การหาพิกัดของจุดยอดของพาราโบลา พาราโบลา - คุณสมบัติและกราฟของฟังก์ชันกำลังสอง

พาราโบลาเป็นหนึ่งในเส้นโค้งลำดับที่สอง จุดต่างๆ ถูกสร้างขึ้นตามสมการกำลังสอง สิ่งสำคัญในการสร้างเส้นโค้งนี้คือการค้นหา สูงสุด พาราโบลา- ซึ่งสามารถทำได้หลายวิธี

คำแนะนำ

เพื่อค้นหาพิกัดของจุดยอด พาราโบลาให้ใช้สูตรต่อไปนี้: x=-b/2a โดยที่ a คือสัมประสิทธิ์ของ x กำลังสอง และ b คือสัมประสิทธิ์ของ x เสียบค่าของคุณและคำนวณมูลค่าของมัน จากนั้นแทนที่ค่าผลลัพธ์ของ x ลงในสมการและคำนวณพิกัดของจุดยอด ตัวอย่างเช่น หากคุณได้รับสมการ y=2x^2-4x+5 ให้หาค่าแอบซิสซาดังนี้: x=-(-4)/2*2=1 แทน x=1 ลงในสมการ แล้วคำนวณค่า y สำหรับจุดยอด พาราโบลา: y=2*1^2-4*1+5=3. ดังนั้นด้านบน พาราโบลามีพิกัด (1-3)

มูลค่าของการบวช พาราโบลาสามารถพบได้โดยไม่ต้องคำนวณ abscissa ก่อน เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้ใช้สูตร y=-b^2/4ac+c

หากคุณคุ้นเคยกับแนวคิดเรื่องอนุพันธ์ ให้ค้นหา สูงสุด พาราโบลาการใช้อนุพันธ์โดยใช้ประโยชน์จากคุณสมบัติของฟังก์ชันใด ๆ ต่อไปนี้: อนุพันธ์อันดับหนึ่งของฟังก์ชันซึ่งเท่ากับศูนย์จะระบุจุดสุดขั้ว ตั้งแต่ด้านบน พาราโบลาโดยไม่คำนึงถึงว่ากิ่งก้านของมันชี้ขึ้นหรือลง เป็นจุดสุดขั้ว ให้คำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชันของคุณ ใน มุมมองทั่วไปมันจะดูเหมือน f(x)=2ax+b ทำให้มันเท่ากับศูนย์และรับพิกัดของจุดยอด พาราโบลาตรงกับหน้าที่ของคุณ

ลองหาดูนะครับ สูงสุด พาราโบลาโดยใช้ประโยชน์จากคุณสมบัติเช่นความสมมาตร เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้ค้นหาจุดตัดกัน พาราโบลาด้วยแกน x ทำให้ฟังก์ชันเท่ากับศูนย์ (แทนที่ y = 0) หลังจากตัดสินใจแล้ว สมการกำลังสองคุณจะพบ x1 และ x2 เนื่องจากพาราโบลามีความสมมาตรเทียบกับไดเรกตริกซ์ที่ผ่าน สูงสุดจุดเหล่านี้จะอยู่ห่างจากจุดตัดของจุดยอดเท่ากัน หากต้องการค้นหา ให้แบ่งระยะห่างระหว่างจุดเป็นครึ่งหนึ่ง: x=(Ix1-x2I)/2

หากค่าสัมประสิทธิ์ใดๆ เป็นศูนย์ (ยกเว้น a) ให้คำนวณพิกัดของจุดยอด พาราโบลาโดยใช้สูตรอย่างง่าย ตัวอย่างเช่น หาก b=0 นั่นคือสมการอยู่ในรูปแบบ y=ax^2+c แล้วจุดยอดจะอยู่บนแกน oy และพิกัดของมันจะเท่ากับ (0-c) หากไม่เพียงแต่สัมประสิทธิ์ b=0 เท่านั้น แต่ยังรวมถึง c=0 ด้วย แสดงว่าเป็นจุดยอด พาราโบลาอยู่ที่จุดเริ่มต้น จุด (0-0)

คำแนะนำ

ฟังก์ชันกำลังสองในรูปแบบทั่วไปเขียนด้วยสมการ: y = ax² + bx + c กราฟของสมการนี้คือ สาขาที่ชี้ขึ้น (สำหรับ a > 0) หรือลง (สำหรับ a< 0). Школьникам предлагается просто запомнить формулу вычисления координат вершины . Вершина параболы в точке x0 = -b/2a. Подставив это значение в квадратное , получите y0: y0 = a(-b/2a)² - b²/2a + c = - b²/4a + c.

สำหรับผู้ที่คุ้นเคยกับแนวคิดเรื่องอนุพันธ์ การหาจุดยอดของพาราโบลาเป็นเรื่องง่าย ไม่ว่ากิ่งก้านของพาราโบลาจะอยู่ที่ตำแหน่งใดก็ตาม จุดยอดของมันก็คือจุด (ค่าต่ำสุดหากกิ่งก้านชี้ขึ้นหรือเมื่อกิ่งก้านชี้ลง) ในการค้นหาจุดสุดขั้วของจุดใดๆ คุณต้องคำนวณอนุพันธ์อันดับ 1 ของจุดนั้นและทำให้มันเท่ากับศูนย์ โดยทั่วไปอนุพันธ์จะเท่ากับ f"(x) = (ax² + bx + c)" = 2ax + b เมื่อเท่ากับศูนย์ คุณจะได้ 0 = 2ax0 + b => x0 = -b/2a

พาราโบลาเป็นเส้นสมมาตร แกนเคลื่อนผ่านจุดยอดของพาราโบลา เมื่อรู้จุดของพาราโบลาด้วยแกนพิกัด X คุณจะพบจุดหักมุมของจุดยอด x0 ได้อย่างง่ายดาย ให้ x1 และ x2 เป็นรากของพาราโบลา (จุดที่เรียกว่าจุดตัดของพาราโบลากับแกน x เนื่องจากค่าเหล่านี้ทำให้สมการกำลังสอง ax² + bx + c หายไป) ยิ่งกว่านั้น ให้ |x2| > |x1| จากนั้นจุดยอดของพาราโบลาจะอยู่กึ่งกลางระหว่างพาราโบลาและสามารถหาได้จากนิพจน์ต่อไปนี้: x0 = ½(|x2| - |x1|)

วิดีโอในหัวข้อ

แหล่งที่มา:

• ฟังก์ชันกำลังสอง
• สูตรการหาจุดยอดของพาราโบลา

พาราโบลาก็คือกราฟ ฟังก์ชันกำลังสองโดยทั่วไป สมการพาราโบลาเขียนว่า y=aх^2+bх+с โดยที่ a≠0 นี่คือเส้นโค้งอันดับสองสากลที่อธิบายปรากฏการณ์ต่างๆ ในชีวิต เช่น การเคลื่อนไหวของร่างกายที่ถูกโยนแล้วล้ม รูปร่างของสายรุ้ง ดังนั้นความสามารถในการค้นหา พาราโบลาสามารถมีประโยชน์ในชีวิตได้มาก

คุณจะต้อง

• - สูตรสมการกำลังสอง
• - แผ่นกระดาษที่มีตารางพิกัด
• - ดินสอ ยางลบ
• - คอมพิวเตอร์และโปรแกรม Excel

คำแนะนำ

ก่อนอื่น หาจุดยอดของพาราโบลา ในการหาค่าขาดของจุดนี้ ให้ใช้สัมประสิทธิ์ของ x หารด้วยสองเท่าของสัมประสิทธิ์ของ x^2 แล้วคูณด้วย -1 ( x = -b/2a) ค้นหาพิกัดโดยการแทนที่ค่าผลลัพธ์ลงในสมการหรือใช้สูตร y=(b^2-4ac)/4a คุณได้รับพิกัดของจุดยอดของพาราโบลาแล้ว

จุดยอดของพาราโบลาสามารถพบได้ในอีกทางหนึ่ง เนื่องจากมันเป็นจุดสูงสุดของฟังก์ชัน ในการคำนวณ ให้คำนวณอนุพันธ์อันดับแรกและจัดให้เป็นศูนย์ โดยทั่วไป คุณจะได้สูตร f(x)" = (ax? + bx + c)" = 2ax + b และเมื่อจัดให้เป็นศูนย์ คุณจะได้สูตรเดียวกัน - x=-b/2a

ค้นหาว่ากิ่งก้านของพาราโบลาชี้ขึ้นหรือลง เมื่อต้องการทำสิ่งนี้ ให้ดูที่สัมประสิทธิ์หน้า x^2 ซึ่งก็คือ a ถ้า a>0 กิ่งก้านจะชี้ขึ้นด้านบน ถ้า a

พิกัด ยอดเขาพบพาราโบลาแล้ว เขียนมันเป็นพิกัดของจุดเดียว (x0,y0)

วิดีโอในหัวข้อ

สำหรับฟังก์ชัน (หรือกราฟที่แม่นยำยิ่งขึ้น) จะใช้แนวคิด มูลค่าสูงสุดรวมถึงค่าสูงสุดในท้องถิ่นด้วย แนวคิดเรื่อง "จุดสูงสุด" มีความเกี่ยวข้องมากกว่า รูปทรงเรขาคณิต- จุดสูงสุดของฟังก์ชันราบรื่น (มีอนุพันธ์) นั้นง่ายต่อการกำหนดโดยใช้ศูนย์ของอนุพันธ์อันดับหนึ่ง

คำแนะนำ

สำหรับจุดที่ฟังก์ชันไม่สามารถหาอนุพันธ์ได้แต่ต่อเนื่องกัน ค่าที่มากที่สุดในช่วงเวลาสามารถมีรูปแบบของปลายได้ (ที่ y=-|x|) ณ จุดดังกล่าว ฟังก์ชั่นคุณสามารถวาดแทนเจนต์ได้มากเท่าที่คุณต้องการ แต่ไม่มีแทนเจนต์สำหรับมัน ซามิ ฟังก์ชั่นโดยปกติจะระบุประเภทนี้ในส่วนต่างๆ จุดที่อนุพันธ์ ฟังก์ชั่นเท่ากับศูนย์หรือไม่มีอยู่เรียกว่าวิกฤต

เรห์นนิ่ง. y=x+3 สำหรับ x≤-1 และ y=((x^2)^(1/3)) –x สำหรับ x>-1 ฟังก์ชั่นถูกระบุบนเซ็กเมนต์โดยเจตนาตั้งแต่ใน ในกรณีนี้เป้าหมายคือการแสดงทุกอย่างในตัวอย่างเดียว เป็นเรื่องง่ายที่สำหรับ x=-1 ฟังก์ชันจะยังคงต่อเนื่องอยู่ y'=1 สำหรับ x≤-1 และ y'=(2/3)(x^(-1/3))-1=(2-3( x^ (1/3))/(x^(1/3)) สำหรับ x>-1 y'=0 สำหรับ x=8/27' ไม่มีอยู่สำหรับ x=-1 และ x=0 ในกรณีนี้ y '>0 ถ้า x

วิดีโอในหัวข้อ

พาราโบลาเป็นหนึ่งในเส้นโค้งลำดับที่สอง จุดต่างๆ ถูกสร้างขึ้นตามสมการกำลังสอง สิ่งสำคัญในการสร้างเส้นโค้งนี้คือการค้นหา สูงสุด พาราโบลา- ซึ่งสามารถทำได้หลายวิธี

คำแนะนำ

เพื่อค้นหาพิกัดของจุดยอด พาราโบลาให้ใช้สูตรต่อไปนี้: x=-b/2a โดยที่ a คือสัมประสิทธิ์ก่อน x ใน และ b คือสัมประสิทธิ์ก่อน x เสียบค่าของคุณและคำนวณ จากนั้นแทนที่ค่าผลลัพธ์ของ x ลงในสมการและคำนวณพิกัดของจุดยอด ตัวอย่างเช่น หากคุณได้รับสมการ y=2x^2-4x+5 ให้หาค่าแอบซิสซาดังนี้: x=-(-4)/2*2=1 แทน x=1 ลงในสมการ แล้วคำนวณค่า y สำหรับจุดยอด พาราโบลา: y=2*1^2-4*1+5=3. ดังนั้นด้านบน พาราโบลามีพิกัด (1;3)

มูลค่าของการบวช พาราโบลาสามารถพบได้โดยไม่ต้องคำนวณ abscissa ก่อน เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้ใช้สูตร y=-b^2/4ac+c

หากคุณคุ้นเคยกับแนวคิดเรื่องอนุพันธ์ ให้ค้นหา สูงสุด พาราโบลาการใช้อนุพันธ์โดยใช้คุณสมบัติใด ๆ ต่อไปนี้: อนุพันธ์อันดับหนึ่งของฟังก์ชันเท่ากับศูนย์ชี้ไปที่ ตั้งแต่ด้านบน พาราโบลา, ไม่ว่ากิ่งก้านของมันชี้ขึ้นหรือลง, ชี้ , คำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชันของคุณ โดยทั่วไปจะมีลักษณะดังนี้ f(x)=2ax+b ทำให้มันเท่ากับศูนย์และรับพิกัดของจุดยอด พาราโบลาตรงกับหน้าที่ของคุณ

ลองหาดูนะครับ สูงสุด พาราโบลาโดยใช้ประโยชน์จากคุณสมบัติเช่นความสมมาตร เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้ค้นหาจุดตัดกัน พาราโบลาด้วยแกน x ทำให้ฟังก์ชันเท่ากับศูนย์ (แทนที่ y = 0) โดยการแก้สมการกำลังสอง คุณจะพบ x1 และ x2 เนื่องจากพาราโบลามีความสมมาตรเทียบกับไดเรกตริกซ์ที่ผ่าน สูงสุดจุดเหล่านี้จะอยู่ห่างจากจุดตัดของจุดยอดเท่ากัน เพื่อค้นหามันเราแบ่งกัน

กราฟของฟังก์ชันกำลังสองเรียกว่าพาราโบลา บรรทัดนี้มีความสำคัญทางกายภาพที่สำคัญ เทห์ฟากฟ้าบางดวงเคลื่อนที่ไปตามพาราโบลา เสาอากาศรูปพาราโบลาจะเน้นรังสีที่วิ่งขนานกับแกนสมมาตรของพาราโบลา วัตถุที่ถูกโยนขึ้นไปในมุมหนึ่งจะถึงจุดสูงสุดแล้วล้มลง ถือเป็นพาราโบลาเช่นกัน เห็นได้ชัดว่าการทราบพิกัดของจุดยอดของการเคลื่อนไหวนี้มีประโยชน์เสมอ

คำแนะนำ

1. ฟังก์ชันกำลังสองในรูปแบบทั่วไปเขียนด้วยสมการ: y = ax? + bx + ค กราฟของสมการนี้คือพาราโบลา ซึ่งมีกิ่งก้านชี้ขึ้น (สำหรับ a > 0) หรือลง (สำหรับ a< 0). Школьникам предлагается легко запомнить формулу вычисления координат вершины параболы. Вершина параболы лежит в точке x0 = -b/2a. Подставив это значение в квадратное уравнение, получите y0: y0 = a(-b/2a)? – b?/2a + c = – b?/4a + c.

2. คนที่คุ้นเคยกับการแสดงอนุพันธ์สามารถตรวจจับจุดยอดของพาราโบลาได้อย่างง่ายดาย ไม่ว่ากิ่งก้านของพาราโบลาจะอยู่ที่ตำแหน่งใดก็ตาม ยอดของพาราโบลาจะอยู่ที่จุดสุดขั้ว (ต่ำสุดหากกิ่งก้านชี้ขึ้น หรือสูงสุดเมื่อกิ่งก้านชี้ลง) เพื่อที่จะหาจุดสุดขั้วของฟังก์ชันใดๆ คุณต้องคำนวณอนุพันธ์อันดับหนึ่งของฟังก์ชันและทำให้มันเท่ากับศูนย์ โดยทั่วไป อนุพันธ์ของฟังก์ชันกำลังสองจะเท่ากับ f"(x) = (ax? + bx + c)' = 2ax + b เมื่อเท่ากับศูนย์ คุณจะได้ 0 = 2ax0 + b => x0 = -b/ 2ก.

3. พาราโบลาเป็นเส้นสมมาตร แกนสมมาตรผ่านจุดยอดของพาราโบลา เมื่อทราบจุดตัดของพาราโบลากับแกนพิกัด X คุณจะพบจุดหักมุมของจุดยอด x0 ได้อย่างง่ายดาย ให้ x1 และ x2 เป็นรากของพาราโบลา (จุดที่เรียกว่าจุดตัดของพาราโบลากับแกนแอบซิสซา เนื่องจากค่าเหล่านี้เปลี่ยนขวานสมการกำลังสอง? + bx + c เป็นศูนย์) ในเวลาเดียวกัน ให้ |x2| > |x1| จากนั้นจุดยอดของพาราโบลาจะอยู่ตรงกลางระหว่างพวกมัน และหาได้จากนิพจน์ต่อไปนี้: x0 = ?(|x2| – |x1|)

พาราโบลาคือกราฟของฟังก์ชันกำลังสอง โดยทั่วไป สมการของพาราโบลาเขียนว่า y=aх^2+bх+с โดยที่ a?0 นี่คือเส้นโค้งอันดับสองสากลที่อธิบายปรากฏการณ์ต่างๆ ในชีวิต เช่น การเคลื่อนไหวของวัตถุที่ถูกโยนแล้วตกลงมา รูปร่างของรุ้งกินน้ำ และดังนั้นความรู้ในการตรวจจับ พาราโบลามันอาจจะมีประโยชน์ในชีวิตจริง

คุณจะต้อง

• – สูตรสมการกำลังสอง
• – แผ่นกระดาษที่มีตารางพิกัด
• – ดินสอ ยางลบ
• – คอมพิวเตอร์และโปรแกรม Excel

คำแนะนำ

1. ขั้นแรก หาจุดยอดของพาราโบลา เพื่อหาค่าขาดของจุดนี้ ให้นำเลขชี้กำลังก่อน x หารด้วย 2 เท่าของเลขชี้กำลังก่อน x^2 แล้วคูณด้วย -1 (สูตร x=-b/2a) ค้นหาพิกัดโดยการแทนที่ค่าผลลัพธ์ลงในสมการหรือใช้สูตร y=(b^2-4ac)/4a คุณได้รับพิกัดของจุดยอดของพาราโบลาแล้ว

2. จุดยอดของพาราโบลาสามารถตรวจจับได้โดยใช้วิธีอื่น เนื่องจากจุดยอดคือจุดสิ้นสุดของฟังก์ชัน ในการคำนวณ ให้คำนวณอนุพันธ์อันดับแรกแล้วจัดให้เป็นศูนย์ ในรูปแบบทั่วไป คุณจะได้สูตร f(x)’ = (ax? + bx + c)’ = 2ax + b และเมื่อเทียบให้เป็นศูนย์ คุณจะได้สูตรเดียวกัน - x = -b/2a

3. ค้นหาว่ากิ่งก้านของพาราโบลาชี้ขึ้นหรือลง เมื่อต้องการทำสิ่งนี้ ให้ดูที่ตัวบ่งชี้ด้านหน้า x^2 ซึ่งก็คือ a ถ้า a>0 กิ่งก้านจะชี้ขึ้นด้านบน ถ้า a

4. สร้างแกนสมมาตรของพาราโบลา โดยมันจะตัดกับจุดยอดของพาราโบลาและขนานกับแกน y จุดทุกจุดของพาราโบลาจะมีระยะห่างจากพาราโบลาเท่ากัน ดังนั้นจึงเป็นไปได้ที่จะสร้างเพียงส่วนเดียว จากนั้นจึงแสดงพาราโบลาโดยสัมพันธ์กับแกนของพาราโบลาแบบสมมาตร

5. ลากเส้นพาราโบลา เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้ค้นหาหลายจุดด้วยการทดแทน ความหมายที่แตกต่างกัน x เข้าไปในสมการและการแก้สมการ สะดวกในการตรวจจับจุดตัดด้วยแกน โดยแทนที่ x=0 และ y=0 ลงในความเท่าเทียมกัน ยกด้านหนึ่งขึ้นแล้วสะท้อนรอบแกนอย่างสมมาตร

6. อนุญาตให้สร้าง พาราโบลาด้วยความช่วยเหลือ โปรแกรมเอ็กเซล- เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้เปิดเอกสารใหม่และเลือกสองคอลัมน์ในนั้น x และ y=f(x) ในคอลัมน์แรก เขียนค่าของ x บนส่วนที่เลือก และในคอลัมน์ที่สอง ให้เขียนสูตร เช่น =2B3*B3-4B3+1 หรือ =2B3^2-4B3+1 เพื่อไม่ให้เขียนสูตรนี้ทุกครั้ง ให้ "ขยาย" ไปยังแต่ละคอลัมน์โดยคลิกที่กากบาทเล็ก ๆ ที่มุมขวาล่างแล้วลากลง

7. เมื่อคุณมีตารางแล้ว คลิกเมนู “แทรก” – “แผนภูมิ” เลือกแผนภูมิกระจาย คลิกถัดไป ในหน้าต่างที่ปรากฏขึ้น ให้เพิ่มแถวโดยคลิกปุ่ม "เพิ่ม" หากต้องการเลือกเซลล์ที่ต้องการ ให้คลิกปุ่มที่วงกลมวงรีสีแดงด้านล่างทีละเซลล์ จากนั้นเลือกคอลัมน์พร้อมค่าต่างๆ โดยการคลิกปุ่ม "เสร็จสิ้น" ประเมินผลลัพธ์ – เสร็จสิ้น พาราโบลา .

วิดีโอในหัวข้อ

เมื่อค้นหาฟังก์ชันกำลังสองที่มีกราฟเป็นรูปพาราโบลา คุณต้องหาจุดใดจุดหนึ่ง พิกัด ยอดเขาพาราโบลา จะทำการวิเคราะห์โดยใช้สมการที่ให้ไว้สำหรับพาราโบลาได้อย่างไร?

คำแนะนำ

1. ฟังก์ชันกำลังสองคือฟังก์ชันที่อยู่ในรูปแบบ y=ax^2+bx+c โดยที่ a เป็นเลขชี้กำลังนำหน้า (ต้องไม่เป็นศูนย์อย่างเคร่งครัด) b คือเลขชี้กำลังต่ำสุด c คือพจน์อิสระ ฟังก์ชั่นนี้ให้กราฟเป็นรูปพาราโบลา ซึ่งกิ่งก้านของกราฟจะชี้ขึ้น (ถ้า a>0) หรือลง (ถ้า a<0). При a=0 квадратичная функция вырождается в линейную функцию.

2. ลองหาพิกัด x0 กัน ยอดเขาพาราโบลา พบได้จากสูตร x0=-b/a

3. y0=y(x0).เพื่อตรวจจับพิกัด y0 ยอดเขาพาราโบลา คุณต้องแทนที่ค่าที่ตรวจพบ x0 ลงในฟังก์ชันแทน x คำนวณว่า y0 เท่ากับเท่าใด

4. พิกัด ยอดเขามีการค้นพบพาราโบลา เขียนมันเป็นพิกัดของจุดเดียว (x0,y0)

5. เมื่อสร้างพาราโบลา จำไว้ว่าพาราโบลามีความสมมาตรเกี่ยวกับแกนสมมาตรของพาราโบลา ซึ่งเคลื่อนผ่านจุดยอดของพาราโบลาในแนวตั้ง เนื่องจาก ฟังก์ชันกำลังสองเป็นเลขคู่ ด้วยเหตุนี้ จึงเพียงพอแล้วที่จะสร้างพาราโบลากิ่งเดียวจากจุดต่างๆ แล้วสร้างพาราโบลาอีกกิ่งหนึ่งให้สมบูรณ์

วิดีโอในหัวข้อ

สำหรับฟังก์ชัน (หรือแทนกราฟ) จะใช้การแสดงค่าที่มากที่สุด รวมถึงค่าสูงสุดเฉพาะที่ด้วย แนวคิดเรื่อง "จุดยอด" มีแนวโน้มที่จะเกี่ยวข้องกับรูปทรงเรขาคณิตมากกว่า จุดสูงสุดของฟังก์ชันราบรื่น (มีอนุพันธ์) นั้นง่ายต่อการกำหนดโดยใช้ศูนย์ของอนุพันธ์อันดับหนึ่ง

คำแนะนำ

1. สำหรับจุดที่ฟังก์ชันไม่สามารถหาอนุพันธ์ได้แต่คงที่ ค่าที่ใหญ่ที่สุดในช่วงเวลาอาจมีรูปแบบของปลาย (เช่น y=-|x|) ที่จุดดังกล่าวจนถึงกราฟ ฟังก์ชั่นเป็นไปได้ที่จะวาดแทนเจนต์ได้มากเท่าที่ต้องการและไม่มีอนุพันธ์สำหรับมันอยู่อย่างง่ายดาย ซามิ ฟังก์ชั่นประเภทนี้มักจะระบุไว้ในส่วนต่างๆ จุดที่อนุพันธ์ ฟังก์ชั่นเท่ากับศูนย์หรือไม่มีอยู่เรียกว่าขี้ระแวง

2. ปรากฎว่าต้องหาจุดสูงสุด ฟังก์ชั่น y=f(x) ควร: - ตรวจจับจุดที่สงสัย - เพื่อที่จะเลือกจุดสูงสุด เราควรตรวจจับสัญญาณของอนุพันธ์ในบริเวณใกล้เคียงกับจุดที่สงสัย หากเมื่อผ่านจุดใดเครื่องหมายสลับจาก "+" เป็น "-" แสดงว่าค่าสูงสุดเกิดขึ้น

3. ตัวอย่าง. ค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุด ฟังก์ชั่น(ดูรูปที่ 1).y=x+3 สำหรับ x?-1 และ y=((x^2)^(1/3)) –x สำหรับ x>-1

4. เรห์นนิ่ง. y=x+3 สำหรับ x?-1 และ y=((x^2)^(1/3)) –x สำหรับ x>-1 ฟังก์ชันนี้ถูกระบุบนเซ็กเมนต์โดยเจตนา เนื่องจากในกรณีนี้ เป้าหมายคือการแสดงทุกอย่างในตัวอย่างเดียว มันง่ายที่จะตรวจสอบว่าที่ x=-1 ฟังก์ชันยังคงที่ y'=1 ที่ x?-1 และ y'=(2/3)(x^(-1/3))-1=(2- 3(x ^(1/3))/(x^(1/3)) สำหรับ x>-1 y'=0 สำหรับ x=8/27 y' ไม่มีอยู่สำหรับ x=-1 และ x= 0. ในกรณีนี้ y'>0 ถ้า x

วิดีโอในหัวข้อ

พาราโบลาเป็นหนึ่งในเส้นโค้งลำดับที่สอง โดยยกจุดขึ้นตามสมการกำลังสอง สิ่งสำคัญในการสร้างความเอียงนี้คือการตรวจจับ สูงสุด พาราโบลา- ซึ่งสามารถทำได้หลายวิธี

คำแนะนำ

1. เพื่อค้นหาพิกัดของจุดยอด พาราโบลาให้ใช้สูตรต่อไปนี้: x = -b/2a โดยที่ a คือตัวบ่งชี้ก่อน x กำลังสอง และ b คือตัวบ่งชี้ก่อน x เสียบค่าของคุณและคำนวณมูลค่าของมัน หลังจากนั้น ให้แทนที่ค่าผลลัพธ์ของ x ในสมการและคำนวณพิกัดของจุดยอด สมมติว่า หากคุณได้รับสมการ y=2x^2-4x+5 แล้วให้หาแอบซิสซาด้วยวิธีต่อไปนี้: x=-(-4)/2*2=1 แทน x=1 ลงในสมการ แล้วคำนวณค่า y สำหรับจุดยอด พาราโบลา: y=2*1^2-4*1+5=3. ดังนั้นด้านบน พาราโบลามีพิกัด (1;3)

2. มูลค่าของการบวช พาราโบลาสามารถตรวจจับได้โดยไม่ต้องคำนวณ abscissa ล่วงหน้า เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้ใช้สูตร y=-b^2/4ac+c

3. หากคุณคุ้นเคยกับการแสดงอนุพันธ์ ให้ค้นพบ สูงสุด พาราโบลาการใช้อนุพันธ์ โดยใช้ประโยชน์จากคุณสมบัติเพิ่มเติมของทุกๆ ฟังก์ชัน อนุพันธ์อันดับหนึ่งของฟังก์ชันซึ่งเท่ากับศูนย์ จะระบุจุดสุดขั้ว เพราะด้านบน พาราโบลาโดยไม่คำนึงถึงว่ากิ่งก้านของมันชี้ขึ้นหรือลง เป็นจุดสุดขั้ว ให้คำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชันของคุณ โดยทั่วไปจะมีลักษณะดังนี้ f(x)=2ax+b ทำให้มันเท่ากับศูนย์และรับพิกัดของจุดยอด พาราโบลาตรงกับหน้าที่ของคุณ

4. พยายามที่จะค้นพบ สูงสุด พาราโบลาโดยใช้ประโยชน์จากคุณสมบัติเช่นความสมมาตร เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้ค้นหาจุดตัดกัน พาราโบลาด้วยแกน x ทำให้ฟังก์ชันเท่ากับศูนย์ (แทนที่ y = 0) เมื่อคุณแก้สมการกำลังสอง คุณจะพบ x1 และ x2 เพราะพาราโบลามีความสมมาตรเกี่ยวกับไดเรกตริกซ์ที่ผ่าน สูงสุดจุดเหล่านี้จะอยู่ห่างจากจุดตัดของจุดยอดเท่ากัน เพื่อตรวจจับมัน เราแบ่งระยะห่างระหว่างจุดต่างๆ ออกเป็นครึ่งหนึ่ง: x = (Ix1-x2I)/2

5. ถ้าเลขชี้กำลังใดๆ เป็นศูนย์ (นอกเหนือจาก a) ให้คำนวณพิกัดของจุดยอด พาราโบลาโดยใช้สูตรอย่างง่าย สมมติว่าถ้า b = 0 นั่นคือสมการอยู่ในรูปแบบ y = ax^2 + c แล้วจุดยอดจะอยู่บนแกน oy และพิกัดของมันจะเท่ากับ (0; c) หากไม่ใช่เพียงเลขชี้กำลัง b=0 แต่ยังรวมถึง c=0 ด้วย แสดงว่าเป็นจุดยอด พาราโบลาอยู่ที่จุดเริ่มต้น จุด (0;0)

วิดีโอในหัวข้อ

เริ่มต้นจากจุดหนึ่ง เส้นตรงจะสร้างมุมโดยที่จุดร่วมคือจุดยอด ในส่วนของพีชคณิตเชิงทฤษฎี มักจะมีปัญหาเมื่อคุณจำเป็นต้องค้นหาพิกัดของค่านี้ ยอดเขาเพื่อกำหนดสมการของเส้นที่ผ่านจุดยอด

คำแนะนำ

1. ก่อนที่คุณจะเริ่มกระบวนการค้นหาพิกัด ยอดเขา, ตัดสินใจเกี่ยวกับข้อมูลเบื้องต้น ยอมรับว่าจุดยอดที่ต้องการเป็นของสามเหลี่ยม ABC ซึ่งทราบพิกัดของจุดยอดอีก 2 จุดตลอดจนค่าตัวเลขแล้ว มุมเท่ากับ “e” และ “k” ที่ด้าน AB

2. รวมกัน ระบบใหม่พิกัดที่ด้านใดด้านหนึ่งของสามเหลี่ยม AB ในลักษณะที่คำนำของระบบพิกัดตรงกับจุด A ซึ่งเป็นพิกัดที่คุณรู้จัก จุดยอด B ที่สองจะอยู่บนแกน OX และคุณทราบพิกัดของจุดนั้นด้วย กำหนดความยาวของด้าน AB ตามแนวแกน OX ตามพิกัดแล้วกำหนดให้เท่ากับ "m"

3. ลดแนวตั้งฉากลงจากสิ่งที่ไม่คุ้นเคย ยอดเขา C ถึงแกน OX และด้านข้างของสามเหลี่ยม AB ตามลำดับ ความสูงผลลัพธ์ “y” จะกำหนดค่าของพิกัดใดพิกัดหนึ่ง ยอดเขา C ตามแนวแกน OY สมมติว่าความสูง “y” แบ่งด้าน AB ออกเป็นสองส่วนเท่ากับ “x” และ “m – x”

4. เพราะคุณรู้ความหมายของทุกสิ่ง มุมสามเหลี่ยมซึ่งหมายความว่าทราบค่าของแทนเจนต์ด้วย ใช้ค่าแทนเจนต์สำหรับ มุมติดกับด้านข้างของสามเหลี่ยม AB เท่ากับ tan(e) และ tan(k)

5. ป้อนสมการสำหรับเส้น 2 เส้นที่ลากผ่านด้าน AC และ BC ตามลำดับ: y = tan(e) * x และ y = tan(k) * (m – x) จากนั้นหาจุดตัดของเส้นเหล่านี้โดยใช้สมการเส้นตรงที่แปลงแล้ว: tan(e) = y/x และ tan(k) = y/(m – x)

6. ถ้าเราถือว่า tan(e)/tan(k) เท่ากับ (y/x) /(y/ (m – x)) หรือย่อภายหลังว่า “y” – (m – x) / x คุณจะพบว่า ค่าพิกัดที่ต้องการเท่ากับ x = m / (tan(e)/tan(k) + e) ​​​​และ y = x * tan(e)

7. ค่าทดแทน มุม(e) และ (k) พร้อมทั้งค่าที่ตรวจพบของด้าน AB = m เข้าไปในสมการ x = m / (tan(e)/tan(k) + e) ​​​​และ y = x * tan(e ).

8. แปลงระบบพิกัดใหม่เป็น ระบบเริ่มต้นพิกัดจากการที่มีการสร้างการติดต่อแบบตัวต่อตัวระหว่างกันและคุณจะได้รับพิกัดที่ต้องการ ยอดเขาสามเหลี่ยมเอบีซี

วิดีโอในหัวข้อ

วิดีโอในหัวข้อ

ในทางคณิตศาสตร์มีวัฏจักรของตัวตนทั้งหมดซึ่งสมการกำลังสองครอบครองสถานที่สำคัญ ความเท่าเทียมกันดังกล่าวสามารถแก้ไขได้ทั้งแบบแยกกันและสร้างกราฟบนแกนพิกัด สมการคือจุดตัดของพาราโบลากับเส้นตรงโอ้

มุมมองทั่วไป

โดยทั่วไปจะมีโครงสร้างดังต่อไปนี้:

ทั้งตัวแปรแต่ละตัวและนิพจน์ทั้งหมดถือเป็น "X" ตัวอย่างเช่น:

(x+7) 2 +3(x+7)+2=0.

ในกรณีที่บทบาทของ x เป็นนิพจน์ จำเป็นต้องแสดงเป็นตัวแปรแล้วค้นหา หลังจากนั้น ให้เทียบพหุนามกับนิพจน์เหล่านั้นแล้วหา x

ดังนั้น ถ้า (x+7)=a สมการจะอยู่ในรูปแบบ 2 +3a+2=0

ส=3 2 -4*1*2=1;

และ 1 =(-3-1)/2*1=-2;

และ 2 =(-3+1)/2*1=-1

ด้วยรากที่เท่ากับ -2 และ -1 เราจะได้สิ่งต่อไปนี้:

x+7=-2 และ x+7=-1;

รากคือค่าพิกัด x ของจุดตัดกันของพาราโบลากับแกน x โดยหลักการแล้ว ค่าของมันไม่สำคัญนักหากภารกิจคือการค้นหาจุดยอดของพาราโบลาเท่านั้น แต่สำหรับการวางแผนกราฟ รากมีบทบาทสำคัญ

ลองกลับไปที่สมการเริ่มต้นกัน ในการตอบคำถามว่าจะหาจุดยอดของพาราโบลาได้อย่างไร คุณจำเป็นต้องรู้สูตรต่อไปนี้:

โดยที่ x VP คือค่าพิกัด x ของจุดที่ต้องการ

แต่จะหาจุดยอดของพาราโบลาที่ไม่มีค่าพิกัด y ได้อย่างไร? เราแทนที่ค่า x ผลลัพธ์ลงในสมการและค้นหาตัวแปรที่ต้องการ ตัวอย่างเช่น ลองแก้สมการต่อไปนี้:

ค้นหาค่าพิกัด x สำหรับจุดยอดของพาราโบลา:

x รองประธาน =-b/2a=-3/2*1;

ค้นหาค่าพิกัด y สำหรับจุดยอดของพาราโบลา:

y=2x 2 +4x-3=(-1.5) 2 +3*(-1.5)-5;

ด้วยเหตุนี้ เราพบว่าจุดยอดของพาราโบลาอยู่ที่จุดที่มีพิกัด (-1.5;-7.25)

พาราโบลาคือจุดเชื่อมต่อของจุดที่มีแนวดิ่ง ด้วยเหตุนี้ การสร้างพาราโบลาจึงไม่ใช่เรื่องยากเป็นพิเศษ สิ่งที่ยากที่สุดคือการคำนวณพิกัดของจุดให้ถูกต้อง

คุ้มค่าที่จะจ่าย ความสนใจเป็นพิเศษถึงค่าสัมประสิทธิ์ของสมการกำลังสอง

ค่าสัมประสิทธิ์ a ส่งผลต่อทิศทางของพาราโบลา ในกรณีที่เขามี ค่าลบกิ่งก้านจะชี้ลงไปและเมื่อใด สัญญาณบวก- ขึ้น.

ค่าสัมประสิทธิ์ b บ่งบอกว่าแขนพาราโบลาจะกว้างแค่ไหน ยิ่งมูลค่าสูงเท่าไรก็ยิ่งกว้างขึ้นเท่านั้น

ค่าสัมประสิทธิ์ c บ่งชี้ถึงการกระจัดของพาราโบลาตามแกน OS ที่สัมพันธ์กับจุดกำเนิด

เราได้เรียนรู้วิธีการหาจุดยอดของพาราโบลาแล้ว และเพื่อหาราก เราควรจะใช้สูตรต่อไปนี้:

โดยที่ D คือตัวแยกแยะที่จำเป็นในการค้นหารากของสมการ

x 1 =(-b+V - D)/2a

x 2 =(-b-V - D)/2a

ค่า x ที่ได้จะสอดคล้องกับค่าศูนย์ y เพราะ เป็นจุดตัดกับแกน OX

หลังจากนั้นเราจะทำเครื่องหมายค่าผลลัพธ์ที่ด้านบนของพาราโบลา หากต้องการดูกราฟที่มีรายละเอียดมากขึ้น คุณจะต้องค้นหาจุดเพิ่มเติมอีก 2-3 จุด เมื่อต้องการทำสิ่งนี้ ให้เลือกค่า x ใดๆ ที่โดเมนของคำจำกัดความอนุญาตและแทนที่ลงในสมการของฟังก์ชัน ผลการคำนวณจะเป็นพิกัดของจุดตามแนวแกนออปแอมป์

เพื่อให้กระบวนการสร้างกราฟง่ายขึ้น คุณสามารถวาดเส้นแนวตั้งผ่านด้านบนของพาราโบลาและตั้งฉากกับแกน OX ด้วยความช่วยเหลือซึ่งเมื่อมีจุดหนึ่งคุณสามารถกำหนดจุดที่สองได้ซึ่งมีระยะห่างเท่ากันจากเส้นที่ลาก

ทุกคนคงรู้ว่าพาราโบลาคืออะไร แต่เราจะดูวิธีการใช้อย่างถูกต้องและมีความสามารถเมื่อแก้ไขปัญหาในทางปฏิบัติต่างๆ ด้านล่างนี้

ขั้นแรก ให้เราร่างแนวคิดพื้นฐานที่พีชคณิตและเรขาคณิตมีให้กับเทอมนี้ ลองพิจารณาทุกอย่าง ประเภทที่เป็นไปได้แผนภูมินี้

เรามาดูคุณสมบัติหลักทั้งหมดของฟังก์ชันนี้กันดีกว่า มาทำความเข้าใจพื้นฐานของการสร้างเส้นโค้ง (เรขาคณิต) กันดีกว่า มาเรียนรู้วิธีค้นหาค่าด้านบนและค่าพื้นฐานอื่นๆ ของกราฟประเภทนี้กัน

เรามาดูวิธีสร้างเส้นโค้งที่ต้องการอย่างถูกต้องโดยใช้สมการสิ่งที่คุณต้องใส่ใจ มาดูพื้นฐานกัน การประยุกต์ใช้จริงคุณค่าอันเป็นเอกลักษณ์นี้ในชีวิตมนุษย์

พาราโบลาคืออะไร และมีลักษณะอย่างไร

พีชคณิต: คำนี้หมายถึงกราฟของฟังก์ชันกำลังสอง

เรขาคณิต: นี่คือเส้นโค้งลำดับที่สองที่มีคุณสมบัติเฉพาะหลายประการ:

สมการพาราโบลามาตรฐาน

รูปนี้แสดงระบบพิกัดสี่เหลี่ยม (XOY) ซึ่งเป็นส่วนปลายสุด ซึ่งเป็นทิศทางของกิ่งก้านของฟังก์ชันที่ลากไปตามแกนแอบซิสซา

สมการทางบัญญัติคือ:

y 2 = 2 * p * x,

โดยที่สัมประสิทธิ์ p คือพารามิเตอร์โฟกัสของพาราโบลา (AF)

ในพีชคณิตจะมีการเขียนแตกต่างออกไป:

y = a x 2 + b x + c (รูปแบบที่รู้จัก: y = x 2)

คุณสมบัติและกราฟของฟังก์ชันกำลังสอง

ฟังก์ชันนี้มีแกนสมมาตรและมีศูนย์กลาง (สุดขั้ว) โดเมนของคำจำกัดความคือค่าทั้งหมดของแกน abscissa

ช่วงของค่าของฟังก์ชัน – (-∞, M) หรือ (M, +∞) ขึ้นอยู่กับทิศทางของกิ่งก้านของเส้นโค้ง พารามิเตอร์ M ในที่นี้หมายถึงค่าของฟังก์ชันที่ด้านบนของบรรทัด

วิธีกำหนดทิศทางของกิ่งก้านของพาราโบลา

หากต้องการค้นหาทิศทางของเส้นโค้งประเภทนี้จากนิพจน์ คุณต้องกำหนดเครื่องหมายก่อนพารามิเตอร์ตัวแรก การแสดงออกทางพีชคณิต. ถ้า ˃ 0 แสดงว่าพวกมันพุ่งขึ้น ถ้ากลับกันก็ลงครับ

วิธีหาจุดยอดของพาราโบลาโดยใช้สูตร

การค้นหาจุดสุดยอดเป็นขั้นตอนหลักในการแก้ปัญหาเชิงปฏิบัติหลายอย่าง เปิดพิเศษได้แน่นอน เครื่องคิดเลขออนไลน์แต่จะดีกว่าถ้าทำเองได้

จะตรวจสอบได้อย่างไร? มีสูตรพิเศษคือ เมื่อ b ไม่เท่ากับ 0 เราต้องหาพิกัดของจุดนี้

สูตรการหาจุดยอด:

• x 0 = -b / (2 * ก);
• y 0 = y (x 0)

ตัวอย่าง.

มีฟังก์ชัน y = 4 * x 2 + 16 * x – 25 มาหาจุดยอดของฟังก์ชันนี้กัน

สำหรับบรรทัดเช่นนี้:

• x = -16 / (2 * 4) = -2;
• y = 4 * 4 - 16 * 2 - 25 = 16 - 32 - 25 = -41

เราได้รับพิกัดของจุดยอด (-2, -41)

การแทนที่พาราโบลา

กรณีคลาสสิกคือเมื่ออยู่ในฟังก์ชันกำลังสอง y = a x 2 + b x + c พารามิเตอร์ตัวที่สองและสามจะเท่ากับ 0 และ = 1 - จุดยอดอยู่ที่จุด (0; 0)

การเคลื่อนที่ไปตามแกน abscissa หรือแกนพิกัดเกิดจากการเปลี่ยนแปลงพารามิเตอร์ b และ c ตามลำดับเส้นบนระนาบจะถูกเลื่อนตามจำนวนหน่วยเท่ากับค่าของพารามิเตอร์

ตัวอย่าง.

เรามี: b = 2, c = 3

ซึ่งหมายความว่ารูปแบบคลาสสิกของเส้นโค้งจะเลื่อนไป 2 หน่วยตามแกนแอบซิสซา และ 3 หน่วยไปตามแกนกำหนด

วิธีสร้างพาราโบลาโดยใช้สมการกำลังสอง

เป็นสิ่งสำคัญสำหรับเด็กนักเรียนที่จะเรียนรู้วิธีวาดพาราโบลาอย่างถูกต้องโดยใช้พารามิเตอร์ที่กำหนด

โดยการวิเคราะห์นิพจน์และสมการ คุณจะเห็นสิ่งต่อไปนี้:

1. จุดตัดของเส้นที่ต้องการกับเวกเตอร์พิกัดจะมีค่าเท่ากับ c
2. จุดทุกจุดของกราฟ (ตามแนวแกน x) จะมีความสมมาตรเทียบกับส่วนปลายสุดของฟังก์ชัน

นอกจากนี้ จุดตัดกับ OX สามารถพบได้โดยการรู้การแบ่งแยก (D) ของฟังก์ชันดังกล่าว:

D = (ข 2 - 4 * a * c)

เมื่อต้องการทำเช่นนี้ คุณต้องถือนิพจน์ให้เป็นศูนย์

การมีอยู่ของรากของพาราโบลาขึ้นอยู่กับผลลัพธ์:

• D ˃ 0 จากนั้น x 1, 2 = (-b ± D 0.5) / (2 * a);
• D = 0 จากนั้น x 1, 2 = -b / (2 * a);
• D ˂ 0 แล้วไม่มีจุดตัดกับเวกเตอร์ OX

เราได้รับอัลกอริทึมสำหรับสร้างพาราโบลา:

• กำหนดทิศทางของกิ่งก้าน
• ค้นหาพิกัดของจุดยอด
• ค้นหาจุดตัดกับแกนกำหนด
• หาจุดตัดกับแกน x

ตัวอย่างที่ 1

เมื่อพิจารณาจากฟังก์ชัน y = x 2 - 5 * x + 4 จำเป็นต้องสร้างพาราโบลา เราปฏิบัติตามอัลกอริทึม:

1. a = 1 ดังนั้นกิ่งก้านจึงชี้ขึ้นด้านบน
2. พิกัดสุดขั้ว: x = - (-5) / 2 = 5/2; y = (5/2) 2 - 5 * (5/2) + 4 = -15/4;
3. ตัดกับแกนพิกัดที่ค่า y = 4;
4. มาหาความแตกต่างกัน: D = 25 - 16 = 9;
5. กำลังมองหาราก:

• X 1 = (5 + 3) / 2 = 4; (4, 0);
• X 2 = (5 - 3) / 2 = 1; (1, 0)

ตัวอย่างที่ 2

สำหรับฟังก์ชัน y = 3 * x 2 - 2 * x - 1 คุณต้องสร้างพาราโบลา เราดำเนินการตามอัลกอริทึมที่กำหนด:

1. a = 3 ดังนั้นกิ่งก้านจึงชี้ขึ้นด้านบน
2. พิกัดสุดขั้ว: x = - (-2) / 2 * 3 = 1/3; y = 3 * (1/3) 2 - 2 * (1/3) - 1 = -4/3;
3. จะตัดกับแกน y ที่ค่า y = -1;
4. มาหาตัวจำแนก: D = 4 + 12 = 16 ดังนั้นรากคือ:

• X 1 = (2 + 4) / 6 = 1; (1;0);
• X 2 = (2 - 4) / 6 = -1/3; (-1/3; 0)

เมื่อใช้คะแนนที่ได้รับ คุณสามารถสร้างพาราโบลาได้

ไดเรกทริกซ์ ความเยื้องศูนย์กลาง จุดโฟกัสของพาราโบลา

จากสมการ Canonical จุดโฟกัสของ F มีพิกัด (p/2, 0)

เส้นตรง AB คือไดเรกตริกซ์ (คอร์ดชนิดหนึ่งของพาราโบลาที่มีความยาวที่กำหนด) สมการ: x = -p/2

ความเยื้องศูนย์ (คงที่) = 1

บทสรุป

เราดูหัวข้อที่เด็กนักเรียนเรียน โรงเรียนมัธยมปลาย- ตอนนี้คุณรู้แล้วว่าเมื่อดูฟังก์ชันกำลังสองของพาราโบลา วิธีค้นหาจุดยอดของมัน กิ่งก้านจะหันไปในทิศทางใด ไม่ว่าจะมีการกระจัดตามแนวแกนหรือไม่ และด้วยอัลกอริทึมการก่อสร้าง คุณก็สามารถวาดกราฟของมันได้