เพื่อแก้ปัญหาบางอย่าง ตารางเอกลักษณ์ตรีโกณมิติจะมีประโยชน์ ซึ่งจะทำให้การแปลงฟังก์ชันง่ายขึ้นมาก:

เอกลักษณ์ตรีโกณมิติที่ง่ายที่สุด

ผลหารของการหารค่าไซน์ของมุมแอลฟาด้วยโคไซน์ของมุมเดียวกันจะเท่ากับแทนเจนต์ของมุมนี้ (สูตร 1) ดูเพิ่มเติมที่การพิสูจน์ความถูกต้องของการแปลงเอกลักษณ์ตรีโกณมิติที่ง่ายที่สุด
ผลหารของการหารโคไซน์ของมุมแอลฟาด้วยไซน์ของมุมเดียวกันจะเท่ากับโคแทนเจนต์ของมุมเดียวกัน (สูตร 2)
ส่วนตัดของมุมเท่ากับหนึ่งหารด้วยโคไซน์ของมุมเดียวกัน (สูตร 3)
ผลรวมของกำลังสองของไซน์และโคไซน์ของมุมเดียวกันเท่ากับหนึ่ง (สูตร 4) ดูการพิสูจน์ผลรวมกำลังสองของโคไซน์และไซน์ด้วย
ผลรวมของหน่วยและแทนเจนต์ของมุมเท่ากับอัตราส่วนของหน่วยต่อกำลังสองของโคไซน์ของมุมนี้ (สูตร 5)
หน่วยบวกโคแทนเจนต์ของมุมเท่ากับผลหารของการหารหน่วยด้วยสแควร์ไซน์ของมุมนี้ (สูตร 6)
ผลคูณของแทนเจนต์และโคแทนเจนต์ของมุมเดียวกันเท่ากับ 1 (สูตร 7)

การแปลงมุมลบของฟังก์ชันตรีโกณมิติ (คู่และคี่)

เพื่อกำจัดค่าลบ การวัดระดับมุม เมื่อคำนวณไซน์ โคไซน์ หรือแทนเจนต์ คุณสามารถใช้การแปลงตรีโกณมิติ (เอกลักษณ์) ต่อไปนี้ตามหลักการของฟังก์ชันตรีโกณมิติคู่หรือคี่

ตามที่เห็น, โคไซน์และซีแคนต์คือ แม้กระทั่งฟังก์ชั่น , ไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์เป็นฟังก์ชันคี่.

ไซน์ของมุมลบคือ ค่าลบไซน์ของมุมบวกเดียวกันนั้น (ลบไซน์อัลฟา)
โคไซน์ "ลบอัลฟา" จะให้ค่าเดียวกับโคไซน์ของมุมอัลฟา
แทนเจนต์ลบแอลฟา เท่ากับ ลบแทนเจนต์แอลฟา

สูตรการลดมุมสองเท่า (ไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ของมุมสองเท่า)

หากคุณต้องการแบ่งครึ่งมุม หรือกลับกัน เปลี่ยนจากสองมุมเป็นมุมเดียว คุณสามารถใช้เอกลักษณ์ตรีโกณมิติต่อไปนี้:

การแปลงมุมสองเท่า (ไซน์มุมคู่ โคไซน์มุมคู่ และแทนเจนต์มุมคู่) ถึง single เกิดขึ้นโดย กฎต่อไปนี้:

ไซน์ของมุมคู่เท่ากับสองเท่าของผลคูณของไซน์และโคไซน์ของมุมเดียว

โคไซน์ของมุมคู่เท่ากับผลต่างระหว่างกำลังสองของโคไซน์ของมุมหนึ่งกับกำลังสองของไซน์ของมุมนี้

โคไซน์ของมุมคู่เท่ากับสองเท่าของกำลังสองของโคไซน์ของมุมเดียวลบหนึ่ง

โคไซน์ของมุมคู่เท่ากับหนึ่งลบสองไซน์กำลังสองของมุมเดียว

สัมผัสมุมคู่เท่ากับเศษส่วนที่มีตัวเศษเป็นสองเท่าของแทนเจนต์ของมุมเดียว และตัวส่วนเท่ากับหนึ่งลบแทนเจนต์ของกำลังสองของมุมเดียว

โคแทนเจนต์มุมคู่เท่ากับเศษส่วนที่มีตัวเศษเป็นกำลังสองของโคแทนเจนต์ของมุมเดียวลบหนึ่ง และตัวส่วนเท่ากับสองเท่าของโคแทนเจนต์ของมุมเดียว

สูตรการแทนที่ตรีโกณมิติสากล

สูตรการแปลงด้านล่างมีประโยชน์เมื่อคุณต้องการหารอาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติ (sin α, cos α, tg α) ด้วยสองส่วน และนำค่านิพจน์นี้ไปเท่ากับค่าครึ่งหนึ่งของมุม จากค่าของ α เราจะได้ α/2 .

สูตรเหล่านี้เรียกว่า สูตรของการแทนที่ตรีโกณมิติสากล. ค่าของพวกเขาอยู่ในความจริงที่ว่านิพจน์ตรีโกณมิติด้วยความช่วยเหลือของพวกเขาลดลงเป็นนิพจน์ของแทนเจนต์ของครึ่งมุมโดยไม่คำนึงว่าฟังก์ชันตรีโกณมิติใด (sin cos tg ctg) เดิมอยู่ในนิพจน์ หลังจากนั้น สมการที่มีแทนเจนต์ของครึ่งมุมจะแก้ได้ง่ายกว่ามาก

เอกลักษณ์การแปลงครึ่งมุมตรีโกณมิติ

ต่อไปนี้เป็นสูตรสำหรับการแปลงตรีโกณมิติของค่าครึ่งหนึ่งของมุมเป็นค่าจำนวนเต็ม
ค่าของอาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติ α/2 จะลดลงเป็นค่าของอาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติ α

สูตรตรีโกณมิติสำหรับการเพิ่มมุม

cos (α - β) = cos α cos β + บาป α บาป β

บาป (α + β) = บาป α cos β + บาป β cos α

บาป (α - β) = บาป α cos β - บาป β cos α
cos (α + β) = cos α cos β - บาป α บาป β

แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ของผลรวมของมุมอัลฟาและเบต้าสามารถแปลงได้ตามกฎต่อไปนี้สำหรับการแปลงฟังก์ชันตรีโกณมิติ:

แทนเจนต์ของผลรวมของมุมเท่ากับเศษส่วน ตัวเศษคือผลรวมของแทนเจนต์ของมุมแรกและแทนเจนต์ของมุมที่สอง และตัวส่วนคือหนึ่งลบผลคูณของแทนเจนต์ของมุมแรกและแทนเจนต์ของมุมที่สอง

ความแตกต่างของมุมแทนเจนต์เท่ากับเศษส่วน ตัวเศษเท่ากับผลต่างระหว่างแทนเจนต์ของมุมที่ลดลงและแทนเจนต์ของมุมที่จะลบ และตัวส่วนคือหนึ่งบวกผลคูณของแทนเจนต์ของมุมเหล่านี้

โคแทนเจนต์ของผลรวมของมุมเท่ากับเศษส่วนที่มีตัวเศษเท่ากับผลคูณของโคแทนเจนต์ของมุมเหล่านี้บวกหนึ่ง และตัวส่วนเท่ากับผลต่างระหว่างโคแทนเจนต์ของมุมที่สองกับโคแทนเจนต์ของมุมแรก

โคแทนเจนต์ของความแตกต่างของมุมเท่ากับเศษส่วนที่มีตัวเศษเป็นผลคูณของโคแทนเจนต์ของมุมเหล่านี้ลบหนึ่ง และตัวส่วน เท่ากับผลรวมโคแทนเจนต์ของมุมเหล่านี้

เอกลักษณ์ตรีโกณมิติเหล่านี้ใช้งานได้สะดวกเมื่อคุณต้องการคำนวณ เช่น แทนเจนต์ของ 105 องศา (tg 105) หากแสดงเป็น tg (45 + 60) คุณสามารถใช้สิ่งต่อไปนี้ การแปลงที่เหมือนกันแทนเจนต์ของผลรวมของมุม หลังจากนั้นให้แทนที่ค่าตารางของแทนเจนต์ 45 และแทนเจนต์ 60 องศา

สูตรการแปลงผลรวมหรือผลต่างของฟังก์ชันตรีโกณมิติ

การแสดงออกที่แสดงถึงผลรวมของรูปแบบ sin α + sin β สามารถแปลงได้โดยใช้สูตรต่อไปนี้:

สูตรสามมุม - แปลง sin3α cos3α tg3α เป็น sinα cosα tgα

บางครั้งจำเป็นต้องแปลงค่าสามเท่าของมุมเพื่อให้มุม α กลายเป็นอาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติแทน 3α
ในกรณีนี้ คุณสามารถใช้สูตร (เอกลักษณ์) สำหรับการแปลงมุมสามชั้นได้:

สูตรสำหรับการแปลงผลคูณของฟังก์ชันตรีโกณมิติ

หากจำเป็นต้องแปลงผลคูณของไซน์ที่มีมุมต่างกันเป็นโคไซน์ที่มีมุมต่างกัน หรือแม้แต่ผลคูณของไซน์และโคไซน์ คุณก็สามารถใช้เอกลักษณ์ตรีโกณมิติต่อไปนี้ได้:


ในกรณีนี้ ผลคูณของฟังก์ชันไซน์ โคไซน์ หรือแทนเจนต์ของมุมต่างๆ จะถูกแปลงเป็นผลรวมหรือผลต่าง

สูตรลดฟังก์ชันตรีโกณมิติ

คุณต้องใช้ตารางโยนดังนี้ ในบรรทัดให้เลือกฟังก์ชั่นที่เราสนใจ คอลัมน์เป็นมุม ตัวอย่างเช่น ไซน์ของมุม (α+90) ที่จุดตัดของแถวแรกและคอลัมน์แรก เราพบว่า sin (α+90) = cos α .

จะหาไซน์ได้อย่างไร?

การศึกษาเรขาคณิตช่วยพัฒนาการคิด เรื่องนี้รวมอยู่ในหลักสูตร ในชีวิต ความรู้ในเรื่องนี้จะมีประโยชน์ เช่น เมื่อวางแผนอพาร์ทเมนต์

จากประวัติศาสตร์

วิชาตรีโกณมิติเป็นส่วนหนึ่งของวิชาเรขาคณิต ซึ่งศึกษาเกี่ยวกับฟังก์ชันตรีโกณมิติ ในตรีโกณมิติ เราศึกษาไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ของมุม

แต่บน ช่วงเวลานี้เริ่มจากสิ่งที่ง่ายที่สุด - ไซน์ มาดูแนวคิดแรกให้ละเอียดยิ่งขึ้น - ไซน์ของมุมในรูปทรงเรขาคณิต ไซน์คืออะไรและจะหาได้อย่างไร?

แนวคิดของ "ไซน์ของมุม" และไซน์ไซด์

ไซน์ของมุมคืออัตราส่วนของค่าของขาตรงข้ามและด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉาก นี่คือฟังก์ชันตรีโกณมิติโดยตรงซึ่งเขียนแทนเป็น "sin (x)" โดยที่ (x) คือมุมของรูปสามเหลี่ยม

บนกราฟ ไซน์ของมุมจะแสดงด้วยไซน์ไซด์ที่มีลักษณะเฉพาะของมันเอง ไซน์ไซด์ดูเหมือนเส้นหยักต่อเนื่องที่อยู่ภายในขอบเขตที่กำหนดบนระนาบพิกัด ฟังก์ชันเป็นเลขคี่ ดังนั้นจึงสมมาตรเทียบกับ 0 บนระนาบพิกัด (ออกจากจุดกำเนิดของพิกัด)

โดเมนของฟังก์ชันนี้อยู่ในช่วงตั้งแต่ -1 ถึง +1 บนระบบพิกัดคาร์ทีเซียน คาบของฟังก์ชันมุมไซน์คือ 2 พาย ซึ่งหมายความว่าทุก ๆ 2 Pi รูปแบบจะทำซ้ำและคลื่นไซน์จะผ่านครบวงจร

สมการไซนูซอยด์

• บาป x = a / c
• โดยที่ a คือขาที่อยู่ตรงข้ามกับมุมของสามเหลี่ยม
• c - ด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉาก

คุณสมบัติของไซน์ของมุม

1. บาป(x) = - บาป(x). คุณลักษณะนี้แสดงให้เห็นว่าฟังก์ชันมีความสมมาตร และหากค่า x และ (-x) ถูกกันไว้บนระบบพิกัดทั้งสองทิศทาง พิกัดของจุดเหล่านี้จะตรงกันข้าม พวกเขาจะอยู่ห่างจากกันเท่าๆ กัน
2. คุณสมบัติอื่นของฟังก์ชันนี้คือกราฟของฟังก์ชันเพิ่มขึ้นในส่วน [- P / 2 + 2 Pn] [P/2 + 2Pn] โดยที่ n คือจำนวนเต็มใดๆ การลดลงของกราฟไซน์ของมุมจะสังเกตได้ในส่วน: [P / 2 + 2 Pn]; [ 3P/2 + 2Pn].
3. sin (x) > 0 เมื่อ x อยู่ในช่วง (2Pn, P + 2Pn)
4. (x)< 0, когда х находится в диапазоне (-П+2Пn, 2Пn)

ค่าของไซน์ของมุมถูกกำหนดโดยตารางพิเศษ ตารางดังกล่าวถูกสร้างขึ้นเพื่ออำนวยความสะดวกในกระบวนการคำนวณสูตรและสมการที่ซับซ้อน ใช้งานง่ายและมีค่าของฟังก์ชัน sin(x) ไม่เพียงเท่านั้น แต่ยังรวมถึงค่าของฟังก์ชันอื่นๆ ด้วย

นอกจากนี้ ตารางค่ามาตรฐานของฟังก์ชันเหล่านี้จะรวมอยู่ในการศึกษาหน่วยความจำบังคับ เช่น ตารางสูตรคูณ โดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับชั้นเรียนที่มีอคติทางฟิสิกส์และคณิตศาสตร์ ในตาราง คุณสามารถดูค่าของมุมหลักที่ใช้ในตรีโกณมิติ: 0, 15, 30, 45, 60, 75, 90, 120, 135, 150, 180, 270 และ 360 องศา

นอกจากนี้ยังมีตารางที่กำหนดค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมที่ไม่ได้มาตรฐาน เมื่อใช้ตารางต่างๆ คุณสามารถคำนวณค่าไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ของบางมุมได้อย่างง่ายดาย

สร้างสมการด้วยฟังก์ชันตรีโกณมิติ การแก้สมการเหล่านี้เป็นเรื่องง่ายหากคุณรู้จักเอกลักษณ์ตรีโกณมิติอย่างง่ายและการลดลงของฟังก์ชัน ตัวอย่างเช่น sin (P / 2 + x) \u003d cos (x) และอื่น ๆ มีการรวบรวมตารางแยกต่างหากสำหรับการร่ายดังกล่าว

วิธีหาไซน์ของมุม

เมื่องานคือการหาไซน์ของมุม และตามเงื่อนไขที่เรามีเพียงโคไซน์ แทนเจนต์ หรือโคแทนเจนต์ของมุม เราสามารถคำนวณสิ่งที่เราต้องการได้อย่างง่ายดายโดยใช้เอกลักษณ์ตรีโกณมิติ

• บาป 2 x + cos 2 x = 1

จากสมการนี้ เราสามารถหาได้ทั้งไซน์และโคไซน์ ขึ้นอยู่กับว่าไม่ทราบค่าใด เราได้สมการตรีโกณมิติที่ไม่รู้จัก:

• บาป 2 x = 1 - cos 2 x
• บาป x = ± √ 1 - cos 2 x
• ctg 2 x + 1 = 1 / บาป 2 x

จากสมการนี้ คุณสามารถค้นหาค่าของไซน์ได้ โดยทราบค่าโคแทนเจนต์ของมุม เพื่อให้ง่ายขึ้น ให้แทนที่ sin 2 x = y แล้วคุณจะได้สมการง่ายๆ ตัวอย่างเช่น ค่าของโคแทนเจนต์คือ 1 ดังนั้น:

• 1 + 1 = 1/ปี
• 2 = 1 / ย
• 2y = 1
• ย = 1/2

ตอนนี้เราทำการเปลี่ยนเครื่องเล่นแบบย้อนกลับ:

• บาป 2 x = ½
• บาป x = 1 / √2

เนื่องจากเราใช้ค่าโคแทนเจนต์สำหรับมุมมาตรฐาน (45 0) จึงสามารถตรวจสอบค่าที่ได้รับกับตารางได้

ถ้าคุณมีค่าแทนเจนต์ แต่คุณต้องหาค่าไซน์ เอกลักษณ์ตรีโกณมิติอื่นจะช่วยได้:

• tg x * ctg x = 1

ดังนี้

• ctg x = 1 / tg x

ในการหาค่าไซน์ของมุมที่ไม่ได้มาตรฐาน เช่น 240 0 คุณต้องใช้สูตรการลดมุม เรารู้ว่า π ตรงกับ 180 0 สำหรับเรา ดังนั้น เราจะแสดงความเท่าเทียมกันโดยใช้มุมมาตรฐานโดยการขยาย

• 240 0 = 180 0 + 60 0

เราต้องค้นหาสิ่งต่อไปนี้: บาป (180 0 + 60 0) ในตรีโกณมิติมีสูตรการลดลงซึ่งใน กรณีนี้มีประโยชน์ นี่คือสูตร:

• บาป (π + x) = - บาป (x)

ดังนั้น ไซน์ของมุม 240 องศาคือ:

• บาป (180 0 + 60 0) = - บาป (60 0) = - √3/2

ในกรณีของเรา x = 60 และ P ตามลำดับคือ 180 องศา เราพบค่า (-√3/2) จากตารางค่าฟังก์ชันของมุมมาตรฐาน

ด้วยวิธีนี้ มุมที่ไม่ได้มาตรฐานสามารถแยกย่อยได้ เช่น 210 = 180 + 30

สูตรพื้นฐานของตรีโกณมิติเป็นสูตรที่สร้างความสัมพันธ์ระหว่างฟังก์ชันตรีโกณมิติพื้นฐาน ไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์เชื่อมโยงกันด้วยความสัมพันธ์มากมาย ด้านล่างเราให้สูตรตรีโกณมิติหลักและเพื่อความสะดวกเราจัดกลุ่มตามวัตถุประสงค์ เมื่อใช้สูตรเหล่านี้ คุณจะแก้ปัญหาได้เกือบทุกปัญหาจากหลักสูตรตรีโกณมิติมาตรฐาน เราทราบทันทีว่าเฉพาะสูตรเท่านั้นที่ได้รับด้านล่างและไม่ใช่ที่มาของสูตรซึ่งจะอุทิศให้กับบทความแยกต่างหาก

เอกลักษณ์พื้นฐานของตรีโกณมิติ

อัตลักษณ์ตรีโกณมิติให้ความสัมพันธ์ระหว่างไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ของมุมหนึ่ง ทำให้สามารถแสดงฟังก์ชันหนึ่งในรูปของอีกฟังก์ชันหนึ่งได้

เอกลักษณ์ตรีโกณมิติ

บาป 2 a + cos 2 a = 1 t g α = บาป α cos α , c t g α = cos α บาป α t g α c t g α = 1 t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α , c t g 2 α + 1 = 1 บาป 2 α

อัตลักษณ์เหล่านี้ตามมาจากคำจำกัดความของวงกลมหน่วย ไซน์ (ซิน) โคไซน์ (cos) แทนเจนต์ (tg) และโคแทนเจนต์ (ctg)

สูตรหล่อ

สูตรการหล่อช่วยให้คุณเปลี่ยนจากการทำงานกับมุมขนาดใหญ่ตามอำเภอใจไปสู่การทำงานกับมุมตั้งแต่ 0 ถึง 90 องศา

สูตรหล่อ

บาป α + 2 π z = บาป α , cos α + 2 π z = cos α t g α + 2 π z = t g α , c t g α + 2 π z = c t g α บาป - α + 2 π z = - บาป α , cos - α + 2 π z = cos α t g - α + 2 π z = - t g α , c t g - α + 2 π z = - c t g α บาป π 2 + α + 2 π z = cos α , cos π 2 + α + 2 π z = - sin α t g π 2 + α + 2 π z = - c t g α , c t g π 2 + α + 2 π z = - t g α บาป π 2 - α + 2 π z = cos α , cos π 2 - α + 2 π z = บาป α t g π 2 - α + 2 π z = c t g α , c t g π 2 - α + 2 π z = t g α บาป π + α + 2 π z = - บาป α , cos π + α + 2 . π - α + 2 π z = - c t g α sin 3 π 2 + α + 2 π z = - cos α , cos 3 π 2 + α + 2 π z = sin α t g 3 π 2 + α + 2 π z = - c t g α , c t g 3 π 2 + α + 2 π z = - t g α sin 3 π 2 - α + 2 π z = - cos α , cos 3 π 2 - α + 2 π z = - sin α t g 3 π 2 - α + 2 π z = c t g α , c t g 3 π 2 - α + 2 π z = t g α

สูตรการลดเป็นผลมาจากช่วงเวลาของฟังก์ชันตรีโกณมิติ

สูตรการบวกตรีโกณมิติ

สูตรการบวกในตรีโกณมิติทำให้คุณสามารถแสดงฟังก์ชันตรีโกณมิติของผลรวมหรือผลต่างของมุมในแง่ของฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมเหล่านี้

สูตรการบวกตรีโกณมิติ

บาป α ± β = บาป α cos β ± cos α บาป β cos α + β = cos α cos β - บาป α บาป β cos α - β = cos α cos β + บาป α บาป β t g α ± β = t g α ± t g β 1 ± t g α t g β c t g α ± β = - 1 ± c t g α c t g β c t g α ± c t g β

ตามสูตรการบวก จะได้สูตรตรีโกณมิติสำหรับหลายมุม

สูตรหลายมุม: สองเท่า, สามเท่า ฯลฯ

สูตรมุมสองเท่าและสามมุม

บาป 2 α = 2 บาป α cos α cos 2 α = cos 2 α - บาป 2 α , cos 2 α = 1 - 2 บาป 2 α , cos 2 α = 2 cos 2 α - 1 t g 2 α = 2 t g α 1 - t g 2 α กับ t g 2 α = ด้วย t g 2 α - 1 2 วินาที t g α บาป 3 α = 3 บาป α cos 2 α - บาป 3 α , บาป 3 α = 3 บาป α - 4 บาป 3 α cos 3 α = cos 3 α - 3 บาป 2 α cos α , cos 3 α = - 3 cos α + 4 cos 3 α t g 3 α = 3 t g α - t g 3 α 1 - 3 t g 2 α c t g 3 α = c t g 3 α - 3 c t g α 3 c t g 2 α - 1

สูตรครึ่งมุม

สูตรครึ่งมุมในตรีโกณมิติเป็นผลมาจากสูตรมุมคู่ และแสดงความสัมพันธ์ระหว่างฟังก์ชันพื้นฐานของครึ่งมุมและโคไซน์ของมุมทั้งหมด

สูตรครึ่งมุม

บาป 2 α 2 = 1 - cos α 2 cos 2 α 2 = 1 + cos α 2 t g 2 α 2 = 1 - cos α 1 + cos α c t g 2 α 2 = 1 + cos α 1 - cos α

สูตรการลด

สูตรการลด

บาป 2 α = 1 - cos 2 α 2 cos 2 α = 1 + cos 2 α 2 บาป 3 α = 3 บาป α - บาป 3 α 4 cos 3 α = 3 cos α + cos 3 α 4 บาป 4 α = 3 - 4 cos 2 α + cos 4 α 8 cos 4 α = 3 + 4 cos 2 α + co s 4 α 8

บ่อยครั้งที่การคำนวณไม่สะดวกในการใช้งานด้วยพลังที่ยุ่งยาก สูตรการลดระดับช่วยให้คุณลดระดับของฟังก์ชันตรีโกณมิติจากขนาดใหญ่โดยพลการเป็นครั้งแรก นี่คือมุมมองทั่วไปของพวกเขา:

รูปแบบทั่วไปของสูตรการลด

แม้กระทั่ง n

บาป n α = C n 2 n 2 n + 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n 2 - 1 (- 1) n 2 - k C k n cos ((n - 2 k) α) cos n α = C n 2 n 2 n + 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n 2 - 1 C k n cos ((n - 2k)α)

สำหรับเลขคี่

บาป n α = 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n - 1 2 (- 1) n - 1 2 - k C k n บาป ((n - 2 k) α) cos n α = 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n - 1 2 C k n cos ((n - 2 k) α)

ผลรวมและผลต่างของฟังก์ชันตรีโกณมิติ

ผลต่างและผลรวมของฟังก์ชันตรีโกณมิติสามารถแสดงเป็นผลคูณได้ การแยกตัวประกอบความแตกต่างของไซน์และโคไซน์นั้นสะดวกมากที่จะใช้เมื่อแก้สมการตรีโกณมิติและทำให้นิพจน์ง่ายขึ้น

ผลรวมและผลต่างของฟังก์ชันตรีโกณมิติ

บาป α + บาป β = 2 บาป α + β 2 cos α - β 2 บาป α - บาป β = 2 บาป α - β 2 cos α + β 2 cos α + cos β = 2 cos α + β 2 cos α - β 2 cos α - cos β = - 2 บาป α + β 2 บาป α - β 2, cos α - cos β \u003d 2 บาป α + β 2 บาป β - α 2

ผลคูณของฟังก์ชันตรีโกณมิติ

หากสูตรสำหรับผลรวมและผลต่างของฟังก์ชันอนุญาตให้คุณไปที่ผลิตภัณฑ์ของตน สูตรสำหรับผลคูณของฟังก์ชันตรีโกณมิติจะดำเนินการเปลี่ยนกลับ - จากผลคูณเป็นผลรวม พิจารณาสูตรสำหรับผลคูณของไซน์ โคไซน์ และไซน์โดยโคไซน์

สูตรผลคูณของฟังก์ชันตรีโกณมิติ

บาป α บาป β = 1 2 (cos (α - β) - cos (α + β)) cos α cos β = 1 2 (cos (α - β) + cos (α + β)) บาป α cos β = 1 2 (บาป (α - β) + บาป (α + β))

การแทนที่ตรีโกณมิติสากล

ฟังก์ชันตรีโกณมิติพื้นฐานทั้งหมด - ไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ - สามารถแสดงในรูปของแทนเจนต์ของครึ่งมุม

การแทนที่ตรีโกณมิติสากล

บาป α = 2 t g α 2 1 + t g 2 α 2 cos α = 1 - t g 2 α 2 1 + t g 2 α 2 t g α = 2 t g α 2 1 - t g 2 α 2 c t g α = 1 - t g 2 α 2 2 t g α 2

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดเน้นข้อความนั้นแล้วกด Ctrl+Enter

ตารางค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติ

บันทึก. ตารางค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิตินี้ใช้เครื่องหมาย √ เพื่อแสดงถึง รากที่สอง. เพื่อแสดงเศษส่วน - สัญลักษณ์ "/"

ดูสิ่งนี้ด้วยวัสดุที่เป็นประโยชน์:

สำหรับ การหาค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติให้หาที่จุดตัดของเส้นที่ระบุฟังก์ชันตรีโกณมิติ ตัวอย่างเช่น ไซน์ 30 องศา - เรากำลังมองหาคอลัมน์ที่มีหัวเรื่อง บาป (ไซน์) และเราพบจุดตัดของคอลัมน์นี้ของตารางด้วยเส้น "30 องศา" ที่จุดตัดกัน เราอ่านผลลัพธ์ - หนึ่งวินาที ในทำนองเดียวกันเราพบ โคไซน์ 60องศา ไซน์ 60องศา (อีกครั้งที่จุดตัดของคอลัมน์ sin (ไซน์) และแถว 60 องศา เราจะพบค่า sin 60 = √3/2) เป็นต้น ในทำนองเดียวกันจะพบค่าของไซน์ โคไซน์ และแทนเจนต์ของมุม "ยอดนิยม" อื่น ๆ

ไซน์ของ pi, โคไซน์ของ pi, แทนเจนต์ของ pi และมุมอื่นๆ ในหน่วยเรเดียน

ตารางโคไซน์ ไซน์ และแทนเจนต์ด้านล่างยังเหมาะสำหรับการค้นหาค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติที่มีอาร์กิวเมนต์ กำหนดเป็นเรเดียน. ในการทำเช่นนี้ ให้ใช้คอลัมน์ที่สองของค่ามุม ด้วยเหตุนี้ คุณจึงสามารถแปลงค่าของมุมยอดนิยมจากองศาเป็นเรเดียนได้ ตัวอย่างเช่น ลองหามุม 60 องศาในบรรทัดแรกแล้วอ่านค่าเป็นเรเดียนข้างใต้ 60 องศา เท่ากับ π/3 เรเดียน

ตัวเลข pi เป็นการแสดงออกถึงการพึ่งพาของเส้นรอบวงของวงกลมกับการวัดองศาของมุมโดยเฉพาะ ดังนั้น ไพเรเดียน เท่ากับ 180 องศา

ตัวเลขใด ๆ ที่แสดงในรูปของ pi (เรเดียน) สามารถแปลงเป็นองศาได้ง่าย ๆ โดยแทนที่จำนวน pi (π) ด้วย 180.

ตัวอย่าง:
1. ไซน์ไพ.
บาป π = บาป 180 = 0
ดังนั้น ไซน์ของไพจะเหมือนกับไซน์ของ 180 องศา และมีค่าเท่ากับศูนย์

2. โคไซน์ไพ.
คอส π = คอส 180 = -1
ดังนั้น โคไซน์ของไพจะเท่ากับโคไซน์ของ 180 องศา และเท่ากับลบหนึ่ง

3. แทนเจนต์ pi
tg π = tg 180 = 0
ดังนั้น แทนเจนต์ของ pi จะเหมือนกับแทนเจนต์ของ 180 องศา และมีค่าเท่ากับศูนย์

ตารางค่าไซน์ โคไซน์ ค่าแทนเจนต์สำหรับมุม 0 - 360 องศา (ค่าที่พบบ่อย)

มุม α (องศา)	มุม α หน่วยเป็นเรเดียน (ผ่านปี่)	บาป (ไซนัส)	เพราะ (โคไซน์)	ทีจี (แทนเจนต์)	ctg (โคแทนเจนต์)	วินาที (ซีแคนท์)	สาเหตุ (โคซีแคนท์)
0	0	0	1	0	-	1	-
15	π/12			2 - √3	2 + √3
30	π/6	1/2	√3/2	1/√3	√3	2/√3	2
45	π/4	√2/2	√2/2	1	1	√2	√2
60	พาย/3	√3/2	1/2	√3	1/√3	2	2/√3
75	5π/12			2 + √3	2 - √3
90	π/2	1	0	-	0	-	1
105	7π/12		-	- 2 - √3	√3 - 2
120	2π/3	√3/2	-1/2	-√3	-√3/3
135	3π/4	√2/2	-√2/2	-1	-1	-√2	√2
150	5π/6	1/2	-√3/2	-√3/3	-√3
180	π	0	-1	0	-	-1	-
210	7π/6	-1/2	-√3/2	√3/3	√3
240	4π/3	-√3/2	-1/2	√3	√3/3
270	3π/2	-1	0	-	0	-	-1
360	2π	0	1	0	-	1	-

หากในตารางค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติ แทนที่จะเป็นค่าของฟังก์ชัน จะมีการระบุเส้นประ (แทนเจนต์ (tg) 90 องศา, โคแทนเจนต์ (ctg) 180 องศา) จากนั้นสำหรับค่าที่กำหนดของการวัดระดับของมุม ฟังก์ชันจะไม่มีค่าที่แน่นอน ถ้าไม่มีเส้นประ แสดงว่าเซลล์นั้นว่างเปล่า เราจึงยังไม่ได้ป้อนค่าที่ต้องการ เราสนใจในสิ่งที่ผู้ใช้ร้องขอและเสริมตารางด้วยค่าใหม่แม้ว่าข้อมูลปัจจุบันเกี่ยวกับค่าของโคไซน์ ไซน์ และแทนเจนต์ของค่ามุมที่พบมากที่สุดก็เพียงพอที่จะแก้ปัญหาส่วนใหญ่ได้

ตารางค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติ sin, cos, tg สำหรับมุมที่นิยมมากที่สุด
0, 15, 30, 45, 60, 90 ... 360 องศา
(ค่าตัวเลข "ตามตาราง Bradis")

ค่ามุม α (องศา)	ค่าของมุม α เป็นเรเดียน	บาป (บาป)	cos (โคไซน์)	tg (แทนเจนต์)	ctg (โคแทนเจนต์)
0	0
15		0,2588	0,9659	0,2679
30		0,5000		0,5774
45		0,7071
		0,7660
60		0,8660	0,5000	1,7321
	7π/18

แนวคิดของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์เป็นหมวดหมู่หลักของตรีโกณมิติ ซึ่งเป็นแขนงหนึ่งของคณิตศาสตร์ และเชื่อมโยงกับนิยามของมุมอย่างแยกไม่ออก การมีศาสตร์ทางคณิตศาสตร์นี้จำเป็นต้องมีการท่องจำและความเข้าใจในสูตรและทฤษฎีบท รวมถึงการคิดเชิงพื้นที่ที่พัฒนาแล้ว นั่นคือเหตุผลที่การคำนวณตรีโกณมิติมักทำให้เด็กนักเรียนและนักเรียนลำบาก เพื่อเอาชนะสิ่งเหล่านี้ คุณควรทำความคุ้นเคยกับฟังก์ชันและสูตรตรีโกณมิติให้มากขึ้น

แนวคิดเกี่ยวกับตรีโกณมิติ

เพื่อให้เข้าใจแนวคิดพื้นฐานของตรีโกณมิติ ก่อนอื่นคุณต้องตัดสินใจว่าสามเหลี่ยมมุมฉากและมุมในวงกลมคืออะไร และเหตุใดการคำนวณตรีโกณมิติพื้นฐานทั้งหมดจึงเกี่ยวข้องกับสิ่งเหล่านั้น รูปสามเหลี่ยมที่มีมุมหนึ่งเป็นมุม 90 องศาเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ในอดีต ตัวเลขนี้มักถูกใช้โดยผู้คนในสถาปัตยกรรม การเดินเรือ ศิลปะ ดาราศาสตร์ จากการศึกษาและวิเคราะห์คุณสมบัติของตัวเลขนี้ผู้คนจึงคำนวณอัตราส่วนที่สอดคล้องกันของพารามิเตอร์

หมวดหมู่หลักที่เกี่ยวข้องกับสามเหลี่ยมมุมฉากคือด้านตรงข้ามมุมฉากและขา ด้านตรงข้ามมุมฉากคือด้านของสามเหลี่ยมที่อยู่ตรงข้ามกัน มุมฉาก. ขาตามลำดับคืออีกสองด้าน ผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมใดๆ รวมกันเป็น 180 องศาเสมอ

ตรีโกณมิติทรงกลมเป็นส่วนหนึ่งของวิชาตรีโกณมิติที่ไม่มีการศึกษาในโรงเรียน แต่นักวิทยาศาสตร์ใช้ตรีโกณมิติทรงกลม เช่น ดาราศาสตร์และมาตรศาสตร์ คุณลักษณะของสามเหลี่ยมในตรีโกณมิติทรงกลมคือมันมีผลรวมของมุมมากกว่า 180 องศาเสมอ

มุมของสามเหลี่ยม

ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ไซน์ของมุมคืออัตราส่วนของขาตรงข้ามมุมที่ต้องการต่อด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยม ดังนั้น โคไซน์คืออัตราส่วนของขาข้างเคียงและด้านตรงข้ามมุมฉาก ค่าทั้งสองนี้มีค่าน้อยกว่าหนึ่งเสมอเนื่องจากด้านตรงข้ามมุมฉากยาวกว่าขาเสมอ

ค่าแทนเจนต์ของมุมคือค่าที่เท่ากับอัตราส่วนของขาตรงข้ามกับขาที่อยู่ติดกันของมุมที่ต้องการ หรือไซน์ต่อโคไซน์ ในทางกลับกันโคแทนเจนต์คืออัตราส่วนของขาที่อยู่ติดกันของมุมที่ต้องการต่อกระบองเพชรตรงข้าม ค่าโคแทนเจนต์ของมุมสามารถหาได้จากการหารหน่วยด้วยค่าของแทนเจนต์

วงกลมหน่วย

วงกลมหนึ่งหน่วยในรูปทรงเรขาคณิตคือวงกลมที่มีรัศมีเท่ากับหนึ่ง วงกลมดังกล่าวถูกสร้างขึ้นในระบบพิกัดคาร์ทีเซียน โดยมีจุดศูนย์กลางของวงกลมตรงกับจุดกำเนิด และตำแหน่งเริ่มต้นของเวกเตอร์รัศมีถูกกำหนดโดยทิศทางบวกของแกน X (แกนแอบซิสซา) แต่ละจุดของวงกลมมีสองพิกัด: XX และ YY นั่นคือพิกัดของ abscissa และ ordinate การเลือกจุดใด ๆ บนวงกลมในระนาบ XX และวางแนวตั้งฉากจากจุดนั้นไปยังแกน abscissa เราจะได้รูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่เกิดจากรัศมีไปยังจุดที่เลือก (ให้ระบุด้วยตัวอักษร C) เส้นตั้งฉากที่ลากไปยังแกน X (จุดตัดจะแสดงด้วยตัวอักษร G) และส่วนของแกน abscissa ระหว่างจุดกำเนิด เขียนเป็นวงกลม โดยที่ AG เป็นด้านตรงข้ามมุมฉาก และ AC และ GC เป็นขา มุมระหว่างรัศมีของวงกลม AC และส่วนของแกน abscissa ที่มีการกำหนด AG เรากำหนดเป็น α (อัลฟ่า) ดังนั้น cos α = AG/AC เนื่องจาก AC คือรัศมีของวงกลมหนึ่งหน่วย และเท่ากับหนึ่ง จะได้ว่า cos α=AG ในทำนองเดียวกัน sin α=CG

นอกจากนี้ เมื่อทราบข้อมูลเหล่านี้แล้ว จึงสามารถกำหนดพิกัดของจุด C บนวงกลมได้ เนื่องจาก cos α=AG และ sin α=CG ซึ่งหมายความว่าจุด C มีพิกัดที่กำหนด (cos α; sin α) เมื่อรู้ว่าแทนเจนต์เท่ากับอัตราส่วนของไซน์ต่อโคไซน์ เราสามารถระบุได้ว่า tg α \u003d y / x และ ctg α \u003d x / y เมื่อพิจารณามุมในระบบพิกัดลบ เราสามารถคำนวณได้ว่าค่าไซน์และโคไซน์ของบางมุมสามารถเป็นค่าลบได้

การคำนวณและสูตรพื้นฐาน

ค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติ

เมื่อพิจารณาสาระสำคัญของฟังก์ชันตรีโกณมิติผ่านวงกลมหน่วยแล้ว เราสามารถหาค่าของฟังก์ชันเหล่านี้ในบางมุมได้ ค่าแสดงอยู่ในตารางด้านล่าง

เอกลักษณ์ตรีโกณมิติที่ง่ายที่สุด

สมการที่มีค่าที่ไม่รู้จักภายใต้สัญลักษณ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติเรียกว่าตรีโกณมิติ เอกลักษณ์ที่มีค่า sin x = α, k เป็นจำนวนเต็มใดๆ:

1. บาป x = 0, x = πk
2. 2. บาป x \u003d 1, x \u003d π / 2 + 2πk
3. บาป x \u003d -1, x \u003d -π / 2 + 2πk
4. บาป x = a, |a| > 1 ไม่มีวิธีแก้ปัญหา
5. บาป x = a, |a| ≦ 1, x = (-1)^k * อาร์คซิน α + πk

เอกลักษณ์ที่มีค่า cos x = a โดยที่ k คือจำนวนเต็มใดๆ:

1. cos x = 0, x = π/2 + πk
2. cos x = 1, x = 2πk
3. cos x \u003d -1, x \u003d π + 2πk
4. cos x = a, |a| > 1 ไม่มีวิธีแก้ปัญหา
5. cos x = a, |a| ≦ 1, х = ±ส่วนโค้ง α + 2πk

เอกลักษณ์ที่มีค่า tg x = a โดยที่ k คือจำนวนเต็มใดๆ:

1. tg x = 0, x = π/2 + πk
2. tg x \u003d a, x \u003d arctg α + πk

ตัวตนที่มีค่า ctg x = a โดยที่ k คือจำนวนเต็มใดๆ:

1. ctg x = 0, x = π/2 + πk
2. ctg x \u003d a, x \u003d arcctg α + πk

สูตรหล่อ

หมวดหมู่นี้ สูตรคงที่หมายถึงวิธีการที่คุณสามารถเปลี่ยนจากฟังก์ชันตรีโกณมิติของแบบฟอร์มเป็นฟังก์ชันของอาร์กิวเมนต์ นั่นคือ แปลงค่าไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ของค่าใดๆ เป็นตัวบ่งชี้ที่สอดคล้องกันของมุมของช่วงเวลาตั้งแต่ 0 ถึง 90 องศาเพื่อความสะดวกในการคำนวณมากขึ้น

สูตรสำหรับฟังก์ชันการลดสำหรับไซน์ของมุมมีลักษณะดังนี้:

• บาป(900 - α) = α;
• บาป(900 + α) = cos α;
• บาป(1800 - α) = บาป α;
• บาป(1800 + α) = -บาป α;
• บาป(2700 - α) = -cos α;
• บาป(2700 + α) = -cos α;
• บาป(3600 - α) = -บาป α;
• บาป(3600 + α) = บาป α

สำหรับโคไซน์ของมุม:

• cos(900 - α) = บาป α;
• cos(900 + α) = -บาป α;
• cos(1800 - α) = -cos α;
• cos(1800 + α) = -cos α;
• cos(2700 - α) = -บาป α;
• cos(2700 + α) = บาป α;
• cos(3600 - α) = cos α;
• cos(3600 + α) = cos α

การใช้สูตรข้างต้นเป็นไปได้ภายใต้กฎสองข้อ ประการแรก ถ้ามุมสามารถแสดงเป็นค่า (π/2 ± a) หรือ (3π/2 ± a) ค่าของฟังก์ชันจะเปลี่ยนไป:

• จากบาปถึง cos;
• จาก cos เป็นบาป;
• จาก tg ถึง ctg;
• จาก ctg เป็น tg

ค่าของฟังก์ชันจะไม่เปลี่ยนแปลงหากมุมสามารถแสดงเป็น (π ± a) หรือ (2π ± a)

ประการที่สอง สัญญาณของฟังก์ชันที่ลดลงจะไม่เปลี่ยนแปลง: หากเป็นค่าบวกในตอนแรก จะยังคงเป็นเช่นนั้น เช่นเดียวกับฟังก์ชันเชิงลบ

สูตรการบวก

สูตรเหล่านี้แสดงค่าของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ของผลรวมและผลต่างของมุมการหมุนสองมุมในแง่ของฟังก์ชันตรีโกณมิติ มุมมักจะแสดงเป็น α และ β

สูตรมีลักษณะดังนี้:

1. บาป(α ± β) = บาป α * cos β ± cos α * บาป
2. cos(α ± β) = cos α * cos β ∓ บาป α * บาป
3. แทน(α ± β) = (แทน α ± แทน β) / (1 ∓ แทน α * แทน β)
4. ctg(α ± β) = (-1 ± ctg α * ctg β) / (ctg α ± ctg β)

สูตรเหล่านี้ใช้ได้กับทุกมุม α และ β

สูตรมุมสองเท่าและสามมุม

สูตรตรีโกณมิติของมุมสองเท่าและสามมุมคือสูตรที่เกี่ยวข้องกับฟังก์ชันของมุม 2α และ 3α ตามลำดับ กับฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุม α มาจากสูตรการบวก:

1. sin2α = 2sinα*cosα
2. cos2α = 1 - 2sin^2α
3. tg2α = 2tgα / (1 - tg^2 α)
4. sin3α = 3sinα - 4sin^3α
5. cos3α = 4cos^3α - 3cosα
6. tg3α = (3tgα - tg^3 α) / (1-tg^2 α)

การเปลี่ยนจากผลรวมเป็นผลคูณ

เมื่อพิจารณาว่า 2sinx*cosy = sin(x+y) + sin(x-y) ทำให้สูตรนี้ง่ายขึ้น เราจะได้เอกลักษณ์ sinα + sinβ = 2sin(α + β)/2 * cos(α − β)/2 ในทำนองเดียวกัน sinα - sinβ = 2sin(α - β)/2 * cos(α + β)/2; cosα + cosβ = 2cos(α + β)/2 * cos(α − β)/2; cosα - cosβ = 2 บาป(α + β)/2 * บาป(α − β)/2; tgα + tgβ = บาป(α + β) / cosα * cosβ; tgα - tgβ = บาป(α - β) / cosα * cosβ; cosα + sinα = √2sin(π/4 ∓ α) = √2cos(π/4 ± α)

การเปลี่ยนจากผลิตภัณฑ์เป็นผลรวม

สูตรเหล่านี้ต่อจากข้อมูลประจำตัวสำหรับการเปลี่ยนผลรวมเป็นผลคูณ:

• ซินα * ซินเบต้า = 1/2*;
• cosα * cosβ = 1/2*;
• ซินα * cosβ = 1/2*

สูตรการลด

ในเอกลักษณ์เหล่านี้ กำลังสองและกำลังลูกบาศก์ของไซน์และโคไซน์สามารถแสดงในรูปของไซน์และโคไซน์ของกำลังแรกของมุมหลายมุม:

• บาป^2 α = (1 - cos2α)/2;
• cos^2α = (1 + cos2α)/2;
• บาป^3 α = (3 * บาปα - sin3α)/4;
• cos^3 α = (3 * cosα + cos3α)/4;
• บาป^4 α = (3 - 4cos2α + cos4α)/8;
• cos^4 α = (3 + 4cos2α + cos4α)/8

การทดแทนสากล

สูตรการแทนที่ตรีโกณมิติสากลแสดงฟังก์ชันตรีโกณมิติในแง่ของการแทนเจนต์ของครึ่งมุม

• บาป x \u003d (2tgx / 2) * (1 + tg ^ 2 x / 2) ในขณะที่ x \u003d π + 2πn;
• cos x = (1 - tg^2 x/2) / (1 + tg^2 x/2) โดยที่ x = π + 2πn;
• tg x \u003d (2tgx / 2) / (1 - tg ^ 2 x / 2) โดยที่ x \u003d π + 2πn;
• ctg x \u003d (1 - tg ^ 2 x / 2) / (2tgx / 2) ในขณะที่ x \u003d π + 2πn

กรณีพิเศษ

กรณีเฉพาะของสมการตรีโกณมิติที่ง่ายที่สุดแสดงไว้ด้านล่าง (k คือจำนวนเต็มใดๆ)

ส่วนตัวสำหรับไซน์:

บาป x มูลค่า	ค่า x
0	พีเค
1	π/2 + 2πk
-1	-π/2 + 2πk
1/2	π/6 + 2πk หรือ 5π/6 + 2πk
-1/2	-π/6 + 2πk หรือ -5π/6 + 2πk
√2/2	π/4 + 2πk หรือ 3π/4 + 2πk
-√2/2	-π/4 + 2πk หรือ -3π/4 + 2πk
√3/2	π/3 + 2πk หรือ 2π/3 + 2πk
-√3/2	-π/3 + 2πk หรือ -2π/3 + 2πk

ผลหารโคไซน์:

ค่า cos x	ค่า x
0	π/2 + 2πk
1	2πk
-1	2 + 2πk
1/2	±π/3 + 2πk
-1/2	±2π/3 + 2πk
√2/2	±π/4 + 2πk
-√2/2	±3π/4 + 2πk
√3/2	±π/6 + 2πk
-√3/2	±5π/6 + 2πk

ส่วนตัวสำหรับแทนเจนต์:

ค่า tg x	ค่า x
0	พีเค
1	π/4 + πk
-1	-π/4 + πk
√3/3	π/6 + πk
-√3/3	-π/6 + πk
√3	π/3 + πk
-√3	-π/3 + πk

ผลหารโคแทนเจนต์:

ค่า ctg x	ค่า x
0	π/2 + πk
1	π/4 + πk
-1	-π/4 + πk
√3	π/6 + πk
-√3	-π/3 + πk
√3/3	π/3 + πk
-√3/3	-π/3 + πk

ทฤษฎีบท

ทฤษฎีบทไซน์

ทฤษฎีบทมีสองเวอร์ชัน - แบบธรรมดาและแบบขยาย ทฤษฎีบทไซน์อย่างง่าย: a/sin α = b/sin β = c/sin γ ในกรณีนี้ a, b, c เป็นด้านของสามเหลี่ยม และ α, β, γ เป็นมุมตรงข้ามกัน ตามลำดับ

ทฤษฎีบทไซน์ขยายสำหรับสามเหลี่ยมใดก็ได้: a/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2R ในเอกลักษณ์นี้ R หมายถึงรัศมีของวงกลมที่เขียนรูปสามเหลี่ยมที่กำหนด

ทฤษฎีบทโคไซน์

ข้อมูลประจำตัวจะแสดงด้วยวิธีนี้: a^2 = b^2 + c^2 - 2*b*c*cos α ในสูตร a, b, c คือด้านของสามเหลี่ยม และ α คือมุมด้านตรงข้าม a

ทฤษฎีบทแทนเจนต์

สูตรนี้แสดงความสัมพันธ์ระหว่างเส้นสัมผัสของสองมุม และความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก ด้านข้างมีป้ายกำกับว่า a, b, c และมุมตรงข้ามที่สอดคล้องกันคือ α, β, γ สูตรของทฤษฎีบทสัมผัส: (a - b) / (a+b) = tg((α - β)/2) / tg((α + β)/2)

ทฤษฎีบทโคแทนเจนต์

เชื่อมโยงรัศมีของวงกลมที่เขียนไว้ในรูปสามเหลี่ยมกับความยาวของด้าน ถ้า a, b, c เป็นด้านของสามเหลี่ยม และ A, B, C ตามลำดับ เป็นมุมตรงข้ามกัน r คือรัศมีของวงกลมที่จารึกไว้ และ p คือครึ่งเส้นรอบรูปของสามเหลี่ยม

• ctg A/2 = (p-a)/r;
• ctg B/2 = (p-b)/r;
• ctg C/2 = (p-c)/ร.

แอพพลิเคชั่น

ตรีโกณมิติไม่ได้เป็นเพียงวิทยาศาสตร์เชิงทฤษฎีที่เกี่ยวข้องกับสูตรทางคณิตศาสตร์เท่านั้น คุณสมบัติ ทฤษฎีบท และกฎเกณฑ์ต่าง ๆ ถูกนำมาใช้ในทางปฏิบัติโดยสาขาต่าง ๆ ของกิจกรรมของมนุษย์ - ดาราศาสตร์ การเดินเรือทางอากาศและทางทะเล ทฤษฎีดนตรี มาตรวิทยา เคมี อะคูสติก ทัศนศาสตร์ อิเล็กทรอนิกส์ สถาปัตยกรรม เศรษฐศาสตร์ วิศวกรรมเครื่องกล งานวัด คอมพิวเตอร์กราฟิก การทำแผนที่ สมุทรศาสตร์ และอื่น ๆ อีกมากมาย

ไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์เป็นแนวคิดพื้นฐานของตรีโกณมิติ ซึ่งคุณสามารถแสดงความสัมพันธ์ทางคณิตศาสตร์ระหว่างมุมและความยาวของด้านในรูปสามเหลี่ยม และหาปริมาณที่ต้องการผ่านเอกลักษณ์ ทฤษฎีบท และกฎต่างๆ