หลายวิธีในการพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัส ภาพรวมของทฤษฎีบทพีทาโกรัสที่ไม่ค่อยมีใครรู้จัก

ศักยภาพในการสร้างสรรค์มักเกิดจากมนุษยศาสตร์ ทิ้งการวิเคราะห์ทางวิทยาศาสตร์ตามธรรมชาติ วิธีการปฏิบัติ และภาษาที่แห้งแล้งของสูตรและตัวเลข คณิตศาสตร์ไม่สามารถจัดอยู่ในกลุ่มวิชามนุษยศาสตร์ได้ แต่ถ้าปราศจากความคิดสร้างสรรค์ใน "ราชินีแห่งวิทยาศาสตร์ทั้งหมด" คุณจะไปได้ไม่ไกล - ผู้คนรู้เรื่องนี้มานานแล้ว ตั้งแต่สมัยพีทาโกรัส เป็นต้น

น่าเสียดายที่หนังสือเรียนในโรงเรียนมักจะไม่อธิบายว่าในวิชาคณิตศาสตร์นั้นมีความสำคัญไม่เพียงแต่จะต้องยัดเยียดทฤษฎีบท สัจพจน์ และสูตรเท่านั้น สิ่งสำคัญคือต้องเข้าใจและรู้สึกถึงหลักการพื้นฐาน และในขณะเดียวกัน พยายามปลดปล่อยจิตใจของคุณจากความคิดโบราณและความจริงพื้นฐาน - เฉพาะในเงื่อนไขดังกล่าวเท่านั้นที่การค้นพบที่ยิ่งใหญ่ทั้งหมดจะเกิดขึ้น

การค้นพบดังกล่าวรวมถึงสิ่งที่เรารู้จักในชื่อทฤษฎีบทพีทาโกรัสในปัจจุบัน ด้วยความช่วยเหลือ เราจะพยายามแสดงให้เห็นว่าคณิตศาสตร์ไม่เพียงแต่ทำได้ แต่ควรสนุกด้วย และการผจญภัยครั้งนี้ไม่เหมาะสำหรับเด็กเนิร์ดที่ใส่แว่นหนาเตอะเท่านั้น แต่ยังเหมาะกับทุกคนที่มีจิตใจแข็งแกร่งและแข็งแกร่งด้วยจิตวิญญาณ

จากประวัติของปัญหา

พูดอย่างเคร่งครัด แม้ว่าทฤษฎีบทจะเรียกว่า "ทฤษฎีบทพีทาโกรัส" แต่พีทาโกรัสเองก็ไม่ได้ค้นพบมัน สามเหลี่ยมมุมฉากและคุณสมบัติพิเศษของมันได้รับการศึกษามานานก่อนหน้านั้นแล้ว มีมุมมองสองขั้วในเรื่องนี้ ตามเวอร์ชันหนึ่ง พีทาโกรัสเป็นคนแรกที่ค้นพบการพิสูจน์ทฤษฎีบทที่สมบูรณ์ ข้อพิสูจน์ไม่ได้เป็นของผู้ประพันธ์พีทาโกรัส

วันนี้คุณไม่สามารถตรวจสอบได้อีกต่อไปว่าใครถูกและใครผิด เป็นที่ทราบกันดีว่าหลักฐานของพีทาโกรัสหากเคยมีอยู่ก็ไม่รอด อย่างไรก็ตาม มีข้อเสนอแนะว่าหลักฐานที่มีชื่อเสียงจาก Euclid's Elements อาจเป็นของ Pythagoras และ Euclid บันทึกไว้เท่านั้น

เป็นที่ทราบกันดีในปัจจุบันว่าปัญหาเกี่ยวกับรูปสามเหลี่ยมมุมฉากพบในแหล่งที่มาของอียิปต์ตั้งแต่สมัยฟาโรห์อเมเนมเฮตที่ 1 บนแผ่นดินเหนียวของชาวบาบิโลนจากรัชสมัยของกษัตริย์ฮัมมูราบี ในตำรา Sulva Sutra ของอินเดียโบราณ และงานของจีนโบราณ Zhou -บีสวนจิน

อย่างที่คุณเห็น ทฤษฎีบทพีทาโกรัสอยู่ในความคิดของนักคณิตศาสตร์มาตั้งแต่สมัยโบราณ หลักฐานต่าง ๆ ประมาณ 367 ชิ้นที่มีอยู่ในปัจจุบันเป็นเครื่องยืนยัน ไม่มีทฤษฎีบทอื่นที่สามารถแข่งขันในเรื่องนี้ได้ ผู้เขียนหลักฐานที่มีชื่อเสียง ได้แก่ เลโอนาร์โด ดาวินชี และเจมส์ การ์ฟิลด์ ประธานาธิบดีคนที่ 20 ของสหรัฐอเมริกา ทั้งหมดนี้พูดถึงความสำคัญอย่างยิ่งยวดของทฤษฎีบทนี้สำหรับคณิตศาสตร์: ทฤษฎีบทเรขาคณิตส่วนใหญ่ได้มาจากทฤษฎีบทนี้หรือเกี่ยวข้องกับทฤษฎีบทนี้ไม่ทางใดก็ทางหนึ่ง

บทพิสูจน์ของทฤษฎีบทพีทาโกรัส

หนังสือเรียนส่วนใหญ่ให้การพิสูจน์เกี่ยวกับพีชคณิต แต่สาระสำคัญของทฤษฎีบทนั้นอยู่ในรูปทรงเรขาคณิต ดังนั้นก่อนอื่นเรามาพิจารณาการพิสูจน์ทฤษฎีบทที่มีชื่อเสียงซึ่งมีพื้นฐานมาจากวิทยาศาสตร์นี้ก่อน

หลักฐาน 1

สำหรับการพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสที่ง่ายที่สุดสำหรับรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก คุณต้องตั้งเงื่อนไขในอุดมคติ: อย่าให้รูปสามเหลี่ยมเป็นมุมฉากเท่านั้น แต่ยังรวมถึงหน้าจั่วด้วย มีเหตุผลที่จะเชื่อได้ว่ามันเป็นรูปสามเหลี่ยมที่นักคณิตศาสตร์โบราณพิจารณา

คำแถลง "สี่เหลี่ยมที่สร้างขึ้นบนด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉากจะเท่ากับผลรวมของสี่เหลี่ยมที่สร้างขึ้นบนขาของมัน"สามารถแสดงด้วยภาพวาดต่อไปนี้:

ดูสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC หน้าจั่ว: บนด้านตรงข้ามมุมฉาก AC คุณสามารถสร้างสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่ประกอบด้วยสามเหลี่ยมสี่รูปเท่ากับ ABC ดั้งเดิม และบนขา AB และ BC สร้างขึ้นบนสี่เหลี่ยมจัตุรัสซึ่งแต่ละอันมีรูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกันสองรูป

ภาพวาดนี้เป็นพื้นฐานของเกร็ดเล็กเกร็ดน้อยและการ์ตูนมากมายที่อุทิศให้กับทฤษฎีบทพีทาโกรัส บางทีที่มีชื่อเสียงที่สุดคือ "กางเกงปีทาโกรัสเท่ากันทุกทิศทาง":

หลักฐาน 2

วิธีนี้เป็นการรวมพีชคณิตและเรขาคณิตเข้าด้วยกัน และอาจถูกมองว่าแตกต่างจากการพิสูจน์ของนักคณิตศาสตร์ Bhaskari ในอินเดียโบราณ

สร้างสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้าน ก ข และ ค(รูปที่ 1) จากนั้นสร้างสี่เหลี่ยมจัตุรัสสองอันที่มีด้านเท่ากับผลรวมของความยาวของขาทั้งสอง - (ก+ข). สร้างสิ่งก่อสร้างในแต่ละช่องสี่เหลี่ยมดังรูปที่ 2 และ 3

ในสี่เหลี่ยมจัตุรัสแรก ให้สร้างสามเหลี่ยมสี่รูปที่เหมือนกันในรูปที่ 1 เป็นผลให้ได้สี่เหลี่ยมสองอัน: หนึ่งมีด้าน a ที่สองมีด้าน ข.

ในตารางที่สอง รูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกันสี่รูปสร้างเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้านเท่ากับด้านตรงข้ามมุมฉาก ค.

ผลรวมของพื้นที่ของสี่เหลี่ยมที่สร้างขึ้นในรูปที่ 2 เท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่เราสร้างด้วยด้าน c ในรูปที่ 3 สามารถตรวจสอบได้ง่ายๆ โดยการคำนวณพื้นที่สี่เหลี่ยมในรูป 2 ตามสูตร. และพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่จารึกไว้ในรูปที่ 3 โดยการลบพื้นที่ของสามเหลี่ยมมุมฉากสี่มุมฉากที่เท่ากันซึ่งจารึกไว้ในสี่เหลี่ยมจัตุรัสออกจากพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาดใหญ่ที่มีด้าน (ก+ข).

วางทั้งหมดนี้ลง เรามี: a 2 + b 2 \u003d (a + b) 2 - 2ab. ขยายวงเล็บ ทำการคำนวณเกี่ยวกับพีชคณิตที่จำเป็นทั้งหมดและรับสิ่งนั้น ก 2 + ข 2 = ก 2 + ข 2. ในขณะเดียวกันพื้นที่ของจารึกในรูปที่ 3 สแควร์สามารถคำนวณได้โดยใช้สูตรดั้งเดิม S=c2. เหล่านั้น. a2+b2=c2คุณได้พิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสแล้ว

หลักฐาน 3

บทพิสูจน์ของอินเดียโบราณที่เหมือนกันมากมีการอธิบายไว้ในศตวรรษที่ 12 ในตำรา "มงกุฎแห่งความรู้" ("Siddhanta Shiromani") และเป็นข้อโต้แย้งหลัก ผู้เขียนใช้การอุทธรณ์ที่ส่งถึงความสามารถทางคณิตศาสตร์และพลังในการสังเกตของนักเรียนและ ผู้ติดตาม: “ดูสิ!”

แต่เราจะวิเคราะห์หลักฐานนี้โดยละเอียด:

ภายในสี่เหลี่ยม ให้สร้างรูปสามเหลี่ยมมุมฉากสี่รูปตามที่ระบุในรูปวาด ด้านข้างของสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาดใหญ่ซึ่งก็คือด้านตรงข้ามมุมฉากจะแสดงด้วย กับ. เรียกขาของสามเหลี่ยม กและ ข. ตามรูปวาด ด้านของสี่เหลี่ยมด้านในคือ (ก-ข).

ใช้สูตรพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัส S=c2เพื่อคำนวณพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านนอก และในขณะเดียวกันก็คำนวณค่าเดียวกันโดยการเพิ่มพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านในและพื้นที่ของสามเหลี่ยมมุมฉากทั้งสี่: (ก-ข) 2 2+4*1\2*ก*ข.

คุณสามารถใช้ทั้งสองตัวเลือกในการคำนวณพื้นที่ของสี่เหลี่ยมเพื่อให้แน่ใจว่าพวกเขาให้ ผลลัพธ์เดียวกัน. และนั่นทำให้คุณมีสิทธิ์เขียนลงไป c 2 =(a-b) 2 +4*1\2*a*b. จากผลลัพธ์ของการแก้ปัญหา คุณจะได้สูตรของทฤษฎีบทพีทาโกรัส c2=a2+b2. ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

หลักฐาน 4

หลักฐานจีนโบราณที่น่าสงสัยนี้เรียกว่า "เก้าอี้เจ้าสาว" - เนื่องจากรูปร่างคล้ายเก้าอี้ซึ่งเป็นผลมาจากการก่อสร้างทั้งหมด:

มันใช้ภาพวาดที่เราได้เห็นแล้วในรูปที่ 3 ในการพิสูจน์ที่สอง และจัตุรัสด้านในที่มีด้าน c ถูกสร้างขึ้นในลักษณะเดียวกับการพิสูจน์ของอินเดียโบราณที่ให้ไว้ข้างต้น

หากคุณตัดสามเหลี่ยมมุมฉากสีเขียวสองอันออกจากภาพวาดในรูปที่ 1 ให้ย้ายมันไปทางด้านตรงข้ามของสี่เหลี่ยมจัตุรัสด้วยด้าน c และแนบด้านตรงข้ามมุมฉากกับด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมสีม่วง คุณจะได้รูปที่เรียกว่า "เก้าอี้ของเจ้าสาว " (รูปที่ 2) เพื่อความชัดเจน คุณสามารถทำเช่นเดียวกันกับกระดาษสี่เหลี่ยมและสามเหลี่ยม คุณจะเห็นว่า "เก้าอี้ของเจ้าสาว" ประกอบขึ้นด้วยสี่เหลี่ยมจัตุรัสสองอัน: อันเล็กที่มีด้านข้าง ขและใหญ่ด้วยด้านข้าง ก.

สิ่งก่อสร้างเหล่านี้ทำให้นักคณิตศาสตร์จีนโบราณและพวกเราที่ติดตามพวกเขาได้ข้อสรุปว่า c2=a2+b2.

หลักฐาน 5

นี่เป็นอีกวิธีหนึ่งในการหาคำตอบของทฤษฎีบทพีทาโกรัสตามรูปทรงเรขาคณิต เรียกว่าวิธีการ์ฟิลด์

สร้างสามเหลี่ยมมุมฉาก เอบีซี. เราจำเป็นต้องพิสูจน์ว่า ก่อนคริสต์ศักราช 2 \u003d AC 2 + AB 2.

ในการทำเช่นนี้ให้ทำต่อที่ขา เครื่องปรับอากาศและสร้างส่วน ซีดีซึ่งเท่ากับขา เอบี. ตั้งฉากด้านล่าง ค.ศส่วนของเส้น เอ็ด. กลุ่ม เอ็ดและ เครื่องปรับอากาศมีความเท่าเทียมกัน เชื่อมต่อจุด อีและ ใน, และ อีและ กับและได้รับภาพวาดดังภาพด้านล่าง:

ในการพิสูจน์หอคอย เราใช้วิธีที่เราได้ทดสอบไปแล้วอีกครั้ง: เราหาพื้นที่ของผลลัพธ์ที่ได้ในสองวิธีและเทียบนิพจน์ซึ่งกันและกัน

ค้นหาพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยม เตียงสามารถทำได้โดยการเพิ่มพื้นที่ของสามเหลี่ยมสามรูปที่ประกอบกัน และหนึ่งในนั้น ศอ.บต, ไม่ใช่แค่รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าเท่านั้น แต่ยังรวมถึงหน้าจั่วด้วย อย่าลืมว่า เอบี=ซีดี, AC = เอ็ดและ คริสตศักราช=ค.ศ- สิ่งนี้จะช่วยให้เราลดความซับซ้อนของการบันทึกและไม่โอเวอร์โหลด ดังนั้น, S ABED \u003d 2 * 1/2 (AB * AC) + 1 / 2BC 2.

ในขณะเดียวกันก็เห็นได้ชัดว่า เตียงเป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมู ดังนั้นเราจึงคำนวณพื้นที่โดยใช้สูตร: SABED=(DE+AB)*1/2AD. สำหรับการคำนวณของเรา การแสดงกลุ่มจะสะดวกและชัดเจนกว่า ค.ศเป็นผลรวมของส่วน เครื่องปรับอากาศและ ซีดี.

ลองเขียนทั้งสองวิธีในการคำนวณพื้นที่ของตัวเลขโดยใส่เครื่องหมายเท่ากับระหว่างพวกเขา: AB*AC+1/2BC 2 =(DE+AB)*1/2(AC+CD). เราใช้ความเท่าเทียมกันของส่วนที่เราทราบอยู่แล้วและอธิบายไว้ข้างต้นเพื่อทำให้ด้านขวามือของสัญกรณ์ง่ายขึ้น: AB*AC+1/2BC 2 =1/2(AB+AC) 2. และตอนนี้เราเปิดวงเล็บและแปลงความเท่าเทียมกัน: AB*AC+1/2BC 2 =1/2AC 2 +2*1/2(AB*AC)+1/2AB 2. เมื่อเสร็จสิ้นการแปลงทั้งหมดแล้ว เราได้สิ่งที่ต้องการ: ก่อนคริสต์ศักราช 2 \u003d AC 2 + AB 2. เราได้พิสูจน์ทฤษฎีบท

แน่นอนว่ารายการหลักฐานนี้ยังไม่สมบูรณ์ ทฤษฎีบทพีทาโกรัสสามารถพิสูจน์ได้โดยใช้เวกเตอร์ จำนวนเชิงซ้อน สมการเชิงอนุพันธ์สามมิติ ฯลฯ และแม้แต่นักฟิสิกส์: ตัวอย่างเช่น ถ้าของเหลวถูกเทลงในปริมาตรสี่เหลี่ยมจัตุรัสและสามเหลี่ยมคล้ายกับที่แสดงในภาพวาด การเทของเหลวทำให้สามารถพิสูจน์ความเท่าเทียมกันของพื้นที่และผลจากทฤษฎีบทได้

คำสองสามคำเกี่ยวกับแฝดสามของพีทาโกรัส

ปัญหานี้มีน้อยหรือไม่ได้ศึกษาในหลักสูตรของโรงเรียน ในขณะเดียวกันก็น่าสนใจและมี ความสำคัญอย่างยิ่งในรูปทรงเรขาคณิต พีทาโกรัสสามเท่าใช้ในการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์มากมาย แนวคิดของพวกเขาอาจเป็นประโยชน์กับคุณในการศึกษาต่อ

แล้วแฝดสามของพีทาโกรัสคืออะไร? นั่นคือสิ่งที่พวกเขาเรียกว่า จำนวนเต็มรวบรวมเป็นสามผลรวมของกำลังสองซึ่งเท่ากับจำนวนที่สามในตาราง

พีทาโกรัสสามเท่าสามารถ:

• ดั้งเดิม (ตัวเลขทั้งสามนั้นค่อนข้างเป็นจำนวนเฉพาะ);
• ไม่ดั้งเดิม (ถ้าแต่ละจำนวนของสามเท่าคูณด้วยจำนวนเดียวกัน คุณจะได้สามเท่าใหม่ที่ไม่ใช่ดั้งเดิม)

ก่อนยุคของเรา ชาวอียิปต์โบราณหลงใหลในจำนวนแฝดสามของพีทาโกรัส ในงานต่างๆ พวกเขาพิจารณารูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้าน 3.4 และ 5 หน่วย ยังไงก็ตาม สามเหลี่ยมใดๆ ที่ด้านข้างเท่ากับตัวเลขจากสามเท่าของพีทาโกรัสจะเป็นสี่เหลี่ยมตามค่าเริ่มต้น

ตัวอย่างของจำนวนสามเท่าของพีทาโกรัส: (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20) ), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (10, 30, 34 ), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (27, 36, 45), (14 , 48, 50), (30, 40, 50) เป็นต้น

การประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทในทางปฏิบัติ

ทฤษฎีบทพีทาโกรัสพบการประยุกต์ใช้ไม่เพียงแต่ในวิชาคณิตศาสตร์เท่านั้น แต่ยังรวมถึงสถาปัตยกรรมและการก่อสร้าง ดาราศาสตร์ และแม้แต่วรรณคดีด้วย

ประการแรกเกี่ยวกับการก่อสร้าง: ทฤษฎีบทพีทาโกรัสใช้กันอย่างแพร่หลายในปัญหาที่มีระดับความซับซ้อนต่างกัน ตัวอย่างเช่น ดูที่หน้าต่างแบบโรมาเนสก์:

แสดงความกว้างของหน้าต่างเป็น ขจากนั้นรัศมีของครึ่งวงกลมใหญ่สามารถแสดงเป็น รและแสดงออกผ่าน b: R=b/2. รัศมีของครึ่งวงกลมที่เล็กกว่าสามารถแสดงในรูปของ b: r=b/4. ในปัญหานี้เราสนใจรัศมีของวงในของหน้าต่าง (ขอเรียกว่า หน้า).

ทฤษฎีบทพีทาโกรัสมีประโยชน์ในการคำนวณ ร. ในการทำเช่นนี้เราใช้รูปสามเหลี่ยมมุมฉากซึ่งระบุด้วยเส้นประในรูป ด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมประกอบด้วยสองรัศมี: ข/4+น. ขาข้างหนึ่งเป็นรัศมี ข/4, อื่น ข/2-ป. โดยใช้ทฤษฎีบทปีทาโกรัส เราเขียนว่า (b/4+p) 2 =(b/4) 2 +(b/2-p) 2. ต่อไปเราจะเปิดวงเล็บและรับ ข 2/16+ bp / 2 + p 2 \u003d b 2/16 + b 2/4-bp + p 2. ลองแปลงนิพจน์นี้เป็น bp/2=b 2 /4-bp. จากนั้นเราแบ่งเงื่อนไขทั้งหมดออกเป็น ขเราให้สิ่งที่คล้ายกันเพื่อรับ 3/2*p=b/4. และในที่สุดเราก็พบว่า พี=b/6- ซึ่งเป็นสิ่งที่เราต้องการ

เมื่อใช้ทฤษฎีบทคุณสามารถคำนวณความยาวของจันทันสำหรับหลังคาจั่วได้ กำหนดความสูงของหอเคลื่อนที่เพื่อให้สัญญาณไปถึงระดับหนึ่ง ท้องที่. และติดตั้งได้อย่างเสถียร ต้นคริสต์มาสในจัตุรัสกลางเมือง อย่างที่คุณเห็น ทฤษฎีบทนี้ไม่เพียงแต่อยู่บนหน้าหนังสือเรียนเท่านั้น แต่มักจะมีประโยชน์ในชีวิตจริงด้วย

เท่าที่เกี่ยวข้องกับวรรณกรรม ทฤษฎีบทพีทาโกรัสเป็นแรงบันดาลใจให้นักเขียนตั้งแต่สมัยโบราณและยังคงเป็นเช่นนั้นมาจนถึงทุกวันนี้ ตัวอย่างเช่น Adelbert von Chamisso นักเขียนชาวเยอรมันในศตวรรษที่ 19 ได้รับแรงบันดาลใจจากเธอให้เขียนโคลง:

แสงสว่างแห่งความจริงจะไม่มอดดับไปในไม่ช้า
แต่เมื่อส่องแสงก็ไม่น่าจะสลายไป
และเช่นเดียวกับเมื่อหลายพันปีก่อน
จะไม่ทำให้เกิดความสงสัยและข้อโต้แย้ง.

ฉลาดที่สุดเมื่อสัมผัสตา
แสงแห่งความจริง ขอบคุณพระเจ้า
และวัวร้อยตัวถูกแทงโกหก -
ของขวัญที่กลับมาของพีทาโกรัสผู้โชคดี

ตั้งแต่นั้นมาวัวก็คำรามอย่างสิ้นหวัง:
กระตุ้นเผ่าวัวตลอดไป
เหตุการณ์ที่กล่าวถึงที่นี่

พวกเขาคิดว่ามันถึงเวลาแล้ว
และอีกครั้งพวกเขาจะเสียสละ
ทฤษฎีบทที่ยอดเยี่ยมบางอย่าง

(แปลโดย Viktor Toporov)

และในศตวรรษที่ 20 Yevgeny Veltistov นักเขียนชาวโซเวียตในหนังสือ "The Adventures of Electronics" ได้อุทิศบททั้งหมดให้กับการพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัส และครึ่งบทของเรื่องราวเกี่ยวกับโลกสองมิติที่สามารถดำรงอยู่ได้หากทฤษฎีบทพีทาโกรัสกลายเป็นกฎพื้นฐานและแม้กระทั่งศาสนาสำหรับโลกใบเดียว มันจะง่ายกว่ามากที่จะอยู่ในนั้น แต่ก็น่าเบื่อกว่ามากเช่นกัน ตัวอย่างเช่น ไม่มีใครเข้าใจความหมายของคำว่า "กลม" และ "ปุย"

และในหนังสือ "The Adventures of Electronics" ผู้เขียนกล่าวผ่านปากของครูคณิตศาสตร์ Taratara ว่า: "สิ่งสำคัญในคณิตศาสตร์คือการเคลื่อนไหวของความคิด ความคิดใหม่" ความคิดริเริ่มสร้างสรรค์นี้ทำให้เกิดทฤษฎีบทพีทาโกรัส - ไม่ใช่เพื่ออะไรที่มีการพิสูจน์ที่หลากหลายมากมาย ช่วยให้ก้าวไปไกลกว่าปกติและมองสิ่งที่คุ้นเคยในรูปแบบใหม่

บทสรุป

บทความนี้ถูกสร้างขึ้นเพื่อให้คุณมองไปไกลกว่านั้น หลักสูตรของโรงเรียนในวิชาคณิตศาสตร์และเรียนรู้ไม่เพียง แต่บทพิสูจน์ของทฤษฎีบทพีทาโกรัสที่ให้ไว้ในตำรา "เรขาคณิต 7-9" (L.S. Atanasyan, V.N. Rudenko) และ "เรขาคณิต 7-11" (A.V. Pogorelov) แต่และวิธีการพิสูจน์อื่น ๆ ที่อยากรู้อยากเห็น ทฤษฎีบทที่มีชื่อเสียง และดูตัวอย่างการนำทฤษฎีบทพีทาโกรัสไปประยุกต์ใช้ในชีวิตประจำวันได้อีกด้วย

ประการแรก ข้อมูลนี้จะช่วยให้คุณสามารถเรียกร้องคะแนนที่สูงขึ้นในชั้นเรียนคณิตศาสตร์ - ข้อมูลในหัวข้อนี้จากแหล่งข้อมูลเพิ่มเติมมักจะได้รับการชื่นชมอย่างสูง

ประการที่สอง เราต้องการช่วยให้คุณรู้สึกว่าคณิตศาสตร์น่าสนใจเพียงใด ตรวจสอบให้แน่ใจว่า ตัวอย่างที่เป็นรูปธรรมมีพื้นที่สำหรับความคิดสร้างสรรค์เสมอ เราหวังว่าทฤษฎีบทพีทาโกรัสและบทความนี้จะเป็นแรงบันดาลใจให้คุณทำการค้นคว้าและค้นพบที่น่าตื่นเต้นในวิชาคณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์อื่นๆ

บอกเราในความคิดเห็นหากคุณพบหลักฐานที่นำเสนอในบทความที่น่าสนใจ คุณพบว่าข้อมูลนี้มีประโยชน์ในการศึกษาของคุณหรือไม่? แจ้งให้เราทราบว่าคุณคิดอย่างไรเกี่ยวกับทฤษฎีบทพีทาโกรัสและบทความนี้ เรายินดีที่จะพูดคุยทั้งหมดนี้กับคุณ

ไซต์ที่มีการคัดลอกเนื้อหาทั้งหมดหรือบางส่วนจำเป็นต้องมีลิงก์ไปยังแหล่งที่มา

เมื่อคุณเริ่มเรียนรู้เกี่ยวกับรากที่สองและวิธีแก้สมการอตรรกยะ (การเท่ากันที่มีนิรนามใต้เครื่องหมายรูท) คุณอาจได้รับแนวคิดแรกเกี่ยวกับสิ่งเหล่านี้ ใช้งานได้จริง. ความสามารถในการสกัด รากที่สองของจำนวนยังจำเป็นสำหรับการแก้ปัญหาเกี่ยวกับการประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส ทฤษฎีบทนี้เกี่ยวข้องกับความยาวของด้านของสามเหลี่ยมมุมฉากใดๆ

ให้ความยาวของขาของสามเหลี่ยมมุมฉาก (ทั้งสองด้านที่มาบรรจบกันเป็นมุมฉาก) เขียนแทนด้วยตัวอักษร และ , และความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก (ด้านที่ยาวที่สุดของสามเหลี่ยมตรงข้าม มุมฉาก) จะแสดงด้วยตัวอักษร จากนั้นความยาวที่สอดคล้องกันจะสัมพันธ์กันโดยความสัมพันธ์ต่อไปนี้:

สมการนี้ช่วยให้คุณหาความยาวของด้านของสามเหลี่ยมมุมฉากในกรณีที่ทราบความยาวของอีกสองด้าน นอกจากนี้ยังช่วยให้คุณกำหนดได้ว่าสามเหลี่ยมที่พิจารณานั้นเป็นมุมฉากหรือไม่ โดยมีเงื่อนไขว่าจะต้องทราบความยาวของด้านทั้งสามด้านล่วงหน้า

การแก้ปัญหาโดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

ในการรวมเนื้อหา เราจะแก้ปัญหาต่อไปนี้สำหรับการประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

ดังนั้น:

1. ความยาวของขาข้างหนึ่งคือ 48 ด้านตรงข้ามมุมฉากคือ 80
2. ความยาวของขาคือ 84 ด้านตรงข้ามมุมฉากคือ 91

ไปที่วิธีแก้ปัญหา:

ก) การแทนข้อมูลลงในสมการด้านบนจะได้ผลลัพธ์ดังนี้

48 2 + ข 2 = 80 2

2304 + ข 2 = 6400

ข 2 = 4096

ข= 64 หรือ ข = -64

เนื่องจากความยาวของด้านของสามเหลี่ยมไม่สามารถแสดงเป็นจำนวนลบได้ ตัวเลือกที่สองจึงถูกยกเลิกโดยอัตโนมัติ

คำตอบสำหรับภาพแรก: ข = 64.

b) ความยาวของขาของรูปสามเหลี่ยมที่สองพบในลักษณะเดียวกัน:

84 2 + ข 2 = 91 2

7056 + ข 2 = 8281

ข 2 = 1225

ข= 35 หรือ ข = -35

เช่นเดียวกับในกรณีก่อนหน้านี้ โซลูชันเชิงลบจะถูกยกเลิก

คำตอบสำหรับภาพที่สอง: ข = 35

เราได้รับ:

1. ความยาวของด้านที่เล็กกว่าของสามเหลี่ยมคือ 45 และ 55 ตามลำดับ และด้านที่ใหญ่กว่าคือ 75
2. ความยาวของด้านที่เล็กกว่าของสามเหลี่ยมคือ 28 และ 45 ตามลำดับ และด้านที่ใหญ่กว่าคือ 53

เราแก้ปัญหา:

ก) จำเป็นต้องตรวจสอบว่าผลรวมของกำลังสองของความยาวของด้านที่เล็กกว่านั้นเท่ากันหรือไม่ สามเหลี่ยมที่กำหนดกำลังสองของความยาวที่มากกว่า:

45 2 + 55 2 = 2025 + 3025 = 5050

ดังนั้น สามเหลี่ยมแรกจึงไม่ใช่สามเหลี่ยมมุมฉาก

b) มีการดำเนินการเดียวกัน:

28 2 + 45 2 = 784 + 2025 = 2809

ดังนั้น สามเหลี่ยมที่สองจึงเป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก

ขั้นแรก ให้หาความยาวของส่วนที่ใหญ่ที่สุดซึ่งเกิดจากจุดที่มีพิกัด (-2, -3) และ (5, -2) ในการทำเช่นนี้ เราใช้สูตรที่รู้จักกันดีในการหาระยะห่างระหว่างจุดในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม:

ในทำนองเดียวกัน เราพบความยาวของส่วนที่อยู่ระหว่างจุดที่มีพิกัด (-2, -3) และ (2, 1):

สุดท้าย เรากำหนดความยาวของส่วนระหว่างจุดด้วยพิกัด (2, 1) และ (5, -2):

เนื่องจากมีความเท่าเทียมกัน:

แล้วสามเหลี่ยมที่ตรงกันคือสามเหลี่ยมมุมฉาก

ดังนั้นเราจึงสามารถกำหนดคำตอบของปัญหาได้ เนื่องจากผลรวมของกำลังสองของด้านที่มีความยาวสั้นที่สุดเท่ากับกำลังสองของด้านที่ยาวที่สุด จุดต่างๆ จึงเป็นจุดยอดของสามเหลี่ยมมุมฉาก

ฐาน (อยู่ในแนวนอนอย่างเคร่งครัด) วงกบ (อยู่ในแนวตั้งอย่างเคร่งครัด) และสายเคเบิล (ยืดในแนวทแยงมุม) เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากตามลำดับ ทฤษฎีบทพีทาโกรัสสามารถใช้ในการหาความยาวของสายเคเบิลได้:

ดังนั้นความยาวของสายเคเบิลจะอยู่ที่ประมาณ 3.6 เมตร

กำหนด: ระยะทางจากจุด R ไปยังจุด P (ขาของสามเหลี่ยม) คือ 24 จากจุด R ไปยังจุด Q (ด้านตรงข้ามมุมฉาก) - 26

ดังนั้นเราจึงช่วย Vitya แก้ปัญหา เนื่องจากด้านของสามเหลี่ยมที่แสดงในรูปควรจะเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก คุณจึงสามารถใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสเพื่อหาความยาวของด้านที่สามได้:

ดังนั้นความกว้างของบ่อคือ 10 เมตร

เซอร์เกย์ วาเลอรีวิช

ประวัติของทฤษฎีบทพีทาโกรัสย้อนกลับไปหลายพันปี คำสั่งที่รู้จักกันมานานก่อนกำเนิดของนักคณิตศาสตร์ชาวกรีก อย่างไรก็ตาม ทฤษฎีบทพีทาโกรัส ประวัติความเป็นมาของการสร้างและข้อพิสูจน์ส่วนใหญ่เกี่ยวข้องกับนักวิทยาศาสตร์ผู้นี้ ตามแหล่งที่มาบางแหล่ง เหตุผลนี้เป็นข้อพิสูจน์แรกของทฤษฎีบทที่พีทาโกรัสมอบให้ อย่างไรก็ตาม นักวิจัยบางคนปฏิเสธข้อเท็จจริงนี้

ดนตรีและตรรกะ

ก่อนที่จะบอกว่าประวัติของทฤษฎีบทพีทาโกรัสพัฒนาขึ้นอย่างไร ให้เราพิจารณาชีวประวัติของนักคณิตศาสตร์โดยสังเขปก่อน เขาอาศัยอยู่ในศตวรรษที่หกก่อนคริสต์ศักราช วันเกิดของ Pythagoras ถือเป็น 570 ปีก่อนคริสตกาล e. สถานที่คือเกาะ Samos ไม่ค่อยมีใครรู้แน่ชัดเกี่ยวกับชีวิตของนักวิทยาศาสตร์ ข้อมูลชีวประวัติในแหล่งข้อมูลกรีกโบราณเชื่อมโยงกับเรื่องแต่งที่เห็นได้ชัด ในหน้าของบทความ เขาปรากฏเป็นปราชญ์ผู้ยิ่งใหญ่ มีความสามารถในการใช้คำพูดที่ยอดเยี่ยมและสามารถโน้มน้าวใจได้ ด้วยเหตุนี้นักคณิตศาสตร์ชาวกรีกจึงมีชื่อเล่นว่า Pythagoras นั่นคือ "คำพูดโน้มน้าวใจ" ตามเวอร์ชั่นอื่น Pythia ทำนายการเกิดของปราชญ์ในอนาคต พ่อตั้งชื่อเด็กว่า Pythagoras เพื่อเป็นเกียรติแก่เธอ

ปราชญ์ได้เรียนรู้จากผู้มีจิตใจดีในสมัยนั้น ในบรรดาอาจารย์ของพีทาโกรัสรุ่นเยาว์ ได้แก่ เจอร์โมดามันต์และฟีเรกิเดสแห่งซีรอส คนแรกปลูกฝังให้เขารักดนตรีคนที่สองสอนปรัชญาให้เขา วิทยาศาสตร์ทั้งสองนี้จะยังคงอยู่ในศูนย์กลางความสนใจของนักวิทยาศาสตร์ตลอดชีวิตของเขา

30 ปีของการฝึกอบรม

ตามรุ่นหนึ่ง Pythagoras เป็นชายหนุ่มที่อยากรู้อยากเห็นออกจากบ้านเกิดของเขา เขาไปแสวงหาความรู้ในอียิปต์ซึ่งเขาอาศัยอยู่ตามแหล่งต่าง ๆ ตั้งแต่ 11 ถึง 22 ปีจากนั้นถูกจับและส่งไปยังบาบิโลน พีทาโกรัสได้ประโยชน์จากตำแหน่ง เป็นเวลา 12 ปีที่เขาศึกษาคณิตศาสตร์ เรขาคณิต และเวทมนตร์ใน รัฐโบราณ. Pythagoras กลับมาที่ Samos เมื่ออายุเพียง 56 ปี ในเวลานั้นเผด็จการ Polycrates ปกครอง พีทาโกรัสไม่สามารถยอมรับเช่นนั้นได้ ระบบการเมืองและในไม่ช้าก็ไปทางตอนใต้ของอิตาลีซึ่งเป็นที่ตั้งของอาณานิคมกรีกแห่งโครตอน

ทุกวันนี้ เป็นไปไม่ได้ที่จะบอกว่าพีทาโกรัสอยู่ในอียิปต์และบาบิโลนหรือไม่ เขาอาจจะออกจาก Samos ในภายหลังและตรงไปที่ Croton

พีทาโกรัส

ประวัติของทฤษฎีบทพีทาโกรัสเชื่อมโยงกับการพัฒนาโรงเรียนที่สร้างขึ้นโดยนักปรัชญาชาวกรีก กลุ่มภราดรภาพทางศาสนาและจริยธรรมนี้สั่งสอนการปฏิบัติตามวิถีชีวิตพิเศษ ศึกษาเลขคณิต เรขาคณิต และดาราศาสตร์ และศึกษาด้านปรัชญาและลึกลับของตัวเลข

การค้นพบทั้งหมดของนักเรียนของนักคณิตศาสตร์ชาวกรีกนั้นมีสาเหตุมาจากเขา อย่างไรก็ตาม ประวัติความเป็นมาของทฤษฎีบทพีทาโกรัสมีความเกี่ยวข้องโดยนักเขียนชีวประวัติโบราณกับตัวนักปรัชญาเท่านั้น สันนิษฐานว่าเขาส่งต่อความรู้ที่ได้รับในบาบิโลนและอียิปต์ไปยังชาวกรีก นอกจากนี้ยังมีเวอร์ชันที่เขาค้นพบทฤษฎีบทเกี่ยวกับอัตราส่วนของขาและด้านตรงข้ามมุมฉากโดยไม่ทราบเกี่ยวกับความสำเร็จของชนชาติอื่น

ทฤษฎีบทพีทาโกรัส: ประวัติการค้นพบ

แหล่งข้อมูลภาษากรีกโบราณบางแหล่งกล่าวถึงความสุขของพีทาโกรัสเมื่อเขาสามารถพิสูจน์ทฤษฎีบทได้ เพื่อเป็นเกียรติแก่เหตุการณ์ดังกล่าว เขาได้สั่งการบูชายัญต่อเทพเจ้าในรูปแบบของวัวหลายร้อยตัวและจัดงานเลี้ยง อย่างไรก็ตาม นักวิชาการบางคนชี้ให้เห็นถึงความเป็นไปไม่ได้ของการกระทำดังกล่าวเนื่องจากลักษณะเฉพาะของมุมมองของพีทาโกรัส

เป็นที่เชื่อกันว่าในบทความ "จุดเริ่มต้น" ที่สร้างขึ้นโดย Euclid ผู้เขียนได้แสดงหลักฐานของทฤษฎีบทซึ่งผู้เขียนเป็นนักคณิตศาสตร์ชาวกรีกผู้ยิ่งใหญ่ อย่างไรก็ตาม ไม่ใช่ทุกคนที่สนับสนุนมุมมองนี้ ดังนั้นแม้แต่ Proclus นักปรัชญา Neoplatonist โบราณก็ชี้ให้เห็นว่าผู้เขียนข้อพิสูจน์ที่ให้ไว้ใน Elements คือ Euclid เอง

อย่างไรก็ตาม พีทาโกรัสไม่ใช่คนแรกที่คิดทฤษฎีบทนี้

อียิปต์โบราณและบาบิโลน

ทฤษฎีบทพีทาโกรัส ประวัติของทฤษฎีบทพีทาโกรัสถูกกล่าวถึงในบทความ ตามที่นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน คันทอร์ ทราบเมื่อราว 2,300 ปีก่อนคริสตกาล อี ในอียิปต์. ผู้อาศัยในหุบเขาไนล์โบราณในรัชสมัยของฟาโรห์อเมเนมฮัท ฉันรู้สมการ 3 2 + 4 ² = 5 ² สันนิษฐานว่าด้วยความช่วยเหลือของรูปสามเหลี่ยมที่มีด้าน 3, 4 และ 5 "สตริงเกอร์" ของอียิปต์เรียงเป็นมุมฉาก

พวกเขายังรู้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสในบาบิโลนด้วย บนแผ่นดินเหนียวย้อนหลังไปถึง 2,000 ปีก่อนคริสตกาล และที่เกี่ยวข้องกับช่วงเวลาของรัชกาลพบการคำนวณโดยประมาณของด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉาก

อินเดียและจีน

ประวัติของทฤษฎีบทพีทาโกรัสเชื่อมโยงกับอารยธรรมโบราณของอินเดียและจีนด้วย ตำรา "Zhou-bi suan jin" มีข้อบ่งชี้ว่า (ด้านข้างสัมพันธ์กันเป็น 3:4:5) เป็นที่รู้จักในประเทศจีนตั้งแต่ช่วงต้นศตวรรษที่ 12 พ.ศ จ. และในศตวรรษที่หก พ.ศ อี นักคณิตศาสตร์ของรัฐนี้รู้ แบบฟอร์มทั่วไปทฤษฎีบท

การสร้างมุมฉากโดยใช้สามเหลี่ยมอียิปต์ก็มีการระบุไว้ในตำรา Sulva Sutra ของอินเดียซึ่งมีอายุตั้งแต่ศตวรรษที่ 7-5 พ.ศ อี

ดังนั้นประวัติของทฤษฎีบทพีทาโกรัสในช่วงเวลาที่เกิดของนักคณิตศาสตร์และนักปรัชญาชาวกรีกจึงมีอายุหลายร้อยปีแล้ว

การพิสูจน์

ทฤษฎีบทได้กลายเป็นหนึ่งในพื้นฐานในเรขาคณิต ประวัติการพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสอาจเริ่มด้วยการพิจารณารูปสี่เหลี่ยมด้านเท่า (equilateral square) สี่เหลี่ยมถูกสร้างขึ้นบนด้านตรงข้ามมุมฉากและด้านขา อันที่ "โต" บนด้านตรงข้ามมุมฉากจะประกอบด้วยสามเหลี่ยมสี่อันเท่ากับอันแรก สี่เหลี่ยมบนขาในกรณีนี้ประกอบด้วยสามเหลี่ยมสองรูป เรียบง่าย ภาพกราฟิกแสดงให้เห็นอย่างชัดเจนถึงความถูกต้องของข้อความที่กำหนดในรูปแบบของทฤษฎีบทที่มีชื่อเสียง

หลักฐานง่ายๆ อีกประการหนึ่งรวมเอาเรขาคณิตเข้ากับพีชคณิต รูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่เหมือนกันสี่รูปที่มีด้าน a, b, c ถูกวาดเพื่อให้เป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสสองรูป: รูปด้านนอกมีด้าน (a + b) และรูปด้านในมีด้าน c ในกรณีนี้ พื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสเล็กจะเท่ากับ c 2 พื้นที่ขนาดใหญ่คำนวณจากผลรวมของพื้นที่ สี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาดเล็กและสามเหลี่ยมทั้งหมด (จำได้ว่าพื้นที่ของสามเหลี่ยมมุมฉากคำนวณโดยสูตร (a * b) / 2) นั่นคือ c 2 + 4 * ((a * c) / 2) ซึ่งก็คือ เท่ากับ c 2 + 2av พื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาดใหญ่สามารถคำนวณได้อีกทางหนึ่ง - เป็นผลคูณของสองด้าน นั่นคือ (a + b) 2 ซึ่งเท่ากับ a 2 + 2ab + b 2 ปรากฎว่า:

a 2 + 2av + ใน 2 \u003d c 2 + 2av,

ก 2 + ใน 2 = ค 2 .

มีหลายวิธีในการพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้ ทั้งยุคลิดและนักวิทยาศาสตร์ชาวอินเดียและเลโอนาร์โด ดา วินชีต่างก็ทำงานเกี่ยวกับพวกเขา บ่อยครั้งที่นักปราชญ์โบราณอ้างถึงภาพวาดตัวอย่างซึ่งอยู่ด้านบนและไม่ได้อธิบายใด ๆ นอกจากข้อความว่า "ดูสิ!" ความเรียบง่ายของการพิสูจน์ทางเรขาคณิตขึ้นอยู่กับความรู้บางอย่างไม่ต้องการความคิดเห็น

ประวัติของทฤษฎีบทพีทาโกรัสที่สรุปไว้ในบทความได้หักล้างตำนานเกี่ยวกับต้นกำเนิดของมัน อย่างไรก็ตาม มันยากที่จะจินตนาการด้วยซ้ำว่าชื่อของนักคณิตศาสตร์และนักปรัชญาชาวกรีกผู้ยิ่งใหญ่จะเลิกเกี่ยวข้องกับเธอ

วิธีต่างๆ ในการพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

นักเรียนชั้น 9 "A"

MOU โรงเรียนมัธยม№8

ที่ปรึกษาทางวิทยาศาสตร์:

ครูคณิตศาสตร์

MOU โรงเรียนมัธยม№8

ศิลปะ. ใหม่คริสต์มาส

ดินแดนครัสโนดาร์

ศิลปะ. ใหม่คริสต์มาส

คำอธิบายประกอบ

ทฤษฎีบทพีทาโกรัสได้รับการพิจารณาอย่างถูกต้องว่าสำคัญที่สุดในวิชาเรขาคณิตและสมควรได้รับความสนใจอย่างใกล้ชิด มันเป็นพื้นฐานสำหรับการแก้ปัญหาทางเรขาคณิตมากมายซึ่งเป็นพื้นฐานสำหรับการศึกษาหลักสูตรเรขาคณิตเชิงทฤษฎีและปฏิบัติในอนาคต ทฤษฎีบทนี้ล้อมรอบด้วยเนื้อหาทางประวัติศาสตร์ที่ร่ำรวยที่สุดที่เกี่ยวข้องกับรูปลักษณ์และวิธีการพิสูจน์ การศึกษาประวัติความเป็นมาของการพัฒนารูปทรงเรขาคณิตทำให้เกิดความรักในเรื่องนี้ ก่อให้เกิดการพัฒนาความสนใจทางปัญญา วัฒนธรรมทั่วไปและความคิดสร้างสรรค์ และยังพัฒนาทักษะการวิจัยอีกด้วย

ผลจากกิจกรรมการค้นหาทำให้บรรลุเป้าหมายของงาน ซึ่งก็คือการเติมเต็มและทำให้ความรู้ทั่วไปเกี่ยวกับการพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัส จัดการเพื่อค้นหาและตรวจสอบ วิธีต่างๆหลักฐานและความรู้ที่ลึกซึ้งในหัวข้อนี้ นอกเหนือไปจากหน้าหนังสือเรียนในโรงเรียน

เนื้อหาที่รวบรวมได้โน้มน้าวใจมากยิ่งขึ้นว่าทฤษฎีบทพีทาโกรัสเป็นทฤษฎีบทเรขาคณิตที่ยิ่งใหญ่และมีความสำคัญทางทฤษฎีและทางปฏิบัติอย่างมาก

การแนะนำ. การอ้างอิงทางประวัติศาสตร์ 5 ตัวหลัก 8

3. บทสรุป 19

4.วรรณคดีที่ใช้20
1. บทนำ. การอ้างอิงทางประวัติศาสตร์

แก่นแท้ของความจริงคือสิ่งนั้นเป็นของเราตลอดไป

เมื่ออย่างน้อยหนึ่งครั้งในความเข้าใจของเธอเราเห็นแสงสว่าง

และทฤษฎีบทพีทาโกรัสหลังจากนั้นหลายปี

สำหรับเราแล้วสำหรับเขามันเถียงไม่ได้ไร้ที่ติ

เพื่อเป็นการเฉลิมฉลอง เหล่าทวยเทพได้รับคำปฏิญาณจากพีทาโกรัส:

เพื่อสัมผัสปัญญาอันไร้ขอบเขต

เขาฆ่าวัวตัวผู้หนึ่งร้อยตัวเพื่อขอบคุณวัวผู้นิรันดร์

เขาสวดมนต์และสรรเสริญเหยื่อหลังจากนั้น

ตั้งแต่นั้นเป็นต้นมา โค เมื่อได้กลิ่นก็ผลักไส

สิ่งที่นำผู้คนไปสู่ความจริงใหม่อีกครั้ง

พวกเขาคำรามอย่างเกรี้ยวกราดจนไม่มีปัสสาวะจะฟัง

ปีทาโกรัสดังกล่าวปลูกฝังความหวาดกลัวให้กับพวกเขาตลอดไป

บูลส์ไม่มีพลังที่จะต่อต้านความจริงใหม่

สิ่งที่ยังคงอยู่? - แค่หลับตาคำรามสั่นสะท้าน

ไม่มีใครรู้ว่าพีทาโกรัสพิสูจน์ทฤษฎีบทของเขาได้อย่างไร สิ่งที่แน่นอนก็คือเขาค้นพบมันภายใต้อิทธิพลของอียิปต์วิทยา กรณีพิเศษของทฤษฎีบทพีทาโกรัส - คุณสมบัติของรูปสามเหลี่ยมที่มีด้าน 3, 4 และ 5 - ผู้สร้างปิรามิดรู้จักกันมานานก่อนการกำเนิดของพีทาโกรัสในขณะที่เขาศึกษากับนักบวชชาวอียิปต์มานานกว่า 20 ปี มีตำนานกล่าวว่าหลังจากพิสูจน์ทฤษฎีบทอันโด่งดังของเขาแล้ว พีธากอรัสได้ถวายวัวแด่เทพเจ้า และตามแหล่งอื่น ๆ แม้กระทั่งวัว 100 ตัว อย่างไรก็ตาม สิ่งนี้ขัดแย้งกับข้อมูลเกี่ยวกับมุมมองทางศีลธรรมและศาสนาของพีทาโกรัส ในแหล่งวรรณกรรม เราสามารถอ่านได้ว่าเขา "ห้ามแม้กระทั่งการฆ่าสัตว์ และยิ่งกว่านั้นในการให้อาหารพวกมัน เพราะสัตว์ก็มีจิตวิญญาณเช่นเดียวกับเรา" ปีทาโกรัสกินแต่น้ำผึ้ง ขนมปัง ผัก และกินปลาบ้างเป็นครั้งคราว ในการเชื่อมโยงกับทั้งหมดนี้ รายการต่อไปนี้สามารถพิจารณาได้ว่ามีเหตุผลมากกว่า: "... และแม้ว่าเขาจะค้นพบว่าด้านตรงข้ามมุมฉากตรงกับขาในสามเหลี่ยมมุมฉาก เขาก็เสียสละวัวที่ทำจากแป้งสาลี"

ความนิยมของทฤษฎีบทพีทาโกรัสนั้นยอดเยี่ยมมากจนสามารถพิสูจน์ได้แม้กระทั่งในนิยาย ตัวอย่างเช่น ในเรื่องราวของนักเขียนชาวอังกฤษชื่อ Huxley "Young Archimedes" บทพิสูจน์เดียวกัน แต่สำหรับกรณีเฉพาะของสามเหลี่ยมมุมฉากหน้าจั่ว มีให้ไว้ในบทสนทนาของเพลโต Meno

บ้านเทพนิยาย.

“ไกล แสนไกล ที่แม้แต่เครื่องบินยังบินไม่ได้ คือดินแดนแห่งเรขาคณิต ในประเทศที่ผิดปกตินี้มีเมืองที่น่าทึ่งอยู่เมืองหนึ่ง - เมือง Teorem วันหนึ่งฉันมาถึงเมืองนี้ สาวสวยชื่อว่าด้านตรงข้ามมุมฉาก. เธอพยายามหาห้องแต่ไม่ว่าจะสมัครที่ไหนก็ถูกปฏิเสธทุกที่ ในที่สุดเธอก็เข้าใกล้บ้านที่ง่อนแง่นและเคาะ เธอถูกเปิดโดยชายที่เรียกตัวเองว่า Right Angle และเขาได้เชิญ Hypotenuse มาอาศัยอยู่กับเขา ด้านตรงข้ามมุมฉากยังคงอยู่ในบ้านที่ไรท์แองเกิลและลูกชายตัวน้อยสองคนชื่อเคทอาศัยอยู่ ตั้งแต่นั้นมา ชีวิตใน Right Angle House ก็เปลี่ยนไปในรูปแบบใหม่ ด้านตรงข้ามมุมฉากปลูกดอกไม้ไว้ที่หน้าต่าง และโปรยดอกกุหลาบแดงที่สวนหน้าบ้าน บ้านอยู่ในรูปแบบของสามเหลี่ยมมุมฉาก ขาทั้งสองข้างชอบ Hypotenuse มากและขอให้เธออยู่ในบ้านตลอดไป ในตอนเย็น ครอบครัวที่เป็นมิตรนี้รวมตัวกันที่โต๊ะของครอบครัว บางครั้ง Right Angle เล่นซ่อนหากับลูกๆ บ่อยครั้งที่เขาต้องมองและด้านตรงข้ามมุมฉากซ่อนอย่างชำนาญจนยากที่จะหาได้ ครั้งหนึ่งระหว่างเกม Right Angle สังเกตเห็นคุณสมบัติที่น่าสนใจ: ถ้าเขาสามารถหาขาได้ การค้นหาด้านตรงข้ามมุมฉากก็ไม่ใช่เรื่องยาก ต้องบอกว่า Right Angle ใช้รูปแบบนี้ประสบความสำเร็จมาก ทฤษฎีบทพีทาโกรัสขึ้นอยู่กับคุณสมบัติของสามเหลี่ยมมุมฉากนี้

(จากหนังสือของ A. Okunev "ขอบคุณสำหรับบทเรียนนะเด็กๆ")

การกำหนดทฤษฎีบทที่ขี้เล่น:

ถ้าเราได้รับสามเหลี่ยม

และยิ่งกว่านั้นด้วยมุมฉาก

นั่นคือกำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉาก

เราสามารถหาได้ง่ายเสมอ:

เราสร้างขาเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส

เราพบผลรวมขององศา -

และด้วยวิธีง่ายๆ

เราจะมาถึงผลลัพธ์

เรียนพีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์และเรขาคณิตในชั้นประถมศึกษาปีที่ 10 ฉันเชื่อมั่นว่านอกเหนือจากวิธีการพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสที่พิจารณาในชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 แล้ว ยังมีวิธีอื่นในการพิสูจน์ ฉันนำเสนอเพื่อพิจารณาของคุณ
2. ส่วนหลัก

ทฤษฎีบท. สี่เหลี่ยมจัตุรัสในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

ด้านตรงข้ามมุมฉาก เท่ากับผลรวมสี่เหลี่ยมขา

1 ทาง

การใช้คุณสมบัติของพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยม เราสร้างความสัมพันธ์ที่น่าทึ่งระหว่างด้านตรงข้ามมุมฉากกับขาของสามเหลี่ยมมุมฉาก

การพิสูจน์.

ก, ในและด้านตรงข้ามมุมฉาก กับ(รูปที่ 1, ก).

มาพิสูจน์กัน c²=a²+b².

การพิสูจน์.

เราทำสามเหลี่ยมให้เป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้าน เอ + บีดังแสดงในรูป 1b พื้นที่ S ของสี่เหลี่ยมนี้คือ (a + b)² ในทางกลับกัน สี่เหลี่ยมจัตุรัสนี้ประกอบด้วยสามเหลี่ยมมุมฉากเท่ากันสี่รูป ซึ่งแต่ละรูปมีพื้นที่ ½ เฉลี่ย, และสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้าน กับ,ดังนั้น S = 4 * ½ av + s² = 2av + s².

ดังนั้น,

(เอ + บี)² = 2 av + s²,

c²=a²+b².

ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว
2 ทาง

หลังจากศึกษาหัวข้อ “Similar Triangles” ฉันพบว่าคุณสามารถใช้ความคล้ายของสามเหลี่ยมกับการพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสได้ กล่าวคือ ฉันใช้ข้อความว่าขาของสามเหลี่ยมมุมฉากเป็นสัดส่วนเฉลี่ยของด้านตรงข้ามมุมฉากและส่วนของด้านตรงข้ามมุมฉากที่อยู่ระหว่างขากับความสูงที่ลากจากจุดยอดของมุมฉาก

พิจารณาสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีมุมฉาก C, CD คือความสูง (รูปที่ 2) มาพิสูจน์กัน เครื่องปรับอากาศ² + SW² = AB² .

การพิสูจน์.

จากข้อความเกี่ยวกับขาของสามเหลี่ยมมุมฉาก:

เอซี = , ซีบี = .

เรายกกำลังสองและเพิ่มความเท่าเทียมกันที่ได้:

AC² = AB * AD, CB² = AB * DB;

AC² + CB² = AB * (AD + DB) โดยที่ AD + DB = AB แล้ว

AC² + CB² = AB * AB

AC² + CB² = AB²

หลักฐานเสร็จสิ้น
3 ทาง

นิยามของโคไซน์ของมุมแหลมของสามเหลี่ยมมุมฉากสามารถใช้กับการพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสได้ พิจารณารูป 3.

การพิสูจน์:

ให้ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่กำหนดด้วยมุม C วาด CD ความสูงจากจุดยอดของมุมฉาก C

ตามนิยามของโคไซน์ของมุม:

เพราะ A \u003d AD / AC \u003d AC / AB ดังนั้น AB * AD = AC²

เช่นเดียวกัน,

cos B \u003d BD / BC \u003d BC / AB

ดังนั้น AB * BD \u003d BC²

การเพิ่มความเท่าเทียมกันที่เกิดขึ้นทีละคำและสังเกตว่า AD + DВ = AB เราได้รับ:

เครื่องปรับอากาศ² + ดวงอาทิตย์² \u003d AB (โฆษณา + ฐานข้อมูล) \u003d เอบี²

หลักฐานเสร็จสิ้น
4 ทาง

จากการศึกษาหัวข้อ "อัตราส่วนระหว่างด้านและมุมของสามเหลี่ยมมุมฉาก" ฉันคิดว่าทฤษฎีบทพีทาโกรัสสามารถพิสูจน์ได้อีกทางหนึ่ง

พิจารณาสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีขา ก, ในและด้านตรงข้ามมุมฉาก กับ. (รูปที่ 4)

มาพิสูจน์กัน c²=a²+b²

การพิสูจน์.

บาป ข=เครื่องปรับอากาศ ; เพราะ ข=เช่น , จากนั้นยกกำลังสองของความเท่าเทียมกันที่ได้ เราได้รับ:

บาป² ข=นิ้ว²/s²; คอส² ใน\u003d a² / วินาที²

เมื่อรวมกันแล้ว เราจะได้รับ:

บาป² ใน+ คอส² ข= v² / s² + a² / s² โดยที่ sin² ใน+ คอส² B=1,

1 \u003d (v² + a²) / s² ดังนั้น

c² = a² + b²

หลักฐานเสร็จสิ้น

5 วิธี

การพิสูจน์นี้ขึ้นอยู่กับการตัดสี่เหลี่ยมที่สร้างบนขา (รูปที่ 5) และวางชิ้นส่วนผลลัพธ์ซ้อนกันบนสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สร้างบนด้านตรงข้ามมุมฉาก

6 ทาง

สำหรับการพิสูจน์สายสวน ดวงอาทิตย์อาคาร บีซีดี เอบีซี(รูปที่ 6) เรารู้ว่าพื้นที่ของตัวเลขที่คล้ายกันนั้นสัมพันธ์กันเป็นกำลังสองของมิติเชิงเส้นที่คล้ายกัน:

การลบครั้งที่สองออกจากความเท่าเทียมกันครั้งแรกเราจะได้

c2 = a2 + ข2.

หลักฐานเสร็จสิ้น

7 ทาง

ที่ให้ไว้(รูปที่ 7):

เอบีเอส,= 90° , ดวงอาทิตย์= ก, เอซี=ข, AB = ค.

พิสูจน์:c2 = a2 +ข2.

การพิสูจน์.

ให้ขา ข ก.มาต่อภาคต่อกันเถอะ สวต่อจุด ในและสร้างรูปสามเหลี่ยม บีเอ็มดีเพื่อให้คะแนน มและ กวางบนด้านหนึ่งของเส้นตรง ซีดีและนอกจากนี้, พ.บ.=ข บีดีเอ็ม= 90°, DM= ก แล้ว บีเอ็มดี= เอบีซีทั้งสองด้านและมุมระหว่างกัน จุด A และ มเชื่อมต่อตามส่วนต่างๆ เช้า.เรามี นพ ซีดีและ เครื่องปรับอากาศ ซีดี,แปลว่า ตรง เครื่องปรับอากาศขนานกับเส้นตรง นพ.เพราะ นพ< АС, จากนั้นตรง ซีดีและ เช้าไม่ขนานกัน ดังนั้น, AMDC-สี่เหลี่ยมคางหมู.

ในสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC และ บีเอ็มดี 1 + 2 = 90° และ 3 + 4 = 90° แต่เนื่องจาก = = ดังนั้น 3 + 2 = 90°; แล้ว เอวีเอ็ม=180° - 90° = 90°. ปรากฎว่าสี่เหลี่ยมคางหมู เอเอ็มดีซีแบ่งออกเป็นสามสามเหลี่ยมมุมฉากที่ไม่ทับซ้อนกัน จากนั้นตามสัจพจน์พื้นที่

(ก+ข)(ก+ข)

หารเงื่อนไขทั้งหมดของอสมการด้วย เราได้รับ

กข + ค2 + กข = (ก +ข) , 2 ab+ c2 = ก2+ 2aข+ b2,

c2 = a2 + ข2.

หลักฐานเสร็จสิ้น

8 ทาง

วิธีนี้ขึ้นอยู่กับด้านตรงข้ามมุมฉากและขาของสามเหลี่ยมมุมฉาก เอบีซีเขาสร้างกำลังสองที่สอดคล้องกันและพิสูจน์ว่ากำลังสองที่สร้างบนด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับผลรวมของกำลังสองที่สร้างบนขา (รูปที่ 8)

การพิสูจน์.

1) ทบ= เอฟบีเอ= 90°;

ดีบีซี+ เอบีซี= เอฟบีเอ+ เอบีซี,วิธี, เอฟบีซี= ทบ.

ดังนั้น, เอฟบีซี=อ.บ.ต(สองด้านและมุมระหว่างพวกเขา)

2) , โดยที่ AL DE เนื่องจาก BD เป็นฐานร่วม DL-ความสูงโดยรวม

3) เนื่องจาก FB เป็นฐาน เอบี- ความสูงรวม.

4)

5) ในทำนองเดียวกัน เราสามารถพิสูจน์ได้ว่า

6) เพิ่มทีละเทอม เราได้รับ:

, พ.ศ.2 = เอบี2+เอซี2 . หลักฐานเสร็จสิ้น

9 ทาง

การพิสูจน์.

1) ให้ อับดี- สี่เหลี่ยมจัตุรัส (รูปที่ 9) ด้านที่เท่ากับด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉาก เอบีซี (AB= ค, BC = ก, เอซี =ข).

2) ให้ ดี.เค พ.ศและ DK = ดวงอาทิตย์เนื่องจาก 1 + 2 = 90° (เป็นมุมแหลมของสามเหลี่ยมมุมฉาก), 3 + 2 = 90° (เป็นมุมของสี่เหลี่ยมจัตุรัส) เอบี= พ(ด้านข้างของสี่เหลี่ยม).

วิธี, เอบีซี= บีดีเค(โดยด้านตรงข้ามมุมฉากและมุมแหลม)

3) ให้ เอล ดีซี, น เอลพิสูจน์ได้ง่ายๆ ว่า ABC = BDK = DEL = EAM (มีขา กและ ข).แล้ว เคเอส= ซม= ม.ล= แอล.เค= เอ -ข.

4) เอสเคบี= 4S+SKLMC= 2ab+ (ก-ข),กับ2 = 2ab + a2 - 2ab + b2,c2 = a2 + b2.

หลักฐานเสร็จสิ้น

10 วิธี

การพิสูจน์ทำได้โดยใช้ตัวเลขที่เรียกติดตลกว่า "กางเกงปีทาโกรัส" (รูปที่ 10) แนวคิดของมันคือการแปลงสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สร้างขึ้นบนขาให้เป็นสามเหลี่ยมเท่าๆ กัน ซึ่งประกอบกันเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสของด้านตรงข้ามมุมฉาก

เอบีซี shift ตามที่แสดงโดยลูกศรและรับตำแหน่ง เคดีเอ็น.รูปที่เหลือ เอเคดีซีบีเท่ากับพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัส AKDC-มันเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน เอเคเอ็นบี.

สร้างแบบจำลองสี่เหลี่ยมด้านขนาน เอเคเอ็นบี. เราเปลี่ยนสี่เหลี่ยมด้านขนานตามที่ร่างไว้ในเนื้อหาของงาน ในการแสดงการแปลงสี่เหลี่ยมด้านขนานเป็นสามเหลี่ยมด้านเท่า ต่อหน้านักเรียน เราตัดสามเหลี่ยมบนแบบจำลองออกแล้วเลื่อนลง ดังนั้น พื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัส เอเคดีซีเท่ากับพื้นที่สี่เหลี่ยมผืนผ้า ในทำนองเดียวกันเราแปลงพื้นที่สี่เหลี่ยมเป็นพื้นที่สี่เหลี่ยมผืนผ้า

ทฤษฎีบทพีทาโกรัสเป็นข้อความที่สำคัญที่สุดของเรขาคณิต ทฤษฎีบทถูกกำหนดดังนี้: พื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สร้างขึ้นบนด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉากเท่ากับผลรวมของพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สร้างขึ้นบนขาของมัน

โดยปกติแล้วการค้นพบข้อความนี้จะมาจากนักปรัชญาชาวกรีกโบราณและนักคณิตศาสตร์ Pythagoras (ศตวรรษที่ 6 ก่อนคริสต์ศักราช) แต่จากการศึกษาแผ่นจารึกอักษรคูนิฟอร์มของชาวบาบิโลนและต้นฉบับภาษาจีนโบราณ (สำเนาของต้นฉบับที่เก่าแก่กว่านั้น) แสดงให้เห็นว่าข้อความนี้เป็นที่รู้จักมานานก่อนปีทาโกรัส บางทีอาจเป็นพันปีก่อนหน้าเขา ข้อดีของพีทาโกรัสคือเขาค้นพบข้อพิสูจน์ของทฤษฎีบทนี้

อาจเป็นไปได้ว่าข้อเท็จจริงที่ระบุไว้ในทฤษฎีบทพีทาโกรัสมีขึ้นเป็นครั้งแรกสำหรับสามเหลี่ยมมุมฉากหน้าจั่ว ก็เพียงพอที่จะดูภาพโมเสกของสามเหลี่ยมสีดำและสีอ่อนที่แสดงในรูปที่ 1 เพื่อตรวจสอบความถูกต้องของทฤษฎีบทสามเหลี่ยม: สี่เหลี่ยมที่สร้างขึ้นบนด้านตรงข้ามมุมฉากมีสามเหลี่ยม 4 อัน และสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีสามเหลี่ยม 2 อันถูกสร้างขึ้นที่ขาแต่ละข้าง เพื่อพิสูจน์กรณีทั่วไปใน อินเดียโบราณจัดเรียงเป็นสองวิธี: ในสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้านข้างสี่สามเหลี่ยมมุมฉากที่มีความยาวขาและถูกวาด (รูปที่ 2, a และ 2, b) หลังจากนั้นพวกเขาเขียนคำเดียวว่า "ดู!" และเมื่อมองไปที่ตัวเลขเหล่านี้เราจะเห็นว่าทางด้านซ้ายเป็นรูปที่ไม่มีรูปสามเหลี่ยมซึ่งประกอบด้วยสี่เหลี่ยมสองช่องที่มีด้านและพื้นที่เท่ากันตามลำดับและด้านขวา - สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้าน - พื้นที่ของมันคือ เท่ากัน. ดังนั้น ซึ่งเป็นคำสั่งของทฤษฎีบทพีทาโกรัส

อย่างไรก็ตาม เป็นเวลากว่าสองพันปีแล้ว มันไม่ใช่หลักฐานที่มองเห็นได้ แต่เป็นหลักฐานที่ซับซ้อนกว่าที่ยุคลิดคิดค้นขึ้น ซึ่งบรรจุไว้ในหนังสือชื่อดังของเขาเรื่อง "Beginnings" (ดู Euclid and his "Beginnings") Euclid ลดความสูงจาก จุดยอดของมุมฉากกับด้านตรงข้ามมุมฉากและพิสูจน์ว่าความต่อเนื่องนั้นแบ่งสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สร้างขึ้นบนด้านตรงข้ามมุมฉากออกเป็นสองรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าซึ่งพื้นที่นั้นเท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมที่สอดคล้องกันซึ่งสร้างบนขา (รูปที่ 3) ภาพวาดที่ใช้ในการพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้เรียกติดตลกว่า "กางเกงปีทาโกรัส" เป็นเวลานานที่เขาถือว่าเป็นหนึ่งในสัญลักษณ์ของวิทยาศาสตร์ทางคณิตศาสตร์

วันนี้มีหลายโหล หลักฐานต่างๆทฤษฎีบทปีทาโกรัส. บางส่วนขึ้นอยู่กับพาร์ติชันของสี่เหลี่ยมจัตุรัสซึ่งสร้างขึ้นบนด้านตรงข้ามมุมฉากประกอบด้วยชิ้นส่วนที่รวมอยู่ในพาร์ติชันของสี่เหลี่ยมที่สร้างขึ้นบนขา อื่น ๆ - เป็นส่วนเสริมของตัวเลขที่เท่ากัน ประการที่สาม - จากความจริงที่ว่าความสูงซึ่งลดลงจากจุดยอดของมุมฉากถึงด้านตรงข้ามมุมฉากแบ่งสามเหลี่ยมมุมฉากออกเป็นสองรูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกัน

ทฤษฎีบทพีทาโกรัสรองรับการคำนวณทางเรขาคณิตเป็นส่วนใหญ่ แม้แต่ในบาบิโลนโบราณก็ยังใช้ในการคำนวณความยาวของความสูงของสามเหลี่ยมหน้าจั่วตามความยาวของฐานและด้านข้าง ลูกศรของส่วนตามเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมและความยาวของคอร์ด และสร้างความสัมพันธ์ ระหว่างองค์ประกอบของรูปหลายเหลี่ยมปกติบางรูป ด้วยความช่วยเหลือของทฤษฎีบทพีทาโกรัส การสรุปภาพรวมของมันได้รับการพิสูจน์ ซึ่งทำให้สามารถคำนวณความยาวของด้านที่อยู่ตรงข้ามกับมุมแหลมหรือมุมป้านได้:

จากลักษณะทั่วไปนี้เป็นไปตามที่การมีมุมฉากในไม่เพียงเพียงพอ แต่ยังเป็นเงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับการปฏิบัติตามความเท่าเทียมกัน . สูตร (1) หมายถึงความสัมพันธ์ ระหว่างความยาวของเส้นทแยงมุมและด้านของสี่เหลี่ยมด้านขนาน ซึ่งง่ายต่อการหาความยาวของด้านมัธยฐานของรูปสามเหลี่ยม

ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส สูตรยังได้มาจากการแสดงพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมใดๆ ในแง่ของความยาวของด้าน (ดูสูตรของ Heron) แน่นอน ทฤษฎีบทพีทาโกรัสยังใช้ในการแก้ปัญหาเชิงปฏิบัติต่างๆ

แทนที่จะเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสด้านข้างของสามเหลี่ยมมุมฉาก คุณสามารถสร้างรูปทรงใดก็ได้ที่คล้ายกัน (สามเหลี่ยมด้านเท่า ครึ่งวงกลม ฯลฯ) ในกรณีนี้ พื้นที่ของตัวเลขที่สร้างขึ้นบนด้านตรงข้ามมุมฉากจะเท่ากับผลรวมของพื้นที่ของตัวเลขที่สร้างขึ้นบนขา ความหมายทั่วไปอื่นเกี่ยวข้องกับการเปลี่ยนจากระนาบสู่อวกาศ มีสูตรดังนี้: กำลังสองของความยาวของเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนานเท่ากับผลรวมของกำลังสองของขนาด (ความยาว ความกว้าง และความสูง) ทฤษฎีบทที่คล้ายกันยังเป็นจริงในกรณีหลายมิติและแม้แต่อนันต์มิติ

ทฤษฎีบทพีทาโกรัสมีอยู่ในเรขาคณิตแบบยุคลิดเท่านั้น มันไม่ได้เกิดขึ้นในเรขาคณิตของ Lobachevsky หรือในเรขาคณิตอื่นที่ไม่ใช่แบบยุคลิด ไม่มีความคล้ายคลึงของทฤษฎีบทพีทาโกรัสบนทรงกลมเช่นกัน เส้นเมอริเดียนสองเส้นก่อตัวเป็นมุม 90° และเส้นศูนย์สูตรจับสามเหลี่ยมทรงกลมด้านเท่าไว้บนทรงกลม ซึ่งทั้งสามเส้นเป็นมุมฉาก สำหรับเขาไม่เหมือนบนเครื่องบิน

ใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส คำนวณระยะห่างระหว่างจุดและ ระนาบพิกัดตามสูตร

.

หลังจากค้นพบทฤษฎีบทพีทาโกรัสแล้ว คำถามก็เกิดขึ้นว่าจะหาจำนวนธรรมชาติสามเท่าทั้งหมดที่สามารถเป็นด้านของสามเหลี่ยมมุมฉากได้อย่างไร (ดูทฤษฎีบทยิ่งใหญ่ของแฟร์มาต์) พวกเขาถูกค้นพบโดยชาวพีทาโกรัส แต่วิธีการทั่วไปบางอย่างในการค้นหาจำนวนสามเท่านั้นเป็นที่รู้จักแม้แต่กับชาวบาบิโลน หนึ่งในแท็บเล็ตฟอร์มมี 15 แฝด ในหมู่พวกเขามีสามประกอบด้วยดังนั้น ตัวเลขขนาดใหญ่ไม่ต้องสงสัยเลยว่าการค้นหาพวกเขาโดยการเลือก

นรกฮิปโปคราเต

ดวงจันทร์ของฮิปโปคราติคเป็นตัวเลขที่ล้อมรอบด้วยส่วนโค้งของวงกลมสองวง และยิ่งไปกว่านั้น การใช้รัศมีและความยาวของคอร์ดทั่วไปของวงกลมเหล่านี้ คุณสามารถสร้างสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีขนาดเท่ากันโดยใช้เข็มทิศและไม้บรรทัด

จากการสรุปทฤษฎีบทพีทาโกรัสเป็นครึ่งวงกลม ผลรวมของพื้นที่ของหลุมสีชมพูที่แสดงในรูปด้านซ้ายเท่ากับพื้นที่ของสามเหลี่ยมสีน้ำเงิน ดังนั้นหากเราใช้สามเหลี่ยมมุมฉากหน้าจั่วเราจะได้สองรูซึ่งพื้นที่แต่ละรูจะเท่ากับครึ่งหนึ่งของพื้นที่สามเหลี่ยม ฮิปโปเครตีสนักคณิตศาสตร์ชาวกรีกโบราณ (ศตวรรษที่ 5 ก่อนคริสต์ศักราช) พยายามที่จะแก้ปัญหาการยกกำลังสองของวงกลม (ดูปัญหาคลาสสิกของสมัยโบราณ) พบหลุมอีกหลายหลุม พื้นที่ที่แสดงในรูปของพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า

รายชื่อหลุมฮิปโปชายขอบที่สมบูรณ์ได้รับเฉพาะในศตวรรษที่ 19-20 โดยใช้วิธีทฤษฎีกาลัวส์