Amalda ildiz chiqarish operatsiyasidan muvaffaqiyatli foydalanish uchun siz ushbu operatsiyaning xususiyatlari bilan tanishishingiz kerak.
Barcha xususiyatlar faqat ildiz belgilari ostida joylashgan o'zgaruvchilarning salbiy bo'lmagan qiymatlari uchun tuzilgan va tasdiqlangan.
Teorema 1. Ildiz n-daraja(n=2, 3, 4,...) ikkita manfiy bo'lmagan chiplarning ko'paytmasi ushbu sonlarning n- ildizlarining ko'paytmasiga teng:
Izoh:
1.
1-teorema radikal ifoda ikkidan ortiq manfiy bo'lmagan sonlarning ko'paytmasi bo'lgan holatda o'z kuchini saqlab qoladi.
Teorema 2.Agar,
va n - natural son, 1 dan katta bo'lsa, tenglik to'g'ri bo'ladi
Qisqacha(noto'g'ri bo'lsa ham) amalda qo'llash qulayroq bo'lgan formula: kasrning ildizi ildizlarning ulushiga teng.
1-teorema t ni ko'paytirishga imkon beradi faqat bir xil darajadagi ildizlar
, ya'ni. faqat bir xil indeksli ildizlar.
Teorema 3.Agar ,k natural son va n natural son 1 dan katta bo'lsa, tenglik to'g'ri bo'ladi
Boshqacha qilib aytganda, ildiz otish uchun tabiiy daraja, bu kuchga radikal ifodani ko'tarish kifoya.
Bu 1-teoremaning natijasidir. Aslida, masalan, k = 3 uchun biz quyidagilarni olamiz: k ko'rsatkichining boshqa har qanday natural qiymatida ham xuddi shunday fikr yurita olamiz.
Teorema 4.Agar ,k, n - 1 dan katta natural sonlar, u holda tenglik to'g'ri bo'ladi
Boshqacha qilib aytganda, ildizdan ildiz olish uchun ildizlarning ko'rsatkichlarini ko'paytirish kifoya.
Masalan,
Diqqatli bo'ling! Biz ildizlar ustida to'rtta amalni bajarish mumkinligini bilib oldik: ko'paytirish, bo'lish, darajaga ko'tarish va ildiz chiqarish (ildizdan). Ammo ildizlarni qo'shish va ayirish haqida nima deyish mumkin? Bo'lishi mumkin emas.
Masalan, Really yozish o'rniga, lekin bu aniq
Teorema 5.Agar ildiz va radikal ifodaning ko'rsatkichlari bir xil natural songa ko'paytiriladi yoki bo'linadi, keyin ildizning qiymati o'zgarmaydi, ya'ni.
Muammoni hal qilishga misollar
1-misol. Hisoblash
Yechim. Ildizlarning birinchi xossasidan (1-teorema) foydalanib, biz quyidagilarni olamiz:
2-misol. Hisoblash
Yechim. Aralash sonni noto'g'ri kasrga aylantiring.
Bizda ildizlarning ikkinchi xususiyatidan foydalanish ( Teorema 2
), biz olamiz:
3-misol. Hisoblash: 
Yechim. Algebradagi har qanday formula, siz yaxshi bilganingizdek, nafaqat "chapdan o'ngga", balki "o'ngdan chapga" ham qo'llaniladi. Demak, ildizlarning birinchi xossasi ularning shaklda ifodalanishi va aksincha, ifoda bilan almashtirilishini bildiradi. Xuddi shu narsa ildizlarning ikkinchi xususiyatiga ham tegishli. Buni hisobga olib, hisob-kitoblarni amalga oshiramiz.
Tabriklaymiz: bugun biz ildizlarni ko'rib chiqamiz - 8-sinfdagi eng hayratlanarli mavzulardan biri :)
Ko'pchilik ildizlar haqida ular murakkab bo'lganligi uchun emas (bu juda murakkab narsa - bir nechta ta'riflar va yana bir nechta xususiyatlar), chunki ko'pchilik maktab darsliklarida ildizlar shunday o'rmon orqali aniqlanadiki, faqat darslik mualliflari. bu yozuvni o'zlari tushunishlari mumkin. Va shunga qaramay, faqat bir shisha yaxshi viski bilan :)
Shuning uchun, endi men ildizning eng to'g'ri va eng malakali ta'rifini beraman - siz haqiqatan ham eslashingiz kerak bo'lgan yagona ta'rif. Va keyin men tushuntiraman: bularning barchasi nima uchun kerak va uni amalda qanday qo'llash kerak.
Lekin birinchi navbatda birini eslang muhim nuqta, bu haqda ko'plab darslik tuzuvchilari negadir "unutishadi":
Ildizlar juft darajali (bizning sevimli $\sqrt(a)$, shuningdek, barcha turdagi $\sqrt(a)$ va hatto $\sqrt(a)$) va toq darajali (barcha $\sqrt) bo'lishi mumkin. (a)$, $\ sqrt(a)$ va boshqalar). Va toq darajadagi ildizning ta'rifi juftdan biroz farq qiladi.
Ehtimol, ildizlar bilan bog'liq barcha xatolar va tushunmovchiliklarning 95% bu "biroz boshqacha" la'natda yashiringan. Shunday qilib, keling, terminologiyani bir marta va butunlay tozalaymiz:
Ta'rif. Hatto ildiz n$a$ raqamidan istalgan salbiy bo'lmagan$b$ soni shundayki, $((b)^(n))=a$. Xuddi shu $a$ sonining toq ildizi odatda bir xil tenglikka ega boʻlgan har qanday $b$ raqamidir: $((b)^(n))=a$.
Har holda, ildiz quyidagicha belgilanadi:
\(a)\]
Bunday yozuvdagi $n$ soni ildiz ko‘rsatkichi, $a$ soni esa radikal ifoda deyiladi. Xususan, $n=2$ uchun biz “sevimli”mizni olamiz. Kvadrat ildiz(Aytgancha, bu juft darajaning ildizi) va $n=3$ uchun u kub (toq daraja) boʻlib, u ham koʻpincha masala va tenglamalarda uchraydi.
Misollar. Kvadrat ildizlarning klassik misollari:
\[\begin(align) & \sqrt(4)=2; \\ & \sqrt(81)=9; \\ & \sqrt(256)=16. \\ \end (tekislash)\]
Aytgancha, $\sqrt(0)=0$ va $\sqrt(1)=1$. Bu juda mantiqiy, chunki $((0)^(2))=0$ va $((1)^(2))=1$.
Kub ildizlari ham keng tarqalgan - ulardan qo'rqishning hojati yo'q:
\[\begin(align) & \sqrt(27)=3; \\ & \sqrt(-64)=-4; \\ & \sqrt(343)=7. \\ \end (tekislash)\]
Xo'sh, bir nechta "ekzotik misollar":
\[\begin(align) & \sqrt(81)=3; \\ & \sqrt(-32)=-2. \\ \end (tekislash)\]
Agar siz juft va toq daraja o'rtasidagi farq nima ekanligini tushunmasangiz, ta'rifni qayta o'qing. Bu juda muhim!
Shu bilan birga, biz ildizlarning bir noxush xususiyatini ko'rib chiqamiz, shuning uchun biz juft va toq ko'rsatkichlar uchun alohida ta'rifni kiritishimiz kerak edi.
Nima uchun ildizlar umuman kerak?
Ta'rifni o'qib chiqqandan so'ng, ko'plab talabalar: "Matematiklar buni o'ylab topganlarida nima chekishgan?" Va haqiqatan ham: nima uchun bu ildizlar umuman kerak?
Bu savolga javob berish uchun keling, bir zum orqaga qaytaylik boshlang'ich sinflar. Esingizda bo'lsin: o'sha uzoq vaqtlarda, daraxtlar yanada yashil va chuchvara mazali bo'lganida, bizning asosiy tashvishimiz raqamlarni to'g'ri ko'paytirish edi. Xo'sh, "beshga besh - yigirma besh" kabi bir narsa, bu hammasi. Ammo siz raqamlarni juftlikda emas, balki uchlik, to'rtlik va umuman butun to'plamlarda ko'paytirishingiz mumkin:
\[\begin(align) & 5\cdot 5=25; \\ & 5\cdot 5\cdot 5=125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=625; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=3125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=15\ 625. \end(align)\]
Biroq, bu masala emas. Ayyorlik boshqacha: matematiklar dangasa odamlar, shuning uchun ular o‘n beshning ko‘paytirilishini shunday yozishda qiynalgan:
Shuning uchun ular ilmiy darajalar bilan kelishdi. Nega omillar sonini uzun satr o'rniga ustun belgisi sifatida yozmaslik kerak? Shunga o'xshash narsa:
Bu juda qulay! Barcha hisob-kitoblar sezilarli darajada kamayadi va siz 5183 ni yozish uchun bir nechta pergament varaqlari va daftarlarni behuda sarflashingiz shart emas. Bu rekord raqamning kuchi deb ataldi, unda bir nechta xususiyatlar topildi, ammo baxt qisqa muddatli bo'lib chiqdi.
Darajalar “kashfiyoti” uchun uyushtirilgan dabdabali ziyofatdan so‘ng, ayniqsa qaysar matematik birdan: “Agar biz raqamning darajasini bilsak-u, lekin raqamning o‘zi noma’lum bo‘lsa-chi?” deb so‘radi. Haqiqatan ham, agar biz ma'lum bir $b $ soni, aytaylik, 5-darajaga 243 ni berishini bilsak, $b $ sonining o'zi nimaga teng ekanligini qanday taxmin qilishimiz mumkin?
Bu muammo birinchi qarashda ko'rinadiganidan ancha global bo'lib chiqdi. Chunki ko'pchilik "tayyor" kuchlar uchun bunday "dastlabki" raqamlar yo'qligi ma'lum bo'ldi. O'zingiz uchun hukm qiling:
\[\begin(align) & ((b)^(3))=27\Rightarrow b=3\cdot 3\cdot 3\Rightarrow b=3; \\ & ((b)^(3))=64\O'ng strelka b=4\cdot 4\cdot 4\O'ng strelka b=4. \\ \end (tekislash)\]
$((b)^(3))=$50 bo'lsa-chi? Ma'lum bo'lishicha, biz ma'lum bir raqamni topishimiz kerak, uni uch marta ko'paytirganda bizga 50 ni beradi. Lekin bu raqam nima? Bu aniq 3 dan katta, chunki 3 3 = 27< 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 >50. Ya'ni bu raqam uchdan to'rtgacha bo'lgan joyda yotadi, lekin siz nimaga teng ekanligini tushunolmaysiz.
Aynan shuning uchun matematiklar $n$th ildizlarini o'ylab topishgan. Aynan shuning uchun $\sqrt(*)$ radikal belgisi kiritildi. $b $ raqamini belgilash uchun, bu ko'rsatilgan darajada bizga oldindan ma'lum bo'lgan qiymatni beradi
\[\sqrt[n](a)=b\O'ng strelka ((b)^(n))=a\]
Men bahslashmayman: ko'pincha bu ildizlar osongina hisoblab chiqiladi - biz yuqorida bir nechta bunday misollarni ko'rdik. Ammo shunga qaramay, ko'p hollarda, agar siz o'zboshimchalik bilan raqamni o'ylab ko'rsangiz va undan ixtiyoriy darajaning ildizini olishga harakat qilsangiz, siz dahshatli baxtsizlikka duch kelasiz.
Nima bor! Hatto eng oddiy va eng tanish $\sqrt(2)$ ni ham odatiy shaklda - butun son yoki kasr shaklida ifodalab bo'lmaydi. Va agar siz ushbu raqamni kalkulyatorga kiritsangiz, buni ko'rasiz:
\[\sqrt(2)=1,414213562...\]
Ko'rib turganingizdek, kasrdan keyin hech qanday mantiqqa bo'ysunmaydigan raqamlarning cheksiz ketma-ketligi mavjud. Siz, albatta, boshqa raqamlar bilan tezda solishtirish uchun bu raqamni yaxlitlashingiz mumkin. Masalan:
\[\sqrt(2)=1,4142...\taxminan 1,4 \lt 1,5\]
Yoki yana bir misol:
\[\sqrt(3)=1,73205...\taxminan 1,7 \gt 1,5\]
Ammo bu yaxlitlashlarning barchasi, birinchi navbatda, juda qo'pol; va ikkinchidan, siz taxminiy qiymatlar bilan ham ishlashingiz kerak, aks holda siz bir qator noaniq xatolarga duch kelishingiz mumkin (Aytgancha, taqqoslash va yaxlitlash mahorati Yagona davlat imtihonining profilida sinovdan o'tishi kerak).
Shuning uchun jiddiy matematikada siz ildizlarsiz qilolmaysiz - ular bizga uzoq vaqtdan beri tanish bo'lgan kasrlar va butun sonlar kabi $\mathbb(R)$ barcha haqiqiy sonlar to'plamining bir xil teng vakillaridir.
Ildizni $\frac(p)(q)$ shaklidagi kasr sifatida ifodalay olmaslik shuni anglatadi berilgan ildiz ratsional son emas. Bunday raqamlar irratsional deb nomlanadi va ularni aniq ifodalash mumkin emas, faqat buning uchun maxsus mo'ljallangan radikal yoki boshqa konstruktsiyalar (logarifmlar, kuchlar, chegaralar va boshqalar). Ammo bu haqda boshqa safar.
Keling, barcha hisob-kitoblardan keyin irratsional sonlar javobda qoladigan bir nechta misollarni ko'rib chiqaylik.
\[\begin(align) & \sqrt(2+\sqrt(27))=\sqrt(2+3)=\sqrt(5)\taxminan 2,236... \\ & \sqrt(\sqrt(-32) ))=\sqrt(-2)\taxminan -1,2599... \\ \end(align)\]
Tabiiyki, ko'ra ko'rinish ildiz kasrdan keyin qaysi raqamlar kelishini taxmin qilish deyarli mumkin emas. Biroq, siz kalkulyatorga ishonishingiz mumkin, lekin hatto eng ilg'or sana kalkulyatori ham bizga irratsional sonning birinchi bir necha raqamlarini beradi. Shuning uchun javoblarni $\sqrt(5)$ va $\sqrt(-2)$ ko`rinishlarida yozish ancha to`g`riroq.
Aynan shuning uchun ular ixtiro qilingan. Javoblarni qulay tarzda yozib olish uchun.
Nima uchun ikkita ta'rif kerak?
Diqqatli o'quvchi, ehtimol, misollarda keltirilgan barcha kvadrat ildizlar ijobiy raqamlardan olinganligini payqagandir. Xo'sh, hech bo'lmaganda noldan. Ammo kub ildizlarini har qanday raqamdan xotirjamlik bilan olish mumkin - bu ijobiy yoki salbiy.
Nima uchun bu sodir bo'lmoqda? $y=((x)^(2))$ funksiya grafigiga qarang:
Jadval kvadratik funktsiya ikki ildiz beradi: ijobiy va salbiy Keling, ushbu grafik yordamida $\sqrt(4)$ ni hisoblashga harakat qilaylik. Buning uchun grafikda (qizil rang bilan belgilangan) gorizontal $y=4$ chiziladi, u parabola bilan ikkita nuqtada kesishadi: $((x)_(1))=2$ va $((x) )_(2)) =-2$. Bu juda mantiqiy, chunki
Birinchi raqam bilan hamma narsa aniq - bu ijobiy, shuning uchun ildiz:
Ammo ikkinchi nuqta bilan nima qilish kerak? To'rttaning bir vaqtning o'zida ikkita ildizi bormi? Axir, agar −2 sonini kvadratga aylantirsak, biz ham 4 ni olamiz. Nima uchun u holda $\sqrt(4)=-2$ yozmaslik kerak? Va nega o'qituvchilar bunday postlarga sizni yemoqchi bo'lgandek qarashadi? :)
Agar biron bir murojaat qilmasangiz, muammo shu qo'shimcha shartlar, keyin to'rtlik ikkita kvadrat ildizga ega bo'ladi - ijobiy va salbiy. Va har qanday ijobiy raqam ham ulardan ikkitasiga ega bo'ladi. Ammo manfiy sonlar umuman ildizga ega bo'lmaydi - buni bir xil grafikdan ko'rish mumkin, chunki parabola hech qachon o'qdan pastga tushmaydi. y, ya'ni. salbiy qiymatlarni qabul qilmaydi.
Xuddi shunday muammo teng ko'rsatkichli barcha ildizlar uchun yuzaga keladi:
- To'g'ri aytganda, har bir musbat sonning $n$ ko'rsatkichli ikkita ildizi bo'ladi;
- Salbiy raqamlardan hatto $n$ bo'lgan ildiz umuman chiqarilmaydi.
Shuning uchun ham $n$ juft darajali ildizni aniqlashda javob manfiy bo'lmagan son bo'lishi kerakligi alohida ko'rsatilgan. Shunday qilib, biz noaniqlikdan xalos bo'lamiz.
Lekin g'alati $n$ uchun bunday muammo yo'q. Buni ko‘rish uchun $y=((x)^(3))$ funksiya grafigini ko‘rib chiqamiz:
Kub parabolasi har qanday qiymatni qabul qilishi mumkin, shuning uchun kub ildizi istalgan raqamdan olinishi mumkin Ushbu grafikdan ikkita xulosa chiqarish mumkin:
- Kub parabolaning shoxlari oddiydan farqli o'laroq, ikkala yo'nalishda ham - yuqoriga ham, pastga ham cheksizlikka boradi. Shuning uchun, biz gorizontal chiziqni qanday balandlikda chizmasak ham, bu chiziq bizning grafigimiz bilan kesishadi. Binobarin, kub ildizi har doim mutlaqo istalgan raqamdan olinishi mumkin;
- Bundan tashqari, bunday kesishma har doim o'ziga xos bo'ladi, shuning uchun qaysi raqam "to'g'ri" ildiz deb hisoblanishi va qaysi birini e'tiborsiz qoldirish haqida o'ylashingiz shart emas. Shuning uchun toq daraja uchun ildizlarni aniqlash juft darajaga qaraganda oddiyroqdir (salbiy bo'lmasligi shart emas).
Afsuski, bular oddiy narsalar aksariyat darsliklarda tushuntirilmagan. Buning o'rniga, bizning miyamiz har xil arifmetik ildizlar va ularning xususiyatlari bilan ko'tarila boshlaydi.
Ha, men bahslashmayman: arifmetik ildiz nima ekanligini ham bilishingiz kerak. Va men bu haqda alohida darsda batafsil gaplashaman. Bugun biz bu haqda ham gaplashamiz, chunki usiz $n$-inchi ko'plikning ildizlari haqidagi barcha fikrlar to'liq bo'lmaydi.
Lekin birinchi navbatda siz yuqorida bergan ta'rifni aniq tushunishingiz kerak. Aks holda, atamalarning ko'pligi tufayli sizning boshingizda shunday tartibsizlik boshlanadiki, oxirida siz hech narsani tushunmaysiz.
Sizga kerak bo'lgan yagona narsa - juft va toq ko'rsatkichlar o'rtasidagi farqni tushunish. Shuning uchun, keling, yana bir bor ildizlar haqida bilishingiz kerak bo'lgan hamma narsani to'playmiz:
- Juft darajali ildiz faqat manfiy bo'lmagan sondan mavjud bo'lib, o'zi hamisha manfiy bo'lmagan sondir. Salbiy sonlar uchun bunday ildiz aniqlanmagan.
- Ammo g'alati darajaning ildizi har qanday sondan mavjud bo'lib, o'zi ham har qanday raqam bo'lishi mumkin: musbat sonlar uchun u musbat, manfiy sonlar uchun esa, shapka ko'rsatganidek, manfiy.
Bu qiyinmi? Yo'q, qiyin emas. Tushunarli? Ha, bu mutlaqo aniq! Shunday qilib, endi biz hisob-kitoblar bilan bir oz mashq qilamiz.
Asosiy xususiyatlar va cheklovlar
Ildizlar juda ko'p g'alati xususiyatlar va cheklovlarga ega - bu alohida darsda muhokama qilinadi. Shuning uchun, endi biz faqat teng indeksli ildizlarga tegishli bo'lgan eng muhim "hiyla" ni ko'rib chiqamiz. Bu xususiyatni formula sifatida yozamiz:
\[\sqrt(((x)^(2n)))=\chap| x\right|\]
Boshqacha qilib aytganda, agar biz raqamni juft darajaga ko'tarsak va keyin bir xil darajaning ildizini chiqarsak, biz asl sonni emas, balki uning modulini olamiz. Bu osonlik bilan isbotlanishi mumkin bo'lgan oddiy teorema (salbiy bo'lmagan $x$ ni alohida, keyin esa manfiylarni alohida ko'rib chiqish kifoya). O'qituvchilar bu haqda doimo gapiradilar, bu har bir maktab darsligida berilgan. Ammo irratsional tenglamalarni (ya'ni, radikal belgisi bo'lgan tenglamalarni) yechish haqida gap ketganda, talabalar bir ovozdan bu formulani unutishadi.
Muammoni batafsil tushunish uchun keling, barcha formulalarni bir daqiqaga unutib, ikkita raqamni to'g'ridan-to'g'ri hisoblashga harakat qilaylik:
\[\sqrt(((3)^(4)))=?\quad \sqrt(((\left(-3 \o'ng))^(4)))=?\]
Bu juda oddiy misollar. Ko'pchilik birinchi misolni hal qiladi, lekin ko'p odamlar ikkinchisiga yopishib olishadi. Bunday axlatni muammosiz hal qilish uchun har doim protsedurani ko'rib chiqing:
- Birinchidan, raqam to'rtinchi darajaga ko'tariladi. Xo'sh, bu qandaydir oson. Siz hatto ko'paytirish jadvalida ham topilishi mumkin bo'lgan yangi raqamni olasiz;
- Va endi bu yangi raqamdan to'rtinchi ildizni olish kerak. Bular. ildizlar va kuchlarning "kamayishi" sodir bo'lmaydi - bu ketma-ket harakatlar.
Birinchi ifodani ko'rib chiqamiz: $\sqrt(((3)^(4)))$. Shubhasiz, siz avval ildiz ostidagi ifodani hisoblashingiz kerak:
\[((3)^(4))=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=81\]
Keyin 81 raqamining to'rtinchi ildizini chiqaramiz:
Endi ikkinchi ifoda bilan ham xuddi shunday qilamiz. Birinchidan, biz −3 sonini to'rtinchi darajaga ko'taramiz, bu esa uni o'z-o'zidan 4 marta ko'paytirishni talab qiladi:
\[((\left(-3 \o'ng))^(4))=\left(-3 \o'ng)\cdot \left(-3 \o'ng)\cdot \left(-3 \o'ng)\cdot \ chap (-3 \o'ng)=81\]
Biz ijobiy raqamni oldik, chunki mahsulotdagi minuslarning umumiy soni 4 tani tashkil etadi va ularning barchasi bir-birini bekor qiladi (oxir-oqibat, minus uchun minus plyus beradi). Keyin yana ildizni chiqaramiz:
Aslida, bu qatorni yozish mumkin emas edi, chunki javob bir xil bo'lishi aql bovar qilmaydi. Bular. Xuddi shu teng quvvatning teng ildizi minuslarni "yoqadi" va bu ma'noda natija oddiy moduldan farq qilmaydi:
\[\begin(align) & \sqrt(((3)^(4)))=\left| 3 \right|=3; \\ & \sqrt(((\left(-3 \o'ng))^(4)))=\chap| -3 \o'ng|=3. \\ \end (tekislash)\]
Bu hisob-kitoblar juft darajali ildizning ta'rifi bilan yaxshi mos keladi: natija har doim manfiy bo'lmaydi va radikal belgi ham har doim manfiy bo'lmagan sonni o'z ichiga oladi. Aks holda, ildiz aniqlanmagan.
Jarayon haqida eslatma
- $\sqrt(((a)^(2)))$ belgisi birinchi navbatda $a$ raqamini kvadratga aylantirib, keyin olingan qiymatning kvadrat ildizini olishimizni bildiradi. Shuning uchun, ildiz belgisi ostida har doim manfiy bo'lmagan son mavjudligiga ishonch hosil qilishimiz mumkin, chunki har qanday holatda $((a)^(2))\ge 0$;
- Lekin $((\left(\sqrt(a) \right))^(2))$ yozuvi, aksincha, biz avval ma'lum $a$ sonning ildizini olamiz va shundan keyingina natijani kvadratga olamiz. Shuning uchun $a$ soni hech qanday holatda salbiy bo'lishi mumkin emas - bu ta'rifga kiritilgan majburiy talab.
Shunday qilib, hech qanday holatda ildizlar va darajalarni o'ylamasdan qisqartirmaslik kerak va shu bilan asl iborani "soddalashtirish" mumkin. Chunki agar ildiz manfiy songa ega bo'lsa va uning ko'rsatkichi juft bo'lsa, biz bir qator muammolarni olamiz.
Biroq, bu muammolarning barchasi faqat hatto ko'rsatkichlar uchun ham tegishli.
Ildiz belgisi ostidagi minus belgisini olib tashlash
Tabiiyki, ko'rsatkichlari toq bo'lgan ildizlar ham o'ziga xos xususiyatga ega, ular printsipial jihatdan juftlarda mavjud emas. Aynan:
\[\sqrt(-a)=-\sqrt(a)\]
Muxtasar qilib aytganda, g'alati darajalarning ildizlari belgisi ostidan minusni olib tashlashingiz mumkin. Bu juda foydali mulk, bu sizga barcha salbiy tomonlarni "tashlab yuborish" imkonini beradi:
\[\begin(align) & \sqrt(-8)=-\sqrt(8)=-2; \\ & \sqrt(-27)\cdot \sqrt(-32)=-\sqrt(27)\cdot \left(-\sqrt(32) \o'ng)= \\ & =\sqrt(27)\cdot \sqrt(32)= \\ & =3\cdot 2=6. \end(tuzalash)\]
Ushbu oddiy xususiyat ko'plab hisob-kitoblarni sezilarli darajada osonlashtiradi. Endi tashvishlanishingizga hojat yo'q: agar salbiy ibora ildiz ostida yashiringan bo'lsa-chi, lekin ildizdagi daraja teng bo'lib chiqdi? Ildizlardan tashqaridagi barcha minuslarni "tashlab qo'yish" kifoya qiladi, shundan so'ng ular bir-biriga ko'paytirilishi, bo'linishi va umuman olganda, "klassik" ildizlar holatida bizni olib kelishi kafolatlangan ko'plab shubhali narsalarni qilishlari mumkin. xato.
Va bu erda yana bir ta'rif paydo bo'ladi - xuddi shu ta'rif ko'pchilik maktablarda irratsional iboralarni o'rganishni boshlaydilar. Va busiz bizning fikrimiz to'liq bo'lmaydi. Tanishing!
Arifmetik ildiz
Keling, bir lahzaga ildiz belgisi ostida faqat ijobiy raqamlar yoki o'ta og'ir holatlarda nol bo'lishi mumkinligini taxmin qilaylik. Keling, juft sonlarni unutaylik/ g'alati ko'rsatkichlar, keling, yuqorida keltirilgan barcha ta'riflarni unutaylik - biz faqat manfiy bo'lmagan raqamlar bilan ishlaymiz. Keyin nima?
Va keyin biz arifmetik ildizga ega bo'lamiz - bu bizning "standart" ta'riflarimiz bilan qisman mos keladi, lekin baribir ulardan farq qiladi.
Ta'rif. $a$ manfiy boʻlmagan sonning $n$-chi darajali arifmetik ildizi manfiy boʻlmagan $b$ son boʻlib, $((b)^(n))=a$ boʻladi.
Ko'rib turganimizdek, endi bizni paritet qiziqtirmaydi. Buning o'rniga yangi cheklov paydo bo'ldi: radikal ifoda endi har doim salbiy emas va ildizning o'zi ham salbiy emas.
Arifmetik ildiz odatdagidan qanday farq qilishini yaxshiroq tushunish uchun biz allaqachon tanish bo'lgan kvadrat va kub parabola grafiklarini ko'rib chiqing:
Arifmetik ildiz qidirish maydoni - manfiy bo'lmagan raqamlar Ko'rib turganingizdek, bundan buyon bizni faqat birinchi koordinata choragida joylashgan grafik qismlari qiziqtiradi - bu erda $x$ va $y$ koordinatalari ijobiy (yoki hech bo'lmaganda nolga teng). Manfiy raqamni ildiz ostiga qo'yish huquqiga egamiz yoki yo'qligini tushunish uchun endi indikatorga qarash kerak emas. Chunki manfiy raqamlar endi printsipial jihatdan hisobga olinmaydi.
Siz shunday deb so'rashingiz mumkin: "Xo'sh, nega bizga bunday ta'rif kerak?" Yoki: "Nega biz yuqorida keltirilgan standart ta'rifga erisha olmaymiz?"
Xo'sh, men faqat bitta xususiyatni beraman, shuning uchun yangi ta'rif mos keladi. Masalan, eksponentatsiya qoidasi:
\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]
Iltimos, diqqat qiling: biz radikal ifodani istalgan kuchga ko'tarishimiz va shu bilan birga ildiz ko'rsatkichini bir xil kuchga ko'paytirishimiz mumkin - natijada bir xil raqam bo'ladi! Mana misollar:
\[\begin(align) & \sqrt(5)=\sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(25) \\ & \sqrt(2)=\sqrt(((2)^ (4)))=\sqrt(16)\\ \end(align)\]
Xo'sh, nima katta ish? Nega biz buni oldinroq qila olmadik? Mana nima uchun. Oddiy ifodani ko'rib chiqaylik: $\sqrt(-2)$ - bu raqam bizning klassik tushunchamizda juda normal, ammo arifmetik ildiz nuqtai nazaridan mutlaqo qabul qilinishi mumkin emas. Keling, uni aylantirishga harakat qilaylik:
$\begin(align) & \sqrt(-2)=-\sqrt(2)=-\sqrt(((2)^(2))))=-\sqrt(4) \lt 0; \\ & \sqrt(-2)=\sqrt(((\left(-2 \o'ng))^(2)))=\sqrt(4) \gt 0. \\ \end(align)$
Ko'rib turganingizdek, birinchi holatda biz minusni radikal ostidan olib tashladik (bizda barcha huquqlar bor, chunki ko'rsatkich g'alati), ikkinchi holatda biz yuqoridagi formuladan foydalandik. Bular. Matematik nuqtai nazardan, hamma narsa qoidalarga muvofiq amalga oshiriladi.
WTF?! Qanday qilib bir xil raqam ham ijobiy, ham salbiy bo'lishi mumkin? Bo'lishi mumkin emas. Shunchaki, musbat sonlar va nol uchun ajoyib ishlaydigan eksponentatsiya formulasi salbiy sonlar holatida to'liq bid'atni keltirib chiqara boshlaydi.
Bunday noaniqlikdan xalos bo'lish uchun ular o'ylab topdilar arifmetik ildizlar. Ularga alohida katta dars bag'ishlangan bo'lib, unda biz ularning barcha xususiyatlarini batafsil ko'rib chiqamiz. Shuning uchun biz hozir ular haqida to'xtalmaymiz - dars juda uzoq bo'lib chiqdi.
Algebraik ildiz: ko'proq bilishni istaganlar uchun
Bu mavzuni alohida paragrafga qo'yamanmi yoki yo'qmi, uzoq o'yladim. Oxir-oqibat, men uni shu erda qoldirishga qaror qildim. Ushbu material ildizlarni yaxshiroq tushunishni istaganlar uchun mo'ljallangan - endi o'rtacha "maktab" darajasida emas, balki Olimpiada darajasiga yaqin.
Demak: sonning $n$-chi ildizining “klassik” ta’rifi va ular bilan bog‘liq bo‘lgan juft va toq ko‘rsatkichlarga bo‘linishidan tashqari, paritet va boshqa nozikliklarga umuman bog‘liq bo‘lmagan ko‘proq “kattalar” ta’rifi mavjud. Bu algebraik ildiz deyiladi.
Ta'rif. Har qanday $a$ ning $n$-inchi algebraik ildizi $((b)^(n))=a$ boʻladigan barcha $b$ sonlar toʻplamidir. Bunday ildizlar uchun aniq belgi yo'q, shuning uchun biz tepaga chiziqcha qo'yamiz:
\[\overline(\sqrt[n](a))=\left\( b\left| b\in \mathbb(R);((b)^(n))=a \o'ng. \o'ng\) \]
Dars boshida berilgan standart ta’rifdan tub farqi shundaki algebraik ildiz- bu aniq raqam emas, balki to'plam. Va biz haqiqiy raqamlar bilan ishlaganimiz sababli, bu to'plam faqat uchta turda bo'ladi:
- Bo'sh to'plam. Manfiy sondan juft darajali algebraik ildizni topish kerak bo'lganda paydo bo'ladi;
- Bitta elementdan iborat to'plam. Toq darajalarning barcha ildizlari, shuningdek, nolning juft darajalarining ildizlari bu toifaga kiradi;
- Nihoyat, to'plam ikkita raqamni o'z ichiga olishi mumkin - biz ko'rgan $((x)_(1))$ va $((x)_(2))=-((x)_(1))$ kvadratik funksiya grafigi. Shunga ko'ra, bunday tartibga solish faqat musbat sondan juft darajaning ildizini chiqarganda mumkin.
Oxirgi holat batafsilroq ko'rib chiqishga loyiqdir. Farqni tushunish uchun bir nechta misollarni sanab o'tamiz.
Misol. Ifodalarni baholang:
\[\overline(\sqrt(4));\quad \overline(\sqrt(-27));\quad \overline(\sqrt(-16)).\]
Yechim. Birinchi ifoda oddiy:
\[\overline(\sqrt(4))=\left\( 2;-2 \o'ng\)\]
Bu to'plamning bir qismi bo'lgan ikkita raqam. Chunki ularning har bir kvadrati to'rtlikni beradi.
\[\overline(\sqrt(-27))=\chap\( -3 \o'ng\)\]
Bu erda biz faqat bitta raqamdan iborat to'plamni ko'ramiz. Bu juda mantiqiy, chunki ildiz ko'rsatkichi g'alati.
Nihoyat, oxirgi ifoda:
\[\overline(\sqrt(-16))=\varnothing \]
Biz bo'sh to'plam oldik. Chunki to'rtinchi (ya'ni, hatto!) darajaga ko'tarilganda bizga -16 manfiy sonini beradigan bitta haqiqiy son yo'q.
Yakuniy eslatma. E'tibor bering: biz haqiqiy raqamlar bilan ishlayotganimizni hamma joyda ta'kidlaganim yo'q. Chunki murakkab raqamlar ham bor - u erda $\sqrt(-16)$ va boshqa ko'plab g'alati narsalarni hisoblash juda mumkin.
Biroq, zamonaviy maktab matematika kurslarida murakkab raqamlar deyarli hech qachon paydo bo'lmaydi. Ular aksariyat darsliklardan olib tashlangan, chunki bizning rasmiylar mavzuni "tushunish juda qiyin" deb hisoblashadi.
Ana xolos. Keyingi darsda biz hamma narsani ko'rib chiqamiz asosiy xususiyatlar roots va nihoyat irratsional ifodalarni qanday soddalashtirishni o'rganing :)
Mavzu bo'yicha dars va taqdimot: "N- ildizning xossalari. Teoremalar"
Qo'shimcha materiallar
Hurmatli foydalanuvchilar, o'z mulohazalaringizni, sharhlaringizni, tilaklaringizni qoldirishni unutmang! Barcha materiallar virusga qarshi dastur tomonidan tekshirilgan.
Integral onlayn do'konida 11-sinf uchun o'quv qo'llanmalari va simulyatorlar
9-11-sinflar uchun "Trigonometriya" interfaol qo'llanma
10-11-sinflar uchun interfaol qo'llanma "Logarifmlar"
n- ildizning xossalari. Teoremalar
Bolalar, biz haqiqiy sonning n- ildizlarini o'rganishni davom ettiramiz. Deyarli barcha matematik ob'ektlar singari, n-darajali ildizlar ham ma'lum xususiyatlarga ega, bugun biz ularni o'rganamiz.Biz ko'rib chiqadigan barcha xususiyatlar faqat ildiz belgisi ostidagi o'zgaruvchilarning salbiy bo'lmagan qiymatlari uchun tuzilgan va tasdiqlangan.
Toq ildiz ko'rsatkichi bo'lsa, ular manfiy o'zgaruvchilar uchun ham bajariladi.
Teorema 1. Ikki manfiy bo'lmagan son ko'paytmasining n- ildizi shu sonlarning n- ildizlarining ko'paytmasiga teng: $\sqrt[n](a*b)=\sqrt[n](a)*\ sqrt[n]( b)$ .
Keling, teoremani isbotlaylik.
Isbot. Bolalar, teoremani isbotlash uchun keling, yangi o'zgaruvchilar kiritamiz, ularni belgilaymiz:
$\sqrt[n](a*b)=x$.
$\sqrt[n](a)=y$.
$\sqrt[n](b)=z$.
$x=y*z$ ekanligini isbotlashimiz kerak.
E'tibor bering, quyidagi identifikatorlar ham mavjud:
$a*b=x^n$.
$a=y^n$.
$b=z^n$.
Keyin quyidagi identifikator amal qiladi: $x^n=y^n*z^n=(y*z)^n$.
Ikki manfiy bo'lmagan sonlar va ularning ko'rsatkichlari teng bo'lsa, u holda kuchlarning asoslari teng bo'ladi. Bu $x=y*z$ degan ma'noni anglatadi, buni isbotlash kerak edi.
Teorema 2. Agar $a≥0$, $b>0$ va n 1 dan katta natural son boʻlsa, u holda quyidagi tenglik bajariladi: $\sqrt[n](\frac(a)(b))=\frac(\sqrt [ n](a))(\sqrt[n](b))$.
Ya'ni, bo'lakning n-chi ildizi n-chi ildizlarning qismiga teng.
Isbot.
Buni isbotlash uchun biz jadval ko'rinishidagi soddalashtirilgan diagrammadan foydalanamiz:
n- ildizni hisoblashga misollar
Misol.Hisoblang: $\sqrt(16*81*256)$.
Yechim. 1-teoremadan foydalanamiz: $\sqrt(16*81*256)=\sqrt(16)*\sqrt(81)*\sqrt(256)=2*3*4=24$.
Misol.
Hisoblang: $\sqrt(7\frac(19)(32))$.
Yechim. Radikal ifodani shaklda ifodalaylik noto'g'ri kasr: $7\frac(19)(32)=\frac(7*32+19)(32)=\frac(243)(32)$.
2-teoremadan foydalanamiz: $\sqrt(\frac(243)(32))=\frac(\sqrt(243))(\sqrt(32))=\frac(3)(2)=1\frac(1) ) (2)$.
Misol.
Hisoblash:
a) $\sqrt(24)*\sqrt(54)$.
b) $\frac(\sqrt(256))(\sqrt(4))$.
Yechim:
a) $\sqrt(24)*\sqrt(54)=\sqrt(24*54)=\sqrt(8*3*2*27)=\sqrt(16*81)=\sqrt(16)*\ sqrt(81)=2*3=6$.
b) $\frac(\sqrt(256))(\sqrt(4))=\sqrt(\frac(256)(4))=\sqrt(64)=24$.
Teorema 3. Agar $a≥0$, k va n 1 dan katta natural sonlar bo‘lsa, u holda tenglik amal qiladi: $(\sqrt[n](a))^k=\sqrt[n](a^k)$.
Ildizni tabiiy kuchga ko'tarish uchun bu kuchga radikal ifodani ko'tarish kifoya.
Isbot.
ko'rib chiqaylik maxsus holat$k=3$ uchun. 1-teoremadan foydalanamiz.
$(\sqrt[n](a))^k=\sqrt[n](a)*\sqrt[n](a)*\sqrt[n](a)=\sqrt[n](a*a *a)=\sqrt[n](a^3)$.
Xuddi shu narsani boshqa har qanday holatda isbotlash mumkin. Bolalar, $k=4$ va $k=6$ boʻlgan holatda buni oʻzingiz isbotlang.
Teorema 4. Agar $a≥0$ b n,k 1 dan katta natural sonlar bo'lsa, u holda tenglik bajariladi: $\sqrt[n](\sqrt[k](a))=\sqrt(a)$.
Ildizdan ildiz olish uchun ildizlarning ko'rsatkichlarini ko'paytirish kifoya.
Isbot.
Keling, buni jadval yordamida yana bir bor qisqacha isbotlaylik. Buni isbotlash uchun biz jadval ko'rinishidagi soddalashtirilgan diagrammadan foydalanamiz: 
Misol.
$\sqrt(\sqrt(a))=\sqrt(a)$.
$\sqrt(\sqrt(a))=\sqrt(a)$.
$\sqrt(\sqrt(a))=\sqrt(a)$.
Teorema 5. Agar ildiz va radikal ifodaning darajalari bir xil natural songa ko'paytirilsa, u holda ildizning qiymati o'zgarmaydi: $\sqrt(a^(kp))=\sqrt[n](a)$. .
Isbot.
Bizning teoremani isbotlash printsipi boshqa misollardagi kabi. Keling, yangi o'zgaruvchilarni kiritamiz:
$\sqrt(a^(k*p))=x=>a^(k*p)=x^(n*p)$ (ta'rifi bo'yicha).
$\sqrt[n](a^k)=y=>y^n=a^k$ (ta'rifi bo'yicha).
Keling, oxirgi tenglikni p kuchiga ko'taraylik
$(y^n)^p=y^(n*p)=(a^k)^p=a^(k*p)$.
Olingan:
$y^(n*p)=a^(k*p)=x^(n*p)=>x=y$.
Ya'ni $\sqrt(a^(k*p))=\sqrt[n](a^k)$, buni isbotlash kerak edi.
Misollar:
$\sqrt(a^5)=\sqrt(a)$ (ko'rsatkichlar 5 ga bo'lingan).
$\sqrt(a^(22))=\sqrt(a^(11))$ (ko'rsatkichlar 2 ga bo'lingan).
$\sqrt(a^4)=\sqrt(a^(12))$ (ko'rsatkichlar 3 ga ko'paytiriladi).
Misol.
Harakatlarni bajaring: $\sqrt(a)*\sqrt(a)$.
Yechim.
Ildiz ko'rsatkichlari turli raqamlar, shuning uchun biz 1-teoremadan foydalana olmaymiz, lekin 5-teoremani qo'llash orqali biz teng ko'rsatkichlarni olishimiz mumkin.
$\sqrt(a)=\sqrt(a^3)$ (ko'rsatkichlar 3 ga ko'paytiriladi).
$\sqrt(a)=\sqrt(a^4)$ (ko'rsatkichlar 4 ga ko'paytiriladi).
$\sqrt(a)*\sqrt(a)=\sqrt(a^3)*\sqrt(a^4)=\sqrt(a^3*a^4)=\sqrt(a^7)$.
Mustaqil ravishda hal qilinadigan muammolar
1. Hisoblang: $\sqrt(32*243*1024)$.2. Hisoblang: $\sqrt(7\frac(58)(81))$.
3. Hisoblang:
a) $\sqrt(81)*\sqrt(72)$.
b) $\frac(\sqrt(1215))(\sqrt(5))$.
4. Soddalashtiring:
a) $\sqrt(\sqrt(a))$.
b) $\sqrt(\sqrt(a))$.
c) $\sqrt(\sqrt(a))$.
5. Amallarni bajaring: $\sqrt(a^2)*\sqrt(a^4)$.
