Belirli bir sayıdan karşılık gelen derecenin kökünü çıkarın

Trigonometrik formdaki sayılar.

Moivre'nin formülü

z 1 = r 1 (cos  1 + isin  1) ve z 2 = r 2 (cos  2 + isin  2) olsun.

Karmaşık bir sayı yazmanın trigonometrik biçimi, çarpma, bölme, tamsayıya yükseltme ve n derecesinin kökünü çıkarma işlemlerini gerçekleştirmek için kullanışlıdır.

z 1 ∙ z 2 = r 1 ∙ r 2 (çünkü ( 1 +  2) + i günah( 1 +  2)).

İki karmaşık sayıyı çarparken trigonometrik formda modülleri çarpılır ve argümanları eklenir. Bölerken modülleri bölünür ve argümanları çıkarılır.

Karmaşık bir sayıyı çarpma kuralının bir sonucu, karmaşık bir sayıyı bir kuvvete yükseltme kuralıdır.

z = r(cos  + i sin ).

z n = r n (cos n + isin n).

Bu orana denir Moivre'nin formülü.

Örnek 8.1 Sayıların çarpımını ve bölümünü bulun:

Ve

Çözüm

z 1 ∙z 2
∙

=

;

Örnek 8.2 Bir sayıyı trigonometrik biçimde yazın

∙
–i) 7 .

Çözüm

Haydi belirtelim
ve z2 =
- Ben.

r 1 = |z 1 | = √ 1 2 + 1 2 = √ 2;  1 = arg z 1 = arktan ;

z1 =
;

r2 = |z2 | = √(√ 3) 2 + (– 1) 2 = 2;  2 = arg z 2 = arktan
;

z2 = 2
;

z1 5 = (
) 5
; z2 7 = 2 7

z = (
) 5 ·2 7
=

2 9

§ 9 Karmaşık bir sayının kökünün çıkarılması

Tanım. KökNkarmaşık bir sayının inci kuvveti z (belirt
) w n = z olacak şekilde bir w karmaşık sayısıdır. Eğer z = 0 ise, o zaman
= 0.

z  0 olsun, z = r(cos + isin). w = (cos + sin) olsun, sonra w n = z denklemini aşağıdaki biçimde yazalım

 n (cos(n·) + isin(n·)) = r(cos + isin).

Dolayısıyla  n = r,

 =

Böylece wk =
·
.

Bu değerler arasında tam olarak n tane farklı olan var.

Bu nedenle k = 0, 1, 2,…, n – 1.

Karmaşık düzlemde bu noktalar, yarıçaplı bir daire içine yazılan düzenli bir n-gon'un köşeleridir.
merkezi O noktasındadır (Şekil 12).

Şekil 12

Örnek 9.1 Tüm değerleri bul
.

Çözüm.

Bu sayıyı trigonometrik biçimde gösterelim. Modülünü ve argümanını bulalım.

w k =
, burada k = 0, 1, 2, 3.

w 0 =
.

w 1 =
.

w2 =
.

w3 =
.

Karmaşık düzlemde bu noktalar, yarıçaplı bir daire içine yazılan bir karenin köşeleridir.
merkezi orijinde olacak şekilde (Şekil 13).

Şekil 13 Şekil 14

Örnek 9.2 Tüm değerleri bul
.

Çözüm.

z = – 64 = 64(cos +isin);

w k =
, burada k = 0, 1, 2, 3, 4, 5.

w 0 =
; w 1 =
;

w2 =
w3 =

w4 =
; w5 =
.

Karmaşık düzlemde bu noktalar, merkezi O (0; 0) noktasında olan 2 yarıçaplı bir daireye yazılan düzgün bir altıgenin köşeleridir - Şekil 14.

§ 10 Karmaşık bir sayının üstel formu.

Euler'in formülü

Haydi belirtelim
= cos  + isin  ve
= cos  - isin  . Bu ilişkilere denir Euler formülleri .

İşlev
üstel bir fonksiyonun olağan özelliklerine sahiptir:

Karmaşık sayı z, trigonometrik formda z = r(cos + isin) olarak yazılsın.

Euler formülünü kullanarak şunu yazabiliriz:

z = r
.

Bu giriş denir üstel form karmaşık sayı. Bunu kullanarak çarpma, bölme, üs alma ve kök çıkarma kurallarını elde ederiz.

Eğer z 1 = r 1 ·
ve z 2 = r 2 ·
?O

z 1 · z 2 = r 1 · r 2 ·
;

·

z n = r n ·

, burada k = 0, 1,… , n – 1.

Örnek 10.1 Bir sayıyı cebirsel biçimde yazın

z =
.

Çözüm.

Örnek 10.2 z 2 + (4 – 3i)z + 4 – 6i = 0 denklemini çözün.

Çözüm.

Herhangi bir karmaşık katsayı için bu denklemin z 1 ve z 1 (muhtemelen çakışan) iki kökü vardır. Bu kökler gerçek durumdaki aynı formül kullanılarak bulunabilir. Çünkü
yalnızca işaret bakımından farklı olan iki değer alırsa bu formül şöyle görünür:

–9 = 9 e  i olduğundan değerler
sayılar olacak:

Daha sonra
Ve
.

Çözüm.

Denklemin gerekli kökleri değerler olacaktır
.

z = –1 için r = 1, arg(–1) =  bulunur.

w k =
, k = 0, 1, 2.

Egzersizler

9 Sayıları üstel biçimde gösterin:

10 Sayıları üstel ve cebirsel formlarda yazın:

11 Sayıları cebirsel ve geometrik biçimde yazın:

12 Sayı verilmiştir

Bunları üstel biçimde sunarak bulun
.

13 Karmaşık bir sayının üstel formunu kullanarak aşağıdaki adımları gerçekleştirin:

A)
B)

V)
G)

İle ve doğal sayı N 2 .

Karmaşık sayı Z isminde kökN– C, Eğer Z N = C.

Kökün tüm değerlerini bulalım N– ah karmaşık bir sayının gücü İle. İzin vermek C=| C|·(çünkü Argüman C+ Ben· günah Argümanİle), A Z = | Z|·(ileişletim sistemi Argüman Z + Ben· günah Argüman Z) , Nerede Z kök N- ah karmaşık bir sayının gücü İle. O zaman öyle olmalı = C = | C|·(çünkü Argüman C+ Ben· günah Argümanİle). Şunu takip ediyor
Ve N· Argüman Z = Argümanİle
Argüman Z =
(k=0,1,…) . Buradan, Z =
(çünkü
+ Ben· günah
), (k=0,1,…) . Değerlerden herhangi birinin olduğunu görmek kolaydır
, (k=0,1,…) karşılık gelen değerlerden birinden farklı
,(k = 0,1,…, N-1) birden fazla 2π. Bu yüzden , (k = 0,1,…, N-1) .

Örnek.

(-1)'in kökünü hesaplayalım.

, açıkça |-1| = 1, tartışma (-1) = π

-1 = 1·(çünkü π + Ben· günah π )

, (k = 0, 1).

= Ben

Rastgele bir rasyonel üssü olan güç

Rastgele bir karmaşık sayı alalım İle. Eğer N doğal sayı o halde İle N = | C| N ·(İleişletim sistemi nArg+Ben· günah nArgİle)(6). Bu formül şu durumda da geçerlidir: N = 0 (s≠0)
. İzin vermek N < 0 Ve N Z Ve s ≠ 0, Daha sonra

İle N =
(çünkü nArgİle+i·sin nArgİle) = (çünkü nArgİle+ i·sin nArgİle) . Dolayısıyla formül (6) herhangi bir durum için geçerlidir. N.

Rasyonel bir sayı alalım , Nerede Q doğal sayı ve R bütündür.

Daha sonra altında derece C R sayısını anlayacağız
.

Bunu anlıyoruz ,

(k = 0, 1, …, Q-1). Bu değerler Q Kesir indirgenemiyorsa parçalar.

Ders No. 3 Karmaşık sayılar dizisinin limiti

Doğal bir argümanın karmaşık değerli bir fonksiyonuna denir karmaşık sayılar dizisi ve belirlenmiş (İle N ) veya İle 1 , İle 2 , ..., İle N . İle N = bir N + B N · Ben (N = 1,2, ...) Karışık sayılar.

İle 1 , İle 2 , … - dizinin üyeleri; İle N – ortak üye

Karmaşık sayı İle = A+ B· Ben isminde karmaşık sayılar dizisinin limiti (C N ) , Nerede İle N = bir N + B N · Ben (N = 1, 2, …) , nerede olursa olsun

herkesin önünde N > N eşitsizlik geçerli
. Sonlu limiti olan diziye denir yakınsak sekans.

Teorem.

Bir karmaşık sayı dizisi için (ile N ) (İle N = bir N + B N · Ben) ile bir sayıya yakınlaştı = A+ B· Beneşitliğin sağlanması için gerekli ve yeterlidirlim A N = A, lim B N = B.

Kanıt.

Teoremi aşağıdaki bariz çifte eşitsizliğe dayanarak kanıtlayacağız.

, Nerede Z = X + sen· Ben (2)

Gereklilik.İzin vermek lim(İle N ) = s. Eşitliklerin doğru olduğunu gösterelim lim A N = A Ve lim B N = B (3).

Açıkçası (4)

Çünkü
, Ne zaman N → ∞ , eşitsizliğin (4) sol tarafından şu sonucu çıkarır:
Ve
, Ne zaman N → ∞ . dolayısıyla eşitlikler (3) sağlanır. İhtiyaç kanıtlandı.

Yeterlilik.Şimdi eşitlikler (3) sağlansın. Eşitlik (3)'ten şu sonuç çıkar:
Ve
, Ne zaman N → ∞ , dolayısıyla eşitsizliğin (4) sağ tarafı nedeniyle,
, Ne zaman N→∞ , Araç lim(İle N )=c. Yeterliliği kanıtlanmıştır.

Dolayısıyla, bir karmaşık sayı dizisinin yakınsaklığı sorunu, iki gerçek sayı dizisinin yakınsamasına eşdeğerdir, dolayısıyla gerçek sayı dizilerinin limitlerinin tüm temel özellikleri, karmaşık sayı dizileri için geçerlidir.

Örneğin karmaşık sayı dizileri için Cauchy kriteri geçerlidir: karmaşık sayılar dizisi için (ile N ) yakınsarsa, herhangi biri için gerekli ve yeterlidir.

, herhangi biri içinN, M > Neşitsizlik geçerli
.

Teorem.

Karmaşık sayılar dizisi olsun (ile N ) Ve (z N ) c'ye yakınsar ve sırasıylazo zaman eşitlikler doğrudurlim(İle N z N ) = C z, lim(İle N · z N ) = C· z. Eğer kesin olarak biliniyorsaz0'a eşit değilse eşitlik doğrudur
.