Qanday qilib ildizni ildiz ostidan tortib olish kerak. Kvadrat ildizni ajratib olish

Matematikada ildizni qanday chiqarish masalasi nisbatan sodda deb hisoblanadi. Agar natural qatordagi sonlarni kvadratga aylantirsak: 1, 2, 3, 4, 5...n, u holda quyidagi kvadratlar qatorini olamiz: 1, 4, 9, 16...n 2. Kvadratlar qatori cheksizdir va agar siz unga diqqat bilan qarasangiz, unda unchalik ko'p sonlar yo'qligini ko'rasiz. Nega bunday bo'lganligi biroz keyinroq tushuntiriladi.

Sonning ildizi: hisoblash qoidalari va misollar

Shunday qilib, biz 2 raqamini kvadratga aylantirdik, ya'ni uni o'ziga ko'paytirdik va 4 ni oldik. 4 raqamining ildizini qanday chiqarish mumkin? Darhol aytaylik, ildizlar kvadrat, kub va har qanday darajadan cheksiz bo'lishi mumkin.

Ildiz darajasi - har doim natural son, ya'ni bunday tenglamani yechish mumkin emas: n ning 3,6 kuchiga ildiz.

Kvadrat ildiz

Keling, 4 ning kvadrat ildizini qanday olish kerakligi haqidagi savolga qaytaylik. Biz 2 raqamini kvadratga aylantirganimiz uchun, biz kvadrat ildizni ham chiqaramiz. 4 ning ildizini to‘g‘ri chiqarish uchun faqat to‘g‘ri raqamni tanlash kerak, u kvadratga aylantirilganda 4 raqamini beradi. Va bu, albatta, 2. Misolga qarang:

• 2 2 =4
• 4 ning ildizi = 2

Bu misol juda oddiy. Keling, 64 ning kvadrat ildizini chiqarishga harakat qilaylik. Qaysi son o'ziga ko'paytirilganda 64 ni beradi? Shubhasiz, 8.

• 8 2 =64
• 64 ning ildizi = 8

Kub ildizi

Yuqorida aytib o'tilganidek, ildizlar faqat kvadrat emas, biz bir misol yordamida kub ildiz yoki uchinchi darajali ildizni qanday olish kerakligini aniqroq tushuntirishga harakat qilamiz. Kub ildizini olish printsipi kvadrat ildiz bilan bir xil, yagona farq shundaki, kerakli son dastlab bir marta emas, balki ikki marta o'z-o'zidan ko'paytirildi. Ya'ni, biz quyidagi misolni oldik:

• 3x3x3=27
• Tabiiyki, 27 ning kub ildizi uchta:
• 27 tadan 3 ta ildiz = 3

Aytaylik, 64 ning kub ildizini topish kerak. Bu tenglamani yechish uchun uchinchi darajaga ko‘tarilganda 64 ni beradigan sonni topish kifoya.

• 4 3 =64
• 64 tadan 3 ta ildiz = 4

Kalkulyatorda raqamning ildizini ajratib oling

Albatta, kvadrat, kub va boshqa ildizlarni ko'plab misollar yechish va kichik sonli kvadratlar va kublar jadvallarini yodlash orqali mashq qilish orqali o'rganish yaxshidir. Kelajakda bu tenglamalarni echish uchun zarur bo'lgan vaqtni sezilarli darajada osonlashtiradi va qisqartiradi. Shunga qaramay, shuni ta'kidlash kerakki, ba'zida bunday ildizni olish kerak katta raqam Agar iloji bo'lsa, to'g'ri kvadrat sonni topish juda qiyin bo'ladi. Ekstraktsiyada yordam berish uchun kvadrat ildiz oddiy kalkulyator keladi. Kalkulyatorda ildizni qanday chiqarish mumkin? Natijani topmoqchi bo'lgan raqamni oddiygina kiriting. Endi kalkulyator tugmachalarini diqqat bilan ko'rib chiqing. Ularning eng oddiylarida ham ildiz belgisi bo'lgan kalit mavjud. Unga bosish orqali siz darhol yakuniy natijaga erishasiz.

Har bir raqamni chiqarib bo'lmaydi butun ildiz, quyidagi misolni ko'rib chiqing:

1859 yil ildizi = 43,116122…

Siz bir vaqtning o'zida kalkulyatorda ushbu misolni echishga harakat qilishingiz mumkin. Ko'rib turganingizdek, natijada olingan son butun son emas, bundan tashqari, o'nli kasrdan keyingi raqamlar to'plami chekli emas; Maxsus muhandislik kalkulyatorlari aniqroq natija berishi mumkin, ammo to'liq natija oddiylarning ekraniga mos kelmaydi. Va agar siz ilgari boshlagan kvadratlar qatorini davom ettirsangiz, unda 1859 raqamini topa olmaysiz, chunki uni olish uchun kvadratga olingan raqam butun son emas.

Agar siz oddiy kalkulyatorda uchinchi ildizni chiqarib olishingiz kerak bo'lsa, unda ildiz belgisi bilan tugmani ikki marta bosishingiz kerak. Masalan, yuqorida ishlatilgan 1859 raqamini oling va undan kub ildizini oling:

1859 ning 3 ildizi = 6,5662867…

Ya'ni, agar 6.5662867... raqami uchinchi darajaga ko'tarilsa, unda biz taxminan 1859 ni olamiz. Shunday qilib, raqamlardan ildiz chiqarish qiyin emas, faqat yuqoridagi algoritmlarni eslab qolish kerak.

Va sizda bormi kalkulyatorga qaramlik? Yoki hisoblash juda qiyin deb o'ylaysiz, masalan, kalkulyator yoki kvadratchalar jadvalidan tashqari.

Bu shunday bo'ladiki, maktab o'quvchilari kalkulyatorga bog'langan va hatto qimmatbaho tugmalarni bosish orqali 0,7 ni 0,5 ga ko'paytiradilar. Aytishlaricha, men hali ham hisoblashni bilaman, lekin hozir vaqtni tejayman ... Imtihon kelganda ... keyin o'zimni zo'rg'a qilaman ...

Haqiqat shundaki, imtihon paytida allaqachon ko'p "stressli daqiqalar" bo'ladi ... Ular aytganidek, suv toshlarni yemiradi. Shuning uchun imtihonda kichik narsalar, agar ular ko'p bo'lsa, sizni buzishi mumkin ...

Keling, mumkin bo'lgan muammolar sonini kamaytiraylik.

Katta sonning kvadrat ildizini olish

Endi biz faqat kvadrat ildizni ajratib olish natijasi butun son bo'lgan holat haqida gapiramiz.

1-holat.

Shunday qilib, har qanday narxda (masalan, diskriminantni hisoblashda) 86436 kvadrat ildizini hisoblashimiz kerak.

Biz 86436 sonini tub ko‘rsatkichlarga ajratamiz. 2 ga bo'linib, biz 43218 ni olamiz; yana 2 ga bo'linsak, biz 21609 ni olamiz. Raqamni 2 ga bo'linib bo'lmaydi. Ammo raqamlar yig'indisi 3 ga bo'linishi sababli, sonning o'zi 3 ga bo'linadi (umuman olganda, u 9 ga ham bo'linishi aniq). . Yana 3 ga bo'linib, 2401 ni olamiz. 2401 3 ga to'liq bo'linmaydi. Beshga bo'linmaydi (0 yoki 5 bilan tugamaydi).

Biz 7 ga bo'linishidan shubhalanamiz. Haqiqatan ham, va ,

Shunday qilib, buyurtmani to'liq bajaring!

2-holat.

Keling, hisoblashimiz kerak. Yuqorida aytib o'tilganidek, xuddi shunday harakat qilish noqulay. Biz faktorizatsiya qilishga harakat qilamiz ...

1849 raqami 2 ga boʻlinmaydi (juft emas)…

U 3 ga toʻliq boʻlinmaydi (raqamlar yigʻindisi 3 ga karrali emas)...

U 5 ga toʻliq boʻlinmaydi (oxirgi raqam 5 ham, 0 ham emas)…

U 7 ga to‘liq bo‘linmaydi, 11 ga bo‘linmaydi, 13 ga ham bo‘linmaydi... Xo‘sh, barcha tub sonlarni saralash uchun qancha vaqt kerak bo‘ladi?

Keling, biroz boshqacha fikr yuritaylik.

Biz buni tushunamiz

Biz qidiruvimizni qisqartirdik. Endi biz 41 dan 49 gacha raqamlarni ko'rib chiqamiz. Bundan tashqari, sonning oxirgi raqami 9 bo'lganligi sababli, biz 43 yoki 47 variantlarida to'xtashimiz kerak - faqat bu raqamlar kvadratga aylantirilganda oxirgi raqam 9 ni beradi. .

Xo'sh, bu erda, albatta, biz 43da to'xtab qolamiz. Haqiqatan ham,

P.S. Qanday qilib biz 0,7 ni 0,5 ga ko'paytiramiz?

Nol va belgilarga e'tibor bermasdan, 5 ni 7 ga ko'paytirishingiz kerak, so'ngra o'ngdan chapga, ikkita kasrli kasrni ajratishingiz kerak. Biz 0,35 ni olamiz.

Buni tartibga solish vaqti keldi ildiz chiqarish usullari. Ular ildizlarning xususiyatlariga, xususan, har qanday manfiy bo'lmagan b soniga to'g'ri keladigan tenglikka asoslanadi.

Quyida ildizlarni olishning asosiy usullarini birma-bir ko'rib chiqamiz.

Eng oddiy holatdan boshlaylik - kvadratlar jadvali, kublar jadvali va boshqalar yordamida natural sonlardan ildiz olish.

Agar kvadratchalar, kublar va boshqalar jadvallari. Agar qo'lingizda bo'lmasa, ildizni ajratib olish usulidan foydalanish mantiqan to'g'ri bo'ladi, bu radikal sonni asosiy omillarga ajratishni o'z ichiga oladi.

Toq ko'rsatkichlari bo'lgan ildizlar uchun nima mumkinligini alohida ta'kidlash kerak.

Va nihoyat, ildiz qiymatining raqamlarini ketma-ket topishga imkon beradigan usulni ko'rib chiqaylik.

Qani boshladik.

Kvadratchalar jadvali, kublar jadvali va boshqalardan foydalanish.

Eng oddiy hollarda, kvadratchalar, kublar va boshqalar jadvallari ildizlarni olish imkonini beradi. Bu jadvallar nima?

0 dan 99 gacha bo'lgan butun sonlar kvadratlari jadvali (quyida ko'rsatilgan) ikkita zonadan iborat. Jadvalning birinchi zonasi ma'lum bir qator va ma'lum bir ustunni tanlash orqali kulrang fonda joylashgan bo'lib, u 0 dan 99 gacha raqamni yaratishga imkon beradi; Masalan, 8 o'nlik qatorni va 3 birlikdan iborat ustunni tanlaymiz, bu bilan biz 83 raqamini tuzatdik. Ikkinchi zona stolning qolgan qismini egallaydi. Har bir katak ma'lum bir qator va ma'lum bir ustunning kesishmasida joylashgan bo'lib, 0 dan 99 gacha bo'lgan mos keladigan raqamning kvadratini o'z ichiga oladi. Biz tanlagan 8 o'nlik qatori va birliklarning 3-ustunining kesishmasida 83 sonining kvadrati bo'lgan 6889 raqamli katakcha mavjud.

Kublar jadvallari, 0 dan 99 gacha bo'lgan sonlarning to'rtinchi darajalari jadvallari va boshqalar kvadratlar jadvaliga o'xshaydi, faqat ular ikkinchi zonada kublar, to'rtinchi darajalar va boshqalarni o'z ichiga oladi. mos keladigan raqamlar.

Kvadratlar, kublar, to'rtinchi darajalar va boshqalar jadvallari. kvadrat ildizlarni, kub ildizlarini, to'rtinchi ildizlarni va boshqalarni olish imkonini beradi. mos ravishda ushbu jadvallardagi raqamlardan. Keling, ildizlarni olishda ulardan foydalanish tamoyilini tushuntiramiz.

Aytaylik, a sonining n-chi ildizini ajratib olishimiz kerak, a soni esa n darajali darajalar jadvalida joylashgan. Ushbu jadvaldan foydalanib, a=b n bo'ladigan b sonini topamiz. Keyin , shuning uchun b soni n-darajaning kerakli ildizi bo'ladi.

Misol tariqasida, 19,683 ning kub ildizini olish uchun kub jadvalidan qanday foydalanishni ko'rsatamiz. Biz kublar jadvalida 19683 raqamini topamiz, undan bu raqam 27 raqamining kubi ekanligini topamiz, shuning uchun .

Ko'rinib turibdiki, n darajali jadvallar ildizlarni olish uchun juda qulaydir. Biroq, ular ko'pincha qo'lda emas va ularni tuzish biroz vaqt talab etadi. Bundan tashqari, ko'pincha tegishli jadvallarda mavjud bo'lmagan raqamlardan ildizlarni ajratib olish kerak bo'ladi. Bunday holda, siz ildizni olib tashlashning boshqa usullariga murojaat qilishingiz kerak.

Radikal sonni tub omillarga ajratish

Tabiiy sonning ildizini ajratib olishning juda qulay usuli (agar, albatta, ildiz chiqarilgan bo'lsa) radikal sonni tub omillarga ajratishdir. Uning gap shu: shundan keyin uni kuch sifatida ifodalash juda oson zarur ko'rsatkich, bu sizga ildizning qiymatini olish imkonini beradi. Keling, ushbu fikrga aniqlik kiritaylik.

a natural sonning n- ildizi olinsin va uning qiymati b ga teng. Bu holda a=b n tenglik to'g'ri bo'ladi. b soni, har qanday natural son kabi, uning barcha tub omillari p 1, p 2, …, p m ko‘paytmasi sifatida p 1 ·p 2 ·…·p m ko‘rinishida va bu holda radikal son a ko‘rinishida ifodalanishi mumkin. (p 1 ·p 2 ·…·p m) n sifatida ifodalanadi. Sonning tub omillarga ajralishi o‘ziga xos bo‘lgani uchun radikal a sonning tub omillarga ajralishi (p 1 ·p 2 ·…·p m) n ko‘rinishga ega bo‘ladi, bu esa ildiz qiymatini hisoblash imkonini beradi. kabi.

E'tibor bering, agar a radikal sonning tub omillarga bo'linishini (p 1 ·p 2 ·…·p m) n ko'rinishida ifodalash mumkin bo'lmasa, unda bunday a sonning n-chi ildizi to'liq chiqarilmaydi.

Keling, misollarni echishda buni aniqlaylik.

Misol.

144 ning kvadrat ildizini oling.

Yechim.

Oldingi xatboshida berilgan kvadratchalar jadvaliga qarasangiz, 144 = 12 2 ekanligini aniq ko'rishingiz mumkin, shundan 144 ning kvadrat ildizi 12 ga teng ekanligi aniq.

Ammo bu fikrni hisobga olgan holda, biz 144 radikal sonini tub omillarga ajratish orqali ildiz qanday olinishi bilan qiziqamiz. Keling, ushbu yechimni ko'rib chiqaylik.

Keling, parchalanaylik 144 dan asosiy omillarga:

Ya'ni, 144=2·2·2·2·3·3. Olingan parchalanish asosida quyidagi o'zgarishlarni amalga oshirish mumkin: 144=2·2·2·2·3·3=(2·2) 2·3 2 =(2·2·3) 2 =12 2. Demak, .

Darajaning xossalari va ildizlarning xossalaridan foydalanib, eritmani biroz boshqacha shakllantirish mumkin: .

Javob:

Materialni birlashtirish uchun yana ikkita misolning echimlarini ko'rib chiqing.

Misol.

Ildizning qiymatini hisoblang.

Yechim.

243 radikal sonining tub koeffitsientlari 243=3 5 ko'rinishga ega. Shunday qilib, .

Javob:

Misol.

Ildiz qiymati butun sonmi?

Yechim.

Bu savolga javob berish uchun keling, radikal sonni tub omillarga ajratamiz va uni butun sonning kubi sifatida ifodalash mumkinligini bilib olaylik.

Bizda 285 768=2 3 ·3 6 ·7 2 bor. Olingan kengayish butun sonning kubi sifatida ifodalanmaydi, chunki daraja asosiy omil 7 soni uchga koʻpaytmasi emas. Shuning uchun 285,768 ning kub ildizini to'liq chiqarib bo'lmaydi.

Javob:

Yo'q.

Kasr sonlardan ildizlarni ajratib olish

Kasr sonning ildizini qanday chiqarish kerakligini aniqlash vaqti keldi. Kasr radikal son p/q shaklida yozilsin. Bo'lakning ildizining xususiyatiga ko'ra, quyidagi tenglik to'g'ri bo'ladi. Bu tenglikdan kelib chiqadi kasrning ildizini ajratib olish qoidasi: Kasrning ildizi aylanmaning ildiziga boʻlingan qismga teng.

Kasrdan ildiz chiqarish misolini ko'rib chiqamiz.

Misol.

Kvadrat ildiz nima oddiy kasr 25/169 .

Yechim.

Kvadratlar jadvalidan foydalanib, biz asl kasrning kvadrat ildizi 5 ga, maxrajning kvadrat ildizi esa 13 ga teng ekanligini aniqlaymiz. Keyin . Bu 25/169 oddiy kasrning ildizini ajratib olishni yakunlaydi.

Javob:

O'nli kasr yoki aralash sonning ildizi radikal sonlarni oddiy kasrlar bilan almashtirgandan so'ng chiqariladi.

Misol.

474.552 o'nlik kasrning kub ildizini oling.

Yechim.

Keling, asl nusxani tasavvur qilaylik kasr oddiy kasr sifatida: 474,552=474552/1000. Keyin . Olingan kasrning hisoblagichi va maxrajidagi kub ildizlarini ajratib olish qoladi. Chunki 474 552=2·2·2·3·3·3·13·13·13=(2 3 13) 3 =78 3 va 1 000 = 10 3, keyin Va . Faqat hisob-kitoblarni bajarish qoladi .

Javob:

.

Salbiy sonning ildizini olish

Salbiy raqamlardan ildizlarni ajratib olish haqida to'xtalib o'tishga arziydi. Ildizlarni o'rganayotganda, agar ildiz ko'rsatkichi toq son bo'lsa, u holda ildiz belgisi ostida manfiy son bo'lishi mumkinligini aytdik. Biz bu yozuvlarga quyidagi maʼnoni berdik: manfiy son −a va 2 n−1 ildizning toq koʻrsatkichi uchun, . Bu tenglik beradi manfiy sonlardan toq ildizlarni chiqarish qoidasi: manfiy sonning ildizini chiqarish uchun qarama-qarshi musbat sonning ildizini olib, natija oldiga minus belgisini qo'yish kerak.

Keling, misol yechimini ko'rib chiqaylik.

Misol.

Ildizning qiymatini toping.

Yechim.

Keling, asl iborani ildiz belgisi ostida ijobiy son bo'lishi uchun o'zgartiramiz: . Endi aralash sonni oddiy kasr bilan almashtiring: . Oddiy kasrning ildizini olish qoidasini qo'llaymiz: . Olingan kasrning numeratori va maxrajidagi ildizlarni hisoblash qoladi: .

Mana bu yechimning qisqacha mazmuni: .

Javob:

.

Ildiz qiymatini bitli aniqlash

Umumiy holda, ildiz ostida yuqorida ko'rib chiqilgan usullardan foydalangan holda, biron bir sonning n-darajali sifatida ifodalanishi mumkin bo'lmagan son mavjud. Ammo ayni paytda ma'noni bilish kerak berilgan ildiz, hech bo'lmaganda ma'lum bir belgigacha. Bunday holda, ildizni olish uchun siz kerakli raqamning etarli miqdordagi raqamli qiymatlarini ketma-ket olish imkonini beruvchi algoritmdan foydalanishingiz mumkin.

Ushbu algoritmning birinchi bosqichi ildiz qiymatining eng muhim biti nima ekanligini aniqlashdir. Buning uchun 0, 10, 100, ... raqamlari radikal sondan oshib ketgan son olinmaguncha ketma-ket n darajaga ko'tariladi. Keyin oldingi bosqichda biz n darajasiga ko'targan raqam mos keladigan eng muhim raqamni ko'rsatadi.

Misol uchun, beshning kvadrat ildizini chiqarishda algoritmning ushbu bosqichini ko'rib chiqing. 0, 10, 100, ... raqamlarini oling va 5 dan katta raqam olinmaguncha ularni kvadratga aylantiring. Bizda 0 2 = 0 bor<5 , 10 2 =100>5, ya'ni eng muhim raqam birlar soni bo'ladi. Ushbu bitning qiymati, shuningdek, quyi bo'lganlar, ildiz chiqarish algoritmining keyingi bosqichlarida topiladi.

Algoritmning barcha keyingi bosqichlari ildizning kerakli qiymatining keyingi bitlarining qiymatlarini topib, eng yuqorisidan boshlab va eng pastiga o'tish orqali ildiz qiymatini ketma-ket aniqlashtirishga qaratilgan. Misol uchun, birinchi qadamda ildizning qiymati 2, ikkinchisida - 2,2, uchinchisida - 2,23 va shunga o'xshash 2,236067977 ... ga aylanadi. Keling, raqamlarning qiymatlari qanday topilganligini tasvirlab beraylik.

Raqamlar ular orqali qidirish orqali topiladi mumkin bo'lgan qiymatlar 0, 1, 2, …, 9. Bunda mos keladigan sonlarning n darajalari parallel ravishda hisoblab chiqiladi va ular radikal son bilan taqqoslanadi. Agar biror bosqichda daraja qiymati radikal sondan oshsa, u holda oldingi qiymatga mos keladigan raqamning qiymati topilgan deb hisoblanadi va agar bu sodir bo'lmasa, ildiz chiqarish algoritmining keyingi bosqichiga o'tish amalga oshiriladi; u holda bu raqamning qiymati 9 ga teng.

Keling, beshning kvadrat ildizini olishning xuddi shu misolidan foydalanib, ushbu fikrlarni tushuntiramiz.

Avval birlik raqamining qiymatini topamiz. Biz 0, 1, 2, ..., 9 qiymatlaridan o'tamiz, mos ravishda 0 2, 1 2, ..., 9 2 ni hisoblab, 5 radikal raqamidan kattaroq qiymatga ega bo'lgunimizcha. Ushbu hisob-kitoblarning barchasini jadval shaklida taqdim etish qulay:

Shunday qilib, birliklar raqamining qiymati 2 ga teng (2 2 dan beri<5 , а 2 3 >5). Keling, o'ninchi o'rinning qiymatini topishga o'tamiz. Bunday holda, olingan qiymatlarni 5 radikal raqami bilan taqqoslab, 2.0, 2.1, 2.2, ..., 2.9 raqamlarini kvadratga olamiz:

2.2 2 dan boshlab<5 , а 2,3 2 >5, u holda o'ninchi o'rinning qiymati 2 ga teng. Siz yuzinchi o'rinning qiymatini topishga o'tishingiz mumkin:

Beshning ildizining keyingi qiymati shunday topildi, u 2,23 ga teng. Shunday qilib, siz qiymatlarni topishni davom ettirishingiz mumkin: 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .

Materialni birlashtirish uchun biz ko'rib chiqilgan algoritmdan foydalanib, ildizning yuzdan birlik aniqligi bilan chiqarilishini tahlil qilamiz.

Avval biz eng muhim raqamni aniqlaymiz. Buning uchun biz 0, 10, 100 va hokazo raqamlarni kubik qilamiz. Biz 2 151 186 dan katta raqamni olguncha. Bizda 0 3 = 0 bor<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151.186, shuning uchun eng muhim raqam o'nlik raqamidir.

Keling, uning qiymatini aniqlaymiz.

103 dan beri<2 151,186 , а 20 3 >2 151.186, u holda o'nliklarning qiymati 1 ga teng. Keling, birliklarga o'tamiz.

Shunday qilib, birlar sonining qiymati 2 ga teng. Keling, o'ndan biriga o'taylik.

Hatto 12,9 3 2 151,186 radikal raqamidan kichik bo'lgani uchun, o'ninchi o'rinning qiymati 9 ga teng. Algoritmning oxirgi bosqichini bajarish qoladi, u bizga kerakli aniqlik bilan ildizning qiymatini beradi.

Ushbu bosqichda ildizning qiymati yuzdan birgacha aniq topiladi: .

Ushbu maqolaning yakunida shuni aytmoqchimanki, ildizlarni olishning boshqa ko'plab usullari mavjud. Ammo ko'pgina vazifalar uchun biz yuqorida o'rganganlarimiz etarli.

Adabiyotlar ro'yxati.

• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: 8-sinf uchun darslik. ta'lim muassasalari.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. va boshqalar: “Algebra va tahlilning boshlanishi: Umumta’lim muassasalarining 10-11-sinflari uchun darslik.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (texnika maktablariga kiruvchilar uchun qo'llanma).

Kalkulyatorlardan oldin talabalar va o'qituvchilar kvadrat ildizlarni qo'lda hisoblab chiqdilar. Raqamning kvadrat ildizini qo'lda hisoblashning bir necha yo'li mavjud. Ulardan ba'zilari faqat taxminiy echimni taklif qiladi, boshqalari aniq javob beradi.

Qadamlar

Asosiy faktorizatsiya

Radikal sonni kvadrat raqamlarga aylantiring. Radikal raqamga qarab, siz taxminiy yoki aniq javob olasiz. Kvadrat raqamlar - bu butun kvadrat ildizni olish mumkin bo'lgan raqamlar. Omillar - bu ko'paytirilganda asl raqamni beradigan raqamlar. Masalan, 8 sonining omillari 2 va 4, chunki 2 x 4 = 8, 25, 36, 49 raqamlari kvadrat sonlar, chunki √25 = 5, √36 = 6, √49 = 7. Kvadrat omillar omillar bo'lib, ular kvadrat sonlardir. Birinchidan, radikal sonni kvadrat omillarga ajratishga harakat qiling.

• Masalan, 400 ning kvadrat ildizini hisoblang (qo'l bilan). Avval 400 ni kvadrat omillarga ajratib ko'ring. 400 100 ning ko'paytmasi, ya'ni 25 ga bo'linadi - bu kvadrat raqam. 400 ni 25 ga bo'lish sizga 16 ni beradi. 16 soni ham kvadrat sondir. Shunday qilib, 400 ni 25 va 16 ning kvadrat omillariga, ya'ni 25 x 16 = 400 ga ko'paytirish mumkin.
• Buni quyidagicha yozish mumkin: √400 = √(25 x 16).

1. Ayrim hadlar ko‘paytmasining kvadrat ildizi har bir hadning kvadrat ildizlari ko‘paytmasiga teng, ya’ni √(a x b) = √a x √b. Har bir kvadrat omilning kvadrat ildizini olish uchun ushbu qoidadan foydalaning va javobni topish uchun natijalarni ko'paytiring.

   • Bizning misolimizda 25 va 16 ning ildizini oling.
     • √(25 x 16)
     • √25 x √16
     • 5 x 4 = 20

2. Agar radikal son ikki kvadrat omilga ta'sir qilmasa (va bu ko'p hollarda sodir bo'ladi), siz butun son shaklida aniq javob topa olmaysiz. Ammo siz radikal sonni kvadrat koeffitsientga va oddiy koeffitsientga (butun kvadrat ildizni olib bo'lmaydigan raqam) ajratish orqali muammoni soddalashtirishingiz mumkin. Keyin kvadrat omilning kvadrat ildizini olasiz va umumiy omilning ildizini olasiz.

   • Misol uchun, 147 sonining kvadrat ildizini hisoblang. 147 sonini ikki kvadrat koeffitsientga ajratib bo'lmaydi, lekin uni quyidagi ko'rsatkichlarga ajratish mumkin: 49 va 3. Masalani quyidagicha yeching:
     • = √(49 x 3)
     • = √49 x √3
     • = 7√3

3. Agar kerak bo'lsa, ildizning qiymatini baholang. Endi siz ildizning qiymatini (taxminiy qiymatni toping), uni radikal songa eng yaqin (son chizig'ining ikkala tomonida) bo'lgan kvadrat raqamlarning ildizlari qiymatlari bilan taqqoslash orqali baholashingiz mumkin. Siz ildiz qiymatini o'nlik kasr sifatida olasiz, uni ildiz belgisi orqasidagi raqamga ko'paytirish kerak.

   • Keling, misolimizga qaytaylik. Radikal raqam 3. Unga eng yaqin kvadrat raqamlar 1 (√1 = 1) va 4 (√4 = 2) raqamlari bo'ladi. Shunday qilib, √3 qiymati 1 va 2 orasida joylashgan. √3 qiymati, ehtimol, 1 ga qaraganda 2 ga yaqinroq bo'lgani uchun, bizning taxminimiz: √3 = 1,7. Biz bu qiymatni ildiz belgisidagi raqamga ko'paytiramiz: 7 x 1,7 = 11,9. Agar siz hisobni kalkulyatorda qilsangiz, siz 12.13 ni olasiz, bu bizning javobimizga juda yaqin.
     • Bu usul katta raqamlar bilan ham ishlaydi. Masalan, √35 ni ko'rib chiqing. Radikal raqam 35. Unga eng yaqin kvadrat raqamlar 25 (√25 = 5) va 36 (√36 = 6) raqamlari bo'ladi. Shunday qilib, √35 qiymati 5 va 6 oralig'ida joylashgan. √35 qiymati 5 ga nisbatan 6 ga ancha yaqin bo'lgani uchun (chunki 35 36 dan atigi 1 ta kichik), biz √35 ni 6 dan bir oz kichik deb aytishimiz mumkin. Kalkulyatorni tekshiring 5.92 - biz haq edik.

4. Yana bir usul - radikal sonni tub omillarga kiritish. Bosh omillar - bu faqat 1 ga va o'ziga bo'linadigan sonlar. Bir qatordagi tub omillarni yozing va bir xil omillar juftlarini toping. Bunday omillarni ildiz belgisidan chiqarish mumkin.

   • Masalan, 45 ning kvadrat ildizini hisoblang. Radikal sonni tub omillarga ajratamiz: 45 = 9 x 5 va 9 = 3 x 3. Shunday qilib, √45 = √ (3 x 3 x 5). 3 ni ildiz belgisi sifatida chiqarish mumkin: √45 = 3√5. Endi biz √5 ni taxmin qilishimiz mumkin.
   • Yana bir misolni ko'rib chiqamiz: √88.
     • = √(2 x 44)
     • = √ (2 x 4 x 11)
     • = √ (2 x 2 x 2 x 11). Siz 2 ning uchta ko'paytmasini oldingiz; ulardan bir nechtasini oling va ularni ildiz belgisidan tashqariga o'tkazing.
     • = 2√(2 x 11) = 2√2 x √11. Endi siz √2 va √11 ni baholab, taxminiy javobni topishingiz mumkin.

   Kvadrat ildizni qo'lda hisoblash

   Uzoq bo'linishdan foydalanish

   1. Bu usul uzoq bo'linishga o'xshash jarayonni o'z ichiga oladi va aniq javob beradi. Birinchidan, varaqni ikkiga bo'ladigan vertikal chiziqni torting, so'ngra o'ngga va varaqning yuqori chetidan bir oz pastga, vertikal chiziqqa gorizontal chiziq torting. Endi radikal sonni o'nli kasrdan keyin kasr qismidan boshlab juft raqamlarga bo'ling. Demak, 79520789182.47897 raqami “7 95 20 78 91 82, 47 89 70” deb yoziladi.

      • Masalan, 780.14 raqamining kvadrat ildizini hisoblaymiz. Ikkita chiziq chizing (rasmda ko'rsatilgandek) va berilgan raqamni yuqori chap tomonda "7 80, 14" shaklida yozing. Chapdagi birinchi raqam juftlashtirilmagan raqam bo'lishi odatiy holdir. Javobni (bu raqamning ildizini) yuqori o'ng tomonga yozasiz.

   2. Chapdagi birinchi raqamlar juftligi (yoki bitta raqam) uchun kvadrati ko'rib chiqilayotgan sonlar juftligidan (yoki bitta raqamdan) kichik yoki teng bo'lgan eng katta n butun sonni toping. Boshqacha qilib aytganda, chapdan birinchi son juftiga (yoki bitta raqamga) eng yaqin, lekin undan kichikroq kvadrat sonni toping va shu kvadrat sonning kvadrat ildizini oling; n raqamini olasiz. Yuqori o'ng tomonga topilgan n ni yozing va pastki o'ngga n ning kvadratini yozing.

      • Bizning holatda, chapdagi birinchi raqam 7 bo'ladi. Keyingi, 4< 7, то есть 2 2 < 7 и n = 2. Напишите 2 сверху справа - это первая цифра в искомом квадратном корне. Напишите 2×2=4 справа снизу; вам понадобится это число для последующих вычислений.

   3. Chapdagi birinchi juft raqamlardan (yoki bitta raqamdan) hozirgina topilgan n sonining kvadratini ayiring. Hisoblash natijasini ayirma ostiga yozing (n sonining kvadrati).

      • Bizning misolimizda 7 dan 4 ni ayirib, 3 ni oling.

   4. Ikkinchi juft raqamlarni olib tashlang va oldingi bosqichda olingan qiymat yoniga yozing. Keyin yuqori o'ngdagi raqamni ikki barobarga oshiring va natijani pastki o'ng tomonga "_×_=" qo'shilishi bilan yozing.

      • Bizning misolimizda raqamlarning ikkinchi juftligi "80" dir. 3 dan keyin "80" ni yozing. Keyin yuqori o'ng tarafdagi ikki barobar raqam 4 ni beradi. Pastki o'ngga "4_×_=" yozing.

   5. O'ng tarafdagi bo'sh joylarni to'ldiring.

      • Bizning holatda, agar chiziq o'rniga 8 raqamini qo'ysak, u holda 48 x 8 = 384 bo'ladi, bu 380 dan ortiq. Shuning uchun 8 juda katta raqam, lekin 7 qiladi. Chiziqlar o'rniga 7 yozing va oling: 47 x 7 = 329. Yuqori o'ng tomonda 7 yozing - bu 780.14 raqamining kerakli kvadrat ildizidagi ikkinchi raqam.

   6. Olingan raqamni chapdagi joriy raqamdan ayiring. Oldingi bosqichdan olingan natijani chapdagi joriy raqam ostiga yozing, farqni toping va uni ayirboshlash ostida yozing.

      • Bizning misolimizda 380 dan 329 ni ayirib oling, bu 51 ga teng.

   7. 4-bosqichni takrorlang. Agar o'tkazilayotgan raqamlar juftligi asl sonning kasr qismi bo'lsa, yuqori o'ngdagi kerakli kvadrat ildizga butun va kasr qismlari orasiga ajratuvchi (vergul) qo'ying. Chapda, keyingi raqamlar juftini tushiring. Yuqori o'ngdagi raqamni ikki barobarga oshiring va natijani pastki o'ng tomonga "_×_=" qo'shilishi bilan yozing.

      • Bizning misolimizda, o'chirilishi kerak bo'lgan keyingi raqamlar juftligi 780.14 raqamining kasr qismi bo'ladi, shuning uchun yuqori o'ngdagi kerakli kvadrat ildizga butun va kasr qismlarini ajratuvchisini qo'ying. 14 ni tushiring va pastki chap tomonga yozing. Yuqori o'ngdagi (27) raqamni ikki baravar oshiring 54, shuning uchun pastki o'ngga "54_×_=" yozing.

   8. 5 va 6-bosqichlarni takrorlang. O'ngdagi tire o'rniga eng katta raqamni toping (chiziqlar o'rniga siz bir xil raqamni qo'yishingiz kerak), shunda ko'paytirish natijasi chapdagi joriy raqamdan kichik yoki teng bo'ladi.

      • Bizning misolimizda 549 x 9 = 4941, bu chapdagi joriy raqamdan (5114) kamroq. Yuqori o'ng tomonda 9 yozing va chapdagi joriy raqamdan natijani ayiring: 5114 - 4941 = 173.

   9. Kvadrat ildiz uchun ko'proq o'nli kasrlarni topish kerak bo'lsa, joriy raqamning chap tomoniga bir nechta nol yozing va 4, 5 va 6-bosqichlarni takrorlang. Javob aniqligini (o'nli kasrlar soni) olguncha amallarni takrorlang. kerak.

   Jarayonni tushunish

   Ushbu usulni o'zlashtirish uchun kvadrat ildizini S kvadratning maydoni sifatida topish kerak bo'lgan sonni tasavvur qiling. Bunday holda, siz bunday kvadratning L tomonining uzunligini qidirasiz. L² = S bo'lgan L qiymatini hisoblaymiz.

   Javobdagi har bir raqam uchun harf bering. L qiymatidagi birinchi raqamni A bilan belgilaymiz (kerakli kvadrat ildiz). B ikkinchi raqam bo'ladi, C uchinchi va hokazo.

   Birinchi raqamlarning har bir jufti uchun harfni belgilang. S qiymatidagi birinchi raqamlar juftini S a bilan, ikkinchi juft raqamlarni S b bilan belgilaymiz va hokazo.

   Ushbu usul va uzoq bo'linish o'rtasidagi bog'liqlikni tushuning. Xuddi bo'linishda bo'lgani kabi, biz har safar bo'linadigan raqamning keyingi raqamiga qiziqamiz, kvadrat ildizni hisoblashda biz ketma-ket bir juft raqam orqali ishlaymiz (kvadrat ildiz qiymatida keyingi bitta raqamni olish uchun). ).

   1. S sonining birinchi juft Sa raqamlarini ko'rib chiqing (misolimizda Sa = 7) va uning kvadrat ildizini toping. Bunday holda, kerakli kvadrat ildiz qiymatining birinchi A raqami kvadrati S a dan kichik yoki teng bo'lgan raqam bo'ladi (ya'ni, biz A ni qidiramiz, shunda tengsizlik A² ≤ Sa bo'ladi.< (A+1)²). В нашем примере, S1 = 7, и 2² ≤ 7 < 3²; таким образом A = 2.

      • Aytaylik, 88962 ni 7 ga bo'lish kerak; bu erda birinchi qadam shunga o'xshash bo'ladi: biz 88962 (8) bo'linadigan sonning birinchi raqamini ko'rib chiqamiz va 7 ga ko'paytirilganda 8 dan kichik yoki teng qiymat beradigan eng katta raqamni tanlaymiz. Ya'ni, biz qidiramiz. tengsizlik rost bo'lgan d soni: 7 × d ≤ 8< 7×(d+1). В этом случае d будет равно 1.

   2. Maydonini hisoblashingiz kerak bo'lgan kvadratni aqlan tasavvur qiling. Siz L ni qidiryapsiz, ya'ni maydoni S ga teng bo'lgan kvadrat tomonining uzunligi. A, B, C - L sonidagi raqamlar. Siz uni boshqacha yozishingiz mumkin: 10A + B = L (uchun ikki xonali raqam) yoki 100A + 10B + C = L (uch xonali raqam uchun) va boshqalar.

      • Mayli (10A+B)² = L² = S = 100A² + 2×10A×B + B². Esda tutingki, 10A+B bu raqam bo'lib, unda B raqami birliklarni, A raqami esa o'nlikni bildiradi. Masalan, agar A=1 va B=2 bo'lsa, 10A+B 12 soniga teng bo'ladi. (10A+B)²- bu butun maydonning maydoni, 100A²- katta ichki kvadratning maydoni, B²- kichik ichki kvadratning maydoni, 10A×B- ikkita to'rtburchakning har birining maydoni. Ta'riflangan raqamlarning maydonlarini qo'shib, siz asl kvadratning maydonini topasiz.

Ko'rsatmalar

Radikal raqam uchun ko'paytirgichni tanlang, uning ostidan olib tashlang ildiz haqiqatan ham ifodadir - aks holda operatsiya yo'qotadi. Misol uchun, agar belgi ostida bo'lsa ildiz ko'rsatkichi uchga teng bo'lgan (kub ildizi), u turadi raqam 128, keyin belgi ostidan chiqarib olishingiz mumkin, masalan, raqam 5. Shu bilan birga, radikal raqam 128 ni 5 kubga bo'lish kerak: ³√128 = 5∗³√(128/5³) = 5∗³√(128/125) = 5∗³√1,024. Belgi ostida kasr son mavjudligi bo'lsa ildiz muammoning shartlariga zid kelmaydi, keyin bu shaklda mumkin. Agar sizga oddiyroq variant kerak bo'lsa, avval radikal ifodani shunday butun son omillarga ajrating, ulardan birining kub ildizi butun son bo'ladi. raqam m. Masalan: ³√128 = ³√(64∗2) = ³√(4³∗2) = 4∗³√2.

Radikal sonning omillarini tanlash uchun foydalaning, agar sizning boshingizdagi raqamning kuchlarini hisoblash imkoni bo'lmasa. Bu, ayniqsa, uchun to'g'ri keladi ildiz ko'rsatkichi ikkidan katta bo'lgan m. Internetga kirish imkoningiz bo'lsa, Google va Nigma qidiruv tizimlariga o'rnatilgan kalkulyatorlar yordamida hisob-kitoblarni amalga oshirishingiz mumkin. Misol uchun, kub belgisi ostidan olinadigan eng katta butun sonni topish kerak bo'lsa ildiz 250 raqami uchun Google veb-saytiga o'ting va uni belgi ostidan olib tashlash mumkinligini tekshirish uchun "6^3" so'rovini kiriting. ildiz olti. Qidiruv tizimi 216 ga teng natijani ko'rsatadi. Afsuski, 250 ni qoldiqsiz bo'lib bo'lmaydi. raqam. Keyin 5^3 so'rovini kiriting. Natijada 125 bo'ladi va bu sizga 250 ni 125 va 2 koeffitsientlariga bo'lish imkonini beradi, ya'ni uni belgidan olib tashlashni anglatadi. ildiz raqam 5, u erdan ketish raqam 2.

Manbalar:

• uni ildiz ostidan qanday chiqarish kerak
• Mahsulotning kvadrat ildizi

Uni ostidan olib tashlang ildiz omillardan biri matematik ifodani soddalashtirish kerak bo'lgan holatlarda zarur. Kalkulyator yordamida kerakli hisob-kitoblarni amalga oshirish mumkin bo'lmagan holatlar mavjud. Misol uchun, agar raqamlar o'rniga o'zgaruvchilar uchun harf belgilari ishlatilsa.

Ko'rsatmalar

Radikal ifodani oddiy omillarga ajrating. Ko'rsatkichlarda ko'rsatilgan omillarning qaysi biri bir xil marta takrorlanishini ko'ring ildiz, yoki undan ko'p. Misol uchun, a ning to'rtinchi ildizini olishingiz kerak. Bunda sonni a*a*a*a = a*(a*a*a)=a*a3 ko‘rinishida ifodalash mumkin. Ko'rsatkich ildiz bu holda u bilan mos keladi omil a3. Uni belgidan olib tashlash kerak.

Olingan radikallarning ildizini iloji boricha alohida ajratib oling. Ekstraksiya ildiz ko'rsatkichga teskari algebraik amaldir. Ekstraksiya ildiz ixtiyoriy darajaga ega bo'lgan sondan, shu ixtiyoriy darajaga ko'tarilganda, berilgan songa olib keladigan raqamni toping. Agar ekstraktsiya ildiz ishlab chiqarilmaydi, belgi ostida radikal ifodani qoldiring ildiz xuddi shunday. Yuqoridagi harakatlar natijasida siz ostidan olib tashlanadi belgisi ildiz.

Mavzu bo'yicha video

Eslatma

Radikal ifodalarni omillar shaklida yozishda ehtiyot bo'ling - bu bosqichdagi xato noto'g'ri natijalarga olib keladi.

Foydali maslahat

Ildizlarni ajratib olishda maxsus jadvallar yoki logarifmik ildizlar jadvallaridan foydalanish qulay - bu to'g'ri echimni topish uchun ketadigan vaqtni sezilarli darajada kamaytiradi.

Manbalar:

• 2019 yilda ildiz chiqarish belgisi

Algebraik ifodalarni soddalashtirish matematikaning ko‘plab sohalarida, jumladan, yuqori tartibli tenglamalarni yechish, differentsiallash va integrasiyalashda talab qilinadi. Bir necha usullar, jumladan faktorizatsiya qo'llaniladi. Ushbu usulni qo'llash uchun siz topib, umumiy qilishingiz kerak omil orqasida qavslar.

Ko'rsatmalar

Umumiy multiplikatorni bajarish qavslar- parchalanishning eng keng tarqalgan usullaridan biri. Ushbu uslub uzoq algebraik ifodalarning tuzilishini soddalashtirish uchun ishlatiladi, ya'ni. polinomlar. Umumiy son son, monom yoki binom bo'lishi mumkin va uni topish uchun ko'paytirishning distributiv xususiyatidan foydalaniladi.

Raqamni bir xil songa bo'lish mumkinligini bilish uchun har bir ko'phadning koeffitsientlariga diqqat bilan qarang. Masalan, 12 z³ + 16 z² – 4 ifodasida bu aniq omil 4. Transformatsiyadan so'ng siz 4 (3 z³ + 4 z² - 1) olasiz. Boshqacha qilib aytganda, bu raqam barcha koeffitsientlarning eng kichik umumiy bo'luvchisidir.

Bir xil o'zgaruvchi ko'pnomning har bir shartida bor yoki yo'qligini aniqlang. Agar shunday bo'lsa, endi oldingi holatda bo'lgani kabi koeffitsientlarga qarang. Misol: 9 z^4 – 6 z³ + 15 z² – 3 z.

Bu ko‘phadning har bir elementida z o‘zgaruvchisi mavjud. Bundan tashqari, barcha koeffitsientlar 3 ga karrali sonlardir. Shuning uchun umumiy omil monomial 3 z: 3 z (3 z³ – 2 z² + 5 z - 1) bo'ladi.

Binom. uchun qavslar umumiy omil ikkitadan, oʻzgaruvchidan va umumiy koʻphaddan iborat son. Shuning uchun, agar omil-binomial aniq emas, unda siz kamida bitta ildizni topishingiz kerak. Polinomning erkin hadini tanlang, bu o'zgaruvchisiz koeffitsient; Endi bo'sh muddatning barcha butun son bo'luvchilarining umumiy ifodasiga almashtirish usulini qo'llang.

Ko'rib chiqing: z^4 – 2 z³ + z² - 4 z + 4. 4 ning butun koeffitsientlaridan birortasi z^4 – 2 z³ + z² - 4 z + 4 = 0 ekanligini tekshiring. Oddiy almashtirish orqali z1 ni toping. = 1 va z2 = 2, ya'ni uchun qavslar binomiallarni (z - 1) va (z - 2) olib tashlashimiz mumkin. Qolgan ifodani topish uchun ketma-ket uzun bo'linishdan foydalaning.