ในบทความนี้ เราจะสร้างความสัมพันธ์ระหว่างหน่วยพื้นฐานของการวัดมุม - องศาและเรเดียน การเชื่อมต่อนี้จะทำให้เราดำเนินการได้ในที่สุด การแปลงองศาเป็นเรเดียนและในทางกลับกัน. เพื่อให้กระบวนการเหล่านี้ไม่ก่อให้เกิดปัญหา เราจะได้สูตรสำหรับการแปลงองศาเป็นเรเดียนและสูตรสำหรับการแปลงจากเรเดียนเป็นองศา หลังจากนั้นเราจะวิเคราะห์วิธีแก้ปัญหาของตัวอย่างโดยละเอียด

การนำทางหน้า

ความสัมพันธ์ระหว่างองศาและเรเดียน

ความเชื่อมโยงระหว่างองศาและเรเดียนจะเกิดขึ้นหากทราบทั้งการวัดองศาและเรเดียนของมุม (สามารถดูการวัดองศาและเรเดียนของมุมได้ในหัวข้อ)

ใช้มุมศูนย์กลางตามเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมรัศมี r เราสามารถคำนวณการวัดมุมนี้เป็นเรเดียนได้: สำหรับสิ่งนี้เราจำเป็นต้องหารความยาวของส่วนโค้งด้วยความยาวของรัศมีของวงกลม มุมนี้สอดคล้องกับความยาวส่วนโค้งเท่ากับครึ่งหนึ่ง เส้นรอบวง, นั่นคือ, . หารความยาวนี้ด้วยความยาวของรัศมี r เราจะได้ค่าเรเดียนของมุมที่เราถ่าย ดังนั้นมุมของเราคือแรด ในทางกลับกัน มุมนี้ขยายออกเท่ากับ 180 องศา ดังนั้น ไพเรเดียนคือ 180 องศา

ดังนั้นจึงแสดงโดยสูตร π เรเดียน = 180 องศา, นั่นคือ, .

สูตรสำหรับการแปลงองศาเป็นเรเดียนและเรเดียนเป็นองศา

จากความเท่าเทียมกันของแบบฟอร์ม ซึ่งเราได้มาในย่อหน้าก่อนหน้า มันเป็นเรื่องง่ายที่จะได้มา สูตรสำหรับการแปลงเรเดียนเป็นองศาและองศาเป็นเรเดียน.

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย pi เราจะได้สูตรที่แสดงหนึ่งเรเดียนเป็นองศา: . สูตรนี้หมายความว่าการวัดองศาของมุมหนึ่งเรเดียนคือ 180/π หากเราสลับส่วนซ้ายและขวาของความเท่าเทียมกัน จากนั้นหารทั้งสองส่วนด้วย 180 เราจะได้สูตรของแบบฟอร์ม . มันแสดงหนึ่งองศาในเรเดียน

เพื่อสนองความอยากรู้ของเรา เราจึงคำนวณค่าโดยประมาณของมุมหนึ่งเรเดียนเป็นองศาและค่าของมุมหนึ่งองศาเป็นเรเดียน ในการทำเช่นนี้ ให้นำค่าของจำนวน pi ที่แม่นยำถึงหนึ่งในหมื่น แทนค่าลงในสูตร และ และทำการคำนวณ เรามี และ . ดังนั้น หนึ่งเรเดียนมีค่าประมาณ 57 องศา และหนึ่งองศาคือ 0.0175 เรเดียน

ในที่สุดจากความสัมพันธ์ที่ได้รับ และ มาดูสูตรสำหรับการแปลงเรเดียนเป็นองศาและในทางกลับกัน และพิจารณาตัวอย่างการใช้สูตรเหล่านี้ด้วย

สูตรสำหรับแปลงเรเดียนเป็นองศาดูเหมือน: . ดังนั้นหากทราบค่าของมุมเป็นเรเดียน ให้คูณด้วย 180 แล้วหารด้วย pi เราจะได้ค่าของมุมนี้เป็นองศา

ตัวอย่าง.

กำหนดมุม 3.2 เรเดียน มุมนี้มีหน่วยเป็นองศาเท่าใด

สารละลาย.

เราใช้สูตรสำหรับการแปลงจากเรเดียนเป็นองศา เรามี

คำตอบ:

.

สูตรสำหรับแปลงองศาเป็นเรเดียนมีแบบฟอร์ม . นั่นคือถ้าทราบค่าของมุมเป็นองศาแล้วคูณด้วยพายและหารด้วย 180 เราจะได้ค่าของมุมนี้เป็นเรเดียน ลองพิจารณาตัวอย่างการแก้ปัญหา

การวัดองศาของมุม การวัดเรเดียนของมุม แปลงองศาเป็นเรเดียนและกลับกัน

ความสนใจ!
มีเพิ่มเติม
เนื้อหาในภาคพิเศษ 555
สำหรับผู้ที่ "ไม่มาก ... "
และสำหรับผู้ที่ "มาก...")

ในบทเรียนที่แล้ว เราเชี่ยวชาญการนับมุมบนวงกลมตรีโกณมิติ เรียนรู้วิธีการนับมุมบวกและมุมลบ เข้าใจวิธีการวาดมุมที่มากกว่า 360 องศา ได้เวลาจัดการกับการวัดมุมแล้ว โดยเฉพาะกับเลข “ปี่” ที่จ้องจะป่วนเราในงานยุ่งยาก ใช่...

งานมาตรฐานในตรีโกณมิติด้วยตัวเลข "Pi" ได้รับการแก้ไขค่อนข้างดี หน่วยความจำภาพช่วย แต่การเบี่ยงเบนใด ๆ จากเทมเพลต - ทำให้ล้มลงทันที! เพื่อไม่ให้ตก - เข้าใจจำเป็น. สิ่งที่เราจะทำสำเร็จในตอนนี้ ในแง่หนึ่ง - เราเข้าใจทุกอย่าง!

ดังนั้น, อะไร มุมนับหรือไม่? ในหลักสูตรตรีโกณมิติของโรงเรียนใช้สองมาตรการ: การวัดองศาของมุมและ การวัดเรเดียนของมุม. มาดูมาตรการเหล่านี้กัน หากไม่มีสิ่งนี้ในตรีโกณมิติ - ไม่มีที่ไหนเลย

การวัดองศาของมุม

เราคุ้นเคยกับองศา อย่างน้อยที่สุดทางเรขาคณิตก็ผ่าน ... ใช่และในชีวิตเรามักจะพบกับวลี "หัน 180 องศา" เป็นต้น ปริญญาเรียกสั้นๆง่ายๆว่า...

ใช่? ตอบฉันแล้ว ปริญญาคืออะไร? อะไรไม่ทำงานทันทีจากค้างคาว? บางสิ่งบางอย่าง...

องศาถูกประดิษฐ์ขึ้นในบาบิโลนโบราณ นานมาแล้ว ... 40 ศตวรรษที่แล้ว ... และพวกเขาก็คิดขึ้นมาได้ พวกเขาจับและแบ่งวงกลมออกเป็น 360 ส่วนเท่าๆ กัน 1 องศา คือ 1/360 ของวงกลม และนั่นแหล่ะ สามารถแตกออกเป็น 100 ชิ้น หรือเพิ่มขึ้น 1,000 แต่พวกเขาแตกมันออกเป็น 360 อย่างไรก็ตาม ทำไมต้องเป็น 360 กันแน่ ทำไม 360 ถึงดีกว่า 100? 100 ดูเหมือนจะมากกว่านั้น... ลองตอบคำถามนี้ หรืออ่อนแอต่อบาบิโลนโบราณ?

ในเวลาเดียวกัน ในอียิปต์โบราณ พวกเขาถูกทรมานด้วยปัญหาอื่น เส้นรอบวงของวงกลมมีค่ามากกว่าความยาวของเส้นผ่านศูนย์กลางกี่เท่า ดังนั้นพวกเขาจึงวัดและด้วยวิธีนั้น ... ทุกอย่างกลายเป็นมากกว่าสามเล็กน้อย แต่อย่างใดมันกลายเป็นขนดกไม่สม่ำเสมอ ... แต่พวกเขาชาวอียิปต์ไม่ต้องตำหนิ หลังจากนั้นพวกเขาก็ทนทุกข์ต่อไปอีก 35 ศตวรรษ จนกระทั่งในที่สุดพวกเขาก็พิสูจน์ได้ว่าไม่ว่าจะตัดวงกลมให้เป็นชิ้นเท่าๆ กันอย่างละเอียดแค่ไหน ก็สร้างชิ้นส่วนเหล่านั้นขึ้นมาได้ เรียบความยาวของเส้นผ่านศูนย์กลางเป็นไปไม่ได้ ... โดยหลักการแล้วเป็นไปไม่ได้ แน่นอนว่าเส้นรอบวงนั้นใหญ่กว่าเส้นผ่านศูนย์กลางกี่เท่า ประมาณ. 3.1415926...ครั้ง.

นี่คือตัวเลข "Pi" มันขนดกขนดกมาก หลังจุดทศนิยม - ตัวเลขไม่สิ้นสุดโดยไม่มีลำดับใด ๆ ... ตัวเลขดังกล่าวเรียกว่าอตรรกยะ โดยวิธีการนี้หมายความว่าจากชิ้นส่วนของวงกลมที่เท่ากันคือเส้นผ่านศูนย์กลาง เรียบอย่าพับ ไม่เคย.

สำหรับ การประยุกต์ใช้จริงเป็นเรื่องปกติที่จะจำเฉพาะตัวเลขสองหลักหลังจุดทศนิยม จดจำ:

เนื่องจากเราเข้าใจแล้วว่าเส้นรอบวงของวงกลมมีค่ามากกว่าเส้นผ่านศูนย์กลางคูณด้วย "Pi" จึงควรจำสูตรสำหรับเส้นรอบวง:

ที่ไหน แอลคือเส้นรอบวงและ งคือเส้นผ่านศูนย์กลาง

มีประโยชน์ในด้านเรขาคณิต

สำหรับ การศึกษาทั่วไปฉันจะเพิ่มว่าตัวเลข "Pi" ไม่เพียง แต่อยู่ในรูปทรงเรขาคณิตเท่านั้น ... ในส่วนที่หลากหลายที่สุดของคณิตศาสตร์และโดยเฉพาะอย่างยิ่งในทฤษฎีความน่าจะเป็น ตัวเลขนี้ปรากฏขึ้นอย่างต่อเนื่อง! ด้วยตัวมันเอง. อยู่เหนือความปรารถนาของเรา แบบนี้.

แต่กลับเป็นองศา คุณรู้หรือไม่ว่าเหตุใดในบาบิโลนโบราณจึงแบ่งวงกลมออกเป็น 360 ส่วนเท่าๆ กัน? แต่ไม่ใช่ 100 เช่น? เลขที่? ตกลง. ฉันจะให้เวอร์ชันแก่คุณ คุณไม่สามารถถามชาวบาบิโลนโบราณได้ สำหรับการก่อสร้างหรือพูดทางดาราศาสตร์ การแบ่งวงกลมออกเป็นส่วนเท่าๆ กันจะสะดวกกว่า ตอนนี้หาว่าจำนวนใดหารด้วย อย่างสมบูรณ์ 100 และอันไหน - 360? และตัวแบ่งเหล่านี้อยู่ในเวอร์ชันใด อย่างสมบูรณ์- มากกว่า? แผนกนี้สะดวกมากสำหรับผู้คน แต่...

เมื่อมันปรากฏช้ากว่าบาบิโลนโบราณมาก ทุกคนไม่ชอบองศา คณิตศาสตร์ระดับสูงไม่ชอบพวกเขา ... คณิตศาสตร์ที่สูงขึ้น- ผู้หญิงจริงจังจัดตามกฎธรรมชาติ และผู้หญิงคนนี้ประกาศว่า: "วันนี้คุณแบ่งวงกลมออกเป็น 360 ส่วน พรุ่งนี้คุณจะแบ่งเป็น 100 ส่วน มะรืนนี้เป็น 245 ส่วน ... แล้วฉันจะทำอย่างไร ไม่จริงๆ ... " ฉันต้องเชื่อฟัง หลอกธรรมชาติไม่ได้...

ฉันต้องแนะนำการวัดมุมที่ไม่ขึ้นอยู่กับความคิดของมนุษย์ พบปะ - เรเดียน!

การวัดเรเดียนของมุม

เรเดียนคืออะไร? นิยามของเรเดียนขึ้นอยู่กับวงกลมอยู่ดี มุม 1 เรเดียน คือมุมที่ตัดส่วนโค้งออกจากวงกลมที่มีความยาว ( แอล) เท่ากับความยาวของรัศมี ( ร). เราดูที่รูปภาพ

มุมเล็ก ๆ นั้นแทบไม่มีเลย ... เราเลื่อนเคอร์เซอร์ไปที่รูปภาพ (หรือแตะรูปภาพบนแท็บเล็ต) และเราเห็นประมาณหนึ่ง เรเดียน. แอล=อาร์

รู้สึกถึงความแตกต่าง?

หนึ่งเรเดียนมีค่ามากกว่าหนึ่งองศามาก กี่ครั้ง?

ลองดูภาพถัดไป ซึ่งฉันวาดครึ่งวงกลม แน่นอนว่ามุมที่ขยายมีขนาด 180 °

และตอนนี้ฉันจะตัดครึ่งวงกลมนี้เป็นเรเดียน! เราวางเมาส์เหนือรูปภาพและดูว่า 3 เรเดียนที่มีหางพอดีกับ 180 °

ใครเดาได้บ้างว่าผมหางม้านี่คืออะไร!?

ใช่! หางนี้คือ 0.1415926.... สวัสดี Pi เรายังไม่ลืมคุณ!

อันที่จริง มี 3.1415926 ... เรเดียนใน 180 องศา อย่างที่คุณคิด การเขียน 3.1415926 ตลอดเวลา... ไม่สะดวก ดังนั้น แทนที่จะเป็นจำนวนอนันต์นี้ พวกเขาจึงเขียนง่ายๆ เสมอว่า

และนี่คือตัวเลขบนอินเทอร์เน็ต

ไม่สะดวกที่จะเขียน ... ดังนั้นในข้อความฉันเขียนด้วยชื่อ - "Pi" อย่าสับสน...

ตอนนี้ การเขียนความเท่าเทียมกันโดยประมาณมีความหมายค่อนข้างมาก:

หรือความเท่าเทียมกัน:

กำหนดจำนวนองศาในหนึ่งเรเดียน ยังไง? อย่างง่ายดาย! หากมี 180 องศาใน 3.14 เรเดียน 1 เรเดียนจะน้อยกว่า 3.14 เท่า! นั่นคือ เราแบ่งสมการแรก (สูตรนี้เป็นสมการด้วย!) ด้วย 3.14:

อัตราส่วนนี้มีประโยชน์ในการจดจำ มีประมาณ 60° ในหนึ่งเรเดียน ในตรีโกณมิติ คุณมักจะต้องคิดออก ประเมินสถานการณ์ นี่คือสิ่งที่ความรู้ช่วยได้มาก

แต่ทักษะหลักของหัวข้อนี้คือ การแปลงองศาเป็นเรเดียนและในทางกลับกัน

หากกำหนดมุมเป็นเรเดียนด้วยตัวเลข "pi" ทุกอย่างจะง่ายมาก เรารู้ว่า "pi" เรเดียน = 180° ดังนั้นเราจึงแทนที่เรเดียน "Pi" แทน - 180 ° เราได้มุมเป็นองศา เราลดอะไรลดพร้อมคำตอบ ตัวอย่างเช่น เราต้องหาว่าเท่าไหร่ องศาที่มุม "ปี่"/2 เรเดียน? ที่นี่เราเขียน:

หรือการแสดงออกที่แปลกใหม่:

ง่ายใช่มั้ย?

การแปลย้อนกลับนั้นซับซ้อนกว่าเล็กน้อย แต่ไม่มากนัก หากกำหนดมุมเป็นองศา เราต้องหาว่าหนึ่งองศามีหน่วยเป็นเรเดียนเท่าใดแล้วคูณจำนวนนั้นด้วยจำนวนองศา 1° ในเรเดียนคืออะไร?

เราดูสูตรและรู้ว่าถ้า 180° = "Pi" เรเดียน ดังนั้น 1° จะเล็กกว่า 180 เท่า หรืออีกนัยหนึ่ง เราหารสมการ (สูตรก็เป็นสมการด้วย!) ด้วย 180 ไม่จำเป็นต้องแทนค่า "Pi" เป็น 3.14 ยังไงก็ต้องเขียนด้วยตัวอักษรเสมอ เราได้หนึ่งดีกรีเท่ากับ:

นั่นคือทั้งหมด คูณจำนวนองศาด้วยค่านี้เพื่อให้ได้มุมเป็นเรเดียน ตัวอย่างเช่น:

หรือในทำนองเดียวกัน:

อย่างที่คุณเห็นในการสนทนาแบบสบาย ๆ กับการพูดนอกเรื่องโคลงสั้น ๆ ปรากฎว่าเรเดียนนั้นง่ายมาก ใช่และการแปลก็ไม่มีปัญหา ... และ "Pi" เป็นสิ่งที่ทนได้อย่างสมบูรณ์ ... แล้วความสับสนมาจากไหน!?

ฉันจะเปิดเผยความลับ ความจริงก็คือในฟังก์ชั่นตรีโกณมิติมีการเขียนไอคอนองศา เสมอ. ตัวอย่างเช่น sin35° นี่คือไซน์ 35 องศา . และไอคอนเรเดียน ( ยินดี) ไม่ได้เขียน! เขาเป็นนัย ไม่ว่าจะเป็นความเกียจคร้านของนักคณิตศาสตร์หรืออย่างอื่น ... แต่พวกเขาตัดสินใจที่จะไม่เขียน หากไม่มีไอคอนภายในไซน์ - โคแทนเจนต์ มุม - หน่วยเป็นเรเดียน ! ตัวอย่างเช่น cos3 เป็นโคไซน์ของสาม เรเดียน .

สิ่งนี้นำไปสู่ความเข้าใจผิด ... คนเห็น "Pi" และเชื่อว่าเป็น 180 ° ทุกที่ทุกเวลา โดยวิธีการนี้ใช้งานได้ ในขณะนี้ในขณะที่ตัวอย่างเป็นมาตรฐาน แต่พี่เป็นตัวเลข! เลข 3.14 ไม่ใช่องศา! นั่นคือ "Pi" เรเดียน = 180°!

ย้ำอีกครั้ง “ปี่” เป็นตัวเลข! 3.14. อตรรกยะ แต่เป็นตัวเลข เหมือนกับ 5 หรือ 8 ตัวอย่างเช่น คุณสามารถทำตามขั้นตอน "Pi" สามขั้นตอนและอีกเล็กน้อย หรือซื้อขนมเปี๊ยะเป็นกิโล. ถ้าคนขายมีการศึกษาโดนจับได้...

“ปี่” เป็นตัวเลข! อะไร ฉันเข้าใจคุณด้วยวลีนี้ คุณเข้าใจทุกอย่างแล้วหรือยัง? ตกลง. มาตรวจสอบกัน บอกได้ไหมว่าตัวเลขไหนมากกว่ากัน?

หรือน้อยกว่าคืออะไร?

นี่มาจากชุดคำถามที่ไม่ได้มาตรฐานเล็กน้อยซึ่งอาจนำไปสู่อาการมึนงง ...

หากคุณมีอาการมึนงงให้จำคาถา: "Pi" เป็นตัวเลข! 3.14. ในไซน์แรกมีการระบุไว้อย่างชัดเจนว่ามุม - เป็นองศา! ดังนั้นจึงไม่สามารถแทนที่ "Pi" ได้ 180 °! องศา "Pi" ประมาณ 3.14 องศา ดังนั้น เราสามารถเขียน:

ไม่มีสัญลักษณ์ในไซน์ที่สอง ดังนั้นที่นั่น - เรเดียน! ที่นี่การแทนที่ "Pi" ด้วย 180 °จะทำงานได้ค่อนข้างดี แปลงเรเดียนเป็นองศาตามที่เขียนไว้ด้านบน เราได้รับ:

มันยังคงเปรียบเทียบบาปทั้งสองนี้ อะไร. ลืมได้อย่างไร แน่นอนด้วยความช่วยเหลือของวงกลมตรีโกณมิติ! เราวาดวงกลม วาดมุมประมาณ 60° และ 1.05° เราดูไซน์ของมุมเหล่านี้ ในระยะสั้นจะมีการทาสีทุกอย่างในตอนท้ายของหัวข้อเกี่ยวกับวงกลมตรีโกณมิติ บนวงกลม (แม้แต่อันที่คดเคี้ยว!) จะเห็นได้อย่างชัดเจน บาป60°มากกว่าอย่างมีนัยสำคัญ บาป1.05°.

เราจะทำเช่นเดียวกันกับโคไซน์ บนวงกลม เราวาดมุมประมาณ 4 องศาและ 4 เรเดียน(โปรดจำไว้ว่า 1 เรเดียนมีค่าประมาณเท่าใด) วงกลมจะพูดทุกอย่าง! แน่นอน cos4 น้อยกว่า cos4°

มาฝึกการวัดมุมกันเถอะ

แปลมุมเหล่านี้จาก การวัดระดับเป็นเรเดียน:

360°; 30°; 90°; 270°; 45°; 0°; 180°; 60°

คุณควรลงเอยด้วยค่าเหล่านี้เป็นเรเดียน (ในลำดับอื่น!)

0

อย่างไรก็ตาม ฉันได้ทำเครื่องหมายคำตอบไว้ในสองบรรทัดเป็นพิเศษ ลองคิดดูว่ามุมในบรรทัดแรกคืออะไร? ไม่ว่าจะเป็นองศาหรือเรเดียน?

ใช่! นี่คือแกนของระบบพิกัด! หากคุณดูที่วงกลมตรีโกณมิติ ด้านการเคลื่อนที่ของมุมจะอยู่ที่ค่าเหล่านี้ พอดีกับเพลา. ค่าเหล่านี้จำเป็นต้องรู้อย่างแดกดัน และฉันสังเกตมุม 0 องศา (0 เรเดียน) โดยไม่เสียเปล่า จากนั้นบางคนไม่พบมุมนี้บนวงกลม แต่อย่างใด ... และดังนั้นพวกเขาจึงสับสนในฟังก์ชันตรีโกณมิติของศูนย์ ... อีกประการหนึ่งคือตำแหน่งของด้านเคลื่อนที่ที่ศูนย์องศาตรงกับตำแหน่งที่ 360° ความบังเอิญบนวงกลมจึงอยู่ใกล้กันตลอดเวลา

ในบรรทัดที่สองยังมีมุมพิเศษ... ได้แก่ 30°, 45° และ 60° และมีอะไรพิเศษเกี่ยวกับพวกเขาบ้าง? ไม่มีอะไรพิเศษ. ข้อแตกต่างเพียงอย่างเดียวระหว่างมุมเหล่านี้กับมุมอื่นๆ คือคุณควรรู้เกี่ยวกับมุมเหล่านี้ ทั้งหมด. และพวกมันอยู่ที่ไหน และฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมเหล่านี้คืออะไร เอาเป็นว่าค่า บาป100°คุณไม่จำเป็นต้องรู้ ก บาป45°- โปรดเมตตา! นี่เป็นความรู้ที่จำเป็นโดยที่ไม่มีอะไรให้ทำในวิชาตรีโกณมิติ ... แต่จะเพิ่มเติมเกี่ยวกับสิ่งนี้ในบทเรียนถัดไป

ถึงตอนนั้นก็ฝึกกันต่อไป แปลงมุมเหล่านี้จากเรเดียนเป็นองศา:

คุณควรได้รับผลลัพธ์เช่นนี้ (เป็นระเบียบ):

210°; 150°; 135°; 120°; 330°; 315°; 300°; 240°; 225°.

เกิดขึ้น? จากนั้นเราสามารถสันนิษฐานได้ว่า การแปลงองศาเป็นเรเดียนและในทางกลับกัน- ไม่ใช่ปัญหาของคุณอีกต่อไป) แต่การแปลมุมเป็นขั้นตอนแรกในการทำความเข้าใจเกี่ยวกับตรีโกณมิติ ในที่เดียวกัน คุณยังต้องทำงานกับไซน์-โคไซน์ ใช่และด้วยแทนเจนต์, โคแทนเจนต์ด้วย ...

ขั้นตอนที่ทรงพลังที่สองคือ ความสามารถในการกำหนดตำแหน่งของมุมใด ๆ บนวงกลมตรีโกณมิติทั้งในหน่วยองศาและเรเดียน เกี่ยวกับทักษะนี้ฉันจะแนะนำคุณเกี่ยวกับตรีโกณมิติทั้งหมดอย่างน่าเบื่อใช่ ... ) หากคุณรู้ทุกอย่าง (หรือคิดว่าคุณรู้ทุกอย่าง) เกี่ยวกับวงกลมตรีโกณมิติและการนับมุมบนวงกลมตรีโกณมิติ คุณสามารถตรวจสอบได้ ออก. แก้ปัญหาง่ายๆ เหล่านี้:

1. มุมอยู่ในไตรมาสใด:

45°, 175°, 355°, 91°, 355° ?

อย่างง่ายดาย? เรายังคง:

2. มุมตกในไตรมาสใด:

402°, 535°, 3000°, -45°, -325°, -3000°?

ยังไม่มีปัญหา? ดูแล้ว...)

3. คุณสามารถวางมุมในไตรมาส:

คุณสามารถ? คุณให้ .. )

4. แกนใดที่มุมจะตกลงบน:

และมุม:

มันง่ายเกินไปไหม? หืม...)

5. มุมอยู่ในไตรมาสใด:

แล้วมันได้ผล!? อืม ไม่รู้จริงๆ...)

6. กำหนดไตรมาสที่มุมตกอยู่ใน:

1, 2, 3 และ 20 เรเดียน

ฉันจะให้คำตอบเฉพาะคำถามสุดท้าย (ค่อนข้างยุ่งยากเล็กน้อย) ของงานสุดท้าย มุม 20 เรเดียนจะตกลงในไตรมาสแรก

ฉันจะไม่ให้คำตอบที่เหลือเพราะความโลภ) แค่ถ้าคุณ ไม่ได้ตัดสินใจบางสิ่งบางอย่าง สงสัยเป็นผลให้หรือใช้กับงานหมายเลข 4 มากกว่า 10 วินาทีคุณมีทิศทางไม่ดีในวงกลม นี่จะเป็นปัญหาของคุณในวิชาตรีโกณมิติทั้งหมด เป็นการดีกว่าที่จะกำจัดมัน (ปัญหา ไม่ใช่ตรีโกณมิติ!) ทันที สามารถทำได้ในหัวข้อ: การปฏิบัติงานกับวงกลมตรีโกณมิติในหัวข้อ 555

มันบอกวิธีแก้ปัญหาดังกล่าวอย่างง่ายและถูกต้อง แน่นอนว่างานเหล่านี้ได้รับการแก้ไขแล้ว และงานที่สี่ก็แก้ไขได้ใน 10 วินาที ใช่ตัดสินใจว่าใครสามารถทำได้!

หากคุณแน่ใจในคำตอบของคุณอย่างแน่นอน และคุณไม่สนใจวิธีการทำงานกับเรเดียนที่ง่ายและไร้ปัญหา คุณไม่สามารถเยี่ยมชม 555 ฉันไม่ยืนยัน)

ทำความเข้าใจให้ดีก็พอ เหตุผลที่ดีเพื่อไปต่อ!)

ถ้าคุณชอบเว็บไซต์นี้...

อย่างไรก็ตาม ฉันมีไซต์ที่น่าสนใจอีกสองสามไซต์สำหรับคุณ)

คุณสามารถฝึกฝนการแก้ตัวอย่างและค้นหาระดับของคุณ การทดสอบด้วยการตรวจสอบทันที เรียนรู้ - ด้วยความสนใจ!)

คุณสามารถทำความคุ้นเคยกับฟังก์ชันและอนุพันธ์

มุมวัดเป็นองศาหรือเรเดียน สิ่งสำคัญคือต้องเข้าใจความสัมพันธ์ระหว่างหน่วยวัดเหล่านี้ การทำความเข้าใจความสัมพันธ์นี้ทำให้คุณสามารถทำงานกับมุมและเปลี่ยนจากองศาเป็นเรเดียนและในทางกลับกัน ในบทความนี้ เราได้สูตรสำหรับการแปลงองศาเป็นเรเดียนและเรเดียนเป็นองศา รวมทั้งวิเคราะห์ตัวอย่างบางส่วนจากการฝึกฝน

Yandex.RTB R-A-339285-1

ความสัมพันธ์ระหว่างองศาและเรเดียน

หากต้องการสร้างความสัมพันธ์ระหว่างองศาและเรเดียน คุณต้องทราบการวัดองศาและเรเดียนของมุม ตัวอย่างเช่น ลองใช้มุมศูนย์กลางที่ขึ้นอยู่กับเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมที่มีรัศมี r ในการคำนวณการวัดเรเดียนของมุมนี้ คุณต้องหารความยาวของส่วนโค้งด้วยความยาวของรัศมีของวงกลม มุมที่พิจารณาจะสอดคล้องกับความยาวของส่วนโค้งเท่ากับครึ่งหนึ่งของความยาวของวงกลม π · r . หารความยาวของส่วนโค้งด้วยรัศมีและรับหน่วยวัดเรเดียนของมุม: π · r r = π rad

ดังนั้นมุมที่เป็นปัญหาคือ π เรเดียน ในทางกลับกัน มันเป็นมุมตรงเท่ากับ 180° ดังนั้น 180° = π ราด

ความสัมพันธ์ขององศาเรเดียน

ความสัมพันธ์ระหว่างเรเดียนและองศาแสดงโดยสูตร

π เรเดียน = 180°

สูตรสำหรับการแปลงเรเดียนเป็นองศาและในทางกลับกัน

จากสูตรที่ได้รับข้างต้น สามารถรับสูตรอื่นสำหรับการแปลงมุมจากเรเดียนเป็นองศาและจากองศาเป็นเรเดียน

แสดงหนึ่งเรเดียนเป็นองศา ในการทำเช่นนี้ เราแบ่งส่วนซ้ายและขวาของรัศมีด้วย pi

1 rad \u003d 180 π ° - องศาของมุมใน 1 เรเดียนคือ 180 π

คุณยังสามารถแสดงหนึ่งองศาเป็นเรเดียน

1 ° = π 180 r a d

คุณสามารถคำนวณค่ามุมโดยประมาณเป็นเรเดียนและในทางกลับกัน ในการทำเช่นนี้ เราใช้ค่าของตัวเลข π มากถึงหนึ่งในหมื่นและแทนที่ลงในสูตรผลลัพธ์

1 r a d \u003d 180 π ° \u003d 180 3, 1416 ° \u003d 57, 2956 °

หนึ่งเรเดียนมีประมาณ 57 องศา

1 ° = π 180 แรด = 3.1416 180 แรด = 0.0175 แรด

หนึ่งองศาประกอบด้วย 0.0175 เรเดียน

สูตรสำหรับแปลงเรเดียนเป็นองศา

x ra d = x 180 π °

ในการแปลงมุมจากเรเดียนเป็นองศา ให้คูณมุมเป็นเรเดียนด้วย 180 แล้วหารด้วยพาย

ตัวอย่างการแปลงองศาเป็นเรเดียนและเรเดียนเป็นองศา

พิจารณาตัวอย่าง

ตัวอย่างที่ 1: การแปลงจากเรเดียนเป็นองศา

ให้ α = 3 , 2 rad คุณจำเป็นต้องรู้การวัดองศาของมุมนี้

ตารางค่า ฟังก์ชันตรีโกณมิติ

บันทึก. ตารางค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิตินี้ใช้เครื่องหมาย √ เพื่อแสดงถึง รากที่สอง. เพื่อแสดงเศษส่วน - สัญลักษณ์ "/"

ดูสิ่งนี้ด้วยวัสดุที่เป็นประโยชน์:

สำหรับ การหาค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติให้หาที่จุดตัดของเส้นที่ระบุฟังก์ชันตรีโกณมิติ ตัวอย่างเช่น ไซน์ 30 องศา - เรากำลังมองหาคอลัมน์ที่มีหัวเรื่อง บาป (ไซน์) และเราพบจุดตัดของคอลัมน์นี้ของตารางด้วยเส้น "30 องศา" ที่จุดตัดกัน เราอ่านผลลัพธ์ - หนึ่ง ที่สอง. ในทำนองเดียวกันเราพบ โคไซน์ 60องศา ไซน์ 60องศา (อีกครั้งที่จุดตัดของคอลัมน์ sin (ไซน์) และแถว 60 องศา เราจะพบค่า sin 60 = √3/2) เป็นต้น ในทำนองเดียวกันจะพบค่าของไซน์ โคไซน์ และแทนเจนต์ของมุม "ยอดนิยม" อื่น ๆ

ไซน์ของ pi, โคไซน์ของ pi, แทนเจนต์ของ pi และมุมอื่นๆ ในหน่วยเรเดียน

ตารางโคไซน์ ไซน์ และแทนเจนต์ด้านล่างยังเหมาะสำหรับการค้นหาค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติที่มีอาร์กิวเมนต์ กำหนดเป็นเรเดียน. ในการทำเช่นนี้ ให้ใช้คอลัมน์ที่สองของค่ามุม ด้วยเหตุนี้ คุณจึงสามารถแปลงค่าของมุมยอดนิยมจากองศาเป็นเรเดียนได้ ตัวอย่างเช่น ลองหามุม 60 องศาในบรรทัดแรกแล้วอ่านค่าเป็นเรเดียนข้างใต้ 60 องศา เท่ากับ π/3 เรเดียน

ตัวเลข pi เป็นการแสดงออกถึงการพึ่งพาของเส้นรอบวงของวงกลมกับการวัดองศาของมุมโดยเฉพาะ ดังนั้น ไพเรเดียน เท่ากับ 180 องศา

ตัวเลขใด ๆ ที่แสดงในรูปของ pi (เรเดียน) สามารถแปลงเป็นองศาได้ง่าย ๆ โดยแทนที่จำนวน pi (π) ด้วย 180.

ตัวอย่าง:
1. ไซน์ไพ.
บาป π = บาป 180 = 0
ดังนั้น ไซน์ของไพจะเหมือนกับไซน์ของ 180 องศา และมีค่าเท่ากับศูนย์

2. โคไซน์ไพ.
คอส π = คอส 180 = -1
ดังนั้น โคไซน์ของไพจะเท่ากับโคไซน์ของ 180 องศา และเท่ากับลบหนึ่ง

3. แทนเจนต์ pi
tg π = tg 180 = 0
ดังนั้น แทนเจนต์ของ pi จะเหมือนกับแทนเจนต์ของ 180 องศา และมีค่าเท่ากับศูนย์

ตารางค่าไซน์ โคไซน์ ค่าแทนเจนต์สำหรับมุม 0 - 360 องศา (ค่าที่พบบ่อย)

มุม α (องศา)	มุม α หน่วยเป็นเรเดียน (ผ่านปี่)	บาป (ไซนัส)	เพราะ (โคไซน์)	ทีจี (แทนเจนต์)	ctg (โคแทนเจนต์)	วินาที (ซีแคนท์)	สาเหตุ (โคซีแคนท์)
0	0	0	1	0	-	1	-
15	π/12			2 - √3	2 + √3
30	π/6	1/2	√3/2	1/√3	√3	2/√3	2
45	π/4	√2/2	√2/2	1	1	√2	√2
60	พาย/3	√3/2	1/2	√3	1/√3	2	2/√3
75	5π/12			2 + √3	2 - √3
90	π/2	1	0	-	0	-	1
105	7π/12		-	- 2 - √3	√3 - 2
120	2π/3	√3/2	-1/2	-√3	-√3/3
135	3π/4	√2/2	-√2/2	-1	-1	-√2	√2
150	5π/6	1/2	-√3/2	-√3/3	-√3
180	π	0	-1	0	-	-1	-
210	7π/6	-1/2	-√3/2	√3/3	√3
240	4π/3	-√3/2	-1/2	√3	√3/3
270	3π/2	-1	0	-	0	-	-1
360	2π	0	1	0	-	1	-

หากในตารางค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติ แทนที่จะเป็นค่าของฟังก์ชัน จะมีการระบุเส้นประ (แทนเจนต์ (tg) 90 องศา, โคแทนเจนต์ (ctg) 180 องศา) จากนั้นสำหรับค่าที่กำหนดของการวัดระดับของ มุม ฟังก์ชันไม่มีค่าแน่นอน ถ้าไม่มีเส้นประ แสดงว่าเซลล์นั้นว่างเปล่า เราจึงยังไม่ได้ป้อนค่าที่ต้องการ เราสนใจในสิ่งที่ผู้ใช้ร้องขอและเสริมตารางด้วยค่าใหม่แม้ว่าข้อมูลปัจจุบันเกี่ยวกับค่าของโคไซน์, ไซน์และแทนเจนต์ของค่ามุมที่พบมากที่สุดก็เพียงพอที่จะแก้ปัญหาได้มากที่สุด ปัญหา.

ตารางค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติ sin, cos, tg สำหรับมุมที่นิยมมากที่สุด
0, 15, 30, 45, 60, 90 ... 360 องศา
(ค่าตัวเลข "ตามตาราง Bradis")

ค่ามุม α (องศา)	ค่าของมุม α เป็นเรเดียน	บาป (บาป)	cos (โคไซน์)	tg (แทนเจนต์)	ctg (โคแทนเจนต์)
0	0
15		0,2588	0,9659	0,2679
30		0,5000		0,5774
45		0,7071
		0,7660
60		0,8660	0,5000	1,7321
	7π/18

เป็นเรื่องปกติที่คนในวิชาคณิตศาสตร์ต้องเผชิญกับงานแปลงองศาเป็นเรเดียนหรือกลับกัน เพื่อให้งานนี้สำเร็จค่อนข้างง่ายและคุณไม่จำเป็นต้องมีความรู้เชิงลึกในวิทยาศาสตร์ประยุกต์หรือคณิตศาสตร์ต่างๆ ก่อนอื่นคุณต้องจัดการกับค่าการวัดเหล่านี้ องศาและเรเดียนเป็นหน่วยพื้นฐานที่ใช้ในการวัดมุมระนาบในวิชาคณิตศาสตร์และฟิสิกส์ หน่วยเหล่านี้ยังใช้ในการทำแผนที่เพื่อกำหนดพิกัดที่ใดก็ได้ในโลก

ปริมาณการวัดเหล่านี้กำหนดไว้ดังนี้:

• แรด - เรเดียน
• องศา - º

วิธีแปลงองศาเป็นเรเดียน

ในการเริ่มต้น เพื่อให้สูตรการแปลงองศาเป็นเรเดียนมีความชัดเจน คุณต้องเรียนรู้วิธีแปลมุมเป็นเรเดียนและเรเดียนเป็นมุม:

• 1 rad = (180/π)ºπ 57.295779513 โดยที่ π เท่ากับ 3.14
• 1° = (π/180) ราด π 0.017453293 ราด

ตามสูตรข้างต้นจะชัดเจนในทันทีว่า π rad \u003d 180 ° มาจากสูตรที่ง่ายและเข้าใจได้สำหรับการแปลค่าการวัด ทีนี้มาดูสูตรหลักที่ใช้ในการแปล:

1. องศาเรเดียน

Zº=Z rad × (180/π) โดยที่ Zº คือมุมในหน่วยองศา และ Z rad คือมุมในหน่วยเรเดียน π = 3.14

2. เรเดียนเป็นองศา

Z ราด = Z° × (π/180)

ทีนี้มาดูตัวอย่างเพื่อให้ชัดเจนยิ่งขึ้นว่าจะใช้สูตรข้างต้นอย่างไรในทางปฏิบัติ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ใช้สองมุม 20º และ 100º:

1. แปลงองศาเป็นเรเดียน

• 20º = 20 แรด × (π/180) π 0.35 แรด
• 100º = 100 แรด × (180/π) π 1.7453 แรด

2. แปลงเรเดียนเป็นองศา

• 20 rad = 20º × (180/π) π 1146.15 โดยที่ π = 3.14
• 100 rad = 100° × (180/π) π 5729.577 โดยที่ π = 3.14

เมื่อพิจารณาสูตรการแปลงค่าการวัดแล้ว จะเห็นได้ชัดว่าการรับมือกับงานนั้นค่อนข้างง่าย สำหรับผู้ที่ไม่ต้องการคำนวณด้วยตนเอง มีเว็บไซต์มากมายบนอินเทอร์เน็ตที่สามารถใช้เครื่องคิดเลขออนไลน์เพื่อแปลงองศาเป็นเรเดียนหรือกลับกัน การใช้งานเหล่านี้จะช่วยอำนวยความสะดวกในการทำงานด้านตรีโกณมิติต่างๆ ของคุณอย่างมาก