Ehtimollar nazariyasi matematikaning faqat oliy o'quv yurtlari talabalari tomonidan o'rganiladigan maxsus bo'limidir. Sizga hisob-kitoblar va formulalar yoqadimi? Oddiy taqsimot, ansambl entropiyasi, matematik kutish va diskret dispersiya bilan tanishish istiqbollaridan qo'rqmaysiz. tasodifiy o'zgaruvchi? Shunda bu mavzu siz uchun juda qiziq bo'ladi. Keling, ushbu fan sohasining bir nechta eng muhim asosiy tushunchalari bilan tanishaylik.
Keling, asosiy narsalarni eslaylik
Agar siz eng ko'p eslasangiz ham oddiy tushunchalar ehtimollik nazariyasi, maqolaning birinchi xatboshilarini e'tiborsiz qoldirmang. Gap shundaki, u holda aniq tushunish asoslar, siz quyida muhokama qilingan formulalar bilan ishlay olmaysiz.
Shunday qilib, ba'zilar bor tasodifiy hodisa, qandaydir tajriba. Biz qilgan harakatlar natijasida biz bir nechta natijalarga erishishimiz mumkin - ulardan ba'zilari tez-tez, boshqalari kamroq sodir bo'ladi. Hodisa ehtimoli - bu bir turdagi haqiqatda olingan natijalar sonining nisbati umumiy soni mumkin. Faqatgina ushbu kontseptsiyaning klassik ta'rifini bilib, siz uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchilarning matematik kutilishi va tarqalishini o'rganishni boshlashingiz mumkin.
O'rta arifmetik
Maktabda, matematika darslarida siz o'rtacha arifmetik bilan ishlay boshladingiz. Bu tushuncha ehtimollar nazariyasida keng qo'llaniladi, shuning uchun uni e'tiborsiz qoldirib bo'lmaydi. Biz uchun asosiy narsa bu daqiqa biz uni tasodifiy miqdorning matematik kutilishi va dispersiyasi formulalarida uchratamiz.
Bizda raqamlar ketma-ketligi bor va o'rtacha arifmetikni topmoqchimiz. Bizdan talab qilinadigan narsa - mavjud bo'lgan hamma narsani jamlash va ketma-ketlikdagi elementlar soniga bo'lish. Bizda 1 dan 9 gacha raqamlar bo'lsin. Elementlar yig'indisi 45 ga teng bo'ladi va biz bu qiymatni 9 ga bo'lamiz. Javob: - 5.
Dispersiya
Ilmiy ma'noda dispersiya - bu xarakteristikaning olingan qiymatlarining arifmetik o'rtacha qiymatdan og'ishlarining o'rtacha kvadrati. U bitta bosh lotin harfi bilan belgilanadi D. Uni hisoblash uchun nima kerak? Ketma-ketlikning har bir elementi uchun mavjud son va o'rtacha arifmetik o'rtasidagi farqni hisoblab chiqamiz va uning kvadratiga aylantiramiz. Biz ko'rib chiqayotgan voqea uchun qancha natijalar bo'lishi mumkin bo'lsa, shuncha ko'p qiymatlar bo'ladi. Keyinchalik, biz olingan hamma narsani jamlaymiz va ketma-ketlikdagi elementlar soniga bo'lamiz. Agar bizda beshta mumkin bo'lgan natija bo'lsa, unda beshga bo'ling.
Dispersiya masalalarni hal qilishda foydalanish uchun eslab qolish kerak bo'lgan xususiyatlarga ham ega. Masalan, tasodifiy miqdorni X marta oshirganda, dispersiya X kvadrat marta ortadi (ya'ni X*X). Bu hech qachon noldan kam emas va qiymatlarni teng miqdorda yuqoriga yoki pastga siljishiga bog'liq emas. Bundan tashqari, mustaqil sinovlar uchun yig'indining dispersiyasi dispersiyalarning yig'indisiga tengdir.
Endi biz, albatta, diskret tasodifiy o'zgaruvchining dispersiyasi va matematik kutish misollarini ko'rib chiqishimiz kerak.
Aytaylik, biz 21 ta tajriba o'tkazdik va 7 xil natijaga erishdik. Biz ularning har birini mos ravishda 1, 2, 2, 3, 4, 4 va 5 marta kuzatdik. Dispersiya nimaga teng bo'ladi?
Birinchidan, o'rtacha arifmetikni hisoblaylik: elementlarning yig'indisi, albatta, 21. Uni 7 ga bo'ling, 3 ni oling. Endi asl ketma-ketlikdagi har bir raqamdan 3 ni ayirib, har bir qiymatni kvadratga aylantiring va natijalarni birgalikda qo'shing. Natija 12. Endi biz qilishimiz kerak bo'lgan narsa raqamni elementlar soniga bo'lishdir va bu hammasi bo'lib tuyuladi. Ammo bir narsa bor! Keling, buni muhokama qilaylik.
Tajribalar soniga bog'liqlik
Ma'lum bo'lishicha, dispersiyani hisoblashda maxraj ikkita raqamdan birini o'z ichiga olishi mumkin: N yoki N-1. Bu erda N - bajarilgan tajribalar soni yoki ketma-ketlikdagi elementlar soni (bu asosan bir xil). Bu nimaga bog'liq?
Agar testlar soni yuzlab o'lchangan bo'lsa, unda N ni maxrajga qo'yish kerak bo'lsa, u holda N-1. Olimlar chegarani juda ramziy ravishda chizishga qaror qilishdi: bugungi kunda u 30 raqamidan o'tadi. Agar biz 30 dan kam tajriba o'tkazgan bo'lsak, unda biz miqdorni N-1 ga, agar ko'p bo'lsa, N ga bo'lamiz.
Vazifa
Keling, dispersiya va matematik kutish masalasini hal qilish misolimizga qaytaylik. Biz oraliq raqamni oldik 12, uni N yoki N-1 ga bo'lish kerak edi. Biz 30 dan kam bo'lgan 21 ta tajriba o'tkazganimiz uchun biz ikkinchi variantni tanlaymiz. Demak, javob: dispersiya 12/2 = 2.
Kutilgan qiymat
Keling, ushbu maqolada ko'rib chiqishimiz kerak bo'lgan ikkinchi kontseptsiyaga o'tamiz. Kutilgan qiymat barcha mumkin bo'lgan natijalarni mos keladigan ehtimollar bilan ko'paytirish natijasidir. Olingan qiymat, shuningdek, dispersiyani hisoblash natijasi, unda qancha natijalar ko'rib chiqilishidan qat'i nazar, butun muammo uchun faqat bir marta olinishini tushunish muhimdir.
Matematik kutish formulasi juda oddiy: biz natijani olamiz, uni ehtimollik bilan ko'paytiramiz, ikkinchi, uchinchi natija uchun bir xil qo'shamiz va hokazo. Ushbu kontseptsiyaga tegishli hamma narsani hisoblash qiyin emas. Masalan, kutilgan qiymatlar yig'indisi yig'indining kutilgan qiymatiga teng. Xuddi shu narsa ish uchun ham amal qiladi. Bunday oddiy operatsiyalar Ehtimollar nazariyasidagi har bir miqdor buni amalga oshirishga imkon bermaydi. Keling, masalani olib, bir vaqtning o'zida o'rgangan ikkita tushunchaning ma'nosini hisoblaylik. Qolaversa, bizni nazariya chalg‘itib qo‘ydi – amaliyot vaqti keldi.
Yana bir misol
Biz 50 ta sinovni o'tkazdik va 10 turdagi natijalarni oldik - 0 dan 9 gacha raqamlar - har xil foizlarda paydo bo'ladi. Bular mos ravishda: 2%, 10%, 4%, 14%, 2%,18%, 6%, 16%, 10%, 18%. Eslatib o'tamiz, ehtimolliklarni olish uchun siz foiz qiymatlarini 100 ga bo'lishingiz kerak. Shunday qilib, biz 0,02 ni olamiz; 0,1 va boshqalar. Tasodifiy o'zgaruvchining dispersiyasi va matematik kutish masalasini yechish misolini keltiramiz.
Biz eslab qolgan formuladan foydalanib, o'rtacha arifmetikni hisoblaymiz kichik maktab: 50/10 = 5.
Endi hisoblashni osonlashtirish uchun ehtimollarni "bo'laklarga" natijalar soniga aylantiramiz. Biz 1, 5, 2, 7, 1, 9, 3, 8, 5 va 9 ni olamiz. Olingan har bir qiymatdan biz o'rtacha arifmetikni ayirib tashlaymiz, shundan so'ng olingan natijalarning har birini kvadratga aylantiramiz. Misol sifatida birinchi element yordamida buni qanday qilishni ko'ring: 1 - 5 = (-4). Keyingi: (-4) * (-4) = 16. Boshqa qiymatlar uchun ushbu operatsiyalarni o'zingiz bajaring. Agar siz hamma narsani to'g'ri bajargan bo'lsangiz, ularning barchasini qo'shgandan so'ng siz 90 ball olasiz.
90 ni N ga bo'lish orqali dispersiya va kutilgan qiymatni hisoblashni davom ettiramiz. Nima uchun biz N-1 emas, N ni tanlaymiz? To'g'ri, chunki bajarilgan tajribalar soni 30 dan oshadi. Shunday qilib: 90/10 = 9. Biz dispersiyani oldik. Agar siz boshqa raqamni olsangiz, umidsizlikka tushmang. Katta ehtimol bilan siz hisob-kitoblarda oddiy xatoga yo'l qo'ygansiz. Yozganlaringizni ikki marta tekshirib ko'ring, ehtimol hamma narsa joyiga tushadi.
Nihoyat, matematik kutish formulasini eslang. Biz barcha hisob-kitoblarni bermaymiz, faqat barcha kerakli protseduralarni bajarganingizdan so'ng tekshirishingiz mumkin bo'lgan javobni yozamiz. Kutilayotgan qiymat 5,48 bo'ladi. Birinchi elementlarni misol sifatida ishlatib, faqat operatsiyalarni qanday bajarish kerakligini eslaylik: 0*0.02 + 1*0.1... va hokazo. Ko'rib turganingizdek, biz shunchaki natija qiymatini uning ehtimoli bilan ko'paytiramiz.
Burilish
Dispersiya va matematik kutish bilan chambarchas bog'liq bo'lgan yana bir tushuncha o'rtacha. standart og'ish. U ham tayinlangan lotin harflari bilan sd yoki yunoncha kichik "sigma". Ushbu kontseptsiya qiymatlarning o'rtacha qanchalik og'ishini ko'rsatadi markaziy xususiyat. Uning qiymatini topish uchun siz hisoblashingiz kerak Kvadrat ildiz dispersiyadan.
Agar siz oddiy taqsimot grafigini tuzsangiz va unda to'g'ridan-to'g'ri kvadrat og'ish ko'rishni istasangiz, bu bir necha bosqichda amalga oshirilishi mumkin. Tasvirning yarmini modaning chap yoki o'ng tomoniga olib boring ( markaziy ahamiyatga ega), natijada olingan raqamlarning maydonlari teng bo'lishi uchun gorizontal o'qga perpendikulyar chizamiz. Tarqatishning o'rtasi va natijada gorizontal o'qqa proyeksiya o'rtasidagi segmentning o'lchami standart og'ishni ifodalaydi.
Dasturiy ta'minot
Formulalarning tavsiflaridan va keltirilgan misollardan ko'rinib turibdiki, dispersiya va matematik kutishni hisoblash arifmetik nuqtai nazardan eng oddiy protsedura emas. Vaqtni behuda o'tkazmaslik uchun oliy ta'limda qo'llaniladigan dasturdan foydalanish maqsadga muvofiqdir ta'lim muassasalari- bu "R" deb ataladi. U statistika va ehtimollik nazariyasidan ko'plab tushunchalar uchun qiymatlarni hisoblash imkonini beruvchi funktsiyalarga ega.
Masalan, siz qiymatlar vektorini belgilaysiz. Bu quyidagicha amalga oshiriladi: vektor<-c(1,5,2…). Теперь, когда вам потребуется посчитать какие-либо значения для этого вектора, вы пишете функцию и задаете его в качестве аргумента. Для нахождения дисперсии вам нужно будет использовать функцию var. Пример её использования: var(vector). Далее вы просто нажимаете «ввод» и получаете результат.
Nihoyat
Dispersiya va matematik kutish - bularsiz kelajakda biror narsani hisoblash qiyin. Universitetlardagi ma'ruzalarning asosiy kursida ular mavzuni o'rganishning birinchi oylaridayoq muhokama qilinadi. Aynan shu oddiy tushunchalarni tushunmaganliklari va ularni hisoblab chiqa olmaganliklari sababli ko‘pchilik talabalar darhol dasturda qolib ketishadi va keyinchalik mashg‘ulotlar oxirida yomon baho olishadi, bu esa ularni stipendiyalardan mahrum qiladi.
Kamida bir hafta, kuniga yarim soat mashq qiling, ushbu maqolada keltirilganlarga o'xshash vazifalarni hal qiling. Keyin, ehtimollik nazariyasi bo'yicha har qanday testda siz misollar bilan begona maslahatlar va nayranglarsiz engishingiz mumkin bo'ladi.
Matematik kutish tasodifiy o'zgaruvchining o'rtacha qiymatidir.Diskret tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishi uning barcha mumkin bo'lgan qiymatlari va ularning ehtimolliklarining mahsuloti yig'indisidir:
Misol.
X -4 6 10
r 0,2 0,3 0,5
Yechish: Matematik kutish X ning barcha mumkin bo'lgan qiymatlari va ularning ehtimolliklarining ko'paytmalari yig'indisiga teng:
M (X) = 4*0.2 + 6*0.3 +10*0.5 = 6.
Matematik kutishni hisoblash uchun Excelda hisob-kitoblarni amalga oshirish qulay (ayniqsa, ko'p ma'lumotlar mavjud bo'lganda), biz tayyor shablondan foydalanishni tavsiya qilamiz ().
O'zingiz hal qilish uchun misol (siz kalkulyatordan foydalanishingiz mumkin).
Diskret tasodifiy X ning taqsimot qonuni bilan berilgan matematik kutilmasini toping:
X 0,21 0,54 0,61
r 0,1 0,5 0,4
Matematik kutish quyidagi xususiyatlarga ega.
Xossa 1. Doimiy qiymatning matematik kutilishi doimiyning o'ziga teng: M(C)=C.
Xossa 2. Matematik kutilma belgisi sifatida doimiy omilni chiqarish mumkin: M(CX)=CM(X).
Xossa 3. O‘zaro mustaqil tasodifiy miqdorlar ko‘paytmasining matematik kutilishi omillarning matematik kutilmalari ko‘paytmasiga teng: M (X1X2 ...Xn) = M (X1) M (X2)*. ..*M (Xn)
4-xususiyat. Tasodifiy miqdorlar yig‘indisining matematik kutilishi atamalarning matematik taxminlari yig‘indisiga teng: M(Xg + X2+...+Xn) = M(Xg)+M(X2)+... +M(Xn).
189-masala. X va Y ning matematik kutilmalari ma'lum bo'lsa, Z tasodifiy miqdorning matematik kutilmasini toping: Z = X+2Y, M(X) = 5, M(Y) = 3;
Yechish: Matematik kutishning xossalaridan (yig‘indining matematik kutilishi atamalarning matematik kutilmalari yig‘indisiga teng; o‘zgarmas omilni matematik kutish belgisidan chiqarish mumkin) foydalanib, M(Z) ni olamiz. )=M(X + 2Y)=M(X) + M(2Y)=M (X) + 2M(Y)= 5 + 2*3 = 11.
190. Matematik kutish xossalaridan foydalanib, isbotlang: a) M(X - Y) = M(X) - M (Y); b) X-M(X) chetlanishning matematik kutilishi nolga teng.
191. X diskret tasodifiy miqdor uchta mumkin bo'lgan qiymatni oladi: x1= 4 p1 = 0,5 ehtimollik bilan; xZ = 6 P2 = 0,3 ehtimollik bilan va p3 ehtimollik bilan x3. M(X)=8 ekanligini bilib, toping: x3 va p3.
192. X diskret tasodifiy o'zgaruvchining mumkin bo'lgan qiymatlari ro'yxati berilgan: x1 = -1, x2 = 0, x3= 1; bu qiymatning matematik taxminlari va uning kvadrati ham ma'lum: M(X) = 0,1 , M(X^2) = 0 ,9. Xi ning mumkin bo'lgan qiymatlariga mos keladigan p1, p2, p3 ehtimolliklarini toping
194. 10 qismdan iborat partiya uchta nostandart qismdan iborat. Ikki qism tasodifiy tanlangan. X diskret tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishini toping - ikkita tanlangan qismning nostandart qismlari soni.
196. X diskret tasodifiy o‘zgaruvchining matematik kutilmasini toping, agar uloqtirishlarning umumiy soni yigirmata bo‘lsa, har birida ikkita zarda bitta nuqta paydo bo‘ladigan beshta zardan iborat shunday otishlar soni.
Binom taqsimotining matematik kutilishi sinovlar sonining bitta sinovda sodir bo'lish ehtimoliga ko'paytirilganiga teng:
Diskret tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishi uning barcha mumkin bo'lgan qiymatlari va ularning ehtimolliklari mahsulotining yig'indisidir.
Tasodifiy o'zgaruvchi faqat mos ravishda teng bo'lgan ehtimollik qiymatlarini qabul qilsin, keyin tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishi tenglik bilan aniqlanadi
Agar diskret tasodifiy o'zgaruvchi mumkin bo'lgan qiymatlar to'plamini qabul qilsa, u holda
Bundan tashqari, tenglikning o'ng tomonidagi qatorlar mutlaqo yaqinlashsa, matematik kutish mavjud.
Izoh. Ta'rifdan kelib chiqadiki, diskret tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishi tasodifiy bo'lmagan (doimiy) miqdordir.
Umumiy holatda matematik kutishning ta'rifi
Taqsimlanishi mutlaqo diskret bo'lmagan tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishini aniqlaylik. Keling, manfiy bo'lmagan tasodifiy o'zgaruvchilardan boshlaylik. Matematik kutish allaqachon aniqlangan diskretlardan foydalanib, bunday tasodifiy o'zgaruvchilarni taxminiy hisoblash va matematik kutishni uni yaqinlashtiruvchi diskret tasodifiy o'zgaruvchilarning matematik taxminlari chegarasiga tenglashtirishdan iborat bo'ladi. Aytgancha, bu juda foydali umumiy g'oya, ya'ni oddiy ob'ektlar uchun qandaydir xarakteristikalar avval aniqlanadi, keyin esa murakkabroq ob'ektlar uchun ularni oddiyroqlari bilan yaqinlashtirish orqali aniqlanadi.
Lemma 1. Ixtiyoriy manfiy bo'lmagan tasodifiy miqdor bo'lsin. Keyin diskret tasodifiy o'zgaruvchilar ketma-ketligi mavjud
Isbot. Yarim o'qni teng uzunlikdagi segmentlarga ajratamiz va aniqlaymiz
Keyin tasodifiy o'zgaruvchining ta'rifidan 1 va 2 xossalar osongina kelib chiqadi va
Lemma 2. Lemma 1dan 1-3 xossalarga ega bo'lgan manfiy bo'lmagan tasodifiy miqdor va va ikkita diskret tasodifiy o'zgaruvchilar ketma-ketligi bo'lsin.
Isbot. E'tibor bering, salbiy bo'lmagan tasodifiy o'zgaruvchilar uchun biz ruxsat beramiz
3-xususiyatga ko'ra, ijobiy raqamlar ketma-ketligi mavjudligini ko'rish oson.
Bundan kelib chiqadi
Diskret tasodifiy o'zgaruvchilar uchun matematik taxminlar xususiyatlaridan foydalanib, biz olamiz
Cheklovga o'tib, biz Lemma 2 bayonotini olamiz.
Ta'rif 1. Manfiy bo'lmagan tasodifiy o'zgaruvchi bo'lsin, - Lemma 1dan 1-3 xossalarga ega bo'lgan diskret tasodifiy o'zgaruvchilar ketma-ketligi. Tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishi bu sondir.
Lemma 2, u yaqinlashuvchi ketma-ketlikni tanlashga bog'liq emasligini kafolatlaydi.
Keling, ixtiyoriy tasodifiy o'zgaruvchi bo'lsin. Keling, aniqlaymiz
Ta'rifdan va bu osonlik bilan kelib chiqadi
Ta'rif 2. Ixtiyoriy tasodifiy miqdorning matematik kutilishi sondir
Agar bu tenglikning o'ng tomonidagi raqamlardan kamida bittasi chekli bo'lsa.
Matematik kutishning xossalari
Xossa 1. Doimiy qiymatning matematik kutilishi doimiyning o'ziga teng:
Isbot. Biz doimiyni bitta mumkin bo'lgan qiymatga ega bo'lgan va uni ehtimollik bilan qabul qiladigan diskret tasodifiy o'zgaruvchi sifatida ko'rib chiqamiz, shuning uchun
Izoh 1. Keling, mumkin bo'lgan qiymatlari mumkin bo'lgan qiymatlar bo'yicha doimiy o'zgaruvchining mahsulotiga teng bo'lgan diskret tasodifiy o'zgarmas o'zgaruvchining mahsulotini aniqlaylik; mumkin bo'lgan qiymatlarning ehtimolliklari mos keladigan mumkin bo'lgan qiymatlarning ehtimollariga teng bo'ladi, masalan, agar mumkin bo'lgan qiymatning ehtimoli teng bo'lsa, qiymatning qiymatni olish ehtimoli ham teng bo'ladi.
Xossa 2. Matematik kutilma belgisidan doimiy koeffitsientni chiqarish mumkin:
Isbot. Tasodifiy o'zgaruvchi ehtimollik taqsimoti qonuni bilan berilgan bo'lsin:
1-izohni hisobga olib, tasodifiy miqdorning taqsimot qonunini yozamiz
Izoh 2. Keyingi xususiyatga o'tishdan oldin, ikkita tasodifiy o'zgaruvchilar, agar ulardan birining taqsimot qonuni boshqa o'zgaruvchi qanday mumkin bo'lgan qiymatlarga bog'liq bo'lmasa, mustaqil deb nomlanishini ta'kidlaymiz. Aks holda, tasodifiy o'zgaruvchilar bog'liq bo'ladi. Bir nechta tasodifiy o'zgaruvchilar, agar ularning har qanday sonining taqsimlanish qonunlari qolgan o'zgaruvchilar qanday mumkin bo'lgan qiymatlarga bog'liq bo'lmasa, o'zaro mustaqil deb ataladi.
Izoh 3. Keling, mustaqil tasodifiy o'zgaruvchilar mahsulotini aniqlaymiz va mumkin bo'lgan qiymatlari har bir mumkin bo'lgan qiymatning mahsulotiga har bir mumkin bo'lgan qiymat bo'yicha teng bo'lgan tasodifiy o'zgaruvchi sifatida mahsulotning mumkin bo'lgan qiymatlari ehtimolliklari tengdir. omillarning mumkin bo'lgan qiymatlari ehtimolliklarining mahsuloti. Misol uchun, agar mumkin bo'lgan qiymatning ehtimoli bo'lsa, mumkin bo'lgan qiymatning ehtimoli bo'lsa, mumkin bo'lgan qiymatning ehtimoli bo'ladi.
Xossa 3. Ikkita mustaqil tasodifiy miqdor ko‘paytmasining matematik kutilishi ularning matematik kutilmalari ko‘paytmasiga teng:
Isbot. Mustaqil tasodifiy o'zgaruvchilar o'zlarining ehtimollik taqsimot qonunlari bilan aniqlansin:
Tasodifiy o'zgaruvchi olishi mumkin bo'lgan barcha qiymatlarni kompilyatsiya qilaylik, buning uchun barcha mumkin bo'lgan qiymatlarni har bir mumkin bo'lgan qiymatga ko'paytiramiz; Natijada, biz olamiz va 3-mulohazani inobatga olgan holda, soddalik uchun mahsulotning barcha mumkin bo'lgan qiymatlari har xil deb hisoblab, taqsimot qonunini yozamiz (agar bunday bo'lmasa, isbotlash quyidagi tartibda amalga oshiriladi). shunga o'xshash usul):
Matematik kutish barcha mumkin bo'lgan qiymatlar va ularning ehtimolliklari mahsuloti yig'indisiga teng:
Natija. Bir nechta o'zaro mustaqil tasodifiy o'zgaruvchilar mahsulotining matematik kutilishi ularning matematik kutishlari mahsulotiga teng.
4-xususiyat. Ikki tasodifiy miqdor yig‘indisining matematik kutilishi atamalarning matematik kutilmalari yig‘indisiga teng:
Isbot. Tasodifiy o'zgaruvchilar bo'lsin va quyidagi taqsimot qonunlari bilan belgilansin:
Keling, miqdorning barcha mumkin bo'lgan qiymatlarini tuzamiz. Keling, oddiylik uchun bu mumkin bo'lgan qiymatlar boshqacha deb faraz qilaylik (agar bunday bo'lmasa, isbot o'xshash tarzda amalga oshiriladi) va biz ularning ehtimolliklarini mos ravishda va bilan belgilaymiz.
Qiymatning matematik kutilishi mumkin bo'lgan qiymatlar va ularning ehtimolliklari mahsuloti yig'indisiga teng:
Qiymatni qabul qiladigan Hodisa (bu hodisaning ehtimolligi teng) yoki (qo'shilish teoremasi bo'yicha bu hodisaning ehtimoli teng) qiymatni qabul qiladigan hodisaga olib kelishini isbotlaylik. Demak, tengliklar xuddi shunday isbotlangan
Ushbu tengliklarning o'ng tomonlarini (*) nisbatga almashtirib, biz hosil bo'lamiz
yoki nihoyat
Variatsiya va standart og'ish
Amalda, ko'pincha tasodifiy o'zgaruvchining mumkin bo'lgan qiymatlarining o'rtacha qiymati atrofida tarqalishini baholash kerak. Masalan, artilleriyada snaryadlar urilgan nishonga qanchalik yaqin tushishini bilish muhimdir.
Bir qarashda, dispersiyani baholashning eng oson usuli tasodifiy o'zgaruvchining barcha mumkin bo'lgan og'ishlarini hisoblash va keyin ularning o'rtacha qiymatini topishdir. Biroq, bu yo'l hech narsa bermaydi, chunki og'ishning o'rtacha qiymati, ya'ni. har qanday tasodifiy o'zgaruvchi uchun nolga teng. Bu xususiyat ba'zi mumkin bo'lgan og'ishlar ijobiy, boshqalari esa salbiy ekanligi bilan izohlanadi; ularning o'zaro bekor qilinishi natijasida o'rtacha og'ish qiymati nolga teng. Ushbu mulohazalar mumkin bo'lgan og'ishlarni ularning mutlaq qiymatlari yoki ularning kvadratlari bilan almashtirish maqsadga muvofiqligini ko'rsatadi. Ular amalda shunday qilishadi. To'g'ri, mumkin bo'lgan og'ishlar mutlaq qiymatlar bilan almashtirilganda, mutlaq qiymatlar bilan ishlashga to'g'ri keladi, bu ba'zan jiddiy qiyinchiliklarga olib keladi. Shuning uchun, ko'pincha ular boshqa yo'lni tanlaydilar, ya'ni. dispersiya deb ataladigan kvadrat og'ishning o'rtacha qiymatini hisoblang.
Kutish va dispersiya tasodifiy o'zgaruvchining eng ko'p qo'llaniladigan raqamli xarakteristikalaridir. Ular taqsimotning eng muhim xususiyatlarini tavsiflaydi: uning joylashuvi va tarqalish darajasi. Ko'pgina amaliy masalalarda tasodifiy o'zgaruvchining to'liq, to'liq xarakteristikasi - taqsimot qonuni - yoki umuman olinmaydi yoki umuman kerak emas. Bunday hollarda raqamli xarakteristikalar yordamida tasodifiy o'zgaruvchining taxminiy tavsifi bilan cheklanadi.
Kutilgan qiymat odatda tasodifiy o'zgaruvchining o'rtacha qiymati deb ataladi. Tasodifiy o'zgaruvchining dispersiyasi dispersiyaning o'ziga xos xususiyati, tasodifiy miqdorning uning matematik kutilishi atrofida tarqalishi.
Diskret tasodifiy miqdorni kutish
Keling, matematik kutish kontseptsiyasiga, avvalo, diskret tasodifiy miqdorning taqsimlanishining mexanik talqiniga asoslanib yondashamiz. Birlik massasi x o'qi nuqtalari o'rtasida taqsimlansin x1 , x 2 , ..., x n, va har bir moddiy nuqta mos keladigan massaga ega p1 , p 2 , ..., p n. Abtsissa o'qida ularning massalarini hisobga olgan holda butun moddiy nuqtalar tizimining holatini tavsiflovchi bitta nuqtani tanlash talab qilinadi. Bunday nuqta sifatida moddiy nuqtalar sistemasining massa markazini olish tabiiydir. Bu tasodifiy o'zgaruvchining o'rtacha og'irligi X, har bir nuqtaning abssissasi xi mos keladigan ehtimolga teng "og'irlik" bilan kiradi. Shu tarzda olingan tasodifiy miqdorning o'rtacha qiymati X uning matematik kutilishi deyiladi.
Diskret tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishi uning barcha mumkin bo'lgan qiymatlari va ushbu qiymatlarning ehtimolliklari mahsulotining yig'indisidir:
1-misol. Yutuqli lotereya uyushtirildi. 1000 ta yutuq bor, ulardan 400 tasi 10 rubl. Har biri 300-20 rubl. Har biri 200-100 rubl. va har biri 100 - 200 rubl. Bitta chipta sotib olgan odamning o'rtacha yutug'i qancha?
Yechim. 10*400 + 20*300 + 100*200 + 200*100 = 50 000 rubl boʻlgan yutuqning umumiy miqdorini 1000 ga (yutuqning umumiy miqdori) boʻlsak, oʻrtacha yutuqni topamiz. Keyin biz 50000/1000 = 50 rubl olamiz. Ammo o'rtacha yutuqni hisoblash uchun ifoda quyidagi shaklda taqdim etilishi mumkin:
Boshqa tomondan, bunday sharoitlarda g'alaba qozongan o'lcham tasodifiy o'zgaruvchi bo'lib, u 10, 20, 100 va 200 rubl qiymatlarini olishi mumkin. mos ravishda 0,4 ga teng ehtimollar bilan; 0,3; 0,2; 0.1. Shuning uchun kutilgan o'rtacha yutuq yutuqlar hajmi va ularni olish ehtimoli ko'rsatkichlari yig'indisiga teng.
2-misol. Nashriyot yangi kitob chiqarishga qaror qildi. U kitobni 280 rublga sotishni rejalashtirmoqda, uning o'zi 200, 50 - kitob do'koni va 30 - muallif. Jadvalda kitobni nashr qilish xarajatlari va kitobning ma'lum miqdordagi nusxalarini sotish ehtimoli haqida ma'lumot berilgan.
Nashriyotning kutilgan foydasini toping.
Yechim. Tasodifiy o'zgaruvchi "foyda" sotishdan olingan daromad va xarajatlar qiymati o'rtasidagi farqga teng. Misol uchun, agar kitobning 500 nusxasi sotilgan bo'lsa, u holda sotishdan tushgan daromad 200 * 500 = 100 000, nashr qilish narxi esa 225 000 rublni tashkil qiladi. Shunday qilib, nashriyot 125 000 rubl zararga duch keladi. Quyidagi jadval tasodifiy o'zgaruvchining kutilayotgan qiymatlarini umumlashtiradi - foyda:
| Raqam | Foyda xi | Ehtimollik pi | xi p i |
| 500 | -125000 | 0,20 | -25000 |
| 1000 | -50000 | 0,40 | -20000 |
| 2000 | 100000 | 0,25 | 25000 |
| 3000 | 250000 | 0,10 | 25000 |
| 4000 | 400000 | 0,05 | 20000 |
| Jami: | 1,00 | 25000 |
Shunday qilib, biz nashriyot foydasining matematik taxminini olamiz:
.
3-misol. Bir zarba bilan urish ehtimoli p= 0,2. 5 ga teng bo'lgan zarbalar sonining matematik taxminini ta'minlaydigan snaryadlar iste'molini aniqlang.
Yechim. Biz hozirgacha ishlatgan bir xil matematik kutish formulasidan biz ifodalaymiz x- qobiq iste'moli:
.
4-misol. Tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishini aniqlang x uchta zarba bilan zarbalar soni, agar har bir zarba bilan urish ehtimoli bo'lsa p = 0,4 .
Maslahat: tasodifiy o'zgaruvchilar qiymatlari ehtimolini toping Bernulli formulasi .
Matematik kutishning xossalari
Keling, matematik kutishning xususiyatlarini ko'rib chiqaylik.
Mulk 1. Doimiy qiymatning matematik kutilishi ushbu doimiyga teng:
Mulk 2. Doimiy omilni matematik kutish belgisidan chiqarish mumkin:
Mulk 3. Tasodifiy o'zgaruvchilar yig'indisining (farqining) matematik kutilishi ularning matematik taxminlari yig'indisiga (farqiga) teng:
Mulk 4. Tasodifiy o'zgaruvchilar mahsulotining matematik kutilishi ularning matematik kutishlari mahsulotiga teng:
Mulk 5. Agar tasodifiy o'zgaruvchining barcha qiymatlari bo'lsa X bir xil songa kamayishi (ortishi). BILAN, keyin uning matematik kutilishi bir xil songa kamayadi (ko'payadi):
O'zingizni faqat matematik kutish bilan cheklay olmasangiz
Ko'pgina hollarda, faqat matematik kutish tasodifiy o'zgaruvchini etarli darajada tavsiflay olmaydi.
Tasodifiy o'zgaruvchilar bo'lsin X Va Y Quyidagi taqsimot qonunlari bilan belgilanadi:
| Ma'nosi X | Ehtimollik |
| -0,1 | 0,1 |
| -0,01 | 0,2 |
| 0 | 0,4 |
| 0,01 | 0,2 |
| 0,1 | 0,1 |
| Ma'nosi Y | Ehtimollik |
| -20 | 0,3 |
| -10 | 0,1 |
| 0 | 0,2 |
| 10 | 0,1 |
| 20 | 0,3 |
Ushbu miqdorlarning matematik taxminlari bir xil - nolga teng:
Biroq, ularning tarqalish shakllari boshqacha. Tasodifiy qiymat X faqat matematik kutilganidan ozgina farq qiladigan qiymatlarni va tasodifiy o'zgaruvchini olishi mumkin Y matematik kutilganidan sezilarli darajada chetga chiqadigan qiymatlarni qabul qilishi mumkin. Shunga o'xshash misol: o'rtacha ish haqi yuqori va kam maosh oladigan ishchilarning ulushini baholashga imkon bermaydi. Boshqacha qilib aytadigan bo'lsak, hech bo'lmaganda o'rtacha hisobda undan qanday og'ishlar bo'lishi mumkinligini matematik kutishdan xulosa qilib bo'lmaydi. Buning uchun tasodifiy miqdorning dispersiyasini topish kerak.
Diskret tasodifiy miqdorning dispersiyasi
Farqlanish diskret tasodifiy o'zgaruvchi X uning matematik kutishdan chetlanish kvadratining matematik kutilishi deyiladi:
Tasodifiy o'zgaruvchining standart og'ishi X uning dispersiyasi kvadrat ildizining arifmetik qiymati deyiladi:
.
5-misol. Tasodifiy o'zgaruvchilarning dispersiyalari va standart og'ishlarini hisoblang X Va Y, taqsimot qonunlari yuqoridagi jadvallarda keltirilgan.
Yechim. Tasodifiy o'zgaruvchilarning matematik taxminlari X Va Y, yuqorida topilganidek, nolga teng. da dispersiya formulasiga ko'ra E(X)=E(y)=0 biz olamiz:
Keyin tasodifiy o'zgaruvchilarning standart og'ishlari X Va Y grim surmoq, pardoz qilmoq; yasamoq, tuzmoq
.
Shunday qilib, bir xil matematik taxminlar bilan, tasodifiy o'zgaruvchining dispersiyasi X juda kichik, lekin tasodifiy o'zgaruvchi Y- muhim. Bu ularning taqsimlanishidagi farqlarning natijasidir.
6-misol. Investorda 4 ta muqobil investitsiya loyihasi mavjud. Jadvalda ushbu loyihalarda kutilayotgan foyda tegishli ehtimollik bilan jamlangan.
| Loyiha 1 | Loyiha 2 | Loyiha 3 | Loyiha 4 |
| 500, P=1 | 1000, P=0,5 | 500, P=0,5 | 500, P=0,5 |
| 0, P=0,5 | 1000, P=0,25 | 10500, P=0,25 | |
| 0, P=0,25 | 9500, P=0,25 |
Har bir muqobil uchun matematik kutilma, dispersiya va standart og‘ish toping.
Yechim. Keling, ushbu qiymatlar 3-variant uchun qanday hisoblanganligini ko'rsatamiz:
Jadvalda barcha alternativlar uchun topilgan qiymatlar jamlangan.
Barcha muqobil variantlar bir xil matematik taxminlarga ega. Bu shuni anglatadiki, uzoq muddatda hamma bir xil daromadga ega. Standart og'ish xavf o'lchovi sifatida talqin qilinishi mumkin - u qanchalik yuqori bo'lsa, investitsiya xavfi shunchalik yuqori bo'ladi. Ko'p tavakkal qilishni xohlamaydigan investor 1-loyihani tanlaydi, chunki u eng kichik standart og'ish (0) ga ega. Agar investor qisqa vaqt ichida tavakkalchilik va yuqori daromad olishni afzal ko'rsa, u eng katta loyihani tanlaydi standart og'ish- loyiha 4.
Dispersiya xususiyatlari
Dispersiyaning xossalarini keltiramiz.
Mulk 1. Doimiy qiymatning dispersiyasi nolga teng:
Mulk 2. Doimiy koeffitsientni dispersiya belgisidan kvadratga ajratib olish mumkin:
.
Mulk 3. Tasodifiy o'zgaruvchining dispersiyasi ushbu qiymat kvadratining matematik kutishiga teng bo'lib, undan qiymatning o'zi matematik kutish kvadrati ayiriladi:
,
Qayerda 
.
Mulk 4. Tasodifiy o'zgaruvchilar yig'indisining (farqining) dispersiyasi ularning dispersiyalarining yig'indisiga (farqiga) teng:
7-misol. Ma'lumki, diskret tasodifiy miqdor X faqat ikkita qiymatni oladi: −3 va 7. Bundan tashqari, matematik taxmin ma'lum: E(X) = 4. Diskret tasodifiy miqdorning dispersiyasini toping.
Yechim. bilan belgilaymiz p tasodifiy o'zgaruvchining qiymat olish ehtimoli x1 = −3 . Keyin qiymatning ehtimolligi x2 = 7 1 - bo'ladi p. Matematik kutish uchun tenglamani chiqaramiz:
E(X) = x 1 p + x 2 (1 − p) = −3p + 7(1 − p) = 4 ,
ehtimollarni qaerdan olamiz: p= 0,3 va 1 - p = 0,7 .
Tasodifiy o'zgaruvchining taqsimlanish qonuni:
| X | −3 | 7 |
| p | 0,3 | 0,7 |
Ushbu tasodifiy o'zgaruvchining dispersiyasini dispersiyaning 3-xususiyatidan formuladan foydalanib hisoblaymiz:
D(X) = 2,7 + 34,3 − 16 = 21 .
Tasodifiy o'zgaruvchining matematik taxminini o'zingiz toping va keyin yechimga qarang
8-misol. Diskret tasodifiy o'zgaruvchi X faqat ikkita qiymatni oladi. U 0,4 ehtimollik bilan 3 qiymatdan kattasini qabul qiladi. Bundan tashqari, tasodifiy o'zgaruvchining dispersiyasi ma'lum D(X) = 6. Tasodifiy miqdorning matematik kutilmasini toping.
9-misol. Bir urnada 6 ta oq va 4 ta qora shar bor. Idishdan 3 ta shar chiqariladi. Chizilgan to'plar orasidagi oq sharlar soni diskret tasodifiy o'zgaruvchidir X. Ushbu tasodifiy miqdorning matematik kutilishi va dispersiyasini toping.
Yechim. Tasodifiy qiymat X 0, 1, 2, 3 qiymatlarini qabul qilishi mumkin. Tegishli ehtimollarni dan hisoblash mumkin ehtimollarni ko'paytirish qoidasi. Tasodifiy o'zgaruvchining taqsimlanish qonuni:
| X | 0 | 1 | 2 | 3 |
| p | 1/30 | 3/10 | 1/2 | 1/6 |
Shunday qilib, bu tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishi:
M(X) = 3/10 + 1 + 1/2 = 1,8 .
Berilgan tasodifiy o'zgaruvchining dispersiyasi:
D(X) = 0,3 + 2 + 1,5 − 3,24 = 0,56 .
Uzluksiz tasodifiy miqdorning kutilishi va dispersiyasi
Uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchi uchun matematik kutishning mexanik talqini bir xil ma'noni saqlab qoladi: zichlik bilan x o'qi bo'ylab doimiy ravishda taqsimlangan birlik massasi uchun massa markazi. f(x). Funktsiya argumenti bo'lgan diskret tasodifiy o'zgaruvchidan farqli o'laroq xi uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchi uchun argument doimiy ravishda o'zgaradi; Ammo uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishi ham uning o'rtacha qiymati bilan bog'liq.
Uzluksiz tasodifiy miqdorning matematik kutilishi va dispersiyasini topish uchun aniq integrallarni topish kerak. . Agar uzluksiz tasodifiy miqdorning zichlik funktsiyasi berilgan bo'lsa, u to'g'ridan-to'g'ri integratsiyaga kiradi. Agar ehtimollikni taqsimlash funktsiyasi berilgan bo'lsa, uni farqlash orqali siz zichlik funktsiyasini topishingiz kerak.
Uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchining barcha mumkin bo'lgan qiymatlarining o'rtacha arifmetik qiymati deyiladi matematik kutish, yoki bilan belgilanadi.
X tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishi o'rtacha qiymatdir.
1. M(C) = C
2. M(CX) = CM(X), Qayerda C= const
3. M(X ± Y) = M(X) ± M(Y)
4. Agar tasodifiy o'zgaruvchilar X Va Y mustaqildirlar M(XY) = M(X) M(Y)
Dispersiya
X tasodifiy miqdorning dispersiyasi deyiladi
D(X) = S(x – M(X)) 2 p = M (X 2 ) - M 2 (X).
Dispersiya tasodifiy o'zgaruvchining qiymatlarining o'rtacha qiymatidan chetlanishining o'lchovidir.
1. D(C) = 0
2. D(X + C) = D(X)
3. D(CX) = C 2 D(X), Qayerda C= const
4. Mustaqil tasodifiy miqdorlar uchun
D(X ± Y) = D(X) + D(Y)
5. D(X ± Y) = D(X) + D(Y) ± 2Cov(x, y)
X tasodifiy miqdor dispersiyasining kvadrat ildizi standart og'ish deb ataladi 
.
@3-topshiriq: X tasodifiy o'zgaruvchisi ehtimollik bilan faqat ikkita qiymatni (0 yoki 1) olsin q, p, Qayerda p + q = 1. Matematik kutilma va dispersiyani toping.
Yechim:
M(X) = 1 p + 0 q = p; D(X) = (1 – p) 2 p + (0 - p) 2 q = pq.
@4-topshiriq: Tasodifiy o'zgaruvchining kutilishi va dispersiyasi X 8 ga teng. Tasodifiy miqdorlarning matematik kutilishi va dispersiyasini toping: a) X - 4; b) 3X - 4.
Yechish: M(X – 4) = M(X) – 4 = 8 – 4 = 4; D(X – 4) = D(X) = 8; M(3X – 4) = 3M(X) – 4 = 20; D(3X – 4) = 9D(X) = 72.
@5-topshiriq: Oilalar jami bolalar soni bo'yicha quyidagi taqsimotga ega:
| x i | x 1 | x 2 | ||
| p i | 0,1 | p2 | 0,4 | 0,35 |
Aniqlash x 1, x 2 Va p2, agar ma'lum bo'lsa M(X) = 2; D(X) = 0,9.
Yechish: p 2 ehtimollik p 2 = 1 – 0,1 – 0,4 – 0,35 = 0,15 ga teng. Noma’lum x tenglamalardan topiladi: M(X) = x 1 ·0,1 + x 2 ·0,15 + 2·0,4 + 3·0,35 = 2; D(X) = ·0,1 + ·0,15 + 4·0,4 + 9·0,35 - 4 = 0,9. x 1 = 0; x 2 = 1.
Populyatsiya va namuna. Parametrlarni baholash
Tanlangan kuzatish
Statistik kuzatish uzluksiz yoki uzluksiz tashkil etilishi mumkin. Uzluksiz kuzatish o'rganilayotgan aholining barcha birliklarini tekshirishni o'z ichiga oladi ( aholi). Aholi bu tadqiqotchi o'z vazifasiga muvofiq o'rganadigan jismoniy yoki yuridik shaxslar to'plami. Bu ko'pincha iqtisodiy jihatdan foydali emas va ba'zan imkonsizdir. Shu munosabat bilan, umumiy aholining faqat bir qismi o'rganiladi - namuna populyatsiyasi .
Namuna populyatsiyasidan olingan natijalar, agar quyidagi tamoyillarga rioya qilingan bo'lsa, umumiy populyatsiyaga kengaytirilishi mumkin:
1. Namuna populyatsiyasi tasodifiy tarzda aniqlanishi kerak.
2. Tanlangan populyatsiyadagi birliklar soni etarli bo'lishi kerak.
3. Taqdim etilishi kerak vakillik ( namunaning reprezentativligi). Vakillik namunasi - bu aks ettirish uchun mo'ljallangan populyatsiyaning kichikroq, ammo aniq modeli.
Namuna turlari
Amaliyotda quyidagi turdagi namunalar qo'llaniladi:
a) qat'iy tasodifiy, b) mexanik, v) tipik, d) ketma-ket, e) birlashtirilgan.
To'g'ri tasodifiy tanlab olish
Da haqiqiy tasodifiy namuna namunaviy populyatsiyadagi birliklarni tanlash tasodifiy tarzda, masalan, qur'a tashlash yoki tasodifiy sonlar generatori yordamida amalga oshiriladi.
Namunalar takrorlanishi yoki takrorlanmasligi mumkin. Qayta namuna olishda namuna olingan birlik qaytariladi va yana namuna olish uchun teng imkoniyatni saqlab qoladi. Takrorlanmaydigan tanlamada tanlamaga kiritilgan populyatsiya birligi kelajakda tanlamada qatnashmaydi.
Namunalarni kuzatishga xos bo'lgan, namunaviy populyatsiya umumiy populyatsiyani to'liq takrorlamasligi sababli yuzaga keladigan xatolar deyiladi. standart xatolar . Ular tanlovdan olingan ko'rsatkichlar qiymatlari va umumiy populyatsiya ko'rsatkichlarining mos keladigan qiymatlari o'rtasidagi o'rtacha kvadrat farqni ifodalaydi.
Tasodifiy takroriy tanlamalar uchun standart xatolik uchun hisoblash formulalari quyidagilardan iborat: , va tasodifiy takrorlanmaydigan tanlamalar uchun quyidagilar: 
, bu erda S 2 - tanlanma populyatsiyasining dispersiyasi, yo'q - namuna ulushi, n, N- tanlanma va umumiy populyatsiyadagi birliklar soni. Da n = N standart xato m = 0.
Mexanik namuna olish
Da mexanik namuna olish Populyatsiya teng oraliqlarga bo'linadi va har bir oraliqdan tasodifiy ravishda bitta birlik tanlanadi.
Misol uchun, 2% tanlama darajasi bilan har 50-birlik populyatsiya ro'yxatidan tanlanadi.
Mexanik namuna olishning standart xatosi haqiqiy tasodifiy takrorlanmaydigan namuna olish xatosi sifatida aniqlanadi.
Oddiy namuna
Da tipik namuna umumiy populyatsiya bir hil tipik guruhlarga bo'linadi, keyin har bir guruhdan tasodifiy birliklar tanlanadi.
Heterojen populyatsiya holatida odatiy namuna qo'llaniladi. Oddiy namuna aniqroq natijalar beradi, chunki u vakillikni ta'minlaydi.
Masalan, o‘qituvchilar aholining umumiy qatlami sifatida quyidagi mezonlarga ko‘ra guruhlarga bo‘linadi: jinsi, tajribasi, malakasi, ma’lumoti, shahar va qishloq maktablari va boshqalar.
Oddiy namunaning standart xatolari haqiqiy tasodifiy tanlamaning xatolari sifatida aniqlanadi, yagona farq shundaki S 2 guruh ichidagi dispersiyalarning o'rtacha qiymati bilan almashtiriladi.
Seriyali namuna olish
Da ketma-ket namuna olish umumiy aholi alohida guruhlarga (seriyalarga) bo'linadi, so'ngra tasodifiy tanlangan guruhlar doimiy kuzatuvdan o'tkaziladi.
Seriyali namunaning standart xatolari haqiqiy tasodifiy namunaning xatolari sifatida aniqlanadi, yagona farq shundaki S 2 guruhlar orasidagi farqlarning o'rtacha qiymati bilan almashtiriladi.
Birlashtirilgan namuna
Birlashtirilgan namuna ikki yoki undan ortiq namuna turlarining birikmasidir.
Ballarni baholash
Namuna kuzatishning yakuniy maqsadi populyatsiyaning xususiyatlarini topishdir. Buni to'g'ridan-to'g'ri amalga oshirish mumkin emasligi sababli, namunaviy populyatsiyaning xususiyatlari umumiy populyatsiyaga kengaytiriladi.
O'rtacha tanlama ma'lumotlari bo'yicha aholining o'rtacha arifmetik qiymatini aniqlashning asosiy imkoniyati isbotlangan. Chebishev teoremasi. Cheksiz kattalashtirish bilan n namunaviy o'rtacha va umumiy o'rtacha o'rtasidagi farq o'zboshimchalik bilan kichik bo'lishi ehtimoli 1 ga intiladi.
Bu shuni anglatadiki, aholining xususiyatlari aniqlik bilan. Ushbu baholash deyiladi nuqta .
Intervalni baholash
Intervalni baholashning asosi hisoblanadi markaziy chegara teoremasi.
Intervalni baholash savolga javob berishga imkon beradi: populyatsiya parametrining noma'lum, kerakli qiymati qaysi intervalda va qanday ehtimollik bilan joylashgan?
Odatda biz ishonch ehtimoli haqida gapiramiz p = 1 – a, qaysi bilan u intervalda bo'ladi – D< < + D, где D = t cr m > 0 marjinal xato namunalar, a - ahamiyat darajasi (tengsizlikning noto'g'ri bo'lish ehtimoli), t cr- kritik qiymat, bu qiymatlarga bog'liq n va a. Kichik namuna uchun n< 30 t cr bilan ikki tomonlama test uchun Student t-taqsimlanishining kritik qiymatidan foydalanib belgilanadi n– 1 darajali erkinlik, ahamiyatlilik darajasi a ( t cr(n - 1, a) "Talabaning t-taqsimotining kritik qiymatlari" jadvalidan topilgan, 2-ilova). n > 30 uchun, t cr- bu miqdor oddiy qonun taqsimotlar ( t cr F(t) = (1) Laplas funksiyasining qiymatlari jadvalidan topilgan – a)/2 argument sifatida). p = 0,954 da kritik qiymat t cr p = 0,997 kritik qiymatda = 2 t cr= 3. Demak, marjinal xato odatda standart xatolikdan 2-3 marta kattaroqdir.
Shunday qilib, tanlab olish usulining mohiyati shundaki, aholining ma'lum bir kichik qismining statistik ma'lumotlariga asoslanib, ishonchli ehtimollik bilan intervalni topish mumkin. p umumiy aholining kerakli xarakteristikasi topiladi (ishchilarning o'rtacha soni, o'rtacha ball, o'rtacha hosildorlik, standart og'ish va boshqalar).
@1-topshiriq. Korporatsiya korxonalarining kreditorlari bilan hisob-kitoblar tezligini aniqlash uchun tijorat bankida 100 ta toʻlov hujjatlaridan tasodifiy tanlab olish amalga oshirildi, unga koʻra o'rtacha muddat pul o'tkazish va qabul qilish 6 kunlik standart og'ish (S = 6) bilan 22 kun (= 22) bo'lib chiqdi. Ehtimollik bilan p= 0,954 o'rtacha tanlamaning maksimal xatosini va ushbu korporatsiya korxonalarining hisob-kitoblarining o'rtacha davomiyligining ishonch oralig'ini aniqlang.
Yechish: ga muvofiq tanlanma o‘rtachaning chegaraviy xatosi(1)ga teng D= 2· 0,6 = 1,2 va ishonch oralig'i (22 - 1,2; 22 + 1,2) sifatida aniqlanadi, ya'ni. (20,8; 23,2).
§6.5 Korrelyatsiya va regressiya
