Uch yoki undan ortiq sonning eng katta umumiy boʻluvchisini topish ketma-ket ikki sonning gcd ni topishga qisqartirilishi mumkin. GCD xususiyatlarini o'rganishda biz buni eslatib o'tdik. U erda biz teoremani tuzdik va isbotladik: eng kattasi umumiy bo'luvchi bir nechta raqamlar a 1 , a 2 , …, a k soniga teng dk, bu ketma-ket hisoblash yo'li bilan topiladi GCD(a 1 , a 2)=d 2, GCD(d 2 , a 3)=d 3, GCD(d 3 , a 4)=d 4, …,GCD(d k-1 , a k)=d k.
Keling, misolning yechimiga qarab, bir nechta sonlarning gcd ni topish jarayoni qanday ko'rinishini ko'rib chiqaylik.
Misol.
To'rt sonning eng katta umumiy bo'luvchisini toping 78 , 294 , 570 Va 36 .
Yechim.
Ushbu misolda a 1 =78, a 2 = 294, a 3 = 570, a 4 =36.
Birinchidan, Evklid algoritmidan foydalanib, biz eng katta umumiy bo'luvchini aniqlaymiz d 2 birinchi ikkita raqam 78 Va 294 . Bo'lishda biz tenglikni olamiz 294=78 3+60; 78=60 1+18;60=18·3+6 Va 18=6·3. Shunday qilib, d 2 =GCD(78, 294)=6.
Endi hisoblaylik d 3 =GCD(d 2, a 3)=GCD(6, 570). Keling, yana Evklid algoritmidan foydalanamiz: 570=6·95, shuning uchun, d 3 =GCD(6, 570)=6.
Hisoblash uchun qoladi d 4 =GCD(d 3, a 4)=GCD(6, 36). Chunki 36 tomonidan bo'linadi 6 , Bu d 4 =GCD(6, 36)=6.
Shunday qilib, berilgan to'rtta sonning eng katta umumiy bo'luvchisi tengdir d 4 =6, ya'ni, GCD(78, 294, 570, 36)=6.
Javob:
GCD(78, 294, 570, 36)=6.
Raqamlarni tub omillarga ajratish, shuningdek, uch yoki undan ortiq sonlarning gcd ni hisoblash imkonini beradi. Bunday holda, eng katta umumiy bo'luvchi berilgan sonlarning barcha umumiy tub omillarining ko'paytmasi sifatida topiladi.
Misol.
Oldingi misoldagi raqamlarning gcd qiymatini ularning asosiy faktorizatsiyalaridan foydalanib hisoblang.
Yechim.
Keling, raqamlarni ajratamiz 78 , 294 , 570 Va 36 asosiy omillar bo'yicha biz olamiz 78=2·3·13,294=2·3·7·7, 570=2 3 5 19, 36=2·2·3·3. Berilgan to'rtta sonning umumiy tub omillari sonlardir 2 Va 3 . Demak, GCD(78, 294, 570, 36)=2·3=6.
Javob:
GCD(78, 294, 570, 36)=6.
Sahifaning yuqorisi
Salbiy raqamlarning GCD ni topish
Agar bitta, bir nechta yoki barcha raqamlar bo'lsa, eng katta bo'luvchi topilishi kerak bo'lgan manfiy sonlar bo'lsa, ularning gcd bu sonlar modullarining eng katta umumiy bo'luvchisiga teng bo'ladi. Bu qarama-qarshi raqamlar mavjudligi bilan bog'liq a Va −a bo'linish xossalarini o'rganayotganda muhokama qilganimizdek, bir xil bo'luvchilarga ega.
Misol.
Manfiy butun sonlarning gcd ni toping −231 Va −140 .
Yechim.
Raqamning mutlaq qiymati −231 teng 231 , va sonning moduli −140 teng 140 , Va GCD(−231, −140)=GCD(231, 140). Evklid algoritmi bizga quyidagi tengliklarni beradi: 231=140 1+91; 140=91 1+49; 91=49 1+42; 49=42 1+7 Va 42=7 6. Demak, GCD(231, 140)=7. Keyin manfiy sonlarning kerakli eng katta umumiy bo'luvchisi bo'ladi −231 Va −140 teng 7 .
Javob:
GCD(−231, −140)=7.
Misol.
Uchta sonning gcd ni aniqlang −585 , 81 Va −189 .
Yechim.
Eng katta umumiy bo'luvchini topishda manfiy sonlarni ularning mutlaq qiymatlari bilan almashtirish mumkin, ya'ni GCD(−585, 81, −189)=GCD(585, 81, 189). Raqamni kengaytirish 585 , 81 Va 189 asosiy omillarga ko‘rinishga ega bo‘ladi 585=3·3·5·13, 81=3·3·3·3 Va 189=3·3·3·7. Ushbu uchta sonning umumiy tub omillari 3 Va 3 . Keyin GCD(585, 81, 189)=3·3=9, shuning uchun, GCD(−585, 81, −189)=9.
Javob:
GCD(−585, 81, −189)=9.
35. Ko‘phadning ildizlari. Bezout teoremasi. (33 va undan yuqori)
36. Ko`p ildiz, ildizlarning ko`plik mezoni.
Bo'linish belgilari natural sonlar.
2 ga qoldiqsiz bo'linadigan sonlar deyiladihatto .
2 ga teng bo'linmaydigan sonlar deyiladig'alati .
2 ga bo'linish qobiliyatini tekshirish
Agar natural son juft raqam bilan tugasa, u holda bu son 2 ga qoldiqsiz bo'linadi va agar son toq raqam bilan tugasa, bu son 2 ga teng bo'linmaydi.
Masalan, 6 raqamlari0 , 30 8 , 8 4 2 ga qoldiqsiz bo'linadi, raqamlar esa 5 ga teng1 , 8 5 , 16 7 2 ga qoldiqsiz bo'linmaydi.
3 ga bo'linish qobiliyatini tekshirish
Agar son raqamlari yig'indisi 3 ga bo'linadigan bo'lsa, u holda son 3 ga bo'linadi; Agar raqamning raqamlari yig'indisi 3 ga bo'linmasa, u holda raqam 3 ga bo'linmaydi.
Masalan, 2772825 soni 3 ga bo'linish yoki bo'linmasligini aniqlaymiz. Buning uchun bu sonning raqamlari yig'indisini hisoblaymiz: 2+7+7+2+8+2+5 = 33 - 3 ga bo'linadi. Bu 2772825 raqami 3 ga bo'linishini bildiradi.
5 ga bo'linish testi
Agar natural sonning yozuvi 0 yoki 5 raqami bilan tugasa, u holda bu raqam 5 ga qoldiqsiz bo'linadi.
Masalan, 1 raqamlari5 , 3 0 , 176 5 , 47530 0 5 ga qoldiqsiz bo'linadi va raqamlar 1 ga teng7 , 37 8 , 9 1 baham ko'rmang.
9 ga bo'linish testi
Agar son raqamlari yig'indisi 9 ga bo'linadigan bo'lsa, u holda son 9 ga bo'linadi; Agar raqamning raqamlari yig'indisi 9 ga bo'linmasa, u holda raqam 9 ga bo'linmaydi.
Masalan, 5402070 soni 9 ga bo'linish yoki bo'linmasligini aniqlaymiz. Buning uchun bu sonning raqamlari yig'indisini hisoblaymiz: 5+4+0+2+0+7+0 = 16 - 9 ga bo'linmaydi. Bu 5402070 raqami 9 ga bo'linmasligini bildiradi.
10 ga bo'linish testi
Agar natural son 0 raqami bilan tugasa, u holda bu son 10 ga qoldiqsiz bo'linadi. Agar natural son boshqa raqam bilan tugasa, u 10 ga teng bo'linmaydi.
Masalan, 4 raqamlari0 , 17 0 , 1409 0 10 ga qoldiqsiz bo'linadi, raqamlar esa 1 ga bo'linadi7 , 9 3 , 1430 7 - baham ko'rmang.
Eng katta umumiy bo'luvchini (GCD) topish qoidasi.
Bir nechta natural sonlarning eng katta umumiy boʻluvchisini topish uchun quyidagilar zarur:
2) ushbu raqamlardan birining kengayishi tarkibiga kiruvchi omillardan boshqa raqamlarning kengayishiga kirmaydiganlarini kesib tashlang;
3) qolgan omillarning mahsulotini toping.
Misol. GCD ni topamiz (48;36). Keling, qoidadan foydalanamiz.
1. 48 va 36 sonlarini tub ko‘paytmalarga ajratamiz.
48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3
36 = 2 · 2 · 3 · 3
2. 48 raqamini kengaytirishga kiritilgan omillardan 36 raqamini kengaytirishga kirmaganlarni o'chirib tashlaymiz.
48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3
Qolgan omillar 2, 2 va 3.
3. Qolgan omillarni ko'paytiring va 12 ni oling. Bu raqam 48 va 36 sonlarining eng katta umumiy bo'luvchisidir.
GCD (48;36) = 2· 2 · 3 = 12.
Eng kichik umumiy karrali (LCM) topish qoidasi.
Bir nechta natural sonlarning eng kichik umumiy karralini topish uchun quyidagilar zarur:
1) ularni asosiy omillarga aylantiring;
2) raqamlardan birining kengayishiga kiruvchi omillarni yozing;
3) ularga qolgan raqamlarning kengayishlaridan etishmayotgan omillarni qo'shing;
4) hosil bo'lgan omillarning mahsulotini toping.
Misol. LOC ni topamiz (75;60). Keling, qoidadan foydalanamiz.
1. 75 va 60 sonlarini tub ko‘paytmalarga ajratamiz.
75 = 3 · 5 · 5
60 = 2 · 2 · 3 · 3
2. 75 sonining kengayishiga kiruvchi omillarni yozamiz: 3, 5, 5.
LCM(75;60) = 3 · 5 · 5 · …
3. Ularga 60 raqamini kengaytirishdan etishmayotgan omillarni qo'shing, ya'ni. 2, 2.
LCM(75;60) = 3 · 5 · 5 · 2 · 2
4. Hosil bo‘lgan omillarning ko‘paytmasini toping
LCM(75;60) = 3 · 5 · 5 · 2 · 2 = 300.
Orqaga oldinga
Diqqat! Slaydni oldindan ko'rish faqat ma'lumot uchun mo'ljallangan va taqdimotning barcha xususiyatlarini aks ettirmasligi mumkin. Agar siz ushbu ish bilan qiziqsangiz, to'liq versiyasini yuklab oling.
O'rta maktab o'quvchilari oltinchi sinfda eng katta umumiy bo'luvchi (GCD) va eng kichik umumiy ko'paytma (LCM) tushunchalariga duch kelishadi. Bu mavzuni tushunish har doim qiyin. Bolalar ko'pincha bu tushunchalarni chalkashtirib yuborishadi va nima uchun ularni o'rganish kerakligini tushunishmaydi. IN Yaqinda va ilmiy-ommabop adabiyotlarda ushbu materialni maktab o'quv dasturidan chiqarib tashlash kerakligi haqida individual bayonotlar mavjud. Menimcha, bu mutlaqo to'g'ri emas va uni sinfda bo'lmasa, maktab komponentlari darslarida darsdan tashqari soatlarda o'rganish kerak, chunki bu maktab o'quvchilarida mantiqiy fikrlashni rivojlantirishga, hisoblash operatsiyalari tezligini oshirishga yordam beradi. va chiroyli usullar yordamida muammolarni hal qilish qobiliyati.
Mavzuni o'rganishda "Kasrlarni bilan qo'shish va ayirish turli xil maxrajlar"Biz bolalarga ikki yoki undan ortiq sonning umumiy maxrajini topishga o'rgatamiz. Masalan, 1/3 va 1/5 kasrlarni qo'shish kerak. O'quvchilar 3 va 5 ga qoldiqsiz bo'linadigan sonni osongina topishlari mumkin. Bu Bu raqam 15. Darhaqiqat, agar raqamlar kichik bo'lsa, ko'paytirish jadvalini yaxshi bilsangiz, ularning umumiy maxrajini topish oson bo'ladi shu tarzda har doim ham raqamlarning umumiy maxrajini topish mumkin, degan fikr, masalan, 7/ 18 va 5/24 sonlarining ko'paytmasini topamiz Biz allaqachon oldik. katta raqam, va agar bundan keyin siz ba'zi hisob-kitoblarni amalga oshirishingiz kerak bo'lsa (ayniqsa, barcha harakatlar uchun misollar uchun), unda xatolik ehtimoli ortadi. Ammo topilgan eng kichik umumiy maxrajga (LCD) ekvivalent bo'lgan raqamlarning eng kichik umumiy soni (LCM) - 72 raqami hisob-kitoblarni sezilarli darajada osonlashtiradi va misolni tezroq hal qilishga olib keladi va shu bilan yakuniy testlarni bajarishda muhim rol o'ynaydigan ushbu vazifani bajarish uchun ajratilgan vaqt, testlar, ayniqsa yakuniy baholash paytida.
"Kasrlarni qisqartirish" mavzusini o'rganayotganda, siz kasrning payini va maxrajini bir xil natural songa bo'lish orqali ketma-ket harakat qilishingiz mumkin, sonlarning bo'linish belgilaridan foydalanib, oxir-oqibat qaytarilmas kasrni olishingiz mumkin. Masalan, 128/344 kasrni kamaytirishingiz kerak. Birinchidan, kasrning sonini va maxrajini 2 raqamiga bo'ling, biz 64/172 kasrni olamiz. Yana bir marta, hosil bo'lgan kasrning soni va maxrajini 2 ga bo'lamiz, biz 32/86 kasrni olamiz. Kasrning soni va maxrajini yana 2 ga bo'lamiz, biz 16/43 kamaytirilmaydigan kasrni olamiz. Ammo kasrni qisqartirish, agar biz 128 va 344 sonlarining eng katta umumiy bo'luvchisini topsak, ancha oson bo'lishi mumkin. GCD(128, 344) = 8. Kasrning payini va maxrajini shu raqamga bo'lsak, biz darhol kamaytirilmaydigan kasrni olamiz. .
Bolalarga ko'rsatish kerak turli yo'llar bilan raqamlarning eng katta umumiy bo'luvchisini (GCD) va eng kichik umumiy karrali (LCM) topish. Oddiy hollarda, oddiy sanab o'tish orqali raqamlarning eng katta umumiy bo'luvchisini (GCD) va eng kichik umumiy ko'pligini (LCD) topish qulay. Raqamlar kattalashganda, siz asosiy faktorizatsiyadan foydalanishingiz mumkin. Oltinchi sinf darsligida (muallif N.Ya.Vilenkin) sonlarning eng katta umumiy boʻluvchisini (KKD) topishning quyidagi usuli koʻrsatilgan. Raqamlarni tub omillarga ajratamiz:
- 16 = 2*2*2*2
- 120 = 2*2*2*3*5
Keyin, bu raqamlardan birining kengayishiga kiritilgan omillardan biz boshqa raqamning kengayishiga kiritilmaganlarini kesib tashlaymiz. Qolgan omillarning mahsuloti bu raqamlarning eng katta umumiy bo'luvchisi bo'ladi. Bu holda, bu raqam 8. O'z tajribamga ko'ra, agar biz raqamlarning parchalanishida bir xil omillarni ta'kidlasak, keyin esa parchalanishlarning birida biz bolalar uchun aniqroq bo'lishiga aminman. ta'kidlangan omillar. Bu raqamlarning eng katta umumiy bo'luvchisi. Oltinchi sinfda bolalar faol va izlanuvchan. Siz ularga quyidagi vazifani qo'yishingiz mumkin: 343 va 287 sonlarining eng katta umumiy bo'luvchisini topish uchun tasvirlangan usuldan foydalanib ko'ring. Ularni tub omillarga qanday ko'paytirishni darhol aniqlab bo'lmaydi. Va bu erda siz ularga qadimgi yunonlar tomonidan kashf etilgan ajoyib usul haqida gapirib berishingiz mumkin, bu sizga eng katta umumiy bo'luvchini (GCD) asosiy omillarga ajratmasdan qidirish imkonini beradi. Eng katta umumiy bo'luvchini topishning bu usuli birinchi marta Evklidning "Elementlar" kitobida tasvirlangan. U Evklid algoritmi deb ataladi. U quyidagilardan iborat: Birinchidan, katta sonni kichikroq raqamga bo'ling. Agar qoldiq olingan bo'lsa, kichik sonni qolganga bo'ling. Agar qoldiq yana olinsa, birinchi qoldiqni ikkinchisiga bo'ling. Qolgan nolga teng bo'lguncha shu tarzda bo'linishni davom eting. Oxirgi bo'luvchi bu raqamlarning eng katta umumiy bo'luvchisidir (GCD).
Keling, misolimizga qaytaylik va aniqlik uchun yechimni jadval shaklida yozamiz.
| Dividend | Bo'luvchi | Shaxsiy | Qolgan |
| 343 | 287 | 1 | 56 |
| 287 | 56 | 5 | 7 |
| 56 | 7 | 8 | 0 |
Shunday qilib, gcd (344,287) = 7
Xuddi shu sonlarning eng kichik umumiy karrali (LCM) qanday topiladi? Buning uchun bu raqamlarni tub omillarga oldindan ajratishni talab qilmaydigan qandaydir yo'l bormi? Ma'lum bo'lishicha, bor va bu juda oddiy. Biz bu raqamlarni ko'paytirishimiz va mahsulotni topilgan eng katta umumiy bo'luvchiga (GCD) bo'lishimiz kerak. Ushbu misolda raqamlarning ko'paytmasi 98441. Uni 7 ga bo'ling va 14063 raqamini oling. LCM (343,287) = 14063.
Matematikadagi qiyin mavzulardan biri so'zli masalalarni yechishdir. Biz o'quvchilarga eng katta umumiy bo'luvchi (GCD) va eng kichik umumiy ko'paytma (LCM) tushunchalaridan ba'zan odatiy usulda yechish qiyin bo'lgan muammolarni hal qilishda qanday foydalanish mumkinligini ko'rsatishimiz kerak. Bu yerda maktab darsligi mualliflari tomonidan taklif etilgan vazifalar bilan bir qatorda o‘quvchilar bilan birgalikda qadimiy va qiziqarli vazifalar, bolalarning qiziqishini rivojlantirish va ushbu mavzuni o'rganishga qiziqishni oshirish. Bu tushunchalarni mohirona o‘zlashtirish talabalarga nostandart masalaning chiroyli yechimini ko‘rish imkonini beradi. Va agar yaxshi muammoni hal qilgandan keyin bolaning kayfiyati ko'tarilsa, bu muvaffaqiyatli ishning belgisidir.
Shunday qilib, maktabda raqamlarning "Eng katta umumiy bo'luvchisi (GCD)" va "Eng kichik umumiy ko'pligi (LCD)" kabi tushunchalarni o'rganish
Ishni bajarish uchun ajratilgan vaqtni tejash imkonini beradi, bu esa bajarilgan vazifalar hajmining sezilarli darajada oshishiga olib keladi;
Arifmetik amallarni bajarish tezligi va aniqligini oshiradi, bu esa hisoblash xatolarining sezilarli darajada kamayishiga olib keladi;
Nostandart matnli muammolarni hal qilishning chiroyli usullarini topishga imkon beradi;
Talabalarning qiziqishini rivojlantiradi, dunyoqarashini kengaytiradi;
Har tomonlama ijodiy shaxsni tarbiyalash uchun zarur shart-sharoitlarni yaratadi.
Ko'p bo'linuvchilar
Keling, quyidagi masalani ko'rib chiqamiz: 140 sonining bo'luvchisini toping. Shubhasiz, 140 sonining bir emas, balki bir nechta bo'luvchisi bor. Bunday hollarda muammo borligi aytiladi bir guruh qarorlar. Keling, ularning barchasini topamiz. Avvalo, parchalanamiz berilgan raqam asosiy omillarga:
140 = 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7.
Endi biz barcha bo'luvchilarni osongina yozib olamiz. Keling, asosiy omillardan, ya'ni yuqorida keltirilgan kengayishda mavjud bo'lganlardan boshlaylik:
Keyin tub bo'luvchilarni juft ko'paytirish yo'li bilan olinganlarni yozamiz:
2∙2 = 4, 2∙5 = 10, 2∙7 = 14, 5∙7 = 35.
Keyin - uchta asosiy bo'luvchini o'z ichiga olganlar:
2∙2∙5 = 20, 2∙2∙7 = 28, 2∙5∙7 = 70.
Va nihoyat, birlik va parchalangan raqamning o'zini unutmasligimiz kerak:
Biz topgan barcha bo'luvchilar shakl bir guruh jingalak qavslar yordamida yoziladigan 140 raqamining bo'luvchilari:
140 sonining bo'luvchilari to'plami =
{1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70, 140}.
Idrok qilish qulayligi uchun biz bu erda bo'luvchilarni yozdik ( to'plamning elementlari) ortib borayotgan tartibda, lekin, umuman olganda, bu shart emas. Bundan tashqari, biz qisqartma kiritamiz. “140 sonining bo‘luvchilar to‘plami” o‘rniga “D(140)” yozamiz. Shunday qilib,
Xuddi shu tarzda, boshqa har qanday natural son uchun bo'linuvchilar to'plamini topishingiz mumkin. Masalan, parchalanishdan
105 = 3 ∙ 5 ∙ 7
olamiz:
D(105) = (1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105).
Barcha bo'linuvchilar to'plamidan 140 va 105 raqamlari uchun mos ravishda teng bo'lgan oddiy bo'linuvchilar to'plamini ajratib ko'rsatish kerak:
PD(140) = (2, 5, 7).
PD(105) = (3, 5, 7).
Shuni alohida ta'kidlash kerakki, 140 sonining tub omillarga bo'linishida ikkitasi ikki marta paydo bo'ladi, PD(140) to'plamida esa faqat bitta. PD(140) to'plami, mohiyatiga ko'ra, masalaning barcha javoblari: "140 sonining bosh omilini toping". Xuddi shu javobni bir necha marta takrorlamaslik kerakligi aniq.
Fraksiyalarni qisqartirish. Eng katta umumiy bo'luvchi
Kasrni ko'rib chiqing
Biz bilamizki, bu kasrni sonning ham bo‘luvchisi (105), ham bo‘linuvchining (140) bo‘luvchisi bo‘lgan son bilan kamaytirish mumkin. D(105) va D(140) to'plamlarni ko'rib chiqamiz va ularni yozamiz umumiy elementlar.
D(105) = (1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105);
D(140) = (1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70, 140).
D(105) va D(140) to'plamlarning umumiy elementlari =
Oxirgi tenglikni qisqacha yozish mumkin, xususan:
D(105) ∩ D(140) = (1, 5, 7, 35).
Bu erda maxsus belgi “∩” (“teshigi pastga tushgan sumka”) ikkita to'plamga muvofiq yozilganligini bildiradi. turli tomonlar undan faqat umumiy elementlarni tanlashingiz kerak. “D(105) ∩ D(140)” yozuvida “ chorraha 105 dan De va 140 dan De to'plamlari.
[Yo'l davomida e'tibor bering, siz to'plamlar bilan deyarli raqamlar bilan bo'lgani kabi turli xil ikkilik operatsiyalarni bajarishingiz mumkin. Yana bir keng tarqalgan ikkilik operatsiya ittifoq, bu “∪” belgisi bilan ko'rsatilgan (“teshigi yuqoriga qaragan sumka”). Ikki to'plamning birlashishi ikkala to'plamning barcha elementlarini o'z ichiga oladi:
PD(105) = (3, 5, 7);
PD(140) = (2, 5, 7);
PD(105) ∪ PD(140) = (2, 3, 5, 7). ]
Shunday qilib, biz kasr ekanligini bilib oldik
to'plamga tegishli raqamlarning istalganiga kamaytirilishi mumkin
D(105) ∩ D(140) = (1, 5, 7, 35)
va boshqa natural son bilan kamaytirilmaydi. Ana xolos mumkin bo'lgan usullar qisqartmalar (qiziq bo'lmagan qisqartmalar bundan mustasno):
Shubhasiz, kasrni imkon qadar katta songa kamaytirish eng amaliydir. IN Ushbu holatda bu 35 raqami, deyiladi eng katta umumiy bo'luvchi (GCD) 105 va 140 raqamlari. Bu shunday yoziladi
GCD (105, 140) = 35.
Biroq, amalda, agar bizga ikkita raqam berilsa va ularning eng katta umumiy bo'luvchisini topish kerak bo'lsa, biz hech qanday to'plam qurmasligimiz kerak. Ikkala raqamni oddiygina tub omillarga ajratish va bu omillarning ikkala parchalanish uchun umumiy bo'lganlarini ajratib ko'rsatish kifoya, masalan:
105 = 3 ∙ 5 ∙ 7 ;
140 = 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7 .
Belgilangan raqamlarni (kengaytmalarning har qandayida) ko'paytirsak, biz quyidagilarni olamiz:
gcd(105, 140) = 5 ∙ 7 = 35.
Albatta, ikkitadan ortiq ta'kidlangan omillar bo'lishi mumkin:
168 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 7;
396 = 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 11.
Bundan ma'lum bo'ladiki
gcd(168, 396) = 2 ∙ 2 ∙ 3 = 12.
Vaziyatni alohida ta'kidlash kerak, agar umumiy omillar umuman bo'lmasa va ta'kidlaydigan hech narsa yo'q, masalan:
42 = 2 ∙ 3 ∙ 7;
Ushbu holatda,
GCD(42, 55) = 1.
GCD bittaga teng bo'lgan ikkita natural son chaqiriladi o'zaro asosiy. Agar siz bunday raqamlardan kasr qilsangiz, masalan,
unda bunday kasr bo'ladi qaytarilmas.
Umuman olganda, kasrlarni kamaytirish qoidasini quyidagicha yozish mumkin:
|
a/ gcd( a, b) |
|||
|
b/ gcd( a, b) |
Bu erda shunday taxmin qilinadi a Va b natural sonlar va butun kasr ijobiydir. Endi bu tenglikning ikkala tomoniga minus belgisi qo‘shsak, manfiy kasrlar uchun tegishli qoidani olamiz.
Kasrlarni qo'shish va ayirish. Eng kichik umumiy ko'plik
Aytaylik, siz ikkita kasrning yig'indisini hisoblashingiz kerak:
Biz maxrajlarning asosiy omillarga qanday kiritilishini allaqachon bilamiz:
105 = 3 ∙ 5 ∙ 7 ;
140 = 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7 .
Bu parchalanishdan darhol shunday xulosa chiqadiki, kasrlarni umumiy maxrajga keltirish uchun birinchi kasrning soni va maxrajini 2 ∙ 2 ga (ikkinchi maxrajning ta'kidlanmagan tub ko'paytmalari ko'paytmasi) ko'paytirish kifoya qiladi va ikkinchi kasrning soni va maxraji 3 ga ("mahsulot" birinchi maxrajning urg'usiz tub omillari). Natijada, ikkala kasrning maxrajlari quyidagi tarzda ifodalanishi mumkin bo'lgan songa teng bo'ladi:
2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7 = 105 ∙ 2 ∙ 2 = 140 ∙ 3 = 420.
Har ikkala asl maxraj (105 va 140) 420 sonining bo'luvchisi ekanligini va 420 soni, o'z navbatida, ikkala maxrajning ham karrali ekanligini tushunish oson - bu shunchaki ko'plik emas, balki eng kichik umumiy karra (MOQ) 105 va 140 raqamlari quyidagicha yoziladi:
LCM (105, 140) = 420.
105 va 140 raqamlarining parchalanishini diqqat bilan ko'rib chiqsak, biz buni ko'ramiz.
105 ∙ 140 = GCD (105, 140) ∙ GCD (105, 140).
Xuddi shunday, ixtiyoriy natural sonlar uchun b Va d:
b ∙ d= LOC( b, d) ∙ GCD( b, d).
Endi kasrlarimizning yig'indisini yakunlaymiz:
|
3 ∙ 5 ∙ 7 |
2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7 |
|
2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7 |
2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7 |
|
2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7 |
|
2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7 |
|
2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 |
|
Eslatma. Ba'zi muammolarni hal qilish uchun siz sonning kvadrati nima ekanligini bilishingiz kerak. Raqamni kvadratga aylantiring a chaqirilgan raqam a, o'z-o'zidan ko'paytiriladi, ya'ni a∙a. (Ko'rinib turganidek, u tomoni bilan kvadratning maydoniga teng a). |
