วิธีสร้างความไม่เท่าเทียมกันที่แท้จริงสองประการ ความเท่าเทียมกันคืออะไร? สัญญาณแรกและหลักการแห่งความเท่าเทียมกัน ความเสมอภาคสองเท่า, สามเท่า ฯลฯ

อีกด้านของความเท่าเทียมก็คือ ความไม่เท่าเทียมกัน- ในบทความนี้ เราจะแนะนำแนวคิดเรื่องความไม่เท่าเทียมกัน และให้ข้อมูลพื้นฐานเกี่ยวกับความไม่เท่าเทียมกันในบริบทของคณิตศาสตร์

ก่อนอื่น เรามาดูกันว่าความไม่เท่าเทียมกันคืออะไร และแนะนำแนวคิดเรื่องไม่เท่ากัน มากกว่า หรือน้อยกว่า ต่อไปเราจะพูดถึงการเขียนอสมการโดยใช้เครื่องหมายไม่เท่ากับ น้อยกว่า มากกว่า น้อยกว่าหรือเท่ากับ มากกว่าหรือเท่ากับ หลังจากนี้ เราจะพูดถึงอสมการประเภทหลักๆ ให้คำจำกัดความของอสมการแบบเข้มงวดและไม่เข้มงวด จริงและเท็จ ต่อไป เราจะแสดงรายการคุณสมบัติหลักของอสมการโดยย่อ สุดท้ายเรามาดูคู่, ทริปเปิ้ล ฯลฯ ความไม่เท่าเทียม แล้วมาดูความหมายที่พวกมันมีกัน

การนำทางหน้า

ความไม่เท่าเทียมกันคืออะไร?

ที่เก็บความไม่เท่าเทียมกันเช่น เกี่ยวข้องกับการเปรียบเทียบของสองวัตถุ และหากความเท่าเทียมกันนั้นมีคำว่า "เหมือนกัน" ในทางกลับกันความไม่เท่าเทียมกันจะพูดถึงความแตกต่างระหว่างวัตถุที่ถูกเปรียบเทียบ ตัวอย่างเช่น วัตถุ และ เหมือนกัน เราสามารถพูดเกี่ยวกับพวกมันได้ว่าพวกมันเท่ากัน แต่วัตถุทั้งสองนั้นแตกต่างกัน กล่าวคือ พวกมัน ไม่เท่ากันหรือ ไม่เท่ากัน.

ความไม่เท่าเทียมกันของวัตถุที่เปรียบเทียบได้รับการยอมรับพร้อมกับความหมายของคำต่างๆ เช่น สูง ต่ำ (ความสูงไม่เท่ากัน) หนาขึ้น ทินเนอร์ (ความหนาไม่เท่ากัน) ไกลขึ้น ใกล้มากขึ้น (ความไม่เท่าเทียมกันในระยะห่างจากบางสิ่งบางอย่าง) ยาวขึ้น สั้นลง (ความไม่เท่าเทียมกันใน ความยาว), หนักกว่า, เบากว่า (น้ำหนักไม่เท่ากัน), สว่างกว่า, หรี่ลง (ความไม่เท่าเทียมกันของความสว่าง), อุ่นกว่า, เย็นกว่า ฯลฯ

ดังที่เราได้กล่าวไปแล้วเมื่อทำความคุ้นเคยกับความเท่าเทียมกัน เราสามารถพูดถึงทั้งความเท่าเทียมกันของวัตถุสองชิ้นโดยรวม และเกี่ยวกับความเท่าเทียมกันของคุณลักษณะบางอย่างได้ เช่นเดียวกับความไม่เท่าเทียมกัน ตัวอย่างเช่น เราให้วัตถุสองชิ้น และ . แน่นอนว่ามันไม่เหมือนกัน กล่าวคือ โดยทั่วไปแล้วมันไม่เท่ากัน มีขนาดไม่เท่ากันหรือสีไม่เท่ากันอย่างไรก็ตามเราสามารถพูดถึงความเท่าเทียมกันของรูปร่างได้ - พวกมันเป็นวงกลมทั้งสองวง

ในทางคณิตศาสตร์ ความหมายทั่วไปของความไม่เท่าเทียมกันยังคงเหมือนเดิม แต่ในบริบทของมัน เรากำลังพูดถึงความไม่เท่าเทียมกันของวัตถุทางคณิตศาสตร์: ตัวเลข ค่าของนิพจน์ ค่าของปริมาณใดๆ (ความยาว น้ำหนัก พื้นที่ อุณหภูมิ ฯลฯ) ตัวเลข เวกเตอร์ ฯลฯ

ไม่เท่ากัน มากขึ้น น้อยลง

บางครั้งมันเป็นความจริงที่ว่าวัตถุสองชิ้นมีค่าไม่เท่ากัน และเมื่อเปรียบเทียบค่าของปริมาณใด ๆ แล้วเมื่อพบความไม่เท่าเทียมกันก็มักจะไปไกลกว่านั้นและค้นหาว่าปริมาณใด มากกว่าและอันไหน - น้อย.

เราเรียนรู้ความหมายของคำว่า “มาก” และ “น้อย” เกือบตั้งแต่วันแรกของชีวิต ในระดับสัญชาตญาณ เรารับรู้แนวคิดเรื่องขนาด ปริมาณ ฯลฯ มากขึ้นหรือน้อยลง แล้วเราก็ค่อย ๆ เริ่มตระหนักว่าแท้จริงแล้วเรากำลังพูดถึงอยู่ การเปรียบเทียบตัวเลขสอดคล้องกับจำนวนวัตถุบางอย่างหรือค่าของปริมาณที่แน่นอน นั่นคือในกรณีเหล่านี้ เราจะพบว่าจำนวนใดมากกว่าและจำนวนใดน้อยกว่า

ลองยกตัวอย่าง พิจารณาสองส่วน AB และ CD แล้วเปรียบเทียบความยาว - แน่นอนว่ามันไม่เท่ากัน และเห็นได้ชัดว่าเซ็กเมนต์ AB ยาวกว่าเซ็กเมนต์ CD ดังนั้นตามความหมายของคำว่า "ยาวกว่า" ความยาวของส่วน AB มากกว่าความยาวของส่วน CD และในเวลาเดียวกันความยาวของส่วน CD จะน้อยกว่าความยาวของส่วน AB

อีกตัวอย่างหนึ่ง อุณหภูมิอากาศในตอนเช้าบันทึกได้ที่ 11 องศาเซลเซียส และช่วงบ่าย - 24 องศา ตาม 11 มีค่าน้อยกว่า 24 ดังนั้นค่าอุณหภูมิในตอนเช้าจึงน้อยกว่าค่าในช่วงอาหารกลางวัน (อุณหภูมิในช่วงกลางวันจะสูงกว่าอุณหภูมิในตอนเช้า)

การเขียนความไม่เท่าเทียมกันโดยใช้เครื่องหมาย

ตัวอักษรใช้สัญลักษณ์หลายตัวเพื่อบันทึกความไม่เท่าเทียมกัน อันแรกก็คือ เครื่องหมายไม่เท่ากันแสดงถึงเครื่องหมายเท่ากับที่ถูกขีดฆ่า: ≠ เครื่องหมายไม่เท่ากันจะถูกวางไว้ระหว่างวัตถุที่ไม่เท่ากัน ตัวอย่างเช่น รายการ |AB|≠|CD|

หมายความว่าความยาวของส่วน AB ไม่เท่ากับความยาวของส่วน CD ในทำนองเดียวกัน 3≠5 – สามไม่เท่ากับห้า

เครื่องหมายมากกว่า > และเครื่องหมายน้อยกว่า ≤ ใช้ในลักษณะเดียวกัน เครื่องหมายที่ใหญ่กว่าจะเขียนระหว่างวัตถุที่มีขนาดใหญ่กว่าและเล็กกว่า และเครื่องหมายน้อยกว่าจะเขียนระหว่างวัตถุที่เล็กกว่าและใหญ่กว่า ให้เรายกตัวอย่างการใช้สัญญาณเหล่านี้ รายการ 7>1 อ่านว่า 7 ส่วนหนึ่ง และคุณสามารถเขียนได้ว่าพื้นที่ของสามเหลี่ยม ABC น้อยกว่าพื้นที่ของสามเหลี่ยม DEF โดยใช้เครื่องหมาย ≤ เป็น SABC≤SDEF

นอกจากนี้ ที่ใช้กันอย่างแพร่หลายคือเครื่องหมายมากกว่าหรือเท่ากับรูปแบบ ≥ เช่นเดียวกับเครื่องหมายน้อยกว่าหรือเท่ากับ ≤ เราจะพูดถึงความหมายและวัตถุประสงค์เพิ่มเติมในย่อหน้าถัดไป

โปรดทราบว่าสัญกรณ์พีชคณิตที่มีเครื่องหมายไม่เท่ากับ น้อยกว่า มากกว่า น้อยกว่าหรือเท่ากับ มากกว่าหรือเท่ากับ คล้ายกับที่กล่าวไว้ข้างต้น เรียกว่าอสมการ ยิ่งไปกว่านั้น ยังมีคำจำกัดความของความไม่เท่าเทียมกันในแง่ของวิธีที่เขียนไว้:

คำนิยาม.อสมการ<, >, ≤, ≥.

เป็นนิพจน์พีชคณิตที่มีความหมายซึ่งประกอบขึ้นโดยใช้เครื่องหมาย ≠

อสมการที่เข้มงวดและไม่เข้มงวด ป้ายเรียกว่าน้อยสัญญาณของความไม่เท่าเทียมที่เข้มงวด และอสมการที่เขียนด้วยความช่วยเหลือของพวกเขาคือ.

ความไม่เท่าเทียมกันที่เข้มงวด

ในทางกลับกัน เรียกว่าเครื่องหมายที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ ≤ และมากกว่าหรือเท่ากับ ≥และอสมการที่คอมไพล์โดยใช้พวกมันก็คือ ความไม่เท่าเทียมกันที่ไม่เข้มงวด.

ขอบเขตของการใช้ความไม่เท่าเทียมที่เข้มงวดมีความชัดเจนจากข้อมูลข้างต้น เหตุใดความไม่เท่าเทียมกันที่อ่อนแอจึงจำเป็น? ในทางปฏิบัติ ด้วยความช่วยเหลือของพวกเขา จะสะดวกในการจำลองสถานการณ์ที่สามารถอธิบายได้ด้วยวลี "ไม่มาก" และ "ไม่น้อย" วลี “ไม่มาก” โดยพื้นฐานแล้วหมายถึงน้อยกว่าหรือเท่ากัน โดยตอบด้วยเครื่องหมายน้อยกว่าหรือเท่ากับในรูปแบบ ≤ ในทำนองเดียวกัน “ไม่น้อย” หมายถึงเท่ากันหรือมากกว่าและเกี่ยวข้องกับเครื่องหมายมากกว่าหรือเท่ากับ ≥

จากตรงนี้จะชัดเจนว่าทำไมถึงมีสัญญาณ< и >เรียกว่าสัญญาณของความไม่เท่าเทียมกันที่เข้มงวดและ ≤ และ ≥ - ไม่เข้มงวด แบบแรกไม่รวมความเป็นไปได้ของความเท่าเทียมกันของวัตถุ ในขณะที่แบบหลังอนุญาต

เพื่อสรุปส่วนนี้ เราจะแสดงตัวอย่างของการใช้อสมการแบบไม่เข้มงวด ตัวอย่างเช่น การใช้เครื่องหมายมากกว่าหรือเท่ากับ คุณสามารถเขียนข้อเท็จจริงที่ว่า a เป็นจำนวนที่ไม่เป็นลบเป็น |a|≥0 อีกตัวอย่างหนึ่ง: เป็นที่ทราบกันว่าค่าเฉลี่ยเรขาคณิตของจำนวนบวก a และ b สองตัวนั้นน้อยกว่าหรือเท่ากับค่าเฉลี่ยเลขคณิตของพวกมัน นั่นคือ .

อสมการจริงและเท็จ

ความไม่เท่าเทียมกันอาจเป็นจริงหรือเท็จก็ได้

ความไม่เท่าเทียมกันคือ ซื่อสัตย์ถ้ามันสอดคล้องกับความหมายของความไม่เท่าเทียมกันที่แนะนำข้างต้นมิฉะนั้นจะเป็นเช่นนั้น ไม่ซื่อสัตย์.

ให้เรายกตัวอย่างความไม่เท่าเทียมกันจริงและเท็จ ตัวอย่างเช่น 3≠3 เป็นอสมการที่ไม่ถูกต้อง เนื่องจากตัวเลข 3 และ 3 เท่ากัน อีกตัวอย่างหนึ่ง: ให้ S เป็นพื้นที่ของรูปใดรูปหนึ่ง แล้ว S<−7 – неверное неравенство, так как известно, что площадь фигуры по определению выражается неотрицательным числом. И еще пример неверного неравенства: |AB|>|เอบี| - แต่อสมการคือ −3<12 , |AB|≤|AC|+|BC| и |−4|≥0 – верные. Первое из них отвечает , второе – выражает อสมการสามเหลี่ยมและอันที่สามสอดคล้องกับคำจำกัดความของโมดูลัสของตัวเลข

โปรดทราบว่าพร้อมกับวลี "ความไม่เท่าเทียมกันที่แท้จริง" มีการใช้วลีต่อไปนี้: "ความไม่เท่าเทียมกันที่ยุติธรรม" "มีความไม่เท่าเทียมกัน" ฯลฯ ซึ่งมีความหมายเหมือนกัน

คุณสมบัติของอสมการ

ตามวิธีที่เรานำเสนอแนวคิดเรื่องความไม่เท่าเทียมกัน เราสามารถอธิบายหลักๆ ได้ คุณสมบัติของความไม่เท่าเทียมกัน- เป็นที่ชัดเจนว่าวัตถุไม่สามารถเท่ากับตัวมันเองได้ นี่คือคุณสมบัติประการแรกของความไม่เท่าเทียมกัน คุณสมบัติที่สองนั้นชัดเจนไม่น้อย: หากวัตถุแรกไม่เท่ากับวัตถุที่สอง วัตถุที่สองก็ไม่เท่ากับวัตถุแรก

แนวคิด "น้อย" และ "มากกว่า" ที่แนะนำในชุดบางชุดจะกำหนดความสัมพันธ์ที่เรียกว่า "น้อย" และ "มากกว่า" ในชุดดั้งเดิม เช่นเดียวกับความสัมพันธ์ “น้อยกว่าหรือเท่ากับ” และ “มากกว่าหรือเท่ากับ” พวกเขายังมีคุณสมบัติเฉพาะตัว

เริ่มจากคุณสมบัติของความสัมพันธ์ที่สัญญาณสอดคล้องกัน< и >- ให้เราแสดงรายการหลังจากนั้นเราจะให้ความเห็นที่จำเป็นเพื่อชี้แจง:

ป้องกันแสงสะท้อน;
ความไม่สมดุล;
การขนส่ง

คุณสมบัติต้านการสะท้อนแสงสามารถเขียนได้โดยใช้ตัวอักษรดังนี้: สำหรับวัตถุใดๆ a ความไม่เท่าเทียมกัน a>a และ a ข แล้วก็ ข ก. สุดท้ายนี้ สมบัติการผ่านผ่านคือจาก a b และ b>c a>c ตามนั้น คุณสมบัตินี้ยังรับรู้ได้ค่อนข้างเป็นธรรมชาติ: หากวัตถุชิ้นแรกมีขนาดเล็กกว่า (ใหญ่กว่า) มากกว่าชิ้นที่สอง และชิ้นที่สองมีขนาดเล็กกว่า (ใหญ่กว่า) มากกว่าชิ้นที่สาม ก็ชัดเจนว่าวัตถุชิ้นแรกมีขนาดเล็กกว่า (ใหญ่กว่า) มากกว่าชิ้นที่สามด้วยซ้ำ .