คำแนะนำ

หากสมการแสดงอยู่ในรูปแบบ: dy/dx = q(x)/n(y) ให้จัดประเภทสมการเหล่านั้นเป็นสมการเชิงอนุพันธ์ที่มีตัวแปรที่แยกไม่ออก สามารถแก้ไขได้โดยเขียนเงื่อนไขเป็นดิฟเฟอเรนเชียลดังนี้: n(y)dy = q(x)dx จากนั้นจึงรวมทั้งสองด้าน ในบางกรณี คำตอบจะถูกเขียนในรูปแบบของอินทิกรัลที่นำมาจากฟังก์ชันที่ทราบ ตัวอย่างเช่น ในกรณีของ dy/dx = x/y เราจะได้ q(x) = x, n(y) = y เขียนในรูปแบบ ydy = xdx แล้วอินทิเกรต มันควรจะกลายเป็น y^2 = x^2 + c

ให้เป็นเส้นตรง สมการเชื่อมโยงสมการกับ "ครั้งแรก" ฟังก์ชันที่ไม่รู้จักซึ่งมีอนุพันธ์จะเข้าสู่สมการในระดับแรกเท่านั้น เชิงเส้นมีรูปแบบ dy/dx + f(x) = j(x) โดยที่ f(x) และ g(x) เป็นฟังก์ชันที่ขึ้นอยู่กับ x วิธีแก้ปัญหาถูกเขียนโดยใช้อินทิกรัลที่นำมาจากฟังก์ชันที่รู้จัก

โปรดทราบว่าหลาย สมการเชิงอนุพันธ์- นี่คือสมการอันดับสอง (ประกอบด้วยอนุพันธ์อันดับสอง) ตัวอย่างเช่น นี่คือสมการของการเคลื่อนที่ฮาร์มอนิกอย่างง่าย ซึ่งเขียนในรูปแบบทั่วไป: md 2x/dt 2 = –kx สมการดังกล่าวมีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะ สมการของการเคลื่อนที่ฮาร์มอนิกอย่างง่ายเป็นตัวอย่างหนึ่งของสิ่งที่ค่อนข้างสำคัญ นั่นก็คือ สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่

หากมีสมการเชิงเส้นเพียงสมการเดียวในเงื่อนไขของปัญหา แสดงว่าคุณได้รับแล้ว เงื่อนไขเพิ่มเติมขอบคุณที่สามารถหาวิธีแก้ปัญหาได้ อ่านปัญหาอย่างละเอียดเพื่อค้นหาเงื่อนไขเหล่านี้ ถ้า ตัวแปร x และ y ระบุระยะทาง ความเร็ว น้ำหนัก คุณสามารถตั้งค่าขีดจำกัด x≥0 และ y≥0 ได้ตามใจชอบ ค่อนข้างเป็นไปได้ที่ x หรือ y ซ่อนจำนวนแอปเปิ้ล ฯลฯ – แล้วค่าจะเป็นได้เพียง . ถ้า x คืออายุของลูกชาย ก็ชัดเจนว่าเขาไม่สามารถมีอายุมากกว่าพ่อได้ ดังนั้นให้ระบุสิ่งนี้ในเงื่อนไขของปัญหา

แหล่งที่มา:

• วิธีแก้สมการด้วยตัวแปรตัวเดียว

ปัญหาแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์และอินทิกรัลคือ องค์ประกอบที่สำคัญการรวมทฤษฎี การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์, ส่วน คณิตศาสตร์ที่สูงขึ้น,เรียนอยู่ในมหาวิทยาลัย. ดิฟเฟอเรนเชียล สมการได้รับการแก้ไขโดยวิธีการบูรณาการ

คำแนะนำ

แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์จะสำรวจคุณสมบัติของ และในทางกลับกัน การรวมฟังก์ชันเข้าด้วยกันทำให้สามารถกำหนดคุณสมบัติได้ เช่น อนุพันธ์หรืออนุพันธ์ของฟังก์ชันเพื่อค้นหาตัวมันเอง นี่คือคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์

สิ่งใดก็ตามที่เป็นความสัมพันธ์ระหว่างปริมาณที่ไม่ทราบกับข้อมูลที่ทราบ ในกรณีของสมการเชิงอนุพันธ์ บทบาทของสิ่งที่ไม่ทราบจะถูกเล่นโดยฟังก์ชัน และบทบาทของปริมาณที่ทราบจะถูกเล่นโดยอนุพันธ์ของมัน นอกจากนี้ ความสัมพันธ์อาจมีตัวแปรอิสระ: F(x, y(x), y'(x), y''(x),…, y^n(x)) = 0 โดยที่ x คือค่าที่ไม่รู้จัก ตัวแปร y (x) คือฟังก์ชันที่จะหา ลำดับของสมการคือลำดับสูงสุดของอนุพันธ์ (n)

สมการดังกล่าวเรียกว่าสมการเชิงอนุพันธ์สามัญ หากความสัมพันธ์ประกอบด้วยตัวแปรอิสระหลายตัวและอนุพันธ์ย่อย (ดิฟเฟอเรนเชียล) ของฟังก์ชันที่เกี่ยวข้องกับตัวแปรเหล่านี้ สมการนี้เรียกว่าสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยและมีรูปแบบ: x∂z/∂y - ∂z/∂x = 0 โดยที่ z(x, y) คือฟังก์ชันที่ต้องการ

ดังนั้น เพื่อที่จะเรียนรู้วิธีแก้สมการเชิงอนุพันธ์ คุณจะต้องสามารถค้นหาแอนติเดริเวทีฟได้ เช่น แก้ปัญหาผกผันกับความแตกต่าง ตัวอย่างเช่น: แก้สมการลำดับแรก y’ = -y/x

วิธีแก้ไขแทนที่ y’ ด้วย dy/dx: dy/dx = -y/x

ลดสมการให้อยู่ในรูปแบบที่สะดวกสำหรับการรวมเข้าด้วยกัน เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้คูณทั้งสองข้างด้วย dx และหารด้วย y:dy/y = -dx/x

อินทิเกรต: ∫dy/y = - ∫dx/x + Сln |y| = - ln |x| +ซี

คำตอบนี้เรียกว่าสมการเชิงอนุพันธ์ทั่วไป C คือค่าคงที่ซึ่งชุดของค่ากำหนดชุดของการแก้สมการ สำหรับค่าเฉพาะใดๆ ของ C คำตอบจะไม่ซ้ำกัน ผลเฉลยนี้เป็นคำตอบบางส่วนของสมการเชิงอนุพันธ์

การแก้สมการลำดับที่สูงกว่าส่วนใหญ่ องศาไม่มีสูตรการหารากที่สองที่ชัดเจน สมการ- อย่างไรก็ตาม มีวิธีการลดหลายวิธีที่ทำให้คุณสามารถแปลงสมการระดับที่สูงกว่าให้เป็นรูปแบบที่มองเห็นได้ชัดเจนยิ่งขึ้น

คำแนะนำ

วิธีการทั่วไปในการแก้สมการระดับสูงคือการขยาย วิธีนี้เป็นการผสมผสานระหว่างการเลือกรากของจำนวนเต็ม ตัวหารของพจน์อิสระ และการหารพหุนามทั่วไปในรูปแบบ (x – x0)

ตัวอย่างเช่น แก้สมการ x^4 + x³ + 2 x² – x – 3 = 0 วิธีแก้: เทอมอิสระของพหุนามนี้คือ -3 ดังนั้น ตัวหารจำนวนเต็มสามารถเป็นตัวเลข ±1 และ ±3 แทนพวกมันทีละตัวในสมการแล้วดูว่าคุณมีตัวตนหรือไม่: 1: 1 + 1 + 2 – 1 – 3 = 0

รูตที่สอง x = -1 หารด้วยนิพจน์ (x + 1) เขียนสมการผลลัพธ์ (x - 1)·(x + 1)·(x² + x + 3) = 0 องศาลดลงเหลือค่าวินาที ดังนั้น สมการจึงสามารถมีรากได้อีก 2 ราก หากต้องการค้นหา ให้แก้สมการกำลังสอง: x² + x + 3 = 0D = 1 – 12 = -11

ค่าจำแนกประเภทเป็นค่าลบ ซึ่งหมายความว่าสมการไม่มีรากที่แท้จริงอีกต่อไป ค้นหารากที่ซับซ้อนของสมการ: x = (-2 + i·√11)/2 และ x = (-2 – i·√11)/2

อีกวิธีหนึ่งในการแก้สมการระดับที่สูงกว่าคือการเปลี่ยนตัวแปรให้เป็นกำลังสอง วิธีการนี้ใช้เมื่อกำลังทั้งหมดของสมการเท่ากัน เช่น: x^4 – 13 x² + 36 = 0

ตอนนี้หารากของสมการดั้งเดิม: x1 = √9 = ±3; x2 = √4 = ±2

เคล็ดลับ 10: วิธีการหาสมการรีดอกซ์

ปฏิกิริยาเคมีเป็นกระบวนการเปลี่ยนรูปของสารที่เกิดขึ้นกับการเปลี่ยนแปลงองค์ประกอบของสาร สารที่ทำปฏิกิริยาเรียกว่าสารตั้งต้น และสารที่เกิดขึ้นจากกระบวนการนี้เรียกว่าผลิตภัณฑ์ มันเกิดขึ้นในระหว่างนั้น ปฏิกิริยาเคมีองค์ประกอบที่ประกอบเป็นสารตั้งต้นจะเปลี่ยนสถานะออกซิเดชัน นั่นคือพวกเขาสามารถรับอิเล็กตรอนของคนอื่นและมอบอิเล็กตรอนของตัวเองออกไปได้ ในทั้งสองกรณี ค่าธรรมเนียมจะเปลี่ยนแปลง ปฏิกิริยาดังกล่าวเรียกว่าปฏิกิริยารีดอกซ์

บันทึกการบรรยายเรื่อง

สมการเชิงอนุพันธ์

สมการเชิงอนุพันธ์

การแนะนำ

เมื่อศึกษาปรากฏการณ์บางอย่าง สถานการณ์มักจะเกิดขึ้นเมื่อกระบวนการไม่สามารถอธิบายได้โดยใช้สมการ y=f(x) หรือ F(x;y)=0 นอกจากตัวแปร x และฟังก์ชันที่ไม่รู้จักแล้ว อนุพันธ์ของฟังก์ชันนี้ยังรวมอยู่ในสมการอีกด้วย

คำนิยาม:สมการที่เชื่อมตัวแปร x เรียกว่าฟังก์ชันที่ไม่รู้จัก y(x) และอนุพันธ์ของมัน สมการเชิงอนุพันธ์- ใน ปริทัศน์สมการเชิงอนุพันธ์มีลักษณะดังนี้:

F(x;y(x); ;;...;y (น))=0

คำนิยาม:ลำดับของสมการเชิงอนุพันธ์คือลำดับของอนุพันธ์สูงสุดที่อยู่ในนั้น

–สมการเชิงอนุพันธ์ของลำดับที่ 1

– สมการเชิงอนุพันธ์ของลำดับที่ 3

คำนิยาม:การแก้สมการเชิงอนุพันธ์คือฟังก์ชันที่เมื่อแทนที่สมการแล้ว จะกลายเป็นเอกลักษณ์

สมการเชิงอนุพันธ์อันดับ 1

คำนิยาม:สมการของแบบฟอร์ม =f(x;y) หรือ F(x;y; )=0เรียกว่าสมการเชิงอนุพันธ์อันดับ 1

คำนิยาม:ผลเฉลยทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์อันดับ 1 คือฟังก์ชัน y=γ(x;c) โดยที่ (c –const) ซึ่งเมื่อแทนที่ลงในสมการแล้ว จะกลายเป็นเอกลักษณ์ ในเชิงเรขาคณิต บนระนาบ คำตอบทั่วไปสอดคล้องกับกลุ่มของเส้นโค้งอินทิกรัล ขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์ c

คำนิยาม:เส้นโค้งอินทิกรัลที่ผ่านจุดหนึ่งในระนาบด้วยพิกัด (x 0 ;y 0) สอดคล้องกับคำตอบเฉพาะของสมการเชิงอนุพันธ์ที่เป็นไปตามเงื่อนไขเริ่มต้น:

ทฤษฎีบทเกี่ยวกับการมีอยู่ของความเป็นเอกลักษณ์ของคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์อันดับ 1

กำหนดสมการเชิงอนุพันธ์ลำดับที่ 1
และฟังก์ชัน f(x;y) ต่อเนื่องพร้อมกับอนุพันธ์ย่อยในบางขอบเขต D ของระนาบ XOY จากนั้นผ่านจุด M 0 (x 0 ;y 0) D ผ่านเส้นโค้งเดียวที่สอดคล้องกับคำตอบเฉพาะของสมการเชิงอนุพันธ์ที่สอดคล้องกับเงื่อนไขเริ่มต้น y(x 0)=y 0

เส้นโค้งอินทิกรัลเส้นหนึ่งผ่านจุดหนึ่งในระนาบด้วยพิกัดที่กำหนด

หากไม่สามารถหาคำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่งในรูปแบบที่ชัดเจนได้ เช่น
จากนั้นสามารถรับได้โดยปริยาย:

F(x; y; c) =0 – รูปแบบโดยนัย

วิธีแก้ปัญหาทั่วไปในรูปแบบนี้เรียกว่า อินทิกรัลทั่วไปสมการเชิงอนุพันธ์.

สัมพันธ์กับสมการเชิงอนุพันธ์อันดับ 1 มีปัญหา 2 ประการ:

1) ค้นหาวิธีแก้ปัญหาทั่วไป (อินทิกรัลทั่วไป)

2) ค้นหาวิธีแก้ปัญหาเฉพาะ (อินทิกรัลบางส่วน) ที่ตรงตามเงื่อนไขเริ่มต้นที่กำหนด ปัญหานี้เรียกว่าปัญหาคอชีสำหรับสมการเชิงอนุพันธ์

สมการเชิงอนุพันธ์กับตัวแปรที่แยกไม่ออก

สมการของแบบฟอร์ม:
เรียกว่าสมการเชิงอนุพันธ์ที่มีตัวแปรที่แยกไม่ออก

มาทดแทนกันเถอะ

คูณด้วย dx

มาแยกตัวแปรกันดีกว่า

หารด้วย

หมายเหตุ: จำเป็นต้องพิจารณาเป็นกรณีพิเศษเมื่อใด

ตัวแปรจะถูกแยกออกจากกัน

ลองอินทิเกรตทั้งสองข้างของสมการกัน

- การตัดสินใจร่วมกัน

สมการเชิงอนุพันธ์ที่มีตัวแปรแยกกันสามารถเขียนได้ดังนี้:

กรณีที่แยกได้
!

มารวมทั้งสองข้างของสมการกัน:

1)

2)
จุดเริ่มต้น เงื่อนไข:

สมการเชิงอนุพันธ์เอกพันธ์ลำดับที่ 1

คำนิยาม:การทำงาน
เรียกว่าเอกพันธ์ของลำดับ n ถ้า

ตัวอย่าง: - ฟังก์ชันเอกพันธ์ของ ordern=2

คำนิยาม:ฟังก์ชันเอกพันธ์ของลำดับ 0 เรียกว่า เป็นเนื้อเดียวกัน.

คำนิยาม:สมการเชิงอนุพันธ์
เรียกว่าเอกพันธ์ถ้า
- ฟังก์ชั่นที่เป็นเนื้อเดียวกันเช่น

ดังนั้นสมการเชิงอนุพันธ์เอกพันธ์จึงสามารถเขียนได้เป็น:

โดยใช้การทดแทน โดยที่ t เป็นฟังก์ชันของตัวแปร x สมการเชิงอนุพันธ์เอกพันธ์จะลดลงเป็นสมการที่มีตัวแปรที่แยกออกจากกันได้

- แทนลงในสมการ

ตัวแปรถูกแยกออกจากกัน มาอินทิเกรตทั้งสองข้างของสมการกันดีกว่า

มาทำการทดแทนแบบย้อนกลับด้วยการแทนที่กัน เราได้รับคำตอบทั่วไปในรูปแบบโดยปริยาย

สมการเชิงอนุพันธ์เอกพันธ์สามารถเขียนได้ในรูปแบบอนุพันธ์

M(x;y)dx+N(x;y)dy=0 โดยที่ M(x;y) และ N(x;y) เป็นฟังก์ชันเอกพันธ์ในลำดับเดียวกัน

หารด้วย dx และเอ็กซ์เพรส

1)

สมการเชิงอนุพันธ์สามัญ คือสมการที่เกี่ยวข้องกับตัวแปรอิสระ ซึ่งเป็นฟังก์ชันที่ไม่รู้จักของตัวแปรนี้และอนุพันธ์ของตัวแปร (หรือดิฟเฟอเรนเชียล) ของลำดับต่างๆ

ลำดับของสมการเชิงอนุพันธ์ เรียกว่าลำดับของอนุพันธ์สูงสุดที่อยู่ในนั้น

นอกจากสมการทั่วไปแล้ว ยังมีการศึกษาสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยด้วย สิ่งเหล่านี้คือสมการที่เกี่ยวข้องกับตัวแปรอิสระ ฟังก์ชันที่ไม่รู้จักของตัวแปรเหล่านี้ และอนุพันธ์ย่อยของตัวแปรนั้นเทียบกับตัวแปรเดียวกัน แต่เราจะพิจารณาเท่านั้น สมการเชิงอนุพันธ์สามัญ ดังนั้นเพื่อความกระชับเราจึงละเว้นคำว่า "ธรรมดา"

ตัวอย่างของสมการเชิงอนุพันธ์:

(1) ;

(3) ;

(4) ;

สมการ (1) คือลำดับที่สี่ สมการ (2) คือลำดับที่สาม สมการ (3) และ (4) คือลำดับที่สอง สมการ (5) คือลำดับที่หนึ่ง

สมการเชิงอนุพันธ์ nลำดับที่ไม่จำเป็นต้องมีฟังก์ชันที่ชัดเจน ซึ่งเป็นอนุพันธ์ทั้งหมดตั้งแต่ตัวแรกถึง n-ลำดับที่และตัวแปรอิสระ อาจไม่มีอนุพันธ์ที่ชัดเจนของคำสั่งบางคำสั่ง ฟังก์ชัน หรือตัวแปรอิสระ

ตัวอย่างเช่น ในสมการ (1) ไม่มีอนุพันธ์อันดับสามและอันดับสองอย่างชัดเจน รวมถึงฟังก์ชันด้วย ในสมการ (2) - อนุพันธ์อันดับสองและฟังก์ชัน ในสมการ (4) - ตัวแปรอิสระ ในสมการ (5) - ฟังก์ชัน เฉพาะสมการ (3) เท่านั้นที่มีอนุพันธ์ ฟังก์ชัน และตัวแปรอิสระทั้งหมดอย่างชัดเจน

การแก้สมการเชิงอนุพันธ์ ทุกฟังก์ชันถูกเรียก ย = ฉ(x)เมื่อแทนลงในสมการจะกลายเป็นอัตลักษณ์

กระบวนการหาคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์เรียกว่ากระบวนการของมัน บูรณาการ.

ตัวอย่างที่ 1หาคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์

สารละลาย. ลองเขียนสมการนี้ในรูปแบบ วิธีแก้คือหาฟังก์ชันจากอนุพันธ์ของมัน ฟังก์ชันดั้งเดิม ดังที่ทราบจากแคลคูลัสอินทิกรัล นั้นเป็นฟังก์ชันแอนติเดริเวทีฟสำหรับ เช่น

นั่นคือสิ่งที่มันเป็น คำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์นี้ - การเปลี่ยนแปลงในนั้น คเราจะได้รับวิธีแก้ปัญหาที่แตกต่างกัน เราพบว่ามีวิธีแก้สมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่งจำนวนอนันต์

ผลเฉลยทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์ nลำดับที่ 2 คือคำตอบที่แสดงอย่างชัดเจนเกี่ยวกับฟังก์ชันที่ไม่รู้จักและประกอบด้วย nค่าคงที่ตามอำเภอใจอิสระเช่น

การแก้สมการเชิงอนุพันธ์ในตัวอย่างที่ 1 นั้นเป็นคำตอบทั่วไป

ผลเฉลยบางส่วนของสมการเชิงอนุพันธ์ วิธีแก้ปัญหาที่เรียกว่าค่าคงที่ตามอำเภอใจ

ตัวอย่างที่ 2ค้นหาคำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์และคำตอบเฉพาะสำหรับ .

สารละลาย. ลองอินทิเกรตทั้งสองข้างของสมการหลายๆ ครั้งเท่ากับลำดับของสมการเชิงอนุพันธ์กัน

,

.

เป็นผลให้เราได้รับวิธีแก้ปัญหาทั่วไป -

ของสมการเชิงอนุพันธ์อันดับสามที่กำหนด

ตอนนี้เรามาดูวิธีแก้ปัญหาเฉพาะภายใต้เงื่อนไขที่ระบุกัน ในการทำเช่นนี้ให้แทนที่ค่าของพวกเขาแทนค่าสัมประสิทธิ์ตามอำเภอใจแล้วรับ

.

หากนอกเหนือจากสมการเชิงอนุพันธ์แล้ว เงื่อนไขเริ่มต้นจะได้รับในรูปแบบ ดังนั้นปัญหาดังกล่าวจะถูกเรียกว่า ปัญหาคอชี่ - แทนค่าและลงในคำตอบทั่วไปของสมการแล้วค้นหาค่าของค่าคงที่ตามอำเภอใจ คแล้วคำตอบเฉพาะของสมการของค่าที่พบ ค- นี่คือวิธีแก้ปัญหาคอชี่

ตัวอย่างที่ 3แก้โจทย์คอชี่สำหรับสมการเชิงอนุพันธ์จากตัวอย่างที่ 1 เรื่อง ถึง

สารละลาย. ให้เราแทนค่าจากเงื่อนไขเริ่มต้นไปเป็นวิธีแก้ปัญหาทั่วไป ย = 3, x= 1. เราได้

เราเขียนวิธีแก้ปัญหาของปัญหาคอชีสำหรับสมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่งนี้:

การแก้สมการเชิงอนุพันธ์ แม้แต่สมการที่ง่ายที่สุด ก็ต้องอาศัยทักษะการอินทิเกรตและอนุพันธ์ที่ดี รวมถึงฟังก์ชันที่ซับซ้อน ดังตัวอย่างต่อไปนี้

ตัวอย่างที่ 4หาคำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์

สารละลาย. สมการนี้เขียนอยู่ในรูปแบบที่คุณสามารถอินทิเกรตทั้งสองด้านได้ทันที

.

เราใช้วิธีการอินทิเกรตโดยการเปลี่ยนตัวแปร (การทดแทน) ปล่อยให้มันเป็นอย่างนั้น

จำเป็นต้องใช้ ดีเอ็กซ์และตอนนี้ - ความสนใจ - เราทำสิ่งนี้ตามกฎของการสร้างความแตกต่างของฟังก์ชันที่ซับซ้อนตั้งแต่นั้นมา xและมี ฟังก์ชั่นที่ซับซ้อน("แอปเปิ้ล" - การสกัด รากที่สองหรือสิ่งเดียวกัน - การยกกำลัง "ครึ่งหนึ่ง" และ "เนื้อสับ" เป็นสำนวนที่อยู่ใต้ราก):

เราพบอินทิกรัล:

กลับไปสู่ตัวแปร x, เราได้รับ:

.

นี่คือคำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์ดีกรีแรก

ไม่เพียงแต่ต้องใช้ทักษะจากส่วนก่อนหน้าของคณิตศาสตร์ชั้นสูงในการแก้สมการเชิงอนุพันธ์เท่านั้น แต่ยังต้องใช้ทักษะตั้งแต่ระดับประถมศึกษาด้วย นั่นก็คือ คณิตศาสตร์ของโรงเรียนด้วย ดังที่ได้กล่าวไปแล้ว ในสมการเชิงอนุพันธ์ของลำดับใดๆ อาจไม่มีตัวแปรอิสระ นั่นคือตัวแปร x- ความรู้เรื่องสัดส่วนจากโรงเรียนที่ไม่ลืม (แต่ ขึ้นอยู่กับใคร) จากโรงเรียน จะช่วยแก้ปัญหานี้ได้ นี่คือตัวอย่างถัดไป

อาจมีการแก้ไขเกี่ยวกับอนุพันธ์ไปแล้ว หรือสามารถแก้ไขได้ด้วยอนุพันธ์ .

ผลเฉลยทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์ชนิดบนช่วงเวลา เอ็กซ์ที่ให้มา สามารถพบได้โดยการหาอินทิกรัลของทั้งสองข้างของความเท่าเทียมกันนี้

เราได้รับ .

หากพิจารณาจากคุณสมบัติแล้ว อินทิกรัลไม่ จำกัดจากนั้นเราจะพบวิธีแก้ปัญหาทั่วไปที่ต้องการ:

y = F(x) + C,

ที่ไหน ฉ(x)- หนึ่งใน ฟังก์ชันแอนติเดริเวทีฟ ฉ(x)ในระหว่าง เอ็กซ์, ก กับ- ค่าคงที่ตามอำเภอใจ

โปรดทราบว่าในปัญหาส่วนใหญ่จะมีช่วงเวลา เอ็กซ์ไม่ได้ระบุ ซึ่งหมายความว่าจะต้องพบวิธีแก้ปัญหาสำหรับทุกคน xซึ่งและฟังก์ชันที่ต้องการ ยและสมการดั้งเดิมก็สมเหตุสมผล

หากคุณต้องการคำนวณผลเฉลยเฉพาะของสมการเชิงอนุพันธ์ที่ตรงตามเงื่อนไขเริ่มต้น y(x 0) = y 0จากนั้นหลังจากคำนวณอินทิกรัลทั่วไปแล้ว y = F(x) + Cยังคงจำเป็นต้องกำหนดค่าของค่าคงที่ ค = ค 0โดยใช้เงื่อนไขเริ่มต้น นั่นก็คือค่าคงที่ ค = ค 0กำหนดจากสมการ F(x 0) + C = y 0และคำตอบบางส่วนที่ต้องการของสมการเชิงอนุพันธ์จะอยู่ในรูปแบบ:

y = F(x) + C 0.

ลองดูตัวอย่าง:

ลองหาคำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์แล้วตรวจสอบความถูกต้องของผลลัพธ์ ขอให้เราหาคำตอบเฉพาะของสมการที่จะเป็นไปตามเงื่อนไขเริ่มต้น

สารละลาย:

หลังจากที่เรารวมสมการเชิงอนุพันธ์ที่กำหนดแล้ว เราจะได้:

.

ลองใช้อินทิกรัลนี้โดยใช้วิธีการอินทิเกรตทีละส่วน:

ที่., เป็นคำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์

เพื่อให้แน่ใจว่าผลลัพธ์ถูกต้อง เรามาตรวจสอบกัน ในการทำเช่นนี้ เราจะแทนที่วิธีแก้ปัญหาที่เราพบลงในสมการที่กำหนด:

.

นั่นคือเมื่อ สมการดั้งเดิมกลายเป็นเอกลักษณ์:

ดังนั้นจึงหาคำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์ได้ถูกต้อง

วิธีแก้ที่เราพบคือคำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์สำหรับค่าจริงทุกค่าของอาร์กิวเมนต์ x.

ยังคงต้องคำนวณวิธีแก้ปัญหาเฉพาะของ ODE ที่จะตรงตามเงื่อนไขเริ่มต้น กล่าวอีกนัยหนึ่ง จำเป็นต้องคำนวณค่าคงที่ กับซึ่งความเท่าเทียมกันจะเป็นจริง:

.

.

จากนั้นจึงทำการทดแทน ค = 2ในคำตอบทั่วไปของ ODE เราจะได้คำตอบเฉพาะของสมการเชิงอนุพันธ์ที่ตรงตามเงื่อนไขเริ่มต้น:

.

สมการเชิงอนุพันธ์สามัญ สามารถแก้หาอนุพันธ์ได้โดยการหาร 2 ข้างของสมการด้วย ฉ(x)- การแปลงนี้จะเท่ากันถ้า ฉ(x)จะไม่เปลี่ยนเป็นศูนย์ไม่ว่าในกรณีใด ๆ xจากช่วงอินทิเกรตของสมการเชิงอนุพันธ์ เอ็กซ์.

มีสถานการณ์ที่เป็นไปได้เมื่อค่าบางค่าของการโต้แย้ง x ∈ เอ็กซ์ฟังก์ชั่น ฉ(x)และ ก.(เอ็กซ์)กลายเป็นศูนย์ไปพร้อมๆ กัน สำหรับค่าที่คล้ายกัน xผลเฉลยทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์คือฟังก์ชันใดๆ ยซึ่งกำหนดไว้ในนั้นเพราะว่า -

ถ้าสำหรับค่าอาร์กิวเมนต์บางอย่าง x ∈ เอ็กซ์เป็นไปตามเงื่อนไข ซึ่งหมายความว่าในกรณีนี้ ODE ไม่มีทางแก้ไข

สำหรับคนอื่นๆ xจากช่วงเวลา เอ็กซ์ผลเฉลยทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์ถูกกำหนดจากสมการที่ถูกแปลงแล้ว

ลองดูตัวอย่าง:

ตัวอย่างที่ 1

เรามาหาวิธีแก้ไขทั่วไปสำหรับ ODE กัน: .

สารละลาย.

จากคุณสมบัติของฟังก์ชันเบื้องต้นเบื้องต้นจะเห็นว่าฟังก์ชันนั้น ลอการิทึมธรรมชาติถูกกำหนดไว้สำหรับค่าอาร์กิวเมนต์ที่ไม่ใช่ค่าลบ ดังนั้นขอบเขตของนิพจน์จึงเท่ากับ ลิน(x+3)มีช่วงเวลาหนึ่ง x > -3 - ซึ่งหมายความว่าสมการเชิงอนุพันธ์ที่ให้มานั้นสมเหตุสมผล x > -3 - สำหรับค่าอาร์กิวเมนต์เหล่านี้ นิพจน์ x+3ไม่หายไป จึงแก้ ODE ของอนุพันธ์ได้โดยหาร 2 ส่วนด้วย x + 3.

เราได้รับ .

ต่อไป เราจะรวมสมการเชิงอนุพันธ์ที่ได้ซึ่งแก้ไขด้วยอนุพันธ์: - ในการหาอินทิกรัลนี้ เราใช้วิธีรวมมันไว้ใต้เครื่องหมายดิฟเฟอเรนเชียล

เนื้อหาของบทความ

สมการเชิงอนุพันธ์.กฎทางกายภาพหลายข้อที่ควบคุมปรากฏการณ์บางอย่างเขียนไว้ในรูปแบบ สมการทางคณิตศาสตร์ซึ่งแสดงถึงความสัมพันธ์บางอย่างระหว่างปริมาณบางปริมาณ บ่อยครั้งเรากำลังพูดถึงความสัมพันธ์ระหว่างปริมาณที่เปลี่ยนแปลงไปตามกาลเวลา เช่น ประสิทธิภาพของเครื่องยนต์ซึ่งวัดจากระยะทางที่รถยนต์สามารถเดินทางได้โดยใช้น้ำมันเชื้อเพลิง 1 ลิตร ขึ้นอยู่กับความเร็วของรถ สมการที่เกี่ยวข้องประกอบด้วยฟังก์ชันตั้งแต่หนึ่งฟังก์ชันขึ้นไปพร้อมอนุพันธ์ของฟังก์ชันเหล่านั้น และเรียกว่าสมการเชิงอนุพันธ์ (อัตราการเปลี่ยนแปลงของระยะทางในช่วงเวลาถูกกำหนดโดยความเร็ว ดังนั้น ความเร็วจึงเป็นอนุพันธ์ของระยะทาง ในทำนองเดียวกัน ความเร่งก็คืออนุพันธ์ของความเร็ว เนื่องจากการเร่งความเร็วจะกำหนดอัตราการเปลี่ยนแปลงของความเร็วตามเวลา) ความสำคัญอย่างยิ่งซึ่งสมการเชิงอนุพันธ์มีสำหรับคณิตศาสตร์และโดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับการประยุกต์นั้น อธิบายได้จากข้อเท็จจริงที่ว่าการศึกษาปัญหาทางกายภาพและทางเทคนิคมากมายมีไว้เพื่อแก้สมการดังกล่าว สมการเชิงอนุพันธ์ยังมีบทบาทสำคัญในวิทยาศาสตร์อื่นๆ เช่น ชีววิทยา เศรษฐศาสตร์ และวิศวกรรมไฟฟ้า ในความเป็นจริงมันเกิดขึ้นทุกที่ที่มีความจำเป็นในการอธิบายปรากฏการณ์เชิงปริมาณ (ตัวเลข) (ตั้งแต่ โลกการเปลี่ยนแปลงตามเวลาและเงื่อนไขเปลี่ยนจากที่หนึ่งไปอีกที่หนึ่ง)

ตัวอย่าง.

ตัวอย่างต่อไปนี้ช่วยให้เข้าใจได้ดีขึ้นว่าปัญหาต่างๆ ได้รับการกำหนดในภาษาของสมการเชิงอนุพันธ์อย่างไร

1) กฎการสลายตัวของสารกัมมันตรังสีบางชนิดคือ อัตราการสลายตัวจะเป็นสัดส่วนกับปริมาณที่มีอยู่ของสารนี้ ถ้า x– ปริมาณของสาร ณ จุดใดเวลาหนึ่ง ทีดังนั้นกฎหมายนี้สามารถเขียนได้ดังนี้:

ที่ไหน ดีเอ็กซ์/dtคืออัตราการสลายตัว และ เค– ค่าคงที่เชิงบวกบางตัวที่แสดงลักษณะของสารที่กำหนด (เครื่องหมายลบทางด้านขวาบ่งบอกว่า xลดลงเมื่อเวลาผ่านไป เครื่องหมายบวกซึ่งบอกเป็นนัยเสมอเมื่อไม่ได้ระบุเครื่องหมายไว้อย่างชัดเจนจะหมายความอย่างนั้น xเพิ่มขึ้นเมื่อเวลาผ่านไป)

2) ภาชนะเริ่มแรกประกอบด้วยเกลือ 10 กิโลกรัมละลายในน้ำ 100 ลูกบาศก์เมตร ถ้า น้ำบริสุทธิ์เทลงในภาชนะด้วยความเร็ว 1 m 3 ต่อนาทีและผสมกับสารละลายอย่างเท่าเทียมกันและสารละลายที่ได้จะไหลออกจากภาชนะด้วยความเร็วเท่ากันจากนั้นจะมีเกลืออยู่ในภาชนะเท่าใดในเวลาต่อ ๆ ไป? ถ้า x– ปริมาณเกลือ (กก.) ในภาชนะต่อครั้ง ทีจากนั้นเมื่อใดก็ได้ ทีสารละลาย 1 m 3 ในภาชนะประกอบด้วย x/เกลือ 100 กก. ดังนั้นปริมาณเกลือจึงลดลงตามอัตรา x/100 กก./นาที หรือ

3)ให้มีมวลตามร่างกาย มห้อยลงมาจากปลายสปริง แรงคืนตัวจะทำหน้าที่แปรผันตามปริมาณแรงดึงในสปริง อนุญาต x– ปริมาณความเบี่ยงเบนของร่างกายจากตำแหน่งสมดุล จากนั้นตามกฎข้อที่สองของนิวตันซึ่งระบุว่าความเร่ง (อนุพันธ์อันดับสองของ xตามเวลาที่กำหนด ง 2 x/dt 2) สัดส่วนกับแรง:

ด้านขวามีเครื่องหมายลบเนื่องจากแรงคืนตัวช่วยลดการยืดตัวของสปริง

4) กฎความเย็นของร่างกาย ระบุว่าปริมาณความร้อนในร่างกายจะลดลงตามสัดส่วนของอุณหภูมิร่างกายที่แตกต่างกันและ สิ่งแวดล้อม- หากกาแฟหนึ่งแก้วที่ให้ความร้อนถึงอุณหภูมิ 90°C อยู่ในห้องที่มีอุณหภูมิ 20°C แล้ว

ที่ไหน ต– อุณหภูมิกาแฟ ณ เวลานั้น ที.

5) รัฐมนตรีต่างประเทศแห่งรัฐ Blefuscu อ้างว่าโครงการอาวุธที่ Lilliput นำมาใช้บังคับให้ประเทศของเขาเพิ่มการใช้จ่ายทางทหารให้มากที่สุด รัฐมนตรีว่าการกระทรวงการต่างประเทศของ Lilliput ก็มีแถลงการณ์ที่คล้ายกัน สถานการณ์ผลลัพธ์ (ในการตีความที่ง่ายที่สุด) สามารถอธิบายได้อย่างแม่นยำด้วยสมการเชิงอนุพันธ์สองสมการ อนุญาต xและ ย- ค่าใช้จ่ายสำหรับอาวุธยุทโธปกรณ์ของ Lilliput และ Blefuscu สมมติว่า Lilliput เพิ่มค่าใช้จ่ายด้านอาวุธยุทโธปกรณ์ในอัตราสัดส่วนกับอัตราการเพิ่มขึ้นของค่าใช้จ่ายด้านอาวุธยุทโธปกรณ์ของ Blefuscu และในทางกลับกัน เราได้รับ:

สมาชิกอยู่ที่ไหน ขวานและ - โดยอธิบายรายจ่ายทางการทหารของแต่ละประเทศ เคและ ลเป็นค่าคงที่ที่เป็นบวก (ปัญหานี้เกิดขึ้นครั้งแรกในลักษณะนี้ในปี 1939 โดยแอล. ริชาร์ดสัน)

หลังจากเขียนปัญหาเป็นภาษาสมการเชิงอนุพันธ์แล้ว คุณควรพยายามแก้โจทย์เหล่านั้น เช่น หาปริมาณที่มีอัตราการเปลี่ยนแปลงรวมอยู่ในสมการ บางครั้งวิธีแก้ปัญหาอาจพบได้ในรูปแบบของสูตรที่ชัดเจน แต่บ่อยครั้งสามารถนำเสนอได้เฉพาะในรูปแบบโดยประมาณหรือสามารถรับข้อมูลเชิงคุณภาพได้ มักจะเป็นเรื่องยากที่จะระบุได้ว่ามีวิธีแก้ปัญหาอยู่หรือไม่ ไม่ต้องพูดถึงการค้นหาเลย ส่วนสำคัญของทฤษฎีสมการเชิงอนุพันธ์ประกอบด้วยสิ่งที่เรียกว่า "ทฤษฎีบทการดำรงอยู่" ซึ่งพิสูจน์การมีอยู่ของคำตอบสำหรับสมการเชิงอนุพันธ์ประเภทหนึ่งหรือประเภทอื่น

สูตรทางคณิตศาสตร์ดั้งเดิมของปัญหาทางกายภาพมักจะมีสมมติฐานที่ทำให้ง่ายขึ้น เกณฑ์ของความสมเหตุสมผลอาจเป็นระดับความสอดคล้องของคำตอบทางคณิตศาสตร์กับการสังเกตที่มีอยู่

คำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์

สมการเชิงอนุพันธ์ เป็นต้น ดี้/ดีเอ็กซ์ = x/ย, ไม่ได้พอใจด้วยตัวเลข แต่โดยฟังก์ชัน ในกรณีนี้โดยเฉพาะ ซึ่งกราฟของมัน ณ จุดใดๆ เช่น ณ จุดที่มีพิกัด (2,3) มีเส้นสัมผัสกันกับ ความลาดชันเท่ากับอัตราส่วนของพิกัด (ในตัวอย่างของเรา 2/3) นี่เป็นเรื่องง่ายที่จะตรวจสอบหากคุณสร้าง จำนวนมากจุดและจากแต่ละส่วนแยกส่วนสั้น ๆ ที่มีความชันที่สอดคล้องกัน ผลเฉลยจะเป็นฟังก์ชันที่กราฟแตะแต่ละจุดไปยังส่วนที่สอดคล้องกัน หากมีจุดและส่วนเพียงพอ เราก็สามารถประมาณเส้นทางของเส้นโค้งการแก้ปัญหาได้ (เส้นโค้งดังกล่าวสามเส้นแสดงในรูปที่ 1) มีเส้นโค้งคำตอบเพียงเส้นเดียวที่ผ่านแต่ละจุดด้วย ยลำดับที่ 0 แต่ละคำตอบเรียกว่าคำตอบบางส่วนของสมการเชิงอนุพันธ์ หากเป็นไปได้ที่จะค้นหาสูตรที่มีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะทั้งหมด (ยกเว้นที่เป็นไปได้ของสูตรพิเศษบางอย่าง) พวกเขาก็บอกว่าได้รับวิธีแก้ปัญหาทั่วไปแล้ว โซลูชันเฉพาะแสดงถึงฟังก์ชันเดียว ในขณะที่โซลูชันทั่วไปแสดงถึงทั้งตระกูล การแก้สมการเชิงอนุพันธ์หมายถึงการค้นหาคำตอบเฉพาะหรือคำตอบทั่วไปของสมการนั้น ในตัวอย่างที่เรากำลังพิจารณา คำตอบทั่วไปจะมีรูปแบบดังนี้ ย 2 – x 2 = ค, ที่ไหน ค– หมายเลขใด ๆ คำตอบเฉพาะที่ผ่านจุด (1,1) จะมีรูปแบบ ย = xและปรากฎว่าเมื่อใด ค= 0; สารละลายเฉพาะที่ผ่านจุด (2,1) มีรูปแบบ ย 2 – x 2 = 3 เงื่อนไขที่ต้องให้เส้นโค้งของคำตอบผ่าน เช่น ผ่านจุด (2,1) เรียกว่าเงื่อนไขเริ่มต้น (เนื่องจากระบุจุดเริ่มต้นบนเส้นโค้งของคำตอบ)

แสดงว่าตัวอย่าง (1) คำตอบทั่วไปมีรูปแบบ x = ซีอี –เคที, ที่ไหน ค– ค่าคงที่ที่สามารถกำหนดได้ เช่น โดยการระบุปริมาณของสารที่ ที= 0 สมการจากตัวอย่าง (2) เป็นกรณีพิเศษของสมการจากตัวอย่าง (1) ซึ่งสอดคล้องกัน เค= 1/100. สภาพเริ่มต้น x= 10 ณ ที= 0 ให้วิธีแก้ปัญหาเฉพาะ x = 10จ –ที/100 . สมการจากตัวอย่าง (4) มีวิธีแก้ทั่วไป ต = 70 + ซีอี –เคทีและโซลูชันส่วนตัว 70 + 130 – เคที- เพื่อกำหนดค่า เคจำเป็นต้องมีข้อมูลเพิ่มเติม

สมการเชิงอนุพันธ์ ดี้/ดีเอ็กซ์ = x/ยเรียกว่าสมการลำดับที่หนึ่ง เนื่องจากมีอนุพันธ์อันดับหนึ่ง (โดยปกติลำดับของสมการอนุพันธ์จะถือเป็นลำดับของอนุพันธ์สูงสุดที่รวมอยู่ในสมการนั้น) สำหรับสมการเชิงอนุพันธ์ประเภทแรกส่วนใหญ่ (แต่ไม่ใช่ทั้งหมด) ที่เกิดขึ้นในทางปฏิบัติ จะมีเส้นโค้งคำตอบเพียงเส้นเดียวเท่านั้นที่ผ่านแต่ละจุด

สมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่งมีหลายประเภทที่สำคัญซึ่งสามารถแก้ไขได้ในรูปแบบของสูตรที่มีเฉพาะฟังก์ชันพื้นฐานเท่านั้น เช่น ยกกำลัง เลขชี้กำลัง ลอการิทึม ไซน์ และโคไซน์ เป็นต้น สมการดังกล่าวมีดังต่อไปนี้

สมการที่มีตัวแปรที่แยกไม่ออก

สมการของแบบฟอร์ม ดี้/ดีเอ็กซ์ = ฉ(x)/ก(ย) สามารถแก้ไขได้โดยเขียนเป็นดิฟเฟอเรนเชียล ก(ย)ดี้ = ฉ(x)ดีเอ็กซ์และบูรณาการทั้งสองส่วน ในกรณีที่เลวร้ายที่สุด วิธีแก้ปัญหาสามารถแสดงในรูปแบบของอินทิกรัลของฟังก์ชันที่ทราบได้ เช่น ในกรณีของสมการ ดี้/ดีเอ็กซ์ = x/ยเรามี ฉ(x) = x, ก(ย) = ย- โดยเขียนไว้ในแบบฟอร์ม เย้ = xdxและบูรณาการ เราก็ได้ ย 2 = x 2 + ค- สมการที่มีตัวแปรที่แยกได้จะรวมถึงสมการจากตัวอย่าง (1), (2), (4) (สามารถแก้ไขได้ในลักษณะที่อธิบายไว้ข้างต้น)

สมการในส่วนต่างผลรวม

ถ้าสมการเชิงอนุพันธ์มีรูปแบบ ดี้/ดีเอ็กซ์ = ม(x,ย)/เอ็น(x,ย), ที่ไหน มและ เอ็นเป็นฟังก์ชันที่กำหนดสองฟังก์ชัน จากนั้นจึงสามารถแสดงเป็น ม(x,ย)ดีเอ็กซ์ – เอ็น(x,ย)ดี้= 0 ถ้าด้านซ้ายเป็นดิฟเฟอเรนเชียลของฟังก์ชันบางฟังก์ชัน เอฟ(x,ย) จากนั้นสมการเชิงอนุพันธ์สามารถเขียนได้เป็น ดีเอฟ(x,ย) = 0 ซึ่งเทียบเท่ากับสมการ เอฟ(x,ย) = ค่าคงที่ ดังนั้น เส้นโค้งคำตอบของสมการคือ "เส้นระดับคงที่" ของฟังก์ชัน หรือตำแหน่งของจุดที่ตรงกับสมการ เอฟ(x,ย) = ค- สมการ เย้ = xdx(รูปที่ 1) - ด้วยตัวแปรที่แยกได้และเหมือนกัน - ในส่วนต่างทั้งหมด: เพื่อให้แน่ใจว่าอันหลังเราเขียนมันในรูปแบบ เย้ – xdx= 0 เช่น ง(ย 2 – x 2) = 0 ฟังก์ชัน เอฟ(x,ย) ในกรณีนี้เท่ากับ (1/2)( ย 2 – x 2); เส้นระดับคงที่บางเส้นแสดงไว้ในรูปที่ 1 1.

สมการเชิงเส้น

สมการเชิงเส้นคือสมการของ "ดีกรีแรก" - ฟังก์ชันที่ไม่รู้จักและอนุพันธ์ของมันจะปรากฏในสมการดังกล่าวจนถึงดีกรีแรกเท่านั้น ดังนั้นสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นลำดับที่หนึ่งจึงมีรูปแบบ ดี้/ดีเอ็กซ์ + พี(x) = ถาม(x), ที่ไหน พี(x) และ ถาม(x) – ฟังก์ชั่นที่ขึ้นอยู่กับเท่านั้น x- คำตอบของมันสามารถเขียนได้โดยใช้อินทิกรัลของฟังก์ชันที่รู้จักเสมอ สมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่งประเภทอื่นๆ อีกหลายประเภทแก้ได้โดยใช้เทคนิคพิเศษ

สมการลำดับที่สูงกว่า

สมการเชิงอนุพันธ์หลายสมการที่นักฟิสิกส์พบคือสมการอันดับสอง (เช่น สมการที่มีอนุพันธ์อันดับสอง) เช่น สมการการเคลื่อนที่ฮาร์มอนิกอย่างง่ายจากตัวอย่าง (3) แพทยศาสตร์ 2 x/dt 2 = –เคเอ็กซ์- โดยทั่วไป เราสามารถคาดหวังได้ว่าสมการอันดับสองจะมีคำตอบบางส่วนที่ตรงตามเงื่อนไขสองข้อ ตัวอย่างเช่น เราอาจต้องการให้เส้นโค้งการแก้ปัญหาผ่านจุดที่กำหนดในทิศทางที่กำหนด ในกรณีที่สมการเชิงอนุพันธ์มีพารามิเตอร์บางตัว (ตัวเลขที่มีค่าขึ้นอยู่กับสถานการณ์) คำตอบประเภทที่ต้องการจะมีอยู่สำหรับค่าบางค่าของพารามิเตอร์นี้เท่านั้น ตัวอย่างเช่น พิจารณาสมการ แพทยศาสตร์ 2 x/dt 2 = –เคเอ็กซ์และเราจะเรียกร้องสิ่งนั้น ย(0) = ย(1) = 0. ฟังก์ชัน ยเห็นได้ชัดว่า 0 เป็นวิธีแก้ปัญหา แต่ถ้าเป็นจำนวนเต็มทวีคูณ พี, เช่น. เค = ม 2 n 2 พี 2 ที่ไหน nเป็นจำนวนเต็ม แต่ในความเป็นจริงเฉพาะในกรณีนี้เท่านั้น ยังมีวิธีแก้ไขอื่นๆ ได้แก่: ย= บาป npx- ค่าพารามิเตอร์ที่สมการมีคำตอบพิเศษเรียกว่าลักษณะเฉพาะหรือ ค่าลักษณะเฉพาะ- พวกเขามีบทบาทสำคัญในงานหลายอย่าง

สมการของการเคลื่อนที่ฮาร์มอนิกอย่างง่ายเป็นตัวอย่างหนึ่งของคลาสสมการที่สำคัญ กล่าวคือ สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่ ตัวอย่างทั่วไป (รวมถึงอันดับสองด้วย) คือสมการ

ที่ไหน กและ ข– ให้ค่าคงที่ ฉ(x) เป็นฟังก์ชันที่กำหนด สมการดังกล่าวสามารถแก้ไขได้ วิธีทางที่แตกต่างตัวอย่างเช่น การใช้การแปลงลาปลาซแบบอินทิกรัล สิ่งเดียวกันอาจกล่าวได้เกี่ยวกับสมการเชิงเส้นของลำดับที่สูงกว่าที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่ พวกเขายังมีบทบาทสำคัญอีกด้วย สมการเชิงเส้นด้วยอัตราต่อรองที่แปรผัน

สมการเชิงอนุพันธ์ไม่เชิงเส้น

สมการที่มีฟังก์ชันที่ไม่รู้จักและอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่มีกำลังสูงกว่าฟังก์ชันแรกหรือในลักษณะที่ซับซ้อนกว่านั้นเรียกว่าแบบไม่เชิงเส้น ใน ปีที่ผ่านมาพวกเขากำลังดึงดูดความสนใจมากขึ้นเรื่อยๆ ความจริงก็คือสมการทางกายภาพมักจะเป็นเส้นตรงเพียงการประมาณครั้งแรกเท่านั้น ตามกฎแล้วการวิจัยเพิ่มเติมที่แม่นยำยิ่งขึ้นนั้นจำเป็นต้องใช้สมการไม่เชิงเส้น นอกจากนี้ ปัญหาหลายอย่างมีลักษณะไม่เชิงเส้น เนื่องจากการแก้สมการไม่เชิงเส้นมักจะซับซ้อนมากและแสดงด้วยสูตรง่ายๆ ได้ยาก ซึ่งเป็นส่วนสำคัญ ทฤษฎีสมัยใหม่อุทิศให้กับ การวิเคราะห์เชิงคุณภาพพฤติกรรมของพวกเขาเช่น การพัฒนาวิธีการที่ทำให้สามารถพูดบางสิ่งที่สำคัญเกี่ยวกับธรรมชาติของคำตอบโดยรวมได้ โดยไม่ต้องแก้สมการ เช่น ล้วนมีข้อจำกัด หรือมีลักษณะเป็นระยะ หรือขึ้นอยู่กับวิธีใดวิธีหนึ่ง ค่าสัมประสิทธิ์

การแก้สมการเชิงอนุพันธ์โดยประมาณสามารถหาได้เป็นตัวเลข แต่ต้องใช้เวลามาก ด้วยการถือกำเนิดของคอมพิวเตอร์ความเร็วสูง เวลานี้ก็ลดลงอย่างมาก ซึ่งเปิดโอกาสใหม่สำหรับการแก้ปัญหาเชิงตัวเลขของปัญหาต่างๆ มากมายที่ก่อนหน้านี้ไม่สามารถแก้ไขปัญหาดังกล่าวได้

ทฤษฎีบทการดำรงอยู่

ทฤษฎีบทการดำรงอยู่เป็นทฤษฎีบทที่ระบุว่า ภายใต้เงื่อนไขบางประการ สมการเชิงอนุพันธ์ที่กำหนดจะมีคำตอบ มีสมการเชิงอนุพันธ์ที่ไม่มีคำตอบหรือมีมากกว่าที่คาดไว้ จุดประสงค์ของทฤษฎีบทการดำรงอยู่คือเพื่อโน้มน้าวเราว่าสมการที่ให้มานั้นมีคำตอบอยู่จริง และส่วนใหญ่มักจะทำให้เรามั่นใจว่าสมการนั้นมีคำตอบประเภทที่ต้องการเพียงคำตอบเดียวเท่านั้น เช่นสมการที่เราเจอมาแล้ว ดี้/ดีเอ็กซ์ = –2ยมีคำตอบเดียวที่ผ่านแต่ละจุดของระนาบ ( x,ย) และเนื่องจากเราพบวิธีแก้ปัญหาดังกล่าวแล้วหนึ่งวิธี เราจึงแก้สมการนี้ได้อย่างสมบูรณ์ ในทางกลับกันสมการ ( ดี้/ดีเอ็กซ์) 2 = 1 – ย 2 มีวิธีแก้ปัญหามากมาย ในหมู่พวกเขาเป็นคนตรง ย = 1, ย= –1 และเส้นโค้ง ย= บาป( x + ค- วิธีแก้ปัญหาอาจประกอบด้วยหลายส่วนของเส้นตรงและเส้นโค้งเหล่านี้ผ่านเข้าหากันที่จุดที่สัมผัสกัน (รูปที่ 2)

สมการเชิงอนุพันธ์ย่อย

สมการเชิงอนุพันธ์สามัญคือข้อความเกี่ยวกับอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ไม่รู้จักของตัวแปรตัวหนึ่ง สมการเชิงอนุพันธ์ย่อยประกอบด้วยฟังก์ชันของตัวแปรตั้งแต่สองตัวขึ้นไปและอนุพันธ์ของฟังก์ชันนั้นเทียบกับตัวแปรที่ต่างกันอย่างน้อยสองตัว

ในวิชาฟิสิกส์ ตัวอย่างของสมการดังกล่าวคือสมการของลาปลาซ

เอ็กซ์, ย) ภายในวงกลมหากเป็นค่า ยูระบุไว้ในแต่ละจุดของวงกลมขอบเขต เนื่องจากปัญหาที่มีตัวแปรมากกว่าหนึ่งตัวแปรในฟิสิกส์เป็นกฎมากกว่าข้อยกเว้น จึงเป็นเรื่องง่ายที่จะจินตนาการว่าหัวข้อของทฤษฎีสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยนั้นกว้างใหญ่เพียงใด