เศษส่วนคือ ตัวเลขปกติยังสามารถบวกและลบได้ แต่เนื่องจากพวกมันมีส่วนมากกว่า กฎที่ซับซ้อนมากกว่าจำนวนเต็ม
ลองพิจารณากรณีที่ง่ายที่สุดเมื่อมีเศษส่วนสองตัวด้วย ตัวส่วนเดียวกัน- แล้ว:
หากต้องการบวกเศษส่วนที่มีตัวส่วนเท่ากัน คุณต้องบวกตัวเศษและปล่อยให้ตัวส่วนไม่เปลี่ยนแปลง
หากต้องการลบเศษส่วนที่มีตัวส่วนเท่ากัน คุณต้องลบตัวเศษของวินาทีออกจากตัวเศษของเศษส่วนแรก และปล่อยให้ตัวส่วนไม่เปลี่ยนแปลงอีกครั้ง
ภายในแต่ละนิพจน์ ตัวส่วนของเศษส่วนจะเท่ากัน ตามคำจำกัดความของการบวกและการลบเศษส่วนเราจะได้:
อย่างที่คุณเห็น ไม่มีอะไรซับซ้อน เราแค่บวกหรือลบตัวเศษ เท่านี้ก็เรียบร้อย
แต่ถึงแม้จะเป็นการกระทำง่ายๆ ผู้คนก็ยังทำผิดพลาดได้ สิ่งที่มักลืมคือตัวส่วนไม่เปลี่ยนแปลง ตัวอย่างเช่น เมื่อเพิ่มพวกมัน พวกมันก็เริ่มรวมกันด้วย และนี่เป็นความผิดโดยพื้นฐาน
กำจัด นิสัยไม่ดีการบวกตัวส่วนนั้นค่อนข้างง่าย ลองสิ่งเดียวกันเมื่อลบ ผลก็คือ ตัวส่วนจะเป็นศูนย์ และเศษส่วนจะสูญเสียความหมายของมัน (ทันใดนั้น!)
ดังนั้นจำไว้ทุกครั้ง: เมื่อบวกและลบตัวส่วนจะไม่เปลี่ยน!
หลายๆ คนยังทำผิดพลาดเมื่อบวกเศษส่วนลบหลายตัวด้วย มีความสับสนกับสัญญาณ: จะใส่เครื่องหมายลบที่ไหนและจะใส่เครื่องหมายบวกไว้ที่ไหน
ปัญหานี้แก้ไขได้ง่ายมากเช่นกัน ก็เพียงพอที่จะจำไว้ว่าลบก่อนเครื่องหมายเศษส่วนสามารถโอนไปยังตัวเศษได้เสมอ - และในทางกลับกัน และอย่าลืมกฎง่ายๆ สองข้อ:
- บวกด้วยลบให้ลบ;
- แง่ลบสองประการทำให้มีการยืนยัน
ลองดูทั้งหมดนี้ด้วยตัวอย่างเฉพาะ:
งาน. ค้นหาความหมายของสำนวน:
ในกรณีแรกทุกอย่างจะง่าย แต่อย่างที่สอง เราจะเพิ่มเครื่องหมายลบให้กับตัวเศษของเศษส่วน:
จะทำอย่างไรถ้าตัวส่วนไม่เท่ากัน
การบวกเศษส่วนโดยตรงด้วย ตัวส่วนที่แตกต่างกันมันเป็นสิ่งต้องห้าม อย่างน้อยฉันก็ไม่รู้จักวิธีนี้ อย่างไรก็ตาม เศษส่วนเดิมสามารถเขียนใหม่ได้เสมอเพื่อให้ตัวส่วนเท่ากัน
มีหลายวิธีในการแปลงเศษส่วน มีการพูดคุยถึงสามเรื่องในบทเรียน "การลดเศษส่วนให้เป็นตัวส่วนร่วม" ดังนั้นเราจะไม่พูดถึงพวกมันที่นี่ ลองดูตัวอย่างบางส่วน:
งาน. ค้นหาความหมายของสำนวน:
ในกรณีแรก เราจะลดเศษส่วนให้เป็นตัวส่วนร่วมโดยใช้วิธี "กากบาด" ในส่วนที่สองเราจะมองหา NOC โปรดทราบว่า 6 = 2 · 3; 9 = 3 · 3 ตัวประกอบตัวสุดท้ายในการขยายเหล่านี้มีค่าเท่ากัน และตัวประกอบตัวแรกนั้นค่อนข้างเป็นจำนวนเฉพาะ ดังนั้น ค.ร.น.(6, 9) = 2 3 3 = 18
จะทำอย่างไรถ้าเศษส่วนมีส่วนเป็นจำนวนเต็ม
ฉันทำให้คุณพอใจได้: ตัวส่วนที่แตกต่างกันในเศษส่วนไม่ใช่สิ่งเลวร้ายที่สุด เกิดข้อผิดพลาดมากขึ้นเมื่อมีการเน้นส่วนทั้งหมดในการบวกเศษส่วน
แน่นอนว่ามีอัลกอริธึมการบวกและการลบสำหรับเศษส่วนดังกล่าว แต่ค่อนข้างซับซ้อนและต้องใช้เวลาศึกษานาน ใช้ดีกว่าครับ แผนภาพง่ายๆระบุด้านล่าง:
- แปลงเศษส่วนที่มีส่วนเป็นจำนวนเต็มให้เป็นเศษส่วนเกิน เราได้รับเงื่อนไขปกติ (แม้จะมีตัวส่วนต่างกัน) ซึ่งคำนวณตามกฎที่กล่าวถึงข้างต้น
- จริงๆ แล้ว ให้คำนวณผลรวมหรือผลต่างของเศษส่วนที่ได้ เป็นผลให้เราจะพบคำตอบในทางปฏิบัติ
- หากนี่คือทั้งหมดที่จำเป็นในปัญหา เราจะทำการแปลงผกผัน กล่าวคือ การกำจัด เศษส่วนเกินโดยเน้นให้เห็นบางส่วนในนั้น
กฎสำหรับการย้ายไปยังเศษส่วนเกินและเน้นทั้งส่วนมีรายละเอียดอธิบายไว้ในบทเรียน "เศษส่วนเชิงตัวเลขคืออะไร" หากคุณจำไม่ได้อย่าลืมทำซ้ำ ตัวอย่าง:
งาน. ค้นหาความหมายของสำนวน:
ทุกอย่างเรียบง่ายที่นี่ ตัวส่วนในแต่ละนิพจน์มีค่าเท่ากัน ดังนั้นสิ่งที่เหลืออยู่คือการแปลงเศษส่วนทั้งหมดให้เป็นเศษส่วนเกินแล้วนับ เรามี:
เพื่อให้การคำนวณง่ายขึ้น ฉันได้ข้ามขั้นตอนที่ชัดเจนบางอย่างในตัวอย่างสุดท้ายไปแล้ว
หมายเหตุเล็กๆ น้อยๆ เกี่ยวกับสองตัวอย่างสุดท้าย โดยที่เศษส่วนที่มีการเน้นส่วนจำนวนเต็มจะถูกลบออก เครื่องหมายลบก่อนเศษส่วนที่สองหมายความว่าเศษส่วนทั้งหมดถูกลบออก ไม่ใช่เพียงเศษส่วนทั้งหมดเท่านั้น
อ่านประโยคนี้อีกครั้ง ดูตัวอย่าง และลองคิดดู นี่คือจุดที่ผู้เริ่มต้นทำผิดพลาดมากมาย พวกเขาชอบที่จะมอบงานดังกล่าวให้ การทดสอบ- นอกจากนี้ คุณยังจะได้พบกับพวกเขาหลายครั้งในการทดสอบสำหรับบทเรียนนี้ ซึ่งจะมีการเผยแพร่เร็วๆ นี้
สรุป: รูปแบบการคำนวณทั่วไป
โดยสรุป ฉันจะให้อัลกอริทึมทั่วไปที่จะช่วยคุณค้นหาผลรวมหรือผลต่างของเศษส่วนตั้งแต่สองตัวขึ้นไป:
- ถ้าเศษส่วนตั้งแต่หนึ่งตัวขึ้นไปมีส่วนเป็นจำนวนเต็ม ให้แปลงเศษส่วนเหล่านี้เป็นเศษส่วนที่ไม่เหมาะสม
- นำเศษส่วนทั้งหมดมาเป็นตัวส่วนร่วมด้วยวิธีใดก็ได้ที่สะดวกสำหรับคุณ (เว้นแต่ผู้เขียนโจทย์จะเป็นคนทำ)
- บวกหรือลบตัวเลขผลลัพธ์ตามกฎสำหรับการบวกและการลบเศษส่วนที่มีตัวส่วนเหมือนกัน
- ถ้าเป็นไปได้ให้ย่อผลลัพธ์ให้สั้นลง หากเศษส่วนไม่ถูกต้อง ให้เลือกทั้งส่วน
โปรดจำไว้ว่า เป็นการดีกว่าที่จะเน้นส่วนทั้งหมดในตอนท้ายของงานทันทีก่อนที่จะจดคำตอบ
ในบทความนี้เราจะจัดการกับ การบวกเลขด้วย สัญญาณที่แตกต่างกัน - เราจะให้กฎสำหรับการบวกจำนวนบวกและจำนวนลบ และพิจารณาตัวอย่างการใช้กฎนี้เมื่อบวกตัวเลขที่มีเครื่องหมายต่างกัน
การนำทางหน้า
กฎการบวกตัวเลขที่มีเครื่องหมายต่างกัน
ตัวอย่างการบวกตัวเลขที่มีเครื่องหมายต่างๆ
ลองพิจารณาดู ตัวอย่างการบวกตัวเลขที่มีเครื่องหมายต่างๆตามกฎที่กล่าวถึงในวรรคก่อน เริ่มต้นด้วยตัวอย่างง่ายๆ
ตัวอย่าง.
เพิ่มตัวเลข −5 และ 2
สารละลาย.
เราจำเป็นต้องบวกตัวเลขที่มีเครื่องหมายต่างกัน ทำตามขั้นตอนทั้งหมดที่กำหนดโดยกฎสำหรับการบวกจำนวนบวกและจำนวนลบ
ขั้นแรก เราค้นหาโมดูลของเทอม ซึ่งมีค่าเท่ากับ 5 และ 2 ตามลำดับ
โมดูลัสของเลข −5 มากกว่าโมดูลัสของเลข 2 ดังนั้นอย่าลืมเครื่องหมายลบด้วย
ยังคงต้องใส่เครื่องหมายลบที่จำได้ไว้หน้าตัวเลขผลลัพธ์เราจะได้ −3 เป็นการเติมตัวเลขที่มีเครื่องหมายต่างกันให้เสร็จสิ้น
คำตอบ:
(−5)+2=−3 .
หากต้องการบวกจำนวนตรรกยะด้วยเครื่องหมายต่างๆ ที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม ควรแสดงเป็นเศษส่วนธรรมดา (หรือจะใช้ทศนิยมก็ได้ ถ้าสะดวก) ลองดูที่จุดนี้เมื่อแก้ไขตัวอย่างถัดไป
ตัวอย่าง.
เพิ่มจำนวนบวกและจำนวนลบ −1.25
สารละลาย.
เรามาแทนตัวเลขในรูปแบบกัน เศษส่วนสามัญในการทำเช่นนี้ เราจะทำการเปลี่ยนจากจำนวนคละเป็นเศษส่วนเกิน: และแปลงเศษส่วนทศนิยมเป็นเศษส่วนสามัญ: 
.
ตอนนี้คุณสามารถใช้กฎในการบวกตัวเลขที่มีเครื่องหมายต่างๆ ได้
โมดูลของตัวเลขที่เพิ่มคือ 17/8 และ 5/4 เพื่อความสะดวกในการดำเนินการต่อไป เรานำเศษส่วนมาเป็นตัวส่วนร่วม ดังนั้นเราจึงได้ 17/8 และ 10/8
ตอนนี้เราต้องเปรียบเทียบเศษส่วนทั่วไป 17/8 และ 10/8 ตั้งแต่ 17>10 ดังนั้น . ดังนั้น คำที่มีเครื่องหมายบวกจึงมีโมดูลที่ใหญ่กว่า ดังนั้น ให้จำเครื่องหมายบวกไว้
ตอนนี้เราลบอันที่เล็กกว่าออกจากโมดูลที่ใหญ่กว่านั่นคือเราลบเศษส่วนด้วยตัวส่วนเดียวกัน: 
.
สิ่งที่เหลืออยู่คือใส่เครื่องหมายบวกที่จำได้ไว้หน้าตัวเลขผลลัพธ์ เราได้รับ แต่ - นี่คือตัวเลข 7/8
ในบทนี้ เราจะเรียนรู้ว่าจำนวนลบคืออะไร และจำนวนใดที่เรียกว่าจำนวนตรงข้าม นอกจากนี้เรายังจะได้เรียนรู้วิธีบวกจำนวนลบและจำนวนบวก (ตัวเลขที่มีเครื่องหมายต่างกัน) และดูตัวอย่างการบวกตัวเลขที่มีเครื่องหมายต่างกัน
ดูอุปกรณ์นี้ (ดูรูปที่ 1)
ข้าว. 1. เกียร์นาฬิกา
นี่ไม่ใช่เข็มที่แสดงเวลาโดยตรงและไม่ใช่หน้าปัด (ดูรูปที่ 2) แต่หากไม่มีส่วนนี้ นาฬิกาจะไม่ทำงาน
ข้าว. 2. เกียร์ภายในนาฬิกา
ตัวอักษร Y ย่อมาจากอะไร? ไม่มีอะไรนอกจากเสียง Y. แต่หากไม่มีมัน หลายๆ คำก็จะไม่ "ได้ผล" เช่น คำว่า "หนู" ตัวเลขติดลบก็เช่นกัน พวกมันไม่แสดงปริมาณใดๆ เลย แต่ถ้าไม่มีพวกมัน กลไกการคำนวณก็จะยากขึ้นมาก
เรารู้ว่าการบวกและการลบเป็นการดำเนินการที่เท่ากันและสามารถดำเนินการในลำดับใดก็ได้ ในลำดับโดยตรง เราสามารถคำนวณ: แต่เราไม่สามารถเริ่มด้วยการลบได้ เนื่องจากเรายังไม่ได้ตกลงกันว่าอะไร
เห็นได้ชัดว่าการเพิ่มจำนวนแล้วลดลงโดยวิธีสุดท้ายก็ลดลงสาม ทำไมไม่กำหนดวัตถุนี้แล้วนับเช่นนั้น: การเพิ่มหมายถึงการลบ แล้ว .
ตัวเลขอาจหมายถึง เช่น แอปเปิ้ล ตัวเลขใหม่ไม่ได้แสดงถึงปริมาณจริงใดๆ โดยตัวมันเองไม่ได้มีความหมายอะไรเหมือนตัวอักษร Y เป็นเพียงเครื่องมือใหม่ที่ทำให้การคำนวณง่ายขึ้น
มาตั้งชื่อตัวเลขใหม่กันเถอะ เชิงลบ- ตอนนี้เราสามารถลบจำนวนที่มากกว่าจากจำนวนที่น้อยกว่าได้ ในทางเทคนิคแล้ว คุณยังต้องลบออก มากกว่าน้อยกว่า แต่ใส่เครื่องหมายลบในคำตอบ: .
ลองดูตัวอย่างอื่น: 
- คุณสามารถดำเนินการทั้งหมดติดต่อกันได้: .
อย่างไรก็ตาม จะง่ายกว่าที่จะลบเลขตัวที่สามออกจากเลขตัวแรกแล้วบวกเลขตัวที่สอง:
จำนวนลบสามารถกำหนดได้ด้วยวิธีอื่น
สำหรับจำนวนธรรมชาติแต่ละตัว ตัวอย่างเช่น เราจะแนะนำจำนวนใหม่ ซึ่งเราแสดงว่า และพิจารณาว่ามีคุณสมบัติดังต่อไปนี้: ผลรวมของตัวเลข และ เท่ากับ :
เราจะเรียกตัวเลขเป็นลบ และตัวเลขและ - ตรงกันข้าม ดังนั้นเราจึงได้ตัวเลขใหม่มาอย่างไม่สิ้นสุด เช่น:
ตรงข้ามกับจำนวน ;
ตรงข้ามกับจำนวน ;
ตรงข้ามกับจำนวน ; 
ตรงข้ามกับจำนวน ;
ลบจำนวนที่มากกว่าจากจำนวนที่น้อยกว่า: . มาเพิ่มนิพจน์นี้: . เราได้ศูนย์ อย่างไรก็ตาม ตามคุณสมบัติ: ตัวเลขที่บวกศูนย์ถึงห้าจะถูกแทนด้วยลบห้า: ดังนั้น พจน์จึงสามารถแสดงเป็น
จำนวนบวกทุกจำนวนจะมีจำนวนคู่ ซึ่งจะต่างกันเพียงตรงที่นำหน้าด้วยเครื่องหมายลบเท่านั้น ตรงข้าม(ดูรูปที่ 3)
ข้าว. 3. ตัวอย่างจำนวนตรงข้าม
คุณสมบัติของจำนวนตรงข้าม
1. ผลรวมของจำนวนตรงข้ามเป็นศูนย์:
2. หากคุณลบจำนวนบวกออกจากศูนย์ ผลลัพธ์จะเป็นจำนวนลบที่อยู่ตรงข้ามกัน:
1. ตัวเลขทั้งสองสามารถเป็นบวกได้ และเรารู้วิธีบวกแล้ว:
2. ตัวเลขทั้งสองสามารถเป็นลบได้
เราได้พูดถึงการบวกตัวเลขแบบนี้ไปแล้วในบทเรียนที่แล้ว แต่ต้องแน่ใจว่าเราเข้าใจว่าต้องทำอย่างไร ตัวอย่างเช่น: .
หากต้องการหาผลรวมนี้ ให้บวกจำนวนบวกตรงข้ามแล้วใส่เครื่องหมายลบ
3. จำนวนหนึ่งสามารถเป็นบวกและอีกจำนวนหนึ่งเป็นลบ
หากสะดวกสำหรับเรา เราสามารถแทนที่การบวกจำนวนลบด้วยการลบจำนวนบวกได้: .
อีกตัวอย่างหนึ่ง: . เราเขียนจำนวนเงินเป็นผลต่างอีกครั้ง คุณสามารถลบจำนวนที่มากกว่าจากจำนวนที่น้อยกว่าได้โดยการลบจำนวนที่น้อยกว่าออกจากจำนวนที่มากกว่า แต่ใช้เครื่องหมายลบ
เราสามารถสลับเงื่อนไขได้: .
อีกตัวอย่างที่คล้ายกัน: .
ในทุกกรณี ผลลัพธ์จะเป็นการลบ
เพื่อกำหนดกฎเหล่านี้โดยย่อ เราจะจำคำศัพท์อีกคำหนึ่ง จำนวนตรงข้ามย่อมไม่เท่ากันแน่นอน แต่คงจะแปลกที่จะไม่สังเกตว่าพวกเขามีอะไรที่เหมือนกัน เราเรียกสิ่งนี้ว่าเรื่องธรรมดา หมายเลขโมดูโล- โมดูลัสของจำนวนตรงข้ามจะเท่ากัน: สำหรับจำนวนบวกจะเท่ากับจำนวนนั้นเอง และสำหรับจำนวนลบจะเท่ากับค่าบวกของค่าตรงข้าม ตัวอย่างเช่น: , .
หากต้องการเพิ่มจำนวนลบสองตัว คุณต้องเพิ่มโมดูลและใส่เครื่องหมายลบ:
ในการเพิ่มจำนวนลบและจำนวนบวก คุณจะต้องลบโมดูลที่เล็กกว่าออกจากโมดูลที่ใหญ่กว่า และใส่เครื่องหมายของตัวเลขด้วยโมดูลที่ใหญ่กว่า:
ตัวเลขทั้งสองเป็นลบ ดังนั้นเราจึงเพิ่มโมดูลและใส่เครื่องหมายลบ:
ตัวเลขสองตัวที่มีเครื่องหมายต่างกัน ดังนั้นจากโมดูลัสของตัวเลข (โมดูลัสที่ใหญ่กว่า) เราจึงลบโมดูลัสของตัวเลขและใส่เครื่องหมายลบ (เครื่องหมายของตัวเลขที่มีโมดูลัสที่ใหญ่กว่า):
ตัวเลขสองตัวที่มีเครื่องหมายต่างกัน ดังนั้นจากโมดูลัสของตัวเลข (โมดูลัสที่ใหญ่กว่า) เราจึงลบโมดูลัสของตัวเลขและใส่เครื่องหมายลบ (เครื่องหมายของตัวเลขที่มีโมดูลัสที่ใหญ่กว่า): .
ตัวเลขสองตัวที่มีเครื่องหมายต่างกัน ดังนั้นจากโมดูลัสของตัวเลข (โมดูลัสที่ใหญ่กว่า) เราจึงลบโมดูลัสของตัวเลขและใส่เครื่องหมายบวก (เครื่องหมายของตัวเลขที่มีโมดูลัสที่ใหญ่กว่า): .
จำนวนบวกและลบมีบทบาทที่แตกต่างกันในอดีต
อันดับแรกเราเข้าไป ตัวเลขธรรมชาติสำหรับการนับรายการ:
จากนั้นเราแนะนำตัวเลขบวกอื่น ๆ - เศษส่วนสำหรับการนับปริมาณที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม ส่วน: .
ตัวเลขติดลบปรากฏเป็นเครื่องมือในการทำให้การคำนวณง่ายขึ้น ไม่ใช่ว่าในชีวิตมีปริมาณมากมายที่เราไม่สามารถนับได้ และเราก็สร้างจำนวนลบขึ้นมาได้
นั่นคือจำนวนลบไม่ได้มาจากโลกแห่งความเป็นจริง พวกเขากลับกลายเป็นว่าสะดวกมากจนในบางสถานที่พวกเขาพบการประยุกต์ใช้ในชีวิต ตัวอย่างเช่น เรามักจะได้ยินเรื่องอุณหภูมิติดลบ อย่างไรก็ตาม เราไม่เคยเจอแอปเปิ้ลที่เป็นจำนวนลบเลย ความแตกต่างคืออะไร?
ความแตกต่างก็คือ ในชีวิต ปริมาณที่เป็นลบจะใช้เพื่อการเปรียบเทียบเท่านั้น แต่ไม่ได้ใช้กับปริมาณ หากโรงแรมมีชั้นใต้ดินและติดตั้งลิฟต์ไว้ที่นั่น เพื่อรักษาจำนวนชั้นปกติไว้ อาจมีเครื่องหมายลบชั้นหนึ่งปรากฏขึ้น เครื่องหมายลบแรกนี้หมายถึงเพียงหนึ่งชั้นที่ต่ำกว่าระดับพื้นดิน (ดูรูปที่ 1)
ข้าว. 4. ลบชั้นแรกและลบชั้นสอง
อุณหภูมิติดลบจะเป็นลบเมื่อเปรียบเทียบกับศูนย์เท่านั้น ซึ่ง Anders เซลเซียส ผู้เขียนมาตราส่วนเลือกไว้ มีเกล็ดอื่นๆ และอุณหภูมิเดียวกันอาจไม่ติดลบอีกต่อไป
ในเวลาเดียวกันเราเข้าใจดีว่าเป็นไปไม่ได้ที่จะเปลี่ยนจุดเริ่มต้นเพื่อให้ไม่มีแอปเปิ้ลห้าลูก แต่มีหกลูก ดังนั้นในชีวิต ตัวเลขบวกจึงถูกใช้เพื่อกำหนดปริมาณ (แอปเปิ้ล เค้ก)
เรายังใช้พวกมันแทนชื่ออีกด้วย โทรศัพท์แต่ละเครื่องสามารถตั้งชื่อเป็นของตัวเองได้ แต่จำนวนชื่อมีจำกัด และไม่มีหมายเลข นั่นเป็นเหตุผลที่เราใช้หมายเลขโทรศัพท์ สำหรับการสั่งซื้อด้วย (ศตวรรษต่อศตวรรษ)
เลขลบในชีวิตถูกใช้ในความหมายหลัง (ลบชั้นหนึ่งด้านล่างศูนย์และชั้นหนึ่ง)
- Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburgd S.I. คณิตศาสตร์ 6 ม.: Mnemosyne, 2012.
- Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. คณิตศาสตร์ ป.6. "โรงยิม", 2549
- เดปแมน ไอ.ยา., วิเลนคิน เอ็น.ยา. ด้านหลังหน้าหนังสือเรียนคณิตศาสตร์ อ.: การศึกษา, 2532.
- Ruukin A.N., Tchaikovsky I.V. งานมอบหมายสำหรับรายวิชาคณิตศาสตร์ ชั้นประถมศึกษาปีที่ 5-6 อ.: ZSh MEPhI, 2011.
- Ruukin A.N., Sochilov S.V., Tchaikovsky K.G. คณิตศาสตร์ 5-6 คู่มือสำหรับนักเรียนชั้นประถมศึกษาปีที่ 6 ของโรงเรียนโต้ตอบ MEPhI อ.: ZSh MEPhI, 2011.
- Shevrin L.N., Gein A.G., Koryakov I.O., Volkov M.V. คณิตศาสตร์: ตำราเรียนคู่สนทนาสำหรับเกรด 5-6 โรงเรียนมัธยมปลาย- อ.: ศึกษาศาสตร์, ห้องสมุดครูคณิตศาสตร์, 2532.
- Math-prosto.ru ()
- ยูทูบ()
- School-assistant.ru ()
- Allforchildren.ru ()
การบ้าน
ในบทเรียนนี้เราจะได้เรียนรู้ การบวกและการลบจำนวนเต็มตลอดจนกฎเกณฑ์สำหรับการบวกและการลบ
โปรดจำไว้ว่าจำนวนเต็มล้วนเป็นจำนวนบวกและลบ เช่นเดียวกับเลข 0 ตัวอย่างเช่น ตัวเลขต่อไปนี้เป็นจำนวนเต็ม:
−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3
ตัวเลขบวกนั้นง่ายและ น่าเสียดายที่ไม่สามารถพูดสิ่งเดียวกันเกี่ยวกับจำนวนลบได้ ซึ่งทำให้ผู้เริ่มต้นหลายคนสับสนกับเครื่องหมายลบที่อยู่หน้าตัวเลขแต่ละตัว ดังที่แบบฝึกหัดแสดงให้เห็น ข้อผิดพลาดที่เกิดจากตัวเลขติดลบจะทำให้นักเรียนหงุดหงิดมากที่สุด
เนื้อหาบทเรียนตัวอย่างการบวกและการลบจำนวนเต็ม
สิ่งแรกที่คุณควรเรียนรู้คือการบวกและลบจำนวนเต็มโดยใช้เส้นพิกัด ไม่จำเป็นต้องวาดเส้นพิกัดเลย ก็เพียงพอที่จะจินตนาการในความคิดของคุณและดูว่าจำนวนลบอยู่ที่ไหนและจำนวนบวกอยู่ที่ไหน
ลองพิจารณานิพจน์ที่ง่ายที่สุด: 1 + 3 ค่าของนิพจน์นี้คือ 4:
ตัวอย่างนี้สามารถเข้าใจได้โดยใช้เส้นพิกัด ในการดำเนินการนี้จากจุดที่หมายเลข 1 อยู่คุณจะต้องเลื่อนไปทางขวาสามขั้นตอน ด้วยเหตุนี้เราจะพบว่าตัวเองอยู่ในจุดที่หมายเลข 4 อยู่ในรูป คุณจะเห็นได้ว่าสิ่งนี้เกิดขึ้นได้อย่างไร:
เครื่องหมายบวกในนิพจน์ 1 + 3 บอกเราว่าเราควรย้ายไปทางขวาในทิศทางของจำนวนที่เพิ่มขึ้น
ตัวอย่างที่ 2ลองหาค่าของนิพจน์ 1 − 3 กัน
ค่าของนิพจน์นี้คือ −2
ตัวอย่างนี้สามารถเข้าใจได้อีกครั้งโดยใช้เส้นพิกัด ในการทำเช่นนี้จากจุดที่หมายเลข 1 อยู่คุณจะต้องเลื่อนไปทางซ้ายสามขั้นตอน ด้วยเหตุนี้ เราจะพบว่าตัวเองอยู่ในจุดที่จำนวนลบ −2 อยู่ ในภาพคุณสามารถดูว่าสิ่งนี้เกิดขึ้นได้อย่างไร:
เครื่องหมายลบในนิพจน์ 1 − 3 บอกเราว่าเราควรเคลื่อนไปทางซ้ายในทิศทางที่จำนวนลดลง
โดยทั่วไปคุณต้องจำไว้ว่าหากมีการบวกคุณจะต้องเลื่อนไปทางขวาในทิศทางที่เพิ่มขึ้น หากทำการลบคุณจะต้องเลื่อนไปทางซ้ายในทิศทางที่ลดลง
ตัวอย่างที่ 3ค้นหาค่าของนิพจน์ −2 + 4
ค่าของนิพจน์นี้คือ 2
ตัวอย่างนี้สามารถเข้าใจได้อีกครั้งโดยใช้เส้นพิกัด ในการทำเช่นนี้ จากจุดที่มีเลขลบ −2 อยู่ คุณจะต้องเลื่อนไปทางขวาสี่ขั้น ผลก็คือเราจะพบว่าตัวเองอยู่ในจุดที่มีจำนวนบวก 2 อยู่
จะเห็นได้ว่าเราได้ย้ายจากจุดที่มีเลขลบ −2 อยู่ ด้านขวาสี่ขั้นก็ถึงจุดที่มีเลขบวก 2 อยู่
เครื่องหมายบวกในนิพจน์ −2 + 4 บอกเราว่าเราควรย้ายไปทางขวาในทิศทางของจำนวนที่เพิ่มขึ้น
ตัวอย่างที่ 4ค้นหาค่าของนิพจน์ −1 − 3
ค่าของนิพจน์นี้คือ −4
ตัวอย่างนี้สามารถแก้ไขได้อีกครั้งโดยใช้เส้นพิกัด ในการทำเช่นนี้ จากจุดที่มีจำนวนลบ −1 คุณจะต้องเลื่อนไปทางซ้ายสามขั้นตอน ด้วยเหตุนี้ เราจะพบว่าตัวเองอยู่ในจุดที่จำนวนลบ −4 อยู่
จะเห็นได้ว่าเราได้ย้ายจากจุดที่มีเลขลบ −1 อยู่ ด้านซ้ายสามขั้น และจบลงที่จุดที่มีเลขลบ −4 อยู่
เครื่องหมายลบในนิพจน์ −1 − 3 บอกเราว่าเราควรย้ายไปทางซ้ายในทิศทางที่จำนวนลดลง
ตัวอย่างที่ 5ค้นหาค่าของนิพจน์ −2 + 2
ค่าของนิพจน์นี้คือ 0
ตัวอย่างนี้สามารถแก้ไขได้โดยใช้เส้นพิกัด เมื่อต้องการทำเช่นนี้ จากจุดที่มีเลขลบ −2 อยู่ คุณจะต้องเลื่อนไปทางขวาสองขั้นตอน ด้วยเหตุนี้เราจะพบว่าตัวเองอยู่ตรงจุดที่มีเลข 0 อยู่
จะเห็นได้ว่าเราได้ย้ายจากจุดที่เลขลบ −2 อยู่ทางด้านขวาไปสองขั้นแล้วไปสิ้นสุดที่จุดที่เลข 0 อยู่
เครื่องหมายบวกในนิพจน์ −2 + 2 บอกเราว่าเราควรย้ายไปทางขวาในทิศทางของจำนวนที่เพิ่มขึ้น
กฎสำหรับการบวกและการลบจำนวนเต็ม
ในการเพิ่มหรือลบจำนวนเต็ม ไม่จำเป็นต้องจินตนาการถึงเส้นพิกัดทุกครั้ง ไม่ต้องวาดเส้นพิกัดเลย การใช้กฎสำเร็จรูปจะสะดวกกว่า
เมื่อใช้กฎคุณต้องใส่ใจกับเครื่องหมายของการดำเนินการและเครื่องหมายของตัวเลขที่ต้องบวกหรือลบ นี่จะเป็นตัวกำหนดว่าจะใช้กฎใด
ตัวอย่างที่ 1ค้นหาค่าของนิพจน์ −2 + 5
ในที่นี้จำนวนบวกจะถูกบวกเข้ากับจำนวนลบ กล่าวอีกนัยหนึ่ง ตัวเลขที่มีเครื่องหมายต่างกันจะถูกเพิ่มเข้าไป −2 เป็นจำนวนลบ และ 5 เป็นจำนวนบวก ในกรณีดังกล่าว ให้ใช้กฎต่อไปนี้:
ในการเพิ่มตัวเลขที่มีเครื่องหมายต่างกัน คุณจะต้องลบโมดูลที่เล็กกว่าออกจากโมดูลที่ใหญ่กว่า และก่อนคำตอบที่ได้จะต้องใส่เครื่องหมายของตัวเลขที่มีโมดูลที่ใหญ่กว่า
มาดูกันว่าโมดูลใดใหญ่กว่า:
โมดูลัสของเลข 5 มากกว่าโมดูลัสของเลข −2 กฎกำหนดให้ลบอันที่เล็กกว่าออกจากโมดูลที่ใหญ่กว่า ดังนั้นเราจึงต้องลบ 2 จาก 5 และก่อนคำตอบที่ได้ ให้ใส่เครื่องหมายของจำนวนที่มีโมดูลัสมากกว่า
เลข 5 มีโมดูลัสมากกว่า ดังนั้นเครื่องหมายของเลขนี้จะอยู่ในคำตอบ นั่นคือคำตอบจะเป็นค่าบวก:
−2 + 5 = 5 − 2 = 3
มักจะเขียนสั้นกว่า: −2 + 5 = 3
ตัวอย่างที่ 2ค้นหาค่าของนิพจน์ 3 + (−2)
เช่นเดียวกับในตัวอย่างก่อนหน้านี้ ตัวเลขที่มีเครื่องหมายต่างกันจะถูกเพิ่มเข้าไป 3 เป็นจำนวนบวก และ −2 เป็นจำนวนลบ โปรดทราบว่า −2 อยู่ในวงเล็บเพื่อทำให้นิพจน์ชัดเจนยิ่งขึ้น สำนวนนี้เข้าใจง่ายกว่าสำนวน 3+−2 มาก
ลองใช้กฎในการบวกตัวเลขที่มีเครื่องหมายต่างๆ กัน เช่นเดียวกับในตัวอย่างก่อนหน้านี้ เราจะลบโมดูลที่เล็กกว่าออกจากโมดูลที่ใหญ่กว่า และก่อนคำตอบ เราจะใส่เครื่องหมายของจำนวนที่มีโมดูลมากกว่า:
3 + (−2) = |3| − |−2| = 3 − 2 = 1
โมดูลัสของหมายเลข 3 มากกว่าโมดูลัสของหมายเลข −2 ดังนั้นเราจึงลบ 2 ออกจาก 3 และก่อนคำตอบที่ได้ เราใส่เครื่องหมายของจำนวนที่มีโมดูลัสมากกว่า เลข 3 มีโมดูลัสที่ใหญ่กว่า ซึ่งเป็นเหตุผลว่าทำไมคำตอบจึงรวมเครื่องหมายของตัวเลขนี้ด้วย นั่นคือคำตอบเป็นบวก
โดยปกติจะเขียนสั้นกว่า 3 + (−2) = 1
ตัวอย่างที่ 3ค้นหาค่าของนิพจน์ 3 − 7
ในนิพจน์นี้ จำนวนที่มากกว่าจะถูกลบออกจากจำนวนที่น้อยกว่า ในกรณีเช่นนี้ ให้ใช้กฎต่อไปนี้:
หากต้องการลบจำนวนที่มากกว่าจากจำนวนที่น้อยกว่า คุณต้องลบจำนวนที่น้อยกว่าออกจากจำนวนที่มากกว่า และใส่เครื่องหมายลบไว้หน้าคำตอบที่ได้
3 − 7 = 7 − 3 = −4
มีสำนวนนี้ที่จับใจได้เล็กน้อย ให้เราจำไว้ว่าเครื่องหมายเท่ากับ (=) จะถูกวางไว้ระหว่างปริมาณและนิพจน์เมื่อทั้งสองมีค่าเท่ากัน
ตามที่เราเรียนมา ค่าของนิพจน์ 3 − 7 คือ −4 ซึ่งหมายความว่าการแปลงใดๆ ที่เราจะดำเนินการในนิพจน์นี้จะต้องเท่ากับ −4
แต่เราเห็นว่าในระยะที่สองจะมีนิพจน์ 7 − 3 ซึ่งไม่เท่ากับ −4
เพื่อแก้ไขสถานการณ์นี้ คุณต้องใส่นิพจน์ 7 − 3 ในวงเล็บและใส่เครื่องหมายลบไว้หน้าวงเล็บนี้:
3 − 7 = − (7 − 3) = − (4) = −4
ในกรณีนี้ จะสังเกตความเท่าเทียมกันในแต่ละขั้นตอน:
หลังจากคำนวณนิพจน์แล้ว คุณสามารถลบวงเล็บออกได้ ซึ่งเป็นสิ่งที่เราทำ
เพื่อให้ชัดเจนยิ่งขึ้น วิธีแก้ปัญหาควรมีลักษณะดังนี้:
3 − 7 = − (7 − 3) = − (4) = − 4
กฎนี้สามารถเขียนได้โดยใช้ตัวแปร มันจะมีลักษณะเช่นนี้:
ก − ข = − (ข − ก)
วงเล็บและเครื่องหมายการดำเนินการจำนวนมากอาจทำให้การแก้ปัญหาที่ดูเรียบง่ายซับซ้อนขึ้น ดังนั้นจึงแนะนำให้เรียนรู้วิธีเขียนตัวอย่างสั้นๆ เช่น 3 − 7 = − 4
ที่จริงแล้ว การบวกและการลบจำนวนเต็มนั้นไม่ได้มีความหมายอะไรมากไปกว่าการบวก ซึ่งหมายความว่าหากคุณต้องการลบตัวเลข การดำเนินการนี้สามารถแทนที่ได้ด้วยการบวก
มาทำความรู้จักกับกฎใหม่กันดีกว่า:
การลบจำนวนหนึ่งจากอีกจำนวนหนึ่งหมายถึงการบวกจำนวนที่อยู่ตรงข้ามกับจำนวนที่ถูกลบออกตรงจุดลบ
ตัวอย่างเช่น พิจารณานิพจน์ที่ง่ายที่สุด 5 − 3 เปิด ระยะเริ่มแรกเมื่อเรียนคณิตศาสตร์ เราใส่เครื่องหมายเท่ากับแล้วเขียนคำตอบไว้:
แต่ตอนนี้เรากำลังก้าวหน้าในการศึกษาของเรา ดังนั้นเราจึงต้องปรับตัวให้เข้ากับกฎใหม่ กฎใหม่บอกว่าการลบตัวเลขหนึ่งจากอีกจำนวนหนึ่งหมายถึงการบวกเลขเดียวกันกับตัวลบเข้าด้านลบ
ลองทำความเข้าใจกฎนี้โดยใช้ตัวอย่างนิพจน์ 5 − 3 เครื่องหมาย minuend ในนิพจน์นี้คือ 5 และเครื่องหมายลบคือ 3 กฎบอกว่าในการที่จะลบ 3 จาก 5 คุณต้องบวกตัวเลขที่ตรงข้ามกับ 3 เข้ากับ 5 ค่าตรงข้ามของเลข 3 คือ −3 . มาเขียนนิพจน์ใหม่:
และเรารู้วิธีค้นหาความหมายของสำนวนดังกล่าวแล้ว นี่คือการบวกตัวเลขที่มีเครื่องหมายต่างกันซึ่งเราดูไปแล้ว ในการเพิ่มตัวเลขที่มีเครื่องหมายต่างกัน เราจะลบโมดูลที่เล็กกว่าออกจากโมดูลที่ใหญ่กว่า และก่อนคำตอบที่ได้เราจะใส่เครื่องหมายของตัวเลขที่มีโมดูลมากกว่า:
5 + (−3) = |5| − |−3| = 5 − 3 = 2
โมดูลัสของเลข 5 มากกว่าโมดูลัสของเลข −3 ดังนั้นเราจึงลบ 3 จาก 5 และได้ 2 จำนวน 5 มีโมดูลัสที่มากกว่า ดังนั้นเราจึงใส่เครื่องหมายของจำนวนนี้ในคำตอบ นั่นคือคำตอบเป็นบวก
ในตอนแรก ไม่ใช่ทุกคนจะสามารถแทนที่การลบด้วยการบวกได้อย่างรวดเร็ว เนื่องจากตัวเลขบวกเขียนโดยไม่มีเครื่องหมายบวก
ตัวอย่างเช่น ในนิพจน์ 3 − 1 เครื่องหมายลบที่ระบุการลบคือเครื่องหมายการดำเนินการและไม่ได้อ้างอิงถึงเครื่องหมายใดเลย หน่วยใน ในกรณีนี้เป็นจำนวนบวกและมีเครื่องหมายบวกของมันเอง แต่เราไม่เห็น เนื่องจากเครื่องหมายบวกไม่ได้เขียนไว้หน้าจำนวนบวก
ดังนั้น เพื่อความชัดเจน จึงเขียนนิพจน์นี้ได้ดังนี้
(+3) − (+1)
เพื่อความสะดวก หมายเลขที่มีเครื่องหมายของตัวเองจะอยู่ในวงเล็บ ในกรณีนี้ การแทนที่การลบด้วยการบวกจะง่ายกว่ามาก
ในนิพจน์ (+3) − (+1) จำนวนที่ถูกลบคือ (+1) และจำนวนตรงข้ามคือ (−1)
ลองแทนที่การลบด้วยการบวกและแทนที่การลบ (+1) เราจะเขียนจำนวนตรงข้าม (−1)
(+3) − (+1) = (+3) + (−1)
การคำนวณเพิ่มเติมจะไม่ใช่เรื่องยาก
(+3) − (+1) = (+3) + (−1) = |3| − |−1| = 3 − 1 = 2
เมื่อมองแวบแรก อาจดูเหมือนว่าการเคลื่อนไหวพิเศษเหล่านี้มีประโยชน์อะไรหากคุณสามารถใช้วิธีเก่าที่ดีในการใส่เครื่องหมายเท่ากับแล้วจดคำตอบ 2 ทันที อันที่จริง กฎนี้จะช่วยเรามากกว่าหนึ่งครั้ง
ลองแก้ตัวอย่างก่อนหน้า 3 − 7 โดยใช้กฎการลบกัน ขั้นแรก เรามาสร้างนิพจน์ให้อยู่ในรูปแบบที่ชัดเจน โดยกำหนดให้แต่ละหมายเลขมีเครื่องหมายของตัวเอง
สามมีเครื่องหมายบวกเพราะเป็นจำนวนบวก เครื่องหมายลบที่แสดงการลบใช้ไม่ได้กับเจ็ด เซเว่นมีเครื่องหมายบวกเพราะเป็นจำนวนบวก:
ลองแทนที่การลบด้วยการบวก:
(+3) − (+7) = (+3) + (−7)
การคำนวณเพิ่มเติมไม่ใช่เรื่องยาก:
(+3) − (−7) = (+3) + (-7)
= −(|−7| − |+3|) = −(7 − 3) = −(4) = −4
ตัวอย่างที่ 7ค้นหาค่าของนิพจน์ −4 − 5
เรามีการดำเนินการลบอีกครั้ง การดำเนินการนี้จะต้องถูกแทนที่ด้วยการเพิ่มเติม ที่เครื่องหมาย minuend (−4) เราจะบวกตัวเลขที่อยู่ตรงข้ามกับเครื่องหมายย่อย (+5) จำนวนตรงข้ามของเครื่องหมายย่อย (+5) คือตัวเลข (−5)
(−4) − (+5) = (−4) + (−5)
เรามาถึงสถานการณ์ที่ต้องบวกจำนวนลบแล้ว ในกรณีดังกล่าว ให้ใช้กฎต่อไปนี้:
หากต้องการบวกจำนวนลบ คุณต้องเพิ่มโมดูลและใส่เครื่องหมายลบไว้หน้าคำตอบที่ได้
ดังนั้น เรามารวมโมดูลของตัวเลขเข้าด้วยกัน ตามกฎกำหนดให้เราต้องทำ และใส่เครื่องหมายลบไว้หน้าคำตอบที่ได้รับ:
(−4) − (+5) = (−4) + (−5) = |−4| + |−5| = 4 + 5 = −9
รายการที่มีโมดูลจะต้องอยู่ในวงเล็บและต้องวางเครื่องหมายลบไว้หน้าวงเล็บเหล่านี้ ด้วยวิธีนี้เราจะให้เครื่องหมายลบที่ควรปรากฏก่อนคำตอบ:
(−4) − (+5) = (−4) + (−5) = −(|−4| + |−5|) = −(4 + 5) = −(9) = −9
วิธีแก้ปัญหาสำหรับตัวอย่างนี้สามารถเขียนสั้นๆ ได้:
−4 − 5 = −(4 + 5) = −9
หรือสั้นกว่านั้น:
−4 − 5 = −9
ตัวอย่างที่ 8ค้นหาค่าของนิพจน์ −3 − 5 − 7 − 9
มานำสำนวนออกมาในรูปแบบที่ชัดเจนกันเถอะ ในที่นี้ ตัวเลขทั้งหมดยกเว้น −3 เป็นค่าบวก ดังนั้นพวกมันจึงมีเครื่องหมายบวก:
(−3) − (+5) − (+7) − (+9)
ลองแทนที่การลบด้วยการบวกกัน เครื่องหมายลบทั้งหมด ยกเว้นเครื่องหมายลบที่อยู่ข้างหน้าเครื่องหมายทั้งสาม จะเปลี่ยนเป็นบวก และจำนวนบวกทั้งหมดจะเปลี่ยนเป็นค่าตรงกันข้าม:
(−3) − (+5) − (+7) − (+9) = (−3) + (−5) + (−7) + (−9)
ทีนี้ลองใช้กฎสำหรับการบวกจำนวนลบกัน หากต้องการบวกจำนวนลบ คุณต้องเพิ่มโมดูลและใส่เครื่องหมายลบไว้หน้าคำตอบที่ได้:
(−3) − (+5) − (+7) − (+9) = (−3) + (−5) + (−7) + (−9) =
= −(|−3| + |−5| + |−7| + |−9|) = −(3 + 5 + 7 + 9) = −(24) = −24
วิธีแก้ไขสำหรับตัวอย่างนี้สามารถเขียนสั้นๆ ได้:
−3 − 5 − 7 − 9 = −(3 + 5 + 7 + 9) = −24
หรือสั้นกว่านั้น:
−3 − 5 − 7 − 9 = −24
ตัวอย่างที่ 9ค้นหาค่าของนิพจน์ −10 + 6 − 15 + 11 − 7
มาแสดงการแสดงออกในรูปแบบที่ชัดเจน:
(−10) + (+6) − (+15) + (+11) − (+7)
มีการดำเนินการสองอย่างที่นี่: การบวกและการลบ เราปล่อยให้การบวกไม่เปลี่ยนแปลง และแทนที่การลบด้วยการบวก:
(−10) + (+6) − (+15) + (+11) − (+7) = (−10) + (+6) + (−15) + (+11) + (−7)
สังเกตเราจะดำเนินการแต่ละอย่างตามลำดับตามกฎที่เรียนรู้ก่อนหน้านี้ รายการที่มีโมดูลสามารถข้ามได้:
การกระทำครั้งแรก:
(−10) + (+6) = − (10 − 6) = − (4) = − 4
การกระทำที่สอง:
(−4) + (−15) = − (4 + 15) = − (19) = − 19
การกระทำที่สาม:
(−19) + (+11) = − (19 − 11) = − (8) = −8
การกระทำที่สี่:
(−8) + (−7) = − (8 + 7) = − (15) = − 15
ดังนั้น ค่าของนิพจน์ −10 + 6 − 15 + 11 − 7 คือ −15
บันทึก- ไม่จำเป็นเลยที่จะต้องนำนิพจน์มาเป็นรูปแบบที่เข้าใจได้โดยใส่ตัวเลขไว้ในวงเล็บ เมื่อเกิดความคุ้นเคยต่อจำนวนลบ คุณสามารถข้ามขั้นตอนนี้ได้เนื่องจากใช้เวลานานและอาจสร้างความสับสนได้
ดังนั้นในการบวกและลบจำนวนเต็ม คุณต้องจำกฎต่อไปนี้:
เข้าร่วมกับเรา กลุ่มใหม่ VKontakte และเริ่มรับการแจ้งเตือนเกี่ยวกับบทเรียนใหม่
