Tetraedrning asosiga parallel bo'lgan tekislik kesimi. Tetraedr va uning kesimi

Slayd 2

O'qituvchilar uchun ma'lumot. Ushbu taqdimotni yaratishdan maqsad - chiziq va tekislikning kesishish nuqtasini, tekislik va tetraedr kesmalarining kesishish chizig'ini qurish algoritmlarini aniq ko'rsatishdir. O'qituvchi ushbu mavzu bo'yicha dars o'tishda taqdimotdan foydalanishi yoki uni tavsiya qilishi mumkin o'z-o'zini o'rganish biron sababga ko'ra uni o'rganishni o'tkazib yuborgan talabalar uchun yoki muayyan savollarni takrorlash uchun. Talabalar taqdimotni o'rganish bilan birga qisqacha xulosani to'ldirishadi.

Slayd 3

Talaba uchun ma'lumot. Ushbu taqdimotni yaratishdan maqsad kosmosda qurilish bilan bog'liq muammolarni hal qilish algoritmlarini aniq ko'rsatishdir. Qo'ng'iroqlar bo'yicha sharhlarni diqqat bilan va sekin o'rganishga harakat qiling va ularni chizilgan bilan solishtiring. Xulosadagi barcha bo'sh joylarni to'ldiring. Da mustaqil qaror Muammolarni hal qilish uchun avval o'zingiz o'ylab ko'rishingiz kerak, so'ngra muallif tomonidan taklif qilinganiga qarang. O'qituvchiga savollar yozing va ularni sinfda so'rang.

Slayd 4

I. a to'g'ri a tekislikni kesib o'tadi. Kesishish nuqtasini qurish.

a b P m a Javob: I. a to‘g‘ri chiziq bilan a tekislikning kesishish nuqtasini qurish uchun: 1) a to‘g‘ri chiziqdan o‘tuvchi va m to‘g‘ri chiziq bo‘ylab kesishuvchi a tekislik b tekislikni chizish (topish) 2) yasash kerak. a va m to'g'ri chiziqlar kesishuvining P nuqtasi. a to'g'ri chiziq orqali a tekislikni t to'g'ri chiziq bo'ylab kesib o'tamiz a to'g'ri chiziqni a va b tekisliklarning kesishish chizig'i bilan kesib o'tamiz: P nuqta a to'g'ri chiziqning umumiy nuqtasidir a tekisligi, chunki m to'g'ri chiziq a tekislikda yotadi. Algoritmni qisqacha xulosa qilib yozing.

Slayd 5

1) MN to'g'ri chiziq va BDC tekislikning kesishish nuqtasini tuzing.

D B A C M N P (M, N) (ABC) Javob: ABC tekislik MN to'g'ri chiziqdan o'tib, BC to'g'ri chiziq bo'ylab BDC tekislikni kesib o'tadi. MN toʻgʻri chiziq BC toʻgʻri chiziqni P nuqtada kesib oʻtadi. BC toʻgʻri chiziq BDC tekislikda yotadi, yaʼni MN toʻgʻri chiziq BDC tekislikni P nuqtada kesib oʻtadi.

Slayd 6

2) MN to'g'ri chiziq va ABD tekislikning kesishish nuqtasini tuzing.

D B A C M N P Javob: Yechimni ko rish MN to g ri chiziq AVD tekislikni DB to g ri chiziq bo ylab kesib o tuvchi VDC tekislikka tegishli MN va DB to g ri chiziqlarni kesib o taylik. Keyinchalik

Slayd 7

II. AB to'g'ri chiziq a tekislikka parallel bo'lmasin. Agar C nuqta a tekislikka tegishli bo'lsa, a va ABC tekisliklarning kesishish chizig'ini tuzing

B C A a b P m AB to‘g‘ri chiziqning a tekislik bilan kesishish nuqtasini quramiz. Shart va konstruktsiyaga ko'ra C va P nuqtalar ABC va a tekisliklari uchun umumiydir. Shart va konstruktsiyaga ko'ra C va P nuqtalar ABC va a tekisliklari uchun umumiydir. Bu shuni anglatadiki, CP to'g'ri chiziq ABC va a tekisliklarning kesishishning kerakli to'g'ri chizig'idir. II a tekislik bilan ABC (C a, (A, B) a, AB || a) tekislikning kesishish chizig'ini qurish uchun quyidagilar kerak: AB to'g'ri chiziq va tekislikning kesishish nuqtasini qurish. a - P nuqtasi; 2) P va C nuqta tekisliklarning umumiy nuqtalari (ABC) va a, ya'ni (ABC) a = CP Algoritmni qisqacha xulosa qilib yozing.

Slayd 8

3).MNP va ADB tekisliklarining kesishish to‘g‘ri chizig‘ini tuzing.

MNP tekisligi va ADB yuzining kesishuvini tuzing. M D B A C N P X Q R Javob: MR to'g'ri chiziqning ADB tekisligi bilan kesishgan nuqtasini (X nuqta) quramiz. MR toʻgʻri chiziq ADB tekisligini AD toʻgʻri chiziq boʻylab kesib oʻtuvchi ADC tekislikda yotadi. MR toʻgʻri chiziq ADB tekisligini AD toʻgʻri chiziq boʻylab kesib oʻtuvchi ADC tekislikda yotadi. X va N nuqtalar ADB va MNP tekisliklarining umumiy nuqtalaridir. Demak, ular XN to'g'ri chiziq bo'ylab kesishadi. Qurilish jarayonini qisqacha bayon qilib yozing.

Slayd 9

Tetraedrning bo'limi.

C D B A M N P a Kesuvchi tekislik ko'pburchak yuzlarini kesib o'tadigan segmentlardan tashkil topgan ko'pburchak ko'pburchak kesimi deyiladi. Bo'limni tashkil etuvchi segmentlarga yuzlardagi kesish tekisligining izlari deyiladi. ∆ MNP - bo'lim. Tekislik tetraedrni kesib o'tsin, u holda tekislik tetraedrning chetlarini kesib o'tadi nuqtalar M, N, P, va yuzlari - MN, MP, NP segmentlari bo'ylab ... MNP uchburchak bu tekislik bo'yicha tetraedr kesimi deb ataladi... Uni qisqacha yozing.

Slayd 10

Tetraedrning kesimi ham to'rtburchak bo'lishi mumkin.

A C D B M N P Q a MNPQ – bo‘lim.

Slayd 11

Berilgan uchta M, N, P nuqtadan o'tuvchi tekislik bilan tetraedr kesmasini qurish algoritmi.

MNPQ kerakli bo'limdir. D B A C M N P Q X 2 ta umumiy nuqtaga ega bo'lgan yuzlarda kesish tekisligining izlarini tuzing. 3) Tuzilgan nuqtalar orqali kesuvchi tekislik tanlangan ABC yuzining tekisligini kesib o'tadigan to'g'ri chiziqni o'tkazing. 4) Ushbu chiziq ABC yuzining chetlarini kesib o'tadigan nuqtalarni belgilang va belgilang va qolgan izlarni bajaring. 2) Hali izi bo'lmagan yuzni tanlang. Tanlangan yuz tekisligi bilan allaqachon tuzilgan izlarni o'z ichiga olgan to'g'ri chiziqlarning kesishish nuqtalarini tuzing: ABC.

Slayd 12

Tetraedral tekislik MNP.2 usuli yordamida kesma tuzing.

D B A C M N P Q X MNPQ - kerakli bo'lim.

Slayd 13

№ 1. (Muammoni o'zingiz hal qiling). MNP tekisligidan foydalanib tetraedrning kesimini tuzing.

Q D A C M N P X B X Yechimni ko'rish Ikkinchi usul: Keyingi

Slayd 14

№ 2. (O'zingiz qaror qiling). Agar P yuz ADC ga tegishli bo'lsa, MNP tekisligidan foydalanib tetraedr kesimini tuzing.

Slayd 15

№ 3. CD qirrasiga parallel va F nuqtadan o'tuvchi, DBC tekisligida yotgan a tetraedral tekislik va M nuqtadan foydalanib kesma tuzing.

3)a (ADB)= MN, a (ABC)=QP. Q D B A M N P F C Berilgan: a||DC, (M;F) a, F (BDC), M AD. DABC tetraedrining kesimini tuzing. a||DC, keyin (DBC) a=FP va FP||DC, FP BC=P, FP BD=N. 2) a||DC bo'lgani uchun, u holda (DAC) a=MQ va MQ||DC, MQ AC=Q. DC || NP va NP a, DC||a degan ma'noni anglatadi, shuning uchun MNPQ kerakli bo'limdir. Gapni davom ettiring: Agar berilgan a to‘g‘ri chiziq ma’lum a tekislikka parallel bo‘lsa, u holda bu a to‘g‘ri chiziqdan o‘tuvchi va a tekislikka parallel bo‘lmagan har qanday tekislik a tekislikni b to‘g‘ri chiziq bo‘ylab kesib o‘tadi…………………… ………………… A to‘g‘ri chiziqqa parallel. Davom eting... a||DC, keyin BDC tekisligi a ni DC ga parallel va F a||DC nuqtadan oʻtuvchi toʻgʻri chiziq boʻylab kesib oʻtadi, soʻngra ADC tekislik a ni DC ga parallel boʻlgan va toʻgʻri chiziq boʻylab kesib oʻtadi. nuqta M

Slayd 16

2)a||DVC, (ADC) (DBC)=CD, (ADC)a=MN MP||CD. P#4. BDC yuziga parallel va M nuqtadan o'tuvchi tetraedral tekislik a bo'lgan kesmani tuzing. B A C M N D Berilgan: a||DBC, M a, M AD. a a||DVC, (ADB) (DBC)=BD, MN||BD tekislik bo'yicha DABC tetraedrining kesmasini tuzing. (ADB)a=MN 3)a (ABC)=NP. ∆ MNP zarur bo'limdir, chunki………. Gapni davom ettiring: Agar ikkita parallel tekislik uchinchi tekislik bilan kesishsa, ularning kesishish chiziqlari…………………………………………. a tekislikning ikkita kesishuvchi MN va MP chiziqlari (DBC) ikkita kesishuvchi DB va DC chiziqlariga mos ravishda parallel bo'lib, a||(DBC) ni bildiradi. a||DVC, keyin AV va ADC tekisliklari a va (VDS) tekisliklarni MN va MR toʻgʻri chiziqlar boʻylab mos ravishda DB va DC ga parallel va M nuqtadan oʻtadi.

Slayd 17

Keyingi M R B A C N No 5. O‘zingiz hal qiling va yechimni yozing. Agar PN||AB va M tekislikka (ABC) tegishli bo'lsa, M nuqta va PN segmentidan o'tuvchi a tekislik bilan tetraedrning kesmasini tuzing. P Q D 1)NP||AB NP||(ABC) NP a, a (ABC)=MQ MQ||NP. 2) MQ AC=R. a (ADC)=NR, a (BDC)=PQ. RNPQ - talab qilinadigan kesma. NP||(ABC) yechimni ko'ring, ya'ni MNP tekisligi ABC tekislikni NP ga parallel MQ to'g'ri chiziq bo'ylab M nuqtadan o'tuvchi kesishadi.

Slayd 18

Agar biror narsa aniq bo'lmasa, o'qituvchiga savollarni, shuningdek ushbu taqdimotni takomillashtirish bo'yicha tavsiyalaringizni shakllantirishni unutmang.

Slayd 19

Taqdimotni yaratishda darslik va o‘quv qo‘llanmalaridan foydalanilgan: 1. L.S. Atanasyan, V.F. Butuzov va boshqalar Geometriya 10-11. M. “Ma’rifat” 2008. 2.B.G. Ziv, V.M. Mailer, A.G. Bakanskiy Geometriyadagi muammolar 7-11.M. "Ma'rifat" 2000 yil

Barcha slaydlarni ko'rish

Bugun biz yana qanday qilib ko'rib chiqamiz tetraedrning tekislik bilan kesmasini qurish.
Keling, eng oddiy holatni (majburiy daraja) ko'rib chiqaylik, bunda kesma tekisligining 2 nuqtasi bir yuzga, uchinchi nuqta esa boshqa yuzga tegishli.

Sizga eslatib o'tamiz bo'limlarni qurish algoritmi bu turdagi (holat: 2 ball bir xil yuzga tegishli).

1. Biz kesma tekisligining 2 nuqtasini o'z ichiga olgan yuzni qidiramiz. Bir yuzda yotgan ikkita nuqta orqali to'g'ri chiziq o'tkazing. Uning tetraedr qirralari bilan kesishish nuqtalarini topamiz. To'g'ri chiziqning yuzga tugaydigan qismi bo'limning yon tomonidir.

2. Agar ko'pburchakni yopish mumkin bo'lsa, kesma qurilgan. Agar yopishning iloji bo'lmasa, biz qurilgan chiziqning kesishish nuqtasini va uchinchi nuqtani o'z ichiga olgan tekislikni topamiz.

1. E va F nuqtalar bir yuzda (BCD) yotishini, tekislikda (BCD) EF to‘g‘ri chiziq chizilganini ko‘ramiz.
2. EF to‘g‘ri chiziqning BD tetraedrning qirrasi bilan kesishgan nuqtasini toping, bu H nuqta.
3. Endi siz EF to'g'ri chiziqning kesishish nuqtasini va uchinchi G nuqtasini o'z ichiga olgan tekislikni topishingiz kerak, ya'ni. samolyot (ADC).
CD to'g'ri chiziq (ADC) va (BDC) tekisliklarda yotadi, ya'ni u EF to'g'ri chiziqni kesib o'tadi va K nuqta EF to'g'ri chiziq va tekislikning (ADC) kesishish nuqtasidir.
4. Keyin bir tekislikda yotgan yana ikkita nuqtani topamiz. Bu G va K nuqtalari, ikkalasi ham chap tomonning yuzi tekisligida yotadi. Biz GK chizig'ini chizamiz va bu chiziq tetraedrning qirralarini kesib o'tadigan nuqtalarni belgilaymiz. Bular M va L nuqtalari.
4. Bo'limni "yopish" qoladi, ya'ni bir xil yuzda yotgan nuqtalarni ulash. Bular M va H nuqtalari, shuningdek, L va F. Bu segmentlarning ikkalasi ham ko'rinmas, biz ularni nuqta chiziq bilan chizamiz.

Kesma to'rtburchak MHFL bo'lib chiqdi. Uning barcha uchlari tetraedrning chetlarida yotadi. Olingan bo'limni tanlaymiz.

Endi shakllantiramiz To'g'ri tuzilgan bo'limning "xususiyatlari":

1. Kesim bo'lgan ko'pburchakning barcha uchlari tetraedrning (parallelepiped, ko'pburchak) chetlarida yotadi.

2. Kesimning barcha tomonlari ko'pburchakning yuzlarida yotadi.
3. Ko‘pburchakning har bir yuzida kesmaning bittadan ko‘p bo‘lmagan (bitta yoki yo‘q!) tomoni bo‘lishi mumkin

, slaydlar 1-2)

• masalalar yechishda stereometriya aksiomalarini qo‘llashni o‘rganish;
• kesuvchi tekislikning kesishish nuqtalarining tetraedr qirralari bilan o'rnini topishni o'rganish;
• ushbu bo'limlarni qurish usullarini o'zlashtirish
• kognitiv faollikni, mantiqiy fikrlash qobiliyatini shakllantirish;
• bilim va ko'nikmalarni egallashni o'z-o'zini nazorat qilish uchun sharoit yaratish.

Dars turi: Yangi bilimlarni shakllantirish.

Darslar davomida

I. Tashkiliy moment

II. Talabalarning bilimlarini yangilash

Frontal so'rov. (Stereometriya aksiomalari, parallel tekisliklarning xossalari)

O'qituvchining so'zi

Tetraedr bilan bog'liq ko'plab geometrik masalalarni yechish uchun ularni chiza olish foydalidir bo'limlar turli samolyotlar. ( slayd 3). Qo'ng'iroq qilaylik kesish tekisligi tetraedr - ikkala tomonida berilgan tetraedrning nuqtalari joylashgan har qanday tekislik. Kesuvchi tekislik tetraedrning yuzlarini segmentlar bo'ylab kesib o'tadi. Tomonlari shu segmentlar bo'lgan ko'pburchak deyiladi tetraedrning ko'ndalang kesimi. Tetraedrning to'rtta yuzi bo'lganligi sababli, uning kesimlari faqat uchburchaklar va to'rtburchaklar bo'lishi mumkin. Shuni ham yodda tutingki, kesmani qurish uchun kesish tekisligining tetraedr qirralari bilan kesishish nuqtalarini qurish kifoya qiladi, shundan so'ng bitta yuzda yotgan har ikki qurilgan nuqtani bog'laydigan segmentlarni chizish qoladi.

Ushbu darsda siz tetraedrning kesimlarini batafsil o'rganishingiz va bu kesmalarni qurish usullarini o'zlashtira olasiz. Siz ko'pburchak kesimlarini qurishning beshta qoidasini o'rganasiz, kesuvchi tekislikning tetraedr qirralari bilan kesishish nuqtalarining o'rnini topishni o'rganasiz.

Qo'llab-quvvatlovchi tushunchalarni yangilash

• Birinchi qoida. Agar ikkita nuqta kesuvchi tekislikka ham, ko‘pburchakning qaysidir yuzining tekisligiga ham tegishli bo‘lsa, bu ikki nuqtadan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziq kesuvchi tekislikning shu yuz tekisligi bilan kesishish chizig‘idir (aksiomaning natijasi tekisliklarning kesishishi).
• Ikkinchi qoida. Agar kesish tekisligi ma'lum bir tekislikka parallel bo'lsa, u holda bu ikki tekislik parallel chiziqlar bo'ylab har qanday yuz bilan kesishadi (ikki parallel tekislikning uchdan bir qismi bilan kesishgan xususiyat).
• Uchinchi qoida. Agar kesuvchi tekislik ma'lum bir tekislikda yotgan chiziqqa parallel bo'lsa (masalan, ba'zi yuzning tekisligi), u holda kesuvchi tekislikning bu tekislik (yuz) bilan kesishish chizig'i bu chiziqqa parallel bo'ladi (a ning xossasi). tekislikka parallel chiziq).
• To'rtinchi qoida. Kesuvchi tekislik parallel yuzlarni parallel chiziqlar bo'ylab kesib o'tadi (uchdan bir qismi bilan kesishgan parallel tekisliklarning xususiyati).
• Beshinchi qoida. Ikki A va B nuqtalar kesish tekisligiga tegishli bo'lsin va A 1 va B 1 nuqtalar bu nuqtalarning ma'lum bir yuzga parallel proyeksiyalari bo'lsin. Agar AB va A 1 B 1 chiziqlar parallel bo'lsa, kesuvchi tekislik bu yuzni A 1 B 1 ga parallel to'g'ri chiziq bo'ylab kesib o'tadi. Agar AB va A 1 B 1 chiziqlar qaysidir nuqtada kesishsa, bu nuqta ham kesuvchi tekislikka, ham shu yuzning tekisligiga tegishlidir (bu teoremaning birinchi qismi tekislikka parallel chiziq xossasidan kelib chiqadi va ikkinchisi parallel proyeksiyaning qo'shimcha xossalaridan kelib chiqadi).

III. Yangi materialni o'rganish (bilim, ko'nikmalarni shakllantirish)

Tushuntirish bilan jamoaviy muammolarni hal qilish(4-slayd)

Vazifa 1. DABC tetraedrining K ê AD nuqtalaridan o‘tuvchi tekislik bilan kesmasini tuzing,M = DS, E = BC.

Keling, chizilgan rasmni diqqat bilan ko'rib chiqaylik. K va M nuqtalari bir tekislikka tegishli ekan, biz kesish tekisligining ADS yuzi bilan kesishishini topamiz - bu KM segmenti. M va E nuqtalari ham bir xil tekislikda yotadi, ya'ni kesish tekisligining kesishishi va VDS yuzi ME segmentidir. Bir xil ADS tekisligida yotgan KM va AC to'g'ri chiziqlarning kesishish nuqtasini topamiz. Endi X nuqta ABC yuzida yotadi, keyin uni E nuqtaga ulash mumkin. Biz XE to'g'ri chiziqni chizamiz, u AB bilan P nuqtada kesishadi. PE segmenti kesish tekisligining ABC yuzi bilan kesishishidir va segment KP - kesish tekisligining ABC yuzi bilan kesishishi. Shuning uchun, to'rtburchak KMER bizning kerakli bo'limdir. Yechimni daftaringizga yozib oling:

Yechim.

1. KM = a ∩ ADS
2. ME = a ∩ VDS
3. X = KM ∩ AC
4. P = XE ∩ AB
5. PE = a ∩ ABC
6. KR = a ∩ ADV
7. KMER - zarur bo'lim

Vazifa 2.(5-slayd)

DABC tetraedrining K = ABC, M = VDS, N = AD nuqtalaridan o'tuvchi tekislik bilan kesmasini tuzing.

Keling, ushbu rasmni tahlil qilaylik. Xuddi shu yuzda yotadigan nuqta yo'q. Bunda biz 5-qoidadan foydalanamiz. Ikki nuqtaning proyeksiyalarini ko'rib chiqing. Tetraedrda nuqtalarning proyeksiyalari tepadan tayanch tekisligiga topiladi, ya'ni. M→M 1, N→A. NM va AM to'g'ri chiziqlarning kesishuvini topamiz 1 nuqta X. Bu nuqta NM to'g'ri chiziqda yotgani uchun kesuvchi tekislikka tegishli, AM 1 to'g'ri chiziqda joylashgani uchun esa ABC tekisligiga tegishli. Bu shuni anglatadiki, endi ABC tekisligida bizda bog'lanishi mumkin bo'lgan ikkita nuqta bor, biz KX to'g'ri chiziqni olamiz. To'g'ri chiziq BC tomonini L nuqtada va AB tomonini H nuqtada kesib o'tadi. ABC yuzida biz kesishish chizig'ini topamiz, u H va K nuqtalaridan o'tadi - bu NL. ABP yuzida kesishuv chizig'i NN, VDS yuzida L va M nuqtalar orqali kesishish chizig'ini o'tkazamiz - bu LQ, ADS yuzida esa NQ segmentini olamiz. To'rtburchak HNQL kerakli bo'limdir.

Yechim

1. M → M 1 N → A
2. X = NM ∩ AM 1
3. L = KX ∩ BC
4. H = KX ∩ AB
5. NL = a ∩ AVS, K ê NL
6. NN = a ∩ AVD,
7. LQ = a ∩ VDS, M ê LQ
8. NQ = a ∩ ADS
9. HNQL - zarur bo'lim

IV. Bilimlarni mustahkamlash

"Tetraedrning tekislik bilan kesmasini qurish" animatsion ob'ekti bilan ishlash ("10-sinfda geometriya darslari" diski, 16-dars)

Muammoni keyingi tekshirish bilan hal qilish

Vazifa 3. (6-slayd)

K ê BC, M ê ADV, N ê VDS nuqtalaridan o‘tuvchi tekislik bilan DAWS tetraedrining kesimini tuzing.

Yechim

1. 1. M → M 1, N → N 1
2. X = NM ∩ N 1 M 1
3. R = KX ∩ AB
4. RL = a ∩ AVD, M ê RL
5. KR = a ∩ VDS, N ê KR
6. LP = a ∩ ADS
7. RLPK - zarur bo'lim

V.Mustaqil ish (variantlarga ko'ra)

(7-slayd)

Vazifa 4.N = AC, K = AD.

Yechim

1. KM = a ∩ AVD,
2. MN = a ∩ AVS,
3. KN = a ∩ ADS
4. KMN - zarur bo'lim

Vazifa 5. DABC tetraedrining M ê AB nuqtalaridan o‘tuvchi tekislik bilan kesmasini tuzing,K ê DS, N ê DV.

Yechim

1. MN = a ∩ AVD
2. NK = a ∩ VDS
3. X = NK ∩ BC
4. P = AC ∩ MX
5. RK = a ∩ ADS
6. MNKP - zarur bo'lim

Vazifa 6. M = ABC, K = VD, N = DS nuqtalaridan o'tuvchi tekislik bilan DABC tetraedri kesmasini tuzing.

Yechim

1. KN = a ∩ MUZ
2. X = KN ∩ VS
3. T = MX ∩ ABP = TX ∩ AC
4. RT = a ∩ ABC, M ê RT
5. PN = a ∩ ADS
6. TP N K - zarur bo'lim

VI. Dars xulosasi.

(slayd 8)

Shunday qilib, bugun biz tetraedr kesimlari bo'yicha eng oddiy masalalarni qurishni o'rgandik. Eslatib oʻtaman, koʻpburchak kesimi koʻpburchakning maʼlum bir tekislik bilan kesishishi natijasida olingan koʻpburchakdir. Samolyotning o'zi kesish tekisligi deb ataladi. Kesim qurish deganda, kesish tekisligining qaysi qirralari kesishishini, hosil bo'lgan kesimning turini va bu qirralar bilan kesish tekisligining kesishish nuqtalarining aniq holatini aniqlash tushuniladi. Ya’ni darsda belgilangan maqsadlarga erishildi.

VII. Uy vazifasi.

(slayd 9)

Amaliy ish "Tetraedrning kesmalarini qurish" elektron formatda yoki qog'oz versiyasi. (Har biriga individual topshiriq berildi).

Mavzu bo'yicha dars:

"Tetraedr va parallelepiped kesimlarini qurish"

Dars maqsadlari

1. Tetraedr va parallelepiped kesimlarini tekislik bilan yasashga doir masalalarni yechish asoslari bilan tanishing.

2. Bo'limlarni qurishga oid masalalar turlarini aniqlang.

3. Tetraedr va parallelepiped kesimlarini yasashga doir masalalar yechish malakalarini shakllantirish.

4. Fazoviy tasavvurni shakllantirish.

Darslar davomida.

I Tashkiliy vaqt.

II Uy vazifasini tekshirish.

Bolalar, biz oxirgi darsimizda qanday geometrik jismlar bilan tanishdik? (tetraedr, parallelepiped).

Tetraedr nima deyiladi?

Parallelepiped nima deyiladi?

Endi og'zaki uy vazifasini tekshiramiz.

Darslikning 31-betida 14,15 savollarni o‘qiymiz va javob beramiz.

14. Beshta tekis burchakli tetraedr bormi?

(Yo'q, chunki ichida to'rtta uchburchak shakllantirishda faqat to'rtta to'g'ri burchak bo'lishi mumkin, har birida bittadan ortiq emas).

15. Bunga ega parallelepiped bormi:

A) To'rtburchak faqat bitta yuzdir. (Yo'q, chunki parallelepipedning qarama-qarshi tomonlari teng).

b) Faqat ikkita qo'shni yuz rombdir. (Yo'q, faqat qarama-qarshi yuzlar olmos bo'lishi mumkin).

V) Barcha chekka burchaklar keskin. (Yo'q, parallelogramm o'tkir va o'tkir burchaklarga ega va har bir yuz parallelogrammdir).

G) Yuzning barcha burchaklari to'g'ri. (Ha, to'rtburchaklar parallelepipedda).

d) Yuzning barcha o'tkir burchaklari soni yuzning barcha o'tkir burchaklari soniga teng emas. (Yo'q, har bir yuzda o'tkir va o'tmas burchaklar teng miqdorda mavjud).

III Yangi mavzuni tushuntirish.

Endi yangi mavzuga o'tamiz. Dars mavzusini yozing. Bugungi darsning maqsadi:

1. Tetraedr va parallelepiped kesimlarini tekislik bilan yasashga doir masalalarni yechish asoslari bilan tanishing.

2. Bo'limlarni qurishga oid masalalar turlarini aniqlang.

3. Tetraedr va parallelepiped kesimlarini yasashga doir masalalar yechish malakalarini shakllantirish.

4. Fazoviy tasavvurni shakllantirish.

Demak, tetraedr va parallelepipedga oid ko`plab geometrik masalalarni yechish uchun ularning kesmalarini turli tekisliklarda chiza olish foydalidir.

Biz nimani nazarda tutamiz kesish tekisligi ? Darslikning 27-betida bu savolga javob topamiz.

Kesish tekisligi ikkala tomonida ma'lum ko'pburchak nuqtalari joylashgan har qanday tekislikni chaqiring.

Keyingi kontseptsiya Bo'lim. Va yana yordam uchun darslikka murojaat qilamiz. Endi u qanday ko'rinishini ko'ring aniq ta'rif bo'limlar.

v Kesim bo'lgan ko'pburchakning tomonlari qayerda?

v Kesim bo'lgan ko'pburchakning uchlari qayerda joylashgan?

Endi savolga javob beraylik. Ko'pburchakning tekislik bilan kesmasini qurish nimani anglatadi. Shunday qilib, har bir yuzda biz kesish tekisligi yuzlarni kesib o'tadigan segmentlarni quramiz.

Kesmani to'g'ri qurish uchun siz foydalana olishingiz kerak turli teoremalar va xususiyatlari. Keling, savolga javob beraylik.

Ushbu iboralarning qaysi biri bo'limlarni qurishda foydali bo'lishi mumkin?

1. Agar ikkita tekislikning umumiy nuqtasi bo'lsa, ular shu nuqtani o'z ichiga olgan to'g'ri chiziq bo'ylab kesishadi.

2. Agar kesishuvchi tekisliklardan birida yotuvchi to‘g‘ri chiziq boshqa tekislikni kesib o‘tsa, u holda tekisliklarning kesishish chizig‘ini kesib o‘tadi.

3. Agar ikkita parallel tekislik uchdan bir qismi bilan kesishsa, tekisliklarning kesishish chiziqlari parallel bo'ladi.

4. Sekant tekislik ko'pburchak yuzini siniq chiziq bo'ylab kesib o'tadi.

5. Tekislik bilan parallelepiped kesmasida u quyidagicha bo'lishi mumkin:

v chiziq segmenti

v uchburchak

v to'rtburchak

v beshburchak

v olti burchakli

v Heptagon

Endi samolyotni qanday aniqlashni eslaylik:

Bo'limlarni qurishda quyidagilarni bilish muhimdir:

https://pandia.ru/text/78/131/images/image003_53.jpg" width="559" height="288 src=">

https://pandia.ru/text/78/131/images/image005_39.jpg" eni="564" balandligi="355 src=">

Endi darslikda biz bo'limlarni qurishning asosiy vazifalarini ko'rib chiqamiz. Shunday qilib, birinchi vazifani bajaring, bu erda sekant tekislikka tegishli uchta nuqtadan foydalanib, tetraedrning kesmasini qurish kerak, ulardan ikkitasi bir tekislikda, uchinchisi esa boshqa tekislikda yotgan.
.jpg" eni="588" balandligi="359 src=">

Muammoni hal qilish. Slaydlar yordamida yechimning to'g'riligini tekshirish.

V Darsning qisqacha mazmuni.

Vaziyatni tasavvur qiling:

Sizning sinfdoshingiz kasal bo'lib qoldi va "Ko'p yuzli bo'limlarni qurish" mavzusini o'rgangan darslarni o'tkazib yubordi. Bu mavzuni telefon orqali tushuntirishingiz kerak. Bosqichma-bosqich algoritmni shakllantirish.

https://pandia.ru/text/78/131/images/image015_14.jpg" kengligi="600" balandligi="284 src=">

Endi men bir oz test o'tkazaman. Uch daqiqa ichida uchta vazifani bajarishingiz kerak. Tetraedr va parallelepipedning to'g'ri kesimlarini, shuningdek, to'g'ri chizilgan rasmni ko'rsatadigan chizmalar sonini tanlang va yozing.

VI Uy vazifasi . n.14, 16-savol, № 000,106. Tetraedr yoki parallelepipedning kesmasini qurish bo'yicha bitta masalani o'ylab toping va hal qiling.

Ushbu darsda biz tetraedr va uning elementlarini (tetraedr qirrasi, yuzasi, yuzlari, cho'qqilari) ko'rib chiqamiz. Va biz tetraedrda kesmalarni qurish bo'yicha bir nechta muammolarni hal qilamiz umumiy usul bo'limlarni qurish uchun.

Mavzu: Chiziqlar va tekisliklarning parallelligi

Dars: Tetraedr. Tetraedrda kesmalarni qurish masalalari

Tetraedrni qanday qurish mumkin? Keling, ixtiyoriy uchburchakni olaylik ABC. Har qanday nuqta D, bu uchburchak tekisligida yotmaydi. Biz 4 ta uchburchakni olamiz. Bu 4 ta uchburchak hosil qilgan sirt tetraedr deyiladi (1.-rasm). Bu sirt bilan chegaralangan ichki nuqtalar ham tetraedrning bir qismidir.

Guruch. 1. ABCD tetraedri

Tetraedrning elementlari
A,B, C, D - tetraedrning uchlari.
AB, A.C., AD, Miloddan avvalgi, BD, CD - tetraedr qirralari.
ABC, ABD, BDC, ADC - tetraedr yuzlari.

Izoh: tekis olinishi mumkin ABC orqasida tetraedr asosi, va keyin ishora D hisoblanadi tetraedrning tepasi. Tetraedrning har bir chekkasi ikkita tekislikning kesishishi hisoblanadi. Masalan, qovurg'a AB- bu samolyotlarning kesishishi ABD Va ABC. Tetraedrning har bir tepasi uchta tekislikning kesishishi hisoblanadi. Vertex A samolyotlarda yotadi ABC, ABD, ADBILAN. Nuqta A uchta belgilangan tekislikning kesishishidir. Bu fakt quyidagicha yozilgan: A= ABC ∩ ABD ∩ ACD.

Tetraedr ta'rifi

Shunday qilib, tetraedr to'rtta uchburchakdan hosil bo'lgan sirtdir.

Tetraedr qirrasi- tetraedrning ikkita tekisligining kesishish chizig'i.

6 ta gugurtdan 4 ta teng uchburchak yasang. Samolyotda muammoni hal qilish mumkin emas. Va buni kosmosda qilish oson. Keling, tetraedrni olaylik. 6 gugurt uning qirralari, tetraedrning to'rtta yuzi va to'rtta teng uchburchak bo'ladi. Muammo hal qilindi.

Tetraedr berilgan ABCD. Nuqta M tetraedrning chetiga tegishli AB, nuqta N tetraedrning chetiga tegishli IND va davr R chetiga tegishli DBILAN(2-rasm). Tetraedrning tekislik bilan kesmasini tuzing MNP.

Guruch. 2. 2-masala chizmasi - Tetraedrning tekislik bilan kesmasini qurish

Yechim:
Tetraedrning yuzini ko'rib chiqing DQuyosh. Bu borada N Va P yuzlarga tegishli DQuyosh, va shuning uchun tetraedr. Lekin nuqtaning shartiga ko'ra N, P kesish tekisligiga tegishli. Ma'nosi, NP- bu ikki tekislikning kesishish chizig'i: yuzning tekisligi DQuyosh va kesish tekisligi. Keling, to'g'ri chiziqlar deb faraz qilaylik NP Va Quyosh parallel emas. Ular bir xil tekislikda yotishadi DQuyosh. Chiziqlarning kesishish nuqtasini topamiz NP Va Quyosh. Uni belgilaylik E(3-rasm).

Guruch. 3. Masala uchun chizma 2. E nuqtasini topish

Nuqta E kesim tekisligiga tegishli MNP, chunki u to'g'ri chiziqda yotadi NP, va to'g'ri chiziq NP butunlay kesim tekisligida yotadi MNP.

Shuningdek, ishora E samolyotda yotadi ABC, chunki u to'g'ri chiziqda yotadi Quyosh samolyotdan ABC.

Biz buni tushunamiz YEMOQ- tekisliklarning kesishish chizig'i ABC Va MNP, ochko beri E Va M bir vaqtning o'zida ikkita tekislikda yotish - ABC Va MNP. Keling, nuqtalarni bog'laymiz M Va E, va toʻgʻri davom eting YEMOQ chiziq bilan kesishgan joyga AC. Chiziqlarning kesishish nuqtasi YEMOQ Va AC belgilaylik Q.

Shunday qilib, bu holatda NPQM- kerakli bo'lim.

Guruch. 4. 2-masala uchun chizma. 2- masala yechimi

Keling, qachon bo'lganini ko'rib chiqaylik NP parallel Miloddan avvalgi. To'g'ri bo'lsa NP ba'zi bir chiziqqa parallel, masalan, to'g'ri chiziq Quyosh samolyotdan ABC, keyin tekis NP butun tekislikka parallel ABC.

Kerakli kesim tekisligi to'g'ri chiziqdan o'tadi NP, tekislikka parallel ABC, va tekislikni to'g'ri chiziqda kesib o'tadi MQ. Shunday qilib, kesishish chizig'i MQ chiziqqa parallel NP. Biz olamiz, NPQM- kerakli bo'lim.

Nuqta M yon chetida yotadi ADIN tetraedr ABCD. Nuqtadan o‘tuvchi tekislik bilan tetraedrning kesimini tuzing M asosga parallel ABC.

Guruch. 5. 3-masala chizmasi Tetraedrning tekislik bilan kesmasini tuzing

Yechim:
Kesish tekisligi φ tekislikka parallel ABC shartga ko'ra, bu bu tekislikni anglatadi φ chiziqlarga parallel AB, AC, Quyosh.
Samolyotda ABD nuqta orqali M to'g'ridan-to'g'ri qilaylik PQ parallel AB(5-rasm). Streyt PQ samolyotda yotadi ABD. Xuddi shunday, samolyotda ACD nuqta orqali R to'g'ridan-to'g'ri qilaylik PR parallel AC. Bir nuqta bor R. Ikkita kesishuvchi chiziq PQ Va PR samolyot PQR mos ravishda ikkita kesishgan chiziqqa parallel AB Va AC samolyot ABC, bu samolyotlarni bildiradi ABC Va PQR parallel. PQR- kerakli bo'lim. Muammo hal qilindi.

Tetraedr berilgan ABCD. Nuqta M- ichki nuqta, tetraedrning yuzidagi nuqta ABD. N- segmentning ichki nuqtasi DBILAN(6-rasm). Chiziqning kesishish nuqtasini qurish N.M. va samolyotlar ABC.

Guruch. 6. 4-masala uchun chizma

Yechim:
Buni hal qilish uchun biz yordamchi tekislikni quramiz DMN. To'g'ri bo'lsin DM nuqtada AB chizig‘ini kesib o‘tadi TO(7-rasm). Keyin, SKD- bu samolyotning bir qismi DMN va tetraedr. Samolyotda DMN yolg'on va to'g'ri N.M., va hosil bo'lgan to'g'ri chiziq SK. Shunday qilib, agar N.M. parallel emas SK, keyin ular bir nuqtada kesishadi R. Nuqta R va chiziqning kerakli kesishish nuqtasi bo'ladi N.M. va samolyotlar ABC.

Guruch. 7. 4-masala uchun chizma. 4- masala yechimi

Tetraedr berilgan ABCD. M- yuzning ichki nuqtasi ABD. R- yuzning ichki nuqtasi ABC. N- chekkaning ichki nuqtasi DBILAN(8-rasm). Tetraedrning nuqtalardan o'tadigan tekislik bilan kesmasini tuzing M, N Va R.

Guruch. 8. 5-masala chizmasi Tetraedrning tekislik bilan kesmasini tuzing

Yechim:
Keling, birinchi holatni ko'rib chiqaylik, qachonki to'g'ri chiziq MN tekislikka parallel emas ABC. Oldingi masalada biz chiziqning kesishish nuqtasini topdik MN va samolyotlar ABC. Bu nuqta TO, u yordamchi tekislik yordamida olinadi DMN, ya'ni. Biz bajaramiz DM va biz bir nuqtaga erishamiz F. Biz bajaramiz CF va chorrahada MN ball olamiz TO.

Guruch. 9. Masala uchun chizma 5. K nuqtani topish

Keling, to'g'ridan-to'g'ri qilaylik KR. Streyt KR kesim tekisligida ham, tekislikda ham yotadi ABC. Ballarni olish P 1 Va R 2. Ulanmoqda P 1 Va M va davomi sifatida biz fikrni tushunamiz M 1. Nuqtani ulash R 2 Va N. Natijada biz kerakli bo'limni olamiz P 1 P 2 NM 1. Birinchi holatda muammo hal qilinadi.
Keling, to'g'ri chiziq bo'lganda ikkinchi holatni ko'rib chiqaylik MN tekislikka parallel ABC. Samolyot MNP to'g'ri chiziq orqali o'tadi MN tekislikka parallel ABC va tekislikni kesib o'tadi ABC qandaydir to'g'ri chiziq bo'ylab R 1 R 2, keyin tekis R 1 R 2 berilgan chiziqqa parallel MN(10-rasm).

Guruch. 10. 5-masala uchun chizma. Kerakli bo'lim

Endi to'g'ri chiziq chizamiz R 1 M va biz bir nuqtaga erishamiz M 1.P 1 P 2 NM 1- kerakli bo'lim.

Shunday qilib, biz tetraedrni ko'rib chiqdik va ba'zi tipik tetraedr masalalarini hal qildik. Keyingi darsda biz parallelepipedni ko'rib chiqamiz.

1. I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5-nashr, tuzatilgan va kengaytirilgan - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 b. : kasal. Geometriya. 10-11 sinflar: o'quvchilar uchun darslik ta'lim muassasalari(asosiy va profil darajalari)

2. Sharygin I.F. - M.: Bustard, 1999. - 208 b.: kasal. Geometriya. 10-11-sinflar: Umumta’lim muassasalari uchun darslik

3. E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - 6-nashr, stereotip. - M .: Bustard, 008. - 233 p. :il. Geometriya. 10-sinf: Matematika fanini chuqurlashtirilgan va ixtisoslashtirilgan umumta’lim muassasalari uchun darslik

Qo'shimcha veb-resurslar

2. Tetraedrning ko‘ndalang kesimi qanday yasaladi. Matematika ().

3. Pedagogik g'oyalar festivali ().

“Tetraedr”, tetraedrning chetini, tetraedrning yuzlarini, tepalari va yuzasini qanday topish mumkinligi haqida uyda masalalar tuzing.

1. Geometriya. 10-11-sinflar: umumiy ta'lim muassasalari o'quvchilari uchun darslik (asosiy va ixtisoslashtirilgan darajalar) I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5-nashr, tuzatilgan va kengaytirilgan - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 pp.: kasal. 18, 19, 20-topshiriqlar 50-bet

2. Nuqta E o'rta qovurg'a MA tetraedr MAVS. Tetraedrning nuqtalardan o'tadigan tekislik bilan kesmasini tuzing B, C Va E.

3. MABC tetraedrida M nuqta AMB yuziga, P nuqta BMC yuziga, K nuqta AC chetiga tegishli. Tetraedrning nuqtalardan o'tadigan tekislik bilan kesmasini tuzing M, R, K.

4. Tetraedrning tekislik bilan kesishishi natijasida qanday shakllarni olish mumkin?