นักเรียนทุกคนรู้ว่ากำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉากจะเท่ากับผลบวกของขาซึ่งแต่ละขาจะเป็นกำลังสองเสมอ ข้อความนี้เรียกว่าทฤษฎีบทพีทาโกรัส เป็นหนึ่งในทฤษฎีบทที่มีชื่อเสียงที่สุดในตรีโกณมิติและคณิตศาสตร์โดยทั่วไป ลองพิจารณารายละเอียดเพิ่มเติม

แนวคิดของสามเหลี่ยมมุมฉาก

ก่อนที่จะดำเนินการพิจารณาทฤษฎีบทพีทาโกรัส ซึ่งกำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับผลรวมของขาที่กำลังสอง เราควรพิจารณาแนวคิดและคุณสมบัติของสามเหลี่ยมมุมฉาก ซึ่งทฤษฎีบทนี้ใช้ได้

สามเหลี่ยม - รูปแบนซึ่งมีสามมุมและสามด้าน สามเหลี่ยมมุมฉากตามชื่อของมัน มีมุมฉากหนึ่งมุม นั่นคือ มุมนี้คือ 90 o

จากคุณสมบัติทั่วไปของรูปสามเหลี่ยมทั้งหมด เป็นที่ทราบกันว่าผลรวมของมุมทั้งสามของรูปนี้คือ 180 o ซึ่งหมายความว่าสำหรับรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ผลรวมของมุมสองมุมที่ไม่ถูกต้องคือ 180 o - 90 o = 90 โอ ความจริงข้อหลังหมายความว่ามุมใด ๆ ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่ไม่ใช่มุมฉากจะน้อยกว่า 90o เสมอ

ด้านตรงข้ามมุมฉากเรียกว่าด้านตรงข้ามมุมฉาก อีกสองด้านเป็นขาของสามเหลี่ยม อาจเท่ากันหรือต่างกันก็ได้ จากตรีโกณมิติเป็นที่ทราบกันดีว่ายิ่งมุมตัดกับด้านที่อยู่ในรูปสามเหลี่ยมมากเท่าใด ความยาวของด้านนี้ก็จะยิ่งมากขึ้นเท่านั้น ซึ่งหมายความว่าในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ด้านตรงข้ามมุมฉาก (อยู่ตรงข้ามกับมุม 90 o) จะมากกว่าขาใดๆ เสมอ (อยู่ตรงข้ามกับมุม< 90 o).

สัญกรณ์ทางคณิตศาสตร์ของทฤษฎีบทพีทาโกรัส

ทฤษฎีบทนี้ระบุว่ากำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับผลรวมของขา ซึ่งแต่ละขาก่อนหน้านี้กำลังสอง ในการเขียนสูตรนี้ในทางคณิตศาสตร์ ให้พิจารณารูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่ด้าน a, b และ c เป็นสองขาและด้านตรงข้ามมุมฉาก ตามลำดับ ในกรณีนี้ ทฤษฎีบทซึ่งกำหนดเป็นกำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับผลรวมของกำลังสองของขา สามารถแสดงด้วยสูตรต่อไปนี้: c 2 \u003d a 2 + b 2 จากที่นี่สามารถรับสูตรอื่นที่สำคัญสำหรับการปฏิบัติ: a \u003d √ (c 2 - b 2), b \u003d √ (c 2 - a 2) และ c \u003d √ (a 2 + b 2)

โปรดทราบว่าในกรณีของสามเหลี่ยมด้านเท่าที่เป็นมุมฉาก นั่นคือ a \u003d b ถ้อยคำ: กำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับผลรวมของขา ซึ่งแต่ละด้านเป็นกำลังสอง เขียนทางคณิตศาสตร์ดังนี้: c 2 \u003d a 2 + b 2 \u003d 2a 2 ซึ่งความเท่าเทียมกันจะเป็นดังนี้: c = a√2

อ้างอิงประวัติศาสตร์

ทฤษฎีบทพีทาโกรัสซึ่งกล่าวว่าผลรวมของขาซึ่งแต่ละขากำลังสองเท่ากับกำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉาก เป็นที่รู้จักกันมานานก่อนที่นักปรัชญาชาวกรีกผู้มีชื่อเสียงจะให้ความสนใจกับมัน papyri จำนวนมากของอียิปต์โบราณรวมถึงแผ่นดินเหนียวของชาวบาบิโลนยืนยันว่าชนชาติเหล่านี้ใช้คุณสมบัติที่สังเกตได้จากด้านข้างของสามเหลี่ยมมุมฉาก ตัวอย่างเช่นหนึ่งในคนแรก ปิรามิดอียิปต์พีระมิด Khafre ซึ่งสร้างขึ้นในศตวรรษที่ 26 ก่อนคริสต์ศักราช (2,000 ปีก่อนที่ Pythagoras จะมีชีวิต) สร้างขึ้นจากความรู้เรื่องอัตราส่วนกว้างยาวในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก 3x4x5

ถ้า​อย่าง​นั้น ทำไม​ทฤษฎี​บท​นี้​ถึง​มี​ชื่อ​ภาษา​กรีก? คำตอบนั้นง่าย: พีทาโกรัสเป็นคนแรกที่พิสูจน์ทฤษฎีบทนี้ทางคณิตศาสตร์ แหล่งข้อมูลที่เป็นลายลักษณ์อักษรของชาวบาบิโลนและอียิปต์ที่หลงเหลืออยู่กล่าวถึงการใช้งานเท่านั้น แต่ไม่ได้ให้หลักฐานทางคณิตศาสตร์ใดๆ

มีความเชื่อกันว่าพีทาโกรัสพิสูจน์ทฤษฎีบทภายใต้การพิจารณาโดยใช้คุณสมบัติของรูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกัน ซึ่งเขาได้มาจากการวาดความสูงในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากจากมุม 90 o ถึงด้านตรงข้ามมุมฉาก

ตัวอย่างการใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

พิจารณาปัญหาง่ายๆ: จำเป็นต้องกำหนดความยาวของบันไดเอียง L หากทราบว่ามีความสูง H = 3 เมตรและระยะห่างจากผนังที่บันไดวางอยู่ที่เท้าคือ P = 2.5 เมตร

ที่ กรณีนี้ H และ P คือขา และ L คือด้านตรงข้ามมุมฉาก เนื่องจากความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับผลรวมของกำลังสองของขา เราจึงได้รับ: L 2 \u003d H 2 + P 2 โดยที่ L \u003d √ (H 2 + P 2) \u003d √ (3 2 + 2.5 2) \u003d 3.905 เมตรหรือ 3 ม. และ 90, 5 ซม.

ตรวจสอบให้แน่ใจว่าสามเหลี่ยมที่คุณได้รับนั้นเป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก เนื่องจากทฤษฎีบทพีทาโกรัสใช้กับสามเหลี่ยมมุมฉากเท่านั้น ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก มุมหนึ่งในสามมุมจะมีมุม 90 องศาเสมอ

• มุมฉากในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากจะแสดงด้วยสี่เหลี่ยมจัตุรัสแทนที่จะเป็นเส้นโค้ง ซึ่งแสดงถึงมุมที่ไม่ใช่มุมฉาก

ทำเครื่องหมายด้านข้างของสามเหลี่ยมกำหนดขาเป็น "a" และ "b" (ขาเป็นด้านที่ตัดกันเป็นมุมฉาก) และด้านตรงข้ามมุมฉากเป็น "c" (ด้านตรงข้ามมุมฉากเป็นด้านที่ใหญ่ที่สุดของสามเหลี่ยมมุมฉากที่อยู่ตรงข้ามกับมุมฉาก)

คำแนะนำ

หากคุณต้องการคำนวณตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส ให้ใช้อัลกอริทึมต่อไปนี้: - กำหนดในรูปสามเหลี่ยมว่าด้านใดเป็นขา และด้านใดเป็นด้านตรงข้ามมุมฉาก ด้านทั้งสองทำมุมเก้าสิบองศาคือขา ส่วนด้านที่สามที่เหลือคือด้านตรงข้ามมุมฉาก (ซม.) - ยกกำลังสองแต่ละขา สามเหลี่ยมที่กำหนดเช่น คูณด้วยตัวคุณเอง ตัวอย่างที่ 1 จำเป็นต้องคำนวณด้านตรงข้ามมุมฉากหากขาข้างหนึ่งในรูปสามเหลี่ยมคือ 12 ซม. และอีกขาหนึ่งคือ 5 ซม. ประการแรก กำลังสองของขาคือ: 12 * 12 = 144 ซม. และ 5 * 5 = 25 ซม. - ถัดไป กำหนดผลรวมของขาสี่เหลี่ยม จำนวนหนึ่งเป็น ด้านตรงข้ามมุมฉากคุณต้องกำจัดกำลังสองของตัวเลขจึงจะหาได้ ความยาวด้านนี้ของสามเหลี่ยม ในการดำเนินการนี้ ให้นำออกจากด้านล่าง รากที่สองค่าของผลรวมของกำลังสองของขา ตัวอย่างที่ 1. 144+25=169. สแควร์รูทของ 169 จะเป็น 13 ดังนั้นความยาวของค่านี้ ด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับ 13 ซม.

อีกวิธีในการคำนวณความยาว ด้านตรงข้ามมุมฉากอยู่ในคำศัพท์ของไซน์และมุมในรูปสามเหลี่ยม ตามความหมาย: ไซน์ของมุมอัลฟาของขาตรงข้ามกับด้านตรงข้ามมุมฉาก นั่นคือดูรูปบาป a \u003d CB / AB ดังนั้นด้านตรงข้ามมุมฉาก AB \u003d CB / sin a. ตัวอย่างที่ 2 ให้มุมเท่ากับ 30 องศาและขาตรงข้าม - 4 ซม. คุณต้องหาด้านตรงข้ามมุมฉาก วิธีแก้ปัญหา: AB \u003d 4 ซม. / บาป 30 \u003d 4 ซม. / 0.5 \u003d 8 ซม. คำตอบ: ความยาว ด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับ 8 ซม.

วิธีการค้นหาที่คล้ายกัน ด้านตรงข้ามมุมฉากจากนิยามโคไซน์ของมุม โคไซน์ของมุมคืออัตราส่วนของขาที่อยู่ติดกัน และ ด้านตรงข้ามมุมฉาก. นั่นคือ cos a \u003d AC / AB ดังนั้น AB \u003d AC / cos a ตัวอย่างที่ 3 ในรูปสามเหลี่ยม ABC, AB คือด้านตรงข้ามมุมฉาก, มุม BAC คือ 60 องศา, ขา AC คือ 2 ซม. จงหา AB
วิธีแก้ปัญหา: AB \u003d AC / cos 60 \u003d 2 / 0.5 \u003d 4 ซม. คำตอบ: ด้านตรงข้ามมุมฉากมีความยาว 4 ซม.

คำแนะนำที่เป็นประโยชน์

เมื่อต้องการหาค่าของไซน์หรือโคไซน์ของมุม ให้ใช้ตารางไซน์และโคไซน์ หรือตาราง Bradis

เคล็ดลับที่ 2: วิธีหาความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

ด้านตรงข้ามมุมฉากเรียกว่าด้านที่ยาวที่สุดในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก จึงไม่น่าแปลกใจที่มี กรีกคำนี้แปลว่า "ยืด" ด้านนี้อยู่ตรงข้ามกับมุม 90° เสมอ และด้านที่สร้างมุมนี้เรียกว่าขา เมื่อทราบความยาวของด้านเหล่านี้และขนาดของมุมแหลมในการผสมค่าต่างๆ เหล่านี้ เราสามารถคำนวณความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากได้เช่นกัน

คำแนะนำ

หากทราบความยาวของรูปสามเหลี่ยมทั้งสอง (A และ B) ให้ใช้ความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก (C) ซึ่งอาจจะเป็นสมมุติฐานทางคณิตศาสตร์ที่รู้จักกันดีที่สุด นั่นคือทฤษฎีบทพีทาโกรัส มันบอกว่ากำลังสองของความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากคือผลรวมของกำลังสองของความยาวของขา จากนั้นคุณควรคำนวณรากของผลรวมของความยาวกำลังสองของทั้งสองด้าน: C \u003d √ (A² + B²) ตัวอย่างเช่น หากความยาวของขาข้างหนึ่งเท่ากับ 15 และ - 10 เซนติเมตร ความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากจะอยู่ที่ประมาณ 18.0277564 เซนติเมตร เนื่องจาก √ (15² + 10²) \u003d √ (225 + 100) \u003d √ 325 ≈ 18.0277564 .

หากทราบความยาวของขาเพียงข้างเดียว (A) ในสามเหลี่ยมมุมฉาก เช่นเดียวกับค่าของมุมตรงข้าม (α) ดังนั้นความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก (C) สามารถทำได้โดยใช้หนึ่งในตรีโกณมิติ ฟังก์ชัน - ไซน์ ในการทำเช่นนี้ ให้แบ่งความยาวของด้านที่ทราบด้วยไซน์ของมุมที่ทราบ: C=A/sin(α) ตัวอย่างเช่น หากความยาวของขาข้างหนึ่งเท่ากับ 15 เซนติเมตร และมุมที่จุดยอดตรงข้ามของสามเหลี่ยมคือ 30 ° ความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากจะเท่ากับ 30 เซนติเมตร เนื่องจาก 15 / บาป (30 °) \u003d 15 / 0.5 \u003d 30.

หากทราบค่าของมุมแหลมมุมใดมุมหนึ่ง (α) และความยาวของขาที่อยู่ติดกัน (B) ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ก็จะสามารถใช้อีกมุมหนึ่งเพื่อคำนวณความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก (C) ฟังก์ชันตรีโกณมิติ- โคไซน์ คุณควรหารความยาวของขาที่ทราบด้วยโคไซน์ของมุมที่ทราบ: С=В/ cos(α) ตัวอย่างเช่น หากความยาวของขานี้คือ 15 เซนติเมตร และค่าของมุมแหลมที่อยู่ติดกันคือ 30 ° ความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากจะอยู่ที่ประมาณ 17.3205081 เซนติเมตร เนื่องจาก 15 / cos (30 °) \u003d 15 / (0.5 * √3)=30/√3≈17.3205081.

ความยาวคือระยะห่างระหว่างจุดสองจุดบนส่วนของเส้นตรง อาจเป็นแบบตรง หัก หรือ สายปิด. คุณสามารถคำนวณความยาวด้วยวิธีที่ค่อนข้างง่าย หากคุณรู้จักตัวบ่งชี้อื่นๆ ของกลุ่ม

คำแนะนำ

หากคุณต้องการหาความยาวของด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัส คุณจะไม่พบพื้นที่นี้ถ้าคุณทราบพื้นที่ S เนื่องจากทุกด้านของสี่เหลี่ยมมี

ประวัติของทฤษฎีบทพีทาโกรัสย้อนกลับไปหลายพันปี คำสั่งที่รู้จักกันมานานก่อนกำเนิดของนักคณิตศาสตร์ชาวกรีก อย่างไรก็ตาม ทฤษฎีบทพีทาโกรัส ประวัติการสร้างและข้อพิสูจน์ส่วนใหญ่เกี่ยวข้องกับนักวิทยาศาสตร์ผู้นี้ ตามแหล่งที่มาบางแหล่ง เหตุผลนี้เป็นข้อพิสูจน์แรกของทฤษฎีบทที่พีทาโกรัสมอบให้ อย่างไรก็ตาม นักวิจัยบางคนปฏิเสธข้อเท็จจริงนี้

ดนตรีและตรรกะ

ก่อนที่จะบอกว่าประวัติของทฤษฎีบทพีทาโกรัสพัฒนาขึ้นอย่างไร ให้เราพิจารณาชีวประวัติของนักคณิตศาสตร์โดยสังเขปก่อน เขาอาศัยอยู่ในศตวรรษที่หกก่อนคริสต์ศักราช วันเกิดของ Pythagoras ถือเป็น 570 ปีก่อนคริสตกาล e. สถานที่คือเกาะ Samos ไม่ค่อยมีใครรู้แน่ชัดเกี่ยวกับชีวิตของนักวิทยาศาสตร์ ข้อมูลชีวประวัติในแหล่งภาษากรีกโบราณเชื่อมโยงกับเรื่องแต่งที่เห็นได้ชัด ในหน้าของบทความ เขาปรากฏเป็นปราชญ์ผู้ยิ่งใหญ่ มีความสามารถในการใช้คำพูดที่ยอดเยี่ยมและสามารถโน้มน้าวใจได้ ด้วยเหตุนี้นักคณิตศาสตร์ชาวกรีกจึงมีชื่อเล่นว่า Pythagoras นั่นคือ "คำพูดโน้มน้าวใจ" ตามเวอร์ชั่นอื่น Pythia ทำนายการเกิดของปราชญ์ในอนาคต พ่อตั้งชื่อเด็กว่า Pythagoras เพื่อเป็นเกียรติแก่เธอ

ปราชญ์ได้เรียนรู้จากผู้มีจิตใจดีในสมัยนั้น ในบรรดาอาจารย์ของพีทาโกรัสรุ่นเยาว์ ได้แก่ เจอร์โมดามันต์และฟีเรกิเดสแห่งซีรอส คนแรกปลูกฝังให้เขารักดนตรีคนที่สองสอนปรัชญาให้เขา วิทยาศาสตร์ทั้งสองนี้จะยังคงอยู่ในศูนย์กลางความสนใจของนักวิทยาศาสตร์ตลอดชีวิตของเขา

30 ปีของการฝึกอบรม

ตามรุ่นหนึ่ง Pythagoras เป็นชายหนุ่มที่อยากรู้อยากเห็นออกจากบ้านเกิดของเขา เขาไปแสวงหาความรู้ในอียิปต์ซึ่งเขาอาศัยอยู่ตามแหล่งต่าง ๆ ตั้งแต่ 11 ถึง 22 ปีจากนั้นถูกจับและส่งไปยังบาบิโลน พีทาโกรัสได้ประโยชน์จากตำแหน่ง เป็นเวลา 12 ปีที่เขาศึกษาคณิตศาสตร์ เรขาคณิต และเวทมนตร์ใน รัฐโบราณ. Pythagoras กลับมาที่ Samos เมื่ออายุเพียง 56 ปี ในเวลานั้นเผด็จการ Polycrates ปกครอง พีทาโกรัสไม่สามารถยอมรับเช่นนั้นได้ ระบบการเมืองและในไม่ช้าก็ไปทางตอนใต้ของอิตาลีซึ่งเป็นที่ตั้งของอาณานิคมกรีกแห่งโครตอน

ทุกวันนี้ เป็นไปไม่ได้ที่จะบอกได้อย่างแน่นอนว่าพีทาโกรัสอยู่ในอียิปต์และบาบิโลนหรือไม่ เขาอาจจะออกจาก Samos ในภายหลังและตรงไปที่ Croton

พีทาโกรัส

ประวัติของทฤษฎีบทพีทาโกรัสเชื่อมโยงกับการพัฒนาโรงเรียนที่สร้างขึ้นโดยนักปรัชญาชาวกรีก กลุ่มภราดรภาพทางศาสนาและจริยธรรมนี้สั่งสอนการปฏิบัติตามวิถีชีวิตพิเศษ ศึกษาเลขคณิต เรขาคณิต และดาราศาสตร์ และศึกษาด้านปรัชญาและลึกลับของตัวเลข

การค้นพบทั้งหมดของนักเรียนของนักคณิตศาสตร์ชาวกรีกนั้นมีสาเหตุมาจากเขา อย่างไรก็ตาม ประวัติความเป็นมาของทฤษฎีบทพีทาโกรัสมีความเกี่ยวข้องโดยนักเขียนชีวประวัติโบราณกับตัวนักปรัชญาเท่านั้น สันนิษฐานว่าเขาส่งต่อความรู้ที่ได้รับในบาบิโลนและอียิปต์ไปยังชาวกรีก นอกจากนี้ยังมีเวอร์ชันที่เขาค้นพบทฤษฎีบทเกี่ยวกับอัตราส่วนของขาและด้านตรงข้ามมุมฉากโดยไม่ทราบเกี่ยวกับความสำเร็จของชนชาติอื่น

ทฤษฎีบทพีทาโกรัส: ประวัติการค้นพบ

แหล่งข้อมูลภาษากรีกโบราณบางแหล่งกล่าวถึงความสุขของพีทาโกรัสเมื่อเขาสามารถพิสูจน์ทฤษฎีบทได้ เพื่อเป็นเกียรติแก่เหตุการณ์ดังกล่าว เขาได้สั่งการบูชายัญต่อเทพเจ้าในรูปแบบของวัวหลายร้อยตัวและจัดงานเลี้ยง อย่างไรก็ตาม นักวิชาการบางคนชี้ให้เห็นถึงความเป็นไปไม่ได้ของการกระทำดังกล่าวเนื่องจากลักษณะเฉพาะของมุมมองของพีทาโกรัส

เป็นที่เชื่อกันว่าในบทความ "จุดเริ่มต้น" ที่สร้างขึ้นโดย Euclid ผู้เขียนได้แสดงหลักฐานของทฤษฎีบทซึ่งผู้เขียนเป็นนักคณิตศาสตร์ชาวกรีกผู้ยิ่งใหญ่ อย่างไรก็ตาม ไม่ใช่ทุกคนที่สนับสนุนมุมมองนี้ ดังนั้นแม้แต่ Proclus นักปรัชญา Neoplatonist โบราณก็ชี้ให้เห็นว่าผู้เขียนข้อพิสูจน์ที่ให้ไว้ใน Elements คือ Euclid เอง

อย่างไรก็ตาม พีทาโกรัสไม่ใช่คนแรกที่คิดทฤษฎีบทนี้

อียิปต์โบราณและบาบิโลน

ทฤษฎีบทพีทาโกรัส ประวัติของทฤษฎีบทพีทาโกรัสถูกกล่าวถึงในบทความ ตามที่นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน คันทอร์ ทราบเมื่อราว 2,300 ปีก่อนคริสตกาล อี ในอียิปต์. ผู้อาศัยในหุบเขาไนล์โบราณในรัชสมัยของฟาโรห์อเมเนมฮัต ฉันรู้สมการ 3 2 + 4 ² = 5 ² สันนิษฐานว่าด้วยความช่วยเหลือของรูปสามเหลี่ยมที่มีด้าน 3, 4 และ 5 "stringers" ของอียิปต์เรียงเป็นมุมฉาก

พวกเขายังรู้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสในบาบิโลนด้วย บนแผ่นดินเหนียวย้อนหลังไปถึง 2,000 ปีก่อนคริสตกาล และที่เกี่ยวข้องกับเวลาของรัชกาลพบการคำนวณโดยประมาณของด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉาก

อินเดียและจีน

ประวัติของทฤษฎีบทพีทาโกรัสเชื่อมโยงกับอารยธรรมโบราณของอินเดียและจีนด้วย ตำรา "Zhou-bi suan jin" มีข้อบ่งชี้ว่า (ด้านข้างสัมพันธ์กันเป็น 3:4:5) เป็นที่รู้จักในประเทศจีนตั้งแต่ช่วงต้นศตวรรษที่ 12 พ.ศ จ. และในศตวรรษที่หก พ.ศ อี นักคณิตศาสตร์ของรัฐนี้รู้รูปแบบทั่วไปของทฤษฎีบท

การสร้างมุมฉากโดยใช้สามเหลี่ยมอียิปต์ก็มีการระบุไว้ในตำรา Sulva Sutra ของอินเดียซึ่งมีอายุตั้งแต่ศตวรรษที่ 7-5 พ.ศ อี

ดังนั้นประวัติของทฤษฎีบทพีทาโกรัสในช่วงเวลาที่เกิดของนักคณิตศาสตร์และนักปรัชญาชาวกรีกจึงมีอายุหลายร้อยปีแล้ว

การพิสูจน์

ทฤษฎีบทได้กลายเป็นหนึ่งในพื้นฐานในเรขาคณิต ประวัติการพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสอาจเริ่มด้วยการพิจารณารูปสี่เหลี่ยมด้านเท่า (equilateral square) สี่เหลี่ยมถูกสร้างขึ้นบนด้านตรงข้ามมุมฉากและด้านขา อันที่ "โต" บนด้านตรงข้ามมุมฉากจะประกอบด้วยสามเหลี่ยมสี่อันเท่ากับอันแรก สี่เหลี่ยมบนขาในกรณีนี้ประกอบด้วยสามเหลี่ยมสองรูป เรียบง่าย ภาพกราฟิกแสดงให้เห็นอย่างชัดเจนถึงความถูกต้องของข้อความที่กำหนดในรูปแบบของทฤษฎีบทที่มีชื่อเสียง

หลักฐานง่ายๆ อีกประการหนึ่งรวมเอาเรขาคณิตเข้ากับพีชคณิต รูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่เหมือนกันสี่รูปที่มีด้าน a, b, c ถูกวาดเพื่อให้เป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสสองรูป: รูปด้านนอกมีด้าน (a + b) และรูปด้านในมีด้าน c ในกรณีนี้ พื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสเล็กจะเท่ากับ c 2 พื้นที่ขนาดใหญ่คำนวณจากผลรวมของพื้นที่ สี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาดเล็กและสามเหลี่ยมทั้งหมด (จำได้ว่าพื้นที่ของสามเหลี่ยมมุมฉากคำนวณโดยสูตร (a * b) / 2) นั่นคือ c 2 + 4 * ((a * c) / 2) ซึ่งก็คือ เท่ากับ c 2 + 2av พื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาดใหญ่สามารถคำนวณได้อีกทางหนึ่ง - เป็นผลคูณของสองด้าน นั่นคือ (a + b) 2 ซึ่งเท่ากับ a 2 + 2ab + b 2 ปรากฎว่า:

a 2 + 2av + ใน 2 \u003d c 2 + 2av,

ก 2 + ใน 2 = ค 2 .

มีหลายวิธีในการพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้ ทั้งยุคลิดและนักวิทยาศาสตร์ชาวอินเดียและเลโอนาร์โด ดา วินชีต่างก็ทำงานเกี่ยวกับพวกเขา บ่อยครั้งที่นักปราชญ์โบราณอ้างถึงภาพวาดตัวอย่างซึ่งอยู่ด้านบนและไม่ได้อธิบายใด ๆ นอกจากข้อความว่า "ดูสิ!" ความเรียบง่ายของการพิสูจน์ทางเรขาคณิตขึ้นอยู่กับความรู้บางอย่างไม่ต้องการความคิดเห็น

ประวัติของทฤษฎีบทพีทาโกรัสที่สรุปไว้ในบทความได้หักล้างตำนานเกี่ยวกับต้นกำเนิดของมัน อย่างไรก็ตาม มันยากที่จะจินตนาการด้วยซ้ำว่าชื่อของนักคณิตศาสตร์และนักปรัชญาชาวกรีกผู้ยิ่งใหญ่จะเลิกเกี่ยวข้องกับเธอ

การพิสูจน์แบบเคลื่อนไหวของทฤษฎีบทพีทาโกรัสเป็นหนึ่งในนั้น พื้นฐานทฤษฎีบทเรขาคณิตแบบยุคลิด สร้างความสัมพันธ์ระหว่างด้านของสามเหลี่ยมมุมฉาก เป็นที่เชื่อกันว่าได้รับการพิสูจน์โดยนักคณิตศาสตร์ชาวกรีก Pythagoras ตามชื่อ (มีรุ่นอื่น ๆ โดยเฉพาะอย่างยิ่งความคิดเห็นอื่นที่ทฤษฎีบทนี้อยู่ใน ปริทัศน์คิดค้นโดยฮิปปาซัส นักคณิตศาสตร์ปีทาโกรัส)
ทฤษฎีบทกล่าวว่า:

ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก พื้นที่ของสี่เหลี่ยมที่สร้างขึ้นบนด้านตรงข้ามมุมฉากจะเท่ากับผลรวมของพื้นที่ของสี่เหลี่ยมที่สร้างขึ้นบนขา

แสดงความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยม ค,และความยาวของขาเป็น กและ ขเราได้สูตรต่อไปนี้:

ดังนั้น ทฤษฎีบทพีทาโกรัสจึงสร้างความสัมพันธ์ที่ให้คุณกำหนดด้านของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากได้ โดยรู้ความยาวของอีกสองรูป ทฤษฎีบทพีทาโกรัสเป็นกรณีพิเศษของทฤษฎีบทโคไซน์ ซึ่งกำหนดความสัมพันธ์ระหว่างด้านของสามเหลี่ยมตามอำเภอใจ
การยืนยันการสนทนาได้รับการพิสูจน์ด้วย (เรียกอีกอย่างว่า ทฤษฎีบทสนทนาพีทาโกรัส):

สำหรับจำนวนบวกสามจำนวน a, b และ c ที่ a ? +b? = c ? มีสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีขา a และ b และด้านตรงข้ามมุมฉาก c

หลักฐานภาพสามเหลี่ยม (3, 4, 5) จาก Chu Pei 500-200 ปีก่อนคริสตกาล ประวัติของทฤษฎีบทสามารถแบ่งออกเป็นสี่ส่วน ได้แก่ ความรู้เกี่ยวกับจำนวนปีทาโกรัส ความรู้เกี่ยวกับอัตราส่วนของด้านในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ความรู้เกี่ยวกับอัตราส่วน มุมที่อยู่ติดกันและการพิสูจน์ทฤษฎีบท
โครงสร้างหินใหญ่ประมาณ 2,500 ปีก่อนคริสตกาล ในอียิปต์และ ยุโรปเหนือ, มีสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้านจำนวนเต็ม Barthel Leendert van der Waerden คาดคะเนว่าในสมัยนั้นจำนวนปีทาโกรัสถูกพบในทางพีชคณิต
เขียนขึ้นระหว่าง พ.ศ. 2543 ถึง พ.ศ. 2419 ต้นกกจากอาณาจักรอียิปต์ตอนกลาง เบอร์ลิน 6619มีปัญหาที่วิธีแก้ปัญหาคือตัวเลขพีทาโกรัส
ในรัชสมัยของพระเจ้าฮัมมูราบีมหาราช แท็บเล็ตของชาววิบิโลเนีย พลิมป์ตัน 322,เขียนขึ้นระหว่าง 1,790 และ 1,750 ปีก่อนคริสตกาล มีหลายรายการที่เกี่ยวข้องกับตัวเลขพีทาโกรัสอย่างใกล้ชิด
ในพระสูตรพุทธยานซึ่งลงวันที่ รุ่นต่างๆศตวรรษที่ 8 หรือ 2 ก่อนคริสต์ศักราช ในอินเดีย ประกอบด้วยตัวเลขปีทาโกรัสที่ได้จากพีชคณิต สูตรของทฤษฎีบทปีทาโกรัส และหลักฐานทางเรขาคณิตสำหรับรูปสามเหลี่ยมมุมฉากหน้าจั่ว
พระสูตรของ Apastamba (ประมาณ 600 ปีก่อนคริสตกาล) มีหลักฐานเชิงตัวเลขของทฤษฎีบทพีทาโกรัสโดยใช้การคำนวณพื้นที่ Van der Waerden เชื่อว่ามีพื้นฐานมาจากประเพณีของรุ่นก่อน ตามอัลเบิร์ต เบอร์โก นี่เป็นข้อพิสูจน์ดั้งเดิมของทฤษฎีบท และเขาเสนอว่าพีทาโกรัสไปเยี่ยมอาราโคนีและคัดลอกมัน
ปีทาโกรัสซึ่งมักจะระบุอายุขัยในช่วง 569 - 475 ปีก่อนคริสตกาล ใช้วิธีพีชคณิตในการคำนวณจำนวนพีทาโกรัส ตามข้อคิดเห็นของ Proklov เกี่ยวกับ Euclid อย่างไรก็ตาม Proclus มีชีวิตอยู่ระหว่าง 410 ถึง 485 AD ตามคำกล่าวของ Thomas Giese ไม่มีข้อบ่งชี้ถึงการประพันธ์ทฤษฎีบทนี้เป็นเวลาห้าศตวรรษหลังจากปีทาโกรัส อย่างไรก็ตาม เมื่อผู้เขียนเช่น Plutarch หรือ Cicero อ้างถึงทฤษฎีบทของ Pythagoras พวกเขาทำเช่นนั้นราวกับว่าผู้ประพันธ์นั้นเป็นที่รู้จักอย่างกว้างขวางและแน่นอน
ประมาณ 400 ปีก่อนคริสตกาล จากคำกล่าวของ Proclus เพลโตได้ให้วิธีการคำนวณจำนวนแบบพีทาโกรัส โดยผสมผสานระหว่างพีชคณิตและเรขาคณิตเข้าด้วยกัน ประมาณ 300 ปีก่อนคริสตกาล พ.ศ จุดเริ่มต้นยูคลิด เรามีหลักฐานเชิงความจริงที่เก่าแก่ที่สุดที่ยังหลงเหลืออยู่จนถึงทุกวันนี้
เขียนขึ้นระหว่าง 500 ปีก่อนคริสตกาล และ 200 ปีก่อนคริสตกาล หนังสือคณิตศาสตร์จีน "ชูเป่ย" (? ? ? ?) ให้หลักฐานภาพของทฤษฎีบทพีทาโกรัส ซึ่งในจีนเรียกว่าทฤษฎีบทกูกู (????) สำหรับรูปสามเหลี่ยมที่มีด้าน (3 , 4, ห้า). ในรัชสมัยราชวงศ์ฮั่น เมื่อ 202 ปีก่อนคริสตกาล ก่อน ค.ศ. 220 ตัวเลขปีทาโกรัสปรากฏในหนังสือ "เก้าส่วนของศิลปะคณิตศาสตร์" พร้อมกับการกล่าวถึงรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก
การใช้ทฤษฎีบทนี้ได้รับการบันทึกไว้เป็นครั้งแรกในประเทศจีน ซึ่งรู้จักกันในชื่อทฤษฎีบทกูกู (????) และในอินเดีย ซึ่งรู้จักกันในชื่อทฤษฎีบทของบาสการ์
หลายคนกำลังถกเถียงกันว่าทฤษฎีบทพีทาโกรัสถูกค้นพบเพียงครั้งเดียวหรือหลายครั้ง Boyer (1991) เชื่อว่าความรู้ที่พบใน Shulba Sutra อาจมีต้นกำเนิดจากเมโสโปเตเมีย
หลักฐานเกี่ยวกับพีชคณิต
สี่เหลี่ยมเกิดจากรูปสามเหลี่ยมมุมฉากสี่รูป มีผู้พิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสมากกว่าร้อยบท หลักฐานนี้ขึ้นอยู่กับทฤษฎีบทการดำรงอยู่สำหรับพื้นที่ของตัวเลข:

วางสามเหลี่ยมมุมฉากสี่อันที่เหมือนกันดังแสดงในรูป
รูปสี่เหลี่ยมที่มีด้าน คเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส เนื่องจากผลรวมของมุมแหลมสองมุมคือ และมุมที่ยืดออกคือ
ในแง่หนึ่งพื้นที่ของรูปทั้งหมดเท่ากันกับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้าน "a + b" และอีกด้านหนึ่งคือผลรวมของพื้นที่ของสามเหลี่ยมสี่รูปและสี่เหลี่ยมด้านใน .

ซึ่งเป็นสิ่งที่ต้องพิสูจน์
โดยความเหมือนของรูปสามเหลี่ยม
การใช้รูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกัน ปล่อย เอบีซีเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากซึ่งมุม คตรงดังแสดงในภาพ ลองวาดความสูงจากจุดหนึ่ง ค,และโทร ชมจุดตัดกับด้าน เอบีรูปสามเหลี่ยมเกิดขึ้น อชเหมือนสามเหลี่ยม เอบีซี,เนื่องจากทั้งสองเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า (ตามคำจำกัดความของความสูง) และมีมุมร่วมกัน เอแน่นอนว่ามุมที่สามจะเหมือนกันในรูปสามเหลี่ยมเหล่านี้เช่นกัน ในทำนองเดียวกัน mirkuyuyuchy สามเหลี่ยม ซีบีเอชยังคล้ายกับรูปสามเหลี่ยม เอบีซีจากความเหมือนของรูปสามเหลี่ยม: ถ้า

สามารถเขียนได้เป็น

ถ้าเราบวกการเท่ากันทั้งสองนี้ เราจะได้

HB + c คูณ AH = c คูณ (HB + AH) = c ^ 2, ! Src="http://upload.wikimedia.org/math/7/0/9/70922f59b11b561621c245e11be0b61b.png" />

กล่าวอีกนัยหนึ่ง ทฤษฎีบทพีทาโกรัส:

บทพิสูจน์ของยุคลิด
การพิสูจน์ของยุคลิดใน "หลักการ" ของยุคลิด ทฤษฎีบทพีทาโกรัสได้รับการพิสูจน์โดยวิธีการของสี่เหลี่ยมด้านขนาน ปล่อย เอ บี ซีจุดยอดของสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีมุมฉาก ก.วางแนวตั้งฉากจากจุดหนึ่ง กไปทางด้านตรงข้ามด้านตรงข้ามมุมฉากในสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สร้างบนด้านตรงข้ามมุมฉาก เส้นแบ่งสี่เหลี่ยมจัตุรัสออกเป็นสองสี่เหลี่ยม แต่ละอันมีพื้นที่เท่ากับสี่เหลี่ยมที่สร้างขึ้นบนขา แนวคิดหลักข้อพิสูจน์คือสี่เหลี่ยมด้านบนกลายเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนานของพื้นที่เดียวกัน จากนั้นกลับมาเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าในสี่เหลี่ยมด้านล่างและอีกครั้งด้วยพื้นที่เดียวกัน

มาวาดส่วนต่างๆ กันเถอะ ซีเอฟและ ค.ศ.เราได้รูปสามเหลี่ยม พ.ศและ บีดีเอ.
มุม แท็กซี่และ ถุง- ตรง; คะแนน ซี, เอและ ชเป็นเส้นตรง อีกด้วย บี, เอและ ชม.
มุม ย่านศูนย์กลางธุรกิจและ เอฟบีเอ- ทั้งสองตรงแล้วเป็นมุม อ.บ.ต เท่ากับมุม เอฟบีซี,เนื่องจากทั้งคู่เป็นผลรวมของมุมฉากและมุมฉาก เอบีซี
สามเหลี่ยม อ.บ.ตและ เอฟบีซีระดับทั้งสองด้านและมุมระหว่างพวกเขา
เนื่องจากจุดต่างๆ เอ, เคและ แอล– collinear พื้นที่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้า BDLK เท่ากับพื้นที่สองส่วนของสามเหลี่ยม เอบีดี (BDLK) = ถุง = เอบี2)
ในทำนองเดียวกันเราได้รับ ซีเคแอล = เอซีไอเอช = เอซี 2
ด้านหนึ่งเป็นพื้นที่ CBDEเท่ากับผลบวกของพื้นที่สี่เหลี่ยม บีดีแอลเคและ ซีเคแอล,ในทางกลับกันพื้นที่ของจัตุรัส BC2,หรือ เอบี 2 + เอซี 2 = พ.ศ. 2

การใช้ดิฟเฟอเรนเชียล
การใช้ความแตกต่าง ทฤษฎีบทพีทาโกรัสสามารถหาได้โดยศึกษาว่าด้านที่เพิ่มขึ้นมีผลต่อความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากอย่างไร ดังแสดงในรูปด้านขวาและใช้การคำนวณเล็กน้อย
อันเป็นผลจากการเจริญเติบโตทางด้าน ก,จากสามเหลี่ยมที่คล้ายกันเพื่อเพิ่มทีละน้อย

การบูรณาการที่เราได้รับ

ถ้า ก= 0 แล้ว ค = ขดังนั้น "ค่าคงที่" คือ ข 2.แล้ว

ดังที่เห็นได้ว่า กำลังสองเกิดจากสัดส่วนระหว่างด้านที่เพิ่มขึ้นและด้าน ขณะที่ผลรวมเป็นผลมาจากการมีส่วนที่เพิ่มขึ้นของด้านที่เพิ่มขึ้นอย่างเป็นอิสระ ซึ่งไม่ปรากฏหลักฐานทางเรขาคณิต ในสมการเหล่านี้ ดาและ กระแสตรงคือ ตามลำดับ การเพิ่มทีละน้อยของด้าน กและ ค.แต่เราใช้แทนพวกเขา? กและ? ค,แล้วลิมิตของอัตราส่วนถ้ามีแนวโน้มเป็นศูนย์คือ ดา / กระแสตรง,อนุพันธ์และยังเท่ากับ ค / ก,อัตราส่วนของความยาวของด้านของสามเหลี่ยมตามที่เราได้รับ สมการเชิงอนุพันธ์.
ในกรณีของระบบเวกเตอร์แบบมุมฉาก ความเท่าเทียมกันเกิดขึ้น ซึ่งเรียกอีกอย่างว่าทฤษฎีบทพีทาโกรัส:

ถ้า - นี่คือเส้นโครงของเวกเตอร์บนแกนพิกัด สูตรนี้จะสอดคล้องกับระยะทางแบบยุคลิดและหมายความว่าความยาวของเวกเตอร์เท่ากับรากที่สองของผลรวมของกำลังสองของส่วนประกอบ
อะนาล็อกของความเท่าเทียมกันนี้ในกรณีของระบบเวกเตอร์ที่ไม่มีที่สิ้นสุดเรียกว่าความเท่าเทียมกันของพาร์เซวาล