การเคลื่อนไหวโค้งด้วยความเร่งสม่ำเสมอ

การเคลื่อนไหวแบบโค้งคือการเคลื่อนไหวที่มีวิถีการเคลื่อนที่ไม่ตรง แต่เป็นเส้นโค้ง ดาวเคราะห์และน้ำในแม่น้ำเคลื่อนที่ไปตามวิถีโค้ง

การเคลื่อนที่แนวโค้งจะเป็นการเคลื่อนที่ด้วยความเร่งเสมอ แม้ว่าค่าสัมบูรณ์ของความเร็วจะคงที่ก็ตาม การเคลื่อนไหวแบบโค้งด้วย ความเร่งคงที่มักเกิดขึ้นบนระนาบซึ่งมีเวกเตอร์ความเร่งและความเร็วเริ่มต้นของจุดอยู่ ในกรณีของการเคลื่อนที่เชิงโค้งด้วยความเร่งคงที่ในระนาบ xOy การฉายภาพ vx และ vy ของความเร็วบนแกน Ox และ Oy และพิกัด x และ y ของจุด ณ เวลาใดๆ t จะถูกกำหนดโดยสูตร

การเคลื่อนไหวที่ไม่สม่ำเสมอ ความเร็วคร่าวๆ

ไม่มีการเคลื่อนไหวร่างกายตลอดเวลา ความเร็วคงที่- เมื่อรถเริ่มเคลื่อนที่ก็จะเคลื่อนที่เร็วขึ้นเรื่อยๆ มันสามารถเคลื่อนที่ได้อย่างมั่นคงชั่วขณะหนึ่ง แต่แล้วมันก็ช้าลงและหยุดลง ในกรณีนี้รถจะเดินทางในระยะทางที่ต่างกันในเวลาเดียวกัน

การเคลื่อนไหวที่ร่างกายเดินทางในเส้นทางที่มีความยาวไม่เท่ากันในช่วงเวลาเท่ากันเรียกว่าไม่สม่ำเสมอ ด้วยการเคลื่อนไหวดังกล่าว ความเร็วจะไม่คงเดิม ในกรณีนี้เราพูดได้แค่ความเร็วเฉลี่ยเท่านั้น

ความเร็วเฉลี่ยแสดงจำนวนการเคลื่อนไหวของร่างกายต่อหน่วยเวลา เท่ากับอัตราส่วนของการกระจัดของร่างกายต่อเวลาในการเคลื่อนไหว ความเร็วเฉลี่ย เช่นเดียวกับความเร็วของร่างกายระหว่างการเคลื่อนที่สม่ำเสมอ มีหน่วยวัดเป็นเมตรหารด้วยวินาที เพื่อที่จะอธิบายลักษณะการเคลื่อนที่ได้แม่นยำมากขึ้น จึงมีการใช้ความเร็วชั่วขณะในวิชาฟิสิกส์

ความเร็วของร่างกายเข้า ในขณะนี้เวลาหรือจุดที่กำหนดในวิถีเรียกว่าความเร็วชั่วขณะ ความเร็วชั่วขณะเป็นปริมาณเวกเตอร์และมีทิศทางในลักษณะเดียวกับเวกเตอร์การกระจัด คุณสามารถวัดความเร็วขณะนั้นได้โดยใช้มาตรวัดความเร็ว ในระบบระหว่างประเทศ ความเร็วขณะนั้นวัดเป็นเมตรหารด้วยวินาที

ความเร็วในการเคลื่อนที่ของจุดไม่สม่ำเสมอ

การเคลื่อนไหวของร่างกายเป็นวงกลม

การเคลื่อนที่แนวโค้งเป็นเรื่องปกติในธรรมชาติและเทคโนโลยี มันซับซ้อนกว่าเส้นตรง เนื่องจากมีวิถีโค้งมากมาย การเคลื่อนไหวนี้จะถูกเร่งความเร็วเสมอ แม้ว่าโมดูลความเร็วจะไม่เปลี่ยนแปลงก็ตาม

แต่การเคลื่อนไหวตามเส้นทางโค้งใดๆ สามารถประมาณได้ว่าเป็นการเคลื่อนไหวตามแนวส่วนโค้งของวงกลม

เมื่อวัตถุเคลื่อนที่เป็นวงกลม ทิศทางของเวกเตอร์ความเร็วจะเปลี่ยนจากจุดหนึ่งไปยังอีกจุดหนึ่ง ดังนั้นเมื่อพูดถึงความเร็วของการเคลื่อนไหวนั้นจึงหมายถึงความเร็วที่เกิดขึ้นทันที เวกเตอร์ความเร็วถูกกำหนดทิศทางในวงสัมผัสไปยังวงกลม และเวกเตอร์การกระจัดถูกกำหนดทิศทางไปตามคอร์ด

การเคลื่อนที่แบบวงกลมสม่ำเสมอคือการเคลื่อนที่ในระหว่างที่โมดูลของความเร็วการเคลื่อนที่ไม่เปลี่ยนแปลง มีเพียงทิศทางเท่านั้นที่เปลี่ยนแปลง ความเร่งของการเคลื่อนที่นั้นจะมุ่งตรงไปยังศูนย์กลางของวงกลมเสมอ และเรียกว่าศูนย์กลางศูนย์กลาง การหาความเร่งของวัตถุที่เคลื่อนที่เป็นวงกลม จำเป็นต้องหารกำลังสองของความเร็วด้วยรัศมีของวงกลม

นอกจากความเร่งแล้ว การเคลื่อนที่เป็นวงกลมของร่างกายยังมีปริมาณดังต่อไปนี้:

คาบการหมุนของวัตถุคือช่วงเวลาที่ร่างกายทำการปฏิวัติครบหนึ่งครั้ง ระยะเวลาการหมุนถูกกำหนดด้วยตัวอักษร T และวัดเป็นวินาที

ความถี่ของการหมุนของวัตถุคือจำนวนรอบต่อหน่วยเวลา ความเร็วในการหมุนระบุด้วยตัวอักษรหรือไม่? และวัดเป็นเฮิรตซ์ หากต้องการหาความถี่ คุณต้องหารหนึ่งด้วยจุด

ความเร็วเชิงเส้นคืออัตราส่วนของการเคลื่อนไหวของร่างกายต่อเวลา การหาความเร็วเชิงเส้นของวัตถุในวงกลม จำเป็นต้องหารเส้นรอบวงด้วยคาบ (เส้นรอบวงเท่ากับ 2? คูณด้วยรัศมี)

ความเร็วเชิงมุม - ปริมาณทางกายภาพเท่ากับอัตราส่วนของมุมการหมุนของรัศมีของวงกลมที่ร่างกายเคลื่อนที่ไปตามเวลาที่เคลื่อนที่ ความเร็วเชิงมุมแสดงด้วยตัวอักษร? และวัดเป็นเรเดียนหารต่อวินาที คุณสามารถหาความเร็วเชิงมุมโดยการหาร 2 ได้หรือไม่? เป็นระยะเวลาหนึ่ง ความเร็วเชิงมุมและความเร็วเชิงเส้นระหว่างกัน ในการหาความเร็วเชิงเส้น จำเป็นต้องคูณความเร็วเชิงมุมด้วยรัศมีของวงกลม

รูปที่ 6 การเคลื่อนที่แบบวงกลม สูตร

คุณทราบดีว่าขึ้นอยู่กับรูปร่างของวิถีการเคลื่อนที่จะแบ่งออกเป็น เป็นเส้นตรงและ เส้นโค้ง- เราได้เรียนรู้วิธีทำงานกับการเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงในบทเรียนที่แล้ว กล่าวคือ เพื่อแก้ปัญหาหลักของกลศาสตร์สำหรับการเคลื่อนที่ประเภทนี้

อย่างไรก็ตาม เป็นที่ชัดเจนว่าในโลกแห่งความเป็นจริง เรามักจะจัดการกับการเคลื่อนที่แบบเส้นโค้ง เมื่อวิถีโคจรเป็นเส้นโค้ง ตัวอย่างของการเคลื่อนไหวดังกล่าว ได้แก่ วิถีการเคลื่อนที่ของวัตถุซึ่งทำมุมหนึ่งกับขอบฟ้า การเคลื่อนที่ของโลกรอบดวงอาทิตย์ และแม้แต่วิถีการเคลื่อนที่ของดวงตาของคุณ ซึ่งขณะนี้เป็นไปตามบันทึกนี้

คำถามว่าจะแก้ไขอย่างไร งานหลักกลศาสตร์ในกรณีของการเคลื่อนที่แนวโค้ง จะเน้นในบทเรียนนี้

ขั้นแรก เรามาพิจารณาว่าความแตกต่างพื้นฐานที่มีอยู่ในการเคลื่อนไหวทางโค้ง (รูปที่ 1) สัมพันธ์กับการเคลื่อนไหวเป็นเส้นตรงคืออะไร และความแตกต่างเหล่านี้นำไปสู่อะไร

ข้าว. 1. วิถีการเคลื่อนที่ของเส้นโค้ง

เรามาพูดถึงวิธีที่สะดวกในการอธิบายการเคลื่อนไหวของร่างกายระหว่างการเคลื่อนไหวแบบโค้ง

การเคลื่อนไหวสามารถแบ่งออกเป็นส่วนต่างๆ โดยในแต่ละส่วนสามารถพิจารณาการเคลื่อนไหวเป็นเส้นตรงได้ (รูปที่ 2)

ข้าว. 2. การแบ่งการเคลื่อนไหวส่วนโค้งออกเป็นส่วนๆ การเคลื่อนไหวเป็นเส้นตรง

อย่างไรก็ตามแนวทางต่อไปนี้จะสะดวกกว่า เราจะจินตนาการถึงการเคลื่อนไหวนี้เป็นการผสมผสานระหว่างการเคลื่อนไหวหลายอย่างตามแนวโค้งวงกลม (รูปที่ 3) โปรดทราบว่าพาร์ติชั่นดังกล่าวมีจำนวนน้อยกว่าในกรณีก่อนหน้า นอกจากนี้การเคลื่อนที่ตามแนววงกลมยังเป็นเส้นโค้ง นอกจากนี้ ตัวอย่างของการเคลื่อนที่ในวงกลมก็พบได้ทั่วไปในธรรมชาติ จากนี้เราสามารถสรุปได้ว่า:

ในการอธิบายการเคลื่อนไหวส่วนโค้ง คุณต้องเรียนรู้ที่จะอธิบายการเคลื่อนไหวเป็นวงกลม จากนั้นจึงอธิบาย การเคลื่อนไหวโดยสมัครใจแสดงเป็นชุดการเคลื่อนที่ตามแนวโค้งวงกลม

ข้าว. 3. การแบ่งการเคลื่อนที่ตามแนวโค้งให้เป็นการเคลื่อนที่ตามแนวโค้งวงกลม

ดังนั้น เรามาเริ่มศึกษาการเคลื่อนที่ของเส้นโค้งโดยศึกษาการเคลื่อนที่สม่ำเสมอในวงกลม เรามาดูกันว่าอะไรคือความแตกต่างพื้นฐานระหว่างการเคลื่อนไหวโค้งและการเคลื่อนไหวเป็นเส้นตรง ขั้นแรกให้เราจำไว้ว่าในชั้นประถมศึกษาปีที่ 9 เราศึกษาความจริงที่ว่าความเร็วของร่างกายเมื่อเคลื่อนที่เป็นวงกลมนั้นสัมผัสกับวิถีโดยตรง (รูปที่ 4) อย่างไรก็ตามคุณสามารถสังเกตข้อเท็จจริงนี้ได้จากการทดลองหากคุณดูว่าประกายไฟเคลื่อนที่อย่างไรเมื่อใช้หินลับคม

ลองพิจารณาการเคลื่อนที่ของวัตถุตามแนวโค้งวงกลม (รูปที่ 5)

ข้าว. 5. ความเร็วของร่างกายเมื่อเคลื่อนที่เป็นวงกลม

โปรดทราบว่าใน ในกรณีนี้โมดูลัสของความเร็วของร่างกายที่จุดหนึ่งเท่ากับโมดูลัสของความเร็วของร่างกายที่จุด:

อย่างไรก็ตาม เวกเตอร์ไม่เท่ากับเวกเตอร์ ดังนั้นเราจึงมีเวกเตอร์ผลต่างความเร็ว (รูปที่ 6):

ข้าว. 6. เวกเตอร์ผลต่างความเร็ว

นอกจากนี้การเปลี่ยนแปลงความเร็วยังเกิดขึ้นหลังจากนั้นระยะหนึ่ง ดังนั้นเราจึงได้ชุดค่าผสมที่คุ้นเคย:

นี่ไม่ได้เป็นอะไรมากไปกว่าการเปลี่ยนแปลงความเร็วในช่วงเวลาหนึ่ง หรือการเร่งความเร็วของร่างกาย สามารถสรุปข้อสรุปที่สำคัญมากได้:

การเคลื่อนที่ไปตามทางโค้งจะถูกเร่งความเร็ว ธรรมชาติของการเร่งความเร็วนี้คือการเปลี่ยนแปลงทิศทางของเวกเตอร์ความเร็วอย่างต่อเนื่อง

โปรดทราบอีกครั้งว่า แม้ว่าร่างกายจะเคลื่อนไหวเป็นวงกลมสม่ำเสมอ แต่ก็หมายความว่าโมดูลัสของความเร็วของร่างกายไม่เปลี่ยนแปลง อย่างไรก็ตาม การเคลื่อนไหวดังกล่าวจะต้องเร่งความเร็วอยู่เสมอ เนื่องจากทิศทางของความเร็วเปลี่ยนแปลงไป

ในชั้นประถมศึกษาปีที่ 9 คุณศึกษาว่าความเร่งนี้เท่ากับเท่าใดและมีทิศทางอย่างไร (รูปที่ 7) ความเร่งสู่ศูนย์กลางมุ่งตรงไปยังศูนย์กลางของวงกลมที่ร่างกายเคลื่อนไหวอยู่เสมอ

ข้าว. 7. ความเร่งสู่ศูนย์กลาง

โมดูลความเร่งสู่ศูนย์กลางสามารถคำนวณได้โดยใช้สูตร:

มาดูคำอธิบายการเคลื่อนที่สม่ำเสมอของร่างกายในวงกลมกันดีกว่า เรายอมรับว่าความเร็วที่คุณใช้ในการอธิบายการเคลื่อนที่ของการแปลจะถูกเรียกว่าความเร็วเชิงเส้น และด้วยความเร็วเชิงเส้น เราจะเข้าใจความเร็วขณะนั้น ณ จุดที่วิถีการเคลื่อนที่ของวัตถุที่กำลังหมุนอยู่

ข้าว. 8. การเคลื่อนที่ของจุดดิสก์

พิจารณาดิสก์ที่หมุนตามเข็มนาฬิกาเพื่อความแน่นอน บนรัศมีเราทำเครื่องหมายสองจุด และ (รูปที่ 8) พิจารณาการเคลื่อนไหวของพวกเขา เมื่อเวลาผ่านไป จุดเหล่านี้จะเคลื่อนที่ไปตามส่วนโค้งของวงกลมและกลายเป็นจุดและ เห็นได้ชัดว่าจุดนั้นเคลื่อนไหวมากกว่าจุด จากนี้เราสามารถสรุปได้ว่า ยิ่งจุดอยู่ห่างจากแกนการหมุนมากเท่าไร ความเร็วเชิงเส้นก็จะยิ่งมากขึ้นเท่านั้น

อย่างไรก็ตาม หากคุณดูจุดต่างๆ อย่างใกล้ชิด และ เราสามารถพูดได้ว่ามุมที่จุดเหล่านั้นหมุนสัมพันธ์กับแกนการหมุนยังคงไม่เปลี่ยนแปลง เป็นลักษณะเชิงมุมที่เราจะใช้อธิบายการเคลื่อนที่ในวงกลม โปรดทราบว่าเพื่ออธิบายการเคลื่อนที่แบบวงกลมที่เราสามารถใช้ได้ มุมลักษณะเฉพาะ.

เรามาเริ่มพิจารณาการเคลื่อนที่ในวงกลมด้วยกรณีที่ง่ายที่สุด - การเคลื่อนที่สม่ำเสมอในวงกลม ขอให้เราระลึกว่าการเคลื่อนไหวแบบแปลนสม่ำเสมอคือการเคลื่อนไหวที่ร่างกายทำการเคลื่อนไหวเท่ากันในช่วงเวลาที่เท่ากัน หากเปรียบเทียบ เราสามารถให้คำจำกัดความของการเคลื่อนที่สม่ำเสมอในวงกลมได้

การเคลื่อนที่แบบวงกลมสม่ำเสมอคือการเคลื่อนไหวที่วัตถุหมุนไปในมุมที่เท่ากันในช่วงเวลาที่เท่ากัน

คล้ายกับแนวคิดเรื่องความเร็วเชิงเส้น จึงมีการนำแนวคิดเรื่องความเร็วเชิงมุมมาใช้

ความเร็วเชิงมุมของการเคลื่อนที่สม่ำเสมอ (คือปริมาณทางกายภาพเท่ากับอัตราส่วนของมุมที่วัตถุหันไปตามเวลาที่เกิดการหมุนรอบตัวเอง

ในวิชาฟิสิกส์ การวัดมุมเรเดียนมักใช้บ่อยที่สุด ตัวอย่างเช่น มุม b เท่ากับเรเดียน ความเร็วเชิงมุมวัดเป็นเรเดียนต่อวินาที:

เรามาค้นหาความเชื่อมโยงระหว่างความเร็วเชิงมุมของการหมุนของจุดหนึ่งกับความเร็วเชิงเส้นของจุดนี้กัน

ข้าว. 9. ความสัมพันธ์ระหว่างความเร็วเชิงมุมและความเร็วเชิงเส้น

เมื่อหมุน จุดหนึ่งจะผ่านส่วนโค้งที่มีความยาว และหมุนเป็นมุม จากคำจำกัดความของการวัดเรเดียนของมุมเราสามารถเขียนได้:

ลองแบ่งด้านซ้ายและด้านขวาของความเท่าเทียมกันตามระยะเวลาที่เกิดการเคลื่อนที่ จากนั้นใช้คำจำกัดความของความเร็วเชิงมุมและความเร็วเชิงเส้น:

โปรดทราบว่ายิ่งจุดอยู่ห่างจากแกนการหมุนมากเท่าใด ความเร็วเชิงเส้นก็จะยิ่งสูงขึ้นเท่านั้น และจุดที่อยู่บนแกนหมุนเองก็ไม่เคลื่อนที่ ตัวอย่างนี้คือม้าหมุน: ยิ่งคุณอยู่ใกล้ศูนย์กลางของม้าหมุนมากเท่าไหร่ คุณก็จะอยู่บนนั้นได้ง่ายขึ้นเท่านั้น

การพึ่งพาความเร็วเชิงเส้นและเชิงมุมนี้ใช้ในดาวเทียมค้างฟ้า (ดาวเทียมที่อยู่เหนือจุดเดียวกันเสมอ พื้นผิวโลก- ต้องขอบคุณดาวเทียมดังกล่าวทำให้เราสามารถรับสัญญาณโทรทัศน์ได้

ให้เราจำไว้ว่าก่อนหน้านี้เราได้แนะนำแนวคิดเรื่องคาบและความถี่ของการหมุน

ระยะเวลาการหมุนคือเวลาของการปฏิวัติเต็มหนึ่งครั้งระยะเวลาการหมุนจะแสดงด้วยตัวอักษรและวัดเป็นวินาที SI:

ความถี่ในการหมุนคือปริมาณทางกายภาพเท่ากับจำนวนรอบการหมุนที่วัตถุทำต่อหน่วยเวลา

ความถี่ระบุด้วยตัวอักษรและวัดเป็นวินาทีซึ่งกันและกัน:

มีความสัมพันธ์กันด้วยความสัมพันธ์:

มีความสัมพันธ์ระหว่างความเร็วเชิงมุมกับความถี่ของการหมุนของร่างกาย หากเราจำได้ว่าการปฏิวัติเต็มจำนวนเท่ากับ จะสังเกตได้ง่ายว่าความเร็วเชิงมุมคือ:

เมื่อแทนนิพจน์เหล่านี้ลงในความสัมพันธ์ระหว่างความเร็วเชิงมุมและความเร็วเชิงเส้น เราสามารถรับความเร็วเชิงเส้นที่ขึ้นอยู่กับคาบหรือความถี่ได้:

ให้เราเขียนความสัมพันธ์ระหว่างความเร่งสู่ศูนย์กลางกับปริมาณเหล่านี้ด้วย:

ดังนั้นเราจึงทราบความสัมพันธ์ระหว่างคุณลักษณะทั้งหมดของการเคลื่อนที่แบบวงกลมสม่ำเสมอ

มาสรุปกัน ในบทเรียนนี้ เราเริ่มอธิบายการเคลื่อนที่ของเส้นโค้ง เราเข้าใจว่าเราสามารถเชื่อมโยงการเคลื่อนที่แบบโค้งกับการเคลื่อนที่แบบวงกลมได้อย่างไร การเคลื่อนที่แบบวงกลมจะถูกเร่งความเร็วเสมอ และการมีอยู่ของความเร่งจะเป็นตัวกำหนดความจริงที่ว่าความเร็วจะเปลี่ยนทิศทางของมันอยู่เสมอ ความเร่งนี้เรียกว่าสู่ศูนย์กลาง ในที่สุด เราก็จำคุณลักษณะบางประการของการเคลื่อนที่แบบวงกลมได้ (ความเร็วเชิงเส้น ความเร็วเชิงมุม คาบและความถี่ของการหมุน) และพบความสัมพันธ์ระหว่างสิ่งเหล่านั้น

อ้างอิง

1. G.Ya. Myakishev, B.B. Bukhovtsev, N.N. ซอตสกี้. ฟิสิกส์ 10. - ม.: การศึกษา, 2551.
2. เอ.พี. ริมเควิช. ฟิสิกส์. ปัญหาเล่ม 10-11 - ม.: อีแร้ง, 2549.
3. โอ้ย ซาฟเชนโก. ปัญหาฟิสิกส์ - ม.: เนากา, 2531.
4. เอ.วี. Peryshkin, V.V. เคราคลิส. หลักสูตรฟิสิกส์ ต. 1. - ม.: รัฐ ครู เอ็ด นาที การศึกษาของ RSFSR, 2500

1. Аyp.ru ()
2. วิกิพีเดีย ()

การบ้าน

มีการแก้ไขปัญหาสำหรับ บทเรียนนี้คุณสามารถเตรียมคำถาม 1 ของ GIA และคำถาม A1, A2 ของการสอบ Unified State ได้

1. ปัญหา 92, 94, 98, 106, 110 - ส. ปัญหาเอ.พี. ริมเควิช, เอ็ด. 10
2. คำนวณความเร็วเชิงมุมของเข็มนาที เข็มวินาที และเข็มชั่วโมงของนาฬิกา คำนวณความเร่งสู่ศูนย์กลางที่กระทำต่อปลายลูกศรเหล่านี้ หากรัศมีของลูกศรแต่ละอันเท่ากับ 1 เมตร

ในระหว่างการเคลื่อนที่แนวโค้ง ทิศทางของเวกเตอร์ความเร็วจะเปลี่ยนไป ในขณะเดียวกัน โมดูลของมัน เช่น ความยาว ก็อาจเปลี่ยนแปลงได้เช่นกัน ในกรณีนี้ เวกเตอร์ความเร่งจะถูกแบ่งออกเป็นสององค์ประกอบ: สัมผัสกับวิถีและตั้งฉากกับวิถี (รูปที่ 10) ส่วนประกอบที่เรียกว่า วงสัมผัส(วงสัมผัส) ความเร่ง องค์ประกอบ – ปกติ(ศูนย์กลาง) ความเร่ง

ความเร่งขณะเคลื่อนที่โค้ง

ความเร่งในวงโคจรแสดงลักษณะอัตราการเปลี่ยนแปลงของความเร็วเชิงเส้น และความเร่งปกติแสดงลักษณะอัตราการเปลี่ยนแปลงทิศทางการเคลื่อนที่

ความเร่งรวมเท่ากับผลรวมเวกเตอร์ของความเร่งในแนวสัมผัสและความเร่งปกติ:

(15)

โมดูลการเร่งความเร็วรวมเท่ากับ:

.

ลองพิจารณาการเคลื่อนที่สม่ำเสมอของจุดรอบวงกลม ในเวลาเดียวกัน และ - ให้ ณ เวลาที่พิจารณา t จุดอยู่ในตำแหน่ง 1 (รูปที่ 11) หลังจากเวลา Δt จุดจะอยู่ที่ตำแหน่ง 2 โดยผ่านเส้นทางไปแล้ว Δsเท่ากับส่วนโค้ง 1-2 ในกรณีนี้ ความเร็วของจุด v จะเพิ่มขึ้น ∆vเป็นผลจากการที่เวกเตอร์ความเร็วซึ่งยังคงขนาดไม่เปลี่ยนแปลงจะหมุนไปตามมุม Δφ ซึ่งมีขนาดเท่ากันกับมุมที่จุดศูนย์กลางโดยพิจารณาจากส่วนโค้งของความยาว Δs:

(16)

โดยที่ R คือรัศมีของวงกลมที่จุดเคลื่อนที่ มาหาการเพิ่มขึ้นของเวกเตอร์ความเร็วกันดีกว่า เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เรามาย้ายเวกเตอร์กันดีกว่า เพื่อให้จุดเริ่มต้นตรงกับจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์ จากนั้นเวกเตอร์จะถูกแทนด้วยส่วนที่ลากจากจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ไปยังจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ - ส่วนนี้ทำหน้าที่เป็นฐานของสามเหลี่ยมหน้าจั่วที่มีด้านข้างและ และมุม Δφ ที่ยอด หากมุม Δφ เล็ก (ซึ่งเป็นจริงสำหรับ Δt ขนาดเล็ก) สำหรับด้านข้างของสามเหลี่ยมนี้ เราสามารถเขียนได้ประมาณว่า:

.

เมื่อแทนที่ Δφ จาก (16) ที่นี่ เราจะได้นิพจน์สำหรับโมดูลัสของเวกเตอร์:

.

เมื่อหารทั้งสองข้างของสมการด้วย Δt แล้วผ่านไปยังขีดจำกัด เราจะได้ค่าความเร่งสู่ศูนย์กลาง:

นี่ปริมาณ. โวลต์และ รมีค่าคงที่จึงสามารถนำเกินเครื่องหมายจำกัดได้ ขีดจำกัดอัตราส่วนคือโมดูลัสความเร็ว เรียกอีกอย่างว่าความเร็วเชิงเส้น

รัศมีความโค้ง

รัศมีของวงกลม R เรียกว่า รัศมีความโค้งวิถี ค่าผกผันของ R เรียกว่าความโค้งของวิถี:

.

โดยที่ R คือรัศมีของวงกลมที่ต้องการ ถ้า α เป็นมุมที่ศูนย์กลางซึ่งสอดคล้องกับส่วนโค้งของวงกลม s ดังที่ทราบ ความสัมพันธ์ระหว่าง R, α และ s จะเป็นดังนี้:

ส = รา. (18)

แนวคิดเรื่องรัศมีความโค้งไม่เพียงแต่ใช้กับวงกลมเท่านั้น แต่ยังใช้กับเส้นโค้งใดๆ ด้วย รัศมีความโค้ง (หรือค่าผกผัน - ความโค้ง) เป็นตัวกำหนดระดับความโค้งของเส้น ยิ่งรัศมีความโค้งเล็กลง (ตามลำดับ ยิ่งมีความโค้งมากขึ้น) เส้นก็จะมีความโค้งมากขึ้น ลองมาดูแนวคิดนี้ให้ละเอียดยิ่งขึ้น

วงกลมแห่งความโค้งของเส้นแบนที่จุด A คือตำแหน่งจำกัดของวงกลมที่ผ่านจุด A และอีกสองจุด B 1 และ B 2 ขณะที่เข้าใกล้จุด A อย่างไม่สิ้นสุด (ในรูปที่ 12 เส้นโค้งจะถูกวาดโดย a เส้นทึบ และวงกลมโค้งด้วยเส้นประ) รัศมีของวงกลมแห่งความโค้งจะให้รัศมีของความโค้งของเส้นโค้งที่จุด A และจุดศูนย์กลางของวงกลมนี้ให้จุดศูนย์กลางของความโค้งของเส้นโค้งสำหรับจุด A เดียวกัน

ที่จุด B 1 และ B 2 วาดแทนเจนต์ B 1 D และ B 2 E ไปยังวงกลมที่ผ่านจุด B 1, A และ B 2 บรรทัดฐานของแทนเจนต์เหล่านี้ B 1 C และ B 2 C จะแสดงรัศมี R ของวงกลมและตัดกันที่ศูนย์กลาง C ให้เราแนะนำมุม Δα ระหว่างบรรทัดฐาน B1 C และ B 2 C; เห็นได้ชัดว่ามันเท่ากับมุมระหว่างแทนเจนต์ B 1 D และ B 2 E ให้เราแสดงส่วนของเส้นโค้งระหว่างจุด B 1 และ B 2 เป็น Δs จากนั้นตามสูตร (18):

.

วงกลมแห่งความโค้งของเส้นโค้งแบน

การกำหนดความโค้งของเส้นโค้งระนาบที่จุดต่างๆ

ในรูป รูปที่ 13 แสดงวงกลมความโค้งของเส้นแบนที่จุดต่างๆ ที่จุด A 1 โดยที่เส้นโค้งแบนกว่า รัศมีของความโค้งมากกว่าที่จุด A 2 ตามลำดับ ความโค้งของเส้นตรงที่จุด A 1 จะน้อยกว่าที่จุด A 2 ที่จุด A 3 เส้นโค้งจะราบเรียบกว่าจุด A 1 และ A 2 ดังนั้นรัศมีความโค้ง ณ จุดนี้จึงจะมากกว่าและความโค้งน้อยกว่า นอกจากนี้ วงกลมแห่งความโค้งที่จุด A 3 ยังอยู่อีกด้านหนึ่งของเส้นโค้ง ดังนั้นค่าความโค้ง ณ จุดนี้จึงถูกกำหนดให้เป็นเครื่องหมายตรงข้ามกับสัญลักษณ์ความโค้งที่จุด A 1 และ A 2: หากความโค้งที่จุด A 1 และ A 2 ถือเป็นบวก ความโค้งที่จุด A 3 จะเป็น เชิงลบ.

6. การเคลื่อนไหวแบบโค้ง การกระจัดเชิงมุม ความเร็วเชิงมุม และความเร่งของวัตถุ เส้นทางและการเคลื่อนตัวระหว่างการเคลื่อนไหวโค้งของร่างกาย

การเคลื่อนไหวแบบโค้ง– นี่คือการเคลื่อนไหวที่มีวิถีโคจรเป็นเส้นโค้ง (เช่น วงกลม วงรี ไฮเปอร์โบลา พาราโบลา) ตัวอย่างของการเคลื่อนที่แนวโค้ง ได้แก่ การเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์ การสิ้นสุดเข็มนาฬิกาไปตามหน้าปัด เป็นต้น โดยทั่วไปแล้ว ความเร็วโค้งการเปลี่ยนแปลงขนาดและทิศทาง

การเคลื่อนที่แนวโค้งของจุดวัสดุถือว่าเคลื่อนที่สม่ำเสมอหากโมดูล ความเร็ว คงที่ (เช่น การเคลื่อนที่สม่ำเสมอในวงกลม) และมีความเร่งสม่ำเสมอหากโมดูลและทิศทาง ความเร็ว การเปลี่ยนแปลง (เช่น การเคลื่อนไหวของวัตถุที่ถูกโยนในมุมหนึ่งไปยังแนวนอน)

ข้าว. 1.19. วิถีและเวกเตอร์ของการเคลื่อนไหวระหว่างการเคลื่อนที่แนวโค้ง

เมื่อเคลื่อนที่ไปตามทางโค้ง เวกเตอร์การกระจัด กำกับตามคอร์ด (รูปที่ 1.19) และ ล- ความยาว วิถี - ความเร็วทันทีของร่างกาย (นั่นคือ ความเร็วของร่างกาย ณ จุดที่กำหนดของวิถี) จะถูกชี้นำแบบสัมผัสที่จุดวิถีซึ่งร่างกายที่กำลังเคลื่อนที่อยู่ในปัจจุบัน (รูปที่ 1.20)

ข้าว. 1.20. ความเร็วขณะเคลื่อนที่ขณะโค้ง

การเคลื่อนที่แนวโค้งจะเป็นการเคลื่อนที่ด้วยความเร่งเสมอ นั่นก็คือ ความเร่งขณะเคลื่อนที่โค้งปรากฏอยู่เสมอ แม้ว่าโมดูลความเร็วจะไม่เปลี่ยนแปลง แต่จะมีการเปลี่ยนแปลงทิศทางความเร็วเท่านั้น การเปลี่ยนแปลงความเร็วต่อหน่วยเวลาคือ ความเร่งในวงสัมผัส :

หรือ

ที่ไหน โวลต์ τ ,v 0 – ค่าความเร็ว ณ ขณะนั้น ที 0 +Δtและ ที 0 ตามลำดับ

ความเร่งในวงสัมผัส ณ จุดที่กำหนดของวิถีทิศทางจะสอดคล้องกับทิศทางความเร็วของการเคลื่อนที่ของร่างกายหรือตรงกันข้ามกับทิศทางนั้น

อัตราเร่งปกติ คือการเปลี่ยนแปลงความเร็วในทิศทางต่อหน่วยเวลา:

อัตราเร่งปกติกำกับไปตามรัศมีความโค้งของวิถี (ไปทางแกนหมุน) ความเร่งปกติจะตั้งฉากกับทิศทางของความเร็ว

ความเร่งสู่ศูนย์กลางคือความเร่งปกติระหว่างการเคลื่อนที่เป็นวงกลมสม่ำเสมอ

ความเร่งรวมระหว่างการเคลื่อนที่โค้งสม่ำเสมอของร่างกายเท่ากับ:

การเคลื่อนไหวของร่างกายตามเส้นทางโค้งสามารถแสดงได้โดยประมาณว่าเป็นการเคลื่อนไหวตามแนวส่วนโค้งของวงกลมบางวง (รูปที่ 1.21)

ข้าว. 1.21. การเคลื่อนไหวของร่างกายขณะเคลื่อนที่เป็นเส้นโค้ง

การเคลื่อนไหวแบบโค้ง

การเคลื่อนไหวแบบโค้ง– การเคลื่อนไหวที่มีวิถีไม่ตรง แต่เป็นเส้นโค้ง ดาวเคราะห์และน้ำในแม่น้ำเคลื่อนที่ไปตามวิถีโค้ง

การเคลื่อนที่แนวโค้งจะเป็นการเคลื่อนที่ด้วยความเร่งเสมอ แม้ว่าค่าสัมบูรณ์ของความเร็วจะคงที่ก็ตาม การเคลื่อนที่เชิงโค้งที่มีความเร่งคงที่มักเกิดขึ้นในระนาบซึ่งมีเวกเตอร์ความเร่งและความเร็วเริ่มต้นของจุดอยู่ ในกรณีการเคลื่อนที่เป็นเส้นโค้งด้วยความเร่งคงที่ในระนาบ xOyการคาดการณ์ โวลต์ xและ โวลต์ ยความเร็วของมันบนแกน วัวและ เฮ้ยและพิกัด xและ ยจุดได้ตลอดเวลา ทีกำหนดโดยสูตร

กรณีพิเศษของการเคลื่อนที่แนวโค้งคือการเคลื่อนที่แบบวงกลม การเคลื่อนที่แบบวงกลมสม่ำเสมอกันก็คือการเคลื่อนที่ด้วยความเร่งเสมอ: โมดูลความเร็วจะเคลื่อนที่ในแนวสัมผัสไปยังวิถีโคจรเสมอ โดยเปลี่ยนทิศทางอยู่ตลอดเวลา ดังนั้นการเคลื่อนที่แบบวงกลมจะเกิดขึ้นด้วยความเร่งสู่ศูนย์กลางเสมอ โดยที่ ร– รัศมีของวงกลม

เวกเตอร์ความเร่งเมื่อเคลื่อนที่เป็นวงกลมจะมุ่งตรงไปยังศูนย์กลางของวงกลมและตั้งฉากกับเวกเตอร์ความเร็ว

ในการเคลื่อนที่แนวโค้ง ความเร่งสามารถแสดงเป็นผลรวมขององค์ประกอบปกติและวงสัมผัส:

การเร่งความเร็วปกติ (สู่ศูนย์กลาง) มุ่งตรงไปยังจุดศูนย์กลางของความโค้งของวิถีและแสดงลักษณะการเปลี่ยนแปลงความเร็วในทิศทาง:

วี –ค่าความเร็วทันที ร– รัศมีความโค้งของวิถี ณ จุดที่กำหนด

ความเร่งในแนวสัมผัส (วงสัมผัส) จะถูกส่งตรงไปยังวิถีวิถีสัมผัสและแสดงลักษณะการเปลี่ยนแปลงของโมดูโลความเร็ว

ความเร่งรวมที่จุดวัสดุเคลื่อนที่เท่ากับ:

นอกเหนือจากความเร่งสู่ศูนย์กลางแล้ว คุณลักษณะที่สำคัญที่สุดของการเคลื่อนที่แบบวงกลมสม่ำเสมอคือคาบและความถี่ของการหมุน

ระยะเวลาการไหลเวียน- นี่คือเวลาที่ร่างกายทำการปฏิวัติหนึ่งครั้ง .

ระยะเวลาจะถูกระบุด้วยตัวอักษร ต(c) และถูกกำหนดโดยสูตร:

ที่ไหน ที- เวลาหมุนเวียน n- จำนวนการปฏิวัติที่เสร็จสิ้นในช่วงเวลานี้

ความถี่- นี่คือปริมาณเป็นตัวเลขเท่ากับจำนวนรอบการหมุนที่เสร็จสมบูรณ์ต่อหน่วยเวลา

ความถี่เขียนแทนด้วยตัวอักษรกรีก (nu) และหาได้จากสูตร:

ความถี่วัดเป็น 1/s

คาบและความถี่เป็นปริมาณผกผันกัน:

หากร่างกายเคลื่อนที่เป็นวงกลมด้วยความเร็ว วีทำการปฏิวัติหนึ่งครั้ง จากนั้นสามารถหาระยะทางที่วัตถุนี้เคลื่อนที่ได้โดยการคูณความเร็ว โวลต์ในช่วงปฏิวัติครั้งหนึ่ง:

ล. = วีต.ในทางกลับกัน เส้นทางนี้เท่ากับเส้นรอบวงของวงกลม 2π ร- นั่นเป็นเหตุผล

วีที = 2π ร,

ที่ไหน ว(ส -1) - ความเร็วเชิงมุม

ที่ความถี่การหมุนคงที่ ความเร่งสู่ศูนย์กลางจะเป็นสัดส่วนโดยตรงกับระยะห่างจากอนุภาคที่กำลังเคลื่อนที่ไปยังจุดศูนย์กลางการหมุน

ความเร็วเชิงมุม (ว) – ค่าเท่ากับอัตราส่วนของมุมการหมุนของรัศมีที่จุดหมุนอยู่ต่อระยะเวลาที่เกิดการหมุนนี้:

.

ความสัมพันธ์ระหว่างความเร็วเชิงเส้นและเชิงมุม:

การเคลื่อนไหวของร่างกายสามารถพิจารณาได้ก็ต่อเมื่อรู้ว่าแต่ละจุดเคลื่อนที่อย่างไร การเคลื่อนไหวที่ง่ายที่สุดของวัตถุที่เป็นของแข็งคือการแปลความหมาย ก้าวหน้าเรียกว่าการเคลื่อนไหว แข็งซึ่งเส้นตรงใดๆ ที่ลากในตัวนี้จะเคลื่อนที่ขนานกับตัวมันเอง

เมื่อพิจารณาถึงการเคลื่อนไหวโค้งของร่างกาย เราจะเห็นว่าความเร็วของมันแตกต่างกันในแต่ละช่วงเวลา แม้ว่าขนาดของความเร็วจะไม่เปลี่ยนแปลง ทิศทางของความเร็วก็ยังมีการเปลี่ยนแปลงอยู่ ในกรณีทั่วไป ทั้งขนาดและทิศทางของความเร็วจะเปลี่ยนไป

ดังนั้น ในระหว่างการเคลื่อนที่แนวโค้ง ความเร็วจะเปลี่ยนแปลงอย่างต่อเนื่อง ดังนั้นการเคลื่อนไหวนี้จึงเกิดขึ้นด้วยความเร่ง ในการพิจารณาความเร่งนี้ (ทั้งในด้านขนาดและทิศทาง) จำเป็นต้องค้นหาการเปลี่ยนแปลงของความเร็วในรูปแบบเวกเตอร์ เช่น ค้นหาการเพิ่มขึ้นของขนาดของความเร็วและการเปลี่ยนแปลงทิศทาง

ข้าว. 49. การเปลี่ยนแปลงความเร็วระหว่างการเคลื่อนที่ทางโค้ง

ตัวอย่างเช่น ปล่อยให้จุดหนึ่งเคลื่อนที่เป็นเส้นโค้ง (รูปที่ 49) ในช่วงเวลาหนึ่งมีความเร็ว และหลังจากช่วงระยะเวลาสั้น ๆ - ความเร็ว การเพิ่มความเร็วคือความแตกต่างระหว่างเวกเตอร์และ เนื่องจากเวกเตอร์เหล่านี้มีทิศทางต่างกัน คุณจึงต้องหาผลต่างเวกเตอร์ของมัน ความเร็วที่เพิ่มขึ้นจะแสดงโดยเวกเตอร์ที่แสดงด้วยด้านของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีเส้นทแยงมุมและอีกด้านหนึ่ง ความเร่งคืออัตราส่วนของความเร็วที่เพิ่มขึ้นต่อช่วงเวลาที่เกิดการเพิ่มขึ้นนี้ นี่หมายถึงการเร่งความเร็ว

ทิศทางเกิดขึ้นพร้อมกับเวกเตอร์

เมื่อเลือกให้เล็กพอ เราก็มาถึงแนวคิดเรื่องการเร่งความเร็วทันที (เปรียบเทียบ § 16) เมื่อไม่มีกฎเกณฑ์ เวกเตอร์จะแสดงความเร่งเฉลี่ยในช่วงเวลาหนึ่ง

ทิศทางความเร่งระหว่างการเคลื่อนที่แนวโค้งไม่ตรงกับทิศทางความเร็ว ในขณะที่การเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงทิศทางเหล่านี้จะตรงกัน (หรือตรงกันข้าม) ในการหาทิศทางความเร่งระหว่างการเคลื่อนที่แนวโค้ง การเปรียบเทียบทิศทางความเร็วที่จุดใกล้สองจุดของวิถีก็เพียงพอแล้ว เนื่องจากความเร็วถูกกำหนดทิศทางให้สัมผัสกับวิถี ดังนั้นจากรูปร่างของวิถีเราสามารถสรุปได้ว่าความเร่งนั้นพุ่งไปในทิศทางใดจากวิถีวิถี อันที่จริง เนื่องจากความแตกต่างของความเร็วที่จุดปิดสองจุดของวิถีนั้นจะมีทิศทางในทิศทางที่วิถีโค้งเสมอ หมายความว่าความเร่งจะมุ่งไปที่ความเว้าของวิถีเสมอ ตัวอย่างเช่น เมื่อลูกบอลกลิ้งไปตามรางโค้ง (รูปที่ 50) ความเร่งในส่วนต่างๆ และถูกกำหนดทิศทางตามที่แสดงโดยลูกศร และไม่ได้ขึ้นอยู่กับว่าลูกบอลกลิ้งจากไปหรือไปในทิศทางตรงกันข้าม

ข้าว. 50. ความเร่งระหว่างการเคลื่อนที่โค้งจะมุ่งตรงไปที่ความเว้าของวิถีเสมอ

ข้าว. 51. หาสูตรความเร่งสู่ศูนย์กลาง

ให้เราพิจารณาการเคลื่อนที่สม่ำเสมอของจุดตามเส้นทางโค้ง เรารู้อยู่แล้วว่านี่คือการเคลื่อนไหวที่มีความเร่ง มาหาความเร่งกัน. เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ก็เพียงพอที่จะพิจารณาความเร่งสำหรับกรณีพิเศษของการเคลื่อนที่สม่ำเสมอในวงกลม ลองใช้ตำแหน่งปิดสองตำแหน่งและจุดที่เคลื่อนที่ โดยคั่นด้วยช่วงเวลาสั้นๆ (รูปที่ 51, a) ความเร็วของจุดที่เคลื่อนที่เข้าและมีขนาดเท่ากัน แต่มีทิศทางต่างกัน มาหาความแตกต่างระหว่างความเร็วเหล่านี้โดยใช้กฎสามเหลี่ยม (รูปที่ 51, b) สามเหลี่ยมและมีลักษณะคล้ายสามเหลี่ยมหน้าจั่วด้วย มุมเท่ากันที่ด้านบน ความยาวของด้านที่แสดงถึงความเร็วที่เพิ่มขึ้นในช่วงเวลาหนึ่งสามารถกำหนดได้เท่ากับ โดยที่ คือโมดูลัสของความเร่งที่ต้องการ ด้านที่คล้ายกันคือคอร์ดของส่วนโค้ง เนื่องจากส่วนโค้งมีขนาดเล็ก ความยาวของคอร์ดจึงสามารถประมาณได้เท่ากับความยาวของส่วนโค้ง เช่น - ต่อไป, - , รัศมีของวิถีอยู่ที่ไหน จากความคล้ายคลึงกันของรูปสามเหลี่ยม อัตราส่วนของด้านที่คล้ายกันในสามเหลี่ยมเหล่านั้นจะเท่ากัน:

จากที่เราพบโมดูลัสของความเร่งที่ต้องการ:

ทิศทางความเร่งตั้งฉากกับคอร์ด สำหรับช่วงเวลาที่สั้นเพียงพอ เราสามารถสรุปได้ว่าแทนเจนต์ของส่วนโค้งนั้นเกิดขึ้นพร้อมกับคอร์ดของมัน ซึ่งหมายความว่าความเร่งสามารถพิจารณาตั้งฉาก (ปกติ) กับเส้นสัมผัสของวิถี ซึ่งก็คือ ตามรัศมีไปยังศูนย์กลางของวงกลม ดังนั้นความเร่งดังกล่าวจึงเรียกว่าความเร่งปกติหรือความเร่งสู่ศูนย์กลาง

ถ้าวิถีโคจรไม่ใช่วงกลม แต่เป็นเส้นโค้งใดๆ ในสูตร (27.1) เราควรใช้รัศมีของวงกลมใกล้กับเส้นโค้งมากที่สุด ณ จุดที่กำหนด ทิศทางของการเร่งความเร็วปกติในกรณีนี้จะตั้งฉากกับเส้นสัมผัสของวิถี ณ จุดที่กำหนดด้วย ถ้าในระหว่างการเคลื่อนที่โค้ง ความเร่งคงที่ทั้งขนาดและทิศทาง สามารถหาได้จากอัตราส่วนของความเร็วที่เพิ่มขึ้นต่อระยะเวลาที่การเพิ่มขึ้นนี้เกิดขึ้น ไม่ว่าช่วงระยะเวลานี้จะเป็นอย่างไรก็ตาม ซึ่งหมายความว่าในกรณีนี้สามารถหาความเร่งได้โดยใช้สูตร

คล้ายกับสูตร (17.1) สำหรับการเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงด้วยความเร่งคงที่ นี่คือความเร็วของร่างกาย ณ ขณะแรก a คือความเร็ว ณ ขณะนั้น