คุณสมบัติพื้นฐานของการบวกและการคูณจำนวน

คุณสมบัติการสลับที่ของการบวก: เมื่อเงื่อนไขถูกจัดเรียงใหม่ ค่าของผลรวมจะไม่เปลี่ยนแปลง สำหรับจำนวน a และ b ใดๆ ความเท่ากันเป็นจริง

คุณสมบัติเชื่อมโยงของการบวก: ในการบวกเลขตัวที่สามเข้ากับผลรวมของเลขสองตัว คุณสามารถบวกเลขตัวที่สองและสามกับเลขตัวแรกได้ สำหรับจำนวนใดๆ a, b และ c ความเท่ากันเป็นจริง

คุณสมบัติการสลับที่ของการคูณ: การเรียงสับเปลี่ยนของปัจจัยไม่ได้เปลี่ยนค่าของผลิตภัณฑ์ สำหรับจำนวน a, b และ c ใดๆ ความเท่ากันเป็นจริง

คุณสมบัติเชื่อมโยงของการคูณ: ในการคูณผลคูณของสองจำนวนด้วยจำนวนที่สาม คุณสามารถคูณจำนวนแรกด้วยผลคูณของจำนวนที่สองและสามได้

สำหรับจำนวน a, b และ c ใดๆ ความเท่ากันเป็นจริง

คุณสมบัติการแจกแจง: ในการคูณจำนวนด้วยผลรวม คุณสามารถคูณจำนวนนั้นด้วยแต่ละพจน์แล้วบวกผลลัพธ์ สำหรับจำนวนใดๆ a, b และ c ความเท่ากันเป็นจริง

ตามมาจากคุณสมบัติการสลับที่และเชื่อมโยงของการบวก ซึ่งในผลรวมใดๆ คุณสามารถจัดเรียงคำศัพท์ใหม่ได้ตามต้องการและรวมเข้าด้วยกันเป็นกลุ่มโดยพลการ

ตัวอย่างที่ 1 ลองคำนวณผลรวม 1.23+13.5+4.27

ในการทำเช่นนี้จะเป็นการสะดวกที่จะรวมเทอมแรกกับเทอมที่สาม เราได้รับ:

1,23+13,5+4,27=(1,23+4,27)+13,5=5,5+13,5=19.

มันตามมาจากคุณสมบัติการสลับที่และเชื่อมโยงของการคูณ: ในผลิตภัณฑ์ใด ๆ คุณสามารถจัดเรียงปัจจัยใหม่ด้วยวิธีใดก็ได้และรวมเข้าด้วยกันโดยพลการเป็นกลุ่ม

ตัวอย่างที่ 2 มาหามูลค่าของผลิตภัณฑ์ 1.8 0.25 64 0.5

เมื่อรวมปัจจัยที่หนึ่งเข้ากับปัจจัยที่สี่ และปัจจัยที่สองเข้ากับปัจจัยที่สาม เราจะได้:

1.8 0.25 64 0.5 \u003d (1.8 0.5) (0.25 64) \u003d 0.9 16 \u003d 14.4

คุณสมบัติการแจกแจงยังใช้ได้เมื่อจำนวนนั้นคูณด้วยผลรวมของสามพจน์ขึ้นไป

ตัวอย่างเช่น สำหรับจำนวนใดๆ a, b, c และ d ความเท่าเทียมกันจะเป็นจริง

ก(b+c+d)=ab+ac+โฆษณา

เราทราบดีว่าการลบสามารถแทนที่ด้วยการบวกได้โดยการบวกจำนวนตรงข้ามเข้ากับการลบ:

สิ่งนี้ทำให้นิพจน์เป็นตัวเลขได้ พิมพ์ a-bพิจารณาผลรวมของตัวเลข a และ -b พิจารณานิพจน์ตัวเลขของรูปแบบ a + b-c-d เป็นผลรวมของตัวเลข a, b, -c, -d เป็นต้น คุณสมบัติที่พิจารณาของการกระทำยังใช้ได้สำหรับผลรวมดังกล่าวด้วย

ตัวอย่างที่ 3 มาหาค่าของนิพจน์ 3.27-6.5-2.5+1.73

นิพจน์นี้คือผลรวมของตัวเลข 3.27, -6.5, -2.5 และ 1.73 การใช้คุณสมบัติการบวก เราได้รับ: 3.27-6.5-2.5+1.73=(3.27+1.73)+(-6.5-2.5)=5+(-9) = -4

ตัวอย่างที่ 4 ลองคำนวณผลคูณ 36·()

ตัวคูณสามารถคิดเป็นผลรวมของตัวเลขและ - การใช้คุณสมบัติการกระจายของการคูณ เราได้รับ:

36()=36-36=9-10=-1.

อัตลักษณ์

คำนิยาม. นิพจน์สองค่าที่มีค่าเท่ากันสำหรับค่าใด ๆ ของตัวแปรจะถือว่าเท่ากัน

คำนิยาม. ความเท่าเทียมกันที่เป็นจริงสำหรับค่าใด ๆ ของตัวแปรเรียกว่าเอกลักษณ์

มาหาค่าของนิพจน์ 3(x+y) และ 3x+3y สำหรับ x=5, y=4:

3(x+y)=3(5+4)=3 9=27,

3x+3y=3 5+3 4=15+12=27.

เราได้ผลลัพธ์เดียวกัน จาก คุณสมบัติการกระจายตามนั้น โดยทั่วไปสำหรับค่าใด ๆ ของตัวแปร ค่าที่สอดคล้องกันของนิพจน์ 3(x+y) และ 3x+3y จะเท่ากัน

พิจารณานิพจน์ 2x+y และ 2xy สำหรับ x=1, y=2 จะได้ค่าเท่ากัน:

อย่างไรก็ตาม คุณสามารถระบุค่า x และ y เพื่อให้ค่าของนิพจน์เหล่านี้ไม่เท่ากัน ตัวอย่างเช่น ถ้า x=3, y=4 แล้ว

นิพจน์ 3(x+y) และ 3x+3y มีค่าเท่ากัน แต่นิพจน์ 2x+y และ 2xy ไม่เท่ากัน

ความเท่าเทียมกัน 3(x+y)=x+3y, เป็นจริงสำหรับค่าใดๆ ของ x และ y, เป็นเอกลักษณ์

ความเท่าเทียมกันทางตัวเลขที่แท้จริงก็ถือเป็นเอกลักษณ์เช่นกัน

ดังนั้น เอกลักษณ์คือความเท่าเทียมกันที่แสดงคุณสมบัติหลักของการกระทำกับตัวเลข:

a+b=b+a, (a+b)+c=a+(b+c),

ab=ba, (ab)c=a(bc), a(b+c)=ab+ac

ตัวอย่างอื่น ๆ ของข้อมูลประจำตัวสามารถให้ได้:

a+0=a, a+(-a)=0, a-b=a+(-b),

1=a, a (-b)=-ab, (-a)(-b)=ab.

การแปลงนิพจน์ประจำตัว

การแทนที่นิพจน์หนึ่งด้วยอีกนิพจน์หนึ่งซึ่งมีค่าเท่ากันเรียกว่าการแปลงที่เหมือนกันหรือเพียงแค่การแปลงนิพจน์

การแปลงนิพจน์ที่มีตัวแปรเหมือนกันจะดำเนินการตามคุณสมบัติของการดำเนินการกับตัวเลข

ในการค้นหาค่าของนิพจน์ xy-xz ที่กำหนดค่า x, y, z คุณต้องดำเนินการสามขั้นตอน ตัวอย่างเช่น ด้วย x=2.3, y=0.8, z=0.2 เราจะได้รับ:

xy-xz=2.3 0.8-2.3 0.2=1.84-0.46=1.38.

ผลลัพธ์นี้สามารถรับได้ในสองขั้นตอนเท่านั้น โดยใช้นิพจน์ x(y-z) ซึ่งเท่ากับนิพจน์ xy-xz:

xy-xz=2.3(0.8-0.2)=2.3 0.6=1.38.

เราได้ทำให้การคำนวณง่ายขึ้นโดยแทนที่นิพจน์ xy-xz ด้วยนิพจน์ x(y-z) ที่เท่ากันทุกประการ

การแปลงนิพจน์เอกลักษณ์ใช้กันอย่างแพร่หลายในการคำนวณค่าของนิพจน์และแก้ปัญหาอื่น ๆ บาง การแปลงที่เหมือนกันต้องดำเนินการอยู่แล้ว เช่น การลดคำศัพท์ที่คล้ายกัน การเปิดวงเล็บ จำกฎสำหรับการดำเนินการแปลงเหล่านี้:

คุณต้องเพิ่มค่าสัมประสิทธิ์และคูณผลลัพธ์ด้วยส่วนที่เป็นตัวอักษรทั่วไป

หากมีเครื่องหมายบวกอยู่หน้าวงเล็บ ก็สามารถข้ามวงเล็บได้ โดยคงเครื่องหมายของแต่ละคำที่อยู่ในวงเล็บไว้

หากมีเครื่องหมายลบอยู่หน้าวงเล็บ ก็สามารถตัดเครื่องหมายวงเล็บออกได้โดยการเปลี่ยนเครื่องหมายของแต่ละคำที่อยู่ในวงเล็บ

ตัวอย่างที่ 1 บวกพจน์ที่เหมือนกันในผลรวม 5x+2x-3x

เราใช้กฎในการลดเงื่อนไขที่เหมือนกัน:

5x+2x-3x=(5+2-3)x=4x

การแปลงนี้ขึ้นอยู่กับคุณสมบัติการกระจายของการคูณ

ตัวอย่างที่ 2 ลองขยายวงเล็บในนิพจน์ 2a+(b-3c)

การใช้กฎสำหรับการเปิดวงเล็บนำหน้าด้วยเครื่องหมายบวก:

2a+(b-3c)=2a+b-3c.

การแปลงที่ดำเนินการขึ้นอยู่กับคุณสมบัติที่เชื่อมโยงของการบวก

ตัวอย่างที่ 3 ลองขยายวงเล็บในนิพจน์ a-(4b-c)

ลองใช้กฎสำหรับขยายวงเล็บนำหน้าด้วยเครื่องหมายลบ:

ก-(4b-ค)=ก-4b+ค.

การแปลงที่ดำเนินการขึ้นอยู่กับคุณสมบัติการกระจายของการคูณและคุณสมบัติเชื่อมโยงของการบวก มาแสดงกันเถอะ ลองแทนเทอมที่สอง -(4b-c) ในนิพจน์นี้เป็นผลิตภัณฑ์ (-1)(4b-c):

ก-(4b-ค)=ก+(-1)(4b-ค).

การใช้คุณสมบัติของการกระทำเหล่านี้ เราได้รับ:

ก-(4b-c)=a+(-1)(4b-c)=a+(-4b+c)=a-4b+c.

ตัวเลขและนิพจน์ที่ประกอบเป็นนิพจน์ดั้งเดิมสามารถแทนที่ด้วยนิพจน์ที่เท่ากันทุกประการ การเปลี่ยนแปลงของนิพจน์ดั้งเดิมดังกล่าวนำไปสู่นิพจน์ที่เท่ากันทุกประการ

ตัวอย่างเช่น ในนิพจน์ 3+x เลข 3 สามารถแทนที่ด้วยผลรวม 1+2 ซึ่งส่งผลให้นิพจน์ (1+2)+x ซึ่งเท่ากับนิพจน์เดิมทุกประการ อีกตัวอย่างหนึ่ง: ในนิพจน์ 1+a 5 ระดับของ 5 สามารถแทนที่ด้วยผลคูณที่เท่ากันได้ เช่น ในรูปแบบ a·a 4 นี่จะทำให้เราได้นิพจน์ 1+a·a 4

การเปลี่ยนแปลงนี้เป็นของเทียมอย่างไม่ต้องสงสัย และมักจะเป็นการเตรียมการสำหรับการเปลี่ยนแปลงต่อไป ตัวอย่างเช่น ในผลรวม 4·x 3 +2·x 2 โดยคำนึงถึงคุณสมบัติของระดับ เทอม 4·x 3 สามารถแสดงเป็นผลคูณ 2·x 2 ·2·x หลังจากการแปลงดังกล่าว นิพจน์เดิมจะอยู่ในรูปแบบ 2·x 2 ·2·x+2·x 2 เห็นได้ชัดว่า เงื่อนไขในผลรวมที่ได้มีตัวประกอบร่วมกัน 2 x 2 ดังนั้นเราจึงสามารถทำการแปลงต่อไปนี้ได้ - วงเล็บ หลังจากนั้นเราจะมาถึงนิพจน์: 2 x 2 (2 x+1) .

การบวกและการลบจำนวนเดียวกัน

การแปลงนิพจน์ปลอมอีกอย่างหนึ่งคือการบวกและการลบจำนวนหรือนิพจน์เดียวกันในเวลาเดียวกัน การแปลงดังกล่าวเหมือนกันเนื่องจากในความเป็นจริงเท่ากับการบวกศูนย์และการบวกศูนย์จะไม่เปลี่ยนค่า

พิจารณาตัวอย่าง ลองใช้นิพจน์ x 2 +2 x กัน หากคุณเพิ่มและลบหนึ่งรายการ สิ่งนี้จะช่วยให้คุณทำการเปลี่ยนแปลงที่เหมือนกันอีกครั้งในอนาคต - เลือกกำลังสองของทวินาม: x 2 +2 x=x 2 +2 x+1−1=(x+1) 2 −1.

บรรณานุกรม.

• พีชคณิต:หนังสือเรียน สำหรับ 7 เซลล์ การศึกษาทั่วไป สถาบัน/[ยุ. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; เอ็ด S. A. Telyakovsky - แก้ไขครั้งที่ 17 - ม. : การศึกษา, 2551. - 240 น. : ป่วย. - ไอ 978-5-09-019315-3.
• พีชคณิต:หนังสือเรียน สำหรับ 8 เซลล์ การศึกษาทั่วไป สถาบัน/[ยุ. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; เอ็ด S. A. Telyakovsky - 16 เอ็ด - ม. : การศึกษา, 2551. - 271 น. : ป่วย. - ไอ 978-5-09-019243-9
• มอร์ดโควิช เอ.จี.พีชคณิต. ชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 เวลา 14.00 น. ส่วนที่ 1 หนังสือเรียนของนักเรียน สถาบันการศึกษา/ A.G. Mordkovich. - ฉบับที่ 17 เพิ่ม - M.: Mnemozina, 2013. - 175 p.: ป่วย ไอ 978-5-346-02432-3

ในบรรดานิพจน์ต่าง ๆ ที่พิจารณาในพีชคณิต ผลรวมของ monomials เป็นสถานที่สำคัญ นี่คือตัวอย่างของนิพจน์ดังกล่าว:
\(5a^4 - 2a^3 + 0.3a^2 - 4.6a + 8 \)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2 \)

ผลรวมของโมโนเมียลเรียกว่าพหุนาม เงื่อนไขในพหุนามเรียกว่าสมาชิกของพหุนาม Mononomials เรียกอีกอย่างว่าพหุนาม โดยพิจารณาว่า monomial เป็นพหุนามที่ประกอบด้วยสมาชิกหนึ่งตัว

ตัวอย่างเช่นพหุนาม
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0.25b \cdot (-12)b + 16 \)
สามารถทำให้ง่ายขึ้น

เราแสดงเงื่อนไขทั้งหมดเป็น monomials ของรูปแบบมาตรฐาน:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0.25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16 \)

เราให้คำที่คล้ายกันในพหุนามที่เป็นผลลัพธ์:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
ผลลัพธ์คือพหุนามซึ่งสมาชิกทั้งหมดเป็น monomials ของรูปแบบมาตรฐานและไม่มีชื่อที่คล้ายกันในหมู่พวกเขา พหุนามดังกล่าวเรียกว่า พหุนามในรูปแบบมาตรฐาน.

ด้านหลัง ระดับพหุนามรูปแบบมาตรฐานใช้อำนาจที่ใหญ่ที่สุดของสมาชิก ดังนั้น ทวินาม \(12a^2b - 7b \) มีดีกรีเป็นที่สาม และตรีโกณมิติ \(2b^2 -7b + 6 \) มีดีกรีเป็นที่สอง

โดยปกติแล้ว เงื่อนไขของพหุนามรูปแบบมาตรฐานที่มีตัวแปรหนึ่งตัวจะถูกจัดเรียงตามลำดับจากมากไปน้อยของเลขยกกำลัง ตัวอย่างเช่น:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1 \)

ผลรวมของพหุนามหลายตัวสามารถแปลง (แบบง่าย) เป็นพหุนามรูปแบบมาตรฐานได้

บางครั้งต้องแบ่งสมาชิกของพหุนามออกเป็นกลุ่มๆ โดยใส่วงเล็บแต่ละกลุ่ม เนื่องจากวงเล็บตรงข้ามกับวงเล็บ จึงง่ายต่อการกำหนด กฎการเปิดวงเล็บ:

ถ้าใส่เครื่องหมาย + หน้าวงเล็บ แสดงว่าคำที่อยู่ในวงเล็บเขียนด้วยเครื่องหมายเดียวกัน

หากใส่เครื่องหมาย "-" ไว้หน้าวงเล็บ คำศัพท์ที่อยู่ในวงเล็บจะเขียนด้วยเครื่องหมายตรงกันข้าม

การแปลง (การทำให้เข้าใจง่าย) ของผลคูณของโมโนเมียลและพหุนาม

การใช้สมบัติการแจกแจงของการคูณ เราสามารถเปลี่ยน (ลดรูป) ผลคูณของโมโนเมียลและพหุนามให้เป็นพหุนามได้ ตัวอย่างเช่น:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)

ผลคูณของโมโนเมียลและพหุนามจะเท่ากันกับผลรวมของผลคูณของโมโนเมียลนี้และแต่ละพจน์ของพหุนาม

ผลลัพธ์นี้มักจะกำหนดเป็นกฎ

ในการคูณโมโนเมียลด้วยพหุนาม คุณต้องคูณโมโนเมียลนี้ด้วยแต่ละพจน์ของพหุนาม

เราใช้กฎนี้ซ้ำแล้วซ้ำอีกเพื่อคูณด้วยผลรวม

ผลคูณของพหุนาม การแปลง (การทำให้เข้าใจง่าย) ของผลคูณของพหุนามสองตัว

โดยทั่วไป ผลคูณของพหุนามสองตัวจะเท่ากับผลบวกของผลคูณของพหุนามหนึ่งกับแต่ละพจน์ของอีกพจน์หนึ่ง

มักจะใช้กฎต่อไปนี้

ในการคูณพหุนามด้วยพหุนาม คุณต้องคูณแต่ละพจน์ของพหุนามหนึ่งด้วยแต่ละพจน์ของอีกพจน์หนึ่งแล้วบวกผลลัพธ์ที่ได้

สูตรคูณแบบย่อ. ผลรวม ผลต่าง และผลต่างกำลังสอง

ด้วยสำนวนบางอย่างใน การแปลงเชิงพีชคณิตต้องรับมือมากกว่าคนอื่นๆ บางทีนิพจน์ที่พบบ่อยที่สุดคือ \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) และ \(a^2 - b^2 \) นั่นคือ กำลังสองของผลรวม, the กำลังสองของผลต่างและผลต่างกำลังสอง คุณสังเกตเห็นว่าชื่อของนิพจน์เหล่านี้ดูเหมือนจะไม่สมบูรณ์ ตัวอย่างเช่น \((a + b)^2 \) แน่นอนว่าไม่ใช่แค่กำลังสองของผลรวม แต่เป็นกำลังสองของผลรวมของ ก และ ข อย่างไรก็ตาม กำลังสองของผลรวมของ a และ b นั้นไม่ธรรมดา ตามกฎแล้วแทนที่จะเป็นตัวอักษร a และ b มันมีนิพจน์ที่หลากหลาย บางครั้งค่อนข้างซับซ้อน

นิพจน์ \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) ง่ายต่อการแปลง (ลดความซับซ้อน) เป็นพหุนามของรูปแบบมาตรฐาน อันที่จริง คุณได้พบกับงานดังกล่าวแล้วเมื่อคูณพหุนาม :
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)

ข้อมูลประจำตัวที่เป็นผลลัพธ์มีประโยชน์ในการจดจำและนำไปใช้โดยไม่ต้องมีการคำนวณขั้นกลาง สูตรคำพูดสั้น ๆ ช่วยได้

\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - ผลรวมกำลังสอง เท่ากับผลรวมสี่เหลี่ยมและผลิตภัณฑ์สองเท่า

\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - กำลังสองของผลต่างคือผลรวมของกำลังสองโดยไม่เพิ่มผลคูณ

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - ผลต่างของกำลังสองเท่ากับผลคูณของผลต่างและผลรวม

อัตลักษณ์ทั้งสามนี้ยอมให้มีการแปลงเพื่อแทนที่ส่วนซ้ายด้วยส่วนขวา และในทางกลับกัน - ส่วนขวาด้วยส่วนซ้าย สิ่งที่ยากที่สุดในกรณีนี้คือการดูนิพจน์ที่เกี่ยวข้องและทำความเข้าใจว่าตัวแปร a และ b ถูกแทนที่ด้วยอะไร มาดูตัวอย่างการใช้สูตรคูณแบบย่อกัน

นิพจน์ที่เป็นตัวเลขและพีชคณิต การแปลงนิพจน์

นิพจน์ในคณิตศาสตร์คืออะไร? เหตุใดจึงต้องมีการแปลงนิพจน์

คำถามที่พวกเขากล่าวว่าน่าสนใจ... ความจริงก็คือแนวคิดเหล่านี้เป็นพื้นฐานของคณิตศาสตร์ทั้งหมด คณิตศาสตร์ทั้งหมดประกอบด้วยนิพจน์และการแปลง ไม่ค่อยชัดเจน? ให้ฉันอธิบาย

สมมติว่าคุณมีตัวอย่างที่ไม่ดี มีขนาดใหญ่มากและซับซ้อนมาก สมมติว่าคุณเก่งคณิตศาสตร์และคุณไม่กลัวอะไรเลย! คุณสามารถตอบได้ทันที?

คุณจะต้อง ตัดสินใจตัวอย่างนี้ ตามลำดับทีละขั้นตอนตัวอย่างนี้ ลดความซับซ้อน. โดย กฎบางอย่างเป็นธรรมชาติ เหล่านั้น. ทำ การแปลงนิพจน์. คุณดำเนินการแปลงเหล่านี้สำเร็จเพียงใด คุณจึงเก่งคณิตศาสตร์ ถ้าคุณไม่รู้วิธีทำการแปลงที่ถูกต้อง ในวิชาคณิตศาสตร์ คุณไม่สามารถทำได้ ไม่มีอะไร...

เพื่อหลีกเลี่ยงอนาคตที่ไม่สบายใจ (หรือปัจจุบัน ... ) มันไม่เจ็บที่จะเข้าใจหัวข้อนี้)

ในการเริ่มต้นเรามาหาคำตอบกัน นิพจน์ทางคณิตศาสตร์คืออะไร. เกิดอะไรขึ้น การแสดงออกที่เป็นตัวเลขและคืออะไร นิพจน์เกี่ยวกับพีชคณิต

นิพจน์ในคณิตศาสตร์คืออะไร?

การแสดงออกทางคณิตศาสตร์เป็นแนวคิดที่กว้างมาก เกือบทุกอย่างที่เราจัดการในวิชาคณิตศาสตร์คือชุดของนิพจน์ทางคณิตศาสตร์ ตัวอย่าง สูตร เศษส่วน สมการ และอื่นๆ ทั้งหมดประกอบด้วย นิพจน์ทางคณิตศาสตร์.

3+2 เป็นนิพจน์ทางคณิตศาสตร์ ค 2 - ง 2เป็นนิพจน์ทางคณิตศาสตร์ด้วย และเศษส่วนที่สมบูรณ์และแม้แต่ตัวเลขเดียว - ทั้งหมดนี้เป็นนิพจน์ทางคณิตศาสตร์ ตัวอย่างเช่นสมการคือ:

5x + 2 = 12

ประกอบด้วยนิพจน์ทางคณิตศาสตร์สองนิพจน์ที่เชื่อมกันด้วยเครื่องหมายเท่ากับ นิพจน์หนึ่งอยู่ทางซ้าย อีกนิพจน์หนึ่งอยู่ทางขวา

ใน ปริทัศน์ภาคเรียน " นิพจน์ทางคณิตศาสตร์" ใช้บ่อยที่สุดเพื่อไม่ให้พึมพำ ตัวอย่างเช่น พวกเขาจะถามคุณว่าเศษส่วนธรรมดาคืออะไร และจะตอบอย่างไร!

คำตอบ 1: "มันคือ... ม-ม-ม-ม... สิ่งนั้น ... ซึ่ง ... ฉันเขียนเศษส่วนได้ดีกว่านี้ไหม อยากได้แบบไหน"

คำตอบที่สอง: " เศษส่วนร่วมนี่คือ (ร่าเริงและสนุกสนาน!) นิพจน์ทางคณิตศาสตร์ ซึ่งประกอบด้วยตัวเศษและตัวส่วน!"

ตัวเลือกที่สองน่าประทับใจกว่าใช่ไหม)

เพื่อการนี้ คำว่า " นิพจน์ทางคณิตศาสตร์ “ดีมากครับ ทั้งถูกต้องและมั่นคง แต่สำหรับ การประยุกต์ใช้จริงควรจะรอบรู้ใน นิพจน์เฉพาะทางคณิตศาสตร์ .

ประเภทเฉพาะเป็นอีกเรื่องหนึ่ง นี้ ค่อนข้างเป็นอย่างอื่น!นิพจน์ทางคณิตศาสตร์แต่ละประเภทมี ของฉันชุดของกฎและเทคนิคที่ต้องใช้ในการตัดสินใจ ในการทำงานกับเศษส่วน - หนึ่งชุด สำหรับการทำงานกับนิพจน์ตรีโกณมิติ - ประการที่สอง สำหรับการทำงานกับลอการิทึม - ที่สาม และอื่น ๆ กฎเหล่านี้ตรงกันอยู่ที่ไหนสักแห่งซึ่งแตกต่างกันอย่างมาก แต่อย่ากลัวคำพูดที่น่ากลัวเหล่านี้ ลอการิทึม ตรีโกณมิติ และสิ่งลึกลับอื่น ๆ เราจะเชี่ยวชาญในส่วนที่เกี่ยวข้อง

ที่นี่เราจะเชี่ยวชาญ (หรือ - ทำซ้ำตามที่คุณต้องการ ...) นิพจน์ทางคณิตศาสตร์หลักสองประเภท นิพจน์ตัวเลขและนิพจน์เกี่ยวกับพีชคณิต

นิพจน์ตัวเลข

เกิดอะไรขึ้น การแสดงออกที่เป็นตัวเลข? นี่เป็นแนวคิดที่เรียบง่ายมาก ชื่อนี้บอกเป็นนัยว่านี่คือนิพจน์ที่มีตัวเลข นั่นคือวิธีที่มันเป็น นิพจน์ทางคณิตศาสตร์ประกอบด้วยตัวเลข วงเล็บ และเครื่องหมาย การดำเนินการทางคณิตศาสตร์เรียกว่านิพจน์ตัวเลข

7-3 เป็นนิพจน์ตัวเลข

(8+3.2) 5.4 ก็เป็นนิพจน์ตัวเลขเช่นกัน

และสัตว์ประหลาดตัวนี้:

เป็นนิพจน์ตัวเลขด้วย ใช่...

ตัวเลขธรรมดา เศษส่วน ตัวอย่างการคำนวณใดๆ ที่ไม่มี x และตัวอักษรอื่นๆ ทั้งหมดนี้เป็นนิพจน์ตัวเลข

คุณสมบัติหลัก ตัวเลขการแสดงออกในนั้น ไม่มีตัวอักษร. ไม่มี. เฉพาะตัวเลขและ ไอคอนคณิตศาสตร์(ถ้าจำเป็น). มันง่ายใช่มั้ย

แล้วนิพจน์ตัวเลขเอาไปทำอะไรได้บ้าง? นิพจน์ที่เป็นตัวเลขสามารถนับได้ ในการทำเช่นนี้ บางครั้ง การเปิดวงเล็บ เปลี่ยนเครื่องหมาย ย่อ สลับเงื่อนไข เช่น ทำ การแปลงนิพจน์. แต่เพิ่มเติมเกี่ยวกับด้านล่าง

ที่นี่เราจะจัดการกับกรณีที่ตลกเมื่อมีนิพจน์ตัวเลข คุณไม่ต้องทำอะไรเลยไม่มีอะไรเลย! การดำเนินการที่ดีนี้ ไม่ทำอะไรเลย)- ดำเนินการเมื่อนิพจน์ ไม่สมเหตุสมผล.

เมื่อใดที่นิพจน์ตัวเลขไม่สมเหตุสมผล

แน่นอนถ้าเราเห็น abracadabra อยู่ข้างหน้าเราเช่น

แล้วเราจะไม่ทำอะไร เนื่องจากยังไม่ชัดเจนว่าจะทำอย่างไรกับมัน เรื่องไร้สาระบางอย่าง เว้นแต่จะนับจำนวนบวก ...

แต่มีการแสดงออกภายนอกที่ค่อนข้างดี ตัวอย่างเช่น:

(2+3) : (16 - 2 8)

อย่างไรก็ตามการแสดงออกนี้ก็เช่นกัน ไม่สมเหตุสมผล! ด้วยเหตุผลง่ายๆ ว่าในวงเล็บที่สอง - ถ้าคุณนับ - คุณจะได้ศูนย์ คุณไม่สามารถหารด้วยศูนย์! นี่เป็นการดำเนินการที่ต้องห้ามในวิชาคณิตศาสตร์ ดังนั้นจึงไม่จำเป็นต้องทำอะไรกับนิพจน์นี้เช่นกัน สำหรับงานใดๆ ที่มีนิพจน์ดังกล่าว คำตอบจะเหมือนกันเสมอ: “สีหน้าไม่เข้าท่า!”

แน่นอนว่าเพื่อให้คำตอบเช่นนั้น ฉันต้องคำนวณสิ่งที่จะอยู่ในวงเล็บ และบางครั้งในวงเล็บก็บิดเบี้ยว ... คุณไม่สามารถทำอะไรได้เลย

มีการดำเนินการต้องห้ามในคณิตศาสตร์ไม่มากนัก มีเพียงหนึ่งเดียวในเธรดนี้ การหารด้วยศูนย์. ข้อห้ามเพิ่มเติมที่เกิดขึ้นในรูทและลอการิทึมจะกล่าวถึงในหัวข้อที่เกี่ยวข้อง

ดังนั้นความคิดว่าอะไรคือ การแสดงออกที่เป็นตัวเลข- ได้รับ. แนวคิด นิพจน์ตัวเลขไม่สมเหตุสมผล- ที่ตระหนักรู้. ไปต่อกันเถอะ

นิพจน์เกี่ยวกับพีชคณิต

ถ้าตัวอักษรปรากฏในนิพจน์ตัวเลข นิพจน์นี้จะกลายเป็น... นิพจน์จะกลายเป็น... ใช่! มันกลายเป็น นิพจน์เกี่ยวกับพีชคณิต. ตัวอย่างเช่น:

5a 2 ; 3x-2y; 3(z-2); 3.4m/n; x 2 +4x-4; (ก+ข)2; ...

นิพจน์ดังกล่าวเรียกอีกอย่างว่า การแสดงออกตามตัวอักษรหรือ นิพจน์ที่มีตัวแปรมันเป็นสิ่งเดียวกัน การแสดงออก 5ก+คตัวอย่างเช่น - ทั้งลิเทอรัลและพีชคณิต และนิพจน์ที่มีตัวแปร

แนวคิด นิพจน์พีชคณิต -กว้างกว่าตัวเลข มัน รวมถึงและนิพจน์ตัวเลขทั้งหมด เหล่านั้น. นิพจน์ตัวเลขยังเป็นนิพจน์เกี่ยวกับพีชคณิต แต่ไม่มีตัวอักษร ปลาเฮอริ่งทุกตัวเป็นปลา แต่ไม่ใช่ปลาทุกตัวที่เป็นปลาเฮอริ่ง...)

ทำไม ตัวอักษร- ก็เป็นที่ชัดเจน. เนื่องจากมีตัวอักษร ... วลี การแสดงออกด้วยตัวแปรยังไม่น่างงมาก หากคุณเข้าใจว่าตัวเลขซ่อนอยู่ใต้ตัวอักษร ตัวเลขทุกประเภทสามารถซ่อนอยู่ใต้ตัวอักษร ... และ 5 และ -18 และอะไรก็ได้ที่คุณต้องการ นั่นคือจดหมายสามารถ แทนที่บน ตัวเลขที่แตกต่างกัน. นั่นเป็นเหตุผลที่เรียกตัวอักษร ตัวแปร.

ในการแสดงออก y+5, ตัวอย่างเช่น, ที่- ตัวแปร. หรือเพียงแค่พูดว่า " ตัวแปร"โดยไม่มีคำว่า "คุณค่า" ซึ่งแตกต่างจากห้าซึ่งเป็นค่าคงที่ หรือเพียงแค่ - คงที่.

ภาคเรียน นิพจน์เกี่ยวกับพีชคณิตหมายความว่าในการทำงานกับนิพจน์นี้ คุณต้องใช้กฎหมายและกฎ พีชคณิต. ถ้า เลขคณิตใช้งานได้กับจำนวนเฉพาะแล้ว พีชคณิต- ด้วยตัวเลขทั้งหมดในครั้งเดียว ตัวอย่างง่ายๆสำหรับการชี้แจง

ในเลขคณิต เราสามารถเขียนได้ว่า

แต่ถ้าเราเขียนความเท่าเทียมกันที่คล้ายกันผ่านนิพจน์พีชคณิต:

ก + ข = ข + ก

เราจะตัดสินใจทันที ทั้งหมดคำถาม. สำหรับ ตัวเลขทั้งหมดจังหวะ. สำหรับสิ่งต่าง ๆ มากมายนับไม่ถ้วน เพราะใต้ตัวอักษร กและ ขโดยนัย ทั้งหมดตัวเลข และไม่ใช่แค่ตัวเลขเท่านั้น แต่ยังรวมถึงนิพจน์ทางคณิตศาสตร์อื่นๆ ด้วย นี่คือวิธีการทำงานของพีชคณิต

การแสดงออกทางพีชคณิตไม่สมเหตุสมผลเมื่อใด

ทุกอย่างชัดเจนเกี่ยวกับนิพจน์ตัวเลข คุณไม่สามารถหารด้วยศูนย์ และด้วยตัวอักษรเป็นไปได้ไหมที่จะหาว่าเราหารด้วยอะไร!

ลองใช้นิพจน์ตัวแปรต่อไปนี้เป็นตัวอย่าง:

2: (ก - 5)

มันสมเหตุสมผลไหม? แต่ใครจะรู้จักเขา? ก- เบอร์อะไรก็ได้...

อะไรก็ได้... แต่มีความหมายอย่างหนึ่ง กซึ่งสำหรับนิพจน์นี้ อย่างแน่นอนไม่เข้าท่า! และตัวเลขนั้นคืออะไร? ใช่! ตี 5! ถ้าตัวแปร กแทนที่ (พวกเขาพูดว่า - "แทนที่") ด้วยหมายเลข 5 ในวงเล็บจะกลายเป็นศูนย์ ที่ไม่สามารถแบ่งแยกได้ เลยกลายเป็นว่าการแสดงออกของเรา ไม่สมเหตุสมผล, ถ้า เอ = 5. แต่สำหรับค่าอื่นๆ กมันสมเหตุสมผลไหม แทนเบอร์อื่นได้ไหม?

แน่นอน. ในกรณีเช่นนี้ กล่าวง่าย ๆ ว่า นิพจน์

2: (ก - 5)

สมเหตุสมผลสำหรับค่าใด ๆ ก, ยกเว้น a = 5 .

ตัวเลขทั้งชุด สามารถแทนที่ในนิพจน์ที่กำหนดเรียกว่า พื้นที่ ค่าที่อนุญาต การแสดงออกนี้

อย่างที่คุณเห็นไม่มีอะไรยุ่งยาก เราดูนิพจน์ที่มีตัวแปรและคิดว่า: ค่าใดของตัวแปรที่ได้รับการดำเนินการที่ต้องห้าม (หารด้วยศูนย์)

จากนั้นให้แน่ใจว่าได้ดูคำถามของงานที่มอบหมาย พวกเขาถามอะไร

ไม่สมเหตุสมผลค่าต้องห้ามของเราจะเป็นคำตอบ

หากพวกเขาถามว่าตัวแปรนิพจน์มีค่าเท่าใด มีความหมาย(รู้สึกถึงความแตกต่าง!) คำตอบจะเป็นอย่างไร หมายเลขอื่นๆ ทั้งหมดยกเว้นสิ่งต้องห้าม

ทำไมเราต้องการความหมายของนิพจน์? เขาอยู่ที่นั่นเขาไม่ ... แตกต่างกันอย่างไร! ความจริงก็คือแนวคิดนี้มีความสำคัญมากในโรงเรียนมัธยม สำคัญมาก ๆ! นี่เป็นพื้นฐานสำหรับแนวคิดที่มั่นคง เช่น ช่วงของค่าที่ถูกต้องหรือขอบเขตของฟังก์ชัน หากไม่มีสิ่งนี้ คุณจะไม่สามารถแก้สมการที่จริงจังหรืออสมการได้เลย แบบนี้.

การแปลงนิพจน์ การแปลงตัวตน

เราได้ทำความคุ้นเคยกับนิพจน์ที่เป็นตัวเลขและพีชคณิต ทำความเข้าใจว่าวลี "การแสดงออกไม่สมเหตุสมผล" หมายถึงอะไร. ตอนนี้เราต้องเข้าใจว่าอะไร การแปลงนิพจน์คำตอบนั้นง่ายมาก อุกอาจ) นี่คือการกระทำใด ๆ ที่มีการแสดงออก และนั่นแหล่ะ คุณได้ทำการเปลี่ยนแปลงเหล่านี้ตั้งแต่ชั้นหนึ่ง

ใช้นิพจน์ตัวเลขเย็น 3+5 จะแปลงได้อย่างไร? ใช่ ง่ายมาก! คำนวณ:

การคำนวณนี้จะเป็นการแปลงนิพจน์ คุณสามารถเขียนนิพจน์เดียวกันด้วยวิธีอื่น:

เราไม่ได้นับอะไรที่นี่ เพียงแค่เขียนการแสดงออก ในรูปแบบที่แตกต่างกันนี่จะเป็นการเปลี่ยนแปลงของนิพจน์ด้วย สามารถเขียนได้ดังนี้:

และนี่ก็เป็นการแปลงนิพจน์ด้วย คุณสามารถแปลงร่างเหล่านี้ได้มากเท่าที่คุณต้องการ

ใดๆการดำเนินการกับนิพจน์ ใดๆการเขียนในรูปแบบอื่นเรียกว่าการแปลงนิพจน์ และทุกสิ่ง ทุกอย่างง่ายมาก แต่มีสิ่งหนึ่งที่นี่ กฎที่สำคัญมากสำคัญมากที่สามารถเรียกได้อย่างปลอดภัย กฎหลักคณิตศาสตร์ทั้งหมด ทำลายกฎนี้ อย่างหลีกเลี่ยงไม่ได้นำไปสู่ข้อผิดพลาด เราเข้าใจไหม?)

สมมติว่าเราได้แปลงนิพจน์ของเราโดยพลการ เช่นนี้

การแปลงร่าง? แน่นอน. เราเขียนนิพจน์ในรูปแบบอื่น เกิดอะไรขึ้นที่นี่

มันไม่ใช่อย่างนั้น) ความจริงก็คือการแปลงร่าง "อะไรก็ตาม"คณิตศาสตร์ไม่สนใจเลย) คณิตศาสตร์ทั้งหมดสร้างขึ้นจากการแปลงซึ่ง รูปร่าง, แต่สาระสำคัญของการแสดงออกไม่เปลี่ยนแปลงสามบวกห้าสามารถเขียนในรูปแบบใดก็ได้ แต่ต้องเป็นแปด

การเปลี่ยนแปลง การแสดงออกที่ไม่เปลี่ยนสาระสำคัญเรียกว่า เหมือนกัน

อย่างแน่นอน การแปลงที่เหมือนกันและให้เราทีละขั้นตอนในการเปลี่ยนแปลง ตัวอย่างที่ซับซ้อนเป็นสำนวนง่ายรักษา สาระสำคัญของตัวอย่างหากเราทำผิดพลาดในห่วงโซ่ของการเปลี่ยนแปลง เราจะทำการเปลี่ยนแปลงที่ไม่เหมือนกัน จากนั้นเราจะตัดสินใจ อื่นตัวอย่าง. กับคำตอบอื่นที่ไม่เกี่ยวกับข้อที่ถูกต้อง)

นี่คือกฎหลักสำหรับการแก้ปัญหาใด ๆ : การปฏิบัติตามเอกลักษณ์ของการแปลง

ฉันยกตัวอย่างด้วยนิพจน์ตัวเลข 3 + 5 เพื่อความชัดเจน ในนิพจน์พีชคณิต การแปลงที่เหมือนกันจะได้รับจากสูตรและกฎ สมมติว่ามีสูตรในพีชคณิต:

ก(b+c) = ab + ไฟฟ้ากระแสสลับ

ดังนั้น ไม่ว่าในตัวอย่างใด เราสามารถแทนนิพจน์ได้ ก(ข+ค)รู้สึกอิสระที่จะเขียนนิพจน์ เอบี+เอบีซี. และในทางกลับกัน. นี้ การเปลี่ยนแปลงที่เหมือนกันคณิตศาสตร์ให้เราเลือกนิพจน์ทั้งสองนี้ และอันไหนที่จะเขียน - จาก กรณีศึกษาพึ่งพา.

ตัวอย่างอื่น. หนึ่งในการแปลงที่สำคัญและจำเป็นที่สุดคือคุณสมบัติพื้นฐานของเศษส่วน คุณสามารถดูรายละเอียดเพิ่มเติมได้ที่ลิงค์ แต่ที่นี่ฉันแค่เตือนกฎ: ถ้าตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนคูณ (หาร) ด้วยจำนวนเดียวกัน หรือนิพจน์ที่ไม่เท่ากับศูนย์ เศษส่วนจะไม่เปลี่ยนแปลงนี่คือตัวอย่างการแปลงที่เหมือนกันสำหรับคุณสมบัตินี้:

อย่างที่คุณอาจเดาได้ว่าห่วงโซ่นี้สามารถดำเนินต่อไปเรื่อย ๆ ... ) คุณสมบัติที่สำคัญมาก มันช่วยให้คุณเปลี่ยนมอนสเตอร์ตัวอย่างทุกประเภทให้กลายเป็นสีขาวและขนปุกปุยได้)

มีหลายสูตรที่กำหนดการแปลงที่เหมือนกัน แต่ที่สำคัญที่สุด - เป็นจำนวนที่สมเหตุสมผล หนึ่งในการแปลงพื้นฐานคือการแยกตัวประกอบ ใช้ในคณิตศาสตร์ทั้งหมด ตั้งแต่ระดับประถมศึกษาจนถึงระดับสูง เริ่มต้นกับเขากันเถอะ ในบทเรียนต่อไป)

ถ้าคุณชอบเว็บไซต์นี้...

อย่างไรก็ตาม ฉันมีไซต์ที่น่าสนใจอีกสองสามไซต์สำหรับคุณ)

คุณสามารถฝึกฝนการแก้ตัวอย่างและค้นหาระดับของคุณ การทดสอบด้วยการตรวจสอบทันที เรียนรู้ - ด้วยความสนใจ!)

คุณสามารถทำความคุ้นเคยกับฟังก์ชันและอนุพันธ์

หมายเหตุสำคัญ!
1. หากคุณเห็นซึ่งพูดพล่อยๆ แทนที่จะเป็นสูตร ให้ล้างแคชของคุณ วิธีดำเนินการในเบราว์เซอร์ของคุณเขียนไว้ที่นี่:
2. ก่อนที่คุณจะเริ่มอ่านบทความ ให้ความสนใจกับเนวิเกเตอร์ของเราให้มากที่สุด ทรัพยากรที่มีประโยชน์สำหรับ

บ่อยครั้งที่เราได้ยินวลีที่ไม่พึงประสงค์นี้: "ทำให้นิพจน์ง่ายขึ้น"โดยปกติแล้ว ในกรณีนี้ เราจะมีสัตว์ประหลาดประเภทนี้:

"ใช่ ง่ายกว่ามาก" เราพูด แต่คำตอบดังกล่าวมักไม่ได้ผล

ตอนนี้ฉันจะสอนคุณว่าอย่ากลัวงานดังกล่าว

ยิ่งไปกว่านั้น ในตอนท้ายของบทเรียน คุณเองจะทำให้ตัวอย่างนี้ง่ายขึ้นเป็นตัวเลขธรรมดา (แค่!) (ใช่ นรกด้วยตัวอักษรเหล่านี้)

แต่ก่อนที่คุณจะเริ่มบทเรียนนี้ คุณต้องสามารถ จัดการกับเศษส่วนและ แยกตัวประกอบของพหุนาม

ดังนั้น หากคุณยังไม่เคยทำสิ่งนี้มาก่อน ให้แน่ใจว่าได้เข้าใจหัวข้อ "" และ "" อย่างเชี่ยวชาญ

อ่าน? ถ้าใช่ คุณก็พร้อมแล้ว

ไปกันเถอะ!(ไปกันเถอะ!)

การดำเนินการลดความซับซ้อนของนิพจน์พื้นฐาน

ตอนนี้เราจะวิเคราะห์เทคนิคหลักที่ใช้ในการทำให้นิพจน์ง่ายขึ้น

สิ่งที่ง่ายที่สุดคือ

1. นำสิ่งที่คล้ายกัน

มีอะไรที่คล้ายกัน? คุณเคยผ่านเรื่องนี้ตอนเกรด 7 เมื่อตัวอักษรปรากฏขึ้นครั้งแรกในวิชาคณิตศาสตร์แทนที่จะเป็นตัวเลข

คล้ายกันเป็นคำศัพท์ (อักษรย่อ) ที่มีส่วนตัวอักษรเดียวกัน

ตัวอย่างเช่น ในผลรวม เช่น เงื่อนไขและ

จำได้ไหม?

นำที่คล้ายกัน- หมายถึงการบวกคำศัพท์ที่คล้ายกันหลายคำเข้าด้วยกันและได้คำศัพท์หนึ่งคำ

แต่เราจะรวมตัวอักษรเข้าด้วยกันได้อย่างไร? - คุณถาม.

สิ่งนี้เข้าใจได้ง่ายมากหากคุณคิดว่าตัวอักษรเป็นวัตถุบางชนิด

ตัวอย่างเช่นตัวอักษรเป็นเก้าอี้ แล้วการแสดงออกเป็นอย่างไร?

เก้าอี้สองตัวบวกเก้าอี้สามตัวราคาเท่าไหร่ครับ? ถูกต้องเก้าอี้: .

ลองนิพจน์นี้:

เพื่อไม่ให้สับสน ตัวอักษรที่แตกต่างกันเป็นตัวแทนของสิ่งต่าง ๆ

ตัวอย่างเช่น - นี่คือเก้าอี้ (ตามปกติ) และ - นี่คือโต๊ะ

โต๊ะเก้าอี้ โต๊ะเก้าอี้ โต๊ะเก้าอี้ โต๊ะเก้าอี้

เรียกตัวเลขที่ตัวอักษรในเงื่อนไขดังกล่าวถูกคูณ ค่าสัมประสิทธิ์.

ตัวอย่างเช่น ในโมโนเมียล ค่าสัมประสิทธิ์จะเท่ากัน และเขาก็เท่าเทียมกัน

ดังนั้น กฎสำหรับการนำที่คล้ายกัน:

ตัวอย่าง:

นำสิ่งที่คล้ายกัน:

คำตอบ:

2. (และคล้ายกัน เนื่องจากข้อกำหนดเหล่านี้มีส่วนที่เป็นตัวอักษรเหมือนกัน)

2. การแยกตัวประกอบ

ซึ่งมักจะเป็น ส่วนที่สำคัญที่สุดในการทำให้นิพจน์ง่ายขึ้น

หลังจากที่คุณได้ให้สิ่งที่คล้ายกันแล้ว นิพจน์ที่เป็นผลลัพธ์มักจะจำเป็น แยกตัวประกอบเช่น เป็นตัวแทนของผลิตภัณฑ์

โดยเฉพาะอย่างยิ่งนี้ สำคัญในเศษส่วน:เพราะเพื่อลดเศษส่วน ตัวเศษและตัวส่วนจะต้องแสดงเป็นผลคูณ

คุณได้ผ่านวิธีการโดยละเอียดของนิพจน์การแยกตัวประกอบในหัวข้อ "" ดังนั้นที่นี่คุณต้องจำสิ่งที่คุณได้เรียนรู้

ในการทำเช่นนี้ ให้แก้ตัวอย่างสองสามตัวอย่าง (คุณต้องแยกตัวประกอบ)

ตัวอย่าง:

โซลูชั่น:

3. การลดเศษส่วน

อะไรจะดีไปกว่าการขีดส่วนของเศษและส่วนออกแล้วโยนมันออกไปจากชีวิตคุณ?

นั่นคือความสวยงามของการย่อ

มันง่าย:

ถ้าตัวเศษและตัวส่วนมีตัวประกอบเหมือนกัน พวกมันสามารถลดลงได้ นั่นคือ ลบออกจากเศษส่วน

กฎนี้ต่อจากคุณสมบัติพื้นฐานของเศษส่วน:

นั่นคือสาระสำคัญของการดำเนินการลดก็คือว่า เราหารตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนด้วยจำนวนเดียวกัน (หรือด้วยนิพจน์เดียวกัน)

ในการลดเศษส่วน คุณต้อง:

1) ตัวเศษและตัวส่วน แยกตัวประกอบ

2) ถ้าตัวเศษและตัวส่วนมี ปัจจัยทั่วไปสามารถลบได้

ตัวอย่าง:

หลักการผมว่าชัดเจนไหม?

ฉันต้องการดึงความสนใจของคุณไปที่ข้อผิดพลาดทั่วไปหนึ่งข้อในการย่อ แม้ว่าหัวข้อนี้จะง่าย แต่หลายคนทำทุกอย่างผิดโดยไม่ทราบว่า ตัด- นี่หมายความว่า แบ่งตัวเศษและตัวส่วนด้วยจำนวนเดียวกัน

ไม่มีตัวย่อถ้าตัวเศษหรือตัวส่วนเป็นผลรวม

ตัวอย่างเช่น คุณต้องทำให้ง่ายขึ้น

บางคนทำเช่นนี้ซึ่งเป็นสิ่งที่ผิดอย่างยิ่ง

อีกตัวอย่างหนึ่ง: ลด

"ฉลาดที่สุด" จะทำสิ่งนี้:

บอกฉันว่ามีอะไรผิดปกติที่นี่? ดูเหมือนว่า: - นี่คือตัวคูณดังนั้นคุณสามารถลดได้

แต่ไม่มี: - นี่เป็นตัวประกอบของพจน์เดียวในตัวเศษ แต่ตัวเศษโดยรวมไม่ได้ถูกแยกย่อยออกเป็นปัจจัยต่างๆ

นี่เป็นอีกตัวอย่างหนึ่ง: .

นิพจน์นี้แบ่งออกเป็นตัวประกอบ ซึ่งหมายความว่าคุณสามารถลด นั่นคือ หารตัวเศษและตัวส่วนด้วย จากนั้น:

คุณสามารถหารด้วย:

เพื่อหลีกเลี่ยงข้อผิดพลาดดังกล่าว จำไว้ ทางที่ง่ายวิธีตรวจสอบว่านิพจน์แยกตัวประกอบหรือไม่:

การดำเนินการทางคณิตศาสตร์ที่ดำเนินการครั้งสุดท้ายเมื่อคำนวณค่าของนิพจน์คือ "หลัก"

นั่นคือ หากคุณแทนที่ตัวเลข (ใดๆ) แทนตัวอักษร และพยายามคำนวณค่าของนิพจน์ หากการกระทำสุดท้ายเป็นการคูณ เราก็จะได้ผลิตภัณฑ์ (นิพจน์ถูกแยกย่อยเป็นปัจจัยต่างๆ)

หากการกระทำสุดท้ายเป็นการบวกหรือการลบ หมายความว่านิพจน์นั้นไม่ได้แยกตัวประกอบ (ดังนั้นจึงไม่สามารถลดลงได้)

หากต้องการแก้ไขด้วยตัวคุณเอง ตัวอย่างบางส่วน:

ตัวอย่าง:

โซลูชั่น:

4. การบวกและการลบเศษส่วน การนำเศษส่วนมาเป็นตัวส่วนร่วม

การบวกและการลบ เศษส่วนธรรมดา- การดำเนินการเป็นที่รู้จักกันดี: เรากำลังมองหาตัวส่วนร่วม เราคูณเศษส่วนแต่ละส่วนด้วยตัวประกอบที่ขาดหายไป และเพิ่ม / ลบตัวเศษ

จำไว้:

คำตอบ:

1. ตัวส่วนและเป็น coprime นั่นคือไม่มีตัวประกอบร่วม ดังนั้น LCM ของตัวเลขเหล่านี้จึงเท่ากับผลคูณ นี่จะเป็นตัวส่วนร่วม:

2. นี่คือตัวส่วนร่วมคือ:

3. สิ่งแรกที่นี่ เศษส่วนผสมเปลี่ยนเป็นผิดแล้ว - ตามแบบแผนปกติ:

เป็นอีกเรื่องหนึ่งหากเศษส่วนประกอบด้วยตัวอักษร ตัวอย่างเช่น

เริ่มกันง่ายๆ:

ก) ตัวส่วนไม่มีตัวอักษร

ที่นี่ทุกอย่างเหมือนกันกับสามัญ เศษส่วน: หาตัวส่วนร่วม คูณเศษส่วนแต่ละส่วนด้วยตัวประกอบที่หายไป แล้วบวก/ลบตัวเศษ:

ตอนนี้ในตัวเศษ คุณสามารถนำตัวเศษที่คล้ายกัน ถ้ามี และแยกตัวประกอบ:

ลองด้วยตัวคุณเอง:

คำตอบ:

b) ตัวส่วนประกอบด้วยตัวอักษร

จำหลักการหาตัวส่วนร่วมที่ไม่มีตัวอักษร:

ก่อนอื่น เราพิจารณาปัจจัยทั่วไป

จากนั้นเราจะเขียนปัจจัยร่วมทั้งหมดออกมาในครั้งเดียว

แล้วคูณด้วยปัจจัยอื่นๆ ทั้งหมด ไม่ใช่ปัจจัยทั่วไป

ในการระบุตัวประกอบร่วมของตัวส่วน ขั้นแรก เราจะแยกย่อยตัวประกอบเหล่านั้นออกเป็นปัจจัยง่ายๆ:

เราเน้นปัจจัยทั่วไป:

ตอนนี้เราเขียนปัจจัยทั่วไปเพียงครั้งเดียวและเพิ่มปัจจัยที่ไม่ธรรมดาทั้งหมด (ไม่ขีดเส้นใต้):

นี่คือตัวส่วนร่วม

กลับไปที่ตัวอักษรกันเถอะ ตัวส่วนจะได้รับในลักษณะเดียวกันทุกประการ:

เราแยกส่วนออกเป็นปัจจัย

กำหนดตัวคูณทั่วไป (เหมือนกัน)

เขียนปัจจัยทั่วไปทั้งหมดเพียงครั้งเดียว

เราคูณมันด้วยปัจจัยอื่นๆ ทั้งหมด ไม่ใช่ปัจจัยทั่วไป

ดังนั้นตามลำดับ:

1) แยกส่วนออกเป็นปัจจัย:

2) กำหนดปัจจัยทั่วไป (เหมือนกัน):

3) เขียนปัจจัยทั่วไปทั้งหมดออกมาแล้วคูณด้วยปัจจัยอื่น ๆ ทั้งหมด (ไม่ขีดเส้นใต้):

ตัวหารร่วมจึงอยู่ตรงนี้ เศษส่วนแรกจะต้องคูณด้วยส่วนที่สอง - โดย:

อย่างไรก็ตาม มีเคล็ดลับอย่างหนึ่งคือ

ตัวอย่างเช่น: .

เราเห็นปัจจัยเดียวกันในตัวส่วน แต่ทั้งหมดมีตัวบ่งชี้ต่างกัน ตัวส่วนร่วมจะเป็น:

ในขอบเขต

ในขอบเขต

ในขอบเขต

ในระดับ

มาทำให้งานซับซ้อนขึ้น:

วิธีทำให้เศษส่วนมีตัวส่วนเท่ากัน?

จำคุณสมบัติพื้นฐานของเศษส่วน:

ไม่มีที่ไหนบอกว่าตัวเลขเดียวกันสามารถลบ (หรือบวก) จากตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนได้ เพราะมันไม่ใช่เรื่องจริง!

ดูด้วยตัวคุณเอง: นำเศษส่วนใดๆ มาบวกเข้ากับตัวเศษและตัวส่วน เช่น ได้เรียนรู้อะไรบ้าง?

ดังนั้นกฎที่ไม่สั่นคลอนอีกข้อหนึ่ง:

เมื่อคุณนำเศษส่วนมาเป็นตัวส่วนร่วมกัน ให้ใช้การคูณเท่านั้น!

แต่คุณต้องคูณอะไรเพื่อให้ได้มา?

ที่นี่และทวีคูณ และคูณด้วย:

นิพจน์ที่ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้จะเรียกว่า "ตัวประกอบ"

เช่น เป็นปัจจัยเบื้องต้น. - เดียวกัน. แต่ - ไม่: มันถูกแยกย่อยเป็นปัจจัย

แล้วการแสดงออกล่ะ? เป็นประถมศึกษา?

ไม่ เนื่องจากสามารถแยกตัวประกอบได้:

(คุณได้อ่านเกี่ยวกับการแยกตัวประกอบในหัวข้อ "")

ดังนั้นปัจจัยพื้นฐานที่คุณแยกย่อยนิพจน์ด้วยตัวอักษรจึงเป็นอะนาล็อก ปัจจัยสำคัญที่คุณแยกย่อยตัวเลข และเราจะทำเช่นเดียวกันกับพวกเขา

เราเห็นว่าตัวส่วนทั้งสองมีตัวประกอบ มันจะไปที่ตัวหารร่วมในยกกำลัง (จำทำไม?)

ตัวคูณเป็นแบบพื้นฐานและไม่มีเหมือนกันซึ่งหมายความว่าเศษส่วนแรกจะต้องคูณด้วย:

ตัวอย่างอื่น:

สารละลาย:

ก่อนคูณตัวส่วนเหล่านี้ด้วยความตื่นตระหนก คุณต้องคิดก่อนว่าจะแยกตัวประกอบอย่างไร ทั้งสองเป็นตัวแทนของ:

ยอดเยี่ยม! แล้ว:

ตัวอย่างอื่น:

สารละลาย:

ตามปกติ เราจะแยกตัวประกอบของตัวส่วน ในตัวส่วนแรก เราแค่ใส่มันออกจากวงเล็บ ในวินาที - ความแตกต่างของกำลังสอง:

ดูเหมือนว่าจะไม่มีปัจจัยร่วมกัน แต่ถ้าคุณดูอย่างใกล้ชิดพวกเขาก็คล้ายกันมาก ... และความจริงก็คือ:

ลองเขียน:

นั่นคือ มันกลายเป็นแบบนี้: ในวงเล็บ เราเปลี่ยนเงื่อนไข และในขณะเดียวกัน เครื่องหมายที่อยู่หน้าเศษส่วนก็เปลี่ยนเป็นตรงกันข้าม รับทราบคุณจะต้องทำเช่นนี้บ่อยๆ

ตอนนี้เรามาถึงส่วนร่วม:

เข้าใจแล้ว? ตอนนี้มาตรวจสอบกัน

งานสำหรับโซลูชันอิสระ:

คำตอบ:

5. การคูณและการหารเศษส่วน

ตอนนี้ส่วนที่ยากที่สุดจบลงแล้ว และข้างหน้าเรานั้นง่ายที่สุด แต่ในขณะเดียวกันก็สำคัญที่สุด:

ขั้นตอน

ขั้นตอนการนับเป็นอย่างไร การแสดงออกที่เป็นตัวเลข? โปรดจำไว้ว่าเมื่อพิจารณาถึงค่าของนิพจน์ดังกล่าว:

คุณนับหรือไม่

มันควรจะทำงาน

ดังนั้นฉันเตือนคุณ

ขั้นตอนแรกคือการคำนวณระดับ

ประการที่สองคือการคูณและการหาร หากมีการคูณและการหารหลายรายการพร้อมกัน คุณสามารถทำตามลำดับใดก็ได้

และสุดท้าย เราทำการบวกและการลบ อีกครั้งในลำดับใดก็ได้

แต่: นิพจน์ในวงเล็บถูกประเมินว่าผิดระเบียบ!

หากวงเล็บหลายอันคูณหรือหารกันเอง เราจะประเมินนิพจน์ในแต่ละวงเล็บก่อน แล้วจึงคูณหรือหาร

เกิดอะไรขึ้นถ้ามีวงเล็บอื่นในวงเล็บ? ลองคิดดูสิ นิพจน์บางอย่างเขียนไว้ในวงเล็บ สิ่งแรกที่ต้องทำเมื่อประเมินการแสดงออกคืออะไร? ถูกต้อง คำนวณวงเล็บ เราคิดออกแล้ว: ก่อนอื่นเราคำนวณวงเล็บปีกกาด้านใน แล้วจึงคำนวณอย่างอื่น

ดังนั้น ลำดับของการดำเนินการสำหรับนิพจน์ด้านบนจึงเป็นดังนี้ (การกระทำปัจจุบันถูกเน้นด้วยสีแดง นั่นคือ การกระทำที่ฉันกำลังดำเนินการอยู่):

โอเค มันง่ายไปหมด

แต่นั่นไม่เหมือนกับการแสดงออกด้วยตัวอักษรใช่ไหม

ไม่ มันเหมือนกัน! แทนที่จะดำเนินการทางคณิตศาสตร์เท่านั้น จำเป็นต้องดำเนินการเกี่ยวกับพีชคณิต นั่นคือ การดำเนินการที่อธิบายไว้ในส่วนก่อนหน้า: นำที่คล้ายกันการบวกเศษส่วน การลดเศษส่วน และอื่นๆ ข้อแตกต่างเพียงอย่างเดียวคือการกระทำของการแยกตัวประกอบพหุนาม (เรามักใช้เมื่อทำงานกับเศษส่วน) ส่วนใหญ่แล้ว สำหรับการแยกตัวประกอบ คุณต้องใช้ i หรือเพียงแค่นำตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บ

โดยปกติแล้วเป้าหมายของเราคือการแสดงนิพจน์เป็นผลิตภัณฑ์หรือผลหาร

ตัวอย่างเช่น:

มาทำให้นิพจน์ง่ายขึ้น

1) ขั้นแรก เราลดความซับซ้อนของนิพจน์ในวงเล็บ เรามีผลต่างของเศษส่วน และเป้าหมายของเราคือแสดงเป็นผลคูณหรือผลหาร ดังนั้นเราจึงนำเศษส่วนมาเป็นตัวส่วนร่วมและบวก:

เป็นไปไม่ได้ที่จะทำให้นิพจน์นี้ง่ายขึ้นอีก ปัจจัยทั้งหมดในที่นี้เป็นค่าพื้นฐาน (คุณยังจำได้ไหมว่าหมายความว่าอย่างไร)

2) เราได้รับ:

การคูณเศษส่วน: อะไรจะง่ายกว่านี้

3) ตอนนี้คุณสามารถย่อ:

ตกลงมันจบลงแล้ว ไม่มีอะไรซับซ้อนใช่ไหม

ตัวอย่างอื่น:

ลดความซับซ้อนของนิพจน์

ขั้นแรกให้ลองแก้ปัญหาด้วยตัวคุณเองจากนั้นดูวิธีแก้ปัญหา

สารละลาย:

ก่อนอื่นเรามากำหนดขั้นตอน

ขั้นแรก ให้เพิ่มเศษส่วนในวงเล็บ แทนที่จะเป็นเศษส่วนสองส่วน จะได้เศษส่วนหนึ่ง

จากนั้นเราจะทำการหารเศษส่วน เราเพิ่มผลลัพธ์ด้วยเศษส่วนสุดท้าย

ฉันจะกำหนดหมายเลขขั้นตอน:

สุดท้ายนี้ ฉันจะให้คำแนะนำที่มีประโยชน์สองประการแก่คุณ:

1.หากมีเหมือนกันต้องนำมาทันที เมื่อใดก็ตามที่เรามีสิ่งที่คล้ายกันขอแนะนำให้นำติดตัวไปทันที

2. เช่นเดียวกับการลดเศษส่วน: ทันทีที่มีโอกาสที่จะลดเศษส่วนก็ต้องใช้ ข้อยกเว้นคือเศษส่วนที่คุณบวกหรือลบ ถ้ามี ตัวส่วนเดียวกันจากนั้นควรปล่อยการลดไว้ในภายหลัง

นี่คืองานบางอย่างที่คุณต้องแก้ไขด้วยตัวคุณเอง:

และสัญญาตั้งแต่แรก:

คำตอบ:

โซลูชั่น (โดยย่อ):

หากคุณจัดการกับตัวอย่างสามตัวอย่างแรกเป็นอย่างน้อย แสดงว่าคุณเข้าใจหัวข้อนี้แล้ว

ตอนนี้เพื่อการเรียนรู้!

การแปลงการแสดงออก สรุปและสูตรพื้นฐาน

การดำเนินการลดความซับซ้อนขั้นพื้นฐาน:

• นำที่คล้ายกัน: หากต้องการเพิ่ม (ลด) คำที่เหมือนกัน คุณต้องเพิ่มค่าสัมประสิทธิ์และกำหนดส่วนตัวอักษร
• การแยกตัวประกอบ:การนำตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บ การนำไปใช้ ฯลฯ
• การลดเศษส่วน: ตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนสามารถคูณหรือหารด้วยจำนวนเดียวกันที่ไม่ใช่ศูนย์ โดยที่ค่าของเศษส่วนจะไม่เปลี่ยนแปลง
  1) ตัวเศษและตัวส่วน แยกตัวประกอบ
  2) หากมีตัวประกอบร่วมกันในตัวเศษและตัวส่วน ก็สามารถขีดฆ่าได้

  สำคัญ: ตัวคูณเท่านั้นที่สามารถลดได้!

• การบวกและการลบเศษส่วน:
  ;
• การคูณและการหารเศษส่วน:
  ;

หัวข้อจบลงแล้ว หากคุณกำลังอ่านบรรทัดเหล่านี้แสดงว่าคุณเจ๋งมาก

เพราะมีคนเพียง 5% เท่านั้นที่สามารถเชี่ยวชาญบางอย่างได้ด้วยตัวเอง และถ้าคุณอ่านจนจบ คุณก็อยู่ใน 5%!

ตอนนี้สิ่งที่สำคัญที่สุด

คุณได้เข้าใจทฤษฎีในหัวข้อนี้แล้ว และขอย้ำว่า...มันสุดยอดมาก! คุณเก่งกว่าเพื่อนส่วนใหญ่ของคุณอยู่แล้ว

ปัญหาคือมันอาจไม่เพียงพอ ...

เพื่ออะไร?

สำหรับ การส่งมอบที่ประสบความสำเร็จการสอบของรัฐแบบครบวงจรสำหรับการเข้าศึกษาต่อในสถาบันด้วยงบประมาณและที่สำคัญที่สุดสำหรับชีวิต

ฉันจะไม่โน้มน้าวใจคุณ แต่ฉันจะพูดอย่างหนึ่ง ...

คนที่ได้รับ การศึกษาที่ดีมีรายได้มากกว่าผู้ที่ไม่ได้รับ นี่คือสถิติ

แต่นี่ไม่ใช่สิ่งสำคัญ

สิ่งสำคัญคือพวกเขามีความสุขมากขึ้น (มีการศึกษาดังกล่าว) อาจเป็นเพราะมีโอกาสมากมายที่เปิดกว้างต่อหน้าพวกเขาและชีวิตก็สดใสขึ้น? ไม่รู้...

แต่คิดเอาเอง...

อะไรที่จำเป็นเพื่อให้แน่ใจว่าจะดีกว่าคนอื่น ๆ ในการสอบและจะ ... มีความสุขมากขึ้นในท้ายที่สุด?

จับมือคุณแก้ปัญหาในหัวข้อนี้

ในการสอบ คุณจะไม่ถูกถามทฤษฎี

คุณจะต้องการ แก้ปัญหาตรงเวลา.

และถ้าคุณยังแก้ไขไม่ได้ (มาก!) คุณจะทำผิดพลาดโง่ๆ ที่ไหนสักแห่งหรือไม่ก็แก้ไขไม่ทัน

ก็เหมือนกับการเล่นกีฬา คุณต้องเล่นซ้ำหลายๆ ครั้งจึงจะชนะได้อย่างแน่นอน

ค้นหาคอลเลกชันได้ทุกที่ที่คุณต้องการ จำเป็นด้วยโซลูชั่น การวิเคราะห์โดยละเอียด และตัดสินใจ ตัดสินใจ ตัดสินใจ!

คุณสามารถใช้งานของเรา (ไม่จำเป็น) และเราแนะนำอย่างแน่นอน

เพื่อให้รับมือกับงานของเราได้ คุณต้องช่วยยืดอายุหนังสือเรียน YouClever ที่คุณกำลังอ่านอยู่

ยังไง? มีสองตัวเลือก:

1. ปลดล็อกการเข้าถึงงานที่ซ่อนอยู่ทั้งหมดในบทความนี้ -
2. ปลดล็อกการเข้าถึงงานที่ซ่อนอยู่ทั้งหมดในบทช่วยสอนทั้ง 99 บทความ - ซื้อหนังสือเรียน - 499 รูเบิล

ใช่ เรามีบทความดังกล่าว 99 บทความในหนังสือเรียน และสามารถเปิดเข้าถึงงานทั้งหมดและข้อความที่ซ่อนอยู่ในนั้นได้ทันที

การเข้าถึงงานที่ซ่อนอยู่ทั้งหมดมีให้ตลอดอายุการใช้งานของไซต์

สรุปแล้ว...

ถ้าคุณไม่ชอบงานของเรา หาคนอื่น อย่าหยุดแค่ทฤษฎี

“เข้าใจ” และ “ฉันรู้วิธีแก้ปัญหา” เป็นทักษะที่แตกต่างกันอย่างสิ้นเชิง คุณต้องการทั้งสองอย่าง

ค้นหาปัญหาและแก้ไข!