Tarqatish funktsiyasi tasodifiy o'zgaruvchi haqida to'liq ma'lumotni o'z ichiga oladi. Amalda taqsimlash funktsiyasini har doim ham o'rnatish mumkin emas; Ba'zan bunday to'liq bilim talab qilinmaydi. Tasodifiy o'zgaruvchi to'g'risidagi qisman ma'lumotlar ma'lumotlarning turiga qarab quyidagilarga bo'lingan raqamli belgilar bilan ta'minlanadi. quyidagi guruhlar.
1. Tasodifiy o'zgaruvchining raqamli o'qdagi joylashuvining xarakteristikalari (rejim Mo, median Men, kutilgan qiymat M(X)).
2. Tasodifiy miqdorning o‘rtacha qiymat atrofida tarqalishining xarakteristikasi (dispersiya). D (X), o'rtacha standart og'ish σ( X)).
3. Egri shaklning xarakteristikalari y = φ( x) (assimetriya Sifatida, kurtoz Masalan).
Keling, ushbu xususiyatlarning har birini batafsil ko'rib chiqaylik.
Kutilgan qiymat tasodifiy o'zgaruvchi X barcha guruhlangan ba'zi o'rtacha qiymatni ko'rsatadi mumkin bo'lgan qiymatlar X. Faqatgina cheklangan miqdordagi mumkin bo'lgan qiymatlarni qabul qilishi mumkin bo'lgan diskret tasodifiy o'zgaruvchi uchun matematik kutish tasodifiy o'zgaruvchining barcha mumkin bo'lgan qiymatlari va ushbu qiymatlarning ehtimolligining mahsuloti yig'indisidir:
. (2.4)
Uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchi uchun X, berilgan taqsimot zichligiga ega ph( x) matematik kutish quyidagi integraldir:
. (2.5)
Bu erda noto'g'ri integral absolyut yaqinlashadi deb taxmin qilinadi, ya'ni. mavjud.
Xususiyatlari matematik kutish:
1. XONIM) = C, Qayerda BILAN = const;
2. M (C∙X) = C∙M(X);
3. M(X ± Y) = M (X) ± M(Y), Qayerda X Va Y- har qanday tasodifiy o'zgaruvchilar;
4. M(X∙Y)=M(X)∙M(Y), Qayerda X Va Y mustaqil tasodifiy miqdorlardir.
Ikkita tasodifiy o'zgaruvchilar chaqiriladi mustaqil , agar ulardan birining taqsimot qonuni boshqa miqdor qanday mumkin bo'lgan qiymatlarga bog'liq bo'lmasa.
Moda diskret tasodifiy miqdor, belgilangan Mo, uning eng ehtimoliy qiymati deb ataladi (2.3-rasm), uzluksiz tasodifiy miqdorning rejimi esa ehtimollik zichligi maksimal bo'lgan qiymatdir (2.4-rasm).

Guruch. 2.3-rasm. 2.4
Median uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchi X uning qiymati Men deb ataladi, buning uchun u bo'lishi ehtimoli teng tasodifiy qiymat kamroq yoki ko'proq Meh, ya'ni.
P(X < Men) = P (X > Meh)
Medianning ta'rifidan kelib chiqadiki P(X<Meh) = 0,5, ya'ni. F (Meh) = 0,5. Geometrik jihatdan medianani abscissa sifatida talqin qilish mumkin, unda ordinata ph ( x) taqsimot egri chizig'i bilan chegaralangan maydonning yarmiga bo'linadi (2.5-rasm). Nosimmetrik taqsimotda median rejim va matematik kutish bilan mos keladi (2.6-rasm).

Guruch. 2.5-rasm. 2.6

Dispersiya.

Tasodifiy o'zgaruvchining dispersiyasi- berilgan tasodifiy miqdorning tarqalishining o'lchovi, ya'ni uning matematik kutishdan chetga chiqishi. Belgilangan D[X] rus adabiyotida va (ingliz) farq) chet elda. Statistikada ko'pincha yoki belgisi ishlatiladi. ga teng bo'lgan dispersiyaning kvadrat ildizi standart og'ish, standart og'ish yoki standart tarqalish deb ataladi. Standart og'ish tasodifiy o'zgaruvchining o'zi bilan bir xil birliklarda o'lchanadi va dispersiya bu birlikning kvadratlarida o'lchanadi.

Chebishev tengsizligidan kelib chiqadiki, tasodifiy o'zgaruvchi o'zining matematik kutilganidan ko'proq uzoqlashadi. k ehtimollik 1/ dan kam bo'lgan standart og'ishlar k². Misol uchun, kamida 75% hollarda tasodifiy o'zgaruvchi o'rtacha qiymatdan ikki standart og'ishdan ko'p bo'lmagan va taxminan 89% - uchta standart og'ishdan ko'p bo'lmagan.

Farqlanish Tasodifiy o'zgaruvchi - bu uning matematik kutishdan chetlanish kvadratining matematik kutilishi.
D (X) = M(X –M(X)) 2 .
Tasodifiy o'zgaruvchining dispersiyasi X Quyidagi formula yordamida hisoblash qulay:
a) diskret miqdor uchun
; (2.6)
b) uzluksiz tasodifiy miqdor uchun
j( X)d x – 2 . (2.7)
Dispersiya quyidagi xususiyatlarga ega:
1. D (C) = 0, bu erda BILAN = const;
2. D (C× X) = C 2 ∙ D (X);
3. D(X± Y) = D(X) + D(Y), Agar X Va Y mustaqil tasodifiy o'zgaruvchilar.
Standart og'ish tasodifiy o'zgaruvchi X dispersiyaning arifmetik ildizi deb ataladi, ya'ni.
σ( X) = .
E'tibor bering, o'lcham s ( X) tasodifiy miqdorning o'lchamiga to'g'ri keladi X, shuning uchun standart og'ish tarqalishni tavsiflash uchun qulayroqdir.
Tasodifiy miqdorlarning asosiy sonli xarakteristikalarini umumlashtirish tasodifiy miqdorning momentlari tushunchasidir.
K-tartibning dastlabki momenti α k tasodifiy o'zgaruvchi X miqdorning matematik kutilishi deyiladi X k, ya'ni. a k = M(X k).
Birinchi tartibning boshlang'ich momenti tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutishidir.
K-tartibning markaziy momenti μ k tasodifiy o'zgaruvchi X qiymatning matematik kutilishi deyiladi ( X–M(X))k, ya'ni. m k = M(X–M(X))k.
Ikkinchi tartibli markaziy moment tasodifiy miqdorning dispersiyasidir.
Diskret tasodifiy miqdor uchun boshlang'ich moment a yig'indisi bilan ifodalanadi k= , markaziy esa - m yig'indisi bo'yicha k = Qayerda p i = p (X=x i). Uzluksiz tasodifiy miqdorning boshlang'ich va markaziy momentlari uchun biz quyidagi tenglikni olishimiz mumkin:
α k = , μ k = ,
qayerda ph( x) – X tasodifiy miqdorning taqsimlanish zichligi.
Kattalik Sifatida= m 3 / s 3 deyiladi assimetriya koeffitsienti .
Agar assimetriya koeffitsienti salbiy bo'lsa, bu salbiy og'ishlarning m 3 qiymatiga katta ta'sir ko'rsatadi. Bunday holda, taqsimlash egri chizig'i (2.7-rasm) chapga tekisroq bo'ladi M(X). Agar As koeffitsienti ijobiy bo'lsa, ya'ni ijobiy og'ishlarning ta'siri ustun bo'lsa, u holda taqsimot egri chizig'i (2.7-rasm) o'ng tomonda tekisroq bo'ladi. Amalda, assimetriya belgisi rejimga (differensial funktsiyaning maksimal nuqtasi) nisbatan taqsimot egri chizig'ining joylashishi bilan belgilanadi.

Guruch. 2.7
Ortiqcha Ek miqdori deyiladi
Ek= m 4 / s 4 – 3.

24-savol: Korrelyatsiya

Korrelyatsiya (korrelyatsiyaga bog'liqlik) - ikki yoki undan ortiq tasodifiy o'zgaruvchilar (yoki qabul qilinadigan aniqlik darajasi bilan shunday deb hisoblanishi mumkin bo'lgan o'zgaruvchilar) o'rtasidagi statistik bog'liqlik. Bunday holda, ushbu miqdorlarning bir yoki bir nechtasi qiymatlarining o'zgarishi boshqa yoki boshqa miqdorlarning qiymatlarining muntazam o'zgarishi bilan birga keladi. Ikki tasodifiy o'zgaruvchi o'rtasidagi korrelyatsiyaning matematik o'lchovi korrelyatsiya munosabati, yoki korrelyatsiya koeffitsienti (yoki ). Agar bitta tasodifiy miqdorning o‘zgarishi boshqa tasodifiy miqdorning tabiiy o‘zgarishiga olib kelmasa, balki berilgan tasodifiy miqdorning boshqa statistik xarakteristikasining o‘zgarishiga olib keladigan bo‘lsa, bunday munosabat statistik bo‘lsa ham, korrelyatsion bog‘liqlik hisoblanmaydi.

"Korrelyatsiya" atamasi birinchi marta 18-asrda frantsuz paleontologi Jorj Kyuvier tomonidan ilmiy foydalanishga kiritilgan. U tirik mavjudotlarning qismlari va organlarining "o'zaro bog'liqlik qonuni" ni ishlab chiqdi, uning yordamida qazilma hayvonning ko'rinishini tiklash mumkin, uning ixtiyorida uning qoldiqlarining faqat bir qismi mavjud. "Korrelyatsiya" so'zi birinchi marta 19-asr oxirida ingliz biologi va statistik Frensis Galton tomonidan statistikada ishlatilgan.

Korrelyatsiya koeffitsientlarining ayrim turlari ijobiy yoki salbiy bo'lishi mumkin (shuningdek, statistik bog'liqlik bo'lmasligi ham mumkin - masalan, mustaqil tasodifiy o'zgaruvchilar uchun). Agar o'zgaruvchilar qiymatlarida qat'iy tartib munosabati ko'rsatilgan deb taxmin qilinsa, u holda salbiy korrelyatsiya- korrelyatsiya, bunda bir o'zgaruvchining ortishi boshqa o'zgaruvchining kamayishi bilan bog'liq bo'lib, korrelyatsiya koeffitsienti manfiy bo'lishi mumkin; ijobiy korrelyatsiya bunday sharoitda bir o'zgaruvchining ortishi boshqa o'zgaruvchining ortishi bilan bog'liq bo'lgan korrelyatsiya va korrelyatsiya koeffitsienti ijobiy bo'lishi mumkin.

Tasodifiy o'zgaruvchilarning o'rtacha qiymatlari

Keling, shunday da'vo qilaylik X– eksperiment natijasida qiymatlarni olgan diskret tasodifiy miqdor x 1 , x 2 ,…, x n ehtimollar bilan p 1 , p 2 ,…, p n, . Keyin o'rtacha qiymat yoki qiymatning matematik kutilishi X miqdori deb ataladi , ya'ni. X ning o'rtacha og'irlikdagi qiymati, bu erda og'irliklar ehtimollikdir p i.

Misol. Regulyatsiya xatosining o'rtacha qiymatini aniqlang e, agar ko'p sonli tajribalar asosida xatolik ehtimoli aniqlansa. p i teng:

e, %	0,1	0,15	0,2	0,25	0,3
p i	0,2	0,2	0,3	0,15	0,15

1. M[e] = 0,1×0,2 + 0,15×0,2 + 0,2×0,3 + 0,25×0,15 + 0,3×0,15 =

Agar g( X) funksiyadir X(va ehtimollik X = x i ga teng p i), u holda funksiyaning o'rtacha qiymati quyidagicha aniqlanadi

Keling, shunday da'vo qilaylik X uzluksiz taqsimotga ega tasodifiy o‘zgaruvchi bo‘lib, ehtimollik zichligi j() bilan tavsiflanadi. x). Keyin X orasida bo'lish ehtimoli x Va x+D X:

Bu holda X qiymati taxminan qiymatni oladi x. D chegarasida x® 0, biz D o'sishini taxmin qilishimiz mumkin x son jihatdan differentsial d ga teng x.

D o'rniga x=d X, biz o'rtacha qiymatni hisoblash uchun aniq formulani olamiz X :

Xuddi shunday g( X):

Qoidaga ko'ra, tasodifiy miqdorning faqat o'rtacha qiymatini (matematik kutish) bilish etarli emas. Miqdorning tasodifiyligi o'lchovini baholash uchun (aniq qiymatlarning tarqalishini baholash uchun). X matematik kutishga nisbatan M[X]) tasodifiy miqdorning dispersiyasi tushunchasi kiritiladi. Dispersiya - X ning har bir o'ziga xos qiymatining matematik kutilganidan kvadrat og'ishning o'rtacha qiymati. Dispersiya qanchalik katta bo'lsa, qiymatning matematik kutishdan tarqalishining tasodifiyligi shunchalik katta bo'ladi. Agar tasodifiy o'zgaruvchi diskret bo'lsa, u holda

Uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchi uchun dispersiya xuddi shunday yozilishi mumkin:

Dispersiya qiymatning tarqalishini yaxshi tavsiflaydi, ammo bitta kamchilik bor: o'lcham o'lchamga mos kelmaydi X. Ushbu kamchilikdan xalos bo'lish uchun ko'pincha ma'lum ilovalarda ular ijobiy qiymatni emas, balki deyiladi standart og'ish.

1.3.2.1. Matematik kutishning xossalari

1. Tasodifiy bo'lmagan qiymatning matematik kutilishi bu qiymatning o'ziga teng M[C] = C.

2. Tasodifiy bo‘lmagan ko‘paytuvchi BILAN matematik kutish belgisi sifatida qabul qilinishi mumkin M[CX] = SM.[X].

3. Tasodifiy o‘zgaruvchilar yig‘indisining matematik kutilishi bu tasodifiy miqdorlarning matematik taxminlari yig‘indisiga teng.

4. Mustaqil tasodifiy miqdorlar ko‘paytmasining matematik kutilishi bu o‘zgaruvchilarning matematik kutilmalari ko‘paytmasiga teng (tasodifiy o‘zgaruvchilarning mustaqillik sharti).

1.3.2.2. Dispersiya xususiyatlari

1. Tasodifiy bo'lmagan miqdorning dispersiyasi BILAN nolga teng: D[C]=0.

2. Tasodifiy bo'lmagan ko'paytmaning ko'paytmasining dispersiyasi BILAN tasodifiy o'zgaruvchi tomonidan mahsulotga teng BILAN Tasodifiy o'zgaruvchining dispersiyasi uchun 2.

3. Mustaqil tasodifiy miqdorlar yig‘indisining dispersiyasi X 1 va X 2 shartlarning dispersiyalari yig'indisiga teng

1.3.3. Tasodifiy o'zgaruvchining momentlari

Mayli X– uzluksiz tasodifiy miqdor. Agar n musbat butun son va funksiya bo'lsa x n oraliqda (–¥; +¥) integrallash mumkin, keyin o’rtacha qiymat

n = 0, 1,…, n

chaqirdi boshlanish momenti tartib n tasodifiy o'zgaruvchi X.

Ko'rinib turibdiki, nol tartibli moment

Diskret ehtimollik fazosida berilgan X tasodifiy miqdorning matematik kutilmasi (o‘rtacha qiymati) qator absolyut yaqinlashsa, m =M[X]=∑x i p i sondir.

Xizmat maqsadi. Onlayn xizmatdan foydalanish matematik kutish, dispersiya va standart og'ish hisoblanadi(misolga qarang). Bundan tashqari F(X) taqsimot funksiyasining grafigi chiziladi.

Tasodifiy miqdorning matematik kutilishining xossalari

Doimiy qiymatning matematik kutilishi o'ziga teng: M[C]=C, C - doimiy;
M=C M[X]
Tasodifiy o‘zgaruvchilar yig‘indisining matematik kutilishi ularning matematik taxminlari yig‘indisiga teng: M=M[X]+M[Y]
Mustaqil tasodifiy miqdorlar ko‘paytmasining matematik kutilishi ularning matematik kutilmalari ko‘paytmasiga teng: M=M[X] M[Y] , agar X va Y mustaqil bo‘lsa.

Dispersiya xususiyatlari

Doimiy qiymatning dispersiyasi nolga teng: D(c)=0.
Doimiy koeffitsientni dispersiya belgisi ostidan uning kvadratiga aylantirib chiqarish mumkin: D(k*X)= k 2 D(X).
Agar X va Y tasodifiy miqdorlar mustaqil bo‘lsa, yig‘indining dispersiyasi dispersiyalarning yig‘indisiga teng bo‘ladi: D(X+Y)=D(X)+D(Y).
Agar X va Y tasodifiy o'zgaruvchilar bog'liq bo'lsa: D(X+Y)=DX+DY+2(X-M[X])(Y-M[Y])
Dispersiya uchun quyidagi hisoblash formulasi amal qiladi:
D(X)=M(X 2)-(M(X)) 2

Misol. Ikki mustaqil X va Y tasodifiy miqdorlarning matematik kutilmalari va dispersiyalari ma’lum: M(x)=8, M(Y)=7, D(X)=9, D(Y)=6. Z=9X-8Y+7 tasodifiy miqdorning matematik kutilishi va dispersiyasini toping.
Yechim. Matematik kutilma xossalari asosida: M(Z) = M(9X-8Y+7) = 9*M(X) - 8*M(Y) + M(7) = 9*8 - 8*7 + 7 = 23.
Dispersiya xossalariga asosan: D(Z) = D(9X-8Y+7) = D(9X) - D(8Y) + D(7) = 9^2D(X) - 8^2D(Y) + 0 = 81*9 - 64*6 = 345

Matematik kutishni hisoblash algoritmi

Diskret tasodifiy o'zgaruvchilarning xususiyatlari: ularning barcha qiymatlarini natural sonlar bilan qayta raqamlash mumkin; har bir qiymat nolga teng bo'lmagan ehtimollik bilan bog'langan.

Biz juftlarni birma-bir ko'paytiramiz: x i ga p i .
Har bir juftlik mahsulotini qo'shing x i p i .
Masalan, n = 4 uchun: m = ∑x i p i = x 1 p 1 + x 2 p 2 + x 3 p 3 + x 4 p 4

Diskret tasodifiy miqdorni taqsimlash funksiyasi bosqichma-bosqich, ehtimolliklari ijobiy bo'lgan nuqtalarda keskin ortadi.

Misol № 1.

x i	1	3	4	7	9
p i	0.1	0.2	0.1	0.3	0.3

Matematik kutilmani m = ∑x i p i formulasi yordamida topamiz.
Kutish M[X].
M[x] = 1*0,1 + 3*0,2 + 4*0,1 + 7*0,3 + 9*0,3 = 5,9
Dispersiyani d = ∑x 2 i p i - M[x] 2 formulasi yordamida topamiz.
Farq D[X].
D[X] = 1 2 *0,1 + 3 2 *0,2 + 4 2 *0,1 + 7 2 *0,3 + 9 2 *0,3 - 5,9 2 = 7,69
Standart og'ish s(x).
s = sqrt(D[X]) = sqrt(7,69) = 2,78

Misol № 2. Diskret tasodifiy o'zgaruvchi quyidagi taqsimot qatoriga ega:

X	-10	-5	0	5	10
R	A	0,32	2a	0,41	0,03

Ushbu tasodifiy miqdorning a qiymatini, matematik kutilmasini va standart og'ishini toping.

Yechim. a ning qiymati quyidagi munosabatdan topiladi: sp i = 1
Sp i = a + 0,32 + 2 a + 0,41 + 0,03 = 0,76 + 3 a = 1
0,76 + 3 a = 1 yoki 0,24=3 a , bu yerdan a = 0,08

Misol № 3. Diskret tasodifiy miqdorning taqsimot qonunini aniqlang, agar uning dispersiyasi ma'lum bo'lsa va x 1 x 1 =6; x 2 =9; x 3 =x; x 4 =15
p 1 =0,3; p 2 =0,3; p 3 =0,1; p 4 =0,3
d(x)=12,96

Yechim.
Bu erda siz d(x) dispersiyani topish uchun formula yaratishingiz kerak:
d(x) = x 1 2 p 1 +x 2 2 p 2 +x 3 2 p 3 +x 4 2 p 4 -m(x) 2
bu yerda kutilma m(x)=x 1 p 1 +x 2 p 2 +x 3 p 3 +x 4 p 4
Bizning ma'lumotlarimiz uchun
m(x)=6*0,3+9*0,3+x 3 *0,1+15*0,3=9+0,1x 3
12,96 = 6 2 0,3+9 2 0,3+x 3 2 0,1+15 2 0,3-(9+0,1x 3) 2
yoki -9/100 (x 2 -20x+96)=0
Shunga ko'ra, biz tenglamaning ildizlarini topishimiz kerak va ulardan ikkitasi bo'ladi.
x 3 =8, x 3 =12
x 1 shartni qanoatlantiradigan birini tanlang x 3 =12

Diskret tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni
x 1 =6; x 2 =9; x 3 =12; x 4 =15
p 1 =0,3; p 2 =0,3; p 3 =0,1; p 4 =0,3

Kutish - tasodifiy o'zgaruvchining ehtimollik taqsimoti

Matematik kutish, ta'rif, diskret va uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchilarning matematik kutilishi, namuna, shartli kutish, hisoblash, xossalar, masalalar, kutilishni baholash, dispersiya, taqsimot funktsiyasi, formulalar, hisoblash misollari.

Tarkibni kengaytirish

Kontentni yig'ish

Matematik kutish - bu ta'rif

Matematik statistika va ehtimollar nazariyasidagi eng muhim tushunchalardan biri, tasodifiy o'zgaruvchining qiymatlari yoki ehtimolliklarining taqsimlanishini tavsiflovchi. Odatda tasodifiy o'zgaruvchining barcha mumkin bo'lgan parametrlarining o'rtacha og'irligi sifatida ifodalanadi. Texnik tahlilda, raqamlar qatorlarini o'rganishda, uzluksiz va ko'p vaqt talab qiladigan jarayonlarni o'rganishda keng qo'llaniladi. Moliyaviy bozorlarda savdo qilishda risklarni baholash, narx ko'rsatkichlarini bashorat qilishda muhim ahamiyatga ega bo'lib, qimor o'yinlari nazariyasida o'yin taktikasi strategiyalari va usullarini ishlab chiqishda qo'llaniladi.

Matematik kutish tasodifiy miqdorning o'rtacha qiymati, tasodifiy miqdorning ehtimollik taqsimoti ehtimollar nazariyasida ko'rib chiqiladi.

Matematik kutish ehtimollik nazariyasidagi tasodifiy miqdorning o'rtacha qiymatining o'lchovi. Tasodifiy o'zgaruvchini kutish x bilan belgilanadi M(x).

Matematik kutish

Matematik kutish ehtimollik nazariyasida tasodifiy o'zgaruvchi qabul qilishi mumkin bo'lgan barcha mumkin bo'lgan qiymatlarning o'rtacha og'irligi.

Matematik kutish tasodifiy o'zgaruvchining barcha mumkin bo'lgan qiymatlari mahsuloti yig'indisi va bu qiymatlarning ehtimolliklari.

Matematik kutish ma'lum bir qarordan o'rtacha foyda, agar bunday qaror katta sonlar va uzoq masofalar nazariyasi doirasida ko'rib chiqilishi mumkin.

Matematik kutish qimor nazariyasida, har bir tikish uchun o'yinchi olishi yoki yo'qotishi mumkin bo'lgan yutuq miqdori. Qimor tili bilan aytganda, buni ba'zan "o'yinchining chekkasi" (agar u o'yinchi uchun ijobiy bo'lsa) yoki "uyning chekkasi" (agar o'yinchi uchun salbiy bo'lsa) deb ataladi.

Matematik kutish o'rtacha foyda bilan ko'paytiriladi g'alaba boshiga foyda foizi, minus o'rtacha yo'qotish ko'paytiriladi yo'qotish ehtimoli.

Matematik nazariyada tasodifiy miqdorning matematik kutilishi

Tasodifiy o'zgaruvchining muhim raqamli xususiyatlaridan biri uning matematik kutilishidir. Keling, tasodifiy o'zgaruvchilar tizimi tushunchasini kiritamiz. Keling, bir xil tasodifiy tajriba natijalari bo'lgan tasodifiy o'zgaruvchilar to'plamini ko'rib chiqaylik. Agar tizimning mumkin bo'lgan qiymatlaridan biri bo'lsa, hodisa Kolmogorov aksiomalarini qondiradigan ma'lum bir ehtimolga mos keladi. Tasodifiy o'zgaruvchilarning har qanday mumkin bo'lgan qiymatlari uchun aniqlangan funktsiya qo'shma taqsimot qonuni deb ataladi. Bu funksiya har qanday hodisaning ehtimolini hisoblash imkonini beradi. Xususan, to'plamdan qiymatlarni oladigan va tasodifiy o'zgaruvchilarning qo'shma taqsimot qonuni ehtimollar bilan beriladi.

"Matematik kutish" atamasi Per Simon Markiz de Laplas (1795) tomonidan kiritilgan va birinchi marta 17-asrda qimor o'yinlari nazariyasida Blez Paskal va Kristianning asarlarida paydo bo'lgan "yutuqning kutilayotgan qiymati" tushunchasidan kelib chiqqan. Gyuygens. Biroq, bu kontseptsiyani birinchi to'liq nazariy tushunish va baholashni Pafnutiy Lvovich Chebyshev (19-asr o'rtalari) bergan.

Tasodifiy sonli o'zgaruvchilarning taqsimot qonuni (tarqatish funksiyasi va taqsimot qatori yoki ehtimollik zichligi) tasodifiy o'zgaruvchining harakatini to'liq tavsiflaydi. Ammo bir qator masalalarda qo'yilgan savolga javob berish uchun o'rganilayotgan miqdorning ba'zi sonli xarakteristikalarini (masalan, uning o'rtacha qiymati va undan mumkin bo'lgan og'ishini) bilish kifoya. Tasodifiy o'zgaruvchilarning asosiy raqamli xarakteristikalari matematik kutish, dispersiya, rejim va mediandir.

Diskret tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishi uning mumkin bo'lgan qiymatlari va ularga mos keladigan ehtimolliklarning mahsuloti yig'indisidir. Ba'zida matematik kutish o'rtacha og'irlik deb ataladi, chunki u ko'p sonli tajribalarda tasodifiy o'zgaruvchining kuzatilgan qiymatlarining o'rtacha arifmetik qiymatiga teng. Matematik kutishning ta'rifidan kelib chiqadiki, uning qiymati tasodifiy o'zgaruvchining mumkin bo'lgan eng kichik qiymatidan kam emas va eng kattasidan ko'p emas. Tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishi tasodifiy bo'lmagan (doimiy) o'zgaruvchidir.

Matematik kutish oddiy jismoniy ma'noga ega: agar siz birlik massasini to'g'ri chiziqqa joylashtirsangiz, ma'lum bir massani ba'zi nuqtalarga joylashtirsangiz (diskret taqsimlash uchun) yoki uni ma'lum bir zichlik bilan "yog'lash" (mutlaq uzluksiz taqsimlash uchun) , keyin matematik kutishga mos keladigan nuqta koordinata bo'ladi "og'irlik markazi" to'g'ri.

Tasodifiy o'zgaruvchining o'rtacha qiymati - bu uning "vakili" bo'lgan ma'lum bir raqam va uni taxminan taxminiy hisob-kitoblarda almashtiradi. Biz: "chiroqning o'rtacha ishlash muddati 100 soat" yoki "o'rtacha ta'sir nuqtasi nishonga nisbatan 2 m o'ngga siljiydi" deganda, biz tasodifiy o'zgaruvchining joylashishini tavsiflovchi ma'lum bir raqamli xarakteristikani ko'rsatamiz. raqamli o'qda, ya'ni. "pozitsiya xususiyatlari".

Ehtimollar nazariyasidagi pozitsiyaning xususiyatlaridan eng muhim rolni tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutishi o'ynaydi, bu ba'zan tasodifiy o'zgaruvchining o'rtacha qiymati deb ataladi.

Tasodifiy o'zgaruvchini ko'rib chiqing X, mumkin bo'lgan qiymatlarga ega x1, x2, …, xn ehtimollar bilan p1, p2, …, pn. Ushbu qiymatlarning turli xil ehtimolliklarga ega ekanligini hisobga olgan holda, biz tasodifiy o'zgaruvchi qiymatlarining x o'qidagi o'rnini qandaydir raqam bilan tavsiflashimiz kerak. Shu maqsadda qiymatlarning "o'rtacha og'irligi" deb ataladigan qiymatdan foydalanish tabiiydir xi, va o'rtacha hisoblash paytida har bir xi qiymati ushbu qiymatning ehtimoliga mutanosib "og'irlik" bilan hisobga olinishi kerak. Shunday qilib, biz tasodifiy o'zgaruvchining o'rtacha qiymatini hisoblaymiz X, biz belgilaymiz M |X|:

Ushbu vaznli o'rtacha tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishi deb ataladi. Shunday qilib, biz ehtimollik nazariyasining eng muhim tushunchalaridan biri - matematik kutish tushunchasini e'tiborga oldik. Tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishi tasodifiy o'zgaruvchining barcha mumkin bo'lgan qiymatlari va ushbu qiymatlarning ehtimolliklari mahsulotining yig'indisidir.

X ko'p sonli tajribalarda tasodifiy o'zgaruvchining kuzatilgan qiymatlarining o'rtacha arifmetik qiymatiga o'ziga xos bog'liqlik bilan bog'liq. Bu bog'liqlik chastota va ehtimollik o'rtasidagi bog'liqlik bilan bir xil, ya'ni: ko'p sonli tajribalar bilan tasodifiy o'zgaruvchining kuzatilgan qiymatlarining o'rtacha arifmetik qiymati uning matematik kutilishiga yaqinlashadi (ehtimolda yaqinlashadi). Chastota va ehtimollik o'rtasidagi bog'liqlikdan kelib chiqib, natijada o'rtacha arifmetik va matematik kutish o'rtasida o'xshash bog'liqlik mavjudligini xulosa qilish mumkin. Haqiqatan ham, tasodifiy o'zgaruvchini ko'rib chiqing X, tarqatish seriyasi bilan tavsiflanadi:

Ishlab chiqarilsin N mustaqil tajribalar, ularning har birida qiymat X ma'lum bir qiymatni oladi. Faraz qilaylik, qiymat x1 paydo bo'ldi m1 marta, qiymati x2 paydo bo'ldi m2 bir marta, umumiy ma'noda xi marta paydo bo'ldi. Keling, matematik kutishdan farqli o'laroq, X qiymatining kuzatilgan qiymatlarining o'rtacha arifmetik qiymatini hisoblaylik. M|X| belgilaymiz M*|X|:

Tajribalar sonining ko'payishi bilan N chastotalar pi mos keladigan ehtimollarga yaqinlashadi (ehtimolda yaqinlashadi). Shunday qilib, tasodifiy o'zgaruvchining kuzatilgan qiymatlarining o'rtacha arifmetik qiymati M|X| eksperimentlar sonining ko'payishi bilan u o'zining matematik kutishiga yaqinlashadi (ehtimollik bilan). Yuqorida ifodalangan o'rtacha arifmetik va matematik kutish o'rtasidagi bog'liqlik katta sonlar qonuni shakllaridan birining mazmunini tashkil qiladi.

Biz allaqachon bilamizki, katta sonlar qonunining barcha shakllari ko'p sonli tajribalar davomida ba'zi o'rtacha qiymatlarning barqarorligini bildiradi. Bu yerda gap bir xil kattalikdagi bir qator kuzatishlardan olingan o‘rtacha arifmetik qiymatning barqarorligi haqida ketmoqda. Kam miqdordagi tajribalar bilan ularning natijalarining o'rtacha arifmetik qiymati tasodifiydir; tajribalar sonining etarli darajada ko'payishi bilan u "deyarli tasodifiy bo'lmagan" bo'lib qoladi va barqarorlashib, doimiy qiymatga - matematik kutishga yaqinlashadi.

Ko'p sonli tajribalarda o'rtacha ko'rsatkichlarning barqarorligini eksperimental tarzda osongina tekshirish mumkin. Masalan, laboratoriyada jismni aniq tarozida tortishda tortish natijasida har safar yangi qiymat olamiz; Kuzatish xatosini kamaytirish uchun biz tanani bir necha marta tortamiz va olingan qiymatlarning o'rtacha arifmetik qiymatidan foydalanamiz. Ko'rinib turibdiki, tajribalar (tortishishlar) sonining yanada ko'payishi bilan o'rtacha arifmetik bu o'sishga kamroq va kamroq ta'sir qiladi va etarlicha ko'p tajribalar bilan amalda o'zgarishni to'xtatadi.

Shuni ta'kidlash kerakki, tasodifiy o'zgaruvchining pozitsiyasining eng muhim xarakteristikasi - matematik kutish barcha tasodifiy o'zgaruvchilar uchun mavjud emas. Matematik kutish mavjud bo'lmagan bunday tasodifiy o'zgaruvchilarga misollar tuzish mumkin, chunki tegishli yig'indi yoki integral ajralib chiqadi. Biroq, bunday holatlar amaliyot uchun katta qiziqish uyg'otmaydi. Odatda, biz bilan shug'ullanadigan tasodifiy o'zgaruvchilar cheklangan qiymat diapazoniga ega va, albatta, matematik taxminlarga ega.

Tasodifiy o'zgaruvchining pozitsiyasining eng muhim xarakteristikalari - matematik kutishdan tashqari, amalda ba'zida pozitsiyaning boshqa xarakteristikalari, xususan, tasodifiy o'zgaruvchining rejimi va medianasi qo'llaniladi.

Tasodifiy o'zgaruvchining rejimi uning eng ehtimoliy qiymati hisoblanadi. "Eng ehtimoliy qiymat" atamasi faqat uzluksiz miqdorlarga nisbatan qo'llaniladi; uzluksiz miqdor uchun rejim - ehtimollik zichligi maksimal bo'lgan qiymat. Raqamlar mos ravishda uzluksiz va uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchilar rejimini ko'rsatadi.

Agar taqsimot poligoni (tarqatish egri chizig'i) birdan ortiq maksimalga ega bo'lsa, taqsimot "multimodal" deb ataladi.

Ba'zida maksimal emas, balki o'rtada minimal bo'lgan taqsimotlar mavjud. Bunday taqsimotlar "anti-modal" deb ataladi.

Umumiy holatda tasodifiy o'zgaruvchining rejimi va matematik kutilishi mos kelmaydi. Muayyan holatda, taqsimot simmetrik va modal bo'lsa (ya'ni rejimga ega) va matematik kutish mavjud bo'lsa, u taqsimotning simmetriya rejimi va markaziga to'g'ri keladi.

Yana bir pozitsiya xarakteristikasi tez-tez ishlatiladi - tasodifiy o'zgaruvchining medianasi. Bu xarakteristika odatda faqat uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchilar uchun ishlatiladi, garchi uni uzluksiz o'zgaruvchi uchun rasmiy ravishda aniqlash mumkin. Geometrik jihatdan mediana taqsimot egri chizig'i bilan o'ralgan maydon yarmiga bo'lingan nuqtaning abscissasidir.

Simmetrik modal taqsimotda median matematik kutish va rejimga to'g'ri keladi.

Matematik kutish tasodifiy miqdorning o'rtacha qiymati - tasodifiy o'zgaruvchining ehtimollik taqsimotining raqamli xarakteristikasi. Eng umumiy tarzda, tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishi X(w) ehtimollik o'lchoviga nisbatan Lebeg integrali sifatida aniqlanadi R asl ehtimollik maydonida:

Matematik kutishni Lebeg integrali sifatida ham hisoblash mumkin X ehtimollik taqsimoti bo'yicha px miqdorlar X:

Cheksiz matematik kutish bilan tasodifiy o'zgaruvchi tushunchasi tabiiy tarzda aniqlanishi mumkin. Oddiy misol - ba'zi tasodifiy yurishlarning qaytish vaqtlari.

Matematik kutishdan foydalanib, taqsimotning ko'plab sonli va funktsional xarakteristikalari aniqlanadi (tasodifiy o'zgaruvchining mos keladigan funktsiyalarining matematik kutilishi kabi), masalan, ishlab chiqaruvchi funktsiya, xarakterli funktsiya, har qanday tartibning momentlari, xususan dispersiya, kovariatsiya. .

Matematik kutish tasodifiy o'zgaruvchining qiymatlarining joylashuvining xarakteristikasi (uning taqsimotining o'rtacha qiymati). Bunday holda, matematik kutish qandaydir "odatiy" taqsimot parametri bo'lib xizmat qiladi va uning roli mexanikada statik moment - massa taqsimotining og'irlik markazining koordinatasi roliga o'xshaydi. Yordamida taqsimot umumiy ma'noda tasvirlangan joylashuvning boshqa xususiyatlaridan - medianlar, rejimlar, matematik kutish u va tegishli tarqalish xarakteristikasi - dispersiya - ehtimollar nazariyasining chegara teoremalarida ega bo'lgan kattaroq qiymat bilan farqlanadi. Matematik kutishning ma'nosi katta sonlar qonuni (Chebishev tengsizligi) va katta sonlarning mustahkamlangan qonuni bilan to'liq ochib beriladi.

Diskret tasodifiy miqdorni kutish

Bir nechta raqamli qiymatlardan birini olishi mumkin bo'lgan tasodifiy o'zgaruvchi bo'lsin (masalan, zar otishda ballar soni 1, 2, 3, 4, 5 yoki 6 bo'lishi mumkin). Ko'pincha amalda bunday qiymat uchun savol tug'iladi: ko'p sonli testlar bilan "o'rtacha" qanday qiymatni oladi? Xavfli operatsiyalarning har biridan bizning o'rtacha daromadimiz (yoki zararimiz) qanday bo'ladi?

Aytaylik, qandaydir lotereya bor. Biz unda ishtirok etish (yoki hatto qayta-qayta, muntazam ravishda ishtirok etish) foydali yoki yo'qligini tushunishni istaymiz. Aytaylik, har to'rtinchi chipta g'olib bo'ladi, sovrin 300 rublni, har qanday chiptaning narxi esa 100 rublni tashkil qiladi. Cheksiz ko'p sonli ishtiroklar bilan bu sodir bo'ladi. Ishlarning to'rtdan uch qismida biz yo'qotamiz, har uchta yo'qotish 300 rublni tashkil qiladi. Har to'rtinchi holatda biz 200 rubl yutib olamiz. (sovrin minus qiymati), ya'ni to'rtta ishtirok uchun biz o'rtacha 100 rubl, bittasi uchun - o'rtacha 25 rubl yo'qotamiz. Umuman olganda, bizning xarobamizning o'rtacha narxi chipta uchun 25 rublni tashkil qiladi.

Biz zarlarni tashlaymiz. Agar u aldamasa (og'irlik markazini o'zgartirmasdan va hokazo), unda biz bir vaqtning o'zida o'rtacha qancha ball olamiz? Har bir variant bir xil ehtimolga ega bo'lganligi sababli, biz o'rtacha arifmetikni olamiz va 3,5 ni olamiz. Bu O'RTA bo'lgani uchun, hech qanday maxsus rulon 3,5 ball bermasligidan g'azablanishning hojati yo'q - bu kubning bunday raqam bilan yuzi yo'q!

Endi misollarimizni umumlashtiramiz:

Keling, hozirgina berilgan rasmga qaraylik. Chap tomonda tasodifiy miqdorni taqsimlash jadvali mavjud. X qiymati n ta mumkin bo'lgan qiymatlardan birini qabul qilishi mumkin (yuqori satrda ko'rsatilgan). Boshqa ma'nolar bo'lishi mumkin emas. Har bir mumkin bo'lgan qiymat ostida uning ehtimoli bor. O'ng tomonda formula mavjud, bu erda M (X) matematik kutish deb ataladi. Ushbu qiymatning ma'nosi shundaki, ko'p sonli testlar (katta namuna bilan) bilan o'rtacha qiymat xuddi shu matematik kutishga moyil bo'ladi.

Keling, yana bir xil o'yin kubiga qaytaylik. Otish paytida ballar sonining matematik kutilishi 3,5 ni tashkil qiladi (agar menga ishonmasangiz, formuladan foydalanib o'zingiz hisoblang). Aytaylik, siz uni bir necha marta tashladingiz. Natijalar 4 va 6. O'rtacha 5 ni tashkil etdi, bu 3,5 dan uzoqdir. Ular yana bir marta tashladilar, ular 3 ni olishdi, ya'ni o'rtacha (4 + 6 + 3)/3 = 4,3333 ... Matematik kutishdan qandaydir uzoqda. Endi aqldan ozgan tajriba qiling - kubni 1000 marta aylantiring! Va agar o'rtacha ko'rsatkich aniq 3,5 bo'lmasa ham, bu unga yaqin bo'ladi.

Keling, yuqorida tavsiflangan lotereya uchun matematik kutishni hisoblaylik. Plita quyidagicha ko'rinadi:

Keyin yuqorida belgilaganimizdek, matematik kutish bo'ladi:

Yana bir narsa shundaki, agar ko'proq variant bo'lsa, buni "barmoqlarda" formulasiz qilish qiyin bo'ladi. Aytaylik, 75% yo'qotilgan chiptalar, 20% yutuqli chiptalar va 5% ayniqsa yutuqlilar bo'ladi.

Endi matematik kutishning ba'zi xususiyatlari.

Buni isbotlash oson:

Doimiy omilni matematik kutish belgisi sifatida chiqarish mumkin, ya'ni:

Bu matematik kutishning chiziqli xususiyatining alohida holati.

Matematik kutishning chiziqliligining yana bir natijasi:

ya'ni tasodifiy miqdorlar yig'indisining matematik kutilishi tasodifiy o'zgaruvchilarning matematik kutishlari yig'indisiga teng.

X, Y mustaqil tasodifiy miqdorlar bo'lsin, Keyin:

Buni isbotlash ham oson) Ishlang XY o'zi tasodifiy o'zgaruvchidir va agar boshlang'ich qiymatlar olishi mumkin bo'lsa n Va m qiymatlari shunga ko'ra, keyin XY nm qiymatlarni qabul qilishi mumkin. Har bir qiymatning ehtimoli mustaqil hodisalarning ehtimolliklari ko'paytirilishiga asoslanib hisoblanadi. Natijada biz quyidagilarni olamiz:

Uzluksiz tasodifiy miqdorni kutish

Uzluksiz tasodifiy miqdorlar taqsimot zichligi (ehtimollik zichligi) kabi xususiyatga ega. Bu tasodifiy o'zgaruvchining haqiqiy sonlar to'plamidan ba'zi qiymatlarni tez-tez, ba'zilari esa kamroq qabul qiladigan vaziyatni xarakterlaydi. Masalan, ushbu grafikni ko'rib chiqing:

Bu yerga X- haqiqiy tasodifiy o'zgaruvchi, f(x)- tarqatish zichligi. Ushbu grafikga ko'ra, tajribalar davomida qiymat X ko'pincha nolga yaqin raqam bo'ladi. Imkoniyatlar oshib ketdi 3 yoki kichikroq bo'ling -3 anchagina nazariy.

Masalan, bir xil taqsimot bo'lsin:

Bu intuitiv tushunishga juda mos keladi. Aytaylik, agar biz bir xil taqsimotga ega bo'lgan ko'plab tasodifiy haqiqiy sonlarni olsak, segmentning har biri |0; 1| , keyin arifmetik o'rtacha taxminan 0,5 bo'lishi kerak.

Diskret tasodifiy o'zgaruvchilar uchun qo'llaniladigan matematik kutish xususiyatlari - chiziqlilik va boshqalar bu erda ham qo'llaniladi.

Matematik kutish va boshqa statistik ko'rsatkichlar o'rtasidagi bog'liqlik

Statistik tahlilda matematik kutish bilan bir qatorda hodisalarning bir xilligi va jarayonlarning barqarorligini aks ettiruvchi o'zaro bog'liq ko'rsatkichlar tizimi mavjud. Variatsiya ko'rsatkichlari ko'pincha mustaqil ma'noga ega emas va keyingi ma'lumotlarni tahlil qilish uchun ishlatiladi. Istisno - bu qimmatli statistik tavsif bo'lgan ma'lumotlarning bir xilligini tavsiflovchi o'zgaruvchanlik koeffitsienti.

Statistikada jarayonlarning o'zgaruvchanligi yoki barqarorligi darajasini bir nechta ko'rsatkichlar yordamida o'lchash mumkin.

Tasodifiy o'zgaruvchining o'zgaruvchanligini tavsiflovchi eng muhim ko'rsatkich Dispersiya, bu matematik kutish bilan eng yaqin va bevosita bog'liqdir. Ushbu parametr statistik tahlilning boshqa turlarida (gipotezani tekshirish, sabab-natija munosabatlarini tahlil qilish va boshqalar) faol qo'llaniladi. O'rtacha chiziqli og'ish kabi, dispersiya ham o'rtacha qiymat atrofida ma'lumotlarning tarqalish darajasini aks ettiradi.

Belgilar tilini so'zlar tiliga tarjima qilish foydalidir. Ma'lum bo'lishicha, dispersiya og'ishlarning o'rtacha kvadratidir. Ya'ni, avval o'rtacha qiymat hisoblanadi, so'ngra har bir asl va o'rtacha qiymat o'rtasidagi farq olinadi, kvadratga olinadi, qo'shiladi va keyin populyatsiyadagi qiymatlar soniga bo'linadi. Shaxsiy qiymat va o'rtacha qiymat o'rtasidagi farq og'ish o'lchovini aks ettiradi. Barcha og'ishlar faqat musbat raqamlarga aylanishi va ularni jamlashda ijobiy va salbiy og'ishlarning o'zaro yo'q qilinishiga yo'l qo'ymaslik uchun kvadratga aylantiriladi. Keyin, kvadrat og'ishlarni hisobga olgan holda, biz oddiygina arifmetik o'rtachani hisoblaymiz. O'rtacha - kvadrat - og'ishlar. Og'ishlar kvadratga bo'linadi va o'rtacha hisoblanadi. Sehrli "tarqalish" so'ziga javob faqat uchta so'zda yotadi.

Biroq, uning sof shaklida, masalan, arifmetik o'rtacha yoki indeksda dispersiya ishlatilmaydi. Bu statistik tahlilning boshqa turlari uchun qo'llaniladigan yordamchi va oraliq ko'rsatkichdir. Uning oddiy o'lchov birligi ham yo'q. Formulaga ko'ra, bu asl ma'lumotlarning o'lchov birligining kvadratidir.

Keling, tasodifiy o'zgaruvchini o'lchaymiz N marta, masalan, biz shamol tezligini o'n marta o'lchaymiz va o'rtacha qiymatni topmoqchimiz. O'rtacha qiymat taqsimot funktsiyasi bilan qanday bog'liq?

Yoki biz zarlarni ko'p marta tashlaymiz. Har bir otishda zarda paydo bo'ladigan ballar soni tasodifiy o'zgaruvchidir va 1 dan 6 gacha bo'lgan har qanday tabiiy qiymatni olishi mumkin. Barcha zarlar uchun hisoblangan tushgan ballarning o'rtacha arifmetik qiymati ham tasodifiy o'zgaruvchidir, lekin katta zar uchun N u juda aniq raqamga - matematik kutishga intiladi Mx. Bu holda Mx = 3,5.

Bu qiymatni qanday oldingiz? Ichkariga ruxsat bering N testlar n1 1 ball olganingizdan keyin, n2 bir marta - 2 ball va boshqalar. Keyin bitta nuqta tushgan natijalar soni:

Xuddi shunday, 2, 3, 4, 5 va 6 ball olingan natijalar uchun.

Keling, biz x tasodifiy o'zgaruvchining taqsimot qonunini bilamiz deb faraz qilaylik, ya'ni x tasodifiy o'zgaruvchisi p1, p2, ..., ehtimolliklari bilan x1, x2, ..., xk qiymatlarini olishi mumkinligini bilamiz. pk.

X tasodifiy o'zgaruvchining Mx matematik kutilishi quyidagilarga teng:

Matematik kutish har doim ham ba'zi tasodifiy o'zgaruvchilarning oqilona bahosi emas. Shunday qilib, o'rtacha ish haqini baholash uchun median tushunchasidan foydalanish oqilona bo'ladi, ya'ni ish haqi o'rtachadan past va undan yuqori bo'lgan odamlarning soni mos keladigan qiymatdan foydalanish.

X tasodifiy o'zgaruvchisi x1/2 dan kichik bo'lishi ehtimoli p1 va x tasodifiy o'zgaruvchisi x1/2 dan katta bo'lishi p2 ehtimolligi bir xil va 1/2 ga teng. Median barcha taqsimotlar uchun yagona aniqlanmaydi.

Standart yoki standart og'ish statistikada kuzatuv ma'lumotlari yoki to'plamlarning O'RTA qiymatdan chetlanish darajasi deyiladi. S yoki s harflari bilan belgilanadi. Kichik standart og'ish ma'lumotlarning o'rtacha atrofida to'planishini ko'rsatadi, katta standart og'ish esa dastlabki ma'lumotlar undan uzoqda joylashganligini ko'rsatadi. Standart og'ish dispersiya deb ataladigan miqdorning kvadrat ildiziga teng. Bu o'rtacha qiymatdan chetga chiqadigan dastlabki ma'lumotlarning kvadratik farqlari yig'indisining o'rtacha qiymati. Tasodifiy o'zgaruvchining standart og'ishi dispersiyaning kvadrat ildizidir:

Misol. Sinov sharoitida nishonga otish paytida tasodifiy o'zgaruvchining tarqalishi va standart og'ishini hisoblang:

Variatsiya- xarakteristikaning qiymatining populyatsiya birliklari orasida o'zgarishi, o'zgaruvchanligi. O'rganilayotgan populyatsiyada topilgan belgining individual raqamli qiymatlari qiymatlar varianti deb ataladi. Populyatsiyani to'liq tavsiflash uchun o'rtacha qiymatning etarli emasligi bizni o'rtacha qiymatlarni o'rganilayotgan xarakteristikaning o'zgaruvchanligini (variatsiyasini) o'lchash orqali ushbu o'rtacha ko'rsatkichlarning tipikligini baholashga imkon beradigan ko'rsatkichlar bilan to'ldirishga majbur qiladi. O'zgaruvchanlik koeffitsienti quyidagi formula bo'yicha hisoblanadi:

Variatsiya diapazoni(R) o'rganilayotgan populyatsiyadagi atributning maksimal va minimal qiymatlari o'rtasidagi farqni ifodalaydi. Ushbu ko'rsatkich o'rganilayotgan xarakteristikaning o'zgaruvchanligi haqida eng umumiy fikrni beradi, chunki u faqat variantlarning maksimal qiymatlari orasidagi farqni ko'rsatadi. Xarakteristikaning ekstremal qiymatlariga bog'liqlik o'zgaruvchanlik doirasiga beqaror, tasodifiy belgi beradi.

O'rtacha chiziqli og'ish tahlil qilinayotgan aholining barcha qiymatlarining o'rtacha qiymatidan mutlaq (modul) og'ishlarining o'rtacha arifmetik qiymatini ifodalaydi:

Qimor nazariyasida matematik kutish

Matematik kutish Qimorboz berilgan garovda yutishi yoki yo'qotishi mumkin bo'lgan o'rtacha pul miqdori. Bu o'yinchi uchun juda muhim tushunchadir, chunki u ko'pchilik o'yin vaziyatlarini baholash uchun asosdir. Matematik kutish, shuningdek, asosiy karta tartiblari va o'yin holatlarini tahlil qilish uchun optimal vositadir.

Aytaylik, siz do'stingiz bilan tanga o'ynaysiz, nima bo'lishidan qat'i nazar, har safar teng ravishda $1 pul tikasiz. Quyruqlar g'alaba qozonishingizni anglatadi, boshlar - yutqazishingizni anglatadi. Koeffitsientlar birdan yuqori bo'ladi, shuning uchun siz 1 dollardan 1 dollargacha pul tikasiz. Shunday qilib, sizning matematik kutishingiz nolga teng, chunki Matematik nuqtai nazardan, siz ikkita otishdan keyin yoki 200 dan keyin etakchi bo'lishingiz yoki yutqazishingizni bilolmaysiz.

Sizning soatlik daromadingiz nolga teng. Soatlik yutuq - bu bir soat ichida yutib olishni kutgan pul miqdori. Bir soat ichida siz 500 marta tanga tashlashingiz mumkin, lekin siz g'alaba qozonmaysiz yoki yutqazmaysiz, chunki ... sizning imkoniyatingiz ijobiy ham, salbiy ham emas. Agar siz jiddiy o'yinchi nuqtai nazaridan qarasangiz, bu pul tikish tizimi yomon emas. Ammo bu shunchaki vaqtni behuda sarflash.

Aytaylik, kimdir xuddi shu o'yinda sizning 1 dollaringizga 2 dollar tikishni xohlaydi. Shunda siz darhol har bir tikishdan 50 sent miqdorida ijobiy umidga ega bo'lasiz. Nega 50 sent? O'rtacha, siz bitta garovda g'alaba qozonasiz va ikkinchisini yo'qotasiz. Birinchi dollar tiking va siz 1 dollar yo'qotasiz, ikkinchisiga tikasiz va 2 dollar yutib olasiz. Siz ikki marta 1 dollar tikasiz va 1 dollarga oldindasiz. Shunday qilib, bir dollarlik tikishingizning har biri sizga 50 sent berdi.

Agar tanga bir soat ichida 500 marta paydo bo'lsa, sizning soatlik yutug'ingiz allaqachon $250 bo'ladi, chunki... O'rtacha hisobda siz bir dollarni 250 marta yo'qotdingiz va ikki dollarni 250 marta yutgansiz. $ 500 minus $ 250 $ 250 ga teng, bu umumiy yutuqdir. E'tibor bering, kutilgan qiymat, ya'ni har bir tikish uchun yutgan o'rtacha miqdor 50 sent. Siz bir dollarga 500 marta tikish orqali 250 dollar yutib oldingiz, bu har bir tikish uchun 50 sentga teng.

Matematik kutishning qisqa muddatli natijalar bilan hech qanday aloqasi yo'q. Sizga qarshi $2 tikishga qaror qilgan raqibingiz sizni ketma-ket birinchi o'nta rolikda mag'lub etishi mumkin edi, lekin siz 2 dan 1 gacha tikish ustunligiga ega bo'lib, qolgan barcha narsalar teng bo'lsa, har bir $1 garovdan 50 sent ishlab olasiz. holatlar. Xarajatlarni bemalol qoplash uchun naqd pulingiz yetarli bo'lsa, bitta garovda yoki bir nechta garovda g'alaba qozonasizmi yoki yo'qotasizmi, farqi yo'q. Agar siz xuddi shu tarzda pul tikishda davom etsangiz, uzoq vaqt davomida sizning yutug'ingiz individual otishlardagi taxminlar yig'indisiga yaqinlashadi.

Har safar eng yaxshi garov qilganingizda (uzoq muddatda foydali bo'lishi mumkin bo'lgan garov), koeffitsientlar sizning foydangizga bo'lsa, uni yo'qotishingiz yoki yo'qotmasligingizdan qat'i nazar, siz u bilan nimadir yutib olishingiz shart. qo'l berilgan. Aksincha, agar siz koeffitsientlar sizga qarshi bo'lganida underdog tikish (uzoq muddatda foydasiz bo'lgan garov) qilsangiz, g'alaba qozonishingiz yoki qo'lni yo'qotishingizdan qat'i nazar, siz biror narsani yo'qotasiz.

Agar kutganingiz ijobiy bo'lsa, eng yaxshi natijaga ega bo'lgan pul tikasiz va koeffitsientlar siz tomonda bo'lsa, bu ijobiy bo'ladi. Agar siz eng yomon natijaga ega bo'lgan garov qo'yganingizda, sizda salbiy umid bor, bu koeffitsientlar sizga qarshi bo'lganda sodir bo'ladi. Jiddiy o'yinchilar faqat eng yaxshi natijaga pul tikadilar, agar eng yomoni sodir bo'lsa, ular katlanadilar. Imkoniyatlar sizning foydangizga nimani anglatadi? Oxir-oqibat, siz haqiqiy imkoniyatlardan ko'ra ko'proq g'alaba qozonishingiz mumkin. Qo'nish boshlarining haqiqiy koeffitsienti 1 ga 1 ni tashkil qiladi, ammo siz koeffitsient nisbati tufayli 2 dan 1 gacha olasiz. Bunday holda, koeffitsientlar sizning foydangizga. Har bir tikish uchun 50 tsent ijobiy kutish bilan siz, albatta, eng yaxshi natijaga erishasiz.

Bu erda matematik kutishning yanada murakkab misoli. Do'stingiz birdan beshgacha raqamlarni yozib qo'yadi va sizning 1 dollaringizga 5 dollar tikadi, siz bu raqamni bilmaysiz. Bunday garovga rozi bo'lishingiz kerakmi? Bu erda nimani kutish mumkin?

O'rtacha to'rt marta xato qilasiz. Bunga asoslanib, bu raqamni taxmin qilishingizga qarshi koeffitsient 4 ga 1. Bir urinishda dollarni yo'qotishingizga qarshi koeffitsient. Biroq, siz 5: 1 hisobida g'alaba qozonasiz, 4: 1 hisobida mag'lub bo'lish ehtimoli bor. Demak, koeffitsientlar sizning foydangizga, siz tikishingiz va eng yaxshi natijaga umid qilishingiz mumkin. Agar siz ushbu garovni besh marta qilsangiz, o'rtacha hisobda siz to'rt marta 1 dollar yo'qotasiz va bir marta 5 dollar yutib olasiz. Shunga asoslanib, barcha beshta urinish uchun siz har bir tikish uchun 20 tsentlik ijobiy matematik kutish bilan 1 dollar ishlab olasiz.

Yuqoridagi misolda bo'lgani kabi tikganidan ko'ra ko'proq g'alaba qozonmoqchi bo'lgan o'yinchi tavakkal qiladi. Aksincha, u tikilganidan kamroq g'alaba qozonishni kutsa, o'z imkoniyatlarini buzadi. Gamblingchi ijobiy yoki salbiy kutishga ega bo'lishi mumkin, bu uning g'alaba qozonishi yoki koeffitsientni yo'q qilishiga bog'liq.

Agar siz 10 dollar yutish uchun 4 ga 1 imkoniyat bilan 50 dollar tiksangiz, siz 2 dollarlik salbiy kutilasiz, chunki O'rtacha hisobda siz to'rt marta 10 dollar yutib, bir marta 50 dollar yo'qotasiz, bu esa har bir tikish uchun yo'qotish 10 dollar bo'lishini ko'rsatadi. Ammo agar siz 10 dollar yutib olish uchun 30 dollar tiksangiz, 4 ga 1 yutish koeffitsienti bir xil bo'lsa, bu holda sizda 2 dollarga ijobiy umid bor, chunki siz yana g'alaba $10 to'rt marta va yo'qotish $30 bir marta, foyda uchun $10. Bu misollar birinchi tikish yomon, ikkinchisi esa yaxshi ekanligini ko'rsatadi.

Matematik kutish har qanday o'yin vaziyatining markazidir. Bukmeker konserni futbol muxlislarini 10 dollar yutib olish uchun 11 dollar tikishga undasa, u har 10 dollar uchun 50 sentdan ijobiy kutadi. Agar kazino crapsdagi o'tish chizig'idan hatto pul to'lasa, u holda kazinoning ijobiy kutishi har 100 dollar uchun taxminan 1,40 dollarni tashkil qiladi, chunki Ushbu o'yin shunday tuzilganki, kim bu chiziqqa pul tiksa, o'rtacha 50,7% yutqazadi va umumiy vaqtning 49,3% yutadi. Shubhasiz, bu dunyo bo'ylab qimorxona egalariga katta foyda keltiradigan minimal ijobiy kutishdir. Vegas World kazino egasi Bob Stupak ta'kidlaganidek, "etarlicha uzoq masofadagi mingdan bir foiz salbiy ehtimollik dunyodagi eng boy odamni yo'q qiladi".

Poker o'ynashda kutish

Poker o'yini matematik kutish nazariyasi va xususiyatlaridan foydalanish nuqtai nazaridan eng yorqin va yorqin misoldir.

Pokerda kutilayotgan qiymat - bu ma'lum bir qarordan o'rtacha foyda, agar bunday qaror katta raqamlar va uzoq masofalar nazariyasi doirasida ko'rib chiqilishi mumkin. Muvaffaqiyatli poker o'yini har doim ijobiy kutilgan qiymatga ega harakatlarni qabul qilishdir.

Poker o'ynashda matematik kutishning matematik ma'nosi shundaki, biz qaror qabul qilishda ko'pincha tasodifiy o'zgaruvchilarga duch kelamiz (biz raqibning qo'lida qanday kartalar borligini, tikishning keyingi bosqichlarida qanday kartalar kelishini bilmaymiz). Yechimlarning har birini katta sonlar nazariyasi nuqtai nazaridan ko'rib chiqishimiz kerak, ya'ni etarlicha katta tanlama bilan tasodifiy o'zgaruvchining o'rtacha qiymati uning matematik kutilishiga moyil bo'ladi.

Matematik kutishni hisoblash uchun maxsus formulalar orasida quyidagilar pokerda eng ko'p qo'llaniladi:

Poker o'ynaganda, kutilgan qiymatni ham tikish, ham qo'ng'iroqlar uchun hisoblash mumkin. Birinchi holda, o'z kapitalini, ikkinchidan, bankning o'z imkoniyatlarini hisobga olish kerak. Muayyan harakatning matematik kutilishini baholashda, katlama har doim nolga teng kutishga ega ekanligini yodda tutishingiz kerak. Shunday qilib, kartalardan voz kechish har doim har qanday salbiy harakatdan ko'ra foydaliroq qaror bo'ladi.

Kutish, siz xavf ostiga qo'ygan har bir dollar uchun nimani kutishingiz mumkinligini (foyda yoki zarar) aytadi. Kazinolar pul ishlashadi, chunki ularda o'ynaladigan barcha o'yinlarning matematik kutilishi kazino foydasiga. Etarlicha uzun o'yinlar seriyasi bilan siz mijoz o'z pulini yo'qotishini kutishingiz mumkin, chunki "ko'rsatkichlar" kazino foydasiga. Biroq, professional kazino o'yinchilari o'z o'yinlarini qisqa vaqt oralig'ida cheklab qo'yishadi va shu bilan koeffitsientlarni o'z foydasiga to'ldiradilar. Xuddi shu narsa investitsiya qilish uchun ham amal qiladi. Agar kutganingiz ijobiy bo'lsa, qisqa vaqt ichida ko'plab savdolarni amalga oshirish orqali ko'proq pul ishlashingiz mumkin. Kutish - bu har bir g'alabadan olingan foydaning o'rtacha daromadga ko'paytirilishi, minus yo'qotish ehtimolining o'rtacha yo'qotish bilan ko'paytirilishi.

Pokerni matematik kutish nuqtai nazaridan ham ko'rib chiqish mumkin. Siz ma'lum bir harakatni foydali deb hisoblashingiz mumkin, lekin ba'zi hollarda u eng yaxshisi bo'lmasligi mumkin, chunki boshqa harakat foydaliroq. Aytaylik, siz beshta kartadan iborat pokerda to'liq uyni urdingiz. Sizning raqibingiz pul tikadi. Bilasizmi, agar siz pul tiksangiz, u javob beradi. Shuning uchun, ko'tarish eng yaxshi taktika bo'lib tuyuladi. Ammo agar siz tikishni ko'tarsangiz, qolgan ikki o'yinchi albatta buklanadi. Lekin qo'ng'iroq qilsangiz, orqangizdagi qolgan ikki futbolchi ham shunday qilishiga to'liq ishonchingiz komil. Tikishni ko'targaningizda siz bitta birlik olasiz va faqat qo'ng'iroq qilganingizda ikkita olasiz. Shunday qilib, qo'ng'iroq qilish sizga yuqori ijobiy kutilgan qiymatni beradi va eng yaxshi taktika bo'ladi.

Matematik kutish, shuningdek, qaysi poker taktikasi kamroq foydali va qaysi biri foydaliroq ekanligi haqida fikr berishi mumkin. Misol uchun, agar siz ma'lum bir qo'lni o'ynasangiz va sizning yo'qotishingiz ante bilan birga o'rtacha 75 tsentni tashkil qiladi deb o'ylasangiz, bu qo'lni o'ynashingiz kerak, chunki bu ante $1 bo'lganda katlamadan yaxshiroqdir.

Kutilgan qiymat kontseptsiyasini tushunishning yana bir muhim sababi shundaki, u siz garovda g'alaba qozonasizmi yoki yo'qmi, sizga xotirjamlik hissi beradi: agar siz yaxshi garov o'tkazgan bo'lsangiz yoki kerakli vaqtda buklangan bo'lsangiz, siz pul topganingizni yoki kuchsizroq o'yinchi saqlay olmaydigan ma'lum miqdordagi pulni tejab qo'ydi. Agar siz xafa bo'lsangiz, raqibingiz kuchliroq qo'lni tortib olgani uchun buklanish ancha qiyin. Bularning barchasi bilan tikish o'rniga o'ynamaslik orqali tejagan pulingiz tungi yoki oylik yutuqlaringizga qo'shiladi.

Shuni yodda tutingki, agar siz qo'llaringizni almashtirsangiz, raqibingiz sizni chaqirgan bo'lardi va Pokerning asosiy teoremasi maqolasida ko'rib turganingizdek, bu sizning afzalliklaringizdan biridir. Bu sodir bo'lganda xursand bo'lishingiz kerak. Siz hatto qo'lingizni yo'qotishdan zavqlanishni o'rganishingiz mumkin, chunki sizning pozitsiyangizdagi boshqa o'yinchilar ko'proq yo'qotishlarini bilasiz.

Boshidagi tanga o'yini misolida aytib o'tilganidek, daromadning soatlik darajasi matematik kutish bilan o'zaro bog'liq va bu tushuncha ayniqsa professional o'yinchilar uchun muhimdir. Poker o'ynashga borganingizda, bir soatlik o'yinda qancha yutib olishingiz mumkinligini aqlan hisoblashingiz kerak. Aksariyat hollarda siz sezgi va tajribangizga tayanishingiz kerak bo'ladi, lekin siz matematikadan ham foydalanishingiz mumkin. Misol uchun, siz lotereya o'yinini o'ynayapsiz va siz uchta o'yinchi 10 dollar pul tikib, keyin ikkita kartani almashayotganini ko'rasiz, bu juda yomon taktika, ular har safar 10 dollar tikganda, ular taxminan 2 dollar yo'qotishlarini tushunishingiz mumkin. Ularning har biri buni soatiga sakkiz marta qiladi, ya'ni ularning uchtasi ham soatiga taxminan 48 dollar yo'qotadi. Siz taxminan teng bo'lgan qolgan to'rt o'yinchidan birisiz, shuning uchun bu to'rtta o'yinchi (va siz ular orasida) 48 dollarni bo'lishlari kerak, har biri soatiga 12 dollardan foyda oladi. Bu holatda sizning soatlik koeffitsientingiz bir soat ichida uchta yomon o'yinchi tomonidan yo'qotilgan pul miqdoridagi ulushingizga teng.

Uzoq vaqt davomida o'yinchining umumiy yutug'i uning individual qo'llaridagi matematik taxminlarining yig'indisidir. Qanchalik ko'p qo'llar ijobiy kutish bilan o'ynasangiz, shuncha ko'p g'alaba qozonasiz va aksincha, salbiy kutish bilan qancha qo'l o'ynasangiz, shuncha ko'p yo'qotasiz. Natijada, siz o'zingizning ijobiy kutishingizni maksimal darajada oshiradigan yoki salbiy kutishingizni inkor etadigan o'yinni tanlashingiz kerak, shunda siz soatlik yutuqlaringizni maksimal darajada oshirishingiz mumkin.

O'yin strategiyasida ijobiy matematik kutish

Agar siz kartalarni qanday hisoblashni bilsangiz, ular sezmay, sizni tashqariga chiqarib tashlamaguncha, siz kazinoda ustunlikka ega bo'lishingiz mumkin. Kazinolar mast o'yinchilarni yaxshi ko'radilar va kartalarni sanash o'yinchilariga toqat qilmaydilar. Afzallik sizga vaqt o'tishi bilan yo'qotganingizdan ko'ra ko'proq g'alaba qozonish imkonini beradi. Kutilgan qiymat hisob-kitoblaridan foydalangan holda pulni yaxshi boshqarish sizning chekingizdan ko'proq foyda olishga va yo'qotishlaringizni kamaytirishga yordam beradi. Imtiyozsiz, pulni xayriyaga berganingiz ma'qul. Birjadagi o'yinda ustunlik o'yin tizimi tomonidan beriladi, bu esa yo'qotishlardan, narxlardagi farqlardan va komissiyalardan ko'ra ko'proq foyda keltiradi. Hech qanday pul boshqaruvi yomon o'yin tizimini qutqara olmaydi.

Ijobiy kutish noldan katta qiymat sifatida aniqlanadi. Bu raqam qanchalik katta bo'lsa, statistik kutish shunchalik kuchli bo'ladi. Agar qiymat noldan kichik bo'lsa, matematik kutish ham manfiy bo'ladi. Salbiy qiymat moduli qanchalik katta bo'lsa, vaziyat shunchalik yomon bo'ladi. Agar natija nolga teng bo'lsa, kutish zararsizdir. Siz faqat ijobiy matematik kutish va oqilona o'yin tizimiga ega bo'lganingizda g'alaba qozonishingiz mumkin. Sezgi bilan o'ynash falokatga olib keladi.

Matematik kutish va birja savdosi

Matematik kutish moliyaviy bozorlarda birja savdolarini amalga oshirishda juda keng qo'llaniladigan va mashhur statistik ko'rsatkichdir. Avvalo, bu parametr savdo muvaffaqiyatini tahlil qilish uchun ishlatiladi. Bu qiymat qanchalik yuqori bo'lsa, o'rganilayotgan savdoni muvaffaqiyatli deb hisoblash uchun ko'proq sabablar borligini taxmin qilish qiyin emas. Albatta, treyderning ishini tahlil qilish faqat ushbu parametr yordamida amalga oshirilmaydi. Biroq, hisoblangan qiymat ish sifatini baholashning boshqa usullari bilan birgalikda tahlilning aniqligini sezilarli darajada oshirishi mumkin.

Matematik kutish tez-tez depozit bo'yicha amalga oshirilgan ishlarni tezda baholash imkonini beruvchi savdo hisobini monitoring qilish xizmatlarida hisoblab chiqiladi. Istisnolar "o'tirish" foydasiz savdolardan foydalanadigan strategiyalarni o'z ichiga oladi. Treyder bir muncha vaqt omadli bo'lishi mumkin va shuning uchun uning ishida umuman yo'qotishlar bo'lmasligi mumkin. Bunday holda, faqat matematik kutish bilan boshqarilishi mumkin bo'lmaydi, chunki ishda ishlatiladigan xavflar hisobga olinmaydi.

Bozor savdosida matematik kutish ko'pincha har qanday savdo strategiyasining rentabelligini bashorat qilishda yoki treyderning oldingi savdosidagi statistik ma'lumotlarga asoslangan daromadini bashorat qilishda qo'llaniladi.

Pulni boshqarishga kelsak, salbiy taxminlar bilan savdo qilishda, albatta, yuqori daromad keltiradigan pulni boshqarish sxemasi yo'qligini tushunish juda muhimdir. Agar siz ushbu shartlar ostida fond bozorida o'ynashda davom etsangiz, pulingizni qanday boshqarishingizdan qat'i nazar, boshida qanchalik katta bo'lishidan qat'i nazar, butun hisobingizni yo'qotasiz.

Bu aksioma nafaqat salbiy kutilgan o'yinlar yoki savdolar uchun, balki teng imkoniyatlarga ega o'yinlar uchun ham amal qiladi. Shuning uchun, uzoq muddatda foyda olish imkoniyatiga ega bo'lgan yagona vaqt, agar siz ijobiy kutilgan qiymat bilan savdo qilsangiz.

Salbiy kutish va ijobiy kutish o'rtasidagi farq hayot va o'lim o'rtasidagi farqdir. Kutish qanchalik ijobiy yoki salbiy bo'lishi muhim emas; Muhimi, bu ijobiy yoki salbiy. Shuning uchun, pulni boshqarishni ko'rib chiqishdan oldin, siz ijobiy umid bilan o'yin topishingiz kerak.

Agar sizda bu o'yin bo'lmasa, unda dunyodagi barcha pul boshqaruvi sizni qutqarmaydi. Boshqa tomondan, agar sizda ijobiy umid bo'lsa, siz pulni to'g'ri boshqarish orqali uni eksponent o'sish funktsiyasiga aylantira olasiz. Ijobiy kutish qanchalik kichik bo'lishi muhim emas! Boshqacha qilib aytganda, bitta shartnomaga asoslangan savdo tizimi qanchalik foydali ekanligi muhim emas. Agar sizda har bir shartnoma uchun 10 dollar yutib oladigan tizimingiz bo'lsa (komissiyalar va sirpanishdan so'ng), har bir savdo uchun o'rtacha 1000 dollarni tashkil etadigan tizimdan ko'ra (komissiya to'lovlari va sirpanishlar chegirib tashlanganidan keyin) daromadliroq qilish uchun pulni boshqarish usullaridan foydalanishingiz mumkin.

Muhimi, tizim qanchalik foydali bo'lganligi emas, balki kelajakda tizim hech bo'lmaganda minimal foyda ko'rsatishini qanchalik aniq aytish mumkinligi. Shuning uchun, treyder amalga oshirishi mumkin bo'lgan eng muhim tayyorgarlik, tizim kelajakda kutilgan ijobiy qiymatni ko'rsatishini ta'minlashdir.

Kelajakda kutilgan ijobiy qiymatga ega bo'lish uchun tizimingizning erkinlik darajasini cheklamaslik juda muhimdir. Bunga nafaqat optimallashtiriladigan parametrlar sonini yo'q qilish yoki kamaytirish, balki imkon qadar ko'proq tizim qoidalarini kamaytirish orqali erishiladi. Siz qo'shadigan har bir parametr, siz kiritgan har bir qoida, tizimga kiritilgan har bir kichik o'zgarish erkinlik darajalari sonini kamaytiradi. Ideal holda, siz deyarli har qanday bozorda doimiy ravishda kichik daromad keltiradigan juda ibtidoiy va oddiy tizimni qurishingiz kerak. Shunga qaramay, tizim qanchalik foydali bo'lishi muhim emasligini tushunishingiz kerak, agar u foydali bo'lsa. Savdoda topgan pulingiz pulni samarali boshqarish orqali amalga oshiriladi.

Savdo tizimi shunchaki pul boshqaruvidan foydalanishingiz uchun sizga ijobiy kutilgan qiymatni beruvchi vositadir. Faqat bir yoki bir nechta bozorlarda ishlaydigan (hech bo'lmaganda minimal foydani ko'rsatadigan) yoki turli bozorlar uchun turli qoidalar yoki parametrlarga ega bo'lgan tizimlar real vaqtda uzoq vaqt ishlamaydi. Ko'pgina texnik yo'naltirilgan treyderlar bilan bog'liq muammo shundaki, ular savdo tizimining turli qoidalari va parametr qiymatlarini optimallashtirish uchun juda ko'p vaqt va kuch sarflashadi. Bu butunlay qarama-qarshi natijalar beradi. Savdo tizimining foydasini oshirish uchun energiya va kompyuter vaqtini behuda sarflashning o'rniga, kuchingizni minimal foyda olishning ishonchlilik darajasini oshirishga yo'naltiring.

Pulni boshqarish ijobiy umidlardan foydalanishni talab qiladigan shunchaki raqamlar o'yini ekanligini bilib, treyder birja savdosining "muqaddas kosasi" ni qidirishni to'xtatishi mumkin. Buning o'rniga, u o'zining savdo usulini sinab ko'rishni boshlashi mumkin, bu usul qanchalik mantiqiy ekanligini va bu ijobiy umidlarni beradimi yoki yo'qligini bilib oladi. To'g'ri pul boshqarish usullari, har qanday, hatto juda o'rtacha savdo usullariga qo'llaniladi, qolgan ishni o'zlari bajaradi.

Har qanday treyder o'z ishida muvaffaqiyat qozonishi uchun u uchta eng muhim vazifani hal qilishi kerak: . Muvaffaqiyatli bitimlar soni muqarrar xatolar va noto'g'ri hisob-kitoblardan oshib ketishini ta'minlash; Savdo tizimingizni imkon qadar tez-tez pul ishlash imkoniyatiga ega bo'lishingiz uchun sozlang; Operatsiyalaringizdan barqaror ijobiy natijalarga erishing.

Va bu erda, biz ishlaydigan treyderlar uchun matematik kutish katta yordam berishi mumkin. Bu atama ehtimollik nazariyasidagi asosiy atamalardan biridir. Uning yordami bilan siz tasodifiy qiymatning o'rtacha bahosini berishingiz mumkin. Tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishi tortishish markaziga o'xshaydi, agar siz barcha mumkin bo'lgan ehtimolliklarni turli massali nuqtalar sifatida tasavvur qilsangiz.

Savdo strategiyasiga kelsak, uning samaradorligini baholash uchun ko'pincha foyda (yoki zarar) ning matematik kutilishi qo'llaniladi. Ushbu parametr foyda va zararning berilgan darajalari mahsulotlarining yig'indisi va ularning paydo bo'lish ehtimoli sifatida aniqlanadi. Misol uchun, ishlab chiqilgan savdo strategiyasi barcha bitimlarning 37% foyda keltiradi, qolgan qismi - 63% - foydasiz bo'lishini nazarda tutadi. Shu bilan birga, muvaffaqiyatli bitimdan o'rtacha daromad $7, o'rtacha yo'qotish $1,4 bo'ladi. Keling, ushbu tizim yordamida savdoning matematik kutilishini hisoblaylik:

Bu raqam nimani anglatadi? Unda aytilishicha, ushbu tizim qoidalariga rioya qilgan holda, biz har bir yopiq bitimdan o'rtacha 1708 dollar olamiz. Olingan samaradorlik darajasi noldan katta bo'lganligi sababli, bunday tizim haqiqiy ish uchun ishlatilishi mumkin. Agar hisob-kitob natijasida matematik kutish salbiy bo'lib chiqsa, bu allaqachon o'rtacha yo'qotishni ko'rsatadi va bunday savdo halokatga olib keladi.

Bitim bo'yicha foyda miqdori nisbiy qiymat sifatida % shaklida ham ifodalanishi mumkin. Masalan:

– 1 tranzaksiya uchun daromad ulushi - 5%;

– muvaffaqiyatli savdo operatsiyalari ulushi - 62%;

– 1 tranzaksiya bo'yicha yo'qotish foizi - 3%;

– muvaffaqiyatsiz bitimlar ulushi - 38%;

Ya'ni, o'rtacha savdo 1,96% olib keladi.

Zararli savdolar ustun bo'lishiga qaramay, ijobiy natija beradigan tizimni ishlab chiqish mumkin, chunki uning MO>0.

Biroq, yolg'iz kutish etarli emas. Tizim juda kam savdo signallarini bersa, pul ishlash qiyin. Bunday holda, uning rentabelligi bank foizlari bilan taqqoslanadi. Har bir operatsiya o'rtacha atigi 0,5 dollar ishlab chiqarsin, lekin tizim yiliga 1000 ta operatsiyani o'z ichiga olsa-chi? Bu nisbatan qisqa vaqt ichida juda muhim miqdor bo'ladi. Bundan mantiqan kelib chiqadiki, yaxshi savdo tizimining yana bir o'ziga xos xususiyati lavozimlarni egallashning qisqa muddati deb hisoblanishi mumkin.

Manbalar va havolalar

dic.academic.ru - akademik onlayn lug'at

mathematics.ru - matematika bo'yicha o'quv veb-sayti

nsu.ru - Novosibirsk davlat universitetining o'quv sayti

webmath.ru - talabalar, abituriyentlar va maktab o'quvchilari uchun ta'lim portali.

exponenta.ru o'quv matematik sayti

ru.tradimo.com - bepul onlayn savdo maktabi

crypto.hut2.ru – ko‘p tarmoqli axborot resursi

poker-wiki.ru - bepul poker ensiklopediyasi

sernam.ru - Tanlangan tabiatshunoslik nashrlarining ilmiy kutubxonasi

reshim.su – veb-sayt BIZ test kurslari muammolarini HELAMIZ

unfx.ru – UNFX-da Forex: trening, savdo signallari, ishonchli boshqaruv

slovopedia.com - Katta entsiklopedik lug'at Slovopedia

pokermansion.3dn.ru - Poker dunyosidagi sizning qo'llanma

statanaliz.info - "Statistik ma'lumotlarni tahlil qilish" axborot blogi

forex-trader.rf – Forex-Trader portali

megafx.ru – joriy Forex tahlillari

fx-by.com - treyder uchun hamma narsa

- 10 ta yangi tug'ilgan chaqaloqlar orasida o'g'il bolalar soni.

Bu raqam oldindan ma'lum emasligi aniq va keyingi o'nta bola tug'ilishi mumkin:

Yoki o'g'il bolalar - bitta va yagona sanab o'tilgan variantlardan.

Va shaklni saqlab qolish uchun ozgina jismoniy tarbiya:

- uzunlikka sakrash masofasi (ba'zi birliklarda).

Hatto sport ustasi ham buni bashorat qila olmaydi :)

Biroq, sizning farazlaringiz?

2) Uzluksiz tasodifiy miqdor - qabul qiladi Hammasi ba'zi bir chekli yoki cheksiz intervaldan raqamli qiymatlar.

Eslatma : DSV va NSV qisqartmalari o'quv adabiyotlarida mashhur

Birinchidan, diskret tasodifiy o'zgaruvchini tahlil qilaylik, keyin - davomiy.

Diskret tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni

- Bu yozishmalar bu miqdorning mumkin bo'lgan qiymatlari va ularning ehtimolliklari o'rtasida. Ko'pincha qonun jadvalda yoziladi:

Bu atama juda tez-tez ishlatiladi qator tarqatish, lekin ba'zi holatlarda bu noaniq ko'rinadi va shuning uchun men "qonun" ga amal qilaman.

Endi esa juda muhim nuqta: tasodifiy o'zgaruvchidan beri Majburiy qabul qiladi qadriyatlardan biri, keyin tegishli hodisalar hosil bo'ladi to'liq guruh va ularning paydo bo'lish ehtimoli yig'indisi bittaga teng:

yoki qisqartirilgan holda yozilgan bo'lsa:

Shunday qilib, masalan, matritsaga o'ralgan nuqtalarning ehtimollik taqsimoti qonuni quyidagi ko'rinishga ega:

Sharxsiz.

Diskret tasodifiy o'zgaruvchi faqat "yaxshi" butun son qiymatlarini olishi mumkin degan taassurot paydo bo'lishi mumkin. Keling, illyuziyani yo'q qilaylik - ular hamma narsa bo'lishi mumkin:

1-misol

Ba'zi o'yinlarda quyidagi yutuq tarqatish qonuni mavjud:

...siz bunday vazifalarni anchadan beri orzu qilgandirsiz :) Men sizga bir sirni aytaman - men ham. Ayniqsa, ishni tugatganimdan keyin maydon nazariyasi.

Yechim: tasodifiy o'zgaruvchi uchta qiymatdan faqat bittasini olishi mumkinligi sababli, tegishli hodisalar hosil bo'ladi to'liq guruh, ya'ni ularning ehtimolliklari yig'indisi birga teng:

"Partizan" ni fosh qilish:

- Shunday qilib, an'anaviy birliklarni yutish ehtimoli 0,4 ga teng.

Nazorat: bunga ishonch hosil qilishimiz kerak edi.

Javob:

Tarqatish to'g'risidagi qonunni o'zingiz ishlab chiqishingiz kerak bo'lgan holatlar kam uchraydi. Buning uchun ular foydalanadilar ehtimollikning klassik ta'rifi, hodisa ehtimollari uchun ko'paytirish/qo'shish teoremalari va boshqa chiplar tervera:

2-misol

Qutida 50 ta lotereya chiptasi mavjud bo'lib, ulardan 12 tasi g'alaba qozonadi va ulardan 2 tasi har biri 1000 rubldan, qolganlari esa 100 rubldan yutadi. Tasodifiy o'zgaruvchini taqsimlash qonunini tuzing - agar bitta chipta qutidan tasodifiy olingan bo'lsa, yutuq hajmi.

Yechim: siz sezganingizdek, tasodifiy o'zgaruvchining qiymatlari odatda joylashtiriladi ortib borayotgan tartibda. Shuning uchun biz eng kichik yutuqlardan, ya'ni rubldan boshlaymiz.

Hammasi bo'lib 50 ta bunday chipta mavjud - 12 = 38 va shunga ko'ra klassik ta'rif:
- tasodifiy chizilgan chipta yutqazish ehtimoli.

Boshqa hollarda, hamma narsa oddiy. Rublni yutish ehtimoli:

Tekshiring: - va bu bunday vazifalarning ayniqsa yoqimli daqiqasi!

Javob: yutuqni taqsimlashning istalgan qonuni:

Quyidagi vazifani o'zingiz hal qilishingiz kerak:

3-misol

Otuvchining nishonga tegish ehtimoli. Tasodifiy o'zgaruvchi uchun taqsimlash qonunini tuzing - 2 zarbadan keyin urishlar soni.

...Uni sog'inganingizni bilardim :) Keling, eslaylik ko'paytirish va qo'shish teoremalari. Yechim va javob dars oxirida.

Tarqatish qonuni tasodifiy o'zgaruvchini to'liq tavsiflaydi, lekin amalda faqat bir qismini bilish foydali bo'lishi mumkin (va ba'zan foydaliroq). raqamli xususiyatlar .

Diskret tasodifiy miqdorni kutish

Oddiy qilib aytganda, bu o'rtacha kutilgan qiymat sinov ko'p marta takrorlanganda. Tasodifiy o'zgaruvchi ehtimollik bilan qiymatlarni qabul qilsin mos ravishda. Keyin bu tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishi teng bo'ladi mahsulotlar yig'indisi uning barcha qiymatlari mos keladigan ehtimollarga:

yoki qulab tushdi:

Masalan, tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishini hisoblaylik - o'limga o'ralgan ballar sonini:

Endi faraziy o'yinimizni eslaylik:

Savol tug'iladi: umuman bu o'yinni o'ynash foydalimi? ...kimning taassurotlari bor? Shunday qilib, siz buni "o'z-o'zidan" deb ayta olmaysiz! Ammo bu savolga matematik kutishni hisoblash orqali osongina javob berish mumkin, asosan - vaznli o'rtacha g'alaba qozonish ehtimoli bo'yicha:

Shunday qilib, bu o'yinning matematik kutish yo'qotish.

Taassurotlaringizga ishonmang - raqamlarga ishoning!

Ha, bu yerda siz ketma-ket 10 va hatto 20-30 marta g'alaba qozonishingiz mumkin, ammo uzoq muddatda biz muqarrar halokatga duch kelamiz. Va men sizga bunday o'yinlarni o'ynashni maslahat bermayman :) Xo'sh, ehtimol faqat o'yin-kulgi uchun.

Yuqorida aytilganlarning barchasidan kelib chiqadiki, matematik kutish endi RANDOM qiymat emas.

Mustaqil tadqiqot uchun ijodiy vazifa:

4-misol

Janob X Evropa ruletini quyidagi tizim yordamida o'ynaydi: u doimo "qizil" ga 100 rubl tikadi. Tasodifiy miqdorni taqsimlash qonunini tuzing - uning yutuqlari. Yutuqlarning matematik taxminini hisoblang va uni eng yaqin tiyingacha yaxlitlang. Necha o'rtacha O'yinchi har yuz tikgan pul uchun yutqazadimi?

Malumot : Yevropa ruletida 18 qizil, 18 qora va 1 yashil sektor ("nol") mavjud. Agar "qizil" paydo bo'lsa, o'yinchiga ikki baravar pul to'lanadi, aks holda u kazino daromadiga o'tadi.

O'zingizning ehtimollik jadvallarini yaratishingiz mumkin bo'lgan boshqa ko'plab rulet tizimlari mavjud. Ammo bu bizga tarqatish qonunlari yoki jadvallari kerak bo'lmaganda, chunki o'yinchining matematik kutishlari aynan bir xil bo'lishi aniq belgilangan. Tizimdan tizimga o'zgaruvchan yagona narsa