ในอัตราส่วน
สามารถกำหนดภารกิจในการค้นหาตัวเลขทั้งสามตัวจากอีกสองตัวที่กำหนดได้ ถ้าให้ a และ N ไว้ จะหาได้โดยการยกกำลัง ถ้า N และ a ถูกกำหนดโดยการหารากของดีกรี x (หรือยกกำลัง) ทีนี้ ลองพิจารณากรณีที่ เมื่อให้ a และ N เราต้องค้นหา x
ให้จำนวน N เป็นบวก: จำนวน a เป็นบวกและไม่เท่ากับหนึ่ง:
คำนิยาม. ลอการิทึมของเลข N ถึงฐาน a คือเลขชี้กำลังที่ต้องยก a เพื่อให้ได้เลข N ลอการิทึมเขียนแทนด้วย
ดังนั้น ในความเท่าเทียมกัน (26.1) เลขชี้กำลังจึงถูกพบเป็นลอการิทึมของ N ถึงฐาน a กระทู้
มีความหมายเหมือนกัน ความเท่าเทียมกัน (26.1) บางครั้งเรียกว่าเอกลักษณ์หลักของทฤษฎีลอการิทึม ในความเป็นจริงมันเป็นการแสดงออกถึงคำจำกัดความของแนวคิดเรื่องลอการิทึม โดย คำจำกัดความนี้ฐานของลอการิทึม a จะเป็นค่าบวกเสมอและแตกต่างจากความสามัคคี เลขลอการิทึม N เป็นบวก จำนวนลบและศูนย์ไม่มีลอการิทึม สามารถพิสูจน์ได้ว่าตัวเลขใดๆ ที่มีฐานที่กำหนดมีลอการิทึมที่กำหนดไว้อย่างชัดเจน ความเท่าเทียมกันจึงบังเกิด โปรดทราบว่าเงื่อนไขเป็นสิ่งจำเป็นที่นี่ มิฉะนั้นข้อสรุปจะไม่ได้รับการพิสูจน์เนื่องจากความเท่าเทียมกันเป็นจริงสำหรับค่าใด ๆ ของ x และ y
ตัวอย่างที่ 1 ค้นหา
สารละลาย. การจะได้เลขต้องยกฐาน 2 ขึ้นยกกำลัง ดังนั้น
คุณสามารถจดบันทึกเมื่อแก้ไขตัวอย่างดังกล่าวในรูปแบบต่อไปนี้:
ตัวอย่างที่ 2. ค้นหา
สารละลาย. เรามี
ในตัวอย่างที่ 1 และ 2 เราพบลอการิทึมที่ต้องการได้อย่างง่ายดายโดยการแสดงเลขลอการิทึมเป็นกำลังของฐานพร้อมเลขชี้กำลังที่เป็นตรรกยะ ในกรณีทั่วไป เช่น ฯลฯ ไม่สามารถดำเนินการนี้ได้ เนื่องจากลอการิทึมมีค่าไม่ลงตัว ให้เราใส่ใจกับประเด็นหนึ่งที่เกี่ยวข้องกับคำชี้แจงนี้ ในย่อหน้าที่ 12 เราได้ให้แนวคิดเกี่ยวกับความเป็นไปได้ในการกำหนดกำลังจริงใดๆ ของจำนวนบวกที่กำหนด นี่เป็นสิ่งจำเป็นสำหรับการแนะนำลอการิทึม ซึ่งโดยทั่วไปแล้วอาจเป็นจำนวนอตรรกยะได้
ลองดูคุณสมบัติบางอย่างของลอการิทึม
คุณสมบัติ 1 ถ้าตัวเลขและฐานเท่ากัน ลอการิทึมจะเท่ากับ 1 และในทางกลับกัน ถ้าลอการิทึมเท่ากับ 1 ตัวเลขและฐานก็จะเท่ากัน
การพิสูจน์. อนุญาต ตามคำจำกัดความของลอการิทึมที่เรามีและที่ไหน
ในทางกลับกัน ให้ จากนั้น ตามคำนิยาม
คุณสมบัติ 2 ลอการิทึมของหนึ่งถึงฐานใดๆ เท่ากับศูนย์
การพิสูจน์. ตามคำจำกัดความของลอการิทึม (กำลังศูนย์ของฐานบวกใดๆ มีค่าเท่ากับ 1 ดู (10.1)) จากที่นี่
Q.E.D.
ข้อความสนทนาก็เป็นจริงเช่นกัน: ถ้า แล้ว N = 1 อันที่จริง เรามี
ก่อนที่จะกำหนดคุณสมบัติถัดไปของลอการิทึม ให้เราตกลงที่จะบอกว่าตัวเลข a และ b สองตัวอยู่บนด้านเดียวกันของเลขตัวที่สาม c ถ้าทั้งสองมีค่ามากกว่า c หรือน้อยกว่า c หากตัวเลขตัวใดตัวหนึ่งมากกว่า c และอีกจำนวนหนึ่งน้อยกว่า c เราก็จะบอกว่าพวกมันเข้ากันได้ ด้านที่แตกต่างกันจากหมู่บ้าน
คุณสมบัติ 3 ถ้าตัวเลขและฐานอยู่ด้านเดียวกัน ลอการิทึมจะเป็นค่าบวก หากตัวเลขและฐานอยู่ตรงข้ามกัน ลอการิทึมจะเป็นลบ
การพิสูจน์คุณสมบัติ 3 ขึ้นอยู่กับข้อเท็จจริงที่ว่ากำลังของ a มากกว่า 1 ถ้าฐานมากกว่า 1 และเลขชี้กำลังเป็นบวก หรือฐานน้อยกว่า 1 และเลขชี้กำลังเป็นลบ กำลังจะน้อยกว่า 1 ถ้าฐานมากกว่า 1 และเลขชี้กำลังเป็นลบ หรือฐานน้อยกว่า 1 และเลขชี้กำลังเป็นบวก
มีสี่กรณีที่ต้องพิจารณา:
เราจะจำกัดตัวเองให้วิเคราะห์สิ่งแรก ผู้อ่านจะพิจารณาส่วนที่เหลือด้วยตัวเอง
ปล่อยให้ในความเท่าเทียมกัน เลขชี้กำลังไม่สามารถเป็นลบหรือเท่ากับศูนย์ได้ ดังนั้นจึงเป็นบวก กล่าวคือ ตามที่จำเป็นต้องพิสูจน์
ตัวอย่างที่ 3 ค้นหาว่าลอการิทึมใดด้านล่างนี้เป็นค่าบวกและค่าใดเป็นค่าลบ:
วิธีแก้ปัญหา ก) เนื่องจากเลข 15 และฐาน 12 อยู่ด้านเดียวกันของเลขหนึ่ง
b) เนื่องจาก 1,000 และ 2 อยู่ที่ด้านหนึ่งของยูนิต ในกรณีนี้ ฐานจะมากกว่าเลขลอการิทึมไม่สำคัญ
c) เนื่องจาก 3.1 และ 0.8 อยู่ฝั่งตรงข้ามของความสามัคคี
ช) ; ทำไม
ง) ; ทำไม
คุณสมบัติ 4-6 ต่อไปนี้มักเรียกว่ากฎของลอการิทึม: คุณสมบัติเหล่านี้ช่วยให้ทราบลอการิทึมของตัวเลขบางตัวเพื่อค้นหาลอการิทึมของผลิตภัณฑ์ ผลหาร และดีกรีของแต่ละตัว
คุณสมบัติ 4 (กฎลอการิทึมผลคูณ) ลอการิทึมผลคูณของจำนวนบวกหลายจำนวนกับฐานที่กำหนด เท่ากับผลรวมลอการิทึมของตัวเลขเหล่านี้ให้เป็นฐานเดียวกัน
การพิสูจน์. ให้ตัวเลขที่ให้มาเป็นบวก
สำหรับลอการิทึมของผลิตภัณฑ์ เราจะเขียนค่าความเท่าเทียมกัน (26.1) ซึ่งกำหนดลอการิทึม:
จากนี้เราจะพบกับ
เมื่อเปรียบเทียบเลขชี้กำลังของนิพจน์แรกและนิพจน์สุดท้าย เราจะได้ค่าความเท่าเทียมกันที่ต้องการ:
โปรดทราบว่าเงื่อนไขเป็นสิ่งจำเป็น ลอการิทึมของผลคูณของจำนวนลบสองตัวนั้นสมเหตุสมผล แต่ในกรณีนี้เราเข้าใจแล้ว
โดยทั่วไปหากผลคูณของปัจจัยหลายประการเป็นบวก ลอการิทึมของมันจะเท่ากับผลรวมของลอการิทึมของค่าสัมบูรณ์ของปัจจัยเหล่านี้
คุณสมบัติ 5 (กฎสำหรับการรับลอการิทึมของผลหาร) ลอการิทึมของผลหารของจำนวนบวกเท่ากับผลต่างระหว่างลอการิทึมของเงินปันผลและตัวหารที่นำมาจากฐานเดียวกัน การพิสูจน์. เราก็หามาเรื่อยๆ
Q.E.D.
คุณสมบัติ 6 (กฎลอการิทึมกำลัง) ลอการิทึมของกำลังของจำนวนบวกใดๆ จะเท่ากับลอการิทึมของจำนวนนั้นคูณด้วยเลขชี้กำลัง
การพิสูจน์. ให้เราเขียนเอกลักษณ์หลัก (26.1) อีกครั้งสำหรับตัวเลข:
Q.E.D.
ผลที่ตามมา ลอการิทึมของรากของจำนวนบวกเท่ากับลอการิทึมของรากหารด้วยเลขชี้กำลังของราก:
ความถูกต้องของข้อพิสูจน์นี้สามารถพิสูจน์ได้ด้วยการจินตนาการถึงวิธีการและการใช้คุณสมบัติ 6
ตัวอย่างที่ 4 นำลอการิทึมมาเป็นฐาน a:
ก) (สันนิษฐานว่าค่าทั้งหมด b, c, d, e เป็นบวก)
b) (สันนิษฐานว่า )
วิธีแก้ไข ก) สะดวกในการยกกำลังเศษส่วนในนิพจน์นี้:
จากความเท่าเทียมกัน (26.5)-(26.7) ตอนนี้เราสามารถเขียนได้:
เราสังเกตเห็นว่าการดำเนินการกับลอการิทึมของตัวเลขง่ายกว่าการดำเนินการกับตัวเลขเอง: เมื่อคูณตัวเลข ลอการิทึมของพวกมันจะถูกบวก เมื่อหาร พวกมันจะถูกลบ ฯลฯ
นั่นคือเหตุผลที่ใช้ลอการิทึมในการฝึกคำนวณ (ดูย่อหน้าที่ 29)
การกระทำผกผันของลอการิทึมเรียกว่าศักยภาพ กล่าวคือ ศักยภาพคือการกระทำที่ใช้ค้นหาตัวเลขจากลอการิทึมที่กำหนดของตัวเลข โดยพื้นฐานแล้ว ศักยภาพไม่ใช่การดำเนินการพิเศษใดๆ แต่ขึ้นอยู่กับการเพิ่มฐานให้เป็นกำลัง (เท่ากับลอการิทึมของตัวเลข) คำว่า "ศักยภาพ" ถือได้ว่ามีความหมายเหมือนกันกับคำว่า "การยกกำลัง"
เมื่อเพิ่มศักยภาพ เราต้องใช้กฎที่ผกผันกับกฎของลอการิทึม: แทนที่ผลรวมของลอการิทึมด้วยลอการิทึมของผลิตภัณฑ์ ผลต่างของลอการิทึมด้วยลอการิทึมของผลหาร ฯลฯ โดยเฉพาะอย่างยิ่งหากมีปัจจัยอยู่ข้างหน้า ของเครื่องหมายของลอการิทึม จากนั้นในระหว่างการโพเทนเชียลจะต้องถ่ายโอนไปยังองศาเลขชี้กำลังภายใต้เครื่องหมายของลอการิทึม
ตัวอย่างที่ 5 ค้นหา N หากทราบสิ่งนั้น
สารละลาย. ในการเชื่อมต่อกับกฎศักยภาพที่ระบุไว้ เราจะถ่ายโอนปัจจัย 2/3 และ 1/3 ที่ยืนอยู่หน้าเครื่องหมายลอการิทึมทางด้านขวาของความเท่าเทียมกันนี้ไปเป็นเลขชี้กำลังภายใต้เครื่องหมายของลอการิทึมเหล่านี้ เราได้รับ
ตอนนี้เราแทนที่ผลต่างของลอการิทึมด้วยลอการิทึมของผลหาร:
เพื่อให้ได้เศษส่วนสุดท้ายของห่วงโซ่ความเสมอภาคนี้ เราได้ปล่อยเศษส่วนก่อนหน้าออกจากความไม่ลงตัวในตัวส่วน (ตอนที่ 25)
คุณสมบัติ 7. ถ้าฐานมีมากกว่าหนึ่งแล้ว จำนวนที่มากขึ้นมีลอการิทึมที่ใหญ่กว่า (และจำนวนที่น้อยกว่าก็จะมีลอการิทึมที่น้อยกว่า) ถ้าฐานน้อยกว่าหนึ่ง จำนวนที่มากกว่าก็จะมีลอการิทึมที่น้อยกว่า (และจำนวนที่น้อยกว่าก็จะมีลอการิทึมที่ใหญ่กว่า)
คุณสมบัตินี้ยังถูกกำหนดให้เป็นกฎสำหรับการหาลอการิทึมของอสมการ ซึ่งทั้งสองด้านเป็นบวก:
เมื่อลอการิทึมอสมการเป็นฐานที่มากกว่าหนึ่ง สัญลักษณ์ของความไม่เท่าเทียมกันจะถูกรักษาไว้ และเมื่อลอการิทึมเป็นฐานที่น้อยกว่าหนึ่ง สัญลักษณ์ของความไม่เท่าเทียมกันจะเปลี่ยนเป็นตรงกันข้าม (ดูย่อหน้าที่ 80 ด้วย)
การพิสูจน์ขึ้นอยู่กับคุณสมบัติ 5 และ 3 พิจารณากรณีเมื่อ ถ้า แล้ว และ เมื่อรับลอการิทึม เราได้
(a และ N/M อยู่บนด้านเดียวกันของความสามัคคี) จากที่นี่
กรณีต่อไปนี้ผู้อ่านจะคิดออกเอง
คุณสมบัติหลัก.
- logax + logay = loga(x y);
- logax − logay = loga (x: y)
บริเวณที่เหมือนกัน
ล็อก6 4 + ล็อก6 9.
ตอนนี้เรามาทำให้งานซับซ้อนขึ้นเล็กน้อย
ตัวอย่างของการแก้ลอการิทึม
จะเกิดอะไรขึ้นถ้าฐานหรืออาร์กิวเมนต์ของลอการิทึมเป็นกำลัง? จากนั้นสามารถนำเลขชี้กำลังของระดับนี้ออกจากเครื่องหมายลอการิทึมได้ตามกฎต่อไปนี้:
แน่นอนว่า กฎทั้งหมดนี้สมเหตุสมผลหากสังเกต ODZ ของลอการิทึม: a > 0, a ≠ 1, x >
งาน. ค้นหาความหมายของสำนวน:
การเปลี่ยนไปสู่รากฐานใหม่
ให้ลอการิทึม logax ถูกกำหนดไว้ ดังนั้น สำหรับจำนวน c ใดๆ ที่ c > 0 และ c ≠ 1 ความเท่ากันจะเป็นจริง:
งาน. ค้นหาความหมายของสำนวน:
ดูเพิ่มเติมที่:
คุณสมบัติพื้นฐานของลอการิทึม
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
เลขชี้กำลังคือ 2.718281828…. หากต้องการจำเลขชี้กำลัง คุณสามารถศึกษากฎได้: เลขชี้กำลังเท่ากับ 2.7 และสองเท่าของปีเกิดของ Leo Nikolaevich Tolstoy
คุณสมบัติพื้นฐานของลอการิทึม
เมื่อรู้กฎนี้ คุณจะรู้ทั้งค่าที่แน่นอนของเลขยกกำลังและวันเดือนปีเกิดของ Leo Tolstoy
ตัวอย่างลอการิทึม
นิพจน์ลอการิทึม
ตัวอย่างที่ 1
ก) x=10ac^2 (a>0,c>0)
เราคำนวณโดยใช้คุณสมบัติ 3.5
2.
3.
4. ที่ไหน .
ตัวอย่างที่ 2. ค้นหา x ถ้า
ตัวอย่างที่ 3 ให้ค่าลอการิทึมได้รับ
คำนวณบันทึก (x) ถ้า
คุณสมบัติพื้นฐานของลอการิทึม
ลอการิทึมก็เหมือนกับตัวเลขอื่นๆ ที่สามารถบวก ลบ และแปลงได้ในทุกวิถีทาง แต่เนื่องจากลอการิทึมไม่ตรงกัน ตัวเลขปกติมีกฎเกณฑ์อยู่ที่นี่ซึ่งเรียกว่า คุณสมบัติหลัก.
คุณจำเป็นต้องรู้กฎเหล่านี้อย่างแน่นอน - ไม่ใช่ปัญหาลอการิทึมร้ายแรงแม้แต่ข้อเดียวที่ไม่สามารถแก้ไขได้หากไม่มีกฎเหล่านี้ นอกจากนี้ยังมีน้อยมาก - คุณสามารถเรียนรู้ทุกสิ่งได้ภายในวันเดียว มาเริ่มกันเลย
การบวกและการลบลอการิทึม
พิจารณาลอการิทึมสองตัวที่มีฐานเดียวกัน: logax และ logay จากนั้นจึงสามารถบวกและลบได้ และ:
- logax + logay = loga(x y);
- logax − logay = loga (x: y)
ดังนั้น ผลรวมของลอการิทึมเท่ากับลอการิทึมของผลิตภัณฑ์ และผลต่างเท่ากับลอการิทึมของผลหาร โปรดทราบ: ประเด็นสำคัญที่นี่คือ บริเวณที่เหมือนกัน- หากเหตุผลแตกต่าง กฎเหล่านี้ใช้ไม่ได้!
สูตรเหล่านี้จะช่วยคุณคำนวณนิพจน์ลอการิทึมแม้ว่าจะไม่ได้พิจารณาแต่ละส่วนก็ตาม (ดูบทเรียน "ลอการิทึมคืออะไร") ดูตัวอย่างและดู:
เนื่องจากลอการิทึมมีฐานเท่ากัน เราจึงใช้สูตรผลรวม:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2
งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: log2 48 − log2 3
ฐานเท่ากัน เราใช้สูตรผลต่าง:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4
งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: log3 135 − log3 5
ฐานก็เหมือนกัน ดังนั้นเราจึงได้:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3
อย่างที่คุณเห็น นิพจน์ดั้งเดิมประกอบด้วยลอการิทึมที่ "ไม่ดี" ซึ่งไม่ได้คำนวณแยกกัน แต่หลังจากการแปลงจะได้ตัวเลขปกติโดยสมบูรณ์ หลายคนถูกสร้างขึ้นจากข้อเท็จจริงนี้ การทดสอบ- ใช่ สำนวนที่เหมือนการทดสอบมีการนำเสนออย่างจริงจังทุกประการ (บางครั้งแทบไม่มีการเปลี่ยนแปลงใดๆ) ในการสอบ Unified State
แยกเลขชี้กำลังออกจากลอการิทึม
จะเห็นได้ง่ายว่ากฎข้อสุดท้ายเป็นไปตามสองข้อแรก แต่ยังไงก็ดีกว่าที่จะจำไว้ - ในบางกรณีมันจะลดจำนวนการคำนวณลงอย่างมาก
แน่นอนว่า กฎทั้งหมดนี้สมเหตุสมผลหากสังเกต ODZ ของลอการิทึม: a > 0, a ≠ 1, x > 0 และอีกอย่างหนึ่ง: เรียนรู้การใช้สูตรทั้งหมดไม่เพียงแต่จากซ้ายไปขวาเท่านั้น แต่ยังในทางกลับกันอีกด้วย , เช่น. คุณสามารถป้อนตัวเลขก่อนที่ลอการิทึมจะลงชื่อเข้าใช้ลอการิทึมได้ นี่คือสิ่งที่จำเป็นบ่อยที่สุด
งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: log7 496
กำจัดระดับของการโต้แย้งโดยใช้สูตรแรก:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12
งาน. ค้นหาความหมายของสำนวน:
โปรดทราบว่าตัวส่วนประกอบด้วยลอการิทึม ซึ่งฐานและอาร์กิวเมนต์เป็นกำลังที่แน่นอน: 16 = 24; 49 = 72 เรามี:
ฉันคิดว่าตัวอย่างสุดท้ายต้องมีการชี้แจง ลอการิทึมหายไปไหน? จนถึงวินาทีสุดท้ายที่เราทำงานกับตัวส่วนเท่านั้น
สูตรลอการิทึม โซลูชันตัวอย่างลอการิทึม
เรานำเสนอฐานและอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึมที่อยู่ตรงนั้นในรูปแบบของกำลังและนำเลขชี้กำลังออกมา - เราได้เศษส่วน "สามชั้น"
ทีนี้มาดูเศษส่วนหลักกัน ตัวเศษและตัวส่วนมีจำนวนเท่ากัน: log2 7 เนื่องจาก log2 7 ≠ 0 เราสามารถลดเศษส่วนได้ - 2/4 จะยังคงอยู่ในตัวส่วน ตามกฎของเลขคณิตแล้วทั้งสี่สามารถโอนไปยังตัวเศษซึ่งเป็นสิ่งที่ทำเสร็จแล้ว ผลลัพธ์คือคำตอบ: 2.
การเปลี่ยนไปสู่รากฐานใหม่
เมื่อพูดถึงกฎสำหรับการบวกและการลบลอการิทึม ฉันเน้นย้ำเป็นพิเศษว่ากฎเหล่านี้ใช้ได้เฉพาะกับฐานเดียวกันเท่านั้น จะทำอย่างไรถ้าเหตุผลต่างกัน? จะเกิดอะไรขึ้นถ้าพวกมันไม่ใช่เลขยกกำลังที่เท่ากัน?
สูตรสำหรับการเปลี่ยนไปใช้รากฐานใหม่มาช่วยเหลือ ให้เรากำหนดพวกมันในรูปแบบของทฤษฎีบท:
ให้ลอการิทึม logax ถูกกำหนดไว้ ดังนั้น สำหรับจำนวน c ใดๆ ที่ c > 0 และ c ≠ 1 ความเท่ากันจะเป็นจริง:
โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้าเราตั้งค่า c = x เราจะได้:
จากสูตรที่สองเป็นไปตามว่าสามารถสลับฐานและอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึมได้ แต่ในกรณีนี้นิพจน์ทั้งหมดจะ "พลิกกลับ" เช่น ลอการิทึมจะปรากฏในตัวส่วน
สูตรเหล่านี้หาได้ยากในสูตรทั่วไป นิพจน์เชิงตัวเลข- มีความเป็นไปได้ที่จะประเมินว่าสะดวกเพียงใดเมื่อแก้สมการลอการิทึมและอสมการเท่านั้น
แต่มีปัญหาที่ไม่สามารถแก้ไขได้เลยนอกจากการย้ายฐานรากใหม่ ลองดูสองสามสิ่งเหล่านี้:
งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: log5 16 log2 25
โปรดทราบว่าอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึมทั้งสองมีกำลังที่แน่นอน มาดูตัวบ่งชี้กัน: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; ล็อก2 25 = ล็อก2 52 = 2ล็อก2 5;
ทีนี้ลอง "ย้อนกลับ" ลอการิทึมที่สอง:
เนื่องจากผลคูณไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อจัดเรียงปัจจัยใหม่ เราจึงคูณสี่และสองอย่างใจเย็น จากนั้นจึงจัดการกับลอการิทึม
งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: log9 100 lg 3
ฐานและอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึมแรกคือกำลังที่แน่นอน มาเขียนสิ่งนี้และกำจัดตัวบ่งชี้:
ตอนนี้ กำจัดลอการิทึมทศนิยมโดยการย้ายไปยังฐานใหม่:
เอกลักษณ์ลอการิทึมพื้นฐาน
บ่อยครั้งในกระบวนการแก้ปัญหา จำเป็นต้องแสดงตัวเลขเป็นลอการิทึมของฐานที่กำหนด ในกรณีนี้สูตรต่อไปนี้จะช่วยเรา:
ในกรณีแรก ตัวเลข n จะกลายเป็นเลขชี้กำลังในอาร์กิวเมนต์ จำนวน n สามารถเป็นอะไรก็ได้ เพราะมันเป็นเพียงค่าลอการิทึม
สูตรที่สองเป็นคำจำกัดความที่ถอดความจริงๆ นั่นคือสิ่งที่เรียกว่า: .
อันที่จริง จะเกิดอะไรขึ้นถ้าเลข b ยกกำลังจนเลข b ยกกำลังนี้ให้เลข a? ถูกต้อง: ผลลัพธ์คือเลข a เดียวกัน อ่านย่อหน้านี้อย่างละเอียดอีกครั้ง หลายๆ คนอาจติดอยู่กับเรื่องนี้
เช่นเดียวกับสูตรสำหรับการย้ายไปยังฐานใหม่ บางครั้งเอกลักษณ์ลอการิทึมพื้นฐานก็เป็นวิธีแก้ปัญหาเดียวที่เป็นไปได้
งาน. ค้นหาความหมายของสำนวน:
โปรดทราบว่า log25 64 = log5 8 - แค่เอากำลังสองจากฐานและอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึม เมื่อคำนึงถึงกฎในการคูณกำลังด้วยฐานเดียวกัน เราได้รับ:
ถ้าใครไม่รู้ นี่คืองานจริงจากการสอบ Unified State :)
หน่วยลอการิทึมและศูนย์ลอการิทึม
โดยสรุป ฉันจะให้สองตัวตนที่แทบจะเรียกได้ว่าเป็นคุณสมบัติไม่ได้ - แต่พวกมันเป็นผลมาจากคำจำกัดความของลอการิทึม พวกมันมักเกิดปัญหาอยู่ตลอดเวลา และน่าประหลาดใจที่มันสร้างปัญหาแม้กระทั่งกับนักเรียน "ขั้นสูง" ก็ตาม
- logaa = 1 คือ จำไว้ทุกครั้ง: ลอการิทึมของฐานใดๆ a ของฐานนั้นจะเท่ากับ 1
- โลกา 1 = 0 คือ ฐาน a สามารถเป็นอะไรก็ได้ แต่ถ้าอาร์กิวเมนต์มีหนึ่งค่า ลอการิทึมจะเท่ากับศูนย์! เพราะ a0 = 1 เป็นผลโดยตรงจากนิยาม
นั่นคือคุณสมบัติทั้งหมด อย่าลืมฝึกฝนการนำไปปฏิบัติจริง! ดาวน์โหลดเอกสารสรุปตอนต้นบทเรียน พิมพ์ออกมา และแก้ไขปัญหา
ดูเพิ่มเติมที่:
ลอการิทึมของ b ถึงฐาน a แสดงถึงนิพจน์ การคำนวณลอการิทึมหมายถึงการค้นหากำลัง x () ที่ทำให้ได้ความเท่าเทียมกัน
คุณสมบัติพื้นฐานของลอการิทึม
จำเป็นต้องทราบคุณสมบัติข้างต้นเนื่องจากปัญหาและตัวอย่างเกือบทั้งหมดที่เกี่ยวข้องกับลอการิทึมได้รับการแก้ไขบนพื้นฐานของปัญหาเหล่านี้ คุณสมบัติแปลกใหม่ที่เหลือสามารถได้มาจากการปรุงแต่งทางคณิตศาสตร์ด้วยสูตรเหล่านี้
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
เมื่อคำนวณสูตรสำหรับผลรวมและผลต่างของลอการิทึม (3.4) คุณมักจะพบบ่อยมาก ส่วนที่เหลือค่อนข้างซับซ้อน แต่ในงานจำนวนหนึ่งสิ่งเหล่านี้ขาดไม่ได้ในการลดความซับซ้อนของนิพจน์ที่ซับซ้อนและการคำนวณค่าของพวกเขา
กรณีทั่วไปของลอการิทึม
ลอการิทึมทั่วไปบางตัวเป็นลอการิทึมที่มีฐานเป็นสิบเลขยกกำลังหรือสอง
ลอการิทึมถึงฐานสิบมักเรียกว่าลอการิทึมทศนิยม และเขียนแทนด้วย lg(x)
จากการบันทึกก็ชัดเจนว่าพื้นฐานไม่ได้ถูกเขียนไว้ในการบันทึก ตัวอย่างเช่น
ลอการิทึมธรรมชาติคือลอการิทึมที่มีฐานเป็นเลขชี้กำลัง (แสดงโดย ln(x))
เลขชี้กำลังคือ 2.718281828…. หากต้องการจำเลขชี้กำลัง คุณสามารถศึกษากฎได้: เลขชี้กำลังเท่ากับ 2.7 และสองเท่าของปีเกิดของ Leo Nikolaevich Tolstoy เมื่อรู้กฎนี้ คุณจะรู้ทั้งค่าที่แน่นอนของเลขยกกำลังและวันเดือนปีเกิดของ Leo Tolstoy
และลอการิทึมสำคัญอีกตัวของฐานสองเขียนแทนด้วย
อนุพันธ์ของลอการิทึมของฟังก์ชันเท่ากับค่าหนึ่งหารด้วยตัวแปร
ลอการิทึมอินทิกรัลหรือแอนติเดริเวทีฟถูกกำหนดโดยความสัมพันธ์
เนื้อหาที่ให้มานั้นเพียงพอสำหรับคุณในการแก้ปัญหาหลายประเภทที่เกี่ยวข้องกับลอการิทึมและลอการิทึม เพื่อช่วยให้คุณเข้าใจเนื้อหา ฉันจะยกตัวอย่างทั่วไปบางส่วนจาก หลักสูตรของโรงเรียนและมหาวิทยาลัย
ตัวอย่างลอการิทึม
นิพจน์ลอการิทึม
ตัวอย่างที่ 1
ก) x=10ac^2 (a>0,c>0)
เราคำนวณโดยใช้คุณสมบัติ 3.5
2.
โดยคุณสมบัติของผลต่างของลอการิทึมที่เรามี
3.
เราพบโดยใช้คุณสมบัติ 3.5
4. ที่ไหน .
นิพจน์ที่ดูเหมือนซับซ้อนจะถูกทำให้ง่ายขึ้นโดยใช้กฎหลายข้อ
การค้นหาค่าลอการิทึม
ตัวอย่างที่ 2. ค้นหา x ถ้า
สารละลาย. สำหรับการคำนวณ เราใช้กับคุณสมบัติ 5 และ 13 เทอมสุดท้าย
เราบันทึกไว้และไว้อาลัย
เนื่องจากฐานเท่ากัน เราจึงจัดนิพจน์ให้เท่ากัน
ลอการิทึม ระดับรายการ
ให้ค่าลอการิทึมได้รับ
คำนวณบันทึก (x) ถ้า
วิธีแก้: ลองใช้ลอการิทึมของตัวแปรเพื่อเขียนลอการิทึมผ่านผลรวมของพจน์ของมัน
นี่เป็นเพียงจุดเริ่มต้นของความคุ้นเคยกับลอการิทึมและคุณสมบัติของพวกมัน ฝึกฝนการคำนวณ เสริมสร้างทักษะการปฏิบัติของคุณ - ในไม่ช้าคุณจะต้องมีความรู้ที่ได้รับในการแก้สมการลอการิทึม เมื่อศึกษาวิธีการพื้นฐานในการแก้สมการดังกล่าวแล้วเราจะขยายความรู้ของคุณไปอีกไม่น้อย หัวข้อสำคัญ- อสมการลอการิทึม...
คุณสมบัติพื้นฐานของลอการิทึม
ลอการิทึมก็เหมือนกับตัวเลขอื่นๆ ที่สามารถบวก ลบ และแปลงได้ในทุกวิถีทาง แต่เนื่องจากลอการิทึมไม่ใช่ตัวเลขธรรมดาเสียทีเดียว จึงมีกฎที่เรียกว่า คุณสมบัติหลัก.
คุณจำเป็นต้องรู้กฎเหล่านี้อย่างแน่นอน - ไม่ใช่ปัญหาลอการิทึมร้ายแรงแม้แต่ข้อเดียวที่ไม่สามารถแก้ไขได้หากไม่มีกฎเหล่านี้ นอกจากนี้ยังมีน้อยมาก - คุณสามารถเรียนรู้ทุกสิ่งได้ภายในวันเดียว มาเริ่มกันเลย
การบวกและการลบลอการิทึม
พิจารณาลอการิทึมสองตัวที่มีฐานเดียวกัน: logax และ logay จากนั้นจึงสามารถบวกและลบได้ และ:
- logax + logay = loga(x y);
- logax − logay = loga (x: y)
ดังนั้น ผลรวมของลอการิทึมเท่ากับลอการิทึมของผลิตภัณฑ์ และผลต่างเท่ากับลอการิทึมของผลหาร โปรดทราบ: ประเด็นสำคัญที่นี่คือ บริเวณที่เหมือนกัน- หากเหตุผลแตกต่าง กฎเหล่านี้ใช้ไม่ได้!
สูตรเหล่านี้จะช่วยคุณคำนวณนิพจน์ลอการิทึมแม้ว่าจะไม่ได้พิจารณาแต่ละส่วนก็ตาม (ดูบทเรียน "ลอการิทึมคืออะไร") ดูตัวอย่างและดู:
งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: log6 4 + log6 9
เนื่องจากลอการิทึมมีฐานเท่ากัน เราจึงใช้สูตรผลรวม:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2
งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: log2 48 − log2 3
ฐานเท่ากัน เราใช้สูตรผลต่าง:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4
งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: log3 135 − log3 5
ฐานก็เหมือนกัน ดังนั้นเราจึงได้:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3
อย่างที่คุณเห็น นิพจน์ดั้งเดิมประกอบด้วยลอการิทึมที่ "ไม่ดี" ซึ่งไม่ได้คำนวณแยกกัน แต่หลังจากการแปลงจะได้ตัวเลขปกติโดยสมบูรณ์ การทดสอบจำนวนมากขึ้นอยู่กับข้อเท็จจริงนี้ ใช่ สำนวนที่เหมือนการทดสอบมีการนำเสนออย่างจริงจังทุกประการ (บางครั้งแทบไม่มีการเปลี่ยนแปลงใดๆ) ในการสอบ Unified State
แยกเลขชี้กำลังออกจากลอการิทึม
ตอนนี้เรามาทำให้งานซับซ้อนขึ้นเล็กน้อย จะเกิดอะไรขึ้นถ้าฐานหรืออาร์กิวเมนต์ของลอการิทึมเป็นกำลัง? จากนั้นสามารถนำเลขชี้กำลังของระดับนี้ออกจากเครื่องหมายลอการิทึมได้ตามกฎต่อไปนี้:
จะเห็นได้ง่ายว่ากฎข้อสุดท้ายเป็นไปตามสองข้อแรก แต่ยังไงก็ดีกว่าที่จะจำไว้ - ในบางกรณีมันจะลดจำนวนการคำนวณลงอย่างมาก
แน่นอนว่า กฎทั้งหมดนี้สมเหตุสมผลหากสังเกต ODZ ของลอการิทึม: a > 0, a ≠ 1, x > 0 และอีกอย่างหนึ่ง: เรียนรู้การใช้สูตรทั้งหมดไม่เพียงแต่จากซ้ายไปขวาเท่านั้น แต่ยังในทางกลับกันอีกด้วย , เช่น. คุณสามารถป้อนตัวเลขก่อนที่ลอการิทึมจะลงชื่อเข้าใช้ลอการิทึมได้
วิธีแก้ลอการิทึม
นี่คือสิ่งที่จำเป็นบ่อยที่สุด
งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: log7 496
กำจัดระดับของการโต้แย้งโดยใช้สูตรแรก:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12
งาน. ค้นหาความหมายของสำนวน:
โปรดทราบว่าตัวส่วนประกอบด้วยลอการิทึม ซึ่งฐานและอาร์กิวเมนต์เป็นกำลังที่แน่นอน: 16 = 24; 49 = 72 เรามี:
ฉันคิดว่าตัวอย่างสุดท้ายต้องมีการชี้แจง ลอการิทึมหายไปไหน? จนถึงวินาทีสุดท้ายที่เราทำงานกับตัวส่วนเท่านั้น เรานำเสนอฐานและอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึมที่อยู่ตรงนั้นในรูปแบบของกำลังและนำเลขชี้กำลังออกมา - เราได้เศษส่วน "สามชั้น"
ทีนี้มาดูเศษส่วนหลักกัน ตัวเศษและตัวส่วนมีจำนวนเท่ากัน: log2 7 เนื่องจาก log2 7 ≠ 0 เราสามารถลดเศษส่วนได้ - 2/4 จะยังคงอยู่ในตัวส่วน ตามกฎของเลขคณิตแล้วทั้งสี่สามารถโอนไปยังตัวเศษซึ่งเป็นสิ่งที่ทำเสร็จแล้ว ผลลัพธ์คือคำตอบ: 2.
การเปลี่ยนไปสู่รากฐานใหม่
เมื่อพูดถึงกฎสำหรับการบวกและการลบลอการิทึม ฉันเน้นย้ำเป็นพิเศษว่ากฎเหล่านี้ใช้ได้เฉพาะกับฐานเดียวกันเท่านั้น จะทำอย่างไรถ้าเหตุผลต่างกัน? จะเกิดอะไรขึ้นถ้าพวกมันไม่ใช่เลขยกกำลังที่เท่ากัน?
สูตรสำหรับการเปลี่ยนไปใช้รากฐานใหม่มาช่วยเหลือ ให้เรากำหนดพวกมันในรูปแบบของทฤษฎีบท:
ให้ลอการิทึม logax ถูกกำหนดไว้ ดังนั้น สำหรับจำนวน c ใดๆ ที่ c > 0 และ c ≠ 1 ความเท่ากันจะเป็นจริง:
โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้าเราตั้งค่า c = x เราจะได้:
จากสูตรที่สองเป็นไปตามว่าสามารถสลับฐานและอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึมได้ แต่ในกรณีนี้นิพจน์ทั้งหมดจะ "พลิกกลับ" เช่น ลอการิทึมจะปรากฏในตัวส่วน
สูตรเหล่านี้ไม่ค่อยพบในนิพจน์ตัวเลขทั่วไป มีความเป็นไปได้ที่จะประเมินว่าสะดวกเพียงใดเมื่อแก้สมการลอการิทึมและอสมการเท่านั้น
แต่มีปัญหาที่ไม่สามารถแก้ไขได้เลยนอกจากการย้ายฐานรากใหม่ ลองดูสองสามสิ่งเหล่านี้:
งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: log5 16 log2 25
โปรดทราบว่าอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึมทั้งสองมีกำลังที่แน่นอน มาดูตัวบ่งชี้กัน: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; ล็อก2 25 = ล็อก2 52 = 2ล็อก2 5;
ทีนี้ลอง "ย้อนกลับ" ลอการิทึมที่สอง:
เนื่องจากผลคูณไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อจัดเรียงปัจจัยใหม่ เราจึงคูณสี่และสองอย่างใจเย็น จากนั้นจึงจัดการกับลอการิทึม
งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: log9 100 lg 3
ฐานและอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึมแรกคือกำลังที่แน่นอน มาเขียนสิ่งนี้และกำจัดตัวบ่งชี้:
ตอนนี้ กำจัดลอการิทึมทศนิยมโดยการย้ายไปยังฐานใหม่:
เอกลักษณ์ลอการิทึมพื้นฐาน
บ่อยครั้งในกระบวนการแก้ปัญหา จำเป็นต้องแสดงตัวเลขเป็นลอการิทึมของฐานที่กำหนด ในกรณีนี้สูตรต่อไปนี้จะช่วยเรา:
ในกรณีแรก ตัวเลข n จะกลายเป็นเลขชี้กำลังในอาร์กิวเมนต์ จำนวน n สามารถเป็นอะไรก็ได้ เพราะมันเป็นเพียงค่าลอการิทึม
สูตรที่สองเป็นคำจำกัดความที่ถอดความจริงๆ นั่นคือสิ่งที่เรียกว่า: .
อันที่จริง จะเกิดอะไรขึ้นถ้าเลข b ยกกำลังจนเลข b ยกกำลังนี้ให้เลข a? ถูกต้อง: ผลลัพธ์คือเลข a เดียวกัน อ่านย่อหน้านี้อย่างละเอียดอีกครั้ง หลายๆ คนอาจติดอยู่กับเรื่องนี้
เช่นเดียวกับสูตรสำหรับการย้ายไปยังฐานใหม่ บางครั้งเอกลักษณ์ลอการิทึมพื้นฐานก็เป็นวิธีแก้ปัญหาเดียวที่เป็นไปได้
งาน. ค้นหาความหมายของสำนวน:
โปรดทราบว่า log25 64 = log5 8 - แค่เอากำลังสองจากฐานและอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึม เมื่อคำนึงถึงกฎในการคูณกำลังด้วยฐานเดียวกัน เราได้รับ:
ถ้าใครไม่รู้ นี่คืองานจริงจากการสอบ Unified State :)
หน่วยลอการิทึมและศูนย์ลอการิทึม
โดยสรุป ฉันจะให้สองตัวตนที่แทบจะเรียกได้ว่าเป็นคุณสมบัติไม่ได้ - แต่พวกมันเป็นผลมาจากคำจำกัดความของลอการิทึม พวกมันมักเกิดปัญหาอยู่ตลอดเวลา และน่าประหลาดใจที่มันสร้างปัญหาแม้กระทั่งกับนักเรียน "ขั้นสูง" ก็ตาม
- logaa = 1 คือ จำไว้ทุกครั้ง: ลอการิทึมของฐานใดๆ a ของฐานนั้นจะเท่ากับ 1
- โลกา 1 = 0 คือ ฐาน a สามารถเป็นอะไรก็ได้ แต่ถ้าอาร์กิวเมนต์มีหนึ่งค่า ลอการิทึมจะเท่ากับศูนย์! เพราะ a0 = 1 เป็นผลโดยตรงจากนิยาม
นั่นคือคุณสมบัติทั้งหมด อย่าลืมฝึกฝนการนำไปปฏิบัติจริง! ดาวน์โหลดเอกสารสรุปตอนต้นบทเรียน พิมพ์ออกมา และแก้ไขปัญหา
เมื่อสังคมพัฒนาและการผลิตมีความซับซ้อนมากขึ้น คณิตศาสตร์ก็พัฒนาขึ้นด้วย การเคลื่อนไหวจากง่ายไปสู่ซับซ้อน จากการบัญชีทั่วไปโดยใช้วิธีการบวกและการลบด้วยการทำซ้ำซ้ำ ๆ เรามาถึงแนวคิดของการคูณและการหาร การลดการดำเนินการคูณซ้ำๆ กลายเป็นแนวคิดเรื่องการยกกำลัง ตารางแรกของการพึ่งพาตัวเลขบนฐานและจำนวนการยกกำลังถูกรวบรวมในศตวรรษที่ 8 โดย Varasena นักคณิตศาสตร์ชาวอินเดีย จากนั้นคุณสามารถนับเวลาที่เกิดลอการิทึมได้
ภาพสเก็ตช์ประวัติศาสตร์
การฟื้นตัวของยุโรปในศตวรรษที่ 16 ยังช่วยกระตุ้นการพัฒนากลศาสตร์อีกด้วย ต ต้องใช้การคำนวณจำนวนมากเกี่ยวข้องกับการคูณและการหาร ตัวเลขหลายหลัก- โต๊ะโบราณก็บริการดีมาก พวกเขาอนุญาตให้มีการเปลี่ยน การดำเนินงานที่ซับซ้อนสำหรับคนที่ง่ายกว่า - การบวกและการลบ ก้าวสำคัญไปข้างหน้าคือผลงานของนักคณิตศาสตร์ Michael Stiefel ซึ่งตีพิมพ์ในปี 1544 ซึ่งเขาตระหนักถึงความคิดของนักคณิตศาสตร์หลายคน สิ่งนี้ทำให้สามารถใช้ตารางได้ไม่เพียง แต่สำหรับกำลังในรูปแบบของจำนวนเฉพาะเท่านั้น แต่ยังรวมถึงค่าตรรกยะตามอำเภอใจด้วย
ในปี 1614 ชาวสก็อตแลนด์ จอห์น เนเปียร์ ซึ่งพัฒนาแนวคิดเหล่านี้ ได้แนะนำคำศัพท์ใหม่ว่า "ลอการิทึมของตัวเลข" เป็นครั้งแรก มีการรวบรวมตารางที่ซับซ้อนใหม่เพื่อคำนวณลอการิทึมของไซน์และโคไซน์ รวมถึงแทนเจนต์ สิ่งนี้ทำให้การทำงานของนักดาราศาสตร์ลดลงอย่างมาก
ตารางใหม่เริ่มปรากฏขึ้นซึ่งนักวิทยาศาสตร์ใช้สำเร็จมาเป็นเวลาสามศตวรรษ เวลาผ่านไปนานมากแล้ว การดำเนินการใหม่ในพีชคณิตมันได้รูปแบบที่เสร็จสมบูรณ์แล้ว ให้คำจำกัดความของลอการิทึมและศึกษาคุณสมบัติของลอการิทึม
เฉพาะในศตวรรษที่ 20 เท่านั้นที่มีการถือกำเนิดขึ้นของเครื่องคิดเลขและคอมพิวเตอร์ มนุษยชาติจึงละทิ้งโต๊ะโบราณที่ทำงานอย่างประสบความสำเร็จตลอดศตวรรษที่ 13
วันนี้เราเรียกลอการิทึมของ b ว่าเป็นฐานของ x ซึ่งเป็นกำลังของ a ที่ทำให้ b เขียนเป็นสูตร: x = log a(b)
ตัวอย่างเช่น บันทึก 3(9) จะเท่ากับ 2 ซึ่งจะชัดเจนหากคุณปฏิบัติตามคำจำกัดความ ถ้าเรายก 3 ยกกำลัง 2 เราจะได้ 9
ดังนั้น คำจำกัดความที่จัดทำขึ้นจึงกำหนดข้อจำกัดเพียงข้อเดียว คือ ตัวเลข a และ b ต้องเป็นจำนวนจริง
ประเภทของลอการิทึม
คำจำกัดความแบบคลาสสิกเรียกว่าลอการิทึมจริง และจริงๆ แล้วคือคำตอบของสมการ a x = b ตัวเลือก a = 1 ถือเป็นเส้นเขตแดนและไม่เป็นที่สนใจ ข้อควรสนใจ: 1 กำลังใดๆ มีค่าเท่ากับ 1
มูลค่าที่แท้จริงของลอการิทึมกำหนดเฉพาะเมื่อฐานและอาร์กิวเมนต์มากกว่า 0 และฐานต้องไม่เท่ากับ 1
สถานที่พิเศษในสาขาคณิตศาสตร์เล่นลอการิทึม ซึ่งจะตั้งชื่อตามขนาดของฐาน:
กฎและข้อจำกัด
คุณสมบัติพื้นฐานของลอการิทึมคือกฎ: ลอการิทึมของผลิตภัณฑ์เท่ากับผลรวมลอการิทึม บันทึก abp = บันทึก ก(b) + บันทึก ก(p)
รูปแบบหนึ่งของข้อความนี้จะเป็น: log c(b/p) = log c(b) - log c(p) ฟังก์ชันผลหารจะเท่ากับผลต่างของฟังก์ชัน
จากกฎสองข้อก่อนหน้านี้ จะสังเกตได้ง่ายว่า: log a(b p) = p * log a(b)
คุณสมบัติอื่น ๆ ได้แก่ :
ความคิดเห็น ไม่จำเป็นต้องทำผิดพลาดทั่วไป - ลอการิทึมของผลรวมไม่เท่ากับผลรวมของลอการิทึม
เป็นเวลาหลายศตวรรษแล้วที่การค้นหาลอการิทึมเป็นงานที่ค่อนข้างใช้เวลานาน นักคณิตศาสตร์ใช้สูตรที่รู้จักกันดีของทฤษฎีลอการิทึมของการขยายตัวพหุนาม:
ln (1 + x) = x — (x^2)/2 + (x^3)/3 — (x^4)/4 + … + ((-1)^(n + 1))*(( x^n)/n) โดยที่ n - จำนวนธรรมชาติมากกว่า 1 ซึ่งเป็นตัวกำหนดความแม่นยำของการคำนวณ
ลอการิทึมที่มีฐานอื่นคำนวณโดยใช้ทฤษฎีบทเกี่ยวกับการเปลี่ยนจากฐานหนึ่งไปอีกฐานหนึ่งและคุณสมบัติของลอการิทึมของผลิตภัณฑ์
เนื่องจากวิธีนี้ใช้แรงงานเข้มข้นมากและ เมื่อแก้ไขปัญหาเชิงปฏิบัติยากต่อการนำไปใช้ เราใช้ตารางลอการิทึมที่คอมไพล์ไว้ล่วงหน้า ซึ่งทำให้งานทั้งหมดเร็วขึ้นอย่างเห็นได้ชัด
ในบางกรณีมีการใช้กราฟลอการิทึมที่ออกแบบมาเป็นพิเศษซึ่งให้ความแม่นยำน้อยกว่า แต่ช่วยเร่งความเร็วในการค้นหาค่าที่ต้องการได้อย่างมาก เส้นโค้งของฟังก์ชัน y = log a(x) ซึ่งสร้างขึ้นบนหลายจุด ทำให้คุณสามารถใช้ไม้บรรทัดธรรมดาเพื่อค้นหาค่าของฟังก์ชันที่จุดอื่นได้ วิศวกร เวลานานเพื่อจุดประสงค์เหล่านี้จึงใช้สิ่งที่เรียกว่ากระดาษกราฟ
ในศตวรรษที่ 17 เงื่อนไขการคำนวณแอนะล็อกเสริมครั้งแรกปรากฏขึ้นซึ่ง ศตวรรษที่ 19ได้รับการดูเสร็จแล้ว อุปกรณ์ที่ประสบความสำเร็จสูงสุดเรียกว่ากฎสไลด์ แม้จะมีความเรียบง่ายของอุปกรณ์ แต่รูปลักษณ์ของมันช่วยเร่งกระบวนการทั้งหมดได้อย่างมาก การคำนวณทางวิศวกรรมและนี่เป็นเรื่องยากที่จะประเมินค่าสูงไป ปัจจุบันมีเพียงไม่กี่คนที่คุ้นเคยกับอุปกรณ์นี้
การถือกำเนิดขึ้นของเครื่องคิดเลขและคอมพิวเตอร์ทำให้การใช้อุปกรณ์อื่นๆ ไร้จุดหมาย
สมการและอสมการ
ในการแก้สมการและอสมการต่างๆ โดยใช้ลอการิทึม จะใช้สูตรต่อไปนี้:
- การเปลี่ยนจากฐานหนึ่งไปอีกฐานหนึ่ง: log a(b) = log c(b) / log c(a);
- อันเป็นผลมาจากตัวเลือกก่อนหน้า: log a(b) = 1 / log b(a)
เพื่อแก้ความไม่เท่าเทียมกัน มีประโยชน์ที่จะรู้:
- ค่าลอการิทึมจะเป็นค่าบวกก็ต่อเมื่อฐานและอาร์กิวเมนต์มีค่ามากกว่าหรือน้อยกว่าหนึ่งเท่านั้น หากมีการละเมิดเงื่อนไขอย่างน้อยหนึ่งข้อ ค่าลอการิทึมจะเป็นลบ
- หากใช้ฟังก์ชันลอการิทึมกับด้านขวาและด้านซ้ายของอสมการ และฐานของลอการิทึมมากกว่า 1 แสดงว่าสัญญาณของอสมการยังคงอยู่ ไม่อย่างนั้นมันจะเปลี่ยนไป
ตัวอย่างของปัญหา
พิจารณาหลายตัวเลือกสำหรับการใช้ลอการิทึมและคุณสมบัติต่างๆ ตัวอย่างที่มีการแก้สมการ:
พิจารณาตัวเลือกในการวางลอการิทึมลงในกำลัง:
- ปัญหาที่ 3 คำนวณ 25^log 5(3) วิธีแก้ไข: ในเงื่อนไขของปัญหา รายการจะคล้ายกับรายการต่อไปนี้ (5^2)^log5(3) หรือ 5^(2 * log 5(3)) ลองเขียนให้แตกต่างออกไป: 5^log 5(3*2) หรือกำลังสองของตัวเลขเป็นอาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันสามารถเขียนเป็นกำลังสองของฟังก์ชันได้ (5^log 5(3))^2 การใช้คุณสมบัติของลอการิทึม นิพจน์นี้จะเท่ากับ 3^2 คำตอบ: จากการคำนวณเราได้ 9
การประยุกต์ใช้ในทางปฏิบัติ
เนื่องจากเป็นเครื่องมือทางคณิตศาสตร์ล้วนๆ จึงดูเหมือนห่างไกลจากความเป็นจริง ชีวิตจริงที่ลอการิทึมได้มาอย่างกะทันหัน คุ้มค่ามากเพื่ออธิบายวัตถุในโลกแห่งความเป็นจริง เป็นการยากที่จะหาวิทยาศาสตร์ที่ไม่ได้ใช้ นี้อยู่ใน อย่างเต็มที่ไม่เพียงแต่ใช้กับธรรมชาติเท่านั้น แต่ยังใช้กับสาขาความรู้ด้านมนุษยธรรมด้วย
การพึ่งพาลอการิทึม
นี่คือตัวอย่างบางส่วนของการขึ้นต่อกันของตัวเลข:
กลศาสตร์และฟิสิกส์
ในอดีต กลศาสตร์และฟิสิกส์ได้รับการพัฒนาโดยใช้วิธีการวิจัยทางคณิตศาสตร์มาโดยตลอด และในขณะเดียวกันก็ทำหน้าที่เป็นแรงจูงใจในการพัฒนาคณิตศาสตร์ รวมถึงลอการิทึมด้วย ทฤษฎีกฎฟิสิกส์ส่วนใหญ่เขียนด้วยภาษาคณิตศาสตร์ ขอให้เรายกตัวอย่างเพียงสองตัวอย่างในการอธิบายกฎฟิสิกส์โดยใช้ลอการิทึม
ปัญหาในการคำนวณปริมาณที่ซับซ้อนเช่นความเร็วของจรวดสามารถแก้ไขได้โดยใช้สูตร Tsiolkovsky ซึ่งวางรากฐานสำหรับทฤษฎีการสำรวจอวกาศ:
V = I * ln (M1/M2) โดยที่
- V คือความเร็วสุดท้ายของเครื่องบิน
- ฉัน – แรงกระตุ้นเฉพาะของเครื่องยนต์
- M 1 – มวลเริ่มต้นของจรวด
- M 2 – มวลสุดท้าย
อีกตัวอย่างที่สำคัญ- ใช้ในสูตรของนักวิทยาศาสตร์ผู้ยิ่งใหญ่อีกคนอย่าง Max Planck ซึ่งทำหน้าที่ประเมินสถานะสมดุลในอุณหพลศาสตร์
S = k * ln (Ω) โดยที่
- S – คุณสมบัติทางอุณหพลศาสตร์
- k – ค่าคงที่ของ Boltzmann
- Ω คือน้ำหนักทางสถิติของสถานะต่างๆ
เคมี
ไม่ชัดเจนคือการใช้สูตรในวิชาเคมีที่มีอัตราส่วนของลอการิทึม ขอยกตัวอย่างเพียงสองตัวอย่าง:
- สมการเนิร์สต์ คือสภาวะของศักย์รีดอกซ์ของตัวกลางที่สัมพันธ์กับแอคติวิตีของสารและค่าคงที่สมดุล
- การคำนวณค่าคงที่เช่นดัชนีการสลายอัตโนมัติและความเป็นกรดของสารละลายก็ไม่สามารถทำได้หากไม่มีฟังก์ชันของเรา
จิตวิทยาและชีววิทยา
และยังไม่ชัดเจนว่าจิตวิทยาเกี่ยวข้องกับเรื่องนี้อย่างไร ปรากฎว่าฟังก์ชันนี้อธิบายความแรงของความรู้สึกได้ดีว่าเป็นอัตราส่วนผกผันของค่าความเข้มของการกระตุ้นต่อค่าความเข้มที่ต่ำกว่า
หลังจากตัวอย่างข้างต้น จึงไม่น่าแปลกใจอีกต่อไปที่หัวข้อลอการิทึมมีการใช้กันอย่างแพร่หลายในวิชาชีววิทยา ปริมาตรทั้งหมดสามารถเขียนเกี่ยวกับรูปแบบทางชีววิทยาที่สอดคล้องกับเกลียวลอการิทึม
พื้นที่อื่นๆ
ดูเหมือนว่าการดำรงอยู่ของโลกจะเป็นไปไม่ได้หากปราศจากความเกี่ยวข้องกับหน้าที่นี้ และมันจะควบคุมกฎทั้งหมด โดยเฉพาะเมื่อกฎแห่งธรรมชาติเกี่ยวข้องกัน ความก้าวหน้าทางเรขาคณิต- คุ้มค่าที่จะหันมาใช้เว็บไซต์ MatProfi และมีตัวอย่างมากมายในกิจกรรมต่อไปนี้:
รายการสามารถไม่มีที่สิ้นสุด เมื่อเข้าใจหลักการพื้นฐานของฟังก์ชันนี้แล้ว คุณสามารถดำดิ่งสู่โลกแห่งปัญญาอันไม่มีที่สิ้นสุด