Ko'rsatmalar
Agar grafik koordinatalar boshi orqali o‘tuvchi va OX o‘qi bilan a burchak hosil qiluvchi to‘g‘ri chiziq bo‘lsa (to‘g‘ri chiziqning OX musbat yarim o‘qiga moyillik burchagi). Bu chiziqni tavsiflovchi funksiya y = kx ko'rinishga ega bo'ladi. Proportsionallik koeffitsienti k tan a ga teng. Agar to'g'ri chiziq 2 va 4 koordinata choraklaridan o'tsa, u holda k< 0, и является убывающей, если через 1-ю и 3-ю, то k >0 va funktsiya ortib boradi, u koordinata o'qlariga nisbatan turli yo'llar bilan joylashgan to'g'ri chiziqni ifodalaydi. Bu chiziqli funktsiya bo'lib, y = kx + b ko'rinishga ega, bu erda x va y o'zgaruvchilar birinchi darajaga, k va b esa ijobiy yoki salbiy bo'lishi mumkin. salbiy qiymatlar yoki nolga teng. Chiziq y = kx chiziqqa parallel va |b| o'qida kesiladi birliklar. Agar chiziq abscissa o'qiga parallel bo'lsa, u holda k = 0, ordinata o'qi bo'lsa, u holda tenglama x = const ko'rinishga ega bo'ladi.
Turli choraklarda joylashgan va koordinatalarning kelib chiqishiga nisbatan simmetrik bo'lgan ikkita shoxchadan iborat egri chiziq giperboladir. Bu grafik y o'zgaruvchining x ga teskari bog'liqligi bo'lib, y = k/x tenglama bilan tavsiflanadi. Bu erda k ≠ 0 - proportsionallik koeffitsienti. Bundan tashqari, agar k > 0 bo'lsa, funktsiya kamayadi; agar k< 0 - функция возрастает. Таким образом, областью определения функции является вся числовая прямая, кроме x = 0. Ветви приближаются к осям координат как к своим асимптотам. С уменьшением |k| ветки гиперболы все больше «вдавливаются» в координатные углы.
Kvadrat funksiya y = ax2 + bx + c ko'rinishga ega, bu erda a, b va c doimiy miqdorlar va a 0. b = c = 0 shart bajarilganda, funktsiya tenglamasi y = ax2 (eng oddiy holat) kabi ko'rinadi. ), uning grafigi esa koordinatadan o'tuvchi paraboladir. y = ax2 + bx + c funksiyaning grafigi funksiyaning eng oddiy holi bilan bir xil shaklga ega, lekin uning cho'qqisi (OY o'qi bilan kesishish nuqtasi) koordinata boshida yotmaydi.
Grafik ham paraboladir quvvat funktsiyasi, y = xⁿ tenglama bilan ifodalanadi, agar n har qanday bo'lsa juft son. Agar n har qanday toq son bo'lsa, bunday quvvat funksiyasining grafigi kubik parabolaga o'xshaydi.
Agar n har qanday bo'lsa, funktsiya tenglamasi shaklni oladi. Toq n uchun funksiya grafigi giperbola, juft n uchun esa ularning shoxlari op o'qiga nisbatan simmetrik bo'ladi.
Hatto maktab yillarida ham funktsiyalar batafsil o'rganiladi va ularning grafiklari tuziladi. Ammo, afsuski, ular amalda funktsiya grafigini o'qish va taqdim etilgan rasmdan uning turini topishni o'rgatmaydi. Funktsiyalarning asosiy turlarini eslab qolsangiz, bu juda oddiy.
Ko'rsatmalar
Agar taqdim etilgan grafik koordinatalarning kelib chiqishi orqali va OX o'qi bilan a burchakka (bu to'g'ri chiziqning musbat yarim o'qqa moyillik burchagi) bo'lsa, unda bunday to'g'ri chiziqni tavsiflovchi funksiya bo'ladi. y = kx shaklida taqdim etiladi. Bunda proporsionallik koeffitsienti k a burchakning tangensiga teng.
Agar berilgan chiziq ikkinchi va toʻrtinchi koordinata choraklaridan oʻtsa, u holda k 0 ga teng boʻladi va funksiya ortadi. Taqdim etilgan grafik koordinata o'qlariga nisbatan istalgan tarzda joylashgan to'g'ri chiziq bo'lsin. Keyin bunday funktsiya grafika san'ati chiziqli bo'ladi, u y = kx + b ko'rinishida ifodalanadi, bu erda y va x o'zgaruvchilar birinchi o'rinda, b va k ham manfiy, ham manfiy olishi mumkin. ijobiy qadriyatlar yoki .
Agar chiziq y = kx grafigi bo'lgan chiziqqa parallel bo'lsa va ordinata o'qida b birliklarni kesib tashlasa, u holda tenglama x = const ko'rinishga ega bo'ladi, agar grafik abscissa o'qiga parallel bo'lsa, u holda k = 0 bo'ladi.
Kelib chiqishiga nisbatan simmetrik va turli choraklarda joylashgan ikkita shoxdan iborat egri chiziq giperbola hisoblanadi. Bunday grafik y o'zgaruvchining x o'zgaruvchisiga teskari bog'liqligini ko'rsatadi va y = k/x ko'rinishdagi tenglama bilan tavsiflanadi, bu erda k nolga teng bo'lmasligi kerak, chunki u teskari proportsionallik koeffitsienti. Bundan tashqari, k ning qiymati noldan katta bo'lsa, funktsiya kamayadi; agar k noldan kichik bo'lsa, u ortadi.
Agar taklif etilayotgan grafik koordinata boshidan o'tuvchi parabola bo'lsa, b = c = 0 sharti bilan uning funktsiyasi y = ax2 ko'rinishga ega bo'ladi. Bu kvadratik funktsiyaning eng oddiy holati. y = ax2 + bx + c ko'rinishdagi funktsiyaning grafigi eng oddiy holat bilan bir xil ko'rinishga ega bo'ladi, lekin cho'qqisi (grafikning ordinata o'qini kesishgan nuqtasi) koordinata boshida bo'lmaydi. y = ax2 + bx + c ko'rinishida ifodalangan kvadratik funktsiyada a, b va c qiymatlari doimiy, a esa nolga teng emas.
Parabola y = xⁿ ko'rinishdagi tenglama bilan ifodalangan daraja funksiyasining grafigi ham bo'lishi mumkin, agar n har qanday juft son bo'lsa. Agar n ning qiymati toq son bo'lsa, quvvat funksiyasining bunday grafigi kubik parabola bilan ifodalanadi. Agar n o'zgaruvchisi har qanday manfiy son bo'lsa, funktsiya tenglamasi shaklni oladi.
Mavzu bo'yicha video
Tekislikdagi mutlaqo istalgan nuqtaning koordinatasi uning ikkita kattaligi bilan aniqlanadi: abscissa o'qi bo'ylab va ordinata o'qi bo'ylab. Ko'pgina bunday nuqtalarning to'plami funksiya grafigini ifodalaydi. Undan X qiymatining o'zgarishiga qarab Y qiymati qanday o'zgarishini ko'rishingiz mumkin, shuningdek, funktsiya qaysi bo'limda (intervalda) ortib, qaysi qismida kamayishini aniqlashingiz mumkin.
Ko'rsatmalar
Agar funktsiya grafigi to'g'ri chiziq bo'lsa, u haqida nima deya olasiz? Ushbu chiziq koordinataning boshlang'ich nuqtasidan (ya'ni, X va Y qiymatlari 0 ga teng bo'lgan) o'tishini tekshiring. Agar u o'tsa, u holda bunday funktsiya y = kx tenglama bilan tavsiflanadi. K ning qiymati qanchalik katta bo'lsa, bu to'g'ri chiziq ordinata o'qiga yaqinroq joylashishini tushunish oson. Va Y o'qining o'zi aslida cheksiz mos keladi katta ahamiyatga ega k.
1) Funksiya sohasi va funksiya diapazoni.
Funksiyaning sohasi - bu barcha amaldagi argument qiymatlari to'plami x(o'zgaruvchan x), bu funksiya uchun y = f(x) belgilangan. Funktsiya diapazoni barcha haqiqiy qiymatlar to'plamidir y, bu funktsiya qabul qiladi.
Boshlang'ich matematikada funksiyalar faqat haqiqiy sonlar to'plamida o'rganiladi.
2) Funktsiya nollari.
Funktsiya nol - bu funktsiyaning qiymati nolga teng bo'lgan argumentning qiymati.
3) Funksiyaning doimiy ishorali intervallari.
Funktsiyaning doimiy belgisining intervallari - bu funktsiya qiymatlari faqat ijobiy yoki faqat salbiy bo'lgan argument qiymatlari to'plami.
4) Funksiyaning monotonligi.
Ortib borayotgan funktsiya (ma'lum bir oraliqda) qaysi funktsiyadir yuqoriroq qiymat bu oraliqdagi argument funksiyaning kattaroq qiymatiga mos keladi.
Kamayuvchi funktsiya (ma'lum oraliqda) bu oraliqdagi argumentning kattaroq qiymati funktsiyaning kichikroq qiymatiga mos keladigan funktsiyadir.
5) Juft (toq) funksiya.
Juft funksiya deganda aniqlanish sohasi kelib chiqishiga va istalganiga nisbatan simmetrik bo‘lgan funksiya tushuniladi X ta'rif sohasidan tenglik f(-x) = f(x). Jadval hatto funktsiya ordinata o'qiga nisbatan simmetrik.
Toq funksiya deganda aniqlanish sohasi boshiga va har qanday funktsiyaga nisbatan simmetrik bo'lgan funksiya tushuniladi X ta'rif sohasidan tenglik haqiqatdir f(-x) = - f(x). Jadval g'alati funktsiya kelib chiqishiga nisbatan simmetrik.
6) Cheklangan va cheklanmagan funksiyalar.
Agar |f(x)| ga teng M musbat son bo'lsa, funktsiya chegaralangan deb ataladi x ning barcha qiymatlari uchun ≤ M. Agar bunday raqam mavjud bo'lmasa, u holda funktsiya cheksizdir.
7) Funksiyaning davriyligi.
f(x) funksiya davriy bo'lib, agar nolga teng bo'lmagan T soni mavjud bo'lsa, unda funktsiyaning aniqlanish sohasidagi istalgan x uchun quyidagi amal bajariladi: f(x+T) = f(x). Bu eng kichik raqam funksiya davri deb ataladi. Hammasi trigonometrik funktsiyalar davriydir. (Trigonometrik formulalar).
19. Asosiy elementar funksiyalar, ularning xossalari va grafiklari. Iqtisodiyotda funktsiyalarni qo'llash.
Asosiy elementar funksiyalar. Ularning xossalari va grafiklari
1. Chiziqli funksiya.
Chiziqli funksiya shaklning funksiyasi deyiladi, bu erda x - o'zgaruvchi, a va b - haqiqiy sonlar.
Raqam A chiziqning qiyaligi deb ataladi, u bu chiziqning x o'qining musbat yo'nalishiga moyillik burchagi tangensiga teng. Chiziqli funktsiyaning grafigi to'g'ri chiziqdir. U ikki nuqta bilan belgilanadi.
Chiziqli funksiyaning xossalari
1. Ta'rif sohasi - barcha haqiqiy sonlar to'plami: D(y)=R
2. Qiymatlar to‘plami barcha haqiqiy sonlar to‘plamidir: E(y)=R
3. Funktsiya yoki bo'lganda nol qiymat oladi.
4. Funksiya butun ta’rif sohasi bo‘yicha ortadi (kamayadi).
5. Chiziqli funksiya ta'rifning butun sohasi bo'ylab uzluksiz, differentsiallanuvchi va .
2. Kvadrat funksiya.
X - o'zgaruvchi, a, b, c koeffitsientlari haqiqiy sonlar bo'lgan shakldagi funktsiya deyiladi. kvadratik.
Chiziqli funktsiyaning ta'rifi
Keling, chiziqli funktsiyaning ta'rifini kiritaylik
Ta'rif
$y=kx+b$ ko'rinishdagi funktsiya, bu erda $k$ nolga teng bo'lmagan chiziqli funktsiya deyiladi.
Chiziqli funktsiyaning grafigi to'g'ri chiziqdir. $k$ soni chiziqning qiyaligi deyiladi.
$b=0$ bo'lganda chiziqli funksiya $y=kx$ to'g'ridan-to'g'ri proporsionallik funktsiyasi deb ataladi.
1-rasmni ko'rib chiqing.
Guruch. 1. Chiziq qiyaligining geometrik ma’nosi
ABC uchburchagini ko'rib chiqing. Biz $VS=kx_0+b$ ekanligini ko'ramiz. $y=kx+b$ to‘g‘rining $Ox$ o‘qi bilan kesishgan nuqtasini topamiz:
\ \
Shunday qilib, $AC=x_0+\frac(b)(k)$. Bu tomonlarning nisbatini topamiz:
\[\frac(BC)(AC)=\frac(kx_0+b)(x_0+\frac(b)(k))=\frac(k(kx_0+b))((kx)_0+b)=k \]
Boshqa tomondan, $\frac(BC)(AC)=tg\angle A$.
Shunday qilib, biz quyidagi xulosaga kelishimiz mumkin:
Xulosa
Geometrik ma'no koeffitsienti $k$. Nishab omili$k$ to'g'ri chiziq bu to'g'ri chiziqning $Ox$ o'qiga og'ish burchagi tangensiga teng.
$f\left(x\right)=kx+b$ chiziqli funksiya va uning grafigini o'rganish
Birinchidan, $f\left(x\right)=kx+b$ funktsiyasini ko'rib chiqing, bu erda $k > 0$.
- $f"\left(x\right)=(\left(kx+b\o'ng))"=k>0$. Demak, bu funksiya butun ta'rif sohasi bo'ylab ortadi. Hech qanday ekstremal nuqtalar yo'q.
- $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) kx\ )=-\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) kx\ )=+\infty $
- Grafik (2-rasm).
Guruch. 2. $k > 0$ uchun $y=kx+b$ funksiyasining grafiklari.
Endi $f\left(x\right)=kx$ funktsiyasini ko'rib chiqing, bu erda $k
- Ta'rif sohasi barcha raqamlardir.
- Qiymatlar oralig'i barcha raqamlardir.
- $f\left(-x\right)=-kx+b$. Funktsiya juft ham, toq ham emas.
- $x=0,f\left(0\right)=b$ uchun. $y=0,0=kx+b bo'lganda,\ x=-\frac(b)(k)$.
Koordinata o'qlari bilan kesishish nuqtalari: $\left(-\frac(b)(k),0\right)$ va $\left(0,\ b\right)$
- $f"\left(x\right)=(\left(kx\o'ng))"=k
- $f^("")\left(x\right)=k"=0$. Shuning uchun funksiyada burilish nuqtalari yo'q.
- $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) kx\ )=+\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) kx\ )=-\infty $
- Grafik (3-rasm).
