Paralelogramma tushunchasi
Ta'rif 1
Paralelogramma qarama-qarshi tomonlari bir-biriga parallel bo'lgan to'rtburchakdir (1-rasm).
1-rasm.
Paralelogramma ikkita asosiy xususiyatga ega. Keling, ularni dalilsiz ko'rib chiqaylik.
Mulk 1: Paralelogrammaning qarama-qarshi tomonlari va burchaklari mos ravishda tengdir.
Mulk 2: Paralelogrammada chizilgan diagonallar kesishish nuqtasi bilan ikkiga bo'linadi.
Paralelogramma belgilari
Keling, parallelogrammning uchta xarakteristikasini ko'rib chiqamiz va ularni teorema shaklida taqdim etamiz.
Teorema 1
Agar to'rtburchakning ikki tomoni bir-biriga teng va parallel bo'lsa, bu to'rtburchak parallelogramm bo'ladi.
Isbot.
Bizga to'rtburchak $ABCD$ berilsin. Qaysi $AB||CD$ va $AB=CD$ unda $AC$ diagonali chizamiz (2-rasm).
2-rasm.
$AB$ va $CD$ parallel chiziqlarini va ularning $AC$ sekantlarini ko'rib chiqing. Keyin
\[\ burchakli CAB=\DCA burchagi\]
o'zaro kesishgan burchaklar kabi.
Uchburchaklar tengligining $I$ mezoniga ko'ra,
chunki $AC$ ularning umumiy tomoni, sharti boʻyicha esa $AB=CD$. vositalari
\[\DAC burchagi=\ACB burchagi\]
$AD$ va $CB$ chiziqlarini va ularning sekant $AC$ ni yotqizilgan burchaklar bo'ylab oxirgi tenglik bo'yicha ko'rib chiqing, biz $AD||CB$ni olamiz.) Shunday qilib, $1$ ta'rifi bo'yicha bu to'rtburchak parallelogrammdir.
Teorema isbotlangan.
Teorema 2
Agar to'rtburchakning qarama-qarshi tomonlari bir-biriga teng bo'lsa, u parallelogrammdir.
Isbot.
Bizga $ABCD$ to'rtburchak berilsin. Bunda $AD=BC$ va $AB=CD$. Unga diagonali $AC$ chizamiz (3-rasm).
3-rasm.
$AD=BC$, $AB=CD$ va $AC$ umumiy tomon boʻlgani uchun uchburchaklar tengligi uchun $III$ mezoniga koʻra,
\[\uchburchak DAC=\uchburchak ACB\]
\[\DAC burchagi=\ACB burchagi\]
Keling, $AD$ va $CB$ chiziqlarini va ularning sekant $AC$larini yotgan burchaklar boʻyicha oxirgi tenglik boʻyicha koʻrib chiqamiz. Shuning uchun, $1$ ta'rifiga ko'ra, bu to'rtburchak parallelogrammdir.
\[\angle DCA=\angle CAB\]
Keling, $AB$ va $CD$ chiziqlarini va ularning $AC$ sekantlarini yotgan burchaklar boʻyicha oxirgi tenglik boʻyicha koʻrib chiqamiz. Shuning uchun, 1-ta'rifga ko'ra, bu to'rtburchak parallelogrammdir.
Teorema isbotlangan.
Teorema 3
Agar to'rtburchakda chizilgan diagonallar kesishish nuqtasiga ko'ra ikkita teng qismga bo'lingan bo'lsa, u holda bu to'rtburchak parallelogramm bo'ladi.
Isbot.
Bizga $ABCD$ to'rtburchak berilsin. Unda $AC$ va $BD$ diagonallarini chizamiz. Ular $O$ nuqtada kesishsin (4-rasm).
4-rasm.
Shart bo'yicha $BO=OD,\ AO=OC$ va $\angle COB=\burchak DOA$ burchaklari vertikal bo'lgani uchun, uchburchaklar tengligi uchun $I$ mezoniga ko'ra,
\[\triangle BOC=\triangle AOD\]
\[\angle DBC=\burchak BDA\]
$BC$ va $AD$ chiziqlarini va ularning sekant $BD$ ni yotqizilgan burchaklar bo'yicha oxirgi tenglik bilan ko'rib chiqing, biz $BC||AD$ ni olamiz; Shuningdek, $BC=AD$. Demak, $1$ teoremasi bo'yicha bu to'rtburchak parallelogrammdir.
Paralelogramma - qarama-qarshi tomonlari parallel bo'lgan to'rtburchak, ya'ni. parallel chiziqlar ustida yoting
Paralelogrammaning xossalari: 
22-teorema.
Paralelogrammaning qarama-qarshi tomonlari teng.
Isbot. ABCD parallelogrammasida AC diagonali chizamiz. ACD va ACB uchburchaklari teng, chunki umumiy tomon AC va ikkita juft bor teng burchaklar. unga qo'shni: ∠ CAB=∠ ACD, ∠ ACB=∠ DAC (AD va BC parallel chiziqlari bilan ko'ndalang burchaklar sifatida). Bu teng uchburchaklarning mos tomonlari sifatida AB = CD va BC = AD ekanligini anglatadi. Ushbu uchburchaklarning tengligidan uchburchaklarning mos burchaklari teng ekanligi ham kelib chiqadi:
23-teorema.
Paralelogrammaning qarama-qarshi burchaklari teng: ∠ A=∠ C va ∠ B=∠ D.
Birinchi juftlikning tengligi ABD va CBD uchburchaklarining tengligidan kelib chiqadi, ikkinchisi esa - ABC va ACD.
24-teorema.
Paralelogrammaning qo'shni burchaklari, ya'ni. bir tomonga ulashgan burchaklar 180 gradusgacha qo'shiladi.
Buning sababi shundaki, ular ichki bir tomonlama burchaklardir.
25-teorema.
Paralelogrammaning diagonallari kesishish nuqtasida bir-birini ikkiga bo'ladi.
Isbot. BOC va AOD uchburchaklarini ko'rib chiqing. Birinchi xususiyatga ko'ra AD=BC ∠ OAD=∠ OCB va ∠ ODA=∠ OBC AD va BC parallel chiziqlari uchun ko'ndalang yotadi. Shuning uchun BOC va AOD uchburchaklari yon va yon burchaklari bo'yicha tengdir. Bu BO=OD va AO=OS ni bildiradi, masalan, teng uchburchaklarning mos tomonlari va hokazo.
Paralelogramma belgilari
26-teorema.
Agar to'rtburchakning qarama-qarshi tomonlari juft bo'lib teng bo'lsa, u parallelogrammdir.
Isbot. ABCD to'rtburchakning mos ravishda AD va BC, AB va CD tomonlari teng bo'lsin (2-rasm). AC diagonali chizamiz. ABC va ACD uchburchaklari uch tomondan teng. U holda BAC va DCA burchaklari teng va shuning uchun AB CD ga parallel. BC va AD tomonlarning parallelligi SAPR va ACB burchaklarining tengligidan kelib chiqadi.
27-teorema.
Agar to'rtburchakning qarama-qarshi burchaklari juftlikda teng bo'lsa, u parallelogrammdir.
∠ A=∠ C va ∠ B=∠ D bo'lsin. Chunki ∠ A+∠ B+∠ C+∠ D=360 o, keyin ∠ A+∠ B=180 o va AD va BC tomonlari parallel (toʻgʻri chiziqlar parallelligi asosida). Shuningdek, AB va CD tomonlarning parallelligini isbotlaymiz va ta'rifi bo'yicha ABCD parallelogramm degan xulosaga kelamiz.
28-teorema.
Agar to'rtburchakning qo'shni burchaklari, ya'ni. Bir tomonga ulashgan burchaklar 180 gradusgacha qo'shiladi, keyin u parallelogrammdir.
Agar ichki bir tomonlama burchaklar 180 gradusgacha qo'shilsa, to'g'ri chiziqlar parallel bo'ladi. Demak, AB CD ga, BC esa AD ga parallel. To'rtburchak ta'rifiga ko'ra parallelogramm bo'lib chiqadi.
29-teorema.
Agar to'rtburchakning diagonallari kesishish nuqtasida bir-birini ikkiga bo'lsa, to'rtburchak parallelogramm bo'ladi.
Isbot. Agar AO = OC, BO = OD bo'lsa, u holda AOD va BOC uchburchaklari teng bo'ladi, chunki O uchida teng (vertikal) burchaklar mavjud bo'lib, ular teng tomonlar juftlari orasiga o'ralgan. Uchburchaklar tengligidan AD va BC teng degan xulosaga kelamiz. AB va CD tomonlari ham teng bo'lib, to'rtburchak 1-mezonga muvofiq parallelogramm bo'lib chiqadi.
30-teorema.
Agar to'rtburchakning teng, parallel tomonlari bo'lsa, u parallelogrammdir.
ABCD to'rtburchakning AB va CD tomonlari parallel va teng bo'lsin. AC va BD diagonallarini chizamiz. Bu chiziqlar parallelligidan kelib chiqadiki, ABO = CDO va BAO = OCD ko'ndalang burchaklari tengdir. ABO va CDO uchburchaklari yon va yon burchaklarida teng. Shuning uchun AO=OS, VO=OD, ya'ni. Diagonallar kesishish nuqtasi bilan yarmiga bo'linadi va to'rtburchak 4-mezonga muvofiq parallelogramm bo'lib chiqadi.
Geometriyada parallelogrammlarning alohida holatlari ko'rib chiqiladi.
Ushbu mavzu bo'yicha muammolarni hal qilishda, bundan mustasno asosiy xususiyatlar parallelogramma va mos keladigan formulalar, siz quyidagilarni eslab qolishingiz va qo'llashingiz mumkin:
- Paralelogrammaning ichki burchagining bissektrisasi undan teng yonli uchburchakni kesib tashlaydi
- Paralelogrammaning bir tomoniga tutashgan ichki burchaklarning bissektrisalari oʻzaro perpendikulyar.
- Paralelogrammaning qarama-qarshi ichki burchaklaridan keladigan bissektrisalar bir-biriga parallel yoki bir xil to'g'ri chiziqda yotadi.
- Paralelogramma diagonallari kvadratlari yig'indisi uning tomonlari kvadratlari yig'indisiga teng.
- Parallelogrammaning maydoni diagonallar va ular orasidagi burchak sinusining yarmiga teng.
Keling, ushbu xususiyatlardan foydalaniladigan muammolarni ko'rib chiqaylik.
Vazifa 1.
ABCD parallelogrammasining C burchagining bissektrisasi AD tomonini M nuqtada va AB tomonining A nuqtadan keyingi davomi E nuqtada kesishadi.Agar AE = 4, DM = 3 bo‘lsa, parallelogrammaning perimetrini toping.
Yechim.
1. CMD uchburchagi teng yon tomonli. (1-modda). Shuning uchun CD = MD = 3 sm.
2. EAM uchburchagi teng yon tomonli.
Shuning uchun AE = AM = 4 sm.
3. AD = AM + MD = 7 sm.
4. Perimetri ABCD = 20 sm.
Javob. 20 sm.
Vazifa 2.
Diagonallar ABCD qavariq to'rtburchakda chizilgan. Ma'lumki, ABD, ACD, BCD uchburchaklarning maydonlari teng. Ushbu to'rtburchak parallelogramm ekanligini isbotlang.
Yechim.
1. ABD uchburchakning balandligi BE, ACD uchburchakning balandligi CF bo‘lsin. Masala shartlariga ko'ra, uchburchaklarning yuzlari teng va ular umumiy AD asosiga ega bo'lganligi sababli, bu uchburchaklarning balandliklari teng bo'ladi. BE = CF.
2. BE, CF AD ga perpendikulyar. B va C nuqtalar AD to'g'ri chiziqqa nisbatan bir tomonda joylashgan. BE = CF. Shuning uchun BC to'g'ri chiziq || A.D. (*)
3. ACD uchburchakning balandligi AL, BCD uchburchakning balandligi BK bo‘lsin. Masala shartlariga ko'ra, uchburchaklarning maydonlari teng va ular umumiy CD asosiga ega bo'lganligi sababli, bu uchburchaklarning balandliklari teng bo'ladi. AL = BK.
4. AL va BK CD ga perpendikulyar. B va A nuqtalari CD to'g'ri chiziqqa nisbatan bir tomonda joylashgan. AL = BK. Shuning uchun, AB || to'g'ri chiziq CD (**)
5. (*), (**) shartlardan ABCD parallelogramm ekanligi kelib chiqadi.
Javob. Tasdiqlangan. ABCD - parallelogramm.
Vazifa 3.
ABCD parallelogrammasining BC va CD tomonlarida mos ravishda M va H nuqtalar belgilangan, shunda BM va HD segmentlari O nuqtada kesishadi;<ВМD = 95 о,
Yechim.
1. DOM uchburchagida<МОD = 25 о (Он смежный с <ВОD = 155 о); <ОМD = 95 о. Тогда <ОDМ = 60 о.
2. DHC to'g'ri burchakli uchburchakda Keyin<НСD = 30 о. СD: НD = 2: 1 Lekin CD = AB. Keyin AB: HD = 2: 1. 3. <С = 30 о, 4. <А = <С = 30 о, <В = Javob: AB: HD = 2: 1,<А = <С = 30 о, <В = Vazifa 4. Uzunligi 4√6 boʻlgan parallelogramma diagonallaridan biri asosi bilan 60°, ikkinchi diagonali esa xuddi shu asos bilan 45° burchak hosil qiladi. Ikkinchi diagonalni toping. Yechim.
1. AO = 2√6. 2. AOD uchburchagi uchun sinus teoremasini qo'llaymiz. AO/sin D = OD/sin A. 2√6/sin 45 o = OD/sin 60 o. OD = (2√6sin 60 o) / sin 45 o = (2√6 · √3/2) / (√2/2) = 2√18/√2 = 6. Javob: 12.
Vazifa 5. Tomonlari 5√2 va 7√2 bo'lgan parallelogramm uchun diagonallar orasidagi kichikroq burchak parallelogrammning kichik burchagiga teng. Diagonallarning uzunliklari yig‘indisini toping. Yechim.
D 1, d 2 parallelogramma diagonallari bo'lsin, diagonallar bilan parallelogrammning kichik burchagi orasidagi burchak ph ga teng. 1. Keling, ikki xil hisoblaymiz S ABCD = AB AD sin A = 5√2 7√2 sin f, S ABCD = 1/2 AC VD sin AOB = 1/2 d 1 d 2 sin f. 5√2 · 7√2 · sin f = 1/2d 1 d 2 sin f yoki tenglikni olamiz. 2 · 5√2 · 7√2 = d 1 d 2; 2. Paralelogrammaning tomonlari va diagonallari orasidagi munosabatdan foydalanib, tenglikni yozamiz (AB 2 + AD 2) 2 = AC 2 + BD 2. ((5√2) 2 + (7√2) 2) 2 = d 1 2 + d 2 2. d 1 2 + d 2 2 = 296. 3. Tizim tuzamiz: (d 1 2 + d 2 2 = 296, Tizimning ikkinchi tenglamasini 2 ga ko'paytiramiz va birinchisiga qo'shamiz. Biz (d 1 + d 2) 2 = 576 ni olamiz. Demak, Id 1 + d 2 I = 24. d 1 bo'lgani uchun d 2 parallelogramma diagonallarining uzunliklari, keyin d 1 + d 2 = 24. Javob: 24.
Vazifa 6. Parallelogrammning tomonlari 4 va 6. Diagonallar orasidagi oʻtkir burchak 45 gradus. Paralelogrammaning maydonini toping. Yechim.
1. AOB uchburchagidan kosinuslar teoremasidan foydalanib, parallelogramm tomoni va diagonallari orasidagi munosabatni yozamiz. AB 2 = AO 2 + VO 2 2 · AO · VO · cos AOB. 4 2 = (d 1 /2) 2 + (d 2 /2) 2 – 2 · (d 1/2) · (d 2 /2)cos 45 o; d 1 2 /4 + d 2 2 /4 – 2 · (d 1/2) · (d 2 /2)√2/2 = 16. d 1 2 + d 2 2 – d 1 · d 2 √2 = 64. 2. Xuddi shunday AOD uchburchagi uchun ham munosabat yozamiz. Buni hisobga olsak<АОD = 135 о и cos 135 о = -cos 45 о = -√2/2. d 1 2 + d 2 2 + d 1 · d 2 √2 = 144 tenglamani olamiz. 3. Bizda tizim mavjud Ikkinchi tenglamadan birinchisini ayirib, biz 2d 1 · d 2 √2 = 80 yoki d 1 d 2 = 80/(2√2) = 20√2 4. S ABCD = 1/2 AC VD sin AOB = 1/2 d 1 d 2 sin a = 1/2 20√2 √2/2 = 10. Eslatma: Ushbu va oldingi masalada tizimni to'liq yechishning hojati yo'q, bu masalada maydonni hisoblash uchun diagonallar ko'paytmasi kerak bo'ladi. Javob: 10. Vazifa 7. Parallelogrammaning maydoni 96 ga, tomonlari 8 va 15 ga teng. Kichikroq diagonalning kvadratini toping. Yechim.
1. S ABCD = AB · AD · sin VAD. Keling, formulada almashtirishni qilaylik. Biz 96 = 8 · 15 · sin VAD ni olamiz. Demak, gunoh VAD = 4/5. 2. cos VAD ni topamiz. sin 2 VAD + cos 2 VAD = 1. (4/5) 2 + cos 2 VAD = 1. cos 2 VAD = 9/25. Masalaning shartlariga ko'ra kichikroq diagonal uzunligini topamiz. Agar VD burchagi o'tkir bo'lsa, diagonali VD kichikroq bo'ladi. Keyin cos VAD = 3/5. 3. ABD uchburchagidan kosinuslar teoremasidan foydalanib, BD diagonalining kvadratini topamiz. VD 2 = AV 2 + AD 2 – 2 · AV · VD · cos VAD. VD 2 = 8 2 + 15 2 – 2 8 15 3 / 5 = 145. Javob: 145.
Hali ham savollaringiz bormi? Geometriya masalasini qanday hal qilishni bilmayapsizmi? veb-sayt, materialni to'liq yoki qisman nusxalashda manbaga havola talab qilinadi. Parallelogramma qarama-qarshi tomonlari juft bo'lib parallel bo'lgan to'rtburchakdir. Quyidagi rasmda ABCD parallelogrammasi ko'rsatilgan. Uning CD tomoniga parallel AB tomoni va AD tomoniga parallel BC tomoni bor. Siz taxmin qilganingizdek, parallelogramma qavariq to'rtburchakdir. Keling, parallelogrammning asosiy xususiyatlarini ko'rib chiqaylik. 1. Paralelogrammada qarama-qarshi burchaklar va qarama-qarshi tomonlar teng. Keling, bu xususiyatni isbotlaylik - quyidagi rasmda keltirilgan parallelogrammani ko'rib chiqing. Diagonal BD uni ikkita teng uchburchakka ajratadi: ABD va CBD. Ular BD tomoni va unga tutash ikki burchak bo'ylab tengdir, chunki burchaklar mos ravishda BC va AD va AB va CD parallel to'g'ri chiziqlarning BD kesmasida ko'ndalang yotadi. Shuning uchun AB = CD va 2. Paralelogrammaning diagonallari kesishish nuqtasi bilan yarmiga bo'linadi. O nuqta ABCD parallelogrammasining AC va BD diagonallarining kesishish nuqtasi bo‘lsin. Keyin uchburchak AOB va uchburchak COD yon va ikkita qo'shni burchak bo'ylab bir-biriga teng. (AB = CD, chunki bular parallelogrammaning qarama-qarshi tomonlari. Burchak1 = burchak2 va burchak3 = burchak4 esa AB va CD chiziqlar mos ravishda AC va BD sekantlari bilan kesishganda koʻndalang burchakka oʻxshaydi.) Bundan AO = OC degan xulosa kelib chiqadi. va OB = OD, bu va isbotlanishi kerak edi. Barcha asosiy xususiyatlar quyidagi uchta rasmda ko'rsatilgan. "Yirik ilmiy kashfiyot asosiy muammoga yechim beradi, ammo har qanday muammoni hal qilishda kashfiyot donasi bor." Paralelogrammaning qarama-qarshi tomonlari teng bo'ladi. Isbot. ABCD berilgan parallelogramm bo'lsin. Va uning diagonallari O nuqtada kesishsin. Paralelogrammada qarama-qarshi burchaklar teng. Isbot. Paralelogrammaning diagonallari kesishadi va kesishish nuqtasida ikkiga bo'linadi. Isbot. ABCD berilgan parallelogramm bo'lsin. AC diagonali chizamiz. Unda o'rtadagi O ni belgilaymiz DO segmentining davomida DO ga teng bo'lgan OB 1 segmentini chetga qo'yamiz. Oddiy maktablar uchun darsliklarda (masalan, Pogorelovoda) bu shunday isbotlangan: diagonallar parallelogrammani 4 ta uchburchakka bo'ladi. Keling, bir juftlikni ko'rib chiqamiz va aniqlaymiz - ular teng: ularning asoslari qarama-qarshi tomonlar, unga qo'shni tegishli burchaklar parallel chiziqlar bilan vertikal burchaklar kabi tengdir. Ya'ni, diagonal segmentlar juftlikda tengdir. Hammasi. Hammasi shumi? Qizig'i shundaki, bu qismni isbotlash ancha qiyin. Aytgancha, bu umumiyroq natijadan kelib chiqadi: har qanday qavariq to'rtburchakning diagonallari kesishadi, lekin har qanday qavariq bo'lmagan to'rtburchaklar kesishmaydi. Yon va ikkita qo'shni burchak bo'ylab uchburchaklarning tengligi (uchburchaklar tengligining ikkinchi belgisi) va boshqalar. Thales bir tomoni va ikkita qo'shni burchak bo'ylab ikkita uchburchakning tengligi haqidagi teoremaning muhim amaliy qo'llanilishini topdi. Dengizdagi kemagacha bo'lgan masofani aniqlash uchun Milet portida masofa o'lchagich qurilgan. U uchta qo'zg'aluvchan A, B va C (AB = BC) va CA ga perpendikulyar bo'lgan belgilangan to'g'ri chiziq SCdan iborat edi. SK to'g'ri chiziqda kema paydo bo'lganida, biz D nuqtani topdikki, D, .B va E nuqtalari bir xil to'g'ri chiziqda joylashgan. Chizilgan rasmdan ko'rinib turibdiki, erdagi masofa CD - kemaga kerakli masofa. Biz dars ustida ishladik Kuznetsov A.V. Poturnak S.A. Evgeniy Petrov Siz zamonaviy ta'lim haqida savol berishingiz, fikr bildirishingiz yoki dolzarb muammoni hal qilishingiz mumkin Ta'lim forumi, bu erda yangi fikr va harakatlarning ta'lim kengashi xalqaro miqyosda yig'iladi. Yaratgan blog, Siz nafaqat malakali o'qituvchi sifatidagi mavqeingizni oshirasiz, balki kelajak maktabi rivojiga ham katta hissa qo'shasiz. Ta'lim rahbarlari gildiyasi yuqori darajali mutaxassislarga eshiklarni ochadi va ularni dunyodagi eng yaxshi maktablarni yaratishda hamkorlik qilishga taklif qiladi.
(
(Chunki to'g'ri burchakli uchburchakda 30 ° burchakka qarama-qarshi bo'lgan oyoq gipotenuzaning yarmiga teng).
uning maydoni yo'llari.
(d 1 + d 2 = 140.
(d 1 2 + d 2 2 – d 1 · d 2 √2 = 64,
(d 1 2 + d 2 2 + d 1 · d 2 √2 = 144.
Repetitordan yordam olish uchun ro'yxatdan o'ting.
Birinchi dars bepul!
Paralelogrammaning xossalari
BC = AD. 1, 2, 3 va 4 burchaklarning tengligidan A burchak = burchak1 + burchak3 = burchak2 + burchak4 = burchak C bo'ladi.
Dars mavzusi
Dars maqsadlari
Dars maqsadlari
Dars rejasi
Kirish
Paralelogrammaning qarama-qarshi tomonlari xossasi
Uchburchaklar tengligining birinchi mezoni bo'yicha D AOB = D COD bo'lgani uchun (∠ AOB = ∠ COD, vertikallar sifatida, AO=OC, DO=OB, parallelogramma diagonallari xususiyati bo'yicha), keyin AB=CD. Xuddi shunday, BOC va DOA uchburchaklarining tengligidan BC = DA kelib chiqadi. Teorema isbotlangan. Paralelogrammaning qarama-qarshi burchaklarining xossasi
ABCD berilgan parallelogramm bo'lsin. Va uning diagonallari O nuqtada kesishsin.
Paralelogrammaning qarama-qarshi tomonlari xossalari haqidagi teoremada isbotlangan narsadan D ABC = D CDA uch tomonida (AB=CD, BC=DA isbotlanganidan, AC - umumiy). Uchburchaklar tengligidan kelib chiqadiki, ∠ ABC = ∠ CDA.
∠ ABD = ∠ CDB dan kelib chiqadigan ∠ DAB = ∠ BCD ekanligi ham isbotlangan. Teorema isbotlangan.Paralelogramma diagonallarining xossasi
Oldingi teoremaga ko'ra, AB 1 CD parallelogrammdir. Shuning uchun AB 1 chizig'i DC ga parallel. Lekin A nuqta orqali DC ga parallel faqat bitta chiziq o'tkazish mumkin. Demak, to'g'ri AB 1 to'g'ri AB bilan mos keladi.
Miloddan avvalgi 1 miloddan avvalgi davrga to'g'ri kelishi ham isbotlangan. Bu shuni anglatadiki, C nuqta C 1 bilan mos keladi. ABCD parallelogrammasi AB 1 CD parallelogrammasi bilan mos keladi. Binobarin, parallelogrammaning diagonallari kesishadi va kesishish nuqtasida ikkiga bo'linadi. Teorema isbotlangan.
Yuqorida isbotlanganki, kesishish nuqtasi diagonallarni ikkiga bo'ladi - agar mavjud bo'lsa. Yuqoridagi mulohazalar uning mavjudligini hech qanday tarzda isbotlamaydi. Ya'ni, "paralelogrammaning diagonallari kesishadi" teoremasining bir qismi isbotlanmagan.
Savollar
Foydalanilgan manbalar ro'yxati
