การหาค่าเฉลี่ย สูตรค่าเฉลี่ยเลขคณิต

ประเภทของค่าเฉลี่ยที่พบบ่อยที่สุดคือค่าเฉลี่ยเลขคณิต

ค่าเฉลี่ยเลขคณิตอย่างง่าย

ค่าเฉลี่ยเลขคณิตอย่างง่ายคือค่าเฉลี่ยที่ใช้กำหนดปริมาตรรวม ของลักษณะนี้ในข้อมูลมีการกระจายอย่างเท่าเทียมกันในทุกหน่วยที่รวมอยู่ในประชากรที่กำหนด ดังนั้นผลผลิตเฉลี่ยต่อปีต่อพนักงานคือจำนวนผลผลิตที่พนักงานแต่ละคนจะผลิตได้หากปริมาณผลผลิตทั้งหมดมีการกระจายอย่างเท่าเทียมกันในหมู่พนักงานทุกคนขององค์กร ค่าง่าย ๆ ของค่าเฉลี่ยเลขคณิตคำนวณโดยใช้สูตร:

ค่าเฉลี่ยเลขคณิตอย่างง่าย— เท่ากับอัตราส่วนของผลรวมของค่าแต่ละค่าของคุณลักษณะต่อจำนวนคุณลักษณะในการรวม

ตัวอย่างที่ 1 - ทีมงาน 6 คนได้รับ 3 3.2 3.3 3.5 3.8 3.1 พันรูเบิลต่อเดือน

ค้นหาเงินเดือนโดยเฉลี่ย
วิธีแก้ปัญหา: (3 + 3.2 + 3.3 +3.5 + 3.8 + 3.1) / 6 = 3.32,000 รูเบิล

ค่าเฉลี่ยเลขคณิตถ่วงน้ำหนัก

ถ้าปริมาตรของชุดข้อมูลมีขนาดใหญ่และแสดงถึงอนุกรมการแจกแจง ค่าเฉลี่ยเลขคณิตแบบถ่วงน้ำหนักจะถูกคำนวณ นี่คือวิธีกำหนดราคาเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักต่อหน่วยการผลิต: ต้นทุนทั้งหมดผลิตภัณฑ์ (ผลรวมของผลิตภัณฑ์ของปริมาณและราคาของหน่วยการผลิต) หารด้วยปริมาณรวมของผลิตภัณฑ์

ลองจินตนาการถึงสิ่งนี้ในรูปแบบของสูตรต่อไปนี้:

ค่าเฉลี่ยเลขคณิตถ่วงน้ำหนัก— เท่ากับอัตราส่วนของ (ผลรวมของผลคูณของมูลค่าของจุดสนใจต่อความถี่ของการทำซ้ำของจุดสนใจนี้) ต่อ (ผลรวมของความถี่ของจุดสนใจทั้งหมด) ใช้เมื่อมีความแปรปรวนของประชากรภายใต้การศึกษา จำนวนครั้งไม่เท่ากัน

ตัวอย่างที่ 2 - ค้นหาเงินเดือนเฉลี่ยของพนักงานเวิร์คช็อปต่อเดือน

เงินเดือนเฉลี่ยสามารถรับได้โดยการหารยอดรวม ค่าจ้างบน จำนวนทั้งหมดคนงาน:

คำตอบ: 3.35 พันรูเบิล

ค่าเฉลี่ยเลขคณิตสำหรับอนุกรมช่วงเวลา

เมื่อคำนวณค่าเฉลี่ยเลขคณิตสำหรับอนุกรมการแปรผันช่วงเวลา ขั้นแรกให้หาค่าเฉลี่ยสำหรับแต่ละช่วงเวลาเป็นผลบวกครึ่งหนึ่งของขีดจำกัดบนและล่าง จากนั้นจึงหาค่าเฉลี่ยของอนุกรมทั้งหมด ในกรณีของช่วงเวลาที่เปิด ค่าของช่วงเวลาที่ต่ำกว่าหรือบนจะถูกกำหนดโดยขนาดของช่วงเวลาที่อยู่ติดกัน

ค่าเฉลี่ยที่คำนวณจากอนุกรมช่วงเวลานั้นเป็นค่าโดยประมาณ

ตัวอย่างที่ 3- กำหนด วัยกลางคนนักเรียนช่วงเย็น

ค่าเฉลี่ยที่คำนวณจากอนุกรมช่วงเวลานั้นเป็นค่าโดยประมาณ ระดับของการประมาณขึ้นอยู่กับขอบเขตที่การกระจายที่แท้จริงของหน่วยประชากรภายในช่วงนั้นเข้าใกล้การกระจายแบบสม่ำเสมอ

เมื่อคำนวณค่าเฉลี่ย ไม่เพียงแต่ค่าสัมบูรณ์เท่านั้น แต่ยังรวมถึงด้วย ค่าสัมพัทธ์(ความถี่):

ค่าเฉลี่ยเลขคณิตมีคุณสมบัติหลายประการที่เปิดเผยสาระสำคัญได้ครบถ้วนยิ่งขึ้นและทำให้การคำนวณง่ายขึ้น:

1. ผลคูณของค่าเฉลี่ยด้วยผลรวมของความถี่จะเท่ากับผลรวมของผลิตภัณฑ์ของตัวแปรตามความถี่เสมอ เช่น

2.ปานกลาง ผลรวมเลขคณิตปริมาณที่แตกต่างกันจะเท่ากับผลรวมของค่าเฉลี่ยเลขคณิตของปริมาณเหล่านี้:

3. ผลรวมพีชคณิตของการเบี่ยงเบนของแต่ละค่าของคุณลักษณะจากค่าเฉลี่ยคือศูนย์:

4. ผลรวมของการเบี่ยงเบนกำลังสองของตัวเลือกจากค่าเฉลี่ยน้อยกว่าผลรวมของการเบี่ยงเบนกำลังสองจากค่าที่กำหนดเองอื่น ๆ เช่น

ในกระบวนการเรียนคณิตศาสตร์ เด็กนักเรียนจะคุ้นเคยกับแนวคิดเรื่องค่าเฉลี่ยเลขคณิต ในอนาคต ในด้านสถิติและวิทยาศาสตร์อื่นๆ นักเรียนต้องเผชิญกับการคำนวณของคนอื่นๆ อย่างไร และมีความแตกต่างกันอย่างไร

ความหมายและความแตกต่าง

ตัวชี้วัดที่แม่นยำไม่ได้ช่วยให้เข้าใจสถานการณ์ได้เสมอไป เพื่อประเมินสถานการณ์เฉพาะ บางครั้งจำเป็นต้องวิเคราะห์ตัวเลขจำนวนมาก แล้วค่าเฉลี่ยก็เข้ามาช่วยเหลือ ช่วยให้เราประเมินสถานการณ์โดยรวมได้

ตั้งแต่สมัยเรียน ผู้ใหญ่หลายคนจำการมีอยู่ของค่าเฉลี่ยเลขคณิตได้ คำนวณได้ง่ายมาก - ผลรวมของลำดับของพจน์ n หารด้วย n นั่นคือถ้าคุณต้องการคำนวณค่าเฉลี่ยเลขคณิตตามลำดับค่า 27, 22, 34 และ 37 คุณต้องแก้นิพจน์ (27+22+34+37)/4 เนื่องจาก 4 ค่า ​​ใช้ในการคำนวณ ใน ในกรณีนี้ค่าที่ต้องการจะเท่ากับ 30

ค่าเฉลี่ยเรขาคณิตมักถูกศึกษาโดยเป็นส่วนหนึ่งของหลักสูตรของโรงเรียน การคำนวณค่านี้ขึ้นอยู่กับการแยกรากที่ n ของผลิตภัณฑ์ของเงื่อนไข n หากเราใช้ตัวเลขเดียวกัน: 27, 22, 34 และ 37 ผลลัพธ์ของการคำนวณจะเท่ากับ 29.4

ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกมักไม่ใช่หัวข้อของการศึกษาในโรงเรียนมัธยมศึกษา อย่างไรก็ตามมีการใช้ค่อนข้างบ่อย ค่านี้เป็นค่าผกผันของค่าเฉลี่ยเลขคณิตและคำนวณเป็นผลหารของ n - จำนวนค่าและผลรวม 1/a 1 +1/a 2 +...+1/a n หากเรานำค่าเดิมมาคำนวณอีกครั้ง ฮาร์โมนิคจะเป็น 29.6

ค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนัก: คุณสมบัติ

อย่างไรก็ตามค่าที่กล่าวมาทั้งหมดอาจไม่สามารถนำมาใช้ได้ทุกที่ เช่นในทางสถิติเมื่อคำนวณบางอย่าง บทบาทที่สำคัญมี "น้ำหนัก" ของแต่ละตัวเลขที่ใช้ในการคำนวณ ผลลัพธ์สามารถบ่งชี้และถูกต้องได้มากกว่าเนื่องจากคำนึงถึงข้อมูลเพิ่มเติม ปริมาณกลุ่มนี้ก็คือ ชื่อสามัญ "ถัวเฉลี่ยถ่วงน้ำหนัก“พวกเขาไม่ได้สอนในโรงเรียน ดังนั้นจึงควรดูรายละเอียดเพิ่มเติม

ก่อนอื่น ควรจะบอกว่า "น้ำหนัก" ของค่าใดค่าหนึ่งมีความหมายว่าอย่างไร วิธีอธิบายที่ง่ายที่สุดก็คือ ตัวอย่างที่เฉพาะเจาะจง- ในโรงพยาบาลจะมีการวัดอุณหภูมิร่างกายของผู้ป่วยแต่ละรายวันละสองครั้ง จากผู้ป่วย 100 รายในแผนกต่างๆ ของโรงพยาบาล จะมี 44 ราย อุณหภูมิปกติ- 36.6 องศา อีก 30 จะมีค่าเพิ่มขึ้น - 37.2, 14 - 38, 7 - 38.5, 3 - 39 และอีกสอง - 40 และถ้าเราเอาค่าเฉลี่ยเลขคณิตแล้วค่านี้โดยทั่วไปสำหรับโรงพยาบาลจะมากกว่า 38 องศา! แต่ผู้ป่วยเกือบครึ่งหนึ่งมีอย่างแน่นอน และในที่นี้ ควรใช้ค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักให้ถูกต้องมากกว่า และ "น้ำหนัก" ของแต่ละค่าจะเป็นจำนวนคน ในกรณีนี้ผลการคำนวณจะเป็น 37.25 องศา ความแตกต่างที่ชัดเจน

ในกรณีของการคำนวณถัวเฉลี่ยถ่วงน้ำหนัก "น้ำหนัก" อาจถือเป็นจำนวนการจัดส่ง จำนวนคนที่ทำงานในวันที่กำหนด โดยทั่วไป สิ่งใดก็ตามที่สามารถวัดได้และส่งผลต่อผลลัพธ์สุดท้าย

พันธุ์

ค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักเกี่ยวข้องกับค่าเฉลี่ยเลขคณิตที่กล่าวถึงในตอนต้นของบทความ อย่างไรก็ตาม ค่าแรกดังที่กล่าวไปแล้วยังคำนึงถึงน้ำหนักของแต่ละตัวเลขที่ใช้ในการคำนวณด้วย นอกจากนี้ยังมีค่าเรขาคณิตและค่าฮาร์มอนิกแบบถ่วงน้ำหนักอีกด้วย

มีอีกรูปแบบหนึ่งที่น่าสนใจที่ใช้ในอนุกรมตัวเลข นี่คือค่าเฉลี่ยเคลื่อนที่แบบถ่วงน้ำหนัก บนพื้นฐานนี้จะมีการคำนวณแนวโน้ม นอกจากค่านิยมและน้ำหนักแล้ว ยังใช้คาบเวลาด้วย และเมื่อคำนวณค่าเฉลี่ย ณ จุดใดจุดหนึ่ง ค่าของช่วงเวลาก่อนหน้าก็จะถูกนำมาพิจารณาด้วย

การคำนวณค่าเหล่านี้ทั้งหมดไม่ใช่เรื่องยาก แต่ในทางปฏิบัติมักใช้เฉพาะค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักธรรมดาเท่านั้น

วิธีการคำนวณ

ในยุคที่การใช้คอมพิวเตอร์แพร่หลาย ไม่จำเป็นต้องคำนวณค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักด้วยตนเอง อย่างไรก็ตาม การทราบสูตรการคำนวณจะมีประโยชน์เพื่อให้คุณสามารถตรวจสอบและปรับผลลัพธ์ที่ได้รับได้หากจำเป็น

วิธีที่ง่ายที่สุดคือการพิจารณาการคำนวณโดยใช้ตัวอย่างเฉพาะ

มีความจำเป็นต้องค้นหาว่าค่าจ้างเฉลี่ยในองค์กรนี้อยู่ที่เท่าใดโดยคำนึงถึงจำนวนคนงานที่ได้รับเงินเดือนอย่างใดอย่างหนึ่ง

ดังนั้นค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักจึงคำนวณโดยใช้สูตรต่อไปนี้:

x = (a 1 *w 1 +a 2 *w 2 +...+a n *w n)/(w 1 +w 2 +...+w n)

ตัวอย่างเช่น การคำนวณจะเป็นดังนี้:

x = (32*20+33*35+34*14+40*6)/(20+35+14+6) = (640+1155+476+240)/75 = 33.48

เห็นได้ชัดว่าไม่ ปัญหาพิเศษเพื่อคำนวณค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักด้วยตนเอง สูตรการคำนวณค่านี้เป็นสูตรหนึ่งมากที่สุด แอปพลิเคชั่นยอดนิยมด้วยสูตร - Excel - ดูเหมือนฟังก์ชัน SUMPRODUCT (ชุดตัวเลข; ชุดน้ำหนัก)/SUM (ชุดน้ำหนัก)

รูปแบบตัวชี้วัดทางสถิติที่ใช้กันมากที่สุดในการวิจัยทางเศรษฐกิจและสังคมคือค่าเฉลี่ยซึ่งเป็นรูปแบบทั่วไป ลักษณะเชิงปริมาณเข้าสู่ระบบ ประชากรทางสถิติ- ค่าเฉลี่ยคือ "ตัวแทน" ของการสังเกตทั้งชุด ในหลายกรณี ค่าเฉลี่ยสามารถกำหนดได้จากอัตราส่วนค่าเฉลี่ยเริ่มต้น (ARR) หรือสูตรเชิงตรรกะ: ตัวอย่างเช่นในการคำนวณเงินเดือนเฉลี่ยของพนักงานขององค์กรจำเป็นต้องหารกองทุนค่าจ้างทั้งหมดด้วยจำนวนพนักงาน: ตัวเศษของอัตราส่วนเริ่มต้นของค่าเฉลี่ยคือตัวบ่งชี้ที่กำหนด สำหรับค่าจ้างเฉลี่ย ตัวบ่งชี้ที่กำหนดดังกล่าวคือกองทุนค่าจ้าง สำหรับตัวบ่งชี้แต่ละตัวที่ใช้ในการวิเคราะห์ทางเศรษฐกิจและสังคม สามารถรวบรวมอัตราส่วนเริ่มต้นที่แท้จริงได้เพียงอัตราส่วนเดียวเท่านั้นเพื่อคำนวณค่าเฉลี่ย ควรเพิ่มเติมด้วยเพื่อให้สามารถประมาณค่าได้แม่นยำยิ่งขึ้น ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานสำหรับตัวอย่างขนาดเล็ก (ที่มีจำนวนองค์ประกอบน้อยกว่า 30) ไม่ควรใช้นิพจน์ใต้รากในตัวส่วน n, ก ไม่มี 1.

แนวคิดและประเภทของค่าเฉลี่ย

ค่าเฉลี่ย- นี่เป็นตัวบ่งชี้ทั่วไปของประชากรทางสถิติที่กำจัดความแตกต่างส่วนบุคคลในค่าของปริมาณทางสถิติทำให้คุณสามารถเปรียบเทียบประชากรที่แตกต่างกันได้ มีอยู่ 2 ชั้นเรียนค่าเฉลี่ย: กำลังและโครงสร้าง ค่าเฉลี่ยโครงสร้างได้แก่ แฟชั่น และ ค่ามัธยฐาน แต่ส่วนใหญ่มักจะใช้ ค่าเฉลี่ยพลังงานประเภทต่างๆ.

ค่าเฉลี่ยพลังงาน

ค่าเฉลี่ยพลังงานสามารถเป็นได้ เรียบง่ายและ ถ่วงน้ำหนัก.

ค่าเฉลี่ยอย่างง่ายจะถูกคำนวณเมื่อมีค่าทางสถิติที่ไม่ได้จัดกลุ่มตั้งแต่สองค่าขึ้นไป โดยจัดเรียงแบบสุ่มตามลำดับดังต่อไปนี้ สูตรทั่วไปกฎกำลังเฉลี่ย (สำหรับค่าต่าง ๆ ของ k (m)):

ค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักคำนวณจากสถิติที่จัดกลุ่มโดยใช้สูตรทั่วไปต่อไปนี้:

ที่ไหน x - ค่าเฉลี่ยของปรากฏการณ์ที่กำลังศึกษา x i – เวอร์ชัน i-th ของคุณลักษณะเฉลี่ย

f i – น้ำหนักของตัวเลือก i-th

โดยที่ X คือค่าของค่าสถิติแต่ละรายการหรือค่ากึ่งกลางของช่วงเวลาการจัดกลุ่ม
m เป็นเลขชี้กำลัง ซึ่งค่านี้จะกำหนดประเภทของค่าเฉลี่ยพลังงานต่อไปนี้:
เมื่อ m = -1 ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิก;
ที่ m = 0 ค่าเฉลี่ยเรขาคณิต;
โดยที่ m = 1 ค่าเฉลี่ยเลขคณิต;
เมื่อ m = 2 รูตหมายถึงกำลังสอง;
ที่ m = 3 ค่าเฉลี่ยคือลูกบาศก์

การใช้สูตรทั่วไปสำหรับค่าเฉลี่ยแบบง่ายและแบบถ่วงน้ำหนักสำหรับเลขชี้กำลังที่แตกต่างกัน m ทำให้เราได้รับสูตรเฉพาะของแต่ละประเภท ซึ่งจะกล่าวถึงในรายละเอียดด้านล่าง

ค่าเฉลี่ยเลขคณิต

ค่าเฉลี่ยเลขคณิต – โมเมนต์เริ่มต้น สั่งซื้อครั้งแรก, ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ค่านิยม ตัวแปรสุ่มนั่ง จำนวนมากการทดสอบ;

ค่าเฉลี่ยเลขคณิตคือค่าเฉลี่ยที่ใช้บ่อยที่สุด ซึ่งได้มาจากการแทนที่ m=1 ลงในสูตรทั่วไป ค่าเฉลี่ยเลขคณิต เรียบง่ายมีแบบฟอร์มดังนี้

หรือ

โดยที่ X คือค่าของปริมาณที่ต้องคำนวณค่าเฉลี่ย N คือจำนวนรวมของค่า X (จำนวนหน่วยในประชากรที่กำลังศึกษา)

ตัวอย่างเช่น นักเรียนคนหนึ่งสอบผ่าน 4 ครั้งและได้รับเกรดดังนี้ 3, 4, 4 และ 5 ลองคำนวณคะแนนเฉลี่ยโดยใช้สูตรค่าเฉลี่ยเลขคณิตอย่างง่าย: (3+4+4+5)/4 = 16/4 = 4.ค่าเฉลี่ยเลขคณิต ถ่วงน้ำหนักมีแบบฟอร์มดังนี้

โดยที่ f คือจำนวนปริมาณที่มีค่า X (ความถี่) เท่ากัน >เช่น นักเรียนคนหนึ่งสอบผ่าน 4 ครั้งและได้เกรดดังนี้ 3, 4, 4 และ 5 ลองคำนวณคะแนนเฉลี่ยโดยใช้สูตรค่าเฉลี่ยเลขคณิตถ่วงน้ำหนัก: (3*1 + 4*2 + 5*1)/4 = 16/4 = 4 .หากระบุค่า X เป็นช่วงเวลา จุดกึ่งกลางของช่วง X จะถูกนำมาใช้ในการคำนวณ ซึ่งถูกกำหนดให้เป็นผลรวมครึ่งหนึ่งของขอบเขตบนและล่างของช่วงเวลา และถ้าช่วง X ไม่มีค่าต่ำกว่าหรือ ขีด จำกัด บน(ช่วงเปิด) จากนั้นหากต้องการค้นหา ให้ใช้ช่วง (ความแตกต่างระหว่างขอบเขตบนและล่าง) ของช่วง X ที่อยู่ติดกัน ตัวอย่างเช่น องค์กรมีพนักงาน 10 คนที่มีประสบการณ์ไม่เกิน 3 ปี พนักงาน 20 คนมีประสบการณ์ 3 ถึง 5 ปี พนักงาน 5 คนที่มีประสบการณ์มากกว่า 5 ปี จากนั้นเราคำนวณระยะเวลาการทำงานโดยเฉลี่ยของพนักงานโดยใช้สูตรค่าเฉลี่ยเลขคณิตถ่วงน้ำหนัก โดยที่ X คือจุดกึ่งกลางของระยะเวลาการทำงาน (2, 4 และ 6 ปี): (2*10+4*20+6*5)/(10+20+5) = 3.71 ปี

ฟังก์ชันค่าเฉลี่ย

ฟังก์ชันนี้จะคำนวณค่าเฉลี่ย (เลขคณิต) ของอาร์กิวเมนต์

ค่าเฉลี่ย(หมายเลข 1; หมายเลข 2; ...)

Number1, number2, ... คืออาร์กิวเมนต์ตั้งแต่ 1 ถึง 30 อาร์กิวเมนต์ที่ใช้คำนวณค่าเฉลี่ย

อาร์กิวเมนต์ต้องเป็นตัวเลขหรือชื่อ อาร์เรย์ หรือการอ้างอิงที่มีตัวเลข หากอาร์กิวเมนต์ซึ่งเป็นอาร์เรย์หรือการอ้างอิงมีข้อความ บูลีน หรือเซลล์ว่าง ค่าดังกล่าวจะถูกละเว้น อย่างไรก็ตามจะนับเซลล์ที่มีค่าเป็นศูนย์

ฟังก์ชันค่าเฉลี่ย

คำนวณค่าเฉลี่ยเลขคณิตของค่าที่กำหนดในรายการอาร์กิวเมนต์ นอกจากตัวเลขแล้ว การคำนวณยังสามารถรวมข้อความและค่าตรรกะ เช่น TRUE และ FALSE ได้ด้วย

ค่าเฉลี่ย(value1,value2,...)

ค่า 1, ค่า 2,... คือเซลล์ 1 ถึง 30 เซลล์ ช่วงของเซลล์ หรือค่าที่ใช้คำนวณค่าเฉลี่ย

อาร์กิวเมนต์ต้องเป็นตัวเลข ชื่อ อาร์เรย์ หรือการอ้างอิง อาร์เรย์และลิงก์ที่มีข้อความจะถูกตีความว่าเป็น 0 (ศูนย์)

ข้อความว่าง ("") จะถูกตีความว่าเป็น 0 (ศูนย์) อาร์กิวเมนต์ที่มีค่า TRUE จะถูกตีความว่าเป็น 1 อาร์กิวเมนต์ที่มีค่า FALSE จะถูกตีความเป็น 0 (ศูนย์)

ค่าเฉลี่ยเลขคณิตถูกใช้บ่อยที่สุด แต่ก็มีบางครั้งที่จำเป็นต้องใช้ค่าเฉลี่ยประเภทอื่น ลองพิจารณากรณีดังกล่าวเพิ่มเติม

ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิก

ฮาร์มอนิกหมายถึงการหาผลรวมเฉลี่ยของส่วนกลับค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิก

ใช้เมื่อข้อมูลต้นฉบับไม่มีความถี่ f สำหรับค่า X แต่ละค่า แต่แสดงเป็นผลิตภัณฑ์ Xf เมื่อกำหนด Xf=w แล้ว เราจะแสดง f=w/X และแทนที่สัญลักษณ์เหล่านี้เป็นสูตรสำหรับค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักทางคณิตศาสตร์ เราจะได้สูตรสำหรับค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักฮาร์มอนิก: ดังนั้น ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกถ่วงน้ำหนักจะใช้เมื่อไม่ทราบความถี่ f และทราบ w=Xf ในกรณีที่ทั้งหมด w = 1 นั่นคือแต่ละค่าของ X เกิดขึ้นครั้งเดียว สูตรเฉพาะฮาร์มอนิกเฉลี่ยจะถูกนำไปใช้: หรือ

ตัวอย่างเช่น รถยนต์คันหนึ่งเดินทางจากจุด A ไปยังจุด B ด้วยความเร็ว 90 กม./ชม. และย้อนกลับด้วยความเร็ว 110 กม./ชม. ในการกำหนดความเร็วเฉลี่ย เราใช้สูตรสำหรับฮาร์มอนิกเชิงเดี่ยวโดยเฉลี่ย เนื่องจากในตัวอย่างนี้ให้ระยะทาง w 1 =w 2 (ระยะห่างจากจุด A ถึงจุด B เท่ากับจาก B ถึง A) ซึ่งก็คือ เท่ากับผลคูณของความเร็ว (X) และเวลา ( ฉ) ความเร็วเฉลี่ย = (1+1)/(1/90+1/110) = 99 กม./ชม.

ฟังก์ชั่น SRGARM

ส่งกลับค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกของชุดข้อมูล

Number1, number2, ... คืออาร์กิวเมนต์ตั้งแต่ 1 ถึง 30 อาร์กิวเมนต์ที่ใช้คำนวณค่าเฉลี่ย คุณสามารถใช้อาร์เรย์หรือการอ้างอิงอาร์เรย์แทนอาร์กิวเมนต์ที่คั่นด้วยอัฒภาคได้

ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกจะน้อยกว่าค่าเฉลี่ยเรขาคณิตเสมอ ซึ่งจะน้อยกว่าค่าเฉลี่ยเลขคณิตเสมอ

ค่าเฉลี่ยเรขาคณิต

ค่าเฉลี่ยเรขาคณิตสำหรับการประมาณอัตราการเติบโตเฉลี่ยของตัวแปรสุ่ม ค้นหาค่าของลักษณะเฉพาะที่มีระยะห่างเท่ากันจากค่าต่ำสุดและค่าสูงสุด

ค่าเฉลี่ยเรขาคณิตใช้ในการกำหนดการเปลี่ยนแปลงสัมพัทธ์โดยเฉลี่ย ค่าเฉลี่ยทางเรขาคณิตให้ผลลัพธ์การหาค่าเฉลี่ยที่แม่นยำที่สุดหากงานคือการหาค่า X ที่จะอยู่ห่างจากทั้งค่าสูงสุดและค่าต่ำสุดของ X เท่าๆ กัน เช่น ระหว่างปี 2548 ถึง 2551ดัชนีเงินเฟ้อ ในรัสเซียคือ: ในปี 2548 - 1.109; ในปี 2549 - 1,090; ในปี 2550 - 1,119; ในปี 2551 - 1,133 เนื่องจากดัชนีเงินเฟ้อเป็นการเปลี่ยนแปลงสัมพัทธ์ (ดัชนีไดนามิก) ค่าเฉลี่ยจึงต้องคำนวณโดยใช้ค่าเฉลี่ยเรขาคณิต: (1.109*1.090*1.119*1.133)^(1/4) = 1.1126 นั่นคือสำหรับช่วงตั้งแต่ปี 2548 ถึงปี 2008 ราคาต่อปีเพิ่มขึ้นเฉลี่ย 11.26% การคำนวณที่ผิดพลาดโดยใช้ค่าเฉลี่ยเลขคณิตจะให้ผลลัพธ์ที่ไม่ถูกต้องคือ 11.28%

ฟังก์ชัน SRGEOM

ส่งกลับค่าเฉลี่ยเรขาคณิตของอาร์เรย์หรือช่วงของจำนวนบวก ตัวอย่างเช่น สามารถใช้ฟังก์ชัน SRGEOM เพื่อคำนวณอัตราการเติบโตเฉลี่ยได้ หากมีการระบุรายได้ทบต้นที่มีอัตราผันแปร

SRGEOM (หมายเลข 1; หมายเลข 2; ...)

Number1, number2, ... คืออาร์กิวเมนต์ตั้งแต่ 1 ถึง 30 อาร์กิวเมนต์ที่ใช้คำนวณค่าเฉลี่ยเรขาคณิต

คุณสามารถใช้อาร์เรย์หรือการอ้างอิงอาร์เรย์แทนอาร์กิวเมนต์ที่คั่นด้วยอัฒภาคได้

จัตุรัสเฉลี่ย

Mean Square – ช่วงเริ่มต้นของลำดับที่สองจัตุรัสเฉลี่ย ใช้ในกรณีที่ค่าเริ่มต้นของ X อาจเป็นได้ทั้งบวกและลบ เช่น เมื่อคำนวณค่าเบี่ยงเบนเฉลี่ย

การประยุกต์ใช้ค่าเฉลี่ยกำลังสองหลักคือการวัดความแปรผันของค่า X

ลูกบาศก์เฉลี่ย

การประยุกต์ใช้ค่าเฉลี่ยกำลังสองหลักคือการวัดความแปรผันของค่า Xลูกบาศก์เฉลี่ยคือช่วงเวลาเริ่มต้นของลำดับที่สาม

มีการใช้น้อยมาก เช่น เมื่อคำนวณดัชนีความยากจนสำหรับประเทศกำลังพัฒนา (TIN-1) และสำหรับประเทศที่พัฒนาแล้ว (TIN-2) ที่เสนอและคำนวณโดยสหประชาชาติ

ค่าเฉลี่ยกำลัง (ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิก, ค่าเฉลี่ยเรขาคณิต, ค่าเฉลี่ยเลขคณิต, ค่าเฉลี่ยกำลังสอง, ค่าเฉลี่ยลูกบาศก์);

วิธีโครงสร้าง (โหมด, ค่ามัธยฐาน)

เพื่อคำนวณ ค่าเฉลี่ยพลังงานจำเป็นต้องใช้ค่าลักษณะเฉพาะที่มีอยู่ทั้งหมด แฟชั่นและ ค่ามัธยฐานถูกกำหนดโดยโครงสร้างของการกระจายเท่านั้น จึงเรียกว่าค่าเฉลี่ยเชิงโครงสร้าง ค่ามัธยฐานและโหมดมักใช้เป็น ลักษณะเฉลี่ยในประชากรเหล่านั้นที่การคำนวณกฎกำลังเฉลี่ยเป็นไปไม่ได้หรือทำไม่ได้

ประเภทของค่าเฉลี่ยที่พบบ่อยที่สุดคือค่าเฉลี่ยเลขคณิต ภายใต้ ค่าเฉลี่ยเลขคณิตเป็นที่เข้าใจกันว่าเป็นมูลค่าของคุณลักษณะที่แต่ละหน่วยของประชากรจะมีหากผลรวมของค่าทั้งหมดของคุณลักษณะมีการกระจายเท่าๆ กันในทุกหน่วยของประชากร การคำนวณค่านี้ลงมาเพื่อรวมค่าทั้งหมดของลักษณะที่แตกต่างกันและหารจำนวนผลลัพธ์ด้วยจำนวนหน่วยทั้งหมดในประชากร ตัวอย่างเช่น คนงานห้าคนปฏิบัติตามคำสั่งซื้อสำหรับการผลิตชิ้นส่วน ในขณะที่คนแรกทำ 5 ส่วน คนที่สอง - 7 คนที่สาม - 4 คนที่สี่ - 10 คนที่ห้า - 12 เนื่องจากในข้อมูลต้นฉบับค่าของแต่ละรายการ ตัวเลือกเกิดขึ้นเพียงครั้งเดียวเพื่อตรวจสอบ

ในการหาผลลัพธ์เฉลี่ยของคนทำงานหนึ่งคน ควรใช้สูตรค่าเฉลี่ยเลขคณิตอย่างง่าย:

กล่าวคือ ในตัวอย่างของเรา ผลลัพธ์เฉลี่ยของคนงานหนึ่งคนจะเท่ากับ

นอกจากค่าเฉลี่ยเลขคณิตอย่างง่ายแล้ว พวกเขายังศึกษาอีกด้วย ค่าเฉลี่ยเลขคณิตถ่วงน้ำหนักเช่น ลองคำนวณอายุเฉลี่ยของนักเรียนในกลุ่ม 20 คน ซึ่งมีอายุตั้งแต่ 18 ถึง 22 ปี โดยที่ ซี– ตัวแปรของลักษณะเฉพาะที่ถูกเฉลี่ย ฟิ– ความถี่ซึ่งแสดงจำนวนครั้งที่เกิดขึ้น ฉันมูลค่ารวม (ตารางที่ 5.1)

ตารางที่ 5.1

อายุเฉลี่ยของนักเรียน

เมื่อใช้สูตรค่าเฉลี่ยเลขคณิตถ่วงน้ำหนัก เราจะได้:

ในการเลือกค่าเฉลี่ยเลขคณิตแบบถ่วงน้ำหนักก็มี กฎบางอย่าง: หากมีชุดข้อมูลบนตัวบ่งชี้สองตัว โดยตัวใดตัวหนึ่งจำเป็นต้องคำนวณ

ค่าเฉลี่ยและในเวลาเดียวกันก็ทราบค่าตัวเลขของตัวส่วนของสูตรตรรกะและไม่ทราบค่าของตัวเศษ แต่สามารถพบได้เป็นผลคูณของตัวบ่งชี้เหล่านี้ดังนั้นค่าเฉลี่ยควร คำนวณโดยใช้สูตรถัวเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักทางคณิตศาสตร์

ในบางกรณี ลักษณะของข้อมูลทางสถิติเริ่มต้นนั้นทำให้การคำนวณค่าเฉลี่ยเลขคณิตสูญเสียความหมาย และตัวบ่งชี้ทั่วไปเพียงตัวเดียวเท่านั้นที่สามารถเป็นค่าเฉลี่ยประเภทอื่นได้เท่านั้น - ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกในปัจจุบัน คุณสมบัติทางการคำนวณของค่าเฉลี่ยเลขคณิตได้สูญเสียความเกี่ยวข้องในการคำนวณตัวบ่งชี้ทางสถิติทั่วไป เนื่องจากการนำเทคโนโลยีคอมพิวเตอร์อิเล็กทรอนิกส์มาใช้อย่างกว้างขวาง ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกซึ่งสามารถเป็นแบบง่ายและถ่วงน้ำหนักได้ มีความสำคัญในทางปฏิบัติอย่างมาก หากทราบค่าตัวเลขของตัวเศษของสูตรลอจิคัลและไม่ทราบค่าของตัวส่วน แต่สามารถพบได้เป็นการหารบางส่วนของตัวบ่งชี้หนึ่งต่ออีกตัวบ่งชี้หนึ่งจากนั้นค่าเฉลี่ยจะถูกคำนวณโดยใช้ฮาร์มอนิก สูตรถัวเฉลี่ยถ่วงน้ำหนัก

ตัวอย่างเช่น ให้มันรู้ว่ารถครอบคลุม 210 กม. แรกด้วยความเร็ว 70 กม./ชม. และ 150 กม. ที่เหลือด้วยความเร็ว 75 กม./ชม. เป็นไปไม่ได้ที่จะระบุความเร็วเฉลี่ยของรถยนต์ตลอดการเดินทาง 360 กม. โดยใช้สูตรค่าเฉลี่ยเลขคณิต เนื่องจากตัวเลือกมีความเร็วในแต่ละส่วน เอ็กซ์เจ= 70 กม./ชม. และ X2= 75 กม./ชม. และน้ำหนัก (fi) ถือเป็นส่วนที่สอดคล้องกันของเส้นทาง จากนั้นผลคูณของตัวเลือกและน้ำหนักจะไม่มีความหมายทางกายภาพหรือทางเศรษฐกิจ ในกรณีนี้ ผลหารได้รับความหมายจากการแบ่งส่วนของเส้นทางออกเป็นความเร็วที่สอดคล้องกัน (ตัวเลือก xi) นั่นคือ เวลาที่ใช้ในการผ่านแต่ละส่วนของเส้นทาง (fi / จิน) หากส่วนของเส้นทางแสดงด้วย fi เส้นทางทั้งหมดจะแสดงเป็น?fi และเวลาที่ใช้บนเส้นทางทั้งหมดจะแสดงเป็น?fi ฟิ / ซี , จากนั้นหาความเร็วเฉลี่ยได้จากผลหารของเส้นทางทั้งหมดหารด้วยเวลาทั้งหมดที่ใช้:

ในตัวอย่างของเรา เราได้รับ:

เมื่อใช้ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิก หากน้ำหนักของตัวเลือกทั้งหมด (f) เท่ากัน คุณสามารถใช้ค่าน้ำหนักแทนค่าถ่วงน้ำหนักได้ ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกแบบง่าย (ไม่ถ่วงน้ำหนัก):

โดยที่ xi เป็นตัวเลือกส่วนบุคคล n– จำนวนตัวแปรของลักษณะเฉพาะที่ถูกเฉลี่ย ในตัวอย่างความเร็ว สามารถใช้ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกอย่างง่ายได้หากส่วนของเส้นทางที่เดินทางด้วยความเร็วต่างกันเท่ากัน

จะต้องคำนวณค่าเฉลี่ยใดๆ เพื่อที่เมื่อแทนที่ตัวแปรแต่ละตัวของคุณลักษณะค่าเฉลี่ย ค่าของตัวบ่งชี้ทั่วไปขั้นสุดท้ายบางตัวที่เกี่ยวข้องกับตัวบ่งชี้ค่าเฉลี่ยจะไม่เปลี่ยนแปลง ดังนั้น เมื่อเปลี่ยนความเร็วจริงในแต่ละส่วนของเส้นทางด้วยค่าเฉลี่ย (ความเร็วเฉลี่ย) ระยะทางรวมไม่ควรเปลี่ยนแปลง

รูปแบบ (สูตร) ​​ของค่าเฉลี่ยถูกกำหนดโดยธรรมชาติ (กลไก) ของความสัมพันธ์ของตัวบ่งชี้สุดท้ายนี้กับค่าเฉลี่ย ดังนั้นตัวบ่งชี้สุดท้ายซึ่งค่าที่ไม่ควรเปลี่ยนแปลงเมื่อแทนที่ตัวเลือกด้วยค่าเฉลี่ยคือ เรียกว่า การกำหนดตัวบ่งชี้ในการหาสูตรค่าเฉลี่ย คุณต้องสร้างและแก้สมการโดยใช้ความสัมพันธ์ระหว่างตัวบ่งชี้ค่าเฉลี่ยและตัวบ่งชี้ที่กำหนด สมการนี้สร้างขึ้นโดยการแทนที่ตัวแปรของคุณลักษณะค่าเฉลี่ย (ตัวบ่งชี้) ด้วยค่าเฉลี่ย

นอกจากค่าเฉลี่ยเลขคณิตและค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกแล้ว ค่าเฉลี่ยประเภทอื่นๆ (รูปแบบ) ยังถูกใช้ในสถิติด้วย ทั้งหมดเป็นกรณีพิเศษ พลังงานเฉลี่ยหากเราคำนวณค่าเฉลี่ยพลังงานทุกประเภทด้วยข้อมูลเดียวกัน ก็จะได้ค่าต่างๆ

พวกเขาจะกลายเป็นเหมือนเดิม กฎนี้ใช้ที่นี่ majo-อัตราเฉลี่ย. เมื่อเลขชี้กำลังของค่าเฉลี่ยเพิ่มขึ้น ค่าเฉลี่ยก็จะเพิ่มขึ้นด้วย สูตรที่ใช้บ่อยที่สุดสำหรับการคำนวณค่าเฉลี่ยพลังงานประเภทต่างๆ ในการวิจัยเชิงปฏิบัติแสดงไว้ในตาราง 1 5.2.

ตารางที่ 5.2

ประเภทของอำนาจหมายถึง

ค่าเฉลี่ยเรขาคณิตจะใช้เมื่อมี nค่าสัมประสิทธิ์การเติบโตในขณะที่ค่าแต่ละค่าของคุณลักษณะตามกฎแล้วค่าไดนามิกสัมพันธ์ซึ่งสร้างขึ้นในรูปแบบของค่าลูกโซ่เป็นอัตราส่วนกับระดับก่อนหน้าของแต่ละระดับในชุดไดนามิก ค่าเฉลี่ยจึงเป็นลักษณะของอัตราการเติบโตเฉลี่ย เรขาคณิตธรรมดาธรรมดาคำนวณโดยสูตร

สูตร ค่าเฉลี่ยเรขาคณิตถ่วงน้ำหนักมีแบบฟอร์มดังนี้

สูตรข้างต้นเหมือนกัน แต่สูตรหนึ่งใช้สำหรับค่าสัมประสิทธิ์หรืออัตราการเติบโตในปัจจุบัน และสูตรที่สองใช้กับค่าสัมบูรณ์ของระดับอนุกรม

คุณสามารถใช้อาร์เรย์หรือการอ้างอิงอาร์เรย์แทนอาร์กิวเมนต์ที่คั่นด้วยอัฒภาคได้ใช้ในการคำนวณด้วยค่าของฟังก์ชันกำลังสองใช้ในการวัดระดับความผันผวนของค่าแต่ละค่าของลักษณะเฉพาะรอบค่าเฉลี่ยเลขคณิตในชุดการแจกแจงและคำนวณโดยสูตร

สี่เหลี่ยมจัตุรัสเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักคำนวณโดยใช้สูตรอื่น:

การประยุกต์ใช้ค่าเฉลี่ยกำลังสองหลักคือการวัดความแปรผันของค่า Xใช้ในการคำนวณด้วยค่าฟังก์ชันลูกบาศก์และคำนวณโดยใช้สูตร

ลูกบาศก์ถ่วงน้ำหนักเฉลี่ย:

ค่าเฉลี่ยทั้งหมดที่กล่าวถึงข้างต้นสามารถนำเสนอเป็นสูตรทั่วไปได้:

ค่าเฉลี่ยอยู่ที่ไหน – ความหมายของแต่ละบุคคล n– จำนวนหน่วยของประชากรที่กำลังศึกษา เค– เลขชี้กำลังที่กำหนดประเภทของค่าเฉลี่ย

เมื่อใช้แหล่งข้อมูลเดียวกันก็ยิ่งมากขึ้น เคในสูตรค่าเฉลี่ยกำลังทั่วไป ค่าเฉลี่ยก็จะยิ่งมากขึ้นเท่านั้น จากนี้ไปว่ามีความสัมพันธ์ตามธรรมชาติระหว่างค่าของค่าเฉลี่ยพลังงาน:

ค่าเฉลี่ยที่อธิบายไว้ข้างต้นให้แนวคิดทั่วไปเกี่ยวกับประชากรที่กำลังศึกษาและจากมุมมองนี้ความสำคัญทางทฤษฎีการประยุกต์ใช้และการศึกษาของพวกเขานั้นไม่อาจโต้แย้งได้ แต่มันเกิดขึ้นที่มูลค่าเฉลี่ยไม่ตรงกับมูลค่าจริงใดๆ ตัวเลือกที่มีอยู่ดังนั้น นอกเหนือจากค่าเฉลี่ยที่พิจารณาแล้ว การวิเคราะห์ทางสถิติขอแนะนำให้ใช้ค่าของตัวเลือกเฉพาะที่มีตำแหน่งที่กำหนดไว้อย่างดีในชุดค่าแอตทริบิวต์ที่เรียงลำดับ (จัดอันดับ) ในบรรดาปริมาณเหล่านี้ที่นิยมใช้กันมากที่สุดคือ โครงสร้าง,หรือ พรรณนาเฉลี่ย– โหมด (Mo) และค่ามัธยฐาน (Me)

แฟชั่น– คุณค่าของคุณลักษณะที่มักพบบ่อยที่สุดในประชากรที่กำหนด สัมพันธ์กับซีรีย์แบบแปรผัน โหมดคือค่าที่เกิดขึ้นบ่อยที่สุดของซีรีย์จัดอันดับ นั่นคือตัวเลือกที่มีความถี่สูงสุด แฟชั่นสามารถนำมาใช้ในการกำหนดร้านค้าที่มีการเยี่ยมชมบ่อยขึ้น ซึ่งเป็นราคาที่พบบ่อยที่สุดสำหรับสินค้าใดๆ โดยจะแสดงขนาดของลักษณะเฉพาะของส่วนสำคัญของประชากรและกำหนดโดยสูตร

โดยที่ x0 คือขีดจำกัดล่างของช่วงเวลา ชม.– ขนาดช่วง; เอฟเอ็ม– ความถี่ช่วง; เอฟเอ็ม_ 1 – ความถี่ของช่วงเวลาก่อนหน้า เอฟเอ็ม+ 1 – ความถี่ของช่วงเวลาถัดไป

ค่ามัธยฐานตัวเลือกที่อยู่ตรงกลางของแถวจัดอันดับเรียกว่า ค่ามัธยฐานจะแบ่งอนุกรมออกเป็นสองส่วนเท่าๆ กัน โดยด้านใดด้านหนึ่งมีจำนวนหน่วยประชากรเท่ากัน ในกรณีนี้ ครึ่งหนึ่งของหน่วยในประชากรมีค่าของลักษณะเฉพาะที่แตกต่างกันน้อยกว่าค่ามัธยฐาน ในขณะที่อีกครึ่งหนึ่งมีค่ามากกว่านั้น ค่ามัธยฐานจะใช้เมื่อศึกษาองค์ประกอบที่มีค่ามากกว่าหรือเท่ากับหรือในเวลาเดียวกันน้อยกว่าหรือเท่ากับครึ่งหนึ่งขององค์ประกอบของชุดการแจกแจง คนกลางให้ ความคิดทั่วไปเกี่ยวกับตำแหน่งที่ค่าของคุณลักษณะมีความเข้มข้นหรืออีกนัยหนึ่งคือตำแหน่งของจุดศูนย์กลาง

ลักษณะเชิงพรรณนาของค่ามัธยฐานนั้นแสดงออกมาในความจริงที่ว่ามันเป็นลักษณะขีด จำกัด เชิงปริมาณของค่าของลักษณะที่แตกต่างกันซึ่งครึ่งหนึ่งของหน่วยในประชากรมีอยู่ ปัญหาในการหาค่ามัธยฐานสำหรับอนุกรมความแปรผันแบบไม่ต่อเนื่องนั้นแก้ไขได้อย่างง่ายดาย หากได้รับทุกหน่วยของอนุกรม หมายเลขซีเรียลจากนั้นเลขลำดับของตัวเลือกค่ามัธยฐานจะถูกกำหนดเป็น (n +1) / 2 โดยมีเงื่อนไขเป็นเลขคี่ n หากจำนวนสมาชิกของชุดข้อมูลเป็นเลขคู่ ค่ามัธยฐานจะเป็นค่าเฉลี่ยของ 2 ตัวเลือกที่มีเลขลำดับ n/ 2 และ n/ 2 + 1.

เมื่อกำหนดค่ามัธยฐานในชุดการแปรผันช่วง ขั้นแรกให้กำหนดช่วงเวลาที่ค่ามัธยฐานอยู่ (ช่วงค่ามัธยฐาน) ช่วงเวลานี้มีลักษณะเฉพาะคือผลรวมของความถี่ที่สะสมมีค่าเท่ากับหรือเกินครึ่งหนึ่งของผลรวมของความถี่ทั้งหมดในอนุกรม ค่ามัธยฐานของอนุกรมความแปรผันของช่วงเวลาคำนวณโดยใช้สูตร

ที่ไหน X0– ขีดจำกัดล่างของช่วงเวลา ชม.– ขนาดช่วง; เอฟเอ็ม– ความถี่ช่วง; ฉ– จำนวนสมาชิกของซีรีส์

ม -1 – ผลรวมของเงื่อนไขสะสมของอนุกรมที่อยู่ก่อนหน้าเงื่อนไขที่กำหนด

พร้อมทั้งค่ามัธยฐานเพิ่มเติมอีกด้วย คุณสมบัติครบถ้วนโครงสร้างของประชากรที่กำลังศึกษายังใช้ค่าอื่นของตัวเลือกที่มีตำแหน่งเฉพาะเจาะจงมากในซีรีส์อันดับ เหล่านี้ได้แก่ ควอไทล์และ เดซิลควอไทล์แบ่งอนุกรมตามผลรวมของความถี่ออกเป็น 4 ส่วนเท่า ๆ กัน และเดซิลแบ่งออกเป็น 10 ส่วนเท่า ๆ กัน มีสามควอไทล์และเก้าเดซิล

ค่ามัธยฐานและโหมดซึ่งแตกต่างจากค่าเฉลี่ยเลขคณิตไม่ระงับความแตกต่างส่วนบุคคลในค่าของลักษณะตัวแปรและดังนั้นจึงเป็นลักษณะเพิ่มเติมและสำคัญมากของประชากรทางสถิติ ในทางปฏิบัติมักใช้แทนค่าเฉลี่ยหรือตามด้วยค่าเฉลี่ย ขอแนะนำอย่างยิ่งให้คำนวณค่ามัธยฐานและโหมดในกรณีที่ประชากรที่อยู่ระหว่างการศึกษามีจำนวนหน่วยที่แน่นอนซึ่งมีค่ามากหรือน้อยมากของลักษณะที่แตกต่างกัน ค่าของตัวเลือกเหล่านี้ซึ่งไม่ใช่ลักษณะของประชากรมากนัก ในขณะที่มีอิทธิพลต่อค่าของค่าเฉลี่ยเลขคณิต แต่ก็ไม่ส่งผลกระทบต่อค่ามัธยฐานและโหมด ซึ่งทำให้ค่าหลังเป็นตัวบ่งชี้ที่มีคุณค่ามากสำหรับเศรษฐกิจและสถิติ การวิเคราะห์.

ค่าเฉลี่ยมีการใช้กันอย่างแพร่หลายในสถิติ ค่าเฉลี่ยแสดงถึงตัวบ่งชี้เชิงคุณภาพของกิจกรรมเชิงพาณิชย์: ต้นทุนการจัดจำหน่าย, กำไร, ความสามารถในการทำกำไร ฯลฯ

เฉลี่ย - นี่เป็นหนึ่งในเทคนิคการวางนัยทั่วไปทั่วไป ความเข้าใจที่ถูกต้องเกี่ยวกับสาระสำคัญของค่าเฉลี่ยจะกำหนดความสำคัญพิเศษในเงื่อนไข เศรษฐกิจตลาดเมื่อค่าเฉลี่ยผ่านรายบุคคลและการสุ่มช่วยให้เราสามารถระบุทั่วไปและจำเป็นเพื่อระบุแนวโน้มของรูปแบบของการพัฒนาเศรษฐกิจ

ค่าเฉลี่ย - สิ่งเหล่านี้เป็นตัวบ่งชี้ทั่วไปที่แสดงผลกระทบของสภาวะทั่วไปและรูปแบบของปรากฏการณ์ที่กำลังศึกษา

ค่าเฉลี่ยทางสถิติคำนวณบนพื้นฐานของข้อมูลมวลจากการสังเกตมวลที่มีการจัดการทางสถิติอย่างถูกต้อง (ต่อเนื่องและเลือก) อย่างไรก็ตาม ค่าเฉลี่ยทางสถิติจะเป็นไปตามวัตถุประสงค์และโดยทั่วไป หากคำนวณจากข้อมูลมวลสำหรับประชากรที่เป็นเนื้อเดียวกันในเชิงคุณภาพ (ปรากฏการณ์มวล) ตัวอย่างเช่น หากคุณคำนวณค่าจ้างเฉลี่ยในสหกรณ์และรัฐวิสาหกิจ และขยายผลลัพธ์ไปยังประชากรทั้งหมด ค่าเฉลี่ยนั้นเป็นสิ่งที่สมมติขึ้น เนื่องจากมันถูกคำนวณสำหรับประชากรที่แตกต่างกัน และค่าเฉลี่ยดังกล่าวจะสูญเสียความหมายทั้งหมด

ด้วยความช่วยเหลือของค่าเฉลี่ยความแตกต่างใน คุณค่าของลักษณะซึ่งเกิดขึ้นด้วยเหตุผลใดเหตุผลหนึ่งในแต่ละหน่วยการสังเกต

ตัวอย่างเช่น ประสิทธิภาพการทำงานโดยเฉลี่ยของพนักงานขายขึ้นอยู่กับหลายสาเหตุ เช่น คุณสมบัติ ระยะเวลาในการให้บริการ อายุ รูปแบบการให้บริการ สุขภาพ ฯลฯ

ผลผลิตเฉลี่ยสะท้อนถึงทรัพย์สินทั่วไปของประชากรทั้งหมด

ค่าเฉลี่ยเป็นการสะท้อนค่าของคุณลักษณะที่กำลังศึกษาจึงวัดในมิติเดียวกับคุณลักษณะนี้

ค่าเฉลี่ยแต่ละค่าจะแสดงลักษณะของประชากรที่อยู่ระหว่างการศึกษาตามลักษณะใดลักษณะหนึ่ง เพื่อให้ได้ความเข้าใจที่สมบูรณ์และครอบคลุมของประชากรภายใต้การศึกษาตามลักษณะสำคัญหลายประการ โดยทั่วไปจำเป็นต้องมีระบบค่าเฉลี่ยที่สามารถอธิบายปรากฏการณ์จากมุมที่ต่างกันได้

มีค่าเฉลี่ยที่แตกต่างกัน:

ค่าเฉลี่ยเลขคณิต

ค่าเฉลี่ยทางเรขาคณิต

ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิก

จัตุรัสเฉลี่ย

ลำดับเหตุการณ์โดยเฉลี่ย

มาดูค่าเฉลี่ยบางประเภทที่มักใช้ในสถิติกันดีกว่า

ค่าเฉลี่ยเลขคณิต

ค่าเฉลี่ยเลขคณิตอย่างง่าย (ไม่ถ่วงน้ำหนัก) เท่ากับผลรวมของแต่ละค่าของแอตทริบิวต์หารด้วยจำนวนค่าเหล่านี้

ค่าส่วนบุคคลของคุณลักษณะเรียกว่าตัวแปรและเขียนแทนด้วย x(); จำนวนหน่วยประชากรแสดงด้วย n ค่าเฉลี่ยของลักษณะแสดงด้วย - ดังนั้น ค่าเฉลี่ยเลขคณิตอย่างง่ายจึงเท่ากับ:

ตามข้อมูลชุดการแจกแจงแบบแยกส่วนเป็นที่ชัดเจนว่าค่าลักษณะเดียวกัน (ตัวแปร) ซ้ำหลายครั้ง ดังนั้น ตัวเลือก x เกิดขึ้นทั้งหมด 2 ครั้ง และตัวเลือก x 16 ครั้ง เป็นต้น

จำนวนค่าที่เหมือนกันของคุณลักษณะในแถวการแจกแจงเรียกว่าความถี่หรือน้ำหนักและเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ n

ลองคำนวณเงินเดือนเฉลี่ยของคนงานหนึ่งคน ในถู:

กองทุนค่าจ้างสำหรับคนงานแต่ละกลุ่มจะเท่ากับผลคูณของทางเลือกและความถี่ และผลรวมของผลิตภัณฑ์เหล่านี้คือกองทุนค่าจ้างรวมของคนงานทั้งหมด

ด้วยเหตุนี้การคำนวณจึงสามารถนำเสนอในรูปแบบทั่วไป:

สูตรที่ได้เรียกว่าค่าเฉลี่ยเลขคณิตถ่วงน้ำหนัก

จากผลของการประมวลผล วัสดุทางสถิติสามารถนำเสนอได้ไม่เพียงแต่ในรูปแบบของอนุกรมการแจกแจงแบบแยกส่วนเท่านั้น แต่ยังอยู่ในรูปแบบของอนุกรมการแปรผันช่วงเวลาที่มีช่วงปิดหรือเปิดอีกด้วย

ค่าเฉลี่ยสำหรับข้อมูลที่จัดกลุ่มคำนวณโดยใช้สูตรค่าเฉลี่ยเลขคณิตถ่วงน้ำหนัก:

ในทางปฏิบัติด้านสถิติเศรษฐศาสตร์ บางครั้งจำเป็นต้องคำนวณค่าเฉลี่ยโดยใช้ค่าเฉลี่ยกลุ่มหรือค่าเฉลี่ยของแต่ละส่วนของประชากร (ค่าเฉลี่ยบางส่วน) ในกรณีเช่นนี้ ค่าเฉลี่ยกลุ่มหรือส่วนตัวจะถูกใช้เป็นตัวเลือก (x) โดยที่ค่าเฉลี่ยโดยรวมจะถูกคำนวณเป็นค่าเฉลี่ยเลขคณิตถ่วงน้ำหนักทั่วไป

คุณสมบัติพื้นฐานของค่าเฉลี่ยเลขคณิต .

ค่าเฉลี่ยเลขคณิตมีคุณสมบัติหลายประการ:

1. ค่าของค่าเฉลี่ยเลขคณิตจะไม่เปลี่ยนแปลงจากการลดหรือเพิ่มความถี่ของแต่ละค่าของคุณลักษณะ x คูณ n เท่า

หากความถี่ทั้งหมดถูกหารหรือคูณด้วยตัวเลขใดๆ ค่าเฉลี่ยจะไม่เปลี่ยนแปลง

2. ตัวคูณร่วมของแต่ละค่าของคุณลักษณะสามารถนำมาเกินกว่าเครื่องหมายของค่าเฉลี่ย:

3. ค่าเฉลี่ยของผลรวม (ผลต่าง) ของปริมาณตั้งแต่ 2 ปริมาณขึ้นไปจะเท่ากับผลรวม (ผลต่าง) ของค่าเฉลี่ย:

4. ถ้า x = c โดยที่ c เป็นค่าคงที่ แล้ว
.

5. ผลรวมของการเบี่ยงเบนของค่าของคุณลักษณะ X จากค่าเฉลี่ยเลขคณิต x เท่ากับศูนย์:

ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิก

นอกเหนือจากค่าเฉลี่ยเลขคณิตแล้ว สถิติยังใช้ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกซึ่งเป็นค่าผกผันของค่าเฉลี่ยเลขคณิตของค่าผกผันของคุณลักษณะ เช่นเดียวกับค่าเฉลี่ยเลขคณิต มันสามารถง่ายและถ่วงน้ำหนักได้

ลักษณะของอนุกรมความผันแปรพร้อมกับค่าเฉลี่ยคือค่าโหมดและค่ามัธยฐาน

แฟชั่น - นี่คือค่าของคุณลักษณะ (ตัวแปร) ที่มักเกิดซ้ำในประชากรที่กำลังศึกษา สำหรับซีรีย์การกระจายแบบแยก โหมดจะเป็นค่าของตัวแปรที่มีความถี่สูงสุด

สำหรับอนุกรมการแจกแจงตามช่วงเวลาที่มีช่วงเวลาเท่ากัน โหมดจะถูกกำหนดโดยสูตร:

ที่ไหน
- ค่าเริ่มต้นของช่วงเวลาที่มีโหมด

- ค่าของช่วงเวลากิริยา;

- ความถี่ของช่วงเวลากิริยา;

- ความถี่ของช่วงเวลาก่อนหน้าโมดอลหนึ่ง

- ความถี่ของช่วงเวลาตามโมดอลหนึ่ง

ค่ามัธยฐาน - นี่คือตัวเลือกที่อยู่ตรงกลางของซีรีส์รูปแบบต่างๆ หากอนุกรมการแจกแจงไม่ต่อเนื่องและมีจำนวนสมาชิกเป็นเลขคี่ ค่ามัธยฐานจะเป็นตัวเลือกที่อยู่ตรงกลางของอนุกรมที่เรียงลำดับ (อนุกรมที่เรียงลำดับคือการจัดเรียงหน่วยประชากรตามลำดับจากน้อยไปมากหรือจากมากไปน้อย)