yo'qligidan qat'i nazar.

Xuddi shunday, agar birinchi chizilgan to'p qaytarilgan bo'lsa, oq va qora to'plar bo'lgan urnadan ikkinchi marta oq to'pni tortib olish ehtimoli to'p birinchi marta chizilganmi, oq yoki qora rangga bog'liq emas. Shuning uchun birinchi va ikkinchi olib tashlash natijalari bir-biridan mustaqildir. Aksincha, birinchi bo'lib chiqarilgan to'p urnaga qaytmasa, ikkinchi olib tashlash natijasi birinchisiga bog'liq, chunki birinchi olib tashlangandan keyin idishdagi sharlarning tarkibi uning natijasiga qarab o'zgaradi. Bu erda biz qaram hodisalarga misol keltiramiz.

Shartli ehtimollar uchun qabul qilingan belgidan foydalanib, A va B hodisalarning mustaqillik shartini ko'rinishda yozishimiz mumkin.

Bu tengliklardan foydalanib, mustaqil hodisalar uchun ko‘paytirish teoremasini quyidagi ko‘rinishga keltirishimiz mumkin.

Agar A va B hodisalari mustaqil bo'lsa, ularning kombinatsiyasi ehtimolligi ushbu hodisalarning ehtimolliklarining ko'paytmasiga teng bo'ladi:

Darhaqiqat, hodisalarning mustaqilligidan kelib chiqadigan ko'paytirish teoremasining dastlabki ifodasini qo'yish kifoya qiladi va biz kerakli tenglikni olamiz.

Keling, bir nechta hodisalarni ko'rib chiqaylik: agar ulardan birortasining paydo bo'lish ehtimoli ko'rib chiqilayotgan boshqa voqealar sodir bo'lgan yoki sodir bo'lmaganiga bog'liq bo'lmasa, biz ularni birgalikda mustaqil deb ataymiz.

Kollektiv mustaqil bo'lgan hodisalarda, ko'paytirish teoremasi ularning istalgan cheklangan soniga kengaytirilishi mumkin, shuning uchun uni quyidagicha shakllantirish mumkin:

Mustaqil hodisalarni yig'indida birlashtirish ehtimoli ushbu hodisalarning ehtimolliklari ko'paytmasiga teng:

Misol 6. Ishchi uchta avtomatik mashinaga xizmat ko'rsatmoqda, agar mashina to'xtab qolsa, nosozlikni tuzatish uchun har biriga murojaat qilish kerak. Birinchi mashinaning bir soat ichida to'xtab qolmasligi ehtimoli 0,9 ga teng. Ikkinchi mashina uchun bir xil ehtimollik 0,8, uchinchisi uchun - 0,7. Bir soat ichida ishchi xizmat ko'rsatayotgan biron bir mashinaga yaqinlashmasligi ehtimolini aniqlang.

7-misol. Samolyotni miltiqdan otib urib tushirish ehtimoli Agar bir vaqtning o'zida 250 ta miltiq otilgan bo'lsa, dushman samolyotini yo'q qilish ehtimoli qancha?

Yechim. Samolyotning bitta o'q bilan urilmasligi ehtimoli qo'shish teoremasiga teng bo'lsa, biz ko'paytirish teoremasidan foydalanib, samolyotning 250 ta o'q bilan urilmasligi ehtimolini birlashtirish ehtimoli sifatida hisoblashimiz mumkin. voqealar. Bu teng bo'ladi Shundan so'ng, biz yana qo'shish teoremasidan foydalanamiz va samolyotning urib tushish ehtimolini qarama-qarshi hodisaning ehtimoli sifatida topishimiz mumkin.

Bundan ko'rinib turibdiki, bitta miltiq o'qi bilan samolyotni urib tushirish ehtimoli ahamiyatsiz bo'lsa-da, shunga qaramay, 250 ta miltiqdan o'q otganda, samolyotni urib tushirish ehtimoli allaqachon juda sezilarli. Miltiqlar soni ko'paytirilsa, u sezilarli darajada oshadi. Shunday qilib, 500 ta miltiqdan o'q otganda, hisoblash oson bo'lganidek, samolyotni urib tushirish ehtimoli 1000 ta miltiqdan otish bilan teng bo'ladi - hatto.

Yuqorida isbotlangan ko'paytirish teoremasi qo'shish teoremasini biroz kengaytirishga, uni mos keladigan hodisalar holatiga kengaytirishga imkon beradi. Ko'rinib turibdiki, agar A va B hodisalar mos kelsa, u holda ulardan kamida bittasining paydo bo'lish ehtimoli ularning ehtimolliklari yig'indisiga teng emas. Masalan, agar A hodisasi juft sonni bildirsa

o'limni otishda ochkolar soni va B hodisasi uchga karrali bo'lgan bir nechta ochkolarni yo'qotish bo'lsa, u holda (A yoki B) hodisa 2, 3, 4 va 6 ball yo'qotilishi bilan ma'qul bo'ladi; anavi

Boshqa tomondan, ya'ni. Shunday qilib, bu holatda

Bundan ko'rinib turibdiki, mos keladigan hodisalarda ehtimollarni qo'shish teoremasini o'zgartirish kerak. Endi ko'rib turganimizdek, uni shunday shakllantirish mumkinki, u ham mos keluvchi, ham mos kelmaydigan hodisalar uchun amal qiladi, shuning uchun avval ko'rib chiqilgan qo'shish teoremasi yangisining alohida holati bo'lib chiqadi.

A uchun qulay bo'lmagan hodisalar.

Hodisaga yordam beradigan barcha elementar hodisalar (A yoki B) faqat A, yoki faqat B, yoki A va B ning ikkalasini qo'llab-quvvatlashi kerak. Shunday qilib, bunday hodisalarning umumiy soni tengdir.

va ehtimollik

Q.E.D.

Zar otishda paydo bo'ladigan nuqtalar sonining yuqoridagi misoliga (9) formulani qo'llasak, biz quyidagilarni olamiz:

to'g'ridan-to'g'ri hisoblash natijasi bilan mos keladi.

Shubhasiz, (1) formula (9) ning maxsus holatidir. Haqiqatan ham, agar A va B hodisalari mos kelmasa, u holda kombinatsiya ehtimoli

Masalan. IN elektr zanjiri Ikkita sigortalar ketma-ket ulangan. Birinchi sug'urta ishlamay qolish ehtimoli 0,6, ikkinchisi esa 0,2. Keling, ushbu sigortalardan kamida bittasining ishdan chiqishi natijasida elektr uzilish ehtimolini aniqlaylik.

Yechim. Sigortalarning birinchi va ikkinchi ishdan chiqishidan iborat A va B hodisalari mos bo'lganligi sababli, talab qilinadigan ehtimollik (9) formula bilan aniqlanadi:

Mashqlar

Ma’ruza 7. Ehtimollar nazariyasi

QO‘SHISH VA KO‘SHISH TEOREMALARINING OTIBATLARI

Qo'shma hodisalar ehtimolini qo'shish teoremasi

uchun qo'shish teoremasi mos kelmaydigan voqealar. Bu erda biz uchun qo'shish teoremasini taqdim etamiz qo'shma voqealar.

Ikki voqea chaqiriladi qo'shma, agar ulardan birining ko'rinishi bir xil sud jarayonida ikkinchisining paydo bo'lishini istisno qilmasa.

1-misol . A – o‘limni otishda to‘rt nuqtaning ko‘rinishi; B - juft sonli nuqtalarning ko'rinishi. A va B hodisalari qo'shma.

A va B hodisalar umumiy bo'lsin va bu hodisalarning ehtimolliklari va ularning birgalikda sodir bo'lish ehtimoli berilgan. A va B hodisalardan kamida bittasi sodir bo'lish A + B hodisasining ehtimolligini qanday topish mumkin? Bu savolga javob qo'shma hodisalar ehtimolini qo'shish teoremasi orqali beriladi.

Teorema. Ikki qo'shma hodisadan kamida bittasining sodir bo'lish ehtimoli bu hodisalarning birgalikda sodir bo'lish ehtimolisiz ehtimoli yig'indisiga teng: P (A + B) = P (A) + P (B) - P. (AB).

Isbot . Shartlar bo'yicha A va B hodisalari mos bo'lganligi sababli, quyidagi uchta mos kelmaydigan hodisalardan biri sodir bo'lsa, A + B hodisasi sodir bo'ladi: . Mos kelmaydigan hodisalar ehtimolini qo'shish teoremasiga ko'ra, bizda:

P (A + B) = P (A) + P (B) + P (AB).(*)

Ikki mos kelmaydigan hodisadan biri sodir bo'lsa, A hodisasi sodir bo'ladi: A
yoki AB. Mos kelmaydigan hodisalarning ehtimollarini qo'shish teoremasi bo'yicha

P(A) = P(A) + P(AB).

P(A)=P(A) – P(AB).(**)

Xuddi shunday bizda ham bor

P(B) = P(ĀB) + P(AB).

P(ĀB) = P(B) – P(AB).(***)

(**) va (***) ni (*) ga almashtirsak, biz nihoyat olamiz

P (A + B) = P (A) + P (B) - P (AB).(****)

Q.E.D.

Eslatma 1. Olingan formuladan foydalanganda, A va B hodisalari ham bo'lishi mumkinligini yodda tutish kerak mustaqil, shunday qaram.

Mustaqil tadbirlar uchun

P (A + B) = P (A) + P (B) - P (A) * P (B);

Bog'liq hodisalar uchun

P (A + B) = P (A) + P (B) - P (A) * P A (B).

Eslatma 2. Agar A va B hodisalari mos kelmaydigan, u holda ularning birikmasi imkonsiz hodisa va shuning uchun P(AB) = 0.

Mos kelmaydigan hodisalar uchun formula (****) shaklni oladi

P (A + B) = P (A) + P (B).

Biz yana mos kelmaydigan hodisalar uchun qo'shish teoremasini oldik. Shunday qilib, formula (****) qo'shma va mos kelmaydigan hodisalar uchun ham amal qiladi.

2-misol. Birinchi va ikkinchi qurollarni otishda nishonga tegish ehtimoli mos ravishda teng: p 1 = 0,7; p2 = 0,8. Bitta zarba bilan urish ehtimolini toping
(ikkala quroldan) kamida bitta qurol bilan.

Yechim . Har bir qurolning nishonga tegish ehtimoli boshqa quroldan otish natijasiga bog'liq emas, shuning uchun A (birinchi qurol bilan urilgan) va B (ikkinchi qurol bilan urilgan) hodisalari mustaqildir.

AB hodisasi ehtimoli (ikkala qurol ham zarba berdi)

P (AB) = P (A) * P (B) = 0,7 * 0,8 = 0,56.

Kerakli ehtimollik P (A + B) = P (A) + P (B) - P (AB) = 0,7 + 0,8 - 0,56 = 0,94.

Eslatma 3. Ushbu misolda A va B hodisalari mustaqil bo'lgani uchun biz P = 1 – q 1 q 2 formulasidan foydalanishimiz mumkin.

Aslida, voqealar ehtimoli qarama-qarshi hodisalar A va B, ya'ni. o'tkazib yuborish ehtimoli quyidagilar:

q 1 = 1 - p 1 = 1 - 0,7 = 0,3;

q 2 = 1 - p 2 = 1 - 0,8 = 0,2;

Bitta zarba bilan kamida bitta to'pponcha urish ehtimoli teng

P = 1 – q 1 q 2 = 1 – 0,3 * 0,2 = 1 – 0,06 = 0,94.

Siz kutganingizdek, xuddi shunday natijaga erishildi.

Voqealar bo'lsin A Va IN- mos kelmaydigan va bu hodisalarning ehtimoli ma'lum. Savol: ushbu mos kelmaydigan hodisalardan birining sodir bo'lish ehtimolini qanday topish mumkin? Bu savolga javob qo'shish teoremasi orqali beriladi.

Teorema.Ikki mos kelmaydigan hodisalardan birining ro'y berish ehtimoli ushbu hodisalarning ehtimolliklari yig'indisiga teng:

p(A + IN) = p(A) + p(IN) (1.6)

Isbot. Haqiqatan ham, ruxsat bering n- barcha bir xil darajada mumkin bo'lgan va mos kelmaydigan (ya'ni elementar) natijalarning umumiy soni. Tadbirga ruxsat bering A yaxshilik qiladi m 1 ta natija va voqea IN – m 2 ta natija. Keyin, klassik ta'rifga ko'ra, bu hodisalarning ehtimoli teng: p(A) = m 1 / n, p(B) = m 2 / n .

Voqealardan beri A Va IN mos kelmaydigan, keyin natijalarning hech biri hodisa uchun qulay emas A, hodisa uchun qulay emas IN(quyidagi diagrammaga qarang).

Shuning uchun voqea A+IN qulay bo'ladi m 1 + m 2 ta natija. Shuning uchun, ehtimollik uchun p(A + B) biz olamiz:

Xulosa 1. To'liq guruhni tashkil etuvchi hodisalarning ehtimollik yig'indisi bittaga teng:

p(A) + p(IN) + p(BILAN) + … + p(D) = 1.

Haqiqatan ham, voqealarga ruxsat bering A,IN,BILAN, … , D to'liq guruh hosil qiling. Shu sababli, ular mos kelmaydigan va yagona mumkin bo'lganlardir. Shuning uchun voqea A + B + C + …+D, bu hodisalarning kamida bittasi sodir bo'lishidan (sinov natijasida) iborat, ishonchli, ya'ni. A+B+C+…+D = Va p(A+B+C+…+D) = 1.

Hodisalarning mos kelmasligi tufayli A,IN,BILAN, … , D formula to'g'ri:

p(A+B+C+…+D) = p(A) + p(IN) + p(BILAN) + … + p(D) = 1.

Misol. Bir urnada 30 ta shar bor, ulardan 10 tasi qizil, 5 tasi koʻk va 15 tasi oq. Qizil yoki ko'k sharni chizish ehtimolini toping, agar urnadan faqat bitta to'p olinadi.

Yechim. Tadbirga ruxsat bering A 1 - qizil to'pni chizish va voqea A 2 - ko'k to'pni chiqarish. Bu hodisalar mos kelmaydi, va p(A 1) = 10 / 30 = 1 / 3; p(A 2) = 5/30 = 1/6. Qo'shish teoremasi bo'yicha biz quyidagilarni olamiz:

p(A 1 + A 2) = p(A 1) + p(A 2) = 1 / 3 + 1 / 6 = 1 / 2.

Eslatma 1. Biz ta'kidlaymizki, muammoning ma'nosiga ko'ra, birinchi navbatda, ko'rib chiqilayotgan hodisalarning mohiyatini - ularning bir-biriga mos kelmasligini aniqlash kerak. Agar yuqoridagi teorema qo'shma hodisalarga qo'llanilsa, natija noto'g'ri bo'ladi.