ฟังก์ชั่นไม่จำเป็นเลยที่จะต้องรู้เกี่ยวกับการมีอยู่ของอนุพันธ์ตัวแรกและตัวที่สองและทำความเข้าใจพวกมัน ความหมายทางกายภาพ- ก่อนอื่นคุณต้องเข้าใจสิ่งต่อไปนี้:
- สุดขั้วของฟังก์ชันขยายใหญ่สุดหรือในทางกลับกันลดค่าของฟังก์ชันให้เหลือน้อยที่สุดในย่านเล็ก ๆ โดยพลการ
- ไม่ควรมีความต่อเนื่องของฟังก์ชันที่จุดปลายสุด
และตอนนี้ก็เป็นสิ่งเดียวกันเท่านั้น ในภาษาง่ายๆ- ดูที่ปลายด้าม ปากกาลูกลื่น- หากวางปากกาในแนวตั้ง โดยให้ตัวเขียนหงายขึ้น ตรงกลางสุดของลูกบอลจะเป็นจุดสูงสุด - จุดสูงสุด ในกรณีนี้เราพูดถึงค่าสูงสุด ทีนี้ ถ้าคุณหมุนปากกาโดยให้ด้านการเขียนคว่ำลง ตรงกลางของลูกบอลก็จะมีฟังก์ชันขั้นต่ำอยู่แล้ว เมื่อใช้รูปที่ให้ไว้ที่นี่ คุณสามารถจินตนาการถึงการจัดการที่ระบุไว้สำหรับดินสอสเตชันเนอรีได้ ดังนั้น จุดสุดขีดของฟังก์ชันจึงเป็นจุดวิกฤตเสมอ นั่นคือค่าสูงสุดหรือค่าต่ำสุด ส่วนที่ติดกันของกราฟสามารถคมชัดหรือเรียบได้ตามต้องการ แต่ต้องมีทั้งสองด้าน เฉพาะในกรณีนี้ จุดจะอยู่ปลายสุดเท่านั้น หากกราฟปรากฏเพียงด้านเดียว จุดนี้จะไม่เป็นจุดสุดขั้ว แม้ว่าจะตรงตามเงื่อนไขด้านหนึ่งก็ตาม ทีนี้มาศึกษาเอ็กซ์ตรีมของฟังก์ชันกันดีกว่า จุดทางวิทยาศาสตร์วิสัยทัศน์. ในการที่จะพิจารณาประเด็นสุดโต่ง จำเป็นและเพียงพอที่:
- อนุพันธ์อันดับหนึ่งเป็นศูนย์หรือไม่มีอยู่ ณ จุดนั้น
- อนุพันธ์ตัวแรกเปลี่ยนเครื่องหมาย ณ จุดนี้
เงื่อนไขถูกตีความแตกต่างออกไปเล็กน้อยจากมุมมองของอนุพันธ์ลำดับที่สูงกว่า: สำหรับฟังก์ชันที่สามารถหาอนุพันธ์ได้ ณ จุดหนึ่ง ก็เพียงพอแล้วที่จะมีอนุพันธ์ลำดับคี่ที่ไม่เท่ากับศูนย์ ในขณะที่อนุพันธ์ลำดับที่ต่ำกว่าทั้งหมดต้องมีอยู่ และมีค่าเท่ากับศูนย์ นี่เป็นการตีความทฤษฎีบทจากหนังสือเรียนที่ง่ายที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ คนธรรมดาเป็นการชี้แจงประเด็นนี้ด้วยตัวอย่างที่คุ้มค่า ฐานคือพาราโบลาธรรมดา มาจองกันได้เลยที่จุดศูนย์จะมีขั้นต่ำ คณิตศาสตร์เพียงเล็กน้อย:
- อนุพันธ์อันดับหนึ่ง (X 2) | = 2X สำหรับจุดศูนย์ 2X = 0;
- อนุพันธ์อันดับสอง (2X) | = 2 สำหรับศูนย์จุด 2 = 2
วิธีง่ายๆ นี้แสดงเงื่อนไขที่กำหนดจุดสุดขีดของฟังก์ชันสำหรับทั้งอนุพันธ์อันดับหนึ่งและอนุพันธ์ การสั่งซื้อสินค้าที่สูงขึ้น- เราสามารถเพิ่มเติมได้ว่าอนุพันธ์อันดับสองนั้นเป็นอนุพันธ์ของลำดับคี่อย่างแน่นอน ซึ่งไม่เท่ากับศูนย์ ตามที่กล่าวไว้ข้างต้น เมื่อพูดถึง extrema ของฟังก์ชันของตัวแปรสองตัว จะต้องตรงตามเงื่อนไขสำหรับอาร์กิวเมนต์ทั้งสอง เมื่อลักษณะทั่วไปเกิดขึ้น จะใช้อนุพันธ์บางส่วน นั่นคือ สำหรับการมีอยู่ของจุดสุดขั้ว ณ จุดหนึ่ง จำเป็นที่อนุพันธ์อันดับหนึ่งทั้งสองจะต้องเท่ากับศูนย์ หรืออย่างน้อยหนึ่งอนุพันธ์ไม่มีอยู่จริง เพื่อให้แน่ใจว่าการมีสุดขั้วเพียงพอ จะมีการตรวจสอบนิพจน์ที่เป็นความแตกต่างระหว่างผลคูณของอนุพันธ์อันดับสองกับกำลังสองของอนุพันธ์อันดับสองแบบผสมของฟังก์ชัน หากนิพจน์นี้มากกว่าศูนย์ แสดงว่ามีจุดสุดขั้ว แต่หากเท่ากับศูนย์ คำถามนั้นยังคงเปิดอยู่และจำเป็นต้องดำเนินการวิจัยเพิ่มเติม
นี่เป็นส่วนที่ค่อนข้างน่าสนใจของคณิตศาสตร์ซึ่งผู้สำเร็จการศึกษาและนักศึกษาทุกคนต้องเผชิญ อย่างไรก็ตามไม่ใช่ทุกคนจะชอบมาทัน บางคนไม่เข้าใจแม้แต่เรื่องพื้นฐาน เช่น การศึกษาฟังก์ชันที่ดูเหมือนเป็นมาตรฐาน บทความนี้มีวัตถุประสงค์เพื่อแก้ไขการกำกับดูแลดังกล่าว ต้องการเรียนรู้เพิ่มเติมเกี่ยวกับการวิเคราะห์ฟังก์ชันหรือไม่ คุณต้องการที่จะรู้ว่าจุดสุดขีดคืออะไรและจะหาได้อย่างไร? บทความนี้เหมาะสำหรับคุณ
การศึกษากราฟของฟังก์ชัน
อันดับแรก ควรทำความเข้าใจว่าทำไมจึงจำเป็นต้องวิเคราะห์กราฟเลย มีฟังก์ชั่นง่ายๆที่วาดได้ไม่ยาก ตัวอย่างที่โดดเด่นพาราโบลาสามารถทำหน้าที่คล้ายกันได้ การวาดกราฟไม่ใช่เรื่องยาก สิ่งที่คุณต้องมีคือใช้การแปลงแบบง่ายๆ เพื่อค้นหาตัวเลขที่ฟังก์ชันรับค่า 0 และโดยหลักการแล้ว นี่คือทั้งหมดที่คุณต้องรู้เพื่อวาดกราฟของพาราโบลา
แต่จะเกิดอะไรขึ้นถ้าฟังก์ชันที่เราต้องการสร้างกราฟนั้นซับซ้อนกว่านี้มาก? เนื่องจากคุณสมบัติ ฟังก์ชั่นที่ซับซ้อนค่อนข้างไม่ชัดเจน จึงจำเป็นต้องดำเนินการ การวิเคราะห์ทั้งหมด- หลังจากนี้เท่านั้นจึงจะสามารถแสดงฟังก์ชันเป็นภาพกราฟิกได้ วิธีการทำเช่นนี้? คุณสามารถหาคำตอบสำหรับคำถามนี้ได้ในบทความนี้
แผนการวิเคราะห์ฟังก์ชัน
สิ่งแรกที่เราต้องทำคือทำการศึกษาฟังก์ชันแบบผิวเผิน ในระหว่างนั้นเราจะค้นหาโดเมนของคำจำกัดความ เรามาเริ่มกันตามลำดับ โดเมนของคำจำกัดความคือชุดของค่าที่ฟังก์ชันถูกกำหนดไว้ พูดง่ายๆ ก็คือตัวเลขเหล่านี้สามารถนำมาใช้ในฟังก์ชันแทน x ได้ ในการกำหนดขอบเขต คุณเพียงแค่ต้องดูที่บันทึก ตัวอย่างเช่น เห็นได้ชัดว่าฟังก์ชัน y (x) = x 3 + x 2 - x + 43 มีโดเมนของคำจำกัดความที่เป็นเซตของจำนวนจริง ด้วยฟังก์ชันเช่น (x 2 - 2x)/x ทุกอย่างแตกต่างออกไปเล็กน้อย เนื่องจากตัวเลขในตัวส่วนต้องไม่เท่ากับ 0 โดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันนี้จะเป็นจำนวนจริงทั้งหมดที่ไม่ใช่ศูนย์
ต่อไปคุณจะต้องค้นหาสิ่งที่เรียกว่าศูนย์ของฟังก์ชัน นี่คือค่าอาร์กิวเมนต์ที่ฟังก์ชันทั้งหมดรับค่าเป็นศูนย์ ในการทำเช่นนี้จำเป็นต้องจัดฟังก์ชันให้เป็นศูนย์พิจารณาอย่างละเอียดและทำการแปลงบางอย่าง ลองใช้ฟังก์ชันที่คุ้นเคยอยู่แล้ว y(x) = (x 2 - 2x)/x จากหลักสูตรของโรงเรียน เรารู้ว่าเศษส่วนเท่ากับ 0 เมื่อตัวเศษเท่ากับศูนย์ ดังนั้นเราจึงละทิ้งตัวส่วนและเริ่มทำงานกับตัวเศษโดยทำให้มันเป็นศูนย์ เราได้ x 2 - 2x = 0 และนำ x ออกจากวงเล็บ ดังนั้น x (x - 2) = 0 ผลลัพธ์คือ เราพบว่าฟังก์ชันของเราเท่ากับศูนย์ เมื่อ x เท่ากับ 0 หรือ 2
เมื่อศึกษากราฟของฟังก์ชัน หลายคนประสบปัญหาในรูปแบบของจุดสุดขั้ว และมันก็แปลก ท้ายที่สุดแล้ว ความสุดขั้วเป็นหัวข้อที่ค่อนข้างง่าย ไม่เชื่อฉันเหรอ? ดูตัวคุณเองโดยอ่านบทความนี้ซึ่งเราจะพูดถึงคะแนนต่ำสุดและสูงสุด
ประการแรก ควรทำความเข้าใจก่อนว่าภาวะสุดโต่งคืออะไร สุดขีดคือค่าขีดจำกัดที่ฟังก์ชันไปถึงบนกราฟ ปรากฎว่ามีค่าสูงสุดสองค่า - สูงสุดและต่ำสุด เพื่อความชัดเจนคุณสามารถดูภาพด้านบนได้ ในพื้นที่ศึกษา จุด -1 คือค่าสูงสุดของฟังก์ชัน y (x) = x 5 - 5x และจุดที่ 1 ตามลำดับคือค่าต่ำสุด
นอกจากนี้อย่าสับสนแนวคิด จุดปลายสุดของฟังก์ชันคืออาร์กิวเมนต์ที่ฟังก์ชันที่กำหนดได้รับค่าที่มากสุด ในทางกลับกัน ค่าสุดขีดคือค่าของค่าต่ำสุดและค่าสูงสุดของฟังก์ชัน ตัวอย่างเช่น ลองพิจารณาภาพด้านบนอีกครั้ง -1 และ 1 คือจุดสุดขีดของฟังก์ชัน และ 4 และ -4 คือจุดสุดขีดนั่นเอง
การหาจุดสุดยอด
แต่คุณจะหาจุดปลายสุดของฟังก์ชันได้อย่างไร? ทุกอย่างค่อนข้างง่าย สิ่งแรกที่ต้องทำคือหาอนุพันธ์ของสมการ สมมติว่าเราได้รับงาน: “ ค้นหาจุดปลายสุดของฟังก์ชัน y (x) x คืออาร์กิวเมนต์ เพื่อความชัดเจน ลองใช้ฟังก์ชัน y (x) = x 3 + 2x 2 + x + 54 มาแยกความแตกต่างและ ได้สมการต่อไปนี้: 3x 2 + 4x + 1 ผลลัพธ์ที่ได้คือสมการกำลังสองมาตรฐาน สิ่งที่ต้องทำต่อไปคือทำให้มันเท่ากับศูนย์และหาราก เนื่องจากค่าจำแนกมีค่ามากกว่าศูนย์ (D = 16 - 12 = 4) สมการนี้ถูกกำหนดโดยสองราก เราจะหาค่าเหล่านี้มาได้ 2 ค่า: 1/3 และ -1 สิ่งเหล่านี้จะเป็นจุดปลายสุดของฟังก์ชัน คือใคร จุดใดคือจุดสูงสุดและจุดใดคือจุดต่ำสุด ในการทำเช่นนี้คุณต้องหาจุดใกล้เคียงและค้นหาค่าของมัน ใช้หมายเลข -2 ซึ่งอยู่ทางซ้ายตามเส้นพิกัดจาก - 1. แทนค่านี้ลงในสมการของเรา y(-2) = 12 - 8 + 1 = 5 ผลลัพธ์ที่ได้คือจำนวนบวก ซึ่งหมายความว่าในช่วงเวลาตั้งแต่ 1/3 ถึง -1 ฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้น ในทางกลับกัน หมายความว่าในช่วงเวลาตั้งแต่ลบอนันต์ถึง 1/3 และจาก -1 ถึงบวกอนันต์ ฟังก์ชันจะลดลง ดังนั้น เราสามารถสรุปได้ว่าตัวเลข 1/3 คือจุดต่ำสุดของฟังก์ชันในช่วงเวลาที่ศึกษา และ -1 คือจุดสูงสุด
นอกจากนี้ยังเป็นที่น่าสังเกตว่าการสอบ Unified State ไม่เพียงต้องการการค้นหาจุดสุดขั้วเท่านั้น แต่ยังต้องดำเนินการบางอย่างด้วย (การบวกการคูณ ฯลฯ ) ด้วยเหตุนี้จึงคุ้มค่าที่จะจ่าย ความสนใจเป็นพิเศษตามเงื่อนไขของปัญหา ท้ายที่สุดเนื่องจากการไม่ตั้งใจคุณอาจเสียคะแนนได้
อย่างที่คุณเห็น เครื่องหมายของส่วนปลายสุดของฟังก์ชันนี้ต้องมีอนุพันธ์อย่างน้อยอยู่ในลำดับที่สอง ณ จุดนั้น
ตัวอย่าง.
ค้นหาจุดสุดขีดของฟังก์ชัน
สารละลาย.
เริ่มจากโดเมนของคำจำกัดความกันก่อน: 
มาแยกความแตกต่างของฟังก์ชันดั้งเดิมกัน: 
x=1นั่นคือนี่คือจุดสุดขั้วที่เป็นไปได้ เราค้นหาอนุพันธ์อันดับสองของฟังก์ชันและคำนวณค่าของมันที่ x = 1:
ดังนั้น โดยเงื่อนไขที่สองที่เพียงพอสำหรับสุดขั้ว x=1- จุดสูงสุด แล้ว 
- ฟังก์ชั่นสูงสุด
ภาพประกอบกราฟฟิค
คำตอบ:
เงื่อนไขที่เพียงพอประการที่สามสำหรับส่วนปลายของฟังก์ชัน
ให้ฟังก์ชัน y=ฉ(x)มีอนุพันธ์ถึง n- ลำดับที่ - บริเวณใกล้เคียงของจุดและอนุพันธ์ขึ้นไป n+1-ลำดับที่จุดนั้นเอง ช่างมัน.
ตัวอย่าง.
ค้นหาจุดปลายสุดของฟังก์ชัน 
.
สารละลาย.
ฟังก์ชันดั้งเดิมเป็นฟังก์ชันตรรกยะทั้งหมด โดเมนของคำจำกัดความคือเซตของจำนวนจริงทั้งหมด
มาแยกความแตกต่างฟังก์ชั่นกัน: 
อนุพันธ์ไปที่ศูนย์ที่ 
ดังนั้น จุดเหล่านี้จึงเป็นจุดที่มีความสุดขั้วที่เป็นไปได้ ขอให้เราใช้เงื่อนไขที่เพียงพอประการที่สามสำหรับค่าสุดโต่ง
เราค้นหาอนุพันธ์อันดับสองและคำนวณมูลค่าของมัน ณ จุดสุดขั้วที่เป็นไปได้ (เราจะละเว้นการคำนวณระดับกลาง): 
ผลก็คือจุดสูงสุด (สำหรับสัญญาณที่เพียงพออันที่สามของจุดสุดขั้วที่เรามี n=1และ ).
เพื่อค้นหาลักษณะของจุด 
เราค้นหาอนุพันธ์อันดับสามและคำนวณมูลค่า ณ จุดเหล่านี้: 
ดังนั้น คือจุดเปลี่ยนเว้าของฟังก์ชัน ( n=2และ ).
มันยังคงต้องจัดการกับประเด็น เราค้นหาอนุพันธ์อันดับสี่และคำนวณมูลค่า ณ จุดนี้: 
ดังนั้น คือจุดต่ำสุดของฟังก์ชัน
ภาพประกอบกราฟฟิค
คำตอบ:
จุดสูงสุดคือจุดต่ำสุดของฟังก์ชัน
10. Extrema ของฟังก์ชัน นิยามของ extremum
ฟังก์ชัน y = f(x) ถูกเรียก เพิ่มขึ้น (ลดลง) ในช่วงเวลาหนึ่ง ถ้าเป็น x 1< x 2 выполняется неравенство (f(x 1) < f (x 2) (f(x 1) >ฉ(x 2)).
หากฟังก์ชันหาอนุพันธ์ y = f(x) เพิ่มขึ้น (ลดลง) ในช่วงเวลาหนึ่งแสดงว่าอนุพันธ์ของมันในช่วงเวลานี้ f " (x) 0
(ฉ " (x) 0)
จุด x โอเรียกว่า จุดสูงสุดในท้องถิ่น (ขั้นต่ำ) ฟังก์ชัน f(x) ถ้ามีพื้นที่ใกล้เคียงของจุด x โอสำหรับทุกจุดที่มีอสมการ f(x) ≤ f(x о) (f(x) ≥ f(x о)) เป็นจริง
เรียกว่าจุดสูงสุดและต่ำสุด จุดสุดขั้วและค่าของฟังก์ชันที่จุดเหล่านี้คือค่าของมัน สุดขั้ว
จุดสุดขีด
เงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับสุดขั้ว- ถ้าตรงประเด็น x โอคือจุดปลายสุดของฟังก์ชัน f(x) ดังนั้น f " (x o) = 0 หรือ f (x o) จะไม่มี จุดดังกล่าวเรียกว่า วิกฤต,และฟังก์ชันนั้นถูกกำหนดไว้ที่จุดวิกฤติ ควรค้นหาจุดสุดขีดของฟังก์ชันท่ามกลางจุดวิกฤต
เงื่อนไขแรกเพียงพออนุญาต x โอ- จุดวิกฤติ ถ้า f "(x) เมื่อผ่านจุดใดจุดหนึ่ง x โอเปลี่ยนเครื่องหมายบวกเป็นลบแล้วถึงจุดนั้น x โอฟังก์ชันมีค่าสูงสุด ไม่เช่นนั้นจะมีค่าต่ำสุด หากเมื่อผ่านจุดวิกฤต อนุพันธ์ไม่เปลี่ยนเครื่องหมาย ให้ไปที่จุดนั้น x โอไม่มีความสุดขั้ว
เงื่อนไขที่สองเพียงพอปล่อยให้ฟังก์ชัน f(x) มีอนุพันธ์ f " (x) ใกล้กับจุด x โอและอนุพันธ์อันดับสอง ณ จุดนั้นเอง x โอ- ถ้า ฉ "(x o) = 0, >0 (<0), то точка x โอคือจุดต่ำสุด (สูงสุด) ในพื้นที่ของฟังก์ชัน f(x) ถ้า =0 คุณต้องใช้เงื่อนไขแรกเพียงพอหรือใช้อนุพันธ์ที่สูงกว่า
บนเซ็กเมนต์ ฟังก์ชัน y = f(x) สามารถเข้าถึงค่าต่ำสุดหรือสูงสุดได้ที่จุดวิกฤติหรือที่ส่วนท้ายของเซ็กเมนต์
ตัวอย่างที่ 3.22ค้นหาสุดขั้วของฟังก์ชัน f(x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14
สารละลาย. เนื่องจาก f "(x) = 6x 2 - 30x +36 = 6(x -2)(x - 3) ดังนั้นจุดวิกฤติของฟังก์ชัน x 1 = 2 และ x 2 = 3 Extrema สามารถอยู่ที่เท่านั้น จุดเหล่านี้ เมื่อผ่านจุด x 1 = 2 อนุพันธ์จะเปลี่ยนเครื่องหมายจากบวกเป็นลบ จากนั้น ณ จุดนี้ฟังก์ชันจะมีค่าสูงสุด เมื่อผ่านจุด x 2 = 3 อนุพันธ์จะเปลี่ยนเครื่องหมายจากลบ ถึงบวก ดังนั้น ณ จุด x 2 = 3 ฟังก์ชันจึงมีค่าต่ำสุด เมื่อคำนวณค่าของฟังก์ชันที่จุด x 1 = 2 และ x 2 = 3 เราจะพบจุดสุดขีดของฟังก์ชัน: สูงสุด f( 2) = 14 และค่าต่ำสุด f(3) = 13
คำจำกัดความ:
สุดขีดเรียกค่าสูงสุดหรือต่ำสุดของฟังก์ชันในชุดที่กำหนด
จุดสุดขั้วคือจุดที่ถึงค่าสูงสุดหรือต่ำสุดของฟังก์ชัน
จุดสูงสุดคือจุดที่ถึงค่าสูงสุดของฟังก์ชัน
จุดต่ำสุดคือจุดที่ถึงค่าต่ำสุดของฟังก์ชัน
คำอธิบาย.
ในรูป ใกล้กับจุด x = 3 ฟังก์ชันจะถึงค่าสูงสุด (นั่นคือ ไม่มีจุดที่สูงกว่านี้ในบริเวณใกล้จุดใดจุดหนึ่ง) ในย่านใกล้เคียงของ x = 8 จะมีค่าสูงสุดอีกครั้ง (ให้เราชี้แจงอีกครั้ง: ในย่านนี้ไม่มีจุดใดที่สูงกว่านี้อีกแล้ว) เมื่อถึงจุดเหล่านี้ การเพิ่มขึ้นจะทำให้มีการลดลง เป็นจุดสูงสุด:
x สูงสุด = 3, x สูงสุด = 8
ใกล้กับจุด x = 5 จะถึงค่าต่ำสุดของฟังก์ชัน (นั่นคือ ในบริเวณใกล้เคียงกับ x = 5 จะไม่มีจุดด้านล่าง) ณ จุดนี้ การลดลงทำให้เกิดการเพิ่มขึ้น เป็นจุดต่ำสุด:
จุดสูงสุดและต่ำสุดคือ จุดปลายสุดของฟังก์ชันและค่าของฟังก์ชันที่จุดเหล่านี้คือค่าของมัน สุดขั้ว.
จุดวิกฤติและจุดคงที่ของฟังก์ชัน:
เงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับภาวะสุดขั้ว:
สภาพที่เพียงพอสำหรับภาวะสุดขั้ว:
บนเซ็กเมนต์ฟังก์ชัน ย = ฉ(x) สามารถเข้าถึงค่าต่ำสุดหรือสูงสุดได้ที่จุดวิกฤติหรือที่ส่วนท้ายของส่วน
อัลกอริทึมสำหรับการศึกษาฟังก์ชันต่อเนื่องย = ฉ(x) สำหรับความน่าเบื่อหน่ายและสุดขีด:
ค่าสุดขีดของฟังก์ชันคืออะไร และเงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับค่าสุดขีดคืออะไร?
ปลายสุดของฟังก์ชันคือค่าสูงสุดและต่ำสุดของฟังก์ชัน
เงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับค่าสูงสุดและต่ำสุด (สุดขีด) ของฟังก์ชันมีดังต่อไปนี้: หากฟังก์ชัน f(x) มีจุดสุดขีดที่จุด x = a แล้ว ณ จุดนี้อนุพันธ์จะเป็นศูนย์หรืออนันต์ หรือ ไม่มีอยู่จริง
เงื่อนไขนี้จำเป็นแต่ไม่เพียงพอ อนุพันธ์ที่จุด x = a สามารถไปถึงศูนย์ อนันต์ หรือไม่มีอยู่ได้หากไม่มีฟังก์ชันสุดขั้ว ณ จุดนี้
เงื่อนไขที่เพียงพอสำหรับส่วนปลายของฟังก์ชัน (สูงสุดหรือต่ำสุด) คืออะไร?
เงื่อนไขแรก:
หากอยู่ใกล้จุด x = a มากพอ อนุพันธ์ของ f?(x) เป็นบวกทางด้านซ้ายของ a และเป็นลบทางด้านขวาของ a แล้วที่จุด x = a ฟังก์ชัน f(x) จะมี ขีดสุด
หากอยู่ใกล้จุด x = a มากพอ อนุพันธ์ของ f?(x) เป็นลบทางด้านซ้ายของ a และเป็นบวกทางด้านขวาของ a แล้วที่จุด x = a ฟังก์ชัน f(x) จะมี ขั้นต่ำโดยมีเงื่อนไขว่าฟังก์ชัน f(x) ในที่นี้เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง
คุณสามารถใช้เงื่อนไขที่สองที่เพียงพอสำหรับส่วนปลายสุดของฟังก์ชันแทนได้:
ให้ ณ จุด x = a อนุพันธ์อันดับหนึ่ง f?(x) หายไป; ถ้าอนุพันธ์อันดับสอง f??(a) เป็นลบ แสดงว่าฟังก์ชัน f(x) จะมีค่าสูงสุดที่จุด x = a หากเป็นบวก ก็จะมีค่าต่ำสุด
จุดวิกฤตของฟังก์ชันคืออะไร และจะค้นหาได้อย่างไร
นี่คือค่าของอาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันที่ฟังก์ชันมีจุดสิ้นสุด (เช่น สูงสุดหรือต่ำสุด) เพื่อค้นหาสิ่งที่คุณต้องการ หาอนุพันธ์ฟังก์ชัน f?(x) และเมื่อเท่ากับศูนย์ แก้สมการ f?(x) = 0 รากของสมการนี้รวมถึงจุดที่อนุพันธ์ของฟังก์ชันนี้ไม่มีอยู่เป็นจุดวิกฤตเช่นค่าของอาร์กิวเมนต์ที่สามารถมีจุดสุดยอดได้ พวกเขาสามารถระบุได้ง่ายโดยการดู กราฟอนุพันธ์: เราสนใจค่าของการโต้แย้งที่กราฟของฟังก์ชันตัดกับแกน Abscissa (แกน Ox) และค่าที่กราฟประสบความไม่ต่อเนื่อง
เช่น เรามาค้นหากัน ส่วนปลายของพาราโบลา.
ฟังก์ชัน y(x) = 3x2 + 2x - 50
อนุพันธ์ของฟังก์ชัน: y?(x) = 6x + 2
แก้สมการ: y?(x) = 0
6x + 2 = 0, 6x = -2, x = -2/6 = -1/3
ในกรณีนี้ จุดวิกฤติคือ x0=-1/3 มันขึ้นอยู่กับค่าอาร์กิวเมนต์นี้ที่ฟังก์ชันมี สุดขั้ว- ให้เขา หาให้แทนที่ตัวเลขที่พบในนิพจน์สำหรับฟังก์ชันแทน "x":
y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50.333.
วิธีกำหนดค่าสูงสุดและต่ำสุดของฟังก์ชัน เช่น ค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดคืออะไร?
หากเครื่องหมายของอนุพันธ์เมื่อผ่านจุดวิกฤติ x0 เปลี่ยนจาก "บวก" เป็น "ลบ" แล้ว x0 คือ จุดสูงสุด- ถ้าเครื่องหมายของอนุพันธ์เปลี่ยนจากลบเป็นบวก แล้ว x0 คือ จุดต่ำสุด- หากเครื่องหมายไม่เปลี่ยนแปลง เมื่อถึงจุด x0 จะไม่มีทั้งค่าสูงสุดและค่าต่ำสุด
สำหรับตัวอย่างที่พิจารณา:
เราใช้ค่าอาร์กิวเมนต์ตามอำเภอใจทางด้านซ้ายของจุดวิกฤติ: x = -1
ที่ x = -1 ค่าของอนุพันธ์จะเป็น y?(-1) = 6*(-1) + 2 = -6 + 2 = -4 (นั่นคือ เครื่องหมายคือ “ลบ”)
ตอนนี้เรารับค่าอาร์กิวเมนต์ตามอำเภอใจทางด้านขวาของจุดวิกฤติ: x = 1
ที่ x = 1 ค่าของอนุพันธ์จะเป็น y(1) = 6*1 + 2 = 6 + 2 = 8 (นั่นคือ เครื่องหมายคือ “บวก”)
อย่างที่คุณเห็น อนุพันธ์เปลี่ยนเครื่องหมายจากลบเป็นบวกเมื่อผ่านจุดวิกฤติ ซึ่งหมายความว่าที่ค่าวิกฤต x0 เรามีจุดต่ำสุด
ค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดของฟังก์ชัน ในช่วงเวลา(บนเซ็กเมนต์) จะถูกพบโดยใช้ขั้นตอนเดียวกัน โดยคำนึงถึงข้อเท็จจริงที่ว่าบางทีจุดวิกฤติไม่ใช่ทั้งหมดจะอยู่ภายในช่วงเวลาที่กำหนดเท่านั้น จุดวิกฤตเหล่านั้นที่อยู่นอกช่วงเวลาจะต้องถูกแยกออกจากการพิจารณา หากมีจุดวิกฤติเพียงจุดเดียวภายในช่วงเวลา จะมีค่าสูงสุดหรือต่ำสุด ในกรณีนี้ เพื่อกำหนดค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดของฟังก์ชัน เรายังคำนึงถึงค่าของฟังก์ชันที่ส่วนท้ายของช่วงเวลาด้วย
ตัวอย่างเช่น ลองหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดของฟังก์ชัน
y(x) = 3ซิน(x) - 0.5x
เป็นระยะ:
แล้วอนุพันธ์ของฟังก์ชันคือ
y?(x) = 3cos(x) - 0.5
เราแก้สมการ 3cos(x) - 0.5 = 0
คอส(x) = 0.5/3 = 0.16667
x = ±อาร์คคอส(0.16667) + 2πk
เราพบจุดวิกฤตในช่วงเวลา [-9; 9]:
x = ส่วนโค้ง (0.16667) - 2π*2 = -11.163 (ไม่รวมในช่วงเวลา)
x = -อาร์คคอส(0.16667) - 2π*1 = -7.687
x = ส่วนโค้ง (0.16667) - 2π*1 = -4.88
x = -อาร์คคอส(0.16667) + 2π*0 = -1.403
x = ส่วนโค้ง (0.16667) + 2π*0 = 1.403
x = -อาร์คคอส(0.16667) + 2π*1 = 4.88
x = ส่วนโค้ง (0.16667) + 2π*1 = 7.687
x = -arccos(0.16667) + 2π*2 = 11.163 (ไม่รวมในช่วงเวลา)
เราค้นหาค่าฟังก์ชันที่ค่าวิกฤตของอาร์กิวเมนต์:
y(-7.687) = 3cos(-7.687) - 0.5 = 0.885
y(-4.88) = 3cos(-4.88) - 0.5 = 5.398
y(-1.403) = 3cos(-1.403) - 0.5 = -2.256
y(1.403) = 3cos(1.403) - 0.5 = 2.256
y(4.88) = 3cos(4.88) - 0.5 = -5.398
y(7.687) = 3cos(7.687) - 0.5 = -0.885
จะเห็นได้ว่าในช่วง [-9; 9] ฟังก์ชันมีค่ามากที่สุดที่ x = -4.88:
x = -4.88, y = 5.398,
และเล็กที่สุด - ที่ x = 4.88:
x = 4.88, y = -5.398
ในช่วงเวลา [-6; -3] เรามีจุดวิกฤตเพียงจุดเดียว: x = -4.88 ค่าของฟังก์ชันที่ x = -4.88 เท่ากับ y = 5.398
ค้นหาค่าของฟังก์ชันที่ส่วนท้ายของช่วงเวลา:
y(-6) = 3cos(-6) - 0.5 = 3.838
y(-3) = 3cos(-3) - 0.5 = 1.077
ในช่วงเวลา [-6; -3] เรามีค่ามากที่สุดของฟังก์ชัน
y = 5.398 ที่ x = -4.88
ค่าน้อยที่สุด -
y = 1.077 ที่ x = -3
จะค้นหาจุดเปลี่ยนของกราฟฟังก์ชันและกำหนดด้านนูนและด้านเว้าได้อย่างไร
ในการค้นหาจุดเปลี่ยนเว้าทั้งหมดของเส้น y = f(x) คุณต้องค้นหาอนุพันธ์อันดับสอง จัดให้มันเป็นศูนย์ (แก้สมการ) และทดสอบค่าทั้งหมดของ x ซึ่งอนุพันธ์อันดับสองเป็นศูนย์ อนันต์หรือไม่มีอยู่จริง เมื่อส่งผ่านค่าใดค่าหนึ่งเหล่านี้ หากอนุพันธ์อันดับสองเปลี่ยนสัญญาณ กราฟของฟังก์ชันจะมีการเปลี่ยนแปลง ณ จุดนี้ ถ้าไม่เปลี่ยนก็ไม่มีโค้งงอ
รากของสมการ f? (x) = 0 รวมถึงจุดที่เป็นไปได้ของความไม่ต่อเนื่องของฟังก์ชันและอนุพันธ์อันดับสอง ให้แบ่งโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันออกเป็นช่วงจำนวนหนึ่ง ความนูนในแต่ละช่วงเวลาถูกกำหนดโดยเครื่องหมายของอนุพันธ์อันดับสอง หากอนุพันธ์อันดับสอง ณ จุดหนึ่งในช่วงเวลาที่กำลังศึกษาเป็นบวก เส้น y = f(x) จะเว้าขึ้น และหากเป็นลบ ก็จะเว้าลง
จะค้นหา extrema ของฟังก์ชันของตัวแปรสองตัวได้อย่างไร?
ในการค้นหาเอ็กซ์ตรีมของฟังก์ชัน f(x,y) ซึ่งหาอนุพันธ์ได้ในโดเมนของข้อกำหนดเฉพาะ คุณจะต้อง:
1) ค้นหาจุดวิกฤตและเพื่อสิ่งนี้ - แก้ระบบสมการ
ฉะ? (x,y) = 0, แล้ว? (x,y) = 0
2) สำหรับแต่ละจุดวิกฤต P0(a;b) ตรวจสอบว่าสัญญาณของความแตกต่างยังคงไม่เปลี่ยนแปลงหรือไม่
สำหรับทุกจุด (x;y) ใกล้กับ P0 เพียงพอ หากความแตกต่างยังคงเป็นบวก ดังนั้นที่จุด P0 เรามีค่าต่ำสุด หากเป็นลบ เราก็จะมีค่าสูงสุด หากความแตกต่างไม่คงเครื่องหมายไว้ แสดงว่าไม่มีจุดสิ้นสุดที่จุด P0
ค่าสุดขีดของฟังก์ชันถูกกำหนดในทำนองเดียวกันสำหรับอาร์กิวเมนต์จำนวนมากขึ้น
วันโทรทัศน์โลกตรงกับเดือนพฤศจิกายนเมื่อใด
เมื่อวันที่ 17 ธันวาคม พ.ศ. 2539 สมัชชาใหญ่ได้ประกาศให้วันที่ 21 พฤศจิกายนเป็น "วันโทรทัศน์โลก" เพื่อรำลึกถึงวันที่มีการประชุม World Television Forum ครั้งแรกที่สหประชาชาติ รัฐถูกขอให้รำลึกถึงวันนี้ด้วยการแลกเปลี่ยนรายการโทรทัศน์ในประเด็นต่างๆ เช่น สันติภาพ และความมั่นคง
เชอร์รี่นกคืออะไร
Bird cherry เป็นเชอร์รี่สายพันธุ์หนึ่งในวงศ์ Rosaceae มีถิ่นกำเนิดในยุโรปเหนือและเอเชียเหนือ นี่เป็นไม้พุ่มที่ค่อนข้างสูงซึ่งสูงถึง 16 เมตร โดยปกติแล้วความสูงของนกเชอร์รี่จะอยู่ที่ประมาณ 9 เมตร โดดเด่นด้วยกลิ่นหอมของดอกไม้ เติบโตสูงจากระดับน้ำทะเลอย่างน้อย 800 เมตร ชอบดินไม้โอ๊คที่เป็นกรด
ระยะการแบ่งเซลล์ (ระยะ M) มี 2 ระยะอะไรบ้าง?
วัฏจักรของเซลล์คือช่วงเวลาของการดำรงอยู่ของเซลล์นับจากช่วงเวลาที่เซลล์ก่อตัวโดยการแบ่งเซลล์แม่จนกระทั่งมีการแบ่งตัวหรือตายไปเอง ความยาวของวัฏจักรของเซลล์แตกต่างกันไปในแต่ละเซลล์ เซลล์ของสิ่งมีชีวิตที่เติบโตเต็มวัยอย่างรวดเร็ว เช่น เซลล์เม็ดเลือดหรือเซลล์ฐานของหนังกำพร้าและลำไส้เล็ก สามารถเข้าสู่วัฏจักรของเซลล์ได้
เหตุใดเบราว์เซอร์ Opera จึงไม่แสดงเมนูหลัก
เพื่อประหยัดพื้นที่หน้าจอในเบราว์เซอร์ Opera ตั้งแต่เวอร์ชัน 10.5 เป็นต้นไป เมนูหลักจะถูกปิดตามค่าเริ่มต้น นักพัฒนาได้ทำการตัดสินใจนี้โดยเกี่ยวข้องกับการแพร่หลายของเน็ตบุ๊กที่มีจอแสดงผลขนาดเล็กและจอภาพ LCD แบบไวด์ซึ่งมีความสูงของหน้าจอน้อยกว่าความกว้างอย่างมาก เข้าถึงฟังก์ชั่นทั้งหมดที่อยู่ในเมนูหลัก
เมือง Bratsk อยู่ที่ไหน?
Bratsk เป็นเมืองในรัสเซียในภูมิภาคอีร์คุตสค์ ที่ตั้งทางภูมิศาสตร์ของ Bratsk กำหนดการเปลี่ยนแปลงให้เป็น "ประตู" ของภาคเหนือ เมืองนี้ตั้งอยู่ในใจกลางของภูมิภาคไซบีเรียตะวันออกของรัสเซีย ในตอนกลางของสันเขาอังการา ริมฝั่งอ่างเก็บน้ำ Bratsk บนแม่น้ำอังการา ระยะทางไปยังศูนย์กลางภูมิภาค - เมืองอีร์คุตสค์:
ชาดกคืออะไร
ชาดก (จากภาษากรีก allegoria - ชาดก) เป็นหนึ่งในรูปแบบของชาดกการถ่ายทอดแนวคิดเชิงนามธรรมหรือการตัดสินอย่างมีเงื่อนไขผ่านภาพเฉพาะ ชาดกเป็นเรื่องธรรมดาที่สุดในทัศนศิลป์ (ผู้หญิงที่มีผ้าปิดตาและมีตาชั่งอยู่ในมือ - ความยุติธรรม, สมอ - ความหวัง ฯลฯ ) ในวรรณคดีมีภาพเชิงเปรียบเทียบมากมาย
วิธีดูแลเฮลิไครซัม
Helichrysum (Immortelle, Tsmin) ชื่อละติน: Helichrysum หมวดหมู่: พืชล้มลุก, พืชสวนหิน วงศ์: Asteraceae (Compositae) บ้านเกิด: Helichrysum เติบโตในเขตอบอุ่นของยุโรป เอเชีย แอฟริกา และออสเตรเลีย บ้านเกิดของ Tsmina ของ Milford อยู่ที่ชานเมืองเคปทาวน์ แบบฟอร์ม: ไม้ล้มลุก
ใครเป็นคนเขียนนวนิยายเรื่อง "ขาวกับดำ"
นวนิยายเรื่อง "White and Black" เป็นเรื่องเกี่ยวกับผู้เล่นหมากรุกและหมากรุก บุคคลสำคัญของนวนิยายเรื่องนี้คือนักเล่นหมากรุกผู้ยิ่งใหญ่ Alexander Alyokhin แชมป์โลก ผู้แต่งนวนิยายเรื่อง "White and Black" เป็นนักเล่นหมากรุกโซเวียตที่โดดเด่น ปรมาจารย์ระดับนานาชาติ นักเขียน สมาชิกสหภาพนักเขียน
ชื่อเต็มของหนังสือเล่มที่สองในไตรภาค Robinson Crusoe ของ Daniel Defoe คืออะไร
Daniel Defoe (ภาษาอังกฤษ Daniel Defoe; เกิดภายใต้ชื่อ Daniel Foe; แคลิฟอร์เนีย ค.ศ. 1660 - 1731) - นักเขียนและนักประชาสัมพันธ์ชาวอังกฤษ ซึ่งเป็นที่รู้จักในปัจจุบันส่วนใหญ่เป็นผู้เขียนนวนิยายเรื่อง "Robinson Crusoe" (ตามธรรมเนียมในการวิจารณ์วรรณกรรมทางวิทยาศาสตร์และการตีพิมพ์)
สโต๊ตกินอะไร?
สัตว์คล้ายแมว (Mustela erminea) เป็นสัตว์ขนมีค่าในวงศ์มัสเตลิดี รูปร่าง. ตัวแทนของสกุลคุ้ยเขี่ยทั้งหมดเป็นสัตว์ที่มีรูปร่างที่ยืดหยุ่นและยาว สง่างามและว่องไวมากและแตกต่างจากมาร์เทนโดยมีสีขาวที่ปลายปากกระบอกปืน หูมีขนาดเล็กมน ความยาวลำตัวของแมวน้ำคือ 16-3
โรคอะไรที่ไม่รับเข้ากองทัพ?
หมวดหมู่ความเหมาะสมสำหรับการรับราชการทหาร (“A”, “B”, “C”, “D”, “D”) จะถูกกำหนดโดยคณะกรรมการการแพทย์ทหารในระหว่างการตรวจสุขภาพของทหารเกณฑ์ เอ - เหมาะสำหรับการรับราชการทหาร บีแอนด์บี
