Matematikada raqamlarning o'rtacha arifmetik qiymati (yoki oddiygina o'rtacha) ma'lum to'plamdagi barcha raqamlarning sonlar soniga bo'lingan yig'indisidir. Bu eng umumiy va keng tarqalgan tushunchadir o'rtacha hajmi. Siz allaqachon tushunganingizdek, o'rtachani topish uchun sizga berilgan barcha raqamlarni jamlashingiz va olingan natijani shartlar soniga bo'lishingiz kerak.
Arifmetik o'rtacha nima?
Keling, bir misolni ko'rib chiqaylik.
1-misol. Berilgan raqamlar: 6, 7, 11. Ularning o'rtacha qiymatini topishingiz kerak.
Yechim.
Birinchidan, bu raqamlarning yig'indisini topamiz.
Endi olingan summani shartlar soniga bo'ling. Bizda uchta atama bo'lganligi sababli, biz uchtaga bo'lamiz.
Demak, 6, 7 va 11 sonlarining o‘rtachasi 8 ga teng. Nima uchun 8? Ha, chunki 6, 7 va 11 ning yig'indisi uchta sakkizlik bilan bir xil bo'ladi. Buni rasmda aniq ko'rish mumkin.
O'rtacha bir oz "kechqurun" bir qator raqamlarga o'xshaydi. Ko'rib turganingizdek, qalamlar qoziqlari bir xil darajaga aylandi.
Olingan bilimlarni mustahkamlash uchun yana bir misolni ko'rib chiqamiz.
2-misol. Berilgan raqamlar: 3, 7, 5, 13, 20, 23, 39, 23, 40, 23, 14, 12, 56, 23, 29. Ularning oʻrtacha arifmetik qiymatini topishingiz kerak.
Yechim.
Miqdorini toping.
3 + 7 + 5 + 13 + 20 + 23 + 39 + 23 + 40 + 23 + 14 + 12 + 56 + 23 + 29 = 330
Terminlar soniga bo'linadi (bu holda - 15).
Shuning uchun bu raqamlar qatorining o'rtacha qiymati 22 ga teng.
Endi manfiy sonlarni ko'rib chiqamiz. Keling, ularni qanday umumlashtirishni eslaylik. Misol uchun, sizda 1 va -4 ikkita raqam mavjud. Keling, ularning yig'indisini topamiz.
1 + (-4) = 1 – 4 = -3
Buni bilgan holda, keling, yana bir misolni ko'rib chiqaylik.
3-misol. Raqamlar qatorining o‘rtacha qiymatini toping: 3, -7, 5, 13, -2.
Yechim.
Raqamlar yig‘indisini toping.
3 + (-7) + 5 + 13 + (-2) = 12
5 ta a'zo bo'lgani uchun hosil bo'lgan yig'indini 5 ga bo'ling.
Demak, 3, -7, 5, 13, -2 sonlarining o‘rta arifmetik qiymati 2,4 ga teng.
Texnologik taraqqiyot davrida o'rtacha qiymatni topish uchun foydalanish ancha qulayroq kompyuter dasturlari. Microsoft Office Excel ulardan biri. Excelda o'rtachani topish tez va oson. Bundan tashqari, ushbu dastur Microsoft Office dasturlar paketiga kiritilgan. Keling, ko'rib chiqaylik qisqacha ko'rsatmalar, ushbu dastur yordamida o'rtacha arifmetikni qanday topish mumkin.
Bir qator raqamlarning o'rtacha qiymatini hisoblash uchun siz O'RTA funksiyasidan foydalanishingiz kerak. Ushbu funktsiyaning sintaksisi:
= O'rtacha (argument1, argument2, ... argument255)
Bu erda argument1, argument2, ... argument255 raqamlar yoki hujayra havolalari (yacheykalar deganda biz diapazon va massivlarni nazarda tutamiz).
Buni yanada aniqroq qilish uchun keling, olgan bilimlarimizni sinab ko'raylik.
- C1 - C6 katakchalariga 11, 12, 13, 14, 15, 16 raqamlarini kiriting.
- C7 katakchasini bosish orqali tanlang. Ushbu katakda biz o'rtacha qiymatni ko'rsatamiz.
- Formulalar yorlig'ini bosing.
- Ochiladigan ro'yxatni ochish uchun Qo'shimcha funktsiyalar > Statistikani tanlang.
- OʻRTA ni tanlang. Shundan so'ng, dialog oynasi ochilishi kerak.
- Muloqot oynasidagi diapazonni o'rnatish uchun C1 dan C6 gacha bo'lgan katakchalarni tanlang va u yerga torting.
- "OK" tugmasi bilan harakatlaringizni tasdiqlang.
- Agar siz hamma narsani to'g'ri bajargan bo'lsangiz, javob C7 - 13.7 katakchasida bo'lishi kerak. C7 katakchani bosganingizda formulalar qatorida funksiya (=O'rtacha(C1:C6)) paydo bo'ladi.
Bu xususiyat buxgalteriya hisobi, hisob-fakturalar uchun juda foydalidir yoki siz juda uzoq raqamlar seriyasining o'rtacha qiymatini topishingiz kerak bo'lganda. Shuning uchun, u tez-tez ofislarda ishlatiladi va yirik kompaniyalar. Bu sizning yozuvlaringizda tartibni saqlashga imkon beradi va biror narsani tezda hisoblash imkonini beradi (masalan, o'rtacha oylik daromad). Shuningdek, bilan Excel yordamida funksiyaning o'rtacha qiymatini topishingiz mumkin.
O'rta arifmetik
Bu atamaning boshqa maʼnolari ham bor, oʻrtacha maʼnoga qarang.O'rta arifmetik(matematika va statistikada) raqamlar to'plami - barcha raqamlarning ularning soniga bo'lingan yig'indisi. Bu markaziy tendentsiyaning eng keng tarqalgan ko'rsatkichlaridan biridir.
U (geometrik o'rtacha va garmonik o'rtacha bilan birga) Pifagorchilar tomonidan taklif qilingan.
Arifmetik o'rtachaning maxsus holatlari o'rtacha ( aholi) va namunaviy o'rtacha (namunalar).
Kirish
Keling, ma'lumotlar to'plamini belgilaylik X = (x 1 , x 2 , …, x n), keyin namunaviy o'rtacha odatda o'zgaruvchi ustidagi gorizontal chiziq bilan ko'rsatiladi (x ¯ (\displaystyle (\bar (x))), talaffuz qilinadi x chiziq bilan").
Yunoncha m harfi butun aholining o'rtacha arifmetik qiymatini ko'rsatish uchun ishlatiladi. Uchun tasodifiy o'zgaruvchi, buning uchun o'rtacha qiymat aniqlanadi, m ehtimollik o'rtacha yoki tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishi. Agar to'plam X- ehtimollik o'rtacha m bo'lgan tasodifiy sonlar to'plami, keyin har qanday namuna uchun x i bu to'plamdan m = E( x i) bu namunaning matematik kutishidir.
Amalda, m va x ¯ (\displaystyle (\bar (x))) o'rtasidagi farq shundaki, m tipik o'zgaruvchidir, chunki siz butun populyatsiyani emas, balki namunani ko'rishingiz mumkin. Shuning uchun, agar tanlama tasodifiy (ehtimollar nazariyasi nuqtai nazaridan) taqdim etilsa, u holda x ¯ (\displaystyle (\bar (x))) (lekin m emas) tanlamada ehtimollik taqsimotiga ega bo'lgan tasodifiy o'zgaruvchi sifatida ko'rib chiqilishi mumkin ( o'rtacha ehtimollik taqsimoti).
Ushbu ikkala miqdor bir xil tarzda hisoblanadi:
X ¯ = 1 n ∑ i = 1 n x i = 1 n (x 1 + ⋯ + x n) . (\displaystyle (\bar (x))=(\frac (1)(n))\sum _(i=1)^(n)x_(i)=(\frac (1)(n))(x_) (1)+\cdots +x_(n)).)
Agar X tasodifiy o'zgaruvchi, keyin matematik kutish X miqdorning takroriy o'lchovlarida qiymatlarning o'rtacha arifmetik qiymati sifatida ko'rib chiqilishi mumkin X. Bu qonunning ko'rinishi katta raqamlar. Shuning uchun tanlanma o'rtacha noma'lum kutilgan qiymatni baholash uchun ishlatiladi.
O'rtacha ekanligi elementar algebrada isbotlangan n+ 1 raqam oʻrtachadan yuqori n raqamlar, agar yangi raqam eski o'rtacha qiymatdan katta bo'lsa, kamroq bo'lsa, yangi raqam o'rtachadan kichik bo'lsa va faqat va agar yangi raqam o'rtachaga teng bo'lsa, o'zgarmaydi. Ko'proq n, yangi va eski o'rtachalar orasidagi farq qanchalik kichik bo'lsa.
E'tibor bering, o'rtacha quvvat, Kolmogorov o'rtacha, garmonik o'rtacha, arifmetik-geometrik o'rtacha va turli og'irlikdagi o'rtacha qiymatlar (masalan, o'rtacha og'irlikdagi arifmetik, o'rtacha geometrik o'rtacha, og'irlikdagi garmonik o'rtacha) kabi bir nechta boshqa "o'rtacha" mavjud.
Misollar
- Uchta raqam uchun siz ularni qo'shishingiz va 3 ga bo'lishingiz kerak:
- Uchun to'rtta raqam siz ularni qo'shishingiz va 4 ga bo'lishingiz kerak:
Yoki oddiyroq 5+5=10, 10:2. Chunki biz 2 ta sonni qo'shayotgan edik, ya'ni qancha son qo'shsak, shuncha songa bo'lamiz.
Uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchi
Uzluksiz taqsimlangan kattalik uchun f (x) (\displaystyle f(x)), intervaldagi o'rtacha arifmetik [ a ; b ] (\displaystyle ) aniq integral orqali aniqlanadi:
F (x) ¯ [ a ; b ] = 1 b − a ∫ a b f (x) d x (\displaystyle (\overline (f(x))))_()=(\frac (1)(b-a))\int _(a)^(b) f(x)dx)
O'rtacha foydalanishning ba'zi muammolari
Barqarorlikning yo'qligi
Asosiy maqola: Statistikada mustahkamlikGarchi arifmetik vositalar ko'pincha o'rtacha yoki markaziy tendentsiyalar sifatida qo'llanilsa-da, bu kontseptsiya ishonchli statistika emas, ya'ni arifmetik o'rtacha "katta og'ishlar" tomonidan katta ta'sir ko'rsatadi. Shunisi e'tiborga loyiqki, katta egrilik koeffitsienti bo'lgan taqsimotlar uchun o'rtacha arifmetik "o'rtacha" tushunchasiga to'g'ri kelmasligi mumkin va ishonchli statistik ma'lumotlarning o'rtacha qiymatlari (masalan, median) markaziy ko'rsatkichni yaxshiroq tavsiflashi mumkin. moyillik.
Klassik misol - o'rtacha daromadni hisoblash. Arifmetik o'rtacha median sifatida noto'g'ri talqin qilinishi mumkin, bu esa daromadli odamlar haqiqatdan ko'ra ko'proq degan xulosaga kelishi mumkin. "O'rtacha" daromad ko'pchilik odamlarning shu raqam atrofida daromadga ega ekanligini anglatadi. Ushbu "o'rtacha" (o'rtacha arifmetik ma'noda) daromad ko'pchilikning daromadlaridan yuqori, chunki o'rtacha ko'rsatkichdan katta og'ish bilan yuqori daromad arifmetik o'rtacha ko'rsatkichni juda chayqaladi (aksincha, o'rtacha o'rtacha daromad). bunday egrilikka "qarshilik qiladi"). Biroq, bu "o'rtacha" daromad o'rtacha daromadga yaqin odamlar soni haqida hech narsa aytmaydi (va modal daromadga yaqin odamlar soni haqida hech narsa aytmaydi). Biroq, agar siz "o'rtacha" va "ko'pchilik" tushunchalariga engil munosabatda bo'lsangiz, ko'pchilik odamlarning daromadlari haqiqatdan ham yuqori ekanligi haqida noto'g'ri xulosa chiqarishingiz mumkin. Masalan, Madina (Vashington) shahrida yashovchilarning barcha yillik sof daromadlarining oʻrtacha arifmetik koʻrsatkichi sifatida hisoblangan “oʻrtacha” sof daromad haqidagi hisobot hayratlanarli darajada natija beradi. katta raqam Bill Geyts tufayli. Namunani ko'rib chiqing (1, 2, 2, 2, 3, 9). Arifmetik o'rtacha 3,17, lekin oltita qiymatdan beshtasi bu o'rtacha qiymatdan past.
Murakkab foiz
Asosiy maqola: Investitsiyalarning daromadliligiAgar raqamlar bo'lsa ko'paytirmoq, lekin emas katlama, siz o'rtacha arifmetik emas, balki geometrik o'rtachani ishlatishingiz kerak. Ko'pincha bu hodisa moliyaga investitsiyalarning daromadliligini hisoblashda sodir bo'ladi.
Misol uchun, agar aktsiya birinchi yilda 10% ga tushib ketgan bo'lsa va ikkinchi yilda 30% o'sgan bo'lsa, unda bu ikki yil davomida "o'rtacha" o'sishni o'rtacha arifmetik (−10% + 30%) sifatida hisoblash noto'g'ri. = 10%; bu holda to'g'ri o'rtacha yillik o'sish sur'ati faqat taxminan 8,16653826392% ≈ 8,2% yillik o'sish sur'atini beradi murakkab yillik o'sish sur'ati bilan berilgan.
Buning sababi shundaki, foizlar har safar yangi boshlanish nuqtasiga ega: 30% - 30% birinchi yil boshidagi narxdan kamroq raqamdan: agar aktsiya 30 dollardan boshlangan va 10% ga tushgan bo'lsa, ikkinchi yil boshida u 27 dollarga teng. Agar aktsiya 30% ga oshsa, ikkinchi yil oxirida u 35,1 dollarga teng bo'ladi. Ushbu o'sishning o'rtacha arifmetik ko'rsatkichi 10% ni tashkil qiladi, ammo aktsiyalar 2 yil ichida atigi 5,1 dollarga ko'tarilganligi sababli, o'rtacha 8,2% o'sish beradi. yakuniy natija $35.1:
[30 dollar (1 - 0,1) (1 + 0,3) = 30 dollar (1 + 0,082) (1 + 0,082) = 35,1 dollar]. Agar biz o'rtacha 10% arifmetikdan xuddi shunday foydalansak, biz haqiqiy qiymatni olmaymiz: [$30 (1 + 0,1) (1 + 0,1) = $36,3].
2 yil oxiridagi murakkab foiz: 90% * 130% = 117%, ya'ni umumiy o'sish 17% va o'rtacha yillik murakkab foiz 117% ≈ 108,2% (\displaystyle (\sqrt (117\%) ))\taxminan 108,2\%) , ya'ni o'rtacha yillik o'sish 8,2%.
Yo'nalishlar
Asosiy maqola: Belgilangan manzil statistikasiAyrim o'zgaruvchilarning tsiklik ravishda o'zgarib turadigan (masalan, faza yoki burchak) arifmetik o'rtacha qiymatini hisoblashda alohida e'tibor berish kerak. Masalan, 1° va 359° ning oʻrtacha qiymati 1 ∘ + 359 ∘ 2 = (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+359^(\circ ))(2))=) 180° boʻladi. Bu raqam ikki sababga ko'ra noto'g'ri.
- Birinchidan, burchak o'lchovlari faqat 0 ° dan 360 ° gacha (yoki radyanlarda o'lchanganda 0 dan 2p gacha) oraliq uchun aniqlanadi. Shunday qilib, bir xil raqamlar juftligi (1 ° va -1 °) yoki (1 ° va 719 °) sifatida yozilishi mumkin. Har bir juftlikning o'rtacha qiymatlari har xil bo'ladi: 1 ∘ + (− 1 ∘) 2 = 0 ∘ (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+(-1^(\circ )))(2) ))=0 ^(\circ )), 1 ∘ + 719 ∘ 2 = 360 ∘ (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+719^(\circ ))(2))=360^(\ aylana)).
- Ikkinchidan, ichida Ushbu holatda, 0 ° qiymati (360 ° ga ekvivalent) geometrik jihatdan yaxshiroq o'rtacha bo'ladi, chunki raqamlar boshqa qiymatlarga qaraganda 0 ° dan kamroq og'adi (0 ° qiymati eng kichik farqga ega). Taqqoslash:
- 1 ° raqami 0 ° dan faqat 1 ° ga og'adi;
- 1 ° soni hisoblangan o'rtacha 180 ° dan 179 ° ga og'adi.
Yuqoridagi formuladan foydalanib hisoblangan siklik o'zgaruvchining o'rtacha qiymati haqiqiy o'rtachaga nisbatan sun'iy ravishda raqamli diapazonning o'rtasiga siljiydi. Shu sababli, o'rtacha boshqa usulda hisoblanadi, ya'ni o'rtacha qiymat sifatida eng kichik dispersiyaga ega bo'lgan raqam (markaziy nuqta) tanlanadi. Shuningdek, ayirish o'rniga modulli masofa (ya'ni aylana masofasi) ishlatiladi. Masalan, 1° dan 359° gacha boʻlgan modulli masofa 358° emas, 2° (359° dan 360° gacha boʻlgan doirada==0° - bir daraja, 0° va 1° oraligʻida ham 1°, jami - 2 °).
O'rtacha tortilgan - bu nima va uni qanday hisoblash mumkin?
Matematikani o'rganish jarayonida maktab o'quvchilari o'rtacha arifmetik tushunchasi bilan tanishadilar. Keyinchalik statistika va boshqa ba'zi fanlarda talabalar boshqa o'rtacha qiymatlarni hisoblash bilan duch kelishadi. Ular nima bo'lishi mumkin va ular bir-biridan qanday farq qiladi?
O'rtachalar: ma'no va farqlar
To'g'ri ko'rsatkichlar har doim ham vaziyatni tushunishni ta'minlamaydi. Muayyan vaziyatni baholash uchun ba'zan juda ko'p sonli raqamlarni tahlil qilish kerak bo'ladi. Va keyin o'rtacha ko'rsatkichlar yordamga keladi. Ular bizga vaziyatni bir butun sifatida baholashga imkon beradi.
Maktab davridan beri ko'plab kattalar arifmetik o'rtachaning mavjudligini eslashadi. Hisoblash juda oddiy - n ta haddan iborat ketma-ketlikning yig'indisi n ga bo'linadi. Ya'ni, agar siz o'rtacha arifmetik qiymatni 27, 22, 34 va 37 qiymatlari ketma-ketligida hisoblashingiz kerak bo'lsa, u holda siz (27+22+34+37)/4 ifodasini echishingiz kerak, chunki 4 ta qiymat hisob-kitoblarda foydalaniladi. Bunday holda, kerakli qiymat 30 bo'ladi.
Geometrik o'rtacha ko'pincha maktab kursining bir qismi sifatida o'rganiladi. Bu qiymatni hisoblash n ta haddan iborat mahsulotning n- ildizini chiqarishga asoslangan. Agar biz bir xil raqamlarni olsak: 27, 22, 34 va 37, u holda hisob-kitoblarning natijasi 29,4 ga teng bo'ladi.
Garmonik o'rtacha odatda o'rta maktablarda o'rganish mavzusi emas. Biroq, u juda tez-tez ishlatiladi. Bu qiymat o'rtacha arifmetik qiymatga teskari hisoblanadi va n - qiymatlar soni va 1/a 1 +1/a 2 +...+1/a n yig'indisi sifatida hisoblanadi. Agar biz yana bir xil raqamlar qatorini hisoblash uchun olsak, garmonik 29,6 ga teng bo'ladi.
O'rtacha tortilgan: xususiyatlar
Biroq, yuqoridagi barcha qiymatlarni hamma joyda ishlatish mumkin emas. Masalan, statistikada ma'lum o'rtacha ko'rsatkichlarni hisoblashda hisob-kitoblarda ishlatiladigan har bir raqamning "og'irligi" muhim rol o'ynaydi. Natijalar ko'proq indikativ va to'g'ri, chunki ular ko'proq ma'lumotni hisobga oladi. Bu miqdorlar guruhi umumiy ism "vaznli o'rtacha"Ular maktabda o'qitilmaydi, shuning uchun ularni batafsilroq ko'rib chiqishga arziydi.
Avvalo, ma'lum bir qiymatning "og'irligi" nimani anglatishini aytib berishga arziydi. Buni tushuntirishning eng oson yo'li aniq misol. Kasalxonada kuniga ikki marta har bir bemorning tana harorati o'lchanadi. Kasalxonaning turli bo'limlaridagi 100 nafar bemordan 44 nafari normal haroratga ega bo'ladi - 36,6 daraja. Yana 30 tasi ortib ketgan qiymatga ega bo'ladi - 37,2, 14 - 38, 7 - 38,5, 3 - 39, qolgan ikkitasi - 40. Agar o'rtacha arifmetik qiymatni oladigan bo'lsak, shifoxona uchun bu qiymat umuman olganda 38 dan ortiq bo'ladi. darajalar! Ammo bemorlarning deyarli yarmi butunlay normal haroratga ega. Va bu erda o'rtacha og'irlikdan foydalanish to'g'riroq bo'ladi va har bir qiymatning "og'irligi" odamlar soni bo'ladi. Bunday holda, hisoblash natijasi 37,25 daraja bo'ladi. Farqi aniq.
O'rtacha vaznli hisob-kitoblar bo'lsa, "og'irlik" jo'natishlar soni, ma'lum bir kunda ishlaydigan odamlar soni, umuman olganda, o'lchash mumkin bo'lgan va yakuniy natijaga ta'sir qiladigan har qanday narsa sifatida qabul qilinishi mumkin.
Turlari
O'rtacha vaznli ko'rsatkich maqolaning boshida muhokama qilingan o'rtacha arifmetik bilan bog'liq. Biroq, birinchi qiymat, yuqorida aytib o'tilganidek, hisob-kitoblarda ishlatiladigan har bir raqamning og'irligini ham hisobga oladi. Bundan tashqari, vaznli geometrik va harmonik qiymatlar ham mavjud.
Raqamlar seriyasida ishlatiladigan yana bir qiziqarli o'zgarish mavjud. Bu vaznli harakatlanuvchi o'rtacha. Aynan shu asosda tendentsiyalar hisoblab chiqiladi. Qadriyatlarning o'zlari va ularning og'irligidan tashqari, u erda davriylik ham qo'llaniladi. Va bir vaqtning o'zida o'rtacha qiymatni hisoblashda oldingi vaqt davrlari uchun qiymatlar ham hisobga olinadi.
Ushbu qiymatlarning barchasini hisoblash unchalik qiyin emas, lekin amalda odatda faqat oddiy o'rtacha o'lchov ishlatiladi.
Hisoblash usullari
Keng tarqalgan kompyuterlashtirish davrida o'rtacha og'irlikni qo'lda hisoblashning hojati yo'q. Biroq, hisob-kitob formulasini bilish foydali bo'ladi, shunda siz tekshirishingiz va kerak bo'lganda olingan natijalarni sozlashingiz mumkin.
Eng oson yo'li - ma'lum bir misol yordamida hisob-kitobni ko'rib chiqish.
Ushbu korxonada u yoki bu ish haqini oladigan ishchilar sonini hisobga olgan holda o'rtacha ish haqi qancha ekanligini aniqlash kerak.
Shunday qilib, o'rtacha og'irlik quyidagi formula bo'yicha hisoblanadi:
x = (a 1 *w 1 +a 2 *w 2 +...+a n *w n)/(w 1 +w 2 +...+w n)
Masalan, hisoblash quyidagicha bo'ladi:
x = (32*20+33*35+34*14+40*6)/(20+35+14+6) = (640+1155+476+240)/75 = 33.48
Shubhasiz, o'rtacha og'irlikni qo'lda hisoblashda alohida qiyinchilik yo'q. Ushbu qiymatni hisoblash uchun formula eng ko'p biridir mashhur ilovalar formulalar bilan - Excel - SUMPRODUCT (raqamlar seriyasi; vaznlar seriyasi)/SUM (og'irliklar seriyasi) funktsiyasiga o'xshaydi.
Excelda o'rtachani qanday topish mumkin?
Excelda o'rtacha arifmetikni qanday topish mumkin?
Vladimir09854
Pirog kabi oson. Excelda o'rtachani topish uchun sizga faqat 3 ta katak kerak bo'ladi. Birinchisida biz bitta raqamni yozamiz, ikkinchisida - boshqa. Uchinchi katakka esa birinchi va ikkinchi katakchalardagi bu ikki raqam orasidagi o'rtacha qiymatni beradigan formulani kiritamiz. Agar №1 katak A1, №2 katak B1 deb nomlansa, formulaga ega katakka buni yozish kerak:
Ushbu formula ikki raqamning o'rtacha arifmetik qiymatini hisoblab chiqadi.
Hisob-kitoblarimizni yanada chiroyli qilish uchun biz hujayralarni plastinka shaklida chiziqlar bilan ajratib ko'rsatishimiz mumkin.
Excelning o'zida o'rtacha qiymatni aniqlash funktsiyasi ham mavjud, ammo men eski uslubdan foydalanaman va kerakli formulani kiritaman. Shunday qilib, men ishonchim komilki, Excel aynan menga kerak bo'lganda hisoblab chiqadi va o'ziga xos yaxlitlashni o'ylamaydi.
M3sergey
Agar ma'lumotlar allaqachon hujayralarga kiritilgan bo'lsa, bu juda oddiy. Agar siz shunchaki raqamga qiziqsangiz, kerakli diapazon/diapazonni tanlang va bu raqamlar yig'indisining qiymati, ularning o'rtacha arifmetik va soni holat satrining o'ng pastki qismida ko'rinadi.
Siz bo'sh katakchani tanlashingiz mumkin, uchburchakni (ochiladigan ro'yxat) "Avtosum" ni bosing va u erda "O'rtacha" ni tanlang, shundan so'ng siz hisoblash uchun taklif qilingan diapazonga rozi bo'lasiz yoki o'zingizni tanlang.
Nihoyat, formulalar satri va katak manzili yonidagi "Funktsiyani qo'shish" tugmasini bosish orqali to'g'ridan-to'g'ri formulalardan foydalanishingiz mumkin. AVERAGE funksiyasi “Statistika” toifasida joylashgan bo‘lib, argument sifatida raqamlar va hujayra havolalari va hokazolarni oladi. U yerda siz ko‘proq narsani tanlashingiz mumkin. murakkab variantlar, masalan, AVERAGEIF - shartga ko'ra o'rtachani hisoblash.
Excelda o'rtacha qiymatni toping juda oddiy vazifadir. Bu erda siz ushbu o'rtacha qiymatni ba'zi formulalarda ishlatishni xohlaysizmi yoki yo'qligini tushunishingiz kerak.
Agar siz faqat qiymatni olishingiz kerak bo'lsa, unda kerakli raqamlar oralig'ini tanlang, shundan so'ng Excel avtomatik ravishda o'rtacha qiymatni hisoblab chiqadi - u holat satrida "O'rtacha" sarlavhasida ko'rsatiladi.
Natijani formulalarda ishlatmoqchi bo'lsangiz, buni qilishingiz mumkin:
1) SUM funksiyasidan foydalangan holda katakchalarni jamlang va barchasini sonlar soniga bo'ling.
2) To'g'riroq variant - AVERAGE deb nomlangan maxsus funktsiyadan foydalanish. Ushbu funktsiyaning argumentlari ketma-ket ko'rsatilgan raqamlar yoki raqamlar oralig'i bo'lishi mumkin.
Vladimir Tixonov
Hisoblashda ishtirok etadigan qiymatlarni aylantiring, "Formulalar" yorlig'ini bosing, u erda siz chap tomonda "Avtomatik yig'indi" va uning yonida pastga qaratilgan uchburchakni ko'rasiz. Ushbu uchburchakni bosing va "O'rta" ni tanlang. Voila, bajarildi) ustunning pastki qismida siz o'rtacha qiymatni ko'rasiz :)
Ekaterina Mutalapova
Keling, boshidan va tartibda boshlaylik. O'rtacha nimani anglatadi?
O'rtacha arifmetik o'rtacha bo'lgan qiymatdir, ya'ni. sonlar to‘plamini qo‘shib, so‘ngra butun sonlar yig‘indisini ularning soniga bo‘lish yo‘li bilan hisoblanadi. Masalan, 2, 3, 6, 7, 2 raqamlari uchun 4 ta bo'ladi (20 raqamlari yig'indisi ularning 5 soniga bo'linadi)
IN Excel elektron jadvali Shaxsan men uchun eng oson yo'li = AVERAGE formulasidan foydalanish edi. O'rtacha qiymatni hisoblash uchun jadvalga ma'lumotlarni kiritish, ma'lumotlar ustuni ostiga =O'RTA() funksiyasini yozish va ma'lumotlar bilan ustunni ajratib ko'rsatgan holda qavslar ichidagi sonlar oralig'ini ko'rsatish kerak. Shundan so'ng, ENTER tugmasini bosing yoki istalgan katakni sichqonchaning chap tugmasi bilan bosing. Natija ustun ostidagi katakchada paydo bo'ladi. Bu tushunarsiz tarzda tasvirlangan ko'rinadi, lekin aslida bu bir necha daqiqalar masalasidir.
Sarguzashtchi 2000
Excel - bu turli xil dastur, shuning uchun o'rtacha qiymatlarni topishga imkon beradigan bir nechta variant mavjud:
Birinchi variant. Siz shunchaki barcha hujayralarni jamlaysiz va ularning soniga bo'lasiz;
Ikkinchi variant. Maxsus buyruqdan foydalaning, kerakli katakchaga “= AVERAGE (va bu yerda hujayralar diapazoni ko'rsatilgan)” formulasini yozing;
Uchinchi variant. Agar siz kerakli diapazonni tanlasangiz, quyidagi sahifada ushbu kataklardagi o'rtacha qiymat ham ko'rsatilishini unutmang.
Shunday qilib, o'rtachani topishning ko'plab usullari mavjud, siz faqat o'zingiz uchun eng yaxshisini tanlashingiz va uni doimiy ravishda ishlatishingiz kerak.
Excelda oddiy arifmetik o'rtachani hisoblash uchun AVERAGE funksiyasidan foydalanishingiz mumkin. Buning uchun siz bir qator qiymatlarni kiritishingiz kerak. Tenglarni bosing va Turkumda Statistikani tanlang, ular orasida O'RTA funksiyasini tanlang
Shuningdek, statistik formulalar yordamida siz aniqroq hisoblangan o'rtacha arifmetik qiymatni hisoblashingiz mumkin. Uni hisoblash uchun bizga ko'rsatkich qiymatlari va chastota kerak.
Excelda o'rtachani qanday topish mumkin?
Bu holat. Quyidagi jadval mavjud:
Qizil rangda bo'yalgan ustunlar fanlar bo'yicha baholarning raqamli qiymatlarini o'z ichiga oladi. "O'rtacha ball" ustunida siz ularning o'rtacha qiymatini hisoblashingiz kerak.
Muammo shundaki: jami 60-70 ta narsa bor va ularning ba'zilari boshqa varaqda.
Men boshqa hujjatni ko'rib chiqdim va o'rtacha allaqachon hisoblab chiqilgan va hujayrada shunga o'xshash formula mavjud
=" varaq nomi"!|E12
lekin bu ishdan bo'shatilgan ba'zi dasturchi tomonidan qilingan.
Iltimos, buni kim tushunadi, ayting.
Gektor
Funktsiyalar qatorida siz taklif qilingan funktsiyalardan "O'RTA" ni qo'shasiz va masalan, Ivanov uchun (B6:N6) qaerdan hisoblash kerakligini tanlang. Men qo'shni varaqlar haqida aniq bilmayman, lekin u standart Windows yordamida mavjud bo'lishi mumkin
Word-da o'rtacha qiymatni qanday hisoblashni ayting
Iltimos, Word-da o'rtacha qiymatni qanday hisoblashni ayting. Ya'ni, reytinglarni olgan odamlar soni emas, balki reytinglarning o'rtacha qiymati. 
Yuliya Pavlova
Word makros bilan juda ko'p ish qila oladi. ALT+F11 tugmalarini bosing va makro dastur yozing.
Bundan tashqari, Insert-Object... Word hujjati ichida jadvalli varaq yaratish uchun boshqa dasturlardan, hatto Exceldan ham foydalanish imkonini beradi.
Ammo bu holda, siz o'z raqamlaringizni jadvalning ustuniga yozishingiz kerak va o'rtachani xuddi shu ustunning pastki katakchasiga kiritishingiz kerak, to'g'rimi?
Buning uchun pastki katakchaga maydon kiriting.
Insert-Field... -Formula
Maydon tarkibi
[=O‘RTA(YUQORI)]
yuqoridagi hujayralar yig'indisining o'rtacha qiymatini beradi.
Agar siz maydonni tanlasangiz va sichqonchaning o'ng tugmachasini bossangiz, raqamlar o'zgargan bo'lsa, uni yangilashingiz mumkin,
maydonning kodini yoki qiymatini ko'rish, kodni to'g'ridan-to'g'ri maydonda o'zgartirish.
Agar biror narsa noto'g'ri bo'lsa, hujayradagi butun maydonni o'chiring va uni qayta yarating.
O'RTA o'rtacha, YUQORIDA - taxminan, ya'ni yuqorida yotgan hujayralar sonini bildiradi.
Men bularning barchasini o'zim bilmasdim, lekin men buni HELP da osongina kashf qildim, albatta, biroz o'ylab.
Eslab qoling!
Kimga arifmetik o'rtachani toping, siz barcha raqamlarni qo'shishingiz va ularning yig'indisini ularning soniga bo'lishingiz kerak.
2, 3 va 4 ning o‘rtacha arifmetik qiymatini toping.
O'rtacha arifmetikni "m" harfi bilan belgilaymiz. Yuqoridagi ta'rifga ko'ra, biz barcha raqamlarning yig'indisini topamiz.
Olingan miqdorni olingan raqamlar soniga bo'ling. An'anaga ko'ra, bizda uchta raqam bor.
Natijada biz olamiz o'rtacha arifmetik formula:
Arifmetik o'rtacha nima uchun ishlatiladi?
Doimiy ravishda darslarda topish taklif qilinishidan tashqari, o'rtacha arifmetikni topish hayotda juda foydali.
Masalan, siz futbol to'plarini sotishga qaror qildingiz deylik. Ammo siz ushbu biznesda yangi bo'lganingiz uchun to'plarni qanday narxda sotishingiz kerakligi aniq emas.
Keyin siz raqobatchilar sizning hududingizda futbol to'plarini qanday narxda sotayotganini aniqlashga qaror qildingiz. Keling, do'konlardagi narxlarni bilib olaylik va jadval tuzamiz.
Do'konlarda to'plar narxi butunlay boshqacha bo'lib chiqdi. Futbol to'pini sotish uchun qanday narxni tanlashimiz kerak?
Agar biz eng past narxni (290 rubl) tanlasak, unda biz tovarlarni zararga sotamiz. Agar siz eng yuqori (360 rubl) tanlasangiz, xaridorlar bizdan futbol to'plarini sotib olmaydilar.
Bizga o'rtacha narx kerak. Bu erda u yordamga keladi o'rta arifmetik.
Keling, futbol to'plari narxlarining o'rtacha arifmetik qiymatini hisoblaymiz:
o'rtacha narx =
=
290 + 360 + 310
3
= 320
surtish.960
3
Shunday qilib, biz o'rtacha narxni oldik (320 rubl), unda biz juda arzon va juda qimmat bo'lmagan futbol to'pini sotishimiz mumkin.
O'rtacha haydash tezligi
O'rtacha arifmetik bilan chambarchas bog'liq tushunchadir o'rtacha tezlik.
Shahardagi transport harakatini kuzatar ekansiz, avtomobillar yo tezlashib, yuqori tezlikda harakatlanayotganini yoki sekinlashib, past tezlikda harakatlanayotganini payqashingiz mumkin.
Avtotransport yo'nalishi bo'ylab bunday uchastkalar juda ko'p. Shuning uchun hisob-kitoblarning qulayligi uchun o'rtacha tezlik tushunchasi qo'llaniladi.
Eslab qoling!
Harakatning o'rtacha tezligi - bu butun bosib o'tgan masofani butun harakat vaqtiga bo'linadi.
Keling, o'rta tezlikda muammoni ko'rib chiqaylik.
“Vilenkin 5-sinf” darsligidan 1503-masala.
Mashina katta yo‘lda 90 km/soat tezlikda 3,2 soat, so‘ngra tuproq yo‘lda 45 km/soat tezlikda 1,5 soat va nihoyat qishloq yo‘lida 30 km/soat tezlikda 0,3 soat harakat qildi. . Mashinaning butun marshrut bo'ylab o'rtacha tezligini toping.
O'rtacha tezlikni hisoblash uchun siz mashina bosib o'tgan butun masofani va avtomobil harakat qilgan butun vaqtni bilishingiz kerak.
S 1 = V 1 t 1S 1 = 90 3,2 = 288 (km)
- avtomobil yo'li.S 2 = V 2 t 2
S 2 = 45 · 1,5 = 67,5 (km) - tuproqli yo'l.
S 3 = V 3 t 3
S 3 = 30 · 0,3 = 9 (km) - mamlakat yo'li.
S = S 1 + S 2 + S 3
S = 288 + 67,5 + 9 = 364,5 (km) - avtomobil bosib o'tgan butun masofa.
T = t 1 + t 2 + t 3
T = 3,2 + 1,5 + 0,3 = 5 (h) - har doim.
V av = S: t
V av = 364,5: 5 = 72,9 (km / soat) - o'rtacha avtomobil tezligi.
Javob: V av = 72,9 (km/soat) - avtomobilning o'rtacha tezligi.
Excelda o'rtacha qiymatni topish uchun (u raqamli, matn, foiz yoki boshqa qiymat bo'lishidan qat'iy nazar) juda ko'p funktsiyalar mavjud. Va ularning har biri o'ziga xos xususiyatlarga va afzalliklarga ega. Darhaqiqat, bu vazifada muayyan shartlar belgilanishi mumkin.
Masalan, Excelda bir qator raqamlarning o'rtacha qiymatlari statistik funktsiyalar yordamida hisoblanadi. Siz o'zingizning formulangizni qo'lda kiritishingiz mumkin. Keling, turli xil variantlarni ko'rib chiqaylik.
Raqamlarning o'rtacha arifmetik qiymatini qanday topish mumkin?
O'rtacha arifmetikni topish uchun to'plamdagi barcha raqamlarni qo'shib, yig'indini miqdorga bo'lish kerak. Masalan, informatika fanidan o‘quvchining baholari: 3, 4, 3, 5, 5. Chorakga nimalar kiradi: 4. O‘rtacha arifmetik qiymatini formuladan foydalanib topdik: =(3+4+3+5+5) /5.
Buni qanday tezda qilish kerak Excel funktsiyalari? Masalan, qatordagi tasodifiy sonlar qatorini olaylik:
Yoki: faol katakchani yarating va formulani qo'lda kiriting: =O'RTA(A1:A8).
Endi AVERAGE funksiyasi yana nima qila olishini ko'rib chiqamiz.
Birinchi ikki va oxirgi uchta sonning o‘rtacha arifmetik qiymatini topamiz. Formula: =O'RTA(A1:B1,F1:H1). Natija:
O'rtacha holat
Arifmetik o'rtachani topish sharti sonli yoki matnli mezon bo'lishi mumkin. Biz funksiyadan foydalanamiz: =AVERAGEIF().
10 dan katta yoki teng bo‘lgan sonlarning o‘rtacha arifmetik qiymatini toping.
Funktsiya: =AVERAGEIF(A1:A8,">=10")
">=10" sharti ostida AVERAGEIF funksiyasidan foydalanish natijasi: Uchinchi argument - "O'rtacha diapazon" - olib tashlangan. Birinchidan, bu shart emas. Ikkinchidan, dastur tomonidan tahlil qilingan diapazon FAQAT raqamli qiymatlarni o'z ichiga oladi. Birinchi argumentda ko'rsatilgan katakchalar ikkinchi argumentda ko'rsatilgan shartga muvofiq qidiriladi.
Diqqat! Qidiruv mezoni katakchada belgilanishi mumkin. Va formulada unga havola qiling.
Matn mezonidan foydalanib raqamlarning o'rtacha qiymatini topamiz. Masalan, mahsulotning o'rtacha savdosi "jadvallar".
Funktsiya quyidagicha ko'rinishga ega bo'ladi: =AVERAGEIF($A$2:$A$12,A7,$B$2:$B$12). Diapazon - mahsulot nomlari bo'lgan ustun. Qidiruv mezoni "jadvallar" so'zi bo'lgan katakka havoladir (A7 havolasi o'rniga "jadvallar" so'zini kiritishingiz mumkin). O'rtacha diapazon - o'rtacha qiymatni hisoblash uchun ma'lumotlar olinadigan hujayralar.
Funktsiyani hisoblash natijasida biz quyidagi qiymatni olamiz:
Diqqat! Matn mezoni (sharti) uchun o'rtacha diapazon ko'rsatilishi kerak.
Excelda o'rtacha tortilgan narxni qanday hisoblash mumkin?
O'rtacha tortilgan narxni qanday bilib oldik?
Formula: =SUMPRODUCT(C2:C12,B2:B12)/SUM(C2:C12).
SUMPRODUCT formulasidan foydalanib, biz tovarning butun miqdorini sotgandan keyin umumiy daromadni aniqlaymiz. SUM funksiyasi esa tovarlar miqdorini umumlashtiradi. Tovarlarni sotishdan tushgan umumiy tushumni tovar birliklarining umumiy soniga bo'lish orqali biz o'rtacha tortilgan narxni topdik. Ushbu ko'rsatkich har bir narxning "og'irligi" ni hisobga oladi. Uning qiymatlarning umumiy massasidagi ulushi.
Standart og'ish: Excelda formula
O'rtachani farqlang standart og'ish umumiy populyatsiya va namuna uchun. Birinchi holda, bu umumiy dispersiyaning ildizidir. Ikkinchisida - dan namunaviy farq.
Ushbu statistik ko'rsatkichni hisoblash uchun dispersiya formulasi tuziladi. Undan ildiz olinadi. Ammo Excelda standart og'ishni topish uchun tayyor funktsiya mavjud.
Standart og'ish manba ma'lumotlarining shkalasi bilan bog'liq. Tahlil qilinayotgan diapazonning o'zgarishini majoziy ko'rsatish uchun bu etarli emas. Ma'lumotlar tarqalishining nisbiy darajasini olish uchun o'zgarish koeffitsienti hisoblanadi:
standart og'ish / o'rtacha arifmetik
Excelda formula quyidagicha ko'rinadi:
STDEV (qiymatlar diapazoni) / AVERAGE (qiymatlar diapazoni).
O'zgaruvchanlik koeffitsienti foiz sifatida hisoblanadi. Shuning uchun biz hujayradagi foiz formatini o'rnatamiz.
O'rtacha ish haqi... O'rtacha umr ko'rish... Deyarli har kuni biz ko'pchilikni tasvirlash uchun ishlatiladigan bu iboralarni eshitamiz. birlik. Ammo g'alati narsa shundaki, "o'rtacha qiymat" - bu matematik statistikada tajribasiz oddiy odamni ko'pincha chalg'itadigan juda makkor tushunchadir.
Muammo nimada?
O'rtacha qiymat ko'pincha o'rtacha arifmetik qiymatni anglatadi, bu alohida faktlar yoki hodisalar ta'sirida katta farq qiladi. Va siz o'rganayotgan qadriyatlaringiz qanday taqsimlangani haqida aniq tasavvurga ega bo'lmaysiz.
Keling, o'rtacha ish haqining klassik misolini ko'rib chiqaylik.
Ba'zi mavhum kompaniyada o'nta xodim bor. Ulardan to'qqiz nafari taxminan 50 000 rubl maosh oladi, biri esa 1 500 000 rubl oladi (g'alati tasodif bilan u ham Bosh direktor bu kompaniya).
Bu holatda o'rtacha qiymat 195 150 rublni tashkil qiladi, siz bunga rozi bo'lasiz.
O'rtachani hisoblashning qanday usullari mavjud?
Birinchi usul - yuqorida aytib o'tilganlarni hisoblash arifmetik o'rtacha, bu ularning soniga bo'lingan barcha qiymatlarning yig'indisi.
- x – o‘rtacha arifmetik;
- x n - o'ziga xos ma'no;
- n – qiymatlar soni.
- Namunadagi qiymatlarning normal taqsimlanishi bilan yaxshi ishlaydi;
- Hisoblash oson;
- Intuitiv ravishda aniq.
- Qadriyatlarni taqsimlash haqida haqiqiy tasavvurni bermaydi;
- Osonlik bilan chetga chiqadigan beqaror miqdor (bosh direktorda bo'lgani kabi).
Ikkinchi usul - hisoblash moda, ya'ni eng tez-tez uchraydigan qiymat.
- M 0 - rejim;
- x 0 – rejimni o‘z ichiga olgan intervalning pastki chegarasi;
- n – interval qiymati;
- f m - chastota (ma'lum bir qiymat ketma-ketlikda necha marta sodir bo'ladi);
- f m-1 – modaldan oldingi intervalning chastotasi;
- f m+1 – modaldan keyingi intervalning chastotasi.
- Jamoatchilik fikrini bilish uchun ajoyib;
- Raqamli bo'lmagan ma'lumotlar uchun yaxshi (mavsum ranglari, eng yaxshi sotuvchilar, reytinglar);
- Tushunish oson.
- Moda oddiygina mavjud bo'lmasligi mumkin (takrorlash yo'q);
- Bir nechta rejimlar bo'lishi mumkin (multimodal taqsimot).
Uchinchi usul - hisoblash medianlar, ya'ni tartiblangan namunani ikkiga bo'ladigan va ular orasida joylashgan qiymat. Va agar bunday qiymat bo'lmasa, unda namunaning yarmi chegaralari orasidagi arifmetik o'rtacha median sifatida qabul qilinadi.
- M e – median;
- x 0 – medianani o‘z ichiga olgan intervalning pastki chegarasi;
- h – interval qiymati;
- f i - chastota (ma'lum bir qiymat ketma-ketlikda necha marta sodir bo'ladi);
- S m-1 - medianadan oldingi intervallar chastotalari yig'indisi;
- f m - median oraliqdagi qiymatlar soni (uning chastotasi).
- Eng real va vakillik bahosini beradi;
- Emissiyalarga chidamli.
- Hisoblash qiyinroq, chunki namunani hisoblashdan oldin buyurtma qilish kerak.
Biz chaqirilgan o'rtacha qiymatni topishning asosiy usullarini ko'rib chiqdik markaziy tendentsiya choralari(aslida ko'proq bor, lekin bular eng mashhurlari).
Keling, misolimizga qaytaylik va maxsus Excel funktsiyalari yordamida o'rtacha uchun barcha uchta variantni hisoblaymiz:
- AVERAGE(1-raqam;[2-raqam];…) – oʻrtacha arifmetikni aniqlash funksiyasi;
- MODE.ONE(1-raqam;[2-raqam];...) - rejim funksiyasi (Excelning eski versiyalarida MODE(1-raqam;[2-raqam];...) ishlatilgan);
- MEDIAN(1-raqam;[2-raqam];...) – medianani topish funksiyasi.
Va biz olgan qadriyatlar:
Bunday holda, rejim va median kompaniyadagi o'rtacha ish haqini ancha yaxshi tavsiflaydi.
Ammo namunada misoldagi kabi 10 ta qiymat emas, balki millionlar bo'lsa, nima qilish kerak? Buni Excelda hisoblab bo'lmaydi, lekin ma'lumotlaringiz saqlanadigan ma'lumotlar bazasida muammo yo'q.
SQLda o'rtacha arifmetikni hisoblash
Bu erda hamma narsa juda oddiy, chunki SQL AVG ning maxsus agregat funktsiyasini ta'minlaydi.
Va undan foydalanish uchun quyidagi so'rovni yozish kifoya:
SQL da modani hisoblash
SQL-da rejimni topish uchun alohida funktsiya yo'q, lekin siz uni tez va oson yozishingiz mumkin. Buning uchun qaysi ish haqi tez-tez takrorlanishini aniqlashimiz va eng mashhurini tanlashimiz kerak.
Keling, so'rov yozamiz:
/* Agar to‘plam multimodal bo‘lsa, ya’ni to‘plam bir nechta rejimga ega bo‘lsa, TOP() ga WITH TIES qo‘shilishi kerak */ TOP(1) WITH TOP(1) WITH TIES maosh “Ishly mode” SIFIR KOMPANIYALARDAN GURUH BO‘YICHA ish haqi TARTIBI COUNT (*) ) DESC
SQL da medianani hisoblash
Tartibda bo'lgani kabi, SQL medianani hisoblash uchun o'rnatilgan funksiyaga ega emas, lekin u foizlarni hisoblash uchun umumiy funksiyaga ega, PERCENTILE_CONT .
Hammasi shunday ko'rinadi:
/* Bu holda, foiz nisbati 0,5 ga teng va mediana bo‘ladi */ GURUH ICHIDA TOP(1) PERCENTILE_CONT(0,5) NI TANGLASH (ish haqi bo‘yicha TARTIB) OVER() Xodimlardan “O‘rtacha ish haqi” sifatida
PERCENTILE_CONT funksiyasining ishlashi haqida Microsoft va Google BigQuery yordamida ko'proq o'qing.
Qaysi usuldan foydalanishim kerak?
Yuqoridagilardan mediana kelib chiqadi Eng yaxshi yo'l o'rtacha hisoblash uchun.
Lekin har doim ham shunday emas. Agar siz o'rtacha qiymat bilan ishlayotgan bo'lsangiz, multimodal taqsimotdan ehtiyot bo'ling:
Grafikda ikkita tepalik bilan bimodal taqsimot ko'rsatilgan. Bunday holat, masalan, saylovlarda ovoz berishda yuzaga kelishi mumkin.
Bunday holda, o'rtacha arifmetik va mediana o'rtada joylashgan qiymatlardir va ular aslida nima bo'layotgani haqida hech narsa demaydilar va ikkita rejim haqida xabar berish orqali bimodal taqsimot bilan shug'ullanayotganingizni darhol tan olish yaxshiroqdir.
Yaxshisi, namunani ikki guruhga bo'ling va har biri uchun statistik ma'lumotlarni to'plang.
Xulosa:
O'rtacha ko'rsatkichni topish usulini tanlashda siz chet elliklarning mavjudligini, shuningdek, namunadagi qiymatlarni taqsimlashning normalligini hisobga olishingiz kerak.
Markaziy tendentsiya o'lchovining yakuniy tanlovi har doim tahlilchiga bog'liq.
Ko'pgina hollarda ma'lumotlar markaziy nuqta atrofida to'planadi. Shunday qilib, har qanday ma'lumotlar to'plamini tavsiflash uchun o'rtacha qiymatni ko'rsatish kifoya. Keling, taqsimotning o'rtacha qiymatini baholash uchun ishlatiladigan uchta raqamli xususiyatni ketma-ket ko'rib chiqaylik: arifmetik o'rtacha, median va rejim.
O'rta arifmetik
O'rtacha arifmetik (ko'pincha oddiy o'rtacha deb ataladi) taqsimotning o'rtacha qiymatining eng keng tarqalgan bahosidir. Bu kuzatilgan barcha raqamli qiymatlarning yig'indisini ularning soniga bo'lish natijasidir. Raqamlardan tashkil topgan namuna uchun X 1, X 2, …, Xn, namunaviy o'rtacha (belgilangan ) teng = (X 1 + X 2 + … + Xn) / n, yoki
namuna o'rtacha qaerda, n- namuna hajmi, Xi – i-element namunalar.
Eslatmani yoki formatda yuklab oling, formatdagi misollar
O'rtacha qiymatni hisoblashni o'ylab ko'ring arifmetik qiymat 15 ta investitsiya fondining besh yillik o'rtacha yillik daromadi juda yuqori daraja xavf (1-rasm).
Guruch. 1. 15 ta o'ta xavfli investitsiya fondlarining o'rtacha yillik daromadi
O'rtacha namunaviy qiymat quyidagicha hisoblanadi:
Bu, ayniqsa, bank yoki kredit uyushmasi omonatchilarining xuddi shu vaqt ichida olgan 3-4% daromadiga nisbatan yaxshi daromad. Agar daromadlarni tartiblasak, sakkizta fond o'rtacha ko'rsatkichdan yuqori, ettitasi esa o'rtacha ko'rsatkichdan past daromadga ega ekanligini ko'rish oson. O'rtacha arifmetik muvozanat nuqtasi sifatida ishlaydi, shuning uchun past daromadli mablag'lar yuqori daromadli mablag'larni muvozanatlashtiradi. O'rtachani hisoblashda namunaning barcha elementlari ishtirok etadi. Tarqatishning o'rtacha qiymatini baholashning boshqa hech birida bunday xususiyat mavjud emas.
O'rtacha arifmetikni qachon hisoblash kerak? Arifmetik o'rtacha namunadagi barcha elementlarga bog'liq bo'lganligi sababli, ekstremal qiymatlarning mavjudligi natijaga sezilarli ta'sir qiladi. Bunday hollarda arifmetik o'rtacha raqamli ma'lumotlarning ma'nosini buzishi mumkin. Shuning uchun ekstremal qiymatlarni o'z ichiga olgan ma'lumotlar to'plamini tavsiflashda mediana yoki o'rtacha arifmetik va medianani ko'rsatish kerak. Misol uchun, agar biz RS Emerging Growth fondining daromadlarini namunadan olib tashlasak, 14 ta fondning o'rtacha daromadi deyarli 1% dan 5,19% gacha kamayadi.
Median
Median ifodalaydi o'rtacha qiymat tartiblangan raqamlar qatori. Agar massivda takrorlanuvchi raqamlar bo'lmasa, uning elementlarining yarmi medianadan kichik, yarmi esa katta bo'ladi. Agar namunada ekstremal qiymatlar bo'lsa, o'rtacha qiymatni baholash uchun arifmetik o'rtacha emas, balki medianadan foydalanish yaxshiroqdir. Namunaning medianasini hisoblash uchun avval uni buyurtma qilish kerak.
Bu formula noaniq. Uning natijasi raqamning juft yoki toq ekanligiga bog'liq n:
- Agar namunada toq sonli elementlar bo'lsa, mediana bo'ladi (n+1)/2- element.
- Agar namunada juft sonli elementlar bo'lsa, mediana namunaning ikkita o'rta elementi orasida joylashgan va bu ikki element bo'yicha hisoblangan o'rtacha arifmetik qiymatga teng bo'ladi.
15 ta o'ta xavfli investitsiya fondlarining daromadlarini o'z ichiga olgan namunaning medianasini hisoblash uchun siz avval xom ma'lumotlarni saralashingiz kerak (2-rasm). Keyin mediana namunaning o'rta elementi soniga qarama-qarshi bo'ladi; bizning misolimizda № 8. Excel mavjud maxsus funktsiya=MEDIAN(), tartibsiz massivlar bilan ham ishlaydi.
Guruch. 2. Median 15 ta fond
Shunday qilib, median 6,5 ga teng. Bu shuni anglatadiki, o'ta xavfli fondlarning yarmining daromadi 6,5 dan oshmaydi, ikkinchi yarmining daromadi esa undan oshadi. E'tibor bering, 6,5 medianasi 6,08 o'rtacha qiymatidan unchalik katta emas.
Agar biz tanlanmadan RS Emerging Growth fondining daromadini olib tashlasak, qolgan 14 ta fondning medianasi 6,2% gacha kamayadi, ya'ni o'rtacha arifmetik ko'rsatkich kabi sezilarli darajada emas (3-rasm).
Guruch. 3. Median 14 ta fond
Moda
Bu atama birinchi marta 1894 yilda Pearson tomonidan kiritilgan. Moda - bu namunada eng ko'p uchraydigan raqam (eng moda). Moda, masalan, haydovchilarning harakatni to'xtatish uchun svetofor signaliga odatiy munosabatini yaxshi tasvirlaydi. Modadan foydalanishning klassik namunasi - poyabzal o'lchamini yoki devor qog'ozi rangini tanlash. Agar taqsimot bir nechta rejimga ega bo'lsa, u multimodal yoki multimodal deyiladi (ikki yoki undan ortiq "cho'qqi"lari mavjud). Multimodal taqsimot beradi muhim ma'lumotlar o'rganilayotgan o'zgaruvchining tabiati haqida. Misol uchun, sotsiologik so'rovlarda, agar o'zgaruvchi biror narsaga nisbatan afzallik yoki munosabatni ifodalasa, multimodallik bir nechta farqlar mavjudligini anglatishi mumkin. turli fikrlar. Multimodallik, shuningdek, namunaning bir hil emasligi va kuzatuvlar ikki yoki undan ortiq "bir-biriga o'xshash" taqsimotlar tomonidan yaratilishi mumkinligining ko'rsatkichi bo'lib xizmat qiladi. O'rtacha arifmetikdan farqli o'laroq, chetdagi qiymatlar rejimga ta'sir qilmaydi. Doimiy taqsimlanadigan tasodifiy o'zgaruvchilar uchun, masalan, investitsiya fondlarining o'rtacha yillik daromadi, rejim ba'zan umuman mavjud emas (yoki mantiqiy emas). Ushbu ko'rsatkichlar juda boshqacha qiymatlarni olishi mumkinligi sababli, takroriy qiymatlar juda kam uchraydi.
Kvartillar
Kvartillar katta raqamli namunalarning xususiyatlarini tavsiflashda ma'lumotlarning taqsimlanishini baholash uchun eng ko'p ishlatiladigan ko'rsatkichlardir. Median tartiblangan massivni yarmiga bo'lsa (massiv elementlarining 50% medianadan kichik va 50% katta), kvartillar tartiblangan ma'lumotlar to'plamini to'rt qismga ajratadi. Q 1 , median va Q 3 qiymatlari mos ravishda 25, 50 va 75 foizdir. Birinchi kvartil Q 1 namunani ikki qismga ajratadigan raqam: elementlarning 25% dan kichik, 75% esa birinchi kvartildan katta.
Uchinchi kvartil Q 3 - bu namunani ikki qismga ajratadigan raqam: elementlarning 75% kichikroq va 25% - uchdan ortiq chorak
2007 yilgacha Excel versiyalarida kvartillarni hisoblash uchun =QUARTILE(massiv, qism) funksiyasidan foydalaning. Excel 2010 dan boshlab ikkita funktsiyadan foydalaniladi:
- =QUARTILE.ON(massiv,qism)
- =QUARTILE.EXC(massiv, qism)
Bu ikki funktsiya kam beradi turli ma'nolar(4-rasm). Misol uchun, 15 ta o'ta xavfli investitsiya fondlarining o'rtacha yillik daromadlarini o'z ichiga olgan namunaning kvartillarini hisoblashda QUARTILE.IN va QUARTILE.EX uchun mos ravishda Q 1 = 1,8 yoki –0,7. Aytgancha, ilgari ishlatilgan QUARTILE funktsiyasi mos keladi zamonaviy funktsiya QUARTILE.INCL. Yuqoridagi formulalar yordamida Excelda kvartillarni hisoblash uchun ma'lumotlar massiviga buyurtma berish shart emas.
Guruch. 4. Excelda kvartillarni hisoblash
Keling, yana bir bor ta'kidlaymiz. Excel bir o'zgaruvchanlik uchun kvartillarni hisoblashi mumkin diskret qator, tasodifiy o'zgaruvchining qiymatlarini o'z ichiga oladi. Chastotaga asoslangan taqsimot uchun kvartillarni hisoblash quyida bo'limda keltirilgan.
Geometrik o'rtacha
O'rtacha arifmetikdan farqli o'laroq, geometrik o'rtacha vaqt davomida o'zgaruvchining o'zgarish darajasini baholashga imkon beradi. Geometrik o'rtacha - ildiz n ishdan th daraja n miqdorlar (Excelda =SRGEOM funktsiyasidan foydalaniladi):
G= (X 1 * X 2 * … * X n) 1/n
Shunga o'xshash parametr - foyda stavkasining o'rtacha geometrik qiymati - formula bilan aniqlanadi:
G = [(1 + R 1) * (1 + R 2) * … * (1 + R n)] 1/n – 1,
Qayerda R i- uchun foyda stavkasi i th vaqt davri.
Misol uchun, dastlabki investitsiya 100 000 dollarni tashkil etdi, deylik, birinchi yil oxiriga kelib u 50 000 dollarga tushdi va ikkinchi yil oxiriga kelib bu investitsiyaning daromadlilik darajasi 100 000 dollarga qaytadi -yil davri 0 ga teng, chunki mablag'larning boshlang'ich va yakuniy summalari bir-biriga teng. Biroq, yillik foyda stavkalarining o'rtacha arifmetik qiymati = (–0,5 + 1) / 2 = 0,25 yoki 25% ni tashkil qiladi, chunki birinchi yildagi foyda darajasi R 1 = (50 000 - 100 000) / 100 000 = -0,5 va ichida ikkinchisi R 2 = (100 000 – 50 000) / 50 000 = 1. Shu bilan birga, ikki yil davomida foyda stavkasining geometrik o'rtacha qiymati teng: G = [(1-0,5) * (1+1 ) ] 1/2 – 1 = ½ – 1 = 1 – 1 = 0. Shunday qilib, geometrik o'rtacha arifmetikaga qaraganda ikki yil davomida investitsiya hajmining o'zgarishini (aniqrog'i, o'zgarishlarning yo'qligini) aniqroq aks ettiradi. anglatadi.
Qiziq faktlar. Birinchidan, geometrik o'rtacha har doim bir xil raqamlarning o'rtacha arifmetik qiymatidan kichik bo'ladi. Qabul qilingan barcha raqamlar bir-biriga teng bo'lgan holatlar bundan mustasno. Ikkinchidan, to'g'ri burchakli uchburchakning xususiyatlarini hisobga olgan holda, o'rtacha nima uchun geometrik deb ataladiganligini tushunishingiz mumkin. To'g'ri burchakli uchburchakning gipotenuzaga tushirilgan balandligi oyoqlarning gipotenuzaga proyeksiyalari orasidagi o'rtacha proporsionaldir va har bir oyog'i gipotenuzaga proyeksiyasi o'rtasidagi o'rtacha proporsionaldir (5-rasm). Bu ikkita (uzunlik) segmentlarning geometrik o'rtachasini qurishning geometrik usulini beradi: siz diametr sifatida ushbu ikki segmentning yig'indisi bo'yicha doira qurishingiz kerak, so'ngra ularning ulanish nuqtasidan aylana bilan kesishgan joygacha tiklangan balandlik tiklanadi. kerakli qiymatni beradi:
Guruch. 5. Geometrik o'rtachaning geometrik tabiati (Vikipediyadan olingan rasm)
Raqamli ma'lumotlarning ikkinchi muhim xususiyati ularning o'zgaruvchanlik, ma'lumotlarning tarqalish darajasini tavsiflovchi. Ikki xil namunalar ikkala vosita va farqlarda farq qilishi mumkin. Biroq, rasmda ko'rsatilganidek. 6 va 7, ikkita namuna bir xil o'zgarishlarga ega bo'lishi mumkin, ammo turli xil vositalar yoki bir xil vositalar va butunlay boshqacha o'zgarishlar bo'lishi mumkin. Rasmdagi B ko'pburchakka mos keladigan ma'lumotlar. 7, ko'pburchak A qurilgan ma'lumotlardan ancha kam o'zgaradi.
Guruch. 6. Bir xil tarqalish va turli o'rtacha qiymatlarga ega bo'lgan ikkita simmetrik qo'ng'iroq shaklidagi taqsimot
Guruch. 7. Ikki nosimmetrik qo'ng'iroq shaklidagi taqsimotlar bir xil o'rtacha qiymatlar va turli xil tarqalishlar
Ma'lumotlar o'zgarishining beshta taxmini mavjud:
- qamrovi,
- kvartal oralig'i,
- dispersiya,
- standart og'ish,
- o'zgaruvchanlik koeffitsienti.
Qo'llash doirasi
Diapazon - bu namunaning eng katta va eng kichik elementlari orasidagi farq:
Diapazon = XMaks - XMin
15 ta yuqori xavfli investitsiya fondlarining o'rtacha yillik daromadlarini o'z ichiga olgan namuna diapazoni tartiblangan massiv yordamida hisoblanishi mumkin (4-rasmga qarang): diapazon = 18,5 – (–6,1) = 24,6. Bu shuni anglatadiki, juda yuqori riskli fondlarning eng yuqori va eng past o'rtacha yillik daromadlari o'rtasidagi farq 24,6% ni tashkil qiladi.
Diapazon ma'lumotlarning umumiy tarqalishini o'lchaydi. Namuna diapazoni ma'lumotlarning umumiy tarqalishining juda oddiy bahosi bo'lsa-da, uning zaif tomoni shundaki, u ma'lumotlarning minimal va maksimal elementlar o'rtasida qanday taqsimlanishini aniq hisobga olmaydi. Ushbu ta'sir rasmda aniq ko'rinadi. 8, bu bir xil diapazonga ega bo'lgan namunalarni ko'rsatadi. B shkalasi shuni ko'rsatadiki, agar namunada kamida bitta ekstremal qiymat bo'lsa, namuna diapazoni ma'lumotlar tarqalishining juda noaniq bahosidir.
Guruch. 8. Uchta namunani bir xil diapazonga solishtirish; uchburchak o'lchovni qo'llab-quvvatlashni anglatadi va uning joylashuvi namunaviy o'rtachaga mos keladi
Kvartallar oralig'i
Kvartallararo yoki o'rtacha diapazon namunaning uchinchi va birinchi kvartillari o'rtasidagi farqdir:
Kvartallar oralig'i = Q 3 - Q 1
Bu qiymat elementlarning 50% tarqalishini taxmin qilish va ekstremal elementlarning ta'sirini hisobga olmaslik imkonini beradi. 15 ta yuqori xavfli investitsiya fondlarining o'rtacha yillik daromadlarini o'z ichiga olgan namunaning kvartillararo diapazoni rasmdagi ma'lumotlardan foydalangan holda hisoblanishi mumkin. 4 (masalan, QUARTILE.EXC funktsiyasi uchun): Kvartil oralig'i = 9,8 – (–0,7) = 10,5. 9,8 va -0,7 raqamlari bilan chegaralangan interval ko'pincha o'rta yarmi deb ataladi.
Shuni ta'kidlash kerakki, Q 1 va Q 3 ning qiymatlari va shuning uchun kvartillar oralig'i chegaralar mavjudligiga bog'liq emas, chunki ularni hisoblash Q 1 dan kichik yoki undan katta bo'lgan qiymatlarni hisobga olmaydi. Q 3 ga qaraganda. Jami miqdoriy xarakteristikalar o'rtacha, birinchi va uchinchi kvartillar va chekka ko'rsatkichlar ta'sir qilmaydigan kvartillararo diapazon kabi qiymatlar mustahkam o'lchovlar deb ataladi.
Garchi diapazon va kvartillararo diapazon mos ravishda namunaning umumiy va o'rtacha tarqalishini baholashni ta'minlasa ham, bu baholarning hech biri ma'lumotlarning qanday taqsimlanishini hisobga olmaydi. Variatsiya va standart og'ish bu kamchilikdan xoli. Ushbu ko'rsatkichlar ma'lumotlarning o'rtacha qiymat atrofida o'zgarishi darajasini baholash imkonini beradi. Namuna farqi har bir namuna elementi va o'rtacha tanlama o'rtasidagi farqlarning kvadratlaridan hisoblangan arifmetik o'rtachaning taxminiy ko'rsatkichidir. X 1, X 2, ... X n namunasi uchun tanlama dispersiyasi (S 2 belgisi bilan belgilanadi) quyidagi formula bilan aniqlanadi:
Umuman olganda, tanlama dispersiyasi - bu tanlama elementlari va o'rtacha tanlama o'rtasidagi farqlarning kvadratlari yig'indisi, tanlama hajmi minus birga teng qiymatga bo'linadi:
Qayerda - o'rtacha arifmetik, n- namuna hajmi, X i - i tanlash elementi X. 2007-versiyadan oldin Excelda =VARIN() funksiyasi 2010-versiyadan boshlab namunaviy dispersiyani hisoblash uchun ishlatilgan, =VARIAN() funksiyasi;
Ma'lumotlarning tarqalishining eng amaliy va keng tarqalgan bahosi namunaviy standart og'ish. Bu ko'rsatkich S belgisi bilan belgilanadi va ga teng kvadrat ildiz namunaviy farqdan:
2007-versiyadan oldingi Excelda 2010-versiyadan boshlab standart namuna ogʻishini hisoblash uchun =STDEV.() funksiyasi ishlatilgan, =STDEV.V() funksiyasi qoʻllaniladi. Ushbu funktsiyalarni hisoblash uchun ma'lumotlar massivi tartibsiz bo'lishi mumkin.
Na namunaviy dispersiya, na namunaviy standart og'ish salbiy bo'lishi mumkin emas. S 2 va S ko'rsatkichlari nolga teng bo'lishi mumkin bo'lgan yagona holat, agar namunaning barcha elementlari bir-biriga teng bo'lsa. Bu mutlaqo mumkin bo'lmagan holatda diapazon va kvartil oralig'i ham nolga teng.
Raqamli ma'lumotlar tabiatan o'zgaruvchan. Har qanday o'zgaruvchi ko'p narsani olishi mumkin turli ma'nolar. Masalan, turli investitsiya fondlari har xil daromad va zarar ko'rsatkichlariga ega. Raqamli ma'lumotlarning o'zgaruvchanligi tufayli nafaqat umumlashtirilgan xarakterga ega bo'lgan o'rtacha qiymatlarni baholashni, balki ma'lumotlarning tarqalishini tavsiflovchi dispersiyani baholashni ham o'rganish juda muhimdir.
Dispersiya va standart og'ish ma'lumotlarning o'rtacha qiymat atrofida tarqalishini baholashga imkon beradi, boshqacha qilib aytganda, qancha namuna elementlari o'rtacha qiymatdan kam va qancha katta ekanligini aniqlang. Dispersiya ba'zi qimmatli matematik xususiyatlarga ega. Biroq, uning qiymati o'lchov birligining kvadrati - kvadrat foiz, kvadrat dollar, kvadrat dyuym va boshqalar. Shuning uchun, dispersiyaning tabiiy o'lchovi standart og'ish bo'lib, u daromad foizi, dollar yoki dyuymning umumiy birliklarida ifodalanadi.
Standart og'ish sizga o'rtacha qiymat atrofida namuna elementlarining o'zgarishi miqdorini baholashga imkon beradi. Deyarli barcha holatlarda kuzatilgan qiymatlarning aksariyati o'rtacha qiymatdan ortiqcha yoki minus bir standart og'ish oralig'ida joylashgan. Binobarin, namunaviy elementlarning o'rtacha arifmetik qiymatini va standart tanlama og'ishini bilib, ma'lumotlarning asosiy qismi tegishli bo'lgan intervalni aniqlash mumkin.
15 ta o'ta xavfli investitsiya fondlari uchun daromadlarning standart og'ishi 6,6 ni tashkil qiladi (9-rasm). Bu shuni anglatadiki, mablag'larning asosiy qismining rentabelligi o'rtacha qiymatdan 6,6% dan ko'p bo'lmagan farq qiladi (ya'ni, u 2000-2000 yillar oralig'ida o'zgarib turadi). – S= 6,2 – 6,6 = –0,4 gacha +S= 12.8). Darhaqiqat, besh yillik o'rtacha yillik daromadning 53,3 foizi (15 tadan 8 tasi) ushbu diapazonda.
Guruch. 9. Namuna standart og'ishi
E'tibor bering, kvadrat farqlarni yig'ishda o'rtacha qiymatdan uzoqroq bo'lgan namunaviy elementlar o'rtachaga yaqinroq bo'lgan narsalarga qaraganda og'irroq tortiladi. Bu xususiyat taqsimotning o'rtacha qiymatini baholash uchun ko'pincha arifmetik o'rtachadan foydalanishning asosiy sababidir.
O'zgaruvchanlik koeffitsienti
Tarqalishning oldingi taxminlaridan farqli o'laroq, o'zgarish koeffitsienti nisbiy bahodir. U har doim dastlabki ma'lumotlar birliklarida emas, balki foiz sifatida o'lchanadi. CV belgilari bilan belgilangan o'zgaruvchanlik koeffitsienti ma'lumotlarning o'rtacha atrofida tarqalishini o'lchaydi. Variatsiya koeffitsienti standart og'ishning o'rtacha arifmetik qiymatga bo'linishi va 100% ga ko'paytirilishiga teng:
Qayerda S- namunaviy standart og'ish, - o'rtacha namuna.
Variatsiya koeffitsienti elementlari turli o'lchov birliklarida ifodalangan ikkita namunani solishtirish imkonini beradi. Masalan, pochta jo‘natmalari xizmati menejeri yuk mashinalari parkini yangilamoqchi. Paketlarni yuklashda ikkita cheklovni hisobga olish kerak: har bir paketning vazni (funtlarda) va hajmi (kub futda). Aytaylik, 200 ta sumkadan iborat namunada o'rtacha og'irlik 26,0 funt, og'irlikning standart og'ishi 3,9 funt, o'rtacha sumka hajmi 8,8 kub fut va hajmning standart og'ishi 2,2 kub fut. Paketlarning og'irligi va hajmidagi o'zgarishlarni qanday solishtirish mumkin?
Og'irlik va hajm uchun o'lchov birliklari bir-biridan farq qilganligi sababli, menejer bu miqdorlarning nisbiy tarqalishini solishtirishi kerak. Og'irlikning o'zgarish koeffitsienti CV W = 3,9 / 26,0 * 100% = 15%, hajmning o'zgarishi koeffitsienti esa CV V = 2,2 / 8,8 * 100% = 25%. Shunday qilib, paketlar hajmining nisbiy o'zgarishi ularning og'irligining nisbiy o'zgarishiga qaraganda ancha katta.
Tarqatish shakli
Namunaning uchinchi muhim xususiyati uning tarqalish shaklidir. Ushbu taqsimot nosimmetrik yoki assimetrik bo'lishi mumkin. Tarqatish shaklini tavsiflash uchun uning o'rtacha va medianasini hisoblash kerak. Agar ikkalasi bir xil bo'lsa, o'zgaruvchi nosimmetrik taqsimlangan deb hisoblanadi. Agar o'zgaruvchining o'rtacha qiymati medianadan katta bo'lsa, uning taqsimoti ijobiy qiyshiqlikka ega (10-rasm). Agar median o'rtacha qiymatdan katta bo'lsa, o'zgaruvchining taqsimlanishi manfiy qiyshaygan bo'ladi. Ijobiy egrilik o'rtacha noodatiy darajada oshganda paydo bo'ladi yuqori qiymatlar. Salbiy qiyshiqlik o'rtacha juda kichik qiymatlarga tushganda paydo bo'ladi. O'zgaruvchi nosimmetrik tarzda taqsimlanadi, agar u har ikki yo'nalishda ham ekstremal qiymatlarni qabul qilmasa, o'zgaruvchining katta va kichik qiymatlari bir-birini bekor qiladi.
Guruch. 10. Tarqatishning uch turi
A shkalasida ko'rsatilgan ma'lumotlar manfiy qiyshaygan. Bu rasmda g'ayrioddiy kichik qiymatlar mavjudligi sababli uzun quyruq va chapga egilish ko'rsatilgan. Bu juda kichik qiymatlar o'rtacha qiymatni chapga siljitadi va uni medianadan kamroq qiladi. B shkalasida ko'rsatilgan ma'lumotlar nosimmetrik tarzda taqsimlanadi. Tarqatishning chap va o'ng yarmi o'zlarining oyna tasvirlari. Katta va kichik qiymatlar bir-birini muvozanatlashtiradi va o'rtacha va median tengdir. B shkalasida ko'rsatilgan ma'lumotlar musbat chayqalgan. Bu rasmda g'ayrioddiy yuqori qiymatlar mavjudligi sababli uzun quyruq va o'ngga egilish ko'rsatilgan. Bu juda katta qiymatlar o'rtachani o'ngga siljitadi va uni medianadan kattaroq qiladi.
Excelda tavsiflovchi statistikani plagin yordamida olish mumkin Tahlil to'plami. Menyudan o'ting Ma'lumotlar → Ma'lumotlarni tahlil qilish, ochilgan oynada chiziqni tanlang Ta'riflovchi statistika va bosing Kelishdikmi. Oynada Ta'riflovchi statistika ko'rsatishga ishonch hosil qiling Kirish oralig'i(11-rasm). Agar siz asl ma'lumotlar bilan bir xil varaqda tavsiflovchi statistikani ko'rishni istasangiz, radio tugmachasini tanlang Chiqish oralig'i va ko'rsatilgan statistik ma'lumotlarning yuqori chap burchagi joylashtirilishi kerak bo'lgan katakchani belgilang (bizning misolimizda $C$1). Agar siz ma'lumotlarni yangi varaq yoki yangi ish kitobiga chiqarmoqchi bo'lsangiz, faqat tegishli radio tugmani tanlashingiz kerak. yonidagi katakchani belgilang Xulosa statistikasi. Agar xohlasangiz, siz ham tanlashingiz mumkin Qiyinlik darajasi,k eng kichik vaeng katta.
Agar depozit bo'lsa Ma'lumotlar hududda Tahlil siz belgini ko'rmaysiz Ma'lumotlarni tahlil qilish, avval qo'shimchani o'rnatishingiz kerak Tahlil to'plami(masalan, qarang).
Guruch. 11. Qo'shimchadan foydalangan holda hisoblangan, xavf darajasi juda yuqori bo'lgan mablag'larning besh yillik o'rtacha yillik daromadining tavsifiy statistikasi. Ma'lumotlarni tahlil qilish Excel dasturlari
Excel yuqorida muhokama qilingan bir qator statistik ma'lumotlarni hisoblab chiqadi: o'rtacha, median, rejim, standart og'ish, dispersiya, diapazon ( interval), minimal, maksimal va namuna hajmi ( tekshirish). Excel shuningdek, biz uchun yangi bo'lgan ba'zi statistik ma'lumotlarni ham hisoblab chiqadi: standart xato, kurtoz va egrilik. Standart xato standart og'ishning namunaviy o'lchamning kvadrat ildiziga bo'linishiga teng. Asimmetriya taqsimotning simmetriyasidan chetlanishni tavsiflaydi va namunaviy elementlar va o'rtacha qiymat orasidagi farqlar kubiga bog'liq bo'lgan funktsiyadir. Kurtoz taqsimotning dumlari bilan solishtirganda o'rtacha atrofidagi ma'lumotlarning nisbiy kontsentratsiyasining o'lchovidir va namunaviy elementlar va to'rtinchi darajaga ko'tarilgan o'rtacha o'rtasidagi farqlarga bog'liq.
Aholi uchun tavsiflovchi statistikani hisoblash
Yuqorida muhokama qilingan taqsimotning o'rtacha, tarqalishi va shakli namunadan aniqlangan xususiyatlardir. Biroq, agar ma'lumotlar to'plami butun aholining raqamli o'lchovlarini o'z ichiga olsa, uning parametrlarini hisoblash mumkin. Bunday parametrlarga populyatsiyaning kutilgan qiymati, dispersiyasi va standart og'ishi kiradi.
Kutilgan qiymat populyatsiyadagi barcha qiymatlar yig'indisining aholi soniga bo'linishiga teng:
Qayerda µ - kutilgan qiymat; Xi- i o'zgaruvchini kuzatish X, N- umumiy aholi soni. Excelda matematik taxminni hisoblash uchun o'rtacha arifmetik funktsiya bilan bir xil funktsiyadan foydalaniladi: =AVERAGE().
Aholi tafovuti umumiy populyatsiya va mat elementlari orasidagi farqlar kvadratlari yig'indisiga teng. kutish aholi soniga bo'linadi:
Qayerda s 2- umumiy aholining tarqalishi. 2007-versiyasidan oldingi Excelda =VARP() funksiyasi 2010 =VARP() versiyasidan boshlab populyatsiyaning dispersiyasini hisoblash uchun ishlatiladi.
Aholining standart og'ishi populyatsiya dispersiyasining kvadrat ildiziga teng:
2007-versiyadan oldingi Excelda =STDEV() funksiyasi 2010 =STDEV.Y() versiyasidan boshlab populyatsiyaning standart ogʻishini hisoblash uchun ishlatiladi. E'tibor bering, populyatsiya dispersiyasi va standart og'ish formulalari namunaviy dispersiya va standart og'ishni hisoblash formulalaridan farq qiladi. Namuna statistikasini hisoblashda S 2 Va S kasrning maxraji n – 1, va parametrlarni hisoblashda s 2 Va σ - umumiy aholi soni N.
Asosiy qoida
Aksariyat hollarda kuzatuvlarning katta qismi mediana atrofida to'planib, klaster hosil qiladi. Ijobiy egrilikka ega bo'lgan ma'lumotlar to'plamlarida bu klaster matematik kutilmaning chap tomonida (ya'ni, pastda) va manfiy qiyshiq to'plamlarda bu klaster matematik kutishning o'ng tomonida (ya'ni, yuqorida) joylashgan. Simmetrik ma'lumotlar uchun o'rtacha va mediana bir xil bo'lib, kuzatishlar o'rtacha atrofida to'planib, qo'ng'iroq shaklidagi taqsimotni hosil qiladi. Agar taqsimot aniq egri bo'lmasa va ma'lumotlar og'irlik markazi atrofida to'plangan bo'lsa, o'zgaruvchanlikni baholashda foydalanish mumkin bo'lgan asosiy qoida shundan iboratki, agar ma'lumotlar qo'ng'iroq shaklidagi taqsimotga ega bo'lsa, kuzatuvlarning taxminan 68% ni tashkil qiladi. Kutilgan qiymatning bir standart og'ishi kuzatuvlarning taxminan 95% matematik kutishdan ikki standart og'ishdan ko'p bo'lmagan masofada va 99,7% kuzatuvlar matematik kutishdan ko'pi bilan uchta standart og'ish masofasida.
Shunday qilib, kutilgan qiymat atrofidagi o'rtacha o'zgarishlarning taxmini bo'lgan standart og'ish kuzatuvlar qanday taqsimlanganligini tushunishga va chet elliklarni aniqlashga yordam beradi. Asosiy qoida shundan iboratki, qo'ng'iroq shaklidagi taqsimotlar uchun yigirmatadan faqat bitta qiymat matematik taxmindan ikkitadan ortiq standart og'ish bilan farq qiladi. Shuning uchun qiymatlar intervaldan tashqarida m ± 2s, chetga chiqadigan ko'rsatkichlar deb hisoblash mumkin. Bundan tashqari, 1000 ta kuzatishdan faqat uchtasi matematik kutilganidan uchtadan ortiq standart og'ish bilan farq qiladi. Shunday qilib, qiymatlar intervaldan tashqarida m ± 3s deyarli har doim chetga chiqadi. Juda qiyshaygan yoki qo'ng'iroq shaklida bo'lmagan taqsimotlar uchun Bienamay-Chebyshev qoidasini qo'llash mumkin.
Yuz yildan ko'proq vaqt oldin matematiklar Bienamay va Chebyshev standart og'ishning foydali xususiyatini mustaqil ravishda kashf qilishdi. Ular har qanday ma'lumotlar to'plami uchun, taqsimlanish shaklidan qat'i nazar, masofada joylashgan kuzatuvlar foizini aniqladilar. k matematik kutishdan standart og'ishlar, kam emas (1 – 1/ k 2)*100%.
Masalan, agar k= 2, Bienname-Chebishev qoidasi kamida (1 - (1/2) 2) x 100% = 75% kuzatishlar oralig'ida yotishi kerakligini aytadi. m ± 2s. Bu qoida hamma uchun amal qiladi k, birdan ortiq. Bienamay-Chebishev qoidasi juda umumiy va har qanday turdagi taqsimotlar uchun amal qiladi. U kuzatishlarning minimal sonini belgilaydi, undan matematik kutishgacha bo'lgan masofa belgilangan qiymatdan oshmaydi. Biroq, agar taqsimot qo'ng'iroq shaklida bo'lsa, asosiy qoida kutilgan qiymat atrofida ma'lumotlar kontsentratsiyasini aniqroq baholaydi.
Chastotaga asoslangan taqsimot uchun tavsiflovchi statistikani hisoblash
Agar dastlabki ma'lumotlar mavjud bo'lmasa, chastota taqsimoti yagona ma'lumot manbai bo'ladi. Bunday vaziyatlarda taqsimotning miqdoriy ko'rsatkichlarining taxminiy qiymatlarini hisoblash mumkin, masalan, o'rtacha arifmetik, standart og'ish va kvartillar.
Agar namunaviy ma'lumotlar chastota taqsimoti sifatida taqdim etilsa, har bir sinf ichidagi barcha qiymatlar sinfning o'rta nuqtasida to'plangan deb hisoblab, o'rtacha arifmetik qiymatni hisoblash mumkin:
Qayerda - o'rtacha namunaviy, n- kuzatishlar soni yoki namuna hajmi; Bilan- chastota taqsimotidagi sinflar soni, m j- o'rta nuqta j th sinf, fj- mos keladigan chastota j- sinf.
Chastotani taqsimlashdan standart og'ishni hisoblash uchun, shuningdek, har bir sinf ichidagi barcha qiymatlar sinfning o'rta nuqtasida to'plangan deb taxmin qilinadi.
Seriyaning kvartillari chastotalar asosida qanday aniqlanishini tushunish uchun 2013 yil uchun Rossiya aholisining aholi jon boshiga o'rtacha pul daromadlari bo'yicha taqsimlanishi bo'yicha ma'lumotlarga asoslangan quyi kvartilni hisoblashni ko'rib chiqing (12-rasm).
Guruch. 12. Oyiga o'rtacha jon boshiga pul daromadlari bo'lgan Rossiya aholisining ulushi, rubl
Intervalli o'zgarishlar qatorining birinchi kvartilini hisoblash uchun siz quyidagi formuladan foydalanishingiz mumkin:
bu erda Q1 - birinchi kvartilning qiymati, xQ1 - birinchi kvartilni o'z ichiga olgan oraliqning pastki chegarasi (oraliq birinchi navbatda 25% dan oshadigan to'plangan chastota bilan belgilanadi); i – interval qiymati; Sf – butun namunadagi chastotalar yig‘indisi; ehtimol har doim 100% ga teng; SQ1–1 - pastki kvartilni o'z ichiga olgan intervaldan oldingi intervalning to'plangan chastotasi; fQ1 - pastki kvartilni o'z ichiga olgan intervalning chastotasi. Uchinchi chorak formulasi hamma joylarda Q1 o'rniga Q3 dan foydalanishingiz va ¼ o'rniga ¾ ni almashtirishingiz kerakligi bilan farq qiladi.
Bizning misolimizda (12-rasm) pastki kvartil 7000,1 - 10 000 oralig'ida bo'lib, uning to'plangan chastotasi 26,4% ni tashkil qiladi. Ushbu intervalning pastki chegarasi 7000 rubl, intervalning qiymati 3000 rubl, pastki kvartilni o'z ichiga olgan intervaldan oldingi intervalning to'plangan chastotasi 13,4%, pastki kvartilni o'z ichiga olgan intervalning chastotasi 13,0%. Shunday qilib: Q1 = 7000 + 3000 * (¼ * 100 - 13,4) / 13 = 9677 rub.
Ta'riflovchi statistika bilan bog'liq tuzoqlar
Ushbu postda biz ma'lumotlar to'plamini uning o'rtacha, tarqalishi va tarqalishini baholaydigan turli statistik ma'lumotlardan foydalangan holda qanday tasvirlashni ko'rib chiqdik. Keyingi qadam ma'lumotlarni tahlil qilish va sharhlashdir. Hozirgacha biz ma'lumotlarning ob'ektiv xususiyatlarini o'rganib chiqdik, endi esa ularning sub'ektiv talqiniga o'tamiz. Tadqiqotchi ikkita xatoga duch keladi: noto'g'ri tanlangan tahlil mavzusi va natijalarni noto'g'ri talqin qilish.
15 ta o'ta xavfli investitsiya fondlarining daromadlarini tahlil qilish juda xolis. U butunlay ob'ektiv xulosalarga olib keldi: barcha investitsiya fondlari turli xil daromadlarga ega, fond daromadlarining tarqalishi -6,1 dan 18,5 gacha, o'rtacha daromad esa 6,08 ni tashkil qiladi. Ma'lumotlarni tahlil qilishning ob'ektivligi ta'minlanadi to'g'ri tanlov taqsimotning umumiy miqdoriy ko'rsatkichlari. Ma'lumotlarning o'rtacha va tarqalishini baholashning bir necha usullari ko'rib chiqildi va ularning afzalliklari va kamchiliklari ko'rsatilgan. Ob'ektiv va xolis tahlil qilish uchun to'g'ri statistikani qanday tanlash mumkin? Agar ma'lumotlar taqsimoti biroz chayqalgan bo'lsa, o'rtacha emas, balki medianani tanlash kerakmi? Qaysi ko'rsatkich ma'lumotlarning tarqalishini aniqroq tavsiflaydi: standart og'ish yoki diapazon? Taqsimotning ijobiy egriligini ta'kidlashimiz kerakmi?
Boshqa tomondan, ma'lumotlarni sharhlash sub'ektiv jarayondir. Turli odamlar bir xil natijalarni sharhlashda turli xulosalarga kelish. Har kimning o'z nuqtai nazari bor. Kimdir yuqori darajadagi xavfga ega bo'lgan 15 ta fondning yillik o'rtacha yillik daromadini yaxshi deb hisoblaydi va olingan daromaddan juda mamnun. Boshqalar bu mablag'lar juda past daromadga ega deb o'ylashlari mumkin. Shunday qilib, sub'ektivlik halollik, betaraflik va xulosalarning ravshanligi bilan qoplanishi kerak.
Axloqiy masalalar
Ma'lumotlarni tahlil qilish axloqiy masalalar bilan uzviy bog'liqdir. Siz gazetalar, radio, televidenie va Internet orqali tarqatilayotgan ma'lumotlarga tanqidiy munosabatda bo'lishingiz kerak. Vaqt o'tishi bilan siz nafaqat natijalarga, balki tadqiqotning maqsadlari, mavzusi va ob'ektivligiga ham shubha bilan qarashni o'rganasiz. Mashhur britaniyalik siyosatchi Benjamin Disraeli shunday degan edi: “Yolg'onning uch turi bor: yolg'on, ochiq yolg'on va statistika."
Izohda ta'kidlanganidek, hisobotda taqdim etilishi kerak bo'lgan natijalarni tanlashda axloqiy muammolar paydo bo'ladi. Ham ijobiy, ham salbiy natijalar e'lon qilinishi kerak. Bundan tashqari, hisobot yoki yozma hisobot tuzishda natijalar halol, xolis va xolis taqdim etilishi kerak. Muvaffaqiyatsiz va insofsiz taqdimotlar o'rtasida farq qilish kerak. Buning uchun ma'ruzachining niyati nima bo'lganini aniqlash kerak. Ba'zan ma'ruzachi muhim ma'lumotni o'z bilmasligidan tashlab qo'yadi, ba'zan esa bu ataylab (masalan, kerakli natijani olish uchun aniq burilmagan ma'lumotlarning o'rtacha arifmetik qiymatidan foydalansa). Tadqiqotchining nuqtai nazariga mos kelmaydigan natijalarni bostirish ham insofsizlikdir.
Levin va boshq. “Menejerlar uchun statistika” kitobining materiallaridan foydalaniladi. – M.: Uilyams, 2004. – b. 178–209
QUARTILE funksiyasi Excelning oldingi versiyalari bilan mosligi uchun saqlanib qolgan.
